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FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO
SOCIALES Y EDUCACIÓNSOCIALES Y EDUCACIÓNSOCIALES Y EDUCACIÓNSOCIALES Y EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD DE EDUCCIÓN PRIMARIA
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS BASADAS EN EL MÉTODO DE
GEORGE POLYA PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LOS NIÑOS
(AS) DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CÉSAR
VALLEJO” – UPIS CÉSAR VALLEJO – CHICLAYO - 2009.
AUTORES : PILAR CÁRDENAS GUEVARA
DERLIS LÓPEZ BERRÚ
ASESOR : Dr. WALTER A. CAMPOS UGAZ
LAMBAYEQUE – PERÚ
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FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO FACULTAD DE CIENCIAS HISTÓRICO
SOCIALES Y EDUCACIÓNSOCIALES Y EDUCACIÓNSOCIALES Y EDUCACIÓNSOCIALES Y EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN
ESPECIALIDAD DE EDUCCIÓN PRIMARIA
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS BASADAS EN EL MÉTODO DE
GEORGE POLYA PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LOS NIÑOS
(AS) DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CÉSAR
VALLEJO” – UPIS CÉSAR VALLEJO – CHICLAYO - 2009.
TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN
EDUCACIÓN: ESPECIALIDAD DE EDUCACIÓN PRIMARIA.
AUTORES : PILAR CÁRDENAS GUEVARA
DERLIS LÓPEZ BERRÚ
ASESOR : Dr. WALTER A. CAMPOS UGAZ
LAMBAYEQUE – PERÚ
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ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS BASADAS EN EL MÉTODO DE
GEORGE POLYA PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN LOS NIÑOS
(AS) DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CÉSAR
VALLEJO” – UPIS CÉSAR VALLEJO – CHICLAYO - 2009
AUTORES : PILAR CÁRDENAS GUEVARA
DERLIS LÓPEZ BERRÚ
ASESOR : Dr. WALTER A. CAMPOS UGAZ
ESPECIALIDAD DE EDUCACIÓN PRIMARIA
Presidente :
Secretario :
Vocal :
Asesor :
_________________
_________________
_________________
_________________
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DEDICATORIA
A Ti Dios que me diste la oportunidad de vivir y de
regalarme una madre maravillosa.
Con mucho cariño a mi madre Alejandrina Guevara
Gallardo que me dio la vida y ha estado conmigo en todo
momento. Gracias por darme una carrera para mi futuro y
creer en mí, aunque hemos pasado momentos difíciles
siempre has estado apoyándome y brindándome todo tu
amor. Por todo esto te agradezco de todo corazón
Pilar Cárdenas Guevara. Pilar Cárdenas Guevara. Pilar Cárdenas Guevara. Pilar Cárdenas Guevara.
A Jehová, mi creador. A Palermo López Velásquez y Lucila Berrú Peña, mis padres, a Analí López Berrú, mi hermana y a Mereida López Velásquez, mi tía; quienes me apoyaron en todo momento, con sus consejos corrigieron mis errores y cultivaron e inculcaron los sabios valores del respeto y la responsabilidad.
Derlis López Berrú.Derlis López Berrú.Derlis López Berrú.Derlis López Berrú.
5
AGRADECIMIENTO
A Dios, por habernos permitido llegar hasta este momento tan especial en nuestras vidas, dándonos
fortaleza para alcanzar nuestras metas y haber salido vencedores ante los obstáculos y momentos
difíciles.
Manifestamos nuestro agradecimiento al Dr. Walter Antonio Campos Ugaz, por su imprescindible
aportación científica y técnica, en esta fase de investigación, que le ha llevado, en muchas ocasiones,
a dedicarnos su tiempo personal fuera de las obligaciones académicas, y, por algo infinitamente más
valioso y difícil de encontrar en nuestra sociedad tecnificada, como ha sido su interés y dedicación en
este trabajo, y a su habilidad personal para trasmitirnos ese mismo entusiasmo.
Queremos también expresar nuestra gratitud al Dr. Agustín Rodas Malca por la calidez, sugerencias
y apoyo incondicional para ayudarnos a culminar esta investigación.
Así mismo agradecemos a los (as) docentes: Dra Rosa E. Sánchez Ramírez, Ivonne Sebastiani Elías,
Luis Manay Sáenz y Percy Morante Gamarra por sus tiempos compartidos a lo largo de nuestra
formación profesional.
Al director de la I.E. Nº 10925 “César Vallejo” – Chiclayo y a las profesoras tutoras del cuarto
grado de primaria, cuyos niños son aquí protagonistas, por su comprensión y colaboración. Y, sobre
todo, a los niños participantes que nos han permitido conocer algo más acerca de su mundo de las
Matemáticas y, con ello, intentar ayudar a otros como ellos, a vivir mejor y con la misma alegría que
nos han mostrado, durante su aprendizaje.
A todos nuestros familiares, amigos y compañeros de estudio por sus continua animación e impagable
apoyo y amistad.
A todos vosotros, muchas gracias.
Pilar Cárdenas Guevara y Derlis López BerrúPilar Cárdenas Guevara y Derlis López BerrúPilar Cárdenas Guevara y Derlis López BerrúPilar Cárdenas Guevara y Derlis López Berrú
6
ÍNDICE Resumen ......................................................................................................... 09
Abstract ......................................................................................................... 10
Introducción .................................................................................................. 11
CAPÍTULO I: EL PROBLEMA.
1.1. Caracterización de la problemática. ..........................................................15
1.1.1. El deficiente rendimiento de la matemática en el mundo .............. 15
1.1.1.1. Deficiente rendimiento de la matemática en España ....... 16
1.1.1.2. Deficiente rendimiento de la matemática en Portugal. ..... 17
1.1.1.3. Deficiente rendimiento de la matemática en Marruecos... 18
1.1.1.4. Deficiente rendimiento de la matemática en A. Saudita... 19
1.1.1.5. Deficiente rendimiento de la matemática en Ghana........ 21
1.1.2. El Deficiente rendimiento de la matemática en Latinoamérica. .....22
1.1.2.1. Deficiente rendimiento de la matemática en Argentina. ... 24
1.1.2.2. Deficiente rendimiento de la matemática en Chile. .......... 25
1.1.2.3. Deficiente rendimiento de la matemática en Ecuador. ..... 28
1.1.2.4. Deficiente rendimiento de la matemática en Nicaragua. .. 30
1.1.2.5. Deficiente rendimiento de la matemática en México......... 31
1.1.3. El deficiente rendimiento de la matemática en el Perú................. 33
1.1.4. El deficiente rendimiento de la matemática en la Región
Lambayeque ................................................................................. 37
1.1.5. El deficiente rendimiento de la capacidad de resolución de
problemas matemáticos en los niños del 4º grado de la I.E. Nº
10925 “Cesar vallejo...................................................................... 38
1.2. Delimitación del problema. ....................................................................... 41
1.3. Planteamiento del problema..................................................................... 43
1.4. Enunciado del problema .......................................................................... 43
1.5. Formulación interrogativa. ....................................................................... 43
1.6. Objetivos. ................................................................................................. 44
1.6.1. Objetivo general. ......................................................................... 44
1.6.2. Objetivos específicos. ................................................................. 44
1.7. Justificación. ............................................................................................ 44
7
CAPÍTULO II: FUNDAMENTOS TEÓRICO-CIENTÍFICOS.
2.1. Antecedentes del problema. ................................................................... 47
2.2. Fundamentos teóricos. ......................................................................... 50
2.2.1. Modelo de George Polya. ........................................................ 50
2.2.2. Modelo de Alan Schoenfeld. .................................................... 54
2.2.3. Modelo de Miguel de Guzmán. ................................................ 57
2.2.4. Modelo de Lev Fridman. .......................................................... 59
2.2.5. Teoría de las situaciones didácticas de Guy Brusseau. .......... 61
2.2.6. Teoría del pensamiento creativo de Edward de Bono............. 65
2.2.7. Teoría Cognitiva de Jean Piaget. ............................................ 68
2.3. Base Conceptual. ...................................................................................... 71
2.3.1. Estrategias didácticas. ............................................................. 71
2.3.2. ¿Qué es un problema? ............................................................ 74
2.3.3. Componentes de un problema. ............................................... 65
2.3.4. Diferencias entre problema y ejercicio. .................................... 77
2.3.5. ¿Qué es resolución de problemas? ......................................... 79
2.3.6. Clasificación general de los problemas. .................................. 80
2.3.7. Los problemas matemáticos. .................................................. 81
2.3.8. Clasificación de los problemas matemáticos para trabajar en
primaria. ................................................................................... 83
2.3.9. Enfoque de la resolución de problemas en la matemática. ....100
2.3.10. La resolución de problemas como capacidad ....................... 103
2.3.11. ¿Cómo se resuelven los problemas matemáticos en la escuela?
................................................................................................ 107
2.3.12. ¿Cómo se debe afrontar la resolución de problemas? .......... 108
2.3.13. ¿Cómo plantear problemas a los alumnos? .......................... 111
2.3.14. Resolución de problemas y creatividad. ............................... 113
2.3.15. El proceso cognitivo en la resolución de problemas .............. 117
2.3.16. Tipos de conocimiento necesarios para la resolución de
problemas. ............................................................................ 119
2.3.17. La metacognición en la solución de problemas matemáticos 122
2.3.18. Relación entre inteligencia y resolución de problemas…….. 123
2.3.19. Habilidades que se desarrollan en la capacidad de R.P.M.....125
8
2.3.20. Procesos psicológicos implicados en la adquisición de
estrategias de solución de problemas. ................................. 126
2.4. Hipótesis. ....................................................................... ........................ 129
2.5. Variables. ................................................................................................ 129
2.6. Operacionalizacion de las variables. ..................................................... 130
2.7.Definición conceptual de la operacionalización de variables. ................... 132
CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN.
3.1. Tipo de investigación. ............................................................................. 134
3.2. Diseño de la investigación. ..................................................................... 134
3.3. Población y muestra. .............................................................................. 135
3.4. Instrumentos, técnicas y materiales de recolección de información. ..... 135
3.5. Análisis estadísticos de los datos. ......................................................... 138
3.6. Procedimientos. ...................................................................................... 139
CAPÍTULO IV: ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA INVES TIGACIÓN.
4.1. Análisis de los resultados de la investigación. ........................................ 147
4.2. Discusión de los resultados. ................................................................... 189
Conclusiones. .............................................................................................. 193
Recomendaciones. ...................................................................................... 194
Bibliografía . .................................................................................................. 195
Anexos. ......................................................................................................... 185
Evidencias
9
RESUMEN
Esta investigación se enmarca en la posibilidad de contribuir a los profesores
de educación primaria al desarrollo de la capacidad de resolución de problemas
matemáticos en los estudiantes a través del empleo de estrategias didácticas.
El problema que se aborda está centrado en la necesidad de desarrollar en los
estudiantes habilidades expresadas: en la comprensión, planificación,
ejecución y verificación; así mismo apropiarse de diversas estrategias
heurísticas para solucionar diversas situaciones problemáticas en el área de
matemáticas. En tal sentido se planteó la siguiente hipótesis: “Si se aplica
estrategias didácticas basadas en el método de George Polya entonces se
logrará desarrollar la capacidad de resolución de problemas matemáticos en
los niños (as) del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 César Vallejo –
UPIS César Vallejo – Chiclayo”. Esta investigación por ser de carácter cuasi-
experimental se apoyó en un diseño de dos grupos, uno de control y el otro
experimental a los cuales se evaluó a ambos en la variable dependiente, luego
a uno de ellos se aplica el tratamiento experimental, mientras que el otro sigue
con sus actividades rutinarias y al final nuevamente se evaluó a ambos grupos.
La investigación se basa en los planteamientos de George Polya, en la cual el
estudiante debe haber internalizado la real significancia del problema de cara a
la realidad, para luego esbozar un plan de acción, en la que se especifica la
ruta en términos estrictamente matemáticos; este proceso inicial implica la
ejecución de dicho plan que determina razonamiento, demostraciones,
interpretaciones matemáticas y finalmente en este proceso se procede a la
comprobación que es contrastar lógicamente la solución obtenida.
Por tanto concluimos que el área de matemática debe considerar como una
razón de ser a la capacidad de resolución de problemas, porque posibilita a los
estudiantes experimentar, utilizar y valorar la importancia que esta tiene en su
formación integral.
10
ABSTRACT This research is part of the possibility of contributing to primary school teachers
to develop the ability to solve mathematical problems in students through the
use of teaching strategies.
The problem addressed is focused on the need to develop skills in students
expressed: in understanding, planning, implementation and verification, likewise
appropriating various heuristic strategies to solve various problematic situations
in the area of mathematics. In this article we posed the following hypothesis: "If
implemented teaching strategies based on the method of George Polya then
will develop the ability to solve mathematical problems in children (as) the fourth
degree Primary EI No. 10925 Cesar Vallejo - UPIS César Vallejo - Chiclayo.
This research, being of a quasi-experimental design was based on two groups,
one control and one experimental which was assessed both in the dependent
variable, then one applies the experimental treatment, while the other is with
their routine activities and the final again two groups were evaluated.
The research is based on the approach of George Polya, in which the student
must have internalized the real significance of the problem facing the reality and
then outline a plan of action, which specifies the path on a strictly mathematical
This initial process involves the execution of the plan that determines reasoning,
demonstrations, performances and finally mathematics in this process is
necessary to check that is logically compare the obtained solution.
We therefore conclude that the area of mathematics should be seen as a
reason for the problem-solving ability, because it allows students to experiment,
use and value the importance it has on their comprehensive education.
11
INTRODUCCIÓN
Uno de los grandes fines de la educación, es que los alumnos aprendan a
resolver problemas que se les presente con el uso de los medios o recursos
con los cuales cuentan para cada caso o situación, los que pueden ser tan
variados, simples o complejos.
En la actualidad se enfatiza el desarrollo de la capacidad de resolución de
problemas matemáticos, se pretende desarrollar en el alumno una serie de
estrategias y procesos mentales que tengan en común el desarrollo de la
creatividad en base a la observación y curiosidad, sin embargo, los maestros
parece que han olvidado el valor de las matemáticas en los currículos y
especialmente la resolución de problemas; el pensamiento resolutivo no está
suficientemente estimulado, la mayor parte de las actividades de aprendizaje
están orientadas a procurar la adquisición de datos, conceptos, principios o
teorías, pero difícilmente se vincula estas adquisiciones a la resolución de
situaciones problemáticas.
El término resolución de problemas se confunde fácilmente con un simple
ejercicio, conllevando a la confusión e inhibiendo su importancia. No se trata de
un mero problema sino de discriminar los roles científicos, sociales, escolares,
curriculares que juegan en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. En
consecuencia, ejercicio es un conjunto aislado de preguntas que no se
relacionan más allá de él mismo, su propósito principal es la velocidad y
precisión, limitando la creatividad, la intuición y la integración de las
operaciones mentales del individuo; mientras que un problema tiene diversas
acepciones, en todos existen diversos elementos comunes que hacen la
esencia que en sí es un problema: obstáculo, reto, razonamiento, pensamiento
reflexivo, desconocimiento de la solución por parte del alumno y que,
integrándolos, constituyen situaciones que no se ajustan sólo al manejo teórico
del conocimiento, sino que crea un estado de tensión, ansiedad y que
intelectualmente estimula los centros emocionales, despertando necesidades e
12
intereses de razonamiento y descubrimiento de nuevas situaciones favorables
para crear condiciones de un proyecto de vida de calidad.
La investigación sobre la cuestión a la que hacemos frente en este trabajo la
inició el matemático húngaro George Polya en 1945 , y se refiere a la dificultad
generalizada de los alumnos frente a la resolución de problemas matemáticos.
El presente estudio pretende aportar en el campo de la orientación académica
para mejorar la enseñanza de la matemática de modo que facilite el desarrollo
de la capacidad de resolución de problemas de los estudiantes. Es decir,
conocer qué aspectos están incluidos en la resolución de problemas, qué
procesos subyacen a la respuesta exitosa y qué características muestran las
personas que resuelven correctamente las pautas de mensajes para educar en
la resolución de problemas.
El problema en que se centra nuestra investigación se sustenta en que “los
niños (as) del 4º grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “César Vallejo” – UPIS
César Vallejo - Chiclayo presentan deficiencias en su capacidad de resolución
de problemas matemáticos afectando el proceso de enseñanza – aprendizaje
de la matemática”
Entonces nuestro enunciado del problema quedó expresado de la siguiente
manera: ¿De qué manera la aplicación de estrategias didácticas basadas en el
método de George Polya contribuirá a desarrollar la capacidad de resolución de
problemas matemáticos en los niños (as) del 4º grado de primaria de la I.E.Nº
10925 “Cesar Vallejo” - UPIS César Vallejo - Chiclayo?.
El objetivo general se rige principalmente a: “Aplicar estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya para desarrollar la capacidad de
resolución de problemas matemáticos en los niños (as) del 4º grado de primaria
de la I.E.Nº 10925 “César Vallejo” - UPIS César Vallejo - Chiclayo”.
La hipótesis a defender es: “Si se aplica estrategias didácticas basadas en el
método de George Polya, entonces se logrará desarrollar la capacidad de
13
resolución de problemas matemáticos en los niños (as) del 4º grado de primaria
de la I.E.Nº 10925 “César Vallejo” – UPIS César Vallejo - Chiclayo”.
Desde esta perspectiva se ha planificado y desarrollado esta investigación en
cuatro capítulos.
El capítulo I, sintetiza los últimos estudios regionales, nacionales e
internacionales sobre el rendimiento de los alumnos en el área de matemática,
considerando su bajo rendimiento en esta materia. A nivel mundial, exponemos
los resultados de dos estudios que han tenido una especial relevancia en los
últimos años como el Programa Internacional Para La Evaluación De
estudiantes (PISA) y Tendencias Internacionales En El Estudio De Las
Matemáticas Y La Ciencia (TIMMS). A nivel latinoamericano analizamos los
resultados del Primer y segundo Estudio Regional Explicativo y Comparativo
(PERCE – SERCE) del Laboratorio Latinoamericano De Evaluación De La
Calidad Educativa (LLECE) de la Organización De Naciones Unidas Para La
Educación y La Cultura (UNESCO). A nivel nacional y regional, los exámenes
tomado a docentes por el Ministerio de Educación y a estudiantes por la Unidad
de Medición de la Calidad Educativa (UMC). Así mismo, expone las razones
básicas que han concretado este estudio, en la creación y aplicación de
estrategias que ayuden a resolver problemas matemáticos.
En el capítulo II , expone los fundamentos teórico – científicos, donde
inicialmente se presenta una síntesis de los modelos que ayudan a la
resolución de problemas propuestos por Polya, Schoenfeld, De guzmán y
Fridman, y los aportes científicos de De Bono, Piaget y Brosseau. El apartado
siguiente presenta la base conceptual: de estrategias, clasificación de los
problemas, procesos cognitivos y factores que afectan la resolución,
conocimientos necesarios para resolver problemas, cómo influye la
metacognición en la resolución de los mismos y los procesos psicológicos que
influyen en una estrategia de resolución de problemas.
El capítulo III , analiza la metodología utilizada en la investigación, partiendo
desde el diseño de la investigación, caracterización de la muestra
14
seleccionada, elaboración de las técnicas e instrumentos para la recolección de
datos; hasta los métodos empleados para operativizar la variable
independiente.
El capítulo IV , recoge el análisis e interpretación de los resultados obtenidos
de los cuestionarios aplicados a los alumnos y docentes del 4º grado de
primaria antes y después de operativizar la variable independiente.
Se finaliza este trabajo con las conclusiones, que hacen referencia a los
hallazgos significativos de la investigación; las sugerencias y recomendaciones
referidas al compromiso de apropiarlas y hacer parte de la práctica educativa
con los docentes del área de matemática y si fuera posible aplicarlas, incluso
en otras áreas de aprendizaje; finalmente, las referencias bibliográficas y los
anexos.
15
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
1.1. CARACTERIZACIÓN DE LA PROBLEMÁTICA.
Nadie pone en duda que saber matemáticas es una necesidad imperiosa en
la sociedad cada vez más compleja y tecnificada, en la que se hace más
difícil encontrar ámbitos en los que las matemáticas no hayan abarcado.
Sin embargo, la mayoría de las personas no alcanzan el nivel de
competencia mínimo para desenvolverse en la sociedad del conocimiento,
es decir, encuentran a las matemáticas difíciles y aburridas a lo que hay que
añadir las inseguridades que tienen respecto a su capacidad de resolución
de problemas. Podemos decir de la Matemática es una materia que
generalmente despierta sentimientos encontrados. Existen personas que,
debido a las vivencias que han tenido, manifiestan una actitud de rechazo,
tienen baja autoestima para enfrentarse con éxito a la resolución de
situaciones en las que deban hacer uso de sus conocimientos matemáticos
y, por ello, delegan estas tareas en terceras personas.
En tal sentido, es necesario revisar la problemática de la resolución de
problemas matemáticos a nivel mundial, de Latinoamérica, a nivel del Perú,
de Lambayeque y de la I.E. “Cesar Vallejo”; como a continuación se detalla.
1.1.1. EL DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA E N EL
MUNDO.
Matemáticas es la única área que se estudia en todos los países del
mundo y en todos los niveles educativos. Supone un pilar básico de la
enseñanza en todos ellos. Las matemáticas constituyen un idioma
poderoso, conciso y sin ambigüedades. Pero al mismo tiempo, La
matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolares
16
del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus
hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento
necesario (Puig, 1958; citado por Nápoles 2005).
Generalmente niños y adultos sufren de ansiedad hacia la matemática
creen que no son capaces de realizar actividades o asistir a clases que
contengan matemática. Con frecuencia los estudiantes eligen su
carrera basándose en cuánta matemática tiene, llevándolos a creer
que son de algún modo deficientes en sus capacidades matemáticas.
Esta creencia conducirá a un pobre desempeño en pruebas y cursos
en general; y se incrementa la ansiedad cuando se trata de resolver
problemas matemáticos.
A continuación se presenta el problema de resolución de problemas
matemáticos y en general en nivel de la matemática que logran
alcanzar en las diferentes evaluaciones internacionales los niños y
niñas de diversos países del mundo.
1.1.1.1. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
ESPAÑA.
Riviere (2005) proporciona los datos de una investigación
evaluativa que compara el rendimiento de los alumnos en
matemática en varios países, entre ellos España. Según estos
datos sólo un 57% de los niños españoles de 13 años alcanzan
un nivel funcional mínimo para responder a las demandas
cotidianas y poder desenvolverse en la sociedad actual o lo que
es lo mismo, un elevado 43% no poseen esta habilidad en su
valor instrumental básico. Se ha comprobado, que existen
dificultades en la resolución de problemas debido a la
inadecuada comprensión del texto del problema, aspecto que
influiría en el fracaso más que en las operaciones matemáticas
propiamente dichas. Ante un problema lo verdaderamente
importante es la comprensión de su estructura lógica. También
17
no se tienen las estrategias adecuadas para su resolución. Una
primera recomendación es que los problemas estén claramente
expresados, ya que los niños representarán e ilustrarán de un
modo concreto para facilitar su proceso de razonamiento y que
discutan y justifiquen con sus compañeros sus estrategias de
resolución.
Álvarez (2009) del diario El País de Madrid afirma que a pesar
de el incremento de una hora más de matemática por los malos
resultados de los exámenes regionales, la prueba de
Conocimientos y Destrezas Indispensables (CDI) que hicieron
en abril los alumnos de 3º de ESO (que tienen entre 14 y 15
años) dio la voz de alarma. Más de la mitad suspendió el
examen. El 80% "no sabían resolver reglas de tres o convertir
las horas a minutos" según declaraciones de la consejera de
Educación, Lucía Figar. Para ello los estudiantes más
avanzados darán, si eligen, clases optativas de ampliación. Los
más rezagados, lecciones de refuerzo que serán obligatorias
para quienes suspendan. Habrá material de trabajo específico
para el área.
1.1.1.2. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
PORTUGAL.
En un estudio realizado en Portugal en el 2008 por la compañía
Mathnasium, especializada en el aprendizaje de matemáticas,
con más de 5000 alumnos entre 6 y 15 años para valorar el
nivel de conocimiento de las matemáticas, revela el alto grado
de dificultad que encuentran los estudiantes en esta materia.
Entre otras conclusiones del estudio cabe destacar que: Los
estudiantes que terminaron primaria manifiestan grandes
dificultades en los números decimales, problemas con el
dominio de las fracciones y su aplicación en problemas simples.
18
Además tienen un nivel muy bajo en el cálculo de porcentajes y
su relación entre números decimales, fraccionarios y
porcentuales. No tienen consolidada la aritmética y revelan poco
sentido del número, que les impide tener un buen razonamiento
matemático.
Esta investigación confirma que las matemáticas son un
problema para los alumnos, donde el índice de fracaso escolar
en matemáticas también es muy alto. El sistema de la compañía
cuenta con un gran reconocimiento internacional gracias a su
sencilla operativa y el trato personalizado que ofrecen a cada
uno de sus alumnos. Mediante este método Mathnasium ha
logrado reforzar la confianza y autoestima de miles de alumnos
en más de una decena de países.
1.1.1.3. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
MARRUECOS.
Marruecos ha participado en varias evaluaciones TIMSS
(Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y
Ciencias), siendo las últimas en 1999, 2003 y 2007 que evalúan
a alumnos de cuarto y octavo grado.
En TIMSS 1999 Marruecos alcanzó en matemáticas un
promedio de 323 puntos, ubicándose en el penúltimo lugar, por
encima de Sudáfrica que alcanzó 243 puntos. (IEA, 2001. pp:
39)1.
En TIMSS 2003 logró un promedio de 387 puntos, ocupando el
lugar 45 de los 49 países participantes. Podemos observar un
incremento significativo con respecto a TIMSS 1999, sin
embargo, ningún alumno alcanza el nivel avanzado en ambos
1 IEA: Asociación Internacional Para La Evaluación De Los Logros Educativos.
19
grados, el 1% logra ubicarse en el nivel alto que significa
sobrepasar los 550 puntos. El 10% de los alumnos del octavo
grado alcanza el nivel intermedio, el 42% el nivel bajo, mientras
que el 58% de los estudiantes no alcanza el nivel mínimo de
desempeño en la realización de tareas básicas (nivel más bajo)
establecidos por TIMSS (Mullis y otros, 2004. pp65)2.
En TIMSS 2007 Marruecos se ubica en el tras antepenúltimo
lugar de los 59 países participantes y 7 entidades subnacionales
(estados o provincias de algún país) con 381 puntos de
promedio (Mullis y otros, 2008. pp: 71). Los resultados son
desilucionantes, puesto que ningún alumno sobrepasa los 625
puntos que es el nivel avanzado, tan sólo el 1% alcanza el nivel
alto. Mas del 45% de los alumnos del octavo grado se ubica por
debajo del nivel mínimo evaluado, mientras que en cuarto grado
más del 63% no alcanza ni siquiera el nivel más bajo. Resulta
inquietante constatar que el 5% mejor de los alumnos
Marroquíes de matemáticas no tienen rendimientos superiores a
los del 25% peor de los estudiantes singapurenses o coreanos;
o que esos mismos alumnos puestos en la República Eslovaca
o en Bélgica estarían acercándose apenas a aquellos de
rendimiento promedio. Haciendo una comparación entre TIMSS
2003 y 2007 observamos que Marruecos ha descendido 6
puntos.
1.1.1.4. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
ARABIA SAUDITA.
Arabia Saudita es el país con mayores reservas de petróleo del
mundo, posee alrededor del 23% del total de reservas
mundiales; produciendo 1828,5 m3/día, es decir 11,500 barriles
al día por pozo. Sin embargo, la riqueza en hidrocarburos y todo
2 TIMSS 2003. Informe de Matemáticas. Apreciación de las Tendencias de la IEA en el Internacional de Matemáticas y Ciencias en el Cuarto y Octavo Grados.
20
el ingreso percápita de este país parece no tener efectos
significativos en las políticas educativas que incidan en la
mejora de la calidad de los aprendizajes.
Esto se evidencia claramente en las evaluaciones TIMSS 2003
y TIMSS 2007 participando alumnos del octavo grado, donde en
matemáticas ocupa el penúltimo lugar de los 50 países
participantes en la prueba.
Arabia Saudita ha obtenido en TIMSS 2003 un promedio de 332
puntos, ubicándose en el antepenúltimo lugar, apenas supera a
Ghana (276) y a Sudáfrica (264). Cabe resaltar que ningún
estudiante alcanza el nivel avanzado y alto. El 81% de los
estudiantes no resuelve las tareas mínimas que TIMMS
pretende evaluar; Apenas el 3% se ubica en nivel medio y un
19% lo hace en el nivel bajo, es decir superar los 400 puntos
que la prueba exige como mínima puntuación.
En TIMSS 2007 alcanza un promedio de 329 puntos. Al igual
que en el 2003, ningún alumno alcanza ubicarse en el nivel
avanzado y alto, sólo el 3% de los estudiantes logra el nivel
intermedio, el 18% el nivel bajo, mientras el 79% se encuentra
muy por debajo de los aprendizajes mínimos que la prueba
exige, como desarrollar problemas y ejercicios simples y
rutinarios.
Como se puede apreciar, no hay un avance en el desarrollo y
desempeño de los estudiantes en matemática, mas por el
contrario, si hacemos una comparación entre TIMSS 2003 y
TIMSS 2007 observamos que Arabia Saudita a retrocedido en
promedio de 5 puntos.
21
1.1.1.5. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
GHANA.
Ghana tiene uno de los mejores sistemas educativos en toda
África. Hay tres niveles principales. El pre-primero elemental, el
primario y medio, secundario y el nivel Universitario. En la
actualidad Ghana tiene 12,130 escuelas primarias, 5,450
secundarias básicas, 503 preuniversitarios, 21 universidades de
entrenamiento, 18 instituciones técnicas, dos diploma que
otorga las instituciones y cinco universidades que sirven una
población de aproximadamente 18 millón. Esto está en
contraste con el período antes de la independencia en 1957,
cuando Ghana tenía una universidad y unas cuantas escuelas
secundarias y primarias.
Todo gracias a mas de 20 años de paz y democracia, Ghana a
podido reducir la pobreza hasta en un 35% (ONU, 2003) gracias
a la ayuda internacional y el aprovechamiento de los minerales
como el oro, manganeso, diamantes y coco; sin embargo, los
resultados de Ghana en las evaluaciones internaciones de los
logros educativos no son nada alentadores.
Ghana ha participado con alumnos del octavo grado en TIMSS
2003 y 2007. En TIMSS 2003 alcanza un promedio total de 276
puntos (Mullis y otros, 2004. pp: 65) en matemática, ubicándose
en el último lugar de los 49 países participantes. Ningún alumno
logra el nivel avanzado y alto respectivamente. Apenas el 2%
sobrepasa los 475 puntos (nivel intermedio) y el 9% los 400
puntos (nivel bajo). Por consiguiente, el 90% de los alumnos
Ghaneses se ubican muy por debajo del nivel mínimo evaluado
en matemáticas por la IEA: TIMSS.
22
En TIMSS 2007, Ghana logra 309 puntos, pero a pesar que ha
logrado un incremento de 34 puntos en comparación a TIMSS
2003, aún se encuentra ocupando el último lugar de los 59
países participantes (Mullis y otros, 2008. pp 71). Al igual que en
el 2003, ningún alumno alcanza el nivel avanzado y alto, sólo
4% se ubica en el nivel intermedio y el 17% en el nivel bajo. Más
del 79% de los estudiantes Ghaneses del Octavo grado no
saben resolver problemas y ejercicios matemáticos simples y
rutinarios, mínimo nivel que TIMSS pretende evaluar.
1.1.2. EL DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA E N
LATINOAMÉRICA.
Las diferentes evaluaciones internaciones como: El Programa
Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA), Tendencias
Internacionales en el Estudio de las Matemáticas y la Ciencia (TIMMS);
Primer Estudio Regional Explicativo y Comparativo (PERCE) Y el
Segundo Estudio Regional Explicativo y Comparativo (SERCE) del
Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad Educativa
(LLECE) de la Organización de las Naciones Unidas para la
Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO); muestran que América
Latina y El Caribe tienen serias dificultades en el rendimiento de sus
estudiantes en el área de matemática. Entre los países con más bajo
rendimiento están Perú, Paraguay, Nicaragua, Panamá, Ecuador,
Guatemala y República Dominicana que ocupa el último lugar en la
región3.
El bajo ingreso económico, el tipo de educación rural y urbana, la
precaria formación y capacitación de los docentes, la escasa inversión
de los estados en educación, entre otros; son algunas de las diversas
causas del bajo rendimiento académico en matemática, en
comunicación y ciencias de los niños Latinoamericanos y del Caribe.
3 Informe de los resultados SERCE (2006), publicado por la OREALC/LLECE - UNESCO
23
En el caso de matemática, al nivel superior de desempeño en el
SERCE, sólo lo alcanzan, el 11% de los estudiantes tanto de tercer
como de sexto grado de básica4. Es decir, sólo ese porcentaje de
estudiantes de ambos grados puede responder correctamente la
mayoría de las preguntas de mayor demanda cognitiva de las pruebas
de Matemática. En tercer grado mas del 40% de los alumnos
evaluados no son capaces de resolver problemas simples y el 10,2%
ni siquiera es capaz se reconocer objetos y elementos que están
explícitamente en el enunciado. Ello acusa un significativo déficit de
calidad de la educación en este campo que se está ofreciendo a los
estudiantes de primaria de América Latina y el Caribe.
Para matemática fueron establecidos cinco grandes dominios de
contenidos: Numérico: números y operaciones, Geométrico: espacio y
forma, De la medición: tamaño y medida, Estadístico: del tratamiento
de la información, Variacional: estudio del cambio. Además Tres
niveles de procesos cognitivos fueron implicados: reconocimiento de
objetos y elementos, solución de problemas simples y , solución de
problemas complejos5:
• Reconocimiento de objetos y elementos: implica la identificación
de hechos, conceptos, relaciones y propiedades matemáticas,
expresados de manera directa y explícita en el enunciado.
• Solución de problemas simples: exige el uso de información
matemática que está explícita en el enunciado, referida a una
sola variable; y el establecimiento de relaciones directas
necesarias para llegar a la solución. Este nivel involucra:
Interpretar la información explícita que se brinda, representar la
situación, establecer relaciones directas entre los datos,
planificar una estrategia de solución, registrar el proceso de
resolución utilizado, analizar la razonabilidad del resultado.
4 Dr. C. Héctor Valdés Veloz. Coordinador del LLECE. OREALC / UNESCO Santiago 5 Bronzina, L.; Chemello, G. y Agrasar, M. (2006). Aportes para la Enseñanza de la matemática. SERCE.
24
• Solución de problemas complejos: requiere la reorganización de
la información matemática presentada en el enunciado y la
estructuración de una propuesta de solución, a partir de
relaciones no explícitas, en las que está involucrada más de una
variable. Este nivel superior involucra: Interpretar la información
que se brinda, reorganizar la información presentada en el
enunciado, seleccionar la información necesaria para resolver,
representar la situación, establecer relaciones explícitas y no
explícitas entre los datos, planificar una estrategia de solución,
registrar el proceso de resolución utilizado y analizar la
razonabilidad de los resultados.
Para un mejor estudio, a continuación se presenta los niveles de
rendimiento en matemática y particularmente en la resolución de
problemas matemáticos en algunos de los países de Latinoamérica y
del Caribe:
1.1.2.1. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE MATEMÁTICA EN
ARGENTINA.
Según expertos nacionales y extranjeros, dice Kantt (2007),
décadas de desinversión en el área educativa, pocos días de
clase, conflictos docentes, ausencia de políticas integrales,
desigualdades entre las escuelas, falta de apuesta por la
educación como elemento del desarrollo, colocan a Argentina
en los últimos puestos en las evaluaciones internacionales que
miden el nivel de los estudiantes de primaria y secundaria.
El estudio elaborado por el Laboratorio Latinoamericano de
Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE - 2006)
ubicó a Argentina en la media de 16 países de la región en
rendimientos en lengua y ciencias, y obtuvo los logros más
bajos en matemática, según el estudio comparativo
25
organizado por UNESCO, del que participaron 200 000
alumnos.
El desalentador panorama que quedó en evidencia con los
resultados de la evaluación internacional Programme for
International Student Assessment 2006 (PISA) generó,
además de alerta y preocupación, la necesidad de saber por
qué la Argentina ha llegado a niveles tan bajos en ciencia,
matemática, y lectura y comprensión de textos, ubicándose en
los puestos 51, 52 y 53 sobre 57 naciones evaluadas.
Los resultados eran de esperarse, ya que los problemas de
calidad de la educación Argentina habían sido reflejados con
la difusión del Operativo Nacional de Evaluación (ONE), cuyos
exámenes marcaron que matemática y ciencia eran los puntos
débiles en el aula. Mientras otros países vieron aumentar su
rendimiento en los últimos años, el nivel de Argentina empeoró
en comparación con su única participación, en 2000, y volvió a
situarse por debajo del promedio de los países de la
Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico
(OCDE), más del 60 por ciento de los alumnos argentinos se
situó en el nivel más bajo de rendimiento en matemática, lo
que evidencia, según el informe, la necesidad de mejorar los
estándares globales de la educación.
1.1.2.2. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
CHILE.
Según el examen PISA 2006, la buena posición de Chile,
relativa a los cinco países latinoamericanos que rindieron esta
prueba, no alcanza para festejos al comprobar que el 55% de
los niños tienen rendimiento muy por debajo de los 420.1
puntos. Este puntaje corresponde al límite superior del nivel
más bajo considerado en este estudio (nivel 1), caracterizado
26
por un dominio sólo con problemas con respuesta directa, con
toda la información disponible, que requieren acciones obvias
y se desprenden directamente de los estímulos presentados.
Más de la mitad de ellos(un 28,2% de los jóvenes)no alcanza
siquiera el puntaje límite inferior de ésta categoría (357.8
puntos), lo que significa que se encuentran completamente
excluidos de los conocimientos matemáticos mínimos que esta
prueba permite caracterizar.
Se sabe que el SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de
la Educación) en matemática del 4º básico se ha mantenido
esencialmente estancado, al observar los resultados del año
2007 y compararlos con los del año 2006 y 2005, no se
aprecian variaciones significativas de los puntajes promedio
obtenidos. El 41% de 4º Básico que rindieron las pruebas
SIMCE 2007 no han consolidado los aprendizajes señalados
en el Nivel Intermedio. Aquí se agrupan desde aquellos
estudiantes que están recién iniciando la comprensión de los
números naturales, la realización de cálculos simples, el
estudio de las formas geométricas y el manejo de aspectos
básicos de la resolución de problemas; hasta aquellos cuya
comprensión de la Matemática es fluctuante. Tan solo el 33%
alcanza un nivel intermedio demostrando conocimientos
básicos de los números naturales, utilización de fracciones
simples, caracterización y relación de formas geométricas y
en la resolución de problemas sencillos.
En la prueba internacional TIMSS (Tendencias Internacionales
en el Estudio de las Matemáticas y la Ciencia) 2003, el 59%
obtienen rendimiento en un nivel inferior al conocimiento
mínimo que permite describir TIMSS en matemáticas. Chile
mostró un rendimiento similar a Marruecos, Botswana (Barros,
2008) y otros países con un índice de desarrollo humano
inferior. Se sabe también que los resultados insatisfactorios de
27
Chile en ésta prueba no son solo los de los sectores más
postergados. La incomoda verdad es que los mejores
alumnos, de los sectores con mayor capital cultural, de los
colegios de élite, también se ubican más abajo del promedio
de los países de alto rendimiento en estos ranking
internacionales. Así, ni el tamaño del curso, ni el monto de la
subvención, ni la dependencia administrativa de la escuela, ni
tampoco el grupo socioeconómico de pertenencia de la
familia, sirven para explicar esta democrática extensión de los
magros logros en matemática.
Felmer y Varas (2007) se interrogan: ¿Será que los chilenos
somos malos para la matemática y no tenemos remedio?
¿Serán los profesores los culpables que necesitamos
encontrar? ...¿Cómo es la preparación para enseñar
matemática de los profesores de Educación Básica Chilenos?.
Al respecto, el trabajo realizado por Julio Deride, en una
Práctica de Vacaciones de la carrera de Ingeniería Matemática
de la Universidad de Chile, plantea relacionar algunos índices
con la simple pregunta ¿Cuántos cursos de matemática
(independiente de su contenido específico, calidad,
profundidad, extensión o ubicación en la malla curricular)
cursan los estudiantes de Pedagogía en la Enseñanza Básica
(PEB) en su formación?. De este análisis de información
pública existente se obtienen señales preocupantes y
coherentes con los bajos rendimientos escolares.
En Chile existen 59 instituciones que ofrecen casi 200 carreras
PEB. El 77% de los alumnos de PEB siguen carreras que
tienen menos del 8% de cursos de matemática (incluyendo
cursos de didáctica de la matemática). Aún cuando el mayor
número de carreras han sido creadas en los últimos 10 años,
según datos del Consejo Superior de Educación (CSE), el
número de cursos de matemática ofrecidos no ha cambiado,
28
más aún el análisis de las mallas curriculares permite advertir
que no hay mayor innovación en la nueva oferta.
Este estudio concluye que en Chile los profesores de E.B.
difícilmente podrían dominar los contenidos matemáticos y
pedagógicos de la matemática que enseñan pues
simplemente no tienen la oportunidad de adquirirlos. No es
posible sostener que tal preocupación podría ser adquirida
después durante la vida laboral. Quién conozca la matemática
de cerca sabrá el rol crucial del trabajo extendido en el tiempo
y dedicación concentrada que requiere su aprendizaje.
1.1.2.3. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
ECUADOR.
En Ecuador solo un 7% de estudiantes es diestro en
matemáticas, los profesores de la cátedra tienen deficiencias
para enseñar, no hay libros adecuados para estudiar y los
programas son caducos. A ello se añade un problema de
fondo: en muchas familias ecuatorianas no hay estímulo
suficiente, seguimiento o control de estudio en los niños y
adolescentes.
De acuerdo al Sistema Nacional de Evaluación de la Calidad
de la Educación (SECE), de Aprendo, en el que se califican
las destrezas en matemáticas, un 80% de estudiantes se
encuentra en un nivel básico y el 13% en el de avance
(intermedio). Esto significa que solo siete de cada 100
alumnos están en capacidad de dominar las destrezas y por lo
tanto de pasar un año escolar. El 67, 28% de estudiantes no
tienen la capacidad de resolver problemas en el campo aditivo
o que requieren una multiplicación con sentido de
proporcionalidad en el campo de los números naturales.
29
Las pruebas fueron efectuadas a 60.468 estudiantes de 1.125
planteles (712 escuelas y 413 colegios) de tercero, séptimo y
décimo año de educación básica. En Matemáticas, se
midieron destrezas relacionadas con el reconocimiento de sus
objetos (números, figuras y sólidos), la ejecución de algoritmos
y la resolución de problemas. Los alumnos ecuatorianos no
superan el promedio de 7,91 sobre a 20; siendo los alumnos
de la Sierra los que dominaron todas las destrezas
examinadas en mayor porcentaje que los de la Costa. Los
estudiantes de los establecimientos particulares urbanos
aventajaron a los fiscales-urbanos en destrezas.
Para Rolando Sáenz, matemático de la Universidad Central, la
causa principal del bajo rendimiento es la falta de preparación
del maestro en todos los niveles: "Los institutos pedagógicos y
las facultades universitarias dan mayor importancia a la parte
pedagógica y se deja de lado el área científica. El profesor
primero debe saber qué se enseña y luego encargarse del
cómo".
El maestro tiene que desarrollar los cuatro sistemas de las
matemáticas: numérico, de funciones, simetría y medida, y
probabilidad estadística. Adicionalmente, Sáenz identifica dos
problemas: no existen en el país libros adecuados para la
educación elemental y media que satisfagan las necesidades
y muchos de los programas datan desde hace 25 años y no
han sido actualizados ni revisados.
En Ecuador, la educación durante largos años no ha sido
prioridad; los niveles de inversión en el sector han venido
fluctuando erráticamente. La falta de una definición pública ha
sido el detonante para el incremento del número de
instituciones privadas de educación que, de alguna manera,
han buscado suplir las demandas de una educación de
30
calidad. El deterioro permanente de la calidad de la educación
en el país se ha visto reflejado en las pruebas de rendimiento
de sus estudiantes. En cada proceso de evaluación, los
alumnos de todos los niveles de educación básica han
evidenciado serios vacíos, sobre todo en Lenguaje y
Matemática. Otro de los grandes problemas de la educación
ha sido el nivel de politización de su administración. Durante
años, las direcciones provinciales han evidenciado una
administración con mayor tinte político y menor componente
técnico.
1.1.2.4. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
NICARAGUA.
En el 2006 la Organización de Naciones Unidas para la
Educación (UNESCO), presentó el Segundo Estudio Regional
Comparativo y Explicativo (SERCE), elaborado por la Oficina
Regional de Educación para América Latina y el Caribe, y el
Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad
Educativa (LLECE), en que por primera vez participa
Nicaragua, los resultados son mucho más que alarmantes.
De acuerdo con el estudio, el 60.05% de los estuantes del
tercer grado evaluados están por debajo del nivel I, si
sumamos los que quedaron en II nivel, el 90.55% de los
alumnos no alcanzan los requisitos para entrar en el nivel III
de los cuatro establecidos por el estudio. Esto significa que los
alumnos no son capaces de resolver problemas que requieren
dos operaciones, no reconocen la regla de formación de una
gráfica o numérica adictiva, para continuarla e identificar
figuras geométricas no usuales e interpretar distintos tipos de
gráficos para extraer información y resolver problemas que
implican operaciones con datos.
31
Menos del 3% de los niños evaluados alcanzan el III nivel, que
implica resolver problemas simples que involucran el
reconocimiento y uso de una de las cuatro operaciones
básicas (adición, sustracción, multiplicación o división) . El
56,76% de no pueden resolver problemas simples en
contextos familiares, que involucran el reconocimiento y uso
de una sola operación básica (adición, sustracción o
multiplicación).
José Antonio Zepeda, Secretario General de la Asociación
Nacional de Educadores de Nicaragua (ADEN) y Reyna
López, de la Oficina de Evaluación del Currículo del Ministerio
de Educación (MINED) señalan que probablemente una de las
causas de los desastrosos resultados obtenido por los
estudiantes de Nicaragua se debe a la promoción automática
del primer hasta el tercer grado, la inversión que el estado
hace en educación en vez de aumentar se está reduciendo,
sólo se destina el 3.2% del PBI, es decir muy alejado del 60%
recomendado por la UNESCO. También destacan el papel de
los maestros, debido a que los educadores se les forma para
reproducir, no para reconstruir, que son dos cosas totalmente
diferentes. Reproduce lo que al sistema le interesa, pero no lo
que la sociedad necesita.
1.1.2.5. DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA EN
MÉXICO.
La evaluación PISA 2006 se aplicó a 37706 jóvenes de 15
años de escuelas públicas y privadas. El informe reveló que
uno de cada dos alumnos es incapaz de “resolver problemas
elementales”, según el PISA, Chiapas, Tabasco, Oaxaca,
Guerrero, Campeche, Puebla, Michoacán, Nayarit, Hidalgo,
Sinaloa, Quintana Roo y Guanajuato, entre las entidades de
32
peor desempeño; Distrito Federal, Aguascalientes, Coahuila y
Colima y Nueva León, de las mejores.
En México, 50 por ciento de los jóvenes de 15 años se ubicó
en los niveles cero y uno, los más bajos del rendimiento
escolar en las habilidades matemáticas, lo que significa que
están poco calificados para pasar a los estudios superiores y
resolver problemas elementales. 56% se quedó entre el cero y
el uno, sólo 0.8% en el cinco y 0.1% en el seis. México tiene
20.7% más de alumnos en el nivel cero que el promedio de la
organización.
Según pisa 2006, México se encuentra en el puesto 48, por
debajo de Uruguay (42) y Chile (47). Si comparamos los
resultados del desempeño en Matemáticas entre PISA 2006 y
PISA 2003, encontramos que México aumentó 20 puntos, pero
con un total de 406 puntos aún se encuentra muy por debajo
del promedio de la OCDE.
De acuerdo con los resultados presentados en el Segundo
Estudio Regional Comparativo y Explicativo (SERCE), que
evalúa las competencias matemáticas y lectoras de los
alumnos de tercero y sexto de primaria en América Latina,
México se ubica por debajo de países como Cuba, Chile,
Uruguay y Costa Rica. Está inclusive detrás del estado de
Nuevo León, que fue incluido en dicha prueba como si fuera
nación.
El estudio, elaborado por el Laboratorio Latinoamericano de
Evaluación de la Calidad Educativa (LLECE) de la
Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la
Ciencia y la Cultura, revela que México está en el sexto lugar
en las puntuaciones alcanzadas por los estudiantes de tercero
de primaria en su desempeño matemático, por detrás de
33
Cuba, que tiene 54 % de alumnos en el nivel más alto de
competencia, con promedio de 621 puntos, sobre una media
regional de 500.
Nuevo León se ubica en el segundo lugar, con 23 % de sus
estudiantes en el nivel 4, le sigue Costa Rica con 14 %, en el
nivel 4, y 24 % en el nivel 3; Uruguay con 19 % en los niveles
3 y 4; Chile está en la quinta posición con 19 % en el nivel 3 y
14 % en el nivel 4, mientras que México tiene 20 % en el nivel
3 y 16 % en el cuarto.
Por lo que respecta a los resultados en alumnos de sexto de
primaria, Cuba ocupa también la primera posición de 16
países evaluados, con 61% de sus estudiantes en el nivel más
alto de las competencias matemáticas, en comparación con la
quinta posición en la que se ubica nuestro país, detrás de
Costa Rica y Uruguay, a lo que se suma Nuevo León.
1.1.3. EL DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA E N EL
PERÚ
En el Perú, los resultados obtenidos por los estudiantes y profesores
en las recientes pruebas de matemática dejan muy preocupada a la
sociedad en general. Muchos cuestionan la rigurosidad técnica de las
pruebas, pero lo cierto es que las pruebas previamente aplicadas por
la Unidad de Medición de la Calidad de la Enseñanza, por el
Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad Educativa
(LLECE) de la UNESCO y por PISA conducen a resultados similares
calificados como dramáticos.
En PISA (2006) la muestra de escolares peruanos alcanzó 292
puntos, esto es 34 puntos menos que el puntaje más bajo registrado
en los países de la OCDE /Organización para la Cooperación y el
Desarrollo Económico) y 42 puntos menos que Brasil que se ubicó en
34
el penúltimo lugar entre los 41 países registrados como participantes
de las pruebas PISA.
Los resultados de las diversas pruebas internacionales de
rendimiento escolar (PISA o LLECE) indican que el sistema
educativo peruano está en un nivel muy por debajo de otros países
latinoamericanos; más de el 90% de los estudiantes del segundo y
sexto grado de primaria no exhiben capacidades matemáticas
elementales. El 68,5% de los estudiantes evaluados debajo del nivel
I, lo que significa que los estudiantes ni siquiera son capaces de
mostrar en forma rutinarias el tipo más básico de conocimientos y
destrezas que el programa PISA pretende medir. Tan sólo el 17,7%
se ubica en el nivel I, es decir que son capaces de responder a
preguntas relacionadas con contextos familiares, donde toda
información relevante está presente y las preguntas están claramente
definidas, pueden identificar información y llevar a cabo
procedimientos rutinarios según instrucciones directas en situaciones
explícitas. Son capaces de llevar a cabo acciones obvias que se
deducen inmediatamente de los estímulos dados. Apenas el 2,9%
alcanza un nivel satisfactorio de formar conceptos, generalizar
información basada en sus investigaciones y modelos de situaciones
de problemas complejos en un elevado nivel de razonamiento y
pensamiento matemático.
La evaluación censal de docentes del 2007 mostró grandes
contrastes de rendimiento entre el conocimiento que poseían los
profesores de las áreas de Comunicación y Matemática. Mientras en
Comunicación uno de cada cinco profesores de primaria alcanza un
logro de nivel 3 –satisfactorio-, en Matemática ese porcentaje no
llega al 1%. Poco más de las dos terceras partes de profesores de
primaria se ubica debajo del nivel 1 en Comunicación y más del 50%
de los que enseñan Matemática. sólo 151 de más de 183 000
maestros de las escuelas públicas evaluados en el 2008 obtuvieron
una calificación que les permite promoverse.
35
Perú ha invertido fuertes sumas de dinero en capacitación de
docentes6 en los últimos años y se ha cuestionado reiteradas veces
las ambiciosas metas que el Ministerio de Educación se propone
anualmente de capacitación en programas entregados a
universidades e institutos pedagógicos. Un reciente estudio publicado
por el Ministerio de Economía y Finanzas sobre el Programa
Nacional de Formación y Capacitación Permanente señala que los
propios técnicos del Programa reconocen que “la mayoría de
universidades públicas con las que trabajó tuvo serias dificultades
para diseñar sus propuestas de capacitación en el marco de lo
solicitado por los Términos de Referencia de los convenios”.
A la luz de los resultados se puede reconocer que la inmensa
mayoría del profesorado nacional no está en el nivel superlativo de
calidad que se necesita para la educación pública. Cabe preguntarse:
¿Qué está ocurriendo con la educación del país? ¿Son culpables los
alumnos o los docentes?, ¿Existe una buena formación de
docentes?, ¿Qué políticas educativas debemos cambiar o
implementar?...
Estos resultados y preguntas lleva a la necesidad de conocer y
revisar la forma en que se realiza la preparación de los profesores
peruanos para enseñar matemática. Esta es una tarea ardua, pues la
información pública sobre materias educacionales específicas es
muy escasa. En el Perú no se genera información ni investigación en
educción en volúmenes y de la calidad que se requiere para poder
entender mejor esta materia. Díaz y Elespuru (2009) sostienen que
en Matemática, se enfatiza que el docente razone con lógica,
resuelva problemas de complejidad diversa y comunique sus ideas,
6 Hugo Díaz D. Y Otto Eléspuru R. (2009). Informe de Educación año XVIII Nº 4. Instituto de Investigación para el Desarrollo y la Defensa Nacional – INIDEN (pp.04). extraído de www.educared.edu.pe
36
pero se descuida el trabajo teórico o de profundidad académica
sobre estos contenidos.
Las evaluaciones ECE – 2007 y ECE-2008 del ministerio de
educación a los niños y niñas del segundo grado se evidencia que no
hay mejoras significativas (entre 1% a 2%), los resultados están muy
por debajo de los niveles esperados, ni siquiera responden resuelven
problemas o ejercicios rutinarios. Entre los departamentos con más
deficiencias tenemos: Loreto (88,3%), Ucayali (82%), Apurímac
(71%), Huanuco (65%), Madre de Dios (61%), Ancash (60%), Cusco
(58%), Piura (56%), Tumbes (54%), La Libertad (53,7), Amazonas
(53,1), Lambayeque (50,5), entre otros.
En la evaluación censal tomada en diciembre del 2009 a estudiantes
de segundo grado, en matemáticas, se pasa de un incremento en el
nivel 2 de 2,2% en periodo 2007 – 2008 a 4,1 entre el 2008 – 2009.
Aunque se puede apreciar un logro alentador, el Perú todavía se
encuentra debajo de los promedios regionales y de países como
Colombia y chile.
Debemos recordar que el 49.2% se encuentra muy por debajo del
nivel 1, el 37,3% alcanza el nivel 1 y sólo el 13,5 % lograron los
aprendizajes esperados (UMC, Resultados de la ECE 2009)7. Eso
significa que el porcentaje de estudiantes que se ubican debajo del
nivel 1 en matemáticas son casi uno de cada dos estudiantes.
Por departamentos los progresos de los estudiantes ubicados en el
nivel 2 son casi generalizados, exceptuando el caso de Huanuco (-
0,8), Madre de dios (0,7), Loreto (0,4) y Ucayali (0,1) donde hay
retroceso en el porcentaje de estudiantes ubicados en el nivel 2
comparado con los resultados ECE 2008.
7 Hugo Diaz (07/03/10). Primeros Resultados de la Evaluación censal 2009. politicasdeeducacion.educared.pe/2010/03/primeros_resultados_de_la_eval.html
37
1.1.4. EL DEFICIENTE RENDIMIENTO DE LA MATEMÁTICA E N LA
REGIÓN LAMBAYEQUE.
En el departamento de Lambayeque participaron 247 Instituciones
Educativas (87,3 %) con un total de 4638 (63%) de estudiantes de
segundo y cuarto grado (76) de primaria participaron en la evaluación
censal del ministerio de educación en el 2008; de los cuales el 92%
pertenecen a instituciones educativas estatales y el 8% a
particulares8.
En matemática pretendió evaluar el uso de los números, sus
propiedades y operaciones para resolver diversos problemas de
contexto real y matemático. Se seleccionó las siguientes
capacidades: calcula sumas y restas, resuelve problemas de suma y
resta y , interpreta información matemática. Para identificar qué
saben y qué son capaces de lograr los estudiantes, estos se han
agrupado, según las respuestas en la prueba, en 3 niveles de logro:
Nivel 2, si los estudiantes han respondido correctamente casi todas
las preguntas de la prueba; Nivel 1, si aún no han logrado desarrollar
las capacidades esperadas para el grado y sólo han podido
responder la mayoría de preguntas más fáciles de la prueba y ;
Debajo del nivel 1, los estudiantes que ni siquiera resuelven las
preguntas necesarias para estar en el Nivel 1.
Comparando los resultados de la ECE - 2008 con la ECE - 2007, tan
solo se evidencia un incremento de 2,5% del logro esperado en
matemática. En suma sólo el 10,5% de niños de segundo grado
alcanza los logros esperados del nivel 2, el 39,0% se encuentra en el
nivel 1, y el 50,5% se encuentra por debajo del nivel 1 lo cual
significa que alumnos no son capaces de mostrar de forma rutinaria
en tipo más básico de conocimientos en matemática. Muchos de los
estudiantes solo resuelven problemas típicos de suma y resta, en su
8 MINEDU – UCM. Informe de resultados ECE – 2008: Región Lambayeque.
38
mayoría mediante estrategias irreflexivas. Aunque pueden realizar
sumas con números de dos cifras, no han consolidado todavía un
sistema de decenas y unidades (MINEDU – ECE 2008).
El informe también muestra que las instituciones educativas no
estatales superan con 3,7% en el nivel satisfactorio a las instituciones
estatales. Además señala que instituciones con característica
multigrado/unidocente tienen el 1,7% menos rendimiento que las
instituciones educativas de característica polidocente completo.
Estos resultados demuestran que la enseñanza aprendizaje de la
matemática en la Región Lambayeque está en crisis. Entre algunos
de los factores que influyen en la obtención de estos precarios
resultados tenemos: la mayor parte de los niños y niñas de las zonas
rurales y urbano marginales no realizan estudios de educación inicial
(33,3%), el paso automático de primer a segundo grado, sin tener en
cuenta si ha logrado desarrollar las capacidades esperadas; la
formación y capacitación de los docentes, los métodos de enseñanza
aprendizaje siguen aún en la línea tradicional, la escasez de libros
para los estudiantes, la falta de bibliotecas en las instituciones
educativas, el bajo ingreso económico de los padres, el deficiente
estado nutricional de los estudiantes, entre otros.
1.1.5. EL DEFICIENTE RENDIMIENTO EN LA CAPACIDAD DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE LOS NIÑOS
(AS) DEL 4TO GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925
“CÉSAR VALLEJO”.
La Institución Educativa Estatal de Educacióm primaria y Secundaria
de Menores Nº10925 “César Vallejo”, se encuentra ubicado el la
UPIS “Cásar Vallejo”, zona urbano marginal situado al nor este de la
ciudad de Chiclayo, en el departamento de Lambayeque.
39
Sus antecedentes se remontan al año 1980, época en que por
resolución zonal de fecha 1980 – 06- 27 fue creada como escuela
primaria mixta de menores Nº 10925, la cual funcionó en un local
adyacente al parque de la UPIS “César Vallejo”. En 1988 la EPM Nº
10833 “Enrique López Albújar” del Pueblo Joven del mismo nombre,
pasó a integrarse a la EPM Nº 10925.
El 21 de setiembre del año 1990, por R.D. Nº 1133 se integraron en
un solo centro educativo, la EPM Nº 10925 y el C.E. “César Vallejo”
hoy llamada I.E.P.S.M. Nº 10925 “Cesar Vallejo”.
Los resultados de las diversas observaciones y test de evaluación
realizados a los niños del 4º grado de primaria nos han mostrado que
el 83,3 % de los alumnos evaluados no alcanzan la nota mínima
aprobatoria en nuestro sistema educativo (11 puntos) en la
resolución de problemas matemáticos, resultados que han permitido
determinar las deficiencias de los estudiantes en esta capacidad,
entre ellas se pueden mencionar las siguientes:
• Bajo nivel de análisis o análisis superficial de la situación
problemática planteada en el enunciado del problema. Es decir,
no realizan una lectura comprensiva del enunciado.
• Lee el enunciado de un problema rápidamente y, en seguida, se
dispone a hallar la solución, sin una reflexión previa sobre cuál
es la demanda del problema, poniendo en práctica algún
automatismo adquirido previamente, sin prestar atención a su
adecuación al caso concreto.
• Dificultad para planificar el proceso de resolución del problema;
representación mental del enunciado del problema, aislamiento
de la información relevante, organización de la información,
planificación de estrategias de resolución, aplicación de
procedimientos adecuados, verificación de la solución, revisión y
supervisión de todo el proceso de resolución.
40
• Ausencia de conocimiento metacognoscitivo, lo cual le impide
tener conciencia de los procesos y estrategias que utiliza para la
resolución del problema y corregirlos en caso de ser necesario.
Aparece la duda al momento de tomar una decisión y suelen
dispersar su atención hacia otros estímulos dificultándoles
concentrarse en la tarea propuesta.
• Tendencia a operar directamente sobre los datos explicitados
en el enunciado del problema. Van directamente a conseguir la
solución sin establecer previamente un plan de trabajo; no
organizan la información recibida, o lo hacen con precipitación.
• Tendencia a mantenerse dentro de lo que exige el problema, sin
ir más allá de su planteamiento. Se muestra inflexible a la hora
de abandonar un determinado punto de vista que no le está
llevando a la solución de un problema y no busca alternativas. O
una vez que ha encontrado una vía de solución, no examina
otras posibilidades.
• Bajos niveles afectivos y motivacionales hacia la matemática y
hacia la resolución de problemas. El miedo que sienten ante
situaciones novedosas o que no dominan les lleva a un bloqueo
que les impide incluso escuchar las sugerencias y explicaciones
del docente.
• La mayoría de los alumnos piden constantemente la ayuda del
docente para la resolución antes de haber terminado de leer el
problema.
• Desconocimiento acerca de los tipos de conocimiento
involucrados en la resolución de un problema. Conocimientos
de base que incluyen los conocimientos formales e informales
sobre hechos, definiciones y procesos matemáticos.
• Poco dominio de procedimientos heurísticos para resolver
problemas. Es decir, el desconocimiento de las etapas y de los
pasos generales que se pueden seguir para resolver un
problema como: la semejanza con otros problemas resueltos
previamente, representar gráficamente el problema, cambiar los
41
datos por otros más sencillo, partir de una posible solución y
buscar el camino para llegar a ella, descomponer el problema
en otros más simples, la generalización de la solución obtenida,
etc.
• Algunos alumnos saben realizar una operación o problema pero
no saben explicar el procedimiento empleado o, cuando se
equivocan, necesitan ayuda para comprender por qué su
respuesta es errónea.
• Deficiente dominio de estrategias por parte los docentes para
mejorar su nivel de enseñanza en la resolución de problemas
matemáticos.
1.2. DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA.
En este apartado se establecerá descriptivamente la cobertura que tuvo la
investigación en lo relativo a:
� La investigación tiene como problema “ la deficiente capacidad de
los niños (as) del 4º grado de primaria de la I.E.Nº 10925 “César
Vallejo” – UPIS César Vallejo – Chiclayo para resolver problemas
matemáticos afectando el proceso de enseñanza-aprendizaje del
área de matemática”; presentando las siguientes características.
• Dificultad para realizar una lectura comprensiva del
enunciado del problema: en qué consiste, qué se pide,
cuáles son las condiciones, que información es suficiente,
redundante o contradictoria, qué relación existe entre los
datos y la incógnita, qué conozco del problema.
• Sin comprender el problema llevan a cabo la ejecución
siguiendo el orden en que están expresadas las frases
contenidas en el mismo, llegando en ocasiones a dar con la
solución, pero sin ser consientes del procedimiento.
• Van directamente a conseguir la solución sin antes organizar
la información y establecer un plan de trabajo.
42
• En casi todos los problemas utilizan el ensayo y el error
como estrategia de solución.
• Incapacidad para planificar el proceso de resolución del
problema, como representarlo gráficamente, cambiar los
datos numéricos por otros mas sencillos o asemejarlo con
otros resueltos previamente.
• Dificultad para encontrar nuevas formas, vías o estrategias
que permitan llegar a la solución de un mismo problema.
• Deficiente dominio de los conocimientos básicos, técnicas
algorítmicas y estrategias de apoyo como la motivación, la
perseverancia.
• Desconocen los pasos y las estrategias heurísticas que
pueden seguir para resolver problemas.
• Miedo al fracaso, escasa perseverancia y motivación en la
resolver problemas matemáticos.
� La investigación se realizó en la I.E.Nº 10925 “César Vallejo”, de
carácter mixto, es decir la conforman alumnos de ambos sexos;
ubicada en el Pueblo Joven “Cesar Vallejo”, zona urbano marginal
situada al noreste del distrito de Chiclayo, provincia del mismo
nombre, perteneciente a la región Lambayeque.
� La investigación se llevó a cabo en el cuarto grado de primaria de
la Institución Educativa antes mencionada que contó con las aulas
A, B y C; de las cuales se seleccionó al aula A (23 alumnos) como
grupo experimental y al aula B (25 alumnos) como grupo control.
Las edades de los niños participantes en la investigación fluctúa
entre los 9 y 10 años. Los estudiantes proceden de familias de
bajos recursos económicos, pertenecientes a las clases sociales
C,D y E.
� El periodo de duración de la investigación a sido de un año escolar
(9 meses) empezando en el marzo y culminado en diciembre del
año 2009.
43
1.3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Se observa, que los niños (as) del 4º grado de educación primaria de la
I.E. Nº 10925 “César Vallejo” – UPIS César Vallejo – Chiclayo presentan
deficiencias en su capacidad de resolver problemas matemáticos:
afectando el proceso enseñanza aprendizaje del área de matemática.
1.4. ENUNCIADO DEL PROBLEMA.
¿De qué manera la aplicación de estrategias didácticas basadas en el
método de George Polya contribuirán a desarrollar la capacidad de
resolución de problemas matemáticos en los niños (as) del 4º grado de
primaria de la I.E. Nº 10925 “ Cesar Vallejo”- UPIS César Vallejo -
Chiclayo?
1.5. FORMULACIÓN INTERROGATIVA DEL PROBLEMA.
Entre otras se plantean interrogantes que orientarán la dinámica de la
investigación, tenemos:
a) ¿Cuál es nivel de desarrollo de la capacidad de resolución de
problemas matemáticos en los niños (as) del 4º grado de primaria?.
b) ¿Qué estrategias utiliza actualmente el (la) docente en el proceso
de desarrollo de la capacidad de resolución de problemas
matemáticos?
c) ¿Qué estrategias didácticas se deben diseñar y aplicar para
desarrollar la capacidad de resolución de problemas matemáticos?
d) ¿Se lograrán los resultados esperados al diseñar y aplicar
estrategias didácticas basadas en el método de George Polya para
desarrollar la capacidad de resolución de problemas matemáticos?
44
1.6. OBJETIVOS.
1.6.1. OBJETIVO GENERAL.
Aplicar estrategias didácticas basadas en el método de George Polya
para desarrollar la capacidad de resolución de problemas matemáticos
en los niños (as) del 4º grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar
Vallejo” – Chiclayo.
1.6.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
a) Analizar el nivel de desarrollo de la capacidad de resolución de
problemas matemáticos en los niños y niñas del 4º grado de
primaria.
b) Evaluar qué estrategias didácticas utiliza el (la) docente en el
proceso de desarrollo d la capacidad de resolución de problemas
matemáticos.
c) Diseñar estrategias didácticas basadas en el método de George
Polya que permitan desarrollar la capacidad de resolución de
problemas matemáticos.
d) Aplicar estrategias didácticas basadas en el método de George
Polya para desarrollar la capacidad de resolución de problemas
matemáticos.
e) Evaluar el resultado de la aplicación de estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya para desarrollar la
capacidad de resolución de problemas matemáticos.
1.7. JUSTIFICACIÓN.
Elevar el nivel de competencias básicas de los niños y niñas de educación
primaria es, actualmente, un objetivo primordial en nuestro sistema
educativo. Sin embargo, en nuestro país domina la creencia de que la
matemática es difícil, reservada sólo para algunos genios, y que la
mayoría tiene que lidiar o tratar de evitarla. Resulta plenamente aceptable
45
que personas adultas exitosas profesionalmente digan que nunca
entendieron tal o cual concepto de la matemática escolar. En ella se
expresa una concepción de la matemática que debemos develar y
superar.
Por ello, al encontrar una alarmante realidad del nivel de desarrollo de la
matemática, especialmente en la resolución de problemas, en las
instituciones educativas del país, y en particular en la I.E. Nº 10925 “Cesar
Vallejo” – Chiclayo, elaboramos la presente tesis con el fin de contribuir al
mejoramiento del proceso de desarrollo la capacidad de resolución de
problemas matemáticos, ya que los contenidos del área solo cobran
sentido desde el momento en que es necesario aplicarlos para poder
resolver una situación problemática; donde intervienen en el proceso
aspectos internos como el esfuerzo y la concentración, el interés, el gusto
por aceptar retos, la tranquilidad para afrontarlos, la perseverancia, la
creatividad, la autoconfianza, los estados emocionales, así como los
propios procesos de investigación: analizar los datos del enunciado, su
relevancia, pensar en posibles vías de resolución que, aun no formando
parte de los contenidos propiamente matemáticos, desarrollan un papel
muy importante y ayudan a resolver con éxito la tarea.
Este trabajo está elaborado desde el convencimiento de que la resolución
de problemas es lo que realmente da sentido a los contenidos
matemáticos de la etapa de educación primaria. Además, fomentar la
capacidad para entender, razonar y aplicar correctamente los
conocimientos adquiridos facilita la capacidad del alumnado para
enfrentarse a la detección y resolución de problemas de distintos ámbitos
en los que tendrá que desenvolverse.
Por lo tanto, se justifica la importancia de esta tesis por su aplicación y
utilidad en la vida diaria; y como resultado tenemos niños (as) conscientes
de que la capacidad de resolución de problemas es el pilar de la
formación de ciudadanos independientes, capaces de abstraer y aplicar
ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones, comprende los
46
contenidos y procesos matemáticos básicos, los interrelaciona, los asocia
adecuadamente a la resolución de diversas situaciones habituales y es
capaz de argumentar sus decisiones; para satisfacción de sí mismo, de
sus padres, maestros, para la institución educativa y para la sociedad en
general.
47
CAPÍTULO II
FUNDAMENTOS TEÓRICO - CIENTÍFICOS
2.1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN.
Para la realización del presente proyecto de investigación se consultó
diversos trabajos que guardan relación con el problema investigado. Entre
ellos tenemos:
a) ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS DE ENSEÑANZA
APRENDIZAJE PARA DESARROLLAR LAS HABILIDADES DEL
PENSAMIENTO LÓGICO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS EN EL V CICLO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DE
LA I.E. Nº 86066 – PARIACOTO – HUARAZ – 2005; tesis de
maestría, sustentada por Margot Miriam Molina Salazar, quien llega
a las siguientes conclusiones.
• Resolver un problema sirve de contexto para la construcción
de nuevos conocimientos y el desarrollo de otras
capacidades complejas como la creatividad; también permite
la formación de personas autónomas, críticas, capaces de
preguntarse los hechos, las interpretaciones y las
explicaciones, los cuales le servirán fuera del aula.
• El razonamiento y la demostración matemática,
proporcionan modos potentes de desarrollar y codificar
conocimientos sobre una amplia variedad de fenómenos.
• La comunicación matemática permite expresar, compartir y
aclarar las ideas, los cuales llegan a ser objeto de reflexión,
perfeccionamiento, discusión, análisis y reajuste entre otros.
b) ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA DESARROLLAR LA
HABILIDAD DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
EN LOS ALUMNOS DEL PRIMER GRADO DE EDUCACIÓN
48
SECUNDARIA DEL C.P.S.M “RAMÓN CASTILLA Y
MARQUESADO” – 16001 JAÉN –2004. Tesis para obtener el título
de maestro sustentada por Evelia Vásquez Torres, llegando a las
siguientes conclusiones.
• La propuesta de estrategias metodológicas heurísticas
permite propiciar en los estudiantes las siguientes
habilidades: identificar, interpretar, conjeturar, analizar,
investigar, razonar, comparar, planificar, organizar, que
favorecen el desarrollo de la resolución de problemas de una
manera eficiente.
• La apropiación de estrategias heurísticas generan en los
alumnos la construcción de aprendizajes significativos,
funcionales, autónomos y coherentes permitiéndoles actuar
de manera competente.
c) INTERVENCIÓN PSICOPEDAGÓGICA EN EL ÁREA DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN NIÑOS Y NIÑAS DEL
QUINTO GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA DEL E.P.S.M. Nº
16006 “CRISTO REY” – FILA ALTA – JAÉN – 2004. Tesis de
maestría, sustentada por Rosa E. Calderón Vargas y Maxorfel
Torrillo Julca, concluyendo:
• Al utilizar adecuadamente las estrategias apropiadas se
desarrolla la autoconfianza, actitud positiva de sus propias
habilidades así como el interés demostrado ha contribuido a
que ellos se sientan comprometidos en las actividades
planteadas para mejorar sus habilidades en la resolución de
problemas.
• El razonamiento y la resolución de problemas son
necesarios para la vida cotidiana ya que tienden el puente
entre los datos, los algoritmos y los problemas de la vida real
que se enfrentan.
d) ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS FUNDAMENTADO EN EL CONSTRUCTIVISMO EN
49
EL ÁREA DE MATEMÁTICA DEL PRIMER GRADO DE
EDUCACIÓN SECUNDARIA DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA
“SAN IGNACION DE LOYOLA” Nº 17406 – PALO BLANCO –
JAÉN”. Tesis para optar el grado académico de maestro en
ciencias de la educación sustentada por el Lic. Segundo Basilio
Huamán Castro llegando a las siguientes conclusiones:
• En las estrategias metodológicas para resolver problemas
matemáticos intervienen una variedad de técnicas,
procedimientos y actividades relacionadas a los intereses y
necesidades de los estudiantes (Piaget) cuyo desarrollo está
supeditado al rol del docente como gía o como colaborador
(Vigotski) y a la disposición del estudiante para ejecutar
actividades de aprendizaje dinámico y de mucha
significatividad (Ausubel).
• La propuesta de estrategias metodológicas de resolución de
problemas matemáticos, permite elevar el nivel de
comprensión matemática, fortalece el trabajo colaborativo,
mejora la expresión oral y la capacidad crítica ya que se
privilegia el desarrollo de capacidades de organización,
inferencia, raciocinio y metacognición, partiendo de
problemas de su realidad y que pueden ser resueltos
matemáticamente.
e) ESTRATEGIAS METACOGNITIVAS PARA DESARROLLAR LA
CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LOS
ESTUDIANTES DE 5º GRADO DEL NIVEL SECUNDARIO DE LA
I.E. ROSA FLORES DE OLIVA DE CHICLAYO. Tesis para optar el
grado de maestro en ciencias de la educación con mención en
Psicopedagogía cognitiva, presentada por Lic. Monica Amaya
Cueva; quien concluye:
• Las estrategias metacognitivas que ayudan a desarrollar la
capacidad de resolución de problemas matemáticos:
conocimiento de un estilo de aprendizaje como: ensayo o
memoria, construcción de relaciones con las unidades de
50
información conocidas, organización, localización, jerarquía,
conocimiento de diferentes estrategias y su aplicación,
comprender el problema, recuperación de la información,
elaboración imaginaria, elaboración verbal, estrategias
nemotécnicas, revisión del material, establecimiento de
conexiones, monitoreo y control del proceso de las acciones,
demostración, almacenamiento de la información, evaluación
de resultados y procesos, toma de decisiones.
2.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS.
Existen muchos enfoques en la resolución de problemas matemáticos dado
el gran número de autores que han realizado estudios e investigaciones en
este tema. La preocupación por conseguir buenos resolutores ha llevado a
determinar diferentes fases en el proceso de resolución. George Polya
(1945) estableció cuatro etapas que después sirvieron de referencia para
muchos planteamientos y modelos posteriores, en los que se fueron
añadiendo nuevos matices, enriqueciéndolo con nuevos elementos, sin
perder el esquema básico de la propuesta. A continuación se realiza un
análisis de algunos modelos que por su trascendencia constituyen una
importante referencia en trabajos sobre resolución de problemas
matemáticos:
2.2.1. MODELO DE GEORGE POLYA (1945)
Polya (1980.p:1) afirmaba “...resolver un problema es encontrar un
camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar
la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es
seguirle en forma inmediata, utilizando los medios adecuados”. Resolver
problemas es una actividad humana fundamental. De hecho, el
pensamiento humano trabaja la mayor parte del tiempo sobre
problemas. “cuando no dejamos la mente a su libre albedrío, cuando no
dejamos soñar, nuestro pensamiento tiende hacia un fin; buscamos
medios, buscamos resolver un problema” (1965. p.187).
51
Para Echenique (2006) la resolución de problemas requiere una
actividad mental que se pone en funcionamiento desde el momento en
que se nos presenta el enunciado y lo asumimos como un reto, hasta
que damos por terminado el problema una vez hallada su solución. Todo
este encadenamiento de situaciones, planteamientos y justificaciones
que nos hacemos tienen lugar en silencio, normalmente no las
expresamos, lo asumimos como algo personal e individual (pp.26).
Polya (1945, p: 19) señala que un problema puede resolverse
correctamente si se siguen los siguientes pasos:
a. COMPRENDER EL PROBLEMA: Implica analizar cuál es la
información esencial y cuál es irrelevante, determinar la incógnita
y los datos, examinar las relaciones entre ambos y representarse
la meta del problema. Pueden ayudar en esta fase estrategias
como formularse preguntas, expresar el problema con palabras
propias, representar mediante ilustraciones, objetos, diagramas,
etc. Entre las interrogantes se plantean:
• ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
• ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para
determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante?
¿Contradictoria?
b. PLANIFICAR LA SOLUCIÓN: Implica el conocimiento de los
conceptos y las estrategias numéricas de resolución. Pueden
ayudar las estrategias como el recuerdo de problemas
semejantes encontrados con anterioridad, descomponer el
problema en partes, etc.
Es la parte fundamental del proceso de resolución de problemas.
Una vez comprendida la situación planteada y teniendo clara cuál
es la meta a la que se quiere llegar, es el momento de planificar
52
las acciones que llevarán a ella. Es necesario abordar cuestiones
como para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado,
qué puede calcularse a partir de ellos, qué operaciones utilizar y
en qué orden se debe proceder (Echenique, 2006).
Es muy importante enunciar la planificación por escrito, de forma
clara, simplificada y secuenciada. Servirá, además de para
controlar el proceso de resolución por parte del alumno, para que
el profesor conozca el pensamiento matemático desarrollado
durante la ejecución de la tarea. En esta fase puede ser útil el uso
de esquemas que ayuden a clarificar la situación a resolver, así
como el proceso a seguir. Del mismo modo puede ser práctico
recordar si se han abordado con anterioridad problemas similares
y qué metodología se siguió,... he aquí algunas interrogantes a
plantearse:
• ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿ O ha
visto el mismo problema planteado en forma ligeramente
diferente?
• ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce
algún teorema que le pueda ser útil? Mire atentamente la
incógnita y trate de recordar un problema que le sea
familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita
similar?
• He aquí un problema relacionado al suyo y que se ha
resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo? ¿Podría utilizar su
resultado? ¿Podría emplear su método? ¿Le haría a usted
falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder
utilizarlo?
• ¿Podrá enunciar el problema en otra forma? ¿Podría
plantearlo en forma diferente nuevamente? Refiérase a las
definiciones.
53
• Si no puede resolver e problema propuesto, trate de
resolver primero algún problema similar. ¿Podría
imaginarse un problema análogo un tanto más accesible?
¿Un problema más general? ¿Un problema más particular?
¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del
problema? Considere solo una parte de la condición;
descarte la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda
ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede
cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los
datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva
incógnita y los nuevos datos estén más cercanos entre sí?
• ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la
condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones
esenciales concernientes al problema?
c. EJECUTAR EL PLAN: Consiste en seguir la secuencia de pasos
diseñados en el plan, comprobando la corrección de cada paso.
Implica el conocimiento de los procedimientos para realizar los
cálculos necesarios. Es necesaria una comunicación y una
justificación de las acciones seguidas: primero calculo…,
después…, por último… hasta llegar a la solución. Esta fase
concluye con una expresión clara y contextualizada de la
respuesta obtenida:
• Al ejecutar su plan de solución, compruebe cada uno de
los pasos.
• ¿Puede usted ver claramente que el paso es correcto?
¿Puede usted demostrarlo?
d. COMPROBAR LOS RESULTADOS: Consiste en examinar la
solución obtenida para comprobar el razonamiento y el resultado.
Es muy conveniente la comparación de éste último con la
estimación aproximada de la solución. Un problema no termina
cuando se ha hallado la solución. La finalidad de la resolución de
54
problemas es aprender durante el desarrollo del proceso, y este
termina cuando el resolutor siente que ya no puede aprender más
de esa situación.
• ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el
razonamiento?
• ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede
verlo de golpe? ¿Puede usted emplear el resultado o el
método en algún otro problema?"
2.2.2. MODELO DE ALAN SHOENFELD
Schoenfeld (1985), a partir de los planteamientos de Polya (1965), se ha
dedicado a proponer actividades de resolución de problemas que se
pueden llevar a cabo en el aula, como una manera en que los alumnos
puedan aplicar sus conocimientos o procesos mentales implicados en la
resolución de problemas en aspectos de la vida que se encontrarán
fuera de ella. Su modelo de resolución abarca los siguientes pasos:
Análisis, Exploración y Comprobación de la solución.
a. ANÁLISIS
1. Trazar un diagrama, si es posible.
2. Examinar casos particulares
3. Probar a simplificar el problema
b. EXPLORACIÓN
1. Examinar problemas esencialmente equivalentes: sustituir las
condiciones por otras equivalentes, recombinar los elementos
del problema de modo diferente, replantear el problema.
2. Examinar problemas ligeramente modificados: establecer
submetas, descomponer el problema en casos y analizar caso
por caso.
55
3. Examinar problemas ampliamente modificados: construir
problemas análogos con menos variables, mantener fijas todas
las variables menos una para determinar qué efectos tiene esa
variable, tratar de sacar partido de problemas afines que tengan
parecido en su forma, en sus datos o en sus conclusiones.
c. COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA
1. Verificar la solución obtenida siguiendo criterios específicos:
utilización de todos los datos pertinentes, uso de estimaciones o
predicciones.
2. Verificar la solución obtenida siguiendo criterios generales:
examinar la posibilidad de obtener la solución por otro método,
reducir la solución a resultados conocidos.
Este planteamiento que establece el autor acerca del camino a seguir,
debe ser completado con el esquema que establece sobre el
conocimiento y la conducta para un adecuado desarrollo de la resolución
de problemas. Así Shoenfeld (1985) ilustra cuatro categorías básicas
considerar.
• Recursos o conocimientos base. Conocimientos matemáticos
que ayudan a resolver el problema. Como son: el conocimiento
intuitivo e informal sobre el dominio del problema, los hechos, las
definiciones y los procedimientos algorítmicos, los procedimientos
rutinarios, las competencias relevantes y el conocimiento acerca
de las reglas del lenguaje en ese dominio. Para entender el
comportamiento individual de un sujeto, puesto ante una situación
matemática, se necesita saber cuáles son las herramientas
matemáticas que se tiene a disposición: ¿Qué información es
importante para la situación matemática o problema tiene a la
mano?, ¿Cómo llega a esa información y cómo la utiliza? En el
análisis del rendimiento en situaciones de resolución de
problemas, los aspectos centrales a investigar generalmente se
56
relacionan con lo que el individuo sabe y cómo usa ese
conocimiento, cuáles son las opciones que tiene a su disposición
y por qué utiliza o descarta algunas de ellas. Desde el punto de
vista del observador, entonces, el punto principal es tratar de
delinear el conocimiento de base de los sujetos que se enfrentan
a la situación de resolución problemas.
• Heurísticas. Estrategias y técnicas para progresar en situaciones
no familiares o desconocidas. Ejemplos: dibujar figuras, introducir
notaciones, analizar y verificar procesos.
• Control. Decisiones globales respecto de la selección e
implementación de recursos y estrategias. Las más importantes
son: planificación, toma de decisiones, gestión, cálculo, etc. Los
estudiantes no aprenden copiando la información que se les
presenta o a la que tienen acceso. Existen procesos en los cuales
ellos reciben, interpretan, almacenan y utilizan información, y es
por eso que en algún momento de la resolución de problemas se
hace el análisis de este desarrollo, monitorear y controlar el
progreso de estas actividades intelectuales, aplicando el
procedimiento al acto de pensar y saber pensar implicando ser
consciente de errores y tropiezos del propio pensamiento son,
desde el punto de vista de la psicología cognitiva, los
componentes de la metacognición.
• Sistema de creencias. Punto de vista del mundo de las
Matemáticas del resolutor. Como: sobre el tópico, el ambiente, o
sobre las Matemáticas. Las creencias son concebidas como la
concepción individual y los sentimientos que modelan las formas
en que el individuo conceptualiza y actúa en relación con la
matemática.
• La comunidad de práctica. se considera al aprendizaje
matemático como una actividad inherentemente social (tanto
57
como cognitiva), y como una actividad esencialmente
constructiva, en lugar de receptiva. La idea principal, es que la
comunidad a la que uno pertenece modela el desarrollo del punto
de vista de sus miembros. Es decir, las personas desarrollan su
comprensión sobre cualquier actividad a partir de su participación
en lo que se llama la “comunidad de práctica”, dentro de la cual
esa actividad es realizada. Las lecciones que los alumnos
aprenden acerca de la matemática en el aula son principalmente
culturales y se extienden más allá del espectro de los conceptos y
procedimientos matemáticos que se enseñan: lo que se piensa
que la matemática es, determinará los entornos matemáticos que
se crearán y aún la clase de comprensión matemática que se
desarrollará.
Schoenfeld (1985) opina que "(...) la clave de esta cuestión está
en el estudio de la inculturación que se produce al entrar a la
comunidad matemática. Si se quiere comprender cómo se
desarrolla la perspectiva matemática, se debe encarar la
investigación en términos de las comunidades matemáticas en las
cuales los estudiantes y los docentes conviven, y en las prácticas
que se realizan en esas comunidades. El rol de la interacción con
los otros será central en la comprensión del aprendizaje."
2.2.3. MODELO DE MIGUEL DE GUZMÁN
De Guzmán (1984) comenta que «lo que sobre todo deberíamos
proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la
posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la
resolución de problemas matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les
puede servir hacer un hueco en su mente en que quepan unos cuantos
teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego
van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de
problemas se le ha llamado, con razón, el corazón de las matemáticas,
pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha traído y
58
atrae a los matemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con
problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones,
actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas, en una
palabra, la vida propia de las matemáticas».
De Guzmán (1991) partiendo de las ideas de Polya, de Schoenfeld y
otros, ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas. La
finalidad de tal modelo es que la persona examine y remodele sus
propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar
obstáculos y de llegar a establecer hábitos mentales eficaces; lo que
Polya denominó pensamiento productivo.
1. Familiarízate con el problema
• Trata de entender a fondo la situación.
• Con paz, con tranquilidad, a tu ritmo.
• Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire
del problema, piérdele el miedo.
2. Búsqueda de estrategias.
• Empieza con lo fácil.
• Experimental
• Hazte un esquema, una figura, un diagrama.
• Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
• Busca un problema semejante.
• Inducción.
• Supongamos el problema resuelto.
• Supongamos que no.
3. Lleva adelante tu estrategia.
• Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han
ocurrido en la fase anterior.
59
• Actúa con flexibilidad. No te achiques fácilmente. No te
emperres en una idea. Si las cosas se complican demasiado
hay otro camino.
• ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.
4. Revisa el proceso y saca consecuencias de él.
• Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has
llegado a la solución? O bien ¿por qué no llegaste?
• Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué
funciona.
• Mira si encuentras un camino más simple.
• Mira hasta dónde llega el método.
• Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca
consecuencias para el futuro.
2.2.4. MODELO DE LEV FRIDMAN
Fridman (1985), amplía el estudio de Polya y presenta las siguientes
etapas:
1. Análisis del problema. Entender de qué problema se trata,
¿cuáles son sus condiciones?, ¿en qué consisten sus
requerimientos?
2. Escritura esquemática del problema. Utilización de todo tipo de
simbolizaciones: signos, literales, dibujos, gráficos, esquemas,
etc. Es una forma más esquemática para fijar los resultados de la
etapa anterior.
3. Búsqueda de un método de resolución. La búsqueda del plan
para resolver un problema constituye la parte central del proceso
de resolución. Una recomendación muy importante es que no es
posible enseñar a ejecutar la búsqueda del plan de resolución de
un problema, sino que es necesario aprender a hacerlo uno
mismo.
60
4. Aplicación del método de resolución. Un vez encontrado el
método se hace necesario aplicarlo para obtener la solución del
problema presentado.
5. Prueba de la resolución. Es necesario convencerse de que
dicha resolución es correcta y que satisface los requerimientos del
problema.
6. Análisis del problema. Se realiza una investigación del
problema: se establecen las condiciones bajo las cuáles el
problema tiene solución, cuántas son las resoluciones posibles,
bajo qué condiciones el problema no tiene solución, etc.
7. Formulación de la respuesta al problema. Una vez
convencidos de la exactitud de la solución se debe formular de
manera precisa la respuesta al problema.
8. Análisis de la resolución del problema. Se realiza un análisis
de la solución obtenida con fines cognoscitivos y de aprendizaje y
se sacan conclusiones a partir de dicha solución.
Figura Nº 01. Fridman, L. (1985)
Búsqueda de un
método/ elaboración de
un plan
Aplicación del
método/ llevar
a cabo el plan
Escritura
esquemática.
Análisis / Comprensión
Prueba de la
resolución
Análisis de la
resolución
Formulación
de la
respuesta
61
Tanto las fases de Polya como las etapas propuestas por Fridman no
son modelos lineales sino un proceso cíclico y dinámico; no
necesariamente hay que memorizar todos los pasos y procedimientos,
pues la actividad de resolución de problemas debe ser un proceso
creativo, significativo, debe servir para que los estudiantes apliquen los
conocimientos construidos en nuevas situaciones, esto es, transfieran.
Fridman (1985) muestra cómo las fases en la resolución de un problema
se inter-relacionan. El análisis es una etapa muy importante y se realiza
con anterioridad y con posterioridad a la resolución, lo que permite re-
pensar lo que se ha realizado, intentar mejorar el método.
2.2.5. TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS DE GUY BRUSSEAU.
En el enfoque planteado por Brousseau (1997) intervienen tres
elementos fundamentales: estudiante, profesor y el medio didáctico.
donde el profesor es quien facilita el medio en el cual el estudiante
construye su conocimiento.
Transposición Didáctica
Aprendizaje
Comunicación
Figura Nº 02. Brousseau, G. (1983). De este esquema nace lo que Brousseau (1983) denomina situación
adidáctica, situaciones didácticas, contrato didáctico y transposición
didáctica.
• La situación a-didáctica. Es el proceso en el que el docente le
plantea al estudiante un problema que asemeje situaciones de la
vida real que podrá abordar a través de sus conocimientos
Alumno
Saber escolar
Sistema educativo
62
previos, y que le permitirán generar además, hipótesis y
conjeturas que asemejan el trabajo que se realiza en una
comunidad científica. En otras palabras, el estudiante se verá en
una micro-comunidad científica resolviendo situaciones sin la
intervención directa del docente, con el propósito posteriormente
de institucionalizar el saber adquirido.
• La situación didáctica. Es el conjunto de interrelaciones entre
tres sujetos: profesor-estudiante-medio didáctico, comprende el
proceso en el cual el docente proporciona el medio didáctico en
donde el estudiante construye su conocimiento (Chavarría, 2006).
Acontece en el medio didáctico que el docente elaboró para que
se lleve a cabo la construcción del conocimiento (situación
didáctica) y pueda el estudiante, a su vez, afrontar aquellos
problemas inscritos en esta dinámica sin la participación del
docente (situación a-didáctica).
• El contrato didáctico. El Contrato Didáctico refiere a la consigna
establecida entre profesor y alumno, de esta forma, comprende el
conjunto de comportamientos que el profesor espera del alumno y
el conjunto de comportamientos que el alumno espera del
docente.
• La transposición didáctica. Se refiere a la adaptación del
conocimiento matemático para transformarlo en conocimiento
para ser enseñado. Es decir, el profesor debe transformar el
conocimiento cultural a un conocimiento apropiado al contexto de
la interacción (Brousseau, 1986).
La teoría de Brousseau plantea una tipología de situaciones didácticas.
Cada una de ellas debería desembocar en una situación a-didáctica, es
decir, en un proceso de confrontación del estudiante ante un problema
dado, en el cual construirá su conocimiento. Dentro de las situaciones
didácticas tenemos:
63
1. La situación acción. Consiste en que el estudiante trabaje
individualmente con un problema, aplique sus conocimientos
previos y desarrolle un determinado saber. Es decir, el estudiante
individualmente interactúa con el medio didáctico, para llegar a la
resolución de problemas y a la adquisición de conocimientos
(situación adidáctica).
2. La situación de formulación. Consiste en un trabajo en grupo,
donde se requiere la comunicación de los estudiantes, compartir
experiencias en la construcción del conocimiento. En este
proceso es importante el control de la comunicación de las ideas.
En ese sentido hay un elemento que menciona Brousseau, esto
es, la necesidad de que cada integrante del grupo participe del
proceso, es decir, que todos se vean forzados a comunicar las
ideas e interactuar con el medio didáctico.
3. La situación de validación. Una vez que los estudiantes han
interactuado de forma individual o de forma grupal con el medio
didáctico, se pone a juicio de un interlocutor el producto obtenido
de esta interacción. Es decir, se valida lo que se ha trabajado, se
discute con el docente acerca del trabajo realizado para cerciorar
si realmente es correcto.
4. La institucionalización del saber. A pesar de no constituir una
situación a-didáctica, representa una actividad de suma
importante en el cierre de una situación didáctica. En ésta los
estudiantes ya han construido su conocimiento y, simplemente, el
docente en este punto retoma lo efectuado hasta el momento y lo
formaliza, aporta observaciones y clarifica conceptos ante los
cuales en la situación a-didáctica se tuvo problemas. Es presentar
los resultados, presentar todo en orden, y todo lo que estuvo
detrás de la construcción de ese conocimiento (situaciones
didácticas anteriores).
64
Dentro de las interacciones que acontecen en la Situación Didáctica,
Brousseau identifica algunos efectos que pueden inhibir o interrumpir la
construcción de conocimiento que lleva a cabo el estudiante dentro del
medio didáctico que el profesor elabora. Básicamente, son actitudes que
generan efectos negativos en el proceso enseñanza-aprendizaje, o bien,
en la definición del Contrato Didáctico. Brousseau indica cuatro efectos:
• Efecto Topaze . Brousseau lo identifica como aquella
circunstancia en donde el estudiante llega a la solución de un
problema, pero no ha sido por sus propios medios, sino porque el
profesor asume la resolución del problema. Éste último ve las
dificultades que tiene un grupo para llegar a la resolución de un
problema, por lo cual se ve en la necesidad de indicar cuál es el
procedimiento que deben seguir. Con ello no permite la
construcción de conocimiento por parte de los estudiantes.
• Efecto Jourdain. Consiste en la actitud que toma el profesor
cuando un estudiante da una respuesta que es incorrecta, no
obstante, para no desilusionarlo le dice que “esta bien”, que es la
respuesta correcta. Entonces, un comportamiento banal del
alumno es asumido como un conocimiento válido.
• Deslizamiento Meta-Cognitivo. Consiste en la actitud de tomar
una heurística en la resolución de un problema y asumirla como el
objeto de estudio. Bien se podría ejemplificar con el uso de
Diagramas de Venn en la teoría de conjuntos. Cuando se
comenzaron a analizar los diagramas de Venn dejamos de lado lo
que es la teoría de conjuntos, pues se tomaron los primeros como
la teoría en sí misma. Ese es un deslizamiento meta cognitivo.
• Uso Abusivo de la Analogía. Sabemos que en la resolución de
problemas es importante el uso de la analogía pero no funciona
suplantar el estudio de una noción compleja por un caso análogo.
65
No nos podemos quedar con los problemas análogos, sino que
debemos devolvernos al problema original. De lo contrario,
incurrimos en el uso abusivo de la analogía.
2.2.6. TEORÍA DEL PENSAMIENTO CREATIVO DE EDWARD DE BONO.
La operación básica de la actividad creativa es la búsqueda de
alternativas. El pensamiento creativo o pensamiento lateral
(denominación dada por De Bono, 1985 citado en Damián y otros, 2007)
está con relación a la búsqueda de alternativas respecto de lo que
existe; es la capacidad que permite generar ideas novedosas e
interesantes para resolver problemas que plantea la vida cotidiana y
académica. La creatividad es importante en la medida que nos permite
ver las cosas y las situaciones desde diferentes perspectivas, nos saca
de lo rutinario, otorga sentido y variedad a nuestra vida; supone salir de
lo rutinario y lo establecido para encontrar nuevas formas, mejores
estilos y mayor flexibilidad ante lo instituido. La importancia de su
práctica radica en que al automatizar los procesos y habilidades del
pensamiento creativo, los estudiantes pueden transferirlo a la solución
de problemas educativos o de otra índole.
Este proceso no es tan fácil, por eso se sugiere como medida adecuada
para mejorar la creatividad, practicar las fases de la resolución de un
problema; tales como: identificar, definir, explorar, anticipar y aprender.
1. Identificar la situación. La habilidad para identificar la situación,
necesidad o los problemas es uno de los pasos importantes del
proceso creativo. Un problema bien identificado está resuelto
parcialmente. La actitud creativa se puede reflejar cuando un
estudiante tiene la posibilidad de elegir un tema de trabajo o cuando
un profesor decide cómo motivar a sus estudiantes en cada tarea. Se
acopia y procesa la información pertinente. En este nivel se hace uso
de la observación, la reflexión y la selección.
66
2. Definir el problema y las metas. En todo acto humano el propósito
precede a la acción: el acto de definir y volver a definir las metas es
otra parte clave del proceso creativo. Cada meta necesita ser
analizada desde diferentes perspectivas o puntos de vista
discrepantes. Este empeño puede tener efectos interesantes en la
utilización del conocimiento procedimental; es decir, en el
comportamiento estratégico del estudiante. Conviene exigir a los
estudiantes que persigan un mínimo de dos metas en cada problema.
Las capacidades que se activan son el análisis y la inferencia.
3. Explorar posibles estrategias. Consiste en aplicar diferentes
métodos que conducirán a la solución del problema. Las
capacidades que intervienen son la intuición y la analogía.
4. Anticipar resultados y actuar. Se trata de especular si los
resultados que se pueden obtener serán positivos o negativos, las
ventajas y desventajas, se debe pensar acerca de la probabilidad de
alcanzar unos u otros y sus consecuencias “que ocurriría si...” es la
demanda que generalmente se suele hacer; a partir de la respuesta
se genera la acción. Recordemos que el pensamiento creativo busca
encontrar salidas novedosas, apropiadas, oportunas y de mejor
calidad. Las capacidades que se ponen en juego son la intuición, la
imaginación, la aplicación, la organización y la elaboración.
5. Aprender. Cada solución es un nuevo aprendizaje, una experiencia
creativa que sin duda alguna implicará la adquisición de reglas,
conductas, etc., y provocarán un nuevo ciclo innovador. El estudiante
debe tener paciencia para continuar explorando un problema antes
de aceptar soluciones fáciles, rápidas y dejarlo muy pronto. La
asociación, el análisis, la discriminación, el juicio crítico y la
transferencia son capacidades que se activan en este nivel.
67
La creatividad es la respuesta a las necesidades y problemas que a
diario se plantean en nuestra sociedad, algunas actitudes como la
responsabilidad, la flexibilidad, la actitud crítica, la perseverancia y la
apertura potencian su empleo. Su utilización marcará la diferencia entre
el éxito y el fracaso en casi todas las situaciones en que se aplique. Al
ser el pensamiento creativo una de las capacidades fundamentales más
importantes del ser humano, y quizás la más compleja y desconocida de
todas, conviene saber que es una de las múltiples formas de cómo el ser
humano interactúa con su medio, a pesar de todos los mitos y
preconceptos existentes en torno a él. Sus características son:
a) La lateralidad. Es aquella que nos demanda generar varias
ideas, diversos procedimientos y variados resultados o soluciones
ante una situación problemática que es, lógicamente, de
naturaleza abierta, y en la que es posible plantear diferentes
alternativas o maneras de enfrentarla y resolverla, aunque
siempre dentro de un rango de pertinencia de las respuestas
halladas, de tal manera que sean evaluadas como eficientes.
b) La fluidez. Es aquella característica que nos permite producir un
flujo rápido de ideas y preguntas, así como un mayor numero de
soluciones posibles frente a una situación o problema planteado
dentro de un lapso determinado.
c) La flexibilidad. Nos permite abordar una situación desde
diferentes perspectivas, así como, hacer fluir varias soluciones
para un mismo problema, desde diversos criterios o enfoques,
tales como buscar pistas que aparentemente pueden ser
contradictorias o idear escenarios o contextos distintos a los
usualmente deseados; es decir, percibir las cosas o situaciones
desde sus diversas perspectivas.
d) La originalidad. Se manifiesta en la producción de asociaciones
muy distantes de los datos en cuestión y ofrece resoluciones
68
fuera de lo común, ero de igual o superior eficacia que las
frecuentes. Una respuesta original debe poseer pertinencia
porque de lo contrario solo quedaría como extravagante, al no ser
eficaz.
e) La elaboración. Permite desarrollar y añadir detalles y elementos
con facilidad o también ampliar un problema o situación dada, y
generar nuevas extensiones y versiones de las situaciones o
datos primigenios.
2.2.7. TEORÍA COGNITIVA DE JEAN PIAGET
Piaget (1941) visualiza el desarrollo cognitivo como un proceso de
evolución asociado a la madurez, la experiencia física y la interacción
social (Rojas y Perales. 2002, pp: 122). Las investigaciones de Piaget,
abarcan distintas áreas del conocimiento, pero se podría decir que todas
ellas versan sobre cómo son, cómo piensan y cómo aprenden los niños.
Piaget dividió el desarrollo intelectual en cuatro etapas o estadíos: la
etapa sonso-motriz (desde que nacen hasta los dos años), la
preoperacional (aproximadamente de los dos a los siete años), la de las
operaciones concretas (aproximadamente de los siete a once años) y
por último la de operaciones abstractas o formales (aproximadamente de
los once años en adelante).
Para Piaget, la inteligencia se desarrolla en base a estructuras, las
cuales tienen un sistema que presenta leyes o propiedades de totalidad;
su desarrollo se inicia a partir de un estado inicial en una marcha hacia
el equilibrio cuya última forma es el estado adulto; el desarrollo psíquico
será el resultado del pasaje de un estadio de menor equilibrio a otros
cada vez más complejos y equilibrados; es decir, en base a las nociones
de estructura, génesis o estado inicial y equilibrio, Piaget ha elaborado
una teoría de la inteligencia como proceso interno, vinculado al
desarrollo de la afectividad, la sociabilidad, el juego y los valores
morales.
69
Piaget (1941) sostiene que el conocimiento es producto de la acción que
la persona ejerce sobre el medio y este sobre él; para que la
construcción de conocimientos se dé, se genera un proceso de
asimilación, incorporación, organización y equilibrio. Desde esta
perspectiva, el aprendizaje surge de la solución de problemas que
permiten el desarrollo de los procesos intelectuales.
La Teoría Cognitiva está orientada al desarrollo del pensamiento, tiene
como campo de estudio todos los procesos por los que la información de
los sentidos se transforma, reduce, elabora, recupera, utiliza y transfiere.
La cognición crea representaciones que utilizamos; es decir, le damos
un valor funcional (Mesías, 2006).
La Teoría Cognitiva sostiene que el desarrollo de la inteligencia es
progresivo y secuencial. En la inteligencia se dan operaciones mentales
que articulan la estructura cognitiva de la persona. Las operaciones
mentales son el conjunto de acciones interiorizadas, organizadas y
coordinadas por las cuales se elabora la información. Su construcción es
secuencial, las más elementales permiten que surjan las más complejas
y abstractas. Las operaciones mentales, unidas de modo coherente, dan
como resultado la estructura cognitiva. Las estructuras cognitivas se
entienden como sistemas organizados de información almacenada pero
activa, porque interviene en el pensamiento, razonamiento y capacidad
de dar solución a los problemas.
Para Piaget, el conocimiento es definido como las representaciones
mentales que hace el sujeto del mundo físico, social y sobre sí mismo.
(Rojas, y Perales, 2002.pp.121).
1. Conocimiento físico: Es el conocimiento de los objetos de la
realidad externa que se obtienen a partir de la observación y la
experimentación como el color, peso y forma. Su fuente son las
70
personas, cosas, fenómenos y su resultado es la abstracción
simple.
2. Conocimiento social: Este conocimiento se transmite de una
persona a otra o de una generación a la siguiente y se trata de las
normas o convenciones que cada sociedad a establecido. Su
origen es externo y su resultado es la interacción con otras
personas.
3. Conocimiento lógico matemático: A diferencia de los anteriores
no se adquiere básicamente por transmisión verbal ni está en la
apariencia de los objetos sino que consiste en las relaciones
creadas por cada individuo, es decir su origen está en la mente de
cada persona y se construye por la abstracción reflexiva (Kamii,
1995.pp17).
MECANISMOS DEL CONOCIMIENTO.
En el modela piagetano de construcción del conocimiento, el aprendizaje
es un proceso activo de construcción de conocimientos vía el conflicto
cognitivo, o desequilibrio, que es definitivamente una mayor información.
a. Asimilación: Proceso por el cual cada concepto o experiencia
brusca incorporarse a la estructura cognitiva del sujeto originando
un desequilibrio cognitivo.
b. Acomodación: Proceso de transformación de los propios
esquemas en función de los nuevos conocimientos y construcción
de una nueva estructura cognitiva más elevada, estableciendo el
reequilibrio.
c. Equilibración: Es el paso de un equilibrio inferior a otro superior,
como consecuencia de la interacción de los factores anteriores.
La equilibración se produce por abstracción produce por
abstracción (empírica o reflexiva).
• Abstracción empírica: Abstrae lo observable, a través de las
acciones físicas o mentales sobre los objetos.
71
• Abstracción reflexiva: Consiste en abstraer lo que no está en el
objeto, aunque no es siempre independiente de la abstracción
simple. (Rojas, J. 2002, pp. 122-123).
2.3. BASE CONCEPTUAL.
2.3.1. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS.
Dado que la didáctica contempla tanto las estrategias de enseñanza
como de aprendizaje, vamos aclarar la definición para cada caso.
Estrategias de Aprendizaje
• Estrategias para aprender, recordar y usar la información.
Consiste en un procedimiento o conjunto de pasos o habilidades
que un estudiante adquiere y emplea de forma intencional como
instrumento flexible para aprender significativamente y
solucionar problemas y demandas académicas.
• La responsabilidad recae sobre el estudiante (comprensión de
textos académicos, composición de textos, solución de
problemas, etc.)
• Los estudiantes pasan por procesos como reconocer el nuevo
conocimiento, revisar sus conceptos previos sobre el mismo,
organizar y restaurar ese conocimiento previo, ensamblarlo con
el nuevo y asimilarlo e interpretar todo lo que ha ocurrido con su
saber sobre el tema.
Estrategias de Enseñanza
• Son todas aquellas ayudas planteadas por el docente que se
proporcionan al estudiante para facilitar un procesamiento más
profundo de la información. A saber, todos aquellos
procedimientos o recursos utilizados por quien enseña para
promover aprendizajes significativos.
72
• El énfasis se encuentra en el diseño, programación, elaboración
y realización de los contenidos a aprender por vía verbal o
escrita.
• Las estrategias de enseñanza deben ser diseñadas de tal
manera que estimulen a los estudiantes a observar, analizar,
opinar, formular hipótesis, buscar soluciones y descubrir el
conocimiento por sí mismos.
• Organizar las clases como ambientes para que los estudiantes
aprendan a aprender.
Diversas estrategias de enseñanza pueden incluirse antes
(preinstruccionales), durante (coinstruccionales) o después
(posinstruccionales) de un contenido curricular específico Díaz y
Hernández (1998). Realizar una clasificación de las estrategias
precisamente basándose en el momento de uso y presentación. Las
estrategias preinstruccionales por lo general preparan y alertan al
estudiante en relación a qué y cómo va a aprender (activación de
conocimientos y experiencias previas pertinentes), y le permiten
ubicarse en el contexto del aprendizaje pertinente.
• Algunas de las estrategias preinstruccionales típicas son: los
objetivos y el organizador previo.
• Las estrategias coninstruccionales apoyan los contenidos
curriculares durante el proceso mismo de enseñanza o de la
lectura del texto de enseñanza. Cubre funciones como:
detección de la información principal, conceptualización de
contenidos, delimitación de la organización, estructura e
interrelaciones entre dichos contenidos, y mantenimiento de la
atención y motivación. Aquí pueden incluirse estrategias como:
ilustraciones, redes semánticas, mapas conceptuales y
analogías y otras.
• Las estrategias posinstruccionales se presentan después del
contenido que se ha de aprender, y permiten al estudiante
formar una visión sintética, integradora e incluso crítica del
73
material. En otros casos le permiten valorar su propio
aprendizaje. Algunas de las estrategias posinstruccionales más
reconocidas son: preguntas intercaladas, resúmenes finales,
redes semánticas, mapas conceptuales.
Ahora bien, uno de los objetivos más valorados y perseguidos dentro
de la educación a través de la historia, es la de enseñar a los
estudiantes a que se vuelvan aprendices autónomos, independientes y
autorregulados, capaces de aprender a aprender. Aprender de una
manera estratégica, según los estudios de Díaz y Hernández (1998),
implica que el estudiante:
• Controle sus procesos de aprendizaje.
• Se dé cuenta de lo que hace.
• Capte las exigencias de la tarea y responda consecuentemente.
• Planifique y examine sus propias realizaciones, pudiendo
identificar aciertos y dificultades.
• Emplee estrategias de estudios pertinentes para cada situación.
• Valore los logros obtenidos y corrija sus errores
Así pues, en lo que respecta a las estrategias de aprendizaje en
términos generales, una gran parte de las definiciones coinciden en los
siguientes puntos:
• Son procedimientos.
• Pueden incluir varias técnicas, operaciones o actividades
específicas.
• Persiguen un propósito determinado: el aprendizaje y la
solución de problemas académicos y/o aquellos otros aspectos
vinculados con ellos.
• Son más que los "hábitos de estudio" porque se realizan
flexiblemente.
• Pueden ser abiertas (públicas) o reservadas (privadas).
74
• Son instrumentos socioculturales aprendidos en contextos de
interacción con alguien que sabe más.
La ejecución de las estrategias de aprendizaje ocurre en asociación
con otros tipos de recursos y procesos cognitivos de que dispone
cualquier estudiante. Diversos autores concuerdan con la necesidad
de distinguir entre varios tipos de conocimiento que poseemos y
utilizamos durante el aprendizaje:
� Procesos cognitivos básicos: Se refieren a todas aquellas
operaciones y procesos involucrados en el procesamiento de la
información como atención, percepción, codificación,
almacenamiento y mnémicos, y recuperación, etc.
� Base de conocimientos: Se refiere al bagaje de hechos,
conceptos y principios que poseemos, el cual está organizado en
forma de un reticulado jerárquico (constituido por esquemas)
llamado también "conocimientos previos".
� Conocimiento estratégico: Este tipo de conocimiento tiene que
ver directamente con lo que hemos llamado aquí estrategias de
aprendizaje. Brown lo describe como saber cómo conocer.
� Conocimiento metacognitivo: se refiere al conocimiento que
poseemos sobre qué y cómo lo sabemos, así como al conocimiento
que tenemos sobe nuestros procesos y operaciones cognitivas
cuando aprendemos, recordamos o solucionamos problemas.
2.3.2. ¿QUÉ ES UN PROBLEMA?
Un problema se define como una situación en la cual un individuo
desea hacer algo, pero desconoce el curso de la acción necesaria
para lograr lo que quiere (Newell y Simon, 1972. pp:72 citados por
Nápoles, 2005).
75
Mazarío (2002. pp.13) sostiene que un problema es una situación o
dificultad prevista o espontánea, con algunos elementos
desconocidos para el sujeto, pero capaz de provocar la realización
de acciones sucesivas para darle solución.
Por su parte, Chi y Glaser, (1983) definen un problema como una
situación en la cual un individuo actúa con el propósito de alcanzar
una meta utilizando para ello alguna estrategia en particular. Cuando
hacemos referencia a “la meta” o a “lograr lo que se quiere”, nos
estamos refiriendo a lo que se desea alcanzar: la solución.
2.3.3. COMPONENTES DE UN PROBLEMA.
Según Mayer (1983) los problemas tienen cuatro componentes: 1)
las metas, 2) los datos, 3) las restricciones y 4) los métodos.
a. Las metas.- constituyen lo que se desea lograr en una
situación determinada. En un problema puede haber una o
varias metas, las cuales pueden estar bien o mal definidas.
Los problemas se diferencian, entre otras cosas, por el grado
de definición de los objetivos, y se suele distinguir entre
problemas bien definidos (por ejemplo, en el ajedrez la meta
es conocida desde el comienzo, que es dar jaque mate al rey
contrario).y problemas mal definidos ( en ocasiones, definir los
objetivos a conseguir es parte del problema. Ejemplo:
Componer una pieza musical, ¿Cuándo se ha alcanzado el
objetivo?)
En general, los problemas de naturaleza matemática son
situaciones-problema con metas bien definidas. En el ejemplo:
“Álvaro tiene 5 creyones. Javier le dio 8 creyones más.
¿Cuántos creyones tiene Álvaro en total?”, la meta está bien
definida, consiste en saber cuántos creyones tiene Álvaro en
76
total, después que Javier le dio 8 creyones. Por el contrario,
los problemas de la vida real pueden tener metas no tan
claramente definidas.
b. Los datos de un problema.- Consisten en la información
numérica o verbal disponible con que cuenta el aprendiz para
comenzar a analizar la situación problema. Al igual que las
metas, los datos pueden ser pocos o muchos, pueden estar
bien o mal definidos o estar explícitos o implícitos en el
enunciado del problema. En el ejemplo anterior, los datos
están bien definidos y son explícitos: 5 creyones y 8 creyones.
c. Las restricciones.- Son los factores que limitan la vía para
llegar a la solución. De igual manera, pueden estar bien o mal
definidos y ser explícitos o implícitos. En el ejemplo anterior,
no hay restricciones. Sin embargo, vamos a dar un ejemplo de
lo que es una restricción. Anita tiene una muñeca y quiere
vestirla con pantalón y franela. Tiene cuatro pantalones de
color rojo, blanco, azul y negro, y tiene tres franelas de color
verde, amarillo y rosado. Ella quiere hacer diferentes
combinaciones con todos los pantalones y las franelas verde y
rosada. ¿Cuántas combinaciones diferentes puede hacer?. En
éste ejemplo la restricción consiste en que Anita sólo quiere
utilizar dos de las tres franelas, la verde y la rosada, en
consecuencia, no todas las franelas van a ser consideradas
para las diferentes combinaciones que quiere hacer.
d. Los métodos u operaciones.- Se refieren a los
procedimientos utilizados para resolver el problema. En el
caso del ejemplo referido a los creyones, la operación a
realizar es una adición, por lo tanto, el resolutor deberá aplicar
el algoritmo de la suma.
77
2.3.4. DIFERENCIAS ENTRE PROBLEMA Y EJERCICIO.
De la Rosa (2007) Sostiene que un ejercicio es la aplicación de un
procedimiento rutinario para llegar a una respuesta, mientras que un
problema supone una situación que no podrá ser resuelta aplicando
directamente los conocimientos inmediatamente disponibles, para
resolverlo tendrá que leerse, reflexionar e interiorizarlo, tratar de
remitirlo a experiencias personales, manipularlo, representarlo
gráficamente o dramatizarlo, al objeto de llegar a las operaciones que
lleven a su solución. Los ejercicios también ayudan a aprender
conceptos, propiedades y procedimientos, los cuales se podrá aplicar
cuando se resuelva problemas (p.5).
Echenique (2006) explica que un problema es una situación que un
individuo o grupo quiere o necesita resolver y para la cual no
dispone, en principio, de un camino rápido y directo que le lleve a la
solución; consecuentemente eso produce un bloqueo. Conlleva
siempre un grado de dificultad apreciable, es un reto que debe ser
adecuado al nivel de formación de la persona o personas que se
enfrentan a él. Si la dificultad es muy elevada en comparación con su
formación matemática, desistirán rápidamente al tomar conciencia de
la frustración que la actividad les produce. Por el contrario, si es
demasiado fácil y su resolución no presenta especial dificultad ya
que desde el principio ven claramente cuál debe ser el proceso a
seguir para llegar al resultado final, esta actividad no será un
problema para ellos sino un simple ejercicio. De este modo podemos
decir que la actividad que para alumnos de ciertas edades puede
concebirse como un problema, para otros no pasa de ser un mero
ejercicio (p.20).
Los ejercicios no implican una actividad intensa de pensamiento para
su resolución. Al realizarlos, el alumno se da cuenta muy pronto de
que no le exigen grandes esfuerzos. Generalmente tienen una sola
solución, son actividades de entrenamiento, de aplicación mecánica
78
de contenidos o algoritmos aprendidos o memorizados. Le sirven al
profesor para comprobar que los alumnos han automatizado los
conocimientos que él pretendía enseñarles y, a su vez, al alumno
para consolidar dichas adquisiciones.
A continuación una manera más gráfica y comparada las principales
diferencias que existen entre estos dos tipos de actividades:
Características de los ejercicios
Características de los problemas
Se ve claramente qué hay que
hacer.
Suponen un reto.
La finalidad es la aplicación
mecánica de algoritmos.
La finalidad es ahondar en los
conocimientos y experiencias que se
poseen, para rescatar aquellos que son
útiles para llegar a la solución
esperada.
Se resuelven en un tiempo
relativamente corto.
Requieren más tiempo para su
resolución.
No se establecen lazos
especiales entre el ejercicio y
la persona que lo resuelve.
La persona que se implica en la
resolución lo hace emocionalmente. El
bloqueo inicial, debido a que la
situación le desconcierta, dará paso a la
voluntariedad y perseverancia por
encontrar la solución y, por último, al
grado de satisfacción una vez que esta
se ha conseguido
Generalmente tienen una sola
solución.
Pueden tener una o más soluciones y
las vías para llegar a ellas pueden ser
variadas.
Son muy numerosos en los
libros de texto.
Suelen ser escasos en los libros de
texto.
Figura Nº 04: Echenique,I. (2000, pp:21)
79
2.3.5. ¿QUÉ ES RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS?
Para George Polya (1965) “Resolver un problema es hacer un
descubrimiento. Un gran problema significa un gran descubrimiento,
pero hay una partícula de descubrimiento en la solución de cualquier
problema. El suyo puede ser modesto, pero si pone a prueba la
curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, y si
lo resuelve por medios propios, puede experimentar la tensión y el
encanto del descubrimiento y el goce del triunfo." “El resolver
problemas es una cuestión de habilidad práctica como, por ejemplo,
nadar. La habilidad práctica se adquiere por la imitación y práctica...
Al tratar de resolver problemas, hay que observar e imitar lo que
otras personas hacen en casos semejantes (Polya, 1979, p. 27).”
Lesh y Zawojewski (2007, pp: 782) definen la resolución de
problemas como “el proceso de interpretar una situación
matemáticamente, la cual involucra varios ciclos interactivos de
expresar, probar y revisar interpretaciones –y de ordenar, integrar,
modificar, revisar o redefinir grupos de conceptos matemáticos desde
varios tópicos dentro y más allá de las matemáticas”
Los investigadores sostienen que un problema existe cuando no se
sabe cómo resolver una tarea determinada, sea escolar, doméstica,
profesional, emocional, social, etc., de modo que su solución exitosa
no es sencilla. Sin embargo, aunque cumpla con todos los requisitos
no puede representar un problema para todas las personas en
general, tenemos que tomar en cuenta aspectos como el nivel
intelectual, la edad, el entorno cultural y la experiencia previa de la
persona que debería resolverlo. Por ejemplo, la pregunta ¿cuánto es
48/4? Constituiría un problema para un niño del primer grado de
primaria pero no para uno de 4º grado.
80
2.3.6. CLASIFICACIÓN GENERAL DE LOS PROBLEMAS.
Según Nápoles (2005) los problemas se clasifican en:
a. Los problemas prácticos.- Están motivados por una
necesidad de actuar, resolver una situación concreta.
b. los problemas intelectuales.- Están motivados por una
necesidad de comprender, de saber, de conocer
Según L. Bertoglia (1990, pp. 111-113) considera, básicamente, dos
tipos de problemas: los problemas cerrados y los problemas abiertos.
a. Problemas cerrados. La solución se deduce en forma lógica
a partir de la información que aparece en el planteamiento del
problema y que resulta suficiente para encontrar la respuesta
correcta. El resolutor dispone de toda la información, sólo
necesita integrarla aplicando los recursos de la lógica; por ello
suelen llamarse “problemas de inferencia lógica”.
b. Problemas abiertos.- Aquí el resolutor necesita ir más allá de
la información recibida, utilizándola de manera distinta y/o
modificando los significados atribuidos a los elementos del
ejercicio. Ahora los recursos lógicos resultan insuficientes y se
precisa de creatividad. Los problemas abiertos se aproximan
mucho a lo que sucede en la vida real; hay que hacer
consideraciones para la respuesta, pues no se da toda la
información necesaria. Por este motivo, suelen denominarse
“problemas sin los datos necesarios” (Campistrous y Rizo,
1996, pág. 92). Por ejemplo se quiere construir un tanque de
agua con una capacidad de 8000L. ¿Qué dimensiones debe
tener?
Evidentemente existen condiciones que no están dadas, por
ejemplo:
• La forma del tanque, que puede ser ortoédrica,
cilíndrica, cónica, etcétera; y en cada caso las
81
dimensiones están entre sí, en una proporción
diferente.
• La cantidad de material disponible, ya que se gasta
más o menos, en dependencia de la forma y
dimensiones escogidas.
Polya (1965) trata con regular insistencia dos tipos: los “problemas
por resolver” y los “problemas por demostrar”.
a. Los problemas por resolver.- Pueden ser teóricos o
prácticos, abstractos o concretos, serios o simples acertijos; y
sus elementos principales son la incógnita, los datos y la
condición; el propósito de éstos es descubrir cierto objeto que
resulta ser la incógnita del problema.
b. Los problemas por demostrar.- Consisten en probar, de
manera concluyente, la exactitud o falsedad de una
afirmación; sus elementos principales son la hipótesis y la
conclusión. Para resolverlos deben conocerse exactamente
sus partes principales: la hipótesis y conclusión.
2.3.7. LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS.
Nápoles (2005, pp.4) sostiene que un problema es una situación que
implica un no saber, o bien, una incompatibilidad entre dos ideas.
Desde ya, también debe existir una necesidad por resolverlo, pues si
no, no sería un problema, y, por lo tanto, este tiene que tener un
carácter de obstáculo para alcanzar una meta, que es su resolución.
La resolución de problemas es la actividad más complicada e
importante que se plantea en Matemáticas. Los contenidos del área
cobran sentido desde el momento en que es necesario aplicarlos
para poder resolver una situación problemática. Cuando se trabajan
en el aula de forma sistemática, dando opción al alumno a que
82
razone y explique cuál es su forma de afrontar y avanzar en el
desarrollo de la actividad, salen a la luz las dificultades que el propio
proceso de resolución de problemas conlleva. Dichas dificultades
están relacionadas en algunos casos con la falta de asimilación de
contenidos propios de los diferentes bloques del área; en otras
ocasiones se basan en la comprensión lectora, en el uso del lenguaje
o en el desconocimiento de conceptos propios de otras disciplinas
que intervienen en la situación planteada. No obstante, suponen una
importante fuente de información para dar a conocer los aspectos
que se debieran retomar e incorporarlos nuevamente al proceso de
enseñanza – aprendizaje (Echenique.2006.pp: 19).
Concretando, para que una situación se denomine problema es
necesario que:
• Exista una persona que desea resolverla (resolutor),
• Exista un estado inicial y un estado final (meta a alcanzar), y
• Que exista algún tipo de impedimento para el paso de un
estado a otro.
Schoenfeld (1985), sitúa, el uso de problemas o proyectos difíciles
por medio de los cuáles los alumnos aprenden a pensar
matemáticamente. Entendiendo la calificación de “difícil” como una
dificultad intelectual para el resolutor, es decir, como una situación
para la cual éste no conoce un algoritmo que lo lleve directamente a
la solución. De esto se desprende que la dificultad de un problema es
relativa pues depende de los conocimientos y habilidades que posea
el resolutor.
De igual forma, se asume el pensar matemáticamente como “ la
práctica de habilidades para formar categorías coherentes, usar
procesos de cuantificación y manejo de formas, para construir
representaciones simbólicas del entorno y desarrollar las
competencias para resolver problemas cotidianos, que aunque sean
83
de naturaleza variada, puedan verse bajo un mismo enfoque de
contenidos o metodologías” (Cruz, 1995:23).
Por último, se emplea el término resolutor para referirnos a la
persona, en este caso el estudiante, enfrascada en la tarea de
resolver un determinado problema (Alonso y Martinez, 2003).
2.3.8. CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS P ARA
TRABAJAR EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA.
En matemática pueden contemplarse diversas clasificaciones; en
esta investigación se toma como referencia a Echenique (2006) quien
hace la siguiente clasificación:
• Problemas aritméticos.
� De primer nivel
o Aditivo – sustractivos
- de cambio
- de combinación
- de comparación
- de igualación
o De multiplicación - división
- de repartos equitativos
- de factor N
- de razón
- de producto cartesiano
� De segundo nivel
� De tercer nivel
• Problemas geométricos
• Problemas de razonamiento lógico.
� Numéricos
� Balanzas de dos brazos
� Análisis de proposiciones
� De recuento sistemático.
84
� Razonamiento inductivo
� Azar y probabilidad
• Problemas heurísticos.
I. Problemas aritméticos
Son aquellos que, en su enunciado, presentan datos en forma de
cantidades y establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo,
cuyas preguntas hacen referencia a la determinación de una o
varias cantidades o a sus relaciones, y que necesitan la
realización de operaciones aritméticas para su resolución.
Se clasifican en problemas aritméticos de primer, segundo o
tercer nivel teniendo en cuenta el número de operaciones que es
necesario utilizar para su resolución, así como la naturaleza de los
datos que en ellos aparecen.
A. Problemas aritméticos de primer nivel.
Podrían llamarse también de un solo paso, ya que es
necesaria la aplicación de una sola operación para su
resolución. Se dividen en problemas o situaciones aditivo-
sustractivas y multiplicación-división.
A.1. Aditivo – sustractivos.
Son aquellos que se resuelven por medio de la adición o
la sustracción. Según la situación planteada en el
enunciado pueden ser:
a. De cambio
Se identifican porque en el texto del enunciado incluyen
una secuencia temporal, muchas veces manifestada a
través de los tiempos verbales utilizados. Parten de una
85
cantidad inicial (Ci), la cual se ve modificada en el
tiempo, para dar lugar a otra cantidad final (Cf).
Vergnaud llama a estas situaciones, problemas ETE:
estado - transformación - estado.
De las tres cantidades que deben aparecer en el
problema: Ci, modificación y Cf, dos de ellas serán
datos y la otra será la incógnita, de donde se pueden
deducir en principio tres casuísticas para esta tipología
de problemas. Teniendo en cuenta además que la
modificación que actúa sobre la cantidad inicial puede
producir un aumento o una disminución se duplicará
finalmente el número de casos. El siguiente cuadro
puede servir para expresar de forma más clara todas
las posibilidades que podrían darse en los problemas
de cambio.
Ci Modificación C f Ci crece C i decrece Operación
Cambio 1 X X ? X +
Cambio 2 X X ? X -
Cambio 3 X ? X X -
Cambio 4 X ? X X -
Cambio 5 ? X X X -
Cambio 6 ? X X X +
Figura Nº 05: Echenique, I. (2006, pp:31)
El signo (x) representa a los datos dados en el
enunciado y el signo (?) representa a la incógnita que
se debe calcular.
Ejemplo: Problema de cambio, caso 3. El día 1 de Abril
conté el dinero que tenía en mi alcancía y eran 17 soles
86
(Ci). Hoy es el último día del mes y tengo 28 soles (Cf).
¿Cuánto dinero he ahorrado durante este mes?
b. De combinación
En su enunciado se describe una relación entre
conjuntos (P1) y (P2) que unidos forman el todo (T). La
pregunta del problema hace referencia a la
determinación de una de las partes (P1) o (P2) o del
todo (T). Por tanto el cuadro que resume las
posibilidades ofrecidas por este tipo de problemas es el
siguiente:
P1 P2 1 T Operación
Combinar 1 3.1 X X ? +
Combinar 2 X ? X -
Figura Nº 06: Echenique, I. (2006, pp:32)
Ejemplo: Problema de combinación, caso 2. A una
sesión de cine asistieron 153 personas (P1). Si la sala
tiene 185 butacas (T), ¿cuántos asientos se
encontraban vacíos?
c. De comparación
Son problemas en los que, a través de un comparativo
de superioridad (más que…) o de inferioridad (menos
que…), se establece una relación de comparación entre
dos cantidades. La información aportada por el
enunciado está en relación con la cantidad de
referencia (Cr), la cantidad comparada (Cc) o bien la
diferencia (D) entre ambas cantidades. Del mismo modo
que en los problemas de cambio, de las tres cantidades
que deben aparecer en el problema: (Cr), (D) y (Cc), dos
87
de ellas serán datos y la otra será la incógnita, de
donde pueden deducirse en principio tres casos
posibles dentro de este tipo de problemas. Además
como el sentido de la comparación puede efectuarse en
términos de más que… o menos que… se duplica la
casuística anterior. Veamos el siguiente cuadro:
Cr D Cc Más que Menos que Operación
Comparar 1 X X ? X +
Comparar 2 X X ? X -
Comparar 3 X ? X X -
Comparar 4 X ? X X -
Comparar 5 ? X X X -
Comparar 6 ? X X X +
Figura Nº 07: Echenique, I. (2006, pp: 33)
Ejemplo: Problema de comparación, caso 5. Carlos y
Javier están haciendo una colección de canicas. Carlos
tiene 187 canicas (Cc), tiene 46 más que Javier (D).
¿Cuántas canicas tiene Javier?
d. De igualación
En su enunciado incluyen un comparativo de igualdad
(tantos como… , igual que… ). Son situaciones en las
que se da al mismo tiempo un problema de cambio y
otro de comparación. Dicho de otro modo, una de las
cantidades (cantidad de referencia Cr) debe modificarse
o se modifica creciendo o disminuyendo (D) para llegar
a ser igual a la otra cantidad (cantidad comparada Cc).
En el texto del problema se da información referida a las
cantidades (Cr), (D), y (Cc), dos de las cuales
88
aparecerán como datos y la tercera como incógnita a
calcular. De nuevo pueden considerarse a partir de esta
información tres casos de problemas, pero teniendo en
cuenta que el sentido de cambio puede ser aumentando
o disminuyendo dependiendo de la relación entre las
cantidades Cr y Cc eso duplica el número de
posibilidades. Por tanto el cuadro resumen será:
F
i
g
u
r
a
Figura Nº08: Echenique, I. (2006, pp: 33)
Ejemplo: Problema de igualación 3. Daniel tiene 56
libros de cuentos (Cc). Alberto tiene 25 (Cr). ¿Cuántos
libros más debe tener Alberto para tener los mismos
que Daniel?
A.2. De multiplicación y división.
a. De repartos equitativos o de grupos iguales.
Son aquellas situaciones en las que una cantidad debe
repartirse entre un cierto número de grupos, de modo que
cada grupo reciba el mismo número de elementos. En el
enunciado se hará referencia a tres informaciones: la
cantidad a repartir, el número de grupos a formar o el
número de elementos por cada grupo. Dos de estas
constituirán los datos y una tercera será la incógnita a
Cr D Cc Cr crece C r decrece Operación
Igualar 1 X X ? X +
Igualar 2 X X ? X -
Igualar 3 X ? X X -
Igualar 4 X ? X X -
Igualar 5 ? X X X -
Igualar 6 ? X X X +
89
calcular. Según esto se distinguen tres tipos diferentes de
problemas en esta categoría.
Cantidad a
repartir
Nº de grupos Elementos por
grupo
Operación
REP 1 X X ? :
REP 2 X ? X :
REP 3 ? X X ?
Figura Nº 09: Echenique, I. (2006, pp: 34)
Ejemplo: Problema de reparto equitativo casuística 3
En clase hay 18 alumnos. Después de repartir una
bolsa grande de caramelos entre todos los alumnos, a
cada uno le han correspondido 8 caramelos. ¿Cuántos
caramelos tenía la bolsa?
b. De factor N o de comparación multiplicativa.
Son muy similares a las situaciones aditivas de
comparación. En ellos intervienen dos cantidades del
mismo tipo las cuales se comparan (cantidad referente
Cr y cantidad comparada Cc) para establecer entre ellas
una razón o factor (F). Se caracterizan también porque
en el enunciado se incluyen cuantificadores del tipo "…
veces más que …" "… veces menos que …"
De las tres informaciones a las que se alude en el
enunciado (Cr), (Cc) y (F), dos de ellas aparecerán como
datos y una tercera será la incógnita. De aquí surgirían
tres posibles tipos de problemas. Ahora bien, al
considerar que la comparación establecida entre las
cantidades puede ser en términos de "veces más que" o
90
"veces menos que", eso duplica el número de
posibilidades:
Cr F Cc “ n veces más” “n veces menos” Operación
Factor 1 X X ? X X
Factor 2 X X ? X :
Factor 3 X ? X X :
Factor 4 X ? X X :
Factor 5 ? X X X :
Factor 6 ? x X X X
Figura Nº10: Echenique, I. (2006, pp:35)
Ejemplo: Problema de factor N caso 2. Unos zapatos
cuestan 72 soles (Cr). Un balón de baloncesto cuesta 8
veces menos (F). ¿Cuánto cuesta el balón?
c. De razón o de taza.
Este tipo de problemas incluye en el enunciado
informaciones que hacen referencia a medidas de tres
magnitudes diferentes. Una de ellas, la llamada
magnitud intensiva o tasa, (Ci), resulta de relacionar las
otras dos (una de las magnitudes dadas en el problema
respecto a la unidad de la otra magnitud ej. km/h,
soles/kilo,…) que a su vez se llaman extensivas( Ce1 y
Ce). Las posibilidades que se ofrecen son:
Ce1 Ci=Ce/Ce1 Ce Operación
Razón 1 X X ? X
Razón 2 ? X X :
Razón 3 X ? X :
Figura Nº 11: Echenique, I. (2006, pp:35)
91
Ejemplo: Problema de razón caso 2.
Por un jamón entero hemos pagado S/. 152 (Ce). Si el
precio de esa clase de jamón es de S/. 9 kilo (Ci),
¿cuántos kilos pesa el jamón que hemos comprado?
d. De producto cartesiano
Se trata de combinar de todas las formas posibles (T),
los objetos de un tipo (C1) con los objetos de otro tipo
(C2).
C1 C2 T Operación
Cartesiano 1 X X ? X
Cartesiano 2 ? X X :
Cartesiano 3 X ? X :
Figura Nº12: Echenique, I. (2006, pp:36)
Ejemplo: Problema de razón caso 2 ó 3. Combinando
mis pantalones y camisas me puedo vestir de 24 formas
diferentes (T). Tengo 4 pantalones (C1 ó C2). ¿Cuántas
camisas tengo?
B. Problemas aritméticos de segundo nivel.
También llamados problemas combinados. Para su resolución
es necesario realizar varias operaciones (dos o más) en un
cierto orden. Son más complejos que los de primer nivel
puesto que supone establecer unas relaciones más complejas
entre los datos aportados por el enunciado. Dentro de esta
tipología podría hablarse de diferentes clasificaciones según el
criterio seguido. Así, por ejemplo, atendiendo a la estructura
del enunciado pueden ser:
92
B.1. Problemas fraccionados combinados.
Son aquellos en los que en el enunciado aparecen varias
preguntas encadenadas, las cuales ofrecen al resolutor el
plan para responder a la última pregunta, que es
propiamente la finalidad del problema.
Ejemplo: Una señora lleva en la cartera 300 soles. Entra
a una tienda de ropa y compra 3 pantalones que le
cuestan 72 soles cada uno y 2 camisetas a 15 soles la
unidad. ¿Cuánto dinero valen los tres pantalones?
¿Cuánto paga por las camisetas? ¿Cuánto dinero gasta
la señora en la tienda? ¿Cuánto dinero le quedará en la
cartera al salir?
B.2. Problemas combinados compactos.
Resultan bastante más complejos que los fraccionados
ya que en ellos aparece solamente una pregunta al final
del enunciado. En este caso el resolutor debe relacionar
los datos aportados, de un modo estratégico y concebir el
plan que le llevará hasta la solución del problema.
Ejemplo: El coche de mi padre consume 6 litros de
gasolina cada 100 kilómetros. Cuando salió de casa
antes de iniciar un viaje, el depósito estaba lleno y caben
57 litros. Después de andar 750 km., ¿qué distancia
podría recorrer todavía sin volver a repostar combustible?
Por el tipo de operaciones que es necesario realizar para
resolver el problema, se clasifican en:
B.3. Problemas combinados puros.
93
Son aquellos en los que los pasos intermedios a realizar
para resolver el problema pertenecen todos al mismo
campo operativo-conceptual. Es decir se aplican bien
sumas y/o restas, o bien multiplicaciones y/o divisiones.
Ejemplo: Para celebrar el fin de trimestre, las tres clases
de tercero de mi colegio hemos ido al cine. En cada clase
hay 25 alumnos. Si hemos pagado en total 225 soles,
¿cuánto nos ha costado a cada alumno la entrada al
cine?
B.4. Problemas combinados mixtos.
En su resolución intervienen distintas operaciones
pertenecientes a campos conceptuales diferentes.
Ejemplo. En un almacén había 127 sacos de garbanzos.
Cada saco pesaba 60 kilos. Se sacaron 8 carros de 12
sacos cada uno. ¿Cuántos kilos de garbanzos quedaron
en el almacén?
En función de la secuencia temporal descrita en el enunciado,
el orden en el que aparecen dados los datos y su utilización
para la resolución del problema, se clasifican en:
B.6. Problemas combinados directos.
Son aquellos en los que los datos expresados en el
enunciado están dados en el mismo orden en el que
deben ser utilizados al resolver el problema.
Ejemplo: En un concurso escolar ganamos 1200 soles.
Para celebrarlo compramos libros de lectura para la clase
por valor de 192 soles. Después hicimos una excursión
94
en la que gastamos 900 soles. El resto del dinero lo
utilizamos en hacer una merienda. ¿Cuánto dinero costó
la merienda?
B.7. Problemas combinados indirectos.
Se caracterizan porque la persona que resuelve el
problema debe reordenar los datos en función de la
pregunta formulada en el enunciado, y combinarlos de
forma que le permitan elaborar el plan que le llevará a la
solución.
Ejemplo: Una cuba contenía 112 litros de agua. Con ella
se llenaron 3 bidones iguales y 2 garrafas de 15 litros
cada una. En la cuba quedaron todavía 7 litros de agua.
¿Cuál era la capacidad de cada bidón?
C. Problemas aritméticos de tercer nivel.
Son aquellos en los que los datos del enunciado vienen dados
en forma de números decimales, fraccionarios o porcentuales.
La situación planteada es similar a las de primer o segundo
nivel, la dificultad añadida está precisamente en el tipo de
números en los que se expresan los datos.
Ejemplos:
Un comerciante vendió las 350 botellas de aceite que había
comprado. Pagó por cada botella 1,10 soles. En la venta ganó
140 soles. ¿A cómo vendió cada botella?
En un hotel que tiene 60 habitaciones, sólo 3 están vacías.
¿Qué porcentaje de habitaciones tiene ocupadas el hotel?
95
Una pieza de ¾ de kilo de solomillo de ternera cuesta 21
soles. ¿Cuánto pagaremos por 2 kilos de esa misma carne?
II. Problemas geométricos.
Con ellos se trabajan diversos contenidos y conceptos de ámbito
geométrico, diferentes formas y elementos, figuras bidimensionales
y tridimensionales, orientación y visión espacial, los giros… El
componente aritmético pasa a un segundo plano y cobra
importancia todo lo relacionado con aspectos geométricos. Estos
problemas se inician en Educación Primaria pero luego su
tratamiento continúa en Secundaria. Es importante que los alumnos
adquieran una buena base para que vayan ampliando sus
conocimientos en cursos posteriores.
Ejemplo: Juntando las piezas 1 y 2 se han hecho varias
construcciones. Encuentra las dos piezas en cada construcción y
luego píntalas.
Figura Nº 12. Echenique, I. (2006)
III. Problemas de razonamiento lógico.
Son problemas que permiten desarrollar destrezas para afrontar
situaciones con un componente lógico. Actividades de este tipo
podrían ser por ejemplo:
A. Numéricos.
96
Los criptogramas, líneas u otras figuras sobre las que hay que
colocar números cumpliendo unas determinadas condiciones,
aquellos en los que se dan unas pistas para que a partir de
ellas se determine el número o números que las cumplen, …
Ejemplo: Acaba este cuadrado numérico para que sea
mágico, es decir, tienes que conseguir que cada fila, cada
columna y las dos diagonales sumen lo mismo
7 A B
C D E
14 8 10
B. Balanzas de dos brazos.
Problemas gráficos en los que una vez representadas algunas
"pesadas" realizadas, se trata de averiguar otras equivalencias
en función de los objetos utilizados.
Ejemplo: Observa la balanza y deduce el peso de la jarra
Figura Nº 13: Echenique, I. (2006)
C. Análisis de proposiciones.
Son actividades que desarrollan la capacidad para articular
argumentaciones y dar explicaciones. Exigen utilizar el
lenguaje con precisión.
Ejemplo:
97
Escribe VERDADERO o FALSO, detrás de las siguientes
condicionales:
• Si sumo dos números impares, entonces el resultado es
par.
• Si hace sol, entonces no hay nubes.
• Si no es alemán, entonces no es europeo.
• Si el resultado de un producto es par, entonces los dos
números son pares.
• Si soy propietario de un coche, entonces tengo el carné
de conducir.
D. Problemas de recuento sistemático.
Son problemas que tienen varias soluciones y es preciso
encontrarlas todas. Pueden ser de ámbito numérico o
geométrico. Conviene ser sistemático en la búsqueda de
posibles soluciones para llegar al final con la certeza de
haberlas hallado todas.
Ejemplo: ¿Cuántos rectángulos puedes ver en este dibujo?
Halla todas las formas posibles de tener 50 céntimos, de
manera que intervengan como máximo 5 monedas.
E. Problemas de razonamiento inductivo.
98
Consisten en enunciar propiedades numéricas o geométricas
a partir del descubrimiento de regularidades. Intervienen dos
variables y es necesario expresar la dependencia entre ellas.
Ejemplos: En las siguientes series, calcula el valor del término
que ocupa el lugar 50:
• 1 , 3 , 5 , 7, 9 , ………….....
• 6 , 9 , 12 , 15 , ………….....
• 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , …………
Para ver una obra de teatro por cada 2 entradas que se
compren, regalan otra. Rellena la tabla teniendo en cuenta la
oferta:
Pago 2 3 5 6 ... 10 ...
Llevo 3 4 ... ... 21
Figura Nº 14Echenique, I. (2006)
F. Problemas de azar y probabilidad.
Son situaciones planteadas en muchos casos a través de
juegos o de situaciones en las que siguiendo una metodología
de tipo manipulativa y participativa por parte de los alumnos,
estos pueden descubrir la viabilidad o no de algunas opciones
presentadas, así como la mayor o menor posibilidad de ganar
en el juego. A partir de este tipo de experiencias se pueden
hacer predicciones con cierta "base científica" o pensar en
posibles apuestas a realizar ante determinadas situaciones.
En una bolsa de tela hay bolas de diferentes colores. En total
son 10 bolas. Se han hecho 1500 extracciones anotando cada
vez el color de la bola y devolviéndola después a la bolsa. El
resultado es el siguiente:
99
Color de bola Nº de veces que ha salido
Rojo 510
Verde 275
Blanco 185
Amarillo 530
…………… …………
¿De qué colores crees que son las bolas de la bolsa?
¿Cuántas bolas te parece que habrá de cada color? ¿Pudiera
ocurrir que alguna de las bolas de la bolsa fuera azul? Si
haces el experimento 10 veces, ¿cuántas veces crees que
saldrá la bola verde? Haz la experiencia.
IV. Problemas heurísticos.
Son aquellos en cuyo enunciado no se sugiere implícitamente la
operación u operaciones a aplicar, incidiéndose más en la
búsqueda de una estrategia para encontrar la solución. Aunque
no tienen por qué ser propiamente matemáticos, mantienen la
mente despierta, estimulan la imaginación y desarrollan la
facultad de la inteligencia. Constituyen un ejercicio mental y
desarrollan estrategias que resultan útiles en muchas ocasiones.
Son actividades en las que es fundamental la expresión verbal del
proceso seguido para su resolución, ya que no sólo es importante
dar la respuesta sino también hacer partícipes al resto de
compañeros de cómo se ha llegado hasta ella.
Ejemplo: Un grupo de tres personas adultas se desplaza por la
selva. Al cabo de cierto tiempo encuentran un río que deben
cruzar, pero no pueden atravesarlo nadando. Al otro lado ven a
dos niños con una pequeña canoa que se ofrecen a ayudarles. La
canoa es tan pequeña que en cada viaje solamente caben los dos
100
niños o una persona adulta. ¿Serías capaz de ayudarles a
resolver este problema?
2.3.9. ENFOQUE DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA
MATEMÁTICA.
Según Stanic y Kilpatrick (1988), la utilización de los términos
“problema” y “resolución de problemas” ha tenido múltiples y a
veces contradictorios significados a través de los años, como se
describe brevemente a continuación:
a. La resolución de problemas como contexto.
Desde esta concepción, los problemas son utilizados como
vehículos al servicio de otros objetivos curriculares, jugando
cinco roles principales:
• Como una justificación para enseñar matemática:
Problemas relacionados con experiencias de la vida
cotidiana son incluídos en la enseñanza para mostrar
el valor de la matemática.
• Para proveer especial motivación a ciertos temas: los
problemas son frecuentemente usados para introducir
temas, con el convencimiento implícito o explícito de
que favorecerán el aprendizaje de un determinado
contenido.
• Como actividad recreativa: muestran que la
matemática puede ser “divertida” y que hay usos
entretenidos para los conocimientos matemáticos.
• Como medio para desarrollar nuevas habilidades: Los
problemas pueden proporcionar a los estudiantes
nuevas habilidades y proveer el contexto para
discusiones relacionadas con algún tema.
101
• Como práctica: Se muestra una técnica a los
estudiantes y luego se presentan problemas de
práctica hasta que se ha dominado la técnica.
Sin embargo, vemos que los problemas son usados como
medios para algunas de las metas y que la resolución de
problemas no es vista como una meta en sí misma (Vilanova
y otros, 2001), sino como facilitador del logro de otros
objetivos y tiene una interpretación mínima: resolver las
tareas que han sido propuestas.
b. Resolver problemas como habilidad.
A partir de la década de los 80, la resolución de problemas
es frecuentemente vista como una de tantas habilidades a
ser enseñadas en el curriculum. Esto es, resolver problemas
no rutinarios es caracterizado como una habilidad de nivel
superior, a ser adquirida luego de haber resuelto problemas
rutinarios (habilidad que a su vez, es adquirida a partir del
aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas
básicas). Sin embargo, las técnicas de resolución de
problemas siguen siendo enseñadas como un contenido,
con problemas de práctica relacionados, para que las
técnicas puedan ser dominadas.
c. Resolver problemas es “hacer matemáticas.
Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del
rol que los problemas juegan en la vida de aquellos que
hacen matemática. Consiste en creer que el trabajo de los
matemáticos es resolver problemas y que la matemática
realmente consiste en problemas y soluciones (Polya, 1945).
“Para un matemático, que es activo en la investigación, la
matemática puede aparecer algunas veces como un juego
102
de imaginación: hay que imaginar un teorema matemático
antes de probarlo; hay que imaginar la idea de la prueba
antes de ponerla en práctica. Los aspectos matemáticos son
primero imaginados y luego probados. Si el aprendizaje de la
matemática tiene algo que ver con el descubrimiento en
matemática, a los estudiantes se les debe brindar alguna
oportunidad de resolver problemas en los que primero
imaginen y luego prueben alguna cuestión matemática
adecuada a su nivel.”
Para Polya, la pedagogía y la epistemología de la
matemática están estrechamente relacionadas y considera
que los estudiantes tienen que adquirir el sentido de la
matemática como una actividad; es decir, sus experiencias
con la matemática deben ser consistentes con la forma en
que la matemática es hecha.
d. Resolver problemas como objetivo y como medio:
Buquet (2001) visualiza este enfoque en el siguiente
esquema:
Figura Nº 15: Buquet (2001, pp. 59)
COMO OBJETIVO COMO MEDIO
Enseñar PARA
la resolución de
problemas
Enseñar SOBRE
la resolución de
problemas
Enseñar A TRAVËS DE la resolución de problemas
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
103
• Enseñar para la resolución de problema: Consiste en
proponer a los alumnos más problemas, emplear
aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las
ciencias, no proponer sólo ejercicios sino también
problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la
investigación.
• Enseñar sobre la resolución de problemas: El objetivo
es que los alumnos lleguen a aprender y a utilizar
estrategias para la resolución de problemas, enseñanza
de técnicas heurísticas, el razonamiento plausible, la
demostración y la revisión reflexiva, las fases de
resolución de problemas de Polya, las decisiones
ejecutivas de Schonfeld, el modelo para la ocupación con
problema de Miguel de Guzmán.
• Enseñar a través de la resolución de problemas:
Significa que los docentes debemos enseñar las
matemáticas a través de problemas. Polya (1945)
sostiene que: “Si un docente dedica su tiempo a ejercitar
a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos
el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará
desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el
contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos
planteándoles problemas adecuados a sus
conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de
preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por
el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos
recursos para ello.”
2.3.10. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO CAPACIDAD.
Mesías (2006) sostiene que la solución de problemas debe ser
entendida como la capacidad para enfrentarse hábilmente a las
104
situaciones percibidas como difíciles o conflictivas. La importancia
radica en el hecho de que, cuando se desarrollan habilidades, se
activan operaciones cognitivas complejas. Esto se logra cuando el
estudiante analiza la información desde una amplia variedad de
fuentes, toma en cuenta todos los aspectos del tema, desarrolla el
pensamiento divergente y hace juicios para encontrar respuestas
alternativas pertinentes, oportunas y elabora planes de acción
realizables y efectivos.
La capacidad de solución de problemas tiene como propósito
resolver una dificultad, para ello relaciona, interpreta, transfiere,
establece relaciones causa-efecto y su propósito será encontrar una
solución, llegar a una conclusión o hacer una generalización.
La capacidad para resolver problemas es uno de los factores más
característico del desarrollo cognitivo de las personas, y evoluciona
conforme éstas adquieran mayor nivel de conocimientos y de
capacidades básicas, ya que pone en juego una serie compleja de
procesos e implica tanto las estructuras cognitivas como las
socioemocionales. Por ejemplo Winbey y Locshead (2006, citados en
Damián, Ordóñez, y Molinari, 2007) señala que para resolver un
problema se requiere:
• Habilidades para la comprensión lectora.
• Habilidades para observar, explorar y operar con precisión.
• Habilidades para regular la impulsividad.
• Habilidades para perseverar y tener seguridad en sí mismo.
• Habilidades para comunicarse e interactuar con otras
personas.
• Habilidades para razonar.
• Habilidades para manejar procedimientos, métodos y técnicas
con el fin de resolver problemas.
105
El análisis de estas variables involucradas en el pensamiento
resolutivo, evidencia que la posesión y manejo de determinadas
habilidades prima en este tipo de pensamiento así como las actitudes
y los conocimientos que, también son requeridos, aunque en menor
medida.
En consecuencia, la capacidad de resolver problemas se caracteriza
por evidenciar:
• Multidireccionalidad de la transferencia . Si bien todo tipo de
capacidad está caracterizada por ser transferible, el
pensamiento resolutivo es quizás el de mayor cobertura, por
cuanto su naturaleza es estrictamente instrumental y puede
ser aplicada a situaciones tan vastas, que no se le conoce
límites, tanto así que algunos sugieren que la enseñanza de
cualquier materia puede traducirse a situaciones
problemáticas, que es una técnica que se le conoce como
“Enseñanza en Base a problemas” o “PBL”, por las siglas en
inglés. La persona que desarrolla esta capacidad se encuentra
habilitada para operar en una gran variedad de situaciones por
cuanto como se ve en lo señalado por Winbey y Locchead
gran parte de lo que se requiere son capacidades o
“habilidades”, como ello las llaman, para enfrentarse a resolver
un problema así como los metacognitivos y as actitudes
(Damián, Ordóñez, y Molinari, 2007).
• Todo pensamiento resolutivo se encuentra
contextualiazado. Se refiere a que, si bien la naturaleza
básica de este pensamiento es el de ser instrumental, los
conocimientos que se requieren para identificar, caracterizar y
conceptuar un problema corresponden a un campo particular
del conocimiento, así como al conocimiento de técnicas
específicas para su solución. Esto puede parecer a simple
vista como contradictorio a la característica anterior, pero es
106
fácil de explicar si tomamos en cuenta que un problema puede
ser resuelto a través del uso de una gran variedad de
conocimientos que aún no existen. Una persona puede tener
capacidad para identificar el problema, también cómo
proceder para solucionarlo, pero puede no poseer lo
“conocimientos” que se requieren para ejecutar la solución del
problema (Damián, Ordóñez, y Molinari, 2007).
• El pensamiento resolutivo es de orientación diverge nte. Al
igual que el pensamiento creativo, no está orientado a
procurar que todos los educandos apliquen una única
estrategia para resolver los problemas. Si bien todas las
soluciones deben ser eficaces, las formas o maneras que se
pueden emplear para hallarlas, no sólo pueden ser diversas,
sino que es necesario que los estudiantes puedan resolver un
problema de diferentes formas; de allí que su énfasis en la
enseñanza para la resolución de problemas de problemas
matemáticos no está en hallar el resultado, sino en el
razonamiento (estrategia) que el alumno utiliza para
resolverlo(Mesías, 2006). Es más, en algunas ejercitaciones
en este sentido se proporciona la respuesta junto con el
problema y la evaluación se centra en la forma de cómo lo
resolvió el alumno. Así mismo, el docente que tiene la
intención se siente feliz si hay tantas formas distintas de
resolver el problema cómo el número de alumnos que posee.
• El pensamiento resolutivo implica la capacidad
metacognitiva. La capacidad de resolución de problemas
requieren de un control ejecutivo de los procesos del
pensamiento puestos en práctica, para detectar que la
estrategia que se lleve a la solución buscada, es decir ¿Cómo
saber que el camino o la ruta nos está llevando al destino que
deseamos? Sino tenemos ciertos “indicios” para comprobar
que estamos yendo por la ruta apropiada, podemos llegar a
107
una meta distinta a la que buscamos; de allí que los
estudiantes no tengan la seguridad de si han resuelto bien un
problema, a pesar de la insistencia verbal de los profesores
para que “comprueben” sus resultados. Lo que pasa en esta
situación es que muchas veces los alumnos no han
desarrollado sus procesos metaconitivos, es decir cómo saber
que lo que están haciendo está bien. Gran parte del éxito del
pensamiento resolutivo eficaz, estriba, precisamente, en
aplicar procesos metacognitivos (Damián, Ordóñez, y
Molinari, 2007).
2.3.11. ¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS MATEMÁTICO S EN
LA ESCUELA?.
Posiblemente los que nos dedicamos a la enseñanza, en algún
momento nos hemos preguntado, qué tendrán de especial las
matemáticas para que nos encontremos divididos en los que les
gusta, y disfrutan con ellas, y los que no (De La Rosa, 2007). En la
sociedad existe la creencia que la matemática es solo para los
privilegiados y superdotados de tal manera que siempre hay que
evitarla. Por otra parte, ¿ qué pasa en la escuela y sobre todo en la
resolución de problemas matemáticos?.
Echenique (2006) sostiene que durante muchos años y todavía en
nuestros días, la mayor parte de los problemas matemáticos que se
proponen en clase tienen como finalidad aplicar los contenidos o
algoritmos que se han estudiado en la unidad didáctica de la que
forman parte. Estas actividades no potencian la búsqueda de
procedimientos de resolución, sino que, más bien al contrario, a
menudo se presentan como baterías de problemas que los
alumnos resuelven de forma mecánica. Generalmente se les pide
que los trabajen de forma individual, no tienen por qué poner nada
en común con nadie (salvo que el profesor les pregunte a ellos
directamente), ni discutir o consensuar cuáles son los motivos que
108
les llevan a utilizar tal o cual algoritmo, contenido, etc. En muchos
casos se resuelven como tarea para casa y al día siguiente se
corrigen en la pizarra para toda la clase.
El resultado de todo este proceso es que cuando a los estudiantes
se les proponen problemas que hacen referencia a contenidos que
estudiaron en un tiempo pasado, que no tiene por qué ser lejano,
en muchos casos ya no recuerdan qué es lo que deben aplicar para
resolver con éxito la actividad.
Como profesores, nos damos cuenta entonces de la cantidad de
lagunas que tienen los alumnos. A menudo pensamos que han
asimilado contenidos y nos basamos para ello en que resuelven
bien las actividades correspondientes. Quizá esto nos deba hacer
reflexionar sobre la naturaleza de las mismas. En muchos casos
son baterías de ejercicios, como se ha mencionado anteriormente,
en las que los alumnos se van adiestrando en la ejercitación de
unos procedimientos mecánicos que no les exigen un esfuerzo
especial, salvo el de memorizar el proceso para su aplicación de
una forma correcta. Pero de ningún modo demuestran que el
alumno ha comprendido e interiorizado los conceptos que se han
trabajado en la unidad didáctica.
2.3.12. ¿CÓMO SE DEBE AFRONTAR LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS?
Una modalidad de aprendizaje de las matemáticas es la que se
lleva a cabo a través de la resolución de problemas de forma activa,
como fruto de variadas reflexiones sobre los contenidos
conceptuales y procedimentales que se poseen, para retomar en
cada momento aquello que puede ser útil.
Puesto que los problemas matemáticos son las actividades más
complejas que se le proponen al alumno al abordar este área, es
109
necesario ser consecuentes en su tratamiento. Enseñar a resolver
problemas debe figurar entre las intenciones educativas del
currículum escolar, ha de ser algo que nos debemos proponer. No
basta con que pongamos problemas matemáticos para que los
alumnos los resuelvan. Es necesario que les demos un tratamiento
adecuado, analizando estrategias y técnicas de resolución,
"verbalizando" el pensamiento y contrastándolo con el de otras
personas (Echenique, 2006). Debemos enseñarles procesos de
resolución a través de buenos modelos, con ejemplos adecuados,
dedicar un espacio en el horario escolar y conseguir un clima
propicio en el aula que favorezca la adquisición de las
correspondientes destrezas y hábitos. Es cierto que cada problema
tiene unas peculiaridades concretas, sin embargo hay un proceso
común a la mayor parte de ellos que es el método de resolución y
en la enseñanza del mismo es precisamente donde debemos
insistir.
La escuela es el lugar donde los alumnos deben aprender a
resolver problemas y, si no dedicamos a ello el tiempo que la
actividad requiere, difícilmente se logrará en años posteriores.
Como Polya (1965) dijo: "la resolución de problemas es un arte
práctico, como nadar o tocar el piano. De la misma forma que es
necesario introducirse en el agua para aprender a nadar, para
aprender a resolver problemas, los alumnos han de invertir mucho
tiempo enfrentándose a ellos". Poco a poco irán interiorizando
estrategias y sugerencias de aplicación, en la medida en que las
utilizan para resolver diferentes situaciones.
En la etapa de Educación Primaria deben asentarse las bases que
contribuirán a que los alumnos sean capaces de enfrentarse con un
mayor porcentaje de éxito a este tipo de actividades. Un buen
resolutor de problemas se va formando poco a poco y se identifica
porque dispone de:
110
• Un buen bagaje de conocimientos matemáticos claros,
estructurados e interconectados que le permiten enfrentarse
a las diferentes situaciones.
• Un método de resolución acompañado de una serie de
estrategias heurísticas para poder hacer uso de ellas durante
el proceso.
• Una actitud positiva al aceptar el reto que se le propone. Es
perseverante y disfruta resolviendo problemas.
Esto no nos debe llevar a creer que el buen resolutor es capaz de
resolver correctamente cualquier problema matemático que se le
presente. Sin embargo, sí cuenta con unos buenos procedimientos
de los que hará uso al enfrentarse a la resolución de la situación-
problema.
Polya (1965) consideraba que el profesor tiene en sus manos la
llave del éxito ya que, si es capaz de estimular en los alumnos la
curiosidad, podrá despertar en ellos el gusto por el pensamiento
independiente; pero, si por el contrario dedica el tiempo a
ejercitarles en operaciones de tipo rutinario, matará en ellos el
interés. Es necesario crear en clase un ambiente que favorezca la
investigación, el descubrimiento, la búsqueda, la desinhibición -
cuando se trate de plantear preguntas o dudas - , el respeto a los
compañeros, las actitudes de colaboración… etc.
Más que enseñar a los alumnos a resolver problemas, se trata de
enseñarles a pensar matemáticamente, es decir, a que sean
capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango
de situaciones y, en este sentido, los propios problemas serán las
"herramientas" que les llevarán a ello.
Abordar la enseñanza bajo esta perspectiva es un proceso lento,
que debe iniciarse en los primeros años de la escolaridad
111
obligatoria. Llevaría además a un cambio sustancial en las
creencias con las que se ha iniciado esta introducción.
2.3.13. ¿CÓMO PLANTEAR PROBLEMAS A LOS ALUMNOS?
Se han puesto de manifiesto, en el planteamiento del problema, tres
aspectos a los que debemos prestar mucha atención a la hora de
proponer un problema a nuestros alumnos: Propiciar la participación
activa de los estudiantes, conscientes de que “aprender Matemática
es hacer Matemática” (invitar, no obligar); innovar continuamente
tanto en los temas como en su tratamiento y, proponer cuestiones
justificadas por su aplicación tanto matemática como
extramatemática.
En el planteo han de transparentarse las cuatro funciones esenciales
de los problemas:
1. La función instructiva. Comprende el sistema de
conocimientos acordes con el nivel de aprendizaje.
2. La función desarrolladora. Abarca el sistema de habilidades
intelectuales a lograr.
3. La función educativa. Involucra la formación de actitudes; y
4. La función de control. Pues se concibe al problema como el
medio más eficaz para medir el vencimiento de los objetivos
(Ballester y otros, 1992 citado en Nápoles 2005)).
El proceso de formulación de problemas se regula, según Bertoglia
(1990, Citado en Nápoles, 2005), atendiendo a cinco principios
especiales. Ellos deben:
a) Ajustarse a los objetivos del aprendizaje . su elaboración debe
ser hecha de tal modo que, el encontrar la solución signifique la
adquisición del aprendizaje o bien el logro de un conocimiento
relevante. De este principio se desprende la necesidad de
112
conducir la actividad de tal modo que, en términos ideales, todos
los alumnos puedan encontrar la solución del problema.
b) Reservarse para el momento oportuno. Revela que los
problemas deben ser propuestos cuando estén aseguradas las
condiciones previas; de esta manera los estudiantes tendrán la
oportunidad de aplicar los conocimientos adquiridos, en un final lo
que se pretende es que él llegue a la solución.
c) Tener un nivel de complejidad adecuado. Debemos tener
cuidado de no plantear situaciones tan difíciles que excedan la
posibilidad de respuesta de los alumnos, pues esto “…en lugar de
favorecer la adquisición del aprendizaje, lo perturba, ya que crea
en los alumnos un sentimiento de frustración, al sentirse
incapaces de resolver los problemas que se les plantea. En
síntesis, se trata de adecuar el nivel de complejidad del problema
a las características de los alumnos; sin embargo, esto plantea
una dificultad debido a las diferencias individuales que se dan
entre los estudiantes, ya que lo que resulta complejo para un
alumno, puede no serlo para otro” (Bertoglia, 1990, citado en
Nápoles, 2005).
d) Favorecer el trabajo reflexivo. Nos revela la principal diferencia
entre un problema y un ejercicio: en la resolución de un problema
el discente tiene la oportunidad real de trabajar reflexivamente.
e) Presentar la información en términos positivos y fa miliares.
Nos recuerda que al plantear un problema en forma de negación,
se incrementa la probabilidad de que se cometan errores en la
interpretación de la información, específicamente del tipo
estructural. En nuestra opinión, el planteo ha de ser
preferiblemente lacónico; no contendrá elementos superfluos ni
contradictorios, ni debe necesitar información adicional, no se
referirá a situaciones prácticas o a conceptos matemáticos
113
desconocidos por el escolar a menos que se definan en el propio
ejercicio; estarán matizados con valores estéticos y originalidad.
2.3.14. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y CREATIVIDAD.
Evidentemente la resolución de problemas esta estrechamente
relacionada con la creatividad, que algunos definen precisamente
como la habilidad para generar nuevas ideas y solucionar todo tipo
de problemas y desafíos (Nieto; 2004).
El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y
convergente. El primero consiste en la habilidad para pensar de
manera original y elaborar nuevas ideas, mientras que el segundo
se relaciona con la capacidad crítica y lógica para evaluar
alternativas y seleccionar la más apropiada. Evidentemente ambos
tipos de pensamiento juegan un rol fundamental en la resolución de
problemas.
Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atención: el
proceso creativo, las características de la personalidad creativa, y
las circunstancias que posibilitan o favorecen el acto creativo.
Como consecuencia de estos estudios se han desarrollado técnicas
y métodos generales dirigidos a desarrollar el potencial creativo. En
esta obra nos concentraremos en las técnicas y estrategias
específicas que han demostrado ser más útiles para la resolución
de problemas matemáticos. Sin embargo haremos a continuación
una breve reseña de algunos de los métodos más generales,
remitiendo al lector interesado a la bibliografía correspondiente
(Nieto; 2004).
a. Invertir el problema. Cada concepto tiene uno contrario y la
oposición entre ellos genera una tensión favorable al hecho
creativo. Esta idea, que tiene profundas raíces tanto en la
filosofía oriental como en la occidental, se refleja en la
114
sabiduría popular en aforismos tales como: “Para saber
mandar hay que aprender a obedecer" o “Para ser un buen
orador hay que saber escuchar". Como ejemplo de esta
técnica supongamos que deseamos diseñar un zapato que
sea muy cómodo. El problema inverso será diseñar un
zapato incómodo. Pero el análisis de este problema nos
llevaría seguramente a descubrir los factores que causan
incomodidad, y al evitarlos habremos dado un buen paso
hacia la solución del problema original (Tompson, 1992;
citado en Nieto, 2004).
b. Pensamiento lateral. De Bono (citado en Nieto, 2004)
sostiene que el pensamiento lateral consiste en explorar
alternativas inusuales o incluso aparentemente absurdas
para resolver un problema. En otras palabras: evitar los
caminos trillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayar
percepciones y puntos de vista diferentes.
c. Principio de discontinuidad. La rutina suprime los
estímulos necesarios para el acto creativo, por lo tanto si
experimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora
interrumpa su programa cotidiano de actividades y haga algo
diferente a lo acostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios
que no conoce, ensaye una nueva receta de cocina,
escuche música diferente a la que escucha habitualmente,
lea un libro que no tenía pensado leer, asista a algún tipo de
espectáculo diferente a sus favoritos.
d. Imitación. La mayor parte de los grandes artistas comienzan
imitando a sus maestros. Más aún se ha llegado a afirmar,
en parte en broma y en parte en serio, Que “la originalidad
no es otra cosa que un plagio no detectado". En cualquier
caso es claro que la imitación puede ser un primer paso
válido hacia la originalidad. En particular observe y no vacile
115
en imitar las técnicas de resolución de problemas empleadas
con éxito por sus compañeros, maestros o colegas.
e. Tormenta de cerebros (Brainstrorming). Es una técnica
desarrollada en el mundo de la publicidad, en el cual el éxito
depende de la generación de nuevas y brillantes ideas. Para
ello se reúne un grupo de personas y se les invita a expresar
todas las ideas que se les ocurran en relación a un problema
o tema planteado, sin importar lo estrafalarias o ridículas que
parezcan. La evaluación y la crítica se posponen, esperando
crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento de
algunas ideas realmente útiles. La utilidad de esta técnica es
dudosa fuera de ciertos campos o situaciones muy
específicas.
f. Mapas metales. Es una técnica desarrollada por Tony
Buzan (citado en Nieto, 2004) que trata de representar en
forma gráfica el carácter asociativo de la mente humana. Se
comienza con la idea principal ubicada en el centro de la
hoja y alrededor de ella se van colocando las ideas
asociadas y sus respectivos vínculos. Utilizando diversos
colores y símbolos esta técnica puede llegar a ser muy útil
para organizar las ideas que van surgiendo en torno a un
problema.
g. Programación neurolingüística (PNL). También conocida
como “la ciencia de la experiencia subjetiva", es un conjunto
de técnicas muy desarrolladas a través de las cuales se trata
de caracterizar el contexto (físico, fisiológico, psicológico,
ambiental, etc.) en el cual somos más creativos, para luego
reproducirlo a voluntad (Dilts, 1983). Los practicantes de la
PNL han incluso “modelado" el comportamiento de algunos
personajes famosos, tales como Walt Disney, para tratar de
aprovechar sus modos y procedimientos más creativos.
116
h. Factores afectivos. La resolución de problemas no es un
asunto puramente intelectual. Las emociones, y en particular
el deseo de resolver un problema, tienen también una gran
importancia. La incapacidad que manifiestan algunos
alumnos para resolver incluso el ejercicio más sencillo no es
producto por lo general de una deficiencia intelectual, sino
de una absoluta falta de interés y motivación. A veces no
existe ni siquiera el deseo de comprender el problema, y por
lo tanto el mismo no es comprendido. El profesor que desee
realmente ayudar a un alumno con estas características
debería ante todo despertarle su curiosidad dormida,
motivarlo y transmitirle deseos de logro y superación.
Algunas creencias negativas para el proceso creativo están
asociadas a una baja autoestima y pueden tener raíces
emocionales profundas. Por ejemplo hay quienes
enfrentados a un problema creen a priori que no podrán
resolverlo, y que si lo intentan sólo conseguirán terminar con
un dolor de cabeza. El maestro o profesor debe en estos
casos apelar a todas sus dotes y conocimientos como
educador, aunque en casos extremos será necesaria
también la ayuda de un orientador o la de un psicólogo.
En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia
capacidad y crea que un problema es un desafío que vale la
pena enfrentar y que resolverlo le proporcionará una
satisfacción intelectual al mismo tiempo que será una
experiencia valiosa para su formación, estará en excelentes
condiciones psicológicas para abordar el proceso resolutivo.
Para profundizar en estos aspectos.
i. Bloqueos mentales. James Adams (1986), profesor de
diseño en la Universidad de Stanford, centra su enfoque de
117
la creatividad en la superación de los bloqueos mentales,
barreras que nos impiden percibir un problema en la forma
correcta y encontrarle solución. Su clasificación es la
siguiente:
• Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para
aislar el problema, delimitar demasiado el espacio de
soluciones, imposibilidad de ver el problema desde
varios puntos de vista, saturación, no poder utilizar
toda la información sensorial.
• Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a
arriesgar, a fracasar; deseo de seguridad y orden;
preferir juzgar ideas a concebirlas; inhabilidad para
relajarse; falta de estímulo; entusiasmo excesivo; falta
de control imaginativo.
• Bloqueos culturales : tabúes; el peso de la tradición;
roles predeterminados asignados a la mujer y al
hombre.
• Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo
para llevar adelante una idea; falta de cooperación
entre colegas.
• Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar
un lenguaje apropiado para el problema (verbal,
matemático, visual); uso inadecuado de las
estrategias; falta de información o información
incorrecta.
• Bloqueos expresivos: técnicas inadecuadas para
registrar y expresar ideas (a los demás y a uno
mismo).
2.3.15. EL PROCESO COGNITIVO EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS.
118
Para resolver problemas es fundamental dirigirse hacia la
consecución de una meta y no quedarse en el mero proceso de
ensayos y errores. Consecuentemente pone un énfasis especial en
delimitar las fases que son necesarias para la resolución de un
problema. Grahan Wallas (1926) y Alan Schoenfeld (1985) observan
cuatro estadios:
a) Preparación. Es el periodo en que se reúnen conocimientos,
percepción del objetivo, recolección de información e intentos
preliminares de solución, para ello hay que probar todos los
métodos e ideas que se presenten por la mente. Esta fase se
inicia en el momento en que aparece el impulso hacia la
actividad; y la duración de la misma depende del tipo de
problema, de los conocimientos acerca del problema y de los
hábitos del individuo.
b) Incubación. Esta fase se desarrolla en el inconsciente, es un
posible periodo de descanso ficticio, poner el problema fuera
de la mente consciente y dejar que lo inconsciente lo tome y
trabaje, es decir, dejar el problema de lado para realizar otras
actividades o dormir. . Esta fase, durante la cual planean
sobre el inconsciente las experiencias acumuladas, representa
para el individuo un tiempo de inquietud y frustración en sumo
grado, que a menudo va acompañada de sentimientos de
inferioridad y que exige una notable tolerancia de la
frustración.
c) Iluminación. Aparece la clave para la solución. La respuesta
llega en un momento dado y a veces en momentos menos
propicios, por lo que se debe tomar algunas precauciones
pues puede olvidarse. También se llama a esta fase momento
“Eureka” o “Ajá” en el que se da un “insight” (nueva
configuración con significado superior a la suma de las partes)
y un “afecto positivo” (satisfacción o euforia) debido a que en
119
esta fase el material acumulado durante la fase incubatoria se
transforma en un conocimiento claro y coherente que aflora de
forma repentina.
d) Verificación. Se comprueba, examina y configura la solución
para estar seguros de que funciona y poder comunicarla.
2.3.16. TIPOS DE CONOCIMIENTO NECESARIOS PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS.
Mayer (1982, 1983, 1985 y 1987; citado en Toboso, 2004), desde el
modelo del procesamiento de la información, propone un modelo
de resolución de problemas matemáticos, basado en los procesos
de comprensión y solución, en los que intervienen cinco campos
específicos de conocimiento: lingüístico, semántico, esquemático,
estratégico y operatorio.
Figura Nº 16 : Mayer, 1985; citado en Toboso , 2004.
PROCESO DE
SOLUCIÓN
PROCESO DE
COMPRENSIÓN
Conocimiento
algorítmico.
Conocimiento
estratégico
Conocimiento
esquemático
Conocimiento
lingüístico y
semántico
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
120
Diversos investigadores han estudiado el tipo de conocimiento
involucrado en la resolución de un problema, encontrándose que
los resultados apoyan la noción de que la eficiencia en la resolución
de problemas está relacionada con el conocimiento específico del
área en cuestión (Mayer, 1992; Sternberg, 1987; citados en Yepes
y Mosquera , 2004. ). En este sentido, estos autores coinciden en
señalar que los tipos de conocimiento necesarios para resolver
problemas incluyen:
• Conocimiento declarativo: Principios, fórmulas y conceptos
matemáticos. Por ejemplo saber que un kilómetro tiene mil
metros.
• Conocimiento lingüístico: Conocimiento de la lengua en
que está redactado para entender las palabras, frases,
oraciones. Que lo conforman.
• Conocimiento semántico: Conocimiento del significado de
las palabras, expresiones y oraciones del enunciado para
comprender los hechos que se comunican. Dominio del área
relevante al problema, por ejemplo, saber que si Álvaro
tienen 5 soles más que Javier, esto implica que Javier tiene
menos soles que Álvaro.
• Conocimiento esquemático: Conocimiento de los tipos de
problema al que pertenece el enunciado. Este conocimiento
aclara el problema y a la vez da pistas sobre su solución ya
que le permite integrar el problema en una estructura
cognitiva y saber lo que ha de hacer para resolverlo .
• Conocimiento estratégico: conocimiento que le permite al
individuo resolutor del problema, decidir sobre las etapas o
fases que debe seguir en el proceso de resolución; además
121
del Conocimiento de los tipos de conocimiento y de los
procedimientos heurísticos, es decir que planifique,
secuencie, dirija y evalúe los distintos tipos de
conocimientos: lingüístico-semánticos, esquemáticos y
algorítmicos. La estrategia representa la técnica general para
resolver el problema y, aunque no garantice la solución,
constituye una guía fundamental (Mayer, 1986). Un ejemplo
de estrategia es la sugerida por Polya (1965), la cual
consiste en "dividir el problema en problemas menores". El
conocimiento estratégico puede ser muy amplio y complejo
en función de múltiples factores: edad, experiencia,
conocimientos específicos, nivel madurativo, motivación, etc.
• Conocimiento procedimental o algorítmico: Conocimiento
acerca de las acciones necesarias para resolver un tipo de
problema en particular conocimiento del o de los algoritmos
necesarios para resolver el problema. Por ejemplo: cómo
realizar una multiplicación, ecuación, etc.
Para Mayer (1985) la solución de un problema matemático tiene,
entonces, dos grandes pasos: a) Traducción: El primer paso para
resolver un problema es la traducción de las palabras a una
representación interna, que va desde las palabras del problema
narrado hasta una ecuación, por ejemplo. Los tipos de
conocimiento que permiten al individuo realizar esa traducción, o
comprensión, son el conocimiento lingüístico, semántico y
esquemático. b) Solución (respuesta): El segundo paso es la
solución o respuesta del problema, que se consigue al aplicar las
reglas de la aritmética a la representación interna, y requiere de los
conocimientos operativo y estratégico.
Sternberg (1987), por su parte, plantea que para solucionar un
problema se deben seguir los siguientes pasos: 1) La
representación del problema, para la cual se requiere un
122
conocimiento lingüístico. 2) La traducción, que involucra un
conocimiento declarativo. 3) La integración, que precisa de
conocimiento procedimental. Y, finalmente, 4) La solución del
problema que se subdivide en: a) planificación, en la que se utiliza
un conocimiento estratégico, y b) ejecución, que implica un
conocimiento algorítmico.
2.3.17. LA METACOGNICIÓN EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMA S
MATEMÁTICOS.
La metacognición es una serie de operaciones, actividades y
funciones cognoscitivas llevadas a cabo por una persona,
mediante un conjunto interiorizado de mecanismos intelectuales
que le permiten recabar , producir y evaluar información, a la vez
que hacen posible que dicha persona pueda conocer, controlar y
autorregular su propio funcionamiento intelectual (Gonzáles, 1996)
Para Antonijevich y Chadwik (1982, citados en Gonzáles 1996) es
el grado de conciencia que tenemos sobre nuestras propias
actividades mentales, es decir, de nuestro propio pensamiento y
aprendizaje. La metacognición tiene que ver con el conocimiento
que una persona tiene de las características y limitaciones de sus
propios recursos cognitivos y con el control y regulación que ella
puede ejercer sobre tales recursos (García y La casa, 1990).
Es un atributo del pensamiento humano que se vincula con la
habilidad que tiene una persona para: a) conocer lo que conoce; b)
planificar estrategias para procesar la información; c) tener
conciencia de sus propios pensamientos durante el acto de
solución de problemas; y d) para reflexionar acerca de y evaluar la
productividad de su propio funcionamiento intelectual (Costa, s/f;
citado en Gonzáles, 1996).
123
El fracaso en la solución de problemas puede darse aun cuando el
niño tenga los conocimientos necesarios para realizarla, esto es,
los conocimientos declarativos, estratégicos y procedimentales.
Das, Kar y Parrila (1998) afirman que la ausencia de metacognición
puede explicar el fracaso de la enseñanza. La metacognición
permite a los sujetos saber cómo, cuándo y qué tipo de
conocimiento deben usar al resolver un problema matemático.
Pugalee (2001) expresa que para la comprensión y la formulación
de un plan para resolver un problema se requiere de
comportamientos metacognitivos, como la identificación de metas y
submetas, la realización de un plan global, llevar a cabo el plan
global y dibujar un diagrama u organizar los datos en otro formato.
Collins, Dickson, Simmons y Kameenui (1996, citados en Sabagh
2008) aseveran que, en general, la metacognición consiste en
pensar sobre el propio pensamiento o controlar el propio
aprendizaje. La metacognición incluye componentes de
conocimiento y autorregulación, aunque algunos autores suelen
agregar la motivación como un tercer componente.
Ban-Har (1998) encontró, en su estudio sobre la metacognición en
la solución de problemas matemáticos, cinco categorías de
comportamientos metacognitivos: 1) establecimiento de un plan, 2)
clarificación de los requerimientos de la tarea, 3) revisión del
proceso, 4) identificación de los errores, y 5) detección de un nuevo
desarrollo.
2.3.18. RELACIÓN DE LA INTELIGENCIA CON LA RESOLUCI ÓN DE
PROBLEMAS.
Aunque actualmente no hay acuerdo en la definición de inteligencia
ni sobre qué mecanismos subyacen exactamente al pensamiento,
encontramos relevantes autores que, desde los modelos
cognitivistas y la Teoría del Procesamiento de la Información,
124
identifican el pensamiento humano con la resolución de problemas
(Toboso, 2004).
Esta concepción produce un progresivo alejamiento del modelo de
inteligencia, como habilidad que miden los tests, y se concibe de
forma más global y dinámica, configurada por varios sistemas:
sensorial, motor, cognitivo, afectivo, de estilos y valores, que están
en íntima conexión (Royce y Powell, 1983).
La inteligencia, el razonamiento y la resolución de problemas se
consideran partes de un mismo todo. (Resnick, 1976; Sternberg,
1982; Feuerstein, 1980; Mayer, 1983; Pozo, 1994; entre otros;
citados en Toboso, 2004).
Resnick y Glaser (1976) consideran que el principal aspecto de la
inteligencia es la capacidad para resolver problemas. Así pues, el
análisis de los procesos cognitivos implicados en la resolución de
problemas se presenta como un medio adecuado para analizar y
especificar los procesos psicológicos de la inteligencia.
Sternberg (1982) considera que el razonamiento, la inteligencia y la
resolución de problemas se hallan tan estrechamente relacionados
que a menudo resulta difícil separarlos. Atribuye a la inteligencia la
facultad de pensar que engloba, entre otros procesos superiores, el
razonamiento y la resolución de problemas.
Carretero y García Madruga (1984) consideran los términos
“inteligencia”, “razonamiento” y “resolución de problemas” en íntima
relación, de tal forma que sería imposible tener en cuenta un
término excluyendo a los otros. La resolución de problemas
requiere un cierto grado de inteligencia, pues el razonamiento no
ocurre en el vacío, sino ante una situación que, en mayor o menor
grado, es problemática. La definición de inteligencia, pues, implícita
125
o explícitamente esta haciendo alusión a la resolución de
problemas.
Por otro lado, Pozo (1994) valora especialmente la propuesta de
fomentar en los alumnos la capacidad de “aprender a aprender”
que propone la Reforma Educativa, valorando las situaciones de
resolución de problemas como uno de los vehículos más
asequibles para conseguir esta capacidad.
2.3.19. HABILIDADES QUE SE DESARROLLAN EN LA CAPACI DAD DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Mesías (2006) señala que la capacidad de resolución de problemas
engloba a un conjunto de subcapacidades y habilidades como a
continuación se detalla en el siguiente cuadro:
Etapas en
la solución
de problemas
Rasgos habilidades
Delimitación
del problema
Agudeza
perceptiva
Identifica, descubre, observa...
Planteamiento
de hipótesis
Reflexión lógica Analiza, deduce, infiere, formula...
Actuación
adaptativa
Juzga, enjuicia, revisa, utiliza,
aplica...
Planeamiento
y ejecución
Discriminación
selectiva
Clasifica, selecciona, compara,
jerarquiza...
Visión prospectiva Anticipa, predice, imagina,
intuye...
Pensamiento
estratégico
Extrapola, planifica, diseña,
experimenta, organiza, elabora...
Verificación y
evaluación
Flexibilidad de
pensamiento
Explora, adecúa, adapta,
interpreta...
Autonomía Asume, discrepa...
126
Figura Nº 18 : Ministerio de Educación del Perú (2006)
2.3.20. PROCESOS PSICOLÓGICOS IMPLICADOS EN LA
ADQUISICIÓN DE ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
En la solución de problemas tienen estrecha vinculación los
contenidos conceptuales (“saber qué”) y procedimentales (“saber
cómo”). Las estrategias de solución de problemas son
procedimientos que se aplican de modo intencional y deliberado a
una tarea y que no podría reducirse a rutinas automatizadas. Sin
embargo, dentro de los procedimientos que los alumnos deben
adquirir para resolver problemas, algunos consisten en técnicas o
rutinas que deben automatizar (por ejemplo, la conversión de
unidades de medida de un sistema a otro o la decodificación de una
gráfica o una tabla) mientras que otros requieren planificación y
control en su ejecución (por ejemplo, el diseño de un experimento o
la búsqueda de fuentes de información para contrastar una
determinada explicación de un fenómeno social o histórico).
concebidas como secuencias de acciones realizadas de modo
consciente y deliberado, producto de una reflexión previa, las
estrategias de solución de problemas presentan algunos rasgos que
identificarían su uso por parte de los alumnos y no la simple
ejecución rutinaria de técnicas sobreaprendidas serían los siguientes:
• Su aplicación no sería automática sino controlada. Requerirían
planificación y control de la ejecución y estarían relacionadas con
el metaconocimiento o conocimiento sobre los propios procesos
psicológicos.
• Implicarían un uso selectivo de los propios recursos y
capacidades disponibles. Para que un sujeto pueda poner en
marcha una estrategia debe disponer de recursos alternativos,
127
Estrategias de solución
de problemas
Técnicas, destrezas o algoritmos
Estrategias de apoyo
Metaconocimiento
Procesos
básicos
Conocimientos
conceptuales
Figura Nº 19: Pozo, J. (1994).
entre los cuales decide utilizar, en función de las demandas de la
tarea de aprendizaje que se le presenta, aquellos que cree más
óptimos. Sin una variedad de recursos, no es posible actuar
estratégicamente.
• Las estrategias se compondrían de otros elementos más simples,
que constituirían técnicas o destrezas. De hecho, el uso eficaz de
una estrategia depende en buena medida del dominio de las
técnicas que la componen. Utilizar una técnica matemática (por
ejemplo, “la regla de tres”) como un recurso dentro de una
estrategia de solución de problemas (calcular la renta per capita
relativa de dos países) sólo será posible si el alumno domina, con
un cierto nivel de eficacia, esa técnica (Pozo, 1994).
La figura Nº 19 representa los diversos procesos psicológicos
implicados en la adquisición de estrategias de solución de
problemas.
Como puede observarse, las estrategias limitan al sur con las
técnicas antes mencionadas. El dominio de las estrategias posibilita
128
al alumno planificar y organizar sus propias actividades de solución
de problemas. Esas actividades o procedimientos que forman parte
de las estrategias suelen recibir el nombre de técnicas, destrezas o
algoritmos. Así, para completar cada una de las fases de solución de
un problema el alumno debe dominar algunas técnicas básicas, que
cuanto más automatizadas estén más facilitarán la posibilidad d de
incluirlas, de modo deliberado, en una estrategia.
Si bien el uso de una estrategia requiere el dominio de las técnicas
que la componen, una estrategia de solución de problemas no puede
reducirse simplemente a una serie de técnicas. Las estrategias
limitan al norte con los procesos de control en la ejecución de esas
técnicas, que requieren además un cierto grado de
metaconocimiento o toma de conciencia sobre los propios procesos
de solución de problemas. Este metaconocimiento, que es un
producto de la reflexión no ya sobre los problemas, sino sobre la
forma de resolverlos, es necesario para que el alumno sea capaz de
hacer un uso estratégico de sus habilidades, en relación sobre todo
con dos tareas esenciales: la selección y planificación de las técnicas
más eficaces para cada tipo de problema y la evaluación del éxito o
fracaso obtenido tras la aplicación de la estrategia.
Pero, difícilmente puede aplicarse una estrategia a una tarea
concreta sin unos conocimientos conceptuales específicos
relacionados con la tarea. Para resolver un problema se necesitan no
sólo procedimientos sino también conceptos y conocimientos.
Otro componente importante son las llamadas estrategias de apoyo,
que consistirían en una serie de procesos que, no siendo específicos
de la solución de problemas, son un apoyo necesario para cualquier
aprendizaje, como mantener la atención y la concentración, estimular
la motivación y la autoestima, adoptar actitudes de cooperación en el
trabajo en grupo, etc. Estas estrategias de apoyo a la solución de
129
problemas están muy conectadas con el componente actitudinal del
aprendizaje.
Por último, se requieren unos procesos básicos, cuyo desarrollo o
progreso hará posible la adquisición de determinados conocimientos
necesarios para la aplicación de una estrategia o el uso de ciertas
técnicas o habilidades. Así, para que un alumno sea capaz de utilizar
un cálculo proporcional en una estrategia de resolución de problemas
es preciso que haya alcanzado un cierto dominio de los esquemas
operacionales propios del pensamiento formal.
2.4. HIPÓTESIS.
Si se aplica estrategias didácticas basadas en el método de George
Polya, entonces se logrará desarrollar la capacidad de resolución de
problemas matemáticos en los niños (as) del 4º grado de primaria de la
I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – UPIS César Vallejo – Chiclayo - 2009.
2.5. VARIABLES.
a. Variable independiente: Estrategias didácticas basadas en el método
de George Polya.
b. Variable dependiente: Capacidad de resolución de problemas
matemáticos.
130
2.6. OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES.
VARIABLES DIMENSIONES INDICADORES
V.I.
Estrategias
didácticas
basadas en el
método de
George Polya.
Comprender el
problema.
• Identifica la incógnita.
• Entiende lo que dice el problema.
• Identifica los datos del problema.
• Replantea el problema con sus
propias palabras.
• Establece relación entre los datos y
la incógnita.
Planificar la solución.
• Busca relacionar el problema con
otro ya conocido.
• Representa el problema a través de
gráficos, diagramas o símbolos.
• Selecciona estrategias o modelos
para resolver el problema.
Ejecutar el plan.
• Sigue procedimientos diversos para
la solución del problema.
• Ejecuta el plan comprobando cada
uno de sus pasos.
• Busca una nueva estrategia si la
acción sugiere tomar otro curso.
Comprobar los
resultados.
• Relaciona la respuesta con la
incógnita.
• Demuestra la respuesta.
• Busca resolver el problema de
modo diferente y compara
resultados.
• Utiliza el resultado y el proceso
seguido para resolver y formular
nuevos problemas.
131
VARIABLES DIMENSIONES INDICADORES
V.D.
Capacidad de
resolución de
problemas
matemáticos.
Resolución de
problemas aritméticos
• Analiza y organiza el enunciado del
problema.
• Matematiza el problema.
• Resuelve problemas de cambio,
igualdad, combinación, comparación
y repartos equitativos.
• Propone nuevos problemas.
Resolución de
problemas
heurísticos.
• Traduce el enunciado a una
expresión matemática.
• Planifica una estrategia a ejecutar.
• Aplica los procedimientos
adecuados.
• Verifica la solución del proceso de
resolución.
Resolución de
problemas de
razonamiento lógico
• Afronta situaciones con
componentes lógicos.
• Argumenta o explica proposiciones
verbales.
• Busca la solución de problemas a
través del ensayo y el error.
132
2.7. DEFINICIÓN CONCEPTUAL DE LA OPERACIONALIZACIÓN DE
VARIABLES.
a) Variable. Es una propiedad o característica, cualidad o propiedad de
un fenómeno o hecho que tiende a variar (adquiere distintos valores)
y que es susceptible de ser medido y evaluado (Sánchez y Reyes .
1998, pp:49).
b) variable independiente. Es la consistencia en propiedades y
características del objeto de estudio que se generan sin la
intervención de otros elementos. Causa, afecta o condiciona en
forma determinante a la variable dependiente (Zavala.1999,pp:121).
c) Variable dependiente. Es la variable que resulta afectada o
condicionada por la presencia de la variable independiente (Sánchez
y Reyes . 1998, pp:50).
d) Indicador. Es una sub-variable que se desprende con el propósito de
medirla (Sánchez y Reyes . 1998, pp:53).
e) Estrategia. Plan ideado para coordinar las acciones y maniobras
necesarias para lograr un fin (Martí.2003, pp:179).
f) Didáctica. Se define como la disciplina científico-pedagógica que
tiene como objeto de estudio los procesos y elementos existentes en
la materia en sí y el aprendizaje.
g) Capacidad. Conjunto de disposiciones que permiten tener éxito en el
ejercicio de cierto género de actividades o de una determinada
profesión (Jurado, 2003,pp:110).
133
h) Problema. Situación considerada como difícil de resolver, y por lo
tanto necesita de la investigación para resolverse (Tamayo.1995,
pp:169).
i) Problema Aritmético. Aquellos que en su enunciado presentan
datos en forma de cantidades y establecen entre ellos relaciones de
tipo cuantitativo, cuyas preguntas hacen referencia a la
determinación de una o varias cantidades o a sus relaciones, y que
necesitan la realización de operaciones aritméticas para su
resolución (Echenique, 2006. pp: 30).
j) Problema de razonamiento. Son aquellos que permiten desarrollar
destrezas para afrontar situaciones con un componente lógico,
extrayendo conclusiones particulares de datos generales (deducción)
o conclusiones generales de datos particulares (inducción) (Del
Carpio y otros. 1994, pp:111).
k) Problema heurístico. Son actividades de expresión verbal cuya
solución se obtiene por evaluaciones sucesivas de hipótesis
provisionales y por comparación con el fin que hay que alcanzar.
Opuesto al algoritmo (Jurado, 2003,pp:65).
134
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN.
La presente investigación es de tipo cuasi – experimental. Por medio de
este tipo de investigación se aproxima a los resultados de una
investigación experimental en situaciones en las que no es posible el
control y manipulación absolutos de los sujetos y por tanto no se puede
tener certeza absoluta de que los cambios que aparecen en la VD. son
exclusivamente debidos a la manipulación de la VI.
3.2. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN.
En la presente investigación, por se de carácter cuasi - experimental se ha
empleado el diseño de dos grupos, uno de control y el otro experimental a
los cuales se evaluó a ambos en la variable dependiente, luego a uno de
ellos se aplica el tratamiento experimental mientras que el otro sigue con
sus actividades rutinarias y al final nuevamente se evalúa a ambos
grupos. El siguiente diagrama representa a este diseño.
GRUPO PRE - TEST TRATAMIENTO POST TEST
GE. O1 X O2
GC, 03 O4
Donde:
GE. = Grupo Experimental
GC. = Grupo Control.
O1, O3. = Pre Test.
O2, O4. = Post Test.
X = Tratamiento
135
3.3. POBLACIÓN Y MUESTRA DE ESTUDIO.
POBLACIÓN.
La población de estudio del presente trabajo de investigación realizado en
la I.E.Nº 10925 “Cesar Vallejo” consta de todos los niños (as) del cuarto
grado distribuido en tres aulas: 4º “A” (23 alumnos), 4º “B” (25 alumnos) y
4º “C” (25 alumnos).
Todos ellos presentan características homogenias como:
• Pertenecer al cuarto grado de educación primaria y a la misma
institución educativa.
• Sus edades fluctúan entre 9 y 10 años.
• Son mixtos, es decir, con alumnos de ambos sexos.
• Proceden de hogares cuya situación oscila entre baja y muy baja.
• Se ubican en el periodo de operaciones concretas (Según Piaget).
MUESTRA.
Para la aplicación del presente estudio se utilizó la técnica del azar a nivel
de secciones, resultando como grupo experimental 4º “A” con 23 alumnos
(31,5%) y como grupo control el aula de 4º “B” con 25 alumnos (34,25%).
3.4. TÉCNICAS, INSTRUMENTOS Y MATERIALES DE COLECCI ÓN DE
INFORMACIÓN.
Contando con el permiso del director de la I.E.Nº 10925 “Cesar Vallejo” –
UPIS Cesar Vallejo – Chiclayo, se procedió a la aplicación de la
investigación para la cual se utilizó las siguientes técnicas.
a) TÉCNICA DE LA OBSERVACIÓN.
Es una técnica de recolección de datos que permitió acumular y
sistematizar información sobre un hecho o fenómeno cuando los
investigadores registraron lo observado. Esta técnica se utilizó
136
con la finalidad de registrar el comportamiento de los fenómenos
y desenvolvimientos de los hechos en los escenarios que son
objetote ésta investigación , para lo cual se utilizó los siguientes
instrumentos
• Fichas o guias de observación. Permitió conductas
específicas de los objetos de nuestra investigación.
• Notas de campo. Sirvió para registrar lo que hacen o
presentan los sujetos de estudio y o que dicen; las
anotaciones fueron de dos tipos:
− Descriptores estrictamente de las interacciones y
actividades y
− Comentarios personales del investigador que implican
interpretaciones.
b) TÉCNICA DE ANÁLISIS DE CONTENIDO.
Es una técnica que permite reducir y sistematizar cualquier tipo
de información acumulado (documentos, filmes, grabaciones,
etc.) en datos respuestas o valores correspondientes a variables
que investigar en función al problema. Se aplicó esta técnica con
la finalidad de recoger datos que sustenten el trabajo de
investigación, utilizando los siguientes instrumentos.
• Fichas textuales: Permitió recoger información de los
diferentes temas tratados en nuestro trabajo de
investigación.
• Fichas bibliográficas: Permitió a los investigadores ordenar
la bibliografía consultada de los diferentes autores.
• Fichas de comentario: Permitió resaltar las observaciones
que se realizaron en el transcurso de la investigación
• Fichas resumen: Permitió sintetizar el trabajo de
investigación.
c) TÉCNICA DEL CUESTIONARIO
137
Es una técnica de recolección de datos y está formada por un
conjunto de preguntas escritas que el investigador administra o
aplica a las personas o unidades de análisis. Esta técnica nos
permitió recopilar información de los alumnos que consiste en una
serie de preguntas escritas tanto para el pre test como en el post
Test.
d) TÉCNICA DE LA ENTREVISTA.
Es una técnica que en su recolección de datos, éstos se obtienen
mediante un conjunto de preguntas orales que se hace a las
personas involucradas en el problema, motivo de estudio. Esta
técnica ha permitido a los investigadores obtener información
sobre la metodología del docente del aula del grupo experimental
así como las sugerencias y apoyo de otras personas quienes
colaboraron en la investigación.
e) TÉCNICA DE LA EVALUACIÓN
Esta técnica ha permitido a los investigadores medir el nivel de la
capacidad de resolución de problemas, antes, durante y después
de la aplicación del estímulo. Se utilizó los siguientes
instrumentos.
• Pre test: Instrumento que tuvo por objetivo identificar los
conocimientos respecto al la capacidad de resolución de
problemas matemáticos de los alumnos antes de la
experimentación.
• Pos test : Es la prueba que se aplicó a los alumnos y
alumnas una vez que el grupo experimental a recibido el
estímulo, tuvo por finalidad comprobar la influencia de la
aplicación de las estrategias metodológicas basadas en el
138
método de George Polya para desarrollar la capacidad de
resolución de problemas matemáticos.
3.5. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LOS DATOS.
Para procesar la información se utilizó la estadística descriptiva e
inferencial:
Medidas de tendencia central
• Media aritmética: Nos permitió obtener el rendimiento promedio.
• Mediana: Nos permitió obtener en una distribución que contienen
al 50% de casos por debajo y al 50% de casos por encima de dicho
puntaje.
• Moda: Nos permitió obtener el puntaje en distribución que tienen o
representa mayor frecuencia.
Medidas de dispersión
• Varianza: Es el resultado de la división de la sumatoria de las
distancias existentes entre cada dato y su media aritmética
elevadas al cuadrado, y el número total de datos.
• Desviación estándar: Nos permitió apreciar el grado de dispersión
de los datos.
139
Prueba de contrastación de hipótesis.
Se establecen las siguientes hipótesis.
H0 : No hay evidencia significativa en el desarrollo de la capacidad de
resolución de problemas matemáticos al aplicar las estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya, con respecto a la media
aritmética de la prueba del pre test y post test.
H1: Existe evidencia significativa en el desarrollo de la capacidad de
resolución de problemas matemáticos al aplicar las estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya.
• El nivel de significancia que se utiliza es: 0,005.
• Como se tiene dos resultados de la misma muestra que son pre test y
post test, entonces se aplicará el t-student con (nl + n2 – 2) grados de
libertad.
ne+nc-2gl
3.6. PROCEDIMIENTOS.
Las estrategias didácticas basadas en el método de George Polya
seguidas en el proceso metodológico para desarrollar la capacidad de
resolución de problemas matemáticos es el siguiente:
140
ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICADORES
Logiproblemas
Desarrollar el razonamiento
lógico a través de la
comprensión y análisis del
enunciado del problema.
En la fase de comprensión se
presentan diversos problemas que
suceden en la vida diaria, los
cuales deben ser resueltos
mentalmente.
• Argumenta la respuesta del
problema.
• Utiliza razonamiento
inductivo y deductivo.
Método de los cuatro
pasos
Resolver problemas aplicando el
método de los cuatro pasos
planteado por Polya:
comprensión, planificación,
ejecución y comprobación.
Resuelve el problema teniendo en
cuenta las siguientes preguntas:
¿Qué información tengo?, ¿Es
toda la información?; ¿Qué quiero
saber?, ¿Cuál es la pregunta?
¿Guarda relación lo que quiero
saber con la información que me
dan? (Comprensión); ¿Qué puedo
hacer? (planificar); llevo a cabo mi
plan (ejecución); ¿he respondido
a la pregunta?, ¿Qué he
aprendido?, ¿Existe otra forma de
resolverlo (verificación).
• Separa las partes del
problema, los datos del
problema (lo que
conocemos) de lo que nos
piden (lo que debemos
averiguar)
• Recoge por escrito los
pasos del plan a seguir
para resolver el problema.
• Relaciona la situación
inicial (planteada en el
enunciado) con la final
(obtenida en la solución).
141
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICAD ORES
Resuelvo problemas a través
de esquemas
Dado el texto de un problema y
varias operaciones o
esquemas, elegir la operación
o el esquema que resuelve el
problema.
Se da un problema el cuál debe
ser resuelto a través del uso de
esquemas, para este caso el
uso de diagramas sagitales
donde se Coloca los datos
(números) y la pregunta (?)
sobre las correspondientes
flechas en el diagrama.
• Hace esquemas, poniendo
los datos y las incógnitas
del problema para ver el
problema en su globalidad
(recta numérica, diagrama
sagital, rectángulos, de
árbol…).
Deduzco la respuesta a
través de una tabla
Desarrollar la capacidad de
deducción a través de la
selección, análisis y descarte
de información.
Esta estrategia pertenece a la
fase de comprensión, en la cual
se presenta problemas que
deben ser resueltos al ordenar
en las tablas la información
proporcionada en el enunciado
• Identifica y analiza los
términos del problema.
• Clasifica y ordena la
información en las tablas.
Busco datos
Observar y descubrir los datos
necesarios para resolver las
incógnitas de los problema
planteados.
Se muestran gráficos para dar
solución a diversos problemas
en base a estos.
• Selecciona los datos
necesarios para resolver un
problema.
• Formula una operación para
resolver el problema.
142
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICAD ORES
Resuelvo problemas a través
de esquemas
Dado el texto de un problema y
varias operaciones o
esquemas, elegir la operación
o el esquema que resuelve el
problema.
Se da un problema el cuál debe
ser resuelto a través del uso de
esquemas, para este caso el
uso de diagramas sagitales
donde se Coloca los datos
(números) y la pregunta (?)
sobre las correspondientes
flechas en el diagrama.
• Hace esquemas, poniendo
los datos y las incógnitas
del problema para ver el
problema en su globalidad
(recta numérica, diagrama
sagital, rectángulos, de
árbol…).
Deduzco la respuesta a
través de una tabla
Desarrollar la capacidad de
deducción a través de la
selección, análisis y descarte
de información.
Esta estrategia pertenece a la
fase de comprensión, en la cual
se presenta problemas que
deben ser resueltos al ordenar
en las tablas la información
proporcionada en el enunciado
• Identifica y analiza los
términos del problema.
• Clasifica y ordena la
información en las tablas.
Busco datos
Observar y descubrir los datos
necesarios para resolver las
incógnitas de los problema
planteados.
Se muestran gráficos para dar
solución a diversos problemas
en base a estos.
• Selecciona los datos
necesarios para resolver un
problema.
• Formula una operación para
resolver el problema.
143
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICAD ORES
Elijo la pregunta
Identificar la pregunta que
concuerda con los datos del
enunciado.
Dentro de un enunciado se
plantean diversas preguntas de
las cuales una guarda relación
con los datos y conduce a la
solución del problema.
• Infiere la pregunta del
problema.
• Formula una operación para
resolver el problema.
Invento la pregunta
Formular preguntas que se
puedan contestar a partir de los
datos proporcionados en el
enunciado.
Se presentan datos para crear
la pregunta al problema y
resolverlo.
• Formula preguntas al
problema teniendo en
cuenta los datos
proporcionados.
Invento los datos
Crear los datos que faltan
guardando relación con la
incógnita que se desea
averiguar.
Se formulan problemas con
algunos datos faltantes para
que sean inventados y
resueltos.
• Reconoce la falta de algún
dato complementario y lo
crea para poder contestar a
la pregunta.
Elijo el planteamiento
correcto
Elegir qué planteamiento
operativo es el adecuado para
dar solución a los problemas.
Se plantea el problema y se da
a elegir el planteamiento
operativo para su resolución.
• Elige la operación que da
solución al problema
planteado.
144
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICAD ORES
Resuelvo con un dibujo
Representar a través de un
dibujo el problema planteado.
Representar gráficamente los
cálculos que deben hacer para
resolver el problema: dibujos,
esquemas sagitales, rectángulos,
diagramas de árbol…
Cada problema debe ser
resuelto a través del diseño y
elaboración de un gráfico.
• Representa y resuelve el
problema por medio de un
dibujo o esquema.
Busco el dato que sobra
Analizar el problema y extraer el
dato que sobra.
Se presentan variados
problemas que contienen
datos que no guardan
relación con los demás.
• Extra el dato irrelevante de
cada problema.
Elijo el dato que falta
Analizar y descubrir el dato que
falta en el enunciado del
problema.
Se plantean problemas en el
cual falta un dato para poder
llegar a su solución.
• Analiza y elige el dato que
falta para la resolución de
cada problema.
Invento el problema
Inventar dentro de un contexto
familiar, problemas variados cuya
resolución requiera plantear una
o más operaciones aritméticas.
Se presentan breves datos
para que a partir de ellos se
estructure el problema.
• Crea un problema con los
datos y operaciones
brindados.
145
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICAD ORES
El torbellino
Resolver las operaciones a
través del cálculo mental en
algoritmos.
Se parte de un numero central y luego
se van agregando diversas
operaciones completando los vacíos
en cada secuencia.
• Calcula mentalmente la
respuesta del algoritmo.
Secuencia numérica
Crear secuencias numéricas
con la finalidad de
entrenarnos para la
resolución algorítmica.
Anticipar, sin resolver os cálculos, qué
recorridos de cada laberinto permiten
obtener el mayor y menor de los
resultados posibles. Escribir todas las
secuencias de cálculo posibles
colocando paréntesis cuando sea
necesario y resolver los cálculos.
• Crea y resuelve
secuencias numéricas a
partir del esquema
dado.
Tangrama
Obtener un gran número de
variantes creativas a partir
de una figura geométrica
inicial.
Se entrega a los alumnos la figura
geométrica para que recorten las
divisiones internas y emplear todas las
piezas para una nueva composición.
• Forma y descubre
figuras variadas y
creativas.
146
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS OBJETIVO DESCRIPCIÓN INDICAD ORES
Las encrucijadas
Aplicar estrategias generales
de resolución (heurísticos) que
contribuyan a resolver con éxito
situaciones planteadas: lectura
analítica, reformulación,
separación de datos e
incógnitas, elaboración de
esquemas, subproblemas,
tanteo inteligente…
Se plantean problemas cuyo
enunciado no sugiere
implícitamente la operación a
aplicar, incidiéndose más en la
búsqueda de una estrategia
para encontrar su solución.
• Desarrolla estrategias
heurísticas que resulten
útiles para resolver el
problema.
Juguemos con palitos de
fósforo
Estimular la imaginación y
resolver problemas a través de
la deducción lógica e Inventar
una serie de ejercicios
divertidos e ingeniosos, que
ayudarán a desarrollar la
reflexión y el pensamiento.
Con una caja de palitos de
fósforos se forman figuras
iniciales, se da una condición
de agregar o quitar cierto
número de palitos y formar una
nueva figura.
• Observa, analiza y
desarrolla estrategias de
ensayo y error para resolver
el problema.
El sentido común y las
aproximaciones
Usar el cálculo mental Se presentan problemas para
resolverlos con aproximaciones
• Resuelve problemas a
través del cálculo mental.
147
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA
INVESTIGACIÓN
148
CUADRO Nº 01:
RESULTADOS EN LA FASE DE COMPRENSIÓN EN PROBLEMAS A RITMÉTICOS DE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º GRADO DE
PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLEJO” – CHI LCLAYO – 2009.
COMPRENDER EL
PROBLEMA
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Identifica la incógnita 12 48 13 52 10 43,5 13 56,5 11 44 14 56 23 100 0 0
Identifica los datos 7 28 18 72 6 26,1 17 73,9 9 36 16 64 19 82,6 4 17,4
Replantea el problema 3 12 22 88 4 17,4 19 82,6 3 12 22 88 15 65,2 8 34,8
Relaciona los datos con la
incógnita 4 16 21 84 4 17,4 19 82,6 5 20 20 80 14 60,9 9 39,1
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
149
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 01.
Los ítems 1.1; 1.2; 1.3 y 1.4 del test para ,medir el logro de la capacidad de
resolución de problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar la dimensión de
comprensión del problema.
En este cuadro, el pre test determina que el 56,6% de los alumnos del grupo
experimental presentan dificultades para identificar la incógnita de os
problemas enunciados, el 73,9% tienen deficiencias para identificar los datos,
el 82,6% no son capaces de reformular los problemas con sus propias
palabras; tan sólo, el 17,4% de los estudiantes relaciona los datos con la
incógnita satisfactoriamente. Porcentajes que permiten determinar la carencia
de habilidades en el desarrollo de la capacidad comprensiva en la solución de
problemas.
Sin embargo en el post test se observa que el porcentaje del grupo
experimental supera con gran significatividad a los resultados del grupo control
y del pre test, ya que los 23 alumnos fueron capaces de identificar la incógnita
y a relacionarla con los datos, un 65,2% aprendieron a replantear el problema
con sus propias palabras; lo que demuestra que la aplicación de las estrategias
didácticas basadas en el método de Polya han tenido un efecto relevante;
coincidiendo con Schoenfeld, De Guzmán y Fridman quienes sostienen que en
el proceso de solución del problema, la comprensión y la traducción a
expresiones menores permite programar estrategias como: formularse
preguntas, expresar el problema con palabras propias, representar mediante
ilustraciones, objetos, diagramas, etc. para alcanzar la solución con mayor
facilidad.
151
CUADRO Nº 02:
RESULTADOS EN LA FASE DE PLANIFICACIÓN DE LA SOLUCI ÓN EN PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE LOS NIÑOS(AS)
DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESA R VALLEJO” – CHILCLAYO – 2009..
PLANIFICAR LA
SOLUCIÓN
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % F % f %
Relaciona el problema
con otro ya conocido. 5 20 20 80 6 26,1 17 73,9 7 28 18 72 18 78,3 5 21,7
Representa el problema a
través de los gráficos. 6 24 19 76 5 21,7 18 78,3 7 28 18 72 15 65,2 8 34,8
Selecciona estrategias
para resolver el problema. 7 28 18 72 6 26,1 17 73,9 9 36 16 64 16 69,6 7 30,4
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
152
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 02.
Los items 1.5; 1.6; 1.7 del test para medir el logro de la capacidad de
resolución de problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar en los estudiantes
la dimensión de planificar la solución.
Tomando en cuenta los resultados del pre test, en esta fase sólo el 26,1%
relacionó el problema con otro ya conocido, el 78,3% de los alumnos tuvieron
problemas para representar los problemas gráficamente, por consiguiente, sólo
6 alumnos (26,1%) identificaron y seleccionaron estrategias apropiadas que les
facilite llegar a la solución; teniendo gran similitud con el grupo control. Estos
porcentajes indican que los alumnos están acostumbrados a realizar procesos
monótonos y repetitivos, no teniendo en cuenta el diseño de un plan;
evidenciándose la carencia de conocimientos integrados y el desconocimiento
de estrategias que les conduzca a resolver una situación problemática.
En el post test, luego de aplicar la variable independiente, observamos un
considerable incremento en el porcentaje de los alumnos del grupo
experimental que logran relacionar el problema con otro ya conocido (78,3%),
grafica el problema (65,5%) y seleccionan estrategias para su resolución (69,6).
Estos resultados muestran que se ha logrado consolidar los conocimientos
conceptuales y estratégicos, puesto que los alumnos son capaces de utilizar
símbolos, dibujos, gráficos, esquemas (Schoenfeld y fridman , 1985), la
intuición y la analogía (De Bono) para representar problemas y a partir de ello
operacionalizar sin mayor dificultad (Polya, 1945). Para el logro de esta
habilidad se ha tenido que hacer
Además estas estrategias han permitido consolidar el conocimiento estratégico
(Mayer, 1985) como organizador de los pasos a seguir, decidir sobre las etapas
o fases que debe seguir en el proceso de resolución; además del Conocimiento
de los tipos de conocimiento y de los procedimientos heurísticos, es decir que
planifique, secuencie, dirija y evalúe los distintos tipos de conocimientos:
lingüístico-semánticos, esquemáticos y algorítmicos.
154
CUADRO Nº 03:
RESULTADOS EN LA FASE DE EJECUCIÓN DEL PLAN EN PROB LEMAS ARITMÉTICOS DE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º
GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLE JO” – CHILCLAYO – 2009.
EJECUCIÓN DEL PLAN
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Plantea una operación
para resolver el problema. 5 20 20 80 6 26,1 17 73,3 5 20 20 80 19 82,6 4 17,4
Desarrolla la operación 5 20 20 80 6 26,1 17 73,9 5 20 20 80 19 82,6 4 17,4
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
155
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 03.
Los items 1.7; 1.8 del test para medir el logro de la capacidad de resolución de
problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar la fase de ejecución del plan.
En el pre test se observa que tanto el grupo control (80%) como en el grupo
experimental (73,9%) no traducen la situación problemática a una operación
algorítmica y mucho menos desarrollarla correctamente (73,9%).
En el post test se confirma que el método de George Polya y los estudios y
aportes de Schoenfeld, De Guzmán y Fridman, es de mucha relevancia y
trascendencia educativa en el grupo experimental, puesto que en esta etapa el
alumno desarrolla la comunicación y justificación de sus acciones seguidas:
primero calcula, predice..., luego..., por último... hasta llegar a la solución y
cómo se aprecia en el post test los resultados son más que evidentes ya que el
82% de los estudiantes demostró que es capaz de plantear y resolver su
estrategia planificada, de seleccionar y llevar adelante las mejores ideas que se
les ha ocurrido en la fase anterior; actuar con flexibilidad y no rendirse
fácilmente. buscar otro camino cuando las cosas se complican demasiado para
estar seguros de demostrar su proceso de solución.
156
CUADRO Nº 04:
RESULTADOS EN LA FASE COMPROBACIÓN DE LOS RESULTADO S EN PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE LOS NIÑOS(AS)
DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESA R VALLEJO” – CHILCLAYO – 2009.
COMPROBACIÓN DE
LOS RESULTADOS
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Solución del problema 5 20 20 80 6 26,1 17 73,9 5 20 20 80 19 82,6 4 17,4
Utiliza la estrategia y el
resultado para resolver
nuevos problemas
3 12 22 88 4 17,4 19 82,6 4 17,4 21 82,6 16 69,7 7 30,3
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
157
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 04
Los items 1.9; 1 y 10 del test para medir el logro de la capacidad de resolución
de problemas (Anexo 01) permitieron evaluar la dimensión de comprobación de
los resultados.
Del análisis del pre test se observa que el grupo experimental tenía serias
deficiencias para llegar a la solución correcta del problema (73,9%) y aún más
la capacidad para utilizar las estrategias y resultado para resolver algún otro
problema (17,4%) o buscar una nueva solución al problema.
De acuerdo con Polya, Fridman y De Guzmán, un problema no termina cuando
se ha encontrado la solución, la finalidad es aprender durante el proceso,
reflexionar y sacar consecuencias para el futuro, ello se demuestra en el post
test con un 82,6% en la solución del problema y un 69,7% utiliza las estrategias
y resultados para resolver nuevos problemas. También es importante tener en
cuenta que cada solución es un nuevo aprendizaje, una experiencia creativa
que sin duda alguna implicará la adquisición de reglas, conductas, etc., y
provocarán un nuevo ciclo innovador (De Bono, 1985).
158
CUADRO Nº 05:
RESULTADOS EN LA FASE DE COMPRENSIÓN EN PROBLEMAS HEURÍSTICOS DE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º GRADO DE
PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLEJO” – CHI LCLAYO – 2009.
COMPRENDER EL
PROBLEMA
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Identifica la incógnita 3 12 22 88 2 8,7 21 91,3 4 16 21 84 16 69,6 7 30,4
Identifica los datos 4 16 21 84 5 21,7 18 78,3 7 28 18 72 17 73,9 6 26,1
Replantea el problema 0 0 25 100 0 0 23 100 1 4 24 96 14 60,9 9 39,1
Relaciona los datos con la
incógnita 5 20 20 80 6 26,1 17 73,9 6 24 19 76 17 73,9 6 26,1
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
159
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 05.
Los ítems 2.1;2.2 y 2.5 del test para ,medir el logro de la capacidad de
resolución de problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar la dimensión de
comprensión del problema heurístico.
En los problemas heurísticos mostraron mayores dificultades para resolverlos
quizás porque muy poco o nunca se les ha enseñado a resolver, tal como lo
demuestra este cuadro, el pre test determina que el 91,3% de los alumnos del
grupo experimental presentan dificultades para identificar la incógnita de los
problemas enunciados, el 78,3% tienen deficiencias para identificar los datos
similar a los del grupo control (84%), ningún alumno fue capaz de reformular
los problemas con sus propias palabras; tan sólo, 6 de los estudiantes
relaciona los datos con la incógnita satisfactoriamente. Porcentajes que
permiten determinar la carencia de habilidades en el desarrollo de la capacidad
comprensiva en la solución de problemas.
En cambio en el post test se observa que el porcentaje del grupo experimental
supera con gran significatividad a los resultados del grupo control y del pre test
en ambos grupos, ya que 2 6 de los 23 alumnos fueron capaces de identificar
la incógnita y a relacionarla con los datos, un 60,9% aprendieron a replantear el
problema con sus propias palabras; lo que demuestra que la aplicación de las
estrategias didácticas basadas en el método de Polya han tenido un efecto
relevante; De Bono sostiene que la habilidad para identificar la situación,
necesidad o los problemas es uno de los pasos importantes del proceso de
resolución, Un problema bien identificado está resuelto parcialmente;
coincidiendo con Schoenfeld, De Guzmán y Fridman quienes afirman que en el
proceso de solución del problema, la comprensión y la traducción a
expresiones menores permite programar estrategias como: formularse
preguntas, expresar el problema con palabras propias, representar mediante
ilustraciones, objetos, diagramas, etc. para alcanzar la solución con mayor
facilidad.
161
CUADRO Nº 06:
RESULTADOS EN LA FASE DE PLANIFICACIÓN DE LA SOLUCI ÓN EN PROBLEMAS HEURÍSTICOS DE LOS NIÑOS(AS)
DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESA R VALLEJO” – CHILCLAYO – 2009.
PLANIFICAR LA
SOLUCIÓN
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Relaciona el problema
con otro ya conocido. 3 12 22 88 3 13,1 20 86,9 4 16 21 84 19 82,6 4 17,4
Representa el problema a
través de los gráficos. 2 8 23 92 2 8,7 21 91,3 3 12 22 88 20 86,9 3 13,1
Selecciona estrategias
para resolver el problema. 3 12 22 88 3 13,1 20 86,9 5 20 20 80 17 73,9 6 26,1
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
162
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 06.
Los items 2.2; 2.5 del test para medir el logro de la capacidad de resolución de
problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar en los estudiantes la dimensión
de planificar la solución.
En esta etapa ha residido una de las mayores dificultades del proceso de
resolución de problemas matemáticos y especial los heurísticos, tomando en
cuenta los resultados del pre test, en esta fase sólo el 13,1% relacionó el
problema con otro ya conocido, el 91,3% de los alumnos tuvieron dificultades
para representar los problemas a través de gráficos, por consiguiente, sólo 3
alumnos se encontraron en condiciones de seleccionar estrategias apropiadas
que les facilite llegar a la solución.
En el post test, luego de aplicar la variable independiente, observamos un
considerable incremento en el porcentaje de los alumnos del grupo
experimental que logran relacionar el problema con otro ya conocido (82,2%),
grafica el problema (86,9%) y seleccionan estrategias para su resolución (73,9).
Estos resultados muestran que se ha logrado consolidar el conocimiento
estratégico (Mayer, 1985) como organizador de los pasos a seguir, decidir
sobre las etapas o fases que debe seguir en el proceso de resolución, los
estudiantes han tenido que utilizar alguna experiencia pasada (Polya, 1945) y
plantearse preguntas como ¿conozco algún problema relacionado o
semejante?, ¿puedo resolverlo utilizando mis conocimientos y experiencia
pasada?, ¿puedo reordenar los datos de otra forma para que se relacione con
mi experiencia pasada?...
164
CUADRO Nº 07:
RESULTADOS EN LA FASE DE EJECUCIÓN DEL PLAN EN PROB LEMAS HEURÍSTICOS DE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º
GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLE JO” – CHILCLAYO – 2009.
EJECUCIÓN DEL PLAN
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Traduce el enunciado a
una situación matemática. 0 0 25 100 0 0 23 100 0 0 25 100 15 65,2 8 34,8
Desarrolla la operación 2 8 23 92 2 8,7 21 91,3 2 8 23 92 16 69,6 7 30,4
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
165
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 07.
Los items 2.4 y 2.5 del test para medir el logro de la capacidad de resolución
de problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar la fase de ejecución del plan.
En el pre test se observa que tanto el grupo control como en el grupo
experimental ningún alumno tiene la capacidad de traducir la situación
problemática a una operación algorítmica y mucho menos desarrollarla
correctamente (91,3%).
En el post test se confirma que el método de George Polya y los estudios y
aportes de Schoenfeld, De Guzmán y Fridman, De Bono, Piaget y la forma en
cómo se enseña de Brusseau; tienen mucha relevancia y trascendencia
educativa en el grupo experimental, puesto que en esta etapa el alumno
desarrolla la comunicación y justificación de sus acciones seguidas: primero
calcula, predice..., luego..., por último... hasta llegar a la solución utilizando el
pensamiento creativo, que busca encontrar salidas novedosas, apropiadas,
oportunas y de mejor calidad. Las capacidades que se ponen en juego son la
intuición, la imaginación, la aplicación, la organización y la elaboración y cmo
se aprecia en el post test los resultados son más que evidentes ya que el
65,2% de los estudiantes demostró que es capaz de traducir su problema a
situaciones matemáticas y aplicar los procedimientos planificados para resolver
su problema (69,6%).
166
CUADRO Nº 08:
RESULTADOS EN LA FASE COMPROBACIÓN EN PROBLEMAS HEU RÍSTICCOS DE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º GRADO DE
PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLEJO” – CHI LCLAYO – 2009.
COMPROBACIÓN DE
LOS RESULTADOS
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % F % f % f % f % f % f %
Verifica la solución y en
proceso del problema 1 4 24 96 2 8,7 21 91,3 2 8 23 92 16 96,6 7 30,4
Utiliza la solución para
resolver nuevos
problemas
0 0 25 100 0 0 23 100 1 4 24 96 15 65,2 8 34,8
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
167
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 08
Los items 2.4; 2.5 del test para medir el logro de la capacidad de resolución de
problemas (Anexo 03) permitieron evaluar la dimensión de comprobación de
los resultados.
En este cuadro podemos apreciar que antes de la aplicación de las estrategias
basadas en el método de George Polya y otros matemáticos como Miguel de
Guzmán, Lev Fridman, Alan Schoenfeld, el grupo experimental tenía serias
deficiencias para verificar la solución correcta del problema (91,3%) y aún más
la capacidad para utilizar las estrategias y resultado para resolver algún otro
problema (0%) o buscar una nueva solución al problema.
Pero luego de la aplicación de la variable independiente los resultados son más
que alentadores ya que como podemos darnos cuenta un problema no termina
cuando se ha encontrado la solución, la finalidad es aprender durante el
proceso, reflexionar y sacar consecuencias para el futuro, cada solución es un
nuevo aprendizaje, una experiencia creativa que sin duda alguna implicará la
adquisición de reglas, conductas, etc., y provocarán un nuevo ciclo innovador,
así pués el 63,2% fue capaz de utilar el proceso de solución para resolver
nuevos problemas planteados. De bono recomienda al estudiante que debe
tener paciencia para continuar explorando un problema antes de aceptar
soluciones fáciles, rápidas y dejarlo muy pronto. La asociación, el análisis, la
discriminación, el juicio crítico y la transferencia son capacidades que se
activan en este nivel.
168
CUADRO Nº 09:
RESULTADOS EN LA FASE DE COMPRENSIÓN EN PROBLEMAS D E RAZONAMIENTO LÓGICO DE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º
GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLE JO” – CHILCLAYO – 2009.
COMPRENDER EL
PROBLEMA
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % F % F % f % f % f % f % f %
Identifica los datos 7 28 18 72 6 26,1 17 73,9 9 36 16 64 19 82,6 4 17,4
Replantea el problema 5 20 20 80 5 21,7 18 78,3 5 20 20 80 15 65,2 8 34,8
Relaciona los datos con la
incógnita 6 24 19 76 5 21,7 18 78,3 8 32 17 68 19 82,6 4 17,4
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
169
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 09.
Los ítems 3.1, 3.2 y 3.3 del test para ,medir el logro de la capacidad de
resolución de problemas (Anexo Nº 01) permitieron evaluar la dimensión de
comprensión del problema.
A nivel de pretest, en este cuadro determina que el 78,3% de los alumnos del
grupo experimental y 76% del grupo control presentan dificultades para
relacionar los datos con el problema enunciado, el 73,9% no saben interpretar
los datos y menos aún replantear el problema con sus propias palabras.
Porcentajes que permiten determinar la carencia de un conocimiento
declarativo-lingüístico semántico (Mayer, 1985 citado en Toboso, 2004)
Sin embargo a ras de post test se observa que el porcentaje del grupo
experimental supera con gran significatividad a los resultados del grupo control
y del pre test de ambos grupos, puesto que los 82,2 alumnos fueron capaces
de identificar la incógnita y a relacionarla con los datos, un 65,2% aprendieron
a replantear el problema con sus propias palabras; lo que demuestra que con la
aplicación de las estrategias didácticas basadas en el método de Polya,
Schoenfeld, De Guzmán y Fridman se ha fortalecido los conocimientos
declarativos – lingüístico que se encarga de comprender las palabras, frases u
oraciones con las que se enuncia un problema, además el conocimiento
semántico que permite reconocer el significado del enunciado para a partir de
este proponerse las metas a conseguir.
171
CUADRO Nº 10:
RESULTADOS EN LA FASE DE PLANIFICACIÓN DE LA SOLUCI ÓN EN PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO DE
LOS NIÑOS(AS) DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. N º 10925 “ CESAR VALLEJO” – CHILCLAYO – 2009.
PLANIFICAR LA
SOLUCIÓN
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % F % f % f % f % F % f %
Relaciona el problema
con otro ya conocido. 6 24 19 76 5 21,7 18 78,3 6 24 19 76 16 69,7 7 30,3
Representa el problema a
través de los gráficos. 4 16 21 84 3 13,1 20 86,9 7 28 18 72 17 73,9 6 26,1
Selecciona estrategias
para resolver el problema. 4 16 21 84 4 17,4 19 82,6 6 24 19 76 15 65,2 8 34,8
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
172
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 10.
Los items 3.2, 3.3, 3.4 y 3.6 del test para medir el logro de la capacidad de
resolución de problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar en los estudiantes
la dimensión de planificar la solución.
En esta etapa podemos apreciar que los resultados del pre test, que sólo el
21,7% relacionó el problema con otro ya conocido, el 86,9% de los alumnos
tuvieron problemas para representar los problemas gráficamente, por lo tanto
sólo 4 de los 23 alumnos (17,4%) identificaron y seleccionaron estrategias
apropiadas que les facilite llegar a la solución; teniendo gran similitud con el
grupo control. Resultados que nos indican que los alumnos no habían
desarrollado un conocimiento esquemático y estratégico que les permita decidir
sobre el camino y las fases a seguir para conseguir la solución.
En el post test, luego de aplicar la variable independiente, observamos un
reconfortante incremento en el porcentaje de los alumnos del grupo
experimental que logran relacionar el problema con otro ya conocido (82,6%),
grafica el problema (86.9%) y seleccionan estrategias para su resolución (73,9).
Estos resultados muestran que se ha logrado consolidar los conocimientos
conceptuales y estratégicos, puesto que los alumnos son capaces de utilizar
símbolos, dibujos, gráficos, esquemas (Schoenfeld y fridman , 1985), la
intuición y la analogía (De Bono) para representar problemas y a partir de ello
operacionalizar sin mayor dificultad (Polya, 1945). Para el logro de esta
habilidad se ha tenido que hacer uso de estrategias como el ensayo y el error,
las aproximaciones, la deducción e inducción, entre otras.
174
CUADRO Nº 11:
RESULTADOS EN LA FASE DE EJECUCIÓN DEL PLAN EN PROB LEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO DE LOS NIÑOS(AS)
DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESA R VALLEJO” – CHILCLAYO – 2009.
EJECUCIÓN DEL PLAN
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Ejecuta la operación 7 28 18 72 6 26,1 17 73,9 9 36 16 64 17 73,9 6 26,1
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
175
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº 11.
Los items 3.2, 3.4, 3.5 y 3.6 del test para medir el logro de la capacidad de
resolución de problemas (Anexo Nº 03) permitieron evaluar la fase de ejecución
del plan.
En el pre test se observa que tanto el grupo control (72%) como en el grupo
experimental (73,9%) presentan dificultades para ejecutar correctamente un
algoritmo que les permita alcanzar la solución del problema.
Sin embargo, en el post test se confirma que los aportes de George Polya ,
Schoenfeld, De Guzmán, Fridman, De Bono, son de mucha relevancia y
trascendencia educativa en el grupo experimental, puesto que en esta debido a
que se ha demostrado que los niños han generado varias ideas, diversos
procedimientos que los han llevado a la solución exitosa, como lo evidencia el
73,9 del grupo experimental en el post test frente al 36% del grupo control.
176
CUADRO Nº 12:
RESULTADOS DE LOS ALUMNOS EN LA FASE COMPROBACIÓN D E LOS RESULTADOS EN PROBLEMAS DE
RAZONAMIENTO LÓGICODE LOS NIÑOS(AS) DEL 4º GRADO DE PRIMARIA DE LA I.E. Nº 10925 “ CESAR VALLEJO” –
CHILCLAYO – 2009.
COMPROBACIÓN DE
LOS RESULTADOS
PRE TEST POST TEST
Grupo Control Grupo Experimental Grupo Control Grupo Experimental
SI NO SI NO SI NO SI NO
f % f % f % f % f % f % f % f %
Argumenta la solución del
problema 4 16 21 84 4 17,4 19 82,6 4 16 21 84 15 65,2 8 34,8
Utiliza la estrategia y el
resultado para resolver
nuevos problemas
6 24 19 76 7 30,4 16 69,6 8 32 17 68 17 73,9 6 26,1
Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar
Vallejo” – Chiclayo.
177
ANÁLISIS DEL CUADRO Nº12
Los items 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 del test para medir el logro de la capacidad
de resolución de problemas (Anexo 03) permitieron evaluar la dimensión de
comprobación de los resultados.
Del análisis del pre test se observa que el grupo experimental tenía tremendas
dificultades para argumentar el por qué del resultado y defender su posición
como lo demuestra el 82,6%; del mismo modo sólo 7 alumnos fueron capaces
de utilizar el mismo procedimiento para efectuar un problema similar o buscar
una nueva solución al problema.
En contraste, los resultados demuestran que si se diseñan y aplican estrategias
basadas en el método de Polya, Fridman, Schoenfeld y De Guzmá; además se
complementan con las teorías de Piaget, De Bono y Brusseau, se logra
desarrollar la capacidad de resolución de problemas, puesto que los alumnos
65,2 % defienden y demuestran el proceso de solución y utilizan la misma
estrategia para resolver nuevos problemas (73,9%). Como se explicó en el
capítulo anterior, el problema no concluye cuando se ha encontrado la
respuesta sino que, la finalidad es aprender durante el proceso, reflexionar y
preparase para situaciones nuevas o parecidas en el futuro.
178
CUADRO Nº 13:
TABLAS DE FRECUENCIA DEL PRETEST APLICADO AL GRUPO CONTROL
Frecuencia Porcentaje Porcentaje
válido Porcentaje acumulado
Válidos 0 3 12,0 12,0 12,0 1 2 8,0 8,0 20,0 2 1 4,0 4,0 24,0 3 2 8,0 8,0 32,0 4 2 8,0 8,0 40,0 5 2 8,0 8,0 48,0 6 3 12,0 12,0 60,0 7 2 8,0 8,0 68,0 8 1 4,0 4,0 72,0 10 2 8,0 8,0 80,0 11 2 8,0 8,0 88,0 12 2 8,0 8,0 96,0 13 1 4,0 4,0 100,0 Total 25 100,0 100,0
Fuente: Pre Test (06/04/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de
la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
GRÁFICO Nº 01:
179
Calificativo151050-5
Fre
cuen
cia
3
2
1
0
Pretest del grupo control
Media = 5,88 / Desviación tipica = 4,136 / N = 2 5
Fuente: cuadro Nº 13
Análisis: como se puede observar en el gráfico Nº 01 el máximo puntaje
obtenido por los alumnos ha sido 13, el puntaje promedio alcanza los 5,88
puntos; lo que significa que los estudiantes tienen serios problemas para
resolver problemas matemáticos, debido a que no cuentan con conocimientos
estrategias básicas como comprender un enunciado, trazar un plan, ejecutar
el plan y verificar la respuesta y el proceso de solución..
180
CUADRO Nº 14:
TABLAS DE FRECUENCIA DEL POSTEST APLICADO AL GRUPO
CONTROL
Frecuencia Porcentaje Porcentaje
válido Porcentaje acumulado
Válidos 0 2 8,0 8,0 8,0 2 1 4,0 4,0 12,0 3 1 4,0 4,0 16,0 4 1 4,0 4,0 20,0 5 5 20,0 20,0 40,0 6 1 4,0 4,0 44,0 7 1 4,0 4,0 48,0 8 1 4,0 4,0 52,0 9 3 12,0 12,0 64,0 10 3 12,0 12,0 76,0 11 1 4,0 4,0 80,0 12 4 16,0 16,0 96,0 13 1 4,0 4,0 100,0 Total 25 100,0 100,0
Fuente: Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de
la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
181
GRÁFICO Nº 02:
Fuente : cuadro Nº 14. Análisis: como se puede observar en el gráfico Nº 02, los alumnos del grupo
control siguen manteniendo similares calificativos a los obtenidos en el pretest;
solo un alumno obtuvo 13 puntos, el 76% de los alumnos obtiene calificativos
menores a los 10 puntos. Si bien el puntaje promedio ha subido de 5,88 a
7,36; aun se evidencian las dificultades en los que se encuentran los alumnos
en el proceso de resolución de problemas matemáticos.
Calificativo151050-5
Fre
cuen
cia
5
4
3
2
1
0
Postest del grupo control
Media = 7,36 / Desviación típica = 3,861 / N = 25
182
CUADRO Nº 15:
TABLA DE FRECUENCIA DEL PRETEST APLICADO GRUPO
EXPERIMENTAL
Frecuencia Porcentaje Porcentaje
válido Porcentaje acumulado
Válidos 0 6 24,0 26,1 26,1 2 4 16,0 17,4 43,5 3 2 8,0 8,7 52,2 4 3 12,0 13,0 65,2 6 2 8,0 8,7 73,9 7 2 8,0 8,7 82,6 11 2 8,0 8,7 91,3 12 1 4,0 4,3 95,7 14 1 4,0 4,3 100,0 Total 23 92,0 100,0
Perdidos Sistema 2 8,0 Total 25 100,0
Fuente: Pre Test (06/04/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de
la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
183
GRÁFICO Nº 03:
Fuente: cuadro Nº 15 Análisis: En este gráfico Nº 03 se aprecia que el 65,2% de los alumnos
obtiene calificativos por debajo de los 6 puntos, sólo un alumno obtiene como
nota máxima 14, el puntaje promedio alcanza los 4,35 puntos; puntajes que
demuestran que los estudiantes del grupo experimental tienen escasa
capacidad para resolver problemas matemáticos: aritméticos, heurísticos y de
razonamiento lógico; es decir no cuentan los conocimientos apropiados y
estrategias básicas para su solución.
Calificativo12,5107,552,50
Fre
cuen
cia
6
5
4
3
2
1
0
Pretest del grupo experimental
Media = 4,35 / Desviación típica = 4,260 / N = 2 3
184
CUADRO Nº 16:
TABLA DE FRECUENCIA DEL POSTEST APLICADO AL GRUPO
EXPERIMENTAL
Frecuencia Porcentaje Porcentaje
válido Porcentaje acumulado
Válidos 9 2 8,0 8,7 8,7 10 1 4,0 4,3 13,0 12 2 8,0 8,7 21,7 13 2 8,0 8,7 30,4 14 2 8,0 8,7 39,1 15 3 12,0 13,0 52,2 16 3 12,0 13,0 65,2 17 3 12,0 13,0 78,3 18 2 8,0 8,7 87,0 19 1 4,0 4,3 91,3 20 2 8,0 8,7 100,0 Total 23 92,0 100,0
Perdidos Sistema 2 8,0 Total 25 100,0
Fuente: Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto grado de primaria de
la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
185
GRÁFICO Nº 04:
Fuente: Cuadro Nº 16 Análisis: En el gráfico Nº 04 se observa los cambios significativos en
comparación al gráfico Nº 03. Como podemos apreciar el porcentaje de
desaprobados descendió de 82,6% a 13%, el promedio aumentó en 10,65
puntos (15); resultados que nos indican que las estrategias puestas en acción,
basadas en el método de Polya, y los modelos de Schoelfed, Fridman, De
Guzmán, la didáctica de Brousseau, De Bono; así como los aportes de Piget;
son muy significativas ya que permitieron en los alumnos desarrollar la
capacidad de resolución de problemas matemáticos, y habilidades específicas
como: Observar, analizar, deducir, clasificar, comparar, planificar, diseñar,
anticipar, formular, organizar, aplicar, revisar, elaborar, entre otras.
Calificativo211815129
Fre
cuen
cia
3
2
1
0
Postest de grupo experimental
Media = 15,00 / Desviación típica = 3,191 / N = 23
186
Cuadro Nº 17:
Análisis estadístico
Pretest del grupo control
Postest del grupo control
Pretest del grupo experimental
Postest del grupo experimental
N Válidos 25 25 23 23 Perdidos 0 0 2 2 Media 5,88 7,36 4,35 15,00 Mediana 6,00 8,00 3,00 15,00 Moda 0(a) 5 0 15(a) Desv. típ. 4,136 3,861 4,260 3,191 Varianza 17,110 14,907 18,146 10,182 Rango 13 13 14 11 Mínimo 0 0 0 9 Máximo 13 13 14 20
a Existen varias modas. Se mostrará el menor de los valores. Fuente: Pre Test (06/04/09) y Post Test (04/12/09) aplicados a los alumnos del cuarto
grado de primaria de la I.E. Nº 10925 “Cesar Vallejo” – Chiclayo.
Análisis: como podemos apreciar en el cuadro Nº 09 los promedios obtenidos
en el pretest de ambos grupos y en el post test del grupo control no alcanzan ni
superan los 11 puntos, es es el puntaje mínimo aprobatorio en nuestro sistema
esducativo, sin embargo si lo comparamos con el postest del grupo
experimental, observamos que el promedio se enmarca dentro del puntaje
bueno, también se aprecia que el puntaje que ha obtenido la mayor parte de los
alumnos del grupo experimental es 15.
187
PRUEBA DE CONTRASTACIÓN DE HIPÓTESIS.
Se establecen las siguientes hipótesis.
H0 : No hay evidencia significativa en el desarrollo de la capacidad de
resolución de problemas matemáticos al aplicar las estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya, con respecto a la media
aritmética de la prueba del pre test y post test.
H1: Existe evidencia significativa en el desarrollo de la capacidad de
resolución de problemas matemáticos al aplicar las estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya.
El nivel de significancia que se utiliza es: 0,05. Ne+Nc-2gl.
Prueba t para muestras relacionadas considerando el postes del grupo control y experimental (utilizando el programa SPSS 15) Estadísticos de muestras
relacionadas Media N Desviación
típ. Error típ. de
la media Par 1 Postest grupo
experimental 15,00 23 3,191 ,665
Postest grupo control 7,39 23 3,986 ,831
Correlaciones de muestras relacionadas N Correlación Sig.
Par 1 Postest grupo experimental y Postest grupo control
23 ,193 ,378
188
DECISIÓN: Se observa un valor de t de 7,933 con 22 grados de libertad y un
nivel de significancia de 0.000, este valor de significancia es menor que 0.05
por lo que se debe rechazar la H0,
CONCLUSIÓN: Rechazamos Ho y aceptamos H1, por consiguiente
demostramos que existe desarrollo significativo de la capacidad de resolución
de problemas matemáticos al aplicar las estrategias didácticas basadas en el
método de George Polya.
Prueba de muestras relacionadas
Diferencias relacionadas
t gl Sig.
(bilateral) Media Desviación
típ.
Error típ. de la
media
95% Intervalo de confianza para la
diferencia
Superior Inferior Postest grupo experimental - Postest grupo control
7,609 4,600 ,959 5,620 9,598 7,933 22 ,000
189
4.1. DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS.
En los capítulos anteriores, hemos analizado varios estudios que
consideran la capacidad para resolver problemas como una de las
manifestaciones más importantes de la inteligencia humana, necesaria para
la continua adaptación de la persona a su contexto social y natural (Mayer,
1983; Pozo, 1994, entre otros; citados en Toboso, 2004). Así mismo,
analizamos, cómo se considera la resolución de problemas en el actual
sistema de enseñanza de las matemáticas, qué papel se le otorga en
cuanto a objetivo educativo. Por este motivo hemos desarrollado esta
investigación dirigida tanto al estudio de los factores cognitivos específicos y
procedimentales que intervienen en la resolución de problemas, como al de
otras variables contextuales que también inciden, significativamente, en el
desarrollo de esta capacidad.
Los resultados apoyan la hipótesis de partida, ya que nos muestran que
existe influencia significativa de la aplicación de estrategias didácticas
basadas en el método de George Polya en el desarrollo de la capacidad de
resolución de problemas matemáticos en los niños (as) del cuarto grado de
primaria de la I.E.Nº 10925 “César Vallejo” – UIS César Vallejo – Chiclayo.
Nuestra propuesta es apoyada por Schonfeld (1985), De Guzmán (1991),
Fridman (1985) quienes basados en Polya (1945) plantean diversos
modelos y estrategias generales que sirven de gran ayuda para la
resolución de problemas, que generalizándolos se dividen en los siguientes
pasos: comprensión del problema, concebir un plan, ejecutar el plan y
verificar la solución y el proceso; además como docentes, tomamos de
gran importancia la teoría de las situaciones didácticas de Brusseau (1997)
quien sostiene que el proceso enseñanza aprendizaje se establece entre la
relación de estudiante, profesor y el medio didáctico; donde el profesor es
quien facilita el medio en el cual el estudiante construye su conocimiento. El
pensamiento lateral de Edgar de bono quien sostiene que la creatividad es
la capacidad que permite generar ideas novedosas e interesantes para
190
resolver problemas que plantea la vida cotidiana y académica; y sugiere
como medida adecuada para mejorar la creatividad, practicar las fases de la
resolución de un problema; tales como: identificar, definir, explorar,
anticipar y aprender. Así mismo tenemos en cuenta el proceso cognitivo que
según Piaget (1941) el aprendizaje es un proceso activo de construcción de
conocimientos vía el conflicto cognitivo, o desequilibrio, que es
definitivamente una mayor información.
De acuerdo con los resultados de la investigación se constata que la
comprensión lectora, el reconocimiento de la naturaleza del problema, la
organización de las estrategias que lo resuelven, y la ejecución correcta de
los algoritmos son variables predictoras de la capacidad que presentan los
alumnos para resolver problemas matemáticos:
• La fase de comprensión representa el primer paso de resolución y ha
desarrollado la habilidad declarativa-lingüística-semántica, permitiendo a
los alumnos entender el significado del problema, con precisión, lo que
se les pide averiguar. Como se puede apreciar en el cuadro Nº 01 el
100% de los estudiantes del grupo experimental reconoce cuál es la
incógnita a resolver, el 82,2 % identifica correctamente los datos en base
a los cuales debe trabajar, el 65,2% tiene la habilidad de replantear un
problema con sus propias palabras y el 60,9% relaciona la incógnita con
los datos del enunciado.
• Resolver un problema ha implicado, necesariamente, transformar la
información lingüístico-semántica en una representación interna,
integrándola en una categoría o esquema cognitivo, que le dé significado
y proporcione al sujeto un planteamiento correcto para resolverlo
(Mayer, 1985; Toboso, 2004). Aquí ha residido una de las mayores
dificultades de los alumnos pero gracias a los aportes de Polya (1945),
Schoenfeld (1985), De Guzmán (1991), Fridman (1985) que identifican
esta fase como “concepción de un plan”, en la que los niños han tenido
que utilizar la experiencia pasada que les permitió identificar el problema
y seleccionar el plan adecuado. Este proceso se llevó a cabo mediante
191
sus ya clásicas preguntas: ¿conozco algún problema relacionado o
semejante?, ¿puedo resolverlo utilizando mis conocimientos y
experiencia pasada?, ¿puedo reordenar los datos de otra forma para
que se relacione con mi experiencia pasada?... como podemos apreciar
en el cuadro Nº 02 el 78,3% de los estudiantes del grupo experimental
tienen la habilidad de relacionar el problema con otro ya conocido, así
mismo, el 65,2% tiene la habilidad de representar un problema mediante
esquemas, tablas o gráficos, hecho que facilita enormemente llegar a la
solución de un problema.
• Una vez identificado el problema y seleccionado el planteamiento
adecuado para resolverlo, ha sido preciso aplicar una serie de
estrategias (ensayo y error, uso de gráficos, esquemas, simplificación,
entre otros) que organicen y evalúen la secuencia de pasos que se han
de dar para alcanzar la solución. Por lo tanto podemos decir que el
desarrollo de las estrategias de resolución que permiten organizar la
secuencia de operaciones, desde el estado inicial al final, han incidido
significativamente en la capacidad para llegar a la solución del problema,
como lo ha constatado el 69,6% en el cuadro Nº 02; 73,9% del cuadro
Nº 06 y 65,2% del cuadro Nº 10 de nuestro grupo experimental.
• Resolver un problema matemático exige ejecutar de forma precisa una
serie de algoritmos, que son procedimientos exactos para llevar a cabo
una tarea. En unas ocasiones, las dificultades se pudieron encontrar en
el desconocimiento de un determinado algoritmo y, en otras, en su
dominio impreciso o distracciones accidentales. Pero la aplicación eficaz
de estos procedimientos se ha logrado con la práctica, ejercitándolos en
la resolución de ejercicios aritméticos hasta conseguir su
automatización. Pozo (1994) y Toboso (2004) consideran que los
procesos de automatización mental, además de facilitar la resolución de
los problemas ya que se liberan recursos cognitivos que permiten
prestar más atención a otros aspectos del problema. Por tanto
concluimos que el desarrollo alcanzado en la ejecución precisa de los
procesos algorítmicos, ha tenido una relévate significancia en la
192
capacidad de resolución de problemas, confirmándolo el 82,6% de los
estudiantes que lograron plantear y desarrollar una operación
algorítmica para resolver el problema (Cuadros Nº 03,Nº 07 y Nº 11 ).
• Finalmente la fase de verificación, al igual que la fase de planificación ha
constituido una de las fases más difíciles del proceso, sin embargo con
la práctica se ha podido consolidar esta fase y crear un conocimiento
nuevo, puesto que la resolución de problemas requiere poner en práctica
los componentes de adquisición de conocimiento Estos componentes
permiten al sujeto adquirir nueva información, o recordar la adquirida
anteriormente para aplicarla a una nueva situación (Sternberg, 1985 en
Toboso, 2004). Así en esta investigación podemos apreciar en el cuadro
Nº 04 que el 82,6% que logro realizar las operaciones algorítmicas llegó
a la solución, aunque en su comprobación han tenido algunas
deficiencias, el 69,7%, el 65% del cuadro Nº 08 y el 73,9 del cuadro Nº
12 tiene la habilidad para emplear la información en nuevas situaciones
problemáticas.
Por otro lado, también consideramos que inciden significativamente las
siguientes variables personales y contextuales: La habilidad cognitiva para
resolver problemas generales, no relacionados con los aprendizajes
escolares; la autoestima académica, social, familiar y emocional; la
creatividad del alumno; los estilos intelectuales; las características
personales (edad, autoconocimiento, autocontrol, automitivación y
condiciones de estudio); el ambiente familiar (nivel de estudios de los
padres, tipo de vivienda y el ambiente rural o urbano), y el entorno escolar
(estabilidad del profesorado, y relaciones escolares).
193
CONCLUSIONES.
Considerando los objetivos específicos se ha llegado a las siguientes
conclusiones:
• Los estudiantes del 4º grado de primaria de la I.E.Nº 10925 “César Vallejo”
– Chiclayo, han reflejado deficiencias en la capacidad de resolución de
problemas matemáticos, lo que indica que esta capacidad no se ha
desarrollado en la escuela como debe ser.
• Los docentes del 4º grado de primaria de la I.E.Nº10925 “César Vallejo” –
Chiclayo desconocen las fases de resolución de problemas y estrategias
generales heurísticas, es decir que en el desarrollo de sus clases no siguen
las fases de: comprensión del problema, elaboración de un plan de
solución, ejecución del plan y verificación.
• La aplicación de estrategias didácticas basadas en el método de George
Polya permiten propiciar en los estudiantes las siguientes habilidades
específicas: comprensión lectora; organizar la información y planificar la
solución, explorar estrategias y operar algorítmicamente con precisión;
observar, analizar, deducir, inferir y razonar; formular nuevas situaciones
problemáticas, perseverar y tener seguridad en sí mismo; entre otras; que
favorecen el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas de
manera eficiente.
• Los estudiantes que reciben entrenamiento en estrategias de resolución de
problemas fortalecen los conocimientos: lingüístico, semántico,
esquemático, estratégico y algorítmico; además, son capaces de desarrollar
otras capacidades complejas como la creatividad y la construcción de
aprendizajes significativos, funcionales, autónomos y coherentes
permitiéndoles actuar de manera competente.
194
• Las estrategias propuestas generan un clima de confianza en el aula, que
permite familiarizarse con los problemas, conocer los procedimientos para
resolver problemas matemáticos y activar los procesos del pensamiento.
RECOMENDACIONES.
• Capacitar a los docentes de educación primaria en el dominio de las
matemáticas y estrategias didácticas para conducir adecuadamente el
proceso enseñanza aprendizaje de esta materia.
• Durante la resolución de problemas matemáticos tener en cuenta los
pasos a seguir para su solución, además enseñar a los alumnos
diversas estrategias para solucionar problemas de la vida cotidiana y
evitar el formulazo.
• Uno de los propósitos de la educación es desarrollar las habilidades del
pensamiento por tal motivo es importante proponer estrategias para
desarrollar la capacidad de resolución de problemas, y en consecuencia
tendremos estudiantes autónomos que saben pensar y resolver
situaciones problemáticas.
• Los docentes deben presentar a los estudiantes situaciones
contextualizadas y estimulantes que conduzcan al desarrollo de la
capacidad de resolución de problemas.
195
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201
ANEXOS
202
ANEXO 01
GUÍA DE OBSERVACIÓN APLICADO A LOS NIÑOS(AS)
DEL 4º GRADO.
INTRUCCIONES: Lee atentamente cada una de las interrogantes, luego marca
con un aspa (X) la alternativa que creas conveniente.
I. ESTRATEGIAS QUE UTILIZO PARA RESOLVER PROBLEMAS
MATEMÁTICOS.
A. COMPRENDER EL PROBLEMA.
¿Identifico la incógnita del problema que me plante an?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Entiendo lo que dice el problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Replanteo el problema con mis propias palabras?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Identifico con facilidad los datos del problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Establezco relaciones entre los datos y la incógni ta del problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
B. PLANIFICAR LA SOLUCIÓN.
Relaciono el problema con otro ya conocido?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Represento el problema a través de gráficos, diagr amas o símbolos?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Selecciono estrategias o modelos para resolver el problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
203
C. EJECUTAR EL PLAN.
Sigo diversos procedimientos para la solución del p roblema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Ejecuto el plan comprobando cada uno de sus pasos?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Busco una nueva estrategia si no acierto con la re spuesta correcta?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
D. COMPROBAR LOS RESULTADOS.
¿Relaciona la respuesta con la incógnita?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Compruebo la respuesta?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Busco resolver el problema de modo diferente y com paro
resultados?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Utilizo el resultado y el proceso seguido para res olver y formular
nuevos problemas?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
II. CAPACIDAD DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICO S.
A. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS.
¿Analizo y organizo el enunciado del problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Utilizo gráficos, signos y símbolos para represen tar el problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Resuelvo problemas de adición, sustracción, multip licación y
división sin dificultad?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Elaboro y propongo nuevos problemas?
204
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
B. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HEURÍSTICOS.
¿Me es fácil traducir el enunciado de un problema c ualquiera a una
expresión matemática?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Planifico una estrategia para solucionar el proble ma?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Aplico mi estrategia planificada para resolver el problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Verifico si el procedimiento empleado y la solució n son correctos?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
C. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO.
¿Resuelvo con facilidad problemas de razonamiento l ógico?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Argumento o explico cómo resolví mi problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Busco la solución de problemas a través del ensayo y el error?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
205
ANEXO Nº 02:
GUÍA DE OBSERVACIÓN APLICADO A LOS DOCENTES DEL 4º GRADO,
SECCIONES “A” y “B”.
INTRUCCIONES: Lee atentamente cada una de las interrogantes, luego marca
con un aspa (X) la alternativa que creas conveniente.
I. ESTRATEGIAS QUE UTILIZO PARA ENSEÑAR A RESOLVER
PROBLEMAS MATEMÁTICOS.
A. COMPRENDER EL PROBLEMA.
¿Enseña a sus alumnos a Identificar la incógnita de l problema que se
plantea?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Ayuda a sus alumnos a entiender lo que dice el pro blema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Ayuda a sus alumnos a replantar el problema con su s propias
palabras?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Permite que los alumnos identifiquen con facilidad los datos del
problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Ayuda a que sus alumnos establezcan relaciones ent re los datos y la
incógnita del problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
B. PLANIFICAR LA SOLUCIÓN.
¿Enseña a sus a alumnos a relacionar el problema co n otro antes
desarrollado en clase?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
206
¿Ayuda cómo representar el problema a través de grá ficos, diagramas
o símbolos?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Incentiva a seleccionar estrategias o modelos para resolver el
problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
C. EJECUTAR EL PLAN.
Sigue diversos procedimientos para la solución del problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Ejecuta el plan comprobando cada uno de sus pasos?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Ayuda a sus alumnos a buscar una nueva estrategia si no aciertan
con la respuesta correcta?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
D. COMPROBAR LOS RESULTADOS.
¿Relaciona la respuesta con la incógnita?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Demuestra a sus alumnos la comprobación de la resp uesta?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Busca junto con sus alumnos resolver el problema d e modo diferente
y compara resultados?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿Utiliza el resultado y el proceso seguido para res olver y formular
nuevos problemas?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca ( )
¿permiten que sus alumnos argumenten o expliquen l a forma en
cómo resolvieron el problema?
Siempre ( ) Algunas veces ( ) Nunca (
207
ANEXO Nº 03
TEST PARA MEDIR EL LOGRO DE LA CAPACIDAD EN LA RESO LUCIÓN DE
PROBLEMAS MATEMÁTICOS.
DATOS INFORMATIVOS:
Institución Educativa: ............................ .....................................................................
Grado: ............................................ ....... Sección: .................................. .....................
Estimado alumno, el siguiente test es anónimo y se trata de un trabajo arduo de
investigación en el que se necesita de tu aporte, por lo tanto lee detenidamente,
resuelve y marca con un aspa (X) las alternativas que tu consideras que son
correctas de acuerdo a lo que te pide, procurando responder con sinceridad.
I. PROBLEMAS ARITMÉTICOS.
1. Javier tiene 2 camisas nuevas, diez billetes de s/. 10, cinco monedas se s/. 5
y dos monedas de s/. 2. si su mamá le regala ocho m onedas de s/. 1.
¿Cuánto dinero tiene Javier?.
IDÉNTICA LA INCÓGNITA.
1.1. ¿Qué es lo que se te pide que averigües?.
a) La cantidad de dinero que recibe Javier de su mamá.
b) El número de billetes que tiene Javier.
c) El número de monedas que tiene Javier.
d) El total de dinero que tiene Javier.
IDENTIFICA LOS DATOS DEL PROBLEMA.
1.2. ¿Cuál de los siguientes datos no es importante para resolver el problema?
a) Javier tiene 2 camisas nuevas.
b) Javier tiene ocho monedas de s/. 1.
c) Javier tiene diez billetes de s/. 10.
d) Javier recibió ocho monedas de s/. 1 de su mamá.
208
RELACIONA LOS DATOS CON LA INCÓGNITA
1.3. ¿Crees que los datos del problema son suficientes para dar respuesta a la
incógnita?
Si ó No. Por qué: .............................................................................................
.........................................................................................................................
REPLANTEA EL PROBLEMA.
1.4. ¿De qué otra forma se puede plantear el problema?
a) ¿Cuánto dinero tiene Javier, si su mamá le regala ocho monedas de s/1
y además el tiene diez billetes de s/. 10, cinco monedas se s/. 5 y dos
monedas de s/. 2.?
b) Javier tiene diez billetes de s/. 10, cinco monedas se s/. 5 y dos
monedas de s/. 2 y regala a su mamá ocho monedas de s/. 1. ¿Cuánto
dinero tiene Javier?.
c) Javier ha recibido de su mamá diez billetes de s/. 10, cinco monedas se
s/. 5, dos monedas de s/. 2 y ocho monedas de s/1. ¿Cuánto dinero tiene
Javier?
d) Si Javier tiene diez billetes de s/. 10, cinco monedas se s/. 5 y dos
monedas de s/. 2.¿Cuánto le regala su mamá?
REPRESENTA EL PROBLEMA A TRAVÉS DE GRÁFICOS.
1.5. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el problema?
a) b)
c) d) a y b
SELECCIONA ESTRATEGIAS PARA RESOLVER EL PROBLEMA.
1.6. ¿Qué operaciones aritméticas utilizarías para resolver el problema?
a) Multiplicación y suma.
b) Multiplicación y resta.
c) Sólo Multiplicación.
d) Sólo suma.
8 10 2 8
5 10 2 8
209
PLANTEA UNA OPERACIÓN PARA RESOLVER EL PROBLEMA.
1.7. ¿Qué operación aritmética permite encontrar el resultado?
a) (10x10)x(5x5)x(2x2)x(8x1)
b) (10+10)+(5+5)+(2+2)+(8+1)
c) (10x10)+(5x5)+(2x2)+(8x1)
d) (10+10)x(5+5)x(2+2)x(8+1)
EJECUTA LA OPERACIÓN PARA RESOLVER EL PROBLEMA.
1.8.Desarrolla la operación que escogiste para resolver el problema.
SOLUCIONA EL PROBLEMA.
1.9. Marca la respuesta correcta.
a) 137
b) 127
c) 231
d) Ninguna d las anteriores.
UTILIZA LA ESTRATEGIA PARA RESOLVER NUEVOS PROBLEMAS.
1.10 ¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver de manera similar al
anterior?
a) En una finca hay cinco surcos con 4 manzanos en cada uno, tres surcos
con 10 duraznos en cada uno, nueve surcos con 9 limones cada uno y
tres surcos con 3 paltos cada uno. ¿Cuántos árboles hay en total?
b) Enrique tiene 4 cajas. En cada caja hay 4 carritos, ¿Cuántos carritos
tiene Enrique?
c) Manuel compró 5 cajas con 5 soldaditos cada una. Luego, su tía le
regalo 3 cajas con 10 soldaditos cada una. Si se le perdieron 12
soldaditos, ¿Cuántos le quedan?
210
II. PROBLEMAS HEURÍSTICOS.
2. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y u na canasta con
lechugas a la otra orilla del río, dispone de una b arca en la que solo
caben él y una de las otras cosas. Si el lobo se qu eda solo con la cabra
se la come, si la cabra se queda sola con la lechug a se la come. ¿Cómo
debe hacerlo para cruzar el río con todas sus cosas ?
2.1. ¿Qué datos conozco?
a) Un pastor, una cabra, una canasta con lechuga, un río, una barca.
b) Un pastor, un lobo, una cabra, una canasta con lechugas, un río, una
barca.
c) Un pastor, un lobo, una cabra, una canasta de lechuga, un puente, un
río.
2.2. ¿Qué gráfico reúne los datos del problema?
2.3. ¿Qué proposición es falsa?
a) El lobo se come a la cabra.
b) La cabra se come a la lechuga.
c) El lobo se come a la lechuga.
2.4. ¿Si fueras tú, qué harías para solucionar el problema?
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
a b c
211
2.5. A un joyero le dan cuatro trozos de cadena de tres
eslabones cada uno, y le encargan que los una para
hacer con ellos una pulsera. Al hacer el presupuesto de
la reparación el joyero calcula que tiene que soldar
cuatro eslabones, a un sol cada uno, el precio total
sería cuatro soles, pero el cliente no está de acuerdo y
le dice como hacerlo soldando solo tres. ¿Cómo lo hizo?
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
III. PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO.
AFRONTA SITUACIONES CON COMPONENTES LÓGICOS.
3.1. Si hay 22 moscas encima de una mesa y mato 3, ¿Cuántas quedan?
..................................................................................................................................
3.2. ¿Cómo hacemos para que a diecinueve quitándole uno nos dé veinte?
..................................................................................................................................
3.3. Escribe el número que falta en el casillero en blanco.
Explica que operación haz realizado para llegar a la solución:
..................................................................................................................................
..................................................................................................................................
5
12
32 4
25
9 79 6 8 7
13
212
3.4. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura ?
ARGUMENTA O EXPLICA PROPOSICIONES VERBALES.
3.5. ¿ La mitad de dos más dos es tres?
Si ó no : por qué......................................................................................... .......
BUSCA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR ENSAYO Y ERROR.
3.6. ¿ Cuántos fósforos se deben mover de manera q ue queden 4
cuadrados?.
a) 3 b) 2 c)1 d) 4