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7/22/2019 geometria para maestros.pdf

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Proyecto Edumat-MaestrosDirector: Juan D. Godinohttp://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

III.

GEOMETRA PARA MAESTROS

Juan D. GodinoFrancisco Ruiz

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Geometra y su didctica para maestros

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ndice

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Captulo 1:FIGURAS GEOMTRICAS

A. Contextualizacin Profesional Problemas sobre figuras geomtricas en primaria ..........................................................

B: Conocimientos matemticos1. La geometra y sus aplicaciones

1.1. Naturaleza de los objetos geomtricos ............................................................1.2. Aplicaciones de la geometra ..........................................................................1.3. Situaciones introductorias ...............................................................................

2. Componentes elementales de las figuras geomtricas2.1. Puntos, rectas, planos y espacio .....................................................................2.2. Segmentos y ngulos .......................................................................................3. Curvas y polgonos en el plano3.1. Curvas y regiones ............................................................................................3.2. Curvas poligonales y polgonos ......................................................................

4. Los tringulos y su clasificacin4.1. Definiciones y propiedades .............................................................................4.2. Clasificacin de tringulos ..............................................................................4.3. Elementos notables. Construccin ..................................................................

5. Los cuadrilteros y su clasificacin5.1. Situacin introductoria ....................................................................................5.2. Descripciones y propiedades de los cuadrilteros ...........................................

6. Recubrimientos del plano con polgonos6.1. Teselaciones regulares del plano .....................................................................6.2. Teselaciones semiregulares del plano ..............................................................

7. Figuras en el espacio7.1 Planos y lneas en el espacio .............................................................................7.2. Curvas, superficies y slidos ..........................................................................7.3. Los poliedros y su clasificacin .......................................................................7.4. Conos y cilindros .............................................................................................

8. Taller matemtico ......................................................................................... .............

BIBLIOGRAFA..........................................................................................................

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Captulo 2:TRANSFORMACIONES GEOMTRICAS. SIMETRA Y SEMEJANZA

A: Contextualizacin profesional Problemas sobre transformaciones geomtricas en primaria ..........................................

B: Conocimientos matemticos1. Movimientos rgidos: traslaciones, giros, simetras,

composicin de movimientos1.1. Traslaciones .....................................................................................................1.2. Giros ................................................................................................................1.3. Simetras ..........................................................................................................1.4. Composicin de isometras: la simetra con deslizamiento .............................

2. Patrones y simetras2.1. Simetra axial ...................................................................................................2.2. Simetra rotacional ...........................................................................................2.3. Simetra central ................................................................................................2.4. Cubrimientos regulares del plano. Frisos y mosaicos .....................................

3. Proporcionalidad geomtrica. Teorema de Thales ..................................................... 4. Transformaciones de semejanza

4.1. Homotecias ......................................................................................................4.2. Semejanzas ......................................................................................................

5. Movimientos y geometra de coordenadas. Estudio dinmico con recursos enInternet ............................................................................................................................6. Taller de matemticas .................................................................................................

BIBLIOGRAFA.............................................................................................................

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Captulo 3:ORIENTACIN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

A: Contextualizacin profesional Problemas sobre orientacin espacial y sistemas de referencia en primaria ................

B: Conocimientos matemticos

1. Espacios y geometras1.1. Situacin introductoria: modelizar el espacio .................................................1.2. Espacio sensible y espacio geomtrico ...........................................................1.3. Diversos tipos de geometras ...........................................................................1.4. Topologa .........................................................................................................

2. Localizacin y relaciones espaciales2.1. Localizacin de puntos: sistema de coordenadas cartesianas ..........................2.2. Sistema de coordenadas polares ......................................................................2.3. Sistemas globales de coordenadas para el posicionamiento de puntos sobrela superficie de la tierra ..........................................................................................

3. Mapas y planos topogrficos

3.1. Utilidad prctica de los mapas y planos ..........................................................3.2. Bases para la realizacin de los mapas: triangulacin y proyeccin ..............3.3. La red de coordenadas geogrficas ..................................................................

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3.4. Las escalas .......................................................................................................3.5. Representacin cartogrfica: altimetra y planimetra .....................................3.6. El rumbo y la orientacin del mapa .................................................................

4. Taller de matemticas ................................................................................................. BIBLIOGRAFA..............................................................................................................

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III. Geometra para Maestros

Captulo 1:

FIGURAS GEOMTRICAS


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J. D. Godino y F. Ruiz

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Figuras geomtricas

A: Contextualizacin Profesional

ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE FIGURAS GEOMTRICAS EN PRIMARIA

Consigna:Los enunciados que se incluyen a continuacin han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos,

a) Resuelve los problemas propuestos. b) Indica los conceptos y procedimientos matemticos que se ponen en juego en la

solucin.c) Clasifica los enunciados en tres grupos segn el grado de dificultad que les atribuyes

(fcil, intermedio, difcil).d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la

tarea, de manera que uno lo consideres ms fcil de resolver y otro ms difcil.e) Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los

alumnos de primaria? Propn un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que note parezcan suficientemente claros para los alumnos.

Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:

1. En cuntos puntos pueden cortarse cuatro rectas?

2. Dibuja un polgono convexo de siete lados y traza sus diagonales. cuntas diagonalestiene?

3. Cuntos grados mide el ngulo central de un decgono regular?

4. Repite esta plantilla seis veces y colorea en cada casoa) Un tringulo equiltero b) Un tringulo isscelesc) Un tringulo escalenod) Un trapecio

e) Un rectngulof) Un rombo

5. Corta un cuadrado y construye un romboide con las partes.

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6. En cada uno de estos polgonos traza las diagonalesque parten del vrtice A. Cuentael nmero de tringulos en que haquedado dividido cada uno de los

polgonos y completa la tabla

A A

A

A

Nmero de lados 4 5 6 7 8 9 10 Nmero de tringulos 2

7. Dibuja en papel cuadriculado:a) Un cuadriltero que tenga dos ngulos agudos, dos ngulos obtusos y dos pares de

lados paralelos. b) Un cuadriltero que tenga los cuatro ngulos rectos y los lados iguales dos a dos.

8. Cuenta el nmero de caras, aristas y vrtices de cada uno de estos poliedros y compruebaque: n de caras + n de vrtices = n de aristas + 2.

CARAS VRTICES ARISTASABCD

9. Dibuja el desarrollo de estos poliedros

10. Qu figura obtendras a partir de cada uno de estos desarrollos?

11. Escribe el nombre de cada uno de estos cuerpos geomtricos

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Figuras geomtricas

12. a) Cuntas caras laterales tiene cadauno de estos prismas ?

b) A cul de los cuerpos de laizquierda corresponde el recortable?

c) Dibuja todos los polgonos que formanlas caras de este poliedro construido conocho cubos iguales:

d) Escribe en qu se parecen y en quse diferencia estos dos polgonos:

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B: Conocimientos Matemticos

1. LA GEOMETRA Y SUS APLICACIONES

1.1. Naturaleza de los objetos geomtricos

Antes de comenzar a estudiar la geometra y de ver cmo podemos ayudar a los niosa que aprendan geometra, consideramos necesario aclarar de qu trata esta rama de lasmatemticas y reflexionar sobre la naturaleza de sus objetos. El significado etimolgico de la palabra geometra, medida de la tierra, nos indica su origen de tipo prctico, relacionadocon las actividades de reconstruccin de los lmites de las parcelas de terreno que tenan que

hacer los egipcios, tras las inundaciones del Nilo. Pero la Geometra dej hace ya hacemucho tiempo de ocuparse de la medida de la tierra. Con los griegos la geometra se interes por el mundo de las formas, la identificacin de sus componentes ms elementales y de lasrelaciones y combinaciones entre dichos componentes.

La geometra se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabrascomo, punto, recta, plano, tringulo, polgono, poliedro , etc. Tales trminos y expresionesdesignan figuras geomtricas, las cuales son consideradas como abstracciones, conceptos,entidades ideales o representaciones generales de una categora de objetos. Por tanto, hay quetener en cuenta que la naturaleza de los entes geomtricos es esencialmente distinta de losobjetos perceptibles, como este ordenador, una mesa o un rbol. Un punto, una lnea, un plano, un crculo, etc., no tienen ninguna consistencia material, ningn peso, color, densidad,etc.

Un problema didctico crucial es que con frecuencia usamos la misma palabra parareferimos a los objetos perceptibles con determinada forma geomtrica (el tringulo es uninstrumento de percusin) y al concepto geomtrico correspondiente (el tringulo issceles).Adems, en la clase de matemticas, y en los textos escolares no se diferencian los dos planos(objeto abstracto, realidad concreta) y encontramos expresiones como: Dibuja una recta (untringulo, etc). Como entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar unarecta o un tringulo. Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objetoabstracto correspondiente. La recta, como entidad matemtica, es ilimitada y carece deespesor, no as los dibujos que se hacen de ella. Del mismo modo, un tringulo no es una pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el papel: Es una formacontrolada por su definicin .

Las entidades matemticas y tambin las geomtricas son creadas en ltima instanciamediante definiciones, reglas que fijan el uso de los trminos y expresiones. Ciertamente queno sern reglas arbitrarias, sino que se harn de manera que sean tiles para la descripcin delmundo que nos rodea o de mundos imaginarios-, pero su naturaleza es la que hace queestablecer una propiedad geomtrica (por ejemplo, que la suma de los ngulos interiores decualquier tringulo plano sea un ngulo llano) sea un acto esencialmente distinto a descubrir que todos los leones son carnvoros. Esta naturaleza es de tipo gramatical (puesto que sederiva de las reglas de uso de las palabras y expresiones) y es la que concede a las entidadesmatemticas su carcter necesario, universal y atemporal.

