UNIVERSIDAD DE CÓRDOBAFACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

IVÁN VELÁSQUEZ

Departamento de Matemática - Universidad del Bío-Bío - 2012GUIA N◦2 DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Segundo Semestre del 2012

Parte I: EDO lineal de segundo orden - Método de Reducción.

1. Pruebe que los siguientes pares de funciones son linealmente independientes en R.

a) f(x) = 1, g(x) = x.

b) f(x) = x, g(x) = xex.

c) f(x) = er1x, g(x) = er2x; r1 6= r2.

d) f(x) = sen x, g(x) = cos x.

e) f(x) = senx, g(x) = sen(2x).

f ) f(x) = sen x, g(x) = x.

g) f(x) = sen x, g(x) = ex.

h) f(x) = ex cos 2x, g(x) = ex sen 2x.

i) f(x) = ex cos 2x, g(x) = e2x cos 2x.

j ) f(x) = xm, g(x) = xn; m 6= n.

2. Sean y1 e y2 soluciones de la ecuación de Bessel

x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0

en el intervalo 0 < x <∞, con y1(1) = 1, y′1(1) = 0, y2(1) = 0 e y′2(1) = 1.Obtenga W (y1, y2).

3. Verifique si la función y1(x) indicada es una solución de la ecuación diferencial dada.En caso de serlo determine la solución general de la ecuación.

a) (x2 − x)y′′ + (3x− 1)y′ + y = 0 (x 6= 0, 1), y1(x) = (x− 1)−1.b) x(x− 2)y′′ + 2(x− 1)y′ − 2y = 0 (x 6= 0, 2), y1(x) = 1− x.c) xy′′ − y′ − 4x3y = 0 (x 6= 0), y1(x) = ex

2 .d) (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0 (|x| < 1), y1(x) = x.e) x3y′′ + x2y′ + xy = 0 (x 6= 0), y1(x) = sen(ln x).f ) (2x+ 1)y′′ − 4(x+ 1)y′ + 4y = 0 (x 6= −1/2), y1(x) = x+ 1.

g) x2y′′ + xy′ +

(x2 − 1

4

)y = 0 (x 6= 0), y1(x) = x−1/2 cosx.

h) x2y′′ − xy′ + y = 0 (x 6= 0), y1(x) = x lnx.i) (4 cotx)y′′ + (4− senx)y′ − y = 0 (x ∈ (0, π)), y1(x) = senx.

4. La ecuación diferencial xy′′ − (x + n)y′ + ny = 0 es interesante pues tiene una soluciónexponencial y una solución polinomial.

a) Verifique que una solución es y1(x) = ex.

b) Pruebe que la segunda solución tiene la forma y2(x) = cex∫ x

tne−tdt.

Además, pruebe que haciendo c = − 1

n!se obtiene

y2(x) = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ . . .+

xn

n!.

Observe que y2(x) está formada por los n+1 primeros términos de la serie de Maclaurínde y1(x) = ex.

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5. Para la ecuación diferencial y′′+δ(xy′+y) = 0, verificar que y1(x) = e−δx2/2 es una solución.

Determinar la segunda solución.

6. a) Demuestre que xr es una solución de la ecuación de Euler

x2y′′ + αxy′ + βy = 0, x > 0

si r2 + (α− 1)r + β = 0.

b) Suponga que (α − 1)2 = 4β. Use el método de reducción de orden para mostrar que(lnx)x(1−α)/2 es una segunda solución de la ecuación de Euler.

7. Hallar la solución general de las siguientes EDs lineales homogéneas:

a) y′′ + 7y′ + 10y = 0. b) y′′ − 8y′ + 16y = 0. c) y′′ + 2y′ + 3y = 0.

8. Pruebe que la solución del PVI

y′′ − 2(α + β)y′ + α2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1

puede ser escrita como

yβ(x) =1

2√β(2α + β)

{e[α+β+

√β(2α+β)]x − e[α+β+

√β(2α+β)]x

}Además, pruebe que lım

β→0yβ(x) = xeαx.

Parte II: EDOs lineales de orden superior.

I) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. y′′′ − y = 0.

2. y(4) − 16y = 0.

3. y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0.

4. y(4) + 13y′′ + 36y = 0.

5. y(4) + 32y′′ + 256y = 0.

6. y′′′ − 3y′′ − 10y′ = 0.

7. y(5) + 8y′′′ + 16y′.

8. y′′′ + y′′ + y′ − 3y = 0.

9. y′′′ + 3y′′ + 2y′ = 0 con y(0) = 1, y′(0) = 2, y′′(0) = −1.

10. y′′′ − 6y′′ + 12y′ − 8y = 0 con y(0) = −2, y′(0) = 1, y′′(0) = 2.

