glosario general matematica ll- blumenfarb

7/25/2019 Glosario General Matematica ll- Blumenfarb

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Glosario

Mdulo 1: Geometra de FormasMdulo 2: Simetra y ProporcionesMdulo 3: Probabilidad y EstadsticaMdulo 4: Aplicaciones de Derivadas e IntegralesMdulo 5: Nociones de Topografa

Modulo 1: Geometra de Formas

Angulo entre dos planos:Se define como el ngulo entre los vectores normalesde ambos planos.

ngulos directores:Los ngulos directores de un vector no nulo en el espacio

son los tres ngulos que tienen la menor medida en radianes no negativatomadas desde los ejes positivos x, y, z, respectivamente, hasta la

representacin de posicin del vector . Puede demostrarse que:

Cilindro:Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve

tocando una curva plana dada, de forma que siempre queda paralela a una rectafija que no est en el plano de dicha curva. La recta que se desplaza se llamageneratriz del cilindro y la curva plana dada se denomina directriz del cilindro.Cualquier posicin de la generatriz recibe el nombre de regladura del cilindro.

Cilindro circular recto:Cilindro circular recto es aquel cilindro cuya directrizes una circunferencia en una plano perpendicular a la regladura.

Circunferencia:Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de unplano que equidistan de un punto fijo. Al punto fijo se lo llama centro (x0;y0) yla distancia constante se denomina radio r. Responde a la ecuacin:

Distancia entre dos puntos:La distancia entre los puntos A=(xA;yA) yB=(xB;yB) est dada por

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Elipse:Una elipse es el conjunto de puntos en un plano para los que la sumade sus distancias desde un punto fijo es una constante. A cada punto fijo se lollama foco. Si la constante es 2a y la elipse tiene sus focos en (c;0) y (c;0) tal

que b2=a2-c2; la ecuacin de la elipse es:

Parbola:Una parbola es el conjunto de todos los puntos de un plano,equidistantes de un punto fijo y una recta fija. El punto fijo se llama foco y larecta fija, directriz. Si su foco est en (p;0) y su directriz es la recta x =?p; la

ecuacin de la parbola est dada por:

Planos paralelos:Dos planos son paralelos si y slo si sus vectores normalesson paralelos.

Planos perpendiculares:Dos planos son perpendiculares si y slo si susvectores normales son ortogonales.

Mdulo 2: Simetra y Proporciones

Conceptos no orientados de Grafos:

Vrtices: puntos que representan los elementos del conjunto V. Arista: existe una arista entre dos vrtices x e y distintos del grafo si existe unarco que va de x a y y / o de y a x. Subgrafo: grafo que se obtiene de un grafo original, suprimiendo uno o msvrtices, as como las aristas que de ellos parten o llegan. Cadena: sucesin de aristas adyacentes. Ciclo: cadena finita en la que el vrtice inicial coincide con el final. Lazo: ciclo de longitud uno.

Conceptos orientados de Digrafos: Vrtices: puntos que representan los elementos del conjunto V.

Arcos: lneas orientadas que unen pares de vrtices y representan loselementos del conjunto A. Extremo inicial y extremo final de un arco: vrtice del que parte un arco yvrtice al que llega. Subgrafo: grafo que se obtiene de un grafo original, suprimiendo uno o msvrtices, as como los arcos que de ellos parten o llegan. Camino: sucesin de arcos adyacentes tales que el extremo final de unocoincide con el extremo inicial del siguiente. Circuito: camino en el cual el vrtice inicial coincide con el final. Longitud: nmero de arcos del camino. Bucle: circuito de longitud uno.



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Cubrimiento del plano:Si se desea cubrir el plano con polgonos regularescongruentes que se toquen vrtice con vrtice, dichos polgonos deben tener 3,4 6 aristas.

Diagramas de puntos entrelazados:En los diagramas de puntos

entrelazados los vrtices y / o aristas se representan por dos columnas depuntos enfrentados, uniendo los puntos cuando se cumple la relacin. Estarepresentacin es poco recomendable cuando el grafo es muy complejo.

Digrafo o grafo dirigido:Llamamos grafo dirigido o digrafo a una terna G =(V, A, ) donde V y A son conjuntos finitos y es una aplicacin que hacecorresponder a cada elemento de A un elemento del producto cartesiano V x V,esto es, un par ordenado de elementos de V. Los elementos de V son losvrtices de G, los elementos de A son los arcos de G y es una aplicacin queasocia a cada arco sus dos extremos.

En este ejemplo, podemos observar que los arcos estn determinados porflechas. Llamamos (a,b) al arco que tiene como vrtice inicial al vrtice a ycomo vrtice final al b.

