g e o e s t a o 1 s t 1 c a
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o Fecha
Lunes 14
Duración
8 a 12 y 13 a 15 Hs.
o G E O E S T A O 1 S T 1 C A
Tema
Repaso de Estadistica y Probabilidad
Introducción a la Geo .. ~!.•tadistica
El Variograma: definición y propiedades. Tarea práctica: construcción de un variograma experimental.
Martes 15 8 a 12 y 13 a 15 Hs.
Las Va¡ianzas de la Geoestadistica: varianza de dispersión, varianza de extensión: definición y pr·opiedades. Relación de KRIGE.
Miércoles 16
Jueves 17
Viernes 18
Sábado 19
Principios de aproximacióno Ejercicios de ap1i~ cación.
(
Tarea práctica (caso real): Estimación global del yacimiento de oro de lty Monte-Flotuo (Africa)
8 a 12 y Estimación local: el método del Krigeage: defini-13 a 15 Hs. ción y propiedadesa Aplicación al cálculo de las
reservas económicas de un yacimientoo Ejercicios.
8 a 12y las simulaciones de yacimientos minerales:objet~-13 a 15 Hso vos y principios. Las decisiones secu~ncialesa
8 a 12 y Estudios detallados de casos reales: aplicación 13 a 15 Hs. de la Geoestadistica
8 a 12 y Los ejes de desarrollo de la geoestadistica, ejem 13 a 15 Hs. plo: el control de 1a~oducción del yacimiento de
fosfatos de TOGO (Africa)
Profesor
Profo Dr. Henri Sans
11 11 11 11
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·cuRSÓ ·, ÍNTEN.S1VO VE GEOESTAVISTICA : \ · , '·
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Cent~o de Educaci6~ Con~l~~a '-l :-
OctubJte de. 1974
VJL. HenJL..i. SANS
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Pág.
• La lít¡•·-rteói~ Int'Litt~·:_,_t. LZ Vlt'U.O!:J.I!.a.ma.------------ 1
Apti~u~i6n p.l!.~etiea.: Con6t~ueei6n de un Va.~iog~a.ma. expe~imenta.L- -10
$ La~ Va.'Lia.nza.~ de la. Geoe~ta.dl~tiea. - - - - - -Va.~ianza. de E~u·ma.eión. Va.~ia.nza de Exten~ión.
Fó~mula.~ de a.p~oxima.ei6n.
Apt.ica.cione~ p~~ctica..6: - Va.~ianza. de e.6tima.ción -- Funcioneó auxilia.~e.6 -
- - - - - - - 15
- - - 23
- - - - - - 21
* Eó t.t.ma.,<Jn global del ya.c..im..iento de 1TY-Monte Flotuo - - - - - - 31
* Et Knigea.ge - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 40
Aplicación p~~ctica: K~..igea.ge de la. Ley p~omed..io de un .6egmento - 45
~ La.6 Veci.6ione.6 Secuenc..ia.le~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 48
* E.6tudio ~ea.l: Veta. de cob~e de Ea.gle (CANAVA) - - - - - - - - - - 55
* La.6 Reta.c..ione.6 Recu~.6o~- Re~e~va..6 - - - - - - - - - - - - - - - - 59
* La..6 .6imuta.cione.6 CONVZCZONALES - - - - - - - - - - - - - - - - - 66
* E~tudio Rea.t: Yacimiento de Nlquel de Pnony (Nueva. Ca.ledon..i~) - 11
Ejemplo de ~econocimi~nto .6ecueneia.t de yacimiento.
* E.6tudio Real: Ya.c..imiento de Fo.66a.to.6 (TOGO) - - -
Ejemplo de cont~ol geoe.6ta.dl.6tico de ya.c..im..iento.
* B..ibliogJLa.6!a.
- - - - - - 15
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.. \ í' 7 r' O T C S T ~ IN r •) r ·;S [CA - EL VA l<T O G R A ,1.f A
JVTf,~FRCTACIO;v VE WJA V.R.
* dt!.6.i.n-<-c.<-6n dl una Func.-i.6n A.fe.atoJt.i.a (F.A.)
una. F.A. e-6 un c.onju..1[to .i.nfl-i.n-i.to de Va.Jt.i.a.b.f.e.-6 A.te.a.:t.ofl.ia.-6 IV.A.),
ge.neJtalme.nte. no -<-nde.pe.ndie.nte..6.
- en c.ada. punto x del e.6p4c.io que J.>e. c.on.t>ldeJta, hay una V.A.
Y ( x) -> 0_~_1':E___A_L EATO ~0 de. .fa. V. R.
-en do.t> pun:to.t> x¡ y x2, .f.a-6 V.A. Y(x¡) e Ylxz) no J.>on .i.nde
pe.ndie.nte.-6 ~ a-6 pe.c.:to ESTRUCTURAL de la V. R.
El c.onjunto Y= t Y(x¡). Y!x2l. ---j e.ó .f.a. F.A.
* de6lnic.i6n de. .fa REALIZACION
- S e.a la V . A • X
Se. hace un tiJto: X=5 , valoJt paJt~ic_u.fa.Jt de. la V.A. X, e~ una.
Se hac.e. at~to tiJto: X=98 e.ó o~Jta Jtealizac.i6n pa.Jttic.ula.Jt de -
la V.A. X
- S e.a. .f. a F. A • Y
S e h 11 c. e u H ti Jt o : :J = [ ~ ( x 1 ) = 9 , :f ( x 2 ) = 1 2 , - - - J e .6 u na 6 un c...i ó n
nu..méJr.lc.a. .ttamada tLe.a ti za.c -i.6rz pa,or.:t-i..c.(daJt de. J:~a. F. A. Y
·s¡ J.> e. ha.c.e otno tL'i..o, J.> e ob:U.t:.~ne otJta. 6unc.i6n numéJtic.a., ge-
ne.Jta.lmen:te d{_6e.Jte.nte., o .óe.a ot~a. Jtea..f.i.zac.i6n de la F.A.
* Una V.R. e-6 una Jte.a..t-<-zac.-<-6n de. u..na c.ie.Jtta F.A. ~ e.ó .fa h..ipóte~.i.~
b~.6~c.a. que. ha.c.e.mo-6.
r~II.- 1NF[RENCIA ~STAVISTICA \ __ )
- V.A. X. A pa.Jttln de. urw .t>ola ·'te.a..t-izac.i6n de X, .e.ó impo~.ible
a..fc.anza.Jt .fa .te.y de. di6:tJtibuc.i6n de. la. V.A. X.
- F.A. Y. A pa.kt .. /.Jt de. una .t>ola. Jte.a..tizac.ión 1J'.:{:flx¡), :Jixz),---\
111.-
IV.-
e6 impo6ible de alcanza~ la ley tempo~al de Y o ~ea de de -
te~mina~ lo~ panámet~o6 p~obabill~tieo~ de Y
Neee~idad de haee~ h~póte~i~ compatible~ eon la ~ealidad ~l~iea
que ~e e~tudia a 6in de tene~ aeee~o a la ley tempo~al o po~ lo
meno~ a la Qante de la ley tempo~al ~ealmente neee~a~a pa~a lo
~~a~ nue~tno~ objetivo~
ESTAC'IONARIVAV
ESTACIONARIVAV
_.., 7'(:>t.+R.)
\
' \
VE LA
VE LOS
F.A. y
La~ eanaete~..[~tic.a~ e~tad1.~.tiea~ de la~ zo-
na~ A,B,C,V, Jan iguale~.
Hipóte~i~ nue~te que no ~e puede adm¡.t¡~ --
~.iemp~e en la p~áetiea
INCREMENTOS VE Y ~
No ~e eon~ide~an Y(x), Y(x+h) ~ino má~ ... bieYL el ine~emento {Y ( x+h)- Y ( x Jj.
... El ..i.ne~emento[Y{x+h)-Y(xlJe~ una V.A.
o
o
Hip6tetJié Int~inéee~ = lo~ inc.~emen.to~ ~on .. etJtaciona~io.6 o ~ea. C:f( x+hl- "Jl xl] e
Br(xo +h}- ~{x0 l] .6on. do6 ~ealizacionetJ de
la mi.6ma va~iable alea.to~ia ~(x+;)-Y(xD (o [v 1 X
0 +h)- Y ( X
0 l] eé igual)
La po~te de la ley .tempo~al que inte~eaa e4:
El mu,;¡ento de o~den E [Y (x+h) -Y-{x) S = m(h)
El momento de. o~de.n 2 v2 { [Y ( x+"tJ .:.y (,x) J 2 J = 2 't (h)
e
.<J
o
o
o
- 3 -
E.&-to.& momen.to-6 no dependen del punto pa.Jt.:t-iculaJt x -lJo> e.ótac-i.ona~t.idad ->
2 t!h} .óe llama el vaJt.iogJtama ~ e.ó la heltJtam.ienta b4.ólca de la
g ea e.ó :tad..l-6 U ca.
h e.ó un vectoJt del e.ópac.io que .óe con.óldelta, .óe deólne con .óu mó
dulo y .óu d.i1tecc.i6n. . ~
S<.e.mp!te, u.óaJtemo.ó ~ lh) o .óern.ivaJt.ioglta.ma..
V.- ESTUV10 VEL SEMIVARIOGRAMA. ANALISIS ESTRUCTURAL *.
Ve:te~mlnacl6n del .óem~va.Jt.iogltama
- V.R. de una d.imen.ói6n
.....
L 0(h}=_r
2(L-h)
V.R. de 3 d.imen.ó.ione-6. Se con.ó.idelta, de la m.i.óma maneJta, -"> -"> -">
lh 1,h 2,h3 ). -">
M4..s geneltalmen:te, h ~ep!te&enta.Jtd el veetoJt dee e.ópaclo que .óe -
-"> _.,.
(- .6-i.metJt-Ca ;)(-hJ= o1+h)
- 0(o)=O. -> ->
t(hl e.& una &unción cltec.iente de h.
* I~ot~opla - An~~ot~opla~.
Con~~de~emo~ un 6en6meno que ~e de~plaza en el e4pac~o con 2 d~-
men4~one4.
- Sea una d~~ecc~6n pa~~cul~ V¡
El 6en6meno e4 un 6en6meno de t~an4~c~6n. Su 4em~va~~og~ama ~e -
p~e4enta a4l:
t(~> o
:~~ ~~~ ~ I"d~~u.c.o..
Muelél.{ 1 /GEO- ¡ESTADisTicA o V - .o..
A Lc:s:vn.c.c...
1..
A pa~t~ de una c~e~ta d~tanc~a
llamáda alcance, el 4em~va~~og~ama
ya no c~ece = alcanza ~u ~eta.
Inte~p~etac~6n: 2 punto6 alejado~ de una d~~tanc~a mayo~ que 'a'
~e pueden con6~de~a~ como ¡ndepend~ente~. 2 punto~ alejado4 de una
d~~tanc¡a meno~ que 'a' t~enen co~~elac~one~ exp~e4ad~ po~ la pa~
V·
o
te c~ec~ente del 4em~va~¡og~ama. o La pa~te c~ec~ente del 4em~va~~og~ama exp~e4a lo que apo~ta la -
Geoe~tadl~t~ca. Emp~eza el dom¡n¡o de la E4tadl~t~ca cl~4~ca, lue ~
go del alcance (Independenc¡a de la4 V.A. Y(x) e Y(x+h))
Ademá4, el 4em~va~~og~ama cuant~ó¡ca la mane~a m~4 o meno~ g~ande
como 6e deg~ada la ¡nóluenc¡a de un punto·40b~e lo4 dem~4, en d~
cha d~~ecc~6n V¡.
- Sean ot~a~ d~~ecc~one6 Vz, V3 -
:!at~opla = ~~ el 6em~va~~og~ama e4 ~gual en cada dl~eccl6n, el
6en6meno que 4e e~tudla e6 ~66t~opo. El 4em~va~~og~ama depende -
nada má4 del m6dulo h= Vf h; + h~
o
()
o
C)
- S -
Ani~ot~op~a~ = ~¡ el ~em¡va~iog~ama p~e~enta d~6e~ente~ valo~e~ -
del alcance, de la me~eta)~egún la d~~ece¡6n, entonee~ la e~t~uc
tu~a del 6en6meno e~ an¡~dt~opd~.
a...l, a.~
~ Va~~ o gltama~
Y(x) depende de
Entortc.e~
Entonce~
Ejemplo en el e~pac¡o con
~ -p. h3 y queda con~tante en plano~ pa~alelo~ a {h¡,hz)
~ --:. '""t> -> o (h¡,h2,h3) = o lh3i
El ~ em-i.va~¡og~ama eJ.J ta. .6 u.ma de do-6 componente~ (í y 't. .. -,1 ¿
A vece.&, el modelo de an¡~ot~op~a puede .&elt muy complejo y hace~ ¡n
te~ven¡~¡_· a la vez la~ ani~ot~op~a.& geom{tJtica y zonal.
* E~t~uctu~a~ encadenada~
di6e~en.te (me.t~o, decena de
metno~, centena de metno~) ~e
g.f.oba.t
Ejemplo pn~ctico: Te~i~ de J. SERRA
(Ve~ Bibliog~a6Cal
Re~u.tta el ~emivaniognama una hennamienta muy adecuada a.f. e~tudio
de la~ e~tnuctuna~ geo.f.ógica~.
El compontamiento del ~emivaniognama al o~igen ~e6leja el g~ado
de negulanidad m4~ o meno~ gnande de la V.R. en el e~pacio.
Comp_ontamien.to - panabótico:
Alto gnado de negu.f.a~dad
E6ec.to de pep.tta d.t~continuidad en h=o
A.f..to g~ado de in~egula~idad
Compo~tamiento .f.ineaL
Conz-tnu.tdad en h=o
Ca~o .f.lm.tte Ca~o ALeato~.ta pu~o
o
()
o
(j)
- 7 -
Nota impoJz..tan.te:
En el ca~o i~6.tJz.opo, el ~emivaJz.iogJz.ama .tiene un de~aJz.Jz.ollo limi-
.tado al oJz.igen del tipo ~igu.i.en.te:
h= Vh1 + h~ +
azn, e , ~2n = coeóieien.te.~
~ di6eJz.en.te de un en.te.Jz.o paJz..
La continuidad de la V.R. e~ ligada a la paJz.te -{.,'!.Jz.e_g_ulaJz. del_de.~~...:.._
Jz.Jz.ollo.
* Geoe.~.tad~~~ea y e.~.tad~~t1ca clá~.i.ea
paJz..te. cJz.e.cie.n.te
CORRELACIONES
GEOESTADISTICA
t ----------------?> ~
No hay paJz..te eJz.ecien.te
CASO ALEATORIO PURO INDEPENDENCIA
'ESTADISTICA CLASICA
La E~ .tad-C-4 .ti ca. elff~ iea ¡ Va.Jtiable~ AleatoJz..i.a-6 I ndepe.ndien.te~) e~
un ca~o paJz..t.i.culaJz. de la Ge.oe..6.tadl.6.t.i.ca ya que la GeoeJtadl~tica
eneuentJz.a lo~ m.i.6mo.6 Jz.e.6ultado4 que la E~.tadl4.t.i.ea Clá6.i.ca en el
ca-6~ de un ~em.i.vaJz..i.ogJz.ama Jtedueldo a ~u me~e.ta.
VI.- EL SEMIVARIOGRAMA REFLEJA LAS CARACTERISTICAS ESTRUCTURALES
VE LA V.R.
- CONTINUIVAV
- ANISOTROPIAS
- FENOMENO VE TRANSICION
VII.- REGULARIZACION
No ~e conocen lo~ valo~e~ puntuale~ de la V.R. Y{x) ~.<.no lo~ va
lo~e~ p4omed.i.o~ dent~o de un c.i.e~to volumen v.
Y(x) ~egula~.i.zac.i.ón po4 Y v ( x) • ~ Yl~•y)dy el volumen v V V
pu"tvo..L JLegula.~.i.zada.
t o ~ea m4~ ~egula.~ que Y(x)
t '6 ( h) ~V ( h) Q
Se demue~t4a. la 6ó~mula. ~.i.gu.i.ente:
] tvlhl• j (lhnJ p¡,.¡ d~-}01"'1 p¡,.¡ d~
o ~ea. lav'hJ= ó•P- A
o
o
A e~ una con~ta.nte, el ~!mbolo • ~ep~e~enta. el p~oducto de convG~
•.<.ón. p·e~ ·la. 6unc.i.ón de ponde4a.c.i.ón a.~oc.i.a.da. a.l volumen v y P= P•P .
' .
o.
., ' '
En· . .e:a p!tá.c.t.{.c.á, !>ola .&e. c.onoc.e.· el ~>em-lva.Jt.{.ogtta.ma. expett-i.menta.l de
ta V • R • V v ( xJ .
. ·' e o r ta. ayuda de' líba.c.·ol.J'j -'/)e. pued~é 6á.c.Llme.nte. ae.du.ci.Jt d. e.' 't V { ií) 1 e.l ' - . . ,_ ' _.,:.: •. ~·'..!) ~~· --~ .
.&e.m.{.va.Jt-i.ogtta.ma. Q'(li) ··de. Y(x) o ~.Jea el .&e.m.ivaJt.{.ogJtama pu.ntu.ii.l qu.e. ~ • ¡ ' 1 ~ , - .. 1\ -,
e.~ la 'le.Ji de d.{.~pvi..6lóii ;[n.tiz..ln.6e.ca de.l t)e.nóm'e.no qu.e. ¿,e_··e.!>tud.{.a. , , 1 \ ~ ~ ~ ~ t \ '"; • ; .. •y
·V emo!> ai, 1 q u. e. la~· Ge.(Je.-6 tad-l.t> ti. ca·· 6 oJt..mali.za Jt...ig u.4ó.& amÚt:t;e. · '.R..li .ití 6.f.u.e!!_.
·c.-ia. del llopolz.te. 1J Út nóttmuld. ya me.nc.-ioñ.ada p_~Jtm.ite e.nc.ontlta.IL e.R.
.&e.m-iva.n-iogtta.ma··deJl~~ v::R. ,.ae.6ihlda~> ·~~b!Íe lo!> ··pa.ne.le.& de exp.f.o
·tac.ión de va1tia..t> tonelada.!>. ' . ' ~ ,")•,. '. - - ., ~ , .. "' ) ' ~ '
VIII.- PRINCIPALES SEM1VAR10GRAMAS·· •
--~. o
..
o
~ \ \ '~
• Se.miva.ttiogiLama. e..66éttic.o o e..&qu.e.ma de. MATHERON
',\':
..
·ca~·q:c.t.e.Jíiza lo.& t)e.ri6me;úJ.&, de.· .ttta.n.&ic.i6~ ...
Su e.xptte..&ión a.nalltic.a e..& (c.a.~>o i.66.tttopo): .. ,
' '. ' : ,, . ' ¿_; -·~
t~tJ ü(lh)=, e { ~ .! - o~~ ~o. ¿ a..
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a.lc.a.nc.e.
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S~·n :t·o~· .2 .óe.miva.IL.iD,91La.ma.6 má-6 U.óado!> e.n .la. pttác.tic.a. m.Úte.JLa.. t 1 ¡' ' \ ~ -
u
CONSTRUCCION VE UN VARIOGRtYA EXPERIMENTAL
Loa dato6 p~ovienen de {a 6lmulaci6n de una ~ealizaci6n de un va
~iog~ama lineal ~(h) =~lhl, hecha con una computado~a.
Lo~ dato6 ~on colocado6 en lo~ nudó~ de una ~et1cula de malla a.
Se calcula~á el 6emiva~iog~ama en la~ 4 di~eccione~ p~incipale~
o<= 1, 2, 3, 4 fJ po~ ·valo~e~ de h t.ale6 como a, 2a, 3a en la~ di~ec.
cione~ 1 fJ 2, aVi, 2a\[i, 3a'{i, en la~ di~eccione~ 3 y 4.
El ~emiva~iog~ama expe~imental que 6e calcula en la di~ecc.i6n~ e~
V (h) = 1 f¡ { [ J ( x¡+h) -/ ( x¡Q 2 J 00( 2
N;_(hl
-Jlx¡+h) e~ el valo~ de la va~iable en el punto expe~imental
(x¡+h).
-J ( x¡) e~ el vato~ de .ta· vaJLiable en el punto expe~imental
(x¡).
-J./.(h) e~ el núme~o de dióe~encia~ [J!x¡+h) - j¡ x¡l] c,r.
Se nota qu~ el va~iog~ama no e~ nada má~ que el valo~ pJLomedio de
lo~ incJLernento~ [J (x+h) - J (x)J 2 en la difr.e.cci6n o(.
El núrne~o de dato~ e~ tan pequeño que lo~ c.dlculo~ 6e pueden ha -
ce~ a mano.
Se di~eña~4n lo~ va~iog~ama~ expe~irnentale~ en cada di~ecci6n.
Qul conclu~ione~ ~e pueden ~aca~1.
o
ó
o
o
o
3 5" ~.-· .33 33 3t,. 3;i .35 :3":J. M ~' r . -
35 :15 35 33 ~1
- ~- -· . -35 3=1 35 3=J- 3~ 3S 35 41
\ ·.
-:· -. 3-T - l¡o .. '''lt1. 34 .36 41 34
,-
' - -- . --- -- 1 "'"' ~"' '4/ 3.3
35 42 ·- . a3 -it .
1 a.. 1
1 59 31 -4- ~- ..
Q.. .. ' So
L.o'~ .'_:nido~- .. de. la Jtet.<.eu.ta que. no tienen va.lo~·e.ó .ó o n punto.ó de.-6 e o-
1-noc.lda.ó •. En lo~ eáleu!o.ó de lo-6- va:~log1Lama.6 ·no .óe deben torndlL en
euent(t·. ·
• '¡-·¡
1,2,3 q 4 ~on la~ euat~o dl-
<
• -------(.?
o Vi.Jt.e.c.c.i.6n i.nc.Jt.e.me.nto riúme.Jt.o de. i.nc.Jt.e.me.nto.6 ro(·
Cll
. 24 4. 1 8 1
' a.
' 1 2a. 20 8.40 • 1 .
3a. 18. 1 3. o 3 . .
a. 22 4.25
2 2a. 1 8 8.69
. 3a. 1 5 1 o . 9 o -·
a.{2 : 19 5.02
3 2a. Vz 16 11. 90 o 3a.V2 1 o 1 7. 2 5
a. V2. 1 8 6. (,7 1
4 2a.Vz 14 11 • 2 5
3a. 1{2 1
8 15.4 4
!
Cua.dJt.o A
o
- Cualquie4a que 4ea la di4ección que 4e con~ide4a,oet com
po4tamiento del 4emiva4iog4ama queda igual. Se concluye a la i~o
t4opla de la 4egionalizaci6n.
- E4te compo4tamiento e~ lineal. Se puede aju~ta4 ehte he
miva4iog4ama expe4-i.mental ai modelo :teó4ico o(h} = wlhl
> ',,
,''•'
'"
o
o
o
o
o
o
- 1 5 -
LAS VARIANZAS VE LA GEOESTAVISTICA
OBJETIVOS
~ Va~ianza de. e.xte.n6i6n - Va~ianza de. e.Jtimaci6n.
¿Cudl e6 el e.~~o~ que. Je comete cuando Je eJtima la
ley media V(V) del uoldmen V po~ la ley media Y(v) del
- volúmen.v?.
En la p~ác.tic.a, Je c.alc.ula~á la va~lanza de. e.xte.n6i6n
del ba~~eno ce.nt~al al panel P.
~lanza de e.xte.n6i6n toma el nomb~e. de. Va~lanza de. e.Jtimaci6n.
No hay ~inguna dl6e.~enela conceptual e.nt~e. una vanianza de. e.xten-
*Va./Úanza de. d-i6pe.~.6i6n
¿Cuál e.J la va.~ianza de. .ta J....e.y de v cuando v tom,-: .to
da-6 laJ ubicac.ione-6 po6ibleJ de.ntko del volúme.n V?
E.óa va~,i.anza. .6e. llama Va!L.{a.nza q_~_dL&p!±~~.~-.;'... dent'ES de Y-·
S e e..6 c ~¡ b e. o·2 { V 1 V ) .
La GEOESTAVISTICA de.Jta.c.a e.tda6 do-!. va.Jt,{.a.nza-6 y la.-6 c.a.lcula..
VARIANZA VE ESTIMACION
E.6timaci6n del valoJt pJtome.dlo de. la. va~lable Y e.n e.l"votame.n
V po!L e.l va.lon pnome.dio del volumen v.
1 .,
F6Jt.mu.ta. ge.ne.Jt.a.l.
1 (Jz (V, V) = 2 Y (V, V) - yl V, V)~ r( V, V) •
-> ~ ilv, V) = va.lo·f!. piLome.dio de.l¡va.Jt.iogJt.a.ma. ó'(MM'l = d'"lhl c.ua.ndo· M 1J
M' de.~c.Jt.ibe.n, inde.pe.ndie.nte.me.nte. uno de. otiLo, M e.l volumen v y M'
e.l volumen V.
Ve. 6inic.io n~~ id€n.Uc.a.~ pa.Jt.a. y (V, V ).J Y ( v, v l .
Vic.ha. va.Jt.ia.nza. de. e.~tima.c.i6n de.pe.nde. de. 4 6a.c.toJt.e.~:
* la. e.~tJt.uc.tuJt.a. ~ubya.c.e.nte. del 6e.n6me.no que. ~e. e.~tudla., o ~e.a.
e.l¡va.Jt.iogJt.a.ma. ~(hl, puntual, de. la. va.Jt.ia.ble. Y- -
* la. ge.ome.tJt.~a. de.l volumen V que. ~e. e.~U.ma.
- - Ólhl
-- --6'1 V, V)
* la. ge.ome.t~t1a. de.l volumen v que. ~i.Jt.ve. a. la. e.~tima.c.i6n -~v,vl
..
o
* la. ge.ome.tJt.Ia. Jt.e.la.tiva. de. lo~ volume.ne.~ v y V - - - - ~(v,Vl ()
Aplic.a.c.i6n p~tác.tic.a.
Se. ha.c.e. la. e.~U.ma.c.i6n c.on la. a.yuda. de. i = 1,N in6o~tma.c.ione.~ e.xpe.
Jt.ime.nta.le.~ Yi di~ponible.~. Se.a. v,¿ e.~te. conjunto e.xpe.~time.nta.l.
0"2 (u.,:, V) = ~ f }t~..:-yJ dy - }~tt- x-y) dx dy - k~ 1~ x..:-x¡
VARIANZA pE VTSfEBSUlA!
