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Funciones de valores vectoriales

En este capítulo Una curva en el plano así como una curva C en el espacio tridimensional pue-den definirse mediante ecuaciones paramétricas. Al emplear las funciones como componentesen un conjunto de ecuaciones paramétricas, podemos construir una función de valores vectoria-les cuyos valores son los vectores de posición de los puntos sobre la curva C. En este capítuloconsideraremos el cálculo y las aplicaciones de estas funciones vectoriales.

655

12.1 Funciones vectoriales

12.2 Cálculo de funciones vectoriales

12.3 Movimiento sobre una curva

12.4 Curvatura y aceleración

Revisión del capítulo 12

Capítulo 12

y

C

z

x

r (t0) �

(x (t0), y (t

0), z (t

0))

x (t0), y (t

0), z (t

0)

12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 655

12.1 Funciones vectorialesIntroducción Vimos en la sección 10.2 que una curva C en el plano xy puede parametrizar-

se mediante dos ecuaciones

(1)

En ciencias e ingeniería muchas veces es conveniente introducir un vector r con las funciones f

y g como componentes:

(2)

donde y En esta sección se estudian los análogos de (1) y (2) en tres dimen-

siones.

Funciones de valores vectoriales Una curva C en el espacio tridimensional, o una curva

espacial, se parametriza mediante tres ecuaciones

(3)

Como en la sección 10.2, la orientación de C corresponde a valores crecientes del parámetro t.

Al emplear las funciones en (3) como componentes, la contraparte en el espacio tridimensional

de (2) es

(4)

donde j = 80, 1, 09 y Afirmamos que r en (2) y (4) es una función de

valores vectoriales, o simplemente una función vectorial. Como se ilustra en la FIGURA 12.1.1,

para un número dado t0, el vector r(t0) es el vector de posición de un punto P sobre la curva C.

En otras palabras, cuando varía t, podemos prever la curva C como si fuera trazada por la punta

de flecha móvil de

Rectas Ya se dio un ejemplo de ecuaciones paramétricas así como la función vectorial de

una curva espacial en la sección 11.5 donde analizamos la recta en el espacio tridimensional.

Recuerde, las ecuaciones paramétricas de una recta L que pasa por un punto en el

espacio y es paralela a un vector son

Estas ecuaciones resultan del hecho de que los vectores y v son paralelos de modo que

es un múltiplo escalar de v, esto es, . En consecuencia, una función vectorial

de la recta L está dada por La última ecuación se expresa en las formas alternas

y

Si y son los vectores de posición de dos puntos distintos P0 y P1,

entonces podemos considerar Una función vectorial

de la recta que pasa por los dos puntos es o

(5)

r(t) � r0 � t(r1 � r0)

� 8x1 � x0, y1 � y0, z1 � z09.v � r1 � r0

r1 � 8x1, y1, z19r0 � 8x0, y0, z09

r(t) � (x0 � at)i � (y0 � bt) j � (z0 � ct) k.

r(t) � 8x0 � at, y0 � bt, z0 � ct9

r(t) � r0 � tv.

r � r0 � tvr � r0

r � r0

x � x0 � at, y � y0 � bt, z � z0 � ct, �q 6 t 6 q.

v � 8a, b, c9, v � 0,

P0(x0, y0, z0)

y

C

x

r (t0) � x (t

0), y (t

0)

(x (t0), y (t

0))

a) Espacio bidimensional

y

C

z

x

(x (t0), y (t

0), z (t

0))

r (t0) � x (t

0), y (t

0), z (t

0)

b) Espacio tridimensional

FIGURA 12.1.1 Funciones vectoriales en los espacios bidimensional y tridimensional

r(t).

k � 80, 0, 19.i � 81, 0, 09,

x � f (t), y � g(t), z � h(t), a � t � b.

j � 80, 19.i � 81, 09

x � f (t), y � g(t), a � t � b.

656 CAPÍTULO 12 Funciones de valores vectoriales

r(t) 8 f (t), g(t)9 f (t) i g(t) j,

r(t) 8 f (t), g(t), h(t)9 f (t)i g(t) j h(t) k,

r(t) (1 t)r0 tr1.

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Si el intervalo del parámetro es cerrado entonces la función vectorial (5) traza el segmen-

to de recta entre los puntos definidos por y En particular, si y r =

(1 - t)r0 + tr1, entonces la orientación es tal que r(t) traza el segmento de recta del punto P0 al

punto P1.

EJEMPLO 1 Gráfica de una función vectorial

Encuentre una función vectorial del segmento de recta del punto al punto P1

(1, 4, 5).

Solución Los vectores de posición correspondientes a los puntos dados son y

Entonces, de (5) una función vectorial para el segmento de recta es

o

donde La gráfica de la ecuación vectorial está dada en la FIGURA 12.1.2.


Grafique la curva C trazada por la función vectorial

Solución Las ecuaciones paramétricas de la curva C son x = 2 cos t, y = 2 sen t, Al eli-

minar el parámetro t de las primeras dos ecuaciones,

observamos que un punto sobre la curva yace en el cilindro circular Como adver-

timos en la FIGURA 12.1.3 y la tabla adjunta a la misma, cuando aumenta el valor de t, la curva se

enrolla hacia arriba en una espiral cilíndrica o una hélice circular.

Curvas helicoidales La curva en el ejemplo 2 es una de varios tipos de curvas espaciales

conocidas como curvas helicoidales. En general, una función vectorial de la forma

(6)

describe una hélice circular. El número recibe el nombre de horquilla de una hélice. Una

hélice circular es sólo un caso especial de la función vectorial

(7)

que describe una hélice elíptica cuando La curva definida por

(8)

se denomina hélice cónica. Por último, una curva dada por

(9)

se llama hélice esférica. En (6)-(9) se supone que a, b, c y k son constantes positivas.

a � b.

2pc>k

FIGURA 12.1.3 Gráfica de la función vectorial del ejemplo 2

t

x

y

z

�/2

�/2

2

0

0

2

0

0

2�

2�

2

0

4�

4�

2

0

5�/2

5�/2

2

0

9�/2

9�/2

2

0

�

�

0

�2

3�/2

3�/2

0

�2

7�/2

7�/2

0

�2

3�

3�

0

�2

�2, 0, 3�

2, 0, 4�

2, 0, 2�

(2, 0, 0)

0, �2, �

�

�

�

�

�

�

�

0, �2,

� �

0, 2, � �

�2, 0, ��

�� 0, 2,

� 0, 2,

cilindro

x2� y

2� 4

z

y

x

2

7�

2

3�

2

9�

2

5�

�2

�

x2� y2

� 4.

z � t.

0 � t � 1.

r(t) � 83 � 2t, 2 � 2t, �1 � 6t9,

r(t) � (1 � t) 83, 2, �19 � t 81, 4, 59

r1 � 81, 4, 59.r0 � 83, 2, �19

P0(3, 2, �1)

0 � t � 1r(b).r(a)

[a, b ] ,

12.1 Funciones vectoriales 657

z

x

y

P0(3, 2, �1)

P1(1, 4, 5)

FIGURA 12.1.2 Segmento de recta

del ejemplo 1

La hélice definida por (6) se

enrolla hacia arriba a lo largo

del eje z. La horquilla es la

separación vertical de los lazos

de la hélice.

r(t) 2 cos t i 2 sen t j t k, t 0.

x2 y2 (2 cos t)2 (2 sen t)2 22,

r(t) a sen kt cos t i a sen kt sen t j a cos kt k

r(t) at cos kt i bt sen kt j ct k

r(t) a cos kt i b sen kt j ct k,

r(t) a cos kt i a sen kt j ct k

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EJEMPLO 3 Curvas helicoidales

a) Si se intercambian, por ejemplo, las componentes y y z de la función vectorial (7), obte-

nemos una hélice elíptica que se enrolla lateralmente a lo largo del eje y. Por ejemplo,

con la ayuda de un SAC, la gráfica de la hélice elíptica

se muestra en la FIGURA 12.1.4a).

b) La figura 12.1.4b) muestra la gráfica de

e ilustra por qué una función vectorial de la forma dada en (8) define a una hélice cóni-

ca. Para mayor claridad, se ha decidido suprimir la caja que por omisión rodea a la sali-

da 3D de Mathematica.


Grafique la curva trazada por la función vectorial

Solución Las ecuaciones paramétricas de la curva son las componentes de la función vectorial

x = 2 cos t, y = 2 sen t, z � 3. Como en el ejemplo 1, advertimos que un punto sobre la curva

debe yacer sobre el cilindro Sin embargo, puesto que la coordenada z de cualquier

punto tiene el valor constante la función vectorial r(t) traza un círculo en el plano 3 uni-

dades arriba y paralelo al plano xy. Vea la FIGURA 12.1.5.

