geometria de masas ii.pdf

Departamento: Fsica Aplicada IIIMecnica Racional (Ingeniera Industrial) Curso 2006-07

2

Geometra de masas II: El tensor de Inercia

1 Momentos de Inercia respecto de elementos coordenados.

a. Respecto de planos 2 2, ,x y zI x dm I y dm I z dm

= = =

b. Respecto de ejes 2 2 2 2 2 2( ) , ( ) , ( )xx yy zzI y z dm I x z dm I x y dm

= + = + = + dm

z

y x

O

X

Y

Z

c. Respecto del origen 2 2 2( )OI x y z dm

= + +

d. Productos de Inercia , ,xy xz yz ,I xy dm I xz dm I yz dm

= = =

e. Relaciones , ,xx y z yy x z zz x yI I I I I I I I I= + = + = +

O x y zI I I I= + + 1 ( )2O xx yy zz

I I I I= + +

2 Momento de inercia respecto de una recta. Sea la recta ( , )O G . El momento de inercia respecto de la recta vale

2I dm

= donde es la distancia desde el elemento de masa dm a la recta.

( ) ( )2 22 r r = G GG rGG expresa la proyeccin del vector rG sobre la recta ( , )O G . En forma matricial el producto escalar se puede calcular mediante la expresin ( )1

rT = T r

Con lo cual 2= r2 (T ) (T r)(rT )

La propiedad asociativa de las matrices nos permite escribir ( )2

2= r2 (T ) T (r rT) = r2 (T U ) T (r rT)

De esta forma podemos sacar factor comn T y

O

P

r

r

d m

1 Las letras negrilla indican vector columna, y el superndice (T) indica matriz traspuesta vector fila 2 U indica matriz unidad

Geometra de masas II. El tensor de Inercia

2= T [ r2 U rrT]

Sustituyendo queda rI dm = T 2 T

( U - rr )

Teniendo en cuenta que T y son independientes de la distribucin de masas

(r )I d

m =

T 2 T U - rr

La integral es independiente de la direccin , aunque si depende del punto O a

travs del vector , se conoce como tensor de inercia en el punto O y lo

denominaremos

rG

( )I OI , su expresin desarrollada es

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0I(O) 0 0

0 0

x y z x xy xzx y z yx y yz dm

x y z zx zy z

+ + = + + + + I

2 2

2 2

2 2

I(O) .y z xy xz

xy x z yz dmxz yz x y

+ = + + I

Se observa que el tensor es simtrico, los elementos de la diagonal principal

coincide con los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados y las

dems componentes coinciden con los productos de inercia cambiados de signo :

( )xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

I P PI O P I P

P P I

=

I

Los elementos del tensor de inercia se pueden expresar de forma subindicada ( )3

( )2, ,( )i j i j i jI O r x x

= dm

T

(1)

Ahora podemos expresar el momento de inercia respecto de la recta (O,)

mediante el tensor de inercia T

I = I (O)

Para considerar I(O) como tensor de segundo orden debemos demostrar que es

invariante en las transformaciones de coordenadas y que se transforma como un

tensor. Sea la matriz del cambio de base, si tenemos en cuenta que

' = , y T T' =

se obtiene IT T T T= ' I'(O) ' = ( ) I '(O) ( ) = I'(O)

I es un escalar y es independiente de las transformaciones de coordenadas,

escrito con las coordenadas antiguas es , comparando con el

resultado anterior se obtiene y despejando

IT= I(O)

= TI (O) I'(O) ' T=I (O) I(O)

3 i,j es la delta de Kronecker y viene dada por i,j=1 si i=j, en otro caso i,j=0 )

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Lo que indica que en un cambio de coordenadas se transforma como un tensor de

segundo orden.

3 Traslacin de la base: Teorema de Steiner. Campo de tensores Sea G el centro de masas de la distribucin.

OP OG GP= +JJJG JJJG JJJG Las magnitudes que intervienen en (1) se expresan ( )4

( ) ( ) ( )2 22 2 ' 2 , i i ir OP OG GP OG GP x x x= = + + = +JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGsustituyendo en (1) se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 ', , ,( ) 2i j i j i j i j i i j j'I O r x x dm OG GP OG GP x x x x dm

= = + + + + JJJG JJJG JJJG JJJG

Que puede descomponerse en varias integrales ( ) ( )( ) 2 2, ,( )M Gi j i j i j i j i j,I O OG x x dm M OG x x

= = JJJG JJJG : Componentes del tensor de

inercia de una supuesta masa puntual M situada en el c.d.m.

OX

Y

Z

G

Y

Z

Pdm ( )2 ' ', ,( )i j i j i jI G GP x x d

=

JJJGm : Tensor de inercia en G

0OG GP dm OG GP dm

= JJJG JJJG JJJG JJJG = : Se anula por ser el numerador de la expresin del vector de posicin del punto G relativo a G.

' ' 0i j i jx x dm x x dm

=

Mz

O

X

Z

G

dzz

Y

= , se anula por la misma razn

anterior con la coordenada ' jx , del c.d.m.

Resumiendo queda: 2

, ,( ) ( ) ( )i j i j ij i jI O I G M r x x= + De forma simblica ,( ) ( ) ( )M GI O I G I O= +I I I ( )5 (2) En forma matricial

' ' ' 2 2

' ' ' 2 2

' ' ' 2 2

xx xy xz xx xy xz

xy yy yz xy yy yz

xz yz zz xz yz zz

I I I I I I y z x y x zI I I I I I M x y x z y zI I I I I I x z y z x y

+ = + + + G

Los momentos de inercia son los elementos de la diagonal principal 2, ,( ) ( )i i i i iiI O I G M d= + donde dii representa la distancia entre los ejes i . Mientras que los elementos que no estn en la diagonal principal son los productos de inercia cambiados de signo

, ,( ) ( )i j i j i jP O P G M x x= +

4 xi(i=1,2,3) representan las coordenadas relativas al c.d.m. y ix las coordenadas del c.d.m. 5 , ( )M GI O

I, indica el tensor de inercia en O de una supuesta masa puntual M situada en G.

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4 Rotacin de la base del tensor de inercia

a. Expresin

I(0)= I(O) T

b. Aplicacin: Varilla delgada rotada El tensor de inercia de una varilla delgada en el punto G y direcciones ( )1 2 3, ,u u uG G G vale

2

0 0 01( ) 0 1 0

120 0 1

I G ML =

I

La matriz del cambio de base obedece a la expresin . Sus

elementos son los cosenos directores de los versores

U'=U

( )' ' '1 2 3, ,u u uG G G , es decir '

,i j i ju u = G G . En el caso plano que nos ocupa cos 0

cos 00 0

sensen

=

u1

u2u2

u1

G

1

con lo cual puede calcularse el tensor en la nueva base 2

2 2

cos 0 0 0 0 cos 0 cos 01 1'( ) cos 0 0 1 0 cos 0 cos cos 0

12 120 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

sen sen sen senI G sen ML sen ML sen

= =

I2

5 Propiedad aditiva del tensor de inercia

a. Expresin Supngase una distribucin de masas que pueda dividirse en dos partes disjuntas A y B, por la aditividad de las integrales se verifica

( ) ( ) ( )A B A B

dI O dI O dI O= +

I I I

Lo que nos dice, que el tensor de inercia de una distribucin de masas de un conjunto de partes disjuntas puede obtenerse sumando los tensores de inercia de cada una de las partes individuales.

b. Aplicacin Calclese el tensor de inercia de una lnea cuadrada uniforme de lado L, en el centro O del cuadrado y tmese como ejes coordenados las direcciones de los lados del mismo. Sugerencia: Descompngase la figura tomando cada lado como una distribucin de masas. Como el tensor en el c.d.m. de cada lado es conocido (varilla delgada), aplquese el teorema de Steiner para determinar el tensor de cada lado en el centro del cuadrado. Posteriormente puede sumarse para obtener el resultado final.

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u2

u1O

A

BC

D

L


6 Propiedades de las direcciones principales

a. I1,3(O)= I2,3(O)=0 (O, 3uG

) es E.P.I. ( ) 6 en O

I. I1,3(O)= I2,3(O)=0 (O, 3uG

) es E.P.I. en O 11 12 13 13

3 12 22 23 23 3 13 1 23 2 33 3

13 23 33 33

0( ) 0 ( )

1

I I I II O u I I I I I O u I u I u I u

I I I I

= = = +

I IG G +G G G (3)

Si I1,3(O)= I2,3(O)=0 3 33 3( )I O u I u=I G G

Lo que indica que u3G

y su vector transformado son colineales, es decir u es d.pp.de inercia 3

G

G3

II. (O, ) es E.P.I. en O I3uG

1,3(O)= I2,3(O)=0

Si u es d.pp. significa que 3 3( )I O u u=I G G . Como ( )1 2 3, ,u u uG G G es una base

ortogonal sus versores son linealmente independientes, para que adems se cumpla (3) ha de ser

I1,3(O)= I2,3(O)=0

b. (O,O, u ) E.P.I. en O y O G (O, u3G

3G

)

Tomaremos (O,O, u ) en el eje OZ. 3G

(O, ) E.P.I. en O y (O, u3uG

3G

) E.P.I. en O I1,3(O)= I1,3(O)=0 Aplicamos el teorema de Steiner en O y en O al producto de inercia( )7 P1,3

1,3 1,3 1 3

' '

I

1,3 1,3 1 3

( ) ( )

( ') ( )

O I G Mx x

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I O I G Mx x

= =

Restando miembro a miembro resulta ' '

Z O

X

YZ

Y

OG(x,y,z)

1 3 1 3x x x x= por construccin x1=x1, x3=c+x3 (c: distancia entre O y O), ello nos indica que la igualdad anterior solo puede ser cierta si '1 1 0x x= = Anlogamente puede demostrarse que 2 0x = Ambas conclusiones significan que el c.d.m. (G) est situado en OX3, es decir es eje baricentral

c. (G, u ) es E.P.I. en G (G, u3G

3G

) es E.P.I. en O 3( , )O G u G

I. (G, u ) es E.P.I. en G (G, 3G

3uG

) es E.P.I. en O 3( , )O G uGAplicando el teorema de Steiner al producto de inercia P1,3

1,3 1,3 1 3( ) ( )I O I G Mx x= Como (G, ) es E.P.I en G I3u

G1,3(G)=0 segn (a) y 1 0x = por

construccin, luego I1,3(O)=0 Anlogamente puede demostrarse que I2,3(O)=0. Ambas conclusiones significan segn el teorema (a), que (O,u ) es E.P.I. siendo O cualquier punto del eje (G,u

3G

3G

).

6 E.P.I.: Abreviatura de eje principal de inercia 7 ix indica la coordenada xi del c. d.m.


II. (O, ) es E.P.I. en O 3uG

3( , )O O u G (O, 3uG

) es E.P.I. en G

(O, ) es E.P.I. en O 3uG

3( , )O O u G (O, 3uG

) es E.P.I. en dos de sus puntos O y O. Segn (b) 3( , )G O u G , y en particular (G, ) es E.P.I. en O=G

3uG

III. Conclusin: Un eje baricentral es E.P.I. en un todos sus puntos o no lo es en ninguno.

d. (O, ) E.P.I. en O y (O, 1uG

2uG

) E.P.I. en O (O, 3uG

) E.P.I. en O.

(O, 1uG

) E.P.I. en O I12(O)= I13(O)=0 (O, ) E.P.I. en O I2u

G12(O)= I23(O)=0

Pero I13(O)= I23(O)=0 (O, 3uG

) E.P.I. en O Conclusin: Si dos ejes son E.P.I. en O, el tercero tambin los es.

e. Todo eje perpendicular a un plano de simetra es E.P.I. en el punto de interseccin. Tomemos el plano x3=0 de simetra y (O, 3u

G) un eje perpendicular al plano

en el punto O. Ello significa que si existe un elemento de masa dm en el punto P(x1, x2, x3), ha de existir otro elemento de la misma masa en el punto P(x1, x2, x3). Sean 1, 2 dos semiespacios separados por el plano de simetra y apliquemos la propiedad aditiva del tensor de inercia.

