GEOMETRA

1. Rectas paralelas cortadas por una secante.

A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

p-b p-c p-a

p

A

BCA'

B'C'

A''

B''

C''

Ib

rrb

I

1 2

3 4

5 6

7 8

Se forman ocho ngulos, que reciben los nombres siguientes:

alternos internos: 3 y 6, 4 y 5. Son iguales

alternos externos: 1 y 8, 2 y 7. Son iguales

correspondientes: 1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8. Son iguales

colaterales internos: 3 y 5, 4 y 6. Son suplementarios

colaterales externos: 1 y 7, 2 y 8. Son suplementarios

2. ngulos de lados paralelos.

A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

1 2

3 4

5 6

7 8

Son iguales si los dos son agudos o

los dos obtusos.

Son suplementarios si uno es agudo

y otro obtuso.

3. ngulos de lados perpendiculares.

A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

1 2

3 4

5 6

7 8

Son iguales si los dos son agudos

o los dos obtusos.

Son suplementarios si uno es

agudo y otro obtuso.

4. Puntos notables en el tringulo.

O

Circuncentro. Es el punto de interseccin de las mediatrices de los lados,

siendo las mediatrices las perpendiculares en el punto medio.

El circuncentro O equidista de los vrtices, por lo que es el centro de la

circunferencia circunscrita al tringulo.

El circuncentro es interior al tringulo si ste es acutngulo, exterior si es

obtusngulo, y es el punto medio de la hipotenusa si es rectngulo.

OH

Ortocentro

Es el punto de interseccin de las alturas.

En el tringulo acutngulo el ortocentro H es interior al tringulo, en el

obtusngulo es exterior y en el rectngulo es el vrtice del ngulo recto.

OH

I

Incentro

Es el punto de interseccin de las bisectrices de los ngulos interiores.

El incentro I equidista de los tres lados, por lo que es el centro de la

circunferencia inscrita en el tringulo.

A

B

CA'

B'

C'A'B'C' es el tringulo rtico del tringulo ABC.

Las alturs de un tringulo son las bisectrices de su tringulo rtco.

I

El incentro I equidista de los tres lados, por lo que es el

cetro de la circunferencia inscrita en el tringulo.

A

C

A'

B'C' G

Ia

Ib

Ic

I

Exincentros

Las bisectrices de dos ngulos exteriores y la bisectriz

interior del tercer ngulo se cortan en los puntos

Ia, Ib, Ic ,

centros de las circunferencias tangentes a cada lado y a las

prolongaciones de los dos contiguos; son los exincentros.

HI

A

B CA'

B'C' G

Baricentro. Es el punto de interseccin de las medianas del

tringulo, siendo las medianas los segmentos que unen cada vrtice

con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro G divide a cada mediana AA, BB, CC en dos

segmentos tales que

GA

GA

GB

GB

GC

GC

1

2

Frmula de EULER

La distancia d entre el incentro y el circuncentro de un tringulo viene dada por la expresin

d2 R2 2Rr

siendo R el radio del crculo circunscrito y R el del inscrito.

Recta de EULER

A

B CA'

B'C' G

H

OG

En todo tringulo no equiltero el circuncentro O, el baricentro G y

el ortocentro H estn en lnea recta (recta de EULER) y se verifica

HG2 GO

5. ngulos en la circunferencia.

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

AB

C

23

4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

ngulo central. Es el que tiene su vrtice en el centro de la

circunferencia y los lados son radios de sta.

Como hay proporcionalidad entre la medida del ngulo central y la del

arco que subtiende, y 360 corresponden a la longitud de la

circunferencia, la medida de un ngulo central es igual a la del arco que

abracan sus lados:

AOB arc AB

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

AB

C

3

4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

ngulo inscrito. Es el que tiene su vrtice en la circunferencia y sus

lados son secantes.

Al ngulo inscrito ABC le asociamos el ngulo central AOC.

La medida de un ngulo inscrito es la mitad del ngulo central asociado,

es decir, la mitad del arco que abracan sus lados:

ABC 1

2 AOC

1

2arc AC .

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

AB

C

3

4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

ngulo semiinscrito. Es el que tiene el vrtice en la circunferencia y sus

lados son una tangente y una secante.

Su medida es la mitad del arco que abarca:

ABC 1

2arc BC .

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

A

B

C

3 4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

ngulo exterior. Es el que tiene su vrtice en un punto exterior a la

circunferencia y sus lados son secantes.

