funcion cuadratica

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Prof. Enzo

Geraldo

FUNCION CUADRATICA:

Una vez visto lo que es una función, recordamos que se puede representar por una expresión de la

forma y=f(x) y que su gráfica, representada en un sistema cartesiano, es una línea, recta o curva.

Este gráfico o lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen la fórmula de definición de la

función presenta porciones sobre el eje X, en el eje X o bajo el eje X.

Si el gráfico está sobre el eje X, la función y=f(x) es mayor que cero o positiva. Si el gráfico está en

el eje X, la función y=f(x) es nula o cero.

Si el gráfico está bajo el eje X, la función y=f(x) es menor que cero o negativa.

Grafica:

Estas variaciones se producen en el rango o recorrido de la función, es decir, en el conjunto

formado por las imágenes.

Frecuentemente nos encontramos con problemas en que es útil determinar los valores de x

(intervalos) para los cuales una función determinada es positiva, negativa o nula.

Si y=f(x) está representada por el gráfico anterior tenemos que:

Para 321 ,, xxxx la función es positiva.

Para ,, 321 xxxx la función es negativa.

Para 21 , xxxx , y 3xx la función es nula.

Desde ahora comenzaremos a estudiar en profundidad la función:

,0,)( 2 acbxaxxfy con R c b, a, . Denominada función cuadrática.

Consideremos la función real definida por:

.,......,..........)( 101

2

2

1

1 Raaxaxaxaxaxf n

n

n

n

n

Esta función se denomina

función polinómica y cuando 00...... 231 ayaaa nn la función resulta

.0,)( 2 acbxaxxf

X representa la variable independiente e y=f(x) representa la variable dependiente.

Los números reales a, b y c se denominan coeficientes de la función cuadrática.

Ejemplos.

Las siguientes expresiones son funciones cuadráticas.

354)( 2 xxxf .

2632)( xxxf

28 xxy

xxy4

5

3

2 2 ç

Evaluación de funciones cuadráticas

Toda función cuadrática puede ser evaluada, es decir, se le puede asignar una valor numérico o

literal a la variable independiente y calcular el valor que le corresponde a la variable dependiente.

El valor que le asignaremos a la variable independiente (x) y el correspondiente valor que

calculemos para la variable dependiente (y), constituye el par ordenado (x , y) que satisface la

función cuadrática considerada.

Ejemplo:


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Evaluemos la siguiente función cuadrática:

,135 2 xxy para x= -2.

Reemplazando: 1)2(*3)2(*5 2 y

27

164*5

y

y

Es decir, para la función cuadrática ,135 2 xxy si x=-2, entonces y=27.

Luego, el par (-2,27) satisface a la función.

Grafico de la función cuadrática

Para realizar el gráfico de una función cuadrática en un sistema de coordenadas cartesianas,

buscamos algunos puntos que satisfagan la función y los ordenamos en una tabla de valores.

Ejemplo:

Grafiquemos la siguiente función 562 xxy

Primero buscamos algunos puntos cercanos al origen y construimos una tabla de valores:

X 562 xxy (x,y)

-1 125)1(*6)1( 2 y (-1,12)

0 55)0(*6)0( 2 y (0,5)

1 05)1(*6)1( 2 y (1,0)

2 35)2(*6)2( 2 y (2,-3)

3 45)3(*6)3( 2 y (3,-4)

En segundo lugar, graficamos los puntos cuyas coordenadas calculamos y, mediante interpolación y

extrapolación, trazamos una buena aproximación de la curva llamada parábola, que corresponde a

esta función, como se observa en la figura siguiente:

En general la función representa un gráfico en el sistema cartesiano que se denomina parábola y

tiene una de las siguientes formas:

Gráfico:

es decir, se abre hacia arriba (fig, a, b y c) o hacia abajo (fig. d, e y f), e interfecta al eje X en dos

puntos ( fig. a y d), uno (fig. b y c) o ninguno (fig. c y f).


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la recta VF (VF ) se denomina eje de la parábola. El punto V ( punto máximo o mínimo, según se

abre hacia arriba o hacia abajo) se denomina vértice de la parábola.

Toda esta información podemos obtenerla analizando los coeficientes de la función y con ello

podremos trazar el gráfico en forma bastante aproximada.

Recordemos que el gráfico de una función se define como el lugar geométrico de todos los puntos

del plano que satisfacen la función.

Observaciones:

Dada la función cuadrática .0,)( 2 acbxaxxf

1. su gráfico es una parábola con eje paralelo al eje Y.

2. se abre hacia arriba si a>0.

3. se abre hacia abajo si a<0.

Ceros de la función.

Observa que la parábola correspondiente a la función 1072 xxy , intersecta al eje X en dos

puntos.

X Y

1 4

2 0

3 -2

4 -2

5 0

6 4

La parábola intersecta al eje X en los puntos A(2,0) y B(5,0).

Esto indica que el valor de y o valor de la función es cero, es decir, y=0 o f(x)=0, si x=2 o x=5.

En ocasiones el grafico no permite determinar esos puntos; entonces, debemos buscarlos

algebraicamente.

Para los puntos de intersección de la parábola con el eje X, la correspondiente ordenada “y” es cero,

de manera que al considerar este valor para “y”, la función da origen a una ecuación cuadrática.

Así: 01072 xx

0)5(*)2( xx (Método de factorización)

02)-(x 05)-(x

Por lo tanto, 21 x 52 x , en consecuencia, los valores 21 x y 52 x son los ceros de la

función considerada.

Es decir, son aquellos valores de x que hacen que la función y o f(x) tome el valor cero: f(2)=0 y

f(5)=0.

Entonces, en general se puede señalar que:

Los valores 1x y 2x de la variable independiente que hacen que la función cbxaxy 2sea

igual a cero se denominan ceros de la función.

Estos valores se determinan resolviendo la ecuación cuadrática que se obtiene al igualar la función a

cero.

Generalizando:

Dada cbxaxxf 2)( se plantea la ecuación 02 cbxax , de la que se obtiene 1x y 2x ,

raíces o soluciones de la ecuación y también ceros de la función.


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La fórmula para encontrar las raíces o soluciones de la ecuación esta dada por:

a

acbbx

2

42 , donde a es el coeficiente de

2x , b el coeficiente de x, y c la constante, ésta

se profundizará más adelante.

Luego si designamos D la discriminante de esta ecuación cuadrática, de tal manera que

D= acb 42 , entonces podemos ver que existen tres casos distintos para los ceros de la función,

según el valor que tome la discriminante.

Estos son:

1. Si D>0, entonces existen dos ceros distintos de la función: la parábola asociada a la función

interfecta al eje de las abscisas (eje X) en dos puntos.

2. Si D=0, entonces los ceros de la función son iguales: la parábola interfecta al eje X en un

solo punto. También se dice que la parábola es tangente al eje X (y viceversa).

3. Si D<0, entonces la discriminante es un número negativo, y, como sabemos, su raíz es un

número imaginario: la parábola no interfecta al eje X. en este caso no existen ceros.

Es interesante también ver la parábola asociada a la función cbxaxy 2siempre

intersecta al eje de las ordenadas (eje Y). los puntos de este eje (Y) se caracterizan por tener

abscisa 0 (x=0).

Por lo tanto, haciendo x=0 en esta función, tenemos cxay )0()0( 2 , de donde, y=c, en

consecuencia, la parábola interfecta al eje Y de las ordenadas en el punto (0,c).


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Observaciones:

Dada la función cuadrática .0,)( 2 acbxaxxf

1. Intersecta al eje X en dos puntos si sus ceros ( raíces de la ecuación asociada) son reales y

distintos, es decir cuando el discriminante D>0.

2. Intersecta al eje X en un punto si sus ceros son reales e iguales, es decir cuando el

discriminante D=0.

3. NO Intersecta al eje X cuando sus ceros son imaginarios, es decir cuando el discriminante

D<0.

Ejemplo: grafiquemos la función 232 xxy

Observamos que el coeficiente de 2x , a, es mayor que cero

(a=1), luego el gráfico es una parábola que se abre hacia

arriba.

Si resolvemos la ecuación asociada 0232 xx ,

obtenemos que son ceros de la función los valores 21 x y

12 x , luego el gráfico contiene a los puntos (1,0) y (2,0).

La figura adjunta es un bosquejo del gráfico pedido.

Máximo y mínimo de una función cuadrática.

Analizando la función .0,)( 2 acbxaxxf podemos determinar si ésta representa una

parábola que se abre hacia arriba o abajo y su intersección con el eje x.

Ahora aprenderemos a encontrar las coordenadas del vértice de dicha parábola, es decir, para que

valor de x, la función y=f(x) tiene su valor máximo (si la parábola se abre hacia abajo) ó mínimo (si

la parábola se abre hace arriba).

Dada la función .0,)( 2 acbxaxxf Podemos decir que:

1. Si a>0, la función representa una parábola que se abre hacia arriba y por lo tanto dicha

función presenta un valor mínimo.

2. Si a<0, la función representa una parábola que se abre hacia abajo y por lo tanto dicha

función representa un valor máximo.

3. El valor de x para el cual la función representa el valor máximo o mínimo es el valor medio

entre los ceros y lo denotaremos como x , así:

2

21 xxx

Siendo ,1x 2x los ceros de la función.

Recordemos que a

acbbx

2

42

1

y

a

acbbx

2

42

2

, luego:


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2

21 xxx

=

a

ba

acbb

a

acbb

22

2

4

2

4 22

,

el valor máximo (o mínimo) de la función cuadrática y= ,)( 2 cbxaxxf se encuentra en

a

bx

2 , y es f(

a

b

2 ) que corresponde al valor tomado por el trinomio cbxax 2

cuando x

vale a

b

2 .

4. el punto de coordenadas

a

bf

a

b

2,

2corresponde al vértice de la parábola

representada por la función .)( 2 cbxaxxf

a

bac

a

bV

4

4,

2

2

5. la ecuación lineal 02

a

bx , representa la recta que definimos como eje de la parábola

determinada por la función .)( 2 cbxaxxf

Ejemplo:

Grafiquemos la función 32)( 2 xxxf

Solución:

Observamos que a=1>0, luego esta parábola se abre hacia arriba.

Resolviendo la ecuación asociada 0322 xx , obtenemos que la curva pasa por los

puntos (-1,0) y (3,0). Luego como 31 21 xyx vemos que el mínimo de esta función se

encuentra en 12

31

2

21

xx

x y su valor es f(1)=-4, o bien en

.4)1(,12

2

2

f

a

bx la función tiene un mínimo en (1,-4).

Gráfica:

Crecimiento y decrecimiento de una función cuadrática.

Para los efectos de analizar el comportamiento de una función cuadrática, consideremos la

siguiente función.

422 xy , elaboramos una tabla de valores correspondientes y graficamos la función.


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X 422 xy (X,Y)

-3 y=21 (-3,21)

Decreciente

-2 y=12 (-2,12)

-1 y=5 (-1,5)

0 y=0 (0,0)

1 y=-3 (1,-3)

2 y=-4 (2,-4) Valor mínimo

3 y=-3 (3,-3)

Creciente 4 y=0 (4,0)

5 y=5 (5,5)

Podemos observar que:

A medida que aumenta el valor de x aumenta desde hasta 2 ( de izquierda a derecha en la

recta numérica), los valores de la función disminuyen.

En este caso podemos afirmar que f(x) es decreciente en el intervalo 2, .

Cuando x aumenta desde 2 hasta , los valores de la función aumentan, es decir, f(x) es

creciente en el intervalo ,2 .

Entonces generalizando:

Dada la función ,)( 2 cbxaxxf en que 1x es la abscisa del vértice de la parábola

asociada, se tiene que:

Si a>0 entones y=f(x) es: decreciente en el intervalo 1, x

Creciente en el intervalo ,1x

Si a<0 entonces y=f(x) es: creciente en el intervalo 1, x

Decreciente en el intervalo ,1x

En resumen:

FUNCIÓN CUADRÁTICA: f(x) = ax2 + bx + c

Su gráfica corresponde a una PARÁBOLA.

Concavidad: El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (a>0) o hacia

abajo (a<0).

Vértice: Para determinar el vértice es conveniente determinar primero a

bx

2

, posteriormente se

reemplaza el valor obtenido en la función para calcular el valor y.

Eje de simetría de la parábola: Corresponde a la recta a

bx

2

, paralela al eje y.

Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.

Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.

Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.

Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.

Intersección con los ejes: La intersección con el eje y la da el coeficiente c y corresponde al punto

(o, c).

La intersección con el eje x está determinada por el valor del discriminante acb 42

Si acb 42 >0, la parábola corta en dos puntos al eje x.

Si acb 42 =0, la parábola corta en un punto al eje x.

Si acb 42 <0, la parábola no corta al eje x.

GUIA DE EJERCICIOS FUNCION CUADRATICA.

CONCEPTO Y EVALUACION DE FUNCIONES CUADRATICAS

1. Observa las siguientes expresiones e indica cuáles son funciones cuadráticas.

i. xxy 54 2

ii. qpxxf 2)(


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iii. 22 )3()2( xxy

iv. 352)( 2 xxxf

v. xxy4

3

7

4 2

vi. 3

652

x

xxy

vii. 2)53()( xxf

viii. )74)(74( xxy

2. Evalúa cada función cuadrática para el valor de x que se indica.

i. 3;154 2 xxxy

ii. .5;38)( 2 xxxxf

iii. 3;9

74 2 xxy .

iv. .2;22

5

4

3)( 2 xxxxf

v. 2

2;1 2 xxxy

GRAFICO DE FUNCIONES CUADRATICAS

1. Grafica la parábola correspondiente a cada una de las siguientes funciones.

i. 1282 xxy

ii. 13 xy

iii. 542 xxy

iv. 252 xy

v. xxy 63 2

2. ¿ Existen valores reales, para los cuales la parábola correspondiente a la función 252 xy ,

del ejercicio anterior, intersecte al eje X?.

VERTICE DE LA PARABOLA. CONCAVIDAD Y VALOR MÍNIMO O MÁXIMO

1. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, indica su concavidad, calcula sus ceros,

determina las coordenadas de su vértice, calcula el valor mínimo o máximo que tiene y grafica

la parábola correspondiente.

i. 982 xxy

ii. xxy 62

iii. 263 2 xxy

iv. 182 2 xy

v. xx

y 32

2

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES CUADRATICAS

1. Determina para cada una de las siguientes funciones cuadráticas los intervalos reales en los

cuales son creciente o decrecientes.

i. 4)2(3 2 xy

ii. 652 2 xxy

iii. 652 xxy


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iv. 384 2 xxy

v. 21 xy

2. Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la horizontal, tal que su

trayectoria parabólica esta dada por la función cuadrática 2

3245 2 tty .

i. Calcula la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de haberla lanzado.

ii. Calcula la altura máxima que alcanza y en qué instante.

iii. ¿ A partir de qué instante la pelota comienza a caer?.

iv. ¿ Cuánto demora en caer desde que alcanza su máxima altura?.

3. Un hombre dispone de 40m de alambrada para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo

debe colocarla sobre tres lados, porque el cuarto limita con su casa, determinar el área máxima

que puede proteger. (hallar el valor máximo del área).

4. Las dimensiones de una placa rectangular de estaño son 12 por 18 cm. Con ella desea construir

un cajón sin tapa cortando en sus esquinas unos cuadros y doblando los lados. Calcular el lado

de los cuadrados que se deben cortar para que el cajón que resulte sea de volumen máximo.

(DESAFIO “UTILIZE GRAFICADOR SI ES NECESARIO).

5. Se quiere fabricar un bote cilíndrico de 200 cm3 de volumen. Calcular las dimensiones que debe

tener para emplear la menor cantidad posible de material.

PSU

1. Considere la parábola 2)1(

2

1 xy , ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba.

II) Su vértice se encuentra en (1, 0).

III) Su eje de simetría es x = 1.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III.

2. ¿Cuáles son las raíces (soluciones) de la ecuación x (x – 3) = 10 ?

A) 3, 10

B) -3, 10

C) 2, 10

D) 2, 5

E) -2, 5

3. responda:


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4. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa de mejor manera la función f(x) = x2 – 2x - 8 ?

A) B) C)

D) E)

5. La función que representa el gráfico de la figura es:

A) f(x) = (x – 2) (x + 2)

B) f(x) = (-x – 2) (x + 2)

C) f(x) = (-x +2) (x + 2)

D) f(x) = (x –2) (x – 2)

E) f(x) = (x + 2) (x + 2)

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