SERIES DE FUNCIONES

I. Convergencia uniforme por criterio de M-de-Weierstrass.

Sea una serie de funciones , D el dominio de convergencia de la serie y una serie numrica convergente, tales que || , , , entonces || es uniformemente convergente en D. (En particular es uniformemente convergente en D)

Decimos que es absoluta y uniformemente convergente.

Ejemplo:

Sea ], [, > 0.Analice la convergencia de la serie de funciones

3 Aqu () = 3 , tenemos que ],[ = , < < As || < / 1

3 de donde ||

3<

3, ,

3 < 3

Veamos si la serie numrica 3

es convergente.

lim

= lim 3 = lim 13=1=1

Serie geomtrica de primer trmino 13 y razn 1

3

Luego lim

1

3

=1 = lim 1311311

3

= 2

lim

1 13 =

2(1 0) =

2

As 3

converge y su suma es 2

Por Teorema M-de- Weierstrass, la serie de funciones 3

converge

absoluta y uniformemente ( C.A.U.) en el intervalo ], [

Ahora veamos a que funcin converge absolutamente la serie de funciones = 3 lim

= lim

3=1 = lim 13=1 = 2 lim1 13 = 2 Anotamos

3

2

EJERCICIOS:

1) Pruebe que ()

=1 converge uniformemente en IR.

2) Pruebe que 4+2

=1 converge uniformemente en IR.

3) Pruebe que 2+

=1 converge uniformemente en [0,1].

4) Pruebe que 2+

=1 converge uniformemente en [0,1].

5) Pruebe que

1+2=1 converge uniformemente en [0,1].

6) Analice la convergencia uniforme de 5

5=1 para ]2,2[

II. Series de potencias. Determine el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias.

1) (2)(+1)2=0 R: 12 , 12 2) (1)+1(3)(2)!=1 R: [1,3] 3) (1)+1(+3)

2=0 R: ]5,1]

4) (1)(31)26

=0 R: 53 , 73

En los siguientes ejercicios usted debe analizar la

convergencia en los extremos.

5) ( ) ( )

=

1 2

2521n

nn

nxn R: 5 1

2, 5 + 1

2

6) ( ) ( )( )

=

+

1 2

1

13211

2n

nn

nnx

n

R: ]1,3[

7) ( )( )

=

1

2

!2!

n

nxn

n R: ]4,4[ 8)

( )( )

=

+

1 11

121

n

n n

xx

n R: ]0, +[ 9) ( ) ( )

( )

=

+

1 132251

n

nn

nx

n R: 4

5, 0

10) ( ) ( )

=

1

224

n

nn

nx

R: 3

4, 54

11) ( ) ( )

= +

1 2

2

)1(2/31

n

nn

nx

R: 1

2, 52

12) ( ) 20

2( 1)

n

n

xn

= +

R: 1

2, 12

13) ( ) ( )21

1 3 16

n n

nn

xn

=

R:

5

3, 73

14) Determine para que valores de la siguiente serie diverge y

para que valores converge: 12

+ 242

+ 383

+ R: Diverge para 1

2, 12 y converge para

, 12

1

2, +

En los siguientes ejercicios se le solicita encontrar una serie de

potencias que represente la funcin dada:

15) Hallar una serie de potencia centrada en cero para la funcin

definida por : () = 3121

, || < 1 Desarrollo:

3121

= 31(+1)(1) = 2+1 + 11 (ffpp) Sabemos que (1) = 1

1+, || < 1=0

Luego 2+1

= 2 11+

= 2 (1) =0 Por otra parte , sabemos que

1= =0 , || < 1

As 11

= 11

= =0 Finalmente

3121

= 2 (1) =0 = 1 3 + 2 33 + 4 + =0 16) Encuentre una serie de potencias centrada en 2 para la funcin

definida por () = 321

y determine el radio de convergencia.

Desarrollo: 32 1 = 32 12 = 32 1( 2) + 2 12 = 32 1( 2) + 32 = 32 132( 2) 23 + 1 = 11 23 ( 2) = 1 23 ( 2)

=0

= (1) 23 ( 2)=0

Como lim (1)+123+1(2)+1(1)23(2) = 2|2|3 < 1

| 2| < 32 , el radio de convergencia es = 3

2

17) Dada la funcin definida por () = 14

, determine su desarrollo en

una serie de Taylor centrada en 1 y determine su radio de convergencia.

Desarrollo:

() = 14

= 13+(1) = 1311

3(1) = 13 13 ( 1) = (1)3+1=1=0

La serie converge si se cumple que 13

( 1) < 1 De donde | 1| < 3, siendo su radio de convergencia 3. III. Serie de Mc. Laurin y de Taylor.

1) Sea () = . Encuentre todos los valores de para los cuales la serie de Mc. Laurin de es convergente. R: IR

2) Analice la convergencia de la serie de Mc. Laurin que aproxima a

() = (1 + ) . R: La serie de Mc. Laurin que aproxima a () = (1 + ) , en un en torno de cero, converge absolutamente en ]1,1] 3) Dada la funcin definida por () = (), determine su serie de

Mc.Laurin. 4) Obtenga el desarrollo de la funcin () = () en potencias de

y luego determine el campo de convergencia de la serie. R: IR 5) Analice la convergencia de la serie que aproxime a la funcin

definida por () = 2 , en un entorno de 2. R: IR 6) Analice la convergencia de la serie de Taylor de la funcin definida

por () = () , en un entorno de 3. R: La serie converge en ]0,6] 7) Encuentre el polinomio de Taylor de grado 4, centrado en cero, de

la funcin definida por () = 5, 8) Sea () = + 1 . Encuentre el polinomio de Taylor de quinto grado para , expandido alrededor de 0 = 0