El lenguaje geomtrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundode las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamao y posicin en el espacio.

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Figuras geomtricas

Pero superada la primera fase de clasificacin de las formas, de identificacin de las propiedades de las clases de objetos y la creacin de un lenguaje que permita su descripcinde manera precisa, la actividad geomtrica se ocupa de estructurar el mundo de entidadesgeomtricas creadas y de deducir las consecuencias lgicas que se derivan de los conveniosestablecidos. Rpidamente somos arrojados fuera del cmodo mundo de nuestras

percepciones para entrar en el mundo del lenguaje, de la gramtica y de la lgica. Cuando pedimos a un nio que entre una coleccin de paralelogramos identifique los rectngulos, nole exigimos que discrimine la forma perceptible de los rectngulos de entre las restantesfiguras, sino que sea capaz de aplicar los convenios que hemos establecido para el uso de la palabra rectngulo. Siendo un poco exigentes, incluso podemos criticar la pertinencia de esatarea, ya que visualmente es imposible saber si un romboide cuyos ngulos miden 89 (y 91)debemos considerarlo o no como un rectngulo. La respuesta correcta que un nio debera dar sera algo as como, si estos ngulos de estas figuras sonefectivamente rectos, entonces decimos que

son rectngulos ; tambin debera incluir los cuadrados entre los rectngulos. Fig. 1

Como conclusin, debemos tener claro que cuando hablamos de figuras o formasgeomtricas no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque ciertamente losdibujos, imgenes y materializaciones concretas son, al menos en los primeros niveles delaprendizaje, la razn de ser del lenguaje geomtrico y el apoyo intuitivo para la formulacinde conjeturas sobre las relaciones entre las entidades y propiedades geomtricas.

1.2. Aplicaciones de la geometra

La Geometra estudia las formas de las figuras y los cuerpos geomtricos. En la vidacotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones fsicas de esos objetos ideales de los quese ocupa la Geometra, siendo muchas y variadas las aplicaciones de esta parte de lasmatemticas.

Una de las principales fuentes de estos objetos fsicos que evocan figuras y cuerposgeomtricos est en la propia Naturaleza. Multitud de elementos naturales de distinta especiecomparten la misma forma, como ocurre con las formas en espiral (conchas marina, caracoles,galaxias, hojas de los helechos, disposicin de las semillas del girasol, etc.). Igualmenteencontramos semejanzas entre las ramificaciones de los rboles, el sistema arterial y las bifurcaciones de los ros, o entre los cristales, las pompas de jabn y las placas de loscaparazones de las tortugas. La Naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un nmero reducidode formas parecidas, y parece que tuviese predileccin por las formas serpenteantes, lasespirales y las uniones de 120. Pensemos en la disposicin hexagonal perfecta de las celdillasde los panales de las abejas, siendo su interior poliedros que recubren el espacio, como elrombododecaedro.

El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imgenes idealesque obtiene de la observacin de la Naturaleza: realiza objetos de cermica, dibujos, edificiosy los ms diversos utensilios proyectando en ellos las figuras geomtricas que ha perfeccionado en la mente. El entorno artstico y arquitectnico ha sido un importante factor de desarrollo de la Geometra. As desde la construccin de viviendas o monumentosfunerarios (pirmides de Egipto), hasta templos de los ms diversos estilos han impulsadoconstantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geomtricas.

Muchas profesiones, adems de los matemticos, arquitectos e ingenieros necesitan y usan laGeometra: albailes, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados

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de latn, tejedores de alfombras, bordadoras, encajes de bolillos, etc.), decoradores,coregrafos, diseadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma ms o menos consciente,utilizan el espacio y las formas geomtricas.

Tambin se encuentra la geometra en los juegos: billar (bolas y mesa en forma de doblecuadrado, con rombos en los bordes), parchs, ajedrez, la rayuela, el juego de los barcos, as

como multitud de juegos de ordenador. El mundo de los deportes est repleto de figurasgeomtricas: ftbol (el rectngulo del campo, las reas, el baln, las porteras, etc.), baloncesto (canastas, zonas, campo, etc.), tenis, rugby, bisbol, etc.

Seguramente el lector puede completar estas listas de situaciones y mbitos donde podemos encontrar objetos geomtricos, y cuyo manejo facilita el conocimiento de talesmbitos.

Ejercicio:

1. Hacer una lista de figuras y conceptos geomtricos que encuentres en: Naturaleza; artes;msica; la calle; la casa; el deporte; los juegos; las profesiones.

1.3. Situaciones introductorias

A. Lista mnima de propiedades

En la figura adjunta hay representados diversos rectngulos. Listar todas las posibles propiedades de los rectngulos. Por ejemplo:- tiene cuatro lados- los lados opuestos son paralelos

- etc.Elaborar una lista mnima de propiedades de tal manera que si una figura tiene esas propiedades podemos decir que es un rectngulo.

Fig. 2

B. Deduccin informal

Demostrar si los enunciados siguientes son verdaderos o falso:- Si una figura (F) es un cilindro, entonces es un prima.- Si F es un prisma, entonces es un cilindro.- Si F es un cuadrado, entonces es un rombo.- Todos los paralelogramos tienen diagonales congruentes.- Todos los cuadrilteros con diagonales congruentes son paralelogramos.- Si dos rectngulos tienen la misma rea, entonces son congruentes.. Todos los prismas tienen un plano de simetra.- Todos los prismas rectos tienen un plano de simetra.- Si un prisma tiene un plano de simetra, entonces es un prisma recto.

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Figuras geomtricas

2. COMPONENTES ELEMENTALES DE LAS FIGURAS GEOMTRICAS

2.1. Puntos, rectas, planos y espacio

En el cuadro adjunto hemos escrito las letras A, B, P, Q a la derecha de una diminuta

marca redondeada. Decimos que dichas marcas son puntos . Igualmente diramos que se tratade puntos si en lugar de usar una impresora lser para hacer la impresin usramos un lpizcon una punta gruesa, o un lpiz imaginario que dibuja puntos tan finos que sean prcticamente imperceptibles.

. A . P . Q

Fig.3 . B

El punto, como objeto o figura geomtrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para indicar una posicin en el espacio.

En el cuadro siguiente decimos que hay representadas dos lneas rectas designadas conlas letras r y s:

Fig. 4

r

s

Pero al objeto o figura geomtricalnea recta se le atribuyen unas caractersticas querealmente no tienen los trazos marcados en el cuadro. Se considera que las rectas sonilimitadas por ambos extremos, as como que no tienen ningn espesor, lo que hace imposible"representar" las rectas. La caracterstica de ser ilimitadas por ambos extremos se sueleindicar marcando flechas en cada extremo. Otras experiencias que sugieren laidea de recta pueden ser un hilo tirante, el borde una regla, etc.

Se considera que dos puntos determinan una y slo una lnea recta que contiene adichos puntos. Tres o ms puntos pueden determinar varias rectas, pero si estn contenidas enuna recta se dice que son colineales.

Tres puntos no colineales se dice que determinan un plano, figura geomtrica quesuele ser evocada por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de unamesa, la pizarra, etc. De nuevo al objeto o figura geomtrica designada con la palabra planose le atribuyen unas caractersticas ideales que no tienen tales objetos perceptibles, como notener lmites en ninguna direccin, ni tampoco ningn espesor.

Se dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos. Se considera elespaciocomo el conjunto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio seconsidera como una figura geomtrica . El objetivo de la geometra ser describir, clasificar yestudiar las propiedades de las figuras geomtricas.

Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningn punto en comn se dice que son paralelas . Si tienen un punto en comn se dice que sonconcurrentes . Una recta que corta aotras dos se dice que es unatransversal .

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Todo punto P divide a una recta que lo contiene en dos subconjuntos formados por los puntos que estn situados a un mismo lado respecto de P. Estos subconjuntos se dice que son semirectas o rayos de extremo P.

Tambin se habla de semiplanos: cada una de las dos partes en que queda dividido un plano al quitar una recta del mismo. Tambin sern semiplanos abiertos o cerrados, segn que

se incluya o no la recta a partir de la cual se forma.

B

C

A D

Ejercicios:2. En cuntas partes queda dividido un plano al quitarle:a) Dos rectas paralelas; b) Dos rectas concurrentes; c) Tres rectas, dos de las cuales son paralelas; d) Tres rectas concurrentes.

3. Se puede separar un plano en cinco partes quitando: a) tres rectas; b) cuatro rectas?

4. Cul es el mximo nmero de partes en que se puede cortar un plano por 7 rectas?

5. Describir el interior de la siguiente figura comointerseccin o unin de semiplanos:

5. Describir el interior de un tetraedro comointerseccin de semiespacios abiertos. Fig. 5

2.2. Segmentos y ngulos

En el siguiente cuadro decimos que est representado el segmento AB, conjunto de puntos comprendidos entre los puntos A y B, que se dice son los extremos del segmento.

A BFig. 6

La distancia entre los puntos A y B se dice que es la longitud del segmento AB. Dossegmentos AB y CD se dice que soncongruentes si tienen la misma longitud.

Un segmento se puede definir tambin como la interseccin de dos semirectas contenidasen una misma recta. Los segmentos pueden ser abiertos o cerrados segn que en lassemirectas se consideren incluidos o no los extremos.