Se. de.6ine.n Jt.igu~to~a.me.nte. la.~ va.Jt.ia.nza.~ de. di~pe.Jt.~i6n ~iguie.nte.~:
(.
v e.~ un punto que. ~e. nota. O cfl. ( v 1 V l c.ua.ndo ·
v e.~ ta.l que. V=~· vi,. c.on {v ,¿ = v -<. · V·f"v·= ~ ..(. .,
Lo~ Jt.e.~ulta.do~ má~ impo~tta.nte.~ ~on:
O"ltotvJ. J..[~ytx-yl dx dy = ptv,vJ
---~--------
o
o (.2)
o
o
- 1 7 -
0'2 (v/V) = _1 jjylx-y) dx dy--+ ( Qlx-yl dx dy = QIV,V)-
v2 ·v v v J./11'" ¡(v,v).,
Una. va.Jt..i.a.nza. de. d.L6pe.Jt.J.Ji.án de.pe.nde. de:
l;t .ta. e~.>:tJz.uc.:tuJt.a. J.Jubyac.e.n:te. o ~.>e.a el¡va.Jt..iogJt.a.ma. Yth}
J¡!¡ la. ge.ome:t!Ú.a. delvolumen V - - - - 0 (V, V) _..
la ge.om~tft.~a. del volumen v - - - - ~(v,v)
La va.Jt..ianza de d-<.~.>peJt.J.J.i..án no depende de. la ináoJt.ma.c.-<.án d.i.~.>pon-<.b.te.
Ca-6 o pa.Jt.Li.c.ula.Jt. = V no e.-6 una. pa.Jt..:t.ic.-<.6n e.xa.c.ta. de. v, peJt.o .la. d.i.
men~.>.i.án de. v e..& muy c.h-i.c.a en c.uan.to a. la. d.i.me.n~.>.i..6n de V
La 66Jt.mula !2) queda vál.i.da.
1 cJ'l ( V 1 V } = ff'l ( 0 1 V ) - ú2 ( 0 1 v )
y .tamb-i.ln
1 o·2 ( v / V ' ) = 0'2 ( v 1 V ) + ú2 ( V 1 V ' } }
LA ESTIMAC10N VE LAS V.R.:
FORMULAS VE APROXIMACTON
S-i. la -Ln6oll.mac.-i.6n d.L6pon.i.ble e.6 muy nwneJt.o~.>a. y de -i.mpla.n:ta.c.-i.ón
m.<. no
ú'l E .6 .:t
geoe~.>:tad~~;(;.¡c.o, ~.>opok:te~ d-L6e.Jt.en.:te.6, la. 6óJt.mula.
= 2 w t J f. X_¿- !J J dy - ]_ 1 ('((X- y) dx
V v2 vfv~ ." •
J:zJI j:tJ dy - 1 .2: ;f.. cr X ·- X~ Ni b.¡. J~ .(. tt
no e~ 6ác~! de calcula~. Lo~ p~~nc~p~o~ de ap~ox~mac~ón ~~gu~en-
te~ pe~m~ten ~aca~, en !a~ ap!~cac~one~ p~áct~ca~, va~~anza~ de ()
e~t~mac~ón ~ep~e~enta~va~.
METOVO VE APROX1MAC10N EN EL ESPACIO VF UNA V1MENS10N
(1) P~~nc~e~o de co~~e~pondenc~a
Et¡va~~og~ama (lh) adm~te a !a vec~ndad de! o~~gen un de~a~~o!lo
!~m~tado cuya 6o~ma ana!!t~ca compo~ta té~m~no~ en h de potencia
p~ (pa~te ~egu!a~) y té~mino~ de potencia impa~ má~ té~mino~
en !ogh (pa~te i~~eguta~) o ~ea:
.({lh) =~q.2 h2n +~e ( +'!i:t2 h2n !og h ~ n . }\" IJ\. n _
pa~te.~ ' pa~te~~~eguta~ '
+a cada té~m~no de ta pa~te i~~eguta~ ~e puede a~ ocia~ un té~mino
de ta va~~anza de e~timac~ón. .
+ ta pa~te .~eguta~ no ~nte~v.i.ene en lo~ cálculo~ de la va~ianza
de e~timación
. Ejemplo
E~timac~ón de ta ley media de un ~egmento (una gate~la en la p~4~
t~ca) po~ una mue~t~a cent~a!. ~e )
va~anza de e~timac.i.ón ~~gu~o~a
Entonce~ ~e ve que
a! té~mino h te co~Íte~ po nde el té~mino a de O"~~t . 6
" " h2 " " o " " " " h3 " ·" 3 -8. a3 "
" " h2.togh " " .:o.o7385 a2 "
o
o
:o
o
o
79 -
Vominio de validez de. e.~te. p~lnelplo =malla~ pe.que.ffa~.
(2) P~lnclplo de compo~lel6n.
* 'fun'clone~ au.xilia~e.~
X(a.)
f(a.)
= k[txldx = ~~" ;r·r' x-y)
Oó
ax dy
*Va~lanza de e.xten~l6n elemental
c.. ' " ~ ... CP.21 ... ----~ ' '
,,.
mento po~ el valo4 ~n·el punto cent4al
· * · P~lnc.lp).o ·a e· c.ompo~.(c.i6n.
Se e~t).ma el valoft pftomidio de la Llnea .,
poft e~ conjunto de_N mu.e~tfta~ c.ent~ale.-6
El p4lnc.lplo admite. qu.e. lo~ e~ftofte.&·e.le.me.ntale.-6 4on independien
te.~; _pue~ la-va~ianza d~ e.4timac.i6n 6l~~l de la.llne.a poft N-mu.e-6-
t.Jt.a-6· c.iut.tftale.-6 ·e.-6 'Zgu.al a la vaftian'za ·de e.xte.n.6l6n e.leme.n.ta.l divi
dida po~ e.l núme.~o ' ,_, \~_ ; .
de. mu.e-6 t~a-6 •
, [o-iH = 1. 2 1 t 2 X ( ~) - F (a) 1
1 (JExt =
N Ñ
Compaftaci6n de. lo& 2 p~ineiplo-6: "
a pequeño ~lo~ 2 ~~inc.).p-{.o-6 ·:6 o n -e.q u.ivale.nte.-6
a g~t.;q.nde. -?>.6_olame.nte. .óe. debe u.~alt. el .óe.gu.ndo p~lnc.ipio·
a...
'. - 20 -
o METOVO VE APROXIMACION EN EL ESPACIO VE VOS DIMENSIONES
* Funcione~ auxiliane4 de dob dimen4ione4
b
A i -~s----p 1 (l..
1 1 l> . M '1/
c.. ..--~~~~\-,----.
H
F(b,al F(b,a) =. O(ABCV,ABCVl
A 8
Q(b, ") ::=_, ~/1-c. ....... ~ ... ~ Q(b,a) = 0 (AV,VC) =(((B,ABCVl
*Vanianza de exte~ión de un 4egmento mediano a ~u nectán-
gula de inóluencia. ()
b -- - --- ->
<L( 1 ( e J>
Se 4upone el 4egmento mediano pe~6ecta
mente conocido
(7) Pnincipio de compo~ici6n de tlnmino4 de llnea y de banda.
. .,. 1
'~
h· L 4--------'> "
( -y- . .
El yac¡miento 4e compone de un conjunto de
N nectángulo4 (a,bi), ~iendo cada nectán
gulo neconocido pon unah mue~tna4 implant~
dah a malla l en el hegmento mediano. Se -
nece4ita la nelaclón ~<a.
o
o
o
o _,. 1
c:a... ..,
b
' ''
- 21 -
' '
Se eonoc.e t..otamente una, -e-~.timac.i6n de c.ada l.lne.a b_¿. ,La. va -' .o;: ' 't ~ p. ' ~ - • ' • •
'!.. ' ~ .... ~~. .. l: 4' . ' ~ ' ~t' , t 1
' t. ,"'. : ':."' ... • •
let. é.onJ.t .. C.tuye el :tf.Jtm-i.-no de. l.lnea.. - ·'
Si N' Jtep_Jr.e..se·nta. e.i! núme.Jto de. mue.h.tJ~a.-6 de. .toda.h lah Llnea.h bi, el
Ttnmino de banda.
~----"""'1 Se .óupone.n lat. l.lne.a.-6 media.na.f.l pv:.6ec..ta.men
.te c.onoc.ida.J y Je admite que..lof.l e.JtJtoJte.6 -
e.le.me.n-tale.J de e~.>.t.ima.c.i6n de c.a.da. Jtec..táng~_
lo poJt hu l.lne.a. mediana. ~on inde.pend.<.e.n.t~f.l.
Pon .tanto el .tlJtmino de banda e.J:
c.on N= númeJto de Jtectánguloh
La· valtianza. de. e.:6.t.ii'na.c.ión total e.J la. Juma. de. e.ó . ..tob 2 .té.ILmúwh t.u.-
pue.~.to.ó inde.pendiente4.
{ 2:). P:.'tinc..i.p.i.o. de c.ompo.6).c.i.6n en el c.a-6 o de u. na malla. c.ua.dttada: o -
Jt·e. c..tang u.la!.!:,.
~ -- _,. La. va.Jtianza. de. ex.ten4ión é.leme.n.ta.·l de. un ba.-
1 0· o O· o
l. ~ e. S CD
kneno a 6u. nec..tángulo (o ·c.ua.dna.do) de .i.n6~u.e~
c.ia. e6 : 0'~-x.t = 2 Q. { ~, ~ ) - F (a., b) •
'·
.. - 22 -
La. va.Jtia.nza. de. e..6ti.ma.c.i6n e_¿,: o 1 LT~u = L_{_2_Q._,_T_' _}_)_-_F_' a._,_b_J J __ donde. N Jte.pJte..6e.nta. el -
náme.Jto de ~ec.~~ngulo.6 o c.ua.dJta.do.6 que. componen el ya.c.imie.nto.
o
o
' 0
o
o
o
t:
VARIANZA dE-·'ESTI MAC ION
<- - - - -~ -- - -).
- 23 -
' '. APLICACION PRACTICA
) ' '
E.t/.te e /elt·c..tc.:ta'·· U ene po IL · o'b j e.to c.a.lc.~la.IL ..... ~ .. ~ ~ ... ·-"' .. ,-
la. va.IL.-La.nza. de e-6-t-Lm'a.c.-Lón {o va.JL-La.rtza. de
'ex. te n.6'.i in e-l~meni~.i): del .6 egme n.to de lo n
g-L.tud 'a.' -polt:
- .6u mue-6-tiLa. c.en.t!Lal---? v:a~+anza de e-6-t-Lmac.-Lón -~~
- 2 mue.6-t!La.6 C.Oloc.ada~ en .6U.6 ex.t!Lem,Ldade-6 ~Va!L,La.nza.·de • ' l • ,' •, . ''- ' ' ~ 2
e-6 Uma~',[6n .(J E ...
· Se· eóe~tu~Jt~n lo-6 c.álc.ulo-6 c.on el Jem-Lva.Jt.i.og!La.ma. 0 !,h_) ~
= h (O( Á(2)
·Y Je c.ompa!La.Jtán lo-6 JteJultddoJ ob.ten.i.do-6 Jegan va.Jt-Lo-6 va.lo~e-6 de~.
*
A F(a.)= 2a
. . ~ X(a)-é :a.
A.+ 1
..\ · 2a
dh
m- ~ +1) 11\+2)
'Cálc.ulo de ~
, ...,, ---ew----tr ~ ---- -.---~
o
- ... En eJ.te c.aJo, 6e ha. ob:ten..i.do la 661Lmula. geneiL"-l
c72 = 2 X E a. "[ l - F(a.)
A
- 'l4 -
A con el ~emiva~iog~ama ~(h)= h , ~e obtiene 6ácilmente
ci~ = 'l. a
z" (A+ 1 l
2 Cálculo de erE,
.A 'la
(.A+ 1 J { A+ 'l. )
,\ = 'la
x+T
2 2"'Á 1 1 O' = "'- {- - - ) E J:+T 2A A+2
1 1 l-:x---) z-· ..\ +:l
Se u~a~á la 66~mula gene~al
o
• - _1 j' {t¡ x-y) dx dy -414( X.<.-xj
v'l Vj~ N
<.-- - - - ---)o a..
N=2, núme~o de mue~t~a~
V=a, longitud del ~egmento
Calcu~emo~ cada té~mino:
Po~ tanto, ~e obtiene: 2 (!E~t =
..
2 X(a) - F(a) - .}'la) 2
o
o
o
o
o
- Z5 -
A ~(h)=h, v-iene
).. }. " l. >. a. , = 4 a. { A + 2 ) - 4 a.- ( >. + 1 ) ( >. "+ 2 l t:c =· .. a. (" - 2 ·1 {A + 7 .J (!2 = E"' -(.>. + 1 ) ·[ >. + 2 ) 2 2(,\+7)[..\+2) 2{A+7)(}.~2)
'> ~ '' ' '
X =1
X = 3 2
'A =1 2
Co nc.lu-6 .io ne-6
-- --~ .. '
2 :(J E ~ a.
6 2 O' E,= a.
6
el· E = o •. 054
2 (JE,~0.071
(!2 o . 4 1 = E
(J?. -E""- 0.31
a.3/2
a. 3/2
a. 1/2.
a.l/2
1 '
1 2 ) : ~
} az 2 E = qE"'
J (}2 2 E <erE ...
} 2 2 ·(J E""< O' E
Lo-6 2 mue.6~~eo.6 dan la. m.i.6ma. p~ec..i.ó.i6n
:1 . \
' • ~ J
' '0
'2 2 Ve una. ma.ne~a. gene~a..e., . .6 e o.b:U.ene (JE < erE,, p .6 ea..,
la. mue.6:t~a. cen:t~a.lJ ún.ic.a. pe~o mejo~ c.olo.c.a.da. .. p~o·poJL
c..iona. una. pltec..i-6-ión mejo~ q.ue el c.·orzjun~o d·e la.-6 2 -
mue-6-t~a.-6. Cabe ha.C.e~ no:ta!C. que en :ta.l ·c.a..t,.o, :?~ :e.6tltu~
:tulLa. .6ubya.cente e-6 mu.y Jtegula.~ y .el Jem.ivaJt.iog-'l.ama -,1 '
;t-iene u.n c.ompo.IL.ta.m.ien.to al o~.igen pa~ec..ido ~.e. pa:!La-
ból.ic.o.
Se obtiene en óoiLma gene!Lal el ~e.6uitado c.o~t~a~.io -
2 2 a.e. p~ec.eden.te .6ea (JE'-<:.O'E. Lo-6 .óem.iva~.iogiLama-6 c.o --
~~e.ópond.ien:te-6 c.a.~ac.:tell..iz~ una eJ.t~uc.tu~a má-6 alea
:to~.ia., a-6-l t?Ue ~e.óulta má-6 .impo~:tan:te el núme~o - --
- 26 -
de mue~t~a~ que ~u ~mplantac~6n.
En e~te ejemplo, vemo~ que la .po~~c~ón y el núme~o de mue~t~~~ no hon
lo~ ún~co~ 6acto~e~ que toma en cuenta el cálculo de la va~~anza de -
e~t~mac~ón. Zmpo~ta mucho el t~po de ~em~v~~og~ama o ~ea, en o~a~ -
paiab~a~, el g~ado de ~egula~~dad y de cont~nu~dad de la e~~uctu~a -
~ubyacente.
/
<>
o
o
o
o
o
~
o
-. 2 7 -
PRACTICAS VE FUNCIONES AUXILIARES
Sea P un panel 4ectangula4 de ley med¡a de4conoc¡da ~ .
Se 4upone que P 4e coloca dent4o de una 4eg¡onal¡zac¡6n ¡~6t4opa
de 4em~va4~og4ama y
A ..---------,,.& 1 1
f' ¡a..
1 ~ J>~---~--~~
El p4oblema e4 de calcula4 la~ va~~anza4 de e4~mac¡6n de P en
.
l 0' +----&[ .
r l
I [ J
Panel 4eco~oc¡do po~ un 4ondeo cent4al
Panel 4econoc¡do po4 uno de 4u4 e~t4emo4
Panel ~econoc~do po4 4u4 4 ext4emo4
Pa~el 4econoc~do po4 2 gale4la4 a lo la4go
de lo4 !ado4 AB y CV
b ~
- 28 -
s~ u~a4án la~ 6unc~on~~ aux~l~a4~~ ~igu~~nt~~=
Q.
b
0..
~
b
~
~
rb(a)= valo~ p~om~d~o d~ 1rx-y) cuando X~ y
d~~c~~b~n ~nd~pend~~ntemente lo~ 2 lado~ pa~ale b -
lo~ de longitud d~l ~~ctángulo a x b.
Xb(al= valo~ p4om~d~o de ~(x-y), cuando x d~~c4i
b~ b ~, indep~nd~~nt~m~nt~ d~ x, y d~~c4ib~ ~l
4~ctángulo a x b.
a.. 1 :---)-
F(a,b)=F(b,a)= valo4 p4om~d~o d~ ~(x-y) cuando
x ~ y de~c4ib~n ~ndepend~~nt~m~nt~ uno d~ o~o
~l ~~ctángulo a x b.
b
:2:-la-
Q(a,bl= valo4 p4om~d~o d~ ~(x-y) cuando x d~4c~i
b~ un lado d~ long~tud a ~ y ~l lado d~ long~
tud b, o tamb~ln, cuando x d~~c4ib~ ~l ~~ctángu
lo axb ~ y qu~da ~n cualqu~~~ ~xt~~mo.
La~ va~~anza~ qu~ ~~ bu~can ~~ exp~~4a~án con la ayuda d~ ~~ta~ 6un
cion~~ aux~l~a~~4.
Nota
P4opon~mo4 d~ ~4tud~a~ cada itF,F 1), valo~ p~om~d~o d~ t(x-y) cuando
x ~y d~~c~~b~n ~nd~p~nd~~nt~m~nt~ uno d~ ot4o lo~ conjunto F y F.',
d~ la man~~a ~~gu~~nt~: •
~( F, F 1 1 = ~1 r r · FF 1 )F)F 1 0!x-y)dx dy
FF 1,. f! F, F 1
) = j ;;, ¡-!x-y 1 dx dy = S ( F, F 1 )
La l~nea~~dad d~ S( 6F' J p~~m~te d~~ compon~~la ~n ~l~m~nto~ md~ ~enc~llo~ q fiác~l~4 d~ calcula~.
C>
o
o
o
o
o
o
- 29 -
SOLUCION
U~a~emo~ la 6ó~mula de la va~~anza de e~t~mac~ón
O~~ t ( F _. F' ) = 2 'j ( F, F' ) - ~ ( F, F) - -¡ ( F', F' )
Q) F' = ~ondeo cent~al, ~ea un punto
F = ~ectángulo a x b
~i(F,F')= 2 Q( a/2, b/2)
i(F,F)= F(a,b)
~(F',F'J= O ~~-U-~-=--2 __ Q_l_a_/_2_,_b_/_2_l ___ F_(_a-~-b~! 1
@ F' = ~ondeo
F = ~ectángulo a x b
-C(lF, F') = Q(a, b)
~(F,F)= F(a,·b)
ÍlF',F'}= O ~~U-~--=--2_Q_(_a-,b-)-----F-(a-,-b~l~
(]) F' = 4 ~ondeo~ .6ea 4 punto~
F = ~ectángulo a x b
ÍlF,F') = 1 f~~tj"ytx_¿-y)dy} 4iOli F · trf,F'l = Q(a,b)
V x-é. 1 j t ( x _¿- 1J ) d y = Q ( a , b ) lí"D:: F
l{ (F,F) = F(a,b)
~ (F' ,F') =_7 ~ ~}t(x_¿-Xj)=_7x4 rO(oJ+((b)+r(m.)+~V'a2+bzlJ= 47[ttbJ+((a.)+'/(~_~ 76LcJ 16 Ll .
- 30 -
0 F' = R.o-6 2 R.ado-6 de. R.ong.Ltud b
F= e.R. ~e.ct~ngulo axb
~(F,F' 1= 1 1 f~(x-yl dx dy IAB+VC 1• F F
AB+VC
(AB+VCI. F. 'itF, F' 1 = ( ( o!x-yl )As)F
dx. dy + r r if' x-y) dx dy JvclF
J(B); Q(x-y)dx dy = AB~F-Xb(a) ~C): r(x-~)dx dy = VC(FKXb (a)
e.nto.nce.-6.• '8(~,F:) = AB"F~tXb(a)+VC.xFxXb(a) = 2bXb(a) = Xb(a)
2b (AB+VC)~F
O (F,F) = F(a,b)
~·(F',F'l· = 1 ( ( 0 tx-y)dx dy
• ' (AB+CV)2
)AB+CV}AB+CV
(AB+CV) 2 8!F',F') = ( ( + 2(( ,( ( = 2
( ( + 2
( ( · lAslAs iAslcv Jcv/cv _lAslAs ~Asfcv
gtF',F')=
= 2 b2 Fto:bl + .2 b 2 rb(a)
2b2 F!o,bl + 2bi (b.r& = 1.. ( F!o,bl +ob!al} '2
4b2
<>,
o
o
o
,,..
Q
o
o &._ ... 3o"" ~ --)> .
a .. •
• . .
- 31 -
ESTIMACION GLOBAL VEL YACIMIENTO VE ITY - MONT-FLOTOUO
E.6:tu.dio Jtea.l
PJte.6en:ta.ci6n del e~r.oblema.
El yacimiento de ITY e.6tá con.6titu¿do polt una coJtteza au4l6e~ta de
late~r.ita y aJtcilla con una. potencia. que va.Jtla. en:tlte 3 y 5 m.
El Jr.econocimiento .6e hizo polt medio de una Jted de ba.Jr.Jteno-6, Jtec
ta.ngula.Jt, con .6epa.Jta.cione.6 de 20x30 m. Cada. ba.Jr.Jteno 6ul mue.6tJtea.
do a lo la.Jtgo de:la potencia mineJta.liza.da..
~L r N
2
. .. .. . . -~ •
. . 1
. . . G . • . . . ~ . ... o
. . • . .. + .. -+----t-----i--.f.---?---+---!~--~>---+--
• ~ t- ~ •
La loca.li.zaci6n de lo-6 ba.Jr.Jteno-6 p~ .6i~vo.6 (e-6 deciJt en lo.6 cuale.6 .6e obtuvo mineJtalizaei6n} .6e indica. -en la Fig. 1. La .6upeJt6icie que .6e con4ideJta mlneJtallza.da e-6· de.llmi:ta. da polt e% contoJtno poligonal obtenido polt la Jteuni6n de todo-6 lo.6 -"adoquino-6" de 20x30 m2 po.6l:tlvo.6 • Ae N.W .6e nota. una .laguna de mlneJtaliza.ci6n. Hacia. el NoJtte, .la mln~ Jtallzaci6n e.6 ba.6:ta.nte iJtJtegulaJt y la.-6 zona.-6 de in6luencia pueden .6elt objeto de di.6cu4i6n.
. .. "'
. + . . .... .. ....
u I n: 1IC. N
~
. .
. . Y. .71
.
.
En el ca.6o de e4:te pequeffo yaclmle! to, la geologla no puede de6lnl~-lo-6 .llmite-6 de la. mine~a.llzacl6n. -En lo que .6e Jte6i.eJte a. la ~.6:ti.ma.ci6n de la .6upeJt6icle mine:l!.a.lizada., -el -pltoblema e-6 de calculaJt la. va.Jtlanza de e.6timaci6n a. paJt:ti.Jt de una. Jted Jtegula.Jt: e.6i;a.mo.6 pue-6 den:t:z.o del domin.<.o de la apl~~a~l6n de la Teo~r.la Tltan.6l:tZ va..
-,:J ' -
La va~~able ~eg~onal~zada que 4e e4tud~a e~ la a~umulac~ón ~ela~ ()
va a(x) (7). a(x) e4 la acumulac~ón med~da en el punto x.
Se tiene a(x) = p(x) x t(x)
donde p(x) ~ep~e4enta la potenc~a m~ne~al~zada
y t(x) la ley de la mue4t~a.
a e4 la acumulac~ón med~a obten~da con lo4 n=58 ba~~eno4 po4~Uvo~.
a no e4 ot~o que el e4t~mado~ de la acumulac~ón med~a- A ~eal, de~
conoc~da del yac~m~ento, dent~o del conto~no pol~gonal S*.
El valo~ a= ta(xil no e4 comun~cado po~ ~azón de d~~c~ec~ón, pe~o n
e~to no a6ecta nue4t~o e4tud~o. Solamente, la~ va~~anza4 de e~Zi-
mac~ón que vamo4 a calcula~ ya 4e~4n va~~anza~ ~elativ~:
v2 [a·( x)] = v2 [ a( x)J= (j~ a2 a J -r
a
Con lo4 n=58 ba~~eno~ po~~üvo4, ~e obtuvo el ~em~va~~og~ama N-S
de la~ acumulac~one~ ~elat~va4:
h
20 m 40 60 80 100 120 140
Y*(hJ 0.64 0.98 1. 00 1 • 1 o 1. 15 1. o 5 1. o 2
o* (h) = 2N(h)a2
La va~~anza a p~io~ de nue4t~a V.R., o va ~~anza ~elat~va de la~ acumulac~one4 dent~o
de todo el campo m~ne~al~za~o (S*) 4e e~t~ ma a pa~ü~ de lo4 ba~~eno4 a ~2 = 1,0 Se ve~~6~có la ~4ot~op~a ap~ox~maüva de
~* ( h).
(1) de un p~oblema con 3 d~me~~one4 (e4tud~o de la ley), pa4amo4 a
un p~oblema con 2 d~me~~one4 (e~tud~o de la acumulac~ón) = ejemplo de la ope~aci.ón de 4ub~da que no mod~6~ca l~ 6ó~mula4 de la~ Va~.ian
za4.
o
o
o
o
o
-33 -
Se bu~can:
(7) La e~~~mac~6n de la ~upe~óic~e m~ne~al~zada con la ayuda del
con~o~no pol~gonal~
(2) La va~~anza 4ela~va de e4~~mac~6n de e~~a ~upe4ó~c~e, ~ea:
~2 5
s2 (3) El aju~~e del va~~og~ama expe~~men~al a un modelo. Se p4ec~-
~a~dn lo~ pa~dme~~o4 ca~ac~e4l~~co4 (efiec~o de pep~~a, me-
4e~a, alcance).
(4) La va~~anza ~ela~~va de e4~~mac~6n de la acumulac~6n med~a
en el ca4o de que el campo m~ne~al~zado 4ea del~m~~ado e6ec
~vamen~e po~ el con~o~no pol~gonal. E~~e cdlculo ~e ha44 -
de do~ mane~a~ dióe~ente~:
A)U~l~zando el p4inc¡pio de compo~¡c~6n de lo~ tl~m~no~ de
llnea y de banda.