Elementos de un grafo:

Vrtices: a, b, c. Aristas: {a,b}, {b,c}, {a,c}Observaciones: Si {a,b} es una arista del grafo, los vrtices a y b se llaman adyacentes. Si {a,c} y {a,b} son aristas del grafo, se dicen adyacentes porque tienen unvrtice comn. El grado de un vrtice es el nmero de aristas que en l inciden. Al respectodel grado de los vrtices, se puede demostrar que en todo grafo existe un

nmero par de vrtices de grado impar. Un vrtice se dice aislado si su grado es nulo. Un vrtice se dice pendiente si su grado es 1. Dos o ms aristas se llaman mltiples si tienen por extremos los mismosvrtices. Un lazo es una arista cuyos dos extremos coinciden en un vrtice.



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Frmula de Euler:La frmula de EULER establece que: C+V=A+2, donde Cindica el nmero de caras, V la cantidad de vrtices y A la cantidad de aristasdel poliedro.Esta frmula se verifica en los cinco poliedros platnicos:

Observacin: la frmula de Euler es tambin vlida en cualquier grafo poligonal.

Friso:Dada una figura F, sea S(F) el grupo de simetras de F. Se dice que F esun friso si se cumple:1.existe una recta r que indica la direccin de desarrollo del friso y que debequedar invariante ante todas las simetras del grupo S(F);

2.existe una traslacin de vector no nulo y direccin igual a la de la recta

r, que indica el paso del friso, tal que cualquier otra traslacin que deje

invariante al friso debe ser un mltiplo entero del vector .

Grafo:Llamaremos grafo a una terna G = (V, A, ) donde: Los elementos de V son los vrtices de G (conjunto finito) Los elementos de A son las aristas de G (conjunto finito) es la aplicacin de incidencia que asocia a cada arista sus dos vrtices.La representacin grfica de un grafo se realiza asociando a cada vrtice unpunto del plano de dibujo y a cada arista una lnea que une los puntos asociadosa los vrtices. Por ejemplo:



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Vrtices: a, b,c

Aristas: {a,b}, {b,c}, {a,c}

Grafo complemento:Se llama grafo complemento de G y se indica CG al grafoque tiene los mismos vrtices y las aristas que faltan de G.

Grafo (G)

Grafo complementario (CG)

Grafo completamente regular:Si un grafo regular tiene la propiedad de quecada cara posee el mismo nmero de aristas limtrofes, se dice que el grafo escompletamente regular.(Un grafo poligonal es regular si en cada vrtice concurre igual nmero dearistas.)

Grafo conexo:Un grafo es conexo si entre dos vrtices cualesquiera distintosentre s existe una cadena de cualquier longitud.

Grafo conexo Grafo no conexo

Grafo dual:Sea G un grafo plano y conexo. Si construimos un grafo G* talque:1.a cada cara de G le corresponda un vrtice de G* ;2.a cada vrtice de G le corresponda una cara de G* ;3.a cada arista de G le corresponda una arista de G* de modo tal que dosvrtices de G* estn unidos por una arista si las caras correspondientes de Gtienen una arista comn; entonces decimos que G* es el grafo dual de G.Para construir el grafo dual G* de un grafo dado G hay que seguir los siguientespasos:a) dentro de cada cara incluyendo la cara del infinito, se coloca un vrtice;b) dos de estos vrtices, digamos A* y B* se unen mediante una arista a* siestn en caras adyacentes;



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c) cada arista a* se dibuja de modo que cruce slo a la arista a; si dos carastienen varias aristas comunes, se traza igual nmero de aristas en el grafo dual.

Grafo fuertemente conexo:Un grafo se dice fuertemente conexo si entre dosvrtices cualesquiera del mismo existe un camino de cualquier longitud que va

de uno a otro.Observacin: todo subgrafo fuertemente conexo de un grafo se denominacomponente fuertemente conexa.

Este digrafo no es fuertemente conexo porque del vrtice b no existe un caminoque me permita llegar a los vrtices a y c.

Digrafo G fuertemente conexo.

Subgrafo de G Componente Fuertemente conexa

Grafo p - coloreado:Un grafo p ? coloreado es un grafo de V vrtices y psubconjuntos de pares no ordenados de elementos de V, determinados porotras tantas aplicaciones .Posee aristas de p clases distintas, que se colorean de distinto color.

Los distintos colores posibilitan establecer, por ejemplo, grados de importancia

o significacin especial entre cada una de las relaciones entre vrtices.

Grafo plano:Un grafo es plano si existe un grafo isomorfo que puede dibujarseen el plano de modo que las aristas slo se crucen en los vrtices.



