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Fundamentos y Tarificación del Seguro de Vida Grupo

Trabajo presentado para el XIII Premio de Investigación sobre Seguros y

Fianzas 2006,

Act. Irma del Carmen Saavedra Alarcón “Arwen Undomiel”

Premio de Investigación sobre Seguros y Fianzas 2006 XIIIPrimer Lugar Categoría de Seguros

Índice general

RESEÑA.....................................................................................................................3

INTRODUCCIÓN .........................................................................................................4

ANTECEDENTES Y DESARROLLO...................................................................................5

REGULACIÓN ..........................................................................................................................................................7 Orígenes en Estados Unidos ...................................................................................7 Desarrollo en México .............................................................................................7

PRINCIPIOS GENERALES DEL SEGURO DE VIDA GRUPO .............................................................9 Grupos asegurables...............................................................................................9 Estabilidad de los grupos ..................................................................................... 10 Movimientos en el grupo ...................................................................................... 11 Esquemas de contribución en el pago de primas ..................................................... 13 Sumas aseguradas .............................................................................................. 14 Dividendos ......................................................................................................... 17

Experiencia general o global ......................................................................... 19 Experiencia individual o propia ..................................................................... 19

Tipos de coberturas............................................................................................. 19 Cobertura básica por fallecimiento ................................................................ 19 Coberturas adicionales .................................................................................. 20

Reservas técnicas ............................................................................................... 21 Reserva de riesgos en curso (reserva matemática)....................................... 22 Reserva de siniestros ocurridos pero no reportados (IBNR) ........................ 23

TARIFICACIÓN DEL SEGURO DE GRUPO ...................................................................... 24

SELECCIÓN DE RIESGOS ...............................................................................................................................24

COSTO DEL SEGURO .........................................................................................................................................25 Primas de riesgo ................................................................................................. 25

Tarificación con clasificación manual ............................................................ 25 Prima neta de riesgo ..................................................................................... 26 Tarificación tomando en cuenta la experiencia.............................................. 27 Prima de credibilidad .................................................................................... 27 No. de integrantes grupo................................................................................... 31

Prima de tarifa.................................................................................................... 31 Gastos ........................................................................................................... 31 Comisiones.................................................................................................... 32 Margen de utilidad ........................................................................................ 33

Recargos y descuentos ........................................................................................ 34 Extraprimas................................................................................................... 34 Descuentos sobre primas .............................................................................. 34

LIMITANTES EN LA COTIZACIÓN DEL SEGURO DE VIDA GRUPO ..........................................36 Tabla de Mortalidad............................................................................................. 36 Problemática ...................................................................................................... 37

PROPUESTA DE TARIFICACIÓN.................................................................................................................39 Estudio de siniestralidad ...................................................................................... 39

Estimación de la probabilidad de muerte....................................................... 39 Información .................................................................................................. 40

Siniestralidad ................................................................................................ 53 Análisis de resultados ................................................................................... 56 Resultados finales ....................................................................................... 116 Consideraciones a los resultados ................................................................ 117

Propuesta general ............................................................................................. 118 Otros estudios .................................................................................................. 118

CONCLUSIONES ..................................................................................................... 119

BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 121

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RESEÑA Objetivos

Examinar los aspectos que caracterizan a los productos de seguros de vida para agrupaciones, tanto en la parte técnica, como en la administrativa y jurídica. Plantear la necesidad de una reestructuración del Reglamento de seguro de grupo vigente de tal forma que la selección de riesgos y la tarificación sea flexible para tomar en cuenta, de manera importante, las características inherentes a un grupo asegurable. Proponer un método de tarificación no tradicional utilizando la información que todas las compañías aseguradoras poseen sobre los giros comerciales de sus grupos asegurados.

Importancia para el desarrollo del sector asegurador

El subramo de vida grupo se ha ido desarrollando de manera importante en los últimos años, lo que ha llevado a las compañías aseguradoras a vivir una cerrada competencia, el presente trabajo provee de ideas para el desarrollo de productos para dicho subramo, que consideren factores de riesgo diferentes a los tradicionales, de tal forma que se tomen en cuenta a los grupos como unidades de riesgo y no simplemente como una agrupación de personas individuales. Se presenta además un análisis de los principios generales del seguro de grupo, concentrando todos los aspectos involucrados en la suscripción, tarificación y administración de este tipo de seguros, que permitirán dar una visión general a los responsables del ramo sobre los aspectos mas importantes que deben tomar en cuenta en su operación.

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INTRODUCCIÓN El Seguro de Vida Grupo es un seguro dirigido a los integrantes de empresas y organizaciones que enfrentan el riesgo de pérdidas financieras a causa de eventos aleatorios, por lo que busca brindar protección contra los riesgos de fallecimiento, invalidez y accidentes. En este seguro, las decisiones se toman en forma colectiva para incrementar el bienestar de toda la agrupación. En el Seguro de Grupo se aseguran conjuntos de individuos, aprovechando el vínculo que los agrupa, para obtener condiciones de contratación más atractivas y accesibles, eliminar requisitos para la contratación y ofrecer condiciones favorables de costo y una fácil administración. En México este seguro ha tenido un crecimiento considerable los últimos años, lo que ha llevado a las compañías que lo ofrecen a enfrentar una cada vez más grande competencia, situación que impulsa a las compañías aseguradoras a modificar sus procesos tradicionales de administración y tarificación, en ocasiones sacrificando sus utilidades y descuidando los principales aspectos técnicos inherentes a este tipo de seguro. Con base en lo anterior, la presente tesis tiene el objetivo de explorar las perspectivas actuales del Seguro de Grupo en México y las problemáticas en las que se ve envuelto, entre las que se encuentran la falta de actualización del Reglamento del Seguro de Grupo que lo rige, ya que el actual toca puntos tan frágiles como la selección de riesgos y que limita la capacidad de realizar tarificaciones apegadas a la realidad de los grupos asegurables. Se busca además, explotar la idea de que se necesitan nuevas formas de tarificación que consideren los diferentes factores que afectan el riesgo asegurable. En el capitulo I se presentan de manera general los antecedentes históricos, el marco legal y las principales características de la administración y operación de este tipo de seguro. El contenido del capitulo II puede dividirse en dos partes, en la primera, se presentan los procedimientos de selección de riesgos y las bases técnicas tradicionales utilizadas en la obtención de primas de riesgo y de tarifa, así como los recargos y descuentos aplicables. En la segunda parte, se hace un análisis de la problemática encontrada en los métodos tradicionales de tarificación con base en tablas de mortalidad por edad recargadas para valuación de reservas y se realiza una propuesta de tarificación en función al giro de los grupos asegurables, para lo cual se presenta un estudio de siniestralidad que pretende proponer una metodología que funcione para la generación de nuevos estilos de tarificación.

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CAPITULO I

ANTECEDENTES Y DESARROLLO El desarrollo del Seguro de Vida Grupo comenzó en la última década del siglo XIX, y finalmente vio la luz en el siglo XX. Este tipo de seguro, en los Estados Unidos, era un concomitante natural de la industrialización que llegó con el cambio de siglo. Cuando la economía gradualmente cambió de agricultura a manufactura, y posteriormente a industrias orientadas a servicios, se volvió común que las personas trabajaran como empleados en grupos definidos. En este contexto, el hecho de trabajar en un ambiente industrializado fue cada vez más reconocido. Legislaciones sobre el trabajo, y después, leyes de compensaciones a trabajadores, dieron nacimiento a algunos beneficios para empleados, como compensaciones por accidentes o fallecimiento, los cuales fueron incorporados en lo que hoy conocemos como Seguro de Grupo. Al mismo tiempo, los académicos empezaron a identificar las necesidades de seguridad económica de los trabajadores y comenzaron a buscar soluciones sociales. La primera forma de agrupamiento de pólizas se conoce en 1905 con la empresa “United Cigar Stores” para la cual el patrón recolectaba las primas de todos sus empleados, mismos que contaban con un seguro temporal individual renovable anualmente. Es hasta 1912 cuando el concepto de “Seguro de Grupo” es reconocido al ser aprobado un contrato de seguros con el nombre “Póliza Temporal Renovable de Grupo para empleados” por el Departamento de Seguros de Nueva York. El Seguro de Vida Grupo ha crecido principalmente desde la 2da. Guerra mundial ya que ha sido incluido como un beneficio adicional dentro de los acuerdos en los contratos colectivos de trabajo. Desde 1980, en Estados Unidos, se ha visto un gran crecimiento de los seguros de beneficios flexibles o planes tipo “cafetería”, dirigidos a grupos con un volumen de participantes de mediano a grande. Estos planes están basados en la idea de que cada empleado recibirá una suma anual propiciada por el patrón para que la use en beneficios de muerte, invalidez y otros varios beneficios médicos. Generalmente el dinero provisto no es suficiente para permitir a un empleado comprar una cobertura completa de cada uno de los beneficios disponibles, por lo que cada empleado tiende a escoger aquellos beneficios de más valor para él y su familia. En México, el Seguro de Grupo tradicional comenzó a utilizarse a finales de la década de los cuarenta. Las primeras instituciones aseguradas fueron Cerillera La Central y el Banco de México1. En los últimos años el Seguro de Grupo ha crecido considerablemente, principalmente hubo un mayor crecimiento durante 1999.

1 Rendón, Jorge “Normas y políticas del Seguro de Vida”, p.p. 58

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Número de Certificados

0

1,000,000

2,000,000

3,000,000

4,000,000

5,000,000

6,000,000

1997 1998 1999 2000 2001 2002Al cierre del año

Número de Pólizas

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

1997 1998 1999 2000 2001 2002Al cierre del año

Seguro de Vida Grupo 1997 al 20022

2 Fuente: Asociación Mexicana de Instituciones de Seguros

Años Pólizas Certificados

Dic-97 15,106 4,009,653

Dic-98 17,203 4,083,172

Dic-99 20,214 5,409,404

Dic-00 21,357 5,270,257

Dic-01 16,581 5,098,383

Dic-02 17,253 5,258,019

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REGULACIÓN Orígenes en Estados Unidos El Grupo llamado “National Convention of Insurance Commissioners” en 1917 designó un comité para estudiar el Seguro de Vida Grupo y reportar estándares aceptables para regularlo, de dichas negociaciones surgió la siguiente definición: “Seguro de Vida Grupo es aquella forma de seguro de vida que cubre a no menos de 50 empleados con o sin examen médico, suscrito bajo una póliza emitida al patrón, la prima es pagada por el patrón o por el patrón y los empleados conjuntamente, y asegurando solo a todos sus empleados o todos los de alguna clase o clases para ello determinadas por condiciones pertinentes al empleo, por montos de seguro basados en algún plan que excluya la selección individual, para el beneficio de personas diferentes del patrón, con tal de que, de igual manera, cuando la prima es pagada conjuntamente por el patrón y el empleado, los beneficios de la póliza son ofrecidos a todos los empleados elegibles, no menos del 75% de ellos pueden ser asegurados.” En esta definición podemos ver los principales conceptos que actualmente caracterizan al Seguro de Grupo, tales como:

- Número mínimo de integrantes - Requisitos médicos no obligatorios - Esquema de pago de primas:

o No-contributario: 100% de la prima es pagada por el patrón o Contributarios: x % de la prima es pagada por el propio asegurado.

- Reglas de sumas aseguradas que eviten la selección individual adversa Junto con la definición anterior se crearon las primeras reglas bajo las que se debía operar el Seguro de Grupo. Este modelo es de importancia considerable pues es el inicio de la reglamentación del Seguro de Grupo. Desarrollo en México El Seguro de Vida Grupo tiene su fundamento en el artículo 191 de la Ley del Contrato de Seguro: “ En el Seguro de Grupo o empresa, el asegurador se obliga por la muerte o la duración de la vida de una persona determinada, en razón simplemente de pertenecer al mismo grupo o empresa, mediante el pago de primas periódicas, sin necesidad de examen médico obligatorio.” En México, el Seguro de Grupo es una de las pocas líneas de seguros para la cual existe un marco regulatorio tan particular como lo es su Reglamento. El primer reglamento del Seguro de Grupo en México fue creado el 13 de noviembre de 1936, mismo que fue modificado para obtener el reglamento actual del Seguro de Grupo con fecha 7 de Julio de 1962.

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Desde el año de 1971, y a través de los Congresos de Actuarios, se han hecho varias recomendaciones para modificar el reglamento, sin embargo no se ha llegado a obtener una propuesta consistente con las necesidades verdaderas del ramo. Recientemente la Asociación Mexicana de Instituciones de Seguros (AMIS) formó un Comité encargado de estudiar los cambios al reglamento, esfuerzos que no han concluido, por lo que actualmente se sigue utilizando un reglamento que no se ha adaptado a las necesidades reales de aseguramiento de este subramo. En cuanto a la parte técnica, existen Estándares de Práctica Actuarial de Seguros de Corto Plazo adoptados por el Colegio Nacional de Actuarios enfocados a establecer elementos y criterios considerados en el proceso del cálculo actuarial de las primas y reservas. La Comisión Nacional de Seguros y Fianzas (CNSF), mediante la publicación de la circular S-8.1.1 del 2 de junio de 2004, dio a conocer de manera oficial dichos estándares indicando que deberán aplicarse para la elaboración de las notas técnicas.

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PRINCIPIOS GENERALES DEL SEGURO DE VIDA GRUPO El Seguro de Vida Grupo está diseñado para proteger a los miembros de un grupo de personas unidas por un vínculo diferente al de contratar el seguro, ofreciendo condiciones sumamente favorables en su costo, y en su manejo ágil y sencillo. Están orientados a incrementar el bienestar general del conjunto de personas, por lo que son considerados como un elemento más de la previsión social. Las principales diferencias con los seguros individuales son la manera de seleccionar, de tarificar, de cotizar y de administrar el seguro. Grupos asegurables Como el objetivo de la selección de riesgos es que se obtengan resultados aleatorios, en el Seguro de Grupo, en lugar de tener selección individual, se observa una selección natural de acuerdo a las características del Grupo Asegurable. Son grupos asegurables en los términos del Reglamento del Seguro de Grupo en su artículo 2º: a) Los empleados y obreros de un mismo patrón o empresa, los grupos formados por una

misma clase en razón de su actividad o lugar de trabajo, que presten su servicio a ese patrón o empresa.

b) Los miembros de sindicatos, uniones o agrupaciones de trabajadores y sus secciones o

grupos. c) Los cuerpos del ejército, de la policía o de los bomberos, así como las unidades regulares

de los mismos. d) Las agrupaciones legalmente constituidas y que por la clase de trabajo u ocupación de

sus miembros, constituyan Grupos Asegurables. Sólo en el caso de este inciso, las instituciones aseguradoras presentarán para su aprobación ante la Comisión Nacional de Seguros, las características del grupo que pretendan asegurar y las reglas que sirvan para determinar las sumas aseguradas.

Algunos ejemplos de Grupos Asegurables serían:

• Empleados de empresas legalmente constituidas.

Industriales

Farmacéuticas; Automotrices; Siderúrgicas; Alimenticias; Textiles y Calzado; Agrícolas; Ganaderas y Silvicultura; Pesca; Papeleras; Constructoras; Transformación en general.

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Comerciales

Distribuidoras; Importadoras y Exportadoras; De Servicios; Financieros Profesionales y Técnicos; Turísticos; Hoteles; Preparación de alimentos y bebidas; Hospitalarios; Educativos; Escuelas; Bibliotecas; Recreativos; Centros Deportivos; Teatros; Cines; Transportes y Comunicaciones; Aéreas; Marítimas; Terrestres.

• Empleados de organismos gubernamentales

Empresas paraestatales y descentralizadas; Gobierno Federal; Secretarías de Estado; Ayuntamientos; Gobiernos de los Estados y Municipios.

• Miembros de Sindicatos

Uniones; Afiliados; Federaciones.

• Agrupaciones legalmente constituidas

Colegios como: Colegios de médicos, de actuarios, de abogados, de ingenieros, de arquitectos, etc.

Para todos aquellos grupos que no entran en la definición de grupo asegurable, establecida en el Reglamento, se creó el Seguro Colectivo, mismo que en la práctica es operado de manera similar al Seguro de Grupo. Para los grupos que entran en la definición del inciso d) y debido al requisito de ser aprobados por la CNSF, las compañías aseguradoras generalmente evitan el trámite y deciden ofrecerles un Seguro Colectivo en lugar de un Seguro de Grupo. Un ejemplo de agrupaciones que generalmente no son tomadas en cuenta por las compañías como grupos asegurables, son los clubes de rotarios que a pesar de tratarse de agrupaciones de profesionistas vinculadas por otros fines distintos al de obtener un seguro de vida, no se consideran asegurables bajo el esquema de Seguro de Grupo. De acuerdo al artículo 1º del Reglamento del Seguro de Grupo, una vez definido el grupo asegurable, éste deberá cumplir con los siguientes requisitos: • Si se trata de empleados u obreros de un mismo patrón o empresa, deberá participar por

lo menos el 75% del personal que forme el Grupo Asegurable, con base en las políticas de elegibilidad, y en ningún caso el número de asegurados podrá ser inferior a 10.

• Para cualquier otro Grupo Asegurable, deberá participar al menos el 75% del mismo, con

un mínimo de 25 asegurados. Estabilidad de los grupos Se considera grupo cerrado a aquellos grupos en los cuales no se tendrán altas durante la vigencia del seguro, por lo que al final de la cobertura el número de integrantes será exactamente igual al número de personas al inicio de la vigencia menos el número de personas que dejaron de pertenecer al grupo asegurado por cualquier causa.

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En este tipo de grupos se debe tener en cuenta, para determinar las tarifas de renovación, que la edad promedio del grupo generalmente crece anualmente. Un ejemplo puede ser una generación especial de empleados a los que se les otorgó el beneficio del seguro. Generalmente se trabaja con grupos abiertos, en los cuales se presentan ingresos y salidas una vez iniciada la vigencia del seguro. Para este tipo de grupos, se debe buscar la estabilidad de los mismos, esto quiere decir que se debe tener una rotación tal que nuevos integrantes jóvenes remplacen a los integrantes de edad avanzada que dejan de pertenecer al grupo asegurado, manteniéndose el volumen de participantes en el seguro. En estos casos, la administración se puede complicar si el grupo asegurado tiene una alta tasa de rotación, por lo que es un factor que debe ser analizado al momento de llevar a cabo la selección de riesgos. Movimientos en el grupo Con el fin de evitar la selección adversa, el Reglamento del Seguro de Grupo establece los lineamientos para manejar las entradas del grupo asegurado: Altas Artículo 14º “Los miembros que ingresen al Grupo Asegurado posteriormente a la celebración del Contrato y que hubieren dado su consentimiento dentro de los 30 días siguientes a su ingreso, quedarán asegurados sin examen médico si están en servicio activo y desde el momento en que adquirieron las características para formar parte del Grupo Asegurado. La empresa aseguradora podrá exigir un examen médico a los miembros del Grupo Asegurable que den su consentimiento después de 30 días de haber adquirido el derecho de formar parte del Grupo Asegurado. En este caso, quedarán asegurados desde la fecha de aceptación por parte de la institución aseguradora”. Bajas Artículo 15º “Las personas que se separen definitivamente del grupo asegurado, dejarán de estar aseguradas desde el momento de la separación...” “No se considerarán separadas definitivamente los asegurados que sean jubilados o pensionados, y por lo tanto continuarán asegurados hasta la terminación del período del seguro en curso”. Administración Dependiendo del número de integrantes de un grupo asegurado, la administración puede llegar a ser muy complicada, por ello, las compañías de seguros han establecido esquemas de administración en los cuales, los movimientos de altas y bajas se notifican al final de la

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vigencia, momento en el cual se realizan los cálculos de cuotas y se realiza el ajuste correspondiente. Beneficio de conversión De acuerdo al artículo 16º del Reglamento del Seguro de Grupo, “La institución aseguradora tendrá obligación de asegurar, sin examen médico y por una sola vez, al miembro que se separe definitivamente del grupo asegurado, en cualquiera de los planes individuales de seguro en que opere dicha empresa, con excepción del seguro temporal y sin incluir beneficio adicional alguno, siempre que su edad esté comprendida dentro de los límites de admisión de la compañía. Para ejercer este derecho, la persona separada del grupo deberá presentar su solicitud a la institución aseguradora, dentro del plazo de treinta días a partir de su separación. La suma asegurada será igual o menor a la que se encontraba en vigor en el momento de la separación”. “El solicitante deberá pagar a la compañía, la prima que corresponda a la edad alcanzada y a su ocupación, en la fecha de su solicitud, según la tarifa de primas que se encuentre en vigor”. Debido a la escasa cultura y asesoramiento del Seguro de Vida Grupo en México, no todas las personas ejercen este derecho al momento de su separación del grupo asegurado, principalmente por la falta de información y de promoción de esta obligación por parte de las compañías aseguradoras. En cuanto a la suma asegurada en el plan individual, el artículo no es claro, pues al establecer que ésta podría ser menor que la que se encontraba en vigor, podría dar pie a las compañías aseguradoras a tratar de limitar la cobertura, cuando el espíritu de la ley es que la decisión de reducir la suma asegurada sea tomada por el asegurado, considerando sus necesidades de aseguramiento y el monto de la prima correspondiente. A diferencia de Estados Unidos, en la mayoría de las compañías de nuestro país, la persona separada del grupo no queda asegurada durante el plazo que transcurre entre el momento de su separación y la aceptación de la compañía de la solicitud del seguro individual, con un tope de 30 días naturales. La reglamentación estadounidense otorga a los empleados que dejan de pertenecer al grupo asegurado una extensión del beneficio por muerte por 30 días. También existe otra posibilidad de conversión que en México no es generalmente aplicada, ésta es cuando por causas ajenas al seguro, el grupo asegurado es desintegrado, los miembros tienen el privilegio de convertir su seguro a uno individual bajo ciertas condiciones:

- Haber estado asegurado por al menos 5 años dentro de la póliza de Seguro de Grupo. - La suma asegurada no podrá ser mayor a la que se tenía bajo el Seguro de Grupo, ni

mayor a un límite máximo establecido. Estos beneficios de extensión son muy importantes, pues permiten a las personas que han dejado de estar protegidas, continuar con la cobertura por fallecimiento mientras son aseguradas al ingresar a otro grupo ya asegurado o mientras realizan el trámite para la conversión a seguro individual.

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Esquemas de contribución en el pago de primas Planes con contribución El Artículo 6º del Reglamento del Seguro de Grupo establece que: “Los miembros del grupo asegurable pueden contribuir al pago de la prima. En el caso del inciso a) del artículo 2º, la contribución de cada miembro en ningún caso excederá del 75% de la cuota promedio, ni de un peso mensual por cada millar de suma asegurada.” Esta restricción para la contribución es muy difícil de determinar por lo que las compañías generalmente no aplican dichos criterios y sólo hacen diferencia entre grupos con esquemas de contribución y no contribución para la administración. Al permitir la contribución se tienen las siguientes características:

- Se pueden costear mayores sumas aseguradas en beneficio de los asegurados, así por ejemplo, el contratante puede cubrir la prima de un plan que otorga 18 meses de sueldo en la cobertura por muerte, y el asegurado puede contribuir a la prima para incrementar la suma asegurada a 24 meses de sueldo.

- Se genera mayor interés y apreciación del beneficio por parte del empleado, pues tiene conocimiento y participa en el plan.

- Mayor control por parte de los asegurados del beneficio que reciben. - En caso de otorgar dividendos la administración se complica para dar cumplimiento a

la legislación fiscal Planes sin contribución En los esquemas sin contribución el contratante del seguro absorbe el costo total de la prima. Para estos grupos encontramos un número importante de beneficios:

- Simplicidad en la administración para el contratante - Simplicidad en la administración para la compañía aseguradora - Mayor control del plan para el contratante - Beneficios fiscales si el seguro se otorga de manera general

En la mayoría de los grupos no contributarios se asegura al 100% del grupo asegurable lo que agrega una de las ventajas más importantes:

- Disminuye el riesgo de selección adversa Para este tipo de grupos, las compañías suelen otorgar mayores coberturas, como por ejemplo, cubrir el suicidio desde el primer día de la vigencia de la póliza, sin embargo, la Ley sobre el Contrato de Seguro en su Artículo 186º establece que no se pagará el beneficio por fallecimiento cuando éste tiene por causa el suicidio ocurrido dentro de los 2 primeros años de vigencia del seguro.

