funciones r eales

Universidad Católica del Norte

Departamento de Matemática

Cecilia Alejandra Cabello Bugueño

1

4. FUNCIONES REALES 4.1 FUNCION CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor

para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:

donde a es la constante.

Si 𝑐 es una constante real, la función 𝑓: ℝ ⟶ ℝ definida por:

𝑓(𝑥) = 𝑐

Figura 4.1. Gráfica de la función constante, para 𝑐 = 4 𝑦 𝑐 = −4

𝑓(𝑥) = 4 y 𝑓(𝑥) = −4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

X

Y

Notemos que:

I. 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑓 = ℝ

II. 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑓 = {𝑐}




2

Ejemplo Nº26:

a. Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ definida por 𝑓(𝑥) = −1

2 . Luego su representación gráfica es:

Figura 4.2. Grafica de la función

𝑓(𝑥) = −1

2

-2 2

-2

2

x

y

b. Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ una función definida por 𝑓(𝑥) = 3. Luego, su representación gráfica es:

Figura 4.3. Representación Gráfica de

𝑓(𝑥) = 3

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Notemos que:

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {−1

2}

Notemos que:


𝑅𝑒𝑐𝑓 = {3}




3

FUNCIÓN CERO: (Caso particular de la función Constante 𝐜 = 𝟎 )

Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ una función. Se llama Función Cero a aquella función definida por 𝑓(𝑥) = 0, y su

representación gráfica es la siguiente:

Figura 4.4. Representación Grafica de la Función cero.

𝑓(𝑥) = 0

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Notemos que:

I. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ

II. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {0}




4

4.2 FUNCION IDENTIDAD

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo,

que devuelve su propio argumento.

Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ una función. Se llama Función identidad a aquella función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥, y

su representación gráfica es la siguiente:

Figura 4.5. Representación Gráfica de la Función Identidad.

𝑓(𝑥) = 𝑥

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Notemos que:


II. 𝑅𝑒𝑐𝑓 = ℝ




5

4.3 FUNCION VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en

cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y

de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes

contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede

generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados,

cuerpos o espacios vectoriales.

Sea 𝑓: ℝ ⟶ ℝ𝑜+ una función. La función valor absoluto es aquella función definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥| ,

tal que |𝑥| = {𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

. Su representación gráfica es la siguiente:

Figura 4.6. Representación grafica de la función valor absoluto.

𝑓(𝑥) = |𝑥|

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Notemos que:


II. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = [0,∞) 𝑜 ℝ0+




6

4.4 FUNCION EXPONENCIAL

Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , es una función real, esta es una función es una expresión cuya base es 2, y cuyo

exponente es la variable independiente 𝑥.

Veamos el comportamiento de esta función en el grafico.

Figura 4.6. Gráfico de la Función

𝑓(𝑥) = 2𝑥

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

X

Y

En general una función real de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 de base real 𝑎 > 0; distinta de 1, es

llamada Función Exponencial.

Notemos que:


II. 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ+




7

Para graficar la función exponencial bastará con construir la tabla de valores.

a. Figura 4.7. Gráfica de la Función Exponencial

𝑦 = 2𝑥

b. Figura 4.8. Gráfica de la Función Exponencial

𝑦 = −(2𝑥 )

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

y

𝑥 𝑦

−4 0,0625

−2 0,25

0 1

2 4

4 16

𝑥 𝑦

−4 −0.0625

−2 −0,25

0 −1

2 −4

4 −16

Si comparamos la gráfica de 𝑦 = 2𝑥 con 𝑦 = −(2𝑥 ), son funciones reflejas con respecto al eje 𝑥.

Además,𝑓(𝑥) = 2𝑥 es una función creciente mientras

𝑓(𝑥) = −(2𝑥 ) es una función decreciente.

Ahora bien, comparamos la gráfica de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 , ℎ(𝑥) = 5𝑥 , 𝑡(𝑥) = 15𝑥 , podemos

notar que a medida que la base 𝑎 crece, su grafica tiende a estar mas cerrada con el eje y.




8

Figura 4.9. Comparación de las graficas de las funciones.

𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = 3𝑥 , ℎ(𝑥) = 5𝑥 , 𝑡(𝑥) = 15𝑥 ,

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y




9

Gráfico de la función exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 , con 0 < 𝑎 < 1.

