guia de cálculo

Contenidos Básicos de CálculoLeonardo de la Cruz

Docente / Contenidos: Leonardo de la CruzDiseño y Diagramación: Máximo A. Méndez

Derechos Reservados 2013. Unnatec

Nombres y apellidos

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Facilitador

Cuatrimestre

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5Contenidos básicos de Cálculo Página |

La Innovaciónde la EsperanzaLos grandes movimientos de la historia se han basado en el poder del ser humano.

Son los individuos y los equipos los que inyectan innovación a las organizaciones, quienes producen los grandes cambios que revolucionan el mundo. Arquímedes

decía: “Dame un punto de apoyo y moveré el mundo”, para enseñar que la palanca es capaz de multiplicar la fuerza y levantar cualquier objeto por muy pesado que sea, siempre que se tenga un punto de apoyo apropiado. Cuando alguien combina la energía y la inteligencia en el nivel correcto, estas le pueden generar una fuerza poderosa que catapulta de manera innovadora los nuevos paradigmas de la creatividad humana.

Nuestra función como institución de educación superior es precisamente esa: facilitar a nuestros estudiantes la palanca y el punto de apoyo para la innovación de la esperanza. Necesitamos una vía poderosa para enfrentar los grandes desafíos que agobian a nuestra sociedad, traducidos en la pobreza y la coerción social. La pobreza no es creada por la gente pobre, sino por el sistema que hemos establecido, las instituciones que diseñamos y los conceptos que formulamos. Vivimos tiempos difíciles, pero cuando la crisis llega a su nivel más profundo, entonces estos agravantes deprimen la condición humana. Sin embargo, a pesar de la adversidad, podemos descubrir grandes oportunidades para mejorar el bienestar de nuestro entorno.

Para esto, en la UNNATEC adoptamos un nuevo sistema de educación presencial y a distancia que le brindará las facilidades y el entorno de aprendizaje más idóneo para el desarrollo de sus competencias personales y profesionales, y le permitirá lograr su superación e inserción en el mercado laboral. Usted podrá estudiar, sin dejar de trabajar, y generar las entradas que le ayudarán a completar sus estudios. Así, podrá elevar su nivel de ingresos con una carrera profesional o técnica. Esta institución ha diseñado para usted una metodología innovadora y práctica, con la facilidad de todos los recursos necesarios para su aprendizaje, desde el uso de esta guía instruccional, la mediación de los tutores en los encuentros presenciales, las tutorías presenciales y a distancia, hasta el uso del aula virtual, las bibliotecas digitales y las redes sociales.

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6 Contenidos básicos de Cálculo| Página

Todo ser humano ha venido a este mundo proveído de capacidades innatas, no solo para su desarrollo personal, sino también para contribuir a la generación de riquezas y bienestar del mundo donde vivimos. Usted puede develar el inmenso potencial que está oculto en su interior y mostrar la inquebrantable fe que lo caracteriza como ser humano, que no nació para sufrir la pobreza material o espiritual, sino para prosperar y triunfar en la vida. Esto es parte de nuestra misión, acompañarlo a recorrer este camino en el proceso de su formación, para que logre mejores resultados, con valor agregado, y que usted sea una inspiración personal para alcanzar la realidad que todos deseamos, “innovando la esperanza para vivir una vida digna y próspera”.

Ramona Reinoso de Reyes (Doña Cielo) / Presidenta del Consejo Directivo

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Bienvenidos al sistema de educación a distancia en su modalidad semipresencial y virtual de la UNNATEC. Usted es un estudiante del siglo XXI y debe estar preparado para afrontar los grandes desafíos de la globalización y de la sociedad

del conocimiento, y desarrollar las competencias personales y profesionales que lo acrediten como un individuo competente y eficiente.

