sucesiones y series de funciones 11 6d:66 · 2012-04-04 · 11 sucesiones y series de funciones...

11SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

11.1 Convergencia puntual de sucesiones de funciones

En el capítulo 10 hemos considerado sucesiones cuyos términos eran númerosreales o complejos. Ahora queremos considerar sucesiones {fn} cuyos términossean funciones reales o complejas que tengan un dominio común en la recta realo en el plano complejo. Para cada x del dominio, podemos construir otra suce-sión {fn(x)} de números cuyos términos son los correspondientes valores de lasfunciones. Designemos con S el conjunto de puntos x para los que esta sucesiónconverge. La función f definida en S por la igualdad

f(x) = lim fn(x) si x E S,

se llama la función límite de la sucesión {fn}, y decimos que la sucesión {fn}converge puntualmente hacia f en el conjunto S.

El estudio de tales sucesiones está en principio relacionado con el tipo depregunta siguiente: Si cada término de una sucesión {fn} tiene una cierta propie-dad, como, por ejemplo, la continuidad, la derivabilidad o la integrabilidad, ¿enqué condiciones se conserva esa propiedad en la función límite? Por ejemplo, sicada función fn es continua en un punto x, ¿lo es también la función límite f?El ejemplo que sigue demuestra que, en general, no lo es.

EJEMPLO 1. Sucesión de funciones continuas con función límite discontinua.Sea fn(x) = x" si O ~ x ~ 1. En la figura 11.1 se han representado algunos tér-minos. La sucesión {fn} converge puntualmente en el intervalo cerrado [O, 1], ysu función límite f viene dada por la fórmula

f(x) = lim x" = {O"~OO 1

si O ~ x < 1,

si x = 1 .

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518 Sucesiones y series de funciones

Obsérvese que la función límite f es discontinua en 1, si bien cada término de lasucesión es continua en todo el intervalo [O, 1].

EJEMPLO 2. Sucesión para la que lim f: In(x) dx =1=fb lim In(x) dx. Sean-+CfJ a'n ....•oo

fn(x) = nx(l - x2)n para O ~ x ~ 1. En este ejemplo, la sucesión {fn} convergepuntualmente hacia una función límite t que es cero en todo punto del intervalocerrado [O, 1]. En la figura 11.2 se han representado los primeros términos dela sucesión. La integral de In en el intervalo [O, 1] viene dada por

i1 il n (1 - x2)n+l\1 nf (x) dx = n x(l- x2tdx = - ----- = ---.o n o 2 n + 1 o 2(n + 1)

Por consiguiente tenemos lim Hfn(x) dx = 1, pero g lim fn(x) dx = O. Dichon_oo n_ro

de otro modo, el límite de las integrales no es igual a la integral del límite. Este

(1, 1)

xx

FIGURA 11.1 Sucesión de funciones continuascon [uncián límite discontinua.

FIGURA 11.2 Sucesión de funciones parala que i,~ O en lo, 1] peroHin -+ 1 cuando n ~ oo.

ejemplo prueba que las dos operaciones de «paso al límite» e «integración» nosiempre son intercambiables. (Ver también los ejercicios 17 y 18 de la sección11. 7)

George G. Stokes (1819-1903), Phillip L. v. Seidel (1821-1896), y KarlWeierstrass fueron los primeros en comprobar que se necesitaba alguna condición

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Convergencia uniforme de sucesiones de funciones 519

adicional para justificar el intercambio de esas operaciones. En 1848, Stokes ySeidel (independientemente y casi al mismo tiempo) introdujeron un conceptoahora llamado convergencia uniforme y demostraron que para una sucesión unifor-memente convergente las operaciones de paso al límite e integración pueden inter-cambiarse. Más tarde Weierstrass demostró que el concepto es de gran importan-cia en Análisis superior. En la Sección próxima introducimos el concepto y demos-tramos su relación con la continuidad y la integración.

11.2 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones

Sea {fn} una sucesión que converge puntualmente en un conjunto S hacia unafunción límite f. Según la definición de límite, eso significa que para cada x de Sy para cada € > O existe un entero N, que depende de x y de e, tal queIfn(x) - ¡(x)1 < € con tal que n ~ N. Si el mismo N sirve para todos los puntos xde S, entonces la convergencia se llama uniforme en S. Esto es, tenemos la si-guiente

DEFINICIÓN. Una sucesión de funciones {fn} se llama uniformemente con-vergente hacia f en un conjunto S si para todo E > O existe un N (dependiente tansólo de E) tal que n ¿ N implica

Ifn(x) - f(x)1 < E para todo x de S.

Expresamos simbólicamente eso escribiendo

i; ~ f uniformemente en S.

FIGURA 11.3 Significado geométrico de la convergencia uniforme. Si n 2: N, toda la gráficade cada Í» está situada a distancia menor que E de la gráfica de la función limite f.

Cuando las funciones fn son de valores reales, existe una interpretación geo-métrica sencilla de la convergencia uniforme. La desigualdad fn(x) - f(x) < E esequivalente al par de desigualdades

f(x) - € <fn(x) <f(x) + €.

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Si éstas son ciertas para todo n ';?N y todo x de S, entonces toda la gráfica de i«correspondiente a S está en una banda de altura 2lO simétricamente situada res-pecto de la gráfica de i. como se indica en la figura 11.3.

11.3 Convergencia uniforme y continuidad

Demostramos a continuación que la convergencia uniforme transmite la con-tinuidad de los términos de la sucesión {fn} a la función límite f.

TEOREMA 11.1. Si i« ~ f uniformemente en un intervalo S y cada funciónfn es continua en cada punto p de S, la función límite f también es continua en p.

Demosiracián. Probaremos que para todo E > O existe un entorno N(p)tal que If(x) - f(p) I < E siempre que x E N(p) n S. Si E > O está dado, existeun entero N tal que n ~ N implica

Ifn(x) - f(x)1 < ~ para todo x de S.3

Puesto que fN es continua en p, existe un entorno N(p) tal que

I~v(x) - fN(P) I < ~ para todo x de N(p) n S .

Por lo tanto, para todo x de N(p) n S, tenemos

If(x) - f(p) I = If(x) - f,,(x) + f,,(x) - f,,(p) + fv(p) - f(p) I ::;;

::;;If(x) - fv(x) I + Ifv(x) - fN(P) I + Ifv(p) - f(p) I .