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Grafo poligonal:Grafo poligonal es un grafo plano conexo que es reunin deciclos y tal que existe un ciclo mnimo y otro mximo.Esto significa que un grafo poligonal divide al plano en zonas poligonales. Elinterior de cada ciclo se llama cara y se supone que la parte infinita exterior querodea al grafo es una cara, la cara del infinito, que tiene como ciclo limitante elciclo mximo del grafo o polgono envolvente. En consecuencia, en todo grafo

poligonal se cuenta no solamente el nmero de vrtices V y el de aristas A sinotambin el de caras C, incluyendo la cara del infinito.

Grafo regular:Un grafo poligonal es regular si en cada vrtice concurre igualnmero de aristas.Si un grafo regular tiene la propiedad de que cada cara posee el mismo nmerode aristas limtrofes, se dice que el grafo es completamente regular.

Grafos isomorfos:Dos grafos G = (V, A, ) y G?= (V?, A?, ?) son isomorfossi existe una correspondencia biyectiva entre V y V? y entre A y A? que

conserva las relaciones de adyacencia.

Grupo de simetras:Cualquier conjunto G de transformaciones se dice queforma grupo si cumple las siguientes condiciones:

1.

2.

3.Dada una configuracin espacial F, los movimientos del espacio que dejan Finvariante forman un grupo de simetras y este grupo describe exactamente las

simetras de F. La simetra de una figura cualquiera del espacio queda descriptapor un subgrupo de dicho grupo.

Matriz de adyacencia de aristas:La matriz de adyacencia de aristas es unamatriz cuadrada tal que en el cruce i-j se escribe un 1 si las aristas sonadyacentes y un 0 si no lo son.

Matriz de adyacencia de vrtices:La matriz de adyacencia de vrtices escuadrada y tiene n filas por n columnas. En el cruce i-j se escribe un 1 si losvrtices i y j son adyacentes; un 0 si no lo son. Los lazos aparecen en la

diagonal de la matriz.

Matriz de incidencia:La matriz de incidencia tiene n filas y k columnas, dondecada fila corresponde a un vrtice y cada columna a una arista. En el lugar decruce de la fila i-sima con la columna j-sima se escribe un 1 si el vrtice i y laarista j son incidentes y un 0 si no lo son.



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Mosaico:El mosaico es un tipo especial de recubrimiento del plano. Losdiferentes tipos de mosaicos se obtienen siguiendo un principio general derepeticin de un mdulo en dos direcciones, con condiciones restrictivas deacoplamiento y regularidad.

Nmero de oro:A este se lo llama Nmero de Oro ( =1,61803...) y se losimboliza con la letra griega , inicial de Fidias, escultor griego que us dichovalor en sus esculturas.El Nmero de Oro corresponde matemticamente a la divisin de un segmentoen media y extrema razn.Divisin de un segmento en media y extrema razn

1.Se traza un segmento cualquiera.

2.Se coloca sobre la perpendicular a por el punto B el punto D de forma que

(M punto medio de )

3.Se traza el segmento

4.Se transporta sobre el segmento obtenindose el punto E tal que

5.Se sita sobre el punto C tal queConstruccin realizada con Geometers Sketchpad

Nmeros metlicos:El nmero de oro es el miembro ms notable de unafamilia de nmeros irracionales cuadrticos positivos, que son soluciones deecuaciones cuadrticas del tipo

donde n es un nmero natural.

Algunos de ellos son:



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Recorrido euleriano:Un grafo se dice euleriano si todas sus aristas pueden

recorrerse en un solo trazo sin pasar dos veces por ninguna de ellas. Para queun grafo sea euleriano, slo puede tener como mximo dos vrtices a los queconcurran un nmero impar de aristas (vrtices de partida y de llegada). Entodos los dems vrtices debe incidir un nmero par de aristas, ya que cada vezque se llegue a uno, hay que volver a partir.

Recorrido euleriano General: el grafo conexo debe carecer de vrtices de gradoimpar y se lo recorre a partir de uno de sus vrtices, pasando slo una vez porcada una de sus aristas y volviendo al vrtice inicial.

Recorrido euleriano Restringido: el grafo conexo slo contiene dos vrtices degrado impar y el recorrido se inicia en uno de los vrtices de grado impar

(pasando slo una vez por cada arista) y se lo termina en el otro vrtice degrado impar.

Recorrido hamiltoniano:Un grafo se llama hamiltoniano si existe un recorridoque pasa por todos los vrtices una sola vez (sin necesidad de recorrer todas lasaristas). No existe un criterio general para averiguar si un grafo admite o no unrecorrido hamiltoniano.

Recorrido hamiltoniano General: se recorre un grafo conexo a partir de uno desus vrtices, pasando slo una vez por cada vrtice restante y volviendo alvrtice inicial.