El propósito de esta guía instruccional es guiarlo y a la vez acompañarlo en el proceso de su propio aprendizaje. Este instrumento es suficiente en sí mismo y lo llevará a usted, paso a paso, por el camino de la construcción de su propio conocimiento. Con esta guía podrá realizar sus actividades de estudio, investigaciones y prácticas de cada eje temático de la asignatura.

Nuestra propuesta metodológica para el uso de esta guía se centra en tres aspectos relevantes. Desde la perspectiva pedagógica, adoptamos el pensamiento constructivista como eje fundamental para fomentar el pensamiento crítico y creativo en la aplicación del conocimiento; desde una perspectiva comunicacional, para fomentar la dialéctica y la ética comunicativa del quehacer humano; y desde la perspectiva tecnológica, para crear los ambientes propicios de aprendizaje apoyados en las tecnologías de la información y comunicación. La articulación de la pedagogía, la comunicación y la tecnología, nos permite utilizar métodos y recursos útiles al momento de forjar las competencias requeridas en el currículo. Estas estrategias se basan en los postulados teóricos del profesor Reuven Feuerstein, quien favorece el desarrollo de los procesos mentales y las funciones cognitivas que están implícitos en las actividades educativas y en la vida social.

Esta guía está diseñada con objetivos claros que puedan ser entendidos y logrados a través de su trabajo como estudiante de una manera efectiva, que le permitirá desarrollar

El Nuevo

de laa DistanciaParadigma

Educación

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las competencias definidas sin pérdida de tiempo ni de recursos valiosos. Los recursos empleados en la guía, le permitirán fijar claramente los conceptos, manejar un nuevo vocabulario, elaborar mapas conceptuales y diarios de doble entrada, interactuar con sus compañeros para discutir temas de relevancia y conectarse a múltiples enlaces de informaciones y de personalidades en el aula virtual y en las redes sociales. Una vez realizadas todas las actividades de trabajo, tanto de la guía instruccional como del aula virtual, usted estará en capacidad de ser evaluado y valorado con una alta calidad en el conocimiento de su área de estudio.

Espero que con esta nueva manera de lograr los aprendizajes, podamos hacer juntos un ejercicio, no solamente teórico, sino moderno y pragmático que nos permita ser mejores seres humanos y mejores profesionales.

Ing. Luis Paulino Marte / Rector

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UNIDAD I: LIMITES.......................................................................................................12

1.1. Los límites...............................................................................................................13 ACTIVIDADES...............................................................................................................19 1.2. Límite de expresiones algebraicas irracionales de índice dos................................23 ACTIVIDADES...............................................................................................................25 1.3. Un límite en el que interviene una función trigonométrica...................................27 ACTIVIDADES...............................................................................................................29 1.4. Límites y razones de cambio....................................................................................31 ACTIVIDADES...............................................................................................................33 1.5. Las velocidades........................................................................................................35 ACTIVIDADES...............................................................................................................37 UNIDAD II: DERIVADAS..............................................................................................39

2.1. La derivada.............................................................................................................40 ACTIVIDADES..............................................................................................................45 2.2. Las reglas del producto y el cociente.......................................................................49 ACTIVIDADES...............................................................................................................51 2.3. Derivadas de las funciones trigonométricas.........................................................53 ACTIVIDADES...............................................................................................................55 2.4. Derivadas de orden superior...................................................................................57 ACTIVIDADES...............................................................................................................59 2.5. La regla de la cadena y general de las potencias.....................................................61 ACTIVIDADES...............................................................................................................65 UNIDAD III: APLICACIONES DE LA DERIVADA........................................67

3.1. Aplicaciones de la derivada.....................................................................................69 ACTIVIDADES...............................................................................................................77 3.2. Aplicación del teorema de Rolle..............................................................................79 ACTIVIDADES...............................................................................................................81 3.3. Aplicaciones del teorema del valor medio...............................................................83 ACTIVIDADES...............................................................................................................85 3.4. Aplicación del método de Newton...........................................................................87 ACTIVIDADES..............................................................................................................89

Indice

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UNIDAD IV:INTEGRACIÓN......................................................................................91

4.1. Integración y sus aplicaciones................................................................................92 ACTIVIDADES..............................................................................................................101 BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................103

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Orientaciones muy importantes

Antes de iniciar cada unidad del programa, recomendamos leer detalladamente las siguientes pautas:

1- Lee con atención la introducción de cada unidad, aquí se te explica el contenido de la misma.

2- Interpreta correctamente el objetivo general de la asignatura, de esta manera sabrás con certeza a dónde queremos llegar.

3- Identifica los objetivos específicos de cada eje temático en los documentos, presentaciones, actividades, etc., con el objetivo fundamental de alcanzar mejores resultados de formación académica y profesional.

4- Visualiza detenidamente el plan de estudio, el orden y la jerarquía de los ejes temáticos y su relación con el tema de la unidad a estudiar, así logras no perder la secuencia de lo que has leído.

5- Usa todos los elementos que conoces de contenidos aprendidos anteriormente en otras asignaturas y confecciona tus propios resúmenes, comentarios, glosario de términos, reseñas, etc.; analízalos y preséntaselos al resto del grupo y a tu profesor en clases.

6- Analiza con detenimiento los planteamientos de los diferentes autores que tendrás al alcance en el Aula Virtual, aplicando tu propia experiencia para interpretarlos debidamente. De esta forma estarás en mejores condiciones de comparar, comprender y actualizar esa información con la realidad más cercana a ti.

7- Reorganiza el tiempo, logrando disponer del necesario para tu formación, evitando que la premura afecte la concentración necesaria en lo que haces. Siempre trata de aprovechar el tiempo indicado para realizar las actividades.

8- Comprueba tu propio nivel de aprendizaje realizando las actividades propuestas en cada eje temático y que aparecen al final de cada una de las unidades de estudio.

9- Refresca y mantén vigente cada competencia a desarrollar, como utilidad necesaria para tu evaluación.

10- Consulta el glosario, visualiza los videos y participa en los foros de discusión del Aula Virtual.

11- Cumple con las horas establecidas para cada unidad.

12- Ante cualquier dificultad, comunícate con tu profesor por cualquiera de las vías previstas.

Adelante, tú puedes!!!

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PLAN DE ESTUDIO UNIDAD ITEMA DE LA UNIDAD I

CONTENIDO

APRENDIZAJE

HORAS DE TRABAJO

1. Objetivo General

2. Objetivos Específicos

3. Ejes Temáticos

5. Competencias

Horas presenciales --- 04Horas a distancia --- 16

LIMITES

Analizar cómo surgen los límites cuando tratamos de determinar una tangente o la velocidad de un objeto

1. Reconocer las diferentes leyes de los límites.2. Identificar cuándo un límite es indeterminado.3. Determinar límites de las expresiones algebraicas irracionales de índice dos.4. Dominar los procedimientos de cálculo para efectuar operaciones de límites.

1. Identifica las diferentes formas de las leyes de los límites.2. Domina el concepto de límites.3. Realiza procedimientos adecuado para determinar la forma simple y ex-presa de un límite.4. Resuelve con exactitud operaciones con límites.

1. Cálculo de límites.

2. Límites de expresiones algebraicas.

3. Límites de funciones trigonométricas.

4. Límites y razones de cálculo

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1.1. Los límites

1.1.1. Objetivo de la unidad temática

Reconocer las diferentes leyes de los límites.

1.1.2. Competencia a desarrollar

Identifica las diferentes formas de las leyes de los límites.

1.1.3. Operacionales mentales

Identificación, análisis, comparación, síntesis.

1.1.4. Actividades

Actividades escritas.

1.1.5 Definición de cálculo

¿Qué es el cálculo?

El cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones.

También son objetos de cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran cantidad de conceptos que han hecho capaces a los científicos, ingenieros y economistas de crear modelos para situaciones de la vida real.