Un ngulo se puede considerar como la interseccin de dos semiplanos cerrados,obtenidos a partir de dos rectas incidentes. Ambas semirectas son los lados del ngulo y el punto de concurrencia es el vrtice. Tambin se usa la palabra ngulo para designar a la figurageomtrica formada solamente por el conjunto de los lados y el vrtice. La figura siguienterepresenta el ngulo formado por las semirectas AB y AC; se suele designar como ngulo

BAC o tambien comoCAB

B

A

C

Fig. 7

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Figuras geomtricas

Un ngulo cuyos lados no estn sobre la misma recta separa al plano en dos partes, elinterior y el exterior del ngulo. El subconjunto de puntos del plano formados por todos lossegmentos que unen puntos situados sobre los lados AB y AC forman el interior del ngulo, ysu complementario respecto del plano ser el exterior.

El tamao de un ngulo se mide por la cantidad de rotacin requerida para girar uno delos lados del ngulo, tomando como centro de giro el vrtice, para que coincida con el otrolado. Como unidad de medida habitual se usa el grado, la 360 ava parte de la abertura de lacircunferencia. La medida de un ngulo A la indicaremos por m( A )

Clasificacin de los ngulos por su medida

ngulo nulo, m( A) =0

A

ngulo agudo,0< m( B) < 90

B

ngulo recto,m( C) = 90

Cngulo obtuso,90 < m( D) < 180

D

ngulo llano, m( E) = 180

E

ngulo reflejo,180< m( A) < 360

F

Pares de ngulos y teoremas relacionados

Dos ngulos con medidasm1 y m2 se dice que son complementarios si y slo sim1 + m2 =90. Se dice que son suplementarios sim1 + m2 = 180.

Dos ngulos que tienen un lado comn y cuyos interiores no se solapan se dice que sonadyacentes.

2 1

1 y 2 son ngulos adyacentessuplementarios

43

3 y 4 son ngulos adyacentescomplementarios

Dos ngulos se llaman verticales cuando sus cuatro lados forman dos rectas que se cortan

Cuando dos lneasl y m se cortan en dos puntos por otra recta transversalt se formancuatro pares de ngulos que se llaman ngulos correspondientes (Fig. 8).

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23 1

4

1 y 3 son ngulos verticales 2 y 4 son ngulos verticales

1 l 2

3 4

6 5 m 7 8

t ngulos correspondientes: 1 y 5 ; 2 y 6 ; 3 y 7 ; 4 y 8

Fig. 8

Ejercicios:

6. Intenta probar los siguientes teoremas sobre ngulos:1) Si dos rectas paralelas se cortan por una transveral los ngulos correspondientes son iguales.2) Si dos rectas del plano son cortadas por una transversal de manera que los ngulos

correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.3) Dos rectas cortadas por una transveral son paralelas si y slo si un par de ngulos alternos

internos son congruentes.4) Las bisectrices de dos ngulos suplementarios adyacentes forman un ngulo recto.5) Medida de los ngulos de un tringulo: la suma de los ngulos interiores de cualquier

trangulo es un ngulo llano.

3. CURVAS Y POLGONOS EN EL PLANO

3.1. Curvas y regiones

Una curva plana se puede describir de manera intuitiva e informal como el conjunto de puntos que un lpiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lpiz nunca pasa dos veces por un mismo punto se dice que la curva es simple . Si el lpiz se levanta en elmismo punto en que comenz a trazar se dice que la curva escerrada . . Si el nico punto por el que el lpiz pasa dos veces es el del comienzo y final del trazado se dir que la curva escerrada y simple . Se requiere que las curvas tengan un punto inicial y otro final, por lo que lasrectas, semirecta y ngulos no son curvas.

Ejemplos de curvasC

A

B

Teorema de la curva de Jordan:

Una curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos disjuntos: la propia curva, el interior, y el exterior de la curva. Esta propiedad parece obvia en casos

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Figuras geomtricas

sencillos, pero enunciada en trminos generales requiere una demostracin matemtica nadafcil. Incluso la demostracin dada por el matemtico francs Camile Jordan (1838-1922) queenunci este teorema era incorrecta.

El interior y el exterior de una curva cerrada simple se designan tambin comoregiones .

De manera ms general el conjunto complementario, respecto del plano que las contiene, deconjuntos de rectas, semirectas y curvas est compuesto de una o ms regiones. Por ejemplo,una recta separa al plano en dos regiones llamadas semiplanos . Un ngulo, si no es nulo ollano, separa al plano en dos regiones llamadas el interior y el exterior del ngulo.

Curvas y figuras convexas

Una figura se dice que esconvexa , si y slo si, contiene el segmento PQ para cada par de puntos P y Q contenidos en la figura. Las figuras no convexas se dice que soncncavas .

Figuras convexas: Figuras cncavas:

Fig. 9

La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que la distancia de cualquiera de sus puntos a otro fijo es constante. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distanciaconstante se llama radio (tambin se llama radio al segmento que uno el centro con cualquier punto de la circunferencia; un dimetro es cualquier segmento que une dos puntos de lacircunferencia pasando por el centro.

dimetro

tangente

sector circular

segmentocircular crculo

Fig. 10

3.2. Curvas poligonales y polgonos

Una curva simple que est formada por segmentos unidos por sus extremos se dice quees unacurva poligonal . Si dicha curva es cerrada se dice que es un polgono : a los segmentosque la forman se llamanlados y a los extremos de esos segmentos,vrtices . Si todos los ladosde un polgono son iguales se dice que es regular.

En principio, nada se dice sobre si las curvas poligonales, y los polgonos, han de ser planos. Tambin se puede hablar de poligonales y polgonos espaciales, aunque el estudio de

los polgonos se suele restringir a los polgonos contenidos en el plano.

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Los polgonos se nombran segn el nmero de lados o vrtices que tienen (tringulo,cuadrado, pentgono, hexgono, etc).

Las semirectas que contienen a dos lados concurrentes en un vrtices determinan unngulo del polgono. En un polgono convexo el interior del polgono ser la interseccin delos interiores de los ngulos del polgono. Si en un ngulo interior de un polgono sustituimos

una de las semirectas por su opuesta se obtiene otro ngulo distinto llamadongulo exterior . Polgonos regulares

Un polgono que tiene todos sus lados iguales se dice que esequiltero (todos sus ladosson congruentes).

Un polgono convexo cuyos ngulos interiores son todos congruentes se dice que esequingulo .

Un polgono convexo que es tiene sus lados y sus ngulos iguales se dice que esregular . En un polgono regular de n lados, cualquier ngulo con vrtice en el centro y cuyos lados

contienen vrtices adyacentes del polgono se dice que es un ngulo central del polgono.

Hexgono Hexgono Hexgonoequiltero equingulo regular

Fig. 11

. . . . .. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Ejercicios:

7. Un material didctico conocido como geoplano es una herramienta tilen el estudio de los polgonos. Un geoplano 5x5 consiste en una planchade madera y 25 clavos dispuestos segn una malla cuadrada, como seindica en la figura. Se emplean gomas de colores para formar diversos polgonos tomando los clavos como sus vrtices. Cuntos cuadrados se pueden formar en este geoplano?

8. Probar que en un polgono regular de n lados,a) cada ngulo interior mide: (n-2). 180/n b) cada ngulos exterior mide: 360/n c) cada ngulo central mide: 360/n

9. Un rectngulo ha sido dividido en dos partes congruentes. Qe forma pueden tener las partesformadas?

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Figuras geomtricas

4. LOS TRINGULOS Y SU CLASIFICACIN

4.1. Definiciones y propiedades

Es un polgono de tres lados, es decir, una porcin de plano limitada por tressegmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el tringulo sedenominanlados , y los extremos de los lados,vrtices .

En un tringulo se consideran dos tipos de ngulos:interior (formado por dos lados) yexterior (formado por un lado y la prolongacin de otro).

Algunas propiedades1. En todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a dos rectos.2. En todo tringulo, un ngulo exterior es igual a la suma de los dos ngulos interiores no

adyacentes.3. Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes.4. Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendidos.5. Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.6. En todo tringulo, a mayor lado se opone mayor ngulo.7. Si un tringulo tiene dos lados iguales, sus ngulos opuestos son tambin iguales.8. En todo tringulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.

4.2. Clasificacin de tringulosLos tringulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ngulos.

Atendiendo a sus lados

a) Equilteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales.

b) Issceles: Son los que tienen dos lados iguales.

c) Escalenos: Son los que sus 3 son lados desiguales.

Atendiendo a sus ngulos:

a) Rectngulos: Son los que tienen un ngulo recto (90).

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b) Acutngulos: Son los que tienen sus 3 ngulos agudos.

c) Obtusngulos: Son los que tienen un ngulo obtuso.

4.3. Elementos notables de un tringulo. Construccin de tringulos

Bisectriz es la semirrecta que divide aun ngulo en dos partes iguales.

Las bisectrices de un tringulo secortan en un punto llamado Incentro, que es elcentro de la circunferencia inscrita.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.

Las mediatrices de los lados de untringulo se cortan en un punto llamadoCircuncentro, que es el centro de lacircunferencia circunscrita.

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vrtice y el ladoopuesto.

Las alturas de un tringulo se cortanen un punto llamado Ortocentro.

Mediana es el segmento comprendidoentre un vrtice y el punto medio del ladoopuesto.

Las medianas de un tringulo se cortanen un punto llamado Baricentro, que es elcentro de gravedad del tringulo.