B) u~¡l¡zando el p4¡nc¡pio de compo4~c¡6n de la~ va~~anza~
de ex~en6i6n elementale~.
tomando en cuenta el eáecto de bo4de, deb~do al e44o~ que ~e
comete en la e~~maci6n del campo e6ec~vamente mine4alizado.
(6) La va~ianza 4elativa de la e~timación global de la can~dad
de metal.
-34 -
( 1) E.6.timaci6n de .e.a .6upe1!.6icie mineJtalizada con .e.a ayuda de.e. con- O .toJtno,p_o!igona.e..
S*= niJ-& = 58x.20x.30 • 34800 m2
' (t) Val!.ianza Jtela.tiva de ~.6.timaci6n de e.6.ta .6upe1!.6icie.
Se 4dmi.te que !a.6 dil!.eccione.6 ~l!.incipale.6 de ani.6o.tl!.opla .6on la.6 -
di1Leccione.6 de .e.a l!.ed .6ea NS y EO. En e.6.te ca.6o, .6e puede apLical!. -
· la 661!.mu·!a . .
~~ • n2
[ 0.167 N2 + 0.061 ~:2]
• n indica el númel!.o de !o.6 bal!.l!.eno.6 po.6i.tivo.6
• 2N1 y 2N2 ind~~an !o.6 númel!.o.6 de !o.6 e.e.emen.to.6 pal!.a!e!o.6 a cada -
uno de lo.6 eje.6, con.6.ti.tuyendo e.e. con.toJtno po!~gona.e., .6in olvidal!.
!o.6 de .e.a .e.aguna. N2 e.6 e.e. má.6 pequeño de !o.6 do.6.
Aqul .tenemo.6:
en .e.a dil!.ecci6n N.S.
en .e.a diiLección E.O
poi!. .tan.to N 1 = 2 2
N2 = 1 O
2 N= 42+2= 44
2 N= 18+2= 20
q~ • 5
:2
• [o.167x10 + 0.061 x ~~~· 0.00137
s2
(!2 = S
s2
o • o 11 37 .6 ea O"s = ~ s·
0.031 ~S = 0.031x.34800= 1300 m2
A.6.(. .6ea un l!.~e.6go de 75% .6egún la .e.ey nol!.ma.e. (P [s<S*- O"'sJ }'
.6e obtiene S )s*-O"s = 33500 m2
o
o
o
lr(h)
o."' o .. 6
() \_ ~-v
o . .z.
o
-35 -
Nota ~ela~va a la ~ed de ba~~e~o~.
La..6 .6em.iva~.ia.c.ione~ d.iamet~a.leó .6on:
en la d.i~ec.c..ión N.S.: V¡ = N¡b¡ 22x.20 = 440 m
- en .e. a. d.i~ec.c.-(ón. E.O : Vz = Nzbz = 10x30 = 300 m
Al lado m~~ la4go de la ned .le c.onne.6ponde la van.iac..ión d.iame:t4a.L -
m~.6 pequeña 12Vz). Pon lo :tanto ~e ve que e~:ta ned n~tangula4 no 6ul
la a.dec.ua.da. y que hub.iena. .6.ido mejon una. 4ed c.ua.dn.ic.ulada.
(3) Aju.6te de¡*(h) a un modelo.
,r• --e. ... ,,
Pa4~me~~o6 del modelo
Se p~oc.ede a un ajuJte ~de v.ióu". El-c.kec..im.iento muy ~~p.ido del va.~.iog~a.ma. -expe~.imental no.6 lleva a ajuóta~lo a un e4quema e46é~.ic.o c.on e6ec.to de pep-ita..
0rhJ=ro ·D~~:-~---~~~-~~I __ ~~::: h e6ec..to de
pep.i:ta.
- e6ec.:to de pep.i:ta. Co: .6e e~:t.ima la :tangente al o4.igen del eó
quema po4 lo.6 2 p4.imeno6 punto6 expen.imentale6 (loi mejo4e.6 c.onoc..ido4).
p = 0.98 - 0.64 = 0.017 20
Ex:tna.polando al eje de laó ondenadaó, óe ob~ene Co= 0.30
- Meóe.ta: óe eó.t.ima la me6e.ta a Co+C = 1.05, 6ea C= 0.75
Sab-iendo que la tangente al o4i¡en al eóquema de Mathe~on c.o4:ta la.
meó e.ta en un pun.to de a.b.lic..i.6a. i.gual a. lo.6 213 del a..tc.a.nc.e
2/3 a = 44m ::::} a.= 66m
() El e.6quema queda pue.6 c.ompletamente de6.ini.do.
PJtobe.mo-6 .6i la. va.Jtia.nza. a. p!tiolli (!2 ( 0/S*) c.oltlte..6pondie.n:te. a. e..6:te. - Q modelo .6e. a.c.e.Jtc.a. a. la. va.Jtia.nza. a. p~i~~,¿ e.xpe.~ime.n:ta.l. Polt e..6o, le. da.
la. 6oJtma. a. la. .6upe.Jt6ic.J..e. mine.Jta.lJ..za.da. de. un ~e.c.:tángulo 200x240 m2,
.6e.a., ya. que. a.=66 m, a. un Jte.c.:tángulo 3a.x3,6a..
q2 = F(l,~l = o.30~0.15x0.95 c.on la. ayuda. de.l ába.c.o de. la. 6unc.J..6n
de.l e..6que.ma. e..66lJtic.o.
Pue.-6 a2 = 1,01 va.lo!t muy c.e.Ac.a.no al va.lo!t e.xpe.Jtime.n:to.l. 1,0. En:ton
c.e.-6 .6e. pue.de. c.on.6J..de.~a.Jt que. e..6:te. a.ju.6:te. e.-6 c.o~Jte.c.:to.
No:te.mo-6 e.l e.6e.c.:to de. pe.pJ..:ta. 6ue.Jt:te.: Ev Co = 0.3 = 0.4, lo que. e.-6 -e o-:rr
no~ma.l po~ un ya.c.J..mJ..e.n:to de. olto.
(4) Va.~J..a.nza. de. e..6:tima.c.i6n·de. la. a.c.umula.c.J..6n me.dia..
Se. .6upone. a.qul que. la. .6upe.Jt6ic.J..e. ~J..ne.Jta.lizo.da. e.-6 conocida.. Se. c.onoce
e.l e.6:tima.do~ a. d~ la. a.c.umula.c.J..6n media. A ~e.a.l, de.6conoc.ida.. o. e-6, - ()
po!t e.je.mplo e.l pltomedio a.Jti:tml:tic.o de. lo-6 58 va.lo~e-6 expeltimen:ta.le-6
po .6 i:ti v o-6 •
(A) P~inc.ipio de. c.ompo.6J..c.i6n de. lo-6 :tlJtmino-6 de. t.lnea. y de. bando.
Se. -c.~tlc.ula.~á la. va.~ia.nza. de e-6 :tima.c.i6n de. A polt a. u.tili za.ndo el p!ti~
c.ipio de. c.ompo.6ic.i6n:
- de. un :tlJtmJ..no de. llne.a. (c.oltlte..6pondie.n:te. a. la.-6 ilne.a.-6 de mo.yo~
de.n.6J..da.dJdiJte.c.c.J..6n 1 o NS) midiendo la..e.x:te.n.6i6n de. lo-6 pozo-6 c.e.n
:tJta.le.-6 a. .6u.6 .6e.gme.n:to.6 de. in6lue.ncia. (b7 = 20m).
- de. un :tlJtmJ..no de. bando. midiendo la. e.x:te.n.6i6n de. la.-6 llne.o.-6 li
.6upue..6:ta..6 c.onoc.ida.-6 a. .6U.6, bo.nda.-6 de. J..n6lue.nc.io.- (~e.c.:tángulo lix&2¡.
Tl!tmino de. llne.a..
Vo.Jtia.nza. de·e.x:te.n.6i6n de. un pozo cen:t!to.l a. .6u .6egme.n:to ~=20m de in
6lue.nc.J..a. .. Co+Cx.Ol ( b 7)
Se lee. e.n el ába.c.o= ~= o.
2 o = o • 3 o => o} C .C7 > = IT li
0.08
o
-3 7 -
() V e donde e o+ e JC ~2 ( b 7 J = o . 3 +o . 7 5 x o . o 8 = o . 3 6
o
o
Ve.mo~ que. e.t e.6e.cto de. pe.p~ta t~e.ne. ta mayuh ~mpo4tanc~a.
Supon~e.ndo ta independenc~a de la~ exten4ione4 de cada pozo a 4u --
4egmento b¡ de. ~n6lu~nc~a, ta va4~anza de. e.~timac~ón de. la total~
dad de. ta4 l~ne.a.ó o tl4m~no de. linea e.~:
T,e =
TéJtmino de. banda
0.36 = 0.36= 0.0062 n- 58
Va~t.<.anza de. e.xte.n4ión de una linea( 4e.conoc.<.da como ante.~ a 4u --
banda de. .i.n 6lue.nc.i.a ( f · JlfA2) = e X (J'l ( b n • f ·) ..(.. .f? 1..? ..(..
b~, '-------~
. ' Pd~t toda4 ~a4 llne.a4 :
l.i.ne.a {.,¿ -l·!a l ..(.. :.{.
' 1 160 m 2.4
TI '
240 3.6
III 'lOO 3.0 IV 240 3.6
V 760 2. 4 VI 160 2.4
T
~= 1160 m·.
- el ~lJtmi.no ~2 (b2; l¡J 4e. lee e.n ~n -ábaco poh cada l~
- el e6e.cto de. pe.p.i.ta no .<.nte.Jtv.i.e.ne. ya -
que. de..óapahe.ce. debido a la ~ub.i.da bajo
la. po-te.nci.a con.ótante -f.,¿. - la.ó long.i..tude.~ ~¡ 4~e.ndo d.i.6e.Jte.nte.4, -
te.ne.mo.ó que e.~tudi.aJtla~ una poJt una yluego ponde.JtaJt po~t {~
..(..
b2 = 30 = 0.45 66
Y e = 0.75 -a
Ob (b2; (¡_¡
0.010
0.008
0.009
0.008
o. o 1 o o. o 1 o
1
C'"úb ¡ 1> k2 (Jz bz; ,~¡ ~u.c~ b ¡ b 2; l¡J 1
0.0075
0.0060
0.0067
0.0060
0.0075
o .. o o 7 5
192
345
268
345
192
792 ,....
~ = 1534
1
1
1
\
- 38 -
T~~m~no de banda
= 0.0011
Ve donde la va~~anza de e~~mac~6n de la acumulac~6n dent~o de s•
~ + Tb = 0.0062 + 0.0011 = 0.0073
8) Pn~nc~pio de compo~~ci6n de la~ va~ianza~ de exten~~6n elementale4 Exten~~6n de un pezo centnal a ~u ~ect~ngulo de ~n6luenc~a:
eo + e " cr2 e
b1 = 0.30 b2 = -ra a
0.45
luego de lee~ el ábaco (f~ = 0.15
de dO n de e O + e Jt CÍ~ ( b 1 , b 2 ) = 0 • 3 0 + 0 • 7 5 X 0 • 1 5 : 0 • 4 0
El e6ecto de pep~ta tiene la mayon ~mpo~tancia.
Supon~endo la ~ndependenc~a de la4 exten4ione4 de cada pozo a 4u ~e~
tángulo de ~nóluenc~a, la va~anza de e4~mac~6n de la ley ~elativa
e4: V2 [a - A]=
a2
(5) EQecto de bo~de
0.40 = --rr-
0.0068
Vetengamo4 como va~ianza de e4~mación de la acumulación med~a a 4u
pe~6.l.c.~e m~ne.~al~zada 4upue4ta conoc~da la que 4e c.alc.uló 4egún el
pn.l.nc~p~o de compo4~c..l.6n de t~~mino~ de llnea y de banda .. Ve hecho,
no e~ pe~6ectamente c.onoc~da la 4upen6.l.c.l.e m~nenal~zada y el e~non
geom~t~~co ~epe~c.ut4 4ob~e la e4t~mac~ón de la acumulación me4.l.a.
o
()
Se .l.nt~oduc.e pue4 un tl~m.l.no 4uplementa~~o que 4e añade a lo4 tln ()
m.l.no4 p~ecedente4.
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ro = cj'Z(O/S*) X ¡(j2 = 1 , o X 0.00137 = 0.0014 ~
a.2 s2
.en 6-(n ILe..ll u.tta.,
vz (a. - A) = 1! + rb + ro = 0.0087 a.2
( 6 ) V a.11.-ia.n za. de e.6 t-ima.c.-i6 n de. !a. c.a.tt.Uda.d de me. .tal Q.
Q = a. S
La. h-ip6te..6l.6 de. -inde.pe.nde.nc.-ia. -inteiLna. entfl.e. .ta. V R y .6u c.a.mpo no.6
v2 r Q1 = '2 Q
-- o • o o 8 7 + o • o o 1 4 = o • o 1
El e.ILILOIL .6ob1Le la. a.~umula.c.-i6n eh muc.ho má.6 giLa.nde. .que. e! eiLILOIL
.6obne. .ta. .6upe.IL6-ic.-ie..
O"( Q) = ,O. 1 --r
c.on un IL-ie..l.go de 15% y .6~gún una. l~y noJLma.·.t
Q > Q.* - O"( QJ = o. 9 Q.*
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1
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/
• • :___ • 1. •• ••• •• • • .! . ~:. 1 ; • . -·-------- .•• .,! ____ --·t- ·/- : ·--= --·:··-·:--"7-·-:-:- :--:-:-:~---. --·¡-: ·:-:-:---·--:-·; .. :·~:--.---:~---;--·:
. . • : _- r.:. - - -:- ;:.:···· :·. t: l /. •. -· .• - ••.•••• ··-·····
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::::(i~~ff:;; -~-~: ~;-7l,. 5J"!:[t~l-¿¡~:_±-±2-=---~i:·.~ (j·-~:-:J.:~ ¡: :~:~::' ... , E· _:¡·
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• : . . o ~ . ! o : ! : 1 t : -· \ • o : . : • ' : . t~------~---------:· .1 . . ~-.-:···-----!"- .. ~-····--:-.-:--~-t o. o 1 1 o . .. . f • : ' ! ~ ... 1 1 • -~o 00 ; ::o o: o:: :. . ¡o.: o ' . : 1 • t. :o;:-·· !•· t 1. • • OOol •••• ,.. • ••••
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Fig.11-Schéma de Mathcron
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o
- 40
() EL KRIGEAGE
1.- PRESENTACION VEL PROBLEMA
o
En té.Jtm.ino-6 m.inelto.6, el· p!toblema. del KRIGEAGE -o e.6t-i.mac..ión lo
c.al- c.on.6.i.6te en enc.ont.Jtalt la manelta c.ómo p!toc.e.6alt la .in6oJtma -
c..ión d-i..6pon.ible paiLa. .&ac.a.Jt la e.6:t.imac.-i.ón má-6 ac.eJttada de tut bloque.
Con.ó.ide!temo-6 la c.onó.iguJta.c..i6n .6.igu.iente:
- .&e d-i..6pone ·de una. Jtet.lc.ula c.ua-
dJtada..
En c.a.da. nudo .6e c.onoc.e el valo!t -
de la ~ey de una mue.6t.Jta..
- .6e t.Jta.ta. de e.6t.imaJt la ley p!tom~
d.io del bloque P, c.ent.Jtado en un -
nudo de .ta Jtet.lc.ula..
* Pa.Jta e.6t.ima.Jt el bloque P, .6e puede c.on.6.ideJtaJt
- la pe!t6oJta.c..ión .inteJt.ioJt S¡
- ó c.ua.f.qa,{_eJt peJt6oJta.c..ión exteJt.ioJt
- ó un c.onjunto de peJt6oJta.c..ione.6 exteJt.ioJt e .inteJt.ioJt.
* En c.ada. c.a.6o, .6e puede c.a.lc.ula.Jt la va.Jt.ianza de e.6t.imac..ión. La
e.6t.i.ma.c.-i.ón que .6e debe tomalt en c.uenta. e.6 la que p!topo!tc..i.ona la. va.-
Jt.ia.nza. de e.&.:U.ma.c..ión m.ln-i.ma.: po!t e.je..mplo, .f..a. va.Jt.ianza de e.6tima.c..ióu
del bloque P po!t S¡ e.6 menolt que la. de P po!t s2 • S¡ .6-i.endo mejoJt -
c.oloc.ada. (e.6tá dent.Jto de P) Jtep!te.6enta. mejoJt el bloque P que Sz.
* E-6 c.-i.e.'tto que obtenelt la. e.6t.imac.-i.ón má-6 p!tec..i.6a. e-6 de gJtan
-i.nteJté.-6 en la. p!tác.t.ic.a; pelta el K!t-i.gea.ge peJtm.i.te ta.mb.i.é.n ev.i.ta.Jt un
.6e.6go de e-6-t.ima.c.-i.ón que puede c.onduc..i.Jt a. c.on.6ec.uenc.ia..6 ec.onóm-i.c.a.~
() gJta.ve-6; e-6 la. .6egunda. p!top-i.eda.d 6unda.menta.l del KJt.igea.ge.
- 41 -
- 4e 4obne-e4t~ma la pnoponc~6n de bloque4 n~co4
- 4e 4ub-e4tima la pnoponc~6n de bloque4 pobne4.
Vicho m~todo, llamado Método pon Pol1gono4 de In6luencia, no e4 ade
cuado a la e4timac.i6n de un bloque, y pon tanto, a la e4timación de
Pon tanto, lo4 objet~vo~ del KRIGEAGE ~on lo4 4iguier.te4:
~ EVITAR EL SESGO VE ESTIMACION ~utilizan tanto la in6onma-
- EFECTUAR LA PONVERACION OPTIMA (o en otna4 palabna4, a6ectan
a cada pen6onac.i6n di4ponible ~u pe4o óptimo) de manena de obte~en
la VARIANZA VE ESTIMACION MINIMA.
Natunalme~te el KRIGEAGE toma e~ cuenta
- et a4pec.to e4tnuc.tunal del pnoblema med~a~te el va4iognama:
genenatmente m~e~tna4 má4 tejana e4 u~a pen6onac~6~, me~o4 e~ ~u -
pe~o (o i~óluenc.~a) en la e4timac.~ón.
- la 6onma, el tamaño del panel que ~e e~tima
- la implantac~ón nelativ~ del bloque y de la~ mue~tna~
el ~oponte de la mue4tn~. E4ta noc~ón e~ 4umamente imponta~
te: ~e 4abe que la vanianza de la4 leye4 de la4 mue4tna4 e~ me~on -
que la vanianza de la4 leye4 neale~ de lo~ bloque4. Vic.ho 6en6meno
e4 el onigen de la4 ~obne-e~.timac.ione~ de la~: explo.tac.i..D~e~ 4elec.
tiva~.
o
o
- 42 -
Clz.- SISTEMA VE KRIGEAGE
o
o
(7} Ca~o ~enc~tlo
sa st :e. =:~
1 ¡¡p J @
Sea el p~obte.ma de e.~~ma~ la ley -
p~ome.d~o del ~e.gme.nto AB me.d.-i.ante la~
mue~ .t~a~ S 1 1J S 2.
Sea Z la ley ~e.al de.~conoc~da de AB,
y Z¡, Z2 la~ le.ye.~ de la~ mue.~t~a~
S¡, s2 •
¿Cómo eóec..tua~ la ponde.~ac..-i.6n óp~ma?.
- El e~t~mado~ de KRIGEAGE e~ una combútac.~ón l~ne.al de .ta~ ..(.rt
6 o~ma.c.~o ne.~ d~~pon~ble.-6. S e.a Z * e.-6 .te e.-6 .t~mado ~ .
Se e~ c.~~be:
1 z * + )zzJ { .\¡ peho a a¡)e.c.:ta~ a S¡
= .A 7 z 1 c.on .Az pe..6o a a¡)e.c..ta~ a s2
) ¡', ~2, ~on de.& c. o no c.l.do.&
- E.6:te. e.6:t~ma.do~ Z* debe .6Vt. ~n.6e..6ga.do: e.n:tonc.e.~ A 1 1J A2 ve
~~ó~c.an .ta c.ondLc.~ón ~~gu~e.n.te.:
~~e.nd¿ t*-Z = ~¡Z¡ + ) 2z! - Z el e.h~o~ de e.~.t~mac.i6n,
e.~~oiL raLlo en p!Lome.d~o ::::;> 1 E [z*-z] = O :::> A ¡+A 2 = 1
- Bajo la c.ond~c.~ón ~1 + Áz= 1, }.,e de.te.!Lmlnan ~1 y l2 m~nlm~zando la va.~.-i.an za de e,}., .t~ma.c.i.ón o ~ea. .e. a vaiL~a.n za del e.ILILOIL [z *- zJ
01 { [z •- z] Z ) m.Cn.<ma= '1; o vaJt-éan za. de KJt-ég ea.ge 1
(2) Ca~o ge.ne.Jt.al.
S.¿
p ...........
• 1 ~ •
"
, __ --,~
..,.....
--
- 43 -
Se e.4tima e.l. bloque. P(ve.Jt. óiguJt.a).
T La inóoJt.maei6n di4ponible. ~e. eompone.
~~s de be.Jt.Jt.e.no4 inte.Jt.ioJt.e.4 y exte.Jt.ioJt.e4
a P: e.n e.hte. e.je.mpl.o he. dihpone. de.
un tJt.amo de. be.Jt.Jt.e.no inte.Jt.ioJt. S¡ y de.
7 tJt.amo4 de. baJt.Jt.e.no e.xte.Jt.ioJt.e.h s2
S8.
Se. eonoee.n p!t.e.eihame.nte. l.a l.e.y Z¡ y
la implantaei6n de. eada tJt.amo S¡.
Qul pe.ho aóe.eta~a eada una de. e.6tah 8 in6oJt.maeione.h paJt.a e.neontJt.aJt.
el. me.joJt. e.htimadoJt. de. l.a ley p!t.ome.dio Z de. P?.
Según e.l pált.Jt.a6o ante.Jt.ioJt., e.l. ehtimadoJt.· Z* he. e.hellibe.:
Z* =¿..\ ·Z · . ~ ~ L
E~timadoJt. inhe.4gado ~ E [z-z~ =o :::;>,k ~¡=1 i=l
Eh timado !t. 6ptimo ~ A¡, i= 1, 8, tale.~ eomo E [ [_z- Z *] 2 ~ m-Cnima.
El. hihte.ma de. KJt.ige.age._higuie.nte. e.ntJt.e.ga
- loh valoJt.e.h de. loh pondeJt.adoJt.e.h o pe.hoh l¡,· i=1,8
- l.a vaJt.ianza de. e.htimaeión mlnima o vaJt.ianza de. kJt.ige.age. OR
Se. e.heJt.ibe.
{
~ A¡ ~(s¡, s.._J +f!-= ~(s._,P) ..{. = 1 fl
~ ).. = o .{la 1 ..{.
·~·= eonhtante. de.· LagJt.ange.
cr~ = ~. A¡ t 1 s ¡, P l + ~ - Y 1 P, P' . ..{.
_______________________________________ _.
o
o
o
o
o
- 44 -
E .e. .6.i.6 .tema. á e KJL.ig e.a.ge e.-.s· un J.J.iJ.J :tema. de. e.c.ua.c..io ne.J.J l.ine.a.te.J.J e.n e..e.
c.ua..e. .in:te.Jtvie.ne.n .in:te.gJLale.J.J ge.oml:tJL.ic.a.-6 6ác.~ime.n:te. c.a..e.c.uia.b!e.-6. -
(.igua.le.J.J que. ta..6 de. la. 66Jtmula. de. la. va.JL.ia.nza. de. e.J.J:t.imac..i6n).
En e.-:Ste. e.je.mplo y bajo la. h¡p6:te.J.J.i.6 de. .iJ.Jo:t!Lop~a. e.ó:tJLuc.:tuJLa.l, e.l -
K!Lige.a.ge. e.nc.on:t!La!Lá
- la..6 J.Jime.:tJL~a.-6 e.v.ide.nte.J.J A2 = A3 )s = ~7
la.-6 de.J.igualda.de.-6 :tate.~ c.omo
)\7 ?;. ~ , <f= 2 , 8
~ 6 ~ As e.xp!Le.J.Jando que. e.l ba.Jr.Jte.no s6 hac.e. pa.n:ta.tld a. la
in6lue.nc.ia de. Sg (e.6e.c.to de. pantalla.)
A4 ::;:.. A6 e.xplte..&ando que. el ba.JLJLVto S4 ha :tJLan.& 6vudo una
pa.IL:te. de. bu in6iue.nc..ia. .6obne. lo.6 ba.JL~e.no.& s5, S7, Sg.
La .impo!L:tanc.ia de. 6e.n6me.no.6 como e.l "e.6e.c.:to de. pantalla." o de. :tJLan6
6e.Jte.nc..ia. de. ~n6lue.nc.ia. de.pe.nde. de. la Jte.gula.Jtida.d de. la. Jte.g.iona.liza
c.i6n, po!L c.onJ.Jlgu.ie.n:te. la del vaJLiogJLama 2K·
IIZ.- APLICACIONES
La p!Lác.:tic.a de.i KJL.ige.age. pe.Jtm-t..te.
de.:te.Jtmina.Jr. la c.u!Lva :tone.laje.-le.y que. p!LopoJtc.iona e.l po!Lce.n
:taje. de. :tonela.dab de. mine.Jtal de. le.y ma.yo!L que. la. le.y de. c.o!L:te. t . c.
- pJtagJLama!L (d~a a dla, al me.b o al a.~o, J.Je.gJn la.~ dlme.nbio-
ne.J.J de. lo.6 pane.le.J.J e.J.Jtima.doól una. p!Loduc.c.i6n mine.Jr.a.
- aboJtda.JL e.i p!Loble.ma. de. la. .6e.le.c.c..i6n, e..& de.c..iJt la de.6inic.i6n
() de RESERVAS
c.
- 45 -
APLICACION PRACTICA:
KRIGEAGE VE LA LEY PROMEVIO VE UN SEGMENTO
.¡' -i2. i:} Se. con~~de.~~ e.l ~e.gme.nto AB ~e.conoc~do po~ -
S~ 5:1 ~ l~ mue.~t~a ce.nt~~l S¡ l:f do~ mue.~ t~~~ e.xte.~~o
• u f 11) o E
& J> ~e.~ s2 l:f s3 (V e.~ Ó~g • ) • Se. c.onoc.e.n l~~ le.lje.~ A
~ z 1 , z2, z3 de. l~~ mue.~ t~a~ S 1, s2, s3. 'Q..