Su medida es la semidiferencia de los arcos que interceptan los lados en

la circunferencia:

APB 1

2(arc ABarc CD)

Los lados pueden ser tambin una secante y una tangente o dos

tangentes, y la medida se obtiene igual.

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

A

B

C

3 4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

ngulo interior. Es el que tiene su vrtice en un punto interior y sus

lados son secantes.

Su medida es la semisuma de los arcos que abracan los lados del ngulo

y los del opuesto por el vrtice:

APB 1

2(arc ABarc CD)

Arco capaz de un ngulo sobre un segmento dado es el lugar geomtrico de los puntos desde los cuales se

ve ese segmento bajo el ngulo dado.

aa

B C

PP'

El arco BC es el arco capaz del ngulo a sobre el segmento BC.

Desde los puntos P, P, se ve el segmento BC bajo el mismo ngulo a.

Hay otro arco capaz, el simtrico del anterior respecto de BC.

El arco capaz de 90 sobre un segmento es la circunferencia de

dimetro ese segmento.

Cuadriltero inscriptible.

1 2

3 4

5 6

7 8

A B

C

Da

bch

m n

A

CD

H

h

ab

c M

Mm

D

En todo cuadriltero inscriptible los ngulos opuestos son suplementarios.

AC 180

BD 180

6. Igualdad de tringulos.

Dos tringulos son iguales si tienen respectivamente iguales:

1. Dos lados y el ngulo comprendido.

2. Un lado y dos ngulos.

3. Los tres lados.

Dos tringulos rectngulos son iguales si tienen respectivamente iguales:

1. La hipotenusa y un ngulo agudo.

2. Un cateto y un ngulo agudo.

3. La hipotenusa y un cateto.

4. Los dos catetos.

7. Semejanza de tringulos.

56,2

1 2

3 4

5 6

7 8

a

bch

m n

A

CD

h

Ma

bc ma

P

A

B

M

O

0,7

C

A'

B' C'

Dos tringulos son semejantes si sus ngulos son

respectivamente iguales y sus lados homlogos

proporcionales.

A A, B B, C C

AB

AB

BC

BC

AC

AC

Criterios de semejanza. Dos tringulos son semejantes si tienen:

a) dos ngulos iguales: A = A, B = B

b) los lados proporcionales:

AB

AB

BC

BC

AC

AC

c) dos lados proporcionales e igual el ngulo comprendido:

AB

AB

BC

BC, B B

La razn de las reas de dos tringulos semejantes es igual al cuadrado de la razn de semejanza (razn

de dos elementos homlogos), o tambin: las reas de dos tringulos semejantes son proporcionales a los

cuadrados de los lados homlogos.

8. Teoremas del cateto y de la altura en tringulos rectngulos.

HI

A

BC

A'

B'

C'

G

A

C

A

BC

D

E

4

5

D E

A

B CD a

bch

m n

Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su

proyeccin sobre sta:

b2 an, c2 am

La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre

los dos segmentos en que divide a sta:

h2 mn

9. Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

G

J

O

O1 Resultado:

B

C5

A B

C

K

P

AA'

B

B'

PA

A'B

B'

Potencia del punto P (exterior o interior) respecto de

la circunferencia es el producto de las distancias de P

a los puntos de interseccin de las secantes con la

circunferencia:

k PAPA PB PB

G

J

O

O1 Resultado:

B

C5

A B

C

K

P

AA'

B

B'

PA

A'B

B'T

AA'

Or

Si una de las rectas es tangente y la otra asa por el centro de la

circunferencia:

PT2 PA PA (PO d)(PO d) d2 r2

PT2 PA PA (PO d)(PO d) d2 r2

siendo d la distancia del punto al centro y r el radio.

La potencia es positiva o negativa, segn que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geomtrico de los puntos que tienen igual potencia respecto

de ambas circunferencias. Es una recta perpendicular a la recta de los centros.

Centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las tres

circunferencias. Es el punto de interseccin de los ejes radicales de las tres circunferencias, tomadas dos a

dos.