Recorrido hamiltoniano Restringido: se recorre un grafo conexo a partir de unode sus vrtices, pasando slo una vez por cada vrtice restante sin exigir lavuelta al punto de partida.

Rectngulo ureo:Un rectngulo se llama ureo si sus lados estn en larelacin 1: 1,618... , es decir: 1:Un rectngulo ureo puede dividirse en un cuadrado y un rectngulo ureo mspequeo. Y adosando al lado mayor de un rectngulo ureo un cuadrado delado igual al propio lado mayor, se vuelve a obtener un rectngulo ureo.



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Rejilla:Las rejillas, que son versiones grficas idnticas a las matrices. En ellaslos vrtices y / o aristas se representan en una grilla ortogonal colocando unpunto en las intersecciones cuando se cumple la relacin de incidencia (oadyacencia).

Rotacin:Una configuracin plana posee simetra rotatoria alrededor de unpunto si la iteracin de una operacin nica de rotacin, la lleva a coincidirconsigo misma. Para definir una rotacin es necesario determinar el centro y elngulo de rotacin. Dicho ngulo se indica mediante su amplitud y su sentido.

Simetra axial:La simetra bilateral o axial es puramente geomtrica: unaconfiguracin espacial es simtrica respecto de un plano E dado si puedesuperponerse sobre s misma por reflexin en dicho plano. Tomando una recta

cualquier r ortogonal al plano y un punto P sobre la recta, existe uno y slo unpunto P? sobre la recta que est a la misma distancia del plano que P, pero delotro lado del plano.



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Subgrafo:Un grafo S es un subgrafo de un grafo G si los vrtices y aristas de Sestn incluidos en los vrtices y aristas de G. Los subgrafos pueden tomarserespecto a un vrtice (se anula el vrtice y todas las aristas que en l inciden) obien respecto a una arista (se anula la arista).

Grafo G Subgrafo respectodel vrtice a

Subgrafo respecto dela arista ab

Teorema de Kuratowski:La condicin necesaria y suficiente para que un

grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K3,3 ni del tipo K5.

Tipos de grafo:

a) grafo vaco: no tiene aristas pero puede contener uno o ms vrtices.

b) grafo sencillo: no tiene ni lazos ni aristas mltiples.



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c) grafo k-regular: todos los vrtices tienen igual grado k.

d) grafo completo de n vrtices: es un grafo sencillo de n vrtices en el quetodo par de vrtices determina una arista.

Traslacin:Para definir una traslacin es necesario conocer una distancia yuna direccin de movimiento, es decir, un vector traslacin. Para hallar laimagen de una figura mediante una traslacin es necesario mover cada puntode la figura original segn un vector equipolente al vector traslacin.

Modulo 3: Probabilidad y Estadstica

Atributo:Caracterstica comn que se estudia en una poblacin. A este atributose lo llama variable cierta pues sus valores se determinan por medicin.



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Clasificacin de sucesos:SeanA y Bsucesos posibles, dentro de un espaciomuestral, se pueden clasificar en:

-Incompatibles (excluyentes o mutuamente excluyentes): en un mismoespacio muestral, la ocurrencia de uno de los sucesos excluye que ocurra otro(si uno se est dando el otro no puede ocurrir).

- Compatibles (no excluyentes):

Estos a su vez, se los puede dividir en:

- Compatibles condicionados: la ocurrencia de uno de lossucesos condiciona la ocurrencia del otro suceso. Si uno de losdos se est dando, esto modifica y condiciona a que el otrosuceso tambin se d. La interseccin de estos sucesos esfsica.

Compatible s

-Compatibles independientes: Cada suceso posee su propioespacio muestral. La ocurrencia de uno no modifica laocurrencia del otro. Que uno de los sucesos se est dando, nomodifica ni influye en la ocurrencia o no del otro suceso.

Compatibles

Coeficiente de variacin:El coeficiente de variacin o dispersin relativa es larelacin que existe entre el desvo standard y la media aritmtica, multiplicadopor 100. Indica en forma porcentual si la media aritmtica es representativa de

la serie de frecuencias.



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Definicin axiomtica de probabilidad:

Axioma 1La probabilidad de que ocurra un sucesoAes un nmero real no negativo quees posible asignar a un universo o espacio muestral Ey a cada uno de lossubconjuntos de ese universo.

Axioma 2La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad (tomando como sucesocierto a todo lo que es posible asignar dentro de un espacio muestral).

Axioma 3La probabilidad del suceso suma de dos sucesos excluyentes, es igual a la sumade las probabilidades de cada uno de ellos.

