Unitat 3: Geometria Analítica1. Vectors

2. Operacions amb vectors

2.1 Suma i resta gràficament

2.2 Suma i resta per coordenades

2.3 Multiplicació per un nombre

3. Equacions de la recta:

Vectorial, Paramètrica, Contínua, Punt-pendent, Explícita, General

Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques

4. Propietats analítiques i mètriques

4.1 Distància entre dos punts

4.2 Càlcul del punt mitjà

1. VectorsPrèvia repàs coordenades

-Un vector és un segment orientat, amb un origen "A" i un

extrem "B", que anomenem AB.

A (a1,a

2)

Exemples gràfics

-Mòdul: Longitud del segment.

-Direcció: Recta sobre la qual està situat (inclinació)

-Sentit: Manera d'anar d'origen a extrem (2)

-Coordenades: Indiquen quant avança en x, quant avança en y.

A⃗B=(b1−a1,b2−a2)

B (b1,b

2)

p140 E1, 1, 2, 3, 4, 34, 35

Per Teorema de Pitàgores:

-Càlcul del mòdul

v⃗=(v1,v2)

p141 E2 amb dibuix, 6, 45, 46

v1

v2 ∣⃗v∣=√ (v1)

2+(v2)2

2. Operacions amb vectors

2.1 Suma i resta gràficament

Fitxa

v⃗

u⃗

v⃗+u⃗

v⃗

u⃗

v⃗−u⃗

−u⃗

2.2 Suma i resta per coordenades

142 E4, 8, 9, retorn fitxa, 54, 55, 56, 57

v⃗=(v1,v2)Si

u⃗=(u1,u2)

v⃗+u⃗=(v1+u1,v2+u2)

v⃗−u⃗=(v1−u1,v2−u2)

2.3 Multiplicació per un nombre

k · v⃗=(k · v1, k · v2)

143 E5, 11, 12, 62, 63

3. Equacions de la recta

3 exemples a dibuixar

Per definir una recta necessitem: -un vector director (direcció)

-un punt de pas.

(x , y)=(a ,b)+t ·(v1,v2)

x=a+t · v1

Equació vectorial de la recta

y=b+t · v2

A(a,b)v⃗ P(x,y)

Equacions paramètriques de la recta

Els 3 exemples, p144 E6, 14, 15, 16

x=a+t · v1

y=b+t · v2

Equació contínua de la rectap145 E7, 17, 18 i 19

t= x−av1

t= y−bv2

x−av1

= y−bv2

x−av1

= y−bv2

; (x−a)v2

v1

= y−b ; m=v2

v1

Pendent de la recta

y−b=m(x−a)

y−b=mx−ma ; y=mx−ma+b ; y=mx+n

Equació punt-pendent

Equació

explícitan20, 22, 23

E9, 21

Pas eix y

x−av1

= y−bv2

Equació general

A

(x−a)· v2=( y−b)· v1 ;

(x−a)· v2−( y−b)· v1=0 ;

v2 · x−v2 · a−v1 · y+v1 · b=0 ;

v2 · x−v1 · y−v2 · a+v1 · b=0 ;

B C

Ax+By+C=0

v⃗=(v1,v2)=(−B , A)

p147 E10, 23, 24, 25, 26, 65, 66, 67, 69, 70

Exemples d'equacions de diverses formes geomètriques

ax+by+c=0

x−av1

= y−bv2

x−av1

= y−bv2

= z−cv3

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (x−a)2+( y−b)2+( z−c)2=r2

Re

cta

al p

la

Re

cta

a l'

espa

i

Circ

um

ferè

ncia

Esf

era

y2=2px z= x2

a2 +y2

b2 z= y2

b2 −x2

a2

Pa

ràbo

la

Pa

rabo

loid

e

Pa

rabo

loid

e h

ipe

rbòl

icx2

a2−y2

b2 =1

Hip

èrbo

la

Hip

erbo

loid

e

Hip

erbo

loid

e d

e 2

fulle

sx2

a2 +y2

b2 −z2

c2 =1 z2

c2−x2

a2−y2

b2 =1

x2

a2 +y2

b2 =1

El·l

ipse

El·l

ipso

ide

Hè

lix c

ircul

ar

x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 =1

x = a · cos t

y = a · sin t

z = h · t

4. Propietats analítiques i mètriques

p148, 27, 28

4.1 Distància entre dos punts en el pla

d (A , B)=√ (b1−a1)2+(b2−a2)

2

A⃗M=12· A⃗B

Si A(a1, a

2) i B(b

1, b

2)

(m1−a1,m2−a2)=12·(b1−a1,b2−a2)

E11, 29

d (A , B)=∣A⃗B∣

4.2 Punt mitjà d'un segmentA

B

M

m1−a1=b1−a1

2;

1a coor.m1=

b1−a1

2+a1=

b1−a1+2a1

2=b1+a1

2

M ( b1+a1

2,b2+a2

2 )