guia de estudio -...

Campus Tlalpan

Departamento de Ingeniería

GUIA DE ESTUDIO

Cálculo Diferencial e Integral

ELABORADA POR: MTRA. MAGDALENA RAMOS MARTIN

2009

I. I N D I C E

Presentación......................................................................................................3 Objetivo General...............................................................................................4 Introducción al curso………………………………………………………….5 Orientaciones para tu aprendizaje

Escala de Evaluación y Auto-Diagnóstico…………………….………7 Unidad I.Los números reales

Funciones, tipos y propiedades Los números reales y su clasificación Propiedades de los números reales Números primos Números complejos Polinomios Factorización Resolución de desigualdades Productos cartesianos Relación Estrategias de Aprendizaje

Unidad II. Limite de una función

Antecedentes del Cálculo Diferencial Concepto de Límite Calculo de límites Continuidad de Funciones Estrategias de Aprendizaje

Unidad III. La derivada Tipos de Rectas Concepto de derivada Método de los 4 pasos Teoremas de Diferenciación Aplicaciones Estrategias de Aprendizaje

Unidad IV. La Integral como área bajo la curva Concepto de diferencial......................................................................10

La integral como inversa de la derivada…........................................11 Areas por aproximación de límites de suma(Suma Reimann).......... 14 Estrategias de Aprendizaje.................................................................16

Unidad V. La integral Indefinida Antiderivadas..........................::..........................................................17

Reglas Básicas de Integración y casos especiales..............................18 Constantes................................................... ..............................18

Elaborado por: M. en F. Magdalena Ramos Martín. Pág. 2

Términos Distintos...................................... ..............................18 Potencias.....................................................................................19

Logaritmos Naturales................................. ................................20 Exponenciales.............................................. ..............................21

Cálculo de la constante de integración.................................................21 Estrategias de Aprendizaje...................................................................23

Unidad VI. La integral definida Velocidad.................................................................................................24

Integrales de funciones trigonométricas directas e inversas...................26 Métodos de Integración

Cambio de variable......................................................................29 Por partes………….....................................................................31 Fracciones Parciales…………....................................................33

La Integral definida…………………………………………………...35

Unidad VII. Cálculo de áreas y volúmenes Teorema fundamental del cálculo……………………………………...36 Cálculo de áreas bajo la curva………………………………………....37 Cálculo de áreas entre dos curvas……………………………………...38 Superficie en revolución.........................................................................39 Cálculo del volumen de un sólido……………………………………..40

Estrategias de Aprendizaje......................................................................42 Unidad VIII. Apéndice Integrales Múltiples.................................................................................43 Estrategias de Aprendizaje......................................................................44 Bibliografía

Problemario de Cálculo Integral. Gerardo Aguilar Sánchez. Thompson Editores México, 2001

Cálculo Integral, segunda edición Fuenlabrada Mc. Graw Hill. México, 2001


P R E S E N T A C I Ó N

Propósito: Una guía de estudio es un instrumento de orientación y una herramienta de apoyo que te permite identificar los puntos o elementos centrales del contenido de la asignatura. En ella podrás encontrar objetivos, temario, estrategias de aprendizaje y ejercicios de práctica o auto evaluación para presentar tu examen de forma más exitosa. Instrucciones de manejo: Se recomienda que para resolver un problema primero leas la introducción del tema antes de realizar cualquier ejercicio, ya que se muestran ejemplos que son acordes a los conceptos abordados previamente, para que te sea más fácil visualizar el procedimiento a seguir para la resolución de los problemas. Por otro lado se enfatiza en el uso de un formulario y en el manejo de los antecedentes requeridos para esta materia siendo de manera primordial el manejo de algebra y funciones, en caso de que tengas problema con dichos antecedentes, repasa los apuntes del curso anterior o bien acude a una asesoría personalizada.


O B J E T I V O G E N E R A L

Con este material se busca que el estudiante: 1) Comprenda los conceptos y métodos básicos, forme actitudes y hábitos adecuadosde estudio y trabajo, y desarrolle diversas habilidades intelectuales, particularmentelas de abstracción matemática. 2) Aplique el cálculo diferencial e integral a diversas situaciones de la vida real .


Introducción al curso

! Hoy en día iniciaremos nuestro curso sobre Cálculo Diferencial e Integral El cálculo a pesar de haber sido descubierto hace más de 2000 años, hoy en día sigue siendo una herramienta de vanguardia y de gran necesidad para resolver problemas de la vida cotidiana. El objetivo del curso es aprender los conceptos básicos del cálculo diferencial y resolver los límites utilizando algebra básica , métodos y técnicas del cálculo diferencial, buscando al mismo tiempo relacionarlos con la vida cotidiana, ya sea a través de máximos y mínimos o de cálculo de velocidades, para después utilizar las integrales en el cálculo de áreas y volúmenes.


Orientaciones para tu aprendizaje Este material pretende apoyar tu aprendizaje que es lo más importante para nosotros como docentes, de esta manera estarás utilizando un modelo educativo de vanguardia y de vivencia continua y permanente para tu vida futura. Escala de Evaluación Durante la actividad de aprendizaje te encontrarás actividades de aprendizaje como momentos de lectura para que vayas desarrollando temas antes de continuar con este material, resúmenes, ejercicios y actividades de auto-evaluación, para que nos ayudaran a ti y a mí para detectar el nivel y grado de conocimiento alcanzado sobre el tema. La evaluación se realizará de la siguiente manera :

Entrega de tareas 10% ( APRENDER A HACER) Ejercicios de evaluación y guías 40% (APRENDER A APRENDER) Examen Parcial 50% (APRENDER A HACER) Auto- Diagnóstico Para iniciar con este material es necesario contar con un diagnóstico de tus conocimientos previos, para lo cuál he desarrollado la siguiente Auto-evaluación, el objetivo de la misma es iniciar recomendándote algunas lecturas previas de repaso, para poder de esta manera alcanzar con éxito nuestra meta.


Unidad I Los números reales

O B J E T I V O

Que el alumno conozca la parte fundamental de los números reales con la que se construye el concepto de límite y continuidad.

TEMAS

1.1 Funciones, tipos y propiedades 1.2 Los números reales y su clasificación 1.3 Propiedades de los números reales 1.4 Números primos 1.5 Números complejos 1.6 Polinomios 1.7 Factorización 1.8 Resolución de desigualdades 1.9 Productos cartesianos 1.10 Relación 1.11 Estrategias de Aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD 1.1 Funciones, Tipos y Propiedades

Una función f, es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A

exactamente un elemento llamado f(x), de un conjunto B. A se conoce como dominio de una función . El símbolo f(x) se lee “f de x”. El rango

de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) conforme x varía en el todo el dominio, esto es,

{f(x)/ x ∈A} El símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se

conoce como variable independiente, y el correspondiente a un número en el rango de f como variable dependiente .

Tipos de funciones Continua Discontinua Creciente


Decreciente

1.2 Números reales y su clasificación

Recordemos los diferentes tipos de números que forman el sistema de los números reales. Empecemos con los números naturales:

1,2,3,4,5... Los enteros son los números naturales, junto con los negativos y el cero. ..., -3,-2-,-1,0,1,2,3,... Construimos los números racionales mediante razones entre números enteros. Así

cualquier número racional r se puede expresar como r = m/ n donde m y n son enteros y n≠0

Ejemplos de estos son: ½, -3/7, 46= 46/1, 0.17= 17/100 (Recuerde que la división cero no es válida en ningún caso, por lo que expresiones

como 3/0 y 0/0 no están definidas) También existen números reales como √2, que no se expresan como una razón entre

números enteros, por lo tanto se conocen como números irracionales. Algunos de estos números son: √ 3, √5, 3√2, π , 3/π2

El conjunto de todos los números reales por lo general se denota mediante el símbolo

R. Cuando utilizamos la palabra número sin adjetivo queremos decir número real. 1.3 Propiedades de los números reales: 1.Conmutativa de la suma : a+b= b+a Ejemplo: 7+3=3+7 2.Conmutativa de la multiplicación: ab=ba Ejemplo: 3•5= 5•3 3. Asociativa de la suma: (a+b)+c= a+(b+c) Ejemplo: (2+4)+7= 2+(4+7) 4. Asociativa de la multiplicación: (ab)c= a(bc) Ejemplo: (3•7) •5= 3• (7•5) 5. Distributiva a(b+c)= ab+ac ó (b+c)a= ab+ac Ejemplo: 2•(3+5)= 2•3+2•5 ó bien

(3+5) •2= 2•3+2•5 Para números negativos 6. (-1)a= -a Ejemplo: (-1)5=-5 7. -(-a)= a Ejemplo –(-5)=5 8. (-a)(b)= a(-b)=-(ab) Ejemplo: (-5)7= 5(-7)= -(5•7) 9. (-a)(-b)= ab Ejemplo: (-4)(-3)= 12 10. -(a+b)= -a-b Ejemplo: - (3+5)= -3-5 11. -(a-b)= -a+b Ejemplo: - (5-8)= -5+8


Para números racionales 12. a • c = ac 2 • 5 = 2•5 =10 b d bd 3 7 3•7 21 13. a ÷ c = a•d 2 ÷ 5 = 2•7 =14 b d b•c 3 7 3•5 15 14. a + b = a+b 2 + 5 = 2+5 =7 c c c 3 3 3 3 15. ac= a 2•5 = 2 bc b 3•5 3 16. Si a = c entonces ad=bc 2 = 6 , así 2•9= 3•6 b d 3 9 Recuerde el concepto de máximo común denominador, ya que si en dos fracciones

los números no son múltiplos entre sí, se debe obtener como común denominador el producto de los mismos . En caso contrario, se toma el valor máximo de dichos números como denominador .

17.- a + b = ad+bc 2 + 5 = 2•7+5•3 =29 c d cd 3 7 21 21 4 + 5 = 4•2+5•1 =13 3 6 6 6

1.4 Números Primos Un número primo es aquel que no tiene más factores que 1 y el número mismo: los

primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,... Hay una cantidad infinita de números primos (demostración presentada por Euclides

hace más de 2000 años), y nadie ha encontrado un patrón para localizarlos. Erátostenes (aprox. 276-196 a.c.)estableció la criba de Eratóstenes, el método consiste en hacer una lista de enteros, comenzando por dos que es el primer primo, y después tachar todos los múltiplos de 2 que no son primos. El siguiente número de los que quedan en la lista es 3, que es el segundo primo, de nuevo se tachan todos sus múltiplos, el siguiente número que queda en la lista es 5, y se repite este procedimiento indefinidamente.

Hoy en día uno de los números primos más grande descubierto en 1992 en Inglaterra, con una computadora Cray es 2756,839 -1 . En notación decimal este número esta formado por 227,832 dígitos (los que utilizarían aprox. 40 páginas) . Los números de la forma 2p-1 se llaman números Mersenne.


1.5 Números Complejos

Los números negativos no tienen raíces cuadradas reales (por ejemplo : √-16). A fin de que sea posible resolver este problema . Los matemáticos inventaron un sistema conocido como el sistema de números complejos. Primero definieron el nuevo número i= √-1. Esto significa que i2=-1.

Por lo tanto un número complejo es una expresión de la forma a+bi donde a y b son números reales e i2=-1. La parte real de este número es a y la imaginaria es b.

Dos números complejos son iguales si solo si, sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

Los siguientes son ejemplos de números complejos: 3+4i Parte real 3, parte imaginaria 4 ½ - 2/3 i Parte real ½, parte imaginaria 2/3 6i Parte real 0, parte imaginaria 6 (Número imaginario puro) -7 Parte real –7, parte imaginaria 0 Todos los números son creaciones de la mente humana. Estudiamos los números

complejos porque ellos completan, de una manera útil y elegante el estudio de las soluciones de la ecuaciones polinomiales . Su aplicación es diversa pero en electricidad la reactancia de un circuito es una cantidad cuya medida es un número imaginario.

Los números complejos se suman, restan, multiplican y dividen de la misma manera que un número dela forma a+b√c.

Las únicas diferencia que hay que tener presente es que i2=-1 y que el número complejo conjugado de otro, tiene los mismos valores pero distinto signo en la parte imaginaria. Así sea z= 3+2i tiene como conjugado z=3-2i. Operación Descripción Suma (a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i

Para sumar números complejos sume las partes reales y las imaginarias

Resta (a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i

Para restar números complejos reste las partes reales y las imaginarias

Multiplicación (a+bi) •(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i

Para multiplicar números complejos multiplique como binomios usando i2=-1

División (a+bi) = (a+bi) (c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i (c+di) (c+di) (c-di) c2+d2

Para dividir números complejos simplifique el cociente , multiplique el numerador y el denominador por el complejo conjugado del denominador


Ejemplos:

a) (3+5i)+(4-2i)= (3+4)+(5-2)i = 7+3i

b) (3+5i)-(4-2i)= (3-4)+(5- (-2))i= -1+7i

c) (3+5i)(4-2i)= [ (3•4)+(5•(-2i2)) ]+ [3• (-2)+ 5•4]i =[ (3•4)+(5•(-2(-1))) ]+ [3• (-2)+ 5•4]i

= (12+10)+ (-6+20)i = 22+14i d) (3+5i) = (3+5i) (1+2i) = ((3)(1)- (5)(2))+((5)(1)+(3)(2))i

(1-2i) (1-2i) (1+2i) 12 -(2i)2

= (3-10)+ (5+6)i = -7+11i 1-4(-1) 5 Forma Trigonométrica de los Números Complejos El número complejo z=a+bi tiene la forma trigonométrica siguiente:

z= r( Cos θ+ i Sen θ ) Donde a = r Cos θ y b = r Sen θ Además r = |z| = √a2+b2 y Tan θ= b/a . El número r es el módulo de z, y θ es un

argumento de z. Ejemplo: Escriba el número complejo 1+i en la forma trigonométrica

Primero identifique el valor de a y de b en el número complejo • Así a=1 y b =1 (coeficiente que acompaña a i) • Calcular el valor de r = √a2+b2, por lo que sustituyendo a y b tenemos que r = 2 • Como la forma del número complejo es z= r( Cos θ+ i Sen θ ) • Para encontrar el valor de θ, sabiendo que Tan θ= b/a entonces θ= Tan -1 (b/a), por

lo que al sustituir θ= Tan -1 (1/1)=Tan -1 (1)= 45 grados = π/4 Finalmente sustituya en la forma trigonométrica Z = r( Cos θ+ i Sen θ ) = 2 ( Cos π/4+ i Sen π/4 )

Ahora revisemos algunos conceptos concernientes a Expresiones algebraicas


Existen expresiones algebraicas tales como : 2x2-3x+4 ax+b y-1 cx2y+dy2z y2+2 √x2+y2+z2

se obtienen a partir de variables como x,y,z, constantes como 2,-3,a,b,c,d, las cuáles

se combinan utilizando suma, resta, multiplicación , división y exponenciación racional. Una variable es una letra que puede representar cualquier número en un conjunto dado de números, mientras que una constante representa un número fijo o específico.