Si

Definicin de probabilidad (Laplace):La probabilidad es el nmero de casosfavorables a un suceso o todos los casos que quiero que ocurran (c)dividido elnmero de casos posibles o nmero total de casos (n). Observacin: estadefinicin es aplicable nicamente cuando los nmeros a que hace referenciason finitos y cuando las contingencias, o los casos posibles son equiprobables(que tengan igual probabilidad de ocurrencia). Si queremos calcular laprobabilidad de que ocurra un sucesoA, tenemos:

Definicin de probabilidad (Von Mises):La probabilidad del sucesoAes ellmite de la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso cuando el nmero de

pruebas tiende a infinito: Observacin: no se trata de un lmiterigurosamente matemtico sino conceptual, ya que indica que cuanto mayor seael tamao de la muestra, ms cerca estar la frecuencia relativa del valor de laprobabilidad.

Desvio:Los desvos, que son la diferencia entre un valor cualquiera que puedetomar la variable y el valor medio, indican la distancia a la que se encuentranlos correspondientes valores respecto del valor tomado como referencia(alejamiento en magnitud y direccin). Al desvo se lo nota eiy calcula como:

Desvo (variable aleatoria):



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Desvo standard:Se llama dispersin, desvo tpico, desvo tipificado o biendesvo standard, a la raz cuadrada de la varianza. Representa la variabilidad odistancia de los datos en promedio respecto de la media.

Desvo standard (variable aleatoria):Se llama desvo standard, desvotpico o dispersin al valor que mide la dispersin de los valores que toma lavariable respecto a la esperanza matemtica. Se calcula como:

Distribucin Beta:Se define la funcin de densidad de probabilidad betacomo

donde y son parmetros de forma de la distribucin, y los valores a y bson los lmites inferior y superior del intervalo de acotacin.

La esperanza matemtica o media y la varianza de la variable se definen como

Estas caractersticas de la variable se pueden estimar mediante las siguientesexpresiones:

donde m es el valor modal o moda de la distribucin.

La siguiente figura muestra la grfica de la funcin de densidad de probabilidad



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Distribucin Normal:

Se define la funcin de densidad de probabilidad normalcomo

donde es la esperanza matemtica de la variable y es la dispersin.

A continuacin se muestra la grfica de la funcin de densidad de probabilidad

Espacio muestral:Es el conjunto de todos los resultados diferentes (o aquellosque deseamos considerar diferentes) a que da lugar un experimento aleatorio.

Esperanza matemtica:Se llama esperanza matemtica, valor esperado omedia, al valor promedio de una variable aleatoria despus de infinitasobservaciones. Se obtiene:

Estadstica descriptiva:La estadstica descriptiva es un mtodo dedescripcin numrica de conjuntos numerosos, o sea, un mtodo de descripcincuantitativa que utiliza al dato numrico (nmero) como soporte objetivo.



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Experimento aleatorio:Es cualquier desarrollo fsico observable que puedadar lugar a dos o ms resultados, sin que sea posible enunciar con certeza culde estos resultados va a ser observado.

Fractil:Valor que representa a una fraccin del conjunto observado. Se loutiliza cuando los anteriores valores caractersticos no representan al conjunto

observado (o cuando el conjunto observado es muy disperso). Su clculo esmuy parecido al de la mediana. Los ms conocidos o usados son: -los cuartiles(que dividen en 4 partes al conjunto observado) -los deciles (que lo dividen en10 partes) -los percentiles (que dividen al conjunto observado en 100 partes).

Frecuencia absoluta:Indica el nmero de veces que se encuentra repetido elvalor de la variable observada, o mejor dicho, la cantidad de individuosobservados para un valor determinado.

Frecuencia relativa:Si Nes el nmero total de individuos de la poblacin, los

cocientes: se llaman frecuencias relativas (indican el porcentual oproporcin de repeticin de la variable).

Frecuencias acumuladas: Se define a la frecuencia acumulada izquierda absoluta Faicomo el nmero deindividuos observados que poseen valores menores o iguales que undeterminado valor de la variable. Se define a la frecuencia acumulada derecha absoluta Gaicomo el nmero deindividuos observados que poseen valores mayores o iguales que undeterminado valor de la variable.Si a cada frecuencia acumulada la dividimos por el nmero total de individuosobservados N, se obtienen las frecuencias acumuladas relativas, Fi y Gi

respectivamente.

Funcin de densidad de probabilidad:La distribucin de probabilidad de unavariable aleatoria continua 'x' est caracterizada por una funcin que recibe elnombre de funcin de densidad de probabilidad (f.d.p.).