10. Teorema de la bisectriz.

HI

A

BC

A'

B'

C'

G

A

C

A

BC

D

E

4

5

D E

La bisectriz de un ngulo interior de un tringulo divide al lado

opuesto en dos segmentos aditivos proporcionales a los lados del

ngulo:

BD

AB

DC

AC

La bisectriz del ngulo exterior de un tringulo divide al lado

opuesto en dos segmentos sustractivos proporcionales a los

lados del ngulo:

BE

AB

CE

AC

11. Teoremas del seno y del coseno.

Teorema del seno:

a

senA

b

senB

c

senC Teorema del coseno:

a2 b2 c2 2bccos A

b2 a2 c2 2accos B

c2 a2 b2 2abcos C

12. Diversas expresiones del rea del tringulo.

a)

S 1

2aha

1

2bhb

1

2chc, siendo a, b, c los lados y

ha, hb, hc las alturas correspondientes.

b)

S pr , siendo p el semipermetro y r el radio del crculo inscrito.

c)

S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rc , siendo

ra,rb,rc los radios de los crculos exinscritos.

d)

S p( p a)( p b)( p c) frmula de HERON.

e) En funcin de los radios de los crculos exinscritos:

S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rb

f)

S abc

4R, siendo R el radio del crculo circunscrito.

g)

S 1

2absenC

1

2bcsenA

1

2acsenB

13. Tringulo rtico de un tringulo es el que tiene como vrtices los pies de las alturas de aquel. A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

1 2

3 4

5 6

7 8

A

B CA'

B'

C'

ABC es el tringulo rtico del tringulo ABC.

Las alturas de un tringulo son las bisectrices de su tringulo rtico.

Como consecuencia, el ortocentro de un tringulo es el incentro de su

tringulo rtico.

14. Tringulos con un ngulo comn.

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

A

B

C

3 4

5

D E

B

3

C

M

P

O

A B

C

H

ab

c

n

h

E

M

L

K

45

N AB

C

D

TT'

2

A

B

C

D

E

La razn de las reas de dos tringulos con un ngulo comn es

igual a la razn de los productos de los lados que forman ese

ngulo en cada tringulo.

rea ( ABC)

rea ( ADE)

1

2AB AC senA

1

2AD AE senA

AB AC

AD AE

15. Teorema de Ptolomeo.

A

B

C

a

bch

m n

D

M

a

bc ma

NX

En todo cuadriltero inscriptible en una circunferencia, la suma de los

productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus

diagonales:

ABCD AD BC AC BD

16. Teorema de Ceva.

G

J

O

MP' Q'T'

Resultado:

B

C5

A

B

C F

E

D

A

B C

M

K

L

Se llaman cevianas las rectas que unen los vrtices de un tringulo

con los lados opuestos. AK, BL, CM son tres cevianas concurrentes.

El teorema dice: la condicin necesaria y suficiente para que tres

cevianas sean concurrentes es que se verifique

AM

MBBK

KCCL

LA1

17. Teorema de Menelao.

G

J

O

MP' Q'T'

Resultado:

B

C5

A

B

C F

E

D

AB

C

M

K

L

X

Y

Z

Sean X, Y, Z puntos sobre los lados BC, AC, AB (o

sus prolongaciones).

El teorema dice: la condicin necesaria y suficiente

para que los puntos X, Y, Z estn alineados es que

se verifique

BX

CXCY

AY

AZ

BZ1

18. Clculo de las medianas de un tringulo en funcin de los lados.

1 2

3 4

5 6

7 8

A

B C

Da

bch

m n

A

CD

h

D

Ma

bc ma

Aplica el teorema del coseno a los tringulos ABM y AMC; suma las

dos igualdades obtenidas y simplifica teniendo en cuenta que los

ngulos en M son suplementarios, y que BM = MC = a/2.

Obtendrs:

ma2

2c2 2b2 a2

4.

Anlogamente para las otras dos medianas.

19. Segmentos determinados en los lados de un tringulo por los puntos de contacto de las

circunferencias inscrita y exinscritas.

AB

M

I

D

C

E

F

M

I

J

P

P

p-b p-c p-a

p

A

BCA'

B'C'

A''

B''

C''

Ib

rrb

I

20. Lugares geomtricos.

Lugar geomtrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geomtricas.

Lugares geomtricos elementales:

Mediatriz de un segmento: lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Bisectriz de un ngulo: lugar geomtrico de los puntos que equidistan de sus lados.

Circunferencia: lugar geomtrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante.

Elipse: lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.

Hiprbola: lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante.

Parbola: lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una recta dada.

21. Mximos y mnimos sin derivadas.

Hay problemas de optimizacin (distancias, permetros, reas, etc.) que pueden resolverse sin necesidad

de hacer uso de derivadas.

22. Construcciones geomtricas.

Se trata de construir una figura geomtrica que cumpla determinadas condiciones.

En numerosas ocasiones conviene suponer el problema resuelto, es decir, admitir la existencia de la

solucin, y reducir las condiciones del enunciado a otras que conduzcan a un problema conocido; despus

se pasa de esta figura a la pedida.

23. Transformaciones geomtricas.

Traslacin de vector v: a todo punto A del plano le asocia el punto A tal que AA = v-

El producto de dos traslaciones es otra traslacin de vector suma de los vectores de aquellas.

Giro o rotacin de centro O y amplitud a: a todo punto A asocia el punto A tal que OA = OA y ng AOA

= a.

El producto de dos giros del mismo centro es otro giro del mismo centro y amplitud suma de las

amplitudes de aquellos.

Simetra central de centro O: a todo punto A asocia el punto A tal que O es el punto medio de AA.

El producto de dos simetras centrales es una traslacin.

Simetra axial de eje r: a todo punto A asocia el punto A tal que r es la mediatriz del segmento AA.

El producto de dos simetras de ejes paralelos es una traslacin.

El producto de dos simetras de ejes concurrentes es un giro.

Las traslaciones, los giros y las simetras centrales son igualdades directas (conservan las distancias, los

ngulos y el sentido de estos); las simetras axiales son igualdades inversas (invierten el sentido de los

ngulos).

Homotecia de centro O y razn h: a cada punto A asocia otro punto A, alineado con A, tal que

OA

OA h.

El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y razn el producto

de las razones de aquellas.

24. Algunas ideas tiles en la resolucin de problemas.

1. Cada mediana de un tringulo divide a ste en dos tringulos equivalentes.

2. Si se trazan las tres medianas de un tringulo, ste queda dividido en seis tringulos equivalentes.

3. Si un tringulo rectngulo tiene un ngulo de 30, el cateto opuesto a este ngulo vale la mitad de la

hipotenusa.

4. La mediana correspondiente a la hipotenusa de un tringulo rectngulo es la mitad de sta.

5. El radio del crculo inscrito en un tringulo rectngulo vale

r b c a

2, siendo a la hipotenusa, b y c

los catetos.

6. En un tringulo rectngulo issceles, la longitud de un cateto es igual a la suma de los radios de las

circunferencias inscrita y circunscrita.

7. Las rea de dos tringulos de igual base son proporcionales a las alturas.

8. Las reas de dos tringulos de igual altura son proporcionales a las bases.

9. En todo tringulo el lado mayor es menor que el semipermetro.

10. Un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

11. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer lado e igual a

su mitad.

12. Las bisectrices de dos ngulos adyacentes son perpendiculares.

13. Los puntos medios de los lados de un cuadriltero cualquiera son vrtices de un

paralelogramo.

PROBLEMAS DE GEOMETRA

1. Dado un tringulo rectngulo ABC, construir un punto interior P tal que los ngulos PAB, PBC y PCA

sean iguales.

Indicacin

Halla el ngulo bajo el cual se ve desde P el segmento AC, y el ngulo bajo el que se ve el segmento AB

desde P.

Entonces el punto P

2. Hallar el lugar geomtrico de los incentros de los tringulos con un lado fijo y el

ngulo opuesto constante.

Indicacin

Si BC es el lado fijo del tringulo ABC, halla el ngulo BIC, siendo I el incentro del tringulo. Entonces

desde I se ve .

3. Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.

Indicacin

A B C D

A'

B'C'

D'a

b c

dM

N

P

Q

E

F

Supongamos el problema resuelto, siendo MNPQ el

cuadrado pedido y A, B, C, D los cuatro puntos alineados.

La figura te ayudar a ver la construccin del cuadrado.

4. En un cuadriltero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ngulos. Demostrar que los

cuatro puntos de interseccin forman un cuadriltero inscriptible.

Indicacin

A

B C

DA'

B'C'

D'a

b c

d

Sean a, b, c, d las mitades de los ngulos A, B, C, D del

cuadriltero.

Utilizando los tringulos AAB y CCD, se llega a que los ngulos

A y C son suplementarios.

5. En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la

circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N.

Indicacin

A B C D

A'

B'C'

b c

d

N

P

Q

E

F

A

B

C

OO'

AB

C D

EM

N

P

Q

R

A

B

C

A'

B'

C'

1

2

MN

m

n

Encuentra la relacin entre los ngulos m y n.

Fjate en que el ngulo m es constante y los puntos A y B son fijos.

Entonces desde N se ve

Considera tambin el caso de que M est en el otro arco AB.

6. Qu condicin han de cumplir las longitudes de los lados de un tringulo ABC para que la recta que

une el baricentro G y el incentro I sea paralela a uno de los lados?