EJEMPLO 5 Curva de intersección de dos superficies

Determine la función vectorial que describe la curva C de intersección del plano y el

paraboloide

Solución Primero se parametriza la curva C de intersección dejando Se deduce que

y De acuerdo con las ecuaciones paramétricas

vemos que una función vectorial que describe el trazo del paraboloide en el plano está

dada por

Vea la FIGURA 12.1.6.

EJEMPLO 6 Curva de intersección de dos cilindros

Encuentre la función vectorial que describe la curva C de intersección de los cilindros y

Solución En el espacio bidimensional la gráfica de es una parábola en el plano xy y por

ello en el espacio tridimensional es un cilindro parabólico cuyo bastidor es perpendicular al

y � x2

z � x3.

y � x2

r(t) � t i � 2t j � (9 � 5t2) k.

y � 2x

x � t, y � 2t, z � 9 � 5t2, �q 6 t 6 q,

z � 9 � t2� (2t)2

� 9 � 5t2.y � 2t

x � t.

z � 9 � x2� y2.

y � 2x

z � 3,

x2� y2

� 4.

2

1

0

�1

�2

0x

a) Hélice elíptica

z

24

40

20

0

y

�4�2

0

0

x

b) Hélice cónica

z

y

�25

�25

25

�50

�25

�50

�50

50

025

50

25 50

FIGURA 12.1.4 Curvas helicoidales del ejemplo 3


z

x

y

x2� y

2� 4, z � 3

FIGURA 12.1.5 Círculo en un

plano en el ejemplo 4

z � 9 � x2� y

2

y � 2xx

2� y

2� 9

C

y

z

x

FIGURA 12.1.6 Curva C de

intersección del ejemplo 5

r(t) t cos t i t sen t j t k

r(t) 4 cos t i t j 2 sen t k

r(t) 2 cos t i 2 sen t j 3k.

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plano xy, esto es, paralelo al eje z. Vea la FIGURA 12.1.7a). Por otro lado, puede interpretar-

se como un cilindro cúbico cuyo bastidor es perpendicular al plano xz, esto es, paralelo al eje y.

Vea la figura 12.1.7b). Como en el ejemplo 5, si se deja entonces y Una fun-

ción vectorial que describe a la curva C de intersección de los dos cilindros es entonces

(10)

donde

La curva C definida por la función vectorial (10) recibe el nombre de cúbica trenzada. Con

la ayuda de un SAC se ha graficado en la FIGURA 12.1.8. Las partes a) y b)

de la figura muestran dos perspectivas, o puntos de vista, distintas de la curva C de intersección

de los cilindros y En la figura 12.1.8c) advertimos la naturaleza cúbica de C uti-

lizando un punto de vista que es hacia el plano xz. La cúbica trenzada tiene varias propiedades

de interés para los matemáticos y por ello se estudia frecuentemente en cursos avanzados de geo-

metría algebraica.

1

0.5

�1

�1

�1

�1

�1

�1

�0.5 �0.5

�0.5

�0.5

�0.5

�0.5

0.5 11

0.5

0

00.5

1 1

0.5

01

0.5

0

0

0.5

0.5

0 z

x

y

y

z

x

z

11

0

0y x

a) Viendo hacia arriba la curva b) Viendo hacia abajo la curva c) Viendo en el plano xz

FIGURA 12.1.8 Cúbico trenzado del ejemplo 6

z � x3.y � x2

r(t) � t i � t2j � t3k

z

xy

x

y x y

5

�5

�1

a) y � x2

b) z � x3 c)

�2

21

4

3

21

0

0

0

z

5

�5

�1�1

�2�2

�5

4

32

1 120

0

4

32

10

5

z

02

10

0

FIGURA 12.1.7 a) y b) dos cilindros; c) curva C de intersección en el ejemplo 6

�q 6 t 6 q.

r(t) � t i � t2j � t3k,

z � t3.y � t2x � t,

z � x3

12.1 Funciones vectoriales 659

Fundamentos

En los problemas 1-4, encuentre el dominio de la función vec-

torial dada.

1.

2.

En los problemas 5-8, escriba las ecuaciones paramétricas

dadas como una función vectorial

7.

8. x � �16t2, y � 50t, z � 10

x � e�t, y � e2t, z � e3t

r(t).

r(t) � (t � 1)i � ln (1 � t2) j

r(t) � 2t2� 9i � 3t j

Ejercicios 12.1 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la página RES-38.

3.

4. r(t) e ti cos t j sen 2t k

r(t) t i1

2 t2 j sen

1 t k

5.

6. x cos2 t, y 2 sen2 t, z t2

x sen pt, y cos pt, z cos2pt

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En los problemas 9-12, escriba la función vectorial dada

como ecuaciones paramétricas.

En los problemas 13-22, grafique la curva trazada por la fun-

ción vectorial que se indica.

En los problemas 23 y 24, grafique la recta cuya función vec-

torial se indica.

23.

24.

25. Encuentre una función vectorial para el segmento de

recta en el espacio bidimensional con orientación tal que

traza la recta desde el punto hasta el

Dibuje el segmento de recta.

26. Determine una función vectorial para el segmento de

recta en el espacio tridimensional con orientación tal que

traza la recta desde el punto hasta

Dibuje el segmento de recta.

En los problemas 27-32, encuentre la función vectorial r(t)

que describe la curva C de intersección entre las superficies

dadas. Dibuje la curva C. Emplee el parámetro indicado.

En los problemas 33-36, asocie la gráfica indicada con una de

las funciones vectoriales en a)-d).

a)

b)

c)

d)

33.

FIGURA 12.1.9 Gráfica del problema 33

34.


35.


36.


37. Demuestre que los puntos sobre una hélice cónica

yacen sobre un cono elíptico cuya

ecuación es

z2

c2�

x2

a2�

y2

b2.

a 7 0, b 7 0, c 7 0,

�0.5

�1

�0.5

0.5

1

�1

0

0.5

10

0

7.55

2.50

1xy

z

�1�1�0.5

�0.5

x

y

10

5

01

0.5

0.5

1

0

0

z

�1�0.5 0

0.5

�0.5

�1

11

0.5

0 x

y

2

1.5

1z

0.5

0

�1�0.5

0

1

6

4

z

x

y

2

06

4

2

0

0.5

(0, 0, 0).(1, 1, 1)r(t)

(0, 3).(4, 0)r(t)

r(t) � (2 � 3t) i � (3 � 2t) j � 5t k

r(t) � (4 � 4t) i � (2 � 2t) j � 3t k

r(t)


9.

10.

11.

12. r(t) 5 sen t sen 3t i 5 cos 3t j 5 cos t sen 3t k

r(t) ln t i (1 t) j t3 k

r(t) t sen t (i k)

r(t) t2i sen t j cos t k

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. r(t) 8t cos t, t sen t, t29r(t) et cos t i et sen t j et k

r(t) t i t3j t k

r(t) H12 sen t, 12 sen t, 2 cos tI, 0 t p>2r(t) cosh t i 3 senh t j

r(t) 8et, e2t9r(t) 4i 2 cos t j 3 sen t k

r(t) t i 2t j cos t k, t 0

r(t) t i cos t j sen t k, t 0

r(t) 2 sen t i 4 cos t j t k, t 0

27.

28.

29.

30.

31.

32. 3x 2y z 6, x 1; y t

x y z 1, y x; x t

z x2 y2, z 1; x sen t

x2 y2 9, z 9 x2; x 3 cos t

x2 y2 z2 1, y 2x; x t

z x2 y2, y x; x t

cos3 t i sen3 t j 5k

r(t) cos t i sen t j (1 sen t)k

r(t) sen 6t i t j t k

r(t) t i cos 3t j sen 3t k

r(t)

r(t) at cos t i bt sen t j ct k,

12Zill655-680.qxd 26/9/10 18:32 Página 660

38. Una variación de la hélice cónica del problema 37 está

dada por

a) antes de graficar r(t) analice la orientación de la

curva.

b) Utilice un SAC para graficar r(t). Experimente con el

intervalo del parámetro y el punto de vista de la curva.

39. La función vectorial

describe también a una

hélice cónica. Demuestre que los puntos sobre esta héli-

ce cónica yacen sobre un cono elíptico cuya ecuación

está dada en el problema 37.

40. Un caso especial de la curva en el problema 39 está dado

por

a) Emplee un SAC para graficar r(t) en relación con -30

� t � 30.

b) Reexamine la figura 12.1.4b). Luego discuta la dife-

rencia geométrica básica entre la hélice cónica en el

problema 37 y la que se da en el problema 39.

41. Demuestre que los puntos sobre una hélice esférica

yacen sobre una esfera de radio

42. Un caso especial de la curva en el problema 41 está dado

por

Utilice un SAC para graficar r(t) respecto a k = 1, 2, 3, 4,

10, 20 y Experimente con diferentes pers-

pectivas de las gráficas.

43. a) Use un SAC para superponer las gráficas de los cilin-

dros y sobre los mismos ejes de

coordenadas.

b) Encuentre funciones vectoriales que describan las dos

curvas de intersección de los cilindros.

c) Emplee un SAC para dibujar ambas curvas en el inci-

so b). Superponga las curvas sobre los mismos ejes de

coordenadas. Experimente con la perspectiva hasta

que la visualización de las gráficas tenga sentido.

44. Suponga que r(t) es una función vectorial no constante

que define a una curva C con la propiedad

donde es una constante. Describa geométricamen-

te a la curva C.

Problemas con calculadora/SAC

45. Use un SAC para graficar la función vectorial

para Experimente con diferentes perspecti-

vas de la gráfica. Discuta por qué la curva se denomina

una espiral toroidal.

46. Utilice un SAC para graficar la función vectorial

para -10p� t � 10p y k = 0.1, 0.2, 03. Experimente con

diferentes perspectivas de la gráfica. La curva se conoce

como espiral esférica.

En los problemas 47 y 48, emplee un SAC para graficar la

función vectorial dada relativa a los valores indicados de k.

Experimente con diferentes perspectivas de la gráfica.

0 � t � 2p.

a 7 0

�r(t)� � a,

z � 4 � y2z � 4 � x2

0 � t � 2p.

a 7 0.

a 7 0, b 7 0, c 7 0, k 7 0

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 661

12.2 Cálculo de funciones vectorialesIntroducción En esta sección consideraremos el cálculo de funciones de valores vectoriales,

en otras palabras, límites, derivadas e integrales de función vectorial. Como los conceptos son

similares a los que se discutieron en la sección 10.3, se recomienda un repaso de esa sección.

Límites y continuidad La noción fundamental de límite de una función vectorial r(t) =

8 f (t), g(t), h(t)9 se define en términos de los límites de las funciones componentes.

El símbolo en la definición 12.2.1 puede, desde luego, sustituirse por tS a+, tS a-,

tSq, o tS -q.

tS a

Definición 12.2.1 Límite de una función vectorial

Si f (t), g(t) y h(t) existe, entonces

(1)

límtSa

límtSa

límtSa

límtSa

r(t) HlímtSa

f (t), límtSa

g(t), límtSa

h(t)I.

47.

48. r(t) sen t i cos t j ln (kt)sen t k; k110, 1

r(t) sen kt sen t i sen kt cos t j sen t k; k 2, 4

sen (arc tan kt)k

r(t) cos (arc tan kt)cos t i cos (arc tan kt)sen t j

r(t) (10 sen 20t) cos t i (10 sen 20t) sen t j cos 2t k

r(t) sen kt cos t i sen kt sen t j cos kt k.

r(t) a sen kt cos t i a sen kt sen t j a cos kt k

r(t)1

2 e0.05t cos t i

1

2 e0.05t sen t j e0.05t k.

r(t) aekt cos t i bekt sen t j cekt k,

r(t) t i t cos t j t sen t k.

12Zill655-680.qxd 26/10/10 13:03 Página 661

Como una consecuencia inmediata de la definición 12.2.1, tenemos el siguiente resultado.


Teorema 12.2.1 Propiedades de los límites

Suponga que a es un número real y r1(t) y r2(t) existe. Si r1(t) = L1 y r2(t) = L2,

entonces

i)

ii)

iii)

límtSa

límtSa

límtSa

límtSa

Definición 12.2.2 Continuidad

Una función vectorial r es continua en el número a si

i) es definido, ii) r(t) existe y iii) r(t) = r(a).límtSa

límtSa

r(a)

Definición 12.2.3 Derivada de una función vectorial

La derivada de una función vectorial r es

(3)

para toda t para la cual existe el límite.

Teorema 12.2.2 Diferenciación

Si las funciones componentes f, g y h son diferenciables, entonces la derivada de la función

vectorial está dada por

(4)

r(t)

Equivalentemente la función vectorial es continua en un número a si y

sólo si las funciones componentes f, g y h son continuas en a. Por brevedad, a menudo afirma-

mos que una función vectorial es continua en un número a si

(2)

Escribiendo (2) se supone que las condiciones i) y ii) de la definición 12.2.2 se cumplen en un

número a.

Derivada de una función vectorial La definición de derivada de una función vectorial

es el equivalente vectorial de la definición 3.1.1. En la siguiente definición se asume que h

representa a un número real distinto de cero.

r(t)

r¿(t)

r(t)

r(t) � 8 f (t), g(t), h(t)9

La derivada de r también se escribe El siguiente teorema muestra que en un nivel

práctico, se obtiene la derivada de una función vectorial diferenciando simplemente sus funcio-

nes componentes.

dr>dt.

límtSa

r1(t) . r2(t) L1 . L2.

límtSa

[r1(t) r2(t)] L1 L2

límtSa

cr1(t) cL1, c un escalar

límtSa

r(t) r(a).

r¿(t) límhS0

r(t h) r(t)

h

r¿(t) 8 f ¿(t), g¿(t), h¿(t)9.

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DEMOSTRACIÓN De (3) tenemos

Curvas suaves Cuando las funciones componentes de una función vectorial r tienen prime-

ras derivadas continuas y para toda t en un intervalo abierto entonces r se dice

que es una función suave y la curva C trazada por r se denomina curva suave.

Interpretación geométrica de r ¿(t) Si el vector existe y no es 0 en el punto P sobre la

curva C definida por la función vectorial entonces la derivada se define como el vector

tangente a la curva en P. La justificación de lo anterior es similar a la discusión que llevó a la

definición 2.7.1 en la sección 2.7. Como puede verse en las FIGURAS 12.2.1a) y b), para el

vector y el múltiplo escalar

son paralelos. Suponiendo que el límite

existe, entonces los vectores y se vuelven cada vez más cercanos cuando

Como sugieren las figuras 12.2.1b) y c), la posición límite del vector es un

vector sobre la recta tangente en P. También definimos la recta tangente como la recta que pasa

por P que es paralela al vector

EJEMPLO 1 El vector

Considere la curva C en el espacio bidimensional que es trazada por un punto P cuya posición

está dada por r(t) = cos 2t i + sen t j, -p�2 � t � p�2. Encuentre la derivada y grafique los

vectores y

Solución La curva C es suave debido a que las funciones componentes de r(t) = cos 2t i + sen t j

tienen derivadas continuas y sobre el intervalo abierto De (4),

En consecuencia,

Para graficar C primero eliminamos el parámetro de las ecuaciones paramétricas x = cos 2t,

y = sen t:

Puesto que advertimos que la curva C es la porción de la parábola

sobre el intervalo definido por Los vectores y se dibu-

jan tangentes a la curva C en (1, 0) y respectivamente. Vea la FIGURA 12.2.2.A12, 12B,

r¿(p>6)r¿(0)�1 � x � 1.x � 1 � 2y2

�p>2 � t � p>2,

(�p>2, p>2).r(t) � 0

r¿(p>6).r¿(0)

r¿(t)

r¿(t )

FIGURA 12.2.1 Vector tangente en P sobre una curva C

recta tangente

P

Cz

x

y

r(t � h) � r(t)

r(t � h)

r(t)

a) Vector secante

recta tangente

P

Cz

x

y

r(t � h)

r(t)

b) Múltiplo escalar del vector secante

r(t � h) � r(t)

h

recta tangente

P

Cz

x

y

r(t)

r�(t)

c) Vector tangente

r¿(t).

