geometría vectorial asmar abraham 13

13

Determinantes de orden 3

13.1 Definición y algunos resultados básicos

Consideremos una matriz de orden 3

A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠

o bien la transformación lineal T : R3 −→ R3 cuya matriz es A. Se llama determinante

de A o también determinante de T al escalar

a1

∣∣∣∣b2 b3c2 c3

∣∣∣∣− a2

∣∣∣∣b1 b3c1 c3

∣∣∣∣+ a3

∣∣∣∣b1 b2c1 c2

∣∣∣∣Lo denotaremos de cualquiera de las formas siguientes:∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ , det (A) o det (T )

Así que ∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = a1

∣∣∣∣b2 b3c2 c3

∣∣∣∣− a2

∣∣∣∣b1 b3c1 c3

∣∣∣∣+ a3

∣∣∣∣b1 b2c1 c2

∣∣∣∣ (13.1)

Nos referiremos a los determinantes de matrices 3× 3 también como determinantes

de orden 3. Observe que la expresión (13.1) es la que empleamos para introducir losdeterminantes de orden 3 en el capítulo 9 y la que hemos usado a lo largo de los capítulos10, 12 y 13.

En la expresión (13.1) cada número ai (i = 1, 2, 3) aparece acompañado de un determi-nante de orden 2 y está precedido por el signo + o por el signo −; dicho determinante es elde la matriz 2× 2 que resulta de omitir en la matriz A la fila y la columna que contienena ai; en cuanto al signo, éste se puede expresar en términos de la posición que ocupa ai:dicho signo es (−1)1+i, donde el 1 en el exponente es por la fila (la fila 1) e i es por lacolumna (la columna i) en las que se encuentra ai. De manera que la igualdad (13.1) puedeescribirse como∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = a1 (−1)1+1

∣∣∣∣b2 b3c2 c3

∣∣∣∣+ a2 (−1)1+2

∣∣∣∣b1 b3c1 c3

∣∣∣∣+ a3 (−1)1+3

∣∣∣∣b1 b2c1 c2

∣∣∣∣ (13.2)

429

430 13. Determinantes de orden 3

El escalar que acompaña a ai (i = 1, 2, 3) en el lado derecho de la igualdad anterior sellama cofactor de ai; dicho lado derecho se conoce como desarrollo del determinante

mediante cofactores de la primera fila.

Cuando en el lado derecho de la igualdad (13.1) se desarrollan los determinantes deorden 2 y luego se realizan los productos por a1, por a2 y por a3, se obtiene como resultado

a1b2c3 − a1b3c2 + a2b3c1 − a2b1c3 + a3b1c2 − a3b2c1 (13.3)

Es de señalar que fue esta expresión la que dio origen inicialmente al concepto dedeterminante de orden 3; ella apareció de manera natural, como lo veremos más adelante,resolviendo sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. Es claroque de la expresión (13.3) se puede obtener el lado derecho de (13.1), simplemente facto-rizando en ella los escalares a1, a2, a3 de la primera fila de la matriz A. Ahora, así comode (13.3) se puede obtener el lado derecho de (13.1), es decir, el lado derecho de (13.2),factorizando los elementos de la primera fila, también de (13.3) se puede obtener otrosdesarrollos para el determinante de A, similares al lado derecho en (13.2), factorizando loselementos de cualquiera de las otras filas de A o también factorizando los elementos decualquiera de las columnas. Por ejemplo, el lector puede comprobar sin ninguna dificultadque factorizando en (13.3) los elementos a3, b3, c3 de la tercera columna de A se obtiene

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = a3 (−1)1+3

∣∣∣∣b1 b2c1 c2

∣∣∣∣+ b3 (−1)2+3

∣∣∣∣a1 a2c1 c2

∣∣∣∣+ c3 (−1)3+3

∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣

siendo el lado derecho de esta expresión el desarrollo del determinante de Amediante

cofactores de la tercera columna.

De manera que:

Para cualquier matriz A de orden 3, hay seis maneras de calcular el determinantede A mediante el desarrollo por cofactores, tres correspondiendo a las filas y trescorrespondiendo a las columnas.

Ejemplo 13.1

Calcular el determinante de la matriz A =

⎛⎝−2 1 4

4 1 01 −1 0

⎞⎠ .

Solución:

Para el cálculo del determinante de A emplearemos su desarrollo mediante cofactoresde la tercera columna:

det (A) = 4 (−1)1+3∣∣∣∣4 11 −1

∣∣∣∣+ 0(−1)2+3∣∣∣∣−2 11 −1

∣∣∣∣+ 0 (−1)3+3∣∣∣∣−2 14 1

∣∣∣∣= 4 (−4− 1) = −20

Observe que como la tercera columna deA tiene dos componentes nulas, el desarrollo deldeterminante de Amediante cofactores de esa columna es más económico operacionalmenteque el desarrollo del determinante mediante cofactores de cualquier otra columna o de

13.1. Definición y algunos resultados básicos 431

cualquier otra fila de A, ya que al usar la tercera columna no se hace necesario calcular loscofactores de las dos componentes nulas de esa columna. �

El hecho de que el determinante de una matriz 3 × 3 se pueda calcular empleandocualquiera de sus filas o cualquiera de sus columnas, sugiere que el determinante decualquier matriz 3 × 3 debe ser igual al de su traspuesta. En efecto, al igual que paradeterminantes de orden 2, se tiene que:

Para cualquier matriz A de orden 3,det

(AT)= det (A)

Para probar lo anterior, sea A una matriz 3×3 como al inicio de este capítulo. Entonces

det(AT)=

∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣Empleando el desarrollo de det

(AT)mediante cofactores de la primera columna de AT ,

tenemos que

det(AT)= a1 (−1)

1+1

∣∣∣∣b2 c2b3 c3

∣∣∣∣+ a2 (−1)2+1

∣∣∣∣b1 c1b3 c3

∣∣∣∣+ a3 (−1)3+1

∣∣∣∣b1 c1b2 c2

∣∣∣∣Ahora, dado que los determinantes de orden 2 tiene la propiedad que estamos probando

para los de orden 3, se tiene que

det(AT)= a1 (−1)

1+1

∣∣∣∣b2 b3c2 c3

∣∣∣∣+ a2 (−1)1+2

∣∣∣∣b1 b3c1 c3

∣∣∣∣+ a3 (−1)1+3

∣∣∣∣b1 b2c1 c2

∣∣∣∣Pero, como se puede observar, el lado derecho de la igualdad anterior es precisamente el de-sarrollo de det (A) mediante cofactores de la primera fila de A. Luego,det

(AT)= det (A) . �

A continuación listaremos los resultados más importantes en los que apareció involu-crando el concepto de determinante de una matriz 3 × 3, luego de que este concepto seintrodujo en el capítulo 9.

Sean A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ y T : R3 −→ R

3 la transformación lineal cuya matriz es A.

1. det (A) = U · (V × Z)donde

U =

⎛⎝a1a2a3

⎞⎠ , V =

⎛⎝b1b2b3

⎞⎠ y Z =

⎛⎝c1c2c3

⎞⎠

2. A es invertible ( T es invertible) si y sólo si det (A) �= 0 (det (T ) �= 0).


3. Si det (A) �= 0,

m(T−1

)= A−1 =

1

det (A)

donde U, V y Z son como en 1.

4. Las columnas de la matriz A son L.I. si y sólo si det (A) �= 0.

5. Cualquiera sea el vector

⎛⎝ u1

u2u3

⎞⎠, el sistema A

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ u1

u2u3

⎞⎠ tiene solución

única si y sólo si det (A) �= 0.

Ahora, dado que det (A) = det(AT)y puesto que las filas de A son las columnas de

AT , el resultado 4. conduce al siguiente resultado:

Las filas de A son L.I. si y sólo si det (A) �= 0

En efecto,

Las filas de A son L.I. ⇐⇒ Las columnas de AT son L.I.

⇐⇒ det(AT)�= 0

⇐⇒ det (A) �= 0 �

Volvamos a la expresión (13.3). Quizá el lector se pregunte cómo surgió inicialmentetal expresión y por qué ella es la análoga para matrices 3× 3, de la expresión a1b2 − a2b1

para el determinante de una matriz

(a1 a2b1 b2

).

Pues bien, tanto los determinantes de orden 2 como los de orden 3 tuvieron su origenen la primera mitad del siglo XV III, en relación con una manera de resolver sistemasde ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas y tres ecuaciones con tresincógnitas.

Para el caso del sistemaa1x+ a2y = ub1x+ b2y = v

(13.4)

cierta manera de proceder, la cual se explicó en el capítulo 6, conduce a que sia1b2 − a2b1 �= 0, entonces el sistema tiene una y sólo una solución dada por

x =ub2 − a2v

a1b2 − a2b1y y =

a1v − b1u

a1b2 − a2b1(13.5)


Como ya sabemos, el denominador en las expresiones anteriores se llamó determinante

del sistema (13.4) y se denotó

∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣ . También sabemos que dichas expresiones puedenescribirse en la forma

x =

∣∣∣∣u a2v b2

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣y y =

∣∣∣∣a1 ub1 v

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2

∣∣∣∣(13.6)

igualdades conocidas como fórmulas de Cramer para el sistema (13.4).

Pasemos ahora a mostrar cómo surgió la expresión (13.3). Para ello consideremos elsistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

a1x+ a2y + a3z = ub1x+ b2y + b3z = vc1x+ c2y + c3z = w

(13.7)

Con el fin de imitar el procedimiento empleado con el sistema (13.4), escribimos las dosprimeras ecuaciones en (13.7) en la forma

a1x+ a2y = u− a3zb1x+ b2y = v − b3z

Usando las fórmulas en (13.5) y suponiendo que a1b2 − a2b1 �= 0, se tiene que

x =(u− a3z) b2 − a2 (v − b3z)

a1b2 − a2b1y y =

a1 (v − b3z)− b1 (u− a3z)

a1b2 − a2b1

Resulta que sustituyendo estas expresiones en la tercera ecuación del sistema (13.7),se obtiene una ecuación que sólo contiene la incógnita z, y cuando se despeja z de esaecuación queda

z =a1b2w− a2b1w − a1c2v + a2c1v + b1c2u− b2c1u

a1b2c3 − a1b3c2 + a2b3c1 − a2b1c3 + a3b1c2 − a3b2c1(13.8)

En forma similar se obtienen expresiones análogas para x y para y, con el mismodenominador que aparece en (13.8), el cual es el escalar en (13.3). Dicho denominador sellamó determinante del sistema (13.7), y se denotó en la forma

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

Es más, se encontró que los numeradores en las expresiones para x, para y y para ztambién podían expresarse como determinantes de orden 3, obteniéndose así el siguienteresultado, el cual es completamente análogo a lo obtenido para el sistema (13.4):


Si

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ �= 0, el sistema (13.7) tiene una y sólo una solución dada por

x =

∣∣∣∣∣∣u a2 a3v b2 b3w c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣, y =

∣∣∣∣∣∣a1 u a3b1 v b3c1 w c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣, z =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 ub1 b2 vc1 c2 w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣(13.9)

Las igualdades en (13.9) son las fórmulas de Cramer para el sistema (13.7).

Es de señalar que las fórmulas (13.9) se pueden deducir más fácilmente, como se muestraa continuación:

Escribamos el sistema (13.7) en la forma

xA1 + yA2 + zA3 = U (13.10)

donde

A1 =

⎛⎝ a1

b1c1

⎞⎠ , A2 =

⎛⎝ a2

b2c2

⎞⎠ , A3 =

⎛⎝ a3

b3c3

⎞⎠ y U =

⎛⎝ u

vw

⎞⎠

Tomando producto escalar en ambos lados de (13.10) por A2 ×A3 se obtiene

xA1 · (A2 ×A3) + yA2 · (A2 ×A3) + zA3 · (A2 ×A3) = U · (A2 ×A3)

Ahora, comoA2 · (A2 ×A3) = 0 y A3 · (A2 ×A3) = 0

entoncesxA1 · (A2 ×A3) = U · (A2 ×A3)

Por tanto, si A1 · (A2 ×A3) �= 0

x =U · (A2 ×A3)

A1 · (A2 ×A3)=

∣∣∣∣∣∣u v wa2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣y puesto que el determinante de cualquier matriz 3 × 3 es igual al de su transpuesta, setiene que

x =

∣∣∣∣∣∣u a2 a3v b2 b3w c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣


la cual es la primera de las fórmulas en (13.9). De manera similar se llega a las otras dosfórmulas en (13.9).

Ejemplo 13.2

Muestre que el sistema

2x− y + z = 42x+ 2y + 3z = 36x− 9y − 2z = 17

(13.11)

tiene solución única y halle dicha solución empleando las fórmulas de Cramer.

Solución:

Sea A la matriz de coeficientes del sistema dado.

det (A) =

∣∣∣∣∣∣2 −1 12 2 36 −9 −2

∣∣∣∣∣∣= 2(−1)1+1

∣∣∣∣ 2 3−9 −2

∣∣∣∣+ (−1) (−1)1+2∣∣∣∣2 36 −2

∣∣∣∣+ 1 (−1)1+3∣∣∣∣2 26 −9

∣∣∣∣= 2(−4 + 27) + (−4− 18) + (−18− 12)

= −6

Como det (A) �= 0 entonces el sistema (13.11) tiene solución única. Según las fórmulasde Cramer dicha solución está dada por:

x =

∣∣∣∣∣∣4 −1 13 2 317 −9 −2

∣∣∣∣∣∣det (A)

, y =

∣∣∣∣∣∣2 4 12 3 36 17 −2

∣∣∣∣∣∣det (A)

, z =

∣∣∣∣∣∣2 −1 42 2 36 −9 17

∣∣∣∣∣∣det (A)

(13.12)

Calculando los determinantes que aparecen en los numeradores de las igualdades en(13.12) se obtiene que

x =−26

−6=13

3, y =

−10

−6=5

3, z =

18

−6= −3

Por tanto, la única solución del sistema es

⎛⎝ 13/3

5/3−3

⎞⎠ .

Se recuerda al lector que en el capítulo 12 se resolvió el sistema (13.11) por el métodode eliminación de Gauss y también empleando la matriz A−1. �

Vale la pena resaltar que cuando se emplean las fórmulas de Cramer, por lo generalhay que realizar muchas más operaciones que con el método de eliminación de Gauss.En realidad, las fórmulas de Cramer adquieren importancia cuando se trata de resolversistemas de ecuaciones lineales en los cuales la matriz de coeficientes del sistema tienealgunas componentes variables.


13.2 Propiedades básicas

A continuación listaremos las propiedades básicas de los determinantes de orden 3, lascuales son completamente análogas a las ya establecidas en el capítulo 6 para los determi-nantes de orden 2. En las propiedades que hacen referencia a una matriz A o una matrizB se entiende que ellas son matrices 3× 3.

1. Si se intercambian dos filas de una matriz A, el determinante sólo cambia de signo,es decir, el determinante de la nueva matriz es −det (A) .

2. Si se multiplica una de las filas de una matriz A por un escalar t, el determinante dela nueva matriz es tdet (A) .

3.

∣∣∣∣∣∣a1 + a′1 a2 + a′2 a3 + a′3

b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a′1 a′2 a′3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣Se tienen igualdades análogas si en el lado izquierdo la suma que aparece se realiza en

la segunda fila o en la tercera fila.

4. Si las filas de una matriz A son L.D. entonces el det (A) = 0.En particular, se tiene que:• Si la matriz A posee una fila nula, det (A) = 0.• Si la matriz A posee dos filas iguales, det (A) = 0.• Si una de las filas de A es múltiplo escalar de otra de las filas de A entoncesdet (A) = 0.

5. Si una fila de la matriz A se sustituye por la suma de ella y un múltiplo escalar deotra fila de A, el determinante de la nueva matriz es igual a det (A) .

6. det(AT)= det (A)

7. det (AB) = det (A) det (B)

8.

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a30 b2 b30 0 c3

∣∣∣∣∣∣ = a1b2c3 y

∣∣∣∣∣∣a1 0 0b1 b2 0c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = a1b2c3

Toda matriz de una de las formas⎛⎝a1 a2 a30 b2 b30 0 c3

⎞⎠ o

⎛⎝a1 0 0b1 b2 0c1 c2 c3

⎞⎠

se dice una matriz triangular. Si es de la primera forma se dice que la matriz es trian-gular superior y si es de la segunda forma se dice que la matriz es triangular inferior.