P~oble.m~~ e.óe.ctu~~ ~l K~~ge.~ge. de.l ~e.gme.nto AB, ~~e.ndo e.l ~e.m~va~~o . .
g~am~ l~ne.~l ~~ 6 :t~o po 1 0 1 h) = h)
A l~ mue.~t~~ S¡, le. c.o~~e.~ponde. e.l pe.~o A Jamando e.n cue.nta la ~~me.t4la, ~l conjunto IS2+S3l que. llam~mo~ Sm,
le.,co~~e.~ponde. e.l pe.~o 1-~, de. m~ne.~a que. cumpla la cond~c.~6n de.
e.~~mac~6n ~n~e.~gada.
fA~ =),.~·A) =1
El ~~~te.m~ de. K~~ge.age. ~e. e.~c~~be.
{ 1~~ K'!.,, S¡) +f:-= f IS¡, AB)
~A~ = 1 · .{..
va4lanza de. KR1GEAGE
de. donde. e.n e.~te. e.je.mplo,
.A~1s 1 ,s 1 ¡ + 17-.Al 01s 7,sm¡ +B-=o 1s 7,Asl
A~1Sm,S1) + 17-A) liSm,Sml +~=f!Sm,AB)
Se. ca..tcu.ta ca.d~ 0 0 1s 1,S¡) =O
~IS¡,Sml =·~ISm,S¡J = ~ [r!ECJ+ 0 !EV~ = 0 !aJ =a
o
o
o
o - 46 -
~ {Sm,Sm) = !__ [lf(CC)+ l)(CV) + Q'(VC)+ O (VV)] =
Ir CL - f a a a O (S¡,AB)= J olf-xJdx = X!f)=-¡
o~
((¡ 2a) = a. 2
-g ( S m, A B ) = !_ }oi X ) d X= 3 X ( 3 a ) - 7 X ( a ) f 2 -2 2
= a. a ~
2... Entonce4 ~e ob~ene
I (1->d
L.Aa + {1-,ll
a a +u= e- 4
a +J:.= a "9
"A=
1-)=
f!=
Aa. = a- a. = 4
3 4
1 .. 4
o
3a. 4
() - la. mue4t~a. cent~al S¡ t¡ene la. mayo~ ¡n6luenc¡a.: el K~¡geage
o
le at~buye el pe~o má4 ¡mpo~tante A = ~
- cada. mue~t~a exte~o~, s2 y s3 , ~ene el pe~o 7-A= 1 -r 8
O'~ = A ~ S 7 , A B ) . + (1 -A) o (S m, A B ) + ~ - r (A B, A B )
con O(AB,AB) = F(a)= a, v¡ene 3
a 5a. - 3 = 48
Nota ¡mpo~:tante.
•
E~t¡mando el ~egmen:to AB a6ecta.ndo a cada ¡n6o~mac¡6n el m~6mo pe
~o,. e-6 dec~~,· .6¡n K~¡geage, ~e obt¡ene la va~¡a.nza. de e6t¡ma.c..i.6n-'
como ~..i.gue, 'a.pf..L'ca.n4o la. 66~mula. gene~a.l:
- 4 7 -
0..
= 3! { = ; {
3a/2 · _fi 2 ( 6 ( X ) d X+ '6( [-X) dx] -F (a ) - ~ { 3 ~ ( O ) + 4 b ( a ) +
) a/ 2 0 \
4 - rrt(a)- 2't(2a)
9 3 X f ~)- X ( f) + X ( rl} - F (a)
3a 4 2 ( 1 = ~X ( Z ) - F ( a) - 9 t (.a) - 9 'l 2 a~
c.on lo.t~ valoiLe.t~ paiL.ü.c.u.laiLe.t~ al vaiL.iogiLama lineaL, .6 e obtiene
2 5a (JE.6.t = rr
1J la ILelac.i.ón 2 2 (JE.6.t '> (TK
5a 5a -· IT~IT
Et KIL.i.geage mejoiLa mu.c.ho·la p1Lec.i.~i.6n de la e.t~ti.mac.i.6n
¡,
o
o
o
o
- 48 -
LAS VECISIONES SECUENCIALES
l.- INTROVUCCION
cuya ley p~omedio 'Z' e4 de4conoc~da.
- la. ley lbn.i...te de explo tab.<.t.ida.d: m0
- el coe6iciente 1 A~ o bene6.<.clo po~ tonelada. de metal ~ecupe4ada.
'A' depende de lo.6 eo4to4 de explotación, de la4 lnve44lone4 y
del p~eclo del metal.
Sl Z 6ue~a conocida, el bene~icio total 4e e4c~ibi~la:
B= AT{Z-m0 )
En la p~áctica mine~a Z e.6 de.6conoclda; .6e dl.6pone· 4olamen.te de 4u
e.6timaclón geoe4tadl.6tica. En.tonce4 .6e ca.lcula~á el valo~ p4obable
del bene6lclo o .6ea.
* La p~lme~a campaia de pe~~o~aclone.6 Cl p~opo4clona la e4tlma-
clón m¡ de la ley p~omedlo Z y la Geoe.6ta.dl.6tica cuanti6ica .6u p4e
cl.6lón bajo la áo~ma de la va.~.<.anza de e.6tim~ción 6~ • 1
* Va.do4 e.6to.6 ~e.6ultado.6, cuál deci.6ión toma~?
17) abandona~ el yacimiento
12) explota~ el yacimiento
13) e6ectua~ una .6egunda campaña C2
0 Se tomar..á .ea deci4.ión a. .e; c.ual le co~~e4ponde el mayoJt E { B J.
da.de.~.
{
(1) Cl----..(2)
{ 3)
- 49 -
--C2-J~~~ ---·u 3}
Q
Ve. donde. e.l nomb4e. de. e.~que.ma. ~e.cue.ncla.l de. de.cl~lone.6 que. ~e. da. -
a. e.~te. conjunto de. e.ve.ntua.llda.de.~.
En e.~ta. p4e.~e.nta.cl6n, no~ llmlta.4e.mo~ a.l p4oble.ma. que. con~i~te. e.n
~a.be.4 ~l, de.6pui~ de. C2, ~e. de.be. e.xplota.4 o no e.l ya.cimie.nto.
Nota.~ 1mpo4ta.nte.6
7.- A ve.ce.~, 6e. pla.nte.a. e.l p4oble.ma. cont4a.4io: Z conocida. y T
de.6conocidD. En ta.l ca.6o, 6e. e.~c4ibe. e.l be.ne.6icio total:
, B = · A Z·. { T- T 0 J·' 2.- No ~e. toma.4án e.n cue.nta. lo~ 6a.cto~e.~ polltico~, ~ocia.le.6, 6l ()
na.ncie.~o6 que. inte.~vle.ne.n.e.n e.6te. tipo de. p~oble.ma..
11~-ESTUVJO VE LA PRJMERA CAMPANA
Se. conoce.n m¡ y O"~ .... J
E ( 8 1 J = AT { m'1 -m0 )
E[B¡] <o
o
ya. que. 6e. tie.ne. E [z] =m¡
{e.6tlma.clón in6e.~ga.da.)
El va.lo~ p~ome.dlo de.l be.ne.6lclo e.6 ne.ga.tlvo y nunca. 6e. d~cldl~á ex
plota.~. Pe.~o que.da. lá a.lte.~na.tlva.:
Aba.ndona.~ e.l ya.clmle.nto 1
E6e.ctua.~ una. 6e.gunda. ca.mpa.ña. o
o·
- 50 -
E [ B1] =, AT(m¡-m0 ) >O
Hay do~ po~ibilidadeó:
- exp.to.taJL
- e6ec.tuaJL una ~egunda campaña
PaiLa ILeóolveiL el piLoblema de la~ deci~ione~ ~ecuencialeó eó nece.óa
ILio piLeveeiL la~ conóecuencia~ económicaJ de una eventual ~egunda ca~
paña. El e6tudio óe debe llevaiL a cabo óie.ndo ILealizada la piLime.ILa -
campaña pelLo 6in conoceiL lo~ ILeóul.tado~ de la 6egunda campaña.
111.- ESTUVIO PREVIO A LA SEGUNVA CAMPANA
o
- [m¡ 1- campaña (J'l (óola) E 1
{mz
2- Campaña. ú?. (~ola} E2
El kiLigeage no6 enóeña que, deópué6 de la 'la. campaña, la e6timación
mejoiL de Z eó una combinación lineal de m¡ y mz.
Sea Y el eó,t¡madoiL de Z. Se eóciL¡be: Y=A m2 +{1-~)m¡= ~lm2-m7) +m¡
Y-Z = Alm2-m¡) - {Z-m¡)
O' k ( Y- Z l = V 2 { Z -m 1 l - ).,'l V 2 ( m 2 -m ¡J
AhoiLa bien, v2 (Z-m¡) = ~~~
•v 2 • 4igni6icá vaiLianza -de Eótad~~tica Cl4óica
Se nota Y-m¡= ).. . lm2-m7). 1J .también v2 (Y-m¡) = )..2 v2 ( m2-m1) = o-2 (!2 Jr.epiLeóe.n.ta la vaft..ianza de. Y, vaJr.ia.ble alea.toJLia de piLomedio m¡.
Entonce~ óe obtiene: ( Y-Z) = a-2 _ rr2 E¡
o ~ea Ez
La vaJz.:<.c:nza de la. eó:timación (cJ2) que 6e. puede ob.:te.neiL con la ayuda -
del ILeóultado m1 de C1 del JLeóultado Y que. óe obtendiLá con la~ 2 -
campañaó Cl + C2 eó la di{;eiLenc.ia entJr.e laó vaJLianza~ de e~.:timación
() a.n.te.ó lf de6pué6 de. la 'la. campaña. E~.:ta. vaJLianza o1 ILepiLeóen.:ta exac
tamente la gana~c.ia de in6o~mac.ión debida al ~uplemen.:to de Jr.e.conoci-
miento (C2).
- 51 -
v¡cha 4elac¡6n o ó64mula de aditiv¡dad e~ ~umamente gene4al. r¡e
ne un ~¡gnió¡cado objet¡vo y no ¡mpl¡ca un mddelo p4obab¡lL~t¡co -
má~ o meno~ a4bit4a4io.
La Geoe~tadl~t¡ca pe4m¡te calcu.lM cT~ ( Y-Zl p11.ev¡amente a la 4ea
l¡zaci6n de C2. En la p4áctica. C2 no e~ independiente de Cl y ~eM
conoce la ¡mplantac¡6n de la~ pe4óo4acione~ de C2 (~e tJt.ata4t!, po.t
ejempla, cent4a4 una 4et~cula).
Ley de P4obabilidad de Y
Se conocen ~olamente loh 2 p4¡me4o~ momento~ de la va4¡able alea
to4¡a Y: ~u p4omed¡o m1 y ~u va4¡anza. ~- Entonce~, ~e elige en la
p4áct¡ca una ley de p4obab¡l¡dad no4mal o logno4mal.
Sea f!y) dy la den~¡dad de p4obab¡lidad de Y.
Valo4 e4omed¡o del bene6¡cio
' Siendo de~conocido Y, ~e calcula el valo4 pnomedio de B2, o ~ea ~
E [_B~]; A1 (y-m0 ) !(y) dy, m o
Con t = m7-m0 , 1J tomando en cuenta el co~to de ne.a.lizacú1n P
~ :.. de C2, ~e obt¡ene:
o
o
o
- 52 -
() J V. -· TOMA V E V E C I S ION
o
o
m¡< m0 ::::¡,\ t <o .::::;:. ETB¡J < o
- s,¿ E [sz] <o ¿,e abandona. el yac.,i.m,i.ento
- Si.. E [s~] >o -6e pJr.ogJr.ama. la. -6egunda. c.a.mpa.iia..
Ve-6pu~-6· de Cl, la e~peJr.a.nza. del benefi,[c.,[o e-6 po¿,,[t,[va.. P.a
Jr.a dec.,[d,[Jr. entJr.e explotaJr. de i..nmed,[ato !:f e6ec.tua.Jr. una ~egu~
da. c.a.mpa.ña., -6e c.ompa.Jr..a.n E[B 1] y-E [s2J
m,i.e.nto.
s,¿ E [ B 2 J - E [s t] > o , .6 e pJr.o gJr.a.ma. la. .ó e.g un da c.amptüia. .•
V.- GRAFICA VE VECISION
EIBz] = ATo-:r(l:) -P. La. expJr.e.ó,[ón K(t:) = E[Bz]:'flél- 'P
A T tr ·AfF-c.ua.nt,[fi,[c.a. la. ventaja. que. .óe ob~ene. a.mpl,i.a.ndo e.l Jr.ec.onoc,[ -
E [ B 2 J - E [ B ¡] = ATo- f (l:) ·- P- ATO" t = A T cr [ l( ( t) - ·l:] ·- P 1
K'(!;) = [l('tt) -t J - P ke.pJte.óe~ta. .e.a ventaja. que .óe. obt,[e.ne .am-. Af'(r
pl,[ando el· 11.ec.o no c.,[m.¿e.nt(l.
1
1
r 1
i 1
1
'.
.,.,
En la m~~ma g~á6~ca 1 ~e d~~eñan
pa~a t<.. o 1 la CUILVa K,.(t)='f(t)
pa~a t) o 1 la c.u~va K~ ( t) = lf(t)-t
Sea el punto M de c.oo~denada~
Sea el punto N de coo~denada~
"' o
"'·
{
t= m1-m0
o~de~ada p
ATo-
{
t= m ¡-m0
o- ~(t)-.t o~denada f
t<((.t)
~( 1::) -t
.6~ .t>o
.6~ .t <o
•
l:
"'.¡.
,En· e.ó'ta g~d6~ca 1 la d~~ tanc.ia MÑ (de M a N) ~ep~e-6 en.ta la ventaja
.que .ó.e obtiene ampl.(ando el ~e c. o no c.~m~ento.
S~ MN) o p.-6 e e 6 e c..:túa e 2
S~ W <o ~- :.-4 e abando na el yac..(m~ento .6~ .t<o
- ~e explota de ~nmed~a.to .6~ .t )o
o
o
o
- 54 -
o VZ.- CONCLUSION
o
o
E.6te e.6tu.d..i..o peJtm..i..t,e deteJt.m..i..na.JL la.-6 ~Jt.ea.-6 c.oJt.Jt.e-ópond..i..ente-6 a. la.4 3
dec...i...6..i..one.6 po.6..i..ble.6:
- a.ba.ndona.Jt.
- explota.Jt. de ..i..nmed..i..a.to
- Jt.ec.onoc.elt.
o
o EX fLdTA~ }E ·,~ME t>'lATO
o ,o
o o
o
.-55-
VETA VE COBRE VE EAGLE (CANAVA)
El e~tudio ten~a po~ 6in, la E~timación Global de lo~ Recu~~o~ in
~itu, a~~ como la ~ealización de un plan de K~igeage. Se t~ataba -
~ob~etodo de examina~ ~i·el nivel de in6o~mación di~ponible pe~mi
~a alcanza~ e~to~ objetivo~ y, en ca~o negativo, compa~a~ de ma
ne~a ci6~ada la e6iciencia de va~io~ ~uplemento~ de Reconocimiento.
A continuación ~e ennume~an lo~ punto~ clave~ del e~tudio:
* Geolog~a e in6o~mación di~ponible
* Va~iable~ Regionalizada~ e~tudiada~ * Análi~i4 E4t~uctu~al
Con4t~ucción de lo~ hemiva~iog~ama~ expe~imentale~; ca
~acte~~4ticah e~t~uctu~ale~ mayo~e~
- 4emiva~iog~ama~ teó~icoh.
* E~timación Global: potencia y ley p~omedio~ a~~ como ~u~ va
~ianza~ de e~timación. Conclu~ione~ ace~ca del tipo actual -
de ~econocimiento
* E~timación local (KRIGEAGE)
Con6igu~ación de K~igeage: Bloque~ e~timado~
P~eci~ión de la e~timación local
* Suge~encia~ pa~a optimiza~ la Explo~ación
Cálculo~ guia~ con el 6in de
- mejo~a~ la e~timación glob~l
- mejo~a~ la e~timación local.
o
o
o
o o
()({)
C"R.VA ,E)t PE RiMf.rl7 AL
Go 40o loo
------- ---
--~ -~-- ------
~~1 1-1-, ¡, 1 1 1 ~ ~~: 1 ~1 1 ~, 1 ~, ]~, ,~, 1~:1 J 61~ 1
1
' 1
1
1
1 ' -
'
1
' o o o .
o
•
• o s..L
o
1 loo
S,
- 58 -
SG S,¡ s,
.
SS .
S+
61o1Y& ~
S~
S, s .. ss
\
s,
s\S
- 59 -
La .6 Re. .ta c..<. o 11 e. .6 RECURSOS - RESERVAS
S~e.ndo conoc~do.6 .to4 RECURSOS R de. un yac~m~ento G, e..t e.4tu~o de
mayo~ ~mpo~tanc~a con4~.6te en de.te~m~na~ .ta 6~acc~6n ~e R explota
ble en c~e~to contexto econ6m~co. V~cha 6~acc~6n ~ con4tituye .ta.6
RESERVAS.
E4te p~oblema depende de .to.6 6acto~e4 4~guiente4:
- .ta ~egionallzac~6n, ca4acte~lzada po~ e.t 4emiva~~og~amiJ(h).
La zona de in6luencla, el eóecto de pepita, la-6 anl.6ut~opla4, 4on -
lo.6 pa~ámet~o.6 e.6t~uctu~ale.6 p~opio4 a.t yacimiento.
- el nivel de in6o~maci6n di.6ponible, .6iendo la malla 4i.6tem~
tica o aleato~ia e4t~atl6icada o al aza~. Si dada cie~ta malla, no
e.6 po.6~ble una e4timaci6n co~~e.cta de la.6 ~e.6e~va.6, e-6 mene.6te~ de
6inl~ el .6uplemento mlnimo de ~econocimlento nece.6a~io.
- la 6o~ma, la geomet~la de. lo.6 bloque.6 o volúmene.6 a lo.6 cua~
' le.6 .6e inte~e.6a el mine~o, 4iendo tale-6 6acto~e4 bajo la dependen-
cia del mltodo de explota~i6n que e.6 conveniente adopta~.
- va~io.6 pa~ámet~o.6 de conte tale.6 como una ley de metal, una
ley de impu~eza, una potencia .tlmlte de explotabilidad, una nelaci6n
llmlte de minenal a encape, etc.
- una cienta .6unci6n de· bene6icio que toma en cuenta lo.6 dato.6
técnlco.6 antenione.6 y cuya optlmizaci6n entnega la .6elecci6n e6ec
. Uva.
!'.- RECURSOS R del Yacimiento G .
Se 'co n.6ide~an
- la.6 n¡ue.6tna.6. de. volúmen ·v y de 4emivaniog~ama Óv(h)
lo.6 bloque.6 de explotac~6n de volúmen V y de .6emiva4iognama
o
o
o
o
o
- 60 -~
La ley Zv de la mueat~a conocidae
* La ley Zv del bloque ea deaconocida. Sea Zv au eatimado~.
- Valo~ p~omedio de laa leye.6 de laa mueat~aa m*# m= E { Zv)
- Va~ianza de diape~aión U2(v/G)= E{ (zv-mJ 2j Fo~ma log-no~mal, muy a vecea en la·p~áctic~
m ley p~omedio del yac,(.m,(. ento
Ve e·ate hia.t.og~ama ae deduce la p!topo~c,(.án de muea.tJta-6 de ley mayoJt
que z0 •
(2) Hia.togJtama de diape~.6i6n de laa leyea ~ealea de lo-6 bloque~ V
Supongamo-6 conoc,(.da-6 la-6 leyea Jteale-6 Zv
- ValoJt pJtomed,(.o de la-6 leye-6 Z V : E { Z V l = m
- Va~.ianza de d.i4peJta.ión rfltV/G)= E{[zv-m] 2 1 - C.ieJL.ta 6oJtma.
El áJtea punteada JtepJte.6en.ta la pJtopoJtc.ión de panele-6 de ley pJtome
d,(.o Z V~ z0
* .6opoJt.te d.i6e.~tente V~v
* vaJtio 9.~tama.6 d.iáe~ente.6 Yv¡hJ y YvlhJ
* vaJtianza de CÜ.6peJt.6.ión d.i6eJten.te.6 (!2 (v/G) <fL (V/G) c.omo lo -
.indica la Jtelación de KRIGE
~2 (v/G)= 02 (v/V} + 02(V/G)
(3) H.i-6.togJtama de la-6 d.i~pe~.6.ionea KJt.[geada-6.
- valoJt pJtomed.io de lo-6 valoJte-6 K~geado-6 E[zv-zvJ= O+E{zvJa E{zvJ=m () - vaJt.ianza de d.i.6pe~4ián: .6e demue.6.tJta .6olamen.te ¡,.[ Zv e-6 un e4.t.i -
- 6 1 -
o
' .
fu.w..~ M¿¡mo ~op~ V ( Bloq~.A.C.) o cr(.v*¡c:,) < o"-(V/G)
,,.~ 1 ' \ 1 \
~
1 1 1
\
C»
"" ~ ~
o i •
o
o
- 62 -
mado~ de K~igeage la ~elaci6n ~iguiente:
c.on ü2(V/G)= E{ frv-mJ2j
ú2 (V*/G)= E[[zv -m.) 2 ~
O'~ = E [ [z v- z v] 2 )
La .óelec.c.ión eóectiva. .óe ha.c.e en ba..óe a la.ó leye.ó e.ót.i.ma.da..ó Zv. E.óte hi.ótog~ama pe~mite entonc.e.ó p~evee~ la. p~opo~c.ión de panele~ ~ec.u
pe~a.do~ de ley Z V~ z0
- lo.ó .óemiva.~ioglta.ma.ó rv(h), ovfh)
- lo.ó hi~togJtama~ de d.i..ópe!t~lón o .óea la~ va.~a.nza.~ de di4-
pelt.ó.i.6n U2 (v/G), ff2 (V/G), d?¡v~!G)
- la. noc..i.ón de .óopo~tte
- la. noc.i9n de di.ópelt.óión
11.- RESERVAS ~ del yacimiento G
(1) Ve6inic.i6n de un c.Jtite~io de ~elec.c.ión.
Con et objeto de 4elecc.iona~ la~ Jte~e~va.~ Jt entJte lo~ ~ec.u~4o4 R,
.óe t~ata. c.ont~olaJt la. calidad del mine~al ~ec.upelta.do, deóini~ la~ -
c.ondic.ione.& opt-i.ma.le.ó de explota.c.-i.ón o má~ gene~almente, opüm.i..za~ una. ¡
() c.-i.e~ta. óunc.-i.ón.
B { X(t 1,tz, •.• tn1, Y(t¡,t 2, •.• .tn1, V(.t¡,tz .•. tnl, V'(.:t 1 ,.:t2,.~tn1}
e~ ta cuat X, Y, V, V', so~ ta~ ca~acte~~~Zica~ det m~~e~at explota
do. ·
Po~ ejemplo, ~e puede e~c~~b~~ B
B = ~ ( X, Y ) - p V- /V ' do~de
X ~ep~e~e~ta ta ca~~dad de metal út~t ext~a~do
Y ~ep~e~e~ta ta can~dad de metal ~mpu~eza ext~a~do
J¡x,Y) el vato~ eco~óm~co det m~~e~at ext~a~do
o
¡V et co~to de exptotac~ón y det be~e6~c~o det votume~ V de m~ne~at
p1 V' et co~to de de~capote co~~e~pond~ente a u~ volumen V' de enca
pe.
X,Y,V,V' depende~ etto~ m~~mo~ de un c~e~to núme~o de pa~~met~o~
de co~te t¡, t 2 ... tn: tey de co~te t 1, ~etac~ón de m~ne~at a en
cape t 2, etc.
A cada co~ju~to (t 1, t 2, ... tnl de pa~~met~o~ de co~te te co~~e~po~ ()
de un c~e~to m~~e~at ~ecupe~ado de ca~acte~~~Zica~ X(t 1,t2••••tnl,
Y(t¡, t2, ... tnl yetbene6~c~o B(X,Y, ••• )
* o o o et p~obtema e~ de6~~~~ el co~ju~to (t 1, t 2, ... tn) óp~mo que
p~opo~c~ona B m~x~mo, bajo c~e~ta~ ne~t~~cc~one~. / * ttama~e.mo~ "c~~te~~o de .6etecc~ó~" dic..ha 6u~c~ón 8 de ta~ -
ca~acte~~~Zica~ det m~~e~at eventualmente ~ecupe~abte
* o • ~ ¡~o, ~o ~D¡ oo ~ ~ ó ~· d e, COnju~~o ~ 1 ~ 2 , ... ~~ ~e ,,ama pa~ume~~o p~~mo e .6e-
lecc~ó~.
Gene~atmente, ta Ge~enc~a ~mpo~e et c~~te~~o de ~etecc~ón. Pa~a
de6~~~~ (t~, t~, ... t~) pa~ámet~o óp~mo de ~etecc~ón, e~ mene.6te4
e.~tud~a~ cómo vaúan ta~ ca~a.cte~~~t~ca~ X(t 7,t2, ... tnl, Y(t 7,t2, ... t 11
V(t 1,t2,.;.tn) ... e.n 6unc~ón det pa~ámet~o de. co~te (t¡,t 2, ... tnl. ()
o - 64 -
Pe.Jz.o, e.n la. pll.ác.t,ica., nunca Je. conocen X(.t¡,.t2···.tnl, Y(.t¡,.t2 ... .tnl
e..tc • .6-i.no má-6 b.i.e.n Ju-6 e.J.t..i.ma.c.i.one.-6 X* (.t 1,.t2, •• • .t11 l, Y* (.t 1,t2 •• • .tnl
etc. da.do c.i.e~.to nivel de in6oJz.maci6n d.i.~pon.i.ble
(2) N,Lve.l de. ,Ln6oJLma.c.i.ón d-i..-6pon.i.ble.
Se.a. un ya.c.i.m.i.e.n.to que. .6e. compone. de. un conjunto de. bloqué-6 elemen
.ta.le.-6 de volumen V. Se. conJ,ide.Jz.a. el pa.Jz.áme..tJLo de coJL.te: .t= ley de -
me..tal.