El dominio de una variable es el conjunto de valores que puede adoptar la variable.

Por ejemplo , en la expresión √x el dominio de x es {x / x >=0}. Mientras que en la expresión 2/(x-3), el dominio de x es {x / x ≠ 3}. 1.6 Polinomios Los tipos más simples de expresiones algebraicas sólo utilizan la suma, la resta y la multiplicación . Estas expresiones se conocen como polinomios. La forma general de un polinomio de grado n ( donde n es un entero no negativo) en la variable x es: anxn+an-1xn-1 +...+ a1x+a0

donde a0, a1,... a n son constantes y a n ≠ 0 . El grado de un polinomio es la potencia más alta de la variable. Cualquier polinomio es una suma de términos de la forma axk llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios, y así sucesivamente . Por esto 2x2-3x+4, ax+b, y x4+2x3 son polinomios de grado 2,1 y 4 respectivamente; el primero es un trinomio y los otros dos binomios. Sumamos y restamos polinomios utilizando las propiedades de los números reales. La idea es combinar términos semejantes ( esto es, términos con la misma variable elevada a la misma potencia), utilizando la propiedad distributiva. Por ejemplo: 5x7+3x7= (5+3)x7= 8x7

En la resta de polinomios, tenemos que recordar que si un signo menos antecede a una expresión entre paréntesis, entonces cuando eliminamos dichos paréntesis todos los términos dentro del mismo cambian de signo. -(b+c)= -b-c Para efectuar esta operación combine términos semejantes al igual que la suma.


Para obtener el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas, necesitamos utilizar la propiedad distributiva y las leyes de los exponentes. Leyes de los exponentes Sea a≠0 y b≠0 1. a0=1 2. a-n= 1/an

3. aman=am+n

4. am/an=am-n

5. (am)n=amn

6. (ab)n=anbn

7. (a/b) n=an/bn

8. (a/b) -n=(b/a)n

9. a-n/b-m=bm/an

10. am/n=(n√am) suma, resta y multiplicación de polinomios Calcule la suma (x3 – 6x2 +2x+4) + (3x 3 + 5x2 –4x) = (x3 + 3x3 ) + (-6x 2 + 5x2 ) + (2x-4x) +4 = 4x3 - x 2 -2x +4 Calcule la resta (x3 – 6x2 +2x+4) - (3x 3 + 5x2 –4x) = (x3 - 3x3 ) + (-6x 2 - 5x2 ) + (2x+4x) +4 = -2x3 - 11 x 2 +6x +4 Calcule el producto = (x2 -3 ) (x 3 + 2x + 1 ) =x2 (x 3 + 2x + 1 ) – 3 (x 3 + 2x + 1 ) = x 5 + 2 x 3 + x 2 - 3 x 3 - 6x -3 = x 5 - x 3 + x 2 - 6x -3 1.7 Fórmulas de factorización: Ciertos tipos de productos se representan con tanta frecuencia que deberá memorizarlos, a continuación se enlistan las fórmulas de dichos productos de polinomios, a este proceso se le llama factorización. 1.- A 2 - B2 = (A-B)(A+B) Diferencia de cuadrados 2.- A 2 + 2AB+ B2 =(A+B) 2 Cuadrado Perfecto 3.- A 2 - 2AB+ B2 =(A-B) 2 Cuadrado Perfecto 4.- A 3 – B3 =(A-B) (A 2 + AB+ B2 ) Diferencia de cubos 5.- A 3 +B3 =(A+B) (A 2 - AB+ B2 ) Suma de cubos Ejemplos: Factorice cada una de las siguientes expresiones a) 3x 2 - 6 x = 3x( x-2)


b) 6x 2 + 7 x -5 = (3x+5) (2x-1) c) 4x 2 - 25 = (2x) 2 - 5 2 = (2x-5) (2x+5) 1.8 Resolución de desigualdades Una ecuación lineal de una variable x es una ecuación que puede expresarse como ax±b = c, donde a,b y c son constantes. Una desigualdad tiene en lugar del signo igual alguno de los siguientes signos: <, <= ,>= , >, para resolverlas se debe buscar despejar el valor de la variable x, y definir cuál es el valor o los valores que dicha variable podrá tener. Ejemplo:

1) 7x – 4 > 5x + 3 Solución: 7x-5x > 3+4 2x > 7 x > 7/2 o bien puede expresarse como x ∈ (7/2, ∝ ) Ejemplo:

2) 6x – 10 >= 5x – 16 Solución: -10+ 16 >= 5x –6x 6 >= -x cuando se multiplica o divide por un númer negativo se invierte el sentido de la desigualdad. - 6 < = x o bien puede expresarse como x ∈[-6, ∝ )

Ejemplo: 3) x2 + 8x + 16 < 0

Solución: x2 + 8x + 16 < 0 (x + 4) 2 < 0 x + 4 < 0 x < - 4 o bien puede expresarse como x ∈ (- ∝, - 4 ) 1.9 Producto cartesiano Este producto se puyede representar también en un plano cartesiano, de ahí su nombre, sin embargo, también se le llama producto cruz, y se refiere a la combinación de los valores del primer conjunto con los valores del segundo conjunto, para esto se toma el primer valor del primer conjunto y se asocia con todos los elementos del segundo conjunto, después se repite la operación con el segundo elemento del primer conjunto y se asocia con todos los elementos del segundo y así sucesivamente. Ejemplo: Sea A= {a,b} B= {c,d,f} Al efectuar el producto cruz o cartesiano tenemos AXB AXB = {(a,c), (a,d), (a,f), (b,c), (b,d), (b,f)}


1.10 Relación Una relación es una regla (proceso o método) que produce una correspondencia entre un primer conjunto de elementos llamados DOMINIO y un segundo conjunto de elementos llamados CONTRADOMINIO o RANGO, tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del contradominio. Una función es una relación en la que se agrega la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde UNO y SOLO UNO de los elementos del contradomino o rango. Recuerda: Toda función es una relación, pero no toda relación es función. Una relación es cualquier conjunto de parejas ordenadas de elementos. Ejemplo: {(1,3), (1,5), (2,4), (3,6)} Una función es una relación , con la restricción de que dos parejas ordenadas distintas no pueden tener el mismo primer componente. Ejemplo de NO Función: {(1,3), (1,5), (2,4), (3,6)}, nota que esta relación no es función, ya que en las parejas ordendas (1,3) y (1,5), el primer componente es el mismo, y el segundo componente no. Ejemplo de Función: {(1,3), (4,5), (2,4), (3,6)}, nota que esta relación es función. 1.11 Estrategias de aprendizaje 1.- Encuentre el valor de la variable x, resolviendo las siguientes desigualdades:

1) 4x – 7 < 3x + 5 2) 10x + 1 > 8x + 5 3) 6x – 10 >= 5x – 16 4) 6 < 2x + 3 < - 1 5) 2< 1 – 5x <= 3 6) x2 + x – 12 < 0 7) 3x2 – 11x – 4 <= 0 8) x + 5 / 2x – 1 <= 0 9) 5/ 2x < 3 10) |x + 1| < 4 11) |3x + 4| < 8 12) |x/3 – 2| <= 6


U N I D A D II

Limite de una función

O B J E T I V O

Que el alumno aplique la noción de límite mediante la aproximación sucesiva de los valores de funciones, a fin de resolver algunos problemas en las diferentes áreas del conocimiento.

TEMAS

2.1 Antecedentes del Cálculo Diferencial 2.2 Concepto de Límite 2.3 Calculo de límites 2.4 Continuidad de Funciones 2.5 Estrategias de Aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD 2.1 Antecedentes del Cálculo Diferencial

El cálculo tiene sus orígenes en más de 200 años, con los griegos. Este fue evolucionando poco a poco, mediante la profundización de problemas reales que existían en aquellos tiempos. Así, hoy en día podemos identificar los problemas que fueron conformando el cálculo, como actualmente lo conocemos siendo estos:

1.- La definición del área de un círculo mediante otra figura geométrica conocida

como triángulo, cuadrado, rectángulo, pentágono, hexágono, octágono., etc., lo que dio origen al concepto de límite.

2.- El problema de establecer la ecuación de una recta tangente a un círculo, donde

solo se conoce el punto de tangencia, lo cuál dio origen al concepto de derivada. 3.- El problema de conocer el área bajo cualquier curva mediante aproximaciones

sucesivas lo que dio origen al concepto de integral 4.- El valor que tendrá al final una serie de sumandos infinitos que funcionaban como

series y sucesiones Así, iniciaremos con el concepto de límite.


2.2 Concepto de Límite Veamos primero la definición intuitiva, el límite de una función f(x) esta definido por los valores de x cercanos a un cierto valor fijo a, y si la x esta restringida a tomar valores dentro de intervalos más pequeños en la vecindad de a, los valores de f(x) se acercan más y más a un cierto número fijo L, el número L se llama el límite de f(x), cuando x se aproxima al número a. El enunciado que dice: “el límite de f(x) cuando x se aproxima a un número a, es L se abrevia comúnmente:

Lim f(x)= L x a Siendo la notación que utilizaremos para referirnos a los límites

2.3 Cálculo de Límites

Existen diversos caminos para evaluar el límite de una función, por lo que se deberá considerar alguno de estos para encontrar el límite referido, antes de determinar la existencia o no de un límite:

Para encontrar el limite de una función, utilice alguno de estos caminos 1) Evaluar en la función el valor de x, en caso de no estar definido dicho valor o ser

indeterminado. 2) Resolver algebraicamente, en caso de no poder establecer un valor. 3) Evaluar los límites laterales es decir, aproximar por la derecha y por la izquierda ,si los

valores son los mismos existe el límite, en caso de no obtener un valor igual 4) Verificar si es que el limite existe o bien la función no es continua

Ejemplo : Sea f(x)= x2

Encuentre el límite de la función cuando x 3

Solución: Es decir Lim f(x)= L o bien Lim x2 = L

x a x 3 (se lee “x tiende a 3”, ó” x se aproxima a 3”) Siguiendo con los distintos caminos para evaluar un límite, el primero nos dice que se puede sustituir el valor de al que tiende x, en la función original


El lim f(x)= lim x2 = 32 = 9 x 3 x 3

donde de acuerdo con nuestra definición de límite, en esta función f(x)=x2; a=3 , L=9. En caso de que no se hubiera obtenido un valor con dicho método, podemos utilizar el de resolución algebraica, que en este ejemplo, no es claramente visible, o bien el de límites laterales, el cuál mostraremos a continuación, y cuyo resultado deberá ser el mismo que el que ya obtuvimos con el método de sustitución (en este caso 9). Así, según vimos en nuestra definición intuitiva el decir aproximarse a 3, debe ser considerando como utilizar valores para “x”, en un intervalo, el que podrá irse haciendo cada vez más pequeño para obtener los valores de f(x) cada vez más cercanos a 3, véase la siguiente tabla:

Intervalo con valores cercanos a 3

Longitud del intervalo

Intervalo del valor de la función f(x)=x2

2 – 4 2 4 - 16 2.5 - 3.5 1 6.25 - 12.25 2.9 - 3.1 0.2 8.41 - 9.61 2.95 – 3.05 0.1 8.70 - 9.30 2.99 – 3.01 0.02 8.94 - 9.06 2.999 - 3.001 0.002 8.994 - 9.006

Como puede apreciarse en la tabla anterior entre más pequeño es el intervalo más

cercano es el valor de la función al límite, que en este caso es 9. Cuando se aproxima la función al valor al que tiende “x”, por valores cercanos que se encuentran a la derecha de “x”, se dice que calculamos el límite lateral por la izquierda (los valores van de más a menos), o que calculamos el límite lateral por la derecha (los valores van de menos a más) . Ejemplo:

Sea f(x) = 112

−−

xx

Encuentre el limite lateral por la derecha y por la izquierda, cuando x 1en caso necesario resuelva algebraicamente:


Valores que se aproximan a

x por la derecha X Y

0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999

Valor al que tiende x 1 No definido

Valores que se aproximan a x por la izquierda

1.1 2.1

1.01 2.01 1.001 2.001

Como puede observarse el limite se puede evaluar en valores cercanos a 1, pero en el valor 1 no esta definido, por lo que se puede inferir de la aproximación por la derecha y por la izquierda que el limite será 2, para comprobar dicha aseveración se debe resolver algebraicamente el limite, es decir se buscará simplificar la expresión de la función dada, en una más sencilla para para poder evaluar directamente el límite y entonces corroborar la respuesta. Resolución algebraica

lim f(x) = 112

−−

xx =

)1()1)(1(

−+−

xxx = (x+1) , como esta es una expresión algebraica más

x 1

sencilla que la original en esta última se evaluará el límite. Lim f(x) = x+1 =1+1 =2 x 1

2.4 Continuidad de Funciones Una función es continua en un intervalo si su gráfica es continua (no tiene rupturas) para cada valor del intervalo, por ejemplo suponga la función F(x)= I X I I X I= X si X > 0 I X I= -X sí X < 0 Dominio = (- ∝, ∝) Los polinomios son continuos en todo su dominio (recuerde que el polinomio es una función que puede estar dada en la siguiente expresión F(x) = anxn + an-1 xn-1 +......+ a1 x + a0 ) Una función es decreciente si f(x1) es menor f(x2) siempre que X1> X2 Una función es constante si f (x1) es igual f(x2) para cualquier X1 Y X2 Una función es creciente si f(x1) es mayor f(x2) siempre que X1> X2


Álgebra de funciones A continuación se presenta una tabla con las operaciones algebraicas de funciones (f+g)(x)= f(x) + g(x) (f-g)(x) = f(x) – g(x) (fg) (x) = f(x) (g(x)) (f/g) (x) = f(x)/ g(x), si solo si g(x)≠0 Ejemplos:

Sea F(X) = 29

3x

x−+ y G(x)= x-1

Obtenga las operaciones algebraicas básicas de funciones cuando x→ -3 :

a) (f+g)(x)= f(x) + g(x)

f(x) = 29

3x

x−+

x→ -3 = x + 3 = 1 = 1 = 1 (3-x)(3+x) 3-x 3-(-3) 6 g(x)= x-1 = - 3-1= -4 x→ -3 (f+g)(x)= f(x) + g(x)= 1/(3-x)+ (x-1)= 1+ (3-x)(x-1) =1+(6)( –4) = -23/6 (3-x) 6 (f-g)(x) = f(x) – g(x)= 1/(3-x) - (x-1)= 1- (3-x)(x-1) =1-(6)( –4) = 25/6 (3-x) 6 (fg) (x) = f(x) (g(x))= (1/(3-x)) (x-1)= (x-1) =( –4) = -2/3 (3-x) 6 (f/g) (x) = 1/(3-x) = 1 = 1 = - 1 (x-1) (3-x)(x-1) (6)(-4) 24 Ejemplo: Sea F(x) = 2x4-x2+1

Y G(x) = )2(

42

+−

xx =

)2()2)(2(

+−+

xxx = x-2

Obtenga lim f/g(x)


x → -2 Solución G(x) puede simplificarse algebraicamente:

G(x) = )2(

42

+−

xx =

)2()2)(2(

+−+

xxx = x-2

Por tanto :

Lim (f/g) (x) = 2

12 24

−+−

xxx = - 29/4

X → -2 2.5 Estrategias de aprendizaje 1.- Funciones

1) Para f(x) = x2 – 2x encuentre y simplifique

a. f(4) b. f(4 + h) c. f(4 + h) – f(4) d. f(4 + h) – f(4) / h

2) Bosqueje las gráficas: a. f(x) = x2 – 2 b. g(x) = x3 – 2x c. h(x) = 2 /x-1

3) Para f(x) = x /x-1 y g(x) = √ 1 + x2 encuentre cada valor ( si es posible) a. (f + g) (2) b. (f . g) ( 0) c. (g / f) (3) d. (f o g) (0) e. (f o g) (√ 8) f. (g o f) (√ 8) g. (g o f) ( 3 )

4) Encuentre la función inversa f-1 de las siguientes funciones

a. f (x)= 3x b. f(x)= 4x-3 c. f(x)= 2/(x-1) d. f(x)= (2x+5)/ (3x-4) e. f(x)= log (x/2) f. f(x)= ln (x+3)


2.- Límites. Encuentre el límite indicado 1) lim (2x – 8) x →3 2) lim (2/x – 8) x →3 3) lim √(12 – x2) / x4

x →√3 4) lim (x-1)/(x2+x-2) x 1 5) lim (x2 + 3x - 4) / x - 1 x →1 6) lim (2x2 + 5x – 3) / (x + 3) x →-3 7) lim (x3 – 16x) / (x2 + 4x) x → 0 8) lim (x – 9) / √(x-3) x → 9 10) lim (t2 – 5t + 6) / (t2 – t – 2) t → 2 11) lim (3x2 – 4x) / x x → 0 12) lim (3 - √(h – 9) ) / h h → 0 13) lim (2 - √(x2 + 3) ) / (1 – x) x → 1 14) lim (2x+1)/x x → ∞ 15) lim (x-4)/(x2-x-12) x → 4 16) lim ( (x+h)2 –x2 )/ h h → 0 17) lim (6x2+2x+1)/(5x2-3x-4) x → ∞ 18) lim (s4-a4) / (s2-a2) s → a 3.- Límites Laterales Encuentra los límites laterales de las siguientes funciones:

1)lim 10 1/ (x-5)

x - → 5 2) lim x/ (x+2) x + → -2 3) lim √x x + → 1 y x - → -1


U N I D A D III

La derivada

O B J E T I V O

Que el alumno aplique la noción de derivada para resolver algunos problemas en las diferentes áreas del conocimiento.

TEMAS

3.1 Tipos de Rectas 3.2 Concepto de derivada 3.3 Método de los 4 pasos 3.4 Teoremas de Diferenciación 3.5 Aplicaciones 3.6 Estrategias de Aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD 3.1 Tipos de Rectas

Ahora bien revisemos algunos conceptos previos que utilizaremos:

Recta secante: es aquella que intercepta a una curva en más de un punto Recta Tangente: es aquella que intercepta a una curva en un punto

Con el siguiente ejemplo, iniciaremos nuestro estudio de cálculo diferencial. Ejemplo: Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto (1, 1) Solución: La ecuación de la recta se obtiene utilizando la fórmula Y-Y1= m(X-X1), donde m es la pendiente y ( X1, Y1) es el punto dado (1,1). Por lo que sustituyendo en la fórmula de la recta, el problema se reduce a encontrar m Y-1= m (x-1)

12

12

YXYYm−−

= )1(

1

2

2

−−−

=X

Ym (observe que la parábola dada tiene la ecuación y= x2)


Para encontrar m se deben tener dos puntos, en este momento solo se tiene un punto (1,1)el otro punto no conocido le llamaremos (x2,y2). Como ya aprendimos el uso de los límites se puede considerar un punto (x2,y2), lo más cercano que se pueda a (x1,y1), tanto que prácticamente sea el mismo punto, lo cuál nos permitirá contar con los dos puntos requeridos, para que podamos encontrar la pendiente de la recta tangente. Para lo anterior utilizaremos la fórmula:

m = lim y2-y1 x2 x1 x2-x1

Así, utilizando el punto (1,1) y valores que se aproximan por la derecha y por la izquierda al mismo, para evaluar la pendiente, sustituiremos el valor de y2, por el de x2

2 ya que recordemos que la parábola a la que es tangente la recta tiene la ecuación y= x2

m = lim x2

2 - 1 x2 x1 x2 -1

Valor x1 Valor x2 por la izquierda y por

la derecha Valor de la pendiente m

1 1.1 (izquierda) 2.1 1.01 (izquierda) 2.01 1.001 (izquierda) 2.001 .9 (derecha) 1.9 .99 (derecha) 1.99 .999 (derecha) 1.999

VALOR

x .9 ,99 .999 1.0 1.001 1.01 1.1 derecha izquierda m 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 Como se puede observar en la tabla anterior y en la gráfica, la pendiente se aproxima en ambos casos a 2 (1.999 y 2.001), por lo que la ecuación de la recta tangente queda como : Y-Y1= m(X-X1) Recuerde que x1=1, y1=1, punto indicado con anterioridad y-1= 2(x-1) y-1=2x-2 y =2x-1 Ecuación de la recta tangente buscada 3.2 Concepto de derivada

Del ejemplo anterior se desprende el concepto de derivada, ya que La derivada es la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de función f en el punto de coordenadas (x,y) o dicho de otra forma cualquier punto (a, f(a)).


Por tanto, la pendiente en el punto (x,y), se puede obtener utilizando : m = lim y2 – y1

x2 x1 x2-x1 Como se espera que x2 sea muy cercana a x1, entonces x2= x1 + h, donde h es un

valor constante que es muy cercano a cero así, si sustituimos en la ecuación anterior : m = lim y2 – y1

h 0 (x1+h)-x1 m = lim y2 – y1 recuerde que y2 = f(x2), y1 = f(x1)

h 0 h

Así m = lim f(x2) – f(x1) recuerde que y2 = f(x2), y1 = f(x1)

h 0 h Si sustituimos el valor de x2 por el de x1+h, utilizado anteriormente la

ecuación queda como: m = lim f(x1+h) – f(x1) recuerde que y2 = f(x2), y1 = f(x1)

h 0 h

Generalizando el concepto utilicemos un número “a” cualquiera en lugar de x1, y si f es una función definida en un intervalo abierto que contenga a “a”, entonces la pendiente estará dada por la siguiente ecuación, siempre y cuando exista el límite:

m = lim f (a+h) – f(a)

h 0 h Si el límite existe decimos que f es derivable en “a”, ó que f tiene una derivada en

“a”, ó que es diferenciable en “a”. Una función es derivable en un intervalo abierto (a,b), si es derivable en todo número

c, del intervalo abierto (a,b). Una función es derivable en un intervalo cerrado [a,b], si es derivable en el intervalo

abierto (a,b) y además existen los límites unilaterales (por la derecha y por la izquierda), los que se representan como :

lim f (a+h) – f(a) lim f (a+h) – f(a) h 0+ h h 0- h

Puede ser que en la revisión del tema de derivadas encuentre distinta notación para

referirse a estas, aunque el significado es el mismo a continuación se presentan distintas notaciones pudiendo utilizarlas indistintamente

1) y ′ ó f(x) ′ : Denominada por Lagrange 2) Dxy ó Dxf(x) : Denominada por Cauchy


3) dy/dx ó Df(x)/Dx: Denominada por Leibniz •

4) y ó f ′(x): Denominada por Newton 3.3 Método de los 4 pasos para calcular la derivada Para calcular la derivada de una función se debe utilizar el método de los cuatro pasos: Ejemplo: Suponga como función original y=x Paso 1 Incrementar en ∆ ambos lados de la ecuación en x y y respectivamente: Función Original Y=X →Y+ ∆Y= X + ∆X Paso 2 Restarle la función original Y + ∆ Y = X + ∆ X -Y = -X ∆ Y = ∆ X Paso 3 Al resultado dividirlo entre ∆ X

XY

∆∆ =

XX

∆∆ , pero

XX

∆∆ = 1

⇒ XY

∆∆ = 1

Paso 4 Con el resultado evaluar el límite cuando ∆ x 0 Como en este ejemplo, no existe ∆ x, el valor de la derivada es la constante, en este caso es 1. Esa es la derivada de la función original, y se expresa como : y = f(x) =x y´ = f´(x) = 1 Ejemplo: Sea 2)( 2 −== xyxfEncuentre la derivada dy = f´(x) = y´ = ? dx


Solución: Paso 1 Incrementar en ∆ ambos lados de la ecuación en x y y respectivamente: Función Original y=x2 –2

2)( 2 −∆+=∆+ xxyy 2. Restarle la función original

2)( 2 −∆+=∆+ xxyy -y = - x2 +2 (como es resta, se cambia el signo) 22)( xxxy −∆+=∆ ∆y= (x2+2x∆x+∆x2)- x2 (desarrollando el binomio al cuadrado)

22 xxxy ∆+∆=∆ (simplificando) 3. Dividir el resultado en ∆ x

xxxx

xy

∆∆+∆

=∆∆ 22 = 2x+ ∆x

4.Evaluar al limite

Limx

xxxxy

∆∆+∆

=∆∆ 22 = 2x+ ∆x=2x+0=2x

∆x 0 Por tanto, la derivada de 2)( 2 −== xyxf es 2x, es decir y´=2x Ejemplo: Sea , obtenga la derivada por el método de los 4 pasos: 132 2 ++= xxy 1.- Incrementar en ambos lados de la ecuación

1)(3)(2 2 +∆++∆+=∆+ xxxxyy 133)2(2 22 +∆++∆+∆+=∆+ xxxxxxyy (se desarrolla el binomio al cuadrado y se

multiplican los términos independientes del paréntesis)


133)242( 22 +∆++∆+∆+= xxxxxx

2.- Restarle al resultado la función original y+ ∆y = 2x2+ 4x∆x + 2∆x2+3x+ 3∆x +1 - y = - 2x2 - 3x - 1 ∆y = 4x∆x + 2∆x2 + 3∆x

3.- Dividir entre ∆x

∆y = 4x∆x + 2∆x2 + 3∆x ∆x = ∆x ∆x ∆x

324 +∆+= xx

4.- Evaluar el límite de la función cuando ∆x 0

324 +∆+=∆∆ xxlim

xy = 4x+2(0)+3 = 4x+3

x -->0 Así si f(x)=y=2x2+3x+1

Entonces dy = f´(x)= y´= 4x+3 dx

3.4 Teoremas de diferenciación Un proceso relativamente rápido para calcular la derivada de una función consiste en

aplicar selectivamente algunos teoremas o fórmulas de la lista siguiente, los cuáles no son todos, pero si los más utilizados: Teorema Fórmula Observaciones Ejemplos 1 d c = 0

dx c es constante d 5 = 0 ; d 3/2 =0

dx dx 2 d xn = nxn-1

dx Valido para exponentes

d x6 = 6x6-1 =6x5

dx

3 d cu = c d u dx dx

Valido para constantes que acompañan a una función; c constante y u función

c= 3, u= x4

d 3x4 = 3 d x4= 3 (4 x4-1) = 3(4 x3) dx dx = 12 x3


4 d un = nun-1 du

dx dx u es función d (3x-2)6 = 6(3x-2)6-1 d(3x-2)

dx dx = 6(3x-2)6-1 (3)= 18(3x-2) 5

5

d(u±v) = du ± dv dx dx dx

u y v son funciones

d(3x5+2x4)=d3x5+d 2x4= =15x4 + 8x3 dx dx dx

6

d(uv) = udv + vdu dx dx dx

u y v son funciones

d(3x5)(2x4)= dx u=3x5 du=15x4 v=2x4 dv= 8x 3 d(3x5)(2x4)= (3x5)(8x3)+ (2x4)(15x4) dx =24x8+30x8=54x8

7 d (u) = vdu - udv

dx (v) v2u y v son funciones

d (3x5)= dx (2x4) u=3x5 du=15x4 v=2x4 dv= 8x 3 v2=4x8 d (3x5) = (2x4)(15x4) - (3x5)(8x3)dx (2x4) 4x8

=30x8-24x8 = 6x8 = 3/2

4x8 4x8 8 d (eu) = eu dx

dx La derivada del número e

d (e4x) = e4x d(4x) = e4x 4 = 4 e4x

dx 9 d (ln u) = 1 du

dx u dx Logaritmo natural d (ln (x+4)) = 1 d(x+4) = 1 (1)

dx (x+4) dx (x+4) = 1 (x+4)

10 d (au) = au lna, a>0 dx

La derivada de una constante elevada a la x

d (5x) = 5x ln5 dx

11 d(y) =dy du d x du dx ó F(g(x))g´(x)