[r(t � h) � r(t)]>hhS 0.r(t � h)r(t)

1

h �r(t � h) � r(t)� �

r(t � h) � r(t)

h

r(t � h) � r(t)

h 7 0

r¿(t)r(t),

r¿(t)

(a, b),r¿(t) � 0

12.2 Cálculo de funciones vectoriales 663

C

r�(0)

x

y

(1, 0)

x �1� 2y2

,

r�

�

� �

�

6

�

2

1

2

1

FIGURA 12.2.2 Curva C y

vectores del ejemplo 1

8 f ¿(t), g¿(t), h¿(t)9. h lím

hS0

f (t h) f (t)

h, lím

hS0

g(t h) g(t)

h, lím

hS0

h(t h) h(t)

hi

límhS0h f (t h) f (t)

h,

g(t h) g(t)

h,

h(t h) h(t)

hi

r¿(t) límhS0

1

h [ 8 f (t h), g(t h), h(t h)9 8 f (t), g(t), h(t)9 ]

límhS0

r(t h) r(t)

h

x cos 2t cos2 t sen2 t 1 2 sen2 t 1 2y2.

r¿(0) j y r¿(p>6) 13i1

213j.

r¿(t) 2 sen 2t i cos t j.

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EJEMPLO 2 Ecuaciones paramétricas

Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva C cuyas ecuaciones para-

métricas son en el punto correspondiente a

Solución La función vectorial que produce la posición de un punto P sobre la curva está dada

por Ahora,

y

El vector es tangente a C en el punto P cuyo vector de posición es

esto es, en el punto Al emplear las componentes de advertimos que las ecua-

ciones paramétricas de la recta tangente son

Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de una función vectorial se

obtienen también diferenciando sus componentes. En el caso de la segunda derivada, tenemos

(5)

EJEMPLO 3 Vectores y

Si entonces

y

En el siguiente teorema se enlistan algunas reglas de diferenciación para funciones vectoriales.

r–(t) � (6t � 4)i � e�t k.

r¿(t) � (3t2� 4t) i � 4 j � e�t k

r(t) � (t3� 2t2)i � 4t j � e�t k,

r–(t )r¿(t )

x � 9 � 6t, y � 6 � 5t, z � �21 � 7t.

r¿(3),P(9, 6, �21).

r(3) � 9i � 6j � 21k,

r¿(3)

r¿(3) � 6i � 5j � 7k.r¿(t) � 2t i � (2t � 1) j � 7k

r(t) � t2 i � (t2� t) j � 7t k.

t � 3.z � �7ty � t2� t,x � t2,


Teorema 12.2.3 Reglas de diferenciación

Considere que r, r1 y son funciones vectoriales diferenciables y es una función escalar

diferenciable.

f (t)r2

DEMOSTRACIÓN DE iv ) Si r1(t) = 8 f1(t), g1(t), h1(t)9 y r2(t) = 8 f2(t), g2(t), h2(t)9, entonces por

(2) de la sección 11.3 el producto punto es la función escalar

Después de usar la regla del producto agrupamos los términos en rojo y los términos que se

muestran en azul:

Nota: Puesto que el producto cruz de dos vectores no es conmutativo, el orden en el cual y

aparecen en la parte v) del teorema 12.2.3 debe observarse estrictamente. Desde luego, en iv)

y v) podemos efectuar el producto punto y el producto cruz primero y después diferenciar el

escalar o la función vectorial resultantes.

r2

r1

r1(t) . r2(t) � f1(t) f2(t) � g1(t)g2(t) � h1(t)h2(t).

r–(t) 8 f–(t), g–(t), h–(t)9 f –(t)i g–(t) j h–(t)k.

i)

ii)

iii (regla de la cadena))

iv)

v)d

dt[r1(t) r2(t)] r1(t) r¿2(t) r¿1(t) r2(t)

d

dt[r1(t) . r2(t)] r1(t) . r¿2(t) r¿1(t) . r2(t)

d

dt [r( f (t))] r¿( f (t)) f ¿(t)

d

dt[ f (t)r (t)] f (t)r¿(t) f ¿(t) r (t)

d

dt[r1(t) r2(t)] r¿1(t) r¿2(t)

r1(t) . r¿2(t) r¿1(t) . r2(t).

8 f1(t), g1(t), h1(t)9 . 8 f ¿2 (t), g¿2

(t), h¿2 (t)9 8 f ¿1(t), g¿1(t), h¿1(t)9 . 8 f2(t), g2

(t), h2(t)9 f1(t) f ¿2 (t) f ¿1

(t) f2 (t) g1(t)g¿2

(t) g¿1 (t) g2

(t) h1(t)h¿2 (t) h¿1

(t) h2(t)

d

dt r1(t) . r2(t)

d

dt f1(t) f2(t)

d

dt g1(t)g2(t)

d

dt h1(t)h2(t)

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funciones de valores vectoriales - xdoc.mx

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