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Física Departamento de Física Aplicada. Facultad de Ciencias Químicas U.C.L.M. Introducción a la Física 1.- Hallar para qué valores de ε son perpendiculares los vectores a y b: a = ε i − 2j + k b = 2ε i + ε j − 4k Sol.: 2 y –1. 2.- Si los módulos de los vectores suma y diferencia de dos vectores dados �a y �b , son iguales, calcular el ángulo formado por dichos vectores �a y �b . Sol.: 90º. 3.- Calcúlense las componentes de los vectores �b que, teniendo por módulo, √14 cumplen con la condición de que: ( )� � � � � �a b c i j k× + = − + −2 4 2 donde los vectores �a y �c tienen por componentes, respectivamente: (1,1,1) y (2,1,0). Sol.: b1 = (3,2,1) y b2 = (-1, -2 -3) 4.- Tres vectores �a , �b y �c tienen por componentes, (1,1,1), (1,2,3) y (3,2,1), respectivamente. Hallar el valor de las siguientes expresiones:

( )� � �a b c⋅ × ( )� � �a b c× × ( )� � �a b c× × Indicar que condiciones genéricas deben cumplir tres vectores genéricos �a , �b y �c para que sean nulas las dos primeras de las anteriores expresiones. Sol.: (a) 0 (b) –12i+12k (c) 12√2. 5.- Un vector �a de componentes ( 1,2,3 ), con punto de aplicación en A = ( 3,-1,2 ), se suma con su momento respecto al origen de coordenadas. a) Hállese el módulo del vector resultante. b) Calcular la proyección del vector resultante respecto al eje Z. Sol.: (a) 12,69 (b) 10. 6.- Hallar la ecuación del plano que contiene al punto ( 1,0,-1 ) y es perpendicular al vector � � � �a i j k= + +2 3 . Sol.: x + 2y +3z +2 = 0. 7.- Determinar la ecuación del plano definido por los puntos (0,1,2), (3,-1,4) y (2,1,-3). Sol.: 10x + 19y + 4z – 27 = 0 8.- Dados los vectores a = (3,-2), b=(-4,1). Calcular: a) El vector suma y su módulo. b) El vector diferencia y su ángulo con el eje OX. c) El vector c = 2a-3b, y el vector unitario que define la dirección y sentido de c

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Sol.: (a) a+b = -i-j |a+b| = √2 (b) a-b = 7i-3j (c) ϕ = -23º11’55’’ c = 18i-7j jicc ��� 373737318 −= 9.- Calcúlese la expresión ⋅×

∂∂ ba bat �� �� , siendo ktjtita ���� 22 +−= y kjib ����

++= . Sol.: ( )

( )kit ��−

− 213 10.- Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son F=5N y G=7N, que forman respectivamente los ángulos con el eje OX de 60º y –30º. Calcular: a) La fuerza resultante b) Su módulo c) El ángulo que forma con el eje OX Sol.: NjiGF −++=+���� 2 7352 375 , |F+G| = 8.6N, φ = 5º32’15’’ 11.- Deseamos volar en un avión a 500km/h hacia el Este. La velocidad el viento es de 80km/h ¿Cuál debe ser la velocidad y rumbo de nuestro avión a) Si el viento sopla hacia el S? b) Si el viento sopla hacia el SE? c) Si el viento sopla hacia el SO? Sol.: (a) v = 506.3km/h α = 80º 54’ (b) v = 447km/h α = 82º 43’ (c) v = 559.4km/h α = 84º 11’. 12. Dados los puntos A(0,1,-2) y B(3,5,-1) determinar el vector que une estos dos puntos y un vector unitario en esa dirección y sentido de B hacia A . Sol.: AB = (3,4,1) u = (-3,-4,-1)/√26 13. Los tres vértices de un triángulo son A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular el área del triángulo y el ángulo en A. Sol.: S = 3 u2 a = 30º57’ 14.- Deducir la ley de los cosenos a2 = b2+c2-2bc cos(A) a partir de un producto escalar y a = b+c.

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15.- Se tiene el sistema de tres vectores u, v y w situados sobre las aristas de un cubo de lado a, de la forma que se indica en la figura. Calcular cual será el momento resultante de ese sistema de vectores respecto al origen de coordenadas. Sol. M=-a2j+2 a2k 16.- Hallar el ángulo que forma con los ejes de coordenadas el vector aceleración dtvd� siendo kjtitv ���� 2)cos()sen( +−= , correspondiente al caso t = 0. Sol.: (0º, 90º, 90º). 17.- Explica razonadamente el carácter escalar o vectorial de las siguientes magnitudes físicas: (a) La velocidad. (b) La Temperatura. (c) El Campo Eléctrico. (d) El Potencial Eléctrico. (e) La Fuerza. (f) La longitud de onda. (g) La entropía. (h) El calor. (i) El color. (j) El campo magnético. (k) La resistividad eléctrica. (l) Intensidad de corriente eléctrica 18.− La posición de un cuerpo viene dada por la siguiente expresión ktjtittr ���� 3)1log(2)( −−−−++++−−−−==== (metros) (a) Determinar razonadamente la velocidad del cuerpo y la rapidez (módulo) conque se mueve en t=1s (b) Determinar la aceleración en t=2s Sol. )12,9/1,0()2( /6.3)1( / )3,2/1,2()1( −−−−========−−−−−−−−==== asmvsmv �� 19.− La aceleración de un cuerpo viene dada por )/1,4,/1( 2tta ====

� . Determinar el incremento de rapidez y el vector desplazamiento entre t=2s y t=3s. Sol. ∆v=4.02m/s (0.91,10, 0.405)r∆ = −� 20.− Un avión se dirige al norte con una velocidad de 500 Km/h, pero sopla un fuerte viento de 100Km/h en dirección Oeste. Realizar un diagrama a escala de las velocidades y sumarlas gráficamente. Determinar el rumbo real que sigue el avión fruto de estas dos componentes de movimiento, es decir la velocidad del avión. Calcular el módulo de la velocidad (rapidez). Sol. smvjiv /9.509 m/s 500100 ====++++−−−−====����

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21.− Tres cargas eléctricas están situadas en los vértices de un triángulo. Las dos inferiores valen cada una 4C. Situamos una cuarta carga negativa de valor –3C en el centro como se indica en la figura. Determinar el valor de la carga desconocida de modo que la central esté en equilibrio en los siguientes casos: (a) El triángulo es equilátero y de lado 5m. (b) El triángulo es isósceles y de lados 8m y 3m. 30º+4C +4C-3CQ 5m Q

+4C +4C-3C 3m8m 1m Nota: Las fuerzas eléctricas son atractivas (signo negativo) entre cargas de distinto signo y repulsivas (signo positivo) entre las de igual signo; y su módulo es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas: F=Qq/r2. Sol. (a) Q=4C (b)Q=58C 22.− Tres niños tiran a la vez de un juguete en distintas direcciones. Sabiendo que la fuerza total sobre el juguete (que determina hacia dónde se moverá) viene dada por la suma de las fuerzas aplicadas al cuerpo, realizar el diagrama de fuerzas y determinar cual será la dirección y sentido de movimiento del juguete. Datos: El niño 1 tira hacia el Norte con una fuerza de 30N. El niño 2 tira con 50N formando un ángulo de 30º con la dirección Sur (Este). El niño 3 tira con 20N formando un ángulo de 45º con la dirección Oeste (Norte). Sol. F=(10.86,0.84) 23.− Dada la función F= 2vm r , determinar las derivadas parciales: 2( ), , y F F F Fv m r r∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

24.− Una varilla de longitud L tiene una densidad lineal (masa por unidad de longitud) dada por la siguiente función de la distancia a un extremo: cmgxx /)1/(3)( 2+=λ Dibujar la función y determinar la masa total de la varilla. Sol. M=3L/(L+1) 25.− Un alambre de 10m está cargado con una carga por unidad de longitud dada por la siguiente expresión: λ(x)=sin(x), donde x es la distancia a un extremo. Calcular la carga total que contiene. Sol. Q=1.84C