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Sumas aseguradas El Artículo 4º del Reglamento del Seguro de Grupo establece que “la suma asegurada deberá determinarse para cada miembro del grupo asegurado, por reglas que eviten la selección adversa a la institución aseguradora.” Reglas para determinar la suma asegurada Las formas en que puede ser determinada la suma asegurada por participante podrán ser:

1) Fija 2) Con base en meses de sueldo 3) Por categorías 4) Con base en la antigüedad 5) Combinación de las anteriores

Ejemplos: 1) $300,000 para cada participante 2) 18 meses de sueldo para cada miembro 3) 12 meses de sueldo para personal con antigüedad menor a 5 años y 24 meses de

sueldo para personal con antigüedad mayor o igual a 5 años. 4) $100,000 por cada año de antigüedad 5) 24 meses de sueldo para personal de confianza y $20,000 para personal

sindicalizado. Cabe señalar que se pueden usar reglas tan complicadas como se quiera, siempre y cuando se respete el criterio para evitar la selección adversa. Al determinar la regla de suma asegurada también se debe poner especial atención en materia de impuestos, ya que se tiene la posibilidad de hacer deducible el pago de primas por gastos de previsión social, la Ley del Impuesto sobre la Renta establece: Artículo 31º. Las deducciones autorizadas en este Título deberán reunir los siguientes requisitos. ... XII. Que cuando se trate de gastos de previsión social, las prestaciones correspondientes se otorguen en forma general en beneficio de todos los trabajadores. Para estos efectos, tratándose de trabajadores sindicalizados se considera que las prestaciones de previsión social se otorgan de manera general cuando las mismas se establecen de acuerdo a los contratos colectivos de trabajo o contratos ley... ...Los pagos de primas de seguros de vida que se otorguen en beneficio de los trabajadores, serán deducibles sólo cuando los beneficios de dichos seguros cubran la muerte del titular o en los casos de invalidez o incapacidad del titular para realizar un trabajo personal remunerado de conformidad con las leyes de seguridad social, que se entreguen como pago único o en las parcialidades que al efecto acuerden las partes. Asimismo, serán deducibles los pagos de primas de seguros de gastos médicos que efectúe el contribuyente en beneficio de los trabajadores.

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Tratándose de las prestaciones de previsión social a que se refiere el párrafo anterior, se considera que éstas son generales cuando sean las mismas para todos los trabajadores de un mismo sindicato o para todos los trabajadores no sindicalizados, aun cuando dichas prestaciones sólo se otorguen a los trabajadores sindicalizados o a los trabajadores no sindicalizados... Por lo anterior, solo se puede diferenciar entre personal sindicalizado y no sindicalizado para determinar la regla de suma asegurada y así mantener la generalidad de la prestación con lo que el contratante podrá hacer deducible el gasto incurrido por la prestación ofrecida a sus empleados. Suma Asegurada máxima sin requisitos médicos Dentro del ya mencionado Artículo 4º del Reglamento se encuentra el criterio para establecer la suma asegurada máxima a otorgar que “... en ningún caso será superior a la que resulte de multiplicar la suma asegurada promedio del grupo, por los factores que aparecen a continuación de acuerdo con el número de asegurados en el mismo grupo.”

Número de asegurados Factor 10 - 24 2 25 - 49 3 50 - 99 4

100 - 149 5 150 - 199 6 200 - 299 7 300 - 399 8 400 - 499 9

500 o más 10 Donde “La suma asegurada promedio de un grupo es la que resulta de dividir la suma asegurada total del grupo, entre el número de asegurados que lo componen.” Las compañías aseguradoras están obligadas a asegurar sin requisitos médicos a todos los miembros del grupo asegurado con una suma asegurada menor o igual a la resultante del cálculo reglamentario, pero para aquellos cuya suma asegurada rebase este tope, quedarán asegurados hasta la suma asegurada máxima y por la suma asegurada excedente la compañía podrá condicionar su otorgamiento a la presentación de pruebas médicas, como en un seguro individual. En ocasiones el cálculo anterior puede no ser adecuado y contribuir a generar selección adversa para la compañía, por ejemplo: No. participantes: 15 Regla de S.A.: 36 meses de sueldo para cada asegurado Se tiene la siguiente información de sueldos para cierto grupo asegurable:

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Integrante Sueldo SA Integrante Sueldo SA

1 10,000.00 360,000.00 14 15,000.00 540,000.002 10,000.00 360,000.00 15 15,000.00 540,000.003 10,000.00 360,000.00 16 15,000.00 540,000.004 10,000.00 360,000.00 17 15,000.00 540,000.005 10,000.00 360,000.00 18 15,000.00 540,000.006 10,000.00 360,000.00 19 15,000.00 540,000.007 10,000.00 360,000.00 20 15,000.00 540,000.008 10,000.00 360,000.00 21 15,000.00 540,000.009 10,000.00 360,000.00 22 15,000.00 540,000.0010 10,000.00 360,000.00 23 15,000.00 540,000.0011 15,000.00 540,000.00 24 15,000.00 540,000.0012 15,000.00 540,000.00 25 42,000.00 1,512,000.0013 15,000.00 540,000.00

A partir de los datos anteriores se obtiene la suma asegurada máxima a otorgar:

880,50625

000,672,12.

===aseguradosdeNo

totalSApromSA

640,520,13880,506 =×=×= FactorpromSAmáximaSA

Como se aprecia, uno de los participantes tiene una suma asegurada muy elevada que se encuentra dentro del límite permitido, sin embargo, esta situación puede originar que se contrate el seguro solo para darle una suma asegurada alta a dicho participante que de antemano conoce que padece alguna enfermedad, lo que origina un riesgo alto del cual la compañía aseguradora no tendrá conocimiento ya que por ley no puede solicitar pruebas médicas. Para prevenir estas situaciones, actualmente en la mayoría de las compañías aseguradoras en México y en Estados Unidos, se utiliza no solo el criterio del factor para determinar la suma asegurada máxima, sino que además se establece un tope en cada rango, para lo cual deben realizarse análisis estadísticos que ayuden a determinar cifras adecuadas para los fines propuestos. Ejemplo:

Número de Asegurados

Factor Tope

10 - 24 2 $ 750,000 25 - 49 3 $ 1,000,000 50 - 99 4 $ 1,250,000 100 - 149 5 $ 1,500,000 150 - 199 6 $ 1,750,000 200 - 299 7 $ 2,000,000 300 - 399 8 $ 2,250,000 400 - 499 9 $ 2,500,000

500 o más 10 $ 3,000,000

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Si se aplica este esquema al ejemplo anterior, la suma asegurada máxima quedaría topada a $1,000,000 reduciendo el riesgo de fraude. También es común extender la tabla de factores para permitir sumas aseguradas mayores en grupos muy grandes, que deben de estar sustentadas con contratos de reaseguro que acepten dichas condiciones. Ejemplo3:

No. de asegurados Factor Tope máximo

Hasta 29 3 100 000 USD 30-49 4 250 000 USD 50-99 5 400 000 USD

100-249 6 500 000 USD 250-499 8 600 000 USD 500-999 10 750 000 USD

1000 en adelante 12 1 000 000 USD

Cabe señalar que este esquema es utilizado solo cuando la suma asegurada depende del salario.

Existe otro tipo de reglas para determinar la suma asegurada máxima cuando la regla no es en función al sueldo, que en México no es común su implementación. Ejemplos3: a) 0.5 x (suma asegurada promedio)x(número de asegurados)0.5 con tope de 1,000,000

USD b) (número de integrantes del grupo) x 20,000 USD con tope de 1,000,000 USD c) Montos diferentes según la carga familiar del asegurado, dependiendo de su estado

civil, número de dependientes, etc. Dividendos En el Seguro de Grupo es muy común el otorgamiento de dividendos, definidos como la participación del contratante en las utilidades que se deriven de un sano resultado del seguro o sobrante por mortalidad. En dicho sobrante deben tomarse en cuenta los siniestros pagados y la estimación de los siniestros ocurridos pero no reportados. En el Artículo 25º del Reglamento del Seguro de Grupo encontramos que: “Cuando las instituciones aseguradoras que practiquen el seguro de grupo de vida, otorguen participación en las utilidades, ésta se sujetará a las reglas generales que fije la Comisión Nacional de Seguros.”

3 General Cologne Re. “Group Life Insurance Manual”, pp. 36-37

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Para su reglamentación, la CNSF emitió el 5 de mayo de 1996 la circular S-8.1.5, en la cual establece que en la carátula de las pólizas de Seguro de Grupo y Colectivo que otorguen participación en las utilidades se deberá incluir textualmente el siguiente párrafo del artículo 77 fracción XXII de la Ley del Impuesto sobre la Renta: “La legislación del Impuesto sobre la renta, artículo 77 fracción XXII, considera como ingresos no exentos, para las personas físicas, los dividendos, intereses, así como cualquier cantidad derivada de rescates o vencimientos que paguen las instituciones de seguros a los asegurados, a sus beneficiarios o a otra persona, cuando dichos pagos provengan de un contrato de seguro que haya sido pagado por el empleador en favor de sus trabajadores. En el caso de que el trabajador haya pagado parte de la prima del contrato de seguro, sólo se pagará el impuesto sobre la parte de los dividendos, intereses o de las cantidades derivadas de rescates o vencimientos que no correspondan al porcentaje de la prima pagada por el trabajador. En el 2002 se realizaron modificaciones a la Ley del Impuesto sobre la Renta, dentro de los cambios principales, el Artículo 77º se desintegró y su contenido quedó disperso en varios artículos de la misma Ley. A la fecha la CNSF no ha emitido una nueva circular para definir el nuevo texto a imprimir en las pólizas, las compañías de seguros no pueden seguir imprimiendo el texto explícitamente pues hace referencia errónea a un artículo de la Ley del ISR, pero al no hacerlo contravienen una disposición legal de la CNSF. Los artículos reformados son: Artículo 109º. No se pagará el impuesto sobre la renta por la obtención de los siguientes ingresos: (...) XVII. Las cantidades que paguen las instituciones de seguros a los Asegurados o a sus beneficiarios cuando ocurra el riesgo amparado por las pólizas contratadas, siempre que no se trate de seguros relacionados con bienes de activo fijo (...) (...) Tampoco se pagará el impuesto sobre la renta por las cantidades que paguen las instituciones de seguros a sus asegurados o a sus beneficiarios, que provengan de contratos de seguros de vida cuando la prima haya sido pagada directamente por el empleador en favor de sus trabajadores, siempre que los beneficios de dichos seguros se entreguen únicamente por muerte, invalidez, pérdidas orgánicas o incapacidad del Asegurado para realizar un trabajo personal remunerado de conformidad con las leyes de seguridad social y siempre que en el caso del seguro que cubre la muerte del titular los beneficiarios de dicha póliza sean las personas relacionadas con el titular a que se refiere la fracción I del artículo 176 de esta Ley y se cumplan los demás requisitos establecidos en la fracción XII del artículo 31 de la misma Ley. La exención prevista en este párrafo no será aplicable tratándose de las cantidades que paguen las instituciones de seguros por concepto de dividendos derivados de la póliza de seguros o su colectividad (...) Artículo 158º. (...) Se dará el tratamiento de interés a los pagos efectuados por las instituciones de seguros a los Asegurados o a sus beneficiarios, por los retiros parciales o totales que realicen dichas personas de las primas pagadas, o de los rendimientos de éstas, antes de que ocurra el riesgo o el evento amparado en la póliza, así como a los pagos que efectúen a los Asegurados o a sus beneficiarios en el caso de seguros cuyo riesgo amparado sea la supervivencia del Asegurado cuando en este último caso no se cumplan los requisitos de la

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fracción XVII del artículo 109 de esta Ley y siempre que la prima haya sido pagada directamente por el Asegurado (...) Como se ve, estas disposiciones van muy ligadas al esquema de contribución del seguro, el dividendo deberá separarse en la porción que le corresponde al contratante y la de los asegurados, con relación a la parte de la prima que se cubre4. Modalidades Para el otorgamiento de dividendos existen 2 modalidades de participación: Experiencia general o global Bajo esta modalidad, la experiencia del grupo en cuestión se conjunta con el resto de la cartera de Seguro de Grupo de la misma naturaleza que existe en cada compañía, y su porcentaje de participación en las utilidades depende del resultado global de la misma, dicho porcentaje debe ser revisado periódicamente de acuerdo a la movilidad de los resultados para así ser consistentes con el comportamiento observado, además se deben establecer esquemas equitativos para la distribución del dividendo generado, que no se establezcan en función de los siniestros reportados. Experiencia individual o propia Esta opción permite tener una participación de utilidades en función exclusivamente, de los resultados de siniestralidad obtenidos por el grupo en cuestión, esta modalidad se otorga para grupos asegurados con un gran volumen de participantes y de primas.

Para ello, al inicio de la vigencia del contrato se estipula el porcentaje de participación en las utilidades en función de la prima del grupo asegurado. Tipos de coberturas Cobertura básica por fallecimiento Consiste en el pago de la suma asegurada contratada a los beneficiarios designados por el Asegurado, en caso de ocurrir el fallecimiento de éste. Como ya se mencionó, la Ley del Contrato del Seguro, en su artículo 186º, establece que no se debe cubrir el suicidio dentro de los dos primeros años de vigencia de la póliza, pero en la práctica algunas compañías eliminan o reducen este plazo a 1 año, violando la ley.

4 Rendón, Jorge “Normas y políticas del Seguro de Vida”, p.p. 63

20

Coberturas adicionales La cobertura básica puede ser complementada adecuadamente con la contratación de otros Beneficios Adicionales, que permitan obtener una protección ante eventualidades igualmente impredecibles y no menos importantes, como son la invalidez y los accidentes. Invalidez Se considera invalidez total y permanente cuando los conocimientos y aptitudes con que el asegurado contaba se ven afectados por lesiones corporales a causa de un accidente o la manifestación de una enfermedad, de forma tal que lo imposibiliten permanentemente para desempeñar una ocupación o trabajo remunerativo. También se considerarán como causas de invalidez, la pérdida irreparable y absoluta de la vista en ambos ojos, o la pérdida de ambas manos, o ambos pies, o de una mano y un pie, o de una mano y la vista de un ojo, o un pie y la vista de un ojo. Generalmente se establece un periodo de espera para el pago del siniestro, que consiste en que la invalidez deberá ser continua durante dicho periodo y, al final del mismo, se paga el beneficio.

• Beneficio adicional de exención del pago de primas por invalidez total y permanente En caso de que el Asegurado llegue a invalidarse total y permanentemente ya sea por enfermedad o accidente, el seguro se mantendrá en vigor sin más pago de primas, mientras el Asegurado se encuentre con vida y por la suma asegurada vigente al momento de ocurrir la invalidez (seguro saldado).

• Beneficio adicional por invalidez total y permanente En caso de que el Asegurado llegue a invalidarse total y permanentemente se realiza el pago de la indemnización contratada para este beneficio. En este beneficio puede, aunque no es común, diferenciarse la causa de la invalidez, y cubrir la invalidez únicamente por accidente, dando origen a una cobertura de menor costo. Accidentes Se entiende por accidente, aquel acontecimiento proveniente de una causa externa, súbita, fortuita y violenta que produce lesiones corporales o la muerte en la persona del Asegurado.

• Beneficio adicional por muerte accidental Si a consecuencia de un accidente sufrido por el Asegurado, éste muere dentro cierto tiempo después de la ocurrencia del mismo, generalmente 90 días, la compañía paga a los beneficiarios designados, la suma asegurada contratada para este Beneficio, adicional al monto de la cobertura básica.

• Beneficio adicional por pérdida de miembros Este beneficio cubre las lesiones corporales producidas en la persona del Asegurado a consecuencia de un accidente, considerándose como tales:

21

Pérdida de una mano Su separación a nivel de la articulación carpo–

metacarpiana o arriba de ella.

Pérdida de un pie Su separación a nivel de la articulación tibio–tarsiana o arriba de ella.

Pérdida de los dedos La separación de dos falanges completas, cuando menos.

Pérdida de la vista La pérdida completa y definitiva de la visión.

Otras coberturas adicionales que pueden ofrecerse son aquellas que extienden la protección a la familia del asegurado. Se debe tener cuidado en la manera de conformar el grupo asegurado con el fin de garantizar que no se presente selección adversa para la compañía.

• Cobertura conyugal Protege por fallecimiento al cónyuge del Asegurado con una suma asegurada de hasta el 100% de la del titular.

• Cobertura familiar Este beneficio dará cobertura por fallecimiento a los cónyuges y/o hijos del Asegurado titular que dependan económicamente de él. Reservas técnicas Ligado a la operación del seguro y de acuerdo al Artículo 46 de la Ley General de Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros (LGISMS), las reservas que deben constituirse son:

• Reservas de riesgos en curso • Reservas para obligaciones pendientes de cumplir

En la referida ley se establece que: Artículo 47.- Las reservas de riesgos en curso que deberán constituir las instituciones, por los seguros o reaseguros que practiquen, serán: (...) II. Para los seguros de vida temporales a un año, el monto de recursos suficientes para cubrir los siniestros esperados derivados de la cartera de riesgos en vigor de la institución, así como los gastos de administración derivados del manejo de la cartera, calculado con métodos actuariales basados en la aplicación de estándares generalmente aceptados. Las instituciones de seguros deberán registrar dichos métodos ante la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas, de acuerdo a las disposiciones de carácter general que al efecto emita la propia Comisión;

22

Artículo 50: I.- Por pólizas vencidas, por siniestros ocurridos, y por repartos periódicos de utilidades, el importe total de las sumas que deba desembolsar la institución, al verificarse la eventualidad prevista en el contrato, debiendo estimarse conforme a las bases siguientes: a).- Para las operaciones de vida, las sumas aseguradas en las pólizas respectivas, con los ajustes que procedan, de acuerdo con las condiciones del contrato. En obligaciones pagaderas a plazos, el valor presente de los pagos futuros, calculado al tipo de interés que fije la Secretaría de Hacienda y Crédito Público. Tratándose de rentas, el monto de las que estén vencidas y no se hayan cobrado; (...) II.- Por siniestros ocurridos y no reportados, así como por los gastos de ajuste asignados al siniestro de que se trate, las sumas que autorice anualmente la Comisión Nacional de Seguros y Fianzas a las instituciones, considerando la experiencia de siniestralidad de la institución y tomando como base los métodos actuariales de cálculo de cada compañía que en su opinión sean los más acordes con las características de su cartera. Estas reservas se constituirán conforme a lo que señale la Secretaría de Hacienda y Crédito Público mediante reglas de carácter general y sólo podrán utilizarse para cubrir siniestros ocurridos y no reportados, así como gastos de ajuste asignados al siniestro; (...) La CNSF es la encargada de emitir disposiciones oficiales para la constitución de reservas técnicas. Reserva de riesgos en curso (reserva matemática) En el año 2003 se emitió la circular S-10.1.7 con disposiciones para los métodos de cálculo de esta reserva, estableciendo que: La reserva de riesgos en curso debe corresponder al valor esperado de las obligaciones futuras de la institución o sociedad mutualista por concepto de pago de beneficios y reclamaciones, que se deriven de su cartera de pólizas en vigor durante el tiempo que falta por transcurrir, desde el momento en que se realiza la valuación hasta el vencimiento de cada uno de los contratos de seguro, descontando el valor esperado de los ingresos futuros por concepto de primas netas. Para los efectos de las presentes disposiciones, se entenderá que las primas netas se obtienen de deducir a la prima de tarifa los recargos para costos de adquisición, gastos de administración y márgenes de utilidad. Se establecen algunos ajustes a las proyecciones para garantizar la suficiencia de la prima, entre ellos, la aplicación de un factor de suficiencia y la participación del monto destinado para gastos que no ha sido devengado. a) Una vez determinado el valor esperado de las obligaciones futuras por concepto de pago

de reclamaciones y beneficios derivados de las pólizas en vigor conforme al método de valuación registrado y, en su caso, descontado el valor esperado de los ingresos futuros por concepto de primas netas, se deberá comparar dicho valor con la prima de riesgo no devengada de las pólizas en vigor, con el objeto de obtener el factor de suficiencia que se aplicará para el cálculo de la reserva de riesgos en curso en cada uno de los tipos de seguros que opere la institución o sociedad mutualista de seguros.

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b) La reserva de riesgos en curso, en cada uno de los tipos de seguros que opere la institución o sociedad mutualista de seguros, será la que se obtenga de multiplicar la prima de riesgo no devengada de las pólizas en vigor, por el factor de suficiencia correspondiente. En ningún caso el factor de suficiencia que se aplique para estos efectos podrá ser inferior a uno.

c) El factor de suficiencia de la reserva de riesgos en curso deberá revisarse y actualizarse,

cuando menos, en forma trimestral, con la experiencia de la institución o sociedad mutualista de seguros.

d) Adicionalmente, se deberá sumar a la reserva de riesgos en curso la parte no devengada

de gastos de administración, las cuales se deberán calcular como la parte no devengada correspondiente a la porción de prima de tarifa anual de cada una de las pólizas en vigor al momento de la valuación.

Se establece una prima mínima de acuerdo a las obligaciones contractuales de cada compañía: (...) Para los seguros de vida con temporalidad menor o igual a un año, la reserva de riesgos en curso obtenida conforme a las presentes disposiciones para cada póliza, no podrá ser inferior, en ningún caso, a la prima no devengada, que conforme a las condiciones contractuales la institución o sociedad mutualista de seguros esté obligada a devolver al asegurado en caso de cancelación del contrato (...)

Reserva de siniestros ocurridos pero no reportados (IBNR)

La circular S–10.6 de fecha 10 de octubre de 1998 da a conocer las reglas para la valuación y constitución de esta reserva: Se consideran siniestros ocurridos no reportados aquellos siniestros que se producen en un intervalo de tiempo, durante la vigencia de la póliza, pero que se conocen con posterioridad a la fecha de cierre o valuación de un periodo contable (...) (...) La falta de constitución de la reserva por siniestros ocurridos y no reportados ocasionaría efectos perjudiciales a los resultados programados por la empresa de seguros y, por lo mismo, provocaría problemas relacionados con las utilidades que contablemente se han registrado para el ejercicio de que se trate (...) Cada empresa de seguros deberá constituir y valuar dicha reserva tomando como base el método actuarial de cálculo que en su opinión sea acorde con las características de su cartera y experiencia siniestral, (...) Existen varios métodos para el cálculo de esta reserva. En el Seguro de Grupo se recomienda prestar atención en determinar correctamente esta reserva, ya que es muy común el retraso en la reclamación de los siniestros por la naturaleza del seguro. Se debe identificar el comportamiento de los grupos, ya que si se trata de grupos o colectivos grandes, estables en su tamaño, es mejor utilizar el método de diferencias en lugar del de porcentajes5 pues los métodos comunes basados en el “método de la escalera” incrementan la reserva al aumentarse los siniestros reclamados, cuando en realidad debería de obtenerse un resultado inverso. 5 Rendón, Jorge “Normas y políticas del Seguro de Vida”, p.p. 67

24

CAPITULO II

TARIFICACIÓN DEL SEGURO DE GRUPO El proceso de tarificación contempla varios aspectos aquí analizados:

• Selección de riesgos • Determinación del costo del seguro

- Primas de riesgo - Primas de tarifa - Recargos y descuentos

SELECCIÓN DE RIESGOS Es la etapa a través de la cual se analizan, clasifican y evalúan todos los hechos importantes relativos al grupo asegurable, que sirven de base para una correcta apreciación y tarificación del riesgo. La selección de riesgos en el Seguro de Grupo comprende dos puntos de vista: Ocupacional En donde se analizan las características inherentes al riesgo en función del giro o la naturaleza del negocio. Médica Aplicable únicamente a los asegurados cuyas sumas aseguradas sean superiores a la suma asegurada máxima establecida de acuerdo al Reglamento del Seguro de Grupo. Los riesgos asegurables pueden clasificarse principalmente en 3 tipos: Riesgos normales Se consideran riesgos normales aquellas ocupaciones que por sus características no presentan un riesgo agravado, como son: • Empleados administrativos • Recepcionistas • Vendedores de tiendas departamentales. • Telefonistas. • Etc. Riesgos subnormales Se consideran riesgos subnormales a todas aquellas ocupaciones que por sus características, están en mayor peligro del normal de sufrir algún siniestro.

