física · 2019-09-03 · 7 programa de fÍsica iii unidad 1. sistemas de cuerpos rígidos...
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Física III
Dr. Jaime Osorio Rosales Universidad Nacional Autónoma de México
Fís. Arturo García Cole Universidad Nacional Autónoma de México
Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2019
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL SUR
Física III (Basado en el nuevo plan de estudios de Física III)
J. Osorio & A. García
2019
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CONTENIDO
Unidad 1. Sistemas de Cuerpos Rígidos
Introducción: Sistemas de cuerpos rígidos
CAPÍTULO I
1. Movimiento Circular
1.1 Aceleración Centrípeta
CAPÍTULO II
2. Gravitación Universal y Leyes de Kepler
2.1 Gravitación Universal
2.2 Leyes de Kepler
2.3 Satélites
CAPÍTULO III
3. Centro de Masa
3.1 Centro de Masa
3.2 Movimiento del Centro de Masa
CAPÍTULO IV
4. Ecuación Vectorial de Movimiento
4.1 Ecuación Vectorial de Movimiento
CAPÍTULO V
5. Torca
5.1 Torca
CAPÍTULO VI
6. Momento de Inercia
CAPÍTULO VII
7. Momento Angular
7.1 Momento Angular
7.2 Naturaleza Vectorial de la Rotación
7.3 Trabajo y Energía Cinética Rotacional
7.4 Segunda Ley de Newton (forma angular)
7.5 Cantidad de Movimiento Angular
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7.6 Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular
7.7 Problemáticas Especificas del Momento Angular
7.7.1 Conservación de la Cantidad de Movimiento Angular en el Aula
7.7.2 El Gato y la Conservación del Momento Angular
7.8 Momento Angular Cuantizado
7.9 Momento Angular Orbital
7.10 Momento Angular Total
Unidad 2. Sistemas de Cuerpos Rígidos
Introducción: Sistemas de fluidos
CAPÍTULO VI
8. Fluidos
8.1 Densidad
8.2 Presión
8.3 Presión del fluido
8.4 Medición de la presión de un fluido
8.5 Prensa Hidráulica (Principio de Pascal)
8.6 Principio de Arquímedes
CAPÍTULO VII
9. Dinámica de Fluidos
9.1 Tipos de flujo
9.2 Ecuación de continuidad
9.3 Gasto
9.4 Ecuación de Bernoulli
APÉNDICE A Unidades SI: Básicas y Suplementarias
APÉNDICE B Datos Físicos
APÉNDICE C Unidades SI Derivadas
APÉNDICE D Unidades SI Compuestas
APÉNDICE E Unidades SI Autorizadas
APÉNDICE F Múltiplos y Submúltiplos Decimales
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APÉNDICE G Alfabeto Griego
APÉNDICE H Constantes Físicas Fundamentales
APÉNDICE I Datos Planetarios
APÉNDICE J Unidades Sistema Ingles
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PRESENTACIÓN
El presente libro está diseñado para cubrir los aprendizajes señalados en el Programa de
Física III del Plan de Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades, correspondiente al sexto
semestre. Queremos que este libro sea de ayuda para los alumnos, para que valoren
lo maravillosa que es esta ciencia. La naturaleza se manifiesta en ciertos fenómenos que siguen
determinadas pautas que revelan una estructura de relación entre sus partes. Estas pautas o leyes,
que el científico intenta descubrir, no son modificables por la voluntad humana pero su
conocimiento puede servir para eliminar, alterar o producir determinados acontecimientos.
En este libro estudiamos la mecánica de un sólido rígido, que es aquella donde se estudia el
movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto,
de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos
los sólidos reales son deformables.
En todos los capítulos se tratan temas de la mecánica clásica o newtoniana que pretenden,
a partir de expresiones y razonamientos matemáticos acordes con los postulados físicos de la
teoría, explicar y predecir el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros
cuerpos. En el estudio de la mecánica clásica se busca conocer no solo el estado del sistema
considerado, sino también el del entorno físico que lo rodea.
La finalidad de todo este material es la de promover en los estudiantes aprendizajes
significativos, que amplíen sus conocimientos, así como de profundizar la comprensión de los
fenómenos físicos que les permita tener explicaciones fundamentadas de eventos que acontecen
en su entorno.
El libro contiene una explicación teórica de los fenómenos físicos en sistemas de cuerpos
rígidos, donde se conceptualizan y se da un modelo matemático de los mismos.
También contiene una serie de problemas resueltos de diferentes niveles de dificultad para que
el profesor los tome como problemas-ejemplo en la clase, también problemas para que los
alumnos los resuelvan en clase y extra clase.
A los profesores que imparten el curso de Física III en el Colegio este libro les puede ser útil en
la planeación y desarrollo en su quehacer frente a sus grupos, como una guía en el desarrollo de
sus temas y ejercicios en clase. Les agradeceríamos todas las observaciones que puedan hacerle
a nuestro trabajo que permita enriquecerlo o mejorarlo en una edición posterior.
Los autores de este libro somos profesores del Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Sur
que hemos dedicado tiempo y esfuerzo en realizar este material. Esperamos sea un apoyo para
los alumnos en su aprendizaje de la física y a los profesores les facilite su labor docente.
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UNIDAD I
SISTEMAS DE CUERPOS RÍGIDOS
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PROGRAMA DE FÍSICA III
Unidad 1. Sistemas de Cuerpos Rígidos
PRESENTACIÓN
En otros cursos de física se ha visto principalmente el movimiento rectilíneo de una partícula.
Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo general, los
cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Los proyectiles de artillería se
desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia del campo gravitacional
terrestre. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias casi circulares.
En el nivel atómico, los electrones giran alrededor del núcleo de los átomos. En realidad,
es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en dos
dimensiones.
En Física, se entiende por sistema, una entidad material formada por componentes organizados
que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no pueden deducirse por completo
de las propiedades de las partes.
En esta unidad se estudian los fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos,
mediante el empleo de conceptos como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de
traslación y de rotación, cantidad de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su
carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan a
explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas y
herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
cuerpos celestes.
PROPÓSITOS
Al finalizar la Unidad el alumno:
• Describirá el movimiento de un cuerpo rígido.
• Comprenderá el comportamiento mecánico de los cuerpos rígidos con base en las leyes
de la dinámica y los principios de conservación.
• Resolverá situaciones y problemas referentes al movimiento de cuerpos rígidos mediante
el empleo de las leyes de la mecánica y la aplicación de la herramienta vectorial
necesaria, que le ayuden a comprender el funcionamiento de dispositivos mecánicos de
uso común.
Los cursos de Física III y IV coadyuvan a que el alumno mejore intelectual y personalmente
a través de la apropiación consciente de conocimientos, habilidades y actitudes que le permitan
resolver sus problemas de estudio y de situaciones cotidianas.
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En cada unidad de aprendizaje existe una inducción propedéutica que favorece en el alumno el
conocimiento de la lógica de la disciplina y su interrelación con otras; que mejora y profundiza
a través de los proyectos de investigación escolar en los conocimientos, habilidades, actitudes y
valores cercanos a la carrera de su preferencia mediante el ejercicio y aplicación del aprendizaje
en situaciones reales.
Se pretende también que cuente con la preparación necesaria para cursar sus estudios
profesionales en cualquier área del conocimiento. Por su carácter propedéutico, estas
asignaturas: a) Consideran aprendizajes, habilidades y actitudes propias de la ciencia,
particularmente los relativos a la física en el nivel medio superior. b) Propician aprendizajes con
mayor formalidad que permitan obtener una mejor descripción de los fenómenos físicos.
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INTRODUCCIÓN
Sistemas de Cuerpos Rígidos
En cursos anteriores de física, se ha considerado principalmente el movimiento rectilíneo de una
partícula. Esto bastaría para describir la mayor parte de sus aplicaciones. Sin embargo, por lo
general, los cuerpos en la naturaleza se mueven en trayectorias curvas. Algunos ejemplos de
esto serían los proyectiles de artillería, el lanzamiento de una pelota de beisbol o la trayectoria
de un avión comercial que se desplazan siguiendo trayectorias parabólicas debido a la influencia
del campo gravitacional terrestre,
En realidad, es difícil imaginar un fenómeno físico que no suponga el movimiento al menos en
dos dimensiones. En Física, se entiende por sistema a una entidad material formada por
componentes organizados que interactúan de forma tal, que las propiedades del conjunto no
pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes. En esta unidad se estudian los
fundamentos de la mecánica rotacional de cuerpos rígidos, mediante el empleo de conceptos
como centro de masa, fuerza, momento de torsión, energía de traslación y de rotación, cantidad
de movimiento lineal y angular; haciendo énfasis en su carácter vectorial.
El estudio y análisis de las leyes de la dinámica y de la conservación de la energía, ayudan
a explicar el funcionamiento de dispositivos mecánicos como giróscopos, máquinas
y herramientas en la industria, en la salud, en los deportes, los movimientos planetarios y en
otros cuerpos celestes.
Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas
externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian y representa
cualquier cuerpo que no se deforma. Un cuerpo rígido es una idealización que se emplea en la
física para efectos de estudio y es una combinación de un gran número de partículas que tiene
posiciones fijas entre sí. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido se pueden clasificar en
fuerzas externas y fuerzas internas. Las fuerzas externas representan la acción de otros cuerpos
o sistemas al cuerpo rígido. Mientras que las fuerzas internas mantienen unidas las diferentes
partículas que cumplen ciertas condiciones para reemplazar el cuerpo rígido. Si el cuerpo está
compuesto de varias partes las fuerzas de enlace son definidas por fuerzas internas.
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El movimiento de un cuerpo rígido se analiza considerando que la Tierra se encuentra en reposo
total, es decir no tiene movimiento de rotación ni de traslación. Para desplazamientos de un
cuerpo rígido en un plano el análisis es más simple, ya que es bastante evidente que un cambio
de posición de un cuerpo rígido en un plano, puede ser logrado de modo equivalente mediante
una traslación paralela seguida de una rotación en torno a un punto fijo, o bien la rotación
seguida de la traslación.
En el movimiento plano de cuerpos rígidos, siempre existe un punto o una extensión rígida del
cuerpo que tiene velocidad instantánea nula, y en consecuencia tendrá un movimiento
equivalente a una pura rotación instantánea del cuerpo en torno de ese punto (centro instantáneo
de rotación). En todo instante, estos cuerpos al tener una velocidad instantánea nula o de cero
en un punto, rotan respecto a ese punto; pero ese punto en general se mueve, de manera que el
centro instantáneo de rotación describe un cuerpo. El movimiento de ese punto puede ser
observado desde un sistema de referencia fijo y desde un sistema de referencia fijo al cuerpo.
La mecánica clásica o newtoniana pretende, a partir de expresiones y razonamientos
matemáticos acordes con los postulados físicos de la teoría, explicar y predecir
el comportamiento de los cuerpos sometidos a interacciones con otros cuerpos, excluyendo los
fenómenos de tipo eléctrico o magnético, así como las consideraciones sobre la estructura
atómica o las nociones relacionadas con la teoría cuántica. En el estudio de la mecánica clásica
se busca conocer no solo el estado del sistema considerado, sino también el del entorno físico
que lo rodea.
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CAPÍTULO I MOVIMIENTO CIRCULAR
La primera ley de Newton nos dice que todos los cuerpos que se mueven en línea recta, con
velocidad constante, mantendrán inalterada su velocidad a menos que actúe sobre ellos una
fuerza externa. La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial definida por su rapidez
y dirección. Igual que se requiere una fuerza resultante para cambiar su rapidez, se tiene que
aplicar una fuerza resultante para cambiar su dirección. Siempre que esa fuerza actúa en una
dirección diferente de la dirección original del movimiento, provoca un cambio en la trayectoria
de la partícula en movimiento.
El movimiento más sencillo en dos dimensiones se produce cuando una fuerza externa
constante actúa siempre formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria del cuerpo
o la partícula en movimiento. En este caso la fuerza resultante producirá una aceleración
que altera tan sólo la dirección del movimiento, manteniéndose la rapidez constante.
Este tipo de movimiento sencillo se conoce como movimiento circular.
Fig. 1.1 Un movimiento circular es aquel donde la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo
largo del tiempo genera una curva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un mismo
punto llamado centro.
El movimiento circular, también llamado circunferencial, es el que se basa en un eje de giro
y radio constante, por lo cual la trayectoria es una circunferencia. Un cuerpo describe
un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación.
Este movimiento se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos
dimensiones, se define como aquel que efectúa un cuerpo que recorre arcos de
circunferencia iguales en tiempos iguales. Esto es la magnitud de la velocidad permanece
constante.
En el movimiento circular el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro de la
trayectoria circular. Es conveniente resaltar que las trayectorias de éstas son circunferencias
concéntricas de longitud diferente y de radio igual a la distancia entre la partícula considerada
y el eje de rotación.
Podemos describir el movimiento circular como la tasa de cambio de posición con el
tiempo. Entonces, la rapidez y velocidad angular también implican una tasa de cambio de
posición con el tiempo, que se expresa con un cambio angular.
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Podemos definir un ángulo como la abertura comprendida entre dos radios, que limitan
un arco de circunferencia. El ángulo 휃 comúnmente se mide en sentido contrario a las
manecillas del reloj, a partir del eje 𝑥 positivo.
Fig. 1.2 Un ángulo es una porción indefinida de plano limitada por dos líneas o lados que parten de un
mismo punto y cuya abertura puede medirse en grados.
Algo similar al desplazamiento lineal es el desplazamiento angular, cuya magnitud es,
∆휃 = 휃 − 휃𝑜
Una unidad que se usa comúnmente para expresar el desplazamiento angular es el
grado (º).
Hay 360º en un círculo completo o revolución. Es importante relacionar la descripción angular
del movimiento circular con la descripción orbital o tangencial, es decir, relacionar el
desplazamiento angular con la longitud de arco (𝑠).