Límite de una función

Investiguemos el comportamiento de la función f, definida por f(x) = x2 –x+2 en los valores de x cercanos a 2.

En la tabla siguiente aparecen esos valores, cuando x, se acerca a 2, pero sin ser igual a 2.

Y = x2-x+2 x f(x)1.0 2.0000001.5 2.7500001.8 3.4400001.9 3.7100001.95 3.5825001.99 3.9701001.995 3.9701001.999 3.997001

x f(x)3.0 8.0000002.5 5.7500002.2 4.640002.1 4.3100002.05 4.1525002.01 4.0301002.005 4.0150252.001 4.003001

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En la tabla y la gráfica correspondiente de f (una parábola) de la figura 1, vemos que cuando x se acerca a 2 (por cualquiera de los lados), f(x) se aproxima a 4, de hecho, podemos acercar los valores de f(x) a 4 tanto como queramos, haciendo que x se aproxime lo suficiente a 2. Expresamos lo anterior diciendo que “El límite de función f(x)= x2-x+2, cuando x tiende a 2 es igual a 4”. La notación correspondiente es:

limx→2 (x2-x+2)

Definición de límites

Definición. Se escribe

limx→a f(x) = L

Y se dice “El límite de f(x) es igual a L cuando x tiende a a”

Sí podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como queramos) aproximando x a a, pero sin igualar a a.

Cálculo de límites mediante las leyes de los límites.

Leyes de los límites si c es una constante y existen los límites.

limx→a f(x) y limx→a g(x)

“Entonces”

Estas cincos leyes se pueden enunciar verbalmente como sigue:

La ley de la suma

1. El límite de una suma es igual a la suma de los límites.

Ley de la resta

2. El límite de una resta es igual a la diferencia de los límites.

limx→a [f(x) + g(x) ] = limx→a F(x) + limx→a g(x)

limx→a [f(x) - g(x)] = limx→a f(x) - limx→a g(x)

limx→a [cf(x) ] = C limx→a f(x)

limx→a [f(x).g(x)] = limx→a F(x). limx→a g(x)

limx→a f(x) (limx→a f(x)g(x) (limx→a g(x);si limx→a g(x) ≠ 0=

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Ley de múltiplo constante

3. El límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función.

Ley del producto

4. El límite de un producto es igual al producto de los límites

Ley del cociente

5. El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el límite del denominador no sea 0.

También hay otras leyes que no necesitan tener un enunciado escrito porque se ven a simple vista.

Ley de la potencia

6. limx→a[f(x)]n = [limx→a f(x)]n Donde n es un número entero positivo.

Para aplicar estas seis leyes de límite necesitaremos utilizar dos límites especiales.

7. limx→a c=c

8. limx→a x=a

Otras leyes útiles

9. limx→a xn = an Donde n es un número entero positivo.

10. limx→a √x = √a Donde n es un entero positivo (si n es par, suponemos a > 0).

Ley de las raíces

11. limx→a √f(x) = √limx→a f(x) Donde n es un entero positivo (Si n es par, se supone que lim_(x→a)f(x) > 0)

Ejemplo 1

Determinamos limx→5 (2x-3x+4), justificando cada paso.

Solución.

limx→5 2x2 - limx→5 3x+limx→54 (leyes 2 y 1)

n

n n

n n

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= 2limx→5 x2-3limx→5 x+limx→5 (ley 3)

= 2(52)-3(5)+4 (leyes 9, 8 y 7)

= 39

Ejemplo 2

limx→2 x3+2x2-1, justificando cada paso

Solución: limx→2 x3+2x2-1, = (limx→2(x

3+2x2-1) Según ley 5

= lim x3+2 lim x2-lim Según ley 1, 2 y 3

= (-2)3+2(-2)2-1 Según ley 9, 8 y 7

= - 1

Ejemplo 3

Calcula lim [ √x2 - x + (x3 + x)9], justificando cada paso.