Indicacin

B C

A'

O

H

D E

OE

rM

N

ra

ra

ra Ia

D

O

ab

c

h

E

A

BCA'

B'

C'

A''

B''

C''

p-b p-c p-a

p

I

Ib

A

B C

G I

M HD

r

h

Ten en cuenta la propiedad del baricentro de un tringulo.

Obtn una relacin entre r y h por semejanza de tringulos.

Expresa de dos formas el rea del tringulo y obtendrs otra

relacin entre r y h.

7. En un tringulo ABC rectngulo A, AH es la altura relativa a la hipotenusa. Si

r, r1, r2 son los radios de

las circunferencias inscritas en los tringulos ABC, AHC y AHB, respectivamente, demostrar que

r2 r13 r2

2.

Indicacin

Establece que los tres tringulos son semejantes.

Expresa que sus reas son proporcionales a los cuadrados de los lados homlogos. Cules son los lados

homlogos?

Finalmente, ten en cuenta el teorema de Pitgoras en el tringulo ABC.

8. En un pentgono regular se trazan las diagonales, que forman en su interior otro pentgono regular.

Hallar la razn de sus reas.

Indicacin A B C D

A'

B'C'

D'a

b c

dM

N

P

Q

E

F

A

B

C

OO' A

B

C D

EM

N

P

Q

R

Haciendo uso de los ngulos en la circunferencia, demuestra que el

tringulo ABM es issceles y que los tringulos AMR y ABR son

semejantes.

Obtn la razn

MR

AB de dos lados homlogos, que es la razn de

semejanza de los dos pentgonos.

A partir de sta se obtiene la razn de las reas de los dos pentgonos.

9. Construir la media geomtrica de dos segmentos dados.

Indicacin

Haz uso del teorema de la altura o del teorema del cateto en tringulos rectngulos.

10. Un tringulo tiene sus vrtices en cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el

espacio; ninguno est en el origen, ni dos de ellos coinciden en el mismo eje. Demostrad que el tringulo

es acutngulo.

Indicacin

Vamos a demostrar que cualquier ngulo, por ejemplo el A, es

agudo.

Aplicamos el teorema del coseno al tringulo ABC:

a2 b2 c2 2bccos A . Si A es agudo . Por otra parte:

a2 y2 z2

b2 x2 z2

c2 x2 y2

b2 c2 2x2 y2 z2 y2 z2 a2

11. Halla los ngulos del tringulo rtico del tringulo ABC en funcin de los ngulos de ste.

Indicacin

B C

A'

O

H

D E

OE

r

A

B CA'

B'

C'

H

12

Sea ABC el tringulo rtico del tringulo ABC y H el ortocentro.

Partiendo de que el cuadriltero BAHC es inscriptible, relaciona los ngulos 1

y 2, y ste con el A.

Despus ten en cuenta que AA es bisectriz del ngulo CAB.

Lo mismo para los otros dos ngulos.

12. Construir un tringulo conociendo los pies de las tres alturas.

Indicacin

Teniendo en cuenta la propiedad anterior, empieza dibujando las bisectrices del tringulo rtico.

13. En el lado AB de un tringulo ABC se toma el punto M y en lado AC el punto N, tales que

AM 3MB

y

2AN NC . Hallar el rea del cuadriltero MBCN, si la del tringulo ABC es igual a S.

Indicacin

Los tringulos ABC y AMN tienen un ngulo comn, luego la razn de sus reas

14. Dado un tringulo equiltero ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto P en el arco BC y

se une con los vrtices del tringulo. Demostrar que

PAPBPC .

Indicacin

Aplica el teorema de PTOLOMEO al cuadriltero ABPC.

15. Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B, estudia el lugar geomtrico del los puntos

P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.

Indicacin

Parte del tringulo PAB, en el que PM es una mediana e impn la condicin del enunciado, utilizando la

frmula de la mediana en funcin de los lados.

Tambin puede resolverse eligiendo un sistema de coordenadas adecuado.

16. Construir un tringulo rectngulo conociendo un cateto y la suma de la hipotenusa y el otro cateto.

Indicacin

1 2

3 4

5 6

7 8

AB

C

D

a

bch

m n

A

CD

h

D

Ma

bc ma

Supn el problema resuelto, siendo ABC el tringulo

pedido.

Prolonga AB una longitud BD = BC; puedes

construir el tringulo CAD? Cmo pasas de ste al

pedido?

17. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por l una secante que intercepte en la

circunferencia una cuerda de longitud dada.

