funciones, lÍmites y continuidad · 2º) las partes positivas (i.e. por encima del eje x) de f(x)...

FUNCIONES, LÍMITES y CONTINUIDAD

MATEMÁTICAS aplicadas a las CC.SS. II Alfonso González

IES Fernando de Mena Dpto. de Matemáticas

MATEMÁTICAS aplicadas a las CCSS II ALFONSO GONZÁLEZ

IES FERNANDO DE MENA

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I) CONCEPTO DE FUNCIÓN. DEFINICIONES

«Una función es una aplicación entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento –llamado x, o

variable independiente- del conjunto inicial le corresponde un único elemento a lo sumo –llamado imagen

de x, o f(x)- del conjunto final».

Ejemplo 1: La función f(x)=2x+3 (También se puede designar como y=2x+3) se puede representar, utilizando

diagramas de conjuntos o diagrama de Venn1:

Ahora bien, en la práctica, lo anterior se suele indicar más bien mediante tabla de valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 1/3 ....

f(x) -3 -1 1 3 5 7 11/3 ....

(NOTA: más adelante veremos que para esta función, por tratarse de una recta, basta con dar dos valores…)

Por ejemplo, se dice que la imagen de 2 a través de la función anterior es 7, y se designa como f(2)=7. La

imagen f(x) también se denota como y, y se llama variable dependiente; en el ejemplo anterior, se diría y=2x+3 ¡Muy importante!: Para que una función esté bien definida, un x no puede tener más de una imagen.

Como indicamos en la definición, x se llama variable independiente, mientras que y es la variable

dependiente (ya que, obviamente, depende de x).

f(x) se llama imagen de x, mientras que x se llama antiimagen de f(x). En el ejemplo anterior, la antiimagen de

y=5 sería x=1.

■ Dominio de definición de la función: «Es el conjunto formado por todos los x para los que existe imagen»;

se suele designar como Dom(f), o Domf(x), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Dom(f)=, como se

indica en el propio diagrama de conjuntos.

Imagen o Recorrido de la función: «Es el conjunto formado por todas las imágenes f(x) posibles que recorre

la función»; se puede designar como Im(f), o R(f), etc. En el ejemplo anterior sería, lógicamente, Im(f)=,

como también se indica en el diagrama.

1 Introducidos en 1880 por el matemático y filósofo británico John Venn (1834-1923)

-3

-2

-1

0

1

2

1/3

2

-3

-1

1

3

5

7

11/3

322

Dom(f)= Im(f)=

f(x)=2x+3

2

322

http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.es_CO




“La gráfica de una función f(x) está formada por los puntos (x,y) que

satisfacen la expresión y=f(x)”

Ejemplo 2: Construir al margen la gráfica de la función f(x)=x2 mediante

tabla de valores apropiada, e indicar su Dom(f) e Im(f).

x

f(x)=x2

Observaciones:

1º) Podemos obtener gráficamente el Dom(f) si nos desplazamos

imaginariamente de izquierda a derecha a lo largo del eje x y vamos

viendo -hacia arriba o hacia abajo- cuándo existe imagen, es decir,

cuándo hay gráfica.

De la misma forma, podemos obtener el Im(f) a partir de la gráfica si nos vamos desplazando

imaginariamente a lo largo del eje y de abajo a arriba y vamos viendo -a izquierda y derecha- cuándo

existe antiimagen(es), es decir, cuándo hay gráfica.

2º) El hecho de que un mismo x no pueda tener más de una imagen se traduce gráficamente en que «Toda

recta vertical que se desplace imaginariamente a lo largo de la gráfica sólo puede cortar a ésta a lo sumo

en un punto2».

Ejemplo 3: Dada f(x) x , se pide: a) Representarla gráficamente.

b) Deducir su Dom(f) e Im(f) a la vista de lo anterior.

x

f(x)=x

Dom(f)=

Im(f)=

Ejercicios final tema: 1

II) GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES MÁS

HABITUALES

II.1) FUNCIÓN CONSTANTE (y=K)

Su gráfica, lógicamente, es una recta horizontal, que corta al

eje vertical a la altura de k unidades (Ver ejemplos en figura

dcha.).

2 En cambio, una recta horizontal que se desplace imaginariamente por la gráfica puede cortar a ésta en varios puntos, lo

que corresponde al hecho de que un mismo f(x) puede tener varias antimágenes … (como ocurre en el ejemplo 2)





De forma parecida, x=K representa una recta vertical, la cual corta al eje x a la altura de k unidades; en el

gráfico anterior puede verse un par de ejemplos de este caso. ¿Qué ecuación tendrán entonces los ejes de

coordenadas?

II.2) FUNCIÓN AFÍN (y=mx+n)

La gráfica de una función de 1er

grado es siempre una recta. Ya vimos en el tema de Programación Lineal

que la forma más rápida de representarla es dar dos valores: x=0 e y=0, correspondientes a los cortes con los

ejes.

Ejemplo 4: Representar y 2x 3

y 2x 5

y 3x 5

sobre los mismos ejes.

x 0 1

y=2x+3 3 5

y=2x-5 -5 -3

y=-3x-5 -5 -8

Consecuencias:

1º) m (el coeficiente de las x) se llama pendiente, e indica la

inclinación de la recta:

m>0 recta CRECIENTE

m<0 recta DECRECIENTE

(Si m=0 -es decir, si la recta carece de término en x- significa que la recta y=n será horizontal, es decir,

constante, como vimos en el subapartado anterior)

2º) n (el tº indpte.) se llama ordenada en el origen, e indica dónde corta la recta al eje y

(Si n=0 -es decir, si la recta carece de tº indpte.- significa que la recta y=mx necesariamente pasará por el

origen; se llama función de proporcionalidad directa)

Por cada unidad que aumenta la x la y

disminuye 3 unidades m=-3

y 3 6m ... 3

x 1 2

y=-3x-5

x=2

y=-6

x=1

n=-5

FUNCIÓN CONSTANTE

m=0

y=2

2

y=2x+3

Por cada unidad que aumenta la x la y

aumenta 2 unidades m=2

y 2 4m ... 2

x 1 2

y=2

x=1

y=4

x=2

n=3

y=-3





Por lo tanto, en función del signo de m y n, existen 4 casos:


II.3) FUNCIÓN CUADRÁTICA (y=ax2+bx+c)

La gráfica de una función de 2o grado es siempre una parábola. Recordar de cursos anteriores que la

forma rápida de representarla es hallar los siguientes elementos:

1º) Vértice: Su abscisa viene dada por ; la ordenada yv se obtiene sustituyendo xv en la ecuación de

la parábola.

2º) Cortes con los ejes: El corte con el eje x se obtiene haciendo y=0, e decir, resolviendo la ecuación de 2º

grado asociada a la parábola; nótese que la parábola no tiene por qué cortar necesariamente a dicho eje.

El corte con el eje y se obtiene simplemente sustituyendo x=0 en la ecuación de la parábola. Siempre se va

acortar a dicho eje.

Observaciones:

1ª) El signo del coeficiente cuadrático, a,

nos indica la orientación de la parábola:

2ª) Las ramas de la parábola son simétricas respecto a

un eje vertical que pase por su vértice.

3ª) Caso particular: y=ax2

Aplicando todo lo anterior es trivial comprobar que la parábola y=ax2 pasa por el origen, el cual es a la vez

su vértice y su corte con los ejes (como puede verse en las dos gráficas adjuntas).

Ejemplo 5: Representar la parábola y=x2-4x+3

m>0 n>0

n

m>0 n<0

n

m<0 n>0

n

m<0 n<0

n

2a

bvx

a<0 a>0





Ejercicios final tema: 3, 4 y 5

II.4) FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Se representan sencillamente, dibujando cada rama en su intervalo de definición:

Ejemplo 6: Representar


II.5) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

En primer lugar, tenemos que recordar la definición de

valor absoluto de un número:

0xsix

0xsixx

Por lo tanto, su representación gráfica será la de la figura.

Conclusión: Pasos a seguir para representar |f(x)|:

1º) Representar f(x):

f(x) f(x)

y=-x y=x

1xsi1610xx

1x2si7

-2xsi5x

f(x)

2





2º) Las partes positivas (i.e. por encima del eje x) de f(x) se dejan igual, y las negativas se reflejan respecto al

eje x:

Por lo tanto, la clave a la hora de dibujar |f(x)| es ver cuándo se anula la función del interior del valor

absoluto -es decir, f(x)-, y reflejarla en los intervalos convenientes.

Nótese que |f(x)| siempre estará por encima del eje x, es decir, será siempre positiva, y que todo gira en

torno a en qué puntos se anula la función que figura dentro del valor absoluto, esto es, f(x). Véanse los

siguientes ejemplos:

Ejemplo 6: Representar la función f(x)=|2x-4| y obtener su expresión analítica

como función definida por ramas.

Ejemplo 7: Representar la función f(x)=|x2-x-6| y obtener su expresión analítica

como función definida por ramas.

f(x) f(x)

f(x)

f(x)

f(x)





NOTA: En el anexo final se puede ver una serie de ejemplos de gráficas representativas.


III) IDEA INTUITIVA DE

Ejemplo 8: Estudiar el comportamiento de la función

en las proximidades de x=1, completando las siguientes tablas (mediante calculadora), y explicar gráficamente

la situación:

En la práctica, los límites no se suelen calcular de esta forma, sino operando:

En definitiva, vemos que cuando las x se acercan a 1- (1ª tabla), las imágenes correspondientes tienden a 2,

mientras que cuando las x se acercan a 1+ (2ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 2. Y todo ello es

independiente de que, exactamente en x=1, la función vale 2.

Observaciones:

1º Para que exista límite han de coincidir los límites laterales (o, dicho al revés, si no coinciden los límites

laterales, entonces el límite no existe).

2º A efectos de , no hay que tener en cuenta lo que ocurre exactamente en x=a, sino en las

proximidades; de hecho, hay casos en los que en un punto no existe imagen pero sí límite (como en el

ejemplo que veremos a continuación), y esta es precisamente la utilidad del concepto de límite.

3º De todos modos, normalmente existen límite e imagen, y ambos coinciden, como en el ejemplo que

acabamos de ver.

Ejemplo 9: Dada a) Obtener numéricamente, completando (mediante

calculadora) las tablas que figuran a continuación.

b) Obtener analíticamente dicho límite.

c) Explicar gráficamente la situación.

GR

ÁF

ICA

ME

NT

E

NU

MÉ

RIC

AM

EN

TE

x1- 0,9 0,99 0,999…

f(x)

x1+ 1,1 1,01 1,001…

f(x)

AN

AL

ÍTIC

AM

EN

TE

Lf(x)limax

1xsi2x

1xsi1xf(x)

2

2

f(x)lim

1x

f(x)lim1x

2f(x)lim

22xlimf(x)lim

21xlimf(x)lim

1x2

1x1x

2

1x1x -

2xsi1 x

2xsi1xf(x)

2

→x alimf(x)

f(x)lim2x

x 1lim f(x)





a) b)

c)

Es decir, cuando las x se acercan a 2- (1ª tabla), las imágenes correspondientes tienden a 3, mientras que

cuando las x se acercan a 2+ (2ª tabla) las imágenes correspondientes tienden a 3. En este caso, la función no

está definida justo en x=2, pero ello no impide que exista límite. Recordar: a efectos del límite, no hay que

fijarse en lo que hace la función exactamente en el punto, sino en sus proximidades. Ejemplo 10: Dada a) Obtener analíticamente

b) Explicar gráficamente la situación.

a) b)

Vemos que existe límite en x=0, pues los límites laterales coinciden en dicho punto, y dicho límite vale 0. Ahora

bien, la imagen en x=0 es distinta del límite, es decir, en este caso el límite no coincide con la imagen, pero ello

no impide que exista límite. Recordar: a efectos del límite, no hay que fijarse en lo que la función hace

exactamente en el punto, sino en sus proximidades.

Veamos por último un sencillo ejemplo de función en el que no hay límite:

Ejemplo 11: Dada se pide: a) Representarla. b) Hallar a) b)

x2- 1,9 1,99 1,999…

f(x)

x2+ 2,1 2,01 2,001…

f(x)

f(x)lim

2x

f(x)lim

2x

x 2limf(x)

0 xsi 1

0 xsi 1-)x(f f(x)lim

0x

f(x)lim 1 1 limf(x)lim

1(-1) limf(x)lim

0x

0x0x

0x0x

f(x)lim0x

0xsi x

0xsi1

0xsix

f(x)

2





En este caso, al acercarnos a x=0- por la rama izquierda (flecha izda.), las imágenes tienden exactamente a -1

(aunque precisamente en x=0 no tengan el valor esperado, sino 1; de nuevo, téngase en cuenta que a efectos

del límite no hay que tener en cuenta lo que hace la función exactamente en el punto sino en sus

proximidades…), mientras que al acercarnos a x=0+ por la rama derecha (flecha dcha.), las imágenes tienden

exactamente a 1. Por lo tanto, como no coinciden los límites laterales, el límite global no existe.

Conclusión: A efectos gráficos,

Si los límites laterales coinciden, entonces las dos ramas "enganchan" (CONTINUA)

" " " " NO " " la f(x) presenta en dicho punto un SALTO DE DISCONTINUIDAD

Podríamos ver más ejemplos, pero todos ellos se resumirían en alguno de los 4 casos del siguiente esquema

(que corresponden, respectivamente, a los cuatro ejemplos anteriores); va a existir límite cuando xa sólo en

los tres primeros supuestos:

Propiedades de los límites:

1) es decir, «El límite de la suma (diferencia) es la suma (diferencia) de los límites».

2) es decir, «El límite del producto es el producto de los límites».

3) (siempre y cuando lim g(x)0)

4) es decir, «El límite de una constante es igual a dicha constante» 5) es decir, «Las constantes multiplicativas pueden salir (o entrar) en el límite».

6) Límite de una potencia: Ejemplo:

7) Límite de una raíz:

a

f(a) f(x)

f(a)f(x)lim ax

(Ejemplo 8)

a

f(x)

f(a)

][

f(x)lim

f(a) aunque

ax

(Ejemplo 11)

a

L f(x)

f(a)Lf(x)lim ax

f(a)

(Ejemplo 10)

a

L f(x)

][

Lf(x)lim

f(a) aunque

ax

(Ejemplo 9)

g(x) limf(x) limg(x)f(x) lim

g(x) iml f(x) limg(x) f(x) lim

··

g(x) lim

f(x) lim

g(x)

f(x) lim

kk lim

f(x) lim k)x(f k lim

··

g(x) l img(x)

f(x)] [lim [f(x)] lim

nn

f(x) limf(x) lim

x

xlim 2 2





Ejercicios final tema: 8 (gráficamente), 9 y 10 (analíticamente)

IV) CONTINUIDAD

Intuitivamente, una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

■ Más formalmente, se define función continua en un punto de la siguiente forma:

Es decir: “Una función es continua en un punto si el límite

coincide con la imagen en dicho punto”.

A efectos prácticos, para estudiar si una función es continua en un punto, hay que comprobar:

1) que exista imagen

2) que exista límite

3) y que ambos coincidan (En caso de no ser continua en un punto, se dice que es discontinua).

■ Por extensión, diremos que una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de

dicho intervalo.

Vamos a recordar de nuevo el esquema-resumen visto en el apartado anterior, e investigar en cada uno de los

cuatro casos si la función es continua en x=a, para lo cual aplicaremos los tres requisitos de la continuidad

arriba mencionados; observamos que la función es continua en x=a sólo en el primer supuesto:

Nótese que en el último caso la función es discontinua, independientemente de que exista o no imagen.

a

f(a) f(x)

f(a)f(x)lim ax

f(x) CONTINUA en x=a

a

f(x)

f(a)

f(x)lim ax

f(x) DISCONTINUA en x=a

a

L f(x)

f(a)Lf(x)lim ax

f(a)


a

L f(x)

Lf(x)lim

f(a)

ax


f(a)f(x) ax

lim a xen continua f(x)





Ejemplo 12: Dada a) Estudiar su continuidad.

b) Representarla gráficamente.

Ejemplo 13: Dada a) Estudiar su continuidad.

b) Representarla gráficamente.

-1xsi52xx-

-1xsi54x xf(x)

2

2

)(1,xsi2 x

,1](-xsi52xxf(x)

2





Ejercicio EVAU:

■ jun 2011 3B (gráfica función a trozos + lim laterales)

■ jun 2018 3B; jul 2018 3A; 3B jun 2017; 3B sept 2017; jun 2016 3B; sept 2016 3A; jun 2015 3A; sept 2014 3A;

sept 2013 3A; jun 2012 4B (gráfica función a trozos + continuidad, con parámetro)

■ sept 2011 3B (gráfica función a trozos, con VAL. ABS. + continuidad)

■ sept 2015 3B; jun 2014 3B; jun 2013 3A; sept 2012 4A (gráfica función a trozos, con VAL. ABS. + continuidad,

con parámetro)

■ jun 2009 3A; sept 2009 3A; jun 2008 3A; sept 2008 3A; jun 2007 3A; sept 2007 3A; jun 2006 3A; sept 2006 3A;

jun 2005 3A (+ VAL. ABS.); sept 2005 3A; jun 2004 3A; sept 2004 3A (gráfica función a

trozos+continuidad+área) Desde el año 2009 en la EVAU de Castilla-La Mancha no se exige el cálculo de

áreas, es decir, no es necesario el cálculo de integrales.

Ejercicios final tema: 11 a 14 (estudiar continuidad de funciones a trozos); 15 a 19 (ídem, con parámetros)


funciones, lÍmites y continuidad · 2º) las partes positivas (i.e. por encima del eje x) de f(x)...

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