25

Riesgos catastróficos Se consideran riesgos catastróficos aquellos en los que por el tipo de actividad, se pueden producir varias pérdidas a consecuencia de un mismo evento. Algunos ejemplos de grupos que podrían representar un riesgo catastrófico son:

- Asociaciones de artistas y grupos musicales, debido a que por la naturaleza de su trabajo, viajan continuamente en grupo, originando que el riesgo se acumule en un mismo evento.

- Clubes y/o equipos deportivos, por el mismo criterio del ejemplo anterior. - Militares, debido a su actividad. - Personal de aviación, debido a su actividad. - Labores submarinas, debido a su actividad. - Producción de materiales radiactivos o el uso de dichos materiales para producir

energía, debido a su actividad. - Mineros, debido a su actividad

Generalmente al asegurar a grupos con alguna de las actividades anteriores, se agregan recargos a la prima de los asegurados, además de que deben estar respaldados con contratos de reaseguro que amparen la realización del riesgo catastrófico al que están expuestos. COSTO DEL SEGURO Cada compañía aseguradora que practica el Seguro de Grupo tiene la responsabilidad de determinar los costos para sus productos con base en técnicas científicamente sustentadas y congruentes con principios actuariales generalmente aceptados. “El cálculo actuarial de las primas de tarifa, en las diferentes operaciones de seguro, depende de las características del riesgo, así como del plazo de los contratos; este proceso constituye un factor decisivo para la rentabilidad del negocio y la base fundamental para la constitución de las reservas correspondientes, bajo un esquema de suficiencia6”. Se debe determinar el costo necesario para cubrir, al menos:

- Montos esperados de reclamaciones por la realización del riesgo asegurado - Gastos asociados a la administración y adquisición del plan

Primas de riesgo Tarificación con clasificación manual Se puede llamar clasificación manual al método para calcular los costos del Seguro de Grupo sin considerar información adicional, como puede ser la experiencia previa de reclamos del grupo en cuestión.

6 Estándar de práctica actuarial No. 1

26

Este método habitualmente se utiliza para establecer los costos iniciales que se cobrarán a los grupos que no han sido asegurados previamente o de los cuales no se conoce su experiencia y para fijar los costos iniciales y los costos de renovación para los grupos pequeños. La siniestralidad de un grupo pequeño generalmente es poco confiable, pues el grupo no es lo suficientemente grande para que el asegurador determine si puede usarse su propia experiencia o para determinar en que grado se le puede otorgar credibilidad. En México el principal factor utilizado en la determinación de cuotas para la cotización del Seguro de Grupo es la edad, para ello, la base de cálculo de primas es la Tabla de Mortalidad que se determine. La tabla vigente es la llamada CNSF 2000-G, publicada en marzo de 2000, misma que es comentada mas adelante en el capitulo. Prima neta de riesgo La prima neta de riesgo de un seguro temporal a un año se define como:

∫ −=1

0|1:

)(1 dttpeA xxtt

xµδ

Suponiendo una distribución uniforme de siniestros durante el año, tenemos las siguientes igualdades:

xxt tqp −= 1

x

xx tq

qt−

=1

)(µ

Sustituyendo:

)1(1)1(1

)1(1

0

1

0

1

0|1:

1δδδδ

δδ−−−− −=−==

−−= ∫ ∫ eqeqdteqdt

tqqtqeA x

tx

tx

x

xx

t

x

Recordando las igualdades de tasas de interés:

ivi

ii

eee ii =+

=+

−=−=−=− ++−−

1111111

)11ln()1ln(δ

Sustituyendo para obtener la expresión final de la prima neta anual de un seguro temporal a un año:

δδδiAivqivqA

xxx

x |1:|1:11

1 ===

27

Tarificación tomando en cuenta la experiencia Cuando se conoce la experiencia del grupo, se propone tarificar en función de su siniestralidad observada, suponiendo que esta experiencia es un indicador del riesgo que representa. No podemos basarnos sólo en la experiencia, pues la siniestralidad está sujeta a desviaciones aleatorias que pueden ser tanto favorables como desfavorables y que no necesariamente deben de reflejarse en disminuciones o aumentos del costo, por esto, se propone utilizar factores que nos indiquen qué tan confiable es la experiencia y así poder llegar a una prima resultante de una combinación entre la prima teórica y la información adicional conocida de otras vigencias. Prima de credibilidad “La palabra credibilidad tiene su origen en la Actuaría como una medida de la creencia que el Actuario atribuye a una posible experiencia con la finalidad de tarificar”7 Para tomar en cuenta esta experiencia se necesita un algoritmo que indique para cada grupo qué tan confiable es su experiencia, en otras palabras, un algoritmo que permita ponderar en cada caso la prima teórica de un grupo y su siniestralidad observada para así llegar a la prima neta adecuada. Para ello, la teoría estadística establece la siguiente fórmula para la prima de credibilidad Pc:

( ) µ⋅−+⋅= ZXZPc 1

donde: µ = Prima teórica del grupo

X = Información histórica del grupo Z = Factor de credibilidad Se define el factor de credibilidad Z como:

avm

mZ+

=

Tal que v y a son estimados con el modelo Bühlmann-Straub, que permite tener información diferente en cada año de experiencia, como por ejemplo, el número de integrantes de un grupo donde m es el número total de unidades expuestas.

7 Fuerte Trowbride, Charles. “Fundamental concepts of Actuarial Science”, 2ª. Edición, Prentice Hall, 1996.

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Se suponen las siguientes variables aleatorias Xj | θ independientes, con media común:

)()|( θµθ =jXE y con varianzas condicionadas: j

j mXVar )()|( θνθ = , donde mj es la medida

de exposición al riesgo, que en este caso se establece como el número de individuos en el grupo para cada año de experiencia j, de tal forma que:

j

m

kjk

j m

YX

j

∑== 1

,

con jkY , =Monto reclamado por el integrante k en el año j

Los parámetros se definen como:

)]([)]([)]([

θµθννθµµ

VaraEE

===

Se utiliza una estimación no paramétrica con la cual no se necesita suponer ninguna distribución para θ o para X | θ , sólo se conoce la media y la varianza de la información. Sean las variables: r = número de pólizas que conforman la cartera que comparte experiencia y de la cual

se desea determinar su factor de credibilidad. n = años conocidos de experiencia i

ijY =Monto total de siniestros reclamados por la póliza i en el año j

ijm =Número de integrantes de la póliza i en el año j

ijX = Promedio del monto reclamado por persona integrante de la póliza i en el año j

ij

ij

mY

=

iX = promedio del monto reclamado por persona para la póliza i

∑

=

=in

jijij

i

Xmm 1

1

X = promedio del monto reclamado por persona dentro de la cartera de pólizas

∑∑

∑∑

= =

= == r

i

n

jij

r

i

n

jij

m

X

1 1

1 1

im = número total de integrantes de la póliza i durante todos los años de experiencia

29

∑

=

=in

jijm

1 m = número total de integrantes de la cartera de pólizas.

∑

=

=r

iim

1 Se definen los estimadores como: 1) X=µ

2)

∑

∑

=

=

−−

=

=

in

jiij

ii

r

ii

XXn

vcon

vr

1

2

1

)(1

1ˆ

ˆ1ν

3)

m

mm

rXXma n

ii

n

iii

∑

∑

=

=

−

−−−=

1

2

1

2 )1(ˆ)(ˆ

ν

Ejemplo práctico Se conoce la información de las siguientes 2 pólizas: Póliza Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Monto total reclamado 3,651,370.80 4,582,982.09 1,351,072.78 4,569,691.86

No. de integrantes grupo

1 4,009 3,158 3,158 3,620

Monto total reclamado 4,245,057.33 5,433,665.90 1,410,837.76 4,894,379.64

No. de integrantes grupo

2 7,872 7,405 7,405 6,316

Aplicando las fórmulas presentadas para obtener los estimadores:

30

Siniestralidad

n años de información Diferentes

grupos j =1 j =2 j =3 j =4

i =1 3,651,37

0.80 4,582,982

.09 1,351,072.

78 4,569,691.

86

i =2 4,245,05

7.33 5,433,665

.90 1,410,837.

76 4,894,379.

64

Asegurados mi,j

j =1 j =2 j =3 j =4 mi m

i =1 4,009 3,158 3,158 3,620 13,945 i =2 7,872 7,405 7,405 6,316 28,998

42,943

Siniestralidad promedio por año por póliza

j =1 j =2 j =3 j =4

i =1 910.79 1,451.2

3 427.83 1,262.35 1,015.07 i =2 539.26 733.78 190.53 774.92 551.21

701.84

Estimaciones:

µ 701.84 ν 580,356,598.51 a 76,767.07

Ahora se puede calcular el factor de credibilidad Z y la prima de credibilidad Pc para cada póliza por separado: Factor de credibilidad Z

i =1 0.65 i =2 0.79

Prima de credibilidad Pc

i =1 904.95 i =2 582.36

jiX ,iX

jiY ,

X

31

Ahora, si conocemos el número de expuestos para el año n+1 podemos obtener el costo correspondiente: Póliza Año 5

No. de integrantes grupo 1 3,325

No. de integrantes grupo 2 6,460

Prima de credibilidad total del grupo

i =1 3,008,970.30

i =2 3,762,031.51

Prima de tarifa La prima de tarifa consiste en recargar el costo esperado de siniestralidad reflejando gastos, comisiones, margen de utilidad y ganancias esperadas por la inversión de reservas. Gastos Cada compañía debe realizar provisiones adecuadas para costear el gasto de crear, vender, suscribir y administrar sus productos, para ello se deben dar respuesta a las siguientes preguntas: En cuanto a la estructura de la compañía:

- ¿Se tiene un buen sistema contable que permita una eficaz administración contable? - ¿Se pueden identificar los gastos por el concepto específico de su utilización? - ¿Se pueden monitorear los supuestos para que apropiadamente se reconozcan los

cambios en los mismos y se actualicen? En cuanto a los gastos ligados a la póliza:

- ¿Qué gastos son directos y cuales indirectos? - ¿Cuál es el precio objetivo de la compañía? - ¿Que gastos se distribuyen solo entre los clientes que hacen uso de ellos? ¿Cuales se

distribuyen en toda la cartera de clientes? En cuanto a las especificaciones del producto:

- Para cada cobertura, ¿Qué servicios externos se requieren para llevar a cabo la venta?

- Para cada cobertura, ¿Qué funciones están relacionadas a las necesidades del producto, y cuales son los costos de llevar a cabo dichas funciones?

32

- ¿Cómo deben expresarse los gastos? ¿Por póliza, por certificado, por reclamación, como porcentaje de la prima, alguna combinación?

En cuanto a la información con que se cuente de la competencia:

- ¿Qué gastos incluye la competencia en sus precios? - ¿Qué servicios ofrece?

Existen varias fuentes de información para responder las interrogantes: la primera fuente de información debe ser interna; internamente, la fuente principal de datos es un estudio funcional de costos que sistemáticamente mida cuantos recursos son consumidos en cada función determinada por varias categorías, ya sea por tamaño de los grupos, coberturas o líneas de negocio. Se puede obtener información externa de reportes oficiales que conjunten la información de varias aseguradoras, aunque estos estudios reflejan el comportamiento del mercado y no necesariamente las necesidades de cada compañía. Generalmente los gastos se expresan en alguna de las siguientes formas:

- Como porcentaje de la prima - Por póliza - Por certificado - Por reclamación administrada

Al decidir la manera de expresión, se debe considerar que cada forma afecta de manera diferente el precio final y el monto destinado para gastos. Por ejemplo, se comparan dos esquemas diferentes: a) costo fijo de $1,000 por contrato contra b) 3% de la prima cobrada, ahora, si se tiene una prima de $50,000 con el esquema a) el monto destinado a gastos es del 2% de la prima cobrada, mientras que si la prima es de $20,000, el porcentaje se incrementa a 5%. Por lo anterior, se deben realizar análisis detallados para determinar cuál es la expresión más representativa de lo que se tiene en la realidad. Esto es especialmente difícil en las compañías de seguros que tienen operaciones de vida, daños y accidentes y enfermedades, ya que los gastos se contabilizan de manera general y no se sabe que participación tiene cada operación. Comisiones Generalmente, la venta de los productos del Seguro de Grupo se realiza a través de agentes o corredores que reciben una comisión que debe reflejar el valor de sus servicios. Este valor se basa en el volumen y complejidad del trabajo que se realiza y en la demanda del mercado por los recursos. Las comisiones son expresadas generalmente como porcentaje de las primas, para ello se puede establecer un porcentaje fijo o diferentes porcentajes en función del tamaño del grupo. Alternativamente, se pueden establecer esquemas escalonados en función del monto de prima, o alguna combinación.

33

Algunos ejemplos son:

1) 15% de la prima de tarifa por póliza sin importar el número de asegurados. 2) Porcentaje en función del número de asegurados

3) Porcentaje escalonado

No. de integrantes Comisión

Primeros $5,000 10% Siguientes $10,000 5% Siguientes $15,000 3% Siguientes $20,000 1% Siguientes $50,000 0.5%

Cualquier excedente 0.3%

Margen de utilidad El nivel escogido para este margen generalmente depende del grado de riesgo incurrido, del monto del capital que la compañía invierte para soportar las coberturas y del retorno esperado del capital. Expresión de la prima de tarifa La Asociación Mexicana de Instituciones de Seguros (AMIS) propone la siguiente forma de expresión:

prima) (sobre técnicautilidad demargen y ción Administra de gastos otros para Porcentaje GAdmprima) (sobren adquisició de gastos de Porcentaje GAdq

Asegurada) Suma demillar (al expedición de gastospor ción Administra de gastos deFactor GAdmAsegurada) Suma demillar (al edad de persona una para Riesgo de Prima deFactor PN

Asegurada) Suma demillar (al edad de persona una para Tarifa de Prima deFactor PT:donde

2

1

x

x

===

==

xx

No. de integrantes

Comisión

Menos de 50 10% 50-99 5%

100-499 3% 500-999 2%

1000-2999 1% 3000 ó más .5%

2

1

1 GAdmGAdqGAdmPNPT x

x −−+=

34

Esta propuesta no es equitativa debido a que al incrementarse el número de asegurados se incrementa la prima de tarifa por gastos de expedición (al millar de Suma Asegurada), cuando en realidad, los gastos de expedición no incrementan en la misma proporción en que incrementa el número de asegurados. Una forma de manejar estos gastos podría ser a través de un recargo o derecho por póliza y un recargo por certificado, hasta un cierto número de certificados para el cual ya no exista diferencia entre expedir uno más. Además, al manejarse planes temporales a un año generalmente no se hace diferencia entre los costos de las pólizas de primer año y de aquellas pólizas que renuevan, como en el caso del seguro individual, al hacerlo, se podrían reducir los costos de renovación, ya que en una renovación no se incurre en los mismos gastos que se originan en una póliza de primer año. Finalmente, la estructura de la prima de tarifa necesita ser probada, y en su caso ajustada, para garantizar que los factores establecidos produzcan resultados consistentes con todos los supuestos que los fundamentaron. Recargos y descuentos Extraprimas Con el fin de tomar riesgos que por su naturaleza pueden generar desviaciones en la siniestralidad, se pueden incluir en la tarifa recargos llamados extraprimas, y tenemos de 2 tipos: o Ocupacionales: Generalmente se toman como base los recargos por tipo de ocupación

correspondiente a las primas del Manual de Accidentes Personales publicado por la A.M.I.S. o a manuales publicados por los reaseguradores.

o Médicas: Aplicadas para aquellas personas que excedan el tope de suma asegurada

máxima sin requisitos médicos y basándose en los manuales publicados por los reaseguradores o, en algunos casos, de la experiencia de las propias compañías aseguradoras en el seguro de vida individual.

Para los recargos ocupacionales, debe tomarse en cuenta, cuando se tarifica con la tabla de mortalidad CNSF 2000-G, que ésta incluye a grupos con ocupaciones de alto riesgo, por lo que los recargos por este tipo de riesgos deben ser menores, a menos que en la tarificación se apliquen descuentos a las tasas de mortalidad por esta causa. Descuentos sobre primas Con el fin de ofrecer tarifas competitivas, se manejan esquemas de descuento sobre primas en función del número de asegurados en cada grupo o en función del volumen de primas, esto a partir de la idea de que a mayor volumen los gastos pueden reducirse.

35

Un ejemplo particular de estos descuentos puede ser:

Prima en SMGM Descuento sobre prima

90 275 14% 275 550 15% 550 1,100 16%

1,100 1,700 17% 1,700 2,200 18% 2,200 3,300 19% 3,300 4,500 20% 4,500 6,600 21% 6,600 9,400 23% 9,400 14,300 24% 14,300 E.A. 26%

36

LIMITANTES EN LA COTIZACIÓN DEL SEGURO DE VIDA GRUPO Tabla de Mortalidad La tabla de mortalidad es la base de los cálculos del seguro de vida individual, tanto de primas netas de riesgo como de las reservas correspondientes y constituye el elemento técnico más importante. Generalmente una tabla de mortalidad se considera como un registro de la experiencia pasada. Su uso implica la suposición o “expectativa” de que la experiencia del futuro se reproducirá de acuerdo con lo estipulado en la tabla utilizada, aunque por naturaleza, las tasas de mortalidad futuras normalmente son más bajas que las del pasado debido al aumento progresivo en la duración de la vida, aunque este efecto es lento. La mortalidad en los grupos está influenciada básicamente por los siguientes factores:

• Efecto de selección positiva al suponer que los trabajadores son saludables y que han pasado por cierta selección inherente al empleo

• Posible selección adversa debido a la falta de selección individual

La experiencia sugiere que la mortalidad en los grupos es considerablemente mejor que la mortalidad de la población, implicando que el efecto “trabajador saludable” es mayor que el efecto producido por la falta de selección individual. Es por esto que existen diferentes tablas para el Seguro de Vida Individual y para el Seguro de Vida Grupo. Desde 1986 y hasta marzo de 2000 la Tabla de Mortalidad de Grupos utilizada era la llamada “Experiencia Mexicana de Grupo 1973 – 1983”, anteriormente en México, se utilizó la CSO-1941 y posteriormente la CSG – 1960, última tabla oficialmente creada para el Seguro de Grupo en Estados Unidos. La tabla de mortalidad vigente para reservas es la CNSF 2000 – G, dada a conocer por la CNSF en marzo de 2000 y construida por Manuel Mendoza Ramírez, Ana María Madrigal Gómez y Evangelina Martínez Torres. Dicha tabla fue creada a partir de la información obtenida del Sistema Estadístico del Sector Asegurador de la operación de Vida, desarrollado por la CNSF, que incluye la experiencia en mortalidad de todas las empresas del sector que operaron los seguros de Vida Grupo durante los años 1991 a 1998. De acuerdo a las Reglas para la Constitución e Incremento de las Reservas de Riesgos en Curso de las Instituciones y Sociedades Mutualistas de Seguros, se establece que las compañías aseguradoras deberán utilizar la Tabla de Mortalidad CNSF 2000-G para la valuación de las pólizas de seguros de grupo o colectivo emitidas a partir del 1º de abril de 2000.

37

Problemática Actualmente en países en donde el sector asegurador se ha desarrollado notablemente como son Estados Unidos y Canadá, ya no existen tablas de mortalidad genéricas para el cálculo de primas para todo el Seguro de Grupo. En Estados Unidos la última tabla construida fue la anteriormente mencionada CSG–1960, construida a partir de datos obtenidos de estudios realizados por el Comité de Mortalidad de Grupo de la Sociedad de Actuarios en 10 compañías aseguradoras estadounidenses. Los datos se basan en información anual obtenida para los años 1950 hasta 1958 de grupos estandarizados en los que existía una relación patrón–empleado con 25 o más empleados, y aplicando un recargo del 20% a los resultados como margen de seguridad, sin embargo, se debe señalar que la información incluía grupos con ocupaciones peligrosas y datos de beneficios por invalidez. En dichos países, actualmente las primas se determinan dependiendo de la información con que se cuenta de cada grupo:

• Cuando no se tiene experiencia previa de siniestros del grupo, las compañías generalmente usan su propia experiencia con grupos similares o algunas veces la experiencia de otras aseguradoras, esta metodología también es utilizada para el cálculo de la prima de grupos pequeños, pues no se puede saber con certeza si su siniestralidad es consecuencia del azar o realmente refleja la experiencia promedio del grupo.

• Cuando se cuenta con experiencia previa de siniestros, ésta es utilizada para fijar las

primas. Además, en otros países, se cuenta con información estadística de mortalidad diferenciando ramas de actividad, misma que es utilizada para recargar o descontar la tasa utilizada como base para los cálculos. Una de las particularidades del Seguro de Grupo, sin lugar a dudas es que dentro de cada grupo las características de cada individuo que definen el riesgo son similares, por lo que cada grupo tendrá sus propios rasgos que deberían ser tomados en cuenta en el momento de definir el riesgo. Es importante identificar factores que puedan caracterizar a los grupos particulares y que tengan efectos significativos en la experiencia. Se deben distinguir todos los factores que influyen en el riesgo de asegurar grupos, algunos de ellos podrían ser:

• Edad • Sexo • Región • Ocupación • Giro

Lamentablemente, la tabla de mortalidad mexicana CNSF 2000 – G solo determina las tasas de mortalidad por edades, desde 12 hasta 100 años, sin hacer ninguna diferencia por cualquier otro factor.

38

Una característica de la población que es conocida a partir de la estadística es que la mortalidad en las mujeres es diferente que la de los hombres, información que encontramos combinada dentro de la tabla de mortalidad de grupo. Otro punto importante, es que dicha tabla de mortalidad está creada basándose en información que mezcla todos los grupos asegurados por las compañías mexicanas, por lo que encontramos tanto la siniestralidad de personal administrativo como de grupos con actividades de alto riesgo, sin diferenciación alguna, lo que genera incrementos en las tasas por edad. Al utilizar una tabla de mortalidad creada utilizando una mezcla de grupos asegurados, no aprovechamos las ventajas que podríamos tener a través de un Seguro de Grupo, pues simplemente estamos construyendo una tabla de mortalidad individual pero con solo una parte de la población. Otro aspecto conocido es que dicha tabla está recargada para ser utilizada en la valuación de reservas, por lo que se tienen aún tasas más elevadas para cada edad. Para realmente determinar los factores de mortalidad por grupo, deberíamos ser capaces de distinguir la siniestralidad de acuerdo a las características particulares de los grupos. Se podría determinar a un grupo de ciertas características como base, realizar en éste estudios para determinar la distribución de mortalidad, y a partir de dicha información, incrementar las tasas con factores adecuados. Como ejemplo y por mencionar algunos grupos, tenemos:

Grupo base: 100% Grupos compuestos por empleados que trabajan 8 horas al día en una oficina.

Otros grupos: 150% Elementos de Seguridad Pública 200% Mineros 250% Trabajadores con explosivos 300% Judiciales

En dicha información también encontramos otro problema, debido a la complejidad en la administración para los grupos con un gran número de miembros, en la mayoría de los casos las compañías utilizan sistemas de administración simplificada, en los cuales no se captura de manera detallada la información de los asegurados, sólo la necesaria para determinar las características del grupo. Debido a esto, la información que es reportada en los sistemas estadísticos por las compañías, en cuanto al número de asegurados por edad, puede llegar a estar incompleta o reflejar solo una estimación de las propias compañías, esta situación no debería ocurrir en el registro de los siniestros, por lo que utilizar razones de siniestralidad en base a la información de asegurados registrada en dicho sistema estadístico, puede llevar a una sobreestimación de la siniestralidad.