Construccin de tringulos Para poder dibujar o construir un polgono basta con conocer algunos de sus

elementos. Los diferentes casos que pueden plantearse para el tringulo son:

I. Conocidos los tres ladosII. Conocidos los tres ngulos (se pueden construir infinitos tringulos)

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Ejercicio:

10. He aqu una serie de tringulos con unas medidas determinadas. Trata de construirlos. Sealacul de las reglas anteriores no cumplen aquellos que no se puedan construir:

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5. LOS CUADRILTEROS Y SU CLASIFICACIN

Despus de los tringulos, los polgonos ms sencillos, por tener menor nmero de lados,son los cuadrilteros. Todos conocemos dibujos de diversos tipos de cuadrilteros (cuadrados,rectngulos, rombos, etc.) pero realizar clasificaciones de estos objetos geomtricos no soloayuda a entender mejor sus propiedades sino a establecer relaciones entre ellos. Para clasificar hay que estudiar las caractersticas comunes que tienen estas figuras, lo que depender a suvez de los criterios o variables que observemos:- Paralelismo de lados

- Igualdad de lados- Igualdad de ngulos- Nmero de ngulos rectos- Posicin relativa de las diagonales- Concavidad y convexidad

5.1. Situacin introductoria: Clasificacin de los cuadrilteros

Realiza un dibujo de cada uno de los cuadrilteros que conozcas y escribe el nombre.Da una definicin de cada cuadriltero y realiza una clasificacin de ellos. Escribe el criterioutilizado para su clasificacin. La figura 1 representa una clasificacin de cuadrilteros.- Conoces algn cuadriltero que no est en esa clasificacin?- Qu criterios crees que se han utilizado para hacer la clasificacin?- Cmo interpretas las flechas que unen cada grupo de cuadrilteros?

Teniendo en cuenta las flechas dibujadas- Cmo definiras el rombo? Y el cuadrado? Se pueden definir de otra forma?- Qu cuadriltero responde a la condicin de tener dos pares de ladosno consecutivos iguales?- Y si le pedimos que tenga dos pares de ladosconsecutivos iguales?

Haz un dibujo de uno de estos cuadrilteros a los que llamaremoscometas . Sitalo enel esquema de la figura 12.- Qu forma tienen los cuadrilteros que solamente tienen un par de lados consecutivosiguales? Adelo al esquema de la figura 1 con el nombre decometas oblicuos .


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Figuras geomtricas

Cuadrilteros

Trapecios

Paralelogramos

Rectngulos Rombos

Cuadrados

Figura 12: Clasificacin de cuadrilteros

Si aadimos los cometas oblicuos y los cometas al esquema de la figura 12,obtendremos una clasificacin ms completa (figura 13). Observa la flecha que une lascometas con los rombos.- Qu relacin encuentras entre estos dos tipos de cuadrilteros? Cmo defines un rombo partiendo de una cometa?

Observa el paralelismo que existe entre trapecios y paralelogramos por una parte ycometas oblicuos y cometas por otra..- Qu hay que exigirle a un paralelogramo (romboide) para que se convierta en unrectngulo?

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Cuadrilteros

Trapecios

Paralelogramos

Rectngulos Rombos

Cuadrados

Cometas oblicuos

Cometas

Figura 13: Cometas y cometas oblicuos

- Cmo sera una cometa con uno, dos o tres, ngulos rectos? Llamemos a estoscuadrilteroscometas rectangulares . Completa el diagrama de la figura 2 aadiendo estasnuevas cometas (figura 3).

Teniendo presente el diagrama de la figura 14:- Qu criterios se han utilizado para clasificar los cuadrilteros?

- De cuntas formas podras ahora definir un cuadrado?

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Figuras geomtricas

Cuadrilteros

Trapecios

Paralelogramos

Rectngulos Rombos

Cuadrados

Cometas oblicuos

Cometas

Cometas rectangulares

Figura 14: Clasificacin de cuadrilteros

La figura 15 representa otra forma de clasificar los cuadrilteros. Observa las inclusionese intersecciones de conjuntos de cuadrilteros. Aade los que falten siguiendo los criterios encuanto a la forma de dibujar los contornos de los conjuntos, respetando la forma de cadaconjunto de cuadrilteros.

Otra forma de clasificar los cuadrilteros es atendiendo a las diagonales (se cortan en el punto medio, son perpendiculares).

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(rombide)

Figura 15: Clasificacin figurada de cuadrilteros

5.2. Descripciones y propiedades de los cuadrilteros

Un cuadriltero es un polgono que tiene cuatro lados. Los cuadrilteros tienen distintasformas pero todos ellos tienen cuatro vrtices y dos diagonales. En todos los cuadrilteros lasuma de los ngulos interiores es igual a 360. Los paralelogramos son los cuadrilteros quetienen paralelos los dos pares de lados opuestos.

Entre las propiedades de los cuadrilteros que se derivan de las de los polgonos engeneral tenemos,- La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es igual a cuatro ngulos

rectos.- La suma de los ngulos exteriores es igual a cuatro rectos.- Los cuadrilteros son los nicos polgonos para los cuales la suma de los ngulosexteriores es igual a la suma de los ngulos interiores.

Propiedades de los paralelogramos:En todo para1elogramo:

- los lados opuestos son congruentes.- los ngulos opuestos son congruentes- las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes

Rectngulo

Se llama rectngulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ngulos rectos.El conjunto de los rectngulos est incluido en el conjunto de los paralelogramos.

Propiedades del rectngulo:

El rectngulo tiene una propiedad que le es caracterstica.- Las diagonales de un rectngulo son congruentes.

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Figuras geomtricas

Rombo Se llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados

congruentes.La condicin necesaria y suficiente para que un paralelogramosea rombo es que tenga dos lados consecutivos congruentes.

El rombo tiene una propiedad que le es caracterstica.Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices delos ngulos cuyos vrtices unen

CuadradoSe llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatros ngulos

y sus cuatro lados congruentes.

Cuadrado ABCD AB = BC = CD = DA A = B = C = DEl cuadrado es rectngulo y rombo a la vez

Propiedades del cuadrado- Por ser el cuadrado un paralelogramo tiene las propiedades de los paralelogramos engeneral, es decir:- Sus diagonales se cortan en partes congruentes.- Por ser el cuadrado un caso particular del rectngulo, tiene las propiedades especiales de esteltimo, es decir:- Sus diagonales son congruentes.- Por ser el cuadrado un caso particular del rombo tiene las propiedades especiales de esteltimo, es decir:

- Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen.

Trapecio y Trapezoides

Los cuadrilteros que no son paralelogramos se clasifican entrapecios y trapezoides.

TrapecioSe llama trapecio al cuadriltero que tiene nicamente dos lados

opuestos paralelos.

As, el cuadriltero de la figura es un trapecio, porque tiene paralelos nicamente loslados AD y BC.Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.

AD es la base mayor del trapecio; BC es la base menor del trapecio.

Clasificacin de los trapecios

Cuando el trapecio tiene los lados no paralelos congruentes, se llama trapecio issceles; encaso contrario, trapecio escaleno. Dentro de los trapecios escalenos, puede ocurrir que uno delos lados no paralelos sea perpendicular a las bases, y en tal caso se dice que el trapecio esrectngulo.

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Trapecio issceles Trapecio escaleno Trapecio escaleno rectngulo

Trapezoide

Es el cuadriltero que no tiene ningn par de lados paralelos.El cuadriltero MNPQ es un trapezoide, pues no tiene ningn par de lados paralelos.

Cometa

Se llama as al trapezoide que tiene dos lados consecutivos congruentes y los otros dos ladosdistintos de los anteriores, pero tambin congruentes entre s.El cuadriltero ABCD de la figura es una cometa, por no tener lados paralelos y ser:

AB = BCAD = CD

La diagonal de la cometa que une los vrtice a que concurren los paresde lados congruentes se llama diagonal principal.En la cometa considerada, BD es la diagonal principal.

Propiedad de la cometa : La diagonal principal de la cometa es bisectriz delos ngulos cuyos vrtices une, y corta perpendicularmente a la otra diagonal en el puntomedio.

Ejercicios

11. Subraya la respuesta correcta:a) Las diagonales del rectngulo ...

Tienen igual medida. No son perpendiculares. Se cortan en el punto medio.

b) Los ngulos opuestos de un rombo son ... De igual medida. Distinta medida.

c) Cuadriltero que tiene sus lados opuestos congruentes ... Cuadrado. Cometa. Paralelogramo.

12. Clasifica los cuadrilteros siguientes:

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Figuras geomtricas

Completa la tabla, colocando en cada columna la letra correspondiente al cuadriltero quecumpla la condicin indicada:

Con los lados paralelosUn solo par Dos pares Sin lados paralelos

13. Marca con una X las propiedades que cumplen las diagonales

Trapecio Romboide Rombo Paralelo-gramo Rectngulo Cuadrado

Son congruentes

Son perpendicularesUna de ellascorta a la otra en punto medioCortanmutuamenteen el puntomedio

14. Completa la tabla siguiente:

Propiedad Cuadriltero(s) que cumple(n)dicha propiedadDiagonales iguales

Todos sus lados igualesLados opuestos igualesSus diagonales se cortan en el punto medioDiagonales perpendicularesngulos opuestos igualesSus diagonales son bisectricesUna diagonal corta a la otra en su punto medio yviceversaTodos sus lados desigualesSlo dos ngulos interiores congruentes

La suma de sus ngulos exteriores es 360Sin ngulos interiores congruentes

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6. RECUBRIMIENTOS DEL PLANO CON POLGONOS

El arte de los recubrimientos, o teselaciones, del plano mediante figuras poligonales tieneuna historia tan antigua como la propia civilizacin. Diversos e imaginativos patrones handecorado las construcciones y objetos ms diversos (muros, alfombras, ventanales, etc.). Entiempos recientes el inters por las teselaciones ha ido ms all de su inters puramentedecorativo. Por ejemplo, en metalurgia y cristalografa interesa saber cmo se disponen demanera natural de una forma peridica. En arquitectura interesa conocer cmo se puedencombinar componentes estructurales simples para crear complejos constructivos ms grandes,y los fabricantes de ordenadores esperan poder integrar los patrones de circuitos electrnicossimples para formar potentes procesadores, como son las redes neuronales. El anlisismatemticos de los patrones de recubrimientos es una respuesta a estas necesidadescontemporneas. Al mismo tiempo la creacin y exploracin de las teselaciones orecubrimientos del plano proporciona un contexto interesante para la investigacin geomtricay la resolucin de problemas en las clases de matemticas de educacin primaria y secundaria.

Fig. 16: Ejemplos de teselaciones

El diccionario de la Real Academia Espaola de la Lengua indica que la palabra tesela(del latn,tessella ) significa "Cada una de las piezas cbicas de mrmol, piedra, barro cocidoo cualquier otra material, con que los antiguos formaban los pavimentos de mosaico "

Desde un punto de vista matemtico ms general consideramos que una tesela escualquier curva cerrada simple, con su interior. Un conjunto de teselas forma una teselacinde una figura si dicha figura est completamente cubierta por las teselas sin solapamientos de puntos interiores de dichas figuras.

El caso particular de recubrimientos del plano que nos interesa son los formados por polgonos; la figura que se recubre suele ser el plano completo.

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Figuras geomtricas

6.1. Teselaciones poligonales del plano

Qu polgonos, por s mismos, cubren el plano sin dejar huecos ni solapamientos? Larespuesta a esta pregunta pasa por estudiar los ngulos de tales polgonos, y tratar de sumar

con ellos 360 en torno a un vrtice. Empecemos por el tringulo. Sabemos que la suma de losngulos interiores de un tringulo cualquiera es de 180. Dibujemos un tringulo en el quemarcamos los ngulos con 1, 2 y 3, y hagamos suficientes copias de l. La experienciaconsiste en recortar dichos tringulos y colocarlos de forma que, en torno a un vrtice,obtengamos 360 para cubrir el plano sin dejar huecos ni solapamientos.

Tres de ellos los podemos unir colocando en torno a un vrtice cada uno de los tresngulos del tringulo, que sabemos suman 180 y repetirlo dos veces (Fig. 17)

Fig. 17:

Repitiendo el proceso se consigue una teselacin triangular (Fig. 18).

Fig. 18:

Ejercicio:

15. Repite el proceso anterior con un cuadriltero cualquiera (trapezoide), marca los ngulos ycomprueba si cualquier cuadriltero tesela por s mismo el plano.

Qu ocurre con el pentgono? Dibujemos un pentgono cualquiera. Despus demarcar los ngulos y recortarlo,coloquemos los ngulos demanera contigua, como indicala figura 19. Veremos que noes posible obtener 360 entorno a un vrtice.

Fig. 19:Le ocurre lo mismo a

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todos los pentgonos? Qu ocurre con el pentgono regular? El ngulo interior vale 108, y por tanto no podemos conseguir 360. Significa esto que no existen teselaciones pentagonales? La figura20 nos sacar de dudas.

Fig. 20: Teselaciones pentagonales (no regulares)

Una forma de obtener hexgonos es uniendo dos cuadrilteros. Sabemos que loscuadrilteros s teselan el plano por s mismos. Partiendo de una teselacin de cuadrilteros, podemos remarcar parejas de cuadrilteros contiguos y borrar el lado comn (Fig. 21).

Podemos comprobar as que estos

hexgonos especiales, obtenidos uniendo doscuadrilteros, tambin teselan el plano.Qu caractersticas tienen estos

hexgonos? Qu ocurre con el caso del hexgonoregular? Dado que el ngulo interior de unhexgono regular es de 120, con tres de ellos podemos obtener 360 alrededor de un vrtice. Aeste tipo de teselaciones con un solo tipo de polgonos regulares se les llama teselacionesregulares.

Fig. 21: Teselacin de cuadrilterosEjercicio:

16. Investiga otras teselaciones regulares distintas de las descritas.

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Figuras geomtricas

6.2. Teselaciones semirregulares

Si utilizamos diversos tipos de polgonosregulares, podemos indagar lascombinaciones de ellos que producen un

cubrimiento del plano. Para ello debemosconocer los ngulos interiores de algunos polgonos regulares, valores que tienes en latabla siguiente:

Polgono Ndeladosngulointerior

Tringulo 3 60Cuadrado 4 90Pentgono reg. 5 108Hexgono reg. 6 120Heptgono reg. 7 128 4/7Octgono reg. 8 135 Nongono reg. 9 140Decgono reg. 10 144Dodecgono reg. 12 150Pentadecgono reg. 15 156Octadecgono reg. 18 160Icgono 20 152

Fig. 22: Teselacin de hexgonos formadoscon dos cuadrilteros

Algunas de esas combinaciones dan lugar a teselaciones con todos los vrtices iguales.Esas teselaciones les llamamos semirregulares, y son 8 (Fig. 23). Las series de nmeros puestos debajo de cada figura indican el orden de colocacin de los distintos polgonos(3.3.3.4.4, quiere decir que se unen tres tringulos seguidos y a continuacin dos cuadrados)

En cambio existen otras combinaciones de polgonos regulares que cubren el plano pero no producen vrtices idnticos. Algunas de esas combinaciones estn en la figura 24.

Fig. 23.Combinaciones de polgonos regulares que originan teselaciones semirregulares

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Fig.24. Combinaciones de polgonos regulares que NO originanteselaciones semirregulares

Un recubrimiento del plano formado por ms de un tipo de polgono regular y conidnticos vrtices de figura se dice que es un recubrimiento semirregular. Esta condicinadicional sobre los vrtices de figura supone que los mismos tipos de polgonos debenconcurrir en cada vrtice, y deben ocurrir en el mismo orden.

Se puede demostrar que existen 18 modos de formar vrtices de figuras con polgonosregulares de dos o ms tipos. De estas 18 formas, ocho corresponden a teselacionessemiregulares, que son las indicadas en la figura 25.

Fig. 25: Las ochos teselaciones semiregulares

Ejercicio:17. Cules de los siguientes polgonos recubren el plano? (Reproduce en cartulina las figuras yexperimenta con ellas)

(a) Tringulo escaleno: (b) Cuadriltero convexo:

(c) Cuadriltero no convexo (d) Pentgono con un par de lados parelelos:

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Figuras geomtricas

7. FIGURAS EN EL ESPACIO

7.1 Planos y lneas en el espacio

Cada plano separa los puntos del espacio en tres conjuntos disjuntos: el propio plano ydos regiones llamados semiespacios . Dos planos en el espacio pueden tener una intereccincomn, que ser una recta, o bien ser disjuntos, en cuyo caso se dice que son paralelos . Elngulo formado por dos planos que se cortan se llamangulo diedro . La medida de dichongulo es la correspondiente al ngulo formado por dos semirectas contenidas en lossemiplanos que lo forman y que sean perpendiculares a la recta de interseccincorrespondiente.

Fig. 26: ngulos diedros y sus medidas

Dos lneas que no se cortan en el espacio se dice que son paralelas si estn contenidas en elmismo plano; si no estn en el mismo plano se dice que se cruzan. Una lneal que no corta aun plano P se dice que es paralela al plano. Una lneam es perpendicular a un plano Q en el punto A si cada lnea del plano que pasa por A forma conm un ngulo recto.

lneal paralela a P

lneas paralelas lneas que se cruzan lnea m perpendicular a Q

Fig. 27 : Lneas y planos en el espacio

7.2. Curvas, superficies y slidos

El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figurasdibujadas por un lpiz "mgico" cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.

Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una regin hueca -su interior- se dice quees una superficie cerrada simple .

La unin de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los puntos de suinterior forman una figura espacial llamada un slido .

Una superficie cerrada simple esconvexa si el segmento que une cualquier par de puntosde la superficie est contenido en el interior de dicha superficie; esto es, el slido limitado por la superficie es un conjunto convexo en el espacio. Por ejemplo, la esfera, que es el conjuntode puntos situados a una distancia constante de un punto fijo (el centro), es convexa.

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7.3. Los poliedros y su clasificacin

En la Naturaleza existen objetos con formas polidricas. Por ejemplo, en cristalografa(cristales), biologa (virus, radiolarios), las colmenas de las abejas en forma derombododecaedros, con la fachada hecha de celdillas hexagonales, etc. Tambin encontramos

poliedros en obras y actividades realizadas por el hombre, como en el Arte, Arquitectura,Escultura, Artesana, ... Los poliedros fueron estudiados por filsofos y matemticos clebrescomo Platn, Euclides, Arqumedes, Kepler, Poincar, Hilbert, Coxeter, ...

Definicin:Un poliedro es el slido delimitado por una superficie cerrada simple formada por

regiones poligonales planas. Cada regin poligonal se dice que es una cara del poliedro, y losvrtices y lados de las regiones poligonales se dicen que son los vrtices y lados del poliedro.

En las figura 28 se muestran tipos de pirmides y primas que son ejemplos de poliedros.

Pirmides:

Prismas rectos y oblicuos:

Fig. 28Ejercicio:

18. Imagnate un prisma hexagonal regular recto.a) Cules son las medidas de los ngulos diedros formados por las caras que se cortan? b) Cuntos pares de planos paralelos contienen a las caras de este prisma?

