DIEDROS

PLANO.- Llamaremos plano a la unión de tres

puntos no colineales.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS FIGURAS EN EL

PLANO:

I. DOS PLANOS

II. EL PLANO Y LA RECTA

III. DOS RECTAS

TEMA:

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

P

Q

A y B son Secantes

A y B son Paralelas

Q y ABC son Coincidentes

𝑎 Q y 𝑎 son Secantes

�⃡� y R son Paralelos

𝑎 está contenida en Q 𝑎

𝐿1

𝐿2

𝐿1 𝑦 𝐿2 son rectas secantes

TEOREMA DE THALES

Si 𝐴 ⫽ 𝐵 ⫽ 𝐶, tenemos que:

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

POLIEDROS REGULARES

DEFINICIÓN

Es aquel sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas, dichas regiones se denominan caras del poliedro, los lados de las caras se denominan aristas.

Poliedro Convexo Poliedro no Convexo o Cóncavo

POLIEDROS REGULARES

Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos sus vértices concurran el mismo número de aristas. Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:

TETRAEDRO REGULAR

Limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.

Del gráfico: G : baricentro de la región triangular ABC

𝑏 𝑎

𝑎 𝑦 𝑏 son rectas paralelas

�⃡� 𝑦 𝑛 son rectas

alabeadas

𝐸𝐹

𝐹𝐺=

𝑃𝑄

𝑄𝑅=

𝑀𝑁

𝑁𝐿

E F

B

𝐿1

𝑆𝑖: 𝐿1⟘𝑄 𝑦 𝐸𝐹⟘𝑎 ⇒ 𝐵𝐹⟘𝑎

A B

C

L

a

G

Notación: Tetraedro regular L – ABC

Altura : LG = 3

6a

Área de la superficie : A = a23

Área lateral : AL = 3a2 4

3

Volumen : A = 12

2a3

Desarrollo de la superficie del tetraedro regular

HEXAEDRO REGULAR

Limitado por seis regiones cuadradas.

Observación: O es el centro del hexaedro

regular.

Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH

Diagonal : AG = a 3

Área de la superficie : A = 6a2

Área lateral : AL = 4a2

Volumen : V = a3

Desarrollo de la superficie del hexaedro regular

OCTAEDRO REGULAR

Limitado por ocho regiones triangulares equiláteras.

Observación: O: centro del octaedro regular. ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados

Notación: Octaedro regular M – ABCD – N

Diagonal : MN = a 2

Área de la superficie : A = 2a2 3

Volumen : V = 3

2a3

Desarrollo de la superficie del octaedro regular

A

E

B C

D

G

H

F

O

a

A

B C

D

M

N

O

a

DODECAEDRO REGULAR

Limitado por doce regiones pentagonales regulares.

Desarrollo de la superficie del dodecaedro

regular

ICOSAEDRO REGULAR

Limitado por veinte regiones triangulares equiláteras.

Desarrollo de la superficie del icosaedro

regular

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

PRISMA RECTO

Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Área de la Superficie Lateral: ASL = (2pBASE)aL

Área de la Superficie Total: AST = ASL + 2ABASE

Volumen: V = (ABASE) aL

Observación:

Si las bases de un prisma recto son regiones limitadas por polígonos regulares, entonces se trata de un prisma regular.

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR,

ORTOEDRO O RECTOEDRO

Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos. En consecuencia, las seis caras son rectángulos.

a

a

A

B C

D

A´

F´ E´

D´

B´

E F

P

aL

C´

a

b

c D

Área de la Superficie Lateral:

ASL = 2ac + 2bc

Área de la Superficie Total: AST = 2ac + 2bc + 2ab

Volúmen:

V = abc

Diagonal:

D2 = a2 + b2 + c2

CILINDRO CIRCULAR RECTO

Denominado también “cilindro de revolución” debido a que puede generarse por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.

En forma práctica se dice que un cilindro se desarrolla en una región rectangular y dos círculos, aquí mostramos entonces el desarrollo de su superficie lateral.

Área de la Superficie Lateral:

ASL = 2rg

Área de la Superficie Total:

AST 2r (g + r)

Volúmen:

V = r2 g

PIRÁMIDE REGULAR

Es la pirámide recta que tiene la base limitada por un polígono regular.

O : Centro de la base

VH : Apotema de la pirámide

Área de la Superficie Lateral:

ASL = (pbase) . ap

Área de la Superficie Total:

AST = ASL + ABASE

Volúmen:

V = 3

hABASE

h

r

360°

g

r

r

g

r

g

2r

A

B C

D

H

E F

V

O

ap

h

Observaciones:

En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales.

En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice de la pirámide se denomina apotema.

En la pirámide regular las caras laterales son congruentes.

CONO CIRCULAR RECTO

Denominado también “cono de revolución” debido a que puede generarse por una región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos.

Para calcular el área de la superficie lateral ésta se desarrolla como un sector circular.

Área de la Superficie Lateral:

ASL = r g

Área de la Superficie Total:

AST = r (g + r)

Volúmen:

V = 3

hr2

Observaciones

Un cono se denomina equilátero si es revolución y la generatriz tiene la misma longitud que el diámetro de la base.

El desarrollo de la superficie lateral de un cono equilátero es un semicírculo.

ESFERA

Es el sólido limitado por una superficie esférica, la cual se define como el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo denominado centro.

La distancia de todo punto de la superficie esférica al centro se denomina radio.

Un plano secante a una esfera determina en ella un círculo, al cual se le denomina máximo si contiene al centro de la esfera y menor en otro caso.

V = 3

4 R3 ASE = 4 R2

R

R

O

Círculo

máximo

g

r

O

h

r

g

360°

h