39

PROPUESTA DE TARIFICACIÓN Se presenta el siguiente estudio de siniestralidad como una metodología propuesta para una nueva tarificación del Seguro de Vida Grupo. Estudio de siniestralidad El objetivo de este estudio es obtener un factor de mortalidad para diferentes ocupaciones o giros dentro de aquellos grupos que por sus características son asegurables bajo el esquema de Seguro de Grupo. Estimación de la probabilidad de muerte Se puede suponer que cada asegurado expuesto Xj tiene una probabilidad θ de fallecer y una probabilidad (1- θ) de sobrevivir, por lo que construimos la variable aleatoria Xj,i que tiene la siguiente distribución:

==

ii

iij p-q

pXf

101

);( , θ

Donde: Xj,i representa al expuesto j dentro del giro i.

pi representa al valor que toma el parámetro θ que buscamos estimar para cada giro i.

Utilizando el método de momentos para estimar el parámetro: Se tiene x1, x2,…, xn una muestra aleatoria ~ Bernoulli (θ)

1. Tomar tantos momentos muestrales (mk) como parámetros desconocidos (N) En nuestro caso N = 1

2. Se iguala cada momento muestral (mk) con su respectivo momento poblacional, E(xk), formando el sistema mk = E(xk)

Se sabe, por definición, que el k-ésimo momento de la muestra de un conjunto de observaciones x1, x2,…, xn es la media de sus k-ésimas potencias

n

xm

n

i

ki

k

∑== 1

Y si la población proviene de una distribución Bernoulli (θ), se tiene:

40

θθθ =−×+×= )1()0()1()( kkkxE

Por lo tanto, generando el sistema

θ==⇒=∑

= xn

xxEm

n

ii

111 )(

3. se resuelve el sistema para encontrar θ

Por lo que x=θ

Información El estudio se construyó utilizando información de una compañía aseguradora mexicana, respetando la confidencialidad de nombres de empresas y personas. Para realizar los cálculos, la información se obtuvo de 2 bases, una base de pólizas (base 1) y una base de siniestros (base 2), a continuación se detalla el trabajo realizado con dichas bases. Información de pólizas Los campos contenidos en la base son: Base 1:

Campo 1 Número de póliza Campo 2 Razón social Campo 3 Número de asegurados Campo 4 Suma Asegurada de la cobertura de fallecimiento Campo 5 Indicador de experiencia Campo 6 Indicador de participación en las utilidades Campo 7 Inicio de vigencia Campo 8 Fin de vigencia

Información utilizada Con el fin de eliminar aquellas pólizas que estuvieran registradas con Suma Asegurada nula por tratarse de errores en el registro propio de la base, se filtró la información con los siguientes criterios: Campo 3 Número de asegurados No. de asegurados > 5 Campo 4 Suma Asegurada de la cobertura de fallecimiento Suma Asegurada > 0 Campo 5 Indicador de experiencia Global o Propia Campo 6 Indicador de participación en las utilidades Con o Sin participación

Campo 7 Inicio de vigencia Mayor o igual al 01 / 01 / 1997

41

Campo 8 Fin de vigencia Menor o igual al 31 / 12 / 2003

Análisis inicial de datos. Se realizaron los siguientes análisis con el fin de revisar la calidad de los datos y detectar errores (datos no bien registrados), omisiones (datos faltantes) u outliers (observaciones aberrantes).

Variable Registros válidos Mínimo Máximo Promedio

Desviación estándar

Número de asegurados 13,807 6 248,212 408 3,152.49

Suma Asegurada Total

13,807 10,000.00 252,904,920,447 168,807,704 3,654,374,818.60

No se presenta ninguna omisión en las variables analizadas. Como se puede ver, la desviación estándar en ambas variables es muy grande, sin embargo sabemos que debido a que la Suma Asegurada Total es una variable ligada al número de asegurados, se creó dentro de la base 1 y para cada registro en la misma, la variable SA prom donde:

j registro del asegurados de Número j registro del Asegurada Suma j promSA =

Se presentan los siguientes resultados del análisis descriptivo de la nueva variable: Se utilizó un diagrama de caja y brazos para observar mejor la distribución de la variable:

No. registros 13,807Mínimo 49.96 Percentil .05 10,000.00Percentil .25 35,432.63 Mediana 99,192.89 Percentil .75 217,152.18 Percentil .95 893,154.47 Máximo 69,490,000 Promedio 235,378 Desviación Estándar 774,903.96

42

0.00 2000 0000 .00 4000 0000 .00 6000 0000 .00

sa _prom

Basándose en las estadísticas y en el diagrama se tienen las siguientes observaciones: Errores y outliers encontrados

Giro Año # de

registro # de

asegurados Suma

Asegurada Total Suma Asegurada

promedio Policías 2000 10,782 10 694,900,000.00 69,490,000.00

Transportes 2000 12,991 248,212 12,400,000.00 49.96 Registro 10,782. Se buscó información de la póliza en otra base, encontrando que el monto correcto de Suma Asegurada para la póliza emitida en el año 2000 es de $69,490,000.00 Registro 12,991. La misma póliza está registrada en el año 2001 con los siguientes datos:

Número de asegurados: 220 Suma Asegurada total: $ 11,000,000.00 Suma Asegurada promedio: $ 50,000.00

Suponiendo una suma asegurada fija, $50,000.00 para cada integrante del grupo asegurado, la suma asegurada del registro del año 2000 alcanza para 248 asegurados, lo que nos hace suponer que hubo un error al capturar el registro, por lo que se procede a modificar la información del registro 12,991. Por lo que ambos registros fueron errores, una vez corregidos, los registros quedan de la siguiente manera:

43

0.00 5000 000.00 1000 0000.00 1500 0000.00

sa_prom

Giro Año # de

registro # de

aseguradosSuma

Asegurada Total Suma Asegurada

promedio

Policías 2000 10,782 10 69,490,000.00 6,949,000.00

Transportes 2000 12,991 248 12,400,000.00 50,000.00

Quedando las nuevas estadísticas descriptivas como: # registros 13,807

Mínimo 151.52

Percentil .05 10,000.00

Percentil .25 35,447.77

Mediana 99,192.89

Percentil .75 217,152.18 Percentil .95 893,154.47 Máximo 15,463,277.96

Promedio 230,852 Desviación Estándar 506,279.55 A partir de los datos anteriores se generó el histograma correspondiente. Debido a que existe una diferencia de 14,570,123.48 entre el monto máximo y el percentil .95, se graficó el histograma sólo con los registros que acumulan el 95% de la distribución.

Distribución de SA promedio

0

500

1000

1500

2000

2500

0.00

0

0.26

3

0.44

5

0.58

0

0.66

8

0.71

8

0.76

5

0.79

6

0.82

3

0.84

3

0.85

8

0.87

3

0.88

7

0.89

9

0.90

6

0.91

5

0.92

2

0.92

6

0.93

2

0.93

7

0.94

2

0.94

5

0.94

9

0.95

0

Distribución acumulada

44

En la gráfica se observan dos picos importantes en la distribución (marcados en círculos), la explicación encontrada es la siguiente: El primer pico se encuentra en el rango (98,127.00 – 117,722.00] que contiene el monto de Suma Asegurada promedio equivalente a $100,000.00, que podríamos considerar como un monto tradicional para solicitar como suma asegurada fija. Lo mismo ocurre con el segundo pico, que corresponde al rango (196,102.00 – 215,697.00] y que contiene el monto de $200,000.00 En esta ampliación de la parte derecha de la gráfica, se aprecian principalmente otros tres picos (círculos) en los rangos que contienen los montos de sumas aseguradas $300,000.00, $400,000.00 y $500,000.00

Información por Participación en las utilidades Separando las pólizas por su condición de participación en las utilidades, se presentan los siguientes totales: Participación

utilidades No. Total de

pólizas Total de

asegurados Suma Asegurada

Total Suma Asegurada

Promedio NO 4,782 865,341 125,549,016,223.25 145,086.18 SI 9,025 4,317,549 2,179,158,023,189.20 504,721.09 13,807 5,182,890 2,304,707,039,412.45

Distribución de SA promedio

0

50

100

150

200

250

0.79

6

0.82

3

0.84

3

0.85

8

0.87

3

0.88

7

0.89

9

0.90

6

0.91

5

0.92

2

0.92

6

0.93

2

0.93

7

0.94

2

0.94

5

0.94

9

0.95

0

45

Distribución de asegurados por pólizas con participación en las utilidades

17%83%

Sin participación Con participación

Distribución de Sumas Aseguradas por pólizas con participación en las utilidades

5%95%

Sin participación Con participación

Como se aprecia en la tabla y en las gráficas anteriores, la cartera utilizada, en su mayoría está compuesta por pólizas con planes que otorgan participación en las utilidades, se puede observar que la Suma Asegurada promedio es mas alta para los planes con participación que para los planes sin participación, sin embargo, sabemos que la prima es la que se ve afectada por la condición de otorgar dividendos, variable no tomada en cuenta en este análisis, por lo que se mezclará la cartera sin hacer distinción entre pólizas con participación en las utilidades o sin participación. Clasificación por giro La finalidad es agrupar las pólizas por giros, para ello es necesario identificar las pólizas basándose en la razón social contenida en la base. Procedimiento para la clasificación de las pólizas por giros, en función de la razón social con la que se registró la póliza

1. Búsqueda de palabras clave (primera aproximación)

Basándose en palabras clave, contenidas dentro de cada razón social, se creo una lista inicial de 129 giros diferentes.

2. Determinación 1 a 1 por número de asegurados

Las pólizas no clasificadas en la búsqueda de palabras clave, se ordenaron por número de asegurados en forma descendente y una a una se fueron clasificando dentro de los giros determinados previamente.

En aquellos casos para los que la razón social no aportaba información sobre

su giro, si el número de asegurados lo ameritaba, por ser considerablemente grande, mayor de 5’000, se optó por buscar en Internet información de la razón social y así determinar su giro correspondiente.

3. Nueva clasificación con base en el número total de asegurados por giro

46

Para cada uno de los giros encontrados se totalizó la información de número de asegurados y monto de suma asegurada.

Para fines del análisis, se busca obtener giros con un total de más de 5,000

asegurados, por lo que aquellos que no cumplían con el requisito anterior se clasificaron en otro giro existente o en uno nuevo que agrupara a varios.

Se tuvieron algunas exclusiones al punto anterior, ya que se considera

apropiado mantener separada la información de ciertos giros de los cuales no se tienen el mínimo de asegurados deseados, dichos giros fueron:

• Choferes • Aduanas • Marinos, pilotos y mecánicos • Bebidas Alcohólicas

4. Clasificación final

La base se redujo a 63 giros diferentes, se presenta la siguiente tabla con la información principal.

GIRO Asegurados

totales Suma Asegurada

total

GIRO Asegurados totales

Suma Asegurada total

Administración 56,802 4,953,541,187.10 Hoteles 28,184 4,111,571,004.76

Aduanas 3,148 730,474,381.42 Imprenta, editorial 12,699 1,485,917,723.80

Aéreo 66,331 13,818,605,173.46 Industria 46,804 3,976,188,048.02

Agentes 26,770 16,220,546,527.95 Ingenio 20,887 3,207,787,511.51

Agricultura 20,769 2,009,006,941.36 Instituto 15,864 3,637,070,694.10

Alimentos 418,885 60,521,982,885.87 Maestros 400,298 700,663,510,866.53

Asesoría 6,893 949,863,020.35 Manufactura durable

59,795 6,700,427,828.05

Automotriz 206,269 20,148,016,774.15 Manufactura eléctrica

130,661 4,798,708,047.71

Ayuntamiento 90,552 4,683,667,326.22 Manufactura metales

103,065 14,787,284,928.63

Bancos 127,738 29,066,515,330.36 Manufactureras 32,759 2,545,922,887.01 Bebidas alcohólicas

4,235 351,350,260.77 Marinos, pilotos, mecánicos

16,544 13,457,355,608.73

Bienes raíces 9,274 994,087,518.92 Médicos 27,106 3,068,314,219.48 Bomberos, pesca

13,585 612,720,000.00 Minería metales 50,155 23,424,088,625.98

Choferes 2,303 168,900,745.66 Minería petróleo 11,269 497,208,855.76

Colegios 25,638 1,402,548,692.20 Municipios 90,346 5,882,282,748.96

Comercio 15,314 2,721,926,928.70 Papel 69,537 8,741,475,407.41

Comunicaciones 44,039 9,085,456,769.81 Pinturas 7,022 877,855,732.11 Construcción en Gral.

32,389 2,180,464,207.99 Plásticos 18,244 1,073,382,300.12

Consultores 39,344 13,524,792,521.68 Policías 69,807 15,564,858,584.24

Educación 28,899 1,836,551,484.28 Químicos 8,741 1,067,098,929.34

Electrónica 56,185 4,389,810,079.57 Refacciones 7,789 1,012,588,934.03

Embotelladoras 59,855 10,480,769,957.95 Seguridad 73,680 13,608,277,117.46

Entretenimiento 55,393 4,075,055,073.03 Seguros 42,820 9,509,887,278.47

47

GIRO Asegurados

totales Suma Asegurada

total

GIRO Asegurados totales

Suma Asegurada total

Envases 9,361 703,928,477.71 Servicios 88,549 11,777,762,528.53

Farmacéuticos 72,040 13,398,035,426.53 Sistemas 12,235 2,058,400,597.79

Finanzas 30,182 3,256,187,837.43 Supermercado 291,400 119,978,442,144.80

Gas 11,566 1,160,454,255.72 Telefonía 562,827 142,961,452,643.60

Gobierno - Secretarías

240,490 292,138,555,095.59 Textil, calzado 39,382 2,499,642,470.69

Gobierno - Servicios

42,934 8,753,826,925.09 Tránsito 11,675 1,981,718,736.70

Gobiernos estatales

608,068 582,495,296,503.41 Transportes 103,787 15,929,219,286.69

Gobierno - Institutos

19,001 1,038,544,625.05 Universidad 274,351 54,175,213,366.04

Gobierno - Organizaciones

10,356 1,774,640,820.07

Asegurados Suma Asegurada

Total

general 5,182,890 2,304,707,039,412.

45

En términos generales8 los giros quedan constituidos de la siguiente manera:

Clasificación generalNúmero de Asegurados Suma Asegurada

Actividades subnormales

393,167 91,100,888,613.32

Educación 745,050 761,714,895,103.15

Gobiernos 1,101,747 896,766,814,044.39

Manufactura 666,734 62,172,716,375.88

Servicios 1,042,647 206,415,279,882.06

Transportes 103,787 15,929,219,286.69

Ventas / comercio 342,758 139,915,003,120.37 Económico - administrativos 347,346 68,161,233,159.36

Alimentos 439,654 62,530,989,827.23

Total general 5,182,890 2,304,707,039,412.45

8 Construida a partir de la clasificación general utilizada en Transactions, Study of Ocupations, 1967, SOA

48

Con la información clasificada, se crea una nueva base: Base 1.1

Campo 1 Número de póliza – Fin de Vigencia Campo 2 Giro de la póliza Campo 3 Total de expuestos (asegurados) Campo 4 Total de suma asegurada expuesta

La información contenida será utilizada posteriormente para la obtención de resultados de siniestralidad. Información de siniestros Los campos contenidos en la base son: Base 2:

Campo 1 Número de póliza Campo 2 Número de siniestro

Campo 3 Monto del siniestro por la cobertura de fallecimiento

Campo 4 Fecha de ocurrencia del siniestro Campo 5 Fecha de reclamación del siniestro Campo 6 Indicador de experiencia Campo 7 Indicador de participación en las utilidades Campo 8 Inicio de vigencia de póliza Campo 9 Fin de vigencia de póliza

Información utilizada Con el fin de mejorar la calidad de la información, se totalizaron los montos reclamados con un mismo número de siniestro que fueron contabilizados en fechas diferentes, además se filtró la información con los siguientes criterios:

Campo 3 Monto del siniestro por la cobertura de fallecimiento Monto siniestros > 0

Campo 4 Fecha de ocurrencia del siniestro Mayor o igual al 01 / 01 / 1997

Campo 5 Fecha de reclamación del siniestro Menor o igual al 30 / 09 / 2004

Campo 6 Indicador de experiencia Global o Propia

Campo 7 Indicador de participación en las utilidades Con o Sin participación

Campo 8 Inicio de vigencia de póliza Mayor o igual al 01 / 01 / 1997

Campo 9 Fin de vigencia de póliza Menor o igual al 31 / 12 / 2003

Sabemos que en el proceso de reclamación de siniestros por fallecimiento, generalmente pasa tiempo entre la ocurrencia de la muerte y el reclamo a la aseguradora, este tiempo depende de factores externos a la naturaleza del riesgo asegurable, es por lo anterior que se

49

está utilizando información de siniestros ocurridos dentro del mismo periodo elegido para obtener información de las pólizas pero incluyendo aquellos siniestros que fueron reportados fuera de este periodo hasta el fin del mes de septiembre de 2004, esto con el fin de incluir los casos conocidos como Siniestros Ocurridos No Reportados (SONR) para trabajar con información lo más completa posible, al respecto se tiene el siguiente análisis: SONR (IBNR) A partir de la base de siniestros totalizados se construyó la siguiente estadística de retrasos en la reclamación de siniestros:

Meses de Retraso en la reclamación

Distribución

Acumulada


Distribución

Acumulada


Distribución

Acumulada

0 9.30% 28 99.58% 56 99.98% 1 44.40% 29 99.62% 57 99.98% 2 66.27% 30 99.66% 58 99.98% 3 76.77% 31 99.69% 59 99.98% 4 83.02% 32 99.71% 60 99.98% 5 87.05% 33 99.72% 61 99.98% 6 89.64% 34 99.75% 62 99.98% 7 91.67% 35 99.78% 63 99.98% 8 93.01% 36 99.79% 64 99.98% 9 94.05% 37 99.79% 65 99.98% 10 94.95% 38 99.82% 66 99.98% 11 95.67% 39 99.82% 67 99.99% 12 96.50% 40 99.84% 68 99.99% 13 97.02% 41 99.84% 69 99.99% 14 97.36% 42 99.86% 70 99.99% 15 97.71% 43 99.88% 71 99.99% 16 98.04% 44 99.89% 72 99.99% 17 98.30% 45 99.89% 73 99.99% 18 98.48% 46 99.90% 74 99.99% 19 98.64% 47 99.92% 75 99.99% 20 98.75% 48 99.93% 76 99.99% 21 98.92% 49 99.94% 77 99.99% 22 99.04% 50 99.94% 78 99.99% 23 99.21% 51 99.95% 79 99.99% 24 99.33% 52 99.96% 80 99.99% 25 99.43% 53 99.98% 81 99.99% 26 99.47% 54 99.98% 82 99.99% 27 99.52% 55 99.98% 83 100.00%

Como se observa, con 9 meses adicionales de información, se consigue, cuando menos, una siniestralidad del 94%. La base total de siniestros se distribuye anualmente y por fecha de ocurrencia, de la siguiente manera:

50

0.00 2500000.00 5000000.00 7500000.00 10000000.00

SumaDeIMPNETO

Año Función de

Distribución 1998 17.16% 1999 17.16% 2000 17.46% 2001 16.57% 2002 15.98% 2003 15.68%

Análisis inicial de datos. Se realizaron los siguientes análisis con el fin de revisar la calidad de los datos y detectar errores (datos no bien registrados), omisiones (datos faltantes) u outliers (observaciones aberrantes) en la base de siniestros ya totalizados por número de siniestro. Se presentan, los siguientes resultados del análisis descriptivo del campo 3, Monto del siniestro:

Errores y outliers encontrados A pesar de que uno de los criterios de selección de información era un monto reclamado positivo, se presenta como mínimo un monto nulo según el análisis. Al revisar la base se encontraron los siguientes registros:

Número de registros 11,305

Mínimo 0.00

Percentil .05 5,000.00

Percentil .25 36,000.00

Mediana 90,000.00

Percentil .75 245,000.00

Percentil .95 1,131,801.07

Máximo 12,000,000.00

Promedio 280,777 Desviación Estándar 655,378.45

51

Número de

registro Año

Monto del siniestro

2,366 2001 0.4

3,265 2002 2.18279E-11

3,798 2002 1.16415E-10

Los registros 3,265 y 3,798 son prácticamente nulos, el registro 2,366 muy probablemente es un error de captura de los montos, ya que se tienen 2 registros para este mismo siniestro:

Registro 1 378,204.48

Registro 2

-378,204.08

Como vemos existe una diferencia mínima que provoca que al momento de totalizar la información, el siniestro no se cancele. Los 3 anteriores registros serán eliminados estableciendo el criterio:

Campo 3 Monto del siniestro por la cobertura de fallecimiento Monto siniestros > 1 Los siguientes son los 10 registros con los montos reclamados más grandes de toda la base:

Los registros anteriores se concentran en solo 2 pólizas, analizando la siniestralidad de estas 2 pólizas, en promedio los montos de sus siniestros concuerdan con la suma asegurada promedio registrada, por lo que no se afectará la información de estos registros.

Número de registro Año

Monto del siniestro

3,843 2003 9,170,312.764,059 2003 10,000,000.004,220 2003 12,000,000.004,269 2003 10,000,000.004,509 2003 10,000,000.004,542 2003 10,000,000.004,662 2003 9,037,282.404,689 2003 10,000,000.004,793 2003 10,000,000.004,794 2003 8,925,273.56

52

Una vez corregidos los errores, las estadísticas descriptivas quedan:

Número de registros 11,302

Mínimo 247.32

Percentil .05 5,000.00

Percentil .25 36,000.00

Mediana 90,000.00

Percentil .75 245,000.00

Percentil .95 1,131,983.61

Máximo 12,000,000.00

Promedio 280,852 Desviación Estándar 655,449.47

A partir de los datos anteriores se generó el histograma correspondiente. Debido a que existe una diferencia de 10,868,016.39 entre el monto máximo y el percentil .95, se graficó el histograma sólo con los registros que acumulan el 95% de la distribución.

Distribución de Monto de Siniestros

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0.00

0

0.43

2

0.61

4

0.72

3

0.78

5

0.83

2

0.84

6

0.87

9

0.89

2

0.91

5

0.92

2

0.92

6

0.93

2

0.93

7

0.94

4

0.94

7

0.95

1

Distribución acumulada

53

Al igual que en el análisis de Sumas Aseguradas, en la gráfica se observan picos importantes en la distribución, la explicación encontrada es la misma: Se señalan 3 picos (marcados con círculos) representativos por sus características: el primer pico se encuentra en el rango (192,998.92 – 217,092.87] que contiene el monto de siniestro de $200,000.00, mismo que ya se había determinado como un monto tradicional solicitado como Suma Asegurada, lo mismo ocurre con el segundo pico y tercer pico, que corresponden a los rangos (289,374.71 – 313,468.66] y (482,126.31 – 506,220.26] que respectivamente contienen los montos reclamados de $300,000.00 y $500,000.00 Información por Participación en las utilidades Separando las pólizas por su condición de participación en las utilidades, se presentan los siguientes totales:

Participación utilidades

Total siniestros

reclamados

Monto total de siniestros

Monto de siniestros Promedio

NO 2,745 347,236,056.12 126,497.65

SI 8,557 2,826,950,234.27 330,366.98

11,302 3,174,186,290.39 280,851.73 Con los resultados presentados en la tabla, se confirma que la cartera utilizada, en su mayoría, está compuesta por pólizas con planes que otorgan participación en las utilidades, siendo concordante con la información de la base de pólizas. Totalización de siniestros por póliza Con la información anterior se creó una nueva base totalizando los siniestros por póliza y distinguiendo por vigencia de las mismas, los campos resultantes son: Base 2.1:

Campo 1 Número de póliza – Fin vigencia Campo 2 Número total de siniestros Campo 3 Monto total de siniestros

Dicha información será utilizada para el análisis final de siniestralidad. Siniestralidad Para obtener los resultados de siniestralidad se cruzó la información de pólizas (base 1.1) con la información de siniestros (base 2.1), con ayuda de la llave principal: Póliza–Fin de Vigencia, para asignar los siniestros a cada póliza de acuerdo a su vigencia.

54

Se creó una nueva base, (base 3), con la información cruzada, conteniendo los siguientes campos: Base 3:

Campo 1 Póliza – Fin de Vigencia Campo 2 Giro de la póliza Campo 3 Total de expuestos (asegurados) Campo 4 Total de Suma Asegurada expuesta Campo 5 Total de siniestros Campo 6 Total de Suma Asegurada reclamada

Con esta nueva base, podemos obtener resultados de siniestralidad agrupando por giro, por años de información o por póliza.