La longitud de arco es la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria circular, y se dice
que el ángulo 𝜽 subtiende o define la longitud de arco. Una unidad muy conveniente para
relacionar el ángulo con la longitud de arco es el radián (ver figura 1.3).
Un radián representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya
longitud es igual a la del radio, su símbolo o unidad en el Sistema Internacional de
Unidades es el radian rad. Un ángulo en radianes es el cociente de dos longitudes.
Esto significa que una medida en radianes es un número adimensional y no tiene unidades.
El ángulo (휃) en radianes está dado por la razón de la longitud de arco (𝑠) y el radio (𝑟),
es decir,
휃 =𝑠
𝑟 (1.1)
Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo (휃) es igual a un radián. Despejando la longitud de arco y el radio de
la ecuación 1.1 tenemos,
𝑠 = 𝑟 휃 (1.2)
Despejando el radio (𝑟),
𝑟 =𝑠
휃 (1.3)
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Para obtener una relación entre radianes y grados, consideramos la distancia total en torno a un
círculo completo (360°). En este caso, 𝑠 = 2휋𝑟 (la circunferencia), y hay un total de,
휃 =𝑠
𝑟=
2휋 𝑟
𝑟= 2휋 𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑛 360𝑜
Es decir, una revolución o vuelta completa sería,
2휋 𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜 = 1 𝑟𝑒𝑣
Por lo cual, un objeto o partícula que da una revolución completa 1 rev ha girado 360º
o 2휋 radianes. Esta relación nos sirve para convertir fácilmente ángulos comunes. Así, al dividir
ambos lados de esta relación entre 2휋, tenemos,
1 𝑟𝑎𝑑 =360𝑜
2휋=
180𝑜
휋= 57.3𝑜
Un grado puede dividirse en unidades más pequeñas, los minutos (1 grado = 60 minutos)
y los segundos (1 minuto = 60 segundos). Tales divisiones no tienen nada que ver con unidades
de tiempo.
Fig. 1.3 Un ángulo (휃) subtiende una longitud de arco (𝑠). Cuando 𝑠 = 𝑟, el ángulo que subtiende a la
longitud de arco se define como [1 𝑟𝑎𝑑].
El desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual
en su trayectoria circular, medido en radianes (ver figura 4).
Fig. 1.4 El desplazamiento angular 휃 se indica mediante la parte sombreada del disco.
El desplazamiento angular es el mismo de C-D que de A-B en un cuerpo rígido.
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La porción entre la distancia de arco (𝑠) y el radio (𝑟) es una unidad de longitud dividida por
una unidad de longitud (ver figura 1.5), como se mencionó anteriormente, las unidades se
cancelan y el radian es una cantidad adimensional.
Fig. 1.5 Medida del desplazamiento angular y una comparación de unidades.
En la Tabla 1 se muestran los ángulos en radianes en términos de 휋 por conveniencia.
Tabla 1. Valor de grados en radianes.
Grados Radianes
360º 2휋
180º 휋
90º 휋
2
60º 휋
3
57.3º 1
45º 휋
4
30º 휋
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El movimiento circular uniforme se produce cuando un cuerpo o partícula con velocidad
angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales.
El origen de este movimiento se debe a una fuerza constante, cuya dirección es perpendicular
a la trayectoria de la partícula y produce una aceleración que afectara sólo a la dirección del
movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que lleva el cuerpo.
Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su
magnitud, pero no su dirección, toda vez que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria
del cuerpo.
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el cual la velocidad no cambia,
únicamente hay un cambio en la dirección.
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Un ejemplo del movimiento circular uniforme consiste en dar vueltas en una trayectoria circular
a una piedra atada a un cordel. Mientras la piedra gira con velocidad constante, la fuerza hacia
el centro que se origina por la tensión en el cordel cambia constantemente la dirección de la
piedra, haciendo que ésta se mueva en una trayectoria circular.
Si el cordel se rompiera, la piedra saldría disparada en una dirección tangencial, o sea
perpendicular al radio de su trayectoria circular.
Cuando la velocidad angular (𝝎) de un cuerpo no es constante, podemos determinar la
velocidad angular media (𝝎𝒎) conociendo su velocidad angular inicial (𝝎𝒐) y su velocidad
angular final (𝝎𝒇). Donde 𝜔𝑚 tiene unidades de rad/s.
𝜔𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2 (1.4)
La velocidad angular promedio representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento
angular de un cuerpo y el tiempo total que tarda en efectuarlo,
𝜔 =∆휃
∆𝑡=
휃𝑓 − 휃𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠] (1.5)
La velocidad angular instantánea se obtiene considerando un intervalo de tiempo muy
pequeño, es decir cuando ∆𝒕 se aproxima a cero. Como en el caso lineal, la velocidad angular
es constante, si tomamos 휃𝑜 y 𝑡𝑜 como cero,
𝜔 =휃
𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠] (1.6)
Despejando 휃,
휃 = 𝜔 𝑡 =𝜔𝑓 + 𝜔0
2 𝑡 (1.7)
Esta ecuación también es similar a una ecuación deducida para el movimiento lineal.
La velocidad angular (𝝎) también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en
dar una vuelta completa, es decir, la velocidad angular en términos del periodo y la frecuencia,
𝜔 =2휋
𝑇= 2휋𝑓 (1.8)
El periodo (𝑻) se define como el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa
o en completar un ciclo, sus unidades pueden ser [𝑠] o [𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜].
La frecuencia (𝒇) es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un cuerpo en
un segundo, sus unidades son [𝐻𝑧] o [𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑠] .
Si un cuerpo gira a una frecuencia de tres revoluciones por segundo, entonces el periodo de cada
revolución es 1
3𝑠. El periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso
del periodo,
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𝑇 =1
𝑓= [
𝑠
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜] (1.9)
𝑓 =1
𝑇= [
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑠] (1.10)
Así, en general, la frecuencia 𝑓 está relacionada con la velocidad angular mediante,
𝑓 =𝜔
2휋 (1.11)
Despejando la velocidad angular obtenemos,
𝜔 = 2휋 𝑓 (1.12)
Otra unidad que con frecuencia se utiliza para describir velocidad angular son las
revoluciones por minuto rpm; Un ejemplo serían los discos compactos (CD) que giran a una
velocidad de 200-500 rpm (la velocidad varía dependiendo la ubicación de la pista). Esta unidad
no estándar de revoluciones por minuto se puede convertir fácilmente en radianes por segundo,
1 𝑟𝑝𝑚 =2휋
60 [𝑟𝑎𝑑
𝑠] = 0.104
𝑟𝑎𝑑
𝑠
Es decir, para convertir de rpm a rad/s hay que multiplicar las rpm por 0.104.
Por ejemplo, un CD gira a 200 rpm que equivalen a 20.94 rad/s, y 500 rpm a 52.35 rad/s.
El rango de velocidad del CD es de 20.94-52.35 rad/s.
El movimiento circular uniformemente acelerado se presenta cuando un objeto o partícula con
trayectoria circular aumenta o disminuye su velocidad angular en forma constante (cambio de
velocidad) en cada unidad de tiempo; por lo que su aceleración angular permanece constante.
Cuando en el movimiento circular la velocidad no permanece constante, decimos que sufre
una aceleración angular.
Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál es su aceleración angular
media (𝛼𝑚), la cual se define como,
𝛼𝑚 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
𝑡𝑓 − 𝑡𝑜=
∆𝜔
∆𝑡= [
𝑟𝑎𝑑
𝑠2] (1.13)
Cuando los intervalos de tiempo en el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una
trayectoria circular son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una
aceleración angular instantánea. Cuando el intervalo de tiempo es tan pequeño que tiende a cero,
la aceleración angular del cuerpo será la instantánea.
Podemos observar que la aceleración media depende de un cambio en el vector velocidad.
Debido a que la velocidad es un vector, hay dos formas en las que puede producirse una
aceleración, por un cambio en la magnitud de la velocidad y por un cambio en su dirección.
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1.1 ACELERACIÓN CENTRÍPETA
La aceleración es perpendicular a la trayectoria y siempre apunta hacia el centro del
círculo, una aceleración de esta naturaleza es la centrípeta,
𝑎𝑐 =𝑣2
𝑟 (1.14)
La aceleración centrípeta o aceleración normal tiene como unidades [𝒎
𝒔𝟐] y es una magnitud
relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento
cuando recorre una trayectoria curvilínea. Dada una trayectoria curvilínea la aceleración
centrípeta va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. El término centrípeta
significa que la aceleración siempre se dirige hacia el centro.
Como la velocidad tangencial (𝑣𝑇) está relacionada con la velocidad angular (𝜔) por medio de
𝑣𝑇 = 𝑟 𝜔 (1.15)
Podemos escribir la aceleración centrípeta en términos de la velocidad angular,
𝑎𝑐 =𝑟2𝜔2
𝑟= 𝑟𝜔2 (1.16)
Donde 𝑟 es el radio y 𝜔 la velocidad angular. Cuando una partícula se mueve en una trayectoria
curvilínea, aunque se mueva con velocidad constante su velocidad cambia de dirección, ya que
esta es un vector tangente a la trayectoria y en las curvas, dicha tangente no es constante.
La aceleración centrípeta, a diferencia de la aceleración centrífuga, está provocada por una
fuerza real requerida para que cualquier observador inercial pueda dar cuenta de cómo se curva
la trayectoria de una partícula que no realiza un movimiento rectilíneo.
La aceleración centrípeta también es llamada aceleración radial y se define como,
𝑎𝑟 = 𝜔2 𝑟 (1.17)
Las unidades de la aceleración radial son [𝑚
𝑠2]. La aceleración centrípeta es la componente del
vector aceleración en la dirección centrípeta. Habitualmente, se describe el movimiento de un
cuerpo o partícula en un círculo con velocidad constante a partir del tiempo requerido
para realizar una vuelta completa, esta magnitud se denomina periodo de rotación (𝑻).
Durante un periodo de rotación, el cuerpo o partícula se mueve una distancia 2휋𝑟, por lo que su
velocidad está relacionada con 𝑟 y con 𝑇 mediante,
𝑣 =2휋𝑟
𝑇 (1.18)
Despejando 𝑇,
𝑇 =2휋𝑟
𝑣 (1.19)
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La aceleración tangencial es el producto de la aceleración angular y el radio del círculo.
Es decir, la aceleración tangencial es un vector que está sobre la tangente del punto de la
circunferencia, y cuyo sentido es igual al de giro, se define como,
𝑎𝑇 = 𝛼 𝑟 (1.20)
Las unidades de la aceleración tangencial son [𝑚/𝑠2]. Podemos concluir que en el
movimiento circular la aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro del círculo, tiene
una magnitud (𝑣2/𝑟) o (𝑟𝜔2); y es mayor cuanto más nos alejemos del eje de rotación.
Para que haya una aceleración, debe de haber una fuerza neta. Por lo tanto, para que haya
una aceleración centrípeta (hacia adentro), debe haber una fuerza centrípeta (fuerza neta
hacia adentro) que sería la fuerza dirigida hacia el centro necesaria para mantener el
movimiento circular.
De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento (𝐹 = 𝑚�̅�), la magnitud de esta fuerza
debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 (1.21)
Sustituyendo la aceleración centrípeta en 𝑎𝑐,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟 (1.22)
Donde 𝑚 es la masa del cuerpo u objeto que se mueve con una velocidad 𝑣, en una trayectoria
circular de radio 𝑟. La fuerza hacia el centro 𝐹𝑐 es directamente proporcional al cuadrado de la
velocidad del objeto en movimiento. Esto significa que, para incrementar la velocidad lineal
al doble de su valor original se requiere una fuerza cuatro veces mayor que la original.
Razonando de igual forma se demuestra que, si se duplica la masa del objeto o se reduce a la
mitad el radio de giro, será necesaria una fuerza centrípeta dos veces mayor que la original.
Para problemas en los que la velocidad rotacional se expresa en términos de la frecuencia,
la fuerza centrípeta se puede determinar expresando la velocidad lineal en términos de la
frecuencia de rotación,
𝐹𝑐 = 𝑚𝑣2
𝑟= 4휋2𝑓2𝑚 𝑟 (1.23)
Una fuerza neta que se aplica con un ángulo respecto a la dirección del movimiento de un cuerpo
produce cambios en la magnitud y la dirección de la velocidad. Sin embargo, cuando una fuerza
neta de magnitud constante se aplica continuamente con un ángulo de 90º respecto a la dirección
del movimiento (como la fuerza centrípeta), sólo cambia la dirección de la velocidad.
Esto ocurre porque no hay componente de fuerza paralelo a la velocidad. Además, dado que la
fuerza centrípeta siempre es perpendicular a la dirección del movimiento, esta fuerza no efectúa
trabajo. Por lo tanto, por el teorema Trabajo-Energía, una fuerza centrípeta no modifica la
energía cinética, ni la velocidad del objeto o cuerpo.
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La fuerza centrípeta en la forma de la ecuación (1.23) no es una nueva fuerza individual, sino
más bien la causa de la aceleración centrípeta producida por una fuerza real o por la suma
vectorial de varias fuerzas. La fuerza que produce la aceleración centrípeta para los satélites
es la gravedad.
Otra fuerza que a menudo produce aceleración centrípeta es la fricción. Suponga que un
automóvil viaja por una curva circular horizontal. Para dar vuelta, el vehículo debe tener una
aceleración centrípeta, la cual es producto de la fuerza de fricción entre los neumáticos
y la carretera. Sin embargo, esta fricción tiene un valor límite máximo (ver figura 1.6).
Fig. 1.6 El peralte de las curvas también ayuda a los automóviles a dar vueltas sin derraparse.
Si la velocidad del automóvil es lo bastante alta o la curva es muy cerrada, la fricción no
bastará para proporcionar la aceleración centrípeta necesaria y el automóvil derrapará
hacia afuera desde el centro de la curva. Si el automóvil pasa por un área mojada o cubierta
de hielo, podría reducirse la fricción entre los neumáticos y la carretera, y el automóvil
derraparía aún si viaja con menor velocidad.
