cÁlculo integralsoluciÓn de problemas propuestos …

2010

INSTITUTO POLITÉCNICO

NACIONAL

CECyT “WILFRIDO MASSIEU”

Departamento de Unidades de Aprendizaje

Del Área Básica

PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G.

CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”

Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica

PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 2

PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS .

Verificación por derivación




ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y

PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.

La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas

las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas

contenidas en las integrales.

Identidades trigonométricas

Problema 1

xdxxdxdxdxxx

dxxdxxsenxdxsen

2cos4

12cos

2

1

4

12cos2cos21

4

1

2cos12

1

22

22

24

dudu

dxdu

xu

2

2

2

dxdv

dxdv

xv

2

2

2

1) dxsen4 6) xdx3tan 11) dxxxsen 32 cos 16) xdxxtg 4sec4 43

2) dxsen5 7) xdx3tan4 12) dxxxsen 43 cos 17)

xdxxsen 23 cos

3) xdx3cos4 8) xdxctg 2 13) xdxxsen 2cos2 35

18) xdxx 43 sectan

4) xdx2cos5 9) xdxctg 3 14) xdxx 53 sectan

19) xdxx 35 sectan

5) xdx2tan 10) dxxctg 4

15) xdxx 63 sectan 20) xdxxsen 33 cos




dvvsenuxvdvudux

dvv

duux

2cos12

1

8

1

4

1

4

1cos

8

1cos

4

1

4

1

2cos

4

1

2cos

2

1

4

1

2

2

vdvdvxsenxdvvxsenx 2cos16

1

16

12

4

1

4

12cos1

16

12

4

1

4

1

dvdw

dvdw

vw

2

2

2

xsenxxsenx

senwxxsenxdw

wvxsenx

432

1

8

12

4

1

4

1

32

12

16

12

4

1

4

1

2cos

16

1

16

12

4

1

4

1

cxsenxsenx 432

12

4

1

8

3

Problema 2

xsenxdxxsenxdxsenxdx

dxxsenxxsenxsenx

senxdxxxsenxdxx

dxxsensenxxdxsenxsenxdxsen

42

42

422

2

2245

coscos2

coscos2

coscos21cos1

53

2cos2cos2cos

534242 vu

xdvvduuxduvduux

cx

xx 5

coscos

3

2cos

53

senxdxdu

senxdxdu

xu

cos

senxdxdv

senxdxdv

xv

cos




Problema 3

Problema 4

Problema 5

dxxdxdxxxdx 222 sec1sectan

cxx tan

Problema 6

xdxxdxx

xdxxxdxxxdx

tantansec

tan1sectantantan

2

223

xdxdu

xu

2sec

tan

cxLnu

cxLnudu sec2

sec2

cxLnx

sec2

tan2




Problema 7

duuuuduuxdx 1sectan3

1tantan

3

13tan 22224

duuduuu 222 tan3

1sectan

3

1

v = tg u ; dv = sec2u du

)3(3

13tan

3

13tan

9

1

3

1tan

9

1

3

1

3

1

9

1

3

1sec

3

1

33

11sec

3

1

3

1

33

323

22

xxxcxvu

uutgvduuduv

duudvv

cxxx 3tan3

13tan

9

1 3

Problema 8

dxxdxdxxxdx 222 csc1csccot cxctgx

Problema 9

senxLnduuxdxxdxx

dxxxxdxxxdx

cotcsccot

1csccotcotcotcot

2

223

xdxdu

xdxdu

ctgxu

2

2

csc

csc

senxLnu

senxLnudu 2

2

csenxLnxctg

2

2

Problema 10

xdxxdxx

dxxxxdxxxdx

222

22224

cotcsccot

1csccotcotcotcot

xdxdu

xdxdu

xu

2

2

csc

csc

cot

dxdu

xu

3

1

3




cxxctgu

dxxdxduudxxduu 3csc1csc

32222

cxxx

cot3

cot 3

Problema 11

Problema 12

Problema 13

=

Problema 14




dxxx 53 sectan cxx 57 sec5

1sec

7

1

Problema 15

dxxxxxdxxxx

dxxxxdxxxxxdxx

24232223

22

2324363

sec)tantan21(tansectan1tan

secsectansecsectansectan

xdxxxdxxxdxx 272523 sectansectan2sectan

cuuu

uduuduu 86

2

42

864753

cxxx

8

tan

3

tan

4

tan 864

Problema 16

=

Problema 17

dxsenxxdxsenxxdxsenxxx

dxsenxxxsenxdxxsen

4222

2223

coscoscoscos1

coscos

senxdxdu

senxdxdu

xu

cos

cuu

duuduu 53

5342

cxx

5

cos

3

cos 53

xdxdu

xu

2sec

tan




Problema 18

dxxxdxxxdxxxx

dxxxxdxxx

2523223

22343