Se determinó anteriormente que el estimador de la probabilidad de muerte es n

xn

ii∑

== 1θ ,

aplicando la información con que se cuenta, se obtienen dos diferentes estimadores: 1. Siniestralidad con base en el número de casos ( )1(

iq ):

i

jij

i n

Xq

∑==

in

1)1( i = 1,2,…, 62 giros diferentes

donde:

∑=

in

1jijX = número total de siniestros en los años de estudio del giro i

ni = número total de expuestos en los años de estudio del giro i

2. Siniestralidad con base en el monto reclamado ( )2(iq ):

i

jij

i n

Xq

∑==

in

1)2( i = 1,2,…, 62 giros diferentes

donde:

∑=

in

1jijX = monto total de suma asegurada reclamada en los años de estudio del giro i

55

ni = monto total de suma asegurada expuesta en los años de estudio del giro i A continuación se presenta la tabla con los resultados obtenidos9:

GIRO q(1) q(2)

GIRO q(1) q(2)

Administración 0.616 0.86 Hoteles 0.603 0.358 Aduanas 3.494 7.35 Imprenta, editorial 0.709 0.758 Aéreo 0.829 0.98 Industria 0.342 0.325 Agentes 2.988 2.87 Ingenio 1.580 1.681 Agricultura 2.070 1.69 Instituto 0.756 0.446 Alimentos 1.134 1.28 Maestros 1.207 1.094 Asesoría 0.725 1.33 Manufactura durable 0.636 0.740

Automotriz 0.771 1.08 Manufactura eléctrica 0.536 0.461

Ayuntamiento 2.485 2.74 Manufactura metales 0.660 0.634 Bancos 2.709 2.39 Manufactureras 0.397 0.472

Bebidas alcohólicas 1.181 0.94 Marinos, pilotos, mecánicos 1.813 1.183

Bienes raíces 1.402 3.10 Médicos 1.181 1.857 Bomberos, pesca 10.085 5.35 Minería metales 0.877 0.777 Choferes 1.303 0.65 Minería petróleo 1.864 2.578 Colegios 1.755 1.55 Municipios 4.272 3.532 Comercio 0.588 0.68 Papel 0.920 1.941 Comunicaciones 0.795 0.79 Pinturas 0.854 1.321 Construcción en Gral. 0.803 1.06 Plásticos 0.493 0.385 Consultores 0.661 0.51 Policías 1.060 0.583 Educación 1.453 2.31 Químicos 0.801 2.219 Electrónica 0.320 0.26 Refacciones 1.541 2.684 Embotelladoras 0.835 0.84 Seguridad 1.344 1.360 Entretenimiento 1.300 1.17 Seguros 4.040 0.918 Envases 1.068 1.58 Servicios 0.949 0.918 Farmacéuticos 0.597 0.39 Sistemas 0.327 0.258 Finanzas 1.491 1.03 Supermercado 0.594 0.563 Gas 1.556 0.65 Telefonía 4.175 4.037 Gobierno - Secretarías 1.239 0.81 Textil, calzado 0.559 1.692

Gobierno - Servicios 2.050 1.07 Tránsito 1.542 2.129 Gobiernos estatales 1.620 1.61 Transportes 1.262 1.271 Gobierno - Institutos 2.631 3.20 Universidad 2.322 3.286 Gobierno - Organizaciones 3.283 4.23

9 Todos los resultados se presentan multiplicados por 1,000 para una mejor apreciación de los mismos.

56

Análisis de resultados Como se observa, existen notorias diferencias entre los dos resultados de siniestralidad para varios giros, al revisar la información se encuentra que una de las principales razones que ocasionan las diferencias, es que las sumas aseguradas promedio dentro de los grupos no son homogéneas, esto se puede apreciar en el siguiente análisis: Variable analizada: Suma Asegurada promedio Dentro de la base 1 se creó anteriormente el campo SA prom para cada uno de los j registros contenidos en la misma, ahora se obtiene la suma asegurada promedio SA prom giroi para cada uno de los 62 giros obtenidos:

∑

∑

=

==i

i

n

kik

n

kik

i

EXP

SAgiropromSA

1,

1,

donde: SAk , i = Total de Suma Asegurada expuesta dentro del giro i en el año de información k

EXPk , i = Total de expuestos dentro del giro i en el año de información k ni = Número de años de información para el giro i Se obtiene la desviación estándar dentro de cada giro (Desv.Est SAPi), con la información de cada registro j:

21

1

2,

1

)(.

−

−=∑

=

i

n

jiji

i n

promSAgiropromSASAPEstDesv

i

Donde:

SA prom j , i = Suma Asegurada promedio del registro j perteneciente al giro i

ni = Total de registros dentro del giro i A continuación se presentan los resultados obtenidos por giro. Los registros sombreados son aquellos en donde la desviación estándar es mayor que la media.

57

GIRO SA Prom del

giro i Desviación Estándar

GIRO

SA Prom del giro i

Desviación Estándar

Administración 87,207.00 487,145.04 Hoteles 145,883.00 481,653.29

Aduanas 232,044.00 456,874.42 Imprenta, editorial 117,011.00 271,057.81

Aéreo 208,328.00 457,769.28 Industria 84,954.00 156,784.04

Agentes 605,923.00 709,439.99 Ingenio 153,578.00 236,961.84

Agricultura 96,731.00 176,015.20 Instituto 229,266.00 290,092.30

Alimentos 144,484.00 355,745.07 Maestros 1,750,355.00 978,693.84

Asesoría 137,801.00 292,836.65 Manufactura durable 112,057.00 291,448.72

Automotriz 97,678.00 221,185.71 Manufactura eléctrica 36,726.00 360,212.10

Ayuntamiento 51,724.00 59,191.36 Manufactura metales 143,475.00 494,462.57

Bancos 227,548.00 1,420,385.58 Manufactureras 77,717.00 228,338.27

Bebidas alcohólicas 82,963.00 68,826.20

Marinos, pilotos, mecánicos

813,428.00 1,009,932.72

Bienes raíces 107,191.00 171,858.23 Médicos 113,197.00 151,526.94

Bomberos, pesca 45,103.00 167,524.44 Minería metales 467,034.00 550,604.92

Choferes 73,339.00 99,424.51 Minería petróleo 44,122.00 30,148.39

Colegios 54,706.00 74,282.36 Municipios 65,108.00 102,939.18

Comercio 177,741.00 293,161.38 Papel 125,710.00 666,488.27

Comunicaciones 206,305.00 588,991.15 Pinturas 125,015.00 106,599.85

Construcción en Gral. 67,321.00 230,927.47 Plásticos 58,835.00 58,140.87

Consultores 343,757.00 1,798,319.08 Policías 222,970.00 1,995,630.87

Educación 63,551.00 99,425.01 Químicos 122,080.00 195,252.60

Electrónica 78,131.00 275,534.69 Refacciones 130,002.00 353,846.92

Embotelladoras 175,103.00 580,172.31 Seguridad 184,694.00 214,247.55

Entretenimiento 73,566.00 370,261.71 Seguros 222,090.00 964,752.44

Envases 75,198.00 196,591.13 Servicios 133,008.00 421,952.67

Farmacéuticos 185,980.00 763,384.98 Sistemas 168,239.00 276,875.65

Finanzas 107,885.00 515,065.65 Supermercado 411,731.00 359,233.52

Gas 100,333.00 301,491.68 Telefonía 254,006.00 225,108.78

Gobierno - Secretarías 1,214,764.00 1,274,277.20 Textil, calzado 63,472.00 270,669.69

Gobierno - Servicios 203,890.00 244,346.06 Tránsito 169,740.00 83,570.52

Gobiernos estatales 957,944.00 858,455.43 Transportes 153,480.00 293,854.32

Gobierno - Institutos 54,657.00 149,967.22 Universidad 197,467.00 189,774.94Gobierno - Organizaciones

171,364.00 235,990.05

Como se observa, en 52 de los 62 giros se presenta una desviación estándar mayor al promedio general, lo que nos indica que la variabilidad de las sumas aseguradas es alta para

la mayoría de los giros, por lo anterior, se considera que el resultado de ( )2(iq ) se ve

afectado por el comportamiento de las sumas aseguradas no homogéneas, lo que nos lleva a solo considerar para este estudio los resultados obtenidos con base en número de siniestros,

( )1(iq ).

Ahora, enfocándonos solamente en los resultados de )1(

iq se realizan varios análisis.

De aquí en adelante )1(

iq se denota simplemente como qi para cada giro i.

58

Siniestralidad por año 1. Siniestralidad por año dentro de cada giro

• Con la información de los años 1998 a 2003, se calcula la siniestralidad de cada año k distinguiendo por giro i:

i = 1, 2,…, 62 giros diferentes;

k =1, 2,..., 6 años

donde:

∑=

ik,n

1,

jijX = número total de siniestros en el año de estudio k del giro i

nk,i = número total de expuestos en el año de estudio k del giro i

2. Para revisar la variabilidad año con año dentro de los giros, se comparan los

resultados anuales con el resultado general iq por medio del cálculo de la desviación

estándar utilizando la siguiente fórmula:

1

)(. 1

2,

−

−=∑

=

i

n

kiki

i n

qqqEstDesv

i

ni = Total de años de información del giro i; 6≤in

Se presentan los resultados por giro10. Aquellos giros sombreados son los que tienen una desviación estándar mayor a la media:

GIRO q i Desviación Estándar

GIRO q i

Desviación

EstándarAdministración 0.616 0.556 Hoteles 0.603 0.321 Aduanas 3.494 2.907 Imprenta, editorial 0.709 0.757 Aéreo 0.829 0.298 Industria 0.342 0.334 Agentes 2.988 0.822 Ingenio 1.580 0.948 Agricultura 2.070 0.845 Instituto 0.756 0.501

10 Ambos resultados se presentan multiplicados por 1,000

ik

jij

ik n

Xq

,

n

1,

,

ik,

∑==

59

GIRO q i Desviación Estándar

GIRO q i

Desviación

EstándarAlimentos 1.134 0.357 Maestros 1.207 0.703 Asesoría 0.725 1.171 Manufactura durable 0.636 0.420 Automotriz 0.771 0.128 Manufactura eléctrica 0.536 0.267 Ayuntamiento 2.485 1.129 Manufactura metales 0.660 0.257 Bancos 2.709 0.565 Manufactureras 0.397 0.452

Bebidas alcohólicas 1.181 1.053 Marinos, pilotos, mecánicos 1.813 1.005

Bienes raíces 1.402 1.570 Médicos 1.181 0.605

Bomberos, pesca 10.08

5 4.521 Minería metales 0.877 0.275

Choferes 1.303 2.592 Minería petróleo 1.864 1.714 Colegios 1.755 1.780 Municipios 4.272 1.689 Comercio 0.588 0.651 Papel 0.920 0.125 Comunicaciones 0.795 0.521 Pinturas 0.854 0.455 Construcción en Gral. 0.803 0.433 Plásticos 0.493 0.606 Consultores 0.661 0.103 Policías 1.060 1.125 Educación 1.453 1.885 Químicos 0.801 0.784 Electrónica 0.320 0.219 Refacciones 1.541 1.496 Embotelladoras 0.835 0.265 Seguridad 1.344 0.393 Entretenimiento 1.300 0.598 Seguros 4.040 5.688 Envases 1.068 0.556 Servicios 0.949 0.410 Farmacéuticos 0.597 0.254 Sistemas 0.327 0.401 Finanzas 1.491 0.590 Supermercado 0.594 0.169 Gas 1.556 1.061 Telefonía 4.175 0.378 Gobierno - Secretarías 1.239 1.937 Textil, calzado 0.559 0.686

Gobierno - Servicios 2.050 0.795 Tránsito 1.542 1.079 Gobiernos estatales 1.620 0.195 Transportes 1.262 0.532 Gobierno - Institutos 2.631 1.799 Universidad 2.322 0.768 Gobierno - Organizaciones 3.283 2.633

Se presenta el siguiente análisis individual de los giros remarcados:

Asesoría

Las cifras por año son:

Año Total

Asegurados Número de Siniestros q k,i

q i


1998 1,750 1 0.571 0.725 1.171 1999 1,465 1 0.683 2000 1,463 1 0.684

60

2001 895 0 0.000 2002 681 0 0.000 2003 639 2 3.130

TOTAL 6,893 5 Como se aprecia, a pesar de cumplir con el requisito deseado de mínimo 5’000 expuestos en toda la experiencia, en 3 años se tienen menos de 1’000 asegurados, e incluso en 2 de ellos no se presentan siniestros, por lo que se considera que los resultados de siniestralidad no son representativos. La solución propuesta es juntar la información de este giro, con la del giro Consultores, ya que las actividades desarrolladas son similares, la información inicial de este giro es:

Año Total


q i


1998 2,934 2 0.682 0.661 0.101 1999 7,152 5 0.699 2000 6,434 4 0.622 2001 5,961 5 0.839 2002 7,405 5 0.675 2003 9,458 5 0.529

TOTAL 39,344 26 Al juntar la información en el nuevo giro Asesoría y Consultoría, se obtienen mejores resultados de variabilidad:

Año Total

Asegurados Número de Siniestros

q k,i

q i Desviación Estándar

1998 4,684 3 0.640 0.670 0.044 1999 8,617 6 0.696 2000 7,897 5 0.633 2001 6,856 5 0.729 2002 8,086 5 0.618 2003 10,097 7 0.693

TOTAL 46,237 31 Se acepta mezclar la información en un solo giro. Bienes raíces Las cifras por año son:

Año Total


q i


1998 794 1 1.26 1.402 1.570 1999 687 3 4.37 2000 951 1 1.05

61

2001 1,383 4 2.89 2002 2,723 1 0.37 2003 2,736 3 1.10

TOTAL 9,274 13 Al igual que en el caso de Asesoría, se tienen 3 años con menos de 1’000 expuestos, solo que en este caso, en primera instancia, no se tiene otro giro con el cual juntar la información, ya que el más parecido, Agentes, que involucra actividades de venta tiene un resultado considerablemente mayor de siniestralidad. Una vez revisadas las pólizas que componen este giro se determina que no existen errores en la información, por lo que no se hacen modificaciones, más adelante se especifica la confianza en los resultados. Choferes Las cifras anuales son:

Año Total


q k,i


1998 231 1 4.33 1.303 2.592 1999 245 0 0.00 2000 1,114 1 0.90 2001 413 0 0.00 2002 124 0 0.00 2003 176 1 5.68

TOTAL 2,303 3 Por la poca información, tanto de expuestos como de siniestros, se valora incluir esta información en el giro Marinos, pilotos, mecánicos, quedando así: Marinos, pilotos, mecánicos, choferes

Año Total


q i


1998 2,281 5 2.192 1.751 0.626 1999 2,863 7 2.445 2000 4,691 5 1.066 2001 5,040 11 2.183 2002 3,056 4 1.309 2003 916 1 1.092

TOTAL 18,847 33 El resultado de siniestralidad qi

del giro original sin choferes se ve incrementado mínimamente por la inclusión de la información de choferes y la variabilidad conjunta se reduce.

62

Por lo tanto se trabajará con la información como un solo giro. Comercio Las cifras anuales son:

Año Total


q i


1998 785 0 0.000 0.588 0.651 1999 1,260 1 0.794 2000 2,022 2 0.989 2001 1,294 0 0.000 2002 1,794 3 1.672 2003 8,159 3 0.368

TOTAL 15,314 9 Como se observa, a pesar de tener un volumen considerable de expuestos, en 2 años no se presentan siniestros y en el año 2002 se tiene una siniestralidad alta, sin embargo, no se encuentran errores en la información por lo que se dejan así los datos para ser analizados posteriormente en análisis de consistencia de resultados. Educación Las cifras anuales son:

Año Total


q i


1998 5,556 18 3.240 1.453 1.885 1999 232 1 4.310 2000 715 0 0.000 2001 19,567 23 1.175 2002 2,568 0 0.000 2003 261 0 0.000

TOTAL 28,899 42 Como se observa, la información está acumulada principalmente en 2 años de información, 1998 y 2001, se intenta suavizar este fenómeno al juntar la información de este giro con la correspondiente al giro Colegios, quedando finalmente como: Educación

Año Total


q i


1998 13,993 23 1.644 1.595 1.774 1999 4,796 25 5.213 2000 3,735 1 0.268 2001 23,934 30 1.253 2002 5,552 4 0.720 2003 2,527 4 1.583

TOTAL 54,537 87

63

El resultado de siniestralidad se ve incrementado y la desviación estándar queda por arriba de la media, sin embargo se obtiene un volumen mayor de información, por lo que más adelante se comprobará la consistencia de estos resultados. Gobierno - Secretarías Los resultados anuales son:

Año Total


q i


1998 38,959 93 2.39 1.239 1.937 1999 66,171 28 0.42 2000 26,192 132 5.04 2001 37,389 0 0.00 2002 22,998 28 1.22 2003 48,781 17 0.35

TOTAL 240,490 298 Se observan grandes inconsistencias en la información entre cada año, existen errores evidentes en el año 2001, ya que con tal cantidad de asegurados es prácticamente imposible no tener ningún siniestro durante el año, sin embargo no se detectan los errores, por lo que este giro no será tomado en cuenta en los resultados finales. Imprenta, editorial Los resultados anuales son:

Año Total


q i


1998 2,544 3 1.179 0.709 0.757 1999 3,569 0 0.000 2000 2,114 1 0.473 2001 2,564 4 1.560 2002 1,296 0 0.000 2003 612 1 1.634

TOTAL 12,699 9 Se observan 2 años con siniestralidad nula, lo que incrementa la variabilidad. No se detectan errores en la información, más adelante se revisa la consistencia del resultado. Manufactureras Los resultados anuales son:

Año Total


q i


1998 1,587 0 0.000 0.397 0.452 1999 4,137 5 1.209

64

2000 3,712 1 0.269 2001 9,356 2 0.214 2002 5,904 4 0.678 2003 8,063 1 0.124

TOTAL 32,759 13 El resultado indica que éste es un giro de muy baja siniestralidad, la información de los años 1998 y 1999 es la que incrementa la variabilidad, ya que para el año 1998, se tiene el menor número de asegurados y ningún siniestro, lo que origina una siniestralidad nula y para el año 1999 con el mayor número de siniestros, mas no así número de asegurados, se tiene la siniestralidad más alta. No se hacen modificaciones a la información y se analiza mas adelante la consistencia del resultado. Plásticos Las cifras anuales son:

Año Total


q k,i


1998 2,212 1 0.452 0.493 0.606 1999 2,674 0 0.000 2000 2,183 0 0.000 2001 4,621 4 0.866 2002 3,844 0 0.000 2003 2,710 4 1.476

TOTAL 18,244 9 Al igual que el giro Manufactureras, antes revisado, para éste se tiene una siniestralidad baja, con 3 años con siniestralidad nula, lo que aumenta la variabilidad. No se hacen modificaciones a la información dejando para más adelante la revisión de la consistencia anual. Seguros Las cifras anuales son:

Año Total


q i


1998 4,122 2 0.49 4.040 5.688 1999 9,148 136 14.87 2000 6,644 7 1.05 2001 4,790 8 1.67 2002 9,809 12 1.22 2003 8,307 8 0.96

TOTAL 42,820 173

65

Una vez realizado el análisis individual de las pólizas de este giro, se encontraron 16 registros etiquetados como jubilados o pensionados, con un total de 5,966 expuestos y 148 siniestros, mismos que son separados de la base quedando los resultados:

Año Total


q i


1998 3,962 1 0.252 0.678 0.241 1999 4,405 3 0.681 2000 6,289 4 0.636 2001 4,434 2 0.451 2002 9,654 8 0.829 2003 8,110 7 0.863

TOTAL 36,854 25 La siniestralidad y la variabilidad se ven reducidas considerablemente. Sistemas Las cifras anuales son:

Año Total


q i


1998 1,107 1 0.903 0.327 0.401 1999 523 0 0.000 2000 1,229 0 0.000 2001 2,580 0 0.000 2002 5,551 3 0.540 2003 1,245 0 0.000

TOTAL 12,235 4 Al igual que el giro Manufactureras y Plásticos, aquí se tiene una siniestralidad baja, ahora en 4 años se tiene siniestralidad nula. No se hacen modificaciones a la información dejando para más adelante la revisión de la consistencia anual. Textil, calzado Las cifras anuales son:

Año Total


q i


1998 4,112 7 1.702 0.559 0.686 1999 12,267 4 0.326 2000 10,308 1 0.097 2001 5,014 7 1.396 2002 4,462 2 0.448 2003 3,219 1 0.311

TOTAL 39,382 22

66

En este caso, la variabilidad se presenta en varios giros sin explicación aparente, el año 2000 es el que más aporta a la desviación, ya que con un alto número de asegurados solo presenta 1 siniestro. Al no encontrar errores en la información, se deja para análisis posteriores la consistencia del resultado. Bomberos, pesca Este giro, a pesar de no presentar una desviación estándar mayor a su media, se analiza por ser el que arroja el mayor resultado de siniestralidad. Las cifras por año son:

Año Total


q i


1998 1,694 31 18.300 10.085 4.521 1999 1,918 22 11.470 2000 2,543 20 7.865 2001 2,445 12 4.908 2002 2,623 29 11.056 2003 2,362 23 9.738

TOTAL 13,585 137 Se puede observar que el número de expuestos es constante en los 6 años de información, más no así el número de siniestros, por lo que se analizan individualmente las pólizas que integran este giro: Este grupo está compuesto por bomberos y cañeros principalmente, si subdividimos el grupo en estos 2 giros se tiene que: Bomberos

Año Total


q i


1998 35 2 57.14 3.262 24.28 1999 43 0 0.00 2000 493 0 0.00 2001 321 0 0.00 2002 451 3 6.65 2003 496 1 2.02

TOTAL 1,839 6 Cañeros

Año Total


q i


1998 1659 29 17.480 11.153 3.83 1999 1875 22 11.733 2000 2050 20 9.756

67

2001 2124 12 5.650 2002 2172 26 11.971 2003 1866 22 11.790

TOTAL 11,746 131 Con los resultados anteriores se puede apreciar que, a pesar de ser actividades de alto riesgo, mezclar la información de estas dos actividades no es lo más conveniente, ya que se puede obtener una tasa de mortalidad exclusiva para el giro de Cañeros, que resulta más alta que la obtenida mezclando con la información de bomberos. Debido a lo anterior y dada la importancia del grupo por el riesgo de su actividad, se trabajará con el giro Cañeros por separado. En el análisis se detectan 2 registros etiquetados como “mayores de 70 años” que son eliminados de la base por no incrementar el riesgo, quedando los resultados finales de este giro como: Cañeros

Año Total


q i


1998 1659 29 17.480 10.184 4.20 1999 1875 22 11.733 2000 2050 20 9.756 2001 2124 12 5.650 2002 2010 22 10.945 2003 1770 12 6.780

TOTAL 11,488 117 Se reduce la siniestralidad aunque la variabilidad aumenta un poco, pero sin sobrepasar la media. La información correspondiente a Bomberos será incluida en el giro Policías, quedando: Policía, bomberos

Año Total


q i


1998 1,551 6 3.868 1.117 1.358 1999 22,567 46 2.038 2000 36,589 11 0.301 2001 4,045 7 1.731 2002 3,843 9 2.342 2003 3,051 1 0.328

TOTAL 71,646 80 A pesar de que la desviación queda por arriba de la media, se acepta la conjunción de la información y se valora posteriormente la consistencia de la información al utilizar la mezcla de ambas actividades.

