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Conceptos básicos de Geometría

Dr. Eduardo A. RODRÍGUEZ TELLO

CINVESTAV-Tamaulipas

15 de enero del 2013

Dr. Eduardo RODRÍGUEZ T. (CINVESTAV) Conceptos básicos de Geometría 15 de enero del 2013 1 / 25

1 Conceptos básicos de GeometríaGeometría AfínGeometría EuclidianaOrientación de puntosÁreas y ángulos


Conceptos básicos de Geometría Geometría Afín

Geometría Afín

Existen diferentes sistemas geométricos que pueden ser usadospara expresar algoritmos geométricos:

Geometría AfínGeometría EuclidianaGeometría ProyectivaGeometría Analítica

Durante el cuatrimestre trabajaremos principalmente conGeometría Afín y Euclidiana

Comenzaremos por definir algunos conceptos básicos de laGeometría Afín



Geometría Afín

Una Geometría Afín consiste de:Un conjunto de escalares (números reales)Un conjunto de puntosun conjunto de vectores

Los puntos son usados para especificar posición

Los vectores son usados para especificar dirección y magnitud,pero no tiene posición fija en el espacio (en contraste con laálgebra lineal donde no hay distinción entre puntos y vectores)



Geometría Afín

Las siguientes operaciones pueden ser efectuadas sobreescalares, puntos o vectores.

Las operaciones de Vectores son como las realizadas en álgebralineal

Es posible restar dos puntos

La resta de dos puntos p−q resulta en un vector dirigido de q a p.

También es posible sumar un punto a un vector p + v dando comoresultado que el punto sea trasladado por v de p



Geometría Afín

Sea S un escalar, V un vector y P un punto, las siguientes son lasoperaciones legales en Geometría Afín:

S · V → V multiplicación escalar y vectorV + V → V suma de vectoresP − P → V resta de puntosP + V → P suma punto y vector



Geometría Afín

A partir de las operaciones anteriores es posible derivar muchasotras

Por ejemplo, se puede definir la resta de dos vectores ~u − ~v como~u + (−1) · ~v

O la división de un vector y un escalar ~v/α como (1/α) · ~v dadoque α 6= 0

Existe un vector especial ~0, llamado vector cero, el cual no tienemagnitud por lo tanto ~v + ~0 = ~v

No es posible multiplicar un punto por un escalar o sumar dospuntos juntos.



Geometría Afín

Sin embargo, hay una operación que combina estos doselementos, llamada combinación afín

Dados dos puntos p0, p1 y dos escalares α0 y α1, tales queα0 + α1 = 1, la combinación afín se define como:

aff (p0,p1;α0, α1) = α0p0 + α1p1 = p0 + α1(p1 − p0)

El término de en medio de la ecuación no es una operación legalen Geometría Afín. Pero de esta forma es como se expresatípicamente la combinación afín (promedio ponderado de dospuntos)

El término derecho si es válido



Geometría Afín

Es importante observar que si p0 6= p1 entonces el puntoaff (p0,p1;α0, α1) cae en la línea que une p0 y p1

Dado que α1 varia de −∞ a∞ éste traza todos los puntos enesta línea



Geometría Afín

En el caso especial donde 0 ≤ α0, α1 ≤ 1, aff (p0,p1;α0, α1) es unpunto que subdivide el segmento de línea p0p1 en dos segmentosde tamaños relativos α1 a α0

La operación resultante se llama combinación convexa

El conjunto de todas las combinaciones convexas traza elsegmento de línea p0p1



Geometría Afín

Es fácil extender ambos tipos de combinaciones a más de dospuntos, al agregar la condición que la suma α0 + α1 + α2 = 1:

aff (p0,p1,p2;α0, α1, α2) = α0p0 + α1p1 + α2p2 =p0 + α1(p1 − p0) + α2(p2 − p0)

El conjunto de todas las combinaciones afines de 3 puntos (nocolineales) genera un plano

El conjunto de todas las combinaciones convexas de 3 puntosgenera todos los puntos del triángulo definido por los puntos

Éstos son llamados cerradura afín y cerradura convexa de lospuntos respectivamente


Conceptos básicos de Geometría Geometría Euclidiana

Geometría Euclidiana

En Geometría Afín no existen algún medio para manejar losconceptos de ángulos y distancias

La Geometría Euclidiana es una extensión de la Geometría Afínque incluye una operación adicional, llamada producto interior

El producto interior mapea dos vectores de reales (no puntos) enun real no negativo

Un ejemplo de un producto interior es el producto punto




Supongamos que los vectores d-dimensionales ~u y ~v sonrepresentados por los vectores de coordenadas (no homogéneas)(u1,u2, . . . ,ud) y (v1, v2, . . . , vd)