sectansectansectan1tan

secsectansectan

cuu

duuduu 64

6453 c

xx

6

tan

4

tan 64

Problema 19

dxxxxxxdxxxxx

dxxxxxdxxxxxdxxx

tansecsec1sec2sectansecsec1sec

tansecsectantansecsectansectan

22422

2

22

22435

dxxxxdxxxdxxxx tansecsectansecsec2tansecsec 246

cuuu

duuduuduu 35

2

72

357246

cxxx 357 sec3

1sec

5

2sec

7

1

Problema 20

dxxxsendxxxsen

dxxxsenxsendxxxxsendxxxsen

coscos

cos1coscoscos

53

232333

cuu

duuduu 64

6453 c

xsenxsen

64

64

xdxdu

senxu

cos

xdxdu

xu

2sec

tan

xxdu

xu

tansec

sec




ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I . PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II

INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y

PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS.

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:




3. Solución:

4. Solución:

5. Solución:




6. Solución:

7. Solución:

8. Solución:




9. Solución:

10. Solución:

11. Solución:




En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el

siguiente ejercicio.

12. Solución:




SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO




Actividad complementaria II: Soluciones

Problema 1

Problema 2




Problema 3




Problema 4

Problema 5




Problema 6

Problema 7




Problema 8

Problema 9

Problema 10




Problema 11

Problema 12




Problema 13

Problema 14




Problema 15

Problema 16




Problema 17




INTEGRACIÓN POR PARTES.

ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II PROBLEMAS RESUELTOS.

1. cxxsenxcxxsenxsenxdxsenxxxdxx coscoscos

xdxdv

xu

cos

senxv

dxdu

2.

cxxsenxxx

xxsenxxx

dxxsenxsenxxx

dxxxxx

dxxxxx

vduuvdvudxxsenx

cos22cos

cos2cos

2cos

cos2cos

2coscos

2

2

2

2

2

2

xsenv

dxdu

dxxdv

xu

dxxsendv

xv

dxxdu

xu

cos

cos

2

2

3.

cexe

dxexedxxe

xx

xxx

x

x

ev

dxdu

dxedv

xu

4.

ceexex

dxexeex

dxxeex

dxxeex

vduuvdvudxex

xxx

xxx

xx

xx

x

22

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

ev

dxdu

dxedv

xu

ev

dxxdu

dxedv

xu

2

2




5. dwewedwewedwwedw

wedxxexdxex wwwwwwxx

2

1

2

1

2

1

2

1

2

22 23

u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew

cewe ww

2

1

2

1 ceex xx 22

2

1

2

1 2

6. cxxLnxdxxLnxx

dxxxLnxdxxLn

dxdv

xLnu

xv

x

dxdu

7.

dxxdxxLnxxLnxx

dxxxLnxxxLnxdxxxLn

22

cxxx

xxxLnx

dxxLnx

xxxLnxdxxLnxdxLnxx

22

222

222

4

1ln

2

1

2

2

2

xxLnxv

dxdu

dxxLndv

xu

8

cxsenxxxsenx

xsenxxxsenx

dxxxxxsenx

dxxxxxsenx

dxxsenxxsenx

dxxsenxxsenx

vduuvdvudxxx

2cos2

cos2

coscos2

coscos2

2

2

cos

2

2

2

2

2

2

2

xv

dxdu

dxxsendv

xu

xsenv

dxxdu

dxxdv

xu

cos

2

cos

2

xdxdw

xdxdw

xw

2

2

2




9.

x

x

ev

dxxdu

dxedv

xu

2

2

2

3

2

1

3

u

u

e

due

dxdu

dxdu

xu

2

1

2

1

2

2

2

cexe

exe

dxexe

dxeexdxxexx

xx

xx

xxx

422

1

2

1

22

1

22

1

2

1 222

22

2222

x2uuux2 e2

1e

2

1due

2

1

2

duedxev

Finalmente la integral original se resuelve así:

xxxx

xxxx

xxxx

x

xexeexex

cxexeexex

dxexeexex

dxex

222223

222223

222223

23

8

3

4

3

4

3

2

1

2

1

4

3

4

3

4

3

2

4

3

4

3

4

3

2

dxxeexex

dxxeexex

dxexex

dxxeex

vduuvdvudxex

xxx

xxx

xx

xx

x

22223

22223

2223

2223

23

22

3

2

22

1

22

3

2

2

3

2

32

1

2

x

x

edvv

dxdu

dxedv

xu

2

2

2

1

dxdu

dxdu

xu

2

2

2




10.

dxxe x

cexe)e(xedxexedxe)e(x xxxxxxxx

INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES.