Un caso particular de matrices triangulares son las de la forma

⎛⎝a 0 00 b 00 0 c

⎞⎠

las cuales son llamadas matrices diagonales. Nótese que una matriz diagonal es tantotriangular superior como triangular inferior.

La propiedad 8. dice entonces que el determinante de cualquier matriz triangular es elproducto de los números en la diagonal principal de la matriz.

13.2. Propiedades básicas 437

La propiedad 4. puede considerarse probada, es más, se tiene que las filas de una matrizA son L.D. si y sólo si det (A) �= 0, pues ya hemos probado que las filas de una matriz Ason L.I. si y sólo si det (A) �= 0. La propiedad 6. ya se probó al inicio de este capítulo. Encuanto a la propiedad 7., su prueba no la daremos por lo laboriosa que es. Para probar lasrestantes propiedades digamos que

A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠

Emplearemos el hecho de que

det (A) =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = U · (V × Z)

donde

U =

⎛⎝a1a2a2

⎞⎠ , V =

⎛⎝b1b2b3

⎞⎠ y Z =

⎛⎝c1c2c3

⎞⎠

con lo cual podremos usar propiedades del producto escalar, del producto cruz y del pro-ducto mixto.

Prueba de 1.

Sólo daremos la prueba para el caso en el cual se intercambian las dos primeras filasde la matriz A. La prueba es análoga si las filas que se intercambian son la primera y latercera o la segunda y la tercera.

∣∣∣∣∣∣b1 b2 b3a1 a2 a3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = V · (U ×Z)

= V · (−Z × U) pues U × Z = −Z × U= −V · (Z × U)= −[U · (V ×Z)] pues V · (Z × U) = U · (V × Z)= −det (A) �

Prueba de 2.

La probaremos para el caso en el cual se multiplica la primera fila de la matriz A porun escalar t. La prueba en los otros casos es similar.

∣∣∣∣∣∣ta1 ta2 ta3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = (tU) · (V × Z)

= t [U · (V × Z)]

= tdet (A) �


Prueba de 3.

Si U ′ =

⎛⎝ a′1

a′2a′3

⎞⎠, la igualdad que aparece en 3. es equivalente a la igualdad

(U + U ′

)· (V ×Z) = U · (V × Z) + U ′ · (V × Z)

la cual sabemos es válida. �

Prueba de 5.

La propiedad 5. puede probarse a partir de las propiedades 3. y 4. Probémosla para elcaso en el cual a la segunda fila de la matriz A se le suma la primera multiplicada por unescalar t. La prueba en los otros casos es similar.

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 + ta1 b2 + ta2 b3 + ta3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3ta1 ta2 ta3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣La igualdad anterior se debe a la propiedad 3. Ahora, por la propiedad 4.,

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3ta1 ta2 ta3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = 0

pues la segunda fila es múltiplo escalar de la primera. Por tanto,

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 + ta1 b2 + ta2 b3 + ta3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ �

Prueba de 8.

Probemos la propiedad 8. para el caso en el cual la matriz es triangular superior.Empleando el desarrollo del determinante mediante cofactores de la primera columna setiene que

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a30 b2 b30 0 c3

∣∣∣∣∣∣ = a1 (−1)1+1

∣∣∣∣b2 b30 c3

∣∣∣∣ = a1 (b2c3 − 0) = a1b2c3 �

Obsérvese que de la propiedad 6. se sigue que las propiedades 1., 2., 3., 4. y 5., lascuales se refieren a filas, son también válidas si en cada una de ellas se sustituye “fila(s)”por “columna(s)”. Por otra parte, entre las propiedades dadas, las propiedades 1, 2 y 5proporcionan otra forma de calcular determinantes: Se realizan operaciones elementalessobre las filas o sobre las columnas de la matriz a fin de transformar la matriz en otra cuyodeterminante se puede calcular rápidamente, como por ejemplo una matriz triangular. Estamanera de proceder se ilustra en el ejemplo 13.4.

13.2. Propiedades básicas 439

Ejemplo 13.3

• Si A =

⎛⎝−2 3 7

0 0 0−1 4 8

⎞⎠ , det (A) = 0 pues una de las filas de A es nula.

• Si B =

⎛⎝−1 8 −1

3 2 37 0 7

⎞⎠ , det (B) = 0 pues la primera y tercera columnas de B son

iguales.

• Si C =

⎛⎝−2 1 78/3 −4/3 −28/30 −1 2

⎞⎠ , det (C) = 0 pues una de las filas es múltiplo escalar

de otra (la segunda fila es −4

3veces la primera).

• Si D =

⎛⎝−8 0 1

0 2 40 0 1/2

⎞⎠ , det (C) = (−8) (2)

(1

2

)= −8, ya que D es una matriz

triangular. �

Ejemplo 13.4

Halle el determinante de la matriz

⎛⎝ 0 1 −4−3 6 94 −1 2

⎞⎠

empleando las propiedades 1, 2 y 5 hasta obtener el determinante de una matriz triangularsuperior.

Solución:

∣∣∣∣∣∣0 1 −4−3 6 94 −1 2

∣∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣∣−3 6 90 1 −44 −1 2

∣∣∣∣∣∣Por propiedad 1 : Se inter-cambiaron las dos primerasfilas

= −

∣∣∣∣∣∣3 (−1) 3 (2) 3 (3)0 1 −44 −1 2

∣∣∣∣∣∣

= −3

∣∣∣∣∣∣−1 2 30 1 −44 −1 2

∣∣∣∣∣∣ Por propiedad 2.