Funcin de probabilidad:Se define a P(x=r)o P(r)como la probabilidad deque la variable aleatoria 'x' tome exactamente el valor 'r' (tambin llamadaprobabilidad puntual o funcin de probabilidad). Observacin: la suma de las

probabilidades puntuales de todos los valores de la variable aleatoria debe serigual a 1.



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Funcin de probabilidades acumuladas:

Funciones de distribucin de probabilidad acumulada izquierda yderecha de la normal:

Media:Se llama valor medio, promedio o media al promedio aritmtico (o sea,la suma de todos los valores observados dividido por el total de observaciones).

Es un concepto matemtico de equilibrio (baricentro o centro de gravedad) endonde todos los datos se encuentran en equilibrio matemtico respecto de l. Elvalor medio se nota y se calcula como:



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Mediana:Se llama mediana meal valor de la variable cierta que divide a laserie de frecuencias en dos partes iguales de individuos observados, ordenadospor valor creciente del atributo que los caracteriza (la posicin que ocupa lamediana corresponde al total de los individuos observados dividido 2; o sea,que el 50 % de ellos poseen valores inferiores que la mediana y el otro 50 %poseen valores superiores).

Modo:Es el valor al que le corresponde la frecuencia mxima ymax, se lodenomina tambin valor modal o moda de la serie y se lo denota: me. Es elvalor ms frecuente de la variable, el valor dominante.

Poblacin:Conjunto de individuos al que se desea estudiar sucomportamiento.

Probabilidad:Es la rama de las matemticas que interpreta y predice lasfrecuencias con que ocurrirn los hechos o sucesos en el futuro.

Probabilidad condicional:La probabilidad condicional calcula la probabilidadque el sucesoAsuceda como consecuencia de la ocurrencia del suceso B. Esdecir, que mide la probabilidad de que el eventoAvaya a ocurrir una vez que elevento Bha sucedido, Bafecta la probabilidad asignada aA. Se define como:

Suceso, evento o acontecimiento aleatorio:Es cada uno de los diferentesresultados a los que puede dar lugar un experimento aleatorio.

Sucesos compatibles:SeanAy Bsucesos posibles, dentro de un espaciomuestral,Son Compatibles (no excluyentes)Entonces en un mismo espacio muestral, la ocurrencia de uno de los sucesos noexcluye que ocurra el otro (si uno se est dando el otro puede ocurrir).

Sucesos Compatibles Condicionados:La ocurrencia de uno de los sucesoscondiciona la ocurrencia del otro suceso. Si uno de los dos se est dando, estomodifica y condiciona a que el otro suceso tambin se d. La interseccin deestos sucesos es fsica.

Sucesos Compatibles Independientes:Cada suceso posee su propio espaciomuestral. La ocurrencia de uno no modifica la ocurrencia del otro. Que uno de

los sucesos se est dando, no modifica ni influye en la ocurrencia o no del otrosuceso.



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Sucesos incompatibles:SeanAy Bsucesos posibles, dentro de un espaciomuestral, Son Incompatibles (excluyentes o mutuamente excluyentes):Entonces en un mismo espacio muestral, la ocurrencia de uno de los sucesosexcluye que ocurra otro (si uno se est dando el otro no puede ocurrir).

Sucesos independientes:Dos sucesosAy Bse dicen independientes si secumple que:

Variable aleatoria:

Cuando se lleva a cabo una experiencia aleatoria se obtiene una cantidad quelleva asociada una probabilidad de ocurrencia y recibe el nombre de variablealeatoria (x).

es v a r i a b l e - porque son posibles diferentes valores numricos

-el valor observado depende de cul de los posiblesresultados experimentales aparezca

es a l e a t o r i a

-involucra la probabilidad de los resultados del espaciomuestral

'x'

es una f u n c i n -de valor real definida sobre el espacio muestral, demanera que transforma todos los posibles resultados delespacio muestral en cantidades numricas

Variable reducida:

Para resolver las integrales que permiten calcular las funciones de distribucin deprobabilidad acumulada izquierda y derecha de la normal; se aplica un mtodo deresolucin mediante el uso de tablas, donde a esta distribucin se le encuentra otradistribucin standard a partir de una variable reducida (Z) que permite calcular estasfuncionespara cualquier distribucin normal:

de donde ya que es una constante.

Esta variable reducida ?Z?es normal con eje de simetra en cero y puntos de inflexin en

1 y ?1 (o sea y ). La grfica de distribucin de esta variable se muestra acontinuacin:



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Varianza:

Se llama varianza al promedio de los desvos elevados al cuadrado. Se elevan alcuadrado para que la sumatoria no sea nula. Representa la variabilidad que tienen losdatos entre s, o sea, el rea de dispersin de los datos tomando como centro al promedio.