68

Después de estas correcciones la información y resultados de siniestralidad quedan como:

Giro Total Asegurados

Número de

Siniestrosq i Giro Total

Asegurados

Número de

Siniestrosq i

Administración 56,802 35 0.616 Industria 46,804 16 0.342Aduanas 3,148 11 3.494 Ingenio 20,887 33 1.580Aéreo 66,331 55 0.829 Instituto 15,864 12 0.756Agentes 26,770 80 2.988 Maestros 400,298 483 1.207

Agricultura 20,769 43 2.070 Manufactura durable 59,795 38 0.636

Alimentos 418,885 475 1.134 Manufactura eléctrica 130,661 70 0.536

Asesoría y Consultoría 46,237 31 0.670 Manufactura

metales 103,065 68 0.660

Automotriz 206,269 159 0.771 Manufactureras 32,759 13 0.397

Ayuntamiento 90,552 225 2.485Marinos, pilotos, mecánicos, choferes

18,847 33 1.751

Bancos 127,738 346 2.709 Médicos 27,106 32 1.181Bebidas alcohólicas 4,235 5 1.181 Minería metales 50,155 44 0.877

Bienes raíces 9,274 13 1.402 Minería petróleo 11,269 21 1.864Cañeros 11,746 131 11.15 Municipios 90,346 386 4.272Comercio 15,314 9 0.588 Papel 69,537 64 0.920Comunicaciones 44,039 35 0.795 Pinturas 7,022 6 0.854Construcción en Gral. 32,389 26 0.803 Plásticos 18,244 9 0.493

Educación 54,537 87 1.595 Policía, bomberos 71,646 80 1.117Electrónica 56,185 18 0.320 Químicos 8,741 7 0.801Embotelladoras 59,855 50 0.835 Refacciones 7,789 12 1.541Entretenimiento 55,393 72 1.300 Seguridad 73,680 99 1.344Envases 9,361 10 1.068 Seguros 36,854 25 0.678Farmacéuticos 72,040 43 0.597 Servicios 88,549 84 0.949Finanzas 30,182 45 1.491 Sistemas 12,235 4 0.327Gas 11,566 18 1.556 Supermercado 291,400 173 0.594Gobierno - Servicios 42,934 88 2.050 Telefonía 562,827 2,350 4.175

Gobiernos estatales 608,068 985 1.620 Textil, calzado 39,382 22 0.559

Gobierno - Institutos 19,001 50 2.631 Tránsito 11,675 18 1.542

Gobierno - Organizaciones 10,356 34 3.283 Transportes 103,787 131 1.262

Hoteles 28,184 17 0.603 Universidad 274,351 637 2.322Imprenta, editorial 12,699 9 0.709

Total de asegurados expuestos en 6 años de información: 4,936,176 Total de siniestros en 6 años de información: 8,161

A estos resultados se les aplican otras dos pruebas estadísticas para revisar la consistencia del resultado con la información anual de cada giro:

69

Prueba 1. Pruebas de Hipótesis11 Si se considera que los expuestos x1, x2,…, xn son datos provenientes de una distribución Bernoulli (θ), con la información de las bases se conoce:

i giro del expuestos de Total

i giro del siniestros de Total 1

,

=

=∑=

i

n

jij

n

xi

giro cada para obtuvo se ya que cifra ˆ

es girodelón distribucila de parametro delestimador el

1,

ii

n

jij

ii qn

xx

ii

===

⇒

∑=θ

Con la ayuda de pruebas de hipótesis se trata de verificar la consistencia de los resultados obtenidos: Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de la distribución de una o más variables aleatorias. Si una hipótesis estadística especifica por completo la distribución, recibe el nombre de hipótesis simple; si no, se conoce como hipótesis compuesta. Para la realización de una prueba se formula una hipótesis nula H0, y una hipótesis alternativa H1. A partir de la experiencia observada y contenida en la información, se determina el valor de una estadística de prueba z. Se encuentran 2 regiones, una región de rechazo de H0, llamada región crítica de la prueba, y una región de no rechazo. Como resultado de la prueba se pueden cometer dos tipos de errores: Error tipo I: Rechazar la hipótesis nula cuando ésta es verdadera

La probabilidad de cometer un error de tipo I se denota por medio de α que es igual a la probabilidad de obtener un valor de la estadística de prueba dentro de la región crítica.

Error tipo II: No rechazar la hipótesis nula cuando ésta es falsa

La probabilidad de cometer un error de tipo II se denota por medio de β

Para este análisis se utiliza una prueba de dos extremos, definiendo:

iqH =θ:0 Vs iqH ≠θ:1

11 FREUND, John E., Estadística Matemática con aplicaciones, 4ta edición, Prentice Hall

70

La región crítica de la prueba es:

22'αα kxókx ≤≥

Donde 2

αk es el entero más chico para el cual

αα α

≤−××

=∑ ∑

= =

−n

ky

n

ky

yni

yii qq

yn

qnyb2 2

)1()(),;(

y 2

'αk es el entero más grande para el cual

αα α

−≤−××

=∑ ∑

= =

− 1)1()(),;(2 2

' '

n

ky

n

ky

yni

yii qq

yn

qnyb

Generándose una región de rechazo compuesta de los dos extremos de la distribución. Para los casos en que n es mayor a 100 se recomienda utilizar la aproximación normal a la distribución binomial, considerando

)1(x

)()(x

ii

i

qnqnq

xnVarxnE

z−

−=

−=

θ

θ

Utilizando la corrección de continuidad, el valor z queda como:

)1()(x

)()()(x 2

121

ii

i

qnqnq

xnVarxnE

z−−±

=−±

=θ

θ

aplicando el signo de menos cuando x excede a nqi y el signo de más cuando es menor que nqi. Para este análisis se prueba que la información de cada giro por año sea consistente, por lo que se realizan a lo más 6 pruebas dentro de cada giro.

En este caso, se considera 025.0205.0 =⇒= αα

Al utilizar la aproximación normal, se sabe que la región crítica a utilizar con una α de 0.05 es:

96.1025.0 =≥ zz

71

Prueba 2. Bondad de ajuste La prueba de la bondad de ajuste se aplica a situaciones en las cuales se desea determinar si un conjunto de datos puede considerarse como una muestra tomada de una población con una distribución dada.

Se establece la hipótesis nula 20H de que un conjunto de datos observados proviene de una

población con una distribución específica contra la alternativa 21H de que la población tiene

alguna otra distribución. La estadística de prueba Q se determina como:

propuestaón distribuci la bajo grupo ésimo- j elen esperados datos de número

grupo ésimo-j elen nesobservacio de número ninformació tienese que los de grupos de número

donde

)(

1

2

efm

eef

Q

j

j

m

j j

jj

=

==

−=∑

=

Se rechaza 20H en el nivel de significancia α si 1,

2−−≥ tmQ αχ con t igual al número de

parámetros de la distribución propuesta. La prueba funciona para fj mayor o igual a 5 y m mayor a t + 1. Valor p

En el caso de que no se rechace la hipótesis nula 20H , se puede obtener el valor p, que nos

dice que tan factible es que los datos sean consistentes con la hipótesis nula. Se define:

QQ

Qpvalor

punto al acumulada ón Distribuci )(:donde

)(1

22

2

χχ

χ

=

−=

72

El valor p es el área bajo la curva de la distribución a la derecha de la estadística Q.

Entre más grande sea este valor, menor será la probabilidad de error al no rechazar 20H

cuando la hipótesis es falsa. Para el análisis de los resultados de este estudio se establece el siguiente juego de hipótesis para cada giro i:

modelo alajustan se no datos Los )ˆ modelo alajustan se datos Los 21

20 == HVsBinomial (H iθ

Los grupos a tomar en cuenta son los años de la información, 1998, 1999,..., 2003, por lo que m será como máximo 6. Debido a que t es igual a 1, el mínimo de grupos deberá ser 3. Por lo que los valores de 1,

2−−tmαχ para una α de 0.05 podrán ser:

m Grados de libertad

m – 2 X 2 �, m-2

6 4 9.488 5 3 7.815 4 2 5.991 3 1 3.841

En caso de que la estadística Q correspondiente, sea mayor a 1,

2−−tmαχ , se deberá rechazar

20H .

Los siniestros reportados en cada año serán las fj ’s, en caso de que para un año no se cumpla con el mínimo de 5 datos, se conjuntará con otro año, reduciéndose el número de grupos y perdiendo grados de libertad. El número de datos esperados bajo la distribución binomial propuesta ej‘s será el resultado de multiplicar el número de expuestos del año por el parámetro estimado θ i del giro analizado.

Distribución XXXX 2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Q

73

Los resultados de ambas pruebas se presentan a continuación para cada giro:

GIRO Administración qi 0.000616 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de Siniestros

xj / f j z prueba Ej sumandos

1998* 2,115 3 1.049 No

rechazo 3.066 5.047

1999* 2,861 4 1.309 No

rechazo

2000 16,711 8 0.560 No

rechazo 10.297 0.512

2001* 6,517 7 1.240 No

rechazo 9.944 0.112

2002* 9,622 4 0.587 No

rechazo

2003 18,976 9 0.641 No

rechazo 11.693 0.620

TOTAL 56,802 35 Q 6.292

Valor X2 5.991

=> Se rechaza

20H

Se junta la información de los años 1998 – 1999 y 2001 – 2002 para realizar la prueba 2. A pesar de que en la prueba 1 no se tienen elementos para rechazar la hipótesis nula H0 para cada uno de los 6 años, en la prueba 2, la estadística Q es mayor que el valor de prueba, por lo que se rechaza la hipótesis nula 2

0H , indicando que los datos no se ajustan al

modelo propuesto.

GIRO Aduanas qi 0.003494 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 276 0 0.474 No

rechazo

1999 555 1 0.316 No

rechazo

2000 817 4 0.383 No

rechazo

2001 468 1 0.106 No

rechazo

2002 497 4 1.340 No

rechazo

2003 535 1 0.271 No

rechazo

TOTAL 3,148 11

74

No hay información suficiente para aplicar la prueba 2, ya que no podemos formar al menos 3 grupos de 5 observaciones. De acuerdo a la prueba 1, no se tienen elementos para rechazar el ajuste del modelo a los datos anuales.

GIRO Aéreo qi 0.000829

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 8,646 10 0.871 No

rechazo7.169 1.118

1999 9,861 12 1.163 No

rechazo 8.176 1.788

2000 10,406 7 0.384 No

rechazo 8.628 0.307

2001 15,304 8 1.177 No

rechazo 12.690 1.733

2002 12,307 12 0.406 No

rechazo10.205 0.316

2003 9,807 6 0.572 No

rechazo 8.132 0.559

TOTAL 66,331 55 Q 5.821

Valor X2 9.488

=> No rechazo 2

0H

valor p 0.213 En ambas pruebas no se tienen pruebas para rechazar las correspondientes hipótesis nulas, sin embargo en la prueba 2 no se consigue obtener un valor p cercano a 1, por lo que existe una probabilidad alta de error al no rechazar la consistencia del resultado con el modelo.

GIRO Agentes qi .002988

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 5,234 13 0.542No

rechazo 15.641 0.446

1999 3,655 7 1.037No

rechazo 10.923 1.409

2000 3,179 11 0.325No

rechazo 9.500 0.237

2001 4,119 9 0.802No

rechazo 12.309 0.890

2002 7,485 29 1.298No

rechazo 22.368 1.966

2003 3,098 11 0.409No

rechazo 9.258 0.328

TOTAL 26,770 80

75

Q 5.275

Valor X2 9.488

=> No rechazo 20H

valor p 0.260 A pesar de que las hipótesis nulas no son rechazadas en las pruebas, el valor p es pequeño por lo que no se consigue una probabilidad baja de error al no rechazar 2

0H .

GIRO Agricultura qi .002070 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 3,390 6 0.196 No

rechazo 7.019 0.148

1999 5,203 14 0.832 No

rechazo 10.772 0.967

2000* 4,337 5 1.162 No

rechazo 11.847 0.684

2001 4,625 8 0.348 No

rechazo 9.576 0.259

2002 1,829 6 0.881 No

rechazo 3.787 1.294

2003* 1,385 4 0.374 No

rechazo

TOTAL 20,769 43 Q 3.352

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.340 * La información de los años 2000 y 2003 se juntó debido a que en 2003 no se tiene el mínimo de observaciones. No se rechazan las hipótesis nulas en ambas pruebas, en este caso se obtiene un el valor p mayor a los obtenidos para giros anteriores, aunque no tan alto como para tener una probabilidad de error pequeña por no rechazar los resultados.

GIRO Alimentos qi .001134 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 70,671 114 3.729 Rechazo

1999 79,007 100 1.047 No

rechazo

2000 35,959 40 0.043 No

rechazo

76

2001 75,287 45 4.318 Rechazo

2002 106,366 133 1.083 No

rechazo 2003 51,595 43 1.963 Rechazo

TOTAL 418,885 475 De acuerdo a la prueba 1, se encuentra inconsistencia en los datos de los años 1998, 2001 y 2003, como el número total de asegurados es muy grande en cada año, se analiza la información en busca de segmentar este giro para obtener mejores resultados.

1. Se extrae de este giro otro grupo etiquetado como: Bebidas 1.1.1 Dentro de Bebidas se tienen todo tipo de bebidas no alcohólicas, como jugos,

aguas, etc.

GIRO Bebidas qi .000871 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 5,199 6 0.456No

rechazo

1999* 6,337 7 0.052No

rechazo

2000* 2,137 1 0.661No

rechazo

2001 7,279 7 0.397No

rechazo

2002 11,474 13 0.070No

rechazo 2003 22,658 14 2.125 Rechazo

TOTAL 55,084 48 * La información de los años 1999 y 2000 se juntó debido a que en 2000 no se tiene el mínimo de observaciones.

Dentro de este nuevo giro se encuentra inconsistencia en el año 2003 para el cual se rechaza H0, ahora, si la información de ese año no se toma en cuenta y se obtiene de nuevo el resultado, el resultado es:

GIRO Bebidas qi .001049 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 5,199 6 0.021No

rechazo 5.451 0.055 1999* 6,337 7 0.056 No 8.885 0.088

77

rechazo

2000* 2,137 1 0.495No

rechazo

2001 7,279 7 0.048No

rechazo 7.632 0.052

2002 11,474 13 0.135No

rechazo 12.031 0.078 TOTAL 32,426 34

Q 0.274

Valor X2 5.991

=> No rechazo

20H

valor p 0.872 * La información de los años 1999 y 2000 se juntó para cubrir el mínimo de observaciones Con la eliminación de los datos del año 2003 se incrementa qi y al aplicar la prueba 2 no se rechaza la hipótesis nula 2

0H obteniendo un valor p alto, por lo que la probabilidad de error

al no rechazar es pequeña.

1.2 Dentro del resto de los registros que componen Alimentos se encuentra 1 póliza con un gran volumen de expuestos, de la cual no se tiene información para todos los años, y de los 3 años en los que se encuentra, su información no es consistente, por lo que se extrae de la base, quedando los resultados como:

GIRO Alimentos qi .001232

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 27,100 39 0.886No

rechazo 33.383 0.945

1999 34,183 53 1.602No

rechazo 42.109 2.817

2000 23,020 24 0.725No

rechazo 28.357 0.670

2001 30,348 32 0.799No

rechazo 37.384 0.775

2002 25,263 31 0.068No

rechazo 31.120 0.000

2003 28,937 29 1.030No

rechazo 35.646 1.239

TOTAL 168,851 208 Q 6.447

Valor X2 9.488

=> No rechazo 20H

valor p 0.168

78

Con las modificaciones realizadas se logra aplicar la prueba 2 para ambos giros y obtener resultados positivos, mejores para el caso de Bebidas ya que para Alimentos no se obtiene un valor p alto. GIRO Asesoría y Consultoría qi .000670

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998* 4,684 3 0.203No

rechazo 8.918 0.001

1999* 8,617 6 0.115No

rechazo

2000 7,897 5 0.089No

rechazo 5.295 0.016

2001 6,856 5 0.045No

rechazo 4.597 0.035

2002 8,086 5 0.034No

rechazo 5.421 0.033

2003 10,097 7 0.104No

rechazo 6.770 0.008

TOTAL 46,237 31 Q 0.093

Valor X2 7.815

=>No rechazo 2

0H

valor p 0.993 * La información de los años 1998 y 1999 se juntó debido a que en 1998 no se tiene el mínimo de observaciones. En este caso, con base en las pruebas, no se tienen pruebas para rechazar el modelo propuesto y se considera que la información es consistente, se obtuvo un valor p muy

cercano a 1, consiguiendo así que la probabilidad de error al no rechazar 20H sea casi nula.

GIRO Automotriz qi .000771 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 31,607 32 1.446No

rechazo 24.364 2.393

1999 39,362 28 0.334No

rechazo 30.342 0.181

2000 34,071 22 0.735No

rechazo 26.263 0.692

2001 35,532 26 0.170No

rechazo 27.389 0.070

2002 32,455 24 0.104No

rechazo 25.018 0.041

2003 33,242 27 0.173No

rechazo 25.624 0.074

79

TOTAL 206,269 159 Q 3.452

Valor X2 9.488

=>No rechazo 20H

valor p 0.485

En ambas pruebas no se tienen elementos para rechazar el resultado, obteniéndose un valor p no tan pequeño, cercano a 0.5 indicando que la probabilidad de error por no rechazar no es muy alta.

GIRO Ayuntamiento qi .002485 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 29,092 80 0.849No

rechazo

1999 13,235 38 0.806No

rechazo 2000 10,498 38 2.238 Rechazo

2001 7,273 26 1.750No

rechazo 2002 25,230 24 4.829 Rechazo

2003 5,224 19 1.534No

rechazo TOTAL 90,552 225

Al revisar la información se eliminan 3 registros duplicados del año 2002 por tratarse de vigencias provisionales de 1 mes, que incrementan el número de expuestos, no se detectan errores en el año 2000, el resultado queda finalmente:

GIRO Ayuntamiento qi .003134 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 29,092 80 1.119No

rechazo 91.168 1.368

1999 13,235 38 0.463No

rechazo 41.476 0.291

2000 10,498 38 0.804No

rechazo 32.899 0.791

2001 7,273 26 0.568No

rechazo 22.792 0.452

2002 6,476 24 0.713No

rechazo 20.294 0.677

2003 5,224 19 0.527No

rechazo 16.371 0.422

80

TOTAL 71,798 225 Q 4.001

Valor X2 9.488

=>No rechazo 20H

valor p 0.406

Una vez corregidos los resultados se aprecia una mejora en la consistencia de los resultados, no rechazando las hipótesis nulas y obteniendo un valor p mayor a 0.4 que indica que la probabilidad de error por no rechazar el modelo no es muy alta

GIRO Bancos qi .002709 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 27,094 86 1.416No

rechazo 73.389 2.167

1999 33,016 81 0.840No

rechazo 89.429 0.795

2000 19,734 41 1.637No

rechazo 53.453 2.901

2001 23,863 66 0.107No

rechazo 64.637 0.029

2002 12,722 31 0.505No

rechazo 34.460 0.347

2003 11,309 41 1.785No

rechazo 30.632 3.509

TOTAL 127,738 346 Q 9.748

Valor X2 9.488

=>Se rechaza 2

0H

Con la prueba 2 se tienen elementos para rechazar el resultado, al analizar la información en busca de errores se eliminan siete registros etiquetados como personal jubilado, quedando los resultados como:

GIRO Bancos qi .002801 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 27,094 86 1.106No rechazo

75.881 1.349

1999 33,016 81 1.142No rechazo 92.467 1.422

2000 11,840 28 0.810No rechazo 33.160 0.803

2001 23,323 65 0.022No rechazo

65.320 0.002

81

2002 12,175 31 0.446No rechazo 34.098 0.281

2003 10,738 40 1.721No rechazo 30.074 3.276

TOTAL 118,186 331 Q 7.134

Valor X2 9.488

=>No rechazo 20H

valor p 0.129 Con la eliminación de datos se consigue no rechazar 2

0H , sin embargo, no se logra obtener

un valor p grande, por lo que la probabilidad de error al no rechazar es alta.

GIRO Bebidas Alcohólicas qi .001181 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 626 1 0.278No

rechazo

1999 587 1 0.232No

rechazo

2000 748 2 0.657No

rechazo

2001 1,116 1 0.159No

rechazo

2002 723 0 0.383No

rechazo

2003 435 0 0.019No


No se realiza la prueba 2 de bondad de ajuste debido a que no se cuenta con el mínimo requerido de observaciones, pero con base en la prueba 1 se acepta que el resultado es consistente con la información anual ya que no se tienen elementos para rechazar las hipótesis nulas.

GIRO Bienes raíces qi .001402

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 794 1 0.367No

rechazo

1999 687 3 1.567No

rechazo

82

2000 951 1 0.145No

rechazo

2001 1,383 4 1.122No

rechazo

2002 2,723 1 1.187No

rechazo

2003 2,736 3 0.171No

rechazo

TOTAL 9,274 13

Al igual que el grupo anterior, con 13 observaciones no se pueden generar mínimo 3 grupos de 5 observaciones, por lo que no se realiza la prueba 2. Se acepta la consistencia de la información solo con base en la prueba 1.

GIRO Cañeros qi .011153 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 1659 29 2.337 Rechazo

1999 1875 22 0.129No

rechazo

2000 2050 20 0.497No

rechazo 2001 2124 12 2.312 Rechazo

2002 2172 26 0.261No

rechazo

2003 1866 22 0.152No

rechazo

TOTAL 11,746 131

Se encuentra inconsistencia en la información de los años 1998 y 2001, se revisan los datos y se encuentran 2 registros etiquetados como “mayores a 70 años” que son eliminados de la información, quedando:

GIRO Cañeros qi .010185 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 1659 29 2.837 Rechazo

1999 1875 22 0.553No

rechazo

2000 2050 20 0.083No

rechazo

83

2001 2124 12 1.974 Rechazo

2002 2010 22 0.229No

rechazo

2003 1770 12 1.308No


Se observa una reducción en la estimación de qi, sin embargo se sigue rechazando el modelo para 2 años, por lo que si no se toma en cuenta su información se tiene que:

GIRO Cañeros qi .009864 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de Siniestros xj / f j

z prueba Ej sumandos

1999 1875 22 0.702No

rechazo 18.494 0.664

2000 2050 20 0.062No

rechazo 20.221 0.002

2002 2010 22 0.378No

rechazo 19.826 0.238

2003 1770 12 1.193No

rechazo 17.459 1.707

TOTAL 7,705 76 Q 2.612

Valor X2 5.991

=> No rechazo

20H

valor p 0.271

Con la reducción de información no se genera ningún rechazo, tanto en la prueba 1 como en la prueba 2, sin embargo el valor p no es muy alto, por lo que la probabilidad de error al no rechazar la hipótesis nula es alta.

GIRO Comercio qi .000588 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 785 0 0.057No

rechazo

1999 1,260 1 0.280No

rechazo

2000 2,022 2 0.286No

rechazo

2001 1,294 0 0.299No

rechazo

84

2002 1,794 3 1.408No

rechazo

2003 8,159 3 0.592No

rechazo

TOTAL 15,314 9 Con base en la prueba 1, y debido a que por el número mínimo de observaciones no se puede realizar la prueba 2, se acepta la consistencia de la información.

GIRO Comunicaciones qi .000795 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 19,473 12 0.757No

rechazo 15.476 0.781

1999 4,439 7 1.583No

rechazo 3.528 3.417

2000 6,030 6 0.323No

rechazo 4.792 0.304

2001 5,993 6 0.338No

rechazo 11.204 0.129

2002 4,835 4 0.175No

rechazo

2003 3,269 0 1.302No


Q 4.632

Valor X2 5.991

=> No rechazo 2

0H

valor p 0.099 * Se junta la información de los años 2001 – 2002 – 2003 para tener el mínimo de observaciones. No se rechaza ninguna de las hipótesis, sin embargo, el valor p es muy pequeño, principalmente por que la gran aportación del año 1999 a la estadística Q, al revisar la información no se encuentran errores por lo que no se rechazará el modelo con una probabilidad muy grande de error

GIRO Construcción en Gral. qi .000803 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 9,070 8 0.081No

rechazo 7.281 0.071

1999 5,667 4 0.023No

rechazo 10.384 1.851

2000 7,269 2 1.381No

rechazo

85

2001 5,843 6 0.374No

rechazo 4.690 0.366

2002 2,478 3 0.362No

rechazo 3.644 1.522

2003 2,062 3 0.657No

rechazo

TOTAL 32,389 26 Q 3.810

Valor X2 5.991

=> No rechazo 20H

valor p 0.149 * Se junta la información de los años 1999 – 2000 y 2002 – 2003 para tener el mínimo de observaciones No se rechaza la consistencia de la información con el modelo propuesto, sin embargo, el valor p es pequeño, por lo que la probabilidad de error al no rechazar es grande.