Indicacin

56,2

1 2

3 4

5 6

7 8

AB

C

D

a

bch

m n

A

CD

h

Ma

bc ma

P

A

B

M

O

Sea AB una de las cuerdas de longitud dada.

En toda circunferencia, cuerdas iguales equidistan del centro y,

recprocamente, cuerdas equidistantes del centro son iguales;

entonces la distancia OM del centro de la circunferencia al punto

medio de la cuerda es Por tanto ..

18. Dado un tringulo ABC, se construyen: el simtrico de A respecto de B, el simtrico de B respecto de

C y el simtrico de C respecto de A. Si el rea de ABC vale s, hallar el rea de s.

Indicacin

A B C D

A'

B'C'

D'a

b c

dM

N

P

Q

E

F

A

B

C

OO' A

B

C D

EM

N

P

Q

R

A

B

C

A'

B'

C'

1

2

Sean A, B, C los simtricos de A, B, C.

Compara las reas de los tringulos 1 y ABC; las de los

tringulos 1 y 2. Deduce la relacin de las reas de ACA y

ABC.

Anlogamente para los tringulos BAB y CBC.

Entonces se deduce la relacin entre las reas de ABC y

ABC.

19. Sea ABC un tringulo rectngulo en A. H es el pie de la altura desde A. Demostrar que la suma de los

radios de los crculos inscritos en los tringulos ABC, ABH y ACH es AH.

Indicacin

Expresa los radios de los crculos inscritos en los tres tringulos en funcin de los lados y smalos.

20. Dada una recta r y dos puntos A y B a distinto lado de r, hallar el camino mnimo para ir de A a B.

Indicacin

Traza el simtrico A de A respecto de r; une A con B,

21. Un punto X, tomado en la hipotenusa de un tringulo rectngulo, se proyecta ortogonalmente sobre los

catetos en M y N. Determinar la posicin del punto X y la longitud del segmento MN cuando sta sea

mnima.

Indicacin

La figura AMXN es un rectngulo, cuyas diagonales son iguales.

22. En el cuadriltero ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en O. OB = 4, OD = 6, OA = 8, OC = 3 y

AB = 6. Hallar AD.

Indicacin

Dibuja el cuadriltero y observa que

OA OC OB OD24 , luego los puntos son concclicos.

Hay dos pares de tringulos semejantes, lo que permite obtener la longitud del lado CD y el BC en

funcin del AD. Aplica despus el teorema de PTOLOMEO.

23. Sea ABCD un cuadriltero cuyas diagonales se cortan en O. Los tringulos AOB, BOC y COD tienen

reas 1, 2 y 3, respectivamente. Hallar el rea del tringulo AOD y probar que el cuadriltero ABCD es

un trapecio.

Indicacin

Las reas de dos tringulos con la misma altura son proporcionales a las bases.

24. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, tal que el ngulo BAD es recto. Dos circunferencias de

dimetros AB y CD se cortan en los puntos P y Q. La recta PQ corta al lado AD en M. Demostrar que M

es el punto medio de AD.

Indicacin

Halla la potencia de M respecto de una y otra circunferencia.

25. Un trapecio issceles tiene sus diagonales perpendiculares. Hallar el rea del trapecio en funcin de

las bases.

Indicacin

Si las diagonales son perpendiculares y el trapecio es issceles, hay dos tringulos rectngulos issceles.

26. Las tres mediatrices de un tringulo lo dividen en seis tringulos equivalentes.

Indicacin

Ten cuenta que cada mediatriz divide a un tringulo en dos equivalentes,

27. Aplica el teorema de CEVA para demostrar la concurrencia de las medianas, de las bisectrices y de

las alturas de un tringulo.

28. Demostrar que en un tringulo se verifica: si r es una recta que pasa por su baricentro y no pasa por

ningn vrtice, la suma de las distancias a dicha recta de los vrtices que quedan en un mismo semiplano

es igual a la distancia del tercer vrtice a dicha recta.

Indicacin

O

A

C

E

F

D

BGH

I

P Q

M

B'A'

C'M'

G

r

Debes tener en cuenta que BCCB es un trapecio,

aplicar una semejanza de tringulos y considerar la

propiedad del baricentro de un tringulo.

29. Si dos de las alturas de un tringulo miden 6 y 12, demostrar que la longitud de la tercera altura es

mayor que 4.

(Calendario Editorial S.M. 30-9-2.010)

Indicacin

Si las alturas 6,12 y h se corresponden con los lados a,b y c respectivamente, 22

12

2

6 hcba despeja a

y b y ten en cuenta que un lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos.