Grado en IIAA y Grado en IHJ

Asignatura: Estadística Aplicada. Curso 2013-2014

SEPTIEMBRE 2014

NOMBRE:...................................................APELLIDOS:..................................................

ESPECIALIDAD:.................................................................................................................

1. [0.4 puntos] Se cree que existe una relación de tipo lineal entre la cantidad de cloruro potasico del agua

y la profundidad a la que se obtiene el agua. Para analizar esta hipótesis, se obtuvieron 9 mediciones en

un pozo a 9 profundidades diferentes en la que se observó la profundidad (en metros) , anotándose la

proporción de cloruro potásico, , en cada una de esas 9 profundidades. Los resultados obtenidos fueron

los siguientes:

= 40 = 839 2 = 7548 · = 30756

Al final del estudio se decide ajustar una recta de regresión de sobre con la ayuda del programa

Rcmdr:

= + ∗y encontramos que = −096. Se pide:

(a) Determinar el valor de la ordenada en el origen.

(b) Determinar el valor de la pendiente del modelo.

2. [0.75 puntos] Una empresa agroalimentaria dispone de tres líneas de envasado de botes de tomate de 1

Kg. El 36% de los botes se envasan en la línea L2 y las líneas L1 y L3 envasan el mismo porcentaje de

botes. Por experiencias previas, se sabe que el 3% de los botes de la línea L1 resultan defectuosos (esto

es, volumen de envasado incorrecto), el 2% de los botes de la línea L2 también resultan defectuosos. Por

otra parte, el 31.2% de los botes son envasados en la línea L3 y no son defectuosos. Si el experimento

aleatorio consiste en elegir un bote al azar, se pide:

(a) Calcular la probabilidad de que el bote no presente un volumen de envasado incorrecto. (0.25

puntos)

(b) Si el bote es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido envasado en la línea L2 o la línea

L3? (0.25 puntos)

(c) Calcular la probabilidad de que el bote no sea defectuoso y haya sido envasado en la línea L2 o la

línea L3. (0.25 puntos)

3. [1.15 puntos] La velocidad (en Km./h.) de los coches que pasan por un determinado punto kilométrico

de una carretera es una variable aleatoria con función de densidad:

() =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

, si 0 100

200−

, si 100 ≤ ≤ 200

0, en el resto

(a) Determinar el valor de para que () sea verdaderamente función de densidad. (0.25 puntos)

(b) Obtener la función de distribución asociada a dicha variable. (0. 25 puntos)

(c) Calcular la probabilidad ( 135 ≥ 90). (0.25 puntos)(d) En ese punto se encuentra situado un radar que saltará cuando la velocidad sea superior a los

90 Km/h. Si durante una hora han pasado 10 coches por ese punto kilométrico, determinar la

probabilidad de que a lo sumo dos vehículos hagan saltar el radar. (0.4 puntos)

1

4. [1.2 puntos] Un vivero vende esquejes de rosal cuya longitud se considera como una variable aleatoria

de media 23 cm. y de desviación típica 2.5 cm. Para que el esqueje agarre una vez plantado, su longitud

debe de encontrarse en el intervalo [20,26]. Se pide:

(a) ¿Podrías dar una cota de la probabilidad de que un esqueje de rosal del citado vivero agarre una vez

plantado? Razonar la respuesta.(0.25 puntos)

(b) Supongamos a partir de ahora, que la longitud de los esquejes de rosal se considera como una variable

aleatoria normal de media 23 cm. y de desviación típica 2.5 cm.

(b1) Determinar la probabilidad de que la longitud de un esqueje de rosal elgido al azar del vivero

sea al menos de 20 cm. (0.2 puntos)

(b2) Un empresa dedicada a la ornamentación de jardines hace un pedido de 81 esquejes de rosal

y rechazará el pedido cuando encuentre más de 12 esquejes con una longitud menor de 20 cm.

Calcular la probabilidad de rechazar el envío (0.5 puntos)

(b3) ¿Qué valor debería tener la longitud media de los esquejes de rosal para que al menos el 96% de

éstos tengan una longitud por encima de los 20 cm.? (0.25 puntos)

5. [1.3 puntos] Una empresa fabrica una clase de componente electrónico cuyo tiempo de vida, en miles de

horas, se comporta como una variable aleatoria exponencial de desviación típica igual a 1.56. Se pide:

(a) Si un componente electrónico tiene 1900 horas y aún sigue funcionando, determinar la probabilidad

de que deje de funcionar antes de las 400 horas siguientes. (0.4 puntos)

(b) La empresa suministra cierto sistema que consta de 4 de estos componentes electrónicos que funcionan

de manera independiente unos de otros. Determinar la probabilidad de que el sistema funcione al

menos 1900 horas sabiendo que tiene el esquema siguiente: (0.5 puntos)

C1

C2 C3

C4

(c) Estos sistemas pasan un control de calidad para garantizar su buen funcionamiento. El técnico que

efectúa el control encuentra que, el número de sistemas que se rechazan a la semana (= 5 días) se puede

modelizar como una distribución de Poisson de desviación típica igual a 2. Hallar la probabilidad de

que como máximo se rechacen 2 sistemas en un día. (0.4 puntos)

6. [1.25 puntos] La Concejalía de Medio Ambiente del Ayuntamiento de una gran ciudad europea mide el

grado de contaminación de la ciudad por un parámetro . Después de una serie de investigaciones se ha

concluido que este parámetro se comporta como una variable aleatoria normal. Para controlar el grado de

contaminación se toman medidas diarias, obteniéndose los siguientes valores durante 9 días:

media

muestral

varianza

muestral

102 109 105 99 108 112 97 101 103 104 02425

(a) Construir razonadamente un intervalo de confianza al 98% para el grado medio de contaminación

de la ciudad. Indicar todos los resultados teóricos necesarios para obtener el citado intervalo. (0.5

puntos)

(b) ¿Se puede asumir que el grado medio de contaminación de la ciudad es distinto a 10? Responder a esta

pregunta planteando el contraste de hipótesis adecuado y tomar una decisión a partir del −

de la prueba. Responder razonadamente cuál sería la decisión al 95% y al 99% de confianza. (0.5

puntos)

(c) Suponiendo ahora conocida la desviación típica del grado de contaminación de la ciudad,

= 045, determinar el tamaño de la muestra mínimo requerido para reducir el margen de error

obtenido en el intervalo anterior a 0.16 unidades y garantizando una confianza del 98%. (0.25

puntos)

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