GIRO Educación qi .001595

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 13,993 23 0.038 No rechazo 1999 4,796 25 6.096 Rechazo 2000 3,735 1 1.828 No rechazo 2001 23,934 30 1.244 No rechazo 2002 5,552 4 1.465 No rechazo 2003 2,527 4 0.234 No rechazo

TOTAL 54,537 87 Se revisa la información del año 1999 encontrando un registro con una siniestralidad muy alta de 0.00935, misma que pudo producirse por factores externos, si no se toma en cuenta su información los resultados mejoran a:

GIRO Educación qi .001262 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 13,993 23 1.152No

rechazo 17.661 1.614

1999* 2,551 4 0.156No

rechazo 7.934 1.085

2000* 3,735 1 1.481No

rechazo

2001 23,934 30 0.053No

rechazo 30.208 0.001

86

2002* 5,552 4 0.948No

rechazo 10.197 0.473

2003* 2,527 4 0.174No

rechazo

TOTAL 52,292 66

Q 3.174

Valor X2 5.991

=> No rechazo 2

0H

valor p 0.205 * Se junta la información de los años 1999 – 2000 y 2002 – 2003, para tener el mínimo de observaciones. Con la eliminación, se consigue no rechazar ninguna de las hipótesis, sin embargo, a pesar de las correcciones en la información, no se logra obtener un valor p alto.

GIRO Electrónica qi .000320 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 3,259 1 0.446No

rechazo 3.694 2.960

1999 8,270 6 1.752No

rechazo

2000 16,531 6 0.089No

rechazo 5.296 0.094

2001 14,303 3 0.506No

rechazo 9.010 1.785

2002 7,086 1 0.511No

rechazo

2003 6,736 1 0.448No

rechazo

TOTAL 56,185 18 Q 4.838

Valor X2 3.841

=>Se

rechaza 20H

* Se junta la información de los años 1998 – 1999 y 2001 – 2002 – 2003 para tener el mínimo de observaciones. A pesar de que en total se tiene un número grande de expuestos y de que la prueba 1 señala que la información anual es consistente con el resultado general, en la prueba 2 se rechaza la hipótesis nula. Se analiza la información y no se detectan errores, por lo que el modelo no debe ser aceptado.

GIRO Embotelladoras qi .000835 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 7,773 6 0.003No

rechazo 6.493 0.037

87

1999 7,922 7 0.046No

rechazo 6.618 0.022

2000 8,103 10 1.050No

rechazo 6.769 1.542

2001 12,325 13 0.687No

rechazo 10.296 0.710

2002 11,501 8 0.357No

rechazo 9.607 0.269

2003 12,231 6 1.163No

rechazo 10.217 1.741

TOTAL 59,855 50

Q 4.322

Valor X2 9.488

=> No rechazo 2

0H

valor p 0.364 Con base en las pruebas, no se rechaza la consistencia del modelo con la información, sin embargo, el valor p es pequeño, por lo que la probabilidad de error al no rechazar el modelo no es baja.

GIRO Entretenimiento qi 0.001300 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 4,996 7 0.002No

rechazo

1999 10,828 9 1.220No

rechazo

2000 11,690 10 1.205No

rechazo

2001 11,118 12 0.514No

rechazo 2002 8,397 20 2.600 Rechazo

2003 8,364 14 0.798No


Se revisa la información del año 2002, se detecta un registro con un total de 3,978 expuestos y una siniestralidad 3.26 al millar, la misma póliza se encuentra en 2003 con una siniestralidad de 2.56 al millar, factores externos pueden ser los que afecten la información de este caso, por lo que si no se toma en cuenta este registro en ambos años, los resultados son:

GIRO Entretenimiento qi 0.001044 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



88

1998 4,996 7 0.563No

rechazo 5.214 0.611

1999 10,828 9 0.536No

rechazo 11.301 0.469

2000 11,690 10 0.487No

rechazo 12.201 0.397

2001 11,118 12 0.031No

rechazo 11.604 0.014

2002 4,419 7 0.880No

rechazo 4.612 1.236

2003 4,855 5 0.192No

rechazo 5.067 0.001

TOTAL 47,906 50

Q 2.728

Valor X2 9.488

=> No rechazo 20H

valor p 0.604 Se consigue mejorar el resultado, al rechazar ninguna hipótesis de la prueba 1, se aplica satisfactoriamente la prueba 2, obteniendo un valor p alto por lo que la probabilidad de error al no rechazar el modelo es baja.

GIRO Envases qi 0.001068 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 1,721 1 0.250No

rechazo

1999 1,463 3 0.750No

rechazo

2000 1,606 2 0.165No

rechazo

2001 1,819 1 0.318No

rechazo

2002 1,099 1 0.301No

rechazo

2003 1,653 2 0.200No

rechazo

TOTAL 9,361 10

Con 10 observaciones de siniestros no se logran formar mínimo 3 grupos de 5 datos, por lo que no se lleva a cabo la prueba 2, pero con base en la prueba 1, se puede observar consistencia del resultado con la información anual.

89

GIRO Farmacéuticos qi 0.000597 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998 9,245 6 0.222 No

rechazo 5.003 0.199

1999 7,436 7 1.224 No

rechazo 4.041 2.167

2000 14,585 5 1.087 No

rechazo 8.706 1.577

2001 19,204 9 0.580 No

rechazo 11.463 0.529

2002* 15,464 12 0.747 No

rechazo 13.788 0.355

2003* 8,145 4 0.027 No

rechazo

TOTAL 72,040 43

Q 4.827

Valor X2 7.815

=> No

rechazo 20H

valor p 0.185 * Se junta la información de los años 2002 y 2003 debido a que en 2003 no se cumple el mínimo de observaciones. No se rechaza la consistencia de la información con el modelo propuesto, sin embargo el valor p es pequeño, por lo que existe una alta probabilidad de error al no rechazar el resultado.

GIRO Finanzas qi 0.001491 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998 2,741 6 0.700No

rechazo 4.087 0.896

1999 16,274 24 0.048No

rechazo 24.264 0.003

2000 3,226 5 0.141No

rechazo 4.810 0.008

2001* 3,840 6 0.094No

rechazo 11.840 0.286

2002* 2,415 1 1.108No

rechazo

2003* 1,686 3 0.009No

rechazo

90

TOTAL 30,182 45 Q 1.192

Valor X2 5.991

=> No rechazo 20H

valor p 0.551 *Se junta la información de los años 2001, 2002 y 2003 Con base en las pruebas, no se tienen elementos para rechazar la consistencia de la información y se obtiene un valor p mayor a 0.5, por lo que la probabilidad de error al no rechazar el modelo no es muy alta.

GIRO Gas qi 0.001556 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998* 632 2 0.52

1 No

rechazo 3.081 1.195

1999* 1,348 3 0.27

8 No

rechazo

2000 4,381 8 0.26

1 No

rechazo 6.818 0.205

2001* 2,350 3 0.08

2 No

rechazo 8.100 1.187

2002* 1,454 0 1.17

3 No

rechazo

2003* 1,401 2 0.21

7 No

rechazo

TOTAL 11,566 18

Q 2.586

Valor X2 3.841

=> No rechazo 2

0H

valor p 0.108 *Se junta la información de los años 1998 – 1999 y 2001 – 2002 – 2003. No se rechaza la consistencia del modelo con los datos, sin embargo el valor p es muy pequeño, por lo que existe una alta probabilidad de error al no rechazar el resultado.

GIRO Gobierno - Servicios qi .002050 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 4,985 9 0.225 No rechazo

91

1999 8,183 24 1.644 No rechazo 2000 11,780 12 2.372 Rechazo 2001 6,505 20 1.691 No rechazo 2002 7,182 16 0.203 No rechazo 2003 4,299 7 0.442 No rechazo

TOTAL 42,934 88 Se revisa la información del año 2000, no encontrando errores, por lo que si no se toma en cuenta la información de dicho año se tiene que:

GIRO Gobierno - Servicios qi .002439 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998 4,985 9 0.764No

rechazo 12.161 0.822

1999 8,183 24 0.793No

rechazo 19.962 0.817

2001 6,505 20 0.913No

rechazo 15.869 1.075

2002 7,182 16 0.244No

rechazo 17.520 0.132

2003 4,299 7 0.924No

rechazo 10.487 1.160

TOTAL 31,154 76 Q 4.005

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

Valor p 0.261 No se rechaza ninguna de las hipótesis de las pruebas, sin embargo, el valor p no es muy alto, por lo que existe una probabilidad de error alta.

GIRO Gobiernos estatales qi 0.001620 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 132,191 209 0.317 No rechazo 1999 103,034 195 2.138 Rechazo 2000 105,144 140 2.287 Rechazo 2001 36,044 53 0.640 No rechazo 2002 64,296 109 0.426 No rechazo 2003 167,359 279 0.450 No rechazo

TOTAL 608,068 985

92

De acuerdo a la prueba 1, la información de los años 1999 y 2000 es inconsistente, al revisar la información no se detectan errores o desviaciones notorias en los registros, por lo que si no se toman en cuenta dichos años, los resultados mejoran:

GIRO Gobiernos estatales qi 0.001625 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 132,191 209 0.367 No

rechazo 214.869 0.160

2001 36,044 53 0.665 No

rechazo 58.588 0.533

2002 64,296 109 0.391 No

rechazo 104.510 0.193

2003 167,359 279 0.392 No

rechazo 272.033 0.178

TOTAL 399,890 650 Q 1.065

Valor X2 5.991

=> No rechazo 20H

Valor p 0.587

Se aprecia que con la eliminación de los registros de 2 años, la estimación de qi cambió ligeramente y al aplicar las pruebas se obtienen resultados satisfactorios para todas las hipótesis nulas, además de que se obtiene un valor p mayor a 0.5, indicando que la probabilidad de error por no rechazar la consistencia del modelo no es alta.

GIRO Gobierno – Institutos qi 0.002631 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 1,763 5 0.065 No rechazo1999 7,413 37 3.853 Rechazo 2000 2,327 2 1.466 No rechazo2001 4,196 1 2.875 Rechazo 2002 2,957 4 1.178 No rechazo2003 345 1 0.429 No rechazo

TOTAL 19,001 50

La información de 1999 y 2001 es inconsistente. Revisando a detalle las pólizas que integran este giro, se detectaron 15 registros que no pertenecen al mismo y que son reclasificados en el giro Gobierno - Organizaciones, más adelante analizado. Los resultados corregidos siguen presentando inconsistencia en el año 1999, por lo que no se toma en cuenta su información quedando los resultados finales como:

93

GIRO Gobierno – Institutos qi 0.000966

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 1,510 3 0.863 No rechazo2000 1,946 1 0.277 No rechazo2001 3,871 1 1.159 No rechazo2002 2,680 4 0.567 No rechazo2003 345 1 0.289 No rechazo

TOTAL 10,352 10

Al disminuir la información se pierde la posibilidad de aplicar la prueba 2, así que se observa consistencia en la información con base en la prueba 1 al no tener elementos suficientes para rechazar el resultado.

GIRO Gobierno – Organizaciones12 qi 0.003897 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 936 4 0.244 No rechazo1999 8,049 33 1.184 No rechazo2000 1,496 3 0.638 No rechazo2001 2,129 1 2.080 Rechazo 2002 1,450 2 1.038 No rechazo2003 3,389 25 4.016 Rechazo

TOTAL 17,449 68

Se observa la inconsistencia de la información de los años 2001 y 2003, se analiza y no se detectan errores, por lo que no se toma en cuenta su información, quedando el resultado como:

GIRO Gobierno – Organizaciones qi 0.003520 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 936 4 0.244 No rechazo1999 8,049 33 1.184 No rechazo2000 1,496 3 0.638 No rechazo

12 Incluye los 15 registros migrados del giro Institutos

94

2002 1,450 2 1.038 No rechazoTOTAL 11,931 42

Por la eliminación de información se pierde la posibilidad de aplicar la prueba 2, por lo que basándose en la prueba 1 se observa consistencia en el modelo al no tener elementos suficientes para rechazarlo.

GIRO Hoteles qi 0.000603 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998* 5,706 3 0.031No

rechazo 7.061 0.160

1999* 6,001 3 0.063No

rechazo

2000* 5,093 3 0.244No

rechazo 6.150 0.117

2001* 5,103 4 0.241No

rechazo

2002* 4,333 4 0.548No

rechazo 3.789 0.012

2003* 1,948 0 0.623No

rechazo

TOTAL 28,184 17 Q 0.289

Valor X2 3.841

=> No rechazo 20H

valor p 0.591 *Se forman 3 grupos por parejas 1998 – 1999, 2000 – 2001 y 2002 – 2003.

A pesar de que el último grupo tiene 4 observaciones se realizó la prueba 2, ya que se consigue un buen resultado en el contraste de hipótesis y además se obtiene un valor p mayor a 0.5 que lleva a confiar en la consistencia de la información y a no rechazar el modelo con una probabilidad de error pequeña al hacerlo.

GIRO Imprenta, editorial qi 0.000709 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 2,544 3 0.519No

rechazo

1999 3,569 0 1.276No

rechazo

2000 2,114 1 0.001No

rechazo

95

2001 2,564 4 1.249No

rechazo

2002 1,296 0 0.437No

rechazo

2003 612 1 0.101No


Con 9 observaciones no se puede realizar la prueba 2, por lo que con base en el resultado de la prueba 1 se observa la consistencia de la información al no tener elementos para rechazar el resultado.

GIRO Industria qi 0.000342 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998* 5,678 1 0.317No

rechazo 3.153 0.227

1999* 3,546 3 1.170No

rechazo

2000* 7,165 3 0.032No

rechazo 9.137 0.500

2001* 19,562 4 0.846No

rechazo

2002* 2,374 2 0.764No

rechazo 3.710 0.448

2003* 8,479 3 0.234No

rechazo

TOTAL 46,804 16 Q 1.176

Valor X2 3.841

=> No rechazo 20H

valor p 0.278 *Se forman 3 grupos por parejas 1998 – 1999, 2000 – 2001 y 2002 – 2003. En este caso, se tiene de nuevo un grupo con 4 observaciones, sin embargo, la aplicación de

la prueba 2 permite no rechazar 20H aunque se obtiene un valor p alto.

GIRO Ingenio qi 0.001580

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 1,301 3 0.310 No rechazo 1999 2,569 6 0.716 No rechazo 2000 1,689 3 0.103 No rechazo

96

2001 1,439 1 0.513 No rechazo 2002 10,250 9 1.665 No rechazo 2003 3,639 11 1.983 Rechazo

TOTAL 20,887 33

No se rechazan las hipótesis de los primeros 5 años, no así para el año 2003, se revisa su información no encontrando errores, por lo que no se toma en cuenta para obtener un mejor resultado:

GIRO Ingenio qi 0.001276 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998* 1,301 3 0.653No

rechazo 3.814 1.253

1999* 2,569 6 1.229No

rechazo 5.112 0.697

2000* 1,689 3 0.236No

rechazo

2001* 1,439 1 0.248No

rechazo

2002 10,250 9 0.989No

rechazo 13.074 1.269

TOTAL 17,248 22 Q 3.220

Valor X2 3.841

=> No rechazo 20H

Valor p 0.073 *Se junta la información de los años 1998 – 2000 y 1999 – 2001.

No se rechaza 20H , sin embargo, el valor p es muy pequeño, por lo que la probabilidad de

error al no rechazar el modelo es muy alta.

GIRO Institutos qi 0.000756 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 1,112 1 0.372 No rechazo 1999 1,739 1 0.161 No rechazo 2000 3,687 3 0.173 No rechazo 2001 3,062 0 1.194 No rechazo 2002 4,300 4 0.137 No rechazo 2003 1,964 3 0.833 No rechazo

TOTAL 15,864 12

97

Con solo 12 observaciones no se consigue aplicar la prueba 2, por lo que con base en la prueba 1 se observa cierta consistencia en la información al no tener elementos para rechazar el resultado.

GIRO Maestros qi 0.001207 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 7,302 13 1.244 No rechazo 1999 50,259 94 4.222 Rechazo 2000 105,667 147 1.684 No rechazo 2001 180,078 222 0.286 No rechazo 2002 56,992 7 7.393 Rechazo 2003

TOTAL 400,298 483 No se cuenta con información para el año 2003. A partir de la prueba 1 se determina la inconsistencia de la información de los años 1999 y 2002, si se decide no tomar en cuenta estos años, se obtiene el siguiente resultado favorable:

GIRO Maestros qi 0.001304 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998 7,302 13 0.967No

rechazo 9.518 1.273

2000 105,667 147 0.747No

rechazo 137.742 0.622

2001 180,078 222 0.799No

rechazo 234.740 0.691

TOTAL 293,047 382 Q 2.587

Valor X2 3.841

=> No rechazo 20H

valor p 0.108 Se logra aplicar la prueba 2 no rechazando la hipótesis nula 2

0H , aunque con la pérdida de

información y consecuentemente con la pérdida de grados de libertad, el valor p es pequeño, por lo que la probabilidad de error al no rechazar el modelo es alta.

98

GIRO Manufactura durable qi 0.000636 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 9,011 8 0.741No

rechazo 5.727 0.903

1999 15,095 10 0.030No

rechazo 9.593 0.017

2000* 4,716 4 0.291No

rechazo 16.578 1.877

2001* 21,371 7 1.651No

rechazo

2002* 4,125 6 1.778No

rechazo 6.102 1.376

2003* 5,477 3 0.010No

rechazo

TOTAL 59,795 38

Q 4.173

Valor X2 5.991

=> No

rechazo 20H

valor p 0.124 *Se agrupan los años 2000 – 2001 y 2002 – 2003. No se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, sin embargo, con base en el resultado del valor p la probabilidad de error al no rechazar el modelo es muy alta.

GIRO Manufactura eléctrica qi 0.000536 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 19,471 14 0.950 No rechazo 1999 33,618 4 3.184 Rechazo 2000 21,686 15 0.846 No rechazo 2001 22,487 18 1.571 No rechazo 2002 18,600 8 0.464 No rechazo 2003 14,799 11 0.914 No rechazo

TOTAL 130,661 70 Se observa la inconsistencia de los datos del año 1999, se revisa dicha información sin encontrar errores, por lo que si no se toma en cuenta, se tiene:

99

GIRO Manufactura eléctrica qi 0.000680 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998 19,471 14 0.071No

rechazo 13.242 0.043

2000 21,686 15 0.065No

rechazo 14.749 0.004

2001 22,487 18 0.564No

rechazo 15.294 0.479

2002 18,600 8 1.167No

rechazo 12.650 1.709

2003 14,799 11 0.137No

rechazo 10.065 0.087

TOTAL 97,043 66 Q 2.323

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.508 Al no tomar en cuenta la información del año de 1999, se logra aplicar la prueba 2 y no rechazar 2

0H con un valor p mayor a 0.5 que indica una probabilidad de error no muy alta.

GIRO Manufactura metales qi 0.000660

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1998 10,763 10 0.900No

rechazo 7.101 1.183

1999 19,850 8 1.271No

rechazo 13.097 1.983

2000* 31,316 27 1.285No

rechazo 28.906 0.152

2001* 12,496 4 1.305No

rechazo

2002 12,281 10 0.491No

rechazo 8.103 0.444

2003 16,359 9 0.394No

rechazo 10.793 0.298

TOTAL 103,065 68 Q 4.061

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.255 *Se junta la información de los años 2000 – 2001.

100

No se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, sin embargo, el valor p no es muy alto.

GIRO Manufactureras qi 0.000397 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 1,587 0 0.164No

rechazo 1999 4,137 5 2.231 Rechazo

2000 3,712 1 0.022No

rechazo

2001 9,356 2 0.630No

rechazo

2002 5,904 4 0.756No

rechazo

2003 8,252 1 0.950No

rechazo

TOTAL 32,759 13 Se revisa la información de 1999, no se encuentran errores, por lo que no se toma en cuenta y se obtiene un nuevo resultado:

GIRO Manufactureras qi 0.000280 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 1,587 0 0.085No

rechazo

2000 3,712 1 0.454No

rechazo

2001 9,356 2 0.071No

rechazo

2002 5,904 4 1.440No

rechazo

2003 8,252 1 0.502No

rechazo

TOTAL 28,622 8

101

Con 8 observaciones no se logra realizar la prueba 2, sin embargo, con base en la prueba 1, y una vez eliminada la información del año de 1999, se observa cierta consistencia en la información ya que no se tienen elementos para rechazar el modelo.

GIRO Marinos, pilotos, mecánicos, choferes qi 0.001751

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 4,054 6 0.253No

rechazo 3.994 0.253

1999 4,961 8 0.665No

rechazo 5.013 0.788

2000 6,809 7 0.948No

rechazo 8.214 1.257

2001 8,473 12 0.564No

rechazo 8.825 0.536

2002* 5,336 8 0.368No

rechazo 6.955 0.549

2003* 3,155 3 0.082No

rechazo

TOTAL 18,847 33

Q 3.384

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.336 *Se junta la información de los años 2002 – 2003. No se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, obteniéndose un valor p no tan bajo.

GIRO Médicos qi 0.001181 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998* 2,180 3 0.046No

rechazo 6.504 0.038

1999* 3,329 4 0.217No

rechazo

2000* 5,528 7 0.010No

rechazo 13.397 0.861

2001* 5,820 3 1.287No

rechazo

2002* 3,099 1 1.129No

rechazo 12.099 0.695

2003* 7,150 14 1.742No

rechazo

TOTAL 27,106 32

102

Q 1.595

Valor X2 3.841

=> No rechazo 20H

valor p 0.207 *Se forman 3 grupos por parejas 1998 – 1999, 2000 – 2001 y 2002 – 2003. No se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, sin embargo, el valor p no es elevado, por lo que la probabilidad de error al no rechazar el modelo es alta.

GIRO Minería metales qi 0.000877 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 11,393 10 0.157No

rechazo 9.995 0.000

1999 13,414 9 0.661No

rechazo 11.768 0.651

2000* 4,344 2 0.672No

rechazo 10.537 0.027

2001* 7,667 8 0.299No

rechazo

2002 6,665 7 0.270No

rechazo 5.847 0.227

2003 6,672 8 0.681No

rechazo 5.853 0.787

TOTAL 50,155 44 Q 1.693

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.638 *Se junta la información de los años 2000 y 2001. De acuerdo a las pruebas, no se rechaza ninguna de las hipótesis nulas y, a pesar de que se perdió un grado de libertad al juntar la información de dos años, se logra obtener un excelente valor p que indica una probabilidad baja de error al no rechazar el modelo.

GIRO Minería petróleo qi 0.001864

Año Total

Asegurados nj


xj / f j

1998 5,550 14 1999 5,552 7 2000 65 0 2001 64 0 2002 22 0 2003 16 0

TOTAL 11,269 21

103

Se observa una acumulación de información en los años 1998 y 1999, la información de los últimos 4 años no se puede considerar suficiente con tan pocos expuestos en cada año, por lo que si solo consideramos la información de los 2 primeros años se tiene el siguiente resultado:

GIRO Minería petróleo qi 0.001892 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 5,550 14 0.821No rechazo

1999 5,552 7 1.007No rechazo

TOTAL 11,102 21 La información es poca en cuanto a los años de información, por lo que no se puede aplicar la prueba 2, pero a pesar de ello, con base en la prueba 1 se observa consistencia en la información de estos 2 años al no tener elementos para rechazar las hipótesis nulas correspondientes.

GIRO Municipios qi 0.004272 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 12,945 76 2.721 Rechazo

1999 11,520 40 1.245No

rechazo

2000 15,461 40 3.151 Rechazo 2001 20,095 132 4.937 Rechazo 2002 11,843 32 2.550 Rechazo

2003 18,482 66 1.406No

rechazo

TOTAL 90,346 386

Con base en la prueba 1 se determina que la información no es consistente para considerar el resultado como representativo de este giro. Se buscan errores en los años 1998, 2000, 2001 y 2002 encontrando 3 registros duplicados con un número importante de asegurados y siniestros que duplicaban la información incrementándose considerablemente la siniestralidad, los resultados de la información corregida son:

104

GIRO Municipios qi 0.003691 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j

z prueba

1998 12,945 76 4.096 Rechazo 1999 11,520 40 0.254 No rechazo 2000 13,340 37 1.621 No rechazo 2001 17,746 66 0.072 No rechazo 2002 11,843 32 1.648 No rechazo 2003 18,482 66 0.136 No rechazo

TOTAL 85,876 317 Con los cambios no se rechazan las hipótesis nulas de los últimos 5 años, sin embargo la prueba 1 sigue arrojando un rechazo para el año 1998, se analiza la información de dicho año sin encontrar errores, por lo que este año no se toma en cuenta, reflejándose en los siguientes resultados:

GIRO Municipios qi 0.003304 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestros xj / f j


1999 11,520 40 0.233No

rechazo 38.068 0.098

2000 13,340 37 0.993No

rechazo 44.082 1.138

2001 17,746 66 0.897No

rechazo 58.642 0.923

2002 11,843 32 1.062No

rechazo 39.135 1.301

2003 18,482 66 0.567No

rechazo 61.074 0.397

TOTAL 72,931 241 Q 3.857

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.277 Con la información corregida, se aplica la prueba 2, con la cual no se tienen elementos para rechazar 2

0H , sin embargo, el valor p es pequeño por lo que existe una alta probabilidad de

error al no rechazar el modelo.

105

GIRO Papel qi 0.000920

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 11,752 10 0.096No

rechazo 10.816 0.062

1999 9,355 7 0.378No

rechazo 8.610 0.301

2000 9,613 9 0.117No

rechazo 8.848 0.003

2001 11,663 13 0.539No

rechazo 10.734 0.478

2002 16,669 16 0.040No

rechazo 15.342 0.028

2003 10,485 9 0.048No

rechazo 9.650 0.044

TOTAL 69,537 64 Q 0.916

Valor X2 9.488

=> No rechazo 20H

valor p 0.922 Como se observa, se obtiene un excelente resultado de las pruebas, no se rechazan las hipótesis nulas y además se obtiene un valor p alto, cercano a 1, por lo que la probabilidad de error es muy pequeña al no rechazar el modelo ni la consistencia de la información anual con el resultado.

GIRO Pinturas qi 0.000854 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj

Número de

Siniestrosxj / f j

z prueba

1998 928 1 0.329No

rechazo

1999 864 1 0.277No

rechazo

2000 1,672 2 0.060No

rechazo

2001 1,058 1 0.425No

rechazo

2002 1,519 1 0.177No

rechazo

2003 981 0 0.370No

rechazo

TOTAL 7,022 6

106

Por el número de observaciones no se realiza la prueba 2, sin embargo, con base en la prueba 1, se considera que existe consistencia en los datos ya que no se tienen los elementos suficientes para rechazar el resultado. GIRO Plásticos qi 0.000493

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 2,212 1 0.391No

rechazo

1999 2,674 0 0.713No

rechazo

2000 2,183 0 0.556No

rechazo

2001 4,621 4 0.809No

rechazo

2002 3,844 0 1.014No

rechazo

2003 2,710 4 1.871No

rechazo

TOTAL 18,244 9 Al igual que en el caso anterior, no se realiza la prueba 2 por no contar con el mínimo de observaciones, sin embargo, con base en la prueba 1, se considera consistencia en la información anual al no tener elementos para rechazar el resultado.

GIRO Policías, bomberos qi 0.001117 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba


2001 4,045 7 0.934No

rechazo

2002 3,843 9 2.033 Rechazo

2003 3,051 1 1.034No

rechazo

TOTAL 71,646 80 A partir de la prueba 1 se aprecia la inconsistencia en la información de los años 1998, 1999, 2000 y 2002, al analizar los datos se detecta 1 registro duplicado que incrementa de manera importante el total de asegurados en el año 2000, se elimina dicho registro de la

107

base. Se prueba mezclar la información del giro Tránsito con la de este giro ya que son actividades similares. Los resultados fueron:

GIRO Policías, bomberos qi 0.001601 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba


2001 7,559 15 0.689No

rechazo

2002 6,300 14 1.075No

rechazo

2003 6,405 4 1.799No

rechazo

TOTAL 66,713 96

Con las correcciones se siguen rechazando las hipótesis nulas de la prueba 1 para los tres primeros años, por lo que si no se toma en cuenta la información de estos años se tiene:

GIRO Policías, bomberos qi 0.001629 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



2001 7,559 15 0.625No

rechazo 12.310 0.588

2002 6,300 14 1.012No

rechazo 10.260 1.364

2003 6,405 4 1.838No

rechazo 10.431 3.965 TOTAL 20,264 33

Q 5.916

Valor X2 3.841

=>Se rechaza 20H

A pesar de que el último año solo cuenta con 4 observaciones, se hace una excepción en la

regla y se aplica la prueba 2 para revisar el resultado, la cual arroja un rechazo de 20H por

lo que se rechaza el modelo.

108

GIRO Químicos qi 0.000801

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 2,887 1 0.534 No rechazo 1999 2,196 1 0.195 No rechazo 2000 1,348 3 1.368 No rechazo 2001 1,098 1 0.405 No rechazo 2002 260 0 0.640 No rechazo 2003 952 1 0.301 No rechazo

TOTAL 8,741 7

No se cuenta con el mínimo de observaciones para aplicar la prueba 2, y como a partir de la prueba 1 no se tienen elementos para rechazar las hipótesis, no se puede rechazar la consistencia del resultado con los datos anuales.

GIRO Refacciones qi 0.001541 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 1,143 0 0.951 No rechazo 1999 1,387 5 1.618 No rechazo 2000 1,395 1 0.443 No rechazo 2001 1,727 1 0.712 No rechazo 2002 1,216 2 0.273 No rechazo 2003 921 3 0.908 No rechazo

TOTAL 7,789 12 Al igual que en el caso anterior, no es posible aplicar la prueba 2 ya que con 12 observaciones no se pueden formar mínimo 3 grupos de 5 datos. Con la prueba 1 no se tienen elementos para rechazar las hipótesis nulas, por lo que se puede observar consistencia de la información anual con el resultado general.

GIRO Seguridad qi 0.001344 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 14,311 15 0.851No

rechazo 19.229 0.930

1999 12,901 22 1.001No

rechazo 17.334 1.256

2000 13,546 22 0.774No

rechazo 18.201 0.793

109

2001 16,346 15 1.380No

rechazo 21.963 2.208

2002 6,381 12 1.000No

rechazo 8.574 1.369

2003 10,195 13 0.054No

rechazo 13.698 0.036

TOTAL 73,680 99 Q 6.591

Valor X2 9.488

=> No rechazo 20H

valor p 0.159

No se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, sin embargo, el valor p es bajo, por lo que la probabilidad de error por no rechazar el modelo es alta.

GIRO Seguros qi 0.000678 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998* 3,962 1 0.725No

rechazo 6.954 0.549

1999* 4,405 3 0.282No

rechazo 5.996 0.165

2000* 6,289 4 0.113No

rechazo

2001* 4,434 2 0.293No

rechazo

2002 9,654 8 0.372No

rechazo 6.549 0.322

2003 8,110 7 0.426No

rechazo 5.501 0.408

TOTAL 36,854 25 Q 1.444

Valor X2 5.991

=> No rechazo 20H

valor p 0.486 *Se junta la información de los años 1998 – 2000 y 1999 – 2001 para obtener 4 grupos

No se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, se obtiene un valor p cercano a 0.5, por lo que la probabilidad de error al no rechazar el modelo no es muy alta.

110

GIRO Servicios qi 0.000949 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 6,334 10 1.425No

rechazo 6.009 2.651

1999 10,115 14 1.261No

rechazo 9.595 2.022

2000 16,048 15 0.071No

rechazo 15.224 0.003

2001 14,480 7 1.683No

rechazo 13.736 3.303

2002 24,630 25 0.235No

rechazo 23.365 0.114

2003 16,942 13 0.642No

rechazo 16.072 0.587

TOTAL 88,549 84 Q 8.81

Valor X2 9.488

=> No rechazo 20H

valor p 0.070 A pesar de que no se rechaza ninguna de las hipótesis nulas, se obtiene un valor p muy cercano a cero, por lo que se debe tomar en cuenta que la probabilidad de error al no rechazar el modelo es demasiado alta.

GIRO Sistemas qi 0.000327 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 1,107 1 0.230No

rechazo

1999 523 0 0.796No

rechazo

2000 1,229 0 0.155No

rechazo

2001 2,580 0 0.374No

rechazo

2002 5,551 3 0.509No

rechazo

2003 1,245 0 0.146No

rechazo

TOTAL 12,235 4

111

No se cuenta con el mínimo de información para aplicar la prueba 2, sin embargo con base en los resultados de la prueba 1, se acepta la consistencia de la información anual ya que no se tienen los elementos suficientes para rechazar el resultado.

GIRO Supermercados

qi 0.000594

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 26,016 10 1.259 No rechazo 1999 34,431 26 1.119 No rechazo 2000 41,060 27 0.430 No rechazo 2001 42,172 31 1.092 No rechazo 2002 75,552 51 0.843 No rechazo 2003 72,169 28 2.192 Rechazo

TOTAL 291,400 173

La hipótesis nula para la información del año 2003 se rechaza, se analiza la información y no se encuentran errores en los registros. Si no se toma en cuenta la información de dicho año, se tiene que:

GIRO Supermercados qi 0.000661

PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 26,016 10 1.617No

rechazo 17.207 3.019

1999 34,431 26 0.572No

rechazo 22.773 0.457

2000 41,060 27 0.066No

rechazo 27.157 0.001

2001 42,172 31 0.494No

rechazo 27.893 0.346

2002 75,552 51 0.075No

rechazo 49.970 0.021

TOTAL 219,231 145

Q 3.844

Valor X2 7.815

=> No rechazo 20H

valor p 0.279

112

Se incrementa el valor estimado de la siniestralidad y se consigue aplicar la prueba 2 y no rechazar la hipótesis nula 2

0H con un valor p cercano a 0.3 por lo que la probabilidad de

error al no rechazar el modelo no es muy baja.

GIRO Telefonía qi 0.004175 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 111,747 494 1.249 No rechazo 1999 112,011 436 1.445 No rechazo 2000 159,462 672 0.221 No rechazo 2001 58,794 214 1.982 Rechazo 2002 60,748 286 2.004 Rechazo 2003 60,065 248 0.145 No rechazo

TOTAL 562,827 2,350 Para los años 2001 y 2002 se rechaza la consistencia de la información, no se detectan errores por lo que si no se toma en cuenta su información se tiene que:

GIRO Telefonía qi 0.004173 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 111,747 494 1.259No

rechazo 466.364 1.638

1999 112,011 436 1.435No

rechazo 467.465 2.118

2000 159,462 672 0.233No

rechazo 665.497 0.064

2003 60,065 248 0.138No

rechazo 250.675 0.029

TOTAL 443,285 1,850

Q 3.848

Valor X2 5.991

=> No rechazo 20H

valor p 0.146 Al eliminar la información de dos años y aplicar la prueba 2 no se rechaza el modelo, pero debido a la pérdida de grados de libertad al eliminar la información de 2 años, se obtiene un valor p bajo, lo que origina una probabilidad alta de error por no rechazar el modelo.

113

GIRO Textil, calzado qi 0.000559 PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 4,112 7 2.774 Rechazo

1999 12,267 4 0.899No

rechazo

2000 10,308 1 1.775No

rechazo

2001 5,014 7 2.211 Rechazo

2002 4,462 2 0.005No

rechazo

2003 3,219 1 0.222No

rechazo

TOTAL 39,382 22 A partir del resultado de la prueba 1 se revisa la información de los años 1998 y 2001, sin embargo no se detectan errores, si se decide no tomar en cuenta la información de dichos años se pierde la posibilidad de aplicar la prueba 2:

GIRO Textil, calzado qi 0.000264

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1999 12,267 4 0.872No

rechazo

2000 10,308 1 1.756No

rechazo

2002 4,462 2 0.025No

rechazo

2003 3,219 1 0.207No

rechazo

TOTAL 30,256 8

Como se observa el resultado de siniestralidad varía considerablemente al eliminar la información. Con base en la prueba 1 no se puede rechazar que la información de estos 4 años sea consistente con el nuevo resultado.

114

GIRO Transportes qi 0.001262

PRUEBA 1

Año Total

Asegurados nj


xj / f j z prueba

1998 16,223 27 1.332No

rechazo

1999 16,492 16 0.947No

rechazo

2000 19,936 22 0.531No

rechazo

2001 24,194 19 1.999 Rechazo

2002 15,612 22 0.405No

rechazo

2003 11,330 25 2.699 Rechazo

TOTAL 103,787 131

Se analizaron los años 2001 y 2003 en busca de la causa del resultado negativo de la prueba 1, no se detectan errores, si no se toman en cuenta estos años el resultado queda como:

GIRO Transportes qi 0.001274 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año Total

Asegurados nj



1998 16,223 27 1.229No

rechazo 20.676 1.934

1999 16,492 16 1.028No

rechazo 21.019 1.198

2000 19,936 22 0.626No

rechazo 25.408 0.457

2002 15,612 22 0.312No

rechazo 19.897 0.222

TOTAL 68,263 87 Q 3.812

Valor X2 5.991

=> No rechazo 20H

valor p 0.149 No se rechaza 2

0H , sin embargo la probabilidad de error al no rechazar el modelo es alta.

115

GIRO Universidades qi 0.002322 PRUEBA 1

Año

Total Asegurados

nj


xj / f j z prueba

1998 13,162 11 3.452 Rechazo

1999 34,835 65 1.712No

rechazo

2000 60,203 149 0.738No

rechazo

2001 41,905 113 1.543No

rechazo

2002 61,843 175 2.583 Rechazo

2003 62,403 124 1.696No

rechazo

TOTAL 274,351 637 La información de los años 1998 y 2002 arrojan un rechazo en la prueba 1, sin embargo no se detectan errores. Ahora, si no se toman en cuenta dichos años:

GIRO Universidades qi 0.002262 PRUEBA 1 PRUEBA 2

Año

Total Asegurados

nj



1999 34,835 65 1.501No

rechazo 78.811 2.420

2000 60,203 149 1.055No

rechazo 136.203 1.202

2001 41,905 113 1.819No

rechazo 94.806 3.492

2003 62,403 124 1.405No

rechazo 141.180 2.091

TOTAL 199,346 451

Q 9.205

Valor X2 5.991

=>Se rechaza 20H

La prueba 2 indica que se debe rechazar la hipótesis nula, por lo que se considera que los datos no son consistentes para generar un buen estimador, y el resultado no podrá ser tomado en cuenta.

116

Resultados finales 1. Ordenando descendentemente los giros según el valor p obtenido en las pruebas.

Giro Total

Asegurados Total de

siniestros q i Valor p

Asesoría y Consultoría 46,237 31 0.670 0.993 Papel 69,537 64 0.920 0.922 Bebidas 32,426 34 1.049 0.872 Minería metales 50,155 44 0.877 0.638 Entretenimiento 47,906 50 1.044 0.604 Hoteles 28,184 17 0.603 0.591 Gobiernos estatales 399,890 650 1.625 0.587 Finanzas 30,182 45 1.491 0.551 Manufactura eléctrica 97,043 66 0.680 0.508 Seguros 36,854 25 0.678 0.486 Automotriz 206,269 159 0.771 0.485 Ayuntamiento 71,798 225 3.134 0.406 Embotelladoras 59,855 50 0.835 0.364 Agricultura 20,769 43 2.070 0.340 Marinos, pilotos, mecánicos, choferes 18,847 33 1.751 0.336 Supermercado 219,231 145 0.661 0.279 Industria 46,804 16 0.342 0.278 Municipios 72,931 241 3.304 0.277 Cañeros 7,705 76 9.864 0.271 Gobierno - Servicios 31,154 76 2.439 0.261 Agentes 26,770 80 2.988 0.260 Manufactura metales 103,065 68 0.660 0.255 Aéreo 66,331 55 0.829 0.213 Médicos 27,106 32 1.181 0.207 Educación 52,292 66 1.262 0.205 Farmacéuticos 72,040 43 0.597 0.185 Alimentos 168,851 208 1.232 0.168 Seguridad 73,680 99 1.344 0.159 Construcción en Gral. 32,389 26 0.803 0.149 Transportes 68,263 87 1.274 0.149 Telefonía 443,285 1,850 4.173 0.146 Bancos 118,186 331 2.801 0.129 Manufactura durable 59,795 38 0.636 0.124 Gas 11,566 18 1.556 0.108 Maestros 293,047 382 1.304 0.108 Comunicaciones 44,039 35 0.795 0.099 Ingenio 17,248 22 1.276 0.073 Servicios 88,549 84 0.949 0.070

117

2. Ordenando descendentemente por número total de asegurados aquellos giros a los que sólo se les pudo aplicar la prueba 1 debido a la imposibilidad de formar mínimo 3 grupos de 5 o más casos de siniestros:

Giro Total

Asegurados Total de

siniestros q i

Manufactureras 28,622 8 0.280 Plásticos 18,244 9 0.493 Instituto 15,864 12 0.756 Comercio 15,314 9 0.588 Imprenta, editorial 12,699 9 0.709 Sistemas 12,235 4 0.327 Gobierno - Organizaciones 11,931 42 3.520 Minería petróleo 11,102 21 1.892 Gobierno - Institutos 10,352 10 0.966 Envases 9,361 10 1.068 Bienes raíces 9,274 13 1.402 Químicos 8,741 7 0.801 Refacciones 7,789 12 1.541 Pinturas 7,022 6 0.854 Bebidas alcohólicas 4,235 5 1.181 Aduanas 3,148 11 3.494 3. Los giros para los que se rechazó el modelo fueron:

Giro

Administración Electrónica

Policía, bomberos Universidades

Para estos casos, en los que no se cuenta con información íntegra, se puede utilizar información del mercado internacional, o en su caso realizar análisis más detallados para integrar la información en giros que por sus características puedan considerarse similares.

Consideraciones a los resultados Se debe tener presente que las tasas aquí obtenidas no representan necesariamente el comportamiento real del mercado asegurador, ya que la información se encuentra sesgada a la suscripción y selección de riesgos de una sola compañía aseguradora y a una interpretación personal para la clasificación de los giros aquí mostrados.

118

Propuesta general El estudio aquí realizado propone una nueva forma de ver el riesgo asegurable, las tasas conseguidas pueden considerarse como un ejemplo de lo que sería un nuevo modelo de tarificación en el que se incluyan además, factores como la distribución de sexo, las tasas de rotación que presente el grupo, la región, etc., todo esto realizado con información homogénea, suficiente y confiable, tal como lo establece el Estándar de Práctica Actuarial No. 1 como una de las prácticas que recomienda para la construcción de la prima de tarifa de los seguros de corto plazo. Otros estudios Existen estudios internacionales que pueden servir de apoyo para la tarificación del Seguro de Grupo. La principal fuente de información internacional son los estudios que realiza la Sociedad de Actuarios (SOA) con información de varias compañías, algunos de ellos son publicados en las colecciones “Transactions “y “Reports”, lamentablemente en México no han recibido la importancia merecida y son poco conocidos.

119

CONCLUSIONES El Seguro de Grupo en México tiene un gran reto por delante: reestructurar de lleno sus procedimientos normativos y técnicos. El mercado cada vez más se ve envuelto en una competencia que ha llevado a las compañías aseguradoras a incurrir en prácticas que ponen en riesgo su rentabilidad al acceder a condiciones solicitadas por clientes o agentes con el fin de “quedarse con el negocio” sacrificando la valoración correcta del riesgo. Algunas de las mencionadas prácticas se relacionan con el otorgamiento de dividendos, ya que se han otorgado a grupos cada vez más pequeños, además de que se han venido ofreciendo fórmulas elevadas de participación en las utilidades, que eliminan la posibilidad para las compañías de generar buenos márgenes de utilidad. Estos esquemas también pueden provocar el auto seguro en los grupos, ya que con tal de no ver disminuido su dividendo, crean fondos de los cuales se pagan los siniestros, con lo que no se cumple la finalidad del seguro de minimizar la variabilidad de los flujos de efectivo de los asegurados. Si nos remitimos al origen de los planes con participación en las utilidades, nos encontramos con tablas de mortalidad como la tabla en la que actualmente se basa el Seguro de Grupo, que incluye altos recargos y mezcla de la experiencia de grupos no homogéneos, obteniendo resultados que no se apegan a la siniestralidad real de los grupos asegurados, para lo cual se diseñaron esquemas en los que el contratante recibe de la compañía aseguradora el sobrante por mortalidad. Además, una forma de tarificar basada solo en tablas de mortalidad por edad no es coherente con los principios básicos del Seguro de Grupo, en el que se debe ver al grupo asegurado como un ente con características propias que van más allá de conjuntar las características particulares de los individuos que conforman la agrupación. Las tablas de mortalidad deben ser utilizadas cada vez menos como único elemento de tarificación, en su lugar deben utilizarse nuevos principios y procedimientos que reflejen de mejor manera las características de los grupos asegurables, como la distribución del genero de los participantes y su ocupación, el lugar y la región de trabajo, todo lo cual puede verse reflejado en una tarificación por giro que automáticamente ya incluye estos elementos. Aunado a la mejora de los procedimientos de obtención de costos, se deben establecer mejores y más adecuados criterios de selección que vayan de acuerdo con dichos procedimientos, así en la suscripción se deberán incluir todos los aspectos necesarios para la correcta valoración del riesgo de cada grupo asegurable, que entre otros pueden ser, actividades principales del grupo, tasa de rotación, reglas de suma asegurada, distribución de edades, de género, información de vigencias anteriores, etc. Se necesita un nuevo y mejorado reglamento que manifieste el apego a la práctica real de este seguro, sin que toque puntos que corresponden a las formas particulares de cada compañía para suscribir sus negocios, dejando en el reglamento solo aspectos contractuales del Seguro de Grupo.

120

Por todo lo anterior es que se debe tener una actualización constante de los principios y procedimientos actuariales que fundamentan el Seguro de Vida Grupo, ya que mientras no se realice dicha modernización se mantendrán y aumentarán las prácticas que han desvirtuado sus principios. Hay que tomar en cuenta que la actualización debe darse en los rangos más altos de regulación del Seguro para así llevar a todo el mercado asegurador por el mismo camino, ya que si no es así, las presiones competitivas del mercado pueden acabar con las buenas intenciones de unas pocas compañías que busquen una mejora global y una rentabilidad más adecuada al riesgo del Seguro de Grupo.

121

BIBLIOGRAFÍA Bluhm, William F, “Group Insurance”, 2da. Edición, Actex publications, 1996. Rendón, Jorge, “Normas y Políticas del Seguro de Vida”, 2da. Edición, México, 2003. Bowers, Newton, et al., “Actuarial Mathematics”, 2da edición, Society of Actuaries, 1997. Price, Ralph, “Group Life Insurance Manual”, GeneralCologne Re. Mendoza, Manuel, “Tablas de Mortalidad CNSF 2000-I y CNSF 2000-G”, Comisión Nacional de Seguros y Fianzas, 2000. McLean, Joseph, “El Seguro de Vida”, CECSA. Jones, Harriet, “Principios del Seguro de Vida, Salud y Rentas Vitalicias”, LOMA, 1998. Klugman, Stuart Henry, “Loss Models: From data to decisions”, Society of Actuaries, 1998. Freund, John E, “Estadística Matemática con Aplicaciones”, 4ta edición, Prentice Hall, 1990. Heinen, Winfried, “Aplicación de la Teoría de Credibilidad en el Seguro de Vida Grupo”, Kölnische Ruck. Fuerte, Charles. “Fundamental Concepts of Actuarial Science”, 2da. Edición, Prentice Hall, 1996. Transactions, “Occupation Study”, Society of Actuaries, 1967 Estándar de práctica actuarial No. 1, “Cálculo Actuarial para la Prima de Tarifa de los Seguros de Corto Plazo (Vida y no Vida)”, 2001. Estándar de práctica actuarial No. 2, “Cálculo Actuarial de la Reserva de Riesgos en Curso para los Seguros de Corto Plazo (Vida Y No-Vida)”, 2001.

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