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Problemas de Cálculo II
CÁLCULO II
Cálculo diferencial en varias variables
01.- Sea la función f(x,y) definida de la siguiente forma para todo (x,y) de :
a) Calcule para cualquier (x,y) de las expresiones de
y
b) Calcule para qué direcciones de existen las derivadas direccionales
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02.- Sea , función de y , función de
. Hallar y y evaluar .
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03.- Sea la función definida de la siguiente forma en todo de :
a) Dibuje el conjunto de puntos del plano donde f no está definida.
b) Calcule para el punto de las expresiones de
y
.
c) Analice la continuidad de en el origen (utilice la trayectoria ).
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04.- Hallar los planos tangentes a las siguientes superficies en los puntos indicados:
a)
b)
c)
Solución: a) 3x+8y+3z=20; b)
; c) x+y+z=3
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Problemas de Cálculo II
Optimización
01.- Hallar los máximos y mínimos de la función:
, definida en el disco
Solución: a) máximo en (2,8); b) mínimo en (0,0) y Máximos en
y
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02.- Sea . Determinar los puntos extremos de f situados sobre la curva
Solución: Máximos en (2,0) y (-2,0), y mínimos en (0,1) y (0,-1)
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03.- El plano corta al cilindro en una elipse. Hallar los puntos de la
elipse más lejanos y más cercanos del origen.
Solución: punto más alejado
, puntos más cercanos (1, 0, 0) y (0, 1, 0)
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Funciones Vectoriales
01.- Determine la distancia recorrida por una partícula que describe una trayectoria:
desde el instante t=1 hasta llegar al punto (48,-16,-24) y la
velocidad |v| en ese punto.
Solución: L=49; |v(2)|=84
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02.- Determine el triedro de Frenet-Serret, la curvatura y la torsión de una partícula que
describe la trayectoria para el instante t.
Solución:
sin ; =12 ; =12; =0
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Integrales Dobles
01.- Evaluar las siguientes integrales iteradas:
a)
b)
c)
d)
Problemas de Cálculo II
Solución: a)
; b)
; c) 1; d)
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02.- Determina el volumen bajo el plano z=4-x-y, en la región [0,2]x[0,1] aplicando el principio
de Cavalieri.
Solución: 5
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03.- Determina el volumen bajo la función , en la región [0,1]x[0,2]
aplicando el teorema de Fubini.
Solución: 86/3
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04.- Determina la integral de la función 2x2y-2+2y en el interior de la región delimitada por las
curvas y=x, y=1, x=2.
Solución: 3
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05.- Determina el área de la región comprendida entre las curvas y=x2, y=x+2.
Solución: 9/2.
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06.- Determina el volumen de la región comprendida entre las superficies:
Solución:
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07.- Determina el área encerrada dentro de la lemniscata
Solución: 4
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08.- Evaluar la integral:
Siendo R la región de plano comprendida entre el eje y=0 y la curva
Solución:
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09.- Calcular el centroide de la región del primer cuadrante que está limitada superiormente
por la recta y=x e inferiormente por la parábola y=x2.
Solución:
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Problemas de Cálculo II
10.- Evaluar la integral:
Siendo R = [-1, 1] x [0, 1]
Solución:
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11.- Evaluar la integral:
donde R = [0, 1] x [0, 1], haciendo T(u, v) = (u, v/2) y evaluando una integral sobre D*,
donde T(D*)=D.
Solución:
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Integrales Triples
01.- Determina el volumen del tetraedro de vértices (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0) y (0,1,1).
Solución: 1/6
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02.- Evaluar la integral:
Siendo E la región comprendida bajo el plano z=x+2, por encima del plano OXY y entre los
cilindros x2+y2=1, x2+y2=4.
Solución: 0
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03.- Evaluar la integral:
Siendo E la región comprendida bajo el hemisferio superior de la esfera x2+y2+z2=1.
Solución: 8
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04.- Hallar la masa del elipsoide dado por la ecuación 4x2 + 4y2 + z2 = 16 que descansa sobre el
plano XY. La densidad en un punto del elipsoide es proporcional a la distancia entre el
punto y el plano XY.
Solución: 16
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Problemas de Cálculo II
05.- Calcular el momento de inercia alrededor del eje de simetría del sólido limitado por el
paraboloide z = x2 + y2 y el plano z=4. La densidad en cada punto es proporcional a la
distancia entre el punto y el eje z.
