Funciones elementales.

Ejercicio nº 1.-

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

23

2a)

x

xy

2

1 b)

xy

Solución:

3Dominio303 a)2

Rxx

,2Dominio202b) xx

Ejercicio nº 2.-

A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición:

a) b)

Solución:

1Dominio a) R

,0Dominio b)

Ejercicio nº 3.-

De un cuadrado de lado 10 cm se recorta una tira de x cm en la base y otra de la misma

: )(10 lado de cuadrado nuevo un seobteniéndo altura, la en longitud x

El área de este nuevo cuadrado será:

210 xA

¿Cuál es el dominio de definición de esta función?

Solución:

.,x 100 Dominio tanto, Por cm. 10 y 0 entre valores tener puede

Ejercicio nº 4.-

Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

xy3

2 a)

32b) 2 xy

0,753,5c) xy

4d) 2 xy

I) II)

III) IV)

Solución:

a) III

b) I

c) II

d) IV

Ejercicio nº 5.-

Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

4

1a)

xy

2 b) xy

41

c) x

y

xy 2d)

I) II)

III) IV)

Solución:

a) III

b) II

c) I

d) IV

Ejercicio nº 6.-

Asocia a cada una de las siguientes gráficas su correspondiente ecuación:

12a) xy

12b) xy

1c) 2 xlogy

xlogy 21d)

I) II)

III) IV)

Solución:

a IV

b II

c III

d I

Ejercicio nº 7.-

Halla el valor de las siguientes expresiones en grados:

2

1a) arcseny

1b) arccosy

Solución:

30a) y

0b) y

Ejercicio nº 8.-

Representa la gráfica de la siguiente función:

1

5

3

xy

Solución:

Ejercicio nº 9.-

. 3,2 y43,puntos los por pasa que recta la de ecuación la Escribe

Solución:

La pendiente de la recta es:

5

7

5

7

32

43

m

La ecuación será:

5

1

5

7

5

1

5

74

5

21

5

743

5

7

xy

xxxy

Ejercicio nº 10.-

Representa gráficamente la siguiente función:

xxxf 42 2

Solución:

El vértice de la parábola es:

2,1 Punto214

4

2

y

a

bx

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X y = 0 –2x 2 + 4x = 0 x(–2x + 4) = 0

0,2 Punto2042

0,0 Punto0

xx

x

Con el eje Y x = 0 y = 0 Punto (0,0)

Hallamos algún otro punto:

La gráfica es:

Ejercicio nº 11.-

1

2

1tegráficamen Representa

x

y

.

Solución:

Hacemos una tabla de valores: La gráfica es:

Ejercicio nº 12.-

Dibuja la gráfica de la función:

1si

1si/21

2 xx

xxy

Solución: La gráfica es:

recta. de trozo un es ,1 Si x

parábola. de trozo un es ,1 Si x

Ejercicio nº 13.-

Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una

pared:

a Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?

b Construye la función que nos da el área del recinto.

x

200 m

Solución:

a)

x x

200 2x

222002200Áreab) xxxx

Ejercicio nº 14.-

La siguiente gráfica es la de y = f(x).

Representa, a partir de ella, las funciones:

1a) xfy 1b) xfy

Solución:

a) b)

(La gráfica de f(x) no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente

la transformación).

Ejercicio nº 15.-

. xfyxfy de gráfica la representa izquierda, la de la esde gráfica la que Sabiendo

Solución:

Ejercicio nº 16.-

.

3 1

a) Obtén la expresión analítica, en intervalos, de la función2

xy

Solución:

3

1si

2

13

3

1si

2

13

xx

xx

y

b) Representa a función y = |x – 5| e comproba que a súa expresión analíticaen intervalos

é:

Ejercicio nº 17

La cantidad Q(t) que queda de una sustancia radiactiva al cabo de t días viene expresada

por la ley:

t1,0

0 eQ)t(Q

siendo Q0 la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo transcurrido en días desde el

principio. Se pide:

a) ¿Al cabo de cuánto tiempo, la masa inicial se ha reducido a la mitad? b) Si la masa inicial Q0 es de 27 mg ¿cuánta sustancia quedará al cabo de 10 días? c) Representa en este caso de forma aproximada la función Q(t).

Solución

a) Se trata de resolver la ecuación:

2

1eeQ

2

Q

2

Q)t(Q t1,0t1,0

0

00

Tomando logaritmos neperianos, se tiene:

días 7...93,61,0

)2(Lnt)2/1(Lnt1,0

b) Se trata de calcular 27Q sabiendo )10(Q 0 por tanto:

mg 10...93,9e27)10(Q 101,0

c) Se trata de representar la función: t1,0

t1,0

e

27e27)t(Q

que se corresponde con la de una función exponencial de base menor que 1 y que pasa

por el punto (0,27) (punto de arranque).

Ejercicio nº 18

Un fabricante quiere construir cajas prismáticas de base cuadrada, cuyo volumen debe

ser 10 litros. Expresa la altura de la caja en función de su lado básico x, y la función S(x)

que permite calcular la superficie total de esas cajas en función de su lado básico.

Solución

Consideremos una de las cajas de altura h y lado básico x en dm.

-. Como el volumen del prisma es 10 dm3, se tiene:

10xhxhV 22

por tanto la altura viene dada por:

2x

10h

-. La superficie total S en dm2 es la suma de las dos caras básicas y las cuatro laterales,

por tanto:

xx

104x2xh4x2)x(S

2

22

operando la función obtenida es:

x

40x2)x(S

3

Ejercicio nº 19

Una población de insectos crece con arreglo a la ley:

xe21y

donde y es el número de miles de insectos y x el tiempo en meses desde el momento

presente. Haz una gráfica de la función de crecimiento. ¿En cuánto tiempo se duplicará

la población inicial?

Solución:

-. Se trata de representar la función:

xe21y

formamos para ello una tabla de valores aproximados:

que representados dan lugar a la gráfica adjunta.

Se trata de hallar x, cuando y = 6 mil insectos

9,0)2

5(Lnx

2

5ee216 xx

Ejercicio nº 20

La población de una granja avícola crece de forma exponencial de 1 000 a 1 300

individuos en un mes.

-. La población inicial es 3e21y 0

0 miles de insectos

a) Halla la función P(x) que expresa la población en función del tiempo x en meses. b) Calcula el número de aves que habrá en la granja al cabo de un año.

Solución

a) La función que expresa la población de aves de la granja es de la forma: kx

0 aP)x(P

siendo x el tiempo en meses, Po = 1000 la población inicial de aves; a > 0 y kÎR

Sabemos que:

3,1aa100013001300)1(P kk

por tanto la función de población es:

xxxkx 3,11000a1000a1000)x(P

es decir:

x3,11000)x(P

b) Al cabo de un año el número de aves de la granja, será:

aves 232983,11000)12(P 12 b) b)

Ejercicio nº 21

Calcula las funciones inversas de las siguientes funciones:

a) 2x

1xy

b) 1xe43y

Solución

a) Función inversa de:2x

1xy

1y

1y2x1y21yx

1y2xxy1xy2xy1x2xy2x

1xy

2x

1xy

2

222

222222

La función inversa es:

1x

1x2y

2

2

a) Análogamente de.

4

y3log1x

4

y3log1x

4

y3ee43y 1x1x

La función inversa es:

4

x3log1y

Actividades:

Exercicio nº 1.-

Indaga cál é o dominio de definición das seguintes funcións:

Exercicio nº 2.-

Observando a gráfica destas funcións, indica cál é o seu dominio de definición:

a) b)

Exercicio nº 3.-

Indica o dominio de definición destas funcións:

23

1 a)

xxy

1 b) 2 xy

Exercicio nº 4.-

Asocia cada unha destas gráficas coa súa correspondente ecuación:

I) II) III) IV)

Exercicio nº 5.-

Asocia cada ecuación coa súa correspondente gráfica:

I) II)

xy3

2 a)

32b) 2 xy

0,753,5c) xy

4d) 2 xy

2

1a)

xy

1b) xy

2

1c)

xy

xy 1d)

III) IV)

Exercicio nº 6.-

Asocia cada gráfica coa súa correspondente ecuación:

I) II)

III) IV)

23a) xy 23b) xy 2c) 3 xlogy xlogy 3d)

Exercicio nº 7.-

Representa as seguintes parábolas logo de determinar o vértice, os puntos

de corte cos eixes de coordenadas e mais algún punto próximo ao vértice:

Exercicio nº 8.-

a) Representa graficamente a seguinte función:

b) Escribe a ecuación da recta a gráfica da cal é a seguinte:

Exercicio nº 9.-

Representa f (x) = 4 – x2 e, a partir dela, representa:

Exercicio nº 10.-

Representa as seguintes funcións e defíneas por intervalos:

4

32

xy

Exercicio nº 11.-

Representa graficamente a seguinte función:

Exercicio nº 12.-

O perímetro dun rectángulo é de 30 cm. Obtén a función que nos dea a área do

rectángulo en función da lonxitude da base. Representa a gráfica

Exercicio nº 13.-

A seguinte gráfica é a de y = f(x).

Representa, a partir dela, as funcións:

Exercicio nº 14.-

2se3

2se12

x

xxy

1a) xfy 1b) xfy

. xfyxfy de gráfica arepresenta esquerda, da a éde gráfica a que Sabendo

Exercicio nº 15.-

Expresa como función "a anacos":

Exercicio nº 16.-

Exercicio nº 17.-

Dadas as funcións:

Explica cómo, a partir delas, se poden obter por composición estas outras:

Exercicio nº 18.-

Esta gráfica corresponde á función y = f (x):

2

1

xy

:atopa1e4

23:funcións seguintes as Dadas 2 ,

xxg

xxf

xgf a)

xgg b)

1e2

2

xxgx

xf

122

1 2

x

xqx

xp

A partir dela:

.

Exercicio nº 19.-

Atopa a inversa das seguintes funcións e reprenta no mesmo eixo a función e a súa

inversa:

4 2 x y

Ejercicio nº 20.-

Considera la siguiente gráfica y responde:

a) ¿Cuál de estas es su expresión analítica?

xsenyxcosyxcosyxseny 3333

b) ¿Cuál es su dominio de definición?

c) ¿Es una función continua?

d) ¿Es periódica? ¿Cuál es su periodo?

e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?

.0e2Calculaa) 11 ff

xf 1 función a eixes, mesmos nos ,Representab)

3

72 xxf

Solución:

a) y= 3 - cos x

b) Dominio = R

c) Sí, es continua.

d) Es periódica de período 2, pues la gráfica se repite cada 2 unidad.

e) Los valores de la función están entre 2 y 4.

Ejercicio nº 21.-

Atopa o tipo de cada unha das seguintes funcións e calcula a súa fórmula

Ejercicio nº 22.-

Consideramos la gráfica:

a) Halla la expresión analítica de la función exponencial correspondiente.

b) ¿Cuál es el dominio de dicha función?

c) Estudia la continuidad y el crecimiento.

Solución:

a) Es una función exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4)... Su

expresión analítica es y 4x.

b) Dominio R

c) Es una función continua y creciente.

Ejercicio nº 23.-

Dibuja la gráfica de:

y = 1 - log2 x

Solución:

Dominio ( 0, )

La gráfica será:

Ejercicio nº 24.-

Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3 anual.

a) ¿Cuánto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un año? ¿Y dentro de 4 años?

b) Halla la expresión analítica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la

cuenta en función del tiempo transcurrido (en años).

Solución:

a) Dentro de un año tendremos: 2 000 · 1,03 2 060 euros

Dentro de cuatro años tendremos: 2 000 · 1,034 2 251,02 euros

b) Dentro de x años tendremos y euros, siendo:

y 2 000 · 1,03x

Ejercicio nº25.-

:calcula, y12 funciones las Dadas 2 xxgxxf

xgf a)

xfg b)

Solución:

1212a)2

xxxfxgfxgf

1212b) 22 xxgxfgxfg

Ejercicio nº 26.-

Explica cómo se pueden obtener por composición las funciones p(x) y q(x) a partir de

f(x) y g(x), siendo:

52y322,23,2 xxqxxpxxgxxf

Solución:

xfgxqxgfxp

Ejercicio nº27.-

Ejercicio nº 28.-

a) ¿Cuál de estas expresiones analíticas le corresponde?

x tgyxcos yx senyx seny 2222

b) ¿Cuál es su dominio de definición?

c) ¿Es una función continua?

d) ¿Cuál es su periodo?

e) ¿Qué valores mínimo y máximo alcanza?

a) Di cuál de estas expresiones analíticas le corresponde:

x senyxcos yx senyxcos y 22

b) Di cuál es su dominio de definición, cuál es su periodo y qué

valores mínimo y máximo alcanza.

i) Considera la siguiente gráfica:

Ii ) A la siguiente gráfica le corresponde una de estas expresiones analíticas. ¿Cuál?

x senyxcos yx tgy

xtgyx tgyx tgy

22

b) Di para qué valores está definida la función anterior, cuál es su periodo y estudia su

continuidad.

Ejercicio nº 29.-

Considera la siguiente gráfica de una funcion logaritmica:

a) Escribe la expresión analítica de la función correspondiente.

b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la función e indica cuál es su dominio de

definición.

Ejercicio nº 30.-

Una población que tenía inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12

cada año.

a) ¿Cuántos individuos habrá dentro de un año? ¿Y dentro de 3 años?

b) Halla la función que nos da el número de individuos según los años transcurridos.

Ejercicio nº 31.-

Ejercicio nº 32

Halla la inversa de las siguientes funciónes :

2 7 2x 7

3 3x - 5

xf x f x

Comprobar el resultado haciendo la composición de cada función con su inversa.

Ejercicio nº 33

Representa graficamente as seguintes funcións:

Ejercicio nº 34

Ejercicio nº 35

Representa as seguintes funcións utilizando o procedemento do problema anterior.

Ejercicio nº 36

Ejercicio nº 37

Ejercicio nº 38

Ejercicio nº 39

Ejercicio nº 40

Ejercicio nº 41

Ejercicio nº 42

Ejercicio nº 43