PROBLEMA 1.

=

=

PROBLEMA 2.

x

x

evdxdu

dxedvxu




=

=

= -

=

COMPROBACIÓN

= =

= =

= =

PROBLEMA 3.

=

=




=

COMPROBACIÓN

PROBLEMA 4.

=

= =

PROBLEMA 5.

=

=

PROBLEMA 6.

d

ctg

tg3

= =




PROBLEMA7.

u cosy du seny dy seny dy

( ) 2 (

du du du 2 ·

c

y y +

2 (1 y y) c




PROBLEMA 8




INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE

PROBLEMA 1.

xx

dx3

Hacemos la sustitución :

xu 6

ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3

duudx

xu

56

61

; Además

23 ux

3ux

u

duu

uu

duu

xx

dx

16

6 3

32

5

3

Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt

t

dtttt

t

dtt 1336

16

233

cuuuu

ctttt

dtt

tt

1ln61181912

ln32

3

36

1336

23

232

Por lo tanto:

cxxxxxx

dx

1ln61181912 66

26

36

3

INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡




PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL!

dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical :

dx = dx

u = 2

du = dx

=6 dx

dx

⋅ du ⋅ c

COMPROBACIÓN:

d ⋅ 4




INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR

PARTES

PROBLEMA 1.

PROBLEMA 2.




PROBLEMA 3.

PROBLEMA 4.




PROBLEMA 5.

- Demostrar la siguiente igualdad :

xdxsen

n

n

n

xxsenxdxsen n

nn 2

1 1cos

Solución:

xsenxdxsenxdxsen nn

1

Proponiendo: u= xsenn 1

Dv= senxdx

xdxxsennxxsenxdxsen nnn 221 cos1cos

xdxsennxdxsennxxsen nnn 11cos 21

Agrupando se tiene:

xdxsen

n

n

n

xxsenxdxsen n

nn 2

1 1cos …… Así queda demostrado

PROBLEMA 6.

dxx

Cosex

Cosedxx

Sene xxx

39

33

3

333

xeu 3 dxx

Sendv3

; xeu 3 dxx

Cosdv3

dxedu x33 dxedux

Cosv x33;3

3 3

3x

Senv

Cx

Cosx

Sene

dxx

Senex

Senex

Cose

x

xxx

339

82

3

381

327

33

3

333




PROBLEMA 7.

xdxxn ln

dxxn

xn

x

x

dxx

nx

n

x

x

dx

n

xx

n

x

nn

nn

nn

111

11

11

1

1ln

1

1

1ln

1

1ln

1

cn

xn

x

cn

xx

n

x

cn

x

n

lx

n

x

dxxn

lx

n

x

n

nn

nn

nn

1

1ln

1

1ln

1

11ln

1

1ln

1

1

2

11

11

1

PROBLEMA 8.

Sea u= x ; du= dx

dv= ;

w= ;

V= -

V= -




PROBLEMA 9

u= arctanx ;

dv = xdx ; v=

Haciendo la división:




PROBLEMA 10.

Sea u=

Integrando por partes




PROBLEMA 11.

Sea

Integrando esta ultima por partes:




x

u

x²-9

3

x

z

x²+16

4

ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

PROBLEMA 1.

5

Secu

x 3 secu

dx 3 secu tgu du

5 45

15 15 udu 15tgu = 15 +C

5

PROBLEMA 2

tg z

x 4 tgz

dx 4

4

4 4 4 4tg z 4z

x 4arctg




x

u

9-x²

3

PROBLEMA 3

5 25 25 5

Sen u

x 5 senu

dx 5 cos u du

5 25 5 5 5 u al llegar a ésta

parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es

el

ángulo cuyo seno vale : , lo cual se escribe: arc sen

el resultado final es: 5 arcsen +c

PROBLEMA 4

Sen u

x 3senu

dx 3cosu du

9 9 9 cos2u) du




v 2u

dv 2du

du

u · arc sen senv

arc sen sen 2v c arc sen · · c

arc sen x

PROBLEMA 5

Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado

a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo !

PROBLEMA 6

Sec w x

dx secw tgw dw

=

= = + c

PROBLEMA 7






PROBLEMA 8

=

= =

= =

= + + c = + + C

PROBLEMA 9



PROBLEMA 10

1x

1-x²




PROBLEMA 11




Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales

indicando planteamientos ,operaciones y resultado.

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:





Solución:

(Fig.1)





Solución:

Solución:




Solución:




ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO

EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES

En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:

S o l u c i o n e s




Integración de funciones racionales, por fracciones parciales,

cuando el denominador contiene factores cuadráticos

Ejercicios resueltos




S o l u c i o n e s




MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES.

Caso 1-

De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema: A+B=1

A-4B=0

Resolviendo este sistema obtenemos: A=




Efectuando la división

Caso 2

De ésta identidad obtenemos

A=6

-2A-B=-8

A+B+C=3

Resolviendo el sistema tenemos

A=6 ; B=-4 ; C=1

=




Sea u=1-x ;

=-

=- +4

=-

Caso

-x+3=A (

-x+3=A

-x+3=(A+B)

De esta identidad obtenemos que

A+B= 0 -2ª+C= -1 3A= 3

Resolviendo el sistema

A= 1 , B = -1 , C = 1




Sea u=

=

=

=

Caso IV.- =

+Cx+D

+(A+C) x+B+D

De esta identidad tenemos

A=2

B=0

A+C=0

B+D=0

Resolviendo el sistema

A=2 ;B=0 ; c=-2 ; D =0

∴

Sea u=

=




Realizando división:

dx

Caso 1

5x+4 = A

5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B

5x+4=(A+B) x + 2A-4B

De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema

A+B = 5

2A-4B =

Resolviendo el sistema obtenemos

A=4 ;B=1

= x + 4

= x +

6)

Multiplicando ambos miembros por eliminamos los

denominadores y obtenemos :

X=A(x-2)+B = Ax-2A+B




De esta identidad tenemos que: A=1 & -2A+B=0

Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2

Sea

=

=

=

7)

Caso 1

Ax+A+Bx+2B

De esta identidad tenemos:

A+B=5

A+2B=8

Resolviendo el sistema tenemos que A=2 ,B=3

=2




8) Caso 3

(A+B)

De esta identidad tenemos : A+B= 4 C= 0 3A=6

Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0

=2 =

9)

A A+B +Ct-2C-2Bt

A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C

DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA: A+B=2 C-2B=-4 4A-2C=-4 RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0




PROBLEMA DE CONCURSO




¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

TRIGONOMÉTRICA!

P1)




P2)

P3)




La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes

=

P4)




=

P5)




P6)

P7)




P8)




P9)

Integrando ésta última por partes :




P10)

P11)




P12) -

P13)




BIBLIOGRAFÍA

AYRES, F. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”. SERIE SCHAUM, MC GRAW-HILL, MÉXICO.

BOSCH-GUERRA. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”.ED.PUBLICACIONES

CULTURAL,MÉXICO

DEL GRANDE, D. “CÁLCULO ELEMENTAL”. ED. HARLA, MÉXICO

ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ CÁLCULO INTEGRAL”.GRUPO EDITORIAL

IBEROAMÉRICA.MÉXICO.

FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.

FUENLABRADA, S. “CÁLCULO INTEGRAL”. ED. TRILLAS, MÉXICO

GRANVILLE,W.A. “CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”, ED. LIMUSA, MÉXICO

LEITHOLD, L. “CÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS, MÉXICO

PURCELL, E.J. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, MÉXICO.

STEWART, J. “CALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.THOMPSON, MÉXICO.

SWOKOWSKY, E. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO.

ZILL,D.G. “CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, MÉXICO.

FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO.




PÁGINAS ELECTRÓNICAS

http://www.vitutor.com

http://www.vadenumeros.es

http://www.vadenumeros.es/index.htm

http://www.acienciasgalilei.com

HTTP://WWW.MATEMATICASBACHILLER.COM

HTTP://WWW.MATEMATICASBACHILLER.COM/TEMARIO/CALCULIN/TEMA_01/INDICE

.HTML

http://www.vitutor.com/

http://www.vadenumeros.es/

http://www.vadenumeros.es/index.htm

cÁlculo integralsoluciÓn de problemas propuestos …

Documents