Para clasificar los poliedros podemos atender a diversos criterios, como por ejemplo, laregularidad y nmero de caras que concurren en los vrtices.Otros criterios de clasificacin de

los poliedros son:Inclinacin (rectos y oblicuos)Poliedros con bases (con una base, o varias bases)Segn la construccin del modelo

o Con polgonos regulares (Poliedros regulares, semirregulares, deltaedros)o Con polgonos iguales (Poliedros de caras iguales: Poliedros regulares,

deltaedros, bipirmides de base regular)o Con vrtices iguales (Poliedros. regulares, semirregulares, prismas rectos de

base regular, ...)Combinaciones de distintos criteriosEjes y planos de simetra, diagonales, ngulos.

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Figuras geomtricas

7.3.1. Poliedros regulares:Un poliedro regular es un poliedro con las siguientes caractersticas:- la superficie es convexa;- las caras son regiones poligonales regulares congruentes;

- concurren el mismo nmero de caras en cada uno de los vrtices.La suma de los ngulos interiores de los polgonos que forman las caras de un poliedro

regular que concurren en un mismo vrtice debe ser menor de 360, de lo contrario no podrancerrar un espacio interior. Los ngulos interiores del tringulo equiltero miden 60; por tanto, podemos formar poliedros regulares cuyas caras son tringulos cuando ponemos 3, 4 o 5 detales tringulos concurriendo en cada vrtice, ya que la suma de sus ngulos cumple lacondicin indicada. Esos poliedros son eltetraedro , el cubo y el icosaedro .

Con caras que sean cuadrados slo se puede formar elhexaedro o cubo , en el queconcurren 3 cuadrados en cada vrtice. Si utilizamos pentgonos regulares como caras de un poliedro se obtiene eldodecaedro .

Ejercicio:

19. Completa el cuadro adjunto y responde a las siguientes cuestiones:

Tipo decaras

(ngulointerior)

n decaras por

vrtice

Sumade los

ngulosen cadavrtice

Smbolodel

poliedron decaras

n devrtices

n dearistas

C+V-A Nombre

3 180 {3,3,3} 4 4 6 2 Tetraedro

45

Tringuloequiltero

(60) 63Cuadrado

(90) 4 360 Cubo3Pentgono

(108) 4Hexgono

(120) 3

a) Cmo vara el ngulo de los polgonos regulares a medida que aumenta el nmero de lados? b) Podras formar un poliedro uniendo 4 cuadrados por cada vrtice? Por qu?c) Qu condicin crees que se debe exigir a este proceso para poder obtener un poliedroregular?d) Qu ocurre en el caso de los hexgonos regulares?e) Puede existir un poliedro regular formado solamente con hexgonos regulares? Y conheptgonos regulares? Por qu?f) Cmo es en cada caso la columna que mide C+V-A (n de caras +n de vrtices menos el dearistas)? ese nmero constante se llama caracterstica de Euler. Calcula ese nmero para otros poliedros que conozcas que no sean regulares. Qu obtienes?

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Ejercicio:

20. Demuestra que slo existen cinco poliedros regulares basndote en la suma delos ngulos de las caras que concurren en los vrtices.

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

La frmula de Euler para los poliedros :

Teorema:En cualquier poliedro se cumple que la suma del nmero de vrtices y el de caras es igual alnmero de aristas ms 2.

Ejercicio:

21. Comprueba que el teorema de la frmula de Euler es cierto para los poliedros regulares, para una pirmide pentagonal y un prisma hexagonal.

Utilizando el teorema de Euler, vamos a demostrar que solo existen 5 poliedros regularesconvexos. Llamemos:

C = n de caras de n lados ( n> 2)V = n de vrtices de orden m (m>2)A = n de aristas

Debido al teorema de Euler se cumple(1) C + V A = 2;El nmero de aristas A lo podemos expresar de dos formas, en funcin de las caras C y de losvrtices V:

(2)2

nC A = (cada arista pertenece a 2 caras)

2mV

A = (cada arista une 2 vrtices)

Sustituyendo (1): 222 =+ Am A

n A

2mA + 2nA mnA =2mn;

Sacando factor comn y operando:A (2m + 2n mn) = 2mn ;2m + 2n mn>0 por ser A>0 y 2mn>02m + 2n mn 4 > -4 -(m-2)(n-2) > -4;(m-2)(n-2) < 4

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Figuras geomtricas

Dando valores enteros a n y m (con n >2; m>2):

n M Resultados en(m-2)(n-2) < 4 Poliedro

(n de polgonos por

vrtice)

Figura

3 Tetraedro(3 tringulos)

4 Octaedro(4 tringulos)

3

5

1(m-2)< 4; m


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7.3.3. Deltaedros

La letra griegadelta mayscula ( ) recuerda la formade los tringulos, por ello se le da el nombre de deltaedros alos poliedros que se forman solamente con caras triangulares.Si los tringulos son equilteros se dice que el deltaedro esregular.

Ejercicios:

23. Identifica losdeltaedros regulares que ya conozcas.Aydate de troqueles de cartulina de tringulos equilteros para construir deltaedros convexos,completa la tabla y responde a las siguientes preguntas:

Orden de los vrticesCaras Vrtices Aristas 3 4 5 6 Nombre Figura

4 4 6 4 0 0 0 Tetraedro

5

6 5 9 2 3 0 0 Bipirmidetriangular

78910

1112

Existen deltaedros convexos con un nmero impar de caras?Existen deltaedros convexos con ms de 20 de caras?Existe un deltaedro convexo con 18 caras?Has desarrollado algn procedimiento para construir un deltaedro partiendo del inmediatoanterior?

Fig. 29: Cubo y octaedro. Dos poliedros duales

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Figuras geomtricas

7.3.4. Poliedros semirregulares o Arquimedianos

Los poliedros regulares cumplen las tres condiciones de regularidad (caras regulares eiguales y vrtices iguales). Si prescindimos de la condicin de igualdad de caras, los poliedros

resultantes tienen un grado menor de regularidad, y se llaman semirregulares o arquimedianos(en honor de Arqumedes).

Ejercicio:

24 Conoces algn poliedro semirregular? Puedes imaginar un prisma que sea semirregular?

Existen solamente 13 de ellos (adems de los infinitos prismas y antiprismas que sonsemirregulares). Un mtodo para conseguir algunos de estos poliedros partiendo de los poliedros regulares es mediante el proceso de truncamiento.

Un tipo de truncamiento consiste en cortar lasaristas que concurren en cada vrtice por un planode manera que la seccin producida sea un polgonoregular cuyo lado sea de la misma longitud que elresto de las aristas. As, por ejemplo, al truncar eltetraedro de esta manera se obtienen tringulos decada vrtice y hexgonos de cada una de las caras(Fig. 30).

Fig. 30: Del tetraedro se obtiene eltetraedro truncado

Ejercicio:

25. Qu poliedro obtenemos si cortamos las aristas del tetraedro por sus puntos medios?

Este mismo proceso lo podemos hacer con el cubo. Se obtienen tringulos equilterosde cada vrtice y octgonos de cada cara.

Ejercicio:

26. Qu poliedro obtenemos si cortamos las aristas del cubo por sus puntos medios? Y sihacemos ese proceso con el octaedro?

Fjate en la figura 31 y comprueba cmo se obtiene un poliedro, el cuboctaedro,igualmente del cubo que del octaedro.

Fig.31: Partiendo del cubo y del octaedro se obtienen el cubo truncado, el octaedro truncado y elcuboctaedro.

En la figura 32 puedes ver unos modelos de poliedros semirregulares obtenidos deltruncamiento de poliedros regulares, y en la figura 33 puedes contemplar toda la coleccin delos 13 poliedros arquimedianos.

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Figura 32

Fig. 33. Poliedros semirregulares

7.4. Conos y cilindros

Los conos y los cilindros son slidos o cuerpos geomtricos que generalizan las pirmides y los prismas, respectivamente. Uncono tiene una base que es cualquier reginlimitada por una curva cerrada simple contenida en un plano. La superficie lateral estgenerada por los segmentos que unen un punto fijo (elvrtice ) no situado en el plano de la base con los puntos de la curvaque delimita la base. La figura34 muestra un cono circular recto, oblicuo y un cono general.La altura del cono es elsegmento AB que une el vrticeA del cono y un punto B de la base de manera que AB es perpendicular al plano quecontiene la base.

Cono circular recto Cono circular oblicuo Cono general

Fig. 34: Conos

Un cilindro es el slido cuya superficie se genera trasladando los puntos de una regincerrada simple contenida en un plano hacia un plano paralelo. La figura 35 muestra ejemplosde cilindros. Los puntos que unen puntos correspondientes en las curvas que limitan las basesformal la superficie lateral . Si los segmentos que unen puntos correspondientes en las dos bases son perpendiculares a los planos de las bases se dice que el cilindro esrecto , en casocontrario se trata de un cilindrooblicuo .

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Figuras geomtricas

Cilindro circular C. c. oblicuo Cilindro generalrectoFigura 35. Cilindros

8. TALLER MATEMTICO

1. Determinar la medida delP si las rectas AB y CD son paralelas.

2. Qu proposicin se est demostrando en la siguiente secuencia de dibujos? Explcalo conun breve prrafo.

3. En la llamada geometra del taxi (taxi-geometra) los puntos son los vrtices de unarejilla cuadrangular que representa en el plano los bloques de la ciudad . En la figuraadjunta el viaje ms corto para ir de A a B debe recorrer 5 bloques, y por esto la taxi-distancia de A a B es 5. Un taxi-segmento es el conjunto de puntossituados sobre un trayecto de mnima distancia desde A hasta B, por loque {A, W, X, Y, Z, B} es un taxi-segmento de A a B.

a) Cuntos taxi-segmentos unen A y B? b) Encontrar todos los puntos que estn a una taxi-distancia de 5 desdeA. Se parecen los taxi-crculos a los crculos trazados con el comps?c) Utilizar lpices de diferentes colores para dibujar los taxi-crculos concntricos de radios 1,2, 3, 4, 5 y 6. Describir el patrn que aparece.

