FUNCIONESFUNCIONES BÁSICASBÁSICAS

Tema :Tema :

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS

TÓPICOS DE MATEMÁTICA (E.S.C.)

Ciclo 2007-1

Logros de esta unidad:

•Explica el significado de función

•Identifica el dominio de una función

•Grafica funciones básicas (Lineal, Cuadrático, Cúbico, Logaritmo, Exponencial)

•Define una función trigonométrica.

•Identifica el periodo, amplitud y desplazamiento de la función seno y coseno

•Resuelve ecuaciones de 2do grado, ecuaciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

FUNCIÓNFUNCIÓNFUNCIÓNFUNCIÓNUna función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por ran(f)

fX f(x)

Entrada Proceso Salida

Ej. f(x)=x+3 Si x=2 tenemos f(2)=5

x=4 tenemos f(4)=7

Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente.

A(r) = r2

Variableindependiente

Variabledependiente

Ejemplo

Dominio no especificadoDominio no especificado

Si dom(f) no se especifica, entonces, el dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe.

Considere una función: y = f(x)x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio)y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x)

EjemploEjemplo

Determine el dominio de:

b) 1)( xxf

c)4

1)(

2 x

xf

d) 5

1)(

xxf

a) 1)( xxf

Función LinealAfín

-3 -2 -1 0 1 2 3

4

3

2 b 1

-1

-2

-3

f(x) = ax + b

FunciónCuadrática

-2 -1 0 1 2

4

3

2

1

f(x) = x2

La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x

1 1 e

e

11

y = ex

y = ln x

x

y

Definición:Si x es cualquier número real,entonces ln y = x si y sólo si e x = y

Teorema

Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces

i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr

qpq

p

ee

e

ECUACIÓN CUADRÁTICA ax2+bx+c=0

X=

Resolver:

• 5x2-2x-7=0

• • (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2

a

acbb

2

42

32

23

xx

x

Ecuación exponencial, logarítmica

Resolver:

313

112

52

213

2

.4

23 .3

1 .2

.1

ee

ee

e

ee

x

xx

x

x

5)3( .3

24020

.2

3)13( .1 2

xLn

x

xLog

xLog

Tópicos de Matemáticas

Función SenoEcuaciones

trigonométricas

Conceptos previos

Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se

conocen son el ángulo de elevación

y la longitud de la sombra proyectada

sobre el piso.

60°187 m

Conceptos previos

Razones trigonométricas

 

HipotenusaCateto opuesto

Cateto adyacente

hipCop

sen

hipCadcos

CadCoptan

Conceptos previos

Triángulos rectángulos

notables

L2L

L

45°

45°

30°

60°

2L3L

L

Ejercicio1Si es un ángulo agudo y cos =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de .Ejercicio 2Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.

Conceptos

Circunferencia trigonométrica

La circunferencia trigonométrica es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del

plano XY.

Su ecuación es: x2+y2=1

1

),( yx

),( yx

Observar que se tiene:

x

ysen

)cos(

)(

De manera general se tiene las funciones trigonométricas para cualquier segmento OP donde P(x,y)

),( yx

0)tan(

)cos(

)(

xxyrxry

sen

r

22 yxr

x

y

Conceptos

Definición de función Periódica.

Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f.

El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f.

2π es el periodo de las funciones seno y coseno

3.14 1.75 0.35 1.05 2.44 3.84 5.24 6.63 8.03 9.42

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

sin x( )

sin t( )

x t

La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2πSu periodo es 2 πAdemás sen(-x)=-sen(x)

La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2πSu periodo es 2 πAdemás cos(-x)=cos(x)

3.14 1.75 0.35 1.05 2.44 3.84 5.24 6.63 8.03 9.42

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

cos x( )

cos t( )

x t

1.57 6.370614359 104

1.57 3.14 4.71 6.28

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

sin x( )

cos t( )

x t

La función coseno puede interpretarse como un desplazamiento de la función seno:

sen(x)=cos(x-π/2)

¿Cómo varía la gráfica de la función sen x, al cambiar los valores de los parámetros A , ω>0 , φ?

)xω(senAy φ

Donde:

T1

Frecuenciaf

ntodesfasamie

2PeriodoT

Amplitud||

A

0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42

4

3

2

1

1

2

3

4

sin x( )

3 sin x( )

3 sin x( )

x

Gráfica de las funciones Sen(x) 3sen(x) -3sen(x)

0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

sin x( )

sin 3x( )

x

Gráfica de las funciones sen(x) sen(3x)

1.05 0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28 7.33

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

sin x( )

sin s

3

sin v

3

x s v

Gráfica de las funciones sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3)

Gráfica de las funciones sen(x) 3sen(2x-2π/3)

0 1.05 2.09 3.14 4.19 5.24 6.28 7.33

4

3

2

1

1

2

3

4

sin x( )

3 sin 2s2

3

x s

1.A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos.

a) y=2sen(t+π/6) b) y=cos(t+ π/3)2. Determine la amplitud y el período de la

función f(x) = 2sen (x/2).3. Determine la amplitud, el período y trazar la

gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π).

Ecuaciones trigonométricas:

Son aquellas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.

Solución:Son los valores que puede tomar x para la cual la

ecuación se convierte en una identidad.

Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes.

Halle las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 π].a)Cos(x)=1/2b)sen(2x+π/3)=-1c)Sen(t) tan(t)=sen(t)

Combinación lineal de las funciones sen(x) y cos(x)

Para a y b números reales, a>o la función

f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx)

Puede escribir en términos de la forma: f(x) = A.cos(Bx-C)

Donde 22 baA

2π

2π

paraba

tan C ,C

)3(4)3cos(3)()

)2()2cos(3)()

)cos()()()

xsenxxfc

xsenxxfb

xxsenxfa

Empleando la fórmula desarrollada anteriormente graficar las funciones: