Gradiente de un campo escalar

Sea f:U⊆R3⟶R un campo escalar, y sean ∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z las derivadas

parciales de f (es decir, derivar respecto a una variable manteniendo las otras como

constantes). Entonces, el gradiente de f es:

grad(f)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)

Observemos que el gradiente de f es un vector, aunque f sea un campo escalar. Hay que tener en cuenta que:

El gradiente apunta en la dirección en la que la derivada direccional de la función f es máxima, y su módulo en un punto es el valor de ésta derivada direccional en ese punto.

Se anula en los puntos de inflexión de la función f. El gradiente convierte un campo escalar en un campo vectorial.

Ejemplo

f(x,y,z)=x2⋅y−z3⋅zgrad(f)=(2⋅x⋅y−z3,x2,3⋅z2⋅x)

f(x,y,z)=x⋅sin(y)⋅e5⋅zgrad(f)=(siny⋅e5⋅z,x⋅cosy⋅e5⋅z,x⋅siny⋅5⋅e5⋅z)

f(x,y,z)=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√

grad(f)=(xx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,yx2+y2+z2−−−−−−−−−−√,zx2+y2+z2−−−−−−−−−−√)

Divergencia de un campo vectorial

Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3) un campo vectorial. Entonces, la divergencia

de F es:

div(F)=∂∂xF1+∂∂yF2+∂∂zF3

Ejemplo

F(x,y,z)=(x3⋅y,2⋅z⋅sinx,cosz)div(F)=∂∂x(x3⋅y)+∂∂y(2⋅z⋅sinx)+∂∂z(cosz)=3⋅x2⋅u+0−sinz

F(x,y,z)=(−2⋅x⋅y,y⋅sinz+y2+z,cosz)div(F)=∂∂x(−2⋅x⋅y)+∂∂y(y⋅sinz+y2+z)+∂∂z(cosz)=

=−2⋅y+sinz+2⋅y−sinzLa divergencia convierte un campo vectorial en un campo escalar.

Rotacional de un campo vectorial

Sea F:U⊆R3⟶R3,F=(F1,F2,F3) un campo vectorial. Entonces, el rotacional de

F es:

rot(F)=(∂F3∂y−∂F2∂z,∂F1∂z−∂F3∂x,∂F2∂x−∂F1∂y)o también se puede calcular como el siguiente determinante, (teniendo en cuenta que i,j,k son la coordenada a la que corresponden): ∣∣∣∣∣i∂∂xF1j∂∂yF2k∂∂zF3∣∣∣∣∣Ejemplo

F(x,y,z)=(4⋅x⋅ey,x⋅lnz,y)ro

t(F)=(∂(y)∂y−∂(x⋅lnz)∂z,∂(4⋅x⋅ey)∂z−∂(y)∂x,∂(x⋅lnz)∂x−∂(4⋅x⋅ey)∂y)=(1−xz,0−0,lnz−4⋅x⋅ey)

Propiedades del gradiente, divergencia y rotacional

Si f es un campo escalar y F un campo vectorial, entonces siempre se cumple que

1. rot(grad(f))=0

2. div(rot(F))=03. rot(f⋅F)=grad(f)×F+f⋅rot(f)4. div(f⋅F)=f⋅div(F)+grad(f)⋅F

donde ⋅ es el producto escalar y × el producto vectorial.