fundamentos de cálculo lambda - pedro pinto · pedro pinto fundamentos de cálculo lambda....

IntroduçãoO Sistema

Definibilidade LambdaRedução

AplicaçõesSumário

Fundamentos de Cálculo Lambda

Pedro Pinto

Instituto Superior TécnicoUniversidade Técnica de Lisboa

Lisboa, 2 de Novembro de 2006

Pedro Pinto Fundamentos de Cálculo Lambda




Índice

Introdução

O SistemaAplicação e AbstracçãoAxiomáticaTeorema do Ponto Fixo

Definibilidade Lambda

Redução

Aplicações





Aplicação e AbstracçãoAxiomáticaTeorema do Ponto Fixo

Aplicação

FAF é o algoritmo aplicado ao input A.






Abstracção

Se M ≡ M[x ] é uma expressão que contem x , então λx .M[x ]exprime a função x 7→ M[x ].






Conversão β

O principal axioma do cálculo λ é:

(λx .M)N = M[x := N], ∀M,N ∈ Λ






Axiomas Lógicos e Regras

Igualdade:

M = N;M = N ⇒ N = M;

M = N, N = L ⇒ M = L;

Compatibilidade:

M = M ′ ⇒ MZ = M ′ZM = M ′ ⇒ ZM = ZM ′

M = M ′ ⇒ λx .M = λx .M ′






Axiomática

Se M = N é demonstrável, designa-se comoλ ` M = N ou abreviadamente M = N.Exemplo, (λy .yy)x = xx , entãoλ ` λx .x((λy .yy)x)x = λx .x(x x)x






Teorema do Ponto Fixo

Theorem

1. ∀F ∃X FX = X

2. Existe um determinador de pontos fixosY ≡ λf .(λx .f (x x))(λx .f (x x))tal que∃F F (YF ) = YF






Teorema do Ponto Fixo

Theorem

1. ∀F ∃X FX = X2. Existe um determinador de pontos fixos

Y ≡ λf .(λx .f (x x))(λx .f (x x))tal que∃F F (YF ) = YF






Demonstração do Teorema do Ponto Fixo

Proof.

1. Seja W ≡ λx .F (x x) e X ≡ WW . EntãoX ≡ WW ≡ (λx .F (x x))W = F (W W ) ≡ FX .

2. Por (1), temosYF = (λx .F (x x))(λx .F (x x)) ≡ X





Representação de Booleanos

Combinadores correspondentes a valores lógicos:I True ≡ λxy .xI False ≡ λxy .y





Representação de Expressões Condicionais

Combinadores correspondentes à construção de expressõescondicionais por: (If_Then_Else) ≡ λbxy .bxy .





Representação de Pares Ordenados e Projecções

Combinadores correspondentes à construção de paresordenados por: [_, _] ≡ λxyz.zxy , (_)0 ≡ λx .xTrue e(_)1 ≡ λx .xFalse.Assim temos as seguintes abreviaturas:

[M, N] ≡ [_, _]MN(M)0 ≡ (_)0M(M)1 ≡ (_)1M





Teorema de Church-Rosser

TheoremSe M β N1, M β N2, então existe um N3 tal que N1 β N3e N2 β N3.





Consequências do Teorema de Church-Rosser

1. O cálculo λ é consistente, i.e. λ 0 true = false.Senão true =β false, o que é impossivel, visto que true efalse são β-nf’s distintos.

2. Ω ≡ (λx .xx)(λx .xx) não tem β-nf.3. Para determinar a β-nf de um termo, as varias

subexpressões podem ser reduzidas por ordensdiferentes, se for encontrada uma β-nf, ela é única.







2. Ω ≡ (λx .xx)(λx .xx) não tem β-nf.

3. Para determinar a β-nf de um termo, as variassubexpressões podem ser reduzidas por ordensdiferentes, se for encontrada uma β-nf, ela é única.







2. Ω ≡ (λx .xx)(λx .xx) não tem β-nf.3. Para determinar a β-nf de um termo, as varias

subexpressões podem ser reduzidas por ordensdiferentes, se for encontrada uma β-nf, ela é única.





Teorema da Normalização

TheoremSe M tem uma forma normal, a redução em M do redex cujaabstração surja mais à esquerda, corresponde a essa formanormal.





Aplicações





Sumário

I O Cálculo-λ originou linguagens funcionais.I Vantagens de linguagens baseadas no Cálculo-λ

I Uma base matemática elegante.I Definição formal indepentente do arquitectura onde é

implementada.I Correspondência directa com objectos matemáticos.I Programas modulares.


fundamentos de cálculo lambda - pedro pinto · pedro pinto fundamentos de cálculo lambda....

Documents