Regla de la cadena

Sea F(x)= 4x2 y g(x)= 5x F(g(x))g´(x)= F(5x)(5) =4(5x)2 (5) =20(25x2) =500 x2

12 d(Sen u) = Cos u du d x dx

Derivada del Seno dSen 2x = 2 Cos 2x dx

13 d(Cos u) = - Sen u du d x dx

Derivada del Coseno

dcos5x= -5Sen5x dx

14 d(Tan u) = Sec2 u du d x dx

Derivada de la Tangente

dTan(x/2)= Sec 2(x/2) dx 2


15 d(Ctg u) = -Csc2 u du d x dx

Derivada de la Cotangente

dCtg (x3)= - Csc2 (x3)3x2

dx

16 d(Sec u)=Sec u Tan u du d x dx

Derivada de la Secante

dSec 7x= 7 Sec 7x Tan 7x dx

17 d(Csc u)=-Csc u Ctg udu d x dx

Derivada de la Cosecante

d(Csc4x2)= -Csc 4x2Ctg 4x2 8x dx

Ejemplos: Obtenga su derivada

Sea y=1/x2 (Teorema 7, y = u/v )

u= 1 u´= 0 v= x2 v´= 2x y´=vu´-uv´/v2

=((x2) (0)-(1)(2x))/(x2)2

y´= -2x / x4 = -2x1-4 =-2x-3 = -2/x3

Sea y=-2/x3 (Teorema 7, y= u/v)

u= -2 u´=0 v= x3 v´= 3x2

= vu´-uv´/v2

= (x3) (0)-(-2)(3x )/(x3)2

=+6x2 /x6 = +6x-4 =+6/x-4

Sea y=(3x2 –2x) /√x (Teorema 7, y= u/v)

u= 3x2- 2x u´=6x-2 v= √x v´=1/2x –1/2 =1/(2√x) y´= vu´-uv´/v2 =[ (√x)(6x-2)-(3x2 –2x)(1/(2√x)) ] / (√x)2

= [√x(6x-2)-(3x2 –2x/(2√x)) ] /x =[x ½ (6x-2)-(3x 2–2x /(2x 1/2) ] /x =[6x 3/2 –2x ½ -(3x2 –2x /2x ½) ] /x

Sea y=ln(csc 8x) (Teorema 9 y Teorema 17)

y´=1/csc 8x d (csc 8x)

y´=1/csc 8x (-csc(8x)(cot(8x))(8)

y´=-8 cot(8x)

Sea y= e sen3x (Teorema 8. y = eu du )


y´ =e sen3x d(sen 3x)

y´ =e sen3x (cos(3x)) (3)

=3e sen3x (cos(3x)

Sea tanx csc x (Teorema 6)

u=tan x u´=sec 2 x

v=csc2 x v´=2csc x (-cscx cotx)

v´=-2csc 2x cotx

y´= -2 csc2x cot x tan x +csc2x sec2x

Veamos ahora como se obtienen las derivadas de orden superior concretamente las 2das. Derivadas. El procedimiento es sencillo, solo se obtiene la primera derivada y a la derivada obtendida se le deriva nuevamente. Ejemplo: Obtenga 2da derivada (y´´) de la función: y= 5x3 - 8x2

y´= 15x2 -16x (1ª. Derivada) y´´= 30x –16 (2da. Derivada) Ejemplo: Sea la función y= x/(x-1) 2 (Teorema 6) Obtenga la segunda derivada u= x u´= 1 y= x/(x-1) 2 v=(x-1)2 v´=2(x-1) y= (vu´-uv´)/v2

y´= (x-1)2 (1) - x(2(x-1)) ((x-1)2)2

y´= (x-1)2 -2x(x-1) (x-1)4

y´=(x-1)[(x-1)-2x] (x-1)4

y´= (x-1)[x-1-2x] (x-1)4


y´= (-x-1)/(x-1)3 (1a. derivada)

y´ = -x-1/(x-1)3 u= -x-1 u´= -1 v= (x-1)3 v´= 3(x-1)2

y´´= vu´-uv´/v2

= (x-1)3 (-1)-(-x-1)(3)(x-1)2 (Factorizando) ((x-1)3)2

= -(x-1)3–3(-x-1)(x-1)2

(x-1)6

= (x-1)2 [-(x-1)-3(-x-1)] (x-1)6

y´´= -x+1+3x+3 (Agrupando términos semejantes) (x-1)4 y´´ =(2x+4)/(x-1)4 (2da. derivada)

REGLA DE LA CADENA Esta regla se utiliza comúnmente para encontrar las derivadas en funciones compuestas, este último término se utiliza para identificar una función cuyo argumento es a su vez otra función (es decir, una función que afecta a otra función) Si tenemos f(x) y g(x) como funciones independientes entonces f(g(x)) es una función de funciones es “compuesta” Para obtener la derivada de f(g(x)), que se denota como f(g(x))´, se utiliza la siguiente fórmula: F(g(x))´ = f(g(x))g´(x) o bien G(f(x))´= g(f(x))f´(x) Ejemplo: Sea f(x)=x2 y sea g(x)=x-1 Obtenga F(g(x))´ F(g(x))= f(x-1) f(x-1) = (x-1)2

g´(x) = 1 Por tanto : F(g(x))´ = f(g(x))g´(x)= (x-1)2 g´(x) = (x-1)2 1= (x-1)2

Ejemplo: __ Sea f(x)=1/x g(x)= √x-2 Obtenga F(g(x))´


__ f(g(x)) = f(√x-2) __ ___ f(√x-2) =1/ √x-2 g´(x) = 1 (x-2) –1/2

2 Por tanto : __ F(g(x))´ = f(g(x))g´(x)= 1/ √x-2 g´(x) = (1/ √x-2) –1/2(x-2)-1/2

Ejemplo: Sea f(x)2 = x g(x)= x-1 Obtenga F(g(x))´ F(g(x))´= f(g(x)) g´(x) g´(x)=1 f(g(x)) = f(x-1) =(x-1)2

F(g(x))´ = (x-1)2 g´(x) =(x-1)2 (1) = (x-1)2

Ejemplo: Sean F(x)=(x-2)2

G(x)=1/ √x a)Obtenga F(g(x))´

g´(x)=1/√x = x-1/2=-1/2x-3/2

f(g(x))´=f(1/x)g´(x) =(1/ x-2)2 (-1/2x –3/2) b) Obtenga G(f(x))´ g(f(x))´=g(x-2)2 ´f´(x) =(1/√ (x-2)2) (2(x-2)) =(1/(x-2)) (2(x-2)) =(2(x-2)) = 2 (x-2)

3.5 Aplicaciones


MÁXIMOS Y MÍNIMOS Existen 2 criterios o métodos ( el de la primera y el de la segunda derivada) para encontrar los puntos de inflexión ya sean máximos, mínimos o ambos en una función, a continuación se exponen los pasos para encontrar los mismos, así como un ejemplo ilustrativo

Para encontrar los máximos y mínimos usando la 1° derivada. 1) Obtener f´(x) e igualar a cero. 2) Despejar la variable de f´(x), de la cuál se obtendrá el o los valores críticos 3) Localizar los valores críticos para determinar los intervalos que se aproximan por la

derecha o la izquierda. 4) Averiguar el signo de f´(x) en cada intervalo. 5) Pasar por cada intervalo critico x=xo con x crecientes (de izq a der),entonces.

a) f(x) tiene un valor máximo si f´(x) cambia de + a – b) f(x) tiene un valor mínimo si f´(x) cambia de – a + c) f(x) no tiene valor mínimo o máximo si f´ (x) no cambia de signo

Ejemplo: Encontrar los valores máximos y minimos de : y = (x-8)2

y´= 2(x-8) (la derivada)

y´= 2(x-8)=0 (se iguala a cero)

=>(x-8)=0/2

=>x=8 ( se encuentra el valor de la variable )

x=8 valor critico

Se establecen los intervalos cercanos al valor critico ( -∞,8) y (8,∞)

Se toma un valor en cada intervalo distinto al valor critico por ejemplo 7 y 9.

Se evalúa la derivada con estos valores :

X y´=f´(x)=2(x-8)

7 2(7-8)=-2

9 2(9-8)=2


Como f´(x) cambia de – a +, considerando valores de izquierda a derecha cercanos al valor critico (7 y 9, valor critico 8) entonces existe un mínimo en el valor crítico que es x=8

f(x)= (x-8)2

8

Ejemplo: Sea y =-(2x-5)2

y´=-2(2x-5)

= -4x+10=0

= -4x=-10

=x =+10/4 x =+5/2 valor critico Se establecen los intervalos cercanos al valor critico ( -∞,5/2) y (5/2,∞)

Se toma un valor en cada intervalo distinto al valor critico por ejemplo 2 y 3.

Se evalúa la derivada con estos valores :

X y´=f´(x)=2(2x-5)

2 2(2(2)-5)=-2


3 2(2(3)-5)= 2

Como f´(x) cambia de – a +, considerando valores de izquierda a derecha cercanos al valor critico (2 y 3, valor critico 5/2) entonces existe un mínimo en el valor crítico que es x=5/2 Para encontrar los máximos y mínimos usando la 2° derivada. 1) Obtener f´(x) e igualar a cero 2) Despejar la variable de f´(x), de la cuál se obtendrá el o los valores críticos 3) Localizar los valores críticos para determinar los intervalos que se aproximan por la

derecha o la izquierda. 4) Para un valor critico x=xo

a) f(x) tiene un máximo en f(xo) si f´´(xo) <0 b) f(x) tiene un mínimo f(xo) si f´´(xo) >0 c) f(x) no tiene valor mínimo o máximo si f´´ (xo) =0

Ejemplo:

Sea la misma función del ejemplo anterior

F(x)=(x-8)2

Obtenga su valor critico (calcule la 1ª. Derivada e iguale a cero)

F´(x)=2(x-8)=0 x=8

F´(x)=2x-16

Obtenga su 2da. derivada

F´´(x)=2 como 2 >0 existe un mínimo en el valor critico x=8 (note que es el mismo

resultado del criterio de la 1er. derivada visto en el ejemplo anterior)

Ejemplo:

F(x)= -(2x-5)2

Obtenga su valor critico (calcule la 1ª. Derivada e iguale a cero)

F´(x)=-2(2x-5)2-1=0 2x-5=0 x= 5/2 Si F´(x)=-2(2x-5) Entonces F´(x) =-4x+10


Su 2da. Derivada es -4 F´´(x)= - 4 < 0 como – 4 < 0 existe un máximo en el valor crítico x=5/2 3.7 Estrategias de aprendizaje 1.- Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica en un punto dado

1) Gráfica y= 3x-3, punto (1,-1) 2) Gráfica y= x2+1, punto (2, 5) 3) Gráfica y= 4x3, punto (-1, -4)

2.- Derivación. Calcular la primera derivada aplicando la regla general de la derivación (Regla de los 4 pasos). a) y = 3x – 5

b) y = 5x2 – 2x + 1 c) y = (3x – 1) / (5 – 2x)

3.- Derivar las siguientes funciones, utilizando las fórmulas y procedimientos correspondientes: 1) y = 4 2) y = 5x – 3 3) y = t3 4) y = √x 5) y = x5/4 6) y = 1 / √x 7) y = 1/3 x3 – 4x2 + x – 7 8) y = 3x2 – 6/x + 23 √(x – 5) 9) y = (2x – 1)5 10) y = 1 / ((5x + 3)1/4) 11) y = 3√(3x2 – 1) 12) y = (2x – 1) (3x + 2) 13) y = x2 √(1 – 4x) 14) y = (3x – 1) / (2 – 5x) 15) y = (√(x – 1) )* (3√(6x + 2) 16) y = x2 / (x – 1) 17) y = (t2 – a2) / (t2 + a2) 18) y = 3θ / θ2 – 1 19) y = (3x2 – x + 1) / (x + 2) 20) y = (√(2x + 7)) / (√(1 - 2x)) 21) y = e2x 22) y = et2 23) y = e3x – 1 24) y = e x2 + a2 25) y = 1 / e3x 26) y = (ex + 1) / (ex – 1) 27) y = x2 e3x 28) y = (4/ex) - ex


29) y = t3 e2t 30) y= (ex – e-x) / (ex + e-x) 31) y = ln √x 32) y = ln x3 33) y = ln √(x2 + 1) 34) y = ln (5x2 + 1) 35) y = ln (ex – 1) / (ex + 1) 36) y = ln √(1 + 2k) / ( 1 – 2x) 37) y = sen 5x 38) y = cos ½ x 39) y = tan ax 40) y = cot 3x 41) y = sec x/3 42) y = csc x2 43) y = sen 2x – cos 5x 44) y = 2 tan x2 45) y = sen 3x cos x 46) y = e2x sen 3x 47) y = √(sen 2x) 48) y = tan3x 49) y = 2 / √(sec 4x) 50) y = √(tan 2x) 51) y = ¼ cos2 θ2 52) y = e sen 2x 53) y = ln sen 2x 54) y = ln tan x2 55) y = arc sen x2 56) y = arc cos 3x 57) y = arc tan ½ x 58) y = cot –1 e 2x 59) y = sec-1 ax 60) y = arc csc 3x 61) y = x2 arc sen 5x 62) y = arc cos √x 63) y = arc tan (sen x) 64) y = x arc sec 2x 65) y = arc sen ex 66) y = ex arc sen x 67) y = (tan-1 x) / x 68) y = tan-1 (2 + x) / (1 – 2x) 69) y = √(x) sen-1 x 4.- Derivadas sucesivas. Obtener la primera y segunda derivadas:

1) y = 6x3


2) y = √ (x2 + a2 3) y = 4 / (x + 2) 4) y = e4x 5) y = ln √(4x – 1) 6) y = ln √(x2 – 1) 7) y = sen x2 8) y = tan 3x 9) y = esen 2x 10) y = arc tan 2x

5.- Derivadas implícitas:

1) 2x3 – 4x2y + y2 = 0 dy/dx = ? 2) x2y2 – 5xy2 + 4x2y = 0 3) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Fy + F = 0 4) ex sen y + ey cos x = 1 5) ey – cos (x+ y) = 0

6.- Máximos y mínimos. Calcular los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:

1) y = 1/3 x3 + x2 – 3x + 1 2) y = 1/3 x3 + ½ x2 – 6x + 2 3) y = 16 x2 + 4


U N I D A D IV

La Integral como área bajo la curva

O B J E T I V O

Que el alumno aplique la noción de integral mediante la aproximación sucesiva de las áreas de regiones en el plano, a fin de resolver algunos problemas en las diferentes áreas del conocimiento.