Ejemplo Nº 27:

Figura 4.10. Comparación gráfica de las funciones

𝑓(𝑥) = (1

2)

𝑥

𝑦 𝑓(𝑥) = (1

3)

𝑥

-2 2

-2

2

X

Y

𝑥 𝑦

−2 4

−1 2

0 1

1 0,5

2 0,25

𝑥 𝑦

−2 9

−1 3

0 1

1 0, 3̅

2 0, 1̅




10

Podemos concluir lo siguiente.

A. Si 𝑎 > 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje (𝑦) en el punto (0, 1).

2. Siempre es una función creciente, es decir, a medida que los valores de 𝑥 son grandes los

valores que toma y son grandes.

B. En general, si 0 < 𝑎 < 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje (𝑦) en el punto (0, 1).

2. Siempre es una función decreciente, es decir, a medida que los valores de 𝑥 son grandes los

valores que toma y son más cercanos a cero, pero nunca cero.

C. En general, para 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 se concluye:

1. El dominio de dicha función, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 son todos los números reales.


2. El recorrido de dicha función, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 son todos los números reales positivos.

𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ+

3. Si 𝑎 > 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es creciente.

4. Si 0 < 𝑎 < 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 es decreciente. Analicemos que ocurre con 𝑎 = 1.

Luego 𝑓(𝑥) = 1𝑥 . Recordemos, por las propiedades de las potencias 1𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.

Entonces 𝑓(𝑥) = 1𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ.




11

Figura 4.11. Gráfica de la Función Exponencial, como caso particular.

𝑓(𝑥) = 1𝑥

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

𝑥 𝑦

−2 1

−1 1

0 1

1 1

2 1

Por lo tanto, si 𝑎 = 1, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 = 1. Así, se trata de una función constante.




12

CASOS ESPECIALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Dentro del estudio de las funciones exponenciales existen dos casos de suma importancia,

aquellas funciones que tienen como base los números 𝑒 𝑦 10.

a. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 𝒆

Si 𝑎 = 𝑒, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 (𝑒 = 2,7182818)

Esta función, posee las mismas características que una función exponencial cuya base 𝑎 es mayor

a 1 (𝑎 > 1). Observemos su gráfica:

Figura 4.12. Gráfica del caso particular de la función

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

𝑥 𝑦

-2 0,05

-1 0,13

0 1

1 2,72




13

b. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10

Si 𝑎 = 10, entonces 𝑓(𝑥) = 10𝑥 . Esta función, posee las mismas características que una función

exponencial cuya base 𝑎 es mayor a 1 (𝑎 > 1). Observemos su gráfica:

Figura 4.13. Gráfica del caso particular de la función

𝑓(𝑥) = 10𝑥 .

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

.

𝑥 𝑦

-1 1/100

0 1

1 10




14

4.6 APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL

La función exponencial ayuda en la resolución de problemas matemáticos de situaciones reales.

Observemos algunos casos:

A. Aplicación a problemas físicos:

Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura final 𝑓(𝑡)de un objeto,

transcurrido 𝑡 minutos, está dada por la igualdad.

𝑓(𝑡) = 𝐴 − (𝐵 − 𝐴)10−𝑘·𝑡

Donde,

𝐴 es la temperatura del medio en que se encuentra el objeto.

𝐵 es la temperatura inicial del cuerpo.

𝐾es la constante de enfriamiento.

Si consideramos un caso hipotético, donde tenemos una temperatura inicial de cuerpo de 70℃ y

una constante de enfriamiento de 1

3 y es ubicado en un medio de 30℃ de temperatura. ¿Qué

temperatura tendrá transcurridos 7 segundos?

Reemplazando los valores en la fórmula:

𝑓(𝑡) = 30 − (70 − 30) · 10−13

·7

𝑓(𝑡) = 30 − 40 · 10−73

𝑓(𝑡) = 29,81℃

B. Aplicación a un problema de biología.

Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la relación

𝑁𝑡 = 𝑁0 · 𝑒𝑅·𝑡

Donde:

𝑁𝑡 es la población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse.

𝑁𝑡+1 es la población de bacterias producidas en un tiempo determinado.




15

𝑅 es el índice de crecimiento poblacional por bacteria.

𝑡 es el tiempo de cultivo.

Consideremos un cultivo con una población inicial de 100 bacterias con capacidad de reproducirse

y con un índice de crecimiento poblacional final de bacterias después de 10hrs.

