funciones trigonomÉtricas inversas
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
La función es la inversa de si . Es muy común escribir la función inversa de f como . Así, la función inversa de se puede escribir como
. Esta función recibe el nombre de arcoseno y, también se puede escribir como .
Ejemplo 1.
Hallar el valor de x para el cual .
Para despejar una multiplicación en una igualdad se usa la división, esto es, la función inversa. De igual manera, para poder eliminar una tangente se requiere la función inversa de la tangente: .
Una forma simple de graficar las funciones inversas es invertir la tabulación. Por ejemplo, la función
10
-10
10
-10
1
La representación tabular de su función inversa es
10
-10
10
-10
1
Así, la variable independiente x toma valores en el intervalo [-1,1]. En la gráfica es fácil observar que para un valor de x hay más de un valor de f(x), por lo tanto, para manejarla como función se debe tomar solo una pequeña porción de los valores dado (en color rojo), esto es, un intervalo definido para el dominio y el contradominio.
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Ejemplo 2.
Buscar la representación gráfica de la función .
Se inicia con la representación tabular de la función inversa, la tangente. Se elige el
intervalo para obtener los valores entre asíntotas verticales que coincidan con
la ordenada al origen.
-1
0 0
1
La representación tabular de la función arcotangente, es
-1
0 0
1
lo cual lleva la siguiente gráfica. Es importante destacar que lo que fueron asíntotas verticales en la función tangente, son asíntotas horizontales en la función arcotangente.
Por lo tanto, si en la función tangente hay asíntotas verticales en , la función
arcotangente presenta asíntotas horizontales en . Esto implica, a su vez, que
y que .
-1.6
-1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
0.8
1.2
1.6
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Derivadas.
Sea . Para hallar su derivada se utiliza el concepto de la función inversa y el Teorema de Pitágoras. Como primer paso se elimina la función inversa para llegar a una expresión que se pueda derivar con las reglas conocidas hasta ahora.
Se derivan ambos lados de la igualdad
y se despeja la derivada de f, que es el resultado que se busca.
Sin embargo, es más conveniente expresar la derivada en términos de x, por lo tanto, se utiliza el Teorema de Pitágoras:
Del despeje inicial, se sabe que , entonces, . Esto se sustituye en la derivada.
Utilizando la regla de la cadena, se llega a que
.
Este camino se utiliza para encontrar las derivadas de todas las funciones trigonométricas inversas.
Ejemplo 3.
Derivar la función .
Dado que no se tiene la fórmula para resolver dicha derivada, el ejercicio comienza con la obtención de ésta.
pero se sabe que y también que . Por lo tanto,
Sustituyendo
y generalizando con la regla de la cadena
Ahora, se quiere hacer la derivada de . Utilizando la fórmula anterior,
Esto se obtuvo considerando que el argumento de la función arcosecante es 2x+4.
Ejemplo 4.
Derivar la función .
Se sabe que , por lo tanto,
.
Integrales.
Dado que el teorema fundamental del cálculo establece que la integral es la antiderivada, se puede llegar a las siguientes reglas de integración.
Ejemplo 5.
Resolver la integral .
Al comparar las integrales se establece que , y . Por lo tanto,
Ejemplo 6.
Resolver la integral .
Al comparar las integrales se establece que , y . Por lo tanto,
Ejemplo 7.
Resolver la integral .
Al comparar las integrales se establece que , y . Por lo tanto,