TEMAS 4.1 Concepto de diferencial. 4.2 La integral como inversa de la derivada 4.3 Areas por aproximación de límites de suma (Suma Reimann) 4.4 Estrategias de Aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD 4.1 Concepto de Diferencial La diferencial, se denota como dy, es un concepto que relaciona lo visto en la definición de derivada, como recuerdas la derivada, es lo mismo que la pendiente de una recta, denominada como (m), la derivada puede denotarse como y ´ o f ´ (x)

12

12)´(´xxyymxfy

dxdy

−−

====

Como puedes apreciar en la fórmula anterior para despejar dy, que es la diferencial

debemos colocar a dx multiplicando por lo que nos queda : dxxfdxydy )´(´ ==

Ejemplo: 1.- Obtén la diferencial de la función y = 4x

dxdxxfdxydy 4)´(´ === 2.- Obtén la diferencial de la función y = f(x)= 2x3-4x2 +5x -2

dxxdxdxxdydxxxdxxfdxydy

586)586()´(´

2

2

+−=

+−===

3.- Obtén la diferencial de la función

y = f(x) =263/2

33 44/5 52ln23/4 xx ex

xxx −−+−+−−


[ ]

dxxedxdxx

dxx

dxxdxxdy

dxxex

xxxdxxfdxydy

xx

xx

2

2

63/24

3/14/1

63/243/14/1

12)5(5ln1634

35

)12()22(5ln5

2263/4)4/5)(3/4()´(´

−

−−

++−−−−=

−−+−−−−===

4.- Obtenga la diferencial de la siguiente función y =f(x)= 4x2-5x+8- (3/x) dy = d(4x2-5x+8- (3x-1))dx dx dy = (8x-5+0- (3)(-1)x-1-1) dx dy = (8x-5+0+ 3x-2) dx Por tanto la diferencial de y (también llamada dy) es: dy =(8x-5+0+3x-2) dx _______ 5.- Obtenga la diferencial de la siguiente función y =f(x)= 5√ 10x+7 Recuerde que f(x) = (10x+7)1/5

Por tanto: dy= 1(10x+7)1/5-1 10)dx 5 = (10/5 )(10x+7)-4/5 dx = 2 (10x+7)-4/5 dx

6.- Obtenga la diferencial de la siguiente función y =f(x)= 28 y´= dy/dx=0

entonces dy = 0dx =0

4.2 La integral como inversa de la derivada

Cuando partimos de una función y procedemos a calcular su derivada, obtenemos otra función, la función f’(x), de igual manera cada vez que se aplica algún procedimiento a esta f´(x) se obtiene otra función “la integral”.

La integral es la función inversa de la derivada, esta situación es de fácil apreciación

en el siguiente esquema


f(x)+c FunciónPrimitiva

f(x)

Integral Derivada y´= f´(x) =dy/dx

∫ dy = ∫ f´(x)dx=

f(x)+c

Diferencial dy =

f´(x)dx = y´dx

Para comprobar esta situación, revisemos un ejemplo : Supón que tienes la función original o primitiva:

cxcx

cx

dxxdxxfdy

Integraldxxdxxfdy

lDiferenciaxxfy

Derivadaxxf

imitivaFunción

+=+=

++

=

==

==

==

=

+

∫ ∫ ∫

33

12

2

2

2

3

33

123

3)´(

3)´(

3)´(´

)(Pr

Recuerda que la diferencial de una función es la derivada que esta afectada por la variable dx.

Como puedes observar el resultado de integrar la diferencial de la función (3x2dx), nos regresa a la función original con una variable adicional llamada c, que indica que existe una constante que no conocemos su valor, pudiendo c tomar cualquier valor, incluso cero.


Por tanto, la integral elimina a la derivada, es decir son funciones inversas. Así tanto el manejo algebraico como el esquema mostrado anteriormente nos indican

que al usar ambas se regresa a la función original. Revisemos otro ejemplo utilizando el esquema planteado anteriormente, así supón y = f(x) = x2 , por tanto encontramos que f´(x)= 2x.Invirtiendo el proceso de la derivación partimos de una derivada f´(x) y debemos encontrar f(x).

FUNCION ORIGINAL ≅ ANTIDERIVADA O PRIMITIVA

Y= x2

Y´=2x

DERIVACION

INTEGRACION

cXn+1/(n+1)2x1+1/(1+1)

nxn-1 dx2x2-1

CICLO DIFERENCIALES E INTEGRALES

∫ = símbolo de la integral

Así si f´(x)=2x decimos que f(x)= x2 es la primitiva de f(x)= 2x. En símbolos escribimos: 2x dx x2 + c donde c es una constante llamada “ la constante de integración”. Esta c es necesaria ya que al derivar cada una de las funciones siguientes se obtiene 2x en todos los casos: f(x)= x2 ; g(x)= x2 + 2 ; h(x)= x2 – 51 f´(x)= g´(x)= h´(x) = 2x Para incluir todos los demás casos posibles escribimos la constante de integración c El símbolo ∫ f(x) dx = f(x)+c


Se lee “la primitiva de F(x) con respecto a x “ o también “ la integral indefinida de f(x) con respecto a x” ó “la antiderivada de f(x)” En el caso de llamarse integral indefinida, toma ese nombre ya que la constante de integración c, puede tener cualquier valor. 4.3 Areas por aproximación de límites de suma (Suma Reimann) En este tema, lo importante de recordar es la importancia del estudio del cálculo integral, esta reside en el cálculo de áreas y volúmenes. Esta situación esta basada en el concepto de límite, donde para encontrar el área requerida, se debe aproximar lo más posible a la curva definida por la función que delimita el área. Como esta función se define en un plano cartesiano, y debe estar delimitada en un intervalo, el cuál fungirá como los límites dentro de los cuáles encontraremos el área, debemos de apoyarnos en los ejes cartesianos, con el fin de tener una referencia que nos permita calcular de manera más sencilla dicha área. En todos los casos se utilizan rectángulos para aproximarse al área definida por la curva de la función, estos rectángulos pueden ser tantos como se deseen recomendandosé que consideres que entre más utilices más exacto será el valor del área, sin embargo, minimamente requieres tres . Se utilizan rectángulos ya que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, situación que podrá calcularse de manera más sencilla si consideramos que :

Cada rectángulo tiene un límite superior y un inferior los cuáles denominaremos como xi+1 y xi, respectivamente, por lo que si restamos estos puntos obtendremos el valor de la base, lo denominaremos ∆xi

La altura estará indicada por la curva de la función, por lo que para calcular el valor

de la función en ese intervalo se deberá evaluar la función en cualquier punto de ese intervalo, llamando a ese punto wi. (recuerda wi esta dentro de cada intervalo)

Así como ya tenemos la base y la altura , el área final estará dada por la fórmula que indique la sumatoria de todos las áreas de los rectángulos anteriores. Así la fórmula para el cálculo del ártea bajo la curva, utilizando la Suma de Reimann es: Σf(wi)(xi+1-xi)= Σf(wi)∆xi Esta fórmula podrá ser más sencilla de aplicar si utilizamos la siguiente tabla:


No. de intervalo

(Xi, Xi+1) ∆xi (xi+1 – xi)

wi f(wi) f(wi)∆xi

1 2 3 Σf(wi)∆xi Ejemplo: Sea f(x)= 2x2

Obtenga el área bajo la curva en el intervalo [1,4]. Utilice la Suma de Reimann Solución: La fórmula a utilizar es: Σf(wi)(xi+1-xi)= Σf(wi)∆xi Lo primero a determinar es la cantidad de intervalos a utilizar, supongamos el mínimo que son tres. Recuerda que estos intervalos nos determinan el número de rectángulos a utilizar para definir el área. Intervalo 1= [xi,xi+1)= [x1,x2)= [1,2) Intervalo 2= [xi,xi+1)= [x2,x3)=[2,3) Intervalo 3= [xi,xi+1)= [x3,x4)= [3,4) Despúes deberemos calcular el valor de xi+1-xi= ∆xi Por tanto: ∆x1=x2-x1= 2-1= 1 ∆x2=x3-x2= 3-2= 1 ∆x3=x3-x2= 4-3= 1 Estos valores corresponden a la base de cada rectángulo a utilizar, en nuestro ejemplo cada rectángulo tiene como base uno, pero no siempre es así. Ahora para definir la altura debemos encontrar wi que este dentro de cada intervalo, definido anteriormente: Intervalo 1= [1,2), suponga w1= 1.5 Intervalo 2= [2,3), suponga w2= 2 Intervalo 3= [3,4), suponga w3= 3.8


Asi los valores de f(wi) serán: Si w1= 1.5 entonces f(w1)=2(1.5)= 3 Si w2= 2 entonces f(w2)=2 (2 )= 4 Si w3= 3.8 entonces f(w3)=2(3.8)= 7.6 Finalmente aplicando la fórmula Σf(wi)(xi+1-xi)= Σf(wi)∆xi f(w1)∆x1= 3(1) = 3 f(w2)∆x2= 4(1) = 4 f(w3)∆x3= 7.6(1) =7.6 Así la suma de estos resultados será : 3+4+7.6=14.6 u2. Graficamente estamos calculando la siguiente área: 8 6 área 2

4.4 ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Obtén la diferencial de las siguientes funciones: 1.- y = 3x 5.- y = ln (3/2 x) 2.- y = π x3 6.- y = 73x-2

3.- y = 5 7.- y = 9 Cos 2x- 6x3 2)6(.4 −=− xey 3 24.8 xy =−

Comprueba que la derivada y la integral son funciones inversas, recuerda que esto lo

lograrás si al calcular su derivada , y después la integral se obtiene la misma función original.

1.- f(x)= 3x-5 3.- f(x) = 8x2

2.- f(x)= x5/2

Obtén el área bajo la curva de las siguientes funciones, utilice la suma de Reimann: 1.- y = 3x intervalo [–2,2] 4.- y = ln (2 x) intervalo [1,2] 2.- y = x3 intervalo [0,3] 5.- y = 2x intervalo [1,4]3.- y = 5 intervalo [-4,0] 6.- y = x2 -1 intervalo [-1,4]


U N I D A D V

La Integral indefinida

O B J E T I V O

Que el alumno aplique la integral indefinida, a partir del empleo de las antiderivadas y su interpretación, para la resolución de problemas de diversa índole disciplinaria.

TEMAS

5.1 Antiderivadas 5.2 Reglas Básicas de Integración

Integrales inmediatas y casos especiales Constantes Términos Distintos Potencias Logaritmos Naturales Exponenciales

5.3 Cálculo de la constante de integración 5.4 Estrategias de Aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD 5.1 Antiderivadas

Cada vez que existe una enfermedad se utiliza un antídoto para combatirla, es decir

para dejar al ser humano en su estado original, antes de la enfermedad. Así, hemos visto que la integral es la función inversa o el antídoto de las derivadas

(Unidad 1), ya que nos permite regresar a la función original, por tal motivo a las integrales también se les conoce como antiderivadas.

Para poder obtener las antiderivadas o integrales se utilizan algunos teoremas ya establecidos mundialmente que nos ayudan a acelerar el proceso de resolución, ya que en caso de no existir deberíamos trabajar en ejemplos de prueba y error, hasta obtener la antiderivada correcta.

Así estos teoremas básicos son los siguientes: No. de Teorema

Función a Integrar Resultado de la Integral

1 ∫a dx

a x + c

2 ∫[ f(x)+ g(x)] dx

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx


3 ∫u

m du

U m+1 +c m≠ -1, u = función cualquiera m+1

4 ∫du u

ln |u| +c

5 ∫a

u du

a u

+ c, a>0, a≠ 1 ln a

6 ∫ e

x dx

e

x

Para poder calcular estas integrales indefinidas o antiderivadas utilizaremos los

teoremas anteriores, para lo cuál revisaremos como se deben aplicar cada uno y en que casos.

5.2 Reglas Básicas de integración y Casos especiales Las Integrales inmediatas son todas aquellas integrales que pueden resolverse con

tan solo aplicar el teorema correspondiente por lo que en este rubro aplican los siguiente tipos de integrales:

La integral de una constante

1 ∫a dx

a x +c

Ejemplo:

Si se busca ∫5dx su resultado es 5 x, es decir a la constante se repite en el resultado

y ∫dx es x, por lo que el resultado final es 5x + c

Términos Distintos

2 ∫[ f(x)+ g(x)] dx

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Ejemplo:

Si se busca ∫(5 + ¾)dx su resultado se obtiene calculando de manera separada los términos, respetando su signo.

Por tanto, deberás calcular en este caso dos integrales

∫5dx y ∫3/4dx el resultado final será el de cada una de las integrales, es decir: 5x+ ¾ x +c


Potencias

3 ∫u

m du

U m+1 m≠ -1, u = función cualquiera m+1

Ejemplo:

Si se busca ∫x3 dx = x3+1/(3+1) + c = x4/4 + c Como se puede apreciar en el ejemplo, al exponente se le suma uno y el mismo

resultado se coloca en el denominador de la fracción. Ejemplo: Si se busca la integral de una potencia que tenga una constante antes

como es el siguiente caso, la constante debe sacarse de la integral e integrar como el ejemplo anterior:

∫8x3 dx = 8 ∫x3 dx = 8 x4/4 + c = 2x4 + c Ejemplo: Si se busca la integral de una raíz, se puede trabajar como potencia,

recuerde que el exponente de la base estará en el numerador y el del radical en el denominador, y proceder como el teorema de potencias:

∫(3√x dx = ∫x1/3 dx = x1/3+1/ (1/3+1) = x4/3 /(4/3)= 3/4x4/3+ c Los teoremas se pueden ir combinando, así que si desea calcular la siguiente

integral, deberá utilizar los teoremas anteriores. Ejemplo:

∫(3√x +5x3) dx = ∫3√x dx + ∫5x3 dx =∫x1/3dx + ∫5x3 dx = x1/3+1+ 5x3+1 + c = 1/3+1 3+1 = x4/3+ 5x4 + c = 3x4/3+ 5x4 + c 4/3 4 4 4

Casos especiales Ejemplo: En el caso de fracciones el teorema de potencias, solo funciona cuando la potencia

se encuentra en el numerador, por lo que si se busca resolver alguna integral como la siguiente, primero se debe colocar el exponente en el numerador, situación que se puede resolver al cambiar de signo el mismo, para entonces aplicar el teorema.

∫(1/z5) z =∫z -5 dz = z –5+1 /(-5+1) +c = z –4/(-4) +c= - 1/(4z4) +c

Observe que en este ejemplo, el resultado de la integral se coloca con exponentes positivos, por lo que se debe colocar en el denominador para cambiar de signo a z-4.

Ejemplo:


En este último ejemplo debe observar que si se aplica el teorema cuando el exponente de x es igual a –1 tendremos:

∫ x-1dx= x-1+1/(-1+1)= x0/0= 1/0= ∝ Como se puede apreciar este resultado no es válido, ya que cualquier número

dividido entre cero es igual a infinito, por lo que en este caso no se utiliza este teorema sino el siguiente.