Reemplazando los valores de la fórmula:

𝑁𝑡+1 = 100 · 𝑒8·10

𝑁𝑡+1 = 100 · 5,540622384 · 1034

𝑁𝑡+1 = 5,54062 · 1036 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠




16

4.3 FUNCION LOGARITMO

La función logaritmo, es la función inversa de la función exponencial, es decir, si 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥,

entonces su inversa es 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥.

Para poder estudiar la función logaritmo analizaremos su gráfica.

Si 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒙 con 𝒃 > 1

Figura 4.13. Comparación de las gráficas de las funciones

𝑓(𝑥) = log2 𝑥 y 𝑓(𝑥) = log3 𝑥

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y




17

𝑥 𝑦

1/2 -1

1 0

2 1

𝑥 𝑦

1/3 -1

1 0

3 1

En general, si su base 𝑏 es mayor a 1 (1, 0) ocurre que:

i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje 𝑥 en el punto (1, 0).

ii. La función es creciente para todo valor real de 𝑥.

Si 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒃𝒙 con 𝟎 < 𝒃 < 1

Figura 4.14. Comparación de las gráficas de las funciones

𝑓(𝑥) = log12

𝑥 𝑦 𝑓(𝑥) = log13

𝑥

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y




18

𝑥 𝑦 𝑥 𝑦

1/2 1 1/3 1

1 0 1 0

2 -1 3 -1

En general, si su base 𝑏 varía entre 0 𝑦 1 (0 < 𝑏 < 1) ocurre que:

i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje 𝑥 en el punto (1, 0).

ii. La función es decreciente para todo valor real de 𝑥.

Además, en ambos casos se cumple:

a) El dominio es el conjunto de los números reales positivos

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ+

b) El recorrido es el conjunto es el conjunto de los números reales

𝑅𝑒𝑐𝑓 = ℝ

c) Si 𝑏 > 1, la función es creciente.

d) SI 0 < 𝑏 < 1, la función es decreciente.




19

4.6 CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO

Dentro del estudio de las funciones logaritmos existen dos casos de suma importancia, aquellas

funciones que tienen como base los números 𝑒 𝑦 10.

a. Si 𝒃 = 𝒆

Si 𝑏 = 𝑒, entonces 𝑓(𝑥) = log𝑒 𝑥 = ln 𝑥. Que se lee logaritmo natural de 𝑥. Observemos su

gráfica:

Figura 4.15. Grafica de la función

𝑓(𝑥) = log𝑒 𝑥 = ln 𝑥.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

.

𝑥 𝑦

1/2 -0,69

1 1

2 0,69




20

b. Si 𝒃 = 𝟏𝟎

Si 𝑏 = 10, entonces 𝑓(𝑥) = log10 𝑥 = log𝑥. Observemos su gráfica:

Figura 4.16. Gráfica de la función.

𝑓(𝑥) = log10 𝑥 = log 𝑥.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

.

𝑥 𝑦

0,5 -0,30

1 0

2 0,30




21

4.7 Función Logarítmica Inversa de la Función Exponencial

Sea 𝑦 = 𝑏𝑥, una función exponencial, determinemos la función inversa de 𝑦 despejando la

variable 𝑥.

Sabemos que si 𝑦 = 𝑏𝑥, entonces:

𝑥 = log𝑏 𝑦

Luego, intercambiamos los pares (𝑥, 𝑦) por los (𝑦, 𝑥) de la función en la expresión 𝑥 = log𝑏 𝑦 ,

tenemos:

𝑦 = log𝑏 𝑥

Observemos sus gráficas

Figura 4.17. Gráfica de la función

𝑦= 𝑏𝑥 ∧ 𝑦 = log𝑏 𝑥, Si 𝑏 > 0,

(𝑏 = 3)

Figura 4.18. Gráfica de la función

𝑦 = 𝑏𝑥 ∧ 𝑦 = log𝑏 𝑥, Si 0 < 𝑏 < 1

(𝑏 = 1/2)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

, Si

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

En general, podemos observar que:




22

a) Son simétricas con respecto a la bisectriz de los cuadrantes I y III.

b) 𝐷𝑜𝑚 (log𝑏 𝑥) = 𝑅𝑒𝑐(𝑏𝑥)

c) 𝑅𝑒𝑐 (log𝑏 𝑥) = 𝐷𝑜𝑚(𝑏𝑥 )

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