Eliminacin de Gauss

Moncayo Matute Freddy PatricioMetodos NumericosEliminacin de Gauss

En esta seccin se analizan varios mtodos para resolver las ecuaciones algebraicas lineales simultneas que se representan como:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2

.

.

an1x1+an2x2+...+annxn=bnSolucin de sistemas pequeos de ecuaciones

A continuacin se describirn algunos mtodos que son apropiados en la solucin de pequeos sistemas de ecuaciones simultneas (n ( 3) que no requieren de computadora.Eliminacin de Gauss simpleEs una tcnica sistemtica de eliminacin hacia delante y sustitucin hacia atrs. Puede ser utilizada como algoritmo para automatizarla (por computadora), pero no es muy efectivo.

El mtodo est ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones de esta forma:

Eliminacin hacia delante

Consiste en reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior, en otras palabras eliminar los trminos X1 (desde la segunda hasta la n-sima ecuacin), luego los trminos X2 (desde la tercera en adelante) y as sucesivamente.

La primera ecuacin que se tiene y que es con la que se trabaja se le llama ecuacin pivote y el primer trmino se le llama coeficiente o elemento pivote.

Obteniendo finalmente un sistema triangular de esta forma:

Sustitucin hacia atrs

De la ltima ecuacin anterior se despeja xn:

Por tanto, en forma general se tiene que

:

para i=n-1, n-2, , Ejemplo:

Dado

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.1)

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.2)

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.3)

La primera parte es la eliminacin hacia delante, as que se toma (1.1) y se multiplica por 0.1/3 y el resultado se le resta a (1.2) para as obtener:

De esta forma se elimina la variable x1.

Despus se multiplica (1.1) por 0.3/3 y se resta de la ecuacin (1.3). Luego de efectuar estas operaciones, el sistema de ecuaciones es

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.4)

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.5)

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.6)

De la misma forma se hace la eliminacin de x2, en la ecuacin (1.6), para obtener un sistema triangular superior. Para esto se multiplica la ecuacin (1.5) (que es la nueva ecuacin pivote), por

- 0.1900/7.003 y se le resta el resultado a (1.6), esto da por resultado

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.7)

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.8)

MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT (1.9)

Ahora se hace la sustitucin hacia atrs empezando por la ltima del sistema, donde se despeja x3:

este resultado se sustituye en (1.8) donde se obtiene

y finalmente

_1133939439.unknown

_1133940542.unknown

_1133940543.unknown

_1133940387.unknown

_1133940397.unknown

_1133939660.unknown

_1133939121.unknown

_1133939192.unknown

_1133939085.unknown

_1133939061.unknown