Puesto que cada término del segundo miembro es < lO/3, encontramosIf(x) - f(p) I < E, lo cual completa la demostración.

El teorema anterior tiene una aplicación importante a las series de funciones.Si los valores de las funciones fn(x) son sumas parciales de otras funciones, porejemplo,

n

fn(x) = L uk(x) ,k~l

y si l« ~ f puntualmente en S, tenemos entonces<JO

f(x) = lim fn(x) =L ulx)n-OC) .k=l

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Convergencia uniforme e integración 521

para cada x de S. En este caso, se dice que la serie IlIk converge puntualmentehacia la función suma f. Si i: ~ f uniformemente en S, decimos que la serie I l/k

converge uniformemente hacia f. Si cada término u, es una función continua en unpunto p de S, cada suma parcial fn también es continua en p con lo que, en virtuddel teorema 11.1, obtenemos el siguiente corolario.

TEOREMA 11.2. Si una serie de funciones I IIk converge uniiormémentehacia la función suma f en un conjunto S, y si cada término u, es continuo en unpunto p de S, la suma] también es continua en p.

Nota: También podemos expresar simbólicamente este resultado escribiendo

oc celim I IIk(X) = I lim 1I¡,.(x).X--'>-jJ k=l k=l X-"'J)

Expresamos esto diciendo que para una serie uniformemente convergente podemos inter-cambiar el símbolo de paso al límite con el de sumación, o que podemos pasar allímite término a término.

11.4 Convergencia uniforme e integración

El siguiente teorema demuestra que la convergencia uniforme nos permiteintercambiar el símbolo de integración con el de paso al límite.

TEOREMA 11.3. Supongamos que [« ~ f uniformemente en un intervalo[a, b], y que cada función fn es continua en [a, b]. Definamos una nueva sucesión{gn} mediante

si x E [a, b] ,

y pongamos

g(x) = r f(t) dt .

Entonces gn ~ g uniformemente en [a, b]. Simbólicamente, tenemos

lim r fn(t) dt = J"'lim fn(t) dt .n-e co a a a -s co

Demostración. La demostración es muy sencilla. Dado E > O, existe un en-tero N tal que n ~ N implica

fn(t) - f(t) < _E_

b-apara todo t de [a, b] .

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Luego, si x E [a, b] y sin ~ N, tenemos

Ig••(x) - g(x) I = I (XU ••(t) - f(t» dt I ::::;;Jb1f••(t) - f(t)1 dt < (b_€_ dt = e ,. Ja a Ja b - a

con 10 que g.. ~ g uniformemente en [á, b].

Otra vez, como corolario, tenemos un resultado análogo para las series;

TEOREMA 11.4. Supongamos que una serie de funciones L Uk converge uni-formemente hacia la función suma f en un intervalo [a, b], siendo cada Uk con-tinua en [a, b]. Si x E [a, b], definimos

y g(x) =IXf(t) dt .

Entonces g.. ~ g uniformemente en [a, b]. Dicho de otro modo, tenemos

!~~jI IX uk(t) dt =IX!~~ JIuit) dt

o

Demostración. Apliquemos el teorema 11.3 a la sucesión de sumas parciales{In} dada por

-, n

1••(t) = L uk(t) ,k=1

y observemos que S~f..(t) dt = Lk=1 S~ uk(t) dt.

Con frecuencia el teorema 11.4 se expresa diciendo que una serie uniforme-mente convergente puede integrarse término a término.

11,.5 Una condición suficiente para la convergencia uniforme

Weierstrass indicó un criterio para probar que ciertas series son uniforme-mente convergentes. El criterio es aplicable siempre que la serie dada pueda serdominada por una serie numérica de términos positivos.

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Una condición suficiente para la convergencia uniforme 523

TEOREMA 11.5. CRITERIO M DE WEIERSTRASS. Dada una serie de funcionesL Un que converge puntualmente hacia una función f en un conjunto S. Si existeuna serie numérica convergente de términos positivos LM n tal que

o 5: lun(x)i 5: M; para todo n ¿ 1 Y todo x de S,

entonces la serie L Un converge uniformemente en S.

Demostración. El criterio de comparación prueba que la serie L un(x) con-verge absolutamente para cada x de S. Para cada x de S, tenemos

Puesto que la serie L M/c converge, para cada € > O existe un entero N tal quen ¿ N implica

OC!

L M/c < s .k~n+l

Esto prueba que

para todo n ¿ N Ytodo x de S. Por lo tanto, la serie L Un converge uniformementehacia f en S.

La derivación término a término de una serie funcional cualquiera es asuntomás delicado, en cuanto a la conservación de propiedades, que la integración tér-mino a término. Por ejemplo, la serie L~l (sen nx)/n2 converge para todo valorde x ya que es dominada por L 1/n2• Además, la convergencia es uniforme entodo el eje real. No obstante, la serie obtenida derivando término a término esL (cos nxtf n, y ésta diverge cuando x = O. Este ejemplo demuestra que la deri-vación término a término puede destruir la convergencia, aun cuando la serieoriginal sea uniformemente convergente. Por consiguiente, el problema de justi-ficar el intercambio de las operaciones de derivación y sumación es, en general,más serio que en el caso de la integración. Con este ejemplo el lector puede com-probar que las manipulaciones corrientes con sumas finitas no siempre puedenefectuarse con series, incluso en el caso en que las series de que se trate seanuniformemente convergentes. A continuación no referimos a unas series de fun-ciones de tipo especial, llamadas series de potencias, que pueden manejarse enmuchas ocasiones como si fueran sumas finitas.

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11.6 Series de potencias. Círculo de convergencia

Una serie de la forma

!an(z - at = ao + a¡(z - a) + ... + an(z - a)" + ...t1.=o

se llama serie de potencias de z - a. Los números z, a, y los coeficientes a; soncomplejos. Con cada serie de potencias está asociado un círculo, llamado círculode convergencia, tal que la serie converge absolutamente para todo z interior almismo, y diverge para todo z exterior. El centro del círculo es a y su radio r se

Región dedivergencia

FIGURA 11.4 Círculo de convergencia de una serie de potencias.

llama radio de convergencia. (Ver figura 11.4.) En casos extremos, el círculopuede reducirse a H~ solo punto a, en cuyo caso r = O, O puede consistir en todoel plano complejo, en cuyo caso decimos que r = + ce, La existencia del círculode convergencia se demuestra en el teorema 11.7.

El comportamiento de la serie en los puntos frontera del círculo no puedepredecirse. Con ejemplos se ve que puede haber convergencia en ninguno, enalguno, o en todos los puntos frontera.

Para gran parte de las series de potencias que en la práctica se presentan, elradio de convergencia puede determinarse mediante el criterio del cociente o elde la raíz, como en los ejemplos que siguen.

EJEMPLO 1. Para hallar el radio de convergencia de la serie de potenciasI zn/n!, aplicamos el criterio del cociente. Si z =1= O, la razón de términos conse-

cutivos tiene como valor absoluto

Izn+l n! I [z]

(n + 1)! zn = n + 1 .

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Series de potencias. Círculo de convergencia 525

Puesto que este cociente tiende hacia O cuando n ~ 00, llegamos a la conclusiónde que la serie converge absolutamente para todo complejo z =1= O. También con-verge para z = O, con lo que el radio de convergencia es + ce,

Puesto que el término general de una serie convergente debe tender a O, el re-sultado del ejemplo anterior prueba que

znlim-=0n-oo n!

para todo z complejo. Esto es, n! «crece más rápidamente» que la potencia n-simade cualquier número complejo z fijo cuando n ~ co,

EJEMPLO 2. Para averiguar la convergencia de la serie ! n23nzn, utilizamosel criterio de la raíz. Tenemos

(n23n /zln)l/n = 3 [z] n2/n --+ 3 [z] cuando n --+ 00 ,

ya que n2/n = (n"/n)2 y n'!" ~ 1 cuando n ~ oo. Por consiguiente, la serie con-verge absolutamente si [z] < i y divergc si [z] > !. El radio de convergencia es t.Esta serie de potencias divergc en todo punto frontera debido a que, si [z] = i,el término general tiene valor absoluto n".

EJEMPLO 3. Para cada una de las series ! znfn y ! znfn2, el criterio delcociente nos dice que el radio de convergencia es 1. La primera divcrge en elpunto frontera z = 1 pero converge en todos los demás puntos frontera (verSección 10.19). La segunda serie converge en todo punto frontera puesto que esdominada por L 1/ n".

Terminamos esta Sección demostrando que toda serie de potencias posce círcu-lo de convergencia. La demostración se apoya cn el teorema siguiente.

TEOREMA 11.6. Si la serie de potencias L anzn converge en un punto z =1= O,por ejemplo para z = ZI' se tiene:

a) La serie converge absolutamente para todo Z siendo Izl < IZII.b) La serie converge uniformemente en todo disco circular de centro en O

y radio R < IZ11.

Demostración. Puesto que ! anz~ converge, su término general tiende haciaO cuando n ~ co, En particular, lanz~1 < la partir de un cierto n 2 N. Sea S uncírculo de radio R, siendo O < R < IZII. Si Z E S Y n 2 N, tenemos [z] ::::;;R y

donde t = I ~ l·

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Puesto que O < t < 1, la serie I anzn es dominada por la serie geométrica con-vergente I t". En virtud del criterio M de Weierstrass, la serie I anzn convergeuniformemente en S. Esto prueba b), El razonamiento prueba también que laserie I anzn converge absolutamente para cada z de S. Pero ya que cada z talque Iz[ < IZll está en un cierto círculo S de radio R < IZll, esto prueba tambiénla parte a).

TEOREMA 11.7. EXISTENCIA DE UN CÍRCULO DE CONVERGENCIA. Si la seriede potencias I anzn converge por lo menos para un z =1=O, por ejemplo paraZ = Zl, Y diverge por lo menos para un z, por ejemplo para Z = Z2, existe un nú-mero real positivo r tal que la serie converge absolutamente si Izl < r y diverge siIzl > r.

Demostración. Designemos con A el conjunto de todos los números positivosIz/ para los que la serie de potencias I anzn converge. El conjunto A no es vacíoya que, por hipótesis, contiene IZli. Asimismo, ningún número de A puede ser ma-yor que 1~I(debido al teorema 11.6). Luego, IZ2i es una cota superior de A. Puestoque A es un conjunto no vacío de números positivos acotado superiormente, tieneextremo superior que designamos con r. Es evidente que r> O ya que r> IZll.En virtud del teorema 11.6 ningún número de A puede superar a r. Por consi-guiente, la serie diverge si [z]> r. Pero es fácil demostrar que la serie convergeabsolutamente si Izl < r. Si Izl < r, existe un número positivo xen A tal queIzl < x < r. Según el teorema 11.6, la serie I anzn converge absolutamente. Estocompleta la demostración.

Como es natural, existe un teorema análogo para series de potencias de z - aque puede deducirse del caso que acabamos de tratar, introduciendo el cambio devariable Z = z - a. El círculo de convergencia tiene su centro en a, como se veen la figura 11.4.

11.7 Ejercicios

En los Ejercicios del 1 al 16, determinar el radio de convergencia r de las series de po-tencias que se dan. En los Ejercicios del 1 al 10, averiguar la convergencia en los puntosfrontera si r es finito.

1. i ;:.n-o

00 "

2. 2: (n :1)2'""-O o

00 (z + 3)"3. 2: (n + 1)2" .

n=o~ (-1)"22"z2"

4. e: 2n°"=1

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Eiercicios 52700

5. ¿ [1 - (_2)n]zn.n=l

00

6. ~ n!zn.L nnn=l

¿OO(l' 3 . 5 ... (2n - 1))3 n11. 2 4 z .. ·6··· (2n)

1l=1

00 ( Ir12. ¿ 1 + ~Jn z",

n=l

~ (_I)n(z + l)n7. L n2 + I

n=o00

8. ¿ an2zn, O<a<1.

00

13. ¿(sen cnjz", a> O.n=o

00

14. ¿ (senh anyz", a> O.n=o

00¿ z"15. an + s:: a> O, b > O.1l=1

a> O, b > O.

17. Si In (x) = nxe-nx2 para n = 1, 2, ... , y x real, demostrar que

lim (Ifn(x) dx ;é (I lim fn(x) dx.n_OO Jo Jo n_OC;

Este ejemplo demuestra que las operaciones de integración y de paso al límite no siem-pre pueden intercambiarse.

18. Sea In(x) =(sen nxvtn, y para cada x real fijo sea I(x) = limn~oo In (x). Demostrar que

lim f~(O) ;é ['(O) .n~OO

Este ejemplo prueba que las operaciones de derivación y de paso al límite no siemprepueden intercambiarse.

19. Demostrar que la serie I:'=l (sen nx)/n2 converge para todo real x, y designemos susuma con I(x). Demostrar que I es continua en [O, '71"], Y utilizar el teorema 11.4 parademostrar que

r f(x) dx = 2i (2n ~ 1)3 .o n=l

20. Se sabe que

si O::;; x ::;;21T •

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Utilizar esta fórmula y el teorema 11.4 para deducir las siguientes fórmulas

00 (_1)n+1 1T3

(b) L (2n - 1)3 = 32 .Il~l

11.8 Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias

En esta Sección nos limitamos a series reales de potencias, esto es a series de laforma ! an(z - a)n en las que z, a y los coeficientes a; son todos números reales.Escribiremos x en lugar de z, El círculo de convergencia limita en el eje real unintervalo (a - r, a + r) simétrico respecto al punto a; a tal intervalo 10 llamamosintervalo de convergencia de la serie real de potencias! an(x - a)n. El número rse llama radio de convergencia. (Véase figura 11.5).

DivergenciaConvergencia absoluta Divergencia

a-r a

FIGURA 11.5 Intervalo de convergencia de una serie real de potencias.

Cada serie real de potencias define una función suma cuyo valor en cada xdel intervalo de convergencia viene dado por

00

¡(x) = L anCx - a)" .n~O

Se dice que la serie representa la función f en el intervalo de convergencia,y se la denomina el desarrollo en serie de f según las potencias de a.

Existen dos problemas básicos acerca de los desarrollos en serie de potenciasque aquí nos interesan:

1) Dada la serie, hallar propiedades de la función suma f.2) Dada una función t. ver si puede ser o no representada por una serie de

potencias. Resulta que sólo algunas funciones especiales poseen desarrollo en seriede potencias. Sin embargo Olaclase de tales funciones contiene la mayor parte delos ejemplos que se presentan en la práctica, y por tanto su estudio es de granimportancia. Volvamos ahora a la discusión de la cuestión 1).

El teorema 11.6 nos dice que la serie de potencias converge absolutamentepara cada x del intervalo abierto (a - r, a + r), y que converge uniformemente

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Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias 529

en todo subintervalo cerrado [a - R, a + R], donde O < R < r. Puesto que cadatérmino de la serie de potencias es una función continua en todo el eje real, resultadel teorema 11.2 que la función suma f es continua en todo subintervalo cerrado[a - R, a + R], y por tanto en el intervalo abierto (a - r, a + R). Asimismo,el teorema 11.4 nos dice que podemos integrar la serie de potencias término a tér-mino en todo subintervalo cerrado [a - R, a + R]. Estas propiedades de las fun-ciones representadas por series de potencias quedan concretadas en el teoremasiguiente.

TEOREMA 11.8. Si una función f está representada por la serie de potencias

(11.1)OC!

f(x) = I a,,(x - a)nn=O

en un intervalo abierto (a - r, a + r), es continua en ese intervalo, y su integralen cualquier sub intervalo cerrado puede calcularse integrando la serie término atérmino. En particular, para todo x de (a - r, a + r), tenemos

Ix f(t) dt = ~ anf' X(t - a)n dt = ~ ~ (x - a)n+la L, a L,n+1

n=O n~O

El teorema 11.8 también demuestra que el radio de convergencia de la serieintegrada es por lo menos igual al de la serie original. Demostraremos ahora queambas series tienen exactamente el mismo radio de convergencia. Demostremosprimero que una serie de potencias puede derivarse término a término en el interiorde su intervalo de convergencia.

TEOREMA 11.9. Sea f la función representada por la serie (11.1) en el inter-valo de convergencia (a - r, a + r). Entonces tenemos:

a) La serie derivada II~=1nan(x - a)n-l tiene también radio de conver-gencia r.

b) La derivada t'(x) existe para cada x del intervalo de convergencia y vieneexpresada por

f'(x) = Inan(x - ar-l•

n=l

Demostración. Para simplificar, supongamos en la demostración a = O.Demostremos primero que la serie derivada converge absolutamente en el intervalo

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(-r, r). Elijamos cualquier x positivo tal que O < x < r, y sea h un número po-sitivo tal que O < x < x + h < r. Entonces las series de f(x) y de f(x + h) sonabsolutamente convergentes. Luego, podemos escribir

(11.2) ¡(x + h) - ¡(x) _ ~ (x + h)n _ xnh - L., an h

n=O

La serie del segundo miembro es absolutamente convergente ya que es una com-binación lineal de series convergentes. A continuación apliquemos el teorema delvalor medio para escribir

(x + h)n - x" = hnc~-1 ,

donde x < e: < x + h. Luego, la serie (11.2) es idéntica a 'la serie

(11.3)00

~'na cn-1~ n nn=1

que debe ser absolutamente convergente, puesto que la de la igualdad 11.2 lo es.La serie (11.3) no es.ya una serie de potencias, pero domina la serie de potencias2 na.x":', con lo que esta última serie debe ser absolutamente convergente paraese valor de x. Esto demuestra que el radio de convergencia de la serie derivada2 na,.x"-l es por lo menos igual a r. Por otra parte, el radio de convergencia dela serie derivada no puede exceder a r porque esta serie derivada domina la ori-ginal 2 anx". Esto prueba la parte a).

Para demostrar la parte b), sea g la función suma de la serie derivada;

00

g(x) = 2 nanx"-1n=1

Aplicando el teorema 11.8 a g, podemos integrar término a término en el intervalode convergencia obteniendo

Jo: 00

g(t) dt =2 a,;xn = ¡(x) - ao .o n=1

Puesto que g es continua, el primer teorema fundamental del Cálculo nos dice quef'(x) existe y es igual a g(x) para cada x del intervalo de convergencia. Esto de-muestra b).

Notat Puesto que toda serie de potencias 2 a,,(x - a)· puede obtenerse derivando suserie integrada, 2 a.(x - a)·+I/(n + 1), el teorema 11.9 nos dice que las dos seriestienen el mismo radio de convergencia.

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Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias 531

Los teoremas 11.8 y 11.9 justifican las manipulaciones formales de laSección 10.8 en donde obtuvimos varios desarrollos en serie de potencias utilizandola derivación y la integración término a término de la serie geométrica. En par-ticular, estos teoremas establecen la validez de los desarrollos

w ( 1)nxn+llog (l + x) = "'" ---"--

L n+1n=O

y Loo(_l)nx2n+1

arctan x = ,2n + 1

n~O

siempre que x esté en el intervalo abierto 1 < x < 1.Como una consecuencia más del teorema 11.9, obtenemos que la función

suma de una serie de potencias tiene derivadas de todo orden y que pueden sercalculadas por derivación reiterada término a término de la serie de potencias.Si I(x) = L an(x - a)n y derivamos esta fórmula k veces y ponemos luego x = aen el resultado, encontramos que ¡<k)(a) = kia¿ con lo cual el coeficiente k-ésimoak viene dado por la fórmula

fkl(a)a - -- para k = 1, 2, 3, ....

" k - k!

Esta fórmula también es válida para k = O si interpretamos I(O)(a) como fea). Asípues, el desarrollo de 1 en serie de potencias tiene la forma-..(11.4) f(x) = ~fk)(a) (x _ a)k.

L k!k=O

Esta propiedad puede formularse como un teorema de unicidad para los desarro-llos en serie de potencias.

TEOREMA 11.10. Si dos series de potencias L an(x - a)" y L b,,(x - a)"tienen la misma función suma 1 en un cierto entorno del punto a, entonces lasdos series son iguales término a término; en realidad, tenemos a; = b; = I(n)(a)/n!para cada n 2 O.

La igualdad (11.4) demuestra también que las sumas parciales de una seriede potencias son sencillamente los polinomios de Taylor de la función suma en elpunto a. En otras palabras, si una función f es representable por una serie depotencias en un intervalo (a - r, a + r), entonces la sucesión de polinomios deTaylor {Tnf(x; a)} engendrada en a por f converge puntualmente en ese intervalohacia la función suma l. Además, la convergencia es uniforme en todo subintervalocerrado del intervalo de convergencia.

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11.9 Serie de Taylor generada por una función

Volvamos ahora al segundo problema que surgió al comenzar la Sección pre-cedente. Esto es, dada una función t. averiguar si es o no desarrollable en seriede potencias en un cierto intervalo abierto en torno al punto a.

Sabemos por lo que se acaba de demostrar que tal función debe tener nece-sariamente derivadas de todo orden en un cierto intervalo abierto en torno alpunto a y que los coeficientes de su desarrollo en serie de potencias son los dadospor la igualdad (11.4). Supongamos, entonces, que partimos de una función fque tenga derivadas de cualquier orden en un intervalo abierto en torno al pun-to a. Diremos que una tal función es infinitamente derivable en ese intervalo, Po-demos entonces formar la serie de potencias

00 j(kl(a)(11.5) ~ -- (x - al·

L k!k~O

Esta se llama serie de Taylor generada por f en a. Formulemos ahora dos pre-guntas: ¿Converge esa serie para cualquier otro x distinto del x = a? Si es así,¿su suma es igual a f(x)? Aunque sorprenda, la contestación a esas preguntas es,en general, «no». La serie puede ser o no convergente para x =1= a y, si lo es, susuma puede o no coincidir con f(x). En el Ejercicio 24 de la Sección 11.13 se daun ejemplo de una serie que converge hacia una suma distinta de f(x).

Una condición necesaria y suficiente para poder contestar afirmativamentelas dos preguntas, puede conseguirse usando la fórmula de Taylor con resto, queda un desarrollo finito de la forma

~¡<k)(a) k E (. )(11.6) j(x) = L --¡;¡-(x - a) + n x .

k=O

La suma finita es el polinomio de Taylor de grado n generado por f en a, yEn(x) es el error cometido al aproximar f con su polinomio de Taylor. Si hacemos11 -+ 00 en (11.6), vemos que la serie de potencias (11.5) convergerá hacia f(x) siy sólo si el término de error tiende a O. En la Sección que sigue hacemos la discu-sión de una condición suficiente para que el término de error tienda a O.

11.10 Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor

En el teorema 7.6 se demostró que el término de error en la fórmula de Taylorpuede expresarse como una integral

(11.7) En(x) = 1- ("(x - t)n¡<n+ll(t) dtn! Ja .

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Desarrollos en serie de potencias de funciones exponencial y trigonométricas 533

en cualquier intervalo en torno al punto a en el que r:» sea continua. Por con-siguiente, si f es indefinidamente derivable, tenemos siempre esa representación delerror, con lo que la serie de Taylor converge hacia f(x) si y sólo si la integraltiende hacia O cuando n ~ ce,

La integral se puede poner en una forma algo más útil por medio de un cam-bio de variable. Escribamos

t = x + (a - x)u , dt = -(x - a) du ,

y observemos que u varía de 1 a O cuando t varía de a a x. Por tanto, la integral(11.7) se convierte en

(11.8)(X a)n+l11En(x) = - u'1(n+l)[x + (a - x)u] du .

n! o

Esta forma del error nos permite dar la siguiente condición suficiente para la con-vergencia de una serie de Taylor.

TEOREMA 11.11. Si f es infinitamente derivable en un intervalo abiertoI = (a - r, a + r), y si existe una constante positiva A tal que

(11.9) Ipn)(x)1 ~ An para n = 1,2,3, ... ,

y todo x de L, entonces la serie de Taylor generada por f en a converge hacia f(x)para cada x de l.

Demostración. Utilizando la desigualdad (11.9) de la fórmula integral (11.8),obtenemos la estimación

[x aln+1 11 [x aln+1 An+1 Bn+1O < lE (x)1 < - An+1 un du = - = ---

- n - n! O (n+1)! (n+l)!'

en donde B = Alx - al. Pero para todo B, B" In! tiende a O cuando n ~ 00, asíque En(x) ~ O para cada x de l.

11.11 Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigono-métricas

Las funciones seno y coseno y todas sus derivadas están acotadas por el nú-mero 1 en todo el eje real. Por consiguiente, la desigualdad (11.9) es válida con

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A = 1 si f{x) = sen x o si f{x) = cos x, y tenemos los desarrollos en serie

x3 x5 x' X2n-1sen x = x - - + - - - + ... + (_1)n-l --- + ... ,3! 5! 7! (2n - 1)!

x2 x4 x6 x2n

cos X = 1 - - + - - - + ... + (_1)n - + ... ,2! 4! 6! (2n)!

válidos para todo x real. Para la función exponencial, f{x) = e", tenemos r){x) =~ para todo x, así que en cualquier intervalo finito (-r, r) tenemos efIJ :5: ero Porconsiguiente, (11.9) se satisface para A = e", Puesto que r es cualquiera, esto de-muestra que el siguiente desarrollo en serie de potencias es válido para todo x real:

x2 xnefIJ=l+x+-+···+-+···.

2! n!

Los anteriores desarrollos en series de potencias del seno y del coseno sepueden tomar como punto de partida de un estudio completamente analíticode las funciones trigonométricas. Tomando estas series como definiciones del senoy del coseno, es posible deducir sólo de ellas todas las propiedades analíticas yalgebraicas de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, de las series se de-ducen inmediatamente las fórmulas:

sen O = O, cos O = 1, sen (-x) = - sen x, cos (- x)= cos x,

D sen x = cos x, D cos x = - sen x.

Las fórmulas de adición se pueden obtener por medio del siguiente artificio:sean u y v nuevas funciones definidas por las ecuaciones:

u{x) = sen (x + a) - sen x cos a - cos x sen a,

v{x) = cos (x + a) - cos x cos a + sen x sen a,

donde a es un número real fijo, y sea f{x) = [U{X)]2 + [v{x»)2. Entonces es fácilcomprobar que u'{x) = v{x) y v'{x) = - u{x) y por tanto f'{x) = O para todo x.De aquí resulta que f{x) es una constante, y puesto que f{O) = O, ha de serf{x) = O para todo x. Esto implica u{x) =v{x) = O para todo x, o de otra forma:

sen (x + a) = sen x cos a + cos x sen a,

cos (x + a) = cos xcos a - sen x sen a.

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Teorema de Bernstein 535

El número 7T, se puede introducir como el menor número positivo tal quesen x = O (se puede probar que existe una tal x) y después se puede probarque el seno y el coseno son periódicas con período 27T, que sen (t7T) = 1, Y quecos (!7T) = O. Los detalles, que no se expondrán aquí, se pueden encontrar enel libro Theory and Application 01 Injinite Series, por K. Knopp (Nueva York:Hafner, 1951).

• 11.12 Teorema de Bemstein

El teorema 11.11 demuestra que la serie de Taylor de una función f con-verge si la derivada n-sima f(n) no crece más rápidamente de la potencia n-simade un cierto número positivo. Otra condición suficiente para la convergencia fueformulada por el matemático ruso Sergei N. Bernstein (1880-).

TEOREMA 12.12. TEOREMA DE BERNSTEIN. Si f y todas sus derivadas son nonegativas en un intervalo cerrado [O, rJ, esto es, si

f(x) ¿ O y

para cada x en [O, rJ y cada n = 1, 2, 3, ... , entonces, si O ~ x < r, la seriede Taylor

converge hacia f(x).

Demostración. El resultado es trivial para x = O, así que supongamos queO < x < r. Utilicemos la fórmula de Taylor con resto para escribir

(11.10)n f(k)/O)

f(x) = "" _\- xk + En(x) .L.. k!k=O

Demostraremos que el término de error satisface las desigualdades

(11.11)

Esto, a su vez, prueba que En(x) ~ O cuando n ~ 00 puesto que el cociente(x/r)n+l ~ O cuando O < x < r.

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Para demostrar (11.11), utilizamos la forma integral del error que- se da en(11.8) con a = O:

xn+

1 i1E~(x) = -- unj(n+ll(x - xu) du .

n' o

Esta fórmula es válida para cada x del intervalo cerrado [O, r]. Si x =F O, ponemos

E (x) 1 i1Fn(x) = _n_ = - unj(n+ll(x - xu) du .

xn+1 n! o

La función r» es monótona creciente en el intervalo [O, r] ya que su derivada esno negativa. Por consiguiente, tenemos

j(n+l)(x - xu) = pnH)[x(1 - u)] ~ pn+ll[r(1 - u)]

si O ~ u ~ 1, lo cual 'implica que Fn(x) ~ Fn(r) si O < x ~ r. Dicho de otromodo, tenemos En(x)/x"+1 ~ E,,(r)/rn+1 o

(11.12) (x)n+1

E:n(x) ~ r En(r) .

Poniendo x = r en la igualdad (11.10), vemos que En(r) ~ f(r) porque cada tér-mino de la suma es no negativo. Aplicando esto en (11.12), obtenemos (11.11) locual completa la demostración.

11.13 Ejercicios

Para cada una de las series de potencias de los ejercicios 1 al 10 determinar el conjuntode todos los valores reales x para los que converge y calcular su suma. Los desarrollos enserie de potencias ya vistos pueden utilizarse cuando convenga.

OC!

1. ¿ (_l)nx2n.n=O

¿oo2nx"6. -.

nn=1

00

4. ¿(-l)nnxn.n=O

~ l:.!1:.(:~n7. L.. 2n + 1 2J .

n=O

¿oo(-l)nx3n8. ,n.n=O

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Ejercicios 537

~ xn

9. L.... (n + 3)! .n=O

~(x - 1)"10. L.... (n + 2)! .

n~O

Cada una de las funciones de los ejercicios del 11 al 21 tiene una representación enserie de potencias de x. Supuesta la existencia del desarrollo, comprobar que los coeficientestienen la forma dada, y demostrar que la serie converge para los valores de x indicados.Cuando convenga pueden utilizarse los desarrollos ya vistos.

¿OO(loga)n11. aX = --, - x",

n.n=Oa>O (todo x). [Indicación: a" = e"IOga.]

00 X2n+1

12. senh x =¿(2n + 1)! (todo x).n~O00 22n-1

13 sen'' x = "" (_1)n+1 -- x2n (todo x). [Indicación: cos 2x = 1 - 2 sen" x.]. L.... (2n)!n=1

1 ~ xn

14. 2 _ x =L.... 2n+1n~O

_ 2 ¿70(_I)nx2n15. e x = ,

n.n~O

(Ixl < 2).

(todo! x).

3 Loo 32n - 116. sen" x = - (-1)n+1 X2n+1

4 (2n + 1)!n=1

(l+X ~ x2n+117. log ~ ~ =L.... 2n + 1

n~O

(todo x).

(Ixl < 1).

18. __ x __ = ~~ [1 _ (-2)n]xn1 + x - 2x2 3 L....

11.=1

(Ixl < i)·

[Indicación: 3x/0 + x - 2x2) = 1/(1 - x) - l/O + 2x).]

12 - 5x Loo ( (_I)n)19. ----- = 1 + -- xn

6 - 5x - x2 6nn~O

(jx] < 1).

ce1 _ ~ "" 21T(n + 1) n

20. 2 1 - • ¡-¿ sen 3 xx + x +v 3 n~O

[Indicación: x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1).]

(Ixl < 1).

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x 1200

( 1 - (_1)n)')1 ----- = - n + ---- xn~ . (1 - x)(1 - x2) 2 11=1 2

22. Determinare1 coeñcíentecsdel.desarrollo en serie de potencias sen (2x + i7T) =I:'=o anxn.23. Sea I(x) = (2 + )(2)5/.2 Determinar los coeficientes ao, al ... , a4 de la serie de Taylor ge·

nerada por 1 en O.24. Sea I(x) =e-1/"" si x ". O, Y 1(0) = o.

a) Demostrar que 1 tiene derivadas de todo orden en todo el eje real.b) Demostrar que ¡<n) = O para todo n ~ 1. Este ejemplo prueba que la serie de Taylorgenerada por 1 en torno al punto O converge en todo el eje real, pero que representa ¡solamente en el origen.

(Ixl < 1).

11.14 Series de potencias y ecuaciones diferenciales

A veces las series de potencias nos permiten obtener soluciones de ecuacionesdiferenciales cuando fallan los otros métodos. En el Volumen 11 se da una discu-sión sistemática del empleo de las series de potencias en la teoría de las ecuacionesdiferenciales lineales de segundo orden. Aquí ilustramos con un ejemplo alguna delas ideas y técnicas relativas a este asunto.

Considérese la ecuación diferencial de segundo orden:

(11.13) (1 - x2)y" = -2y.

Supongamos que existe una solución, sea y = f(x), que se puede expresar pormedio de una serie de potencias en un entorno del origen, es decir:

(11.14)

En primer lugar se han de determinar los coeficientes ao, al> a2, •••

Una manera de proceder es la siguiente: Derivando (11.14) dos veces, seobtiene:

00

y" =I n(n - l)anxn-2 .n=2

Multiplicando por 1 - x2: se encuentra:

(11.15)00 00

(1 - x2)y" = I n(n - 1)anxn-2 - I n(n - l)anxnn=2 n=2

00 00

= I (n + 2)(n + l)an+2xn - I n(n - l)anxnn=O n=O

00

=I [en + 2)(n + l)an+2 - n(n - l)an]xn .n=O

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Series de potenciasy ecuacionesdiferenciales 539

Sustituyendo cada una de las series (11.14) Y (11.15) en la ecuación diferencial seobtiene una ecuación que contiene dos series de potencias, válida en un entornodel origen. En virtud del teorema de la unicidad, estas series de potencias hande ser iguales término a término, y se pueden igualar los coeficientes de xn obte-niéndose las relaciones:

(n + 2)(n + l)an+2 - n(n - l)an = -2an

o lo que es lo mismo:

n2 - n - 2 n - 2an+2 = (n + 2)(n + 1) a.; = n + 2 an .

Estas relaciones permiten determinar a2, a., a6, ••• sucesivamente, a partir de a.;: Análogamente, se pueden calcular as, a5, ar, ••• a partir de al' Para los coeficien-tes de índice par se tiene:

Los coeficientes impares son:

1- 2 -1aa = -- al = - al ,

1 + 2 33-2 1 (-1)a ---a __ o --a

5-3+22-5 3 l'

5-2 3 1 (-1) -1a ---a --'-'--a ---a7-5+25-75 3 1-7'51

y en general:

2n - 3 2n - 3 2n - 5 2n - 7a2n+1 = --- a2n-1 = --- . --- . --- .

2n + 1 2n + 1 2n - 1 2n - 33 1 (-1)

'-'-'--a7 5 3 1 •

Simplificando los factores comunes se tiene:

-1a2n+l = (2n + 1)(2n _ 1) al .

Por tanto la serie correspondiente a y se puede escribir como sigue:

00 1- a (1 - x2) - a '" ------- X

2n+1

y - o 1L, (2n + 1)(2n - 1) .n~O

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La convergencia de esta serie para Ixl < 1 se puede comprobar aplicando elcriterio del cociente. Por la forma como se ha obtenido se ve que la serie satis-face efectivamente la ecuación diferencial en (11.13), siendo ao y al constantesarbitrarias. El lector puede observar que en este ejemplo particular el polino-mio que multiplica a¿ es él mismo una solución de (11.13) y la serie que multi-plica al es otra solución.

El método que se acaba de describir, se denomina método de los coeficientesindeterminados. Otro camino para obtener estos coeficientes se basa en el uso dela fórmula:

¡<n)(o)a =--n ,n.

si y = f(x).

Algunas veces las derivadas de y en el origen se pueden calcular directamentea partir de la ecuación diferencial. Por ejemplo, poniendo x = O en (11.13) seobtiene inmediatamente:

1"(0) = -2f(0) = -2ao,

y por tanto:

1"(0)a2 = -- = -ao·2!

Para hallar las derivadas de orden superior se deriva la ecuación diferencialobteniendo

(11.16) (l - X2)ylll - 2xy" = -2y' .

Poniendo x = O, se ve que 1'''(0) = - 21'(0) = - 2al y por tanto a3 = 1"'(0)/3!= - al /3. Derivando (11.16) se llega a la ecuación:

(1 - X2)y<4) - 4xylll = o.

Haciendo x = 0, resulta f(4)(O) = 0, y por tanto a4 = O. Repitiendo nuevamenteeste proceso, se tiene:

(1 - x2)y(ó) - 6Xy<4) - 4ylll = O,

¡<S)(O) = 4/",(0) = -8al ,f(S)(O) al

a ------s - 5! - 15 .

y es claro que este método se puede repetir tantas veces como se quiera.

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La serie binómica 541

11.15 La serie binómica

Nuestros conocimientos en series de potencias podemos también aplicarlos ala determinación de sumas de ciertas series de potencias. Por ejemplo, haremosuso del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden para demostrar que el desarrollo en serie binómica

(11.17) (1 + x)" = i (:)xn

n=O

es válido en el intervalo Ixl < 1. El exponente O( es un número real cualquiera y(~) representa el coeficiente binómico definido por

(11.18) (O() = 0(0( - 1) ... (O( - n + 1) .n n!

I Cuando O( es entero no negativo, todos los coeficientes (~) son cero salvo unnúmero finito de ellos, y la serie se reduce a un polinomio de grado oc, obteniendoel teorema binomial ordinario. Para demostrar (11.17) para un O( cualquiera, apli-camos primero el criterio del cociente encontrando que la serie converge absolu-tamente en el intervalo abierto - 1 < x < 1. Seguidamente definimos una función I mediante la ecuación

(11.19) si [x] < 1 .n=O

Entonces demostramos que I es una solución de la ecuación diferencial lineal

(11.20) , IXY---y=O

x + 1

y satisface la condición inicial 1(0) = 1. El teorema 8.3 nos dice que en cualquierintervalo que no contenga el punto x = - 1 existe únicamente una solución deesa ecuación diferencial con y = 1 cuando x = O. Puesto que y = (1 + x)" esuna tal solución, resulta que I(x) = (1 + x)" si - 1 < x < 1.

Por consiguiente, para demostrar (11.17) tan sólo necesitamos probar que fsatisface la ecuación diferencial (11.20). A tal fin, necesitamos la propiedad si-guiente a los coeficientes binomiales:

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Esta propiedad, que es una consecuencia inmediata de la definición (11.18), esválida para todo real oc y todo entero n ~ O. También puede expresarse

(11.21)

La derivación de (11.19) nos da

f'(x) ='i n(~)xn-1 = i (n + 1)(n : l)xn,n=1 n=O

de la que obtenemos que

(1 + x)f'(x) = ~ {(n + 1)(n : 1) + n(~) }xn. = oc i (~)xn = ocf(x),

n=O n=O

debido a (11.21). Esto demuestra que f satisface la ecuación diferencial (11.20)y esto a su vez demuestra (11.17).

11.16 Ejercicios

1. La ecuación diferencial (1 - x2)y" - ixy' + 6y = O tiene una serie de potencias solu-ci6n f(x) = !:'=oa.x· con f(O) = 1 Y 1'(0) = O. Con el método de los coeficientes índe-terminados obtenemos una fórmula recurrente que relaciona a.+2 con a; Determinarexplícitamente a. para cada n' y hallar la suma de la serie.

2. Hacerlo mismo que en el ejercicio 1 para la ecuación diferencial (l-x2)y" -2xy' +12y=0y las condiciones iniciales f(O) = O, 1'(0) = 2.

En cada uno de los ejercicios del 3 al 9, se emplea una serie de potencias para definirla función f. Determinar el intervalo de convergencia en cada caso y demostrar que f satis-face la ecuación diferencial que se indica, donde y = f(x). En los ejercicios del 6 al 9,resolver la ecuación diferencial y obtener después la suma de la serie ..

ca x4n

3. f(x) =¿(4n) , ;n=O

4. f(x) =i(:~2;n=O

ca

5 f() 1 +'" 1 . 4 . 7 ... (3n - 2) 3

• X = L. ---(-3n-)-' -- x n;n=1

xyH + y' - y = O.

(Hallar a y b.)

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Ejercícios 543

y' = 2xy._ ~ ( _l)n22nx2n

8. ¡(x) - L (2n)!n=ü

~ (3x)2n+l

9. ¡(x) = x +L (2n + I)! ;n~O

y" + 4y = O.

¿cexn7. ¡(x) = ,;

n.1/=2

y' = x + y. y" = 9(y - X).

10. Las funciones Jo y J1 definidas por las series

00 X2n+1

J1(x) =¿ (_I)n n!(n + l)!22n+1n=o

se llaman funciones de Bessel de primera especie de órdenes cero y uno, respectiva-mente. Se presentan en gran número de problemas de Matemática pura y aplicada.Demostrar a) que ambas series convergen para todo x real; b) J~(x) = -J1(x);(c)Jo(x) = ¡¡(x), dondeioex) = x Jo(x) y h(x) = xJ1(x).

11. La ecuación diferencial

se llama ecuacton de Bessel. Demostrar que 10 y 11 (como están definidas en el ejer-cicio 10) son soluciones cuando n = O Y 1, respectivamente.

En cada uno de los ejercicios 12, 13 Y 14, suponer que la ecuacton diferencial dadatiene una serie de potencias solución y hallar los cuatro primeros términos no nulos.12. y' = x2 + y2, con y = 1 cuando x = O.13. y' = 1 + xy2, con y = O cuando x = O.14. y' = x + y2, con y = O cuando x = O.

En los ejercicios 15, 16 Y 17, suponer que la ecuacion diferencial dada tiene una seriede potencias solución de la forma y = L a.x", y determinar el coeficiente n-simo ano

15. y' = lXy. 16. y" = xy. 17. y" + xl' + y = O.18. Sea f(x) =L::o anxn, donde ao = 1 Y los restantes coeficientes se determinan por la

identidad

ce

e-2x = L {2an + (n + I)an+l}xn.n=o

Calcular al' a2, ag, y hallar la suma de la serie correspondiente a f(x).

19. Sea ¡(x) = I:=o anxn, en donde los coeficientes a, están determinados por la relación

ce

cos x = L an(n + 2)xn .n~o

Calcular a5, a6, y f('Ir).

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20. a) Demostrar que los seis primeros términos de la serie binómica de (1- X)-1/2 son:

1 3 5 35 63+ - x + - x2 + -x3 + - x4 + - x52 8 16 128 256

b) Si a. es el n-simo término de esta serie cuando x = 1/50, Y r; el resto n-simo, esdecir, para n ~ O es

Demostrar que 0< r, < a./49.

[Indicación: Demostrar que a.+, < a./50, y mayorar r, mediante una serie geo-métrica conveniente.]

e) Comprobar la identidad

V2 = ~(1_ ~)-1/25 50

y utilizarla para calcular las diez primeras cifras decimales de V2.[Indicación: Aplicar las partes a) y b), conservar doce cifras decimales durante los

cálculos, y redondear los errores.]

21. a) Demostrar que

.r _ l732( 176 )-1/2v3-- 1----1000 3 000 000

b) Seguir el procedimiento del ejercicio 20 y calcular las quince primeras cifras deci-

males correctas de V3.22. Integrar la serie binómica de (1 - x2)-1I2 y obtener luego el desarrollo en serie de

potencias

OC!¿l' 3 . 5 ... (2n - 1) X2n+1arcsenx = x + -------- ---

2 . 4 . 6 ... (2n) 2n + 1n=l

(Ixl < 1).

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sucesiones y series de funciones 11 6d:66 · 2012-04-04 · 11 sucesiones y series de funciones...

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