1 2 1 11,3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3( ) 0I O x x dm x x dm x x dm x x dm x x dm = = + =

X

Y

Z

= Anlogamente puede demostrarse que I2,3(O)=0. Por la propiedad (a) (O, 3u

G) es E.P.I. en O.

O

P(x,y,z)

P(x,y,-z)

f. Todo eje de simetra es E.P.I. en cualquier punto del eje. Como todo eje de simetra es baricentral tomemos (G, u ) como eje de simetra. Ello tambin significa que si existe un elemento de masa dm en el punto P(x

3G

G

1, x2, x3), ha de existir otro elemento de la misma masa en el punto P(x1, x2, x3). Si aplicamos la propiedad aditiva con ambos elementos de masa a los producto de inercia resulta I1,3(G)=0 y I2,3(G)=0. con lo cual (G, u ) es E.P.I. en G. 3Por otra parte segn la propiedad (c) (G, u3

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G), ser E.P.I. en cualquier

punto del eje.

XG 2

P(x ,x ,x )1 2 3

P(-x ,-x ,x )1 2 3

X1

g. Caso de figuras planas Tomaremos z=0 como plano de figura. z=0 es plano de simetra Consecuencias

I. Izz = Ixx + Iyy Iz=0; Ixx=Iy; Iyy=Ixr2 = x2 + y2 Izz=Ixx+ Iyy


II. Todo eje normal al plano de figura es E.P.I. en el punto de interseccin

III. Todo eje normal a uno de simetra es E.P.I. en el punto de interseccin

7 Movimientos de invarianza de los momentos de inercia respecto de un eje

a. Traslacin respecto del eje

b. Rotacin respecto del eje

c. Simetra respecto de una recta normal al eje

d. Simetra respecto de un punto del eje

(d)

(a) (b)

8 Bibliografa. Cuadernos de Mecnica. Cinemtica y Tensores. Pablo Hervs Burgos,

Marcelo Rodrguez Danta, Jos Martnez Garca. Universidad de Sevilla

Curso de MECNICA RACIONAL. Dinmica. Manuel Prieto Alberca. Editorial A.D.I.

Mecnica del slido rgido, Carlos F. Gonzlez Fernndez. Ariel Ciencia

MecFunNet, Departamento de Fsica Aplicada, ETSII, UPM

http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/

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1 Momentos de Inercia respecto de elementos coordenados.Respecto de planos b. Respecto de ejes c. Respecto del origen d. Productos de Inerciae. Relaciones

2 Momento de inercia respecto de una recta.3 Traslacin de la base: Teorema de Steiner. Campo de tensores Rotacin de la base del tensor de inerciaa. ExpresinI(0)= I(O) Tb. Aplicacin: Varilla delgada rotada

5 Propiedad aditiva del tensor de inerciaa. Expresinb. Aplicacin

6 Propiedades de las direcciones principalesa. I1,3(O)= I2,3(O)=0 (O, ) es E.P.I. ( ) en OI. I1,3(O)= I2,3(O)=0 (O, ) es E.P.I. en OII. (O, ) es E.P.I. en O I1,3(O)= I2,3(O)=0

b. (O,O, ) E.P.I. en O y O G (O, ) c. (G, ) es E.P.I. en G (G, ) es E.P.I. en O I. (G, ) es E.P.I. en G (G, ) es E.P.I. en O II. (O, ) es E.P.I. en O (O, ) es E.P.I. en GIII. Conclusin: Un eje baricentral es E.P.I. en un todos sus puntos o no lo es en ninguno.

d. (O, ) E.P.I. en O y (O, ) E.P.I. en O (O, ) E.P.I. en O.e. Todo eje perpendicular a un plano de simetra es E.P.I. en el punto de interseccin.f. Todo eje de simetra es E.P.I. en cualquier punto del eje.g. Caso de figuras planasConsecuencias I. Izz = Ixx + IyyII. Todo eje normal al plano de figura es E.P.I. en el punto de interseccinIII. Todo eje normal a uno de simetra es E.P.I. en el punto de interseccin

7 Movimientos de invarianza de los momentos de inercia respecto de un ejea. Traslacin respecto del ejeb. Rotacin respecto del ejec. Simetra respecto de una recta normal al ejeSimetra respecto de un punto del eje

8 Bibliografa.

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