El peralte de las curvas ayuda a los automóviles a tomar las curvas en la carretera sin
derraparse de manera que la parte externa de la carretera (la que está más alejada del centro de
curvatura) es más alta que la parte interna.
Mientras las llantas del automóvil giren sin derrapar, no habrá movimiento relativo entre la parte
inferior de las llantas y el camino, por lo cual la fuerza que actúa es la fricción estática.
Si el automóvil patina, entonces la fuerza más pequeña de fricción cinética es la que actúa
mientras la parte inferior del neumático resbala sobre el pavimento.
El peralte modifica el ángulo y magnitud de la fuerza normal (�⃗⃗� 𝑵) por lo que ésta tiene
una componente horizontal (�⃗⃗� 𝒙) dirigida hacia el centro de curvatura (en la dirección
radial).
Entonces, no depende solamente de la fricción para mantener el automóvil en una trayectoria
circular cuando entra a la curvatura; esta componente de la fuerza normal ayuda a que el
automóvil no se salga de la trayectoria curva (ver figura 1.7).
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Cuando un automóvil toma una curva con velocidad constante en una carretera sin peralte,
la aceleración del automóvil se dirige hacia el centro de la trayectoria circular. En la figura 1.7
observamos las componentes de un automóvil tomando una curva con peralte.
Fig. 1.7 Diagrama de fuerzas de un automóvil tomando una curva a velocidad constante.
En la figura 1.8 observamos: a) Un automóvil que toma una curva con velocidad constante en
una carretera con peralte. La aceleración del automóvil es hacia el centro de la trayectoria
circular (izquierda). �⃗⃗� es la fuerza normal total que actúa sobre las cuatro ruedas. El automóvil
circula justo a la velocidad correcta para que la fuerza de fricción sea cero. b) Resolución de la
fuerza normal en sus componentes (x, y). c) Diagrama de cuerpo libre del automóvil con la
fuerza normal representada por sus componentes; la componente radial de la fuerza normal Nx.
Fig. 1.8 Diagrama de fuerzas de un automóvil que toma una curva con velocidad constante en una
carretera con peralte.
Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) con
las siguientes variantes:
21
1. En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en
radianes ( en lugar de d).
2. La velocidad en m/s se dará como velocidad angular en rad/s (𝜔 en lugar de v).
3. La aceleración en 𝑚
𝑠2 se dará como aceleración angular en rad/s2 (α en lugar de �̅�).
Las ecuaciones serán:
a) Para calcular los desplazamientos angulares:
휃 = 𝜔𝑜𝑡 +𝛼𝑡2
2 (1.24)
휃 =𝜔𝑓
2 − 𝜔𝑜2
2𝛼 (1.25)
휃 =𝜔𝑓 − 𝜔𝑜
2𝑡 (1.26)
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial es cero, y las tres ecuaciones anteriores
se reducen a,
휃 =𝛼𝑡2
2 (1.27)
휃 =𝜔𝑓
2
2 𝛼 (1.28)
휃 =𝜔𝑓
2𝑡 (1.29)
b) Para calcular las velocidades angulares finales:
𝜔𝑓 = 𝜔𝑜 + 𝛼𝑡 (1.30)
𝜔𝑓2 = 𝜔𝑜
2 + 2 𝛼 휃 (1.31)
Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial es cero, y las dos ecuaciones anteriores
se reducen a,
𝜔𝑓 = 𝛼𝑡 (1.32)
𝜔𝑓2 = 2 𝛼 휃 (1.33)
A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre
el movimiento rectilíneo y el circular que deben mencionarse: resaltan las similitudes
y equivalencias de conceptos, así como un paralelismo en las magnitudes utilizadas para
describirlos.
22
Existe otro tipo de movimiento cuando un cuerpo gira alrededor de un eje. Por ejemplo,
las ruedas, los ejes motrices y los volantes utilizan los efectos rotacionales para efectuar su
trabajo. En tales casos, a menudo es necesario medir la cantidad de rotación,
la cual, como ya mencionamos, se denomina desplazamiento angular.
Un satélite terrestre no es sino un proyectil que cae alrededor de Tierra. En un experimento
ficticio, suponemos a una persona que está sobre la Tierra y lanza pelotas de béisbol a
velocidades cada vez mayores (ver figura 1.9). Cuanta más velocidad se le imparte a la pelota,
la trayectoria curva es más larga hasta el suelo. Como la superficie de la Tierra es curva,
podemos imaginar que si la velocidad fuera lo suficientemente grande al caer la pelota
simplemente seguiría la superficie curva alrededor de la Tierra.
Es evidente que este ejemplo tendría dos problemas; primero, que la superficie de la Tierra no
es uniforme y que definitivamente habría obstrucciones; segundo, que debido a la gran
aceleración que habría cerca de la superficie terrestre, la velocidad tendría que ser
excepcionalmente grande (≈ 29000 𝑘𝑚/ℎ) y por lo cual la pelota se quemaría quedando
reducida a cenizas debido a la fricción atmosférica. Actualmente hay un gran número de satélites
colocados en órbita alrededor de la Tierra en altitudes donde la resistencia y la velocidad
excesiva no constituyen un problema, algunos se mueven en órbitas que son casi circulares.
Fig. 1.9 Una bola de béisbol lanzada horizontalmente con velocidad cada vez más grande tarde o
temprano se convertiría en un satélite al caer alrededor de la Tierra.
Un satélite es cualquier objeto que orbita o gira alrededor de otro objeto. Por ejemplo,
la Luna es un satélite de Tierra, y la Tierra es un satélite del Sol. Si se colocara una estación
espacial en una órbita circular alrededor de la Tierra, ni el vehículo espacial, ni los pasajeros
quedarían ingrávidos, por el contrario, la fuerza gravitacional (peso) es la que proporciona la
fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular.
Consideramos un satélite de masa 𝑚 que se mueve alrededor de la Tierra en una órbita circular
de radio 𝑟 (ver figura 10), la fuerza centrípeta se determina a partir de la ley de gravitación de
Newton,
𝑚𝑣2
𝑟= 𝐺
𝑚𝑚𝑇
𝑟2 (1.34)
23
Simplificando y resolviendo para la velocidad (𝑣) tenemos,
𝑣 = √𝐺𝑚𝑇
𝑟 (1.35)
Un satélite solo puede tener una velocidad 𝑣 para permanecer en una órbita de radio fijo 𝑟.
Si cambia la velocidad, lo hace también el radio de la órbita. Para un gran número de satélites,
el periodo 𝑇, o sea el tiempo que le lleva al satélite dar una revolución completa en su órbita,
es muy importante.
Fig. 1.10 La fuerza centrípeta necesaria para el movimiento circular se origina por la fuerza
gravitacional de atracción. Por lo tanto, un satélite sólo puede tener una velocidad (𝑣) que le permita permanecer
en una órbita de radio fijo.
Por ejemplo, los satélites de comunicaciones actúan como estaciones retransmisoras en el
espacio. La gente los usa para enviar mensajes desde una parte del mundo a otra. Estos mensajes
pueden ser llamadas telefónicas, imágenes de TV o aún conexiones de Internet. Estos satélites
de comunicación deben rodear la Tierra en un periodo igual al que emplea el planeta en dar un
giro, es decir, un día.
Como se observa en la figura 1.11, estos satélites permanecen en un punto accesible en una
latitud constante, lo que permite una comunicación directa entre dos puntos de la Tierra.
Fig. 1.11 Los satélites geocéntricos están ubicados de modo que puedan moverse alrededor de la Tierra
en órbitas ecuatoriales con un periodo igual al de la Tierra (un día).
24
Son necesarios tres satélites de éstos para permitir la comunicación por línea directa entre todos
los puntos de la Tierra. La relación entre el periodo (𝑇) de un satélite y el radio (𝑟) de su órbita
se obtiene si suponemos una órbita circular y la velocidad del satélite,
𝑣 =2휋𝑟
𝑇= √
𝐺𝑚𝑇
𝑟 (1.36)
Al resolver para 𝑇 obtenemos,
𝑇2 = (4휋2
𝐺𝑚𝑇) 𝑟3 (1.37)
El cuadrado del periodo de una revolución es proporcional al cubo del radio de la órbita.
Cuando la inclinación del plano de la órbita del satélite es ecuatorial (inclinación ≠ 0), el satélite
parece oscilar del norte al sur, por encima del ecuador del planeta. Cuando la órbita del satélite
es elíptica (excentricidad ≠ 0), el satélite parece oscilar de Este a Oeste. Cuando la inclinación
de la órbita del satélite y la excentricidad son diferentes de 0, el satélite se mueve a través del
cielo produciendo una figura en forma de ocho, llamada analema.
La velocidad orbital es la velocidad que debe tener un planeta, satélite (natural o artificial)
o similar para que su órbita sea estable. Por ejemplo, la velocidad orbital de los satélites
geoestacionarios (órbita circular) que circundan la Tierra es de aproximadamente 10900 𝑘𝑚/ℎ.
Si el objeto en órbita circular incrementara su velocidad, pasaría a una órbita elíptica, con una
velocidad que estaría determinada en cada punto por las leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario. Si se moviera aún más rápido, podría alcanzar la velocidad de escape y describiría
una órbita parabólica; por encima de dicha velocidad, la trayectoria u órbita sería hiperbólica.
Solo en el caso de la órbita circular, la velocidad orbital no es constante, sino que varía a lo largo
de la órbita, siendo tanto menor cuanto más alejado está el cuerpo que orbita del astro que le
atrae.
En el caso del movimiento de los planetas cabe destacar tres valores significativos:
• Velocidad orbital mínima, es la que corresponde al afelio.
• Velocidad orbital máxima, es la que corresponde al perihelio.
• Velocidad orbital media, durante un recorrido completo de la órbita.
Las velocidades orbitales se expresan en [𝑘𝑚/𝑠] o [𝑘𝑚/ℎ], suele emplearse el valor de
velocidad orbital media. Así, el planeta Tierra tiene una velocidad orbital media de 29.78 𝑘𝑚/𝑠.
25
Los satélites de comunicaciones se encuentran en órbitas geoestacionarias o geosíncronas
(de geo = Tierra + síncrono = que se mueve a la misma velocidad). Eso significa que el satélite
permanece siempre sobre un punto de la Tierra. El área sobre la Tierra que el satélite puede ver,
es llamada "footprint" (huella) del satélite.
Fig. 1.12 Satélite de detección u observación remota.
Los satélites de detección remota, estudian la superficie terrestre. Desde una altura de hasta
480 𝑘𝑚, estos satélites utilizan potentes cámaras para explorar el planeta. El satélite entonces
reenvía datos medibles acerca del ambiente global. Los instrumentos de dichos satélites de
detección remota estudian la cubierta vegetal, la composición química y la superficie del agua
terrestre, entre otras muchas características.
Las personas que trabajan en la agricultura, pesca, minería y muchas otras industrias encuentran
muy útil esta información. También podemos usar los satélites de detección remota para estudiar
cambios en la superficie terrestre causados por el hombre. Ejemplos de este tipo incluye las
zonas de África occidental que se están convirtiendo en desiertos (desertificación),
y la destrucción del bosque húmedo en Sud América (deforestación).
Fig. 1.13 Vistas satelitales de un satélite de detección remota. a) Gran lago salado, UTAH-USA, b) Fito
plancton en la costa este de USA, c) Bosque húmedo de Brasil (deforestación) y d) África occidental
(desertificación).
Un satélite meteorológico es un tipo de satélite artificial que se utiliza principalmente para
supervisar el tiempo atmosférico y el clima de la Tierra. Los satélites pueden seguir una
órbita polar, cubriendo la Tierra entera asincrónicamente, o geoestacionaria, permaneciendo
sobre un mismo punto en el ecuador del planeta.
Los satélites meteorológicos pueden captar más fenómenos que tan solo las nubes; pueden
recoger información sobre el medio ambiente como las luces de las ciudades, incendios,
la contaminación, auroras, tormentas de arena y polvo, corrientes del océano, etc. Las imágenes
obtenidas por los satélites meteorológicos han ayudado a observar la nube de cenizas del Monte
Saint Helens y la actividad de otros volcanes como el Monte Etna. El humo de los incendios del
oeste de Estados Unidos como Colorado y Utah también ha sido observado.
26
Fig. 1.14 Satélite Meteorológico.
Otros satélites pueden detectar cambios en la vegetación de la Tierra, el estado del mar, el color
del océano y las zonas nevadas. El fenómeno de El Niño y sus efectos también son registrados
diariamente en imágenes de satélite. El agujero de ozono de la Antártida es dibujado a partir de
los datos obtenidos por los satélites meteorológicos. De forma agrupada, los satélites
meteorológicos de China, Estados Unidos, Europa, India, Japón y Rusia proporcionan una
observación casi continua del estado global de la atmósfera.
El Sistema de Posicionamiento Global, más conocido por sus siglas en inglés, GPS (Global
Positioning System), es un sistema que permite determinar en toda la Tierra la posición de un
objeto con una precisión de hasta centímetros, aunque lo habitual son unos pocos metros de
precisión. El sistema fue desarrollado, instalado y empleado por el Departamento de Defensa de
los Estados Unidos (ver figura 1.15). Para determinar las posiciones en el globo, el sistema GPS
se sirve de 24 satélites y utiliza la trilateración (método matemático para determinar las
posiciones relativas de objetos usando la geometría de triángulos de forma análoga a la
triangulación).
Fig. 1.15 Sistema de posicionamiento global GPS (Global Positioning System).
El GPS funciona mediante una red de 𝟐𝟒 satélites en órbita sobre el planeta Tierra
a 20200 𝑘𝑚 de altura, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra.