11. y(4) + 5y′′ + 4y = 0 con y(0) = 3, y′(0) = 0, y′′(0) = 0, y′′′(0) = −3.

II) En los siguientes problemas resolver las ecuación diferencial dada, por el método de loscoeficientes indeterminados.

1. y′′ + 8y′ + 7y = 32ex − 27e2x.2. y′′ − 2y′ + y = 10 cos x+ 8 senx.3. y′′ − 2y′ + 17y = 289x2 + 9.

4. y′′ + 8y′ = 64x.5. y′′ + 4y′ + 4y = 8e−2x.6. y′′ + 4y′ + 3y = 4e−3x + 18x+ 15.

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7. y′′ + 10y′ + 25y = (2 + 6x)e−5x.8. y′′ + 3y′ = 36xe−3x − 9e−3x + 7.

9. y′′ + 5y′ + 6y = 10(1− x)e−2x.10. y′′ + 2y′ + 2y = 1 + x.11. y′′ + y′ + y = (x+ x2)ex.12. y′′ + 4y′ − 2y = 8 sen 2x.13. y′′ + y = 8 sen x+ 4 cosx+ 1.14. y′′ + y = 4x cosx.15. y′′ + y = 2 sen x sen 2x.16. y′′ + y′ = cos2 x+ ex + x2.17. y′′ − 4y′ + 5y = e2x(senx+ 2 cosx).18. y′′ − 4y′ + 4y = 4x+ senx+ sen 2x.19. y′′ − y = 12x2ex − 10.

20. y′′ + 6y′ + 9y = 6xe−3x + 9 + 50 senx.

21. y′′ − y′ − 12y = 14e4x.

22. y′′+ 2y′+y = 1 + 2 cosx+ cos 2x− sen 2x.

23. y′′ + 25y = 20 sen 5x.

24. y′′ + 2y′ + 5y = 50x senx+ 100x cosx.

25. y′′′ + y′′ = 1.

26. y(5) − y(4) = 2xex + 24.

27. y′′′ + y′′ = 12x2.

28. y′′′ + 2y′′ = 24x2 + 24x+ 4.

29. y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = ex − x+ 16.

30. y(4) − 2y′′′ + y′′ = ex + 1.

31. 16y(4) − y = 16ex/2.

III) En los siguientes problemas obtenga una solución particular de la ecuación diferencial dada,utilizando el método de variación de parámetros. Escriba la solución general de la ecuacióndiferencial.

1. y′′ + y = tanx.

2. y′′ + y = cscx.

3. y′′ + 4y = sen 2x.

4. y′′ + 4y′ + 3y = e−3x.

5. y′′ + 5y′ + 4y = e−4x.

6. y′′ + 4y′ + 3y =1

1 + ex.

7. y′′ + 3y′ + 2y = xe−x.

8. y′′ + 6y′ + 9y =e−3x

x2.

9. y′′ − 4y′ + 4y = e2x arctanx.

10. y′′ − 3y′ + 2y = ex sen 2x.

11. y′′ + 5y′ + 6y = sen ex.

12. y′′ − 6y′ + 9y = e3x lnx.

13. y′′ + y = x senx.

14. y′′ + 4y′ + 4y =e−2x

x2 + 1.

15. 9y′′ − 12y′ + 4y =e2/3x√1− x2

.

16. y′′′ − y′′ + y = 4xex.

17. y′′′ − 2y′′ = 4(x+ 1).

IV ) En los siguientes problemas determine la solución general de la ecuación diferencial nohomogénea dada, sabiendo que la función y1(x) indicada es una solución de la ecuaciónhomogénea correspondiente.

1. x2y′′ − 2y = x2 lnx (x 6= 0), y1(x) = x2.

2. x2y′′ + xy′ − y =1

x(x 6= 0), y1(x) = x.

3. x2y′′ + xy′ + y = tan(lnx) (x 6= 0), y1(x) = cos(ln x).

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V ) Si y1(x) e y2(x) son soluciones de

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = R1(x) e y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = R2(x)

respectivamente, probar que y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) es una solución de

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = c1R1(x) + c2R2(x)

donde c1, c2 son constantes arbitrarias. Este resultado se conoce como principio de super-posición. Usar este principio para hallar la solución general de

1. y′′ + 4y = 4 cos 2x+ 6 cosx+ 8x2 − 4x.2. y′′ + 9y = 2 sen 3x+ 4 senx− 26e−2x + 27x3.3. y′′′ − y′ = 4xex + ex cosx− sen 2x. (∗)4. y(4) + 2y′′′ − 3y′′ = x3 + 1 + x2 senx+ xex. (∗)

No se preocupen por sus dificultades en matemáticas, les aseguro que las mías son mayores.Albert Einstein

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