La. e.JLplo.ta.c.i.ón e.-6 4e.l.e.cüva: 4-<.endo .t 6-i..jo, 4e e.xplo.ta.Jtán lo-4 pa. -
ne.le.-6 cuya. le.y e.~.t.i.ma.da. Zv~.t. En el mome.n.to cuando 4e. ha.ce el e-6-
.tud.i.o, 4e d.i.4ponen de lo-6 e.4.t.i.ma.doll.e.4 Zv de. .todo-6 lo4 bloque-4 y del
· h.i.~.togJz.a.ma. de. d.<.Jpe.JL-6-i.ón de. la.-6 leye.& Zv· PoJL .ta.n.to, ~e puede
Q ·plle.ve.eJL, pa.Jz.a. ca.da. va.loJr.. del paJr..áme.tJr..o .t, la. pll.opoJLc.i.ón de bloque~
()
(
· Jr..ecupeJr..a.do~: c.a.da bloque .t.i.e.ne una. ley Jz.e.a.l Zv y 4u e.~üma.doJz. e4 -
·.ta.l .qu.'!-· ZV~.t. El m-í11e.Jr..a.l Jr..e.c.upe.Jr..a.do ~e c.on~ü.tuye de.l conjunto de.
· la.-6 leye.4 Jr..ea.le.-6 Zv ba.jo la. c.ond.i.c..i.ón Zv~ .t. La. ley pll.omed.i.o del -
m.<.ne~a.l Jr..e.c.upe.Jz.a.do e-6
E L z viZv ~ .t 3 = X ( .t) X(t) e-6 de.~c.onoc..i.da.. Se. e4.t.i.ma. X(.t) me.d.<.a.n.te el va.loJz. pJz.omed.i.o de-'
la.J le.yeJ e~.t.i.ma.da.-6 Zv de. l.o-6 bloqueJ Jr..e.c.upe.Jz.a.do-6 o ~ea.
X* (.t.)= E ( z V 1 z V ~ .t J Sol.a.me.n.te. J.i. el eJ.t.i.madoJr.. Z~ e.-6 un e.J.t.i.ma.doJr.. de kJr..,ige.a.ge., la. e~üm~
c,ión de. X(.t) poiL X*{t) e.xpe.~me.n.ta.lme.n.te d.i.Jpon.i.ble e~ ,in~e~ga.da..
La. va.Jr...i.a.nza. de eJ.t.i.ma.c..i.ón de. X(.t) poll. X*(.t)
C~(.t) = E t [x(.t) -X* (.t) J 2 3 Se de.du.c.e de. la.~ va.ll...i.a.nza.~ de. kJL.i.ge.a.ge elementa.le~ O'~= E { [zv-zv] 2J
'.
- u J -
Se adm~te entonce~ que X(t) ~~gue una ley de p~obab~l~dad gau'~~ana
de med~~ X*(t) y de va~~anza Ú~(t). Se conocen tamb~ln la ley de -()
la~ ca~acte~1~~ca~ Y(t), V(t), .. y ~e puede calcula~ la e~pe~anza
del bene6~c~o B(X,Y,V, .. ) ~ea E { B(tlj . Po~ lo tanto ~e dete~m~
na el pa~ámet~o 'óp~mo de ~elec.c~ón t=t0 que max.~m~za E fB(tlJ
- X*(t0 ), Y*(t0 ), V*(t0
) ~on lo~ e~~mado~e~ ~n~e~gado~ de la~
~e~e~va~ ~ecupe~ada~ ~(t0 )
- Se conocen la~ va~~anza~ de e~t~mac~ón ~~ (t 0 ) de d~cha~ ca-
\
O·
o
o
o
'.
o
- 66 -
LAS SIMULACIONES CONDICIONALES
El e4tud~o de la-6 Re4ehva~ ReQupekada-6 phopo~c~ona la e4~mac~ón gl~
bai de la4 cahacteh~6~Qa6 del m~nehal heQupehado y pehm~te a vece4
local~zah d~cha.4 Re4ehva4 en el yaQ~m~ento.
A pe4ah de ~u ~mpo~tanQ~a, e~to6 dato~ no 6on 4u6~c~ente4 paha ~n¿
c~ah la explotae~ón efiect~va del yae~m~ento. E4 mene4teh aún, cono-
do a vah.út4 e4 cala.~ { d-la, 4 emana, me.6, etc. J : G
- la6 óluctuac~one~ de la ley de metal 6on e4cenc~ale4 paha -
d~men6~onah la plant~ de bene6~c~o y pueden dec~d~h de la nece4idad
de un áhea de homogene.[zaQ~Ón.
- la6 ¡)luQtuae~one.~ de la helac.i.ón m.i.nehal a encape .i.n¡)luyen
~obhe la elecc.i.ón de la máquina de exthacc.i.ón . • - etc.
Ve6de luegQ en la p~áct~ca, no 4e conoQe la "Realidad", 6.i.no la ES
.TIMACION de e6ta "Rea.l..(.dad". La "E6:U.mac-i.ón" no puede -6eh la ~olu-
c.i.ón del' p~oblema: un e6:U.madoh al.i.6a la Real~dad y poh tanto el y~
.c.i.m.i.ento podh.[a hevela.h-6e homogéneo de una mane.Jta ~~ct .. {c~a.
~a.que no 4e puede alcanzah la. Realidad y que la e4t~mac~6n no he4-
:U.tuye la-6 6luctuac~one4 hea.le-6 de la.4 caJtacteh.C4 t.i.ca6, la 4 oluc..idn
con-6~6te en SIMULAR la Real~dad.
V~6pon~endo de la 6.[mulaQ~Ón; ~e e~tud~a la ~nóluenc~a de vah.i.0-6 e-6-
quema-6 de. exthacQ~Ón-almacena.miento-etc., -6obhe la cal~dad del mine
hal y -6e deteJtm..ina el p!toce4o ópt~mo de ~xthacc.i.ón. etc.
- 61 -
S..i: e..t objetivo pJt..i.n.c...i.pa.t de. u.n.a ~.<..mu..tac...i.6n. e.-6 .ta ..i.de.n..U6.i..c.a.c...i.6n. de. -
.ta-6 6lu.<!iu.ac...i.on.e.~, e.n. la pJtác.-·'(.- · .6e.Jtá ..i.n.te.Jte..6a.n.te. qu.e. e.n. lo-6 pu.n.- Ü . '
vu.e..tve. a e.n.c.on.tJtaJt .to-6 va.toJte.4 -
Jte.a!e.4: !a 4-i.mu..tac...i.6n. .6e. .t!ama.Jtá e.nton.c.e.-6 S..i.mu..tac...i.6n. Cond..i.c...i.ona!. 1
In4-i.4.Umo4 aún. e.n. lo-6 pu..n.to-6 c..tave.-6 de.l pJtoble.ma:
- la "Re.al..i.dad" ~o .6e. c.l.t.Jtac.te.Jt..i.za poJL
4 u. valoJt pJtome.d..i.o m= E {~o}
.6U. ~e.m..tvaJt..i.ogJtama ro (h!
.6u. vaJt..i.an.za de. d..i.4pe.Jt~..t6n. E{ [~ 0 -m] 2 J - !a. "S..i.mu.lac...i.6n." ~, . .ue.n.e. poJL c.aJtac.te.JL.C4.Uc.a.4
.6u. valoJt pJtome.d..i.o m= E {~s\
4U. 4e.m..i.vaJt..i.ogJtama as ( h l = cYo ( h l
4U. vaJt..i.an.za de. d..i..6pe.Jt.6..t6n. E Í [~,-m J23 4U. vaJt..i.an.za de. e.~ .Umac...tón. E f( ~S- ~o J 2) o
- Lo-6 va.loJte.4 KJt..i.9e.ado~ ~K 4e. c.aJtac.te.JL..i.z~poJt
4 u. valoJt pJLome.d..i.o m= E {e K 3 4u. 4e.m..i.va.JL..i.ogJLa.ma aK(h! 1 ( 0 (g! f ls(h)
4u. vaJL..i.a.n.za. de. ·d..i..6pe.Jt.6-i.ón. E[[~"K-m] 2)< E{[~ 0 -mJ 2J = E{[es-nil 23 .6u. vaJL..i.an.za. de. KJt..i.ge.age. Et[e'K-~oJ 2) mln...i.ma. < E{[es-eo] 2J
La S..i.mu.lac...i.6n. es ..i.de.nt..i.6-i.c.a va.loJL pJLome.d..i.o1
4e.m..i.va.JL..i.ogJLama., va.JL..i.an.
za de. d..i..6pe.1L4ión.: e.4 otJto yac...i.m..i.e.nto pe.JLo de. c.aJta.c.te.JL.C4.Uc.a.4 e.4tJLu.c.tu.
JLa.le.4 ..i.gu.a.le.4 al qu.e. ..i.nte.Jte..6a..
es JLe.pJLe.4e.nta u.na e..6t..i.mac...i.6n de. ~o pe.Jto no e.-6 la. óptima, ya qu.e. 4e. -
de.mu.e.4tJLa la '!-e.lac...i.6n E[[~s-~o]2J = 2 E{[eK-~o] 2J .El KJL..i.ge.a.ge. e~ m..i.n..i.m..i.za. la va.JL..i.anza de. e..6t..i.ma.c...i.6n de. "t 0 • E4 .t.a. me.joJL O e.4t..i.m~c...i.6n po4ible. de. la "Re.a.l..i.dad". Se. u.4aJL4 con e.6-i.c...i.e.né..i.a. e.n lo4-
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o
o
- 70 -
La Fig. S.l, ¡¿u~t~a ta4 d~6e~enc¡a4 ent~e Realidad- Simutacidn.- E4
~mación (K~¡geage).
Aplicac¡ón al yacimiento de N~quet de P~ony
En la p~¡me~a zona de p~oducc¡ón (ee~ca de 2 km2) 4e 4¡muld la ~eal~
zación de una campaña de pe~6o~ac¡one4 a malta de 10x10 m2, 4ea la-
4~mulac¡ón de 17600 pe~6o~acione4.
En cada pe~6o~ación 4imutada, 6e obtuvle~on lo6 ~ato~e4 co~~e4pon -
dlente4 a 24 va~¡able~ ~¡muiada6.
La Slmulac¡ón ¡mpone a cada una de la6 24 va~¡able6 4lmutada4, vol
ve~ a encont~a~ la6 ea~acte~~4t¡ca~ exp~4imentale4 gtobate4 que 4e -
hab~an deduc¡do de la4 pe~6o~aclone4 ~eale4 de la malla de 100 x 100.
E4ta4 ca~acte~~4tlca4 4on:
la4 med¡a4 y va~~anza4 de ~4pe~4¡ón dent~o de la zona 4imu
lada
lo4 4em¡va~og~ama6 e hi6tog~ama4
- la4 co~~elacione4 ~egionalizada4 ent~e la4 Va~¡able4
Se ¡ndic.an en la F¡gu~a S.i
- lo4 2 h¡4tog~ama4 de dl6pe~6lón expe4imental y 4¡mulado
- lo4 2 6emlva~¡og~ama~ teó~¡c.o (deduc.¡do del expe~¡mental) y
4lmulado de la va~able potenc.¡a de mine~al late4CZic.o.
- 71 -
YACIMIENTO VE NIQUEL LATERITICO VE PRONY (NUEVA CALEVONIA)
Ei ~econoc~m~ento del yac~m~ento de PRONY ~e h~zo po~ med~o de eta
pa~ auceaiva4, cada etapa cuant~6~cando la e6~c~enc~a de laa ob~a~
~eal~zadaa y deó~n~endo el auplemento de ~econoc~m~ento que ~e de
bla p~og~ama~ pa~a alcanza~ el n~vel de p~ec~~~6n a~gu~ente. A lo
l~Jtgo de~ e~·tud~o a e de 6~n~eJLO n y a e Jte~ olv~eJton va'}..i.o~ plto blem.:t~ . .
de e~t~mac.i.6n de RecuJt~oa, Re~eJtva~, aal como otJto~ pltoblema~ de
alc~nct tlcn.i.co-econ6m~co.
E~te e~tud.i.o tiene la ventaja:
- p~e~entaJt un caao-t.i.po de Reconoc~m~ento Secuencial de ya
c:<.m.i.en~o
- planteaJt pltoblema~ tlcn.i.co4 de e~t.i.mac.i.6n y ~.i.mulac.i.6n cuya
o
gene~al~dad no ~e l~m~ta al ca~o paJtt~culaJt del N1quel late4lt.i.co. () ,,
A con~nuac~6n ~e exponen bJtevemente lo~ Jte~ultado~ de cada etapa:
Etapa 1 Jteconoc.i.m.i.ento geol6g.i.co p1tel.i.m.i.na~-Real~zac~6n de la p4-i.
meJta campaña ~.i.~tem~t.i.ca s 1 de peJt6o~ac.i.one~ (malla 400x400 m2, 150
peJt6oJtac.i.onea)
Etapa 2 Con lo~ dato~ de ~a campaña s1, ~e llev6 a cabo un plt.i.meJt
e~tud.i.o geoe~tadl~t.i.co G¡. El, andl.i.~.i.4 e~tJtuctuJtal de la ~eg.i.ona
li,zac~6n en Ni,. peJtm.i.~6:
- una plt.i.meJta e~t.i.mac.i.6n global de lo~ RecuJt404 ~n 4.i.tu
- un e~tud.i.o de vaJt.i.anza~ con el objeto de deteJtm.i.naJt la ma-
lla nece~alt.i.a (-+200x200 m?) paJta obteneJt e~Z.i.mac.i.one~ lo
cale~ ~at.i.~6actoJt.i.a~.
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- 72 -
() En ba.tJe. a e..tJ.:to-6 Jte..tJu.fJ:tado-6, .6e. de.c..id.ió Jte.duc..iJt la malla a· u.na Jte.
tlc.u..f.a de.· 200x2o·o m2 ( 450 pe.Jt6oJtac.-i.one..6} e. .implan:taJt 2 c.Jt·u.c.e..6 de..
pe.JtóoJtac.-io.ne.-6 a malla: de 20m í82 pe.Jt6oJtac...f.one..6) patta Jte.c.onoc.e.4· la4
e.JtJtu.c.tu.Jta~J de. la m-i.ne.~al-i.zac..i6n a pe.qu.e.~a e..tJc.ala.
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E.tapa 3 El .6e.gu.ndo e:J:tu.d-i.o ge.oe..tJ:tad.C.tJt.<.c.o G2.
- a6.in6 e.l aná.f.~i-6 e..tJ:t.Jtu.c..:tu.Jtal
- pltopoJtc..<.onó u.na Je.gu.nda e..tJt.<.mac..<.ón global m~-6 pJte.c..<..tJa, de-"
l~-6 R~c.u.Jt.6o~ .<.n .tJ.itu.
- me.jo11.6 .f.a-6 e..tJtimac..<.one.-6 de. lo¿, pane.le.-6. 40.0x400 m2 c.ompo,n.i.e!!_
do el· yac..<.m.<.e.nto
- e..tJ tu.d-<.6 la i.n 6lu.e.nc.ia de. .f.o¿, c.Jt.<.te.Jt.io-6. de .6 ele.c.c..<.ón y entlte:
ga la e..tJ.:t.<.mac..<.ón de. ~a-6 Re..tJe.Jtva~ Re.c.up~Jtada-6
Etapa 4 S.<.e.ndo e.t.e.g.<.da la pJti.me.Jta zona de. e.xplotac..<.ón, .6e. pltO"flltamd·
una· Jte.t.lc.u.f.a de. 100x100' m2 •
El te.Jtc.e.Jt e.-6 tu d-io ge.oe.-6 tad.l~Jüc.o G 3 Jte.al.<.zó, en e.-6 ta zo.na ·paJt.Uc.~
.f.aJt, la. J.imulac..<.ón de; una Jte.:Uc.ula mucho m~-6 Jte.duc..<.da de. 70x10 mZ,.
c.on la c.ual poJ~e.Jt.ioJtme.nte. e.l mine.Jto puede. .tJ.imulaJt un pltoc.e..6o d~
e.xplotac.·-ión y e.l qu.lm.<.c.o pJte.ve.e.Jt la-6 6luc.tuac..(o~e¿,· dia-Jt.ia:6·, .tJemtt-·
nai'e..6,. me n.tJ uale..6 etc... de. la¿, c.aJtac.·te.lt-CJ t.<. c.a-6 del m.<.ne.·Jtal at en· -
tJtaJt en la planta de. b e.ne. 6-<.c..<.o .•
Etapa 5 (todav.la no Jte.al.<.zada pe.Jto pJte.v/..J.ible.) :. pa·Jta· c.ontJtolaJt la
c.al.<.dad de. la pJtoduc.c..<.ón, u.n c.u.aJtto e..6tud.<.o ge.oe.-6 to.d.l.ó·.Uc.o G 4, pe.!
mLU.ttá, me.d.<.an.te. un pJtogJtama Je.nc..ill'o de. c.ompu.tadoJta·, ut.<.l:i.za·ndo -
la¿, última¿, .<.nóoJtmac..<.one.-6., e..tJtimaJt un.<.dade..6 de. e.xp.f:c.ta.c..<.ón ~an: -
pe.que.fta¿, c.omo bloq~e..6 de. 20x20 m2•
- 73 -
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- 74 -
Cabe hace4 no~a4 uno de lo~ 4e~ultado4 e4cenciale4 de lo4 3 p4i -
me4o~ e~tudlo4 geoe~tad~4~lco4: la Geoe4tad14~ca nece~it6 ~olame~
~e 682 pe46o~acione4 pa4a cumpli~ con lo~ obje~ivo~ de la planea -
ci6n, cuando lo4 método~ má4 cl~~ico4 ~eque~an 2400 pe~óo~acione~~
El de4a~~ollo del yacimiento de P~ony e4 un ejemplo ~po de 4econ~
cimiento p4og4amado a4monio4amente po~ ~odo4 lo4 Ingenie~o4, gepl~
go4, mine~o4, qu~m~co4, geoe~~adi4~a4, e~c. La Geoe4tad~4~ica 4e -
~evel6'muy eóiciente y econ6mica pana abondan y ne~olven lo4 p~o -
blema4 plan~eado4, minimizando a cada e~apa lo4 ga4~04 de neconoci
miento.
, YACIMIENTO VE FOSFATOS VE TOGO
El p~oblema planteado po~ la Compañ~a COTOMIB e~a un p~oblema de
cont~ol de p~oducción: 4e t~ataba de encont~a~ la mane~a óptima de
explota~ el yacimiento baj~ una ~e4t~icción de calidad. Má~ p~eci~a
mente, la Compañla 'que~~a conoce~ lo4 pe~6ile~ óptimo4 del techo y -
del pi~o de mane~a de ~ecupe~a~ el tonelaj~ metal máx~mo, 4~endo la
ley de dicho tonelaje ~ecupe~ado ~6ija de antemano (la Compañla -
admitla el ~ie4go~de ext~ae~ un mine~al de ley in6e~io~ a 9:tl
Tal p~oblema nunca habla ~ido abo~dado po~ lo~ mltodo~ geoe~tadl~ti
co~. Se ha llegado a de4cug~i~, y·a aplica~ con lxito a e~te yaci
miento, una nueva metodologla cuyo ca~ácte~ gene~al hace po~ible que
~ea el campo de aplicacione~ de la geoe~tadl~tica má~ 6~uctuo~o en -
el 6utu~o.
La~ etapa~ del e~tudio 6ue~on la~ 4iguiente~:
l .
Etapa 1: E~timación Global
ley p~omedio }
tonelaje metal
tonelaje mine~al
a~l como ~u va~anza de e~timaci6n
Etaea 2: KRIGEAGE de la~ unidade~ elementale~ P(ve~ Figu~a)
La ~ealización del plano de K~igeage nece~itaba un análi
~i~ e~t~actu~al muy 6ino de la ~egionalización, el cual no
~e podla lleva~ a cabo ~in in6o~mación ~uplementa~ia. La
Geoe~tadl~tica pe~~itió e~tudia~la minimizando dicho ~u -
pleminto: ~oto una c~uz de 54 pe~6o~ación ha ~ido nece~a~ia
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E~te ptano de k~¡geage, p~og~amado en la computado~a, p~opo~c¡onó va
~¡anza~ de k~¡geage 4at¡46acto4¡a4o
Se de6¡ne una zona de explotación y 4e con4¡de~a el pa~~met~o
~ = ley. Pa~a ca.da va~o~ del paJLt!met~o, un pJt.oce4o de opüm¡
zac¡ón deteJt.m¡na el pe~6¡l techo-p¡4o que .6um¡n¡~tJt.a el tonei~
je metal T m~x¡mo: a e4te tonelaje le coJt.ILe4ponde c¡eJt.t~ ley t.
Se deteJt.m¡na entonce4 ó~c¡lmente el valoJt. óptimo del paÁt!metJr.o
w0 que ent!Lega el tonelaje mtfx¡mo ro cuya. ley e-6 ec'l 4egún el -
~¡e-6 go O(.
Ha .6¡do elabo~a.da la p~og~amac¡ón de la Metodolog¿a.. E4te -
p!Log~ama 6unc¡ona paiLa 5 ~ d¡6e~ente4 y un valo~ deO( . .
PoJt. tanto, dado c¡eJt.to contexto económ¡co y en ba..6e a. e.6to.6 -
documento-6, la Compa.ñla deteJt.m¡na la. mejoiL explotación po-6¡ -
ble.
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Dé1ta Reduction
A necessary first step in an.r engineering .c-ituation is aa innstig.ttion of avaibblc data to asscss thc n:tturc and thc dcgrcc of thc unccrtainty. An unorg:mized li::.t of numbcrs reprcscnting thc outcornr .. of tc~ts is not easil.r assimilated. Thcrc are severa! n\ct!lOd., of or~:wiz.ttiun, prrscntation, and reduction of obscrvcd d.üa 11 hich facilibtc it~ interprctation
and en.lu:üion. It should be pointed out C'l:plicitly that thc trcatmcnt of data
dc.,crib:::d in thi:; chapter i:; in no w.ty dcpcnc!cnt on thc :ts·umptions that thcre 1s r.tnd(lallt::<s Ín\·olved or tlut thc d.LLt con· titutc a random s:trnp!e of somc .nJathcnutic.d prohah:IJ,tic ll!ndd Thc:;c .trc tcrm< >lltio.h wc sl.:dl co1ne to kn0\1. :tnd 1\ hiel, -,ome rvt<lcr:< nuy ha1·c CIICOU!l
t•::,·d pre\ Jou"'IY The n.et!HlCI., lH'n: :trc ;;irnply con\·•·ni,.nt \\:t.}"'- to r•·d!l_,. r.::.·.·. d·lt.l t.-, p;·~r~~~~l"._ .. bl~ fopn-...
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o GRAPHICAl OISPLI-YS o S
!.l GRAPH!CAl DISPLAYS
Histograms A u..:eful fir,t :-:t.::p in the mpiL'-;eul:ttiou of ob"c·rvet! cl:tta ¡.,. to rcuucc it to a typc of b.tr chart. Cou-,ider, for P"\:trnplc, thc dat.L prc~'!ntcd iu Table l.l.l. Tlw-;c numhr.-::, rcprc:--cr.t thc li1·c 10:1d~ ob"crvcd in a ~C\\ York warcl1uu:;e. To antici{Jatc shc typic.d, thc extreme, ~uHl the loug-tenn be ha \·iur of structu r.t! meml·.cr.-> aud foottng:; in such structurcs, thc cnginccr mu~t undcntand tite naturc of load distribution. Lo:.ul variability will, for cxamplc, influcucc rcbtin settlement~ of thc column footing~. Thc valucs vary from O to ~:?\.1.5 pound.:; pcr squ:trc foot (psf). Let us divide thi<> r.1:~ge into ~0-psf interntls, Oto 19.9, 20.0 to 3!) 9, etc, and tally thc rwmbH of occurrcuce" in each inten·al.
Plotting thc frequcncy of occurrcnccs in cách iotcrvul as a bar
Tablc 1.1.1 Floor-load data •
Base-Ba¡¡ ment
A B e D E F G H 1 J K L M N o p Q R S T C/ ~-
o 72 2
225.7 55 1 36 6
129 4 134 6 121 o 178 S 78.6 94 5 40 2 92 ')
99 5 88 5 93 2 96 l
21:1 7 137 6 79 8 7S ,, 2l !\
1st
7 8 72 6 42 5 5.3 9 26 o 66.4 73 4
lOG 2 30 2 37.0 24 l 23 4 49 8
lOG 9 48 4 55 o 54 S 6j 7 6::! ,:; 6S 7
liS :2 ;;¡ 6.
2d 3d
36 2 60 6 74 4 21 8 59 S 41 7 87 7 59 2 90 5 23 o
138 7 127 9 809 533 91 4 139 6 44 1 157 o 70 7 SJ O 87 :; 80 6
8 4 4:? 6 50!) 116 4 5.i 9 136 8 6:! 3 71 3 80 S l·B ·> 6:J O 22S 3 90 3 19S -1.
l.'iü .) l.i l 1 8.i ¡¡ t-11 6
l:!t) 4 3:1 S 1:3.1 (i .~ti ::
4th
6-1 o 17 1 39.9 63 1 43.5 90 9 80 1
1.i2 5 IO.i 3 179 7 748 43 -l
122 9 110 4 l:l;$ •)
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131 ;; 10!) 7 1'21 G li•J ~
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111 7 l.iO O 112 1 IG.: ·1 1!.11 ·1 1:!1 1 lito o 10 -, ~
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live lood, p\f
Fig. 1.1.1 HistogrJ.m ancl frequcocy distribution of ftoor-load d:\ta.
yields a hisfoyram, as sho,,·n in Fig. 1.1.1. The hcight, :md more usefully; the area, of e~\ch bar are proportional to thc numbcr of occurrcnces·in that inten'al. The plot, unlike the arr~~r of numbcr-;, givc:; thc investigator :m irnmediatc imprc.3::ion of the rangc of the dat:.l, itq most frequenUy occurring \'alucs, and the dcgr.cc to which it is scattcn:d ahout thc centr,t! or typical values. We shall le:trn in Ch:\p. 2 how the cngineer can prcdict analytic:-.lly from this shape the com.!sponding curve for thc total load on a column supporting, say, 20 such bays.