Solución:
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Integrales sobre trayectorias y superficies
01.- Evaluar las siguientes integrales de trayectorias
, donde
Solución: a) , b) 0, c)
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02.- Hallar la masa de un alambre que sigue la intersección de la esfera x2+y2+z2=1 y el plano
x+y+z=0 si la densidad en (x, y, z) está dada por ρ(x, y, z)= x2 gramos por unidad de
longitud del alambre.
Solución: 2/3
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03.- Considerar la fuerza . Calcular el trabajo realizado al mover una
partícula a lo largo de la parábola , , de a .
Solución: 9
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04.- Una ciclista sube una montaña a lo largo de la trayectoria que se muestra en la figura.
Realiza una revolución alrededor de la montaña para llegar a la cima, mientras que su
velocidad de subida es constante. Durante el viaje, ella ejerce una fuerza descrita por el
campo vectorial . ¿Cuál es el trabajo realizado por la ciclista
al viajar de A a B?
Problemas de Cálculo II
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05.- Considerar la superficie en R3 parametrizada por , 0 r 1 y 0
4.
a) Esbozar y describir la superficie. Ver resolución (1/3)
b) Hallar una expresión para una normal unitaria a la superficie. Ver resolución (2/3)
c) Hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie en el punto (xo, yo, zo).
Ver resolución (3/3)
Solución: a) Helicoide. Similar a una rampa en espiral alrededor del eje z.
b)
c)
06.- Dada una esfera de radio 2 con centro en el origen, hallar la ecuación para el plano que es
tangente a ella en el punto (1, 1, ), considerando la esfera como:
a) Una superficie parametrizada por ;
b) Una superficie de nivel de ; y
c) La gráfica de .
Solución:
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07.- Un toro, T, se puede representar paramétricamente por la función , donde
está dada por las funciones coordenadas , ,
; D es el rectángulo [0, 2] X [0, 2], esto es, 0 2, 0 2 y R es
constante y mayor que 1. Demostrar que su área superficial viene dada por la expresión
42R.
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08.- Hallar el área de la parte de la esfera unitaria cortada por el cono .
A
B
Problemas de Cálculo II
Solución:
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09.- Calcular
donde S es la superficie del tetraedro con lados z=0, y=0, x+z=1 y x=y.
Solución:
Ver resolución
10.- Evaluar
, donde S es el triángulo con vértices (1,0,0), (0,2,0) y (0,1,1).
Solución:
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11.- Sea la temperatura de un punto en dada por . Calcular el flujo
de calor a través de la superficie , 0 y 2, si k=1.
Solución: 482
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12.- Calcular el flujo de calor a través de la esfera unitaria si . ¿Puedes
interpretar físicamente el resultado?
Solución: 0
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Teoremas integrales del cálculo vectorial
01.- Evaluar la integral de línea
, donde C es el cuadrado cortado en el primer
cuadrante por las rectas x=1 e y=1.
Solución: 3/2
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02.- Usar el teorema de Green para hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas
.
Solución: 9/8
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03.- Usando el teorema de la divergencia, mostrar que
, donde
y D es el disco unitario. Verificar esto directamente.
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04.- Sea el campo vectorial
y C la frontera del
dominio limitado por la curva y=ln x y las rectas y=0 y x=2.
Problemas de Cálculo II
a) Calcula la integral de F a lo largo de C recorrida en sentido positivo aplicando el
teorema de Green.
b) Calcula la integral de F sobre el arco de curva y=ln x desde el punto A=(1, 0) hasta el
punto B=(2, ln 2).
Solución: a)
; b) -2 cos 2 + sen 2 + cos 1 – sen 1 -
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05.- Evaluar
, donde S es la superficie x2+y2+3z2=1, z0 y F=yi-xj+zx3y2k. (Hacer
que n, la normal unitaria apunte hacia arriba).
Solución: -2
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06.- Sea F= (2xyz + sen x)i + x2zj+x2yk. Hallar una función f tal que F = f y calcular el trabajo
de F a lo largo de la trayectoria dada por = (cos3 t, sen3 t, t4), 0 t .
Solución: f = x2yz – cos x + C; W=0
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07.- Sea F= x3i + y3j+z3k. Evaluar la integral de superficie de F sobre la esfera unitaria.
Solución: 12/5
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Problemas de Cálculo II
Problemas de Cálculo II
Ver resolución del problema de “el planímetro”