Logaritmos Naturales

4 ∫du u

ln |u| +c

Ejemplo:

Si se busca ∫ dx/x = ∫ x-1dx= ln x + c Como se pudo observar en el teorema de potencias , si el exponente es igual a

menos 1, no se puede utilizar ese teorema, por lo que se debe utilizar el de logaritmo natural.

Ejemplo:

Si se busca ∫ 10xdx/5x2 = ln 5x2 + c En este ejemplo, el valor de la función es 5x2 y su derivada es 10x, por lo que se

tiene la función en el denominador y su derivada en el numerador, situación que será resuelta por este teorema como el logaritmo natural (ln) de la función u, que en este caso es 5x2

Casos especiales Ejemplo: En el caso de que se tenga una función en el denominador, y su derivada este casi

completa, pero le falte algún número a su derivada, se puede resolver agregando ese número que falta, esto solo es válido para agregar números, no se pueden agregar letras.

Así ese número no debe alterar la integral, por lo que se sugiere colocar el número

de forma que siempre sea similar a la unidad. Es decir, si hace falta un 4 en la derivada se agregará en la integral 4/4 que es igual

a la unidad, de igual manera si falta –3/4 , se agregará (–3/4)/(-3/4) que también es igual a la unidad, recuerda un número sobre el mismo, siempre dará la unidad.

Este truco algebraico se realiza para poder resolver la integral, y de esta manera se

utiliza el número que se requiere para la derivada , el otro número ya sea del numerador o del denominador se puede sacar de la integral ya que es una constante, lo cuál permite entonces resolver la integral sin problemas.


∫(1/3z) dz Como puede verse la función es 3z, esta en el denominador, y su derivada es 3dz, la

cuál no aparece completa (falta un 3). Por tanto esta integral es equivalente a colocar 3/3 dentro de la integral original, ya

que 3/3=1 y de esta manera no se altera

∫(1/3z)(3/3) dz Como se ve el 3 del denominador puede tratarse como una constante y sacarse de la

integral, para resolver la integral con este teorema, ya que tendremos la función 3z en el denominador y su derivada 3dz en el denominador.

1/3 ∫(1/3z)(3) dz = 1/3 ln (3z)+c

Exponenciales

5

∫a u du

a u

+ c, a>0, a≠ 1 ln a

6 ∫ e

x dx

e

x

Para estos casos utilizaremos los dos teoremas anteriores ya que en el caso de la función e, solo deberá cuidarse tener la derivada de su exponente para poder integrar, y en el caso de la función “a”, donde “a” es una constante que esta elevada a un valor que tiene alguna variable se deberá de cuidar que se tenga la derivada dentro de la integral antes de resolverla. Ejemplo : Observa que esta integral tiene un número elevado a un valor que tiene alguna variable en este caso x2. Además la derivada del exponente x2 no aparece, ya que debe ser 2xdx, y solo aparece la xdx, por lo que le falta un 2. Así recordemos que para poder resolver esta integral debemos utilizar nuestro truco algebraico de poner el mismo número arriba y abajo para que se forme la unidad y de esta manera no se altere la inttegral, por tanto:

∫5x2xdx = 2 ∫5x2xdx =1 ∫5x22xdx = 1 5x2 +c 2 2 2 ln 5

Ejemplo : Observe que en este ejemplo, se encuentra la derivada del exponente, si el exponente es y su derivada es dy, en el caso de la constante solo se saca de la integral y se procede de acuerdo al teorema.


∫7eydy = 7∫eydy = 7ey+c 5.3 Cálculo de la constante de integración

La constante de integración llamada c, la hemos venido utilizando al resolver cada una de nuestras integrales inmediatas, ya que el resultado siempre va acompañado de esta variable llamada c. En ocasiones, esta variable es posible calcularla si tenemos algunos valores de “x” y de “y”, es decir si tenemos un punto de la función a integrar. Esto es posible al sustituir la coordenada de “x” en el resultado de la integral e igualarla al valor de la coordenada en “y”, ya que el resultado de la integral es una función y las funciones podemos denominarlas como “y”.

Ejemplo: Encontrar la integral que satisfaga la ecuación siguiente, tal que contiene al punto que se relaciona (1,5)

∫ (3x + 3/x)dx Solución:

∫ (3x + 3/x)dx = 3 x2 + 3 ln x + c 2 Como el punto es (1,5), la primer coordenada corresponde a x y la segunda a y, por lo que sustituyendo en la integral obtenida , encontraremos el valor de la constante c, para sustituir en la integral obtenida y obtener la ecuación buscada: y = 3 x2 + 3 ln x + c 2 5= 3 (1)2 + 3 ln (1) + c 2 5-3/2=c c = 7/2 Por lo que la ecuación es: y = 3 x2 + 3 ln x + 7/2 2 Ejemplo: El punto (3,2) está ubicado en una curva y en cualquier punto (x, y) de la curva, la tangente tiene una pendiente igual a 2x-3. Formule la ecuación de la curva.


Solución:

∫ (2x - 3)dx = 2 x2 - 3 x + c = x2 - 3 x + c 2 Como el punto es (3,2), la primer coordenada corresponde a x y la segunda a y, por lo que sustituyendo en la integral obtenida , encontraremos el valor de la constante c, para sustituir en la integral obtenida y obtener la ecuación buscada: y = x2 - 3 x + c 2= (3)2 - 3 (3) + c c = 2 Por lo que la ecuación es: y = x2 - 3 x + 2

5.4 Estrategias de aprendizaje

Resuelve las siguientes Integrales Inmediatas

1) ∫ x6 dx 2) ∫ dx/x3 3) ∫ (2x3 – 5x2 – 3x + 4) dx 4) ∫ (2x / x2) + 3) dx 5) ∫ ((x3 – 6x + 5) / x ) dx 6) ∫ x (2 + x2)2 dx 7) ∫ dx / (2+3x) 8) ∫ 6e3x dx 9) ∫ 74x dx

Encontrar la integral que satisfaga la ecuación siguiente, tal que contiene al punto que se relaciona (-2,3)

∫ (x2 + 4/x -3x) dx El punto (-2,5) está ubicado en una curva y en cualquier punto (x, y) de la curva, la tangente tiene una pendiente igual a x3+6x. Formule la ecuación de la curva.


U N I D A D VI

La integral definida

O B J E T I V O

Que el alumno aplique la integral definida, por medio del uso de los métodos de integración para la resolución de problemas geométricos, físico, biológicos y económicos entre otros.

TEMAS 6.1 Velocidad 6.2Integrales de funciones trigonométricas directas e inversas 6.3 Métodos de Integración

Cambio de variable Por partes Fracciones Parciales

6.4 La Integral definida

SINTESIS DE LA UNIDAD 6.1 Velocidad Está comprobado que Leibniz y Newton inventaron el cálculo debido a que estaban interesados en problemas de movimiento. En movimientos rectilíneos, existen variables como distancia, tiempo y velocidad, esta última se define como la distancia recorrida en cierto tiempo , es decir como distancia sobre tiempo, estas variables se identifican por periodos o intervalos, por lo que se debe contar con valores iniciales y finales, siendo estos punto de partida (distancia en el punto inicial), y punto de llegada (distancia en el punto final), de esta manera la distancia recorrida será distancia en el punto final – distancia en el punto cero Así podemos decir que la velocidad = v V = distancia = distancia en el punto final – distancia en el punto inicial = ∆ d Tiempo tiempo en el punto final- tiempo en el punto inicial ∆ t la fórmula podrá reducirse a : v = ∆ d = velocidad o velocidad media

∆ t


En caso de requerir la distancia final recorrida (S) , se podrá despejar de la fórmula anterior obteniendo que ∆ d = (v) ∆ t, y por tanto como ∆ d= distancia final (S) - distancia inicial(So) distancia final recorrida (S) = (v) ∆ t + distancia inicial (So) S= (v) ∆ t + So Existen otros conceptos relacionados con la velocidad como la velocidad instantánea La velocidad instantánea es la velocidad en un instante determinado (t2 t1) Cuando t2 t1, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea, por lo su fórmula es: lim = S-So (note que esta notación es la de las derivadas) t2 --> t1 t2- t1 Por tanto la velocidad instantánea = derivada de la velocidad media Bajo el mismo concepto la aceleración (a) es la derivada de la velocidad instantánea o la segunda derivada de la velocidad media. Recapitulando , si y es la función que describe la velocidad media de un objeto, la relación existente entre la velocidad instantánea y la aceleración con esta primera es: Y = velocidad media Y´ = velocidad instantánea Y´´ = aceleración Ejemplo: Supongamos que la siguiente expresión y= 5t2+ 3t -2 , nos da la posición con respecto al tiempo, encuentre :

a) la velocidad instantánea b) la aceleración

Solución: a) velocidad instantánea y´= 10t+3 b) aceleración y” = 10

Ejemplo: Ahora supongamos que un punto se mueve en línea recta de tal manera que la aceleración esta dada por a(t)= 12t-4. Encuentre la función que identifica la


posición del punto en relación con el tiempo (velocidad media), suponiendo que v(0)=8 y s(0)=15 Solución: Como usted recordará la función inversa de la diferenciación es la integración, o bien dicho de otra manera la inversa de las derivadas son las integrales o viceversa: a(t)= 12t-4 v(t)= velocidad instantánea = ∫(12t-4 )dt = 12t2/2 – 4t= 6t2 – 4t +c v(t)= 6t2 – 4t +c como v(0)=8 --> 6(0)2 -4(0)+c=8, por lo que c=8, y la v(t) = 6t2 – 4t + 8 s(t)= velocidad media, posición del punto en relación con el tiempo = ∫ (6t2 – 4t + 8 )dt = 6 t3/3 –4t2/2+8t +c = 2 t3 – 2t2+8t +c s(t) = 2 t3 – 2t2+8t +c como s(0)=15 --> 2 ( 03 )– 2(0)2+8(0) +c =15, por lo que c= 15, y entonces la función buscada es : s(t)= 2 t3 – 2t2+8t +15 6.1 Estrategias de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios : 1.- Supongamos que un movil tiene una aceleración dada por a(t)= 2/5t2-4. Encuentre la función que identifica la posición del punto en relación con el tiempo (velocidad media), suponiendo que v(0)=3 y s(0)=7 2.- Supongamos que la siguiente expresión y= 3/8t2- 8t +2 , nos da la posición con respecto al tiempo, encuentre :

c) la velocidad instantánea d) la aceleración

3.- Supongamos que una moto tiene una aceleración dada por la función a(t)= t2/5+t-1. Encuentre la función que identifica la posición del punto en relación con el tiempo (velocidad media), suponiendo que v(0)=2 y s(0)=1/5 4.- Supongamos que la siguiente expresión y= 8t2/3 +5 , nos da la posición con respecto al tiempo, encuentre :

e) la velocidad instantánea f) la aceleración

6.2 Integrales de funciones trigonométricas directas e inversas No. de Teorema

Función a Integrar Resultado de la Integral

12 ∫ Sen x dx

- Cos x


13 ∫ Cos x dx

Sen x

14 ∫ Tan x dx

- ln Cos x

15 ∫ Cot x dx

ln Sen x

16 ∫ Sec x dx

ln (Sec x + Tan x)

17 ∫ Sec

2 x dx

Tan x +c

18 ∫ Sen x Cos x dx

½ Sen 2 x

19 ∫ dx

a2+x

2

1 Arctan xa a

20 ∫ dx

√a2- x

2

Arcsen x a

21 ∫ dx

√x2± a

2

ln (x+ √x

2± a

2)

Ejemplos: Teorema 12

∫ Sen 3x dx = ∫ Sen 3x 3/3 dx Sea u=3x, entonces du= 3dx como falta este número y para no alterar la integral, recuerda poner la unidad ( es decir, el número que falta entre el mismo, en este caso 3/3), así nuestra integral queda como :

∫ Sen 3x 3/3 dx= 1/3∫ Sen 3x 3 dx = - 1/3 Cos 3x +c

Teorema 13

∫ Cos 2πx dx =Sea u=2πx, entonces du=2πdx como falta este número y para no alterar la integral, recuerda nuevamente poner la unidad ( es decir, el número que falta entre el mismo, en este caso 2π/2π), así nuestra integral queda como :


∫ Cos 2πx 2π/2πdx = 1/2π∫ Cos 2πx 2π dx = 1/2π Sen 2πx +c Casos especiales: Recuerda que para continuar con estos teoremas deberás utilizar los vistos anteriormente: Ejemplo:

∫ (Cos 2/3x + xSen x2 )dx =

En esta integral deberemos resolverla separando por términos, resolviendo cada una

de manera independiente, nota que la segunda intgeral tiene elevada la variable a una

potencia :

∫ Cos 2/3x dx + ∫ xSen x2 dx = Sen 2/3 x + ∫ xSen x

2 2dx

2/3 2 = 3Sen 2/3 x - Cos x2 + c 2 2 Ejemplo:

∫ Cos3 5x Sen 5x dx = Nota que en esta integral la función esta elevada a una potencia, por tal motivo utilizaremos el teorema para integrar potencias, así la función a integrar será Cos3 5x dx, Donde u= Cos 5x , n = 3, du= 5 Sen 5x dx Como puedes observar falta el número 5 de la derivada así que pondremos 5/5 para no alterar la integral:

∫ Cos3 5x 5 /5Sen 5x dx = 1/5 ∫ (Cos3 5x 5Sen 5x )dx = 1/5 Cos 4 5x +c = 1/20 Cos 4 5x +c 4 Teorema 14

∫ Tan 3/7 x dx =

Sea u= 3/7 x, entonces du = 3/7 dx, así nuevamente debemos poner 3/7 en el numerador y 3/7 en el denominador, quedando :

∫ Tan 3/7 x 3/7 dx = - 7/3 ln Cos 3/7 x +c = 7/3 ln sec 3/7 x +c

3/7

Casos especiales :

Ejemplo:

∫ Tan2 5 x dx =

A veces debemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas para resolver la integral, por lo que

recuerda que Tan 2x = Sec 2x-1 . Por lo que la integral queda utilizando el teorema 17 como :


∫ (Sec2 5 x – 1) dx = ∫ Sec

2 5 x dx – ∫1 dx = 1/5 Tan 5x – x + c

Ejemplo:

∫ 2Tan4

2 x Sec2 2x dx =

Como existen funciones elevadas a una potencia utilizaremos nuevamente el teorema de potencias, así

la función principal será la de mayor exponente, por tanto u = Tan 2 x , n= 4 du= 2Sec2 2xdx, como

tenemos todos los elementos, podemos integrar como:

∫ 2Tan4

2 x Sec2 2x dx = 1/5Tan

5 2 x +c

Nota:

Los teoremas del 15 al 18, se presentan de manera similar a los ejemplos anteriores por lo que nos concentraremos en el teorema 19

Teorema 19: A partir de este teorema se les llama a las funciones, funciones trigonométricas inversas

∫ 2zdz

16+z4

Aquí como podemos observar el valor de a , será el de una constante, y el de u, el de la función: a2= 16, u2= z4 por tanto u= z2, du= 2z dz, a= 4

Como tenemos ∫ dx y esto es igual a: 1/a Arc Tan u/a +c

a2+x

2

Bastará con sustituir:

∫ 2zdz = ¼ Arc Tan z2/4 +c

16+z4

Los teoremas subsiguientes se aplican de manera similar cambiando en algunos casos si la constante (a), y la variable (u) se presentan como raíces, si son restas, si son elementos del denominador.

6.2 Estrategias de aprendizaje Integra las siguientes funciones trigonométricas 1.- Sen ¾ x dx 2.- Sen 3 y Cos y dy 3.- 5 Tan 2 z dz 4.- Sec 2 2x dx 5.- Csc 2 (3+5x) dx 6.- (Tan 2 3x –Sec 2 3x)dx


7.- Csc ¾ xCot 3/4x dx 8.- (Tan 3x + Sen 2x)dx Integra las siguientes funciones trigonométricas inversas 1.- dx 3.- (x+4)dx 9-x2 √16-x2

2.- dx__ 4.- dx √81-x2 3+4x2

5.- dx 6.- dy √9-16x2 25-4y2 6.3 Métodos de Integración

Existen algunas integrales que no pueden resolverse de forma inmediata, y que para poder solucionarlas utilizando los teoremas revisados anteriormente, es necesario utilizar los siguientes métodos de integración.

Cabe señalar que es indistinto utilizar alguno en particular, sin embargo, debes conocer los cuatro principales para que de acuerdo a tus habilidades utilices el más conveniente.

Método de integración por Cambio de variable ó Sustitución

También conocido como el de sustitución, se basa en el siguiente teorema: Si F´(x)= f(x) sobre un intervalo I, entonces ∫ f(g(x) g´(x) =∫ f(u) du donde u = g(x) y du = g´(x) dx La función a la que se le asignará u, deberá ser la más complicada en la

expresión original. Es importante resaltar que para poder aplicar este método de sustitución, la

diferencial de u, que es du = g´(x)dx, debe encontrarse en el integrando. Ejemplo: Calcule la integral de ∫ 2x 3√(x2+1) dx Como puedes ver esta integral puede tambíen colocarse como : ∫ 2x (x2+1)1/3 dx Recuerda que la función a la que se le asignará u, deberá ser la más

complicada en la expresión original.


Así podemos considerar que u = (x2+1) du= 2xdx, como puedes observar

du esta en el integrando, por lo que si sustituimos en la integral tenemos: ∫2x (x2+1)1/3 dx = ∫ (x2+1)1/3 2xdx = ∫ (u)1/3 du = u1/3+1/(1/3+1)+c = u4/3/(4/3)+c= 3/4 u4/3 +c El resultado final lo obtendremos al susituir nuevamente el valor de u, por el

valor inicial. Por tanto el resultado será 3/4(x2+1) 4/3 +c Recuerda que el resultado se puede comprobar si derivamos el resultado de

la integral y obtenemos la función a integrar. Ejemplo: Calcule la integral de ∫ 3√(3x- 5) dx Sea u= 3x-5, du= 3dx, como falta el 3, pondremos 3/3 para no alterar la

integral, así deberemos integrar: ∫ 3√u 3/3dx= 1/3∫ 3√u 3dx 1/3∫ (u)1/3 du= (1/3)u4/3/(4/3)+c= 3/12u4/3+c= ¼ (3x- 5) 4/3+c

6.3 Estrategias de aprendizaje Método de sustitución

Integra utilizando el método de sustitución: 1.- 3√3x-5 dx 2.- √1-7x dx 3.- 2/ √2x dx 4.- (3x+1)4 dx 5.- t2 √(t3-1) dx Método de integración por partes En este método lo primero que deberemos identificar es que se utiliza al

querer integrar dos funciones. Proviene de la fórmula que utilizamos para derivar un producto de funciones, que como recuerdas era la siguiente:

d(uv)= udv+vdu, de donde si despejamos udv= d(uv)-vdu donde u=f(x) y v=g(x) son dos funciones. Si integramos de cada lado de la igualdad anterior tendremos : ∫udv = ∫d(uv)- ∫vdu = uv - ∫vdu Con esta fórmula utilizaremos el método de intgeración por partes


Observa que los valores que están dentro de la integral son udv, por tanto, uno de ellos tomará el valor de u, y el otro de dv.

Así deberemos tomar como u, el valor más sencillo, o bien aquel que tenga

la potencia más alta, ya que al derivar irá siendo cada vez de grado menor. Por consiguiente dv, será el otro valor el cuál habremos de integrar, ya que necesitamos el valor de v, y no lo tenemos.

En esta asignación existen excepciones como es el caso de la función ln

(logaritmo natural), ya que esta función no puede integrarse, por lo que deberá tomarse como u, y la otra función como dv.

Este procedimiento se repetirá tantas veces como sea necesario hasta

eliminar la integral de la segunda parte de la fórmula. Ejemplo: Calcula la integral de: ∫(2x+1) Sen (5x)dx Recuerda que la fórmula a utilizar es: ∫udv = uv - ∫vdu Recuerda que los valores que están dentro de la integral son udv, por tanto,

uno de ellos tomará el valor de u, y el otro de dv. Supón u= (2x+1), por lo que dv = Sen (5x)dx Como podemos apreciar en la fórmula nos falta el valor de du y de v, para

obtenerlos deberemos derivar u, e integrar dv. Así du= d(2x+1) = 2dx v = ∫dv = ∫Sen (5x)dx = -1/5Cos (5x) Aplicando la fórmula tenemos: ∫udv = uv - ∫vdu ∫(2x+1) Sen (5x)dx = (2x+1) (-1/5Cos (5x)) - ∫(-1/5Cos (5x))2dx = - (2x+1) Cos(5x)+ 2 ∫Cos (5x)dx 5 5 = - (2x+1) Cos(5x)+ 2 Sen (5x) +c 5 25 Ejemplo: Suponga ∫2x (x2+1)1/3 dx Recuerda que la fórmula a utilizar es: ∫udv = uv - ∫vdu Sea u = (x2+1)1/3 y dv= 2x dx


Como podemos apreciar nuevemante en la fórmula nos falta el valor de du y de v, para obtenerlos deberemos derivar u, e integrar dv.

Así du= d(x2+1)1/3 v = ∫dv = ∫2xdx = x2

du = 1/3 (x2+1)1/3-12x = 2x/3(x2+1)-2/3

Aplicando la fórmula tenemos: ∫udv = uv - ∫vdu ∫ (x2+1)1/3 2x dx = (x2+1)1/3x2- ∫ x22x/3(x2+1)-2/3dx = (x2+1)1/3x2-1/3 ∫ x22x (x2+1)-2/3 dx

= observa como en el segundo término se repite el procedimientoya que la integral no es inmediata

u= x2 dv=2x(x2+1)-2/3dx Entonces du= 2xdx v = (x2+1) 1/3

Como ∫ (x2+1)1/3 2x dx = (x2+1)1/3x2-1/3 ∫ x22x (x2+1)-2/3 dx y 1/3 ∫ x22x (x2+1)-2/3 dx = uv - ∫vdu = 1/3[x2 (x2+1) 1/3- ∫ (x2+1) 1/32xdx] Así la integral

∫ (x2+1)1/3 2x dx = (x2+1)1/3x2-1/3[x2 (x2+1) 1/3- ∫ (x2+1) 1/32xdx] = (x2+1)1/3x2-1/3x2 (x2+1) 1/3 +1/3∫ (x2+1) 1/32xdx reduciendo términos semejantes ∫ (x2+1)1/3 2x dx = 2/3(x2+1)1/3x2+1/3∫ (x2+1) 1/32xdx Observa que la integral que corresponde al segundo término es igual que la

que queremos resolver, por lo que podemos pasarla al lado izquierdo de la igualdad y realizar la suma o resta, para despúes despejar el término independiente y obtener la respuesta ∫ (x2+1)1/3 2x dx -1/3∫ (x2+1) 1/32xdx = 2/3(x2+1)1/3x2

2/3 ∫ (x2+1)1/3 2x dx= 2/3(x2+1)1/3x2

∫ (x2+1)1/3 2x dx= (x2+1)1/3x2+c 6.3 Estrategias de aprendizaje Método de integración por partes 1.- x3e2x dx 2.- x (1+x)1/2 dx 3.- x ln 3x dx 4.- x2 Sen x dx 5.- Sen 2 x dx 6.- ex Cos x dx 7.- x ln x dx 8.- x2 e-x dx

Método de integración por fracciones Parciales

Este método consiste en descomponer en varios factores a una función racional, de tal manera que sea más sencilla la integración de dicha función, por tanto se


asignarán variables distintas a las ya conocidas (“x´s”), y se deberá encontrar el valor de las mismas para que se encuentre la integral original . Para lo cuál deberemos realizar los siguientes pasos: 1.- Factorizar el denominador de la fracción a integrar . 2.- Colocar tantas incógnitas en el numerador como factores se tengan en el denominador 3.- Separar en términos de tal manera que a cada incognita del numerador, le corresponda un factor del denominador 4.- Resolver como una suma de fracciones, de tal manera que las incógnitas queden involucradas en un numerador general 5.- Agrupar los términos, considerando a la variable de la función original como la común (“x”) 6.- Igualar los coeficientes de x, del numerador de la derecha con los de la función original a integrar 7.- Resolver las ecuaciones que se obtienen para encontrar las incógnitas colocadas en el punto 2 y sustituir en las integrales del punto 3. 8.- Integrar de manera separada cada factor, siendo este resultado el valor de la integral original. Ejemplo: ∫ ( x+1)dx = punto 1 ∫ (x+1)dx = ∫ (x+1) dx = x3+x2-6x x( x2+x-6) x( x+3)(x-2) = punto 2 (3 variables, A,B,C porque son 3 factores)

= punto 3 ∫ A dx + ∫ B dx + ∫ C dx = Nota que si conocemos A,B,C x x+3 x-2 podemos integrar de

inmediato = punto 4 A(x+3)(x-2) + B(x)(x-2)+C(x)(x+3) = (x) (x+3) (x-2) = A(x2+3x-2x-6)+B(x2-2x)+C(x2+3x) = (x) (x+3)(x-2) = Ax2+3Ax-2Ax-6A+Bx2-2Bx+Cx2+3Cx = (x) (x+3)(x-2) = punto 5 x2 (A+B+C) + x(3A-2A-2B+3C) -6A = (x) (x+3)(x-2) = punto 6 Para encontrar A,B y C, debemos igualar numeradores

(x+1) = x2 (A+B+C) + x(3A-2A-2B+3C) –6A Nota que 3A-2A= A


Como no hay x2 en la integral original se pone 0x2

Igualando con x2

0 x2 = (A+B+C) x2 0 = A + B +C Ecuación 1 Igualando con x

x = (A-2B+3C)x 1 = A -2B +3C Ecuación 2 Igualando los términos independientes

1 = -6A Ecuación 3 = punto 7 Para resolver el sistema de ecuaciones tenemos las ecuaciones 1,2,y 3

0 = A + B +C Ecuación 1 1 = A -2B +3C Ecuación 2 1 = -6A Ecuación 3

De la ecuación 3, A= -1/6, sustituyendo A en la ecuación 1 y 2 tenemos:

0 = -1/6 + B +C Ecuación 1 1 = -1/6 -2B +3C Ecuación 2

Reduciendo factores tendremos

1/6 = B + C Ecuación 1 1/6 = -2B +3C Ecuación 2

Resolviendo por el método de resolución de ecuaciones que prefieras C= 1/10, B =1/15 y ya teníamos A= -1/6

= punto 8 Como ya conocemos A,B y C podemos sustituir en el punto 3 y resolver cada integral por separado

∫ A dx + ∫ B dx + ∫ C dx x x+3 x-2

= ∫ -1/6 dx + ∫ 1/15 dx + ∫ 1/10 dx x x+3 x-2

= -1/6 ∫dx + 1/15∫ dx + 1/10∫ dx x x+3 x-2 ∫ ( x+1)dx = -1/6 ln x + 1/15 ln (x+3) + 1/10 ln (x-2) + c x3+x2-6x 6.3 Estrategias de Aprendizaje. Método de integración fracciones parciales a) (3x-4)dx b) (–33x+54)dx c) dx (x-1)(x+2) (x2+2x-8) (5x+x2) d) (2x-1) dx e) dx f) (4x2 + 3x - 4) dx (x)(x2+3x+2) x2-36 x(x-1)(x+2)


6.4 Integral definida Es importante recordar que la integral definida esta determinada por : b n ∫ f(x) dx = lim ∑ f(xi) ∆x ; donde n = (b-a)/ ∆x a ∆x 0 i=1 La importancia de la integral definida radica en su definición como el límite de una suma . El procedimiento de dividir un sistema en partes pequeñas y después juntarlas todas, tiene aplicación en muchos problemas. Uno de los más importantes es el cálculo del área bajo la curva en un intervalo determinado, para resolverla utilizaremos el Teorema Fundamental del Cálculo, que mencionamos en la siguiente unidad.


U N I D A D VII

Cálculo de áreas y volúmenes

O B J E T I V O

Que el alumno aplique la integral definida, a partir del empleo delas antiderivadas y métodos de integración, para la resolución de problemas de áreas y volúmenes de diversa indole disciplinaria.

TEMAS

7.1 Teorema Fundamental del Cálculo 7.2 Cálculo de áreas bajo la curva 7.3 Cálculo del área entre dos curvas 7.4 Cálculo de una superficie en revolución 7.5 Cálculo del volumen de un sólido 7.6 Estrategias de aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD

7.1 Teorema Fundamental del Cálculo El concepto visto en la unidad anterior de integral definida nos lleva al uso del Teorema Fundamental del Cálculo, que nos indica que la integral definida puede expresarse en términos de una integral indefinida evaluada en los límites : b b ∫ f(x) dx = F(b)-F(a) = ∫ f(x) dx ⏐ a a Recuerde que :

b a ∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx a b Ejemplo: Sea f(x)= 5x-8 Obtenga la integral definida en el intervalo 2,5 Solución: b 5 5 ∫ f(x) dx = ∫ (5x-8) dx= 5x2/2-8x ⏐ = [5(5)2/2-8(5)]-[5(2)2/2-8(2)]= 45/2-(-6) a 2 2 = 45/2+6 = 57/2 u2


7.2 Cálculo de áreas bajo la curva Con ayuda del teorema fundamental de cálculo se puede obtener el área bajo la curva, utilizando como límites superior e inferior los valores de los intervalos en donde esta definida la curva de la función. Por ejemplo : Sea la función f(x)= 2x2 Calcule el área bajo la curva de la función en el intervalo 2,3 Solución: Utilizando el teorema fundamental del cálculo tenemos que buscar : 3 3 ∫ 2x2 dx = 2x3 ⏐ = 2(3)3 – 2(2)3 = 54 - 16 = 38 u2

2 3 2 3 3 3 3 3 18 8 área 2 1 2 3 Calcule : 2π 2π ∫ Sen θ d θ = - Cos θ ⏐ = - ( Cos (2π) – Cos (0) ) = - (1 - 1) = 0 0 0 El área es cero, ya que se anulan las áreas, una es positiva y otra negativa, como se puede observar en la figura siguiente: 1

A1 0 π A2 2π -1 Ejemplo: Calcule : π π ∫ Sen θ d θ = - Cos θ ⏐ = - ( Cos (π) – Cos (0) ) = - (- 1 - 1) = 2 0 0 El área es dos, como se puede observar en la figura siguiente:


1

A1 0 π -1 Ejemplo: Calcule : x x x x x x x ∫ (1- e-x )dx = ∫ dx - ∫ e-x dx = x ⏐ – (-1) ∫ e-x dx = x ⏐ – ( - e-x )⏐ = 0 0 0 0 (-1) 0 0 0 x + e-x - (0+e0) = x + e-x - 1 El área es x + e-x - 1, como se puede observar en la figura siguiente: eje y ----------------- area

x eje x 7.3 Area entre dos curvas: El área determinada entre las graficas f(x) y g(x)en el intervalo (a,b), esta determinada por la integral: b A = ∫ [f(x) - g(x)] dx a

Ejemplo: Región limitada por las curvas: f(x) =x3 y g(x) =x

Solución: b A = ∫ [ x3 -x] dx a

Los puntos donde intersectan las curvas son los que se obtienen al igualar las dos funciones (esto es para determinar los límites de la integral): x3= x x3 - x=0 (resuélvase con la fórmula general x = (-b±√ b2-4ac)/2a


x(x-1)(x+1)=0 x =0, -1, 1 Por tanto, el área determinada por las curvas va del intervalo –1 a 1, los cuáles corresponden a los límites a y b de la integral, sin embargo, como existe una raíz adicional cuando x=0, entonces deberemos seccionar la integral, así sustituyendo: 1 0 1 0 1 A = ∫ [ x3 -x] dx = ∫ [ x3 -x] dx +∫ [ x3 -x] dx =x4/4-x2/2 |+ x4/4-x2/2 | = -1 -1 0 -1 0

El valor del área será el obtenido al sustituir los límites superiores e inferiores en la función original. Así x4/4-x2/2 evaluada de –1 a 0 = (04/4-02/2) – ((-1)4/4-(-1)2/2) = 0 – (1/4-1/2)=1/4 y x4/4-x2/2 evaluada de 0 a 1 = (14/4-12/2)- ( 04/4-02/2) = (1/4-1/2) –0 = -1/4 como el valor del área no puede ser negativo se toma como valor absoluto, por lo que cada área parcial queda como : ⏐1/4 ⏐+ ⏐-1/4 ⏐ = 2/4 = 1/2 u2

7.4 Cálculo de una superficie en revolución Otra de las aplicaciones de la integral definida es la superficie en revolución Si un arco de una curva gira en torno de una recta que no corta el arco, entonces la superficie resultante se denomina superficie de revolución. Por área de superficie de dicha superficie se entiende el área de su superficie externa. Sea f una función continua en a,b que es diferenciable en (a,b) y tal que f(x)>=0 para a<=x<=b. Entonces el área de superficie S de la superficie de revolución generada al girar la gráfica de f en a,b en torno al eje x, esta dada por la fórmula: b ________ b

S= 2 π ∫ y √(1+ (dy)2 ) dx = 2 π ∫ f(x) √(1+ (f´(x))2 ) dx a dx a Existe otra fórmula que se obtiene cuando se intercambian los papeles de x y de y. La cuál se utiliza cuando se requiere calcular el área de superficie S de la superficie de revolución generada al girar la gráfica de g en c, d en torno al eje y, esta dada por la fórmula: d d

S= 2 π ∫ x √(1+ (dx)2 ) dy = 2 π ∫ g(y) √(1+ (g´(y))2 ) dy c dy c


Ejemplo: Hallar el área S de la superficie de revolución generada al girar en torno del eje y el arco x=y3 desde y =0 hasta y=1 Solución: g(y)= y3

dx/ dy = g´(y)= 3y2

g´(y)2= 9y4 sustituyendo en la fórmula: d d

S= 2 π ∫ x √(1+ (dx)2 ) dy = 2 π ∫ g(y) √(1+ (g´(y))2 ) dy c dy c d d 1 S= 2 π ∫ y3 √(1+9 y4) dy = 2 π ∫ y3 (1+9 y4)1/2 dy =2 π ∫ 36y3 (1+9 y4)1/2 dy c c 0 36 1 1 S= 2 π ∫ 36y3 (1+9 y4)1/2 dy = 18π (1+9 y4)3/2 ⏐ = π (10 √10 -1) unid. cuadradas 36 0 3/2 0 27 Ejemplo: Hallar el área S de la superficie de revolución generada al girar en torno del eje x el arco de la parábola y2 =12x desde x =0 hasta x =3 Solución: y = f(x)= √12x y2=12x dy/ dx = f´(x)= ½ (12x)-1/2(12)= 6(12x) -1/2= 6/(12x)1/2= 6/ √12x = 6/y f´(x)2= 36 / y2

1+ (f´(x))2 )= 1+ 36 / y2= (y2 + 36 )/ y2

sustituyendo en la fórmula: b b

S= 2 π ∫ y √(1+ (dy)2 ) dx = 2 π ∫ f(x) √(1+ (f´(x))2 ) dx a dx a b ________ b 3 S= 2 π ∫ y √(y2+36) /y2dx = 2 π ∫ √(y2+36) dx =2 π ∫ √(12x+36) dx a a 0


3 3 3 S= 2 π ∫ (12x+36) 1/2 dx = 2π ∫ 12 (12x+36) 1/2 dx =2π ∫ 12 (12x+36) 1/2 dx 0 0 12 12 0 = 2π (12x+36)3/2 ⏐3 = π (12x+36)3/2 =⏐3 = π (12x+36)3/2 =⏐3 = 12 (3/2) 0 6 (3/2) 0 9 0 π ( (12(3)+36)3/2 - (12(0)+36)3/2 )= 43.88 π unidades cuadradas 9

7.5 Sólidos de revolución: Cuando una región plana se rota alrededor de una recta fija denominada eje de revolución, el resultado se denomina sólido de revolución. Hay dos métodos para calcular el volumen de un sólido en revolución: Método de los discos: Si la región del primer cuadrante limitada por las curvas y=f(x) y y= g(x), con f(x)>=g(x), el eje x y las rectas x=a y x=b, rota alrededor del eje x, entonces el volumen del sólido en revolución resultante esta dado por: b V = ∫ π[(f(x))2 - (g(x))2] dx a

Existen variaciones sobre el valor de esta integral dependiendo del eje de revolución, tal como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo:

Región limitada por las curvas: y =x2 y y =2x Eje de revolución: eje x

Solución: Los puntos donde intersectan las curvas son los que se obtienen al igualar las dos funciones (esto es para determinar los límites de la integral): x2= 2x x2 - 2x=0 (resuélvase con la fórmula general x = (-b±√ b2-4ac)/2a x = (2±√ 4-0)/2 x = (2± 2)/2 x1=2 x2=0 Sustituyendo y = 4 y y =0 respectivamente Por tanto, los puntos donde se intersectan son : (2,4) y (0,0) Como el eje de revolución es x, entonces los limites de la integral serán los valores de x de los dos puntos de intersección, esto es (2 y 0) Para calcular el volumen: Sea f(x)= 2x y g(x)= x2

Esta asignación se obtiene de graficar primero las funciones:


X2

2x f(x)2 = 4x2 g(x)2= x4

2 2 2 V = ∫ π[(f(x))2 - (g(x))2] dx = ∫ π[4x2 - x4] dx = π[ 4x3 - x5 ] 0 0 3 5 0

= π64/15 unidades de volumen

Ejemplo:

Región limitada por las curvas: y =x2 y y =2x Eje de revolución: la recta y =-1

Solución: Los puntos donde intersectan las curvas son los que se obtienen al igualar las dos funciones, como las curvas son las mismas que el ejemplo anterior, los puntos donde se intersectan son : (2,4) y (0,0), y los limites de la integral serán los valores de x de los dos puntos de intersección, esto es (2 y 0) Como el eje de revolución es la recta y=-1, y esta debajo del eje x, a cada función se debe sumar uno para realizar de manera similar que el ejemplo anterior Para calcular el volumen: Sea f(x)= 2x+1 y g(x)= x2+1 Por tanto f(x)2= (2x+1)2 g(x)2= (x2+1 )2

2 2 2 V = ∫ π[(f(x))2 - (g(x))2] dx = ∫ π[ (2x+1)2 - (x2+1 )2] dx =∫ π[4x2 +4x+1-x4-2x2-1] dx 0 0 0

2 2

=∫ π [-x4 + 2x2+4x] dx = π(-x5 /5 + 2x3/3 + 4x2 / 2) | =104/15 π unidades de 0 0 volumen


7.6 Estrategias de aprendizaje 1.-Obtenga el área de las siguientes funciones (integral definida). Grafique e indique la zona correspondiente al área obtenida f(x)= x3 + 2 considere el intervalo de (–1, 2) f(x) =x√(1-x2) considere el intervalo (0,1) 2.-Encontrar la velocidad instantánea de un objeto cuando se sabe que la aceleración esta definida por la siguiente función, que el intervalo considerado es (-1,3) y el punto (-1,8) se encuentra en la trayectoria del mismo F(x)= (x3-1)3x2

3.- Encuentre el área comprendida entre las curvas y=x-2 y x=y2 en el intervalo (0,2) 4.- Encuentre el volumen del sólido en revolución siguiente, utilice el método de los discos

Región limitada por las curvas: y =x2 y y =2x Eje de revolución: eje x


U N I D A D VIII

APENDICE

O B J E T I V O

Que el alumno conozca algunos de los temas avanzados de calculo integral aplicando la integral definida, para la resolución de problemas de áreas y volúmenes de diversa indole disciplinaria.

TEMAS 8.1 Integrales múltiples 8.2 Estrategias de aprendizaje

SINTESIS DE LA UNIDAD 8.1 Integrales múltiples

Hasta aquí hemos considerado integrales sencillas, ahora veremos un tipo de integral más general. La aplicación de estas integrales estriban en encontrar el área (integral doble) o el volumen de una figura (integral triple), cuya ecuación relacione más de una variable, un ejemplo que puede citarse es el de alguna cónica, como por ejemplo la elipse, cuya ecuación esta dada por:

x2/a2 + y2/b2=1 donde a y b son constantes y las dos variables a considerar son “x” y “y”, en estos casos el área se calcula estableciendo el intervalo donde se desea conocer dicha área, tanto en “x” como en “y” y utilizar una integral múltiple. Las aplicaciones pueden ser muchas y muy variadas por tal motivo aquí se presentan a manera de ejemplo algunas curvas donde se pretende encontrar el área o su volumen.

Ejemplo: Resuelva la integral doble siguiente ∫∫ ydydx x en el intervalo [0,2] y en el intervalo [-1,2] Primero resolvemos la integral que se encuentra más al centro definida por dy, utilizando los límites establecidos para y. ∫ ∫ 2 ydy dx -1

Así el resultado de ∫ 2 ydy es : y2 ⏐2 = 22/2- (-1)2/2= 4/2-1/2= 3/2 -1 2 ⏐-1


El resultado de la primera integral se coloca en la segunda integral y se maneja como constante, utilizandosé ahora como límites los de x ∫ 2 ∫ 2 ydy dx = ∫ 2 3/2 dx = 3/2(x)⏐2 = 3/2(2)- 3/2(0)= 3 0 -1 0 0 Ejemplo: Resuelva la integral triple siguiente ∫ ∫ ∫ (5x2-4x) dx dy dz x en el intervalo [-1,2] y en el intervalo [-1,2] z en el intervalo [-1,2] Primero resolvemos la integral que se encuentra más al centro definida por dx, utilizando los límites establecidos para x. ∫ ∫ ∫ 2 (5x2-4x) dx dy dz -1

Así el resultado de ∫ 2 (5x2-4x) dx es : 5x3 - 4x2 ⏐2 = -1 3 2 ⏐-1

= (5(23)/3- 4(2)2/2)- (5((-1)3)/3- 4(-1)2/2) = 27/3 El resultado de la primera integral se coloca en la segunda integral y se maneja como constante, utilizandosé ahora como límites los de y ∫ 2 ∫ 2 27/3dy dz = ∫ 2 27/3 dy = 27/3(y)⏐2 = 27/3(2)- 27/3(-1)= 27 -1 -1 -1 -1 El resultado de la segunda integral se coloca en la tercera integral y se maneja como constante, utilizandosé ahora como límites los de z ∫ 2 27 dz = ∫ 2 27 dz = 27(z)⏐2 = 27(2)- 27(-1)= 81 -1 -1 -1

8.2 Estrategias de aprendizaje:

1.- Obtenga la siguiente integral: ∫ ∫ dxdy x en el intervalo [0,2] y en el intervalo [-2,2]


2.- Obtenga la siguiente integral: ∫ ∫ ∫ 1/x y2 z dz dydx x en el intervalo [ 1, 2] y en el intervalo [-1,2] z en el intervalo [ 3, 4] 3.- Obtenga la siguiente integral: ∫ ∫ (2x2-y) dxdy x en el intervalo [-1,2] y en el intervalo [-1,2] 4.- Obtenga la siguiente integral: ∫ ∫ ∫ (2 sen 3x) dy dz dx x en el intervalo [ π/4, π] y en el intervalo [1,2] z en el intervalo [3,4] Nota : considere π = 180°


guia de estudio -...

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