Entonces el producto punto de ~u y ~v se define de la siguientemanera:

~u · ~v =d∑

i=1

uivi (1)




El producto punto sirve además para calcular otras identidades

La longitud de un vector ~v

‖~v‖ =√~v · ~v (2)

La normalización de un vector no negativo ~v , denotada v , sedefine como un vector de longitud unitaria que apunta en lamisma dirección que ~v

v =~v‖~v‖ (3)

La distancia entre puntos, denotada como dist(p,q) o ‖pq‖, es lalongitud del vector entre ellos ‖p − q‖




El ángulo entre dos vectores no negativos ~u y ~v (con un rangoentre 0 y π) es:

ang(~u, ~v) = cos−1(

~u · ~v‖~u‖‖~v‖

)= cos−1(u · v) (4)

A partir de esta ecuación es posible derivar fácilmente la ley decosenos


Conceptos básicos de Geometría Orientación de puntos

Orientación de puntos

Existe una operación sobre los puntos que es análoga a lasoperaciones relacionales <, = y > con números

No parece haber una forma intrínsecamente natural paracomparar dos puntos en un espacio d-dimensional

Pero existe una relación, llamada orientación, entre (d + 1)-tuplasordenadas de puntos en un espacio d-dimensional

La orientación extiende la noción de relaciones binarias en unespacio 1-dimensional




Dada una tripleta ordenada de puntos < p,q, r > en el plano,decimos que tienen una orientación positiva si definen untriángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj

Tienen una orientación negativa si forman un triangulo en sentidode las manecillas del reloj

Y una orientación cero si son colineales (incluyendo el casodonde dos o más puntos son idénticos

Observemos que la orientación depende del orden en que lospuntos son dados




Orientaciónpositiva

Orientaciónnegativa

Orientacióncero




La orientación se define formalmente como el signo deldeterminante de los puntos dados en coordenadas homogéneas,es decir al agregar un 1 a cada coordenada

Por ejemplo, en el plano se define

Orient(p,q, r) = det

1 px py1 qx qy1 rx ry

(5)




Observemos que en el caso de un espacio 1-dimensionalOrient(p,q) es el resultado de q − p

Por lo tanto Orient(p,q) puede tomar 3 valores diferentes:Positiva si p < qCero si p = qNegativa si p > q




Es importante resaltar que el signo de la orientación de unatripleta ordenada permanece sin cambio si los puntos sontrasladados, rotados, o escalados (por un factor positivo)

La transformación de una reflexión f (x , y) = (−x , y), cambia elsigno de la orientación

En general, al aplicar cualquier transformación afín a los puntosaltera el signo de la orientación de acuerdo al signo de la matrizusada en la transformación


Conceptos básicos de Geometría Áreas y ángulos

Áreas y ángulos

El determinante Orient(p,q, r) es igual al doble del área (consigno) del triángulo 4pqr (positiva si y negativa si �)

Por lo tanto el área del triángulo puede ser determinada al dividiresta cantidad por 2

En general, en un espacio d-dimensional el área de un símplex(un símplex o d-símplex es el análogo en d dimensiones de untriángulo) acotado por d + 1 puntos puede ser determinadatomando este determinante y dividiéndolo por d !

Dada la capacidad de calcular el área de cualquier triángulo (osímplex en dimensiones más grandes), es posible calcular elvolumen de cualquier polígono (o poliedro), dada una subdivisiónapropiada en estos elementos básicos



Áreas y ángulos

En Geometría Euclidiana, el producto punto, la longitud y losángulos están relacionados.

Para un vector ~u el producto punto ~u · ~u es igual al cuadrado de lalongitud (o magnitud) de ~u

‖~u‖ =√~u · ~u (6)

De manera más general, si ~v es otro vector

~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos θ (7)

Por lo tanto, dados dos vectores, el ángulo θ entre ellos puedeencontrarse despejando la Fórmula 7

θ = cos−1(

~u · ~v‖~u‖‖~v‖

)(8)



Áreas y ángulos

~v

θ

~u

‖~u‖ cos θ



Áreas y ángulos

La desventaja del coseno es que no permite distinguir ángulospositivos de los negativos

Por otra parte el seno del ángulo θ = ∠pqr (el ángulo con signodel vector p − q al vector r − q) puede ser calculado así:

θ = sin−1(

Orient(q,p, r)‖p − q‖‖r − q‖

)(9)

Conociendo el seno y coseno de un ángulo podemos determinarsin ambigüedad dicho ángulo


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