= −3

∣∣∣∣∣∣−1 2 30 1 −40 7 14

∣∣∣∣∣∣Por propiedad 5 : Se sumóa la tercera fila, la primeramultiplicada por 4.

= −3

∣∣∣∣∣∣−1 2 30 1 −40 0 42

∣∣∣∣∣∣Por propiedad 5 : Se sumóa la tercera fila, la segundamultiplicada por −7

= −3 (−1) (1) (42) Por propiedad 8.

= 126 �


Ejemplo 13.5

Sea A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ . Sabiendo que det (A) = −5, halle el determinante de la matriz

B =

⎛⎝−3a1 a3 − 4a1 a2−3b1 b3 − 4b1 b2−3c1 c3 − 4c1 c2

⎞⎠ .

Solución:

Partiremos de det (B) y emplearemos la propiedad 1, 2 y 5 de los determinantes deorden 3, con el fin de hacer aparecer el det (A) :

det (B) =

∣∣∣∣∣∣−3a1 a3 − 4a1 a2−3b1 b3 − 4b1 b2−3c1 c3 − 4c1 c2

∣∣∣∣∣∣

= (−3)

∣∣∣∣∣∣a1 a3 − 4a1 a2b1 b3 − 4b1 b2c1 c3 − 4c1 c2

∣∣∣∣∣∣ Por propiedad 2.

= (−3)

∣∣∣∣∣∣a1 a3 a2b1 b3 b2c1 c3 c2

∣∣∣∣∣∣Por propiedad 5 : Se sumó a lasegunda columna, la primeramultiplicada por 4

= − (−3)

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣Por propiedad 1 : Se inter-cambian las columnassegunda y tercera.

= 3det (A)

Ahora, como det (A) = −5 entonces det (B) = 3 (−5) = −15. �

13.3 Aplicaciones geométricas

Ahora procederemos a extender a los determinantes de orden 3, los resultados obtenidos enel capítulo 6, respecto a la relación entre determinantes y orientación y entre determinantesy áreas de paralelogramos.

Empezaremos definiendo el concepto de terna orientada de vectores de R3. Conside-remos una terna de vectores linealmente independientes X1, X2, X3 de R3, vista como unaterna ordenada con X1 primero, X2 segundo y X3 tercero. Sea P el plano generado porX1 y X2; sabemos que X1 ×X2 es un vector no nulo normal al plano P y cuya direcciónla da la regla de la mano derecha (ver figura 13.1).

13.3. Aplicaciones geométricas 441

Figura 13.1.

El plano P separa al espacio en dos partes disjuntas; de esas dos partes, llamaremossemiespacio principal determinado por el par ordenado X1, X2 a la parte quecontiene al vector X1 × X2. Nótese que un vector X de R3 está en dicho semiespacio siy sólo si el ángulo α entre X y X1 × X2 es tal que 0 ≤ α < π

2, es decir, si y sólo si

(X1 ×X2) ·X > 0.Pues bien, la terna de vectores X1, X2, X3 se dirá orientada positivamente si el

vector X3 pertenece al semiespacio principal determinado por el par X1, X2, es decir,si (X1 ×X2) · X3 > 0. Si (X1 ×X2) · X3 < 0, la terna X1, X2, X3 se dirá orientada

negativamente.

Ejemplo 13.6

a) La terna E1, E2, E3 está orientada positivamente ya que E3 está en el semiespacioprincipal determinado por el par E1, E2 pues E3 = E1 ×E2. O también, la terna E1, E2,E3 está orientada positivamente ya que (E1 ×E2) ·E3 = E3 ·E3 = 1 y 1 > 0.b) Ya que (E1 ×E2) · (−E3) = E3 · (−E3) = −1 y −1 < 0, la terna E1, E2, −E3 estáorientada negativamentec) Como (E2 ×E1) · E3 = (−E3) · E3 = −1 y −1 < 0, la terna E2, E1, E3 está orientadanegativamente .(Ver figura 13.2). �

Figura 13.2.

Relacionemos ahora el concepto de terna orientada de vectores con el de determinante.Consideremos los vectores de R3

X1 =

⎛⎝x1y1z1

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝x2y2z2

⎞⎠ y X3 =

⎛⎝x3y3z3

⎞⎠


Puesto que

(X1 ×X2) ·X3 = X3 · (X1 ×X2)

= X1 · (X2 ×X3)

=

∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣= det

(X1 X2 X3

| | |

)

se tiene lo siguiente:

Sean X1, X2, X3 vectores L.I. de R3.

a) La terna X1, X2, X3 está orientada positivamente si y sólo si

det

(X1 X2 X3

| | |

)> 0

b) La terna X1, X2, X3 está orientada negativamente si y sólo si

det

(X1 X2 X3

| | |

)< 0

Ejemplo 13.7

Consideremos la terna de vectores X1 =

⎛⎝ −1

02

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝ 3−14

⎞⎠ , X3 =

⎛⎝ 0

1−1

⎞⎠.

Veamos si esta terna de vectores está orientada positivamente o si está orientada negati-vamente. Para ello calculemos el determinante de la matriz

A =

(X1 X2 X3

| | |

)=

⎛⎝−1 3 0

0 −1 12 4 −1

⎞⎠

Empleando el desarrollo del determinante de A mediante cofactores de la primera filatenemos que

det (A) = (−1) (−1)1+1∣∣∣∣−1 14 −1

∣∣∣∣+ 3(−1)1+2∣∣∣∣0 12 −1

∣∣∣∣= − (1− 4)− 3 (0− 2) = 9

Como det (A) > 0 concluimos que la terna X1, X2, X3 está orientada positivamente. �

Sea ahora T : R3 −→ R3 una transformación lineal invertible. Se dice que T preserva la

orientación si siempre que una terna de vectoresX1, X2, X3 está orientada positivamente,la terna T (X1) , T (X2) , T (X3) también está orientada positivamente. Se dice que Tcambia la orientación si siempre que una ternaX1, X2, X3 está orientada positivamente,la terna T (X1) , T (X2) , T (X3) está orientada negativamente.


Ejemplo 13.8

Consideremos la reflexión respecto al plano xy, es decir, la transformación lineal

T : R3 −→ R

3⎛⎝ x

yz

⎞⎠ �−→ T

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ x

y−z

⎞⎠

de la cual sabemos que es una transformación invertible. Veamos si T preserva o cambiala orientación:

Partamos de la terna E1, E2, E3, de la cual sabemos que está orientada positivamente.Como

T (E1) = E1, T (E2) = E2, T (E3) = −E3

y dado que la terna E1, E2, −E3 está orientada negativamente, concluimos que T nopreserva la orientación.

Veamos que T cambia la orientación. Para ello tomemos una terna cualquiera de vec-tores de R3

X1 =

⎛⎝ x1

y1z1

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝ x2

y2z2

⎞⎠ , X3 =

⎛⎝ x3

y3z3

⎞⎠

orientada positivamente y mostremos que la terna

T (X1) =

⎛⎝ x1

y1−z1

⎞⎠ , T (X2) =

⎛⎝ x2

y2−z2

⎞⎠ , T (X3) =

⎛⎝ x3

y3−z3

⎞⎠

está orientada negativamente, lo cual mostraremos probando que

det

(T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)< 0 así:

det

(T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)=

∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3y1 y2 y3−z1 −z2 −z3

∣∣∣∣∣∣ = −∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣= −det

(X1 X2 X3

| | |

)

Ahora como det

(X1 X2 X3

| | |

)> 0, ya que la terna X1, X2, X3 está orientada

positivamente, entonces

det

(T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)< 0

Luego, T cambia la orientación. �

Al igual que para las transformaciones lineales del plano, el signo del determinante deuna transformación lineal del espacio nos dice si la transformación preserva o cambia laorientación. En efecto, se tiene:


Sea T : R3 −→ R3 una transformación lineal invertible.

a) T preserva la orientación si y sólo si det (T ) > 0.b) T cambia la orientación si y sólo si det (T ) < 0.

Para probar a) digamos que m (T ) = A. Supongamos primero que T preserva la orien-tación y probemos que det (T ) > 0, es decir, que det (A) > 0.

Puesto que la terna E1, E2, E3 está orientada positivamente y dado que T preserva laorientación tenemos que la terna T (E1) , T (E2) , T (E3) está orientada positivamente ypor tanto

det

(T (E1) T (E2) T (E3)| | |

)> 0

Pero como (T (E1) T (E2) T (E3)| | |

)=

(AE1 AE2 AE3| | |

)= A

entonces det (A) > 0.Supongamos ahora que det (T ) > 0, es decir, que det (A) > 0 y probemos que T

preserva la orientación. Tomemos una terna cualquiera X1, X2, X3 orientada positivamentey mostremos que la terna T (X1) , T (X2) , T (X3) también está orientada positivamente:Como(

T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)=

(AX1 AX2 AX3

| | |

)= A

(X1 X2 X3

| | |

)

entonces

det

(T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)= det

[A

(X1 X2 X3

| | |

)]

= detAdet

(X1 X2 X3

| | |

) (13.13)

Ahora, como det (A) > 0 (por hipótesis) y det

(X1 X2 X3

| | |

)> 0 (ya que la terna

X1, X2, X3 está orientada positivamente) entonces

det

(T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)> 0

Luego, T (X1) , T (X2) , T (X3) está orientada positivamente, como se quería probar.

La prueba de b) es completamente análoga. �

Ejemplo 13.9

Consideremos la rotación Rzθ por un ángulo de θ radianes (−2π < θ < 2π) alrededor del

eje z. Como sabemos, para cualquier

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ ∈ R3,

Rzθ

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ xcosθ − ysenθ

xsenθ + ycosθz

⎞⎠


así que

m (Rzθ) =

⎛⎝cosθ −senθ 0senθ cosθ 00 0 1

⎞⎠

Luego,

det (Rzθ) =

∣∣∣∣∣∣cosθ −senθ 0senθ cosθ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = cos2θ + sen2θ = 1

Tenemos entonces que la transformación lineal Rzθ es invertible ya que det (Rzθ) �= 0 y

que dicha transformación preserva la orientación puesto que det (Rzθ) > 0. �

Ejemplo 13.10

Consideremos, para r �= 0, la transformación

Dr : R3 −→ R

3⎛⎝ x

yz

⎞⎠ �−→ Dr

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ rx

ryrz

⎞⎠

de la cual sabemos que es invertible.Como la matriz de Dr es la matriz

⎛⎝r 0 00 r 00 0 r

⎞⎠

entonces

det (Dr) =

∣∣∣∣∣∣r 0 00 r 00 0 r

∣∣∣∣∣∣ = r3

Se sigue que Dr preserva la orientación si y sólo si r > 0 y que Dr cambia la orientaciónsi y sólo si r < 0. �

Ahora relacionaremos el determinante con el volumen de un paralelepípedo .

Sea P el paralelepípedo determinado por los vectores linealmente independientes X1,X2, X3 de R3. Como ya lo sabemos

Volumen de P = |X1 · (X2 ×X3)|

y como

X1 · (X2 ×X3) = det

(X1 X2 X3

| | |

)

entonces

Volumen de P =

∣∣∣∣det(

X1 X2 X3

| | |

)∣∣∣∣Sea ahora T : R3 −→ R

3 una transformación lineal invertible y consideremos la imagenT (P) del paralelepípedo P bajo T . Como el lector puede probar, dicha imagen T (P) es el


paralelepípedo determinado por los vectores linealmente independientes T (X1) , T (X2) ,T (X3); por tanto,

Volumen de T (P) =

∣∣∣∣det(

T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)∣∣∣∣

Ahora, según la igualdad (13.13)

det

(T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)= det (T ) det

(X1 X2 X3

| | |

)

luego,

Volumen de T (P) = |det (T )|

∣∣∣∣det(

X1 X2 X3

| | |

)∣∣∣∣= |det (T )| Volumen de P

Hemos probado así lo siguiente:

Sea P el paralelepípedo determinado por los vectores linealmente indepen-dientes X1, X2, X3.

• Volumen de P =

∣∣∣∣det(

X1 X2 X3

| | |

)∣∣∣∣ (13.14)

• Si T : R3 −→ R3 es una transformación lineal invertible entonces

Volumen de T (P) = |det (T )| Volumen de P (13.15)

Ejemplo 13.11

Sea T : R3 −→ R3 tal que para cada

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ de R3

T

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ x+ z

y + z2x+ y

⎞⎠

y sean X1 =

⎛⎝ 1−10

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝ 0

1−1

⎞⎠ y X3 =

⎛⎝ 2−11

⎞⎠ .

a) Calcule el volumen del paralelepípedo P determinado por los vectores X1, X2, X3.

b) Calcule el volumen del paralelepípedo T (P) .

13.4. Ejercicios 447

Solución:

a) De acuerdo con la fórmula (13.14),

Volumen de P =

∣∣∣∣∣∣det⎛⎝ 1 0 2−1 1 −10 −1 1

⎞⎠∣∣∣∣∣∣

Ahora,

det

⎛⎝ 1 0 2−1 1 −10 −1 1

⎞⎠ = det

⎛⎝1 0 20 1 10 −1 1

⎞⎠ = det

(1 1−1 1

)= 2

por tanto, el volumen del paralelepípedo P es 2 unidades cúbicas.b) De acuerdo con la fórmula (13.15),

Volumen de T (P) = |det (T )| 2

Ahora, como m (T ) =

⎛⎝1 0 10 1 12 1 0

⎞⎠ entonces

det (T ) = det

⎛⎝1 0 10 1 12 1 0

⎞⎠ = det

⎛⎝1 0 10 1 10 1 −2

⎞⎠ = det

(1 11 −2

)= −3

y por tanto,Volumen de T (P) = |−3| 2 = 6 unidades cúbicas.

Observe que el volumen del paralelepípedo T (P) también se puede obtener calculandoprimero las imágenes T (X1) , T (X2) , T (X3) y luego usando la fórmula (13.14), según lacual

Volumen de T (P) =

∣∣∣∣det(

T (X1) T (X2) T (X3)| | |

)∣∣∣∣Se deja como ejercicio para el lector calcular el volumen del paralelepípedo T (P) de

esta manera. �

13.4 Ejercicios

Sección 13.1

1. Para la matriz A, dada en cada literal, calcular el determinante de A desarrollándolopor cofactores de cualquier fila o columna y determinar si A es invertible.

a) A =

⎛⎝1 −1 10 1 32 1 −1

⎞⎠ b) A =

⎛⎝3 −2 42 1 −31 4 −10

⎞⎠

c) A =

⎛⎝1 1 02 1 20 1 1

⎞⎠ d) A =

⎛⎝ 2 −1 31 1 1−1 −2 2

⎞⎠


2. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales T : R3 −→ R3 calcular el

determinante de T y decir si T es invertible.

a) T

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x+ z

y − zx+ y

⎞⎠ .

b) T es tal que T (E1) =

⎛⎝ 2

1−1

⎞⎠ , T (E2) =

⎛⎝ 0−11

⎞⎠ y T (E3) =

⎛⎝ 132

⎞⎠ .

c) T = S ◦R, donde S es la proyección sobre el plano con ecuación 2x− y + z = 0 y

R es la reflexión respecto a la recta generada por el vector

⎛⎝ 101

⎞⎠ .

d) T es la reflexión respecto al plano P generado por los vectores

⎛⎝ 111

⎞⎠ y

⎛⎝ 1−11

⎞⎠ .

3. a) Para la matriz A, dada en cada numeral, hallar todos los valores de λ tales que lamatriz A− λI3 no es invertible.

i) A =

⎛⎝3 2 42 0 24 2 3

⎞⎠ ii) A =

⎛⎝ 1 3 3−3 −5 −33 3 1

⎞⎠

b) ¿Para cuáles valores de α, la matriz

⎛⎝ −α α− 1 α+ 1

1 2 32− α α+ 3 α+ 7

⎞⎠ no es invertible?

4. Considerar el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x+ 2y + 3z = 82x− y + 4z = 7− y + z = 1

Mostrar que este sistema tiene solución única y calcular su solución empleando lasfórmulas de Cramer.

5. Los ángulos y los lados del triángulo de la figura se relacionan mediante el sistemadado de tres ecuaciones lineales con las tres incógnitas cosα, cosβ y cos γ (ver ejer-cicio 8 del capítulo 12).

c cosα+ a cos γ = bb cosα+ a cosβ = cc cos β + b cos γ = a

Utilizar las fórmulas de Cramer para expresar cos γ en términos de los lados a, b yc. (Observar que se obtiene la misma expresión al aplicar la ley del coseno).


Sección 13.2

6. Hallar el determinante de cada una de las siguientes matrices empleando operacioneselementales de fila.

a)

⎛⎝−3 2 41 3 2−1 4 0

⎞⎠ b)

⎛⎝0 −2 31 2 −32 1 3

⎞⎠ c)

⎛⎝1 0 00 1 00 k 1

⎞⎠

7. Sea A =

⎛⎝a b c5 0 21 1 1

⎞⎠ . Si detA = −2, hallar el determinante de cada una de las

siguientes matrices:

a) B =

⎛⎝ 3a 3b 3c5/2 0 11 1 1

⎞⎠ b) C =

⎛⎝ a b c4a+ 5 4b 4c+ 2a+ 2 b+ 2 c+ 2

⎞⎠

c) D =

⎛⎝a− 1 b− 1 c− 1

6 1 31 1 1

⎞⎠ d) E =

⎛⎝5a 5 −45b 0 15c 2 −1

⎞⎠

8. a) Demostrar que det

⎛⎝ 1 1 1

a b ca2 b2 c2

⎞⎠ = (b− a) (c− a) (c− b) . Este determinante es

llamado determinante de Vandermonde de orden 3.

b) Hallar las correspondientes fórmulas para los siguientes determinantes:

i) det

⎛⎝ 1 1 1

a b ca3 b3 c3

⎞⎠ ii) det

⎛⎝ 1 1 1a2 b2 c2

a3 b3 c3

⎞⎠

9. Sea A una matriz de orden 3. Demostrar:

a) Si A es invertible entonces det(A−1

)=

1

detA.

b) Para todo α ∈ R se tiene det (αA) = α3 detA.

c) Para todo k ∈ N se tiene det(Ak)= (detA)k .

d) Si A2 = A entonces detA = 0 o detA = 1.

e) Si AT = −A entonces A no es invertible.

f) Si A es invertible y AT = A−1 entonces detA = ±1.

10. Sean A y B matrices de orden 3 tales que detA = 3 y detB = −4. Calcular:

a) det (−2A) b) det(3A2B−1

)c) det (3AB)−1

d) det(−BTA−1

)e) det

(ABA−1

)11. Para la matriz A, dada en cada literal, mostrar que ella es invertible y calcular

det(A−1

).

a) A =

⎛⎝2 3 40 2 30 0 2

⎞⎠ b) A =

⎛⎝1 1 10 1 11 1 0

⎞⎠ c) A =

⎛⎝0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠


12. Sean A y B matrices de orden 3. Mostrar que, en general no es cierto quedet (A+B) = detA+ detB.

Sección 13.3

13. Para la terna de vectores X, Y, Z dada en cada literal determinar si dichos vectoresson linealmente independientes y, en caso afirmativo, decir si la terna X, Y, Z estáorientada positivamente o negativamente.

a) X =

⎛⎝ 0

1−1

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ 1−10

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ 2

3−1

⎞⎠

b) X =

⎛⎝ 1−13

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ −1−37

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ 201

⎞⎠

c) X =

⎛⎝ 234

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ 110

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ −1

03

⎞⎠

d) X =

⎛⎝ 7−4−6

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ −8

57

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ 7

0−5

⎞⎠

14. Para la terna de vectores X1, X2, X3 dada en cada literal, determinar si X1, X2, X3

son linealmente independientes y, en caso afirmativo, hallar el volumen del paralelepí-pedo determinado por los vectores X1, X2, X3.

a) X1 =

⎛⎝ 1−13

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝ −1

35

⎞⎠ , X3 =

⎛⎝ 2−14

⎞⎠

b) X1 =

⎛⎝ 2−54

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝ 0

1−3

⎞⎠ , X3 =

⎛⎝ 4−7−1

⎞⎠

15. Considerar la transformación lineal T : R3 −→ R3 dada por T

⎛⎝ x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ x+ y

x− yy + z

⎞⎠.

a) Determinar si T preserva la orientación o la cambia.

b) Para cada terna de vectores dada en el ejercicio 14 que resulte linealmente in-dependiente, calcular el volumen del paralelepí-pedo determinado por los vectoresT (X1) , T (X2) y T (X3) sin calcular estos vectores.

16. Sean X1 =

⎛⎝ 5−14

⎞⎠ , X2 =

⎛⎝ −1

01

⎞⎠ , X3 =

⎛⎝ 213

⎞⎠ . Para la transformación lineal

T dada en cada literal, calcular el volumen del paralelepípedo determinado por losvectores T (X1) , T (X2) y T (X3) sin calcular estos vectores.

a) T = Rxπ4

b) T es la reflexión respecto al plano xy.


c) T es la reflexión respecto a la rectax

2= y = −z.

17. Sean A, B, C y D puntos no coplanares del espacio y sea T la transformacióndada por T (X) = X − A. Es fácil ver que el volumen del paralelepípedo de aristasAB, AC y AD es igual al volumen del paralelepípedo determinado por los vectoresT (B) , T (C) y T (D) .

Si A =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ , B =

⎛⎝ 1

1−1

⎞⎠ , C =

⎛⎝ 011

⎞⎠ y D =

⎛⎝ −1

01

⎞⎠ , calcular utilizando

determinantes:

a) El volumen del paralelepípedo de aristas AB, AC y AD.

b) El volumen del prisma triangular cuya base es el triángulo ABC y tal que AD esuna de sus aristas.

c) El volumen de la pirámide cuadrangular cuyo vértice es el punto D y tiene comobase el paralelogramo tal que dos de sus lados son los segmentos AB y AC.

geometría vectorial asmar abraham 13

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