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4. Resuelve los siguientes ejercicios sobre medidas de los lados y ngulos en loscuadrilteros:1. En un trapecio rectngulo la medida de uno de sus ngulos interiores es 58. Cunto miden losotros ngulos interiores?2. En un romboide la medida de uno de sus ngulos exteriores es 137. Determina la medida de todos

los ngulos interiores de ese romboide.3. Cul es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide 12 cm.?4. Determina la diagonal del rectngulo cuyos lados miden 5 cm. y 12 cm.5. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm.6. Seala el tipo de tringulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado.7. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el permetro del rombo sabiendo que ladiagonal menor mide 6 cm.8. Dos cuadrados de 80 cm. de permetro se unen de manera que forman un rectngulo. Determina lamedida de la diagonal del rectngulo formado.

5. Dibujar figuras que satisfagan las siguientes condiciones:a) Una curva cerrada no simple poligonal de 4 lados b) Un pentgono no convexoc) Un cuadriltero equingulod) Un octgono convexo

6. La media aritmtica de la medida de los ngulos interiores de polgono de n lados es de175.a) Cuntos lados tiene) b) Supongamos que el polgono tiene uniones flexibles en los vrtices. Si el polgono sedeforma de manera rgida, qu ocurre con la medida media de los ngulos interiores? Explicatu razonamiento.

7. El polgono de la izquierda de la figura adjunta contiene un punto S en su interior que se puede unir a los vrtices mediantesegmentos interiores al polgono. Altrazar todos estos segmentos obtenemosuna triangulacin del interior del polgono. Trazando un punto S en elinterior de un polgono de n lados,explicar cmo usar la triangulacin quese obtiene para deducir la frmula (n-2).180 para la suma de las medidas de los ngulos

interiores de un polgono.

S S

8.Un espacio unidimensional est formado por los puntos de una nica recta. Si quitamos un punto de la recta se forman dos partes disjuntas, y al quitar dos puntos se forman tres partesdisjuntas de la recta. En un espacio de dos dimensiones (un plano), si suprimimos una recta seobtienen dos regiones disjuntas (semiplanos). Al suprimir dos lneas no paralelas el planoqueda dividido en cuatro regiones disjuntas.

Nmero de puntos suprimidos de la recta o nmero delneas suprimidas del plano0 1 2 3 4 5 6 7 .... n

Nmero de partes de larecta que se forman

1 2 3

Nmero de partes del plano que se forman 1 2 4

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Figuras geomtricas

a) Completar la primera fila de la tabla. b) Trazar tres, cuatro o cinco rectas en el plano que tengan una posicin general, de maneraque ningn par de lneas sean paralelas, ni tres lneas sean concurrentes. Contar el nmero deregiones que determinan y completar las tres casillas siguientes en la segunda fila de la tabla.

c) Encontrar cuntas regiones se forman a partir de diez rectas en una posicin general (tratar de encontrar un patrn en la tabla)d) Encontrar una frmula para el nmero de regiones que determinan n lneas en posicingeneral.

9. Un tetramin es una tesela formada uniendo cuatro cuadrados congruentes, de manera quelos cuadrados adyacentes deben tener un lado comn.a) Formar los cinco tetramins con formas diferentes. b) Se puede recubrir un rectngulo de 4 por 5 con los cinco tetramins?

10. Recortar en cartulina varias copias de un hexgono convexo no regular que tenga cada par de lados opuestos congruentes y paralelos.a) Se puede recubrir el plano con estas teselas? Es necesario rotar el hexgono para ponerloen las posiciones sucesivas? b) Repetir la actividad anterior pero tomando un hexgono convexo con slo un par de ladosopuestos que sean congruentes y paralelos.

11. Para cualquier enteron, n 3, demostrar que existe algn polgono den lados que recubreel plano.

12. El patrn dibujado en la parte izquierda de la figura permite construir el cubo de laderecha.

Dibujar la letra, en su posicin correcta, que debe aparecer en cada una de las caras del cuboque se muestra que ha sido obtenido usando el mismo patrn:

13. El vrtice de la pirmide que muestra en la figura adjunta est en elcentro del cubo trazado en lneas de puntos. Cul es el ngulo diedro queforma cada cara lateral de la pirmide con (a) la base cuadrangular (b) unacada lateral adyacente?

14. La interseccin de un plano y una figura tridimensional produce una figura plana que sellama seccin transversal. Por ejemplo, la seccin transversal de una esfera es un crculo

como se muestra en la figura.

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15. La figura adjunta (a la izquierda) muestra el desarrollo de una pirmide cuadrangular y ala derecha el desarrollo de una pirmide cuya base es un cuadriltero. El punto P en cadadesarrollo corresponde a la posicin en el planode la base de la proyeccin vertical del vrticede la pirmide.

a) Explicar por qu AB = BC, CD = ED, ..., GH= HA en los desarrollos y por qu las lneas detrazos que parten de P son perpendiculares a loslados de la base del polgono.

b) La figura adjunta es parte de un desarrollo de una pirmide pentagonal. Completar el desarrollo sobre una cartulina. Recortar ydoblar el patrn para ver el cuerpo que resulta.

16. Considera las siguientes tres afirmaciones sobre un poliedro:X = Todas las caras son regularesY = Todas las caras son igualesZ = Todos los vrtices son iguales (mismo n y tipo de cara)

Escribe en cada una de las casillas del cuadro siguiente el nombre de algunos poliedros queconozcas:

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Figuras geomtricas

no X

X

Y no Y

17. Repite el ejercicio anterior en el cuadro siguiente,

Y no Y

no X

X Z

Identifica cada zona del dibujo mediante una serie de tres unos o ceros, segn cumpla o no las propiedades X, Y, Z. As la regin 111 se distingue por cumplir X, Y, Z, mientras que laregin 010 cumple NO X, Y, y No Z.Escribe cada una de las 8 regiones y cita ejemplos de poliedros que situaras en ellas.

Bibliografa

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Alsina, C., Burgus y Fortuny, J. M. (1987). Materiales para construir la geometra . Madrid:Sntesis.

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Dickson, L., Brown, M. y Gibson, O. (1991). El aprendizaje de las matemticas . Madrid:MEC y Ed. Labor.

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Van de Walle, J. A. (2001). Elementary and middle school mathematics. Teaching developmentally (4 edicin). New York: Longman.


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III.Geometra para Maestros

Captulo 2:

TRANSFORMACIONES GEOMTRICASIMETRA Y SEMEJANZA


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Transformaciones geomtricas

A: Contextualizacin Profesional

ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE TRANSFORMACIONES GEOMTRICASEN PRIMARIA

Consigna:

Los enunciados que se incluyen a continuacin han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos,

1. Resuelve los problemas propuestos.2. Indica los conceptos y procedimientos matemticos que se ponen en juego en la

solucin.3. Clasifica los enunciados en tres grupos segn el grado de dificultad que les atribuyes

(fcil, intermedio, difcil).4. Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la

tarea, de manera que uno te parezca ms fcil de resolver y otro ms difcil.5. Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los

alumnos de primaria? Propn un enunciado alternativo para aquellos ejercicios queno te parezcan suficientemente claros para los alumnos.

Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:

1. Cules de estas figuras tienen eje desimetra?

2. Calca esta figura, dobla por la lneagruesa y recorta. Qu se obtiene?

3. En qu poligonos de la figura la lnea de trazos no es un eje de simetra? (4 Curso)

4. Dibuja un tringulo y un cuadriltero que no tengan eje de simetra.

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5. Dibuja la otra mitad de estasfiguras para que sean simtricas

6. Dibuja la figura simtrica respectodel eje de simetra sealado

7.

8.

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B: Conocimientos Matemticos

1. MOVIMIENTOS RGIDOS: TRASLACIONES, GIROS, SIMETRAS,COMPOSICIN DE MOVIMIENTOS

Imaginemos que cada punto P del plano se "mueve" hasta una nueva posicin P'sobre el mismo plano. P' es la imagen de P y ste el original o preimagen de P'. Si a puntos P y Q distintos les corresponden imgenes P' y Q' distintas, y todo punto tieneuna nica preimagen decimos que la correspondencia establecida entre los puntos del plano es una transformacin del plano.

Movimientos rgidos del planoUna transformacin del plano se dice que es un movimiento rgido si y slo si la

distancia entre cualquier par de puntos P y Q es la misma que la distancia entre susimgenes en dicha transformacin, esto es, PQ = P'Q', para todo par de puntos P y Q.

Los movimientos rgidos tambin se llamanisometras debido a que conservan laforma y medidas de las figuras. Un modelo fsico que permite materializar losmovimientos rgidos del plano se puede hacer mediante una hoja de transparencias. Sitenemos cualquier figura sobre una hoja y hacemos una transparencia de dicha figura, eloriginal y la transparencia son congruentes. La transparencia la podemos mover en unadireccin, girar sobre un punto fijo, o darle la vuelta alrededor de una recta fija. Entodos estos casos se obtiene una nueva figura colocada en una posicin diferente, pero

la forma y dimensiones de la figura original no cambian.Hay tres movimientos rgidos del plano bsicos: traslaciones, giros y simetras.

1.1. Traslaciones

Una traslacin es el movimiento rgido en el que todos los puntos del plano semueven en la misma direcciny la misma distancia. En lafigura 1 el tringulo ABC setransforma en el ABC comoconsecuencia de la traslacin

definida por el vector deorigen el punto A y extremo A. Una traslacin queda determinada dando un vector queespecifique la direccin en la que se trasladan todos los puntos del plano y la distancia ala cual se trasladan, que es el mdulo del vector (distancia entre el origen y el extremo)

CC

A BB

Fig. 1 A

1.2. Giros

El giro o rotacin es otro de los movimientos rgidos bsicos. Consiste en girar todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo (centro del giro ) un cierto nguloque ser elngulo de giro . En la figura 2 hemos representado sobre una supuesta hojade papel el tringulo ABC, el segmento PQ y el dibujo de una mano (EGF) . Al aplicar un giro a dicha hoja alrededor del punto fijo O y de amplitud 120 en el sentidocontrario a las agujas del reloj se obtienen como imagenes transformadas las figuras

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ABC, PQ, y la mano EGF. Esta transformacin se puede ejemplificar usando unahoja de transparencias para materializar las imgenes obtenidas al girar la hojamanteniendo fijo el punto O.

Fig. 2

Un giro queda determinado al dar el centro O y la amplitud del ngulo orientadocorrespondiente. Se considera que el giro es positivo si se produce en sentido contrario alas agujas del reloj y negativo cuando se hace en el sentido de las agujas del reloj. En ungiro slo se tienen en cuenta las posiciones iniciales y finales de los puntos.

Ejercicio:1. Encontrar la imagen de cada figura al aplicarle el giro indicado:

a) Giro de 90 alrededor de P b) Giro de 180 sobre Q c) Giro de 90 sobre R

1.3. Simetras

La simetra o reflexin sobre un espejo es elmovimiento rgido del plano que se produce fijandouna recta r del plano y hallando para cada punto Potro punto P de tal manera que la rectar es mediatrizdel segmento PP. Esto quiere decir quer es perpendicular a PP y que pasa por el punto medio delsegmento PP.

r

P P

Fig. 3Se puede observar que una simetra invierte la orientacin de las figuras: los puntos

que estn a la derecha del eje de simetra pasan a estar a la izquierda despus de latransformacin, y los que estn a la izquierda pasan a la derecha.

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Ejercicio:

2. Trazar la figura simtrica de la bandera respecto de la rectam:

1.4. Composicin de isometras: la simetra con deslizamiento

Cualquier par de los movimientos considerados hasta ahora, traslaciones, giros ysimetras se pueden aplicar sucesivamente, esto es, primero se aplica uno y a la figuratransformada se le aplica el segundo movimiento. La transformacin que nica que permite pasar de la primera figura a la ltima se dice que es la composicin de losmovimientos dados. Se llama simetra con deslizamiento a la composicin de unasimetra y una traslacin.

Ejercicio:

3. Comprobar y demostrar las siguientes proposiciones:a) El resultado neto de dos simetras sucesivas es una traslacin si las ejes de simetra son paralelos, o un giro, si los ejes se cortan.

b) El resultado neto de la aplicacin de tres simetras de ejes e1, e2 y e3 es equivalente a:- una simetra, si e1, e2 y e3 son paralelos o concurrentes, o bien,- una simetra con deslizamiento, si e1, e2 y e3 no son paralelos ni concurrentes.

c) Cualquier movimiento rgido del plano es equivalente a uno de los cuatro movimientosrgidos bsicos: una traslacin, un giro, una simetra o una simetra con deslizamiento.

Los movimientos rgidos tienen muchas aplicaciones en geometra. Por ejemplo, ladefinicin informal de congruencia, "tener la misma forma y tamao" se puede precisar del siguiente modo:

Definicin: Figuras congruentesDos figuras son congruentes si y slo s, una figura es la imagen de la otra

mediante un movimiento rgido.

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2. PATRONES Y SIMETRAS

La simetra es un principio universal de organizacin y de la forma. El arco decircunferencia formado por el arco iris y las simetras exagonales de los cristales dehielo son expresiones visibles de la simetra de muchos procesos fsicos del universo.

La simetra es una especie de norma en la naturaleza y no una excepcin. Todas lasculturas humanas, hasta las ms primitivas han desarrollado una comprensin intuitivade los conceptos bsicos de la simetra. Las decoraciones encontradas en las cermicas, paredes de templos, armas, instrumentos musicales, etc. Incorporan, con muchafrecuencia, elementos simtricos. Incluso la msica, la poesa y la danza incorporanfrecuentemente la simetra en su estructura interna.

Simetra de una figura planaUna simetra de una figura plana es cualquier movimiento rgido del plano que

hace coincidir todos los puntos de la figura con otros puntos de la misma figura. Esto es,todos los puntos P de la figura son transformados por el movimiento en otros puntos P'que son tambin puntos de la figura. El movimiento identidad es una simetra decualquier figura, pero en general interesa identificar otros movimientos de simetra queno sean la identidad. Como consecuencia de una simetra que no sea la identidadalgunos puntos de la figura se mueven hacia otras nuevas posiciones en la propia figura,aunque la figura en su conjunto aparezca inalterada en el movimiento.

El teorema de clasificacin que hemos enunciado nos dice que existen cuatromovimientos rgidos bsicos del plano (traslaciones, giros, simetras y simetras condeslizamiento). Por tanto, toda simetra de una figura es uno de estos cuatromovimientos bsicos, y las propiedades de simetra de una figura se pueden describir completamente listando las simetras de cada tipo.

2.1. Simetra axial

Se dice que una figura tiene simetra por reflexin si hay una recta que pasa por lafigura que es un eje de simetra de la figura, esto es, el movimiento de simetra sobredicho eje hace coincidir la figura consigo misma de manera global.

Ejercicio:

4. Cuntas lneas de simetra tienen las siguientes letras?:

2.2. Simetra rotacional

Se dice que una figura tiene simetra rotacional si la figura coincide consigo misma

cuando se gira un cierto ngulo entre 0 y 360 alrededor de un cierto punto. El centrode giro es el centro de rotacin de la figura.

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Frisos:

Mosaicos:

Clasificacin de frisos y mosaicos

Existen diversas notaciones para nombrar los siete tipos de cenefas o frisos queexisten. Una de ellas viene dada por un par de caracteres cuyo significado resumimos enla tabla siguiente:

Primera letra Segunda letra

m = simetra vertical m = simetra horizontal 1 = no simetra vertical g = simetra con deslizamiento

2 = simetra central

1 = no simetra adicional

Mostramos un ejemplo de cada uno de los siete tipos de frisos realizados por nios:

mm (reflexin vertical y horizontal)

mg (reflexin vertical y deslizamiento)

m1 (solamente reflexin vertical )

1m (solamente reflexin horizontal)

1g (solamente deslizamiento)

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12 (solamente simetra central)

11 (sin simetra)

De igual modo, si en lugar de efectuar traslaciones en una sola direccin lohacemos en dos direcciones distintas, obtenemos los llamados grupos cristalogrficos planos, pues ste es un problema que se origina en la Cristalografa, habiendo sidoestudiado por el cristalgrafo ruso Fedorov. Solamente existen 17 formas de cubrir el plano indefinidamente de manera peridica regular. Estos mosaicos tambin se llamanen ingls grupos de papel pintado (wallpaper groups) ya que los empapelados de paredes pertenecen a alguna de estas clases. Encontramos un ejemplo al menos de estos

teselados en la Alhambra. El artista holands M.C. Escher se interes mucho por ladivisin regular del plano, y en su obra se pueden apreciar ejemplos de diversosgrupos cristalogrficos.

La notacin de cada una de estas formas es algo ms compleja, y tiene encuenta, adems de las transformaciones que intervienen, las retculas poligonalessubyacentes.

Algunos ejemplos de mosaicos que existen en la Alhambra:

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1) Si dos segmentos son iguales, tambin lo sern sus proyecciones paralelas,o sea, si PQ = QR entonces pp(PQ) =pp(QR)

OP

QR

S

PQRS

a

a

Esta propiedad se justifica

observando la figura 7. Si las rectasestn igualmente espaciadas lostringulos sombreados obtenidostrazando por P, Q, R, rectas paralelas a a son iguales, lo queimplica que PQ = QR.

2) La proyeccin paralela de la sumade dos segmentos de la rectaa es igual a la suma de las proyecciones paralelasde dichos segmentos sobre la rectaa' , o sea,

Fig. 7

pp(PQ + QR) = pp(PQ) + pp(QR) = P'Q' + Q'R'En efecto, pp(PQ+QR) = pp(PR) = PR = PQ+QR = pp(PQ) +pp(QR)

De estas propiedades se deriva que si la serie de segmentos PQ, QR, RS,... son congruentes, tambin lo sern los segmentos PQ, QR, RS, ..., y quesi la razn de las longitudes entre dos segmentos esr , la razn entre lossegmentos proyectados tambin serr .

En general se cumple que la proyeccin paralela del segmento obtenidoal multiplicar la longitud del segmento PQ por cualquier nmero realr es elsegmento que se obtiene al multiplicar por r la longitud del segmento P'Q'.Simblicamente, pp(r.PQ) = r.P'Q'.

Si sobre la rectaa hemoselegido una unidad de medidau ysobre la recta a la unidad u podemos establecer una proyeccin paralela que haga corresponder dichas unidades. Las propiedadesmencionadas de las proyecciones paralelas permiten afirmar que si lamedida del segmento PQ esmu(PQ), la medida del segmento

proyectado PQ con la unidadu, mu(PQ), ser la misma, ya que talesmedidas son las razones entre los segmentos y las unidades de medidacorrespondientes.

Fig. 8

3.3. Teorema de ThalesLos segmentos homlogos en la

proyeccin paralela que se establececuando dos rectas distintasa y a' soncortadas por un haz de rectas paralelas son proporcionales (ver figura adjunta).

Simblicamente,

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