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FUNCIONES

UNA FUNCION ES UNA RELACION ENTRE DOS MAGNITUDES X E Y TAL QUE

A CADA VALOR DE X LE CORRESPONDE UN UNICO VALOR DE Y

X: variable independienteY: variable dependiente

f(x)=y

1 43 2

5. 1

x y

-1 2

2 3

3 4

4 0

EJEMPLOS DE FUNCIONES

1 43 2

5 1

x y

-1 2

2 3

3 2

2 0

EJEMPLOS DE NO FUNCIONES

Notacion f(2)=4 : si x=2, entonces y=4

Ejemplos:f(x)=x+2 g(x)=x2-3 h(x)=-3xa) f(-2) = -2+2=0

b) 2·g(3)-h(0):g(3)= 32-3 = 6 h(0)= -3·0 = 0

2·g(3)-h(0) = 2·6-0 = 12

c) h( ? )= -3 · ?h( ! )= -3 · !h(x+1)= -3 · (x+1)

TEST VERTICAL SOBRE FUNCIONESPara averiguar si una grafica corresponde a una funcion podemos representar rectas verticales sobre la grafica. Si estas rectas cortan una sola vez, entonces la grafica correspondeáa una funcion, si corta mas de una vez, no es funcion

y

x

y

x

y

x

y

x

c sa

j

MONOTONIA: CRECIMIENTO / DECRECIMIENTOf(x) es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar los valores de x, aumentan tambien los de y.

f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar los valores de x, disminuyen los de y

f(x) es constante en un intervalo (a,b) cuando no crece ni decrece en ese intervalo

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DOMINIODom f, es el conjunto de valores que toma la variable independiente x

RANGO O RECORRIDO Rec f , es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJESEje x: y=0, (x,0)

Eje y: x=0, (0,y)

y

x

y

x

y

x Rec f

Dom f

y

x

MAXIMO RELATIVO: EL punto (a, f(a))es un maximo si en ese punto la funcionpasa de crecer a decrecer.( ES UN PICO

MINIMO RELATIVO: EL punto (b, f(b)) es un minimo si en ese punto la funcion pasa de decrecer a crecer. ES UN VALLE

y

x

Máx.

Mín.

a b

a b

a b

CALCULO DEL DOMINIO• Polinomios Dom f = R

• Cocientes f x =P(x)Q(x)

D=R– {x /Q(x)=0}

• Raices de indice imparf x =

np(x) ; D = R

• Raices de indice parf x =

np(x); D={x/p(x)≥0}

• Exponencialesf x =eg(x), D=Dg(x)

CARACTERI"STICAS DE LAS FUNCIONES

• Logaritmos:f x =Log(g x ), D={x/g(x)>0}

L

14ESP 14Eso

r

r r

I ll l

CURVATURA• CONCAVA: Si dados dos puntos

cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

• CONVEXA: Si dados dos puntos en la curva el segmento que los une queda por encima de la curva

PUNTOS DE INFLEXION: puntos en los que la curvatura pasa de concava a convexa o viceversa

FUNCION CONTINUAUna funcion es continua en un intervalo si no presenta saltos ni interrupciones se puede ( representar sin levantar el lapiz del papel). Los puntos donde una funcion no es continua se llaman puntos de discontinuidad.

y

a xFuncion discontinua en x=a

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y

x Funcion continua

SIMETRIA• SIMETRIA PAR. La funcion es simetrica

respecto al eje OY, f(x) = f(-x)

• SIMETRIA IMPAR. La funcion es simetricarespecto al origen de coordenadas,

f(x)= - f(-x)

Si una funcion no es par ni impar se dice que no es simetrica

y

x

y

x

TRUCO: GIRA 1800 EL GRAFICO RESPECTO AL ORIGEN Y SI TE QUEDA IGUAL, ES SIMETRICA IMPAR

TRUCO: SI AL DOBLAR LA GRAFICA POR EL EJE OY QUEDA LO MISMO, ES SIMETRICA PAR

y

x

y

x

y

x

l

7C 1r

o

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y

x

FUNCION DE PROPORCIONALIDADDEFINICION y =mx. m: pendiente de la rectaCARACTERISTICAS• Su grafica es una recta.• Domf = ℝ = Recf• Pasan por el origen de coordenadas (0,0).• Si m>0 la funcion es creciente• Si m<0, la funcion es decreciente.• No tiene maximos ni minimos relativos.• No es simetrica• Es continua

FUNCION CONSTANTEDEFINICION y =kCARACTERISTICAS• La pendiente es 0.• Su grafica es una recta paralela al eje x.• Domf = ℝ ; Recf={k}• Es continua• No tiene maximos ni minimos

FUNCION LINEALDEFINICION y =mx+n m: pendiente de la recta

n: ordenada en el origenCARACTERISTICAS• Su grafica es una recta• Es continua• Domf = ℝ = Recf• Pasa por el punto (0,n).• Si m>0, la funcion es creciente. Si m<0, es decreciente.• No tiene maximos ni minimos

y

x

y

x

y

x

m>0

m<0,

m>0

Calcula la funcion y = mxque pasa por el punto (-1,2).

Sustituimos los datos del punto en la funcion y calculamos m. 2=(-1)·m m=-2.Por lo que, y=-2x.Pendiente = -2 (decreciente).

Calcula la funcion constante que pasa por el punto (-1,2).Sustituimos los datos del punto en la funcion y calculamos k.

y=2. Por lo que, y= 2. Pendiente=0.

Calcula la funcion lineal que pasa por los puntos (-1,2) y (2,3).Sustituimos los datos de los puntos en la funcion y resolvemos el sistema que resulta para averiguar m y n.

"2 = m· −1 + n3 = m·2 + n

m=1/3, n=7/3.

Por lo que, f x = y =13 ·x +

73 =

x3 +

73.

Pendiente m=1/3, creciente.

FUNCIONES LINEALES

r

v

ri

A

lr

r

V

l li

7

i

1

DEFINICIONCARACTERISTICAS• Su grafica es una parabola• Si a>0, mira hacia arriba Ejemplo: f(x)= y = 2x2-4x Si a<0, mira hacia abajo Ejemplo: f(x)= y = -x2+2x-1

• Tiene un vertice en el punto V= xv,yv =(−b2a , yv). Calcula xv y despues sustituye en la funcion para

calcular yv

• Tiene un eje de simetria: la recta x=−b2a

• Puntos de corte con los ejes.

Eje x: y=0, ax2+bx+c=0. La ecuacion que se obtiene puede tener tres tipos de soluciones:ü 2 soluciones distintas, x=a, x=b Puntos de corte: (a,0), (b,0)

ü 2 soluciones iguales, x=a.Punto de corte: (a,0).

ü Ninguna solucion. No corta al eje x.

Eje y: x=0, (0,c)

• Es continua• Si a>0, tiene un minimo en el vertice y es convexa. Domf=ℝ, Recf=(yv ,+∞)• Si a<0, tiene un maximo en el vertice y es concava Domf=ℝ, Recf=(-∞, yv )

f x =ax2+bx+c

Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x.

2x2-4x=0; ! 2x=0, x=0x−4=0, x=4

, puntos de corte: 0,0 , (4,0)

Ejemplo: f(x)=y= -x2+2x-1. x2-2x+1=0;x=1 (doble), punto de corte (1,0)

Ejemplo: f(x)=y= x2+9. x2+9=0; no tiene soluciones reales.

Ejemplo: f(x)=y= 2x2-4x. x=0, y=0, punto de corte (0,0)f(x)=y= x2-2x+1. x=0, y=1, punto de corte (0,1)f(x)=y= x2+9. x=0, y=9, punto de corte (0,9).

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FUNCIONES CUADRATICAS

Ejemplo f(x)=y= 2x2 -4x. xv=−(−4)2· 2 =1, yv = 2· 12 −4·1=2−4 = −2. V(1,−2)

Ejemplo f(x)=y= -x2 +2x-1. xv=−2

2· −1 = 1, yv = − 12 +2·1−1=0. V(1,0)

Ejemplo f(x)=y= x2 +9. xv=0

2· 1 =0, yv = 02 +9=9. V(0,9)

Ejemplo: f(x)=y= 2x2 -4x. xv=−(−4)2· 2 =1, Eje de simetria: x=1

Ejemplo f(x)=y= -x2+2x-1. xv−2

2· −1 = 1, Eje de simetria: x=1

Ejemplo f(x)=y= x2+9. xv=0

2· 1 =0 Eje de simetria: x=0

l

e

e

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DEFINICIONCARACTERISTICAS• Su grafica es una hiperbola• Domf = ℝ\0 = Recf• Puntos de corte con los ejes.

Eje x: nunca corta al eje xEje y: nunca corta al eje y.

• Si k>0, decrece en su dominio. Es concava (-∞,0) y convexa (0, +∞)• Si k<0, crece en su dominioEs convexa (-∞,0) y concava (0, +∞)• Es simetrica impar.• No tiene maximos ni minimos relativos.

f x =k

x

DEFINICION f(x)=logx, g(x)=LnxCARACTERISTICAS• Domf = ℝ+ = (0,+∞)• Recf = ℝ• Puntos de corte con los ejes.

Eje x: (1,0)Eje y: nunca corta al eje y.

• Es una funcion creciente• Es continua• No tiene maximos ni minimos• Es concava en su dominio.• No es simetrica

FUNCIÓON LOGARÍTMICA

K >0K <0

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

r

i

11,0

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y

x

DEFINICION f(x)=ex

CARACTERÍSTICAS:• Domf = ℝ• Recf = ℝ+

• Puntos de corte con los ejes.Eje x: nunca corta al eje xEje y: (0,1).

• Es una funcion creciente• Es continua• No tiene maximos ni minimos• Es convexa en su dominio.• No es simetrica

FUNCIONES A TROZOS

Las funciones definidas a trozos se llaman de esta manera porque tienen una definicion diferente en cada tramo en el que estan definidas

f x =%3. si x<-2

x+1 si -2≤x<0

x2-1. si x≥0

3 x+1 x2-1

-2 0

Ahora debes estudiar las distintas características de las diferentes funciones, lineales, cuadraticas… y realizar su grafica segun los valores donde se encuentre esa funcion

(-∞,-2), [-2,0),

[0, +∞)

FUNCIÓON EXPONENCIAL

10,13

ejex

í y 3

YY 21