Varianza (variable aleatoria):Se llama varianza al valor esperado delcuadrado de las desviaciones de la variable aleatoria respecto a su esperanzamatemtica. Se nota:

Modulo 4: Aplicaciones de Derivadas e Integrales

Centro de gravedad de un sistema de puntos materiales sobre unarecta:Supongamos ubicados sobre una recta un conjunto de puntos materiales

con masas en los puntos de abscisas conocidas

respecto a un origen .

- es el centro de masas o baricentro o centro de gravedad del sistema

de masas distribuidas en los puntos de abscisa .- se llama abscisadel centro de gravedad, valor que da la posicin de un punto sobre el ejeque, tomado como nuevo origen, anula al correspondiente momento esttico.>



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Centro de gravedad de un slido de revolucin:Sea el slido engendrado

por la rotacin de la curva alrededor del eje de las , tal como semuestra en la figura.

Sobre el eje son y ; en consecuencia, la nica coordenada que

tenemos que evaluar ser .

Si suponemos que el slido es homogneo, su densidad de volumen serconstante y entonces, razonando de manera anloga al caso anterior, el valor

de la coordenada resulta:

donde es el volumen del cuerpo de revolucin .



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Centro de gravedad de una superficie:

Sea la figura plana limitada por el arco de curva representado por la funcin

, las ordenadas y el eje de las , tal como se muestra enla figura:

Supongamos que dicha figura es homognea, esto es, posee una densidad

superficial constante. Entonces los momentos estticos respecto de ambosejes valen:

Teniendo en cuenta que la masa total de la figura es igual a su densidad

por el rea de la figura plana , llegamos a que las coordenadas del

centro de gravedad de la figura plana son:

Evidentemente, si la figura plana homognea tiene un eje de simetra, el centro

de gravedad deber estar forzosamente sobre ese eje y si posee dos ejes desimetra, se hallar en la interseccin de ambos.



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Concavidad:

- En el punto la curva es cncava hacia las y positivaso msbrevemente, cncava hacia arriba, si todos los puntos suficientemente

prximos a estn situados por encima de la recta tangente .

- En el punto la curva es cncava hacia las y negativaso msbrevemente, cncava hacia abajo, si todos los puntos suficientemente

prximos a estn situados por debajo de la recta tangente .

Criterio de la derivada primera:

Si la funcin derivable tiene en un mximo o un mnimo local, debe

verificarse que ; condicin que significa geomtricamente que la rectatangente a la curva es horizontal en ese punto.

La funcin presenta un mximo en

La funcin presenta un mnimo en



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Criterio de la derivada segunda:

Si la derivada segunda de una funcin no se anula en un punto que anula laderivada primera, resulta:

-Si , es creciente en y hay un mnimolocal en .

-Si , es decreciente en y hay un mximolocal en .

Derivada de una funcin:

La derivada de una funcin en un punto de su dominio, indicada

por , es un nmero real que mide la pendiente de la recta tangente a lacurva que representa la funcin.

Esfuerzo de corte:Llamaremos esfuerzo de corte o esfuerzo tangencial Qen una seccin al

conjunto de las dos fuerzas , cuyas rectas de accin se encuentran contenidasen el plano de aqulla y cuyas intensidades corresponden a las proyecciones delas resultantes izquierda o derecha sobre el plano de la seccin y cuyo signo lodetermina la proyeccin de la resultante izquierda.

Esfuerzo normal:Llamaremos esfuerzo normal o esfuerzo axial Nal conjunto de las dosfuerzas aplicadas en el centro de gravedad de la seccin cuyas rectas de accinson normales al plano de la misma y cuyas intensidades corresponden a lasproyecciones sobre dicha direccin de la resultante izquierda y derecha. El signodel esfuerzo normal depende de si la seccin resulta solicitada por traccinocompresin. En el primer caso es positivo y en el segundo, es negativo.

Esfuerzos caractersticos:El momento flexor, el esfuerzo de corte y el esfuerzo normal constituyen los

tres ESFUERZOS CARACTERSTICOS de la seccin considerada.



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Modulo 5: Nociones de Topografa

Almicantaradas:Son crculos paralelos al horizonte del lugar.

Altimetra:La altimetra, lo que tiene en cuenta son las diferencias de nivelexistentes entre los distintos puntos de un terreno.

Altura:Es el ngulo medido sobre un crculo mximo que pasa por el cenit y elnadir, y formado por el punto de la superficie terrestre o la visual a un puntoelevado y el plano del horizonte.

Azimut:Azimut de un punto o un objeto, es el ngulo formado por el planovertical que pasa por el punto y el plano del meridiano de referencia. Se midesobre un plano horizontal.