If thc scale of thc ordin:~.te of the histogram is dividcd by the total nurnhcr of data entries, an altcrnate form, callcd thcfrcquency disl1 ibulio11, rcsults. In Fig. 1.1.1, the numbcr;; on thc righ t-hand sea! e ''ere obt~dncd by dividing the left-hand sc,dc \·a!uc; by 220, thc total numbcr of obscr..-ations. Onc c:tn say, for c-.:.\mplc, that thc proportinn of !oad>i obscrvcd to líe Lct\\t;Cll 120 :l.llfl nv 0 psf ,,,~l ... 0.10. If tlti,., sralc \\CfC dividcd by thc int•·rvall~nztlt (:20 ¡.-f), :~f,~~rz·u·nciJ rlrwif!J d[,/,illlt!ion \\otdd rc"ult, \\Íth or.llll:\t•• muh of' i¡u¡· .. ',,C~ pcr t•'-" Thc ar•:.l undt•r titi'l hi..,togr:u1, \'.•>Ul·l(, un!ty. T!: fvnn ¡,, p¡t'ft nt:d \\llPn dttTr:rent ~d ... ~f U:\t·J.,
pcrlt:q•> \\il01dTI'~<:nt :,.~.,\al l..:ttt,tit.;, ar·~ to lw ·.~omp·Lre•l \\lth ouc o
GRAPtiiCAL OtSF'LAYS 7
Thc cumulcúil·c f1er¡ucucy dislnbulio,t, :mothcr U'icful gr.tphical rcpr.::- · senl:ltion of data, is obtai11cd frum thc frcquency distribution by calcubting the surcc . ..,-;ivc partbl sums of frcqucncics up to cach iutcn·al divisiun piJint. Thcsc poiut<; are thcu pluttcd ::1.11d conncctcd by :;tr.ti6ht lines to forma nondecrcasing (or monotonic) function frum zcro to unit\·.
In Fig. 1.1.2, thc cumulative frcqucncy distribution 'of Ú;c floo-rload data, the values of the function at 20, 40, ::md 60 p:-,f werc found by forming the p:.utial sums O + 0.0·!.55 = 0.0-15.5, 0.0-155 + O.Oí7.5 = 0.1230, and 0.1230 + 0.1SGO = 0.3000.f From this plot, óne can read that the proportion of the loads obscrvcd to be equal to or less than 13'.).9 psf was 0.847. After a proper babncing of initi:l.l costs, conscqucnccs of poor performance, nnd thcse frequencies, the designcr might concludc that a bcam· supporting one of thesc bays must be stifT enough to ::woid defiections in exccss of 1 in. in 99 pcrcent of al! b:lys. Thus thc dcsign should be checked for deflcctions under a load of 220 p:>f. ·
Sorne care should be t::tken in choosing thc width of cach intcn·,¡\
t When constructing the cumulativc frcquency distribution, onc can avoid the arbitrariness of the intervals by plotting onc point per obscrvation, that is, hy plott~ng i/n versus zC•l, where zC•l is the &th in ordcrcd list of data (see Fig. 1.2.1).
~ ... e: • ~ 06 • ~ • . ! Ci -; o 4 e
;:)
u
0.2
(O 977) (O. 9 s9"'"') (0.945) -- ,
(O 918) --..:¡
(0.8471 f'J ~
·(O 0<15) 0 ___ l --- _ L _ _l __ _., _ ___. _ ___l_, __ l ___ .L__j _ ___..L~--1.- - __ L__._I ·O 40 80 120 160 200 2JO
live lood, psi
Fig. 1.1 Z Cu!lluí·,tl\ e frequency dt,tnbution pf Ot~<>r-lc•·Ht tl:tt:l O '
8 e DATA REUUCfiON
in th<''>t' di:1~r:un'. f :\ littk I:'Xp"r;n.dtLttion \1 ith typ!t'af -,d-: of d.tta \\ ilf L'llll\'lllet' tlll' re.td,·r tlt:1t thr chni..-P of lht· uumb<·! of ( Lt--i Ítttet \'al'i can alter Ollt>'" imprl'~'inn uf the d:tt.t'-, beh.t\ ior a gte.tt d•·al. Fignre 1.1 :~ ('Otd.till' t11o hi-..t<lgtallb uf the tLt:L of T:Lh!e 1 1.1., íllu-tl.ctillg tite influen<'e of mt.·n·:d :-.i7.e. :\n rmpitic:d pr.tdic.d ~uide h:t-, Leen ~uggc~t!;d by Sturhes (EI:!Ii]. If lite numLL·r of data \aluc-; i-; 11, thc nitmb~r of in ten· a 1 .. /.. bet 1\ t'l'll t he mini m u m ami maxi m u m \'alur ob,.,crnd :,huuld be ~~I.Jout
k = 1 + 3.3 log n (1.1.1)
in which log:¡rithm:; to the bao;c 10 shoultl be cmploycd. Unfortunatclj, if thc numbcr of 1·:.tlurs is sm.tll, thc choice of thc pteci .. c point at 11 hich the interntl ui1 i~ions are to orcur nlso nuy alter :-.ignific.tiltly the :tppc.\trnnce of thl' hi,togt.un. E'l:ampl<''i can be found in Sec. 1.:2 and in the problcm-; at tite cnd of tltio- clt:tptcr. Such \'ari:ttions in shape may at
f If ach antu¡;L:ou-., Ulll''l"·d in ten ul 11 idtlt~ m a} Le prder..Lblc ('i<'': Scc. 4 4).
30
~ 20 .!? o > ¡¡ Ji JO o
JOO M
e 9 ~
o i: 50 "' .n o
o o
JO-lb intervols
so JOO ISO 200· 250 live looJ, psf
---
-------- -------- ------ -- -------_k·-:-_::::=--50 20C:
o o fir::.~ be di.,eonccrting, Lut t!1c.) :uc l!lt!ie.ttivc '-'· ~l. Lilure of tht- ,ct of d:tta to di ... pby any ::.!tarply tldinetl fc.tture-.., :1. picce uf inf(}llll.ltÍ•J't \\h!ch : .. ; Ítl ít-t•lf \·.duablc to thc ·:•¡¡giuet·r Thi ... r~ilure nl:.l) be: IJt:C:lll·l: úf the ina<kt¡u:tlc sizc uf thc Jata ::-ct or bt'Call"l' of t!d.: u.1ture of tbc phcnonlCIIOH bciq~ ob:,en·erl
U tWMERICAL SUMMARIES
Central value measures Thc single mo;;t helpful number as~ociatcd 11ith a set of data is its average value, or arithmctie :nH~cLU. If thc "cc¡ucacc of obscn·ed values i.;; denot<:d .r:¡, :r2, , Xn, the >ample mean x ¡, simpl}
(l.:?.l)
Fiftccn reinforcecl-concrcte bcn.ms built by engincenug stuclenh to thc same specifications and fabric:.ted from thc ;;..tme batch of conctctC' were testee! in flexurc. Th<:! obscn,ed rC';,ults of f.:rst-crJ.ck ancl ultim.'tt· loads, recorded to thc ncw~::.t 50 lb, are ptesentcd ltL T ..tblc 1.~ l Thl'tl curnubti ··e f¡ equency di.-,tltbutions are .shown in rig. 1.2.1. (The,:; \1 Cl e
........; ~
Table 1.2.1 Te:ots of ldentical rcinforccd concrete beam~ ------------------
Lot:.d ut u·h rch Beam thr firot crarl.. number tea .. • o!>,,, :od, lb
1 10,3:l0 2 8, ·l.iO
3 7,:!ú0 4 5,100 5 6,7.00 6 IO,lillll
i 6 ()¡){)
8 6,(11)()
9 9,.i0ll
lU 6,:;oo ll 9,.;1ll)
12 6,(1111\
t:l h.U·H
11 oJ, .. >t•l
~.-. ¡; ·,: ,,
Fn•lurt !o•rd, 11>
10. :;-.n !1, ,:¡)0
!l,t.>LlU 10, 3tlU !l.-t>~('
IO.ulll'
lll' ll'tl CJ, 'lL)i)
9. :,,:¡;
lll, ci '-' ~l .. l 1 ,, \
9. ,-, ~,11 q . -1
fti,
l·' '
------------------------------------------
10
.... u . ., ., o ~
o .., e :>
u
DATA REOUCTION
)( lood, lb
Fig. 1.2.1 Cumubtivc frcquf'lu:y di"trÍl>ution::;; bcam 1bta.
plottcd by thc mcthod suggcstcd in thc fookotc on page 7.)f The sc:ltter of thc dat:t might be attributcd to unreconlcd construction and te-..tin;~ di!Terertce.:;, inconsistcnt \\Orkm.mship, hum:m error:;, and inherent mat._·ri.d v..Lri:tbtlity as well as ob::.en·.l.tion and mc.t;..urement errors. The mc.\n value of thc failure loads is computed to be
i = ~ \- X, = 148·~·')0 = 9S90 lb n ¿ la - ,_ t
The samplc mean is frcq uently intcrpretcú as a typical value or a centut! value of the data. If required to gi\·c only a single nnmbcr, onc \\ ould ~.r.,b:thly use this s::1.1nple mean :¡.s hi:; "bc:>t predietion" of thc load at 11 ¡,.,.!t a norninally identical beam would f::l.il.
ü~ltt.:r measurec; of the centml tendcncy of a dat:l set include thc modr, th~! mo-.,t frequentl:r occurring v.1lue in thc d:tta sct, and lhc median, tl~. rni•JJle value in an ordered li:;t (the middle v•llue if 11 is odd, or the a' t'Lt;e of tite ll,-o midrllc n.luc;:; if 11 ¡., evcu) (see T.•blc 1.~.2). ThC' orJ.er of o!·,c: ,·ing the v..~.lue~ is u3ually not import.lllt, ami thcy m:\)' be arr.~!·~ed in any 11ay \\ hich is con\·euicnt Thc nwdian of the failure d.tta i~ !)~101) !!,; the moJe is not unique, sincc severa! v:d•tcc~ :.tppc:•r twice and ltllll' J[l['f·,tr·. nvJre time<;_ Tl":c-~f: t110 tcnno, occur commonly in thc ¡¡t,! tl· .. t: of otlw1 11t:ll. ::.,::i <:(•rt~rt¡Uetttly ::.hrJidd be undN~tood, hut tl~t''• {l'l:- ;r,L, (!~:, r:t~_/ IJ~i)o ',d. : .. tL~·l¿JY~! :,, f.P!;inc~:riu~ ptohl•'lll":.
t ·¡ ,. ;.
¡, '1 ,¡ ' . ' !r·o·. ' 1 \ ~ 1
.~·r ~ . .,el! ~o ,~.:.Jt -.1 r:t111dli r ·~f d1tT• n 1.t bt-~~~~~,.'kl1\ 1 qf tlu, f.llh¡r,•
: . U~t· • .. ~ ~· 0! tLr-, :·.· ¡H · o1 d.d t tht'T(''' t ·ri.nt in tl11-.., "'·uuph· , ,~.d--.. ~~~nl'i ~u t··~·' tíl1 ~ntt r\.~1, n. ul, ,., ~.·.· l.l o
NUI\1Efl1Cf,L SUMMARIES 11
Table 1.2.2 Ordcred fir!it· crack. and ordered failure. load data
F~rsl-Ciack Failure load load
5,100 9,300 5,800 9,300 6,000 9,400 6,000 9,500 6,000 9,.550 6,000 9,.)50 6,500 9,600 6,500 9,900 6,500 10, lOO 7,200 - 10,200 8,450 10,200 9,300 10,300 9,500 10,350
10,350 10,.500 10,600 10,600
~
_e:.. Mcasures of dispersion Given a set of observed d::tt:J.. it is ::tl'>o dc:;iLtble to be able to summarize in a single numbcr something of the \·:ui.lbility of the obscrvations. In the p::tst the meas u re most frcquently occurring in engineering reports was the rangc of the dab. This number, '' hich is simply the difference bet11·cen the maximum anrl minimurn \':1\Ut.'~ observed, has the virtuc of being easy to calcubtc, but cerLtin ob\·iou., weakne:;ses have led to its bcing; replacC'd or supplemente,l. The I:tngC' pbccs too much cmpha::-.is on the c:-..tremes, which are oftcn ~u..:pcctell of experimental error, ami neglect" thc bulk of thc dab :md expNiment.d effort \\hich lics bctwecn thcse extremes Thc r:wg ... · is al"o scn"'it[,-,, to the sizc of the sample ob<;erved, as '' ill be dcmonstrated in Scc :~ ~~ :~
A fn.r more satisf:tctory mca:;ure of di«petsion i,; found in the san' ¡•lt· ¡rariancc. It is un:dog;ou<; to thC' momrn t of incrti:t in th:tt it t!e.d-.. '' :t h squares of di-..t:utcc..; from :1. center of gr.t\·ity, '' hich is simply thc ::-.ll~'i'k mean. Thc ~amplc v:triancc s! is delined hcre to be
1 "' - • s' = ñ ¿ (x, - x)- (l.:?. ~.t)
•-l To elimin.lt~.: th•~ dq>endcncc on g,mtplt- si7t', thc ~quarcd tli..:t:tnc''" :tre di\ith•d by 11 tu yidd :tlt :t\'CLlg;l' St¡ll:lTl'tl c!L'\·i:ttil\:t Th('ll' :trt• :'t'\tlld ~ rea:-.on~ f:l\'oring d ¡ \'I")Íon by 11 -· 1' as \\ ill lw :-.1\ll\\-[\ in cQ\ -t, bu t t !t,•
'·
lZ DATA REDUCTION
iutllllÍI t·!y mnr,• :-;·di"hd•n.\ ft•rm 1, illnol he :th.tntlnn!'t!unti! thc re:11!Pr
c.111 :ll'lll"•·•·i.dt• tlw rt'.t'Oil,. Sunil.ttl~·. "lll:dl ,·ompttt.tliun,d chang-1•-, in otl11·t d,·liailton-. gi1 t'il in thi-. dupt<'r I!I:L} he fvtllld de:.ir.d:!r· j 11 ththght uf bkr tJ,,_,.u,.,ion-. on tlw r .. tun:ttion of mnmclll~ of runt!om ¡·a¡ iablcs (Ser:->. ?.-t :lllcl -1.1).
Exp:lll..;ion of Ect (l.:?.:?n) yicld;-; :m cxprl'-;-:ion \\ hich will be found far morr com·cllÍ('!It frir comput:ttion of s!:
" ! \' (.r, - iF 11 ¿
•-1 But, by Eq. {1.?.1),
.. l x, =ni i-1
Thcreforc,
• i ( ~ . -·) s- = - ) I,- - I!I· 11 L.
i-1
(1.2.2b)
The po:-.itivc squ~re root s of the ~.unple varian.~e of the data is tcrmed tite samplc standard daiation. It ¡., analogous tu thc mdiu-; of gymtion of a structUtal cro~s section; thcy are both shape- rathcr than size-depcndcnt paramcter:- The aclclition of :~ co:1sbnt to al! obscrved values, for cxample, would ~!ter thc samplc mean but lcavc thc samplc standard dcviation unch:uaged This uumbcr h~1s thc samc unih as thc .origin:~l cbta, and; ncxt to thc me:tn, it con\·cys more usdul i:tF"•·rnatiou to tite enginccr than any other ::-ingle number \\ l1ich cJ.n be (; .nputed from thc sct of d.tt,L Rouglt!y ~pP:<kirag, thc sm:dler thc st:md:ml dcviation of thc samplc, thc nt0te du.;;terecl abrJt,t the sarnplc mc:1n j.;;
thc data and thC' IL'~" frcquent are lar~c \'ari:ttioll' fz0m tite :~.vcragc valuc. For thc be.tm-failure el 1b the s:tmp!c \':triara~·~~ :md ;,;ample standard
deviation are computccl as fol\o11 s.
• 1 (. ~ • -•) s- =-· ñ ¿ I,- - ~~x-
•-l
- J..ú(l,-li'O,OSU'iO- 1.-lfii,!Sl,.iOO)
192.~0() lb~
o NUMERICI\l SUM~t.f,í'IE!, u
be U"t•cllo com¡un• tlat \":ll·iabd!ly of th(: ,tt~ugth oi LLb bc.tnt-. 11 ith th.tt of fic!d-con-,t ructt•d bnm·;,
\\'hen comp tr::t~ Un~ rel.,tivP di ... per ... ton or more th:m one J...ind of dutu, it i:;: con \'t'!• i<:n ~ to h.:tYc a tll tn<'n-:iol' te ... -.: dc.--criptinn :-u eh a~ thr. commonly qudc<l samplc cocfficicnl of 1'-: .. ·ialum. Thi-. quantity t• j:;
definc<.l as tite rat[n of thc 'i.<mplc !-.taml:trd dc\·i:rtiun to thc sarr..¡Jle mc:ut.
8 V=-=
X (1.2.3)
The ::mrnplc cocfftcicnt of \'ariat:un of thc tx.-.un-failurc data is
8 4-!0 V = - = ---- = o OHG i 9SUO .
whi!e th:ü of the first obscrvcd crack is much largcr, bcíng
&1 = i
1690 = o ?3:3 7310 ·- ~
V) The engincer might intcrpret the difTt.rence in m:~gnitudcs of the~c·
cocfftcicnts as un indic:üion tlwt fi rst-crack load;; :1.1 e "more \',Hi.l b!c'' or more diflicult to prcclict clo:;ely t.han f:.l.i!ure lo:,cb Such infotm.\lion is imporLmt whcn appcar:wcr ns wcll as strcngth is a dc:,igtt critcnut~.
Measure of asymmetry One othcr numcric:tl summ:tryt of ob:scrn•d ll.üa is simply a logic:tl cxtension of the rc.t'ioning lc.tdltlg to thc funm!!a inr thc samplc vari:mcc. \\'he re the varían ce'' :t-; an :.n-er:tgc sccund momcn t about thc mean, so the samplc cocfficicnl of s~etcncss i-; rcbtel1 tu lhe t\~itd momcnt nbout tl.c rne.ul. To makc thc codliciPnt nondimcn,.;iotul, th~' moment is OÍ\ illecl b_:. thc cubc of thc sample st.1ntbrl! cle\·i:ttion
Thc coefhcirnt of skC\I·ness [/1 pro\·ide,; :< nw.t.;llr~ of the de~l\'l' of
t A fourth nuntcl iei\1 summ:try, thc cocjfitic11l o/ 1-.urto;is, 1~1ay .d-e' he empl•') ,.,¡ W1thout lnr¡;P sarnplc si1es, ho'' C\'Cr, its u~e 1s scldom n·,ota:••rr.<ll'll
Thc s:uuplf' coefl..-ient of kurtns1" g, •~ rebtl'd to ti.,· "pl'.t\,,·clm·,," L'f t!.c
histo¡;rJ.m .. (l/n) L (.r, - i)'
• -1 ---------------g, = ,. .~ p' f'
kuritt .l-- 1 11 'lP 11'''' ,q .\ \'p( \11\')1\h l'[\( 1,.11\Ttt,·r,•LI },¡ tt----h t.·,·~ ¡ c•••tl!l'..:i\l,'> l t.\" H' ~
\\t ~t •11 t •• •r¡: [1' ,q t:,. nn'"r•u: 1 r·~u:, (~··• :~ ,i. \) l'or tL~ ~Ld.l \¡,'l~.o,
lj: • l.l .. ,l ·, .t .< ,,,,)
o l t): < :t ¡\ r t •J.
~''YIIIIII•'';: .tl• .. nl IJ¡, ' • .1'1 of th•· d d·a.
n
(1 11) \' 1.:, - i) 1 ... '~ 1
sl (1.:!.-t)
The ctwfiit·iL•nt ¡,.. p•hitiw fnr hi.,tt•~ran¡... skPWL·d to thc right (i c., "ith longt•r tails to thc right) and 1wgativc for thosc skewed to thc lcft Zcru ske\\ ne"" re-;u(t:o.; from symmctry but does not necc5,..arily imply it.
For thc bcarn-failurc data of Tablc 1.2.'1,
g, = Lf~J!_t~~~~~),OO~~ = O.lO:l >o
indie~üing mil<! ske\\ llC::.-" to thc right. Thc implication ¡., that thcrc werc fe\\l'r b11t l:lrgPr de,·iations to thc high sidl' than to th(' 'ow sidc of the aver.tgt' value. (Thc sample codTicicnt of skcwncs" ,..o~tntld be calcul.tt•·d u ... illg .r, - i, sinct' ~m cxpan.,ion similar to Eq. (l.2.'2b) for the :,a m pie v.u ianct• dot'S uot. pro,·e u-;eful.)
In this case, if thc studcnts rcportcd thcir experimental results in thc form of only tluee numbcrs, i, s, n.nd {/1, it \\Ould already be suf11cient to g.lin apprcei.üion for tlw ,tupe of thc hi.:;togmm. The economy in the use of such :mmpfc avcr.1gcs to transmit informn.tion about dnb bccomcs e\·cn more obviou-> a'> thc amount of data incrcascs.
1.3 DATA OBSERVED IN PAIRS
lf paire•l samplcs of two items of rebted intcrest, such as the first-crack load and the fatlurc load of n. ben.m (Table 1.2.1), are available, it is oftcn of intcrest to investigate the correbtion bct\\'ecn thcm. A gmphical picturc is avaibblc in thc so-calleJ scaltergram, which is simply a p!ot of ¡!,,_. obscrvcd pairs of v:.ducs .Thc scattergram of t~.c rcinforccdco'lerde-bcam data is shO\\n in Fig. 1.3.1, ''herc thc x, are valucs of first-cmck !oadÓ> and the y, are valuc:; of failure loaÜ.'>. Therc is no clc.uly defincll functional rcb.tion.~hip bct\\ecn thcse observations, cven thour,h an cngitlecr might cxpert brgcr-th:tn-avcr:tgt> values of onc lo:ul gcnt:r.dl) t,_. p:•ir "ith Ltrgcr-tkut-:tver,tgc v:tluc"i of thc othcr, and sirnilarly \\ith lov. vo.~.htr;,,
A numcric:d Ól~lmm.try of thc tende1tcy to\\ards high-lai;;h, low-lo\\' painng;; Í'> prov\rLd hy tht: S!lii!JI[¿ COl'tll wncc s.\ r, dcfined by
.. 1 \'
Sx.Y ::· - / (;r, n ._, ·-!
f)(y, --- y) (l.:U)
C!c. r~y. ~o· • . ~ r n •. ~~. · · tL ·: .:'>t r "~·r· \·:due- of J' an· fr· •¡Ht·ntl: p,,¡,,.d v.¡t), ¡,,,, ,!!, 1,1,, '· ·'· · r ._ L·l'!·- of IJ. m<~-t <1t t!.o_• tnrtl"i \\il! iw o
DATA OB:O(HVE!' 111 Pf,if~S
y
.$1
:¿n,ooo o
.E ~ . ,
"& 10,000 ~ ~ • .. .. • .. .$1 o
•
lS
• • • ..
• .. • • • • o
ol~~--~~~~--~--~-o 6000 7000 8000 10,000 11,000 .X Ob•e,..,ed first croe\.. load, lb
Fig. 1.3.1 B('am-d::~ta !lcattergram; plot shows bck of linear corrcl.ltio•¡
positive, whilc small-brge pairings will tcnd to yield ncgati,·e valucs of
Sx,Y·
It is common to normalize the samplc covariancc by standard deviations, denotcd now \\ ith sub'>cript:-;, sx and sr. is callcd thc samplc con el al ion coefficiclll ''x. y:
Bx.Y _ 1 ¿" (x, - i)(Y· -Y) r z Y == -- - - --- ---• SxSy n Sx S y
i-1
the samp!.: Thc re:<ull
'4 .~
(1.3.2)
It can be shown that rx:r is Iimitcd in vuluc to -1 ~ rx.1· ~ l and tlut the extreme valucs are obtained if and only if thc point:> in thc sc,\ttt>rgr.un lie on a perfectly straight !ine, that is, only if
y, = (l + b.r,
the sign of rx.r dcpcncling only on the sign of b. In this case the f.tctnr-" are said to be pe1fectly corrclated. For other th.u1 pcri~ctly linl'.H relationships !rx.rl is lc:,.s than 1, th(' spceific \':\lllL' r.u· = O being ~.tid to indica te that thc r's and y's are Wlco1 1t'laltd Thl' .r's and y',; m:ty, in fact, lie on a very wc!!-ddincd nonlinL':tr Clll \'!' :mrl henct· bL' clt':-cl.', perhap-. funrtiPn:dly, reLüed (for cx:tmple, y, =- b.r.~); in thi..: e.t't'. tht' absolutc valut· of tite s:unple corrd.1tilln cndficiL'Ilt "·il! be _k" th.tn l'ttl' The codlicicnt i::. actu:dly a me:t:<nre of only the lr'nun· corrl:\.ttion bl'f\\ l'<'ll the factor:. :>amplt'll
:For the be:un d.tb of T:tble 1 ::? 1, the :':t mpk ('tl\':tri.lltl'l' i-.:
3:c, 1 --" ~ )' (r,- i.\!O)(y, --- !l'Dü)- !)!:2l)L)!\.~
IL '-~ • ~ t o
16 o 1~00
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whi!e tite s.tmplt. COI n:btion codlícient is
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Tbt• smali ,·:duc of t!,;., codii.cicnt ::<umm.uile~ thc qu"dit.tti1·c conclu.o!O!l rcached by ob:>crving; tite se lttcrgram, that is, th.,t thc fir:-,t-cr~Lck load,
and fai!urc loads a:e not c!o::.cly rclatcd 1\~ thc engincer 11 ho mu-st judgc thc ultint:!te 'itrcP;,;th of a (momcllt) ct-td-:ed bcam, thc implication~ are th..tt thc cr..1ck due" not necc::,~arily nw:la th"Lt (momcnt) f:tilutc i.-; immmrnt, and abo t!tat he carwot succc:--fully m-e thc ftr,t-crack load to help prrdiet the altimate load bettcr (St·c. -4 3).
!llu:.tration: l;,rgc correla!ion As a ~~;cond C'-.llo·plt· .·on~idcr a prol>!cm in nor\edliquor an:d} or; ~u,.prndet! ~ol~tb (:\[ r.,..;·-·1 ca.-: be reMirly me.1-urr d, but vobtile sof,,¡., (:\!L\'S¡ pro,·e rnure Jrffi, :.lt It woulJ be eOnlllllc'llt tf a m,.a,urc of :\!L'3 ro,Ild he mtupr,t .. d in t•:rro" of :\!L\:S A ~.att•·q;r.toll
bet"Lt-'1~ :\[L'.';-; une! .\ll.':i ,, ~1!:.1· 11 rr: h~: l.:l:.! Thc S.LIIII'k corcl"l.lttnll .e"c
18
PROULH15
1.1 Tt•ll tirulo,, 1 ... llll' \ll'll' t•·~ttol 011 11 ::,p.tll nf 1 ft h) 11 :,in~!.· COIII'PIItrale<l lu:11l al 1111•! ¡•tn Th" l)<>u¡::l.,, fir lo,.,,,ll, \\en :! lo;. lru mnornin.tl ,,...tion (adual ~~·•!ron· 1 ti; h,;. ;¡ ·,11 in ) Th•• purpo-o• of tl~t· >-ludy \\ ·'' tu lompan· ultim:1!1' lu.ul :tllll lt>.t<l alto\\ .tl•lt• 1•,;. !turl•lrn¡:: •·o,lt· (:1~11 lit), to t·nmp:Ht' al'!ual arul eal<-ul..teol d..t!l'l'lion (/': = l,ti(Hl,llOil ¡bi\, :urtl tn do tt·rrllllh' ii 11 nl.ltin11-hip t•:o..i,ts bet\\('l'n ri~i,hty ami ultuH:t!c ... tren¡::tlo.