Para determinar la posición, el receptor localiza automáticamente como mínimo tres satélites de
la red, de los que recibe unas señales indicando la identificación y la hora del reloj de cada uno
de ellos. Con base en estas señales, el aparato sincroniza el reloj del GPS y calcula el tiempo
que tardan en llegar las señales al equipo, y de tal modo mide la distancia al satélite mediante el
método de trilateración inversa, el cual se basa en determinar la distancia de cada satélite al
punto de medición. Conocidas las distancias, se determina fácilmente la propia posición relativa
respecto a los satélites. Conociendo además las coordenadas o posición de cada uno de ellos por
la señal que emiten, se obtiene la posición absoluta o coordenadas reales del punto de medición.
27
También se consigue una exactitud extrema en el reloj del GPS, similar a la de los relojes
atómicos que lleva a bordo cada uno de los satélites. La antigua Unión Soviética construyó un
sistema similar llamado GLONASS, ahora gestionado por la Federación Rusa.
La Unión Europea desarrolló el sistema de navegación Galileo. En diciembre de 2016 la
Comisión Europea, propietaria del sistema, informó que el sistema de navegación Galileo
comenzó sus operaciones y que los satélites ya enviaban información de posicionamiento,
navegación y determinación de la hora a usuarios de todo el mundo. La República Popular China
implementó su propio sistema de navegación, el denominado BEIDOU, que cuenta con 14
satélites en la actualidad. Para 2020, ya plenamente operativo deberá contar con 30 satélites.
Los satélites destinados a investigaciones científicas constituyen la familia más numerosa, si se
exceptúa la de los utilizados con fines militares. Esto sucede así por varias razones: en primer
lugar, el espacio que circunda la Tierra es poco conocido; desde muchos puntos de vista interesa
conocer la distribución de las radiaciones que abarcan toda la gama del espectro, desde los rayos
X a las ondas de radio, meteoritos, capas ionizadas, campos magnéticos de origen no sólo
terrestre, sino también solar e interplanetario, etc.
Fig. 1.16 Satélites de investigación científica.
Muchas de estas investigaciones se realizan en apoyo a determinadas aplicaciones prácticas.
Tal es el caso del estudio de los factores que pueden afectar al hombre en el espacio,
cuyo conocimiento es imprescindible para el establecimiento de estaciones orbitales tripuladas.
La denominación de científicas dadas a muchas misiones, es simplemente una cobertura de
programas cuyos objetivos son militares.
Los satélites comerciales funcionan en tres bandas de frecuencias, llamadas C, Ku y Ka.
La gran mayoría de emisiones de televisión por satélite se realizan en la banda Ku. Cada una de
las bandas utilizadas en los satélites se divide en canales. Para cada canal suele haber en el
satélite un repetidor, llamado transponder o transpondedor, que se ocupa de capturar la señal
ascendente y retransmitirla de nuevo hacia la Tierra en la frecuencia que le corresponde.
Tabla 2. Frecuencias utilizadas por satélites.
28
PROBLEMAS
Problema 1.1
El rotor de un helicóptero gira a una velocidad angular de 320 rpm. Expresa esta cantidad en
radianes por segundo.
Problema 1.2
La Tierra gira sobre su eje. ¿Cuál es su velocidad angular en rad/s?
Problema 1.3
Una centrífuga gira a 5400 rpm. A) Encuentre el periodo y la frecuencia del movimiento,
b) Si el radio de la centrífuga es de 14 cm, ¿Qué tan rápidamente se mueve un objeto que está
colocado en su borde externo?
Problema 1.4
Un niño viaja en su motocicleta con una velocidad de 13 m/s. Si el diámetro de la llanta trasera
es de 65 cm. ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda trasera?
Problema 1.5
Una centrifuga de laboratorio opera con una velocidad rotacional de 12000 rpm.
a) ¿Qué magnitud tiene la aceleración centrípeta de un glóbulo rojo que está a una distancia
radial de 8 cm del eje de rotación de la centrifuga? b) Compara esa aceleración con g.
Problema 1.6
Un DVD acelera uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 500 rpm en 3.5 s.
Calcule la aceleración angular del DVD a) durante este lapso, b) al término de este lapso,
y c) si el DVD se detiene uniformemente en 4.5 s, ¿Cuál será el valor de su aceleración angular?
Problema 1.7
Un horno de microondas tiene un plato giratorio de 30 cm de diámetro. El plato acelera
uniformemente desde el reposo a razón de 0.87 rad/s2 durante 0.50 s, antes de llegar a velocidad
constante. a) ¿Cuántas revoluciones da el plato antes de alcanzar su velocidad constante?
b) Calcule la velocidad angular final del plato y la velocidad tangencial en su borde.
29
Problema 1.8
Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3.5 rad/s2. Si la velocidad angular
de la rueda es de 2 rad/s en t=0, a) ¿Cuál es el ángulo que gira la rueda entre t=0 y t=2 s,
b) ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda en t=2 s?
Problema 1.9
Una bola de 4 kg gira en un círculo horizontal mediante una cuerda de 2 m de largo. ¿Cuál es la
tensión en la cuerda si el periodo es de 0.5 s?
Problema 1.10
Encuentre el ángulo de peralte requerido para una curva de 160 m de radio, si la curva tiene que
salvarse a una velocidad de 80 km/h sin necesidad de una fuerza de fricción.
Problema 1.11
Un punto sobre en el borde de un disco rotatorio de 8 m de radio se mueve hasta formar un
ángulo de 37º. Calcule la longitud del arco descrito por el punto.
Problema 1.12
Si la longitud de arco es de 6 ft y el radio de 10 ft, encuentre el desplazamiento angular en
radianes, grados y revoluciones.
Problema 1.13
Calcule la velocidad angular de un disco fonográfico de larga duración (33 1/3 rpm).
Problema 1.14
Un volante incrementa su velocidad de rotación de 6 a 12 rev/s en 8 s. ¿Cuál es su aceleración
angular?
30
Problema 1.15
Una rueda tarda 0.75 s para pasar del reposo a una rotación de 210 rpm. a) ¿Cuál es la aceleración
angular de la rueda en ese tiempo, suponemos que la aceleración angular es constante?
b) ¿Cuántas revoluciones completa la rueda en ese intervalo de tiempo? c) Calcule las
componentes tangencial y radial de la aceleración en un punto localizado a 12 cm del eje de
rotación, cuando la rueda gira a 180 rpm.
Problema 1.16
La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y da 40 rpm. a) ¿Cuál es su velocidad
angular? b) ¿Qué distancia lineal se desplazará la rueda?
Problema 1.17
Calcule la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo de radio 0.5 m en el instante
en que su velocidad angular es de 3 rad/s y su aceleración angular es de 4 rad/s2.
Problema 1.18
Un auto de prueba se desplaza a una velocidad constante de 10 m/s alrededor de un camino
circular de 50 m de radio. Encuentre a) la aceleración centrípeta del auto y b) su velocidad
angular.
Problema 1.19
Un disco compacto en una computadora gira desde el reposo hasta una velocidad angular de
31.4 rad/s en un tiempo de 0.892 s. a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco, suponiendo que
está es uniforme?, b) ¿Cuántas rotaciones hace el disco mientras alcanza su máxima velocidad?,
c) Si el radio del disco es de 4.45 cm, encuentre la velocidad lineal final de un microbio que se
mueve sobre el borde del disco, d) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración tangencial del
microbio en ese tiempo?
Problema 1.20
La órbita casi circular que recorre la Luna alrededor de la Tierra tiene un radio promedio de
384 000 km y un periodo de 27.3 días. Calcule la aceleración de la Luna hacia la Tierra.
31
CUESTIONARIO I
1. Define: Radian, Periodo y Frecuencia.
2. Explica el concepto de movimiento circular uniforme.
3. Escribe las características de un movimiento uniformemente variado.
4. Explica el concepto y la diferencia de velocidad y aceleración angular.
5. En una gráfica 휃 [𝑟𝑎𝑑] vs 𝑡 [𝑠], ¿qué significa la pendiente de la recta? Explica.
6. ¿Qué es la aceleración tangencial? Explica.
7. Las componentes tangenciales y radiales de la aceleración son dos componentes
perpendiculares del vector aceleración, ¿Por qué?
8. Explica por qué la fuerza de gravedad de la Tierra no hace que la Luna se acerque cada
vez más, describiendo una espiral hasta chocar con la superficie terrestre.
9. Calcula la velocidad angular promedio del segundero de un reloj.
10. ¿Cómo se llama a la razón de cambio promedio del desplazamiento angular?
CUESTIONARIO II
1. Un móvil con trayectoria circular recorrió 820°. ¿Cuántos radianes fueron?
2. Un cuerpo 𝐴 recorrió 515 radianes y un cuerpo 𝐵 recorrió 472 radianes. ¿A cuántos
grados equivalen los radianes en cada caso?
3. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular de una rueda que gira desplazándose
15 radianes en 0.2 𝑠?
4. Determinar el valor de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un
hilo, que gira con un periodo de 0.5 𝑠.
5. Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430
revoluciones por minuto.
6. Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 𝑟𝑝𝑚, así como su desplazamiento
angular, sí su movimiento duró 3 minutos.
7. Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en 1.5 𝑠. ¿Cuál fue su
aceleración angular?
32
8. Un mezclador eléctrico incrementó su velocidad angular de 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 a 120 𝑟𝑎𝑑/𝑠
en 0.5 𝑠. a) ¿Cuál es el valor de su aceleración media? y b) ¿Cuál es el valor del
desplazamiento angular en ese tiempo?
9. Determinar la velocidad angular de una rueda a los 0.1 minutos si tenía una velocidad
angular inicial de 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y sufre una aceleración angular de 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠2.
10. Una rueda gira con una velocidad angular inicial cuyo valor es de 18.8 𝑟𝑎𝑑/𝑠
experimentando una aceleración angular de 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠2que dura 7 segundos. a) ¿Qué valor
de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? y b) ¿Qué valor de velocidad angular
lleva a los 7 segundos?
CUESTIONARIO III
1. Una rueda que gira a 4 𝑟𝑒𝑣/𝑠 aumenta su frecuencia a 20 𝑟𝑒𝑣/𝑠 en 2 segundos.
Determinar el valor de la aceleración angular.
2. Una hélice gira inicialmente con una velocidad angular de 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y recibe una
aceleración constante de 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠2
3. Grafica el desplazamiento en función del tiempo e interpreta el significado físico de la
pendiente obtenida. ¿Cuál es el valor de la velocidad angular?
Tiempo (s) Desplazamiento
Angular =(rad)
0 0
1 9
2 18
3 27
4 36
5 45
4. Grafica la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo, e interpreta el significado
físico del área obtenida al unir los puntos.
5. Una rueda tuvo una aceleración angular de 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 durante 6 segundos, ¿Qué valor de
velocidad final adquirió?
33
CUESTIONARIO IV
1. Si una hélice con una velocidad inicial de 15 𝑟𝑎𝑑/𝑠 recibe una aceleración angular
de 7 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 durante 0.2 minutos. ¿Cuál es la velocidad final y el desplazamiento
angular que tuvo?
2. Un engrane aumento el valor de su velocidad angular de 12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 a 60 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en 4 𝑠.
¿Cuál fue el valor de su aceleración angular?
3. Una banda gira con una velocidad angular inicial de 12 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y recibe una aceleración
angular de 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠2 durante 13 segundos. a) ¿Qué valor de velocidad angular lleva al
cabo de 13 segundos? b) ¿Qué valor de desplazamiento angular tuvo?
4. Un disco que gira a 2 𝑟𝑒𝑣/𝑠 aumenta su frecuencia a 50 𝑟𝑒𝑣/𝑠 en 3 𝑠. Determinar cuál
fue el valor de su aceleración angular en 𝑟𝑎𝑑/𝑠2.
5. El planeta Venus completa una rotación sobre su eje cada 5816 ℎ. ¿Cuál es la velocidad
angular de la rotación de Venus en 𝑟𝑎𝑑/𝑠?
6. Una secadora automática de ropa gira a 51.6 𝑟𝑝𝑚. Si el radio de la tina de la secadora
es de 30.5 𝑐𝑚. ¿Qué tan rápido se mueve el borde externo de la tina?
7. a) ¿Qué velocidad angular, en revoluciones por minuto, daría una aceleración centrípeta
de 1 𝑔 a una distancia radial de 8 𝑐𝑚 y b) tomando en cuenta la gravedad, ¿cuál sería
la aceleración resultante?
8. Durante una carrera de trineo, un equipo realiza una vuelta, de radio igual a 7.6 𝑚, a una
velocidad de 96.6 𝑘𝑚/ℎ. ¿Cuál es su aceleración en unidades 𝑔?
9. Un objeto que describe una trayectoria circular recorre 750°. ¿Cuántos radianes
recorrió?
10. Un objeto describe un movimiento circular uniforme de 2.25 radianes en 0.2 𝑠. Si el
radio de circunferencia descrita es de 40 𝑐𝑚, encuentra la velocidad angular, el periodo
y la frecuencia del objeto.
34
CAPÍTULO II GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER
2.1 GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Hoy en día conocemos cuál es el papel de la gravedad en el movimiento e interacciones de
cuerpos celestes, la expansión o contracción de galaxias y la formación de agujeros negros.
La fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre nosotros y sobre los cuerpos que nos rodean
es un hecho de experiencia cotidiano. Es la gravedad la que nos liga a la Tierra y hace que
la Tierra y otros planetas permanezcan en el sistema solar. Sin embargo, las variaciones
de la gravedad son a menudo demasiado pequeñas como para notarlas en la superficie terrestre,
aunque no deberían ser completamente ignoradas. Durante la época de Newton, muchos creían
que, en el vasto universo, la naturaleza seguía reglas distintas de las de aquí, sobre la Tierra.
La ley de Newton de la gravitación universal y las tres leyes de la dinámica, mostraron que
la naturaleza sigue las mismas reglas en todas partes; esto produjo un efecto profundo sobre
la visión actual que se tiene del universo.
Fig. 2.1 Cada cuerpo ejerce una fuerza en el otro, de igual magnitud y dirección contraria.
La ley de gravitación universal es una ley de la física clásica que describe la interacción
gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su
libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por
primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza
con que se atraen dos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen
dos cuerpos de diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y del cuadrado
de la distancia que los separa.
Se observa que dicha fuerza actúa de tal forma como si toda la masa de cada uno de los cuerpos
estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichos objetos fuesen
únicamente un punto, lo cual permite reducir enormemente la complejidad de las interacciones
entre cuerpos. La Tierra y los planetas siguen órbitas aproximadamente circulares alrededor del
Sol la fuerza hacia el centro que mantiene el movimiento planetario es tan sólo un ejemplo
de la fuerza universal llamada gravitación, la cual actúa sobre todas las masas del
universo.
35
De acuerdo con la leyenda, Newton notó que una manzana caía de un árbol. Se dice que fue
golpeado con una inspiración súbita: Si la gravedad actúa en lo alto de los árboles, e incluso en
lo alto de las montañas, entonces tal vez actué en todo el camino hacia la Luna. Con esta idea
de que la gravedad de la Tierra es la que mantiene a la Luna en su órbita, Newton desarrollo su
gran teoría de la gravitación. Pero existía controversia en aquella época, muchos pensadores
eran renuentes a aceptar la idea de una fuerza que actuaba a distancia. Las fuerzas típicas actúan
a través del contacto (una mano empuja un carrito y jala una vagoneta, un bat golpea una pelota,
etc.) pero la gravedad actúa sin contacto. Al respecto Newton dijo que la Tierra ejerce una
fuerza sobre una manzana que cae y sobre la Luna, aun cuando no exista contacto entre los
dos objetos, y estos incluso estén muy separados.
Newton determino la magnitud de la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre la Luna,
en comparación con la fuerza gravitacional sobre los objetos en la superficie terrestre.
La aceleración centrípeta de la Luna es 𝑟 = 3.84 × 108𝑚 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎),
2휋𝑟 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎), 𝑇 = 2.36 × 106𝑠 (𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜)
𝑎𝑐𝐿𝑢𝑛𝑎=
𝑣2
𝑟=
(2휋𝑟)2
𝑇2𝑟=
4휋2𝑟
𝑇2=
4휋2(3.84 × 108𝑚)
(2.36 × 106𝑠)2= 2.72 × 10−3𝑚/𝑠2
Esta aceleración se puede expresar en términos de g,
𝑎 = 2.72 ×10−3𝑚
𝑠2(
𝑔
9.80𝑚𝑠2
) = 2.78 × 10−4𝑔
La aceleración centrípeta de la Luna no es la aceleración de la gravedad para los objetos
en la superficie lunar, es la aceleración debida a la gravedad de la Tierra para cualquier
objeto (como la Luna) que está a 𝟑𝟖𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒎 de la Tierra.
La aceleración de la Luna hacia la Tierra es,
𝑎 =2.72 × 10−3𝑚/𝑠2
9.80 𝑚/𝑠2=
1
3600𝑔
Esto significa que la aceleración de la Luna hacia la Tierra es casi 1/3600 de la aceleración de
los objetos en la superficie terrestre. La Luna está a 384000 km de nuestro planeta, que es
aproximadamente 60 veces el radio de la Tierra (6380 𝑘𝑚).
La Luna está 60 veces más lejos del centro de la Tierra que los objetos que están en la superficie
de la misma. Pero 60 × 60 = 602 = 3600. Newton concluyo que la fuerza gravitacional
ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto disminuye con el cuadrado de la distancia (𝑟) desde
el centro de la Tierra,
𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 ∝1
𝑟2
Newton se dio cuenta que la fuerza de gravedad sobre un objeto no sólo depende de la
distancia, sino también de la masa del objeto; es directamente proporcional a su masa.
36
De acuerdo con la tercera ley de Newton, cuando la Tierra ejerce su fuerza gravitacional sobre
cualquier objeto (como la Luna), dicho objeto ejerce una fuerza igual y opuesta hacia la Tierra.
En concordancia con esta simetría, Newton llego a la conclusión de que la magnitud de la
fuerza de gravedad debe ser proporcional a ambas masas,
𝐹 ∝𝑚𝑇𝑚𝑜𝑏𝑗
𝑟2 (2.1)
Donde (𝑚𝑇) es la masa de la Tierra, (𝑚𝑜𝑏𝑗) es la masa de otro objeto y (𝑟) la distancia desde
el centro de la Tierra hasta el centro del otro objeto.
Newton fue un paso más allá en su análisis de la gravedad. Al examinar las órbitas de los
planetas, concluyó que la fuerza requerida para mantener a los planetas en sus órbitas alrededor
del Sol parecía disminuir como el cuadrado inverso de su distancia desde el Sol. Esto lo condujo
a creer que también existía una fuerza gravitacional que actuaba entre el Sol y cada uno de los
planetas para mantenerlos en sus órbitas. Fue así como postulo su ley de gravitación universal
o cuarta ley:
Toda partícula atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional
al producto de las masas de ambas, e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa.
𝐹 = 𝐺𝑚1 𝑚2
𝑟2 (2.2)
Donde la fuerza (𝐹) esta en [𝑁], (𝑚1) y (𝑚2) son las masas de las dos partículas en [𝑘𝑔],
la distancia (𝑟) entre ellas en [𝑚] y 𝐺 la constante de gravitación universal [𝑁𝑚2
𝑘𝑔2].
𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵𝒎𝟐
𝒌𝒈𝟐
Despejando (𝑟) y (𝑚1) de 2.2,
𝑟 = √𝐺 𝑚1𝑚2
𝐹 (2.3)
𝑚1 =𝐹 𝑟2
𝐺𝑚2 (2.4)
En un sentido estricto la ecuación de la ley de gravitación universal permite calcular la
magnitud de la fuerza gravitacional que una partícula ejerce sobre una segunda partícula
que está a una cierta distancia. Dado que la fuerza de atracción gravitacional actúa a lo largo
de la línea que une las partículas, se trata de una fuerza central. Es válida para cualquier par de
partículas, no importa que estén en el espacio o en la Tierra.
37
EJEMPLO 1
La distancia entre un electrón y un protón en el átomo de hidrógeno es de 𝟓. 𝟑 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 m.
Compara las fuerzas electroestática y gravitatoria que se ejercen mutuamente y escribe las
conclusiones.
Aplicamos la Ley de Gravitación Universal para hallar la fuerza gravitatoria que se ejercen
mutuamente las dos partículas; y posteriormente la Ley de Coulomb para hallar la fuerza
electrostática.
Fuerza gravitatoria,
𝐹𝐺 = 𝐺𝑚𝑒 𝑚𝑝
𝑟2
Sustituyendo,
𝐹𝐺 = (6.67 × 10−11𝑁𝑚2
𝑘𝑔2)
(9.1 × 10−31𝑘𝑔)(1.67 × 10−27𝑘𝑔)
(5.3 × 10−11 𝑚)2= 3.6 × 10−47 𝑁
Fuerza electrostática,
𝐹𝑒 = 𝑘|𝑞𝑒||𝑞𝑝|
𝑟2
Sustituyendo,
𝐹𝑒 = (9 × 109𝑁𝑚2
𝐶2)(1.6 × 10−19𝐶)(1.6 × 10−19𝐶)
(5.3 × 10−11 𝑚)2= 8.2 × 10−8 𝑁
La fuerza electrostática es 1039 veces mayor que la fuerza gravitatoria. Este resultado pone de
manifiesto que a nivel atómico las fuerzas electrostáticas son mucho más intensas que las
gravitatorias.
Esta ley nos explica que la caída de los cuerpos a la Tierra es un movimiento que denominamos
caída libre, y que el movimiento de los planetas o cuerpos, lo podemos considerar como circular
uniforme. La ley de gravitación universal pone de manifiesto una de las cuatro fuerzas
fundamentales de la naturaleza.
Fig. 2.2 Fuerzas fundamentales de la naturaleza.
38
Cuando dicha ecuación se aplica a la fuerza gravitacional entre la Tierra y un objeto en su
superficie, (𝑚1) se convierte en la masa de la Tierra (𝑚𝑇), (𝑚2) sería la masa del segundo
objeto y (𝑟) la distancia del objeto desde el centro de la Tierra, que es el radio de la Tierra (𝑟𝑇).
El hecho de que la distancia se mida desde el centro de la Tierra, no implica que la fuerza
de gravedad emane de alguna forma de dicho punto.
Más bien, todas las partes de la Tierra atraen gravitacionalmente, pero el efecto neto es una
fuerza que actúa hacia el centro de la Tierra. Podemos aplicar la segunda ley de Newton teniendo
en cuenta que la aceleración de caída de los cuerpos en la superficie de la Tierra es 𝑔.
𝐹 = 𝑚�̅� = 𝑚𝑔 (2.5)
Como ambas fuerzas son iguales sustituimos la fuerza,
𝑚𝑔 = 𝐺𝑚 𝑚𝑇
𝑟𝑇2 (2.6)
Si ésta es la única fuerza que actúa sobre el objeto o partícula, su aceleración en la superficie de
la Tierra es,
𝑔𝑇 = 𝐺 𝑚𝑇
𝑟𝑇2 (2.7)
La expresión anterior se puede generalizar para cualquier planeta conociendo su masa y su
radio,
𝑔 = 𝐺 𝑚
𝑟2 (2.8)
La aceleración de la gravedad varía con la altura en el caso de satélites o cuerpos que
orbitan a los planetas.
Para conocer la masa de la Tierra la despejamos de la ecuación (2.7),
𝑚𝑇 =𝑔𝑇 𝑟𝑇
2
𝐺=
(9.8𝑚𝑠2) (6.38 × 106 𝑚)2
(6.67 × 10−11𝑁𝑚2
𝑘𝑔2)= 5.98 × 1024 𝑘𝑔
Para calcular la gravedad a una cierta altura de la superficie del planeta consideramos que se
encuentra a una distancia (ℎ) sobre la superficie del planeta, y tenemos que 𝑅 = 𝑟 + ℎ.
Reescribimos la ecuación (2.6) considerando dicha distancia,
𝑔 = 𝐺 𝑚
(𝑟 + ℎ)2 (2.9)
El valor de 𝑮 fue medido por Henry Cavendish en 𝟏𝟕𝟗𝟖. Su medida ha sido repetida por
otros experimentos con diversas mejoras y refinamientos. En cualquier caso, medir 𝐺 siempre
resulta difícil a causa de la extraordinaria debilidad de la atracción gravitatoria.
39
El valor de 𝐺 se conoce solo con una precisión de 1 parte en 10000. Aunque fue una de las
primeras constantes físicas universales determinadas, sigue siendo una de las conocidas con
mayor exactitud.
En la figura 2.3 podemos observar el diagrama esquemático del experimento de Cavendish,
donde dos esferas están unidas mediante una barra horizontal ligera, que a su vez está suspendida
de su centro por una fibra delgada. Cuando una tercera esfera (𝐴) se acerca a una de las esferas
suspendidas, la fuerza gravitacional provoca que la última se mueva, y esto tuerce ligeramente
la fibra.
El fino movimiento es amplificado mediante un delgado haz luminoso que se dirige hacia un
espejo montado sobre la fibra, el haz se refleja sobre una escala. La determinación de la
intensidad de la fuerza que hace girar la fibra una cantidad específica, permitirá conocer la
magnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos.
Fig. 2.3 Diagrama del experimento de Cavendish.
2.2 LEYES DE KEPLER
Los movimientos de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes han sido observados durante
miles de años. En la historia antigua, los sabios consideraban la Tierra como el centro del
Universo (Modelo Geocéntrico). Este modelo, desarrollado extensamente por el astrónomo
griego Claudio Ptolomeo en el siglo II A.C., fue aceptado durante los siguientes 1400 años.
En 1543 el astrónomo polaco Nicolás Copérnico demostró que la Tierra y los otros planetas
giraban en órbitas circulares alrededor del Sol (Modelo Heliocéntrico).
El astrónomo danés Tycho Brahe llevó a cabo mediciones astronómicas precisas en un periodo
de 20 años, y proporcionó los datos para el modelo actualmente aceptado del sistema solar.
Las meticulosas observaciones realizadas por Brahe a los planetas y 777 estrellas, se hicieron
únicamente con un sextante y una brújula; el telescopio todavía no se había inventado.
A principios del siglo XVII, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 − 1630) propuso tres
leyes para describir el movimiento de los planetas. Esas leyes antecedieron a las leyes del
movimiento de Newton y su ley de la gravedad. Ellas brindaron una descripción mucho más
simple del movimiento planetario que cualquiera otra que se hubiera propuesto con anterioridad.
40
Si invertimos el curso de la historia, observamos que una de las leyes de Kepler es consecuencia
directa de las leyes de Newton.
El hecho de que Newton pudiera haber derivado las leyes de Kepler a partir de su propio trabajo
sobre la gravedad fue considerado como una confirmación de la mecánica newtoniana.
Fig. 2.4 Orbitas de los planetas en torno al Sol.
Kepler discípulo de Brahe, retomó los innumerables datos recopilados por su mentor y trabajó
con ellos muchos años intentando desarrollar un modelo matemático que concordara con los
datos observados. Al comienzo de esta investigación le parecía obvio a Kepler que las órbitas
de los planetas pudieran no ser circulares.
Sus estudios demostraron que la órbita de Marte era en realidad una elipse, con el Sol en uno de
sus focos. Esta conclusión posteriormente se generalizó para todos los planetas que giran
alrededor del Sol, y Kepler fue capaz de establecer varios enunciados matemáticos relacionados
con el sistema solar.
Hoy en día dichos enunciados se conocen como las leyes de Kepler del movimiento
planetario:
LEY DE LAS ÓRBITAS
Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus
focos.
La primera ley de Kepler o de las órbitas, se puede obtener a partir del inverso del cuadrado de
la atracción gravitacional en la ley de gravitación universal. La deducción es un poco
complicada, se puede demostrar que para cualquier objeto ligado a otro por una fuerza que varía
como 1
𝑟2, se moverá en una órbita elíptica y queda el objeto estacionario en uno de sus focos.
El círculo es un caso especial de elipse en el que los dos focos coinciden.
41
Fig. 2.5 Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos, llamados
focos (𝐹), es constante.
La órbita de la Tierra es casi circular; la distancia al Sol en el perihelio (punto más próximo)
es de 1.48 × 1011𝑚, y en el afelio (punto más lejano) de 1.52 × 1011𝑚. El semieje mayor,
que es la semisuma de estas distancias, vale 1.50 × 1011𝑚 para la órbita terrestre. La distancia
media Tierra-Sol se define como una unidad astronómica (UA), se utiliza frecuentemente
en los problemas físicos relacionados con el sistema solar.
1 𝑈𝐴 = 1.50 × 1011𝑚
Fig. 2.6 La forma elíptica de la órbita es el resultado de la fuerza del inverso del cuadrado de la gravedad.
En la figura 2.6 se observa un planeta de masa (𝑚) moviéndose en órbita alrededor del Sol,
cuya masa es (𝑀). Suponemos que (𝑀 ≫ 𝑚), por lo que el centro de masa del sistema formado
por el planeta y el Sol está aproximadamente en el centro del Sol.
La excentricidad (𝒆) de una elipse se puede definir como la proporción entre las medidas
de la distancia entre focos respecto al eje mayor de la elipse. Siendo (𝑅𝑝) la distancia en el
perihelio y (𝑅𝑎) en el afelio. En las órbitas planetarias, solo Mercurio tiene una excentricidad
grande. En la Tabla 3 se pueden observar los valores de las excentricidades para los diferentes
planetas.
La órbita de la figura 2.6 se describe en términos de su semieje mayor (𝑎) y su excentricidad
(𝑒), está ultima definida de modo que (𝑒𝑎) es la distancia desde el centro de la elipse al foco
(𝐹) o al (𝐹′). Una excentricidad de cero corresponde a un círculo, en el que los dos focos se
fusionan en un solo punto central.
42
Tabla 3. Excentricidad de las órbitas planetarias.
Las excentricidades de las órbitas planetarias no son tan grandes, por lo que, trazadas en papel
las órbitas parecen circulares. La excentricidad de la elipse se ha exagerado para una mayor
claridad y es de 0.74. La excentricidad de la órbita de la Tierra es de 0.0167.
LEY DE LAS ÁREAS
Una recta que enlaza un planeta con el Sol recorre áreas iguales; en el plano de la
órbita del planeta, en tiempos iguales.
La segunda ley de Kepler o de las áreas, indica que el planeta se moverá con más lentitud
cuando se encuentre más alejado del Sol y con mayor velocidad cuando esté más cerca del
Sol. La segunda ley de Kepler es equivalente a la ley de conservación del momento angular.
Es decir, un planeta se mueve más rápidamente cuando está más próximo al Sol que
cuando está más lejos, de tal modo que el área barrida por el radio vector en un determinado
intervalo de tiempo es la misma a lo largo de toda la órbita.
Fig. 2.7 Cuando el planeta está más cerca del Sol, se mueve más rápido, barriendo, la misma área sobre
un camino más largo en un determinado tiempo.
LEY DE LOS PERIODOS
El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje
mayor de su órbita.
Planeta Excentricidad
Mercurio 0.2060
Venus 0.0068
Tierra 0.0167
Marte 0.0934
Júpiter 0.0485
Saturno 0.0556
Urano 0.0472
Neptuno 0.0086
43
La tercera ley de Kepler o de los periodos se puede deducir a partir de la ley de gravitación
universal de Newton para el caso especial de una órbita circular. La fuerza gravitacional da lugar
a la aceleración radial,
∑𝐹𝑟 =𝐺𝑚𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟2=
𝑚𝑣2
𝑟 (2.10)
Se resuelve para 𝑣 y obtenemos,
𝑣 = √𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟 (2.11)
La distancia recorrida en una revolución es la circunferencia del círculo, la cual es igual a 2휋𝑟.
Entonces, la velocidad es la distancia recorrida durante una órbita, dividida entre el periodo,
𝑣 = √𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝑟=
2휋𝑟
𝑇 (2.12)
Ahora resolvemos para 𝑇,
𝑇 = 2휋√𝑟3
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙 (2.13)
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior obtenemos la tercera ley de Kepler
o de los periodos,
𝑇2 =4휋2
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙𝑟3 = 𝐾𝑠𝑟
3 (2.14)
Donde 𝐾𝑠 es una constante dada por,
𝐾𝑠 =4휋2
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙= 2.97 ×
10−19𝑠2
𝑚3 (2.15)
𝐾𝑠 es independiente de la masa del planeta, por lo cual la tercera ley de Kepler es válida para
cualquier planeta. Si consideramos la órbita de un satélite como la Luna alrededor de la Tierra,
la constante tiene un valor diferente, con la masa del Sol sustituida por la masa terrestre.
En este caso 𝐾𝑇 es igual a 4𝜋2
𝐺𝑀𝑇.
La tercera ley de Kepler nos da un método para medir la masa del Sol o de cualquier
objeto celeste alrededor del cual otro objeto se mueve en órbita. La constante 𝐾𝑠 incluye la
masa del Sol. El valor de esta constante se puede hallar al sustituir los valores del periodo y
radio orbital y despejar 𝐾𝑠. La masa del Sol es,
𝑀𝑠𝑜𝑙 =4휋2
𝐺𝐾𝑠 (2.16)
44
Este mismo procedimiento se puede usar para calcular la masa de la Tierra, considerando el
periodo y radio orbital de la Luna, y también la masa de otros planetas del sistema solar que
poseen lunas. En la Tabla 4 podemos observar un conjunto de datos planetarios útiles, donde la
última columna verifica que 𝑇2/𝑟3 es constante.
Tabla 4. Datos Planetarios
2.3 SATÉLITES
En las órbitas planetarias influyen las interacciones gravitacionales con otros planetas;
las leyes de Kepler ignoran esos pequeños efectos. Aun cuando dichas leyes fueron derivadas a
partir del movimiento de los planetas, se aplican también a los satélites en órbita terrestres.
Muchos satélites, como los usados para telecomunicaciones, están colocados en una órbita
geoestacionaria o geosincrónica, es decir, una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra
cuyo perfil es igual al periodo de rotación terrestre.
Un satélite en órbita geoestacionaria permanece en un punto determinado sobre el ecuador,
a los observadores que están en el suelo les parece que flota inmóvil sobre ese punto, es decir,
un satélite que ha sido colocado directamente arriba del ecuador describirá un círculo una vez
al día en sincronía con la Tierra.
Visto desde cualquier punto en el globo terrestre, el satélite permanecerá en un lugar fijo
en el cielo y como consecuencia, en comunicación continua línea-señal con una estación
terrestre o una antena de plato. Debido a sus posiciones fijas respecto a la superficie de la
Tierra, los satélites geoestacionarios se usan como estaciones retransmisoras de señales de
comunicaciones. Cuando un satélite gira alrededor de la Tierra en su trayectoria elíptica, tanto
su velocidad que fija su energía cinética (𝐾), como su distancia desde el centro de la Tierra, que
fija su energía potencial gravitacional (𝑈), fluctúan con periodos fijos. Sin embargo, la energía
mecánica (𝐸) del satélite permanece constante.
Cuerpo Masa [𝑘𝑔]
Radio
Medio [𝑚]
Periodo [𝑠]
Distancia
media
desde el Sol [𝑚]
𝑻𝟐/𝒓𝟑
[𝑠2/𝑚3]
Mercurio 3.18 × 1023 2.43 × 106 7.60 × 106 5.79 × 1010 2.97 × 10−19
Venus 4.88 × 1024 6.06 × 106 1.94 × 107 1.08 × 1011 2.99 × 10−19
Tierra 5.98 × 1024 6.37 × 106 3.15 × 107 1.49 × 1011 2.97 × 10−19
Marte 6.42 × 1023 3.37 × 106 5.94 × 107 2.28 × 1011 2.98 × 10−19
Júpiter 1.90 × 1027 7.15 × 107 3.74 × 108 7.78 × 1011 2.97 × 10−19
Saturno 5.68 × 1026 5.85 × 107 9.35 × 108 1.43 × 1012 2.99 × 10−19
Urano 8.68 × 1025 2.33 × 107 2.64 × 109 2.87 × 1012 2.95 × 10−19
Neptuno 1.03 × 1026 2.21 × 107 5.22 × 109 4.50 × 1012 2.99 × 10−19
Plutón ≈ 1 × 1023 ≈ 3 × 106 7.82 × 109 5.91 × 1012 2.96 × 10−19
Luna 7.36 × 1022 1.74 × 106 − − −
Sol 1.99 × 1030 6.96 × 108 − − −
45
La energía potencial del sistema está dada por,
𝑈 = −𝐺𝑀𝑚
𝑟 (2.17)
(Con 𝑈 = 0 para separación infinita). Aquí (𝑟) es el radio de la órbita, con la suposición de que
por ahora es circular, (𝑀) y (𝑚) son las masas de la Tierra y el satélite, respectivamente.
Fig. 2.8 Satélites geoestacionarios en órbita terrestre. Los satélites tienen la misma velocidad angular
que la Tierra, por lo cual siempre están directamente sobre un punto.
Para encontrar la energía mecánica de un satélite en órbita, es necesario conocer tanto la energía
cinética como potencial del mismo,
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 (2.18)
La energía potencial es la debida al campo gravitatorio terrestre,
𝐸𝑝 = −𝐺𝑀 𝑚
𝑟 (2.19)
Para calcular la energía cinética basta con obtener el valor de la velocidad,
𝑣 = √𝐺 𝑀
𝑟 (2.20)
De modo que la energía cinética queda expresada como,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚(√
𝐺 𝑀
𝑟 )
2
=1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.21)
Sustituyendo las ecuaciones (2.19) y (2.20) en la (2.21) tenemos,
𝐸𝑚 =1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟− 𝐺
𝑀 𝑚
𝑟=
1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.22)
Reduciendo términos en la ecuación (2.22), la energía mecánica de un satélite es,
46
𝐸𝑚 =1
2𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.23)
La energía mecánica de un satélite de masa (𝑚) orbitando en torno a un planeta de masa (𝑀)
en órbita circular de radio, recibe el nombre de energía orbital (𝐸𝑜𝑟𝑏) y toma un valor de,
𝐸𝑜𝑟𝑏 = −1
2 𝐺
𝑀 𝑚
𝑟 (2.24)
Esta es la energía total que posee un satélite orbitando en una órbita de radio 𝑟, siendo su valor
como se observa la mitad de su energía potencial gravitatoria.
Esta ecuación nos indica que la energía total de un satélite en órbita, depende sólo del
semieje mayor de su órbita, no de su excentricidad. Podemos concluir que la energía total de
una partícula de masa (𝑚) moviéndose alrededor de una masa mucho mayor (𝑀) a lo largo de
un círculo de radio (𝑟) es negativa y varía en razón inversa del radio del círculo.
En general, puede demostrarse que en todo movimiento en el cual la masa (𝑚) describe una
trayectoria que lo mantiene a una distancia finita de (𝑀), la energía total es negativa. A grandes
distancias la energía potencial es prácticamente cero y la energía total es igual a la energía
cinética, que siempre es positiva.
Cuando la energía total es negativa, el cuerpo no puede alejarse grandes distancias del centro de
atracción. Cabe la posibilidad de un movimiento planetario en el cual la energía total es cero
o es positiva, pero en esos casos la trayectoria de (𝑚) no es una curva cerrada sino abierta:
es decir, la masa (𝑚) no se mueve de modo que pase repetidamente por el mismo lugar varias
veces.
Dado que los satélites son lanzados desde la superficie terrestre, ya parten con una energía
potencial, dada por la distancia desde el punto de lanzamiento hasta la superficie terrestre.
También tienen cierta energía cinética asociada a la traslación y rotación terrestre pero su valor
es mucho menor que la energía potencial gravitatoria correspondiente.
Considerando lo anterior, es posible encontrar una expresión analítica para la energía necesaria
para que alcance la órbita deseada. Esta energía se suministrará en forma de energía cinética,
ya que la energía mecánica se conserva según el principio de conservación de la energía.
Denominaremos 𝐸𝑚𝑙 a la energía mecánica en el momento del lanzamiento que es igual a la
energía orbital que ya se había definido anteriormente como la energía total que posee un satélite
orbitando en una órbita,
𝐸𝑚𝑙 = 𝐸𝑜𝑟𝑏 (2.25)
Las energías cinética y potencial en el momento del lanzamiento son iguales a la energía orbital,
𝐸𝑐𝑙 + 𝐸𝑝𝑙 = 𝐸𝑜𝑟𝑏 (2.26)
Los valores de la energía potencial en el momento del lanzamiento (𝐸𝑝𝑙) y la energía orbital
(𝐸𝑜𝑟𝑏) son conocidos. Siendo 𝑅𝑇 y 𝑀𝑇 el radio y la masa de la Tierra respectivamente.
Sustituyendo sus valores en la ecuación anterior se obtiene,
47
𝐸𝑐𝑙 − 𝐺𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇=
1
2𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑟 (2.27)
Despejando 𝐸𝑐𝑙 ,
𝐸𝑐𝑙 = −1
2𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑟+ 𝐺
𝑀𝑇 𝑚
𝑅𝑇= 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (
1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.28)
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.29)
Dado que esta energía es cinética, resulta inmediato calcular la velocidad con la que debe
lanzarse el satélite para ponerlo en órbita,
𝐸𝑐𝑙 =1
2 𝑚𝑣𝑙
2 (2.30)
𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) =
1
2 𝑚𝑣𝑙
2 (2.31)
𝑣𝑙2 = 𝐺
2 𝑀𝑇 𝑚
𝑚 (
1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.32)
𝑣𝑙 = √2 𝐺 𝑀𝑇 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) (2.33)
La 𝑟 en este caso se refiere al radio de la órbita, respecto al centro de la Tierra, por lo que si se
referencia por una altura ℎ sobre la superficie terrestre, se cumplirá 𝑟 = 𝑅𝑇 + ℎ.