Solución

lim [√x2 - x + (x3 + x)9]

= lim √x2 - x + lim (x3 + x)9 Ley 1

= √lim(x2 - x) + [lim(x3 + x)]9 Según ley 11 y 6

= √limx2 - lim x + [limx3 + limx9] Según ley 2 y 1

= √12 - 1 + [ [13 + 1]4 Según ley 9 y 8

= 29 = 512

5-3x

5-3x lim(5-3x)x→2

5-3(-2)

11

lim 5-lim 3x→-2 x→-2

x→2

x→1

x→1

x→1

x→1

x→1 x→1 x→1 x→1

x→1

x→1

x→-2 x→-2

5

5

5

5

5

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Nota: Si hacemos que f(x) = 2x2 - 3x+4, entonces f (5) = 39. Entre palabras habríamos llegado a la respuesta correcta del ejemplo, sustituyendo x por 5. De igual forma, con la sustitución directa se determinan las respuestas correctas en los ejemplos 2 y 3.

Las funciones con estas propiedades de sustitución directa se conocen como continuas en a; sin embargo, no todos los límites son evaluables por sustitución directa.

Veamos:

Si la sustitución directa nos da un valor indeterminado de la forma ya conocida, o de la forma

El nombre de indeterminado tanto para como para

Como ya dijimos, obedece a que a ese cociente podrían atribuirse infinitos valores; es decir, dichas expresiones se cumplen para cualquier valor real.

Para eliminar la indeterminación procedemos a transformar la expresión en otra que tienda al mismo límite, siguiendo las siguientes reglas:

1) La variable tiende a cero: dividimos cada término por la menor potencia que contenga la variable.

2) Si la variable tiende a una constante diferente de cero, la factorizamos para simplificarla o se utilizarán algunas técnicas algebraicas.

Ej 1 lim x2 + x

Solución: lim x2 + x

Dividimos ahora por x que es la menor potencia que contiene la variable.

Transformando:

lim x2+x lim = lim x+1

= 0+1 = 1

Ej 2 lim x-1 1-1

∞∞

∞∞

00

00

00

00

00

x→0

x→0

x→0

x→1

x→0 x→0

3x3+3

3x3+3x

3x3+3x

x2-1 (1)2-1

0+3 3

x2 x3x3 3x 3x2 + 3

+

+x xx x

=

=

= =

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Como la variable tiende a una constante diferente de cero, factorizamos para transformar:

lim x-1 lim x-1 lim 1 1

Ej 3 lim 2x2 + x

Solución: lim 2x2 + x lim lim

= 2+0 = 2

x→1

x→∞

x→∞ x→∞ x→∞

x→1 x→1x2-1 =

= =

= =x+1 2(x+1)(x-1)

3x2 + 2

3x2 + 2

3+0 3

2x2

3x2x2 2+

3+x22 x22

x2 x

x2

+

+

x 1

22

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Eje Temático: Cálculo de límites

Nombres y apellidos: ______________________________________________________

Matrícula: _________________

Facilitador: __________________________________________________________

Fecha: ___________________

I. Determina el límite en cada caso

1) lim (x2+5x+6) =

2) lim (x2+5x+6) =

3) lim(x2+5x+6) =

4) lim x+2 =

x→-3

x→0

x→∞

x→-3

Actividades

x2+5x+6

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5) lim x+2 =

6) lim x3-1 =

7) lim 4x2+4x-3 =

8) lim 4x2+4x-3 =

9) lim x2+4x-21 =

10) lim 9x-1+9x-2 =

11) Lim 7x =

x→-2

x→1

x→∞

x→1/2

x→-7

x→0

x→0

x2+5x+6

x2-1

2x+3

2x-1

x2+7x-42

9x-3

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12) lim 71/x =

13) lim x2-49 =

14) lim (x3+2x2+6) =

15) lim (x2+x+1)5 =

x→0

x→3

x→ -3

x→-2

x2+4x-21

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