Dejl.:cl 1011 at 1
C:ltrmalc Spt'CIIIIt'll u·orl..mg load, in. load, lb
--- ·--- -- ----o 1GU . 1 7:.o
2 0.130 23.i0 3 o l:i.') zo;u 4 0.131 2100 5 0.13.) 152.)
6 0.12.3 2000 7 0.16S H.iO
8 0.130 2100 9 0.1.50 147.}
10 o 132 167.:;
Compute thc sarnplc m<'an and \'arianrc for each set of data. Construct hi~togmms und relati' e frcquen• y di~tributions for ea eh set. Plot the scattcr diagram ami compute thc corrclation cocfficient. \\'hat are your eonrlusions?
1.2. Ten bolted tirnbl'r joinb ''ere testcd using a ~f-in bolt pbced in clouble shear tlrrough thrcc pif'cc:> of 2 by -t rn (nominal ::,izc) Dougb~ fir. The re::,ults of the tc::,b
u ere:
Load al Lond al
yield IJ/ yuld of
H& in, }8 11t ' Ultrmalt•
Spt'CliiU:II lb lb loar!, lb
----- ---------- -----1 3;j00 3!)1)() 4000
2 3-tOO 3')00 3)00
3 3100 3f.l)¡) 3SO'll
4 2i00 3i00 4l.i0
5 2!)00 3G.-;O 4o·,u
6 3100 42-·ll 4 iOO
7 2700 3íf)() ¡ 410Ll g 3100 37t)U ¡ 4:?-,n
9 ;J¡OO J, nt, 1 4) ~,. ~ -' l
lO 1 2:00 :l,_:•J¡¡ 1 311.);
1 ---- -'--·--·-· ---o ----·------·- o
PRODtEMS
Cakulntc thc ~arnpl .. "tant!.,•d dt:\ r.:tiC•II' and ro<-Hiticnb of varr:ttrrJil Plot a scottcr diagram nnrl compute tlH· >""PI,· <úrnl.tlron •·oef!ioit•nt !,Ll\\t'l n lo,td at yicld or H Íll. nncl ultirnatp load ~.,¡,~ht thh '11"1'1' r, llúllUI -.lrut·ti\ e tcot be LOa·
eidcrcd as :1 prcdu tiun uf ultrmatc JO"Jt c.tp" lt)?
L]. Jack and anchor Corees wcre mcasurcd in a JHI'"Irc~.scd-concrctc lift-,lab ¡oL for both str.1i!!;ht and cun·ed cablt:,. The ol.¡<·l ti'. t: ,,f tloc ~twly \\a.-; tu obt.1in cotlln.o r,·~ o( thc infiUl'lll'C of frl<'tion .tml t·unaturc. 1 he d.t!.t ar(' gi\CI\ Ín tcrlll::, of tire r ... tiO
or jsck to aochor forre.
Slraig1rt cabfes
1.660!) 1.5-1!)7 l. 7190 1.653-t l.i446
. 1.4954 1.68:5ü 1.4SS2 2.0Sll 1.9Sl9 2 18~i3
2 006i
Cuned caUe.,
2 0-tG l 1 i-t!JG 2 U~·) 1 1 81'-; 2 132.:o l. 92.)0 2 5022 2 OS30.._J 2 -t:!SúC\.) :? 137i !:! f,l'l'\
2 t,:; ¡·,
2 3llll 2 8lJ 1 2 420u
Compute tire sample mean and varr:tncc of caeh ~ct of data Con,tru< t histogrJ.m'i, frLq\ll'nry dt,tributlOns, and cumuLttJvc frl'quenc) dt~tnbutr•>n' .\''"'"· in~ that thc ¡ud, furo e-; are conotunt, 1\ lrat can be s.ud .dwut thc rnfluo:tllt' ,,f 1 "'':•n.d c:urvuturc un frrdwn !vos?
L4. The fo!IO\\Ing vulues of ,bc·u ,tren¡;th (in tons pcr sq•J.tn· foc>t) 1\l'rt: ,lt'( 1 ··•r·u! by unconfi11rd comprt•;,::,run tc~b of sor! frorn \\',¡ukdl Cr,Tk, C'.drr'D.II', f'i.•t hi.~togmms of thi~ cbl:t using; four, si,, ami cr¡,;lrt inkn .tb In tlrr· ,,.,'"".¡ .,_, . ,.,, aidcr thrcc drtTcrent loc.ttron, of thl' tntcn al cll\ r,wn pt>inh \\'nh :1 f,." ,. ,u . . ,,.. points, as hcr.·, it m.ty be l.lth .wtngcou~ to con>id,·r Ullt'<tll :1 intl'n :d,, ''"'~, r ll' t ¡,,. right-hunJ t:ul
o 1:.? o 21 o 3ti o 37 o 39 o 46 o -t7 o ;,o o 50 o 51 o .)3 o .i~ o 61 o 6:! o 7i O SI 0.93 Qj 1 5!J l.i:l
L5. Compu• :;rt' mdi\ldu·•l ~.lluple llll'.on,, ,('rnd .• lll ,¡,.,r.rlot>n~, :11"! .. ,,, •i ,,.!.:.u: VlliJ:Itlnn 1t>r tite b, •lllf·nt, fourth flot•l, arulnmth flt•t>r ,,f thl' fl,.,·-: .. ,.! .'·· l:l
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f(¡t t. 801/k CéJMPANY. AlE //I/ Jlf//CI< •
" o
79 110 BINOMIAL, NORMAL AND POISSON DISTRIBUTIONS [CHAP. 6
STANDARD NORMAL CURVE ORDINATES o This table gives values q,(t) of the A~ standard normal distribution q, at t === o
in steps of 0.01.
o t
' t o 1 2 3 4 6 6 7 8 9
0.0 .398!) .3989 .3U8!J .3988 .3986 .3!l84 .3!)82 .3980 .3977 .3973 0.1 ,3!)70 .3965 ,3961 .3!)56 .3951 .3945 .3939 .3932 .3925 .3918 0.2 .3!J10 .3902 .38!)4 .3885 .3876 .3867 .3857 .3847 .3836 .3825 0.3 .3814 .3802 ,3790 .3778 .3765 .3752 .3739 .3725 .3712 .3697 0.4 .3683 .3668 .3653 .3637 .3621 .3605 .3589 .3572 .3555 .3538
0.5', .3521 .3503 .3~85 .3467 .3448 .3429 .3410 .3391 .3372 .3352 0.6 . .3332 .3312 .3292 .3271 .3251 .3230 .3209 .3187 .3166 .3144 0.7 .3123 .3101 .3079 .3056 .3034 .3011 .2989 .2966 .2943 .2920 0.8 .2897 .2874 .2850 .2827 .2803 .2780 .2756 .2732 .2709 .2685 0.9 .2661 .2637 .2613 .2589 .2565 .2541 .2516 .2492 .2468 .2444
'
1.0 .2420 .2396 .2371 .2347 .2323 .2299 .2275 .2251 .2227 .2203 1.1 .2179 .2165 .2131 .2107 .2083 .2059 .2036 .2012 .l!J89 .1!J65 1.2 .1942 .1!)19 .18!J5 .1872 .1849 .1826 .1804 .1781 .1738 .1736 1.3 .1714 .1691 .1669 .1647 .1626 .1604 .1582 .1561 .1539 .1518 1.4 .1497 .• 1476 .1466 .1435 .1416 .1394 .1374 .1354 .1334 .1315 o 1.5 .1295 .1276 .1257 .1238 .1219 .1200 .1182 .1163 .1145 .1127 1.6 .1109 .10!)2 • .1074 .1057 .1040 .1023 .1006 .0989 .0973 .0957 1.7 .0940 .0925 .0909 .0893 .0878 .0863 .0848 .0833 .0818 .0804 1.8 .0790 .0775 .0761 .0748 .0734 .0721 .0707 .0694 .0681 .0669 ].!) • 0656 .0644 .0632 .0620 .0608 .05!)6 . .0584 .0673 .0562 .0551
' 2.0 .0540 .0529 .0619 .0508 .0498 .0488 .0478 .o !68 .0459 .044!l 2.1 .0440 .0431 .0422 .0413 .0404 .03!)6 .0387 .0379 .0371 .036:> 2.2 .0355 .0347 .033!) .0332 .0325 .0317 .0310 .0303 .02!)7 .02!)1) 2.3 .0283 .0277 .0270 .0264 .0258 .0252 .0246 .0241 .0235 ,0229 2.4 .022·l .0219 .0213 .0208 .0203 .0198 .0194 .0189 .0184 .0180
1 2.5 .0175 .0171 .0167 .0163 .0158 .0164 .0161 .0147 .0143 ,0139 ¡ 2.6 .0136 .0132 .012!l .0126 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 ,0107 ¡ 2.7 .0104 .0101 .00!)9 .00!)6 .OO~l3 .oon .0088 .0086 .0084 ,0081 2.8 .0079 .0077 .0075 .0073 .0071 ;oo69 .OOG7 .0065 .0063 .0061 2.!1 .0060 .0058 .0056 .0056 .0053 ;oo61 .0050 .0048 .0047 .0046 . 0.0 .oo.:-1 .0043 .0042 .0040 .0039 • 0038 .ooa7 .0036 .0035 .0034 ' :u .0033 ,0032 .oo:n .0030 .002!l .0028 .0027 .0026 .0025 .0025
l :;2 .0024 .0023 .0022 .0022 .0021 • 0020 .0020 .0019 ,0018 • .0018 3.3 .0017 .0017 .OOHi .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 .0013 ,0013 a.·l .0012 .0012 .0012 .0011 .0011 .0010 .0010 .0010 .0009 .0009 1
3.5 . 000!) .
.0008 .0008 .0008 .0008 .0007 .0007 .0007 .0007 .000t1
¡ :).fj .0006 .0006 .0006 .0005 .0005 .0005 .0005 .0005 .0005 .0004 :;.7 .0004 .0004 .0004 .0004 .000<1 .0004 .0003 .0003 .0003 .0003
1 ~8 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 ,0002 .0002
1 :t~ .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001 o
Tablc 6.1
"' {l" 4 -W-
20 CHAP. 6) BINOllliAL, NORMAL AND POISSON DISTRiliUTIONS -;_¡_l
o STANDAHD NORMAL CURVE AH EAS
This table gives areas under the stand- ~ nrd normr.l distributíon q, between O and t::, o in sleps of 0.01.
o t
o 2 3 4
= 1
5 6 7 o ~·
0.0 . 0000 .0040 .0080 .0120 . .0160 .Ol!lD .. 0239 .0279 .031!) .ü;3;;0 1
O.l .O:l•IS .0438 .0<178 .0517 .0557 1
.0596 .0636 .0675 .07H .0-:".) ~
o.:: .07!)3 .0832 .0871 .O!llO .0948 .09il7 .1026 .1064 .1103 .1 Hl 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .HRO • 'i 'i 1 'j (),.¡ .151i4 .1591 .1G28 .166\1 .1700 .1735 .1772 .1808 .1844 .18í~l
c.r. .Hl15 .1950 .1 !)85 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2H•O '1'11'}• ............ ';~~ O Ji .2258 .2291 .232·1 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .~.j.;!)
0.7 .2580 .2612 .26·12 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2~=',~
0.3 .2881 .2!)]0 .203!) .2967 .29!)6 .3023 .3051 .3078 .3 ~06 ,:¡;-,·¡ 09 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .33-10 .3365 .3JC~I
1.0 .3U3 .3·138 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .35r•') .3t)'2l 1.1 .3G43 .3665 .3686 .3708 .372!) .3749 .3770 .37!)0 .3.:<10 ,:\.j:JI)
o 1.2 .38.J9 .38G!) .3888 .3!)07 .3n5 .3944 .39G2 .3980 .3r'n .~n! ,; 1.3 .4032 .4049 .40613 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .41 G2 ,>\ 177 lA .4Hl2 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .43ú6 .431!)
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .440G .4418 -~ i2fJ f., ..
·"-~ ~ 4 l.
l. ti .4·152 .4463 .4474 .4484 .4•1fl5 .4505 ,4515 .4525 ,·l535 .·í3 !fi 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .45!!1 .45!)9 .4608 .4616 .4G2:=i ••• (., '1 ~
L8 .4GH .4649 .4G56 .4664 ,4(i71 .4G7B .4686 .46!)3 ,4'.)!)~ .l. j" (¡,) 1 !) .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4760 .4756 .4761 .47G7
20 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .47!)8 .4803 .4808 ,41) 1::: .~Si 7 ", ~··
..1821 .4826 .'1830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 ,.¡¡:;;,.¡ .4.~37
22 .4861 .48G4 .4868 .4871 .1875 .t!878 .4R81 .4884 .~887 ,<1¡;!11)
2.3 .4893 .48!)5 ' .48!!8 .400] .4fl0·1 .4906 .4!!09 .4!!11 .4r'i 3 ~ ~1 f¡ ¡ ti 2.4 .4Dl8 .4020 .4fl22 ,4!)25 .'l!:J27 .402!) .4931 ,4!)32 .4!J:J.: ,1!)':.,
" ~ -·¡¡ .4038 .4940 .49H .4943 .4945 ,4!)46 .4948 .4949 ,4!"1;jj .4!)5~
2 lj .4!)53 ,4!)55 .4056 ,4!)57 .4!)59 .4 !líiO .4!!61 .4962 ,1\)¡,'l ,.1(¡¡,,
2.7 A!JG5 .4%6 .4 !)(i7 .4%8 .4969 .4070 .4971 .4972 ,4!•7:! .IJQ7: ~.8 .4!l7·1 .4075 .4076 .4977 .4fl77 .4!l78 .4!)79 .4a79 ,.::.¡;o .•1!J81 2.~ .4!!81 .4982 .4082 .4!183 .4984 .4984 .4985 . ,4!)85 .4!lí>G .4!J8ti
:J.O A:J87 .4!!87 .4087 .4088 .4!)88 .4!!89 .4989 ,4!)8!) .49;•o .l,r¡~()
3.1 .4!:l!JO .<lfi(Jl .49Cll .~091 .4092 • .:DD2 .4!)!)2 .4D!l2 .4'1 1)3 .·~CI01 ;j,:¿ .4003 .40!)3 .4fifJ l .-1fi!l4 .4fJfi4 .4!Hl4 .49()4 .4~% ,·l~b5 .~ ~~~~~ 3 .. ... .4!!05 .4fi!J5 .<1!)!)5 .40% ,.1!)!)6 .4996 .49!)6 .4!196 ,.!!)% A:J07 3.·¡ .·19()7 .4!)!)7 .4!)37 .•!!)97 .4907 .4!)97 ,4!)!)7 .4097 .4üCI7 .~GDtl
~.:; ,1,()!)8 .4fiG8 .49!!8 .4908 .49!)8 .4908 .4!!98 ,4!)!)8 .4!l(JS .4:'1\ld ~ . ,ol!)fi8 .4G!l8 ,oj!)!)!) .40!)!) A090 ,4!)90 .4()!)9 .4!)00 ,.) :J(I~l .~fl~l~j o (),,, 3.7 ,.;!)!)!) .40:)0 ,.;()!)!) ,t!('l!)~j .•1!!0!) ,4!lfl0 .41)!)!) .4fJ!)!) .. :;,~ug • '• ~j í¡ ~· 3.8 .4:1:19 .•lfifi() .t.GGD ,4!iOD .·10!)9 .49:)9 ,4fJD!'l .49tl[l .~~0:) • ¡ ~ r
,•t.f. ,J
L 3.9 .:;o o o .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 ,;)lj!)O .:,Vl,,)
T .1ble 6.2
l? l 112 ·BINOMIAL, NORMAL ANO POISSON DISTRIBUTIONS
VALUES Olí' e-~
),. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6
e-~ 1.000 ,006 .810 .7<11 .670 .607 .640
).. l 2 3 4 6 6 7
L. e-). .368 .135 .0408 .0183 .00674 .00248 .600012
Table 6.3
Solved Problems
lllNO~IIAL DISTRillUTION
6.1. Find (i) b(2~ 5, Jr), (ii) b(3~ 6, 1}, (iii) b(3; 4, .¡), Here b(k¡ n, p} = G) pk qn-k where p + q = l. (i) b(2; 5, i> = (~)(i-)2 (~)3 = 2.:.! <i)2 (")3 = ~
1·2 11 24:1'
(ii) b(3; 6, ~) = (~) (~)3 (!)3 = ~{1)3(!)3 = 5. 1·2·3 • Ti
(iii) b(3¡ 4, -t> = (~) (i)3(~) = (~) <i)3 (~) = .¡ (i)3 <!> = .¡¡.
0.7
.407
8
.000335
[CHAP. 6
' '1
0.8 O.G 1
.440 .407 i i
9 10 1
.000123 .000045 ¡
6.2. A fair coin is tossed three times. Find the probability P that there will appear (i) thl'ee heads, (ii) two heads, (iii) one head, (iv) no heads.
1\tethod l. We obtnin the following equiprobable space of eight elements:
S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
(i) Thrce henda (HHH) occurs only once among the eight sample points¡ hence P = i• (ii) Two hcads occurs 3 times (HHT, HTH, and THH); hence P = !· (iii) One hend occurs 3 times (HTT, THT and TTH); h~nce P = !· (iv) No heads, i.e. three tails (TTT), occurs only once; hence P = t·
:\Iethod 2. Use Theor.em 6.1 with n = 3 and p = q = i· (i) Here k= 3 and P = b(3; 3.{) = Cl (J)3 (i)o = 1• n •1 = n· (ii) Hcre k= 2 and P = b(2; 3, ~) = (~) (-~)2 <·&> = 3 • .¡ •-?¡ = ~· (iii) Hcre k= 1 and P = b(1; 3, -~) = (~)(~)! (~)2 = 3 •-i• t = ~·
(1v) Hcre k= O nnd P = b(O; 3, ~) = (~)(!)O (~)3 = .1•1• -j¡ = -A·
6.3. Team A has 1)l'Obability ~ of winning whenever it plays. If A plays 4 games, find the probability that A wins (i) exactly 2 games, (ii) at least 1 game, (iii) more than half of the games.
Here n = 4, p = R and q = 1- p = -h· (i) P(2 wins) = b(2; 4, ~) = (~) (fi)2 (~)2 = f¡.
rlJ- A
o
o
o
o
Ore-grade control in sub
horizontal deposits
519.27? G22 013 34
Synups1~
1\ b.lSIC' prnbiPm of qual!ty control 1s the extract10n of a max1mum Pi•,' tonr:,1rF' f:nn1 a mtne workmg undcr constra1nts of quahty '"ll!'n:Pd 01.1rles for exilmple) The d1rect solut1on to th1s problem n·;,•, -<:''¡oJuc Jn mextncable combmat1on analys1s of all poss1ble '''' .,1 selfcr•nns Hence. 1t IS of pnme 1mportance to des1gn a >~<-·: :.1 ;1 Jnd eff1r 1ent selec!lon procedure wh1ch avo1ds such an :"' ,h • •'• tl•c workmg be1ng d1v1ded :nto N mm1ng un1ts P, of con•,. 1"' .. <TI70nt<ll sec!1on the best cut to select on each of the>e N .· n· dcduccd very s•mply from a umque cutolf grade m case
•''111111·1CY the cut wh1ch max1m1zes a quan!lty, mterpreted J, "k• .;lllPPrfll 1s selected
ir,., ~tressr•d th,'l mmmg 1s by panels. never by drill-holes hence. ,•· .· n .. 1st f1r3t proceed to the unb1ased est1ma!1on (kngmg) of the rnr-,1n charactens!lcs of these panels; m the best condtttons kng"'[l .:llows calculat10n of conf1dence hm1ts Cutoff performed on '<l'V drdl-hole- data would Hrevocably result tn an overest•mat1on of ihr ICCflvered ore. wh1ch could be econom1cally d1sastrous
1 r e theory of opt1m1zat•on 1s presented f1rst and then 1ts pract1cal i!ppl1c1t1on to ore-grade control of the Togo phosphate depos1t. We~lAfr1ca
Statement of the problem Constder a sub-honzontal sedtmentary depos1t. contamtng a sectton W composed of a set of N panels P,. the honzontal sect1on s of each panel bemg constant (see F1g 1) Note that the sect1on W can compnse severa! separate sub-workmgs (W, + W2 1n F1g. 1 ). The
--·---- - ---l-
F1g 1 SPlect1ve mmmg
r1c-lll m•·lC'ral,¿ed thtckness L, ts vanable from one p.Jnel to another Each panel P, IS subdtvtded tnto severa! sltces of eqt1al verttcal th1ckness. whtch will be denoted ¡ = 1 to L, Each of th'ese slices has a mean charactenst1c ', (¡). such as the grade. for example
Sectton W:ts not nch enough for non-selecttve mmmg Hence. the oroblem ts to mme from W a maxmwm ore tonnage. the mean grade ·r of wh1ch 1s guaranteed to be supenor 10 a /mutmg grade r 1
On each of the N mmtng untts P, an opt1mal topwan a, o and tootwall b, 0 must be deftned tn such a way that
Manuscnpt flfsl rece1ved by the lnstltut•on of Mmmg and Metallurgy on 23 October 1973. rev1sed manuscnpt rece1ved on 6 December, 1973 Paper
A G. Journef Ctvtl and Mtntng Engtneer. Maitrc de Recherches ENSMP H. Sans Geologtst ENSG 8oth of the Centre de Morphologte Mathémattq'J'.:. Fontatnebleau. France
the total recovered ore tonnage should be maxtmum ;md the menn grade r of thts tonn;¡ge should be er¡ual rJr
supenor to the ltmtttng grade r 1 r ~ r, · In wnttng (a, 0
• b,") the superscnpt des1gnates the opttmum cut on panel P,, among Jll posstble cuts (a,. b,)
The problem does not cons1der the poss•btltty of mmtng separate hortzons tn the same panel The selected cut (a, o. b, 0 ) ts C)mpact. and dtrt layers wtthtn (a, 0 • b, 0 ) are not dtsttngUtshed
In practtce. the true vafues L,. O,(¡) and r are un· known. They must be esttmated wtthout btas. and. preferenttally, w1th mtn1mum esttmatton vanance ,(kngmg). The parttcular kngtng procedure applied to the Togo phosphate depostt 1s presented brtefly later m thts
F1g. 2 Perm1tted nsk
paper As a certatn errur ts made when the mean grade r of the recovered ore IS esttmated by .,.·, the mean·grade constratnt r ~ r, IS wntten ;n practtce
.,.• ~ .,., + f3a-: where a2-: =E{[.,.- r"] 2} ts the esttmatton vanance of r by T. Kngtng ensures the mtntmtzatton of thts vanance f3 1s a parameter deftned by the allowed rtsk a of recoverJng a mean grade r 1nfenor to the ltmtttng gradt> ,.1 lf a Gauss1an law ts classtcal!y adopted for the errors T - .,.·.
parameter {3 has the rr.:!owtng values. f3 = 2 (for nsk a= 2 · 5 per cer··}: f' ~ 1 · 28 (for nsk a= 10 per:cent}; and f3 = O (for r:~f: e: ::: 50 per cent)
T echnical optimum The precedtng opt1mum provtdes a set of N cuts {(a,o. b, 0 ), t = 1 toN} to be selected from sectton :,,: Th1s opttmum 1s tndependent of techntcal constr . .:n,s. for example. the two ne1ghbounng footwall elevat1ons b,o, b,o+, may be too dtfferent to allow haulaqe (s•·c: F1g. 3}. Hence. a second techmcal opttmum must b(.
.¡.,.......,...,.,-t.--¡
' : Tectn·.~cai ~f:_:::L.:::.:~~~~-i:opt,rv,uPl
~
Fig. 3 Techn1cal opt1mum
deduced from the ftrst opttrnum. accordtng to <'Clch parttcular set of techntcal constramts Once tll1s :.~d1"' · c;¡l opt1mum tS defme.-:" k>:gmg of 1ts recovercd c·l\' provtdes the effecttve!v recovNed mean graoe As techntcaf constratnts can vary constderably from Ull•J
mtne to another. the theorettcal exposé wtll be ltrn1ted t•J the problem of deftntng the f1rst optnnum ¡(a,". b,").l
'
Tr,eory of optrmrzation 1
Nofaf/(}n C" , .. · •:1 1'. 1•'', ·, -' b, -a, be the lcngth of a poss1ble cut ,.1, !') , ll.ti·JCtcnzed by 1ts topwall a, and 1ts footwall f 1 ¡·' ''tmplliy 1!10 nomenclature the product of m Sltu
d"'N :y . md tllr ::.cc!1on s of the panels will be taken as a c._.:l:·r.mr C'Q\1·1· ·iO 1. the unrt of length berng the consl,1:l! v('rt1c1l thrckness of the panel shces. Hence. we ol,t.111• for panP! P, Recovcred ore tonnage for the cut (a,. b,)
T1 =e, RPcovered mPtJt tonnage for the cut (a,. b,)
""" O,= ) 9,(¡) ~
t•(a,.iJ,)
:!·u: tJr .. ; · 1 the arade vf slice 1 w1thm the cut (a,. b,). 1 ~ :'' • ~!rilde of the rccovered ore IS
O, g, -=- r
1
Or~o poss,ble global select1on is the set of the N possrtlle cuts ! (a, b,). 1 = 1 toN}. one cut (a,. b,) being dPf111ed on each of the N panels P, comprrsrng section W For the total recovered ore Total recovered ore tonnage
/\¡
T =E T, '-- 1
Total recovered _metal tonnage N
a -= z o, 1 ~1
Mean grade
o 7' = 1
Among the numerous poss1ble global select1ons f(a,. b, ). 1 = 1 toN}. wh1ch :s the one {(a,o. b,o).l = 1 to Nl ~11vrng a max1mum ore tonnage T. w1th a mean grade T superror or equal to the grade hm1t T¡?
