guía de estadística ii 2014

rea Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptacin y Compilacin: Econ. Llendy Gil Pgina 1

Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas Venezuela. Telfonos: 0212 232.32.31

Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas Venezuela. Telfonos: 0212 232.32.31


Prefacio

Hace ms de cien aos Herbert George Wells, escritor e historiador

ingls, dijo que algn da el razonamiento cuantitativo ser tan importante

para la gran mayora de los ciudadanos como la capacidad de leer. Sin

embargo hoy en da la utilidad del rea cuantitativa es aplicable en todos

los espacios del conocimiento, siendo una herramienta poderosa para

cualquier profesional que se inserte en el campo laboral sea privada o

pblica ya que los requerimientos en el manejo de datos numricos son

menester a la hora de soportar cualquier anlisis cualitativo o

cuantitativo, lo que permite la toma de decisiones en cualquier nivel.

Una de las herramientas que se utilizan para tomar decisiones es la

estadstica, sin embargo ,de la estadstica no solo se sirve la gente

dedicada a los negocios; en nuestra vida cotidiana siempre utilizamos

conceptos estadsticos, a veces sin darnos cuenta estamos realizando

anlisis estadsticos sin formulas y clculos, para resolver cierta

circunstancia que se nos presentan, por ejemplo cuando salimos de casa

en la maana estamos pendiente del tiempo y el recorrido que debemos

hacer para llegar a nuestras actividades cotidianas.

Como estudiantes de ciencias fiscales, la estadstica es una herramienta,

que les brinda habilidades para organizar, analizar y transformar datos,

as como para presentar informacin que le soliciten en cualquier rea,

pues es aplicable en escenarios donde se pueda justificar anlisis con

datos cualitativos o cuantitativos.


En tal sentido, es pertinente identificar el por qu se debe estudiar la estadstica? La primera razn consiste en que la informacin numrica prolifera

por todas partes

La Segunda razn es las tcnicas estadsticas se emplean para

tomar decisiones que afectan la vida diaria, es decir, que influyen en

su bienestar.

La tercera razn el conocimiento de sus mtodos facilita la

comprensin de la forma en que se toman decisiones y proporciona

un entendimiento ms claro de como le afectan

En ese mismo orden ideas, la importancia de la Teora de la Probabilidad

en el mbito de la estadstica se deriva del hecho de constituir sta uno de

los pilares tericos fundamentales sobre los que se asienta el desarrollo

y aplicacin de la Estadstica Inferencial. As, mientras que si de una o

ms variables conocemos sus caractersticas (tendencia central,

dispersin, asociacin...) en la poblacin, la Teora de la Probabilidad nos

permite establecer predicciones de las caractersticas que esas variables

adoptarn en una muestra de sujetos extrada al azar de esa poblacin, la

estadstica inferencial -basndose en el conocimiento desarrollado por la

Teora de la Probabilidad en ese camino de la poblacin a la muestra- ha

establecido las bases para trazar el camino opuesto, esto es, inferir a

partir de los datos de una muestra en una o ms variables, cmo sern las

caractersticas (tendencia central, dispersin, asociacin...) de esas

variables en la poblacin a la que esa muestra representa forma parte de


esas tcnicas que son aplicables en cualquier escenario y muy

relacionado con la toma decisiones en cualquier mbito,

Es por ello que la elaboracin de esta gua moderada de estadstica II,

esta dirigida a ser un complemento en las horas practicas que son

dictadas en dicha ctedra, no busca sustituir a ningn libro ni a las horas

tericas impartidas por los docente de la Escuela Nacional de Hacienda

Pblica ENAHP-IUT.

Este material fue elaborado, por una compilacin de ejercicios

suministrados por muchos docentes de la ENAHP, as como textos,

publicaciones diversas de profesores en el rea de estadstica y poder

facilitarles a los estudiantes y estudiantas de la ENAHP un material que

permita la practica como requisito necesario para poder dominar la teora

que es impartida en la estadstica II.

Este trabajo esta ideado tambin para ser consultado por profesores del

rea cuantitativa y para ser utilizado por los mismos como material

complementario en sus horas practicas dentro del aula. Es por ello, que

busca cumplir con los requerimientos del plan de transformacin de la

ENAHP-IUT, enmarcado en la Constitucin de la Repblica Bolivariana

de Venezuela y los lineamientos de la nueva educacin del siglo XXI.


Estudiantes y Estudiantas debes recordar lo siguiente, cuando este

aprendiendo estadstica:

1.- La estadstica te permite conocer herramientas de utilidad que

sern aplicadas en todas las reas

2.- Su aplicacin en instituciones gubernamentales y educativas, en

los negocios y en la industria, en la banca y en otros quehaceres

diarios hacen de la estadstica una herramienta indispensable.

3.- La interpretacin de la informacin permite obtener

conclusiones que enriquecen nuestro conocimiento de la realidad y

nuestra capacidad para transformarla.

4.- La Estadstica tiene una utilidad no slo en aspectos sociales si

no que tambin sirve para todo tipo de investigacin cientfica.

5.- Haz de la Estadstica tu mejor herramienta para analizar datos

6.-Utiliza diferentes fuentes de informacin para estudiar la

Estadstica y veras la sorpresa que te llevaras.


Licenciado: Prof. Eduardo Bocarruido Profesor UPEL: Jos Neptal Lugo Licenciado: Prof. Luis Tern Ingeniero: Luis Gonzlez Coordinador del rea Cuantitativa

Adaptacin y Compilacin

Eco: Prof. Llendy Gil

Diciembre -2013

A toda la comunidad Estudiantil de la Escuela

Nacional de Hacienda Pblica-IUT

Colaboradores

Dedicatoria


TABLA DE CONTENIDO

Tabla de contenido ................................................................................................................................ 7

1.- Experimento y Sucesos ................................................................................................................... 8

1.2.-Propiedades de las Operaciones con Sucesos ........................................................................... 9

Ejercicios de Experimentos y Sucesos ............................................................................................ 10

2- Tabla de Contingencias .................................................................................................................. 12

2.1- Diagrama de rbol ....................................................................................................................... 12

Ejercicios de Diagrama de rbol y Tabla de Contingencia ........................................................... 13

3- Regla de Laplace ............................................................................................................................ 16

Ejercicios de Probabilidad de un Evento Simple ........................................................................... 16

4.- Probabilidad de Eventos Independientes ................................................................................... 24

4.1- Probabilidad de Eventos Dependientes .................................................................................... 24

4.2- Probabilidad Condicional ........................................................................................................... 24

Ejercicios de Probabilidad de Eventos Independientes-Dependiente -Condicional .................. 25

5.- Probabilidad Total ......................................................................................................................... 32

5.1- Teorema de Bayes ........................................................................................................................ 32

Ejercicios de Probabilidad Total y Teorema de Bayes .................................................................. 33

6.- Distribucin de Probabilidad ....................................................................................................... 41

6.1- Distribucin de Probabilidad Binomial ..................................................................................... 41

Frmulas de la distribucin binomial ........................................................................................... 42

6.2- Distribucin de Poisson ............................................................................................................. 42

El Modelo Matemtico de Distribucin Normal ........................................................................... 43

6.3- Distribucin Normal .................................................................................................................... 43

Ejercicios Distribucin de Probabilidad, Binomial, Poisson, Normal ......................................... 44

Ejercicios de Intervalos de Confianza y Tamao Muestral ............................................................ 44

7.-Referencias Bibliogrficas............................................................................................................. 44


Determinista: aquel del que se puede predecir el resultado Experimentos Aleatorio: aquel del que no se puede predecir el resultado que se va a obtener.

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Se representa con la letra E. Llamamos Suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. Existen diferentes tipos de Sucesos

A. Suceso elemental: es aquel que est formado por un nico resultado del experimento.

B. Suceso compuesto: es aquel que est formado por ms de un resultado del experimento aleatorio.

C. Suceso seguro: es aquel que se verifica siempre. Es justamente el espacio muestral

D. Suceso Imposible: es aquel que no se verifica nunca. Se representa con

E. Suceso contrario o complementario: dos sucesos son contrarios o complementarios si la verificacin de uno implica la no verificacin del otro.

F. El contraro de A se representa con A

G. Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden verificar a la vez. AB =

Operaciones con sucesos

A. Unin de Sucesos: dados dos

sucesos A y B, el suceso unin, A B, es aquel que se verifica si lo hacen al menos uno de los dos sucesos A o B.

B. Interseccin de sucesos: dados dos sucesos A y B, el suceso interseccin, A B, es aquel que se verifica si lo hacen A y B al mismo tiempo.

C. La diferencia de A y B, A B, es el suceso formado por los sucesos elementales de A que no estn en B. Ocurre si sucede A pero no B.

1.- EXPERIMENTO Y SUCESOS

El aprendizaje es cualquier cambio que haga un sistema para adaptarse a su medio ambiente.

Herbert Simon


Definicin de probabilidad: cuando repetimos un experimento aleatorio muchas veces, la

Frecuencia relativa = nA donde nA = nmero de veces que ocurre el suceso A n n = nmero de veces que se hace el experimento De un suceso A tiende a aproximarse a un valor fijo, ese valor se define como probabilidad del suceso A (P(A)) Definicin axiomtica de probabilidad: otra forma de definir la probabilidad est

basada en unos principios tan claros y evidentes que son admitidos sin necesidad de demostracin, son los axiomas de probabilidad.