Base productiva:Base productiva es, en planimetra, el plano horizontal dereferencia y es la que se considera cuando se habla del rea de un terreno. Lasdistancias se toman sobre esta proyeccin.

Brjula:Este antiguo instrumento basado en el magnetismo terrestre, permitedeterminar rumbos de mediciones a partir de una aguja magntica y uncuadrante graduado de 0 a 360, con origen en el punto cardinal Norte, paraleer los azimutes.

Cinta:-De tela: son de material impermeable y llevan un refuerzo de delgadoshilos de acero o de bronce para impedir que se alarguen demasiado con el uso.Las medidas usuales de longitud estn en los siguientes valores: 10, 20 o 30 msiendo su ancho habitual de 5/8 de pulgada.-De acero: las longitudes ms comunes son 20, 30, 50 y 100 m, y son msangostas que las de tela (1/4 y 5/16 de pulgada).-De hilo sinttico.-De Fibra de vidrio con recubrimiento de plstico.-De bronce y fsforo-De invar.: aleacin de nquel y acero con un coeficiente de dilatacin trmicade aproximadamente 1/30 del acero, lo que reduce considerablemente loserrores.

Coordenadas locales:-Vertical del lugar: es la lnea virtual que pasa por la cabeza y los pies delobservador.-Cenit (Z): extremo superior de la vertical del lugar.-Nadir (Z): extremo inferior de la vertical del lugar.-Plano horizontal o del horizonte: es el plano perpendicular a la vertical dellugar.



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Correcciones a las mediciones:



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Dispositivos modernos:

Distancia cenital:Distancia cenital: es el complemento ZA de la altura de unpunto A.

Errores:



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Horizonte geocntrico:Es el plano paralelo al horizonte racional, que pasapor el centro de la Tierra.

Horizonte racional:Es el plano perpendicular a la vertical que pasa por el ojodel observador.

Jaln: Varillas de metal o de madera que poseen una punta de acero que seclava en el terreno. Sirven para indicar la localizacin de puntos o la direccinde rectas. Su longitud oscila entre 2 y 3 m, de seccin circular u octogonal, dems o menos una pulgada de dimetro. Estn pintados en franjas de 20 cm decolores rojo y blanco alternativamente.

Medicin de un ngulo con cinta:

Niveles y miras:-Los niveles se utilizan para lanzar las visuales horizontales, y las miras seutilizan para medir las distancias verticales.-Tienen dos caractersticas principales: la lnea de vista, materializada por unanteojo ptico y un nivel de burbuja que determina la posicin horizontal.

-Las miras son reglas verticales cuya longitud vara de 3 a 6 m. Las hay deenchufe y plegables. En ciertos casos se las monta sobre trpodes paranivelaciones de precisin.

Objetivo de la Topografa:La Topografa tiene como objetivos bsicos medirextensiones de tierra y determinar los niveles de un terreno.

Piquete:Varillas de acero de 25 a 35 cm de longitud que poseen en unextremo una punta para clavar y en el otro una argolla para ser guardados otrasladados. Se utilizan para fijar puntos en el terreno que sern referencias

durante el trabajo de campo.



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Planimetra:La planimetra toma en cuenta exclusivamente la proyeccin delterreno sobre un plano horizontal imaginario, que supuestamente es lasuperficie media de la Tierra.

Plomada:-Es una pesa generalmente de bronce, de forma cnica que tiene por objeto

principal determinar la direccin vertical. Esto se logra cuando la plomadapermanece esttica, suspendida por un hilo, que es el que materializa ladireccin vertical.-Aplicacin: es posible determinar en el suelo la proyeccin horizontal de unpunto que est a cierta altura. El peso clsico de esta herramienta es de 16onzas y la base cnica puede poseer un dimetro de 5 cm.

Puntos en topografa:

Relevamiento topogrfico:Es el proceso de medir, calcular y dibujar paradeterminar la posicin relativa de los puntos que conforman una extensin detierra.



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Teodolito:-Se utiliza para medir ngulos horizontales y verticales, distancias portriangulacin o para trazar alineamientos rectos.-Tienen los crculos hechos de vidrio y la lectura de los ngulos se realiza pormedio de micrmetros.-Se compone de un telescopio que puede girar respecto a un eje vertical y a un

eje horizontal. Para medir esos giros posee un crculo horizontal y uno vertical.Suele estar provisto de una brjula y queda montado sobre un trpode. Sobreeste ltimo va montado un plato con niveles de burbuja y tornillos de ajustepara poder nivelar el dispositivo, de modo que el cono de medicin seaperpendicular al plano de proyeccin.

glosario general matematica ll- blumenfarb

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