Combined analysis Each panel P, 15 composed of a certarn number L of si1ces of constant vert1cal thickness (see F1g. 1 ). Ány oossrble cut (a,. b,) 1s composed of e, = b, -a, shces. Hencs. on panel P, one has one poss1ble cut of length O. rrnply1ng the panel 1s left. L, poss1ble cuts of length 1 sil ce, L, - 1 possrbie cuts of length 2 sil ces and one possrble cut of length L, shces. or the whole panel mined. Tllus. there are
L, (L, + 1) - .. _2 ___ + 1
possrble cuts on panel P,. . As sectron W compnses N, panels of respectrve total
lcn!]ths {/_, 1 "" 1 to N}. the number of possrble global r,pl<:'c ilnn•; ¡r;
A . /'¡ [ 1, ( '-: t 1) + 1 J = , ~ 1 2
[L,(~1 +1_) + l] [~ 2 (L2 +1J + 1]
[ Lr~(L~~l + 1 J .. Wíth N == 1 00 pAnels and an average length of 1 O sl1ces there are A = 56' 00 global poss1bi11t1es-a number great enough to drscourage any attempt to frnd the opt1mal possrbilrty 1 .
A can be reduced cons1derably by n~trng that. among the L, possrble cuts of length one sllce on panel P,. the cut that rnaxrm1zes the metal tonnaae O. rs r:mt;:¡mlv
that whrch vv ·Juld be chosen Let O, ( 1) be the maxtm•.ur. tonnage for a cut of length 1 In thc s¡¡mc 'NA'f. amo. <l the L, - 1 possrble cuts of length 2 sltces the cut th;Jt maxrm1zes the metal tonnage O, JS ccrt<Jrnly that whtch would be retamed Let that maxrmum t0nnaqe he denoted by 0,(2). and so on. to Q,(L,J Her.ce tr•c number of possrble cuts of panel P, tS rcduccd frr,m L(L+1) '.·:~:: ' Í + 1 to (L, + 1) 1 untque cut for eac.h lengH1 e,
vary1ng from O to L, sllces The number of possrble global select1ons 1s then reduced to
N A= n [L,+1] = (L,+1)(L2+1)
1= 1
Wrth N = 100 panels and the average length L = there st1ll rema1n 11 100 poss1brl1tres to test 1
Q
Qma•
10.
o ~''--,...C...-J.Po1nl of mas1mum cur,. O(T) 1 1 1 1
---:::;;;r~o1nts of largnt set ot lA POSSibliii41'S 1 1 1 1 1
T
F1g. 4 Max1mum curve
Let 0k and P be the total metal tonnage and ore tonnage correspondrng to the poss1brllty number k among the A. Th1s set of A poss1b1ht1es { (O k. P) k = 1 to A} rs representad 1n F1g. 4 by a cloud of A pornts Next. cons1der tha subset condrt1oned by a constant total ore tonnage T. i'.e. all the pornts of the cloud located on the fixed vert1cal hne T (see· F1g. 4). Obvtously. rf the opt1mum pornt is on that frxed lrne T. 1t must be the pomt that max1m1zes the total metal tonnage O. let Q be that maxrmum.
O= Max {Ok/fk = Tf,xed} Hence. the opt1mum po1nt 1s on the curve Q(T) whrch represents the upper lm11t of the cloud of A poss1btht1es. Thrs curve 1s called tl">8 'max1mum curve· Where exactly on the 'maxrmum curve' 1s the sought opt1mum pomt''
'Maximum curve' Q(T) (see Fig. 4) The curve starts at the orrgtn (0 = T = O). because rejectrng all the N panels IS a posslbthty correspondrng to a hm1trng grade T 1 supenor to the grad Tmax of the nchest sl1ce of all N panels.
The max1mum curve never decreases. 1.e.
V r· > T ==- O(T') ~ Q(T)
In fact. 1f O(T') < O(T). thé max1mum of o~c. Tk = r· berng f1xed. would have been Q(T) rnste.rrl of O(T ). the 1ncrement of tonnélr¡e T" - T cnrrw.ponriiiHJ to unmiiiPr.drtr:d fJfOIIIHl wrtil illl ;¡vr:r;''l~' qr.nl•· of tr:rr1
11 reaclte~, rts srll (0,,,,,) .JI tilo porn! (0,,, •. T,.,,,.) correspondrng toa hmttrng grade Tm•n· whrch tS not11111g but the mean grade of the total ore m s1W For any l1m1tmg grade T 1 :::;; Tm•n· the maxrmum recovered metal tonnage 1s Omax· total tonnage of metal m SIW
The hmrtrng mean grade T 1 IS shown by the lrne of slope T 1 passrng through the ongrn O O berng a possrble solut1on. there 1s at least one 1ntersectron of the hne O = T,T w1th the max1mum curve Q( T) The opt1mum pomt (0°. T0
) wh1ch max1mrzes the recovered ore T0•
whde ensurrng a mean grade Qo
ro=-- )!:: T ro ""' 1
IC:: thP PxtrPrnP nnht-h!>nrl 1ntor<><>r-t1nn {coo ~.,., A\
o
o
o
o
o
()
HP-ncc ltw pos1tron of tllc up\lmum pomt on the nldKIPl'llil curve !S known exactly But. the problem of ,_·or·sm~<:1!1lfl Jlw curve Q(T) = Max {Okffk = T1,.ed}
st;ll rorna111s
Supenor convex enve/ope of Q(T) Hcru l;t•s thc rf,ey 1dea of the optrmrzat;on theory some pfl:nL- (,f tho maxrmum curve can be found drrectly wrthout usrng the prev;uus combmed analysrs. whrch consr:;ts of selectrng lhe posstbrltty (Q. T) that maxrmrles thc- metal tonnage O. from all the possrbrlttres wil•(·h ~¡;ve 1he same ore tonnane T These parttcular porn ts ot !he .rnaxtmum curve (1 ( T) are those whrch are k1cated on the •wperror convex curve of Q(T) Let them be denoted hv él(T) (see Ftg 5) In stmple terms Q(T) 1s ·:ompos~?li of t~1e convex parts of the maxrmum curve OUj
F¡g, 5 O(:r¡ and rts superror convex O{T)
More prectselv. cons1der all the lrnes of f1xed slope w The;r equattons are O = w T + a. parameter a be;'lg a varrable Now. cons;der the limrt lrne 0,,, of equatton O = w T + a,>), wh1ch rs su eh that all the pomts ( Q. T) of the maxtmum curve are erther below or on Oú,. 1 e
vQ. TE :Max curve => Q ~ wT + aw =>- Q -w T ~ a,ó
(Note th':lt the lrm1t pomts. 1 e the contact potnts of Dw w;th the max;mum curve are such that Q - w T = a,~. 1 e these lim1t potnts max;mtze the quant1ty (Q- w T) )
The !ilrllt fine OL, of slope w deftnes a sem1-plane
{f-1,, . O;~ w T + a,c} wh1ch cont<Jms all the pomts of the maxtmum curve Now. w 1s mode to·vary from O to +=_ The tntersect1on of all the l1m1t planes H,,, defmes the supenor convex enve!ope of tthe max;mum curve Q(T). and the lntersectton of that envelope wtth the maxtmum curve Q ( T) rs the superror convex curve:
O(T) = { íl Hw} n {Q. T} w;?O
One charactenst1c of the supenor convex curve O( T) 1:; that :t contams all tt--.e potnts (Q. T) of the max1mum curve. anq more generally all the po1nts (0. T) of the cloud of A gluba! poss1brlit1es maxtm1zmg the quanttty (0 - ((d). whatever the parameter w ~ O may be (see F;g 5)
Hence. to obtam dtrectly a pomt of the convex (liT). wttllout dny. terltous combmed analysts. 1t 1S suffJCJent to f1x rhr> parameter w ;::::: O and to draw the possJbJIIty {O. T) wl11ch maxlfmzes the quantily O - wT
1 h1~, can be drawn rmrned1ately, as the maxtmum of O - wT 1s grven by the sum of the N local max;ma O, -wT, ·
N
Max {O:- wT} = E iv1ax {0, - wT,} 1=1
w bemg frxed. max1m;zatton on panel P, of the quant;ty O, - '"T, prov;des a untque cut (a, tu. b,tó) The superscr:pt w merely mdtcates that the cut (a,w. b,"') corresoonds ,o the f;xed valúe w of the parameter. The umon of the-s:; N cut<; { (a,•·•. b,"'). 1 = 1 toN} ptovrdes ;¡global potnt
N N (O = E_. O,. T = E_ T,)
whrch rroax;m;zcs the qu;mtrtv O - wT Hcr·r;c~ ir· , global po1nt (0. T) ;son the convex curve U(T¡ 1 ,. r,·, the convex part of the max;mum curve O(T)
o Extens•on non-con~•
F1g 6 O ( T) and rts lrnear approx•mahon Ó • ( T)
--ó"<Tl -ó!rl -----a en
' For each value oJ1
the correspond;ng pomt of the convex curve Q(T) can then be obta1ned. tu-,ecH ;n:·:rpolatton between these pornts prov;des an iiDnr.- .... ,mdtron Q•(T) of the maxtmum curve Q(T) The ur11q•1C tntersectron of the lme of slope r, pass;ng throu~¡h 1!1e orrgrn wrth the approx;matton O· ( T) prov;clr:> tr--·e OptimUm Value W 0 Of the parJmeter (See f;g 6) Tt·.e reql!lred opt;mum pomt (0°. T0 ) corresponds to tne maxrmtzatton of the quantrty O - w, T. 1 e to the maYI-m;zatlon of the N local quantttres (0. - w 0 T,). 1 .= 1 to N
Th;s parametrrcal procedure '''11th w canr.ot b't deflnttton. provtde any pornt (0. T) of the non-convex part of Q(T) Th1s ts not too senous. as. ;n pract;ce. the extensrons of these non -convex parts of O ( T) are neglrgrble 'In Frgs 4. 5 and 6 the extens1ons of the nonconvex parts have been greatly exaggerated to clar;fy the demonstratton
Defimtion of local cut (a,'ó. b,•·•) The only problem !eft now 1s !o determme on each p;mel P, the cut (a,w. o,N) that maxrmtzes the qJant;tv O, -wT,. whatever the parameter w may be (Note that O, - wT, = O. correspondtng to re¡ect1on of pt~rJcl P. th1s posstbthty ts better than any cut that would pruv;de a negat1ve quantnv C!, - wT, )
Topo,"
lol ibl
Frg 7 Defm•tlon of local cut (a, •·•. b,'·')
The parameter w already appears as J qrdtle o --:/ ~ w lt wlfl be shown that w ts precrsely a .cutuff
1
grade Cons1der the two flm1t grades 1/. (a,<·•) and 11, (/1 "~ at the topv,¡alf and the footwall (see F;g 7 (a))
O, (ñ,"') cannot be less than ,,, __ other\1\,ISC ti1e limrtmg top sltce WOUid provrde a llE'CI ol;ve CO!ltribli:,,¡¡¡ O, (a/') - w < O to the quant1ty O, - w T,
Stmlfarly. ;f O, (a,''') were grcater than w thc l;m¡t;r-.,_, s!1ces of grades o, 1nclurled wttll;n í w. 11, (a,"'), vvo• ¡1, 1
have been retamed for the;r posrtrve contr;butron 11, -- 10
to .~.~~ qua~ttty. O, - w T,.
1
1 1
1
1
1
,._..,.,, \..•, Uf'-' OUVlVVtlli ftiJlJlJIIQ Qf<JOe ti, 1 /.'.''') tnliSl IJe equc1l toco. wh1ch then vvorks exactly as .1 ~uwlf orad<>
11 ~! 10 vcrtlcill '' 1rve of grarles O. ( ¡) 1s not c:onvex. there mc~v he SC\CI.tl OClSSible cuts. w1th l'mllHIQ topwall dl1d
i..utv.clll grades. equal to w for c~rtam values of para.:wter "' tsc<' hg 7(b)) There are three poss1ble cuts. (i-7). (3 .. ·4) dnd (1-4) Thelastcut (1-4) =(a,''', b,''') 'rvill be select'ed. as 11 max1m1zes the quantrty O, - w T,
lf ~!l(> vertical grade funct10n {}, (¡) COLJid be dlfferenllél\Cd (yenerally rt has no reason to be so). a stmple dlfferPntlat;on would have shown that w IS a cutoff !lr<ldt:' O, - w T, 1s a functlOn of the ord1nate a, of the topwail-hence. the max1mum of O, - w T, conesponds tn
dO, (a,) - wdT, (a,) = O i "
,,...., \ . " '· ·
1 e { "') == w 'J ' ). = ' fl, (' , \
S V
fl, (b,'") = w
Summary The problem :s how to extracta mmomurn ore tonnage T w1th a mean grade constramt T ~ T 1 from a sect1on W ·.·o:npnsrng N elementary panels
The de<med optrmum (0°. T0 ) compnses the umon of ,y partrcular local cuts {(a, 0 , b, 0 ). 1 = 1 toN} N 1s usually roo large to allow drrect determmat1on of the opt1mum bv combmed ana!ysrs
it IS Shown that the optlmU!Tt OOint (0°, ! 0 ) IS certJmly on the max1rnum curve D (T) defmed by.
(J = Max {0/T berng frxed}
The mtersect1on of the max1mum curve Q(T) w1th the lme O = 'T¡ T prov1des the desrred opt1mum pornt The problem rs now to draw the max1mum curve Q(T) wnhout any ted:,)us combmed analys1s
lt 1s shovvn tl•at all the pomts of the convex parts of 0( T). 1 e all the pomts of the supenor convex curve l5(T). max1m1ze the global quant1ty
N O - w T == .E [O, - w T,]
/ ol
Hence. to obtarn a pomt on the convex curve O(T) rt rs suff1c1ent to f1x a value of the parameter w ~ O and to determ1ne on each pannel the cut (a,w. b,w) wh1ch mJxlmrzes the local quant1ty O, - wT, Th1s select1on 1s obra111ed lmmed1ately by cons1denng w as a cutoff grade. un1que to the N panels
For each value w ~ O a pomt of O(T). 1 e a pornt of the max,mum curve Q(T). rs thus obtamed Lmear !ntcrpolat,ún between these pomts provrdes an estrmai'O" o·(T) of that m3XIIl1 Um curve The tntersectl011 of tl1<' approx~rnat10n O •( T) w1th the constrarnt !me O , .. 1.T p1ovrdes the value w 0 correspondmg to the destred opt1mum pornt.
(0°. T0} = {(a,'·'o. b,'"o). 1 = 1 toN}
ínterpretatton wíth benefit functions The opt,mum po1nt. prov1ded by the precedrng pararnetnc procetiure. max1mrzes the global quant1ty B = O - w 0 T 1 h1s quant1ty can be 1nterpreted as a glo:.:;-,1 bqnefrt B. whrch 1S proport1onal to the recovered metal tonnage O. tne extrüctron cost bemg proportronal to the recovered ore tonnage (- w 0 T) The value w
0 of
the parameter rs determmed f:Jy the mean grade con-
stramt r == ~ ~ r 1 • more generaily. w 0 cJn be f1xed by
econom1c con,srderat1ons. for exarnple. (,¡J 0 can be a rnnrg1nal grade Any un1t of mean grade w 0 would JUSt pay for rts mmmg and millmg cost. thus prov1dmg a zero benef1t
&enera/1zattO·-The precedmg benef1t 8 = O - <v,,T corresponds to a lmear prof1t formula-s1mplrstJC, but not unusual 1n pr·act1ce
More generally, wrth a benef1t funct10n of the tync 8(0. T. T'). T' betng the overb,;rden tonnáge corre,pondlng to the ore tonnage T. and 1f the opwnurn corresponds to the max1mrzat1on of 8(0. T. T'). 1t'can be shown that the optrmum pomt (0° T". T'0 ) 15 certarnly on the max1mum surface 0( T. T') defmerl by O= Max {0/T and T· bemg f1xed¡ The super1or convex envelope of the max1mum surface can be obti'Jincd pOI'It by pomt with a mult1-parametnc (w v) proc.edure srmilar to that presented above. 1 e by mJx1m1zat:on of the quant1ty O - wT - vT· Hence. an ¿¡pprox1mat10n Q• (T. T') of !he rnax1mum surface Q( T. T') can be easliy drawn Wt!hout any combmed analys1s
The optlmum pornt (0°. ro. T' 0 } !S at the contact of the approxrmatron surface O • (T. T') w1th the ISO
beneflts surfaces 8(0. T. T') = Constant The un1que contact w1th the h;ghest benef1t prov1des the values (w..,. V0 ) correspondmg to !he requrred optrmum
A more general descnpt1on of the convex analys1s of opt1mum 5el,ectrons has been g1ven elsewhere J
Application to Toga phosphate deposit
Description of mines The phosphate format1on of the sed1mentary bas1n of Lower Toga. West Afnca. IS 1ntercalated wrthrn clay strata The average phospnate th1ckness 1s 1 O m from top to bottom. oolith1c phosphates. phosphated marls ar1d. frnally, gravelly phosphates can be diS!JnguJshed
Open-p1t mmmg 1s pract1sed w1th bucket-wheels. bucket excavator and conveyor
The rather stnct constramts of quality on the ore sold have repercuss1ons on the rnmmg system · the mmed ore must contam a f1xed tncalc1um phosphate grade m the s1ze 43-840 ¡..t.m. wh1ch we w1ll call 'pliot' srze To estabilsh the annual explottatlon programme the mlfle serv!ce must md1cate. for each set of panels to be m1ned. the top- and footwalls that will guarantee the mean grade of tncalc1um phospr~ate
Frg 8 Avadable mformat1on
The avarlable mformatron cons1sts of a regular squ¡1ru gnd (50 m) of sarnplmg prts. each O· 60-m d1ameter prt1s sampled on every slrce of O· 50-m vertrcal thrckness (see F1g 8) The 'p1lot' s1ze of the ore 1s analysed Hence. there are avaliable from every prt 1 the vert1cal senes of the two vanables p, (¡). the percentage of the s1ze 43-840 ¡..t.m and k,(¡). the tncalc1um phosphate grade m that srze Hence. the tncalc1um phosphate grade of the raw ore mrned from the sil ce¡ of p1t 1 IS
_ p, (¡) X k, (J) r, (¡) - -- ·Tocf __ _
Presentatíon of opt1mizatíon 7
Con51der a sect1on W comprlSin~¡ N m1mng umts P,. edch of constant honzontai drev ,,. = 25 x 25 m·' (sec F1g 81 Wh1ch are the opt1murn top- and footwalls (a,o. b,"') of each of the N pJrw!~. that maxrmrze the totni recovered ore tonnagc. ihe mean urclde r of trrcalc1um prlOSiJhate of the pliot 51ze bemg supenor toa 1m11tmg grade T 1, wrth a defmed nsk a7
Th1s pract1c;:rl problem f1ts the exposed opttmrzat,on
o
o
o
o
o
o
tlvwry •''(;IC\1'/ In filct. on the volurne (O· SO rn x sr, tt(l'l .l!> " 2fJ m') dellned by a si1ce ¡ of a panel P,. 1t'l ''· ( 1 1 be the me21n percentaoe of the prlot srze. J,, (¡) be !he mhm tr:calc!I"'T' phosphate grade rn that ·
Tri¡) x A(J) s1ze io1d ti ( 1) = -l.'.---- __ ! ____ - the mean trrcalcrum ' >
1 ' 100.
phospholo grade of the m s1tu ore of sliceJ 1 he add. t1on of the N cuts {(a,. b,). 1 = 1 toN} defrned
-:;n ihe N panels P, orovrdes the followrng. .D. iota! 'prlot' tonnage
lv N r -_, ¿; r. = 1: 1: 1r, {1) ·' - 1 -1 / E (a,.b,)
A total metal tonnage N f}
O - E O, = E E 6, (¡) r-1 1=1 ¡ E{a1.b1}
·, ' ,n gtade of tncalcrum phosphate rn the prlot srze
a - t
Cne has to maxrrm<>e the total recovered pllot tonnage ! u· .der the constramt T ~ r1• wrth the r1sk a. 1 e wrth a 1'i8d•l estlr.tJtp,J qrnde ,-~ ~ T·, =- T 1 + f3a-r (F1g 2)
Kngmg of slices / The two groups ot vanables 1r, {;). ,\, (J). O, (J) and p, (;). k,(¡). r, (¡) ;:¡re det1nr;d on two d1fierent vol u mes the frrst Ur0L!G (•11 panel SI ICeS Of 0 · 5 X 25 X 25 = 312 ·5m 3 • the Sf-cond group on p1t slices of O· 5 x 3 ·14 x O· 30-~ = O ·14 m 3 The panel grade 8, (¡) 1s not the p1t grade r, (;)
fhe unknown vaiues 11, (;) and 8, (;) of ea eh panel sl1ce; must be estrmated :,om ~hé ne1ghbounng P't data p, ({). r, (¡') Thrs problern 1s clas:;rcally sol ved by kng1 "9 . (se e. m part1cular. Matheron. 6 p. 11 5) F1rst. rhe threed11nens10nal structures of the reg1onalrzed varrables p, (¡) and r, (J) are character~zed w1th the help of var1ograms Then. the unknown values 1r,(;) and 8,(¡) are kr:qed. the knged estrmators 1r,"(¡) and 8, • (;) bemg lrnear e- J'11brnatlons of the p1t data Krrgmg 1n th1s way
1 1 1 1 o
Pit/: r---- Grade '-,.~· (AJ
1 ~'·"' ¡f¡\ 1 ,_
/;; l<tgh grade
Depth
F1g. 9 Kngmg
prov1des the est1mat1on vanances E{ [1r, - 1r,•2} and f{ [e, - B .• );. V/hlch allow the CdiculntiOn of the estrmatiOrl vanance of 1ht: :~w&n grade r of the recovered ore. that IS
(1~ = E{[ T -- T*F}
Tn1s last vanance 1s '-lSed d1rectly 111 the mean grade ccnstra1nt T• ~ T 1 + f3a-: (lt would be !llusoíy to bu,id an optlmiZJtlon procedure based on the p1t va! u es p, (¡). k . r . 1nstead of n he oanel values r.. í ') A 1,)
O,(¡¡, <)r ·' leilst on the1r best l1near uno1aserJ cst,rnc~~·-·rS 7T,.(¡). ,\,-(¡J. o;(;) >
The serrated aspect of the vcrt1r:nl ser1es k.(¡) 1s certa111ly not represcntat1ve of the vert.cai fluctuat.on·, r,: the senes,\,(¡) orA,*(¡) (see F1g 9) Arv¡ cutoff qr:,•l<: '" appl1ed to the 'serrated curve k, (,) ,¡¡-:,uid resu'' 1n '" falsely attract1ve prec1S10n of selectlor, wh1ch. alus. 't:lil
not be real1zed durmg subsequent product1on In part1cular. prt sl1ces of O ·14 m-~ mav somet.mc:;
present very h1qh grades k,(¡). whercas obv1ously. no panel sl1ce of 312 m 3 wlil ever have such a h1gh-gracle A,(;) Explo1tr.Jt1on recovers panel sl1c0S not p1t sl,ccs. so the h1gh-grade assays found 111 p1t sl1ces wrll never be found to extend over panel-s1ze slices
Practica/ real1zation on Toga depos1t The geostat1St1cal structural analvs1s has bef;n oerformed w1th the help of the 50-m square gnd (see F1g 8) and of two cross-shapE:d t1ghter gnds of 5 and 1 O m. wh1ch reveal the small-scale structures Follow111g th.s a un1que FORTRAN program gave the follow111g (1) the krrg111g (1r•. ,\·. (/*) ofallsl1ces;ofeachoftheNpanels P, compnsmg the sect1on W to be opt1m1zed. (2) the N local def1n1t1ons of the opt1mum cut (a, 0 • b, 0 ) to m me. and (3} the est1matrons w1th conf1dence l1m1tS of the vanous global mean charactenst1cs of the recovercd ore
The l1m1tmg grade T 1• as well as the accepted nsr: 'L
are rnput parameters. wh1ch can vary acc'Jrclinr.J te market cond1t1ons
The computcr t1me was QUite ccmoet1!1ve w1th resoect to a prev1ous program wrth the class,cal procedure of 'cutoff on p1t-gmdes and 1nfluence polygons· Rou•Jhl·¡ the cost of kngmg and opt1m1zat10n of one 2 5 " 2 5 m panel w1th an average of 1 O sllces 1s 1 Franc or about 20 U S cents
Verlfícations The m111mg company suspected that the depos1t coulcl not prov1de hrgh-grade mili feed m the pliot s1ze range. conta111mg more than 80 per cent. for exarnple of tncalc1um phosphate. unless they resorted to h1gh grad1ng'. In fact. the kngmg and optltnlzatlon procedures proved that to attJ.n a h1gh grade such that T ~ 80 oer cent. 30-50 per cent of the ore m s1W would huv8 to b8 rejected. No phosphate company would acceot é1
re¡ect1on of 30--50 rw cent of 1ts reserves. espec,dli•{ when the re¡er:tcd -,, contarns an average pdot tncdl' crum phosph¿,te; gr;:,de of 76 per cent 1 ,
Thc f1rst prCJgrJm to use the class1cal procedure w1th p1t grades and 111fluence polygons 111d1cated thdt a max1mum re¡ect1on rate of 1 O per cent would orov:cle the reqLmed mean grade T ~ 80 per cent Of cc:IH'3C subsequent mmmg never ach1eved these opt1nw;t:c forecasts.
On a part1cular sect1on Wwhere the effectlve top a11 1 footwall profiles have been corr8ctl·i deterG~'Ilecl. 1:1.:• actual m1mng results have b0en compcncCJ v.1tit tl1r correspondmg knged, forecasts Where.1s t11c ¡, rs t prtl
cedure. by mfiuence polygons systcmatJCnllv ov••rvalued the grade of the recovcred ore thr co•lf,.Jr·~·," ilm!IS of the knged mean grade T. :¡ccOUil\l:d lí1: ;:, · real! tres of produc!1011 T• = 79 · 8 ± O· 07 prr e "r .1
0·07 = a- bemg the s1mple stdndarcl clev'"i"''l ,,¡ est1matron by kng111g
A systemat1c check rs be.ng done by ::,ect1ons. til" n111l
mg of wh1ch wlil follow the top- ancl lootwall p:,,f,tns g1ven by the new geostat1St1cal optlln,zatiOilfXO~FdrH
Acknowledgement Tr,e authms are 1ndeb1Gd to Professor G rvl:Jth,··,,~, D1rectür oí the Centre cic Mor¡)holo<JIC f'v1cJthem.~t,;;. ,. ,: : rrmt;1:nebieau. for h1::: valullble tltCOrl'!ICdl ·'"' ",,
throughout th1s optlllliZJliOrl stuCI'/ Mr Gc!llflei (),r,· ¡.,r ot tf'iA C.CHOMIB Compdny k1r.dly .,ftorded tln:rn ., ,opportumty to apply the1r theoret,cc~l procedure t.• t • n'!é!l ,-;:¡s~ r•f thA 1 nnn nhn<:nh::~tl> riPnn<:ll
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