Axioma 1 = 0 P 1 A es cualquier suceso Axioma 2 = P () = 0 y P (E) = 1 Axioma 3 = Si A y B son dos sucesos son incompatibles, es decir AB = P (A B) = P(A) + P (B)

Consecuencias: 1.- P () = 1- P(A) 2.- Dos Sucesos P (AB) = P(A)+P (B)- P (AB) 3.- P (ABC)= P(A)+P (B)+P(C)-P (AB)-P (AC)-P (BC)+P (ABC)

Propiedades

Unin

Interseccin

Asociativa A(BC) = (AB)C A(BC) = (AB)C Conmutativa AB = B A AB = B A

Independiente A A = A A A = A Simplificativa A(AB) = A A(AB) = A

Absorcin AE = E A = Elemento Neutro A = A AE = A Complementacin A A = E A A =

Distributiva A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) LEYES DE MORGAN

AB = AB AB = AB

1.2.-PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS

La papelera es el primer mueble en el estudio del escritor.

Ernest Hemingway


1.- Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

1. Lanzar una moneda. 2. Lanzar un dado. 3. Lanzar una moneda y un dado simultneamente. 4. Lanzar tres monedas. 5. Sexo de los tres hijos de una familia.

2.-Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos el nmero obtenido.

a) Cul es el espacio muestral? b) Describe los sucesos

3.- Nos fijamos en la cifra en la que termina el premio gordo de la lotera.

a) Describe el espacio muestral. b) Describe los sucesos

4.- Escribimos cada una de las letras de la palabra JUEGO en un papel diferente y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.

a) Describe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. b) Describe el suceso obtener vocal. c) Si la palabra elegida fuera PROBABILIDAD, cmo responderas a los apartados a) y b)?

5.- Lanzamos una moneda dos veces y anotamos los resultados ordenadamente.

a) Completa el espacio muestral: E = {CC, C+,} b) Describe los sucesos: A = La primera fue cara, B = Ninguna fue cara

6.- Lanzamos una moneda tres veces y anotamos los resultados en el orden en que salen.

a) Describe el espacio muestral (hay 8 casos). b) Describe los sucesos siguientes: A = Obtener dos veces cara B = Obtener dos veces cruz C = No obtener ninguna cruz

7.- Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado dos veces seguidas, y llamemos A al suceso salir par en el primer lanzamiento e impar en el segundo, asimismo llamemos B al suceso salir nmero primo en los dos lanzamientos. En esta situacin:

1. Describe el espacio muestral, el suceso A y el suceso B.

8.- Indica si los siguientes experimentos son deterministas o aleatorios:

1-Tirar una goma y que caiga al suelo.

2- Al lanzar un dado, que salga 5 3- El mircoles llover

4- El viernes me sacar la lotera 5- El agua se congelar al alcanzar una temperatura bajo cero.

9.- Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

1. Lanzar tres monedas. 2. Lanzar tres dados y anotar la suma

de los puntos obtenidos. 3. Extraccin de dos bolas de una

urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

EJERCICIOS DE EXPERIMENTOS Y SUCESOS


4. El tiempo, con relacin a la lluvia, que har durante tres das

consecutivos.

10.- En una urna tenemos 10 bolas de colores numeradas: Una gris, la nmero 1, Dos verdes, la nmero 3 y la 6. Tres Azules, la nmero 2,8 y 9. Cuatro amarillas, las nmero 4, 5,7 y 10.

1.- Escribe una experiencia

aleatoria

2.- Construye el Espacio Muestral

3.- Construye Cinco Sucesos 11.-Una urna contiene 3 bolas blancas

(B), 2 rojas (R) y 1 amarilla (A). Se extrae

una bola al azar. Indica cules son los

sucesos elementales, el suceso seguro y el

suceso imposible.

12.-En el lanzamiento de un dado,

consideramos los sucesos A = {2, 3} y B =

{2, 4, 6}. Halla el suceso unin de A y B y el

suceso interseccin de A y B.

13.- Cul es el espacio muestral del

experimento "suma de los puntos

obtenidos al lanzar dos dados"?

14.-Indica cules de los siguientes

experimentos son aleatorios y en caso

afirmativo. Halla su espacio muestral:

a) Extraer una carta de una baraja

espaola y anotar el palo.

b) Pesar un litro de aceite.

c) Medir la hipotenusa de un

tringulo rectngulo conocidos los

catetos.

d) Elegir sin mirar una ficha de

domin.

e) Averiguar el resultado de un

partido de ftbol antes de que se

juegue.

f) Sacar una bola de una bolsa con

4 bolas rojas.

g) Sacar una bola de una bolsa con

1 bola roja, 1 verde, 1 azul y 1

blanca.

h) Lanzar al aire una moneda y

observar el tiempo que tarda en

llegar al suelo

Un pueblo puede tener piedras, garrotes, pistolas o caones; an as, si no tiene libros est completamente desarmado.


Tabla que se utiliza para clasificar observaciones de una muestra, de acuerdo con dos o ms

caractersticas identificables. Es una tabla de doble entrada, donde en cada casilla figurar el

nmero de casos o individuos que poseen un nivel de uno de los factores o caractersticas

analizadas y otro nivel del otro factor analizado

Es una grafica til para organizar clculos que implican varias etapas, cada segmento del

rbol constituye una etapa del problema. Las ramas del rbol se ponderan por medio de

probabilidades

2- TABLA DE CONTINGENCIAS

2.1- DIAGRAMA DE RBOL

Dime y lo olvido, ensame y lo recuerdo, involcrame y lo aprendo.

Benjamin Franklin


1.- Cul es la probabilidad de que, al lanzar tres veces una moneda, se obtenga 2 caras? 2.- Se lanza un dado honesto no cargado. Si se obtiene un nmero par, entonces se lanza una moneda honesta. Si se obtiene un nmero impar, entonces se lanza una moneda con probabilidad de cara igual a 1/3. Cul es la probabilidad total de obtener sello? 3.- Se sabe que en determinado periodo invernal el 30% de la poblacin escolar contrae gripe. Una campaa de vacunaciones alcanza una cobertura del 70% de esta poblacin. Si de los vacunados, solo el 10% contrae gripe Cul es la probabilidad de que un escolar contraiga gripe? 4.-La probabilidad de que Andrea se levante a tiempo es 4/5 y la probabilidad de que alcance a tomar desayuno es 5/6. Mientras que si no se levanta a tiempo, la probabilidad de que alcance a tomar desayuno es 3/8. Aproximadamente, la probabilidad de que en un da al azar, Andrea tome desayuno es. 5.-La probabilidad de que dos jvenes se encuentren en la feria es del 70% y que despus vayan al cine junto es del 80%. Cuando no se encuentran, se llaman por telfono y en ese caso, la probabilidad de que vayan a los cines juntos es da, es del 60%. Cul es la probabilidad de que en un sbado cualquiera, No vayan juntos al cine? 6.- Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, cul es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? 7.-Tenemos dos urnas A y B. En la urna A hay 4 bolas azules, 3 rojas y 3 verdes y en la urna B hay 5 bolas azules, 2 rojas y 3 verdes. Lanzamos una moneda. Si sale cara acudimos a la urna A y si sale cruz a la B. Calcula la probabilidad de obtener: a) cara y bola roja b) bola roja c) bola azul d) bola verde e) cruz y bola azul f) una bola no azul

EJERCICIOS DE DIAGRAMA DE RBOL Y TABLA DE CONTINGENCIA

"La educacin es lo que queda una vez que olvidamos todo lo que aprendi en la escuela"

Albert Einstein


8.- De una baraja de 52 cartas extraigo una al azar y es el dos de corazones. Averigua cul es la probabilidad de que la prxima carta extrada sea el tres de corazones: a) si no devuelvo la primera al montn b) si la devuelvo antes de sacar la segunda 9.- Tenemos dos urnas, en la primera hay 5 bolas rojas, 4 blancas y 3 verdes. En la segunda hay 5 bolas rojas, 5 blancas y 7 verdes. Extraemos una bola de cada urna. a) cul es la probabilidad de que sean del mismo color? b) y de que sean de distinto color? 10.-Un producto est formado de dos partes A y B. El proceso de fabricacin es tal que la probabilidad de un defecto en la parte A es 006 y la probabilidad de un defecto en B es 007. Cul es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso?

11.- Las probabilidades de que cada uno de los tres aviones A, B y C cumpla con el horario previsto son, respectivamente 07,08 y 09. El comportamiento de cada avin no depende de los otros. Calcula las probabilidades de que cumplan el horario: a) Los tres aviones. b) Al menos uno de ellos. c) Al menos dos de ellos 12.- Una compaa de seguros hace una investigacin sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automvil y "otros", se obtiene la siguiente relacin de datos:

El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.

a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.

b. Calcula qu porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cul a la de automviles y cul a "otros". Aade estos datos a la tabla.

c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. Cul ser, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?