EJEMPLO 2
Se desea colocar un satélite de comunicaciones de 200 kg de masa en una órbita situada a
24 km de altura. a) ¿Qué energía deberá suministrarse al mismo para que quede en esa
órbita? b) Calcula la velocidad de lanzamiento necesaria.
a) Tal y como se ha visto, la energía mecánica se conserva en todo momento, y la energía
que deberá suministrarse en el momento del lanzamiento será la antes calculada; el radio de
la órbita será igual al radio de la tierra más la altura de la órbita respecto a la superficie.
𝐺 = 6.67 × 10−11 𝑁 𝑚2/𝑘𝑔2
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (
1
𝑅𝑇−
1
2(𝑅𝑇 + ℎ))
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺 𝑀𝑇 𝑚 (1
𝑅𝑇−
1
2(𝑅𝑇 + ℎ))
48
𝐸𝑐𝑙 = 𝐺(5.98 × 1024 𝑘𝑔)(200 𝑘𝑔) (1
6.38×106 𝑚−
1
2(6.38×106 𝑚+24×103 𝑚))
𝐸𝑐𝑙 = 6.27 × 109 𝐽
b) La velocidad viene dada por,
𝑣𝑙 = √2 𝐺 𝑀𝑇 (1
𝑅𝑇−
1
2𝑟) = √2 𝐺 𝑀𝑇 (
1
𝑅𝑇−
1
2(𝑅𝑇 + ℎ))
Sustituyendo,
𝑣𝑙 = √2 𝐺(5.98 × 1024 𝑘𝑔) (1
6.38 × 106 𝑚−
1
2(6.38 × 106 𝑚 + 24 × 103 𝑚))
𝑣𝑙 = 7921.15 𝑚/𝑠2
EJEMPLO 3
Sabiendo que la Luna tiene una masa de 𝟕. 𝟏𝟖 × 𝟏𝟎𝟐𝟐 𝒌𝒈 y que su radio es
aproximadamente la cuarta parte del radio terrestre (𝑹𝑻 = 𝟔𝟑𝟕𝟎 𝒌𝒎). Calcula la
velocidad de lanzamiento necesaria para colocar el satélite del ejercicio resuelto anterior
en órbita en torno a la Luna. 𝑮 = 𝟔. 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑵 𝒎𝟐/𝒌𝒈𝟐
Según el enunciado, el radio de la Luna será 𝑅𝐿 =𝑅𝑇
4=
6370
4= 1592.5 𝑘𝑚. La velocidad
necesaria para colocar el satélite en órbita selenita será en este caso,
𝑣𝑙 = √2 𝐺 𝑀𝐿 (1
𝑅𝐿−
1
2𝑟) = √2 𝐺 𝑀𝐿 (
1
𝑅𝐿−
1
2(𝑅𝐿 + ℎ))
Sustituyendo,
𝑣𝑙 = √2 𝐺(7.35 × 1022 𝑘𝑔) (1
1.73 × 106 𝑚−
1
2(1.73 × 106 𝑚 + 24 × 103 𝑚))
𝑣𝑙 = 1694.85 𝑚/𝑠
49
PROBLEMAS
Problema 2.1
Dos pelotas, una de 4 kg y otra de 2 kg, están colocadas de tal modo que sus centros quedan
separados por una distancia de 40 cm. ¿Cuál es la fuerza con la que se atraen mutuamente?
Problema 2.2
Calcula la fuerza gravitacional con la que se atraen dos personas, si una de ellas tiene una masa
de 60 kg y la otra de 70 kg, la distancia que hay entre ellas es de 1.5 m.
Problema 2.3
Calcula la fuerza con la que se atraen dos cuerpos cuyos pesos son de 98 N y 300 N al haber
entre ellos una distancia de 50 cm.
Problema 2.4
¿A qué distancia se encuentran dos masas cuyos valores son 4 × 10−2 kg y 9 × 10−3 kg,
si la fuerza con la que se atraen es de 9 × 10−9 N?
Problema 2.5
¿Qué distancia debe haber entre un cuerpo de 600 g de masa y otro de 400 g para que se atraigan
con una fuerza de 2 × 10−5 dinas?
Problema 2.6
Calcula la masa de una silla si la fuerza gravitacional con que se atrae con una mesa de 20 kg es
de 40 × 10−11 𝑁 y la distancia a la que se encuentran uno del otro es de 4 m.
Problema 2.7
Determina la fuerza gravitacional que ejercerá la Tierra sobre un cuerpo cuya masa es de 1 kg
al estar colocado en un punto donde el radio terrestre es de 6.336 × 106 𝑚. La masa de la Tierra
es de 5.9 × 1024 𝑘𝑔.
50
Problema 2.8
En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad es de 9.8 𝑚/𝑠2. Si el radio de la
Tierra es de 6.38 × 106 𝑚, calcule la masa de la Tierra.
Problema 2.9
¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona hasta
la mitad del valor que tiene estando en la superficie?
Problema 2.10
Una persona con una masa de 100 kg viaja en una estación espacial que se mueve en una órbita
circular 900 km por arriba de la superficie terrestre. a) ¿Cuál es la velocidad de la estación
espacial? b) ¿Cuál es el peso del pasajero?
Problema 2.11
¿Cuál debe ser la altitud de todos los satélites sincrónicos que están colocados en órbita
alrededor de la Tierra?
Problema 2.12
¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto a la altura de la órbita del transbordador
espacial, unos 400 km por encima de la superficie terrestre?
Problema 2.13
La Estación Espacial Internacional se mueve en una órbita prácticamente circular alrededor de
la Tierra, a 385 km por encima de su superficie. En un lugar determinado, calcular cuánto tiempo
hay que esperar entre dos avistamientos consecutivos de la estación.
Problema 2.14
Aplicando la ley de gravitación universal encuentre un valor aproximado de la masa de la Tierra.
Problema 2.15
¿A qué distancia sobre la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona hasta la mitad
del valor que tiene estando en la superficie?
51
Problema 2.16
Calcula la magnitud de la fuerza gravitacional mutua entre la Tierra y la Luna. Supondremos
que ambas son esferas homogéneas.
Problema 2.17
Júpiter es el planeta más grande del Sistema Solar y tiene dos lunas, Io y Europa. Io se encuentra
a una distancia promedio de 4.22 × 105 𝑘𝑚 de Júpiter y tiene un periodo orbital de 1.77 días,
calcula la masa de Júpiter.
Problema 2.18
Kepler notó que el periodo de Marte era de aproximadamente 687 días (terrestres),
que es (687/365 d)=1.88 años. Determina la distancia de Marte desde el Sol, considerando
la Tierra como referencia.
Problema 2.19
Determine la masa del Sol a partir de la distancia de la Tierra al Sol.
Problema 2.20
¿Cuál será el valor de la gravedad en el Sol si su radio es 110 veces el de la Tierra, y su masa
330 000 veces la de ésta?
52
CUESTIONARIO I
1. ¿Qué fuerza es mayor: ¿la que ejerce el Sol sobre la Tierra, o la de la Tierra sobre el Sol?
Realice los cálculos necesarios.
2. ¿Cómo varía la distancia entre un punto de la superficie terrestre y el centro a medida
que se mueve del ecuador a los polos? ¿Cómo debe variar entonces la atracción
gravitacional de la Tierra?
3. ¿Cómo varía el radio de rotación de un punto al moverse del ecuador hacia los polos?
¿Cómo varía entonces la fuerza centrípeta sobre un cuerpo en la superficie terrestre?
¿Qué efecto tiene esta variación sobre el peso efectivo de un cuerpo?
4. Teniendo en cuenta las preguntas anteriores, ¿Cómo varia la aceleración de caída de un
cuerpo al desplazarnos del ecuador hacia los polos? ¿Dónde tiene su valor mínimo
y máximo?
5. ¿Cuál es la fuerza de gravitación que actúa sobre una cápsula espacial de 2456 𝑘𝑔 que
gira alrededor de la Tierra a una distancia de dos radios terrestres del centro de la Tierra?
La masa de la Tierra es 𝑚𝑇 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔.
6. Calcule la fuerza total que ejercen la Tierra y el Sol (𝑚sol = 1.99 × 1030 𝑘𝑔) sobre la
Luna (𝑚𝐿𝑢𝑛𝑎 = 7.35 × 1022 𝑘𝑔) debido a la gravitación universal, suponiendo que
están en ángulos rectos entre sí. 𝐹𝑇 = √𝐹𝑇𝐿2 + 𝐹𝑆𝐿
2. Consideramos la distancia
Tierra-Luna en 3.84 × 108 𝑚, y Luna-Sol en 1.50 × 1011 𝑚.
7. ¿Cuál es el valor efectivo de g en la cima del monte Everest 8848 𝑚 por encima de la
superficie de la Tierra? Es decir, ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad de los
objetos que se dejan en caída libre a esa altura?
8. Calcule la fuerza gravitacional entre una mujer de 78 𝑘𝑔 y un hombre de 120 𝑘𝑔
que están de pie a 5 𝑚 de distancia.
9. Calcule la fuerza de gravedad de una nave espacial que se encuentra a 16700 𝑘𝑚
sobre la superficie de la Tierra. Su masa es de 4500 𝑘𝑔.
10. Calcula la aceleración de la gravedad en la Luna. El radio lunar es de aproximadamente
1.74 × 106 𝑚, y su masa es de 7.35 × 1022 𝑘𝑔.
53
CUESTIONARIO II
1. Un planeta hipotético tiene un radio igual a 2.5 veces el de la Tierra, pero tiene la misma
masa. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en su superficie?
2. Calcule el valor efectivo de 𝑔, la aceleración de la gravedad a a) 3200 𝑚, y b) 3200 𝑘𝑚
sobre la superficie de la Tierra.
3. Un final exótico para las estrellas masivas es el de una estrella de neutrones, que podría
tener una masa de hasta 5 veces la masa de nuestro Sol contenida en una esfera de
aproximadamente 10 𝑘𝑚 de radio. Estima la gravedad superficial de dicha estrella de
neutrones.
4. A veces la gente pregunta qué es lo que mantiene a un satélite en su órbita alrededor de
la Tierra. ¿Cómo contestaría usted a esa pregunta? Explique en detalle.
5. ¿Cuál es la fuerza de gravedad que actúa sobre una cápsula espacial de 2000 𝑘𝑔 que
gira alrededor de la Tierra a una distancia de dos radios terrestres del centro de la Tierra?
La masa de la Tierra es 𝑚𝑇 = 5.98 × 1024 𝑘𝑔.
6. Calcule la fuerza neta que ejercen la Tierra y el Sol (𝑚s = 1.99 × 1030 𝑘𝑔) sobre la
Luna (𝑚𝐿 = 7.35 × 1022 𝑘𝑔) debido a la gravitación universal, suponiendo que están
en ángulos rectos entre sí.
7. ¿Cuál es el valor efectivo de g en la cima del monte Everest 8848 𝑚 (29028 𝑓𝑡) por
encima de la superficie de la Tierra? Es decir, ¿Cuál es la aceleración debida a la
gravedad de los objetos que se dejan en caída libre a esa altura?
8. Calcule la fuerza gravitacional entre una mujer de 60 𝑘𝑔 y un hombre de 80 𝑘𝑔 que
están de pie a 5 𝑚 de distancia.
9. Calcule la fuerza de gravedad de una nave espacial que se encuentra a 12800 𝑘𝑚
(2 radios terrestres) sobre la superficie de la Tierra. Su masa es de 1400 𝑘𝑔.
10. Calcula la aceleración de la gravedad en la Luna. El radio lunar es aproximadamente
1.74 × 106 𝑚, y su masa es de 7.35 × 1022 𝑘𝑔
11. Escribe tres ejemplos que se puedan explicar con las Leyes de Kepler.
54
12. Completa la siguiente tabla:
Objeto Masa Terrestre (kg) Radio Terrestre (m) Gravedad
(𝒎/𝒔𝟐)
Masa
(kg) Peso (N)
TIERRA
𝟓. 𝟗𝟖 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟔. 𝟑𝟕 × 𝟏𝟎𝟔 𝟗. 𝟖 𝟕𝟎 𝟔𝟖𝟔
SOL
333000 = 1.99 × 1030 110 =
70
MERCURIO
0.055 = 3.28 × 1023 0.38 =
70
VENUS
0.82 = 0.95 =
70
MARTE
0.11 = 0.53 =
70
JÚPITER
318 = 11.0 =
70
SATURNO
95.2 = 9.2 =
70
URANO
14.5 = 3.7 =
70
NEPTUNO
17.3 = 3.47 =
70
55
CUESTIONARIO III
1. La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula el peso de una persona en la superficie de la Luna que tiene una masa de
97 𝑘𝑔.
2. Calcula la fuerza gravitacional de dos cuerpos, si una de ellas tiene una masa de 90
y 120 𝑘𝑔 respectivamente. Se encuentran separadas una distancia de a) 1 𝑘𝑚, b) 500 𝑚,
c) 100 𝑚, d) 10 𝑚, e) 1 𝑚 y f) 10 𝑐𝑚.
3. A que distancia se encuentran dos cuerpos con masas de 4 × 10−2 𝑘𝑔 y 19 × 10−3 𝑘𝑔,
si la fuerza con que se atraen es de 20 × 10−4 𝑁.
4. ¿Qué distancia debe de haber entre un cuerpo de 1200 𝑘𝑔 y otro de 2 𝑇 para que
se atraigan con una fuerza de 34 × 10−3 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑠?
5. Calcula la masa de un objeto si la fuerza gravitacional con que se atrae con otro cuerpo
de 200 𝑘𝑔 es de 450 × 10−3 𝑁 a una distancia de 618.72 𝑦𝑑.
6. Una barra metálica cuyo peso es de 850 𝑁 se acerca a otra de 1780 𝑁 hasta que la
distancia entre sus centros de gravedad sea de 90 𝑐𝑚. Calcula con que fuerza se atraen.
7. ¿A qué distancia se encuentran dos elefantes cuyas masas son 1.2 × 103 𝑘𝑔
y 1.5 × 103 𝑘𝑔, se atraen con una fuerza gravitacional de 7.8 × 10−9 𝑁?
8. Determine la masa de un cuerpo, si la fuerza gravitacional con que se atrae con otro
cuerpo de 324 𝑘𝑔, es de 89 × 10−10 𝑁 a 1 metro de distancia.
9. Calcula la masa de la Tierra considerando que su radio es de 6400 𝑘𝑚.
10. ¿A qué distancia por arriba de la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona
hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie terrestre?
56
CAPÍTULO III CENTRO DE MASA
3.1 CENTRO DE MASA
El movimiento de un cuerpo puede representarse por el movimiento de un punto, el análisis del
movimiento de uno o más cuerpos, se simplifica si se determina el centro de masa. La ventaja
que tiene a los efectos prácticos es que podemos ignorar la estructura interna del cuerpo
y considerarlo reducido a su centro de masa con todas las fuerzas externas aplicadas a dicho
punto. Así, al lanzar una piedra al aire consideramos su peso aplicado en el centro de masa,
que es el que describe su trayectoria parabólica. O al hablar de la trayectoria de la Tierra
alrededor del Sol, nos referimos a la trayectoria descrita por su centro de masa de la Tierra.
Fig. 3.1 Fotografía estroboscópica de un clavadista.
La cantidad de movimiento de un sistema aislado se conserva a pesar de que algunas partes del
sistema pueden interactuar con otras partes de mismo; las interacciones internas transfieren la
cantidad de movimiento entre las partes del sistema, pero no cambian la cantidad del
movimiento total del sistema. Podemos definir un punto llamado centro de masa (CM) que sirve
como un lugar promedio del sistema, es decir, el centro de masa de un sistema discreto
o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera
aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema (ver figura 3.1).
De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el
centro de masa es un sistema equivalente al original. El centro de masa de un sistema aislado
debe moverse con velocidad constante, independientemente de que tan complicados sean los
movimientos de las partes del sistema.
Por lo tanto, podemos estudiar la masa del sistema como si estuviera concentrada en su totalidad
en el centro de masa como si fuera una partícula puntual. El centro de masa de un objeto no
se ubica necesariamente dentro del objeto: para algunos objetos se localiza fuera del
mismo; un ejemplo de esto podría ser un toroide o una herradura.
57
Para el caso de los sistemas que no están aislados toda la masa del sistema está concentrada en
una sola partícula puntual ubicada en el centro de masa. El movimiento de esa partícula puntual
ficticia está determinado por la segunda ley de Newton, donde la fuerza neta es la suma de todas
las fuerzas externas que actúan sobre cualquier parte del sistema.
En el caso de un sistema complejo formado de muchas partes que interactúan entre sí,
el movimiento del centro de masa es considerablemente más sencillo que el movimiento de una
partícula cualquiera del sistema.
Una manera sencilla de obtener el centro de masa en figuras simétricas y homogéneas, consiste
en observar los ejes y los planos de simetría. El centro de masa debe encontrarse en algún
punto de dicha figura. En el caso del semicírculo, el eje de coordenadas 𝒚 es un eje de
simetría que divide al semicírculo en dos cuartos de círculo simétricos. Por lo tanto, el centro
de masa se encuentra en el eje 𝑦, su coordenada 𝑥 por lo tanto será nula 𝑥𝐶𝑀 = 0.
En los casos en los que haya más de un elemento de simetría, el centro de masa debe pertenecer
a cada uno de dichos elementos de simetría, y estará por lo tanto en la intersección de dichos
elementos de simetría. En esto casos podríamos conocer la posición del centro de masa sin
necesidad de realizar ningún cálculo.
En la figura 3.2 se muestran los elementos de simetría de diversas figuras y la posición del
centro de masa de cada una de ellas.
Fig. 3.2 Figuras simétricas homogéneas con sus centros de masa marcados (CM).
Para un sistema compuesto de dos partículas, el centro de masa queda en algún punto sobre una
línea entre las dos partículas. Para el caso de dos partículas iguales de masas 𝑚1 y 𝑚2 que se
localizan en las posiciones x1 y x2, respectivamente, tenemos que la ubicación del centro de masa
viene dada como,
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2
𝑚1 + 𝑚2 (3.1)
Si las masas de las partículas son iguales, el centro de masa del sistema se encuentra en el
punto medio entre estas dos. Para el caso en que las masas sean diferentes el centro de
masa estará más cerca de la partícula de mayor masa.
58
El centro de masa es un promedio ponderado de las posiciones de las dos partículas.
La posición de una partícula con más masa cuenta más, ya que es portadora de un mayor peso
estadístico, que la posición de una partícula con una menor masa. Podemos reescribir la ecuación
3.1 como un promedio ponderado,
𝑥𝐶𝑀 =𝑚1
𝑀𝑥1 +
𝑚2
𝑀𝑥2 (3.2)
Aquí 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 representa la masa total del sistema. El peso estadístico que se usa para la
ubicación de cada partícula es la masa de esa partícula como una fracción de la masa total del
sistema.
Supongamos que las masas 𝑚1 y 𝑚2 son iguales, entonces esperamos que el centro de masa se
ubique a la mitad de la distancia entre las dos partículas. Si 𝑚1 = 2𝑚2 entonces el centro de
masa está más cerca de la partícula de masa 𝑚1, entonces el centro de masa del sistema está dos
veces más alejado de 𝑚2 que de 𝑚1.
En la figura 3.3 observamos a) dos partículas de igual masa ubicadas en las posiciones 𝑥1 y 𝑥2
respecto al origen. El centro de masa se encuentra en el punto medio entre las dos. b) Dos
partículas de masa diferente. El centro de masa está más cerca de la partícula de mayor masa.
Fig. 3.3 a) Centro de masa de dos partículas de igual masa. b) Centro de masa de dos partículas de
diferente masa.
Para un sistema de 𝑁 partículas localizadas en ubicaciones arbitrarias en el espacio
tridimensional, la definición del centro de masa del sistema es una generalización de la ecuación
anterior. La definición del centro de masa en forma vectorial es,
�̅�𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖�̅�𝑖
𝑀 (3.3)
La posición de una partícula en coordenadas 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 y 𝑧𝑖 está dada por un vector de posición (𝑟 𝑖),
𝑟 𝑖 = 𝑥𝑖 𝑖̂ + 𝑦𝑖 𝑗̂ + 𝑧𝑖 �̂� (3.4)
Aquí, el índice identifica la partícula 𝑖̂, 𝑗̂ y �̂� son vectores unitarios que apuntan respectivamente,
en la dirección positiva de los ejes 𝑥, 𝑦 y 𝑧. El centro de masa en forma vectorial está dado por
un vector de posición (𝑟 𝐶𝑀),
59
𝑟 𝐶𝑀 = 𝑥𝐶𝑀 𝑖̂ + 𝑦𝐶𝑀 𝑗̂ + 𝑧𝐶𝑀 �̂� (3.5)
Para una definición en forma de componentes,
𝑥𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑀 (3.6)
𝑦𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑀 (3.7)
𝑧𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖𝑧𝑖
𝑀 (3.8)
Donde 𝑖 = 1, 2, 3, … ,𝑁 y 𝑀 = ∑𝑚𝑖. La notación ∑𝑚𝑖𝑥𝑖 se define como,
∑𝑚𝑖𝑥𝑖 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑚𝑁𝑥𝑁 (3.9)
Para partículas que se encuentran en un espacio bidimensional, sólo se utiliza dos de estas
ecuaciones (plano x-y) y hallamos las componentes x e y del centro de masa. Para obtener el
centro de masa de un sistema a partir de las áreas de figuras geométricas se sustituyen los
cocientes de las áreas por las relaciones entre las masas:
𝑥𝐶𝑀 =𝐴1
𝐴𝑇𝑥𝐶𝑀1
+𝐴2
𝐴𝑇𝑥𝐶𝑀2
(3.10)
𝑦𝐶𝑀 =𝐴1
𝐴𝑇𝑦𝐶𝑀1
+𝐴2
𝐴𝑇𝑦𝐶𝑀2
(3.11)
El cálculo del centro de masa es más sencillo si se coloca el origen en el centro geométrico
de la figura en el plano (𝒙, 𝒚). Si el sistema contiene una o más figuras, coloque el origen de
coordenadas sobre la localización de una de las figuras (ver figura 3.4).
Fig. 3.4 Ejemplo de dos figuras en un plano (𝑥, 𝑦) para calcular el centro de masa por áreas.
3.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Para entender el movimiento de un cuerpo existen muchos elementos a considerar, al observar
un cuerpo resulta fácil distinguir si está en movimiento. Un cuerpo está en movimiento cuando
60
cambia de posición, el movimiento es relativo dependiendo del punto de referencia, se debe de
considerar siempre un punto de referencia.
El movimiento de un objeto o de un sistema de partículas se puede describir en función
del movimiento del centro de masa, que puede considerarse como el movimiento global del
sistema más el movimiento de las partículas individuales en el sistema relativo al centro de
masa.
En la figura 3.5 observamos un pino de boliche lanzado al aire. Mientras el pino está en el aire
su centro de masa sigue una trayectoria parabólica, la misma que seguiría una partícula puntual.
Las otras partes del pino rotan en torno a este punto cuando el pino se mantiene en el aire.
Fig. 3.5 El movimiento del centro de masa (CM) representa el movimiento de todo el cuerpo.
Una vez obtenida la posición del centro de masa del sistema podemos calcular la velocidad de
dicho centro en relación con las velocidades de las diversas partes del sistema.
Durante un intervalo de tiempo (∆𝑡), el desplazamiento del sistema es,
∆�̅�𝑖 = �̅�𝑖∆𝑡 (3.12)
El desplazamiento del centro de masa del sistema es,
∆�̅�𝐶𝑀 = �̅�𝐶𝑀∆𝑡 (3.13)
A partir de la definición del centro de masa, los desplazamientos deben estar relacionados como,
∆�̅�𝐶𝑀 =∑𝑚𝑖∆�̅�𝑖
𝑀 (3.14)
ó bien,
𝑀∆�̅�𝐶𝑀 = 𝑚1∆�̅�1 + 𝑚2∆�̅�2 + ⋯+ 𝑚𝑛∆�̅�𝑛 (3.15)
Podemos reemplazar cada desplazamiento por una velocidad y el intervalo de tiempo ∆𝑡,
𝑀�̅�𝐶𝑀∆𝑡 = 𝑚1�̅�1∆𝑡 + 𝑚2�̅�2∆𝑡 + ⋯+ 𝑚𝑛�̅�𝑛∆𝑡 (3.16)
El intervalo de tiempo ∆𝑡 es el mismo en todos los términos. Se dividen ambos lados entre ∆𝑡,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯+ 𝑚𝑛�̅�𝑛 (3.17)
61
La cantidad de movimiento es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe
el movimiento de un cuerpo. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se define como
el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.
La cantidad total de movimiento de un sistema se define como la suma de las cantidades de
movimiento individuales de las partículas que lo forman,
�̅� = ∑�̅�𝑖 = �̅�1 + �̅�2 +…+ �̅�𝑛 (3.18)
Con lo anterior queda demostrado que la cantidad de movimiento total de un sistema es igual
a la masa total del sistema multiplicado por la velocidad del centro de masa,
�̅� = 𝑀 �̅�𝐶𝑀 (3.19)
En el movimiento bidimensional, generalmente es más fácil trabajar con las componentes de las
cantidades de movimiento en las direcciones 𝑥 e 𝑦,
𝑝𝑥 = 𝑀𝑣𝐶𝑀𝑋 (3.20)
𝑝𝑦 = 𝑀𝑣𝐶𝑀𝑦 (3.21)
Donde 𝑝𝑥 y 𝑝𝑦 son las componentes (𝑥, 𝑦) de la cantidad de movimiento total del sistema.
El movimiento del centro de masa para un sistema de partículas está relacionado con la
fuerza neta que actúa sobre el sistema como un todo. Podemos demostrar esto examinando
el movimiento de un sistema de 𝑛 partículas de masa total (𝑀).
Para determinar la aceleración del centro de masa (�̅�𝐶𝑀), se calcula primero su velocidad,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = ∑𝑚𝑖�̅�𝑖 (3.22)
𝑀 �̅�𝐶𝑀
∆𝑡= 𝑚1
�̅�1∆𝑡
+ 𝑚2
𝑑�̅�2∆𝑡
+ ⋯ = ∑𝑚𝑖 �̅�𝑖∆𝑡
(3.23)
Se obtiene la velocidad respecto de la posición,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ = ∑𝑚𝑖�̅�𝑖 (3.24)
Una nueva diferenciación nos da las aceleraciones,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = 𝑚1�̅�1 + 𝑚2�̅�2 + ⋯ = ∑𝑚𝑖�̅�𝑖 (3.25)
Donde (�̅�𝑖) es la aceleración de la partícula 𝑖-ésima y (�̅�𝐶𝑀) es la aceleración del centro de masa
del sistema. Sin embargo, de acuerdo con la segunda ley de Newton (𝑚𝑖�̅�𝑖) es igual a la suma
de las fuerzas que actúan sobre la partícula 𝑖, por lo que,
∑𝑚𝑖�̅�𝑖 = ∑�̅�𝑖 (3.26)
Donde el término de la derecha es la suma de todas las fuerzas que actúan en cada partícula del
sistema.
62
Algunas de estas fuerzas son internas (ejercidas sobre la partícula del sistema por otra partícula
del mismo sistema) y otras son externas (ejercidas sobre una partícula del sistema por una
partícula que no está en el sistema). Entonces,
𝑀 �̅�𝐶𝑀 = ∑�̅�𝑖𝑖𝑛𝑡+ �̅�𝑖𝑒𝑥𝑡 (3.27)
De acuerdo con la tercera ley de Newton, las