13.- Halla la probabilidad de sacar tres cartas de copas, al extraer tres cartas de una baraja espaola. a) Devolviendo la carta al mazo b) Sin devolverla al mazo.


14.- En una clase hay 18 chicos y 22 chicas. Seleccionados al azar dos alumnos, construye un diagrama de rbol y halla. a) La probabilidad de que sean dos chicos. b) La probabilidad de que sean dos chicas. c) La probabilidad de que sean un chico y una chica 15.-Un jugador de baloncesto lanza dos tiros libres. Sabiendo que suele encestar el 70 % de los tiros que lanza y que falla el 30 %, construye un diagrama de rbol y calcula. a) La probabilidad de que enceste los dos tiros. b) La probabilidad de que solo enceste uno. c) La probabilidad de que no enceste ninguno 16.-Lanzamos a la vez un dado y una moneda. Construye un diagrama de rbol y calcula. a) La probabilidad de que salgan un 6 y cara. b) La probabilidad de que no salgan un 6 y cruz. c) La probabilidad de que no salgan un 6 y cara 17.-En el ejemplo anterior, la probabilidad de encestar en el segundo lanzamiento es distinta segn se haya encestado o no en el primer lanzamiento. Si ha encestado el primero, la probabilidad del segundo lanzamiento es del 90 %; pero si ha fallado el primero, la probabilidad del segundo lanzamiento es del 60 %. Halla las probabilidades de que gane A, de que gane B o de que se produzca un empate

18.-En un club de tenis hay 200 socios, de los que 80 son mujeres. De ellas, 10 son menores de edad, mientras que de los hombres, hay 70 menores de edad. Calcula la probabilidad de que, elegido un socio al azar: a) Sea hombre. b) Sea mujer y mayor de edad. c) Sea hombre y menor de edad. d) Sea mayor de edad (hombre o mujer). e) Sea menor de edad (hombre o mujer) 19.-En una pandilla formada por 12 chicas y 8 chicos, se forman dos grupos, uno para ir al cine y otro para ir al ftbol. Para ir al ftbol se apuntan 2 chicos y 9 chicas. Elegido uno de los 20 amigos al azar: Construya una Tabla de Contingencia a) Cul es la probabilidad de que sea chica? b) Cul es la probabilidad de que sea chica y vaya al ftbol? c) Y la probabilidad de que sea chico y vaya al cine?

"No todo lo que cuenta puede ser cuantificado, y no todo lo que puede ser cuantificado cuenta"

Albert Einstein


Para poder aplicar esta regla, los diferentes sucesos elementales del experimento aleatorio

tienen que ser equiprobables, es decir, que todos tengan la misma probabilidad. La

probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el nmero de casos favorables al

suceso A y el nmero de casos posibles. Tambin conocida como la Probabilidad Simple

P (A) = N de casos favorables al suceso A N de casos posibles

1. En una sala de clases hay 20

mujeres y 12 hombres. Si se

escoge uno de ellos al azar. Cul

es la probabilidad de que la

persona escogida se hombre?

2. En una comida hay 28 hombres y

32 mujeres. Han comido carne 16

hombres y 20 mujeres comiendo

pescado el resto. Si se elige una de

las personas al azar. Cul es la

probabilidad de que la persona

escogida sea hombre?

3. En un curso de 30 Alumnos 18 son

mujeres. Cul es la probabilidad

de que al escoger una persona esta

no sea mujer?

4. Cul es la probabilidad de ganar

en una rifa de 1000 nmeros en

total, si se compran los 3

centsimos de tal cantidad?

5. La Probabilidad de que al sacar

una carta al azar de un naipe

ingles (52cartas), ella sea un as.

6. En un jardn infantil hay 8

morenos y 12 morenas as como 7

rubios. Si se elige un integrante al

azar, la probabilidad de que sea

rubio o rubia

7. Al lazar al aire tres veces una

moneda, la probabilidad de que

en el primer lanzamiento se

obtenga sello

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD DE UN EVENTO SIMPLE

3- REGLA DE LAPLACE


8. Se lanz un dado honesto no

cargado-dos veces, obtenindose

4 en ambas oportunidades Cul

es la probabilidad de que en un

tercer lanzamiento se obtenga

nuevamente 4?

9. Una persona tira tres veces una

moneda y las tres veces obtiene

cara. Cul es la probabilidad de

que la cuarta vez obtenga sello?

10. Se lanza al aire consecutivamente

dos monedas, Cual es la

probabilidad de que la segunda sea

cara?

11. Se lanza al aire uno tras otro tres

dados de seis caras numeradas del

1 al 6

12. Cul es a probabilidad de que al

lanzar un dado se obtenga un

nmero menor que 5?

13. Carolina lanza un dado no

cargado. Cul es la probabilidad

de que ella obtenga un nmero

menor que 3?

14. Se lanza una vez un dado comn,

Cul es la probabilidad de obtener

un numero par, menor que 5?

15. Se lanza un dado y se obtiene 2.

cul es la probabilidad de que en

un segundo lanzamiento se

obtenga un nmero que, sumando

con 2 sea inferior a 6?

16. Se lanza un dado y se obtiene 3.

Cul es la probabilidad de que en

un segundo lanzamiento se

obtenga un nmero que sumando

con 3 se obtenga un nmero

inferior a 5?

17. De 25 televisores que se fabrican,

1 sale defectuoso. Cul es la

probabilidad de escoger uno

defectuoso en 100 televisores?

18. Se hace girar la flecha de la rueda

una vez, si la probabilidad de

seleccionar alguna lnea divisora

es despreciable, Cul es la

probabilidad de obtener un

nmero mayor que 4?

19. Se extrae una carta al azar de una

baraja de naipe espaol Cul es

la probabilidad del suceso Sacar

una carta que no sea oro?

20. Una tmbola tiene 5 bolas

numeradas del 1 al 5. Al sacar una

de las bolas, la probabilidad de

que el numero grabado en ella sea

divisor de 5.

21. Cul es la probabilidad de que al

hacer rodar un dado, salga un

nmero primo?


22. Hacer rodar un dado de seis caras;

entonces la probabilidad del

suceso Obtener 2 sabiendo que

ha salido un nmero par.

23. Cuntos elementos tiene el

espacio muestral que se obtiene al

lanzar 2 dados?

24. Si se lanzan 3 dados no cargados.

Cul es la probabilidad de obtener

5 en los tres lanzamientos?

25. Se hacen rodar 2 veces un dado

comn y se considera la suma de

los puntos obtenidos en ambos

lanzamientos. La primera vez sale

un nmero par. Cul es la

probabilidad que la suma sea

mayor que 7?

26. Si se lanza dos dados, Cul es la

probabilidad de que los nmeros

presenten una diferencia de 2

unidades?

27. La probabilidad de que al hacer

rodar dos dados de seis caras,

numeradas del 1 al 6, el valor

absoluto de la diferencia entre los

nmeros obtenidos sea mayor

que 1.

28. Si lanzamos dos dados honestos

no cargados, Cul es la

probabilidad de que la diferencia

de los puntos sea igual a cero?

29. Un animador de concursos lanza

un par de dados y registra la suma

de sus caras en una pantalla. Si el

concursante obtiene una suma

mayor, gana, de lo contrario,

pierde. Si en cierta ocasin, el

animador obtuvo una suma de 5.

cul es la probabilidad de que el

concursante pierda?

30. En una caja hay 6 bolitas: 3 rojas,

2 azules y 1 verde. cul es la

probabilidad de que al sacar una

de estas bolitas, ella no sea verde o

azul?

31. Una caja contiene 7 bolas blancas,

9 negras y 15 rojas. Otra contiene

12 blancas, 8 negras y 14 rojas. Se

toma una bola al azar de cada

caja. Qu probabilidad hay de que

sean rojas?

32. Cul es la probabilidad de ganar

el terminal comprando 5

nmeros? Cul es la probabilidad

de ganar el triple comprando 10

nmeros? Cul es la probabilidad

de ganar el Kino comprando 100

cartones? Sobre la base de los

resultados anteriores, en cul

juego hay mayor probabilidad de

ganar?


33. Con los nmeros 5, 6, 7 y 8 se

desean escribir todos los posibles

nmeros de 4 dgitos (sin

repeticin), cuntos nmeros se

obtienen?, cules son? y cmo

se determina la cantidad total

(permutacin, variacin o

combinacin)?

34. Cul es la probabilidad de

torpedear un barco, si slo se

pueden lanzar tres torpedos y la

probabilidad de impacto de cada

uno se estima en un 30 %?

35. Se lanza un dado 10 veces. Cul

es la probabilidad de que salga

algn 2 en los 10 lanzamientos?

36. Si de 800 piezas fabricadas por

una mquina salieron 25

defectuosas y se eligen 5 de

aqullas al azar. Cul es la

probabilidad de que haya alguna

defectuosa entre las cinco

elegidas?

37. . Hallar la probabilidad de sacar

una suma de 8 puntos al lanzar un

dado.

38. Hallar la probabilidad de sacar por

suma o bien 4, o bien 11 al lanzar

dos dados.

39. Se escriben a azar las cinco

vocales. Cul es la probabilidad

de que la e aparezca la primera y

la o la ltima.

40. Cul es la probabilidad de sacar

dos bolas negras de una urna que

contiene 15 bolas blancas y 12

negras, sin reintegrar la bola

extrada?

41. Una urna contiene 12 bolas

blancas y 8 negras. Si se sacan dos

bolas al azar. Cul es la

probabilidad de que sean del

mismo color?


blancas y 8 negras. Cul es la

probabilidad de sacar dos bolas

negras reintegrando la bola

extrada?

43. De una baraja espaola de 40

cartas Cul es la probabilidad de

sacar un caballo seguido de un

tres, reintegrando la primera

carta? Y sin reintegrarla?

44. Si la probabilidad de que ocurra

un suceso es 1/3. Cul es la

probabilidad de que se realice

efectuando 4 pruebas.


45. Se sacan dos cartas de una baraja

de 40 Cul es la probabilidad de

que sean un caballo y un tres,

reintegrando? Y sin reintegrar?


blancas, 5 negras y 2 rojas. Se

extraen tres bolas al azar y se

desea saber:

a) La probabilidad de que las tres

bolas sean blancas.

b) La probabilidad de que dos sean

blancas y una negra.

47. Se extraen 3 cartas de una baraja

de 40:

a) Cul es la probabilidad de que

sean tres sotas.

b) Y de que sean un as, un dos y

un tres?

c) Y de que salga un rey, seguido

de un cinco y ste de un siete?

48. Una urna contiene dos bolas

blancas y tres negras. Otra

contiene seis blancas y cuatro

negras. si extraemos una bola de

cada urna. Cul es la probabilidad

de que sean las dos negras?

49. Al lanzar dos veces un dado Cul

es la probabilidad de que la suma

de puntos sea divisible por tres?

50. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se

escriben todos los nmeros

posibles de tres cifras, sin repetir

cifras en cada nmero. si se seala

un nmero al azar:


sea mltiplo de 4?

b) Y de que sea mltiplo de 3?

51. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4

azules y 6 verdes. Se extraen 3

bolas al azar y se desea saber:

a) La probabilidad de que las tres

sean rojas.

b) La probabilidad de que dos sean

rojas y una verde.

c) La probabilidad de que dos sean

azules y la otra de otro color.

d) La probabilidad de que todas

sean de distinto color.

e) La probabilidad de que todas

sean del mismo color.

52. Se lanza un dado 6 veces. Cul es

la probabilidad de que salga algn

1 en los 6 lanzamientos?

53. Una caja contiene 2 bolas blancas,

3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3

blancas, 5 negras y 4 rojas. Se

toma una bola al azar de cada


caja. Qu probabilidad hay de que

sean del mismo color?

54. En una urna hay 50 bolas,

aparentemente iguales,

numeradas del 1 al 50. Qu

probabilidad hay de sacar, una a

una, las 50 bolas en el orden

natural?

55. La probabilidad de acertar en un

blanco de un disparo se estima en

0,2. La probabilidad de acertar en

dos disparos ser p1=0,04;

p2=0,36; p3=0,12. Determinar qu

respuesta en la correcta.

56. Cul es la probabilidad de

torpedear un barco, si slo se

pueden lanzar tres torpedos y la

probabilidad de impacto de cada

uno se estima en un 30 %?

57. Se considera el experimento

aleatorio lanzar dos veces un

dado. Cul es la probabilidad de

obtener nmero par en el segundo

lanzamiento condicionado a

obtener impar en el primero? Son

dependientes o independientes

estos sucesos? Por qu?

58. A un congreso asisten 80

congresistas. De ellos 70 hablan

ingls y 50 franceses. Se eligen dos

congresistas al azar y se desea

saber:

a) Cul la probabilidad de que se

entiendan sin intrprete?

b) Cul es la probabilidad de que

se entiendan slo en francs?

c) Cul es la probabilidad de que

se entiendan en un solo idioma?

d) Cul es la probabilidad de que

se entiendan en los dos idiomas?

59. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10

negras y 6 blancas. Tres nios

sacan, sucesivamente, dos bolas

cada uno, sin reintegrar ninguna.

Hallar la probabilidad de que el

primero saque las dos rojas, el

segundo las dos negras y el

tercero las dos blancas.

60. Se lanza un dado n veces Cul

es la probabilidad de sacar al

menos un 6 en los n

lanzamientos?

61. Se realiza el experimento

aleatorio de lanzar sucesivamente

cuatro monedas al aire y se pide:

a) La probabilidad de obtener a lo

sumo tres cruces.

b) La probabilidad de obtener dos

caras.


62. Una pieza de artillera dispone de

7 obuses para alcanzar un

objetivo. en cada disparo la

probabilidad de alcanzarlo es 1/7.

Cul es la probabilidad de

alcanzar el objetivo en los 7

disparos?

63. La probabilidad de que un hombre

viva ms de 25 aos es de 3/5, la

de una mujer es de 2/3. Se pide:

a) La probabilidad de que ambos

vivan ms de 25 aos.

b) La probabilidad de que slo viva

ms de 25 aos el hombre.

c) La probabilidad de que slo viva

ms de 25 aos la mujer.

d) La probabilidad de que viva ms

de 25 aos, al menos, uno de los

dos.

64. Si de una baraja de 40 cartas se

eligen 4 al azar, determinar:

a) La probabilidad de elegir dos

reyes.

b) La probabilidad de que tres de

las cartas sean del mismo palo.

c) La probabilidad de que todos los

nmeros sean menores de siete.

65. Se lanzan tres monedas

sucesivamente y se consideran los

siguientes sucesos:

A=obtener cruz en el primer

lanzamiento.

B= obtener alguna cara.

C= obtener dos cruces.

Se desea saber:

a) Si A y B son incompatibles.

b) Si A y B son independientes.

c) Si A y C son incompatibles.

d) Si A y C son independientes

66. De las 100 personas que asisten a

un congreso 40 hablan francs, 40

ingls, 51 castellano, 11 francs e

ingls, 12 francs y castellano y 13

ingls y castellano. Se eligen al

azar dos asistentes y se desea

saber:


ninguno hable francs?

b) Cul es la probabilidad de que

hablen castellano?

c) Cul es la probabilidad de que

entiendan slo en castellano?

d) Cul es la probabilidad de que

slo hablen un idioma?

e) Cul es la probabilidad de que

hablen los tres idiomas?


67. Un dado est cargado de modo

que al lanzarlo, la probabilidad de

obtener un nmero es

proporcional a dicho nmero.

Hallar la probabilidad de que, al

lanzar el dado, se obtenga un

nmero par.

"El hombre que ms ha vivido no es aqul que ms aos ha cumplido, sino aquel que ms ha experimentado la vida"

Jean Jacques Rousseau


Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B

P (A/B) = P (A) P (B/A) = P (B)

Si A y B son independientes entonces P (AB) = P(A).P (B)

Dos sucesos A y B son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectado porque haya sucedido o no B

P (AB) = P(A).P (B)

Se A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso (A) condicionada al (B) y se representa por P(A/B) a la probabilidad de suceso (A) una vez ha ocurrido (B). P (AB) P (B/A) = siendo P(A)>0 de la expresin anterior se deduce lo siguiente P (B) P (AB) =P (B/A).P (A)

4.- PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

4.1- PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES

4.2- PROBABILIDAD CONDICIONAL

He sido un hombre afortunado en la vida: nada me result fcil".

Sigmund Freud


1.- Si se lanza una moneda normal tres veces. Cul es la probabilidad de obtener tres

sellos?

2.- Una moneda se lanza tres veces. Cul es la probabilidad de que las tres veces salga

cara?

3.- Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda

carta. Cul es la probabilidad de que ambas sean reyes?

4.- En el lanzamiento de un dado consideramos los sucesos:

A = {obtener un 5 } = {5},

B = {obtener nmero impar } = {1, 3, 5},

C = {obtener nmero mayor que 4 }= {5, 6}

a) Los sucesos A y B son independientes?

b) Los sucesos B y C son independientes?

5.- Un ordenador personal est contaminado por un virus y tiene cargados dos programas

antivirus que actan independientemente uno del otro. El programa A detecta la presencia

del virus con una probabilidad de 09 y el programa B detecta el virus con una probabilidad

de 08. Cul es la probabilidad de que el virus no sea detectado?

6.-En un centro de secundaria, aprueban Biologa 4 de 5 alumnos, las Matemticas las

aprueban 2 de cada 3 alumnos y 3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar

un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro. Calcula la probabilidad de que:

a) Suspenda esas tres asignaturas

b) Suspenda slo una de ellas

7.-La probabilidad de que un estudiante universitario termine la carrera en los aos

establecidos por el plan de estudios es de 3/5 y la de que su hermana finalice la suya sin

perder ningn ao es de 2/3. Halla la probabilidad de que:

a) Ambos terminen sus estudios en los aos establecidos.

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES-DEPENDIENTE -CONDICIONAL


b) Solo el varn los termine en plazo fijado.

c) Al menos uno de los dos los termine en el tiempo establecido

8.- En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules, Cul es la probabilidad de que al sacar 2

fichas, con reposicin, estas sean amarillas?

9.- Se lanza un dado dos veces. Cul es la probabilidad de que en el primer lanzamiento

resulte 3 y en el segundo lanzamiento un nmero impar?

10.-Una persona muy distrada ha extraviado el nmero telefnico de su mejor amigo,

pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo adems que el

primer digito debe ser par, distinto de 0 y que la ltima cifra es impar mayor que 4. Cul

es la probabilidad de acertar al nmero de telfono de su amigo?

11.-Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. Cual

es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas?

12.-Un test de seleccin mltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles

respuestas siendo solo una de ellas la correcta. Si un alumno responde al azar cada

pregunta. Cul es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas?

13.- Se lanza un dado dos veces. Cual es la probabilidad de que en el primer lanzamiento

resulte3 y en el segundo lanzamiento un nmero impar?

14.- Una persona muy distrada ha extraviado el nmero telefnico de su mejor amigo,

pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo adems que el

primer digito debe ser par, distinto de 0 y que la ltima cifra es impar mayor que 4, Cul

es la probabilidad de acertar al nmero de telfono de su amigo?


15.-Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis

preguntas. Si el alumno responde al azar, Cul es la probabilidad de que conteste

correctamente las cinco ltimas preguntas, si acert en la primera?

16.-Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmacin que se le har por

cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que

acierte en seis etapas.

17.-Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2 entradas, 3 platos de

fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de fondo y 3 de los postres. Cul es la

probabilidad de que me toque un men de mi agrado si la eleccin es al azar?

18.-El procesador, la placa madre y menora tienen un 5%,10% y 20% de probabilidades de

fallar antes de un ao respectivamente. Cul es la probabilidad de comprar un

computador que presentara fallas antes de un ao, en los tres componentes sealados?

19.- Se lanza dos veces una moneda. Cul es la probabilidad de no obtener dos caras?

20.- De un grupo de 40 alumnos, las notas de la asignatura de matemtica tienen la

siguiente distribucin:

Notas

Hasta 2,0

Entre 3,0 y 3,9

Entre 4,0 y 7,0

Cantidad de

alumnos

2

8

30

Al elegir un alumno del curso al azar, la probabilidad de que no tenga una nota entre 3,0 y

3,9 es:

A)1/2, B) 4/5, C) 1/5, D) 1/20, E) 3/4


21.- Si la probabilidad de que un evento sucede es 0,25. Cul es la probabilidad de que no

suceda dicho evento?

22.- Se calcula que la probabilidad de que un futbolista convierta un penal es de 0,89.

Cul es probabilidad de que no convierta el penal?

23.-En un contenedor hay 1.000 ampolletas, de las cuales 1/40 son defectuosas. Si se saca

una ampolla al azar, cul es la probabilidad de sacar una ampolleta no defectuosa?

24.-Un avin de guerra sale con 2 misiles con la misin de destruir un objetivo enemigo. La

probabilidad de que cada misil haga blanco en el objetivo es de 4/5, independiente uno

del otro. Si el avin lanza ambos misiles en el ataque Cul es la probabilidad de que no d

en el blanco?

25.- Se lanza 3 veces una moneda. Cul es la probabilidad de que salga al menos un sello?

26.- Si se lanzan dos monedas al aire. Cul es la probabilidad de que salga por lo menos

una cara?

27.- Segn un informe del tiempo, se pronostica para maana una probabilidad de lluvia

de 0,4 y de 0,7 de que haga frio. Si ambos sucesos son independientes. Cul es la

probabilidad que maana No llueva ni tampoco haga frio?

28.-Tengo que escoger una veta de un total de diez que existen en un yacimiento. Hay dos

vetas que tienen oro y con probabilidad de 1/3 de derrumbarse. Qu probabilidad tengo

de hacerme millonario?

29.- Si la probabilidad de que llueva en abril es 1/30 y la probabilidad de que caigan 100 cc.

En varios mese es 1/40. Cul es la probabilidad de no llueva en abril y que no caigan 100

cc?


30.- Si la probabilidad de trabar en Diciembre es 2/7 y de que me vaya de vacaciones una

vez terminado tal mes es 1/5. Cul es la probabilidad de no trabajar en Diciembre e irme

de vacaciones en Enero?

31.- Un estuche contiene 3 lpices rojos y 2 negros. Si se sacan uno a uno 2 lpices sin

reposicin. Cul es la probabilidad de que esos lpices sean negros?

32.- En una tmbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extrae una a una sin reposicin, dos

bolas. Cul es la probabilidad de que ambas resulten rojas?

33. Desde una tmbola en la que slo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos de

una en una y sin reposicin, entonces Cul es la probabilidad de que ambas resulten

negras?

34.- En una urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas

extradas una tras otra sin devolucin, la primera ficha se blanca y la segunda sea azul, es?

35.- Se extrae dos cartas de una baraja espaola, una despus de la otra sin devolucin.

La probabilidad que la segunda carta sea un rey, dado que la primera carta fue rey de

bastos es?

36.- Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. Cul es la

probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al tercer intento sin usar una

llave ms de una vez?

37.- De un naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitucin.

Cul es la probabilidad de que la primera sea el as de trbol y la segunda sea un 4?


38.- Se toman una a una sin reposicin, cinco cartas de una baraja de 52. Cul es la

probabilidad de que las cuatro primeras sean ases y la ultima, reina de diamante?

39.- Se sacan dos cartas, una tras otra, sin restitucin, de una baraja de 52. Cul es la

probabilidad que estas sean un as un diez?

40.- Se recoge informacin en estudiantes sobre el uso de transporte colectivo para llegar

de la casa al liceo, elaborando la siguiente tabla:

Cul es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea hombre, dado que usa

transporte colectivo?

41.- La siguiente tabla muestra el nmero de alumnos de un colegio, matriculados en cada

uno de los niveles de enseanza media:

1 Medio 2 Medio 3Medio 4 Medio

Mujeres 50 82 86 82

Varones 73 99 103 125

Cul es la probabilidad de que, al escoger al azar a un escolar de media, sea de 1 medio sabiendo que es mujer? 42.- La probabilidad de iniciar un noviazgo es 2/5 y la probabilidad de llegar a tiempo al registro civil el da de mi matrimonio es 3/4 Cul es la probabilidad de no casarme?

Transporte

colectivo

Varones Mujeres

Usa 60 20

No usa 40 80


43.- Si A y B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de B es 0.5. Entonces, Cul es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos? 44.- Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemtica, Biologa, Qumica, Fsica y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, Cul es la probabilidad de que este sea de matemtica o fsica? 45.-En la tabla adjunta, X representa el nmero de hijos por familia en un grupo de 20 familias seleccionadas al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia. Cul es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos? 46.-En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas Cul es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde? 47.- En una caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 10 al 30 ( es decir 10,11,12,.27,28,29,30). Cul es la probabilidad de que al sacar una tarjeta al azar, la suma de los dgitos sea 3 o 4?

48.- Una caja contiene 8 bolitas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar. Cul la probabilidad de que la bolita extrada sea roja o verde? 49.- Si escojo una carta de un mazo de 52 cartas, Cul es la probabilidad de escoger un corazn o un diamante? 50.- En una bola hay 5 bolas azules, 7 blancas, 3 rojas. Se mete la mano una sola vez. Cul es la probabilidad de sacar una azul o una blanca?

"Ms vale ser atrevido aunque se cometan muchos errores que ser estrecho de mente y demasiado prudente".

Vincent Van Gogh


Si A 1, A 2,..., A n son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unin es el espacio muestral

(A 1 A 2 ... A n = E)

Y B es otro suceso.

Resulta que: p (B) = p (A1) p (B/A1) + p (A2) p (B/A2 ) +... + p (An) p(B/An )

El Teorema o Regla de Bayes ofrece un mtodo para invertir el evento que condiciona a otro

evento al calcular una probabilidad condicional: si A y B son eventos y se conocen P(A | B), P

(B), P(A | Bc), entonces la regla permite calcular P (B | A). La necesidad de calcular este

ltimo valor a partir de la informacin disponible es imprescindible para entender las

consecuencias de algunas de nuestras decisiones.

Las probabilidades p (A1) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p (Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p (B/Ai) se denominan verosimilitudes.

5.1- TEOREMA DE BAYES

5.- PROBABILIDAD TOTAL

"Nuestro sacrificio es consciente; cuota para pagar la libertad que construimos"

.Ernesto Che Guevara


1.-Una compaa dedicada al transporte pblico explota tres lneas de una ciudad, de

forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero lnea, el 30% cubre la

segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera lnea. Se sabe que la probabilidad de que,

diariamente, un autobs se avere es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada lnea.

Determina la probabilidad de que, en un da, un autobs sufra una avera.

2.-Una empresa del ramo de la alimentacin elabora sus productos en cuatro factoras: F1,

F2, F3 y F4. El porcentaje de produccin total que se fabrica en cada factora es del 40%,

30%, 20% y 10%, respectivamente, y adems el porcentaje de envasado incorrecto en cada

factora es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. Cul es la

probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

3.-Una fbrica de sacos tiene 3 mquinas independientes que producen el mismo tipo de

sacos. La mquina 1 produce el 15% de los sacos con un 1% de sacos defectuosos. La

mquina 2 produce el 45% de los sacos con un 3% de sacos defectuosos. La mquina 3

produce el 40% de los sacos con un 2% de sacos defectuosos. Si se selecciona al azar un

saco. Cual es la probabilidad de que sea defectuosa?

4.-Se sabe que la probabilidad de que un autobs entre Caracas y Barquisimeto sufra un

accidente en un da nublado es 0,09 y en un da seco 0,005. Durante un periodo de 10 das

ha habido 7 das secos y 3 nublados. Cul ser la probabilidad de que se produzca un

accidente?

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

"La accin es la clave fundamental de cualquier xito."

Pablo Ruiz Picasso


5.-Una empresa compra cierta pieza que es suministrada por tres proveedores; el 45% de

las piezas es comprada al proveedor A, resultando defectuoso el 1%. El proveedor B

suministra el 30% de las piezas, y de ellas el 2% es defectuoso: El resto de las piezas

proviene del proveedor C, siendo defectuoso el 3% de las mismas. Si se selecciona una

pieza al azar y resulta defectuosa; calcular la probabilidad que la haya suministrado por el

proveedor C.

6.-De una poblacin, se sabe que el 15% tiene estudios superiores; el 40% estudios medios,

el 35% estudios de primaria y el 10% ningn tipo de estudios. Los desempleados no se

distribuyen proporcionalmente entre esas categoras, ya que los de estudios superiores el

10% estn desempleados, entre los de estudios medios est el 35%, en los de estudios de

primaria esta el 18 % y entre los que no tienen estudios el 37% est sin empleo. Si se

selecciona una persona al azar, calcular la probabilidad que tenga estudios superiores,

sabiendo que est desempleado.

7.-Se tienen dos urnas, la urna A contiene 3 bolas blancas y 2 negras, mientras que la

urna B contiene 4 bolas blancas y 2 negras. Si se selecciona una bola al azar y resulta

negra, calcular la probabilidad de que haya sido extrada de la urna A.

8.-Tres miembros del alumnado de la ENAHP han sido nominados para la presidencia del

Centro de Estudiantes. La probabilidad de que Aguilar sea electo es el 30%; la probabilidad

que sea el alumno Barrios es 50%, y la de Prez es 20%. En el caso de que Aguilar sea electo,

la probabilidad de abrir cursos de verano es el 80%, y si son electos Barrios o Prez, las

probabilidades son 10 % y 40 % respectivamente. Calcular la probabilidad de que si se abre

el curso de verano, el presidente del Centro de estudiantes sea Barrios. Y los otros?

9.- Una empresa que fabrica camisetas posee tres mquinas, A, B y C , producen el 45%,

30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en la fbrica. Los

porcentajes de produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%

respectivamente:

a. Seleccionamos una camiseta al azar; calcular la probabilidad de que salga defectuosa.


b.Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber

sido producida por la mquina B

c .Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa?

10.-Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C

con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola

ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A?

11.-En la empresa Alimentos Mr. Pollo el 20% de los empleados son ingenieros y otro

20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un cargo directivo y el 50% de los

economistas tambin, mientras que los dems trabajadores (no ingenieros y no

economistas) solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Cul es la probabilidad de que

un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

12.-La probabilidad de que haya un accidente en una fbrica que dispone de alarma es 0.1.

La probabilidad de que suene esta s se ha producido algn incidente es de 0.97 y la

probabilidad de que suene si no ha sucedido ningn incidente es 0.02. En el supuesto de

que haya funcionado la alarma, cul es la probabilidad de que no haya habido ningn

incidente?

13.- Las Probabilidades previas de los eventos A1 y A2 son P (A1)=0.40 y P(A2)=0.60.

Tambin se sabe que P (A1 A2)=0. Suponga que P (B/A1)=0.20 y que P (B/A2)=0.05.

a.- Son A1 y A2 mutuamente excluyente?., Por qu si o por qu no?

b.- Calcula P (A1B) y P (A2B)

c.-Calcula P(B)

d.- Aplica el teorema de Bayes para calcular P (A1/B) y P (A2/B)


14.-En un estado en el que se deben hacer pruebas de emisin de contaminacin a los

automviles, 25% de todos los automviles emiten cantidades excesivas de

contaminacin. Cuando se prueban, 99% de todos los automviles que no emiten

cantidades excesivas de contaminantes tampoco pasara. Cul es la probabilidad de que un

automvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de contaminantes?

15.- En una fbrica de conservas, las lneas de ensamble I, II, III representan 50%,30%, y

20% de la produccin total. Si se sella inadecuadamente 0.4% de las latas de la lnea de

ensamble I y los porcentajes correspondientes de las lneas de ensamble II y III son 0.65 y

1.2%, Cul es la probabilidad de :

a.- Una lata producida en esta fbrica de conservas este mal sellada

b.- Una lata mal sellada (descubierta en la inspeccin final de los productos de salida)

provenga de la lnea de ensamble I?

16.- La probabilidad de que un accidente de un automvil sea consecuencia de una falla de

los frenos es 0.04, la probabilidad de que se atribuya correctamente a una falla de los

frenos es 0.04, la probabilidad de que se atribuya correctamente a una falla de los frenos

es 0.82 y la probabilidad de que se atribuya incorrectamente a una falla de frenos es 0.03.

Cul es la probabilidad de que:

a.- Un accidente de un automvil se atribuye a una falla de los frenos

b.-Un accidente de automvil que se atribuye a una falla de los frenos es realidad se deba a

dicha falla mecnica

17.- El empleo de prstamos de un banco sabe que el 5% de todos los solicitantes de

prstamos representan riegos de falta de pago, el 92% de todos los solicitantes que

representan riesgos de falta de pago tambin son considerados en la misma categora por

una agencia sobre consultora de crdito y el 2% de todos los solicitantes que no son


considerados riesgosos de falta de pago si lo son por parte de la agencia, Cul es la

probabilidad de que un solicitante de prstamo que es clasificado como riesgo de falta de

pago por la agencia, en realidad lo sea?

18. La polica planea reforzar los lmites de velocidad mediante el uso de un sistema de

radar en cuatro diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno

de los sitios L1, L2, L3 y L4 operan 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que

maneja a gran velocidad cuando va a su trabajo tiene las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5, y

0.2, respectivamente, de pasar por esos lugares, cul es la probabilidad de que reciba una

multa por conducir con exceso de velocidad?

19.- Una cadena de tiendas se pintura produce y vende pinturas de ltex y

semiesmalteada. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente

compre ltex es 0.75. De los que compran pintura de ltex, 60% tambin compran rodillos.

Pero 30% de los compradores de pintura semiesmalteada compran rodillos. Un comprador

que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. Cul es la probabilidad de

que la pintura sea de ltex?

20.-El gobierno aprob una ley para hacer obligatorio que los cerca de 200,000 empleados

pblicos se sometan a una prueba para detectar si son usuarios de drogas. Se estima que

el 1% de los empleados pblicos del pas son usuarios de drogas. La prueba que se ofrece

muestra un resultado positivo en el 98% de los casos en que se le administra a una

persona que usa drogas, es decir, detecta el 98% de los usuarios de drogas. De manera

similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un resultado negativo en el 99%

de los casos. Se selecciona un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un

resultado positivo. Cul es la probabilidad de que la persona sea un usuario de drogas?

21.-Una fbrica tiene tres mquinas para producir bombillas. La mquina A produce el

35% del total de bombillas, la mquina B produce el 50% y la mquina C produce el 15% de

las bombillas. Sin embargo, las mquinas no son perfectas, la mquina A daa el 10% de las

bombillas que produce. La mquina B daa el 5% y la mquina C daa el 20%.


a. Representa estos datos en un diagrama de rbol.

b.La fbrica produce 10,000 bombillas sin defectos en un da. Cuntas de stas

corresponden a la mquina A? Cuntas daa en un da?

c. Si seleccionamos una bombilla de la mquina C, cul es la probabilidad de que est

defectuosa?

d. Luego de fabricadas, pero antes de probarlas, las bombillas se colocan juntas en un saln.

Si se selecciona una bombilla al azar, cul es la probabilidad de que est defectuosa?

e. Si se comprueba que una bombilla est defectuosa, cul es la probabilidad de que

provenga de la mquina B?

22.-Un sistema contiene dos componentes A y B, y se conectan de manera que ste

funciona si cualesquiera de los componentes funcionan, la probabilidad de que A funcione

es de 0.9 y la probabilidad de que B funcione es de 0.8. Determinar la probabilidad de que

el sistema funcione.

23.-Se sabe que el 90% de los ordenadores personales de un modelo determinado

funcionan por lo menos durante un ao antes de que necesiten ser reparados. Un gerente

compra tres de estos ordenadores. Cul es la probabilidad de que:

a) Los tres ordenadores funcionen durante un ao?

b) Funcionen dos ordenadores y uno no funcione durante un ao?

c) Ninguno funcione durante un ao?

24.- La probabilidad de que un hombre viva 10 aos ms es 0.25 y la probabilidad de que

su esposa viva 10 aos ms es 0.33. Calcular la probabilidad de que:

a) Ambos estn vivos dentro de 10 aos

b) Al menos uno est vivo a los 10 aos

c) Ninguno est vivo a los 10 aos

d) Slo la esposa viva a los 10 aos


25.-De una poblacin, se sabe que el 15% tiene estudios superiores; el 35% estudios

medios, el 40% estudios de primaria y el 10% ningn tipo de estudios. Los desempleados

no se distribuyen proporcionalmente entre esas categoras, ya que los de estudios

superiores el 10% estn desempleados, entre los de estudios medios est el 35%, en los de

estudios de primaria esta el 18% y entre los que no tienen estudios el 37% est sin empleo.

Si se selecciona una persona al azar, calcular la probabilidad.

a) De que est desempleada?

b) De que tenga estudios superiores, sabiendo que est desempleada?

26.-Una Empresa produce bombillos en tres fbricas A, B Y C. a) La fabrica A produce el 40% del total de los bombillos de los que el 2% esta

defectuoso. b) La fabrica B produce el 35 % del total de los bombillos de los que el 4% esta

defectuoso c) La fbrica C produce el 25 % del total de los bombillos de los que el 3% esta

defectuoso Si se encuentra un bombillo defectuoso en toda la produccin, hallar la probabilidad de que sea:

a) La fabrica A b) La fabrica B c) La fabrica C

27.- Refirindose al problema anterior, supngase que se escoge una fbrica al azar y en

ella uno de sus bombillos . Si el bombillo esta defectuoso. .Hallar la probabilidad de que

sea de:

a) La fabrica A

b) La fabrica B

c) La fabrica C

"La educacin tiene por objeto convertir al nio en un hombre de naturaleza armoniosa y bien

proporcionada: esta es la meta de padres y maestros."

Herbert Spencer


28.-Un analista e coyuntura econmica quiere realizar predicciones a corto plazo sobre la

evolucin de la economa, para ello utiliza como indicador adelantado el consumo de

energa elctrica. Por experiencia pasada se sabe que cuando la economa crece durante

un periodo a un ritmo superior al del periodo anterior (escenario A) La probabilidad de

que el consumo elctrico sea alto es de 0.90. Si ese crecimiento es igual al periodo anterior

(escenario B) La probabilidad anterior es de 0,50. Finalmente si el crecimiento esta por

debajo al observado en el periodo anterior ((Escenario C).Entonces aquella probabilidad se

reduce a 0,20. Adems se sabe que los pronsticos respecto al comportamiento de la

economa asignan al escenario A una probabilidad de 0,20 Y al B de 0,60 .Determinar A)

La probabilidad de que se d el escenario A y el consumo elctrico sea alto. B) La

probabilidad de que el consumo elctrico sea alto C) Si el consumo es alto Cul es la

probabilidad de los distintos escenarios?

29.-Una empresa que se dedica al embasado del caf, utiliza a tal efecto tres mquinas A,

B Y C .de ellas se sabe por controles previos de calidad, que la primera deposita menos

cantidad de la establecida en un 2% de los paquetes, la segunda en 1% y la tercera en un

3%. El 40 % del envasado lo realiza la maquina A y el 35 % la B. Si se selecciona al azar un

paquete, determinar la probabilidad A) de que proceda de B si tiene menos cantidad de

lo establecido B) de que no proceda de B si tiene la cantidad correcta

"La arcilla fundamental de nuestra obra es la juventud, en ella depositamos nuestra esperanza y la preparamos para tomar de nuestras manos la bandera"

Ernesto Che Guevara.


Lista de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada a cada uno de ellos.

Variable Aleatoria. Cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores.

Variable Aleatoria Discreta: Variable aleatoria que adopta solo valores claramente

separados Media de una Distribucin de Probabilidad:

Varianza y Desviacin Estndar:

Es una de las distribuciones de probabilidad ms tiles (control de calidad, produccin,

investigacin). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o

prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o

caracterstica especfico (llamado xito) y no ocurrencia de ste (llamado fracaso). Los

trminos o calificativos de "xito y fracaso" son solo etiqutas y su interpretacin puede no

corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.

6.1- DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

6.- DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

"El primer paso para lograr es estudiar"

Brian G.


Frmulas de la distribucin binomial

n es el nmero de pruebas. k es el nmero de xitos. p es la probabilidad de xito. q es la probabilidad de fracaso.

El nmero combinatorio

Llamada as por su autor Simon Denis Poisson, probabilista del siglo XIX, pues fue el primero en describirla. Es una generalizacin de la distribucin binomial cuando sobre un

. Se define una variable aleatoria que representa el nmero de xitos independientes que ocurren para intervalos de medida especficos (tiempos, lugares, espacios), adems con una probabilidad de ocurrencia pequea.

6.2- DISTRIBUCIN DE POISSON

!)(

x

exXP

x

"Me gustan los amigos que tienen pensamientos independientes, porque suelen hacerte ver los problemas desde todos los ngulos"

Nelson Mandela


La distribucin normal es de suma importancia en estadstica por tres razones principales:

1. Numerosas variables continuas de fenmenos aleatorios tienden a comportarse probabilsticamente mediante sta.

2. Es el lmite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas. 3. Proporciona la base de la inferencia estadstica clsica debido a su relacin con el

teorema del lmite central.

El Modelo Matemtico de Distribucin Normal

El modelo o expresin matemtica que representa una funcin de densidad de probabilidad

se denota mediante el smbolo . Para la distribucin normal, se tiene la siguiente

funcin de probabilidad.

Donde:

Es la constante matemtica aproximada por 2.71828

Es la constante matemtica aproximada por 3.14159

Parmetros

Es cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde

As,

6.3- DISTRIBUCIN NORMAL

"Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades

de la vida" Pitgoras


1.-Una moneda est fabricada de tal forma que: P (CARA)= y P (SELLO)=1/4. Se lanza tres

veces, sea X el nmero de caras que salen...Hallar la distribucin de probabilidad y la

esperanza de X

2.-Se ha detectado en una lnea de produccin que 1 de cada 10 artculos fabricados es

defectuoso; se selecciona al azar 3 artculos uno tras otro. Elaborar la distribucin de

probabilidad del experimento .Calcular el nmero esperado de artculos defectuosos en esa

muestra y su desviacin estndar

3.-Una caja contiene 10 radios, de los que 2 estn defectuosos Se escoge un radio de la

caja hasta que sale uno no defectuoso. Hallar:

a) La distribucin de probabilidad

b) El valor esperado de el numero de radios que se elegirn

c) La desviacin estndar

4.-Se lanzan un par de dados equilibrados .Sea X la variable aleatoria el menor o igual

de los dos nmeros que salen. Hallar la distribucin de probabilidad y la esperanza de

X.

5.-La distribucin de probabilidad de X, el nmero de imperfecciones por cada 10 m de una tela sinttica en rollos continuos de ancho uniforme, est dada por:

X / 0 1 2 3 4

P(x) / 0.41 0.37 0,16 0.05 0.01

Hallar:

a.-La esperanza de X

EJERCICIOS DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD, BINOMIAL, POISSON, NORMAL

"El trabajo del maestro no consiste tanto en ensear todo lo aprendible, como en generar

en el alumno amor y estima por el conocimiento." John Locke,


b.-La distribucin acumulada de X

6.-Determine si cada uno de los valores de referencia pueden servir como los valores de

una distribucin de la probabilidad de una variable aleatoria que slo tome los valores 1,

2, 3 y.4 Explique su respuesta.

a) P(1)= 0.25 P(2)=0.75 P(3)= 0.25 P(4)= 0.25

b) P(1)= 0.15 P(2)=0.27 P(3)= 0.29 P(4)= 0.29

c) P(1)= 1/19 P(2)=10/19 P(3)= 2/19 P(4)= 5/19

d) P(1)= 1/2 P(2)=1/4 P(3)= 1/8 P(4)= 1/8

7.-Del ejercicio anterior, si es una distribucin de probabilidad, calcular la E(x) y la V(x)

interprete estos resultados?

8.-Determine si cada uno de los valores de referencia pueden servir como los valores de

una distribucin de la probabilidad de una variable aleatoria que slo tome los valores 1,2

y 3. Explique su respuesta.

e) P(1)= 0.42 P(2)=0.31 P(3)= 0.37

f) P(1)= 0.08 P(2)=0.12 P(3)= 1.00

g) P(1)= 10/33 P(2)=1/3 P(3)= 12/33

h) P(1)= 1/3 P(2)=2/6 P(3)= 4/12

9.-Del ejercicio anterior, si son distribuciones de probabilidad,, calcular la E(x) y la V(x)

interprete estos resultados?

10.-Se lanzan tres monedas equilibradas, sea X la variable aleatoria el nmero de caras que salen:

a.-Construya la funcin de probabilidad

b.-Construya la funcin de distribucin

c.-Calcule la probabilidad de por lo menos una cara\

"Al estudiante que nunca se le pide que haga lo que no puede, nunca hace

lo que puede." John Stuart Mill


d.-Calcule la probabilidad de a lo sumo dos caras

e.-Calcul la probabilidad de exactamente una cara

11.-Dada la funcin de probabilidad 10

5)(

xxp

Para x = 1, 2 ,3 y 4 Se pide:

a.- Construya la distribucin de probabilidad para la variable aleatoria x

b.- Confirme que es una distribucin de probabilidad

c.- Hallar su valor medio E(X) e interprtelo

12.-Dada la funcin de probabilidad 2.0)( xp Para x = 1, 2 ,3 y 4 Se pide:

a) Construya la distribucin de probabilidad para la variable aleatoria x

b) Confirme que es una distribucin de probabilidad

c) Hallar su valor medio E(X) e interprtelo

13.-Para la siguiente funcin, )(xf (29) X, si 0


F(x) = { 0 en todo otro lugar

15.-Hallar la probabilidad de que una familia en el periodo de un ao, utilice su

aspiradora:

a.-Menos de 120 horas

b.-Entre 50 y 100 horas

c.- La esperanza de X

16.-La variable aleatoria que representa la proporcin de accidentes automovilsticos en

una Ciudad, tiene la siguiente funcin de densidad;

)(xf { 42X (1-x) ^2 si 0


19. Un psiclogo piensa que slo la mitad de los alumnos de cuarto medio, que tienen la

aptitud para ir a la universidad, realmente van a la universidad. De un grupo de 17

alumnos de cuarto medio que tienen la aptitud para ir a la universidad.

a. Encuentre la probabilidad de que 10 o ms alumnos ingresen a la universidad.

Asumiendo que el pensamiento del psiclogo es correcto e independencia entre los

eventos.

b. Encuentre el nmero esperado de la variable definida.

20. A partir de los registros histricos de una empresa, se ha estimado de que la

probabilidad de que se venda en un da ms de 10 de sus artculos es de 0,2. Indique la

probabilidad de que la venta de ms de diez de sus artculos ocurra al menos una vez en

los prximos cinco das.

21. Para estudiar la efectividad de un insecticida (sobre un particular tipo de insecto), una

gran rea fue cubierta con el insecticida. Luego de un tiempo se inspecciona el rea,

para lo cual se escogieron aleatoriamente regiones cuadradas previamente trazadas,

contndose en ellas la cantidad de insectos vivos por cuadrados. Experiencias pasadas

con el insecticida, han demostrados que la cantidad de insectos vivos por cuadrados,

despus de esparcir el insecticida es 0,5. Tambin se ha observado que la cantidad de

insectos vivos por cuadrados puede modelarse por la funcin de distribucin de

probabilidad Poisson. Cul es la probabilidad de que en un cuadrado seleccionado

aleatoriamente, contenga...

a. Exactamente un insecto vivo?

b. Ningn insecto vivo?

c. Exactamente cuatro insecto vivo?

d. Al menos cuatro insecto vivo?

"Aprender es descubrir que algo es posible."

Fritz Perls


22. Suponga que el 30% de los rboles de la V Regin estn afectados por cierto parsito.

Cul es la probabilidad de 18 que tiene que examinar un inspector en una maana, ms

del 60% de estos estn infectados?.

23 Lotes de cuarenta componentes, cada uno se considera aceptable si no contiene ms

de tres defectuosos. El procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar

cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra al menos un componente

defectuoso. Cul es la probabilidad de que el lote sea rechazado si hay tres

defectuosos en todo el lote?

24. Un sufrido automovilista sabe que el promedio de hoyos por cuadra en su ciudad es

de 7,2. Encuentre la probabilidad que en un cuarto de cuadra seleccionada al azar se

encuentre.

a. Exactamente 4 hoyos.

b. A lo ms 4 hoyos.

c. A lo menos 4 hoyos.

25. Una compaa manufacturera utiliza un esquema para la aceptacin de los artculos

producidos antes de ser embarcados. Se preparan cajas de 25 artculos para embarque

y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tiene alguno defectuoso. Si se

encuentra alguno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra

ningn artculo defectuoso la caja se embarca.

a. Cul es la probabilidad de que se realice el embarque si una caja que contiene 3

artculos defectuosos?

b. Cul es la probabilidad de que una caja que contiene un artculo defectuoso se

rechace?

"El arte de ensear es el arte de ayudar a descubrir."

Mark Van Doren


26. Basndose en experiencias previas, se ha logrado establecer que la probabilidad

aproximada, de que un animal de laboratorio responda en forma positiva cuando se le

somete a cierto estmulo es de 0,2. Se realiza el siguiente experimento: se aplica el

estimulante hasta que el animal responda positivamente, de ser as, se termina el

experimento.

a. Encuentre la probabilidad de que sean necesarios exactamente cinco ensayos para

conseguir una respuesta positiva.

b. Encuentre la cantidad esperada de ensayos necesarios.

27. Si se considera que la probabilidad de que una persona muera debido a cierta

infeccin respiratoria es 0,002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de

cinco de las prximas 2 000 personas infectadas.

28. En un estudio invernal de una tienda, se determina que un artculo se pide en

promedio cinco veces por semana (de cinco das). Cul es la probabilidad de que en

un da especfico, el artculo ...

a. sea pedido ms de cinco veces?.

b. no sea pedido?

29. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a dos canadienses, tres

japoneses, cinco italianos y dos alemanes. Si se selecciona un comit de cuatro

estudiantes aleatoriamente, encuentre la probabilidad de que ...

a. estn representadas todas las nacionalidades.

b. estn representadas todas las nacionalidades excepto de italiana.

30. Los accidentes graves en una planta industrial ocurren al azar en el tiempo. Para el

nmero de accidentes, se incorpora un plan efectivo que considere reducir el nmero

de accidentes en la planta. Un ao despus de ponerlo en marcha; slo han ocurrido

cuatro accidentes.


a. Qu probabilidad hay de 4 o menos accidentes por ao, si la frecuencia promedio

an es 10?

b. Despus de lo anterior. Puede concluirse que, luego de un ao, el nmero de

accidentes promedio ha disminuido?

31. De una cierta regin se sabe, por experiencia acumulada, que la probabilidad de que

ocurra una tormenta en un da cualquiera de Enero o Febrero es de 0,1. Suponga

independencia entre los eventos de que ocurra en uno u otro da. (Considere Enero 31

das, Febrero 28 das).

a. Cul es la probabilidad de que la primera tormenta ocurra el 3 de Febrero?.

b. Cul es la probabilidad de que no ocurran tormentas en Enero y Febrero?.

c. Cul es la probabilidad de que ocurran exactamente tres tormentas en dos meses?.

32. En una caja hay 100 artculos de los cuales 10 tienen una marca que los identifica. Se

extrae una muestra de cinco, se observa si aparecen artculos marcados y se vuelven a

la caja, despus de un tiempo se repite el proceso. Si se repite 20 veces el proceso.

a. Cul es la probabilidad que en diez muestras no aparezcan artculos marcados?.

b. Cul es la probabilidad que al menos seis muestras tengan artculos marcados?.

c. Determine el nmero esperado de muestras, para obtener una de stas con cuatro

artculos marcados.

33. Un fabricante de ciertas piezas de computadoras garantiza que una caja de sus piezas,

contiene como mximo dos piezas defectuosas. Sabiendo que cada caja contiene 20

piezas y que la experiencia ha mostrado que su proceso de manufactura produce un

15% de piezas defectuosas. Cul es la probabilidad de que la caja satisfaga la garanta?.

"El hombre nunca es demasiado viejo para aprender"

T. Middleton


34. El nmero de vehculos vendidos por da en una casa comercial es una v. a. con

distribucin Poisson, con un promedio de ventas de 48 vehculos al mes (se trabaja seis

das a la semana).

a. Cul es la probabilidad que en un da se vendan entre dos y cuatro vehculos?.

b. El dueo ha calculado que si vende dos o ms vehculos, tiene una ganancia neta de

60 U.F., si vende un vehculo, entonces su ganancia neta es de 25 U.F., y si no vende

vehculos pierde 15 U.F. Cul es la ganancia esperada neta?.

35. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es 0.8. Suponga que se hacen ensayos

hasta que han ocurrido tres xitos.

a. Cul es la probabilidad que sean necesarios seis intentos?.

b. Cul es la probabilidad que sean necesarios menos de seis intentos?.

c. Cul es el numero esperado de intentos necesarios?.

36. Cada vez que se hace un experimento, la ocurrencia de un suceso particular A es

igual a 0.2. El experimento se repite, independientemente hasta que ocurra A.

Calcule la probabilidad de que sean necesarios realizar un cuarto experimento para que

ocurra el suceso A.

37. Suponga que el 65% de una particular raza de ratas, cuando es inyectada con una dosis

de estimulante, muestra un comportamiento agresivo. Un experimentador aplica el

estimulante a cuatro ratas, una despus de otra y observa la presencia o ausencia de

"El estudio ha sido para m el remedio supremo contra las desilusiones de la vida. No he conocido ninguna afliccin que

una hora de lectura fuese incapaz de aliviar." Montesquieu


agresividad en cada uno de los casos. Determine las siguientes probabilidades (bajo el

supuesto de independencia entre las probabilidades de agresividad de las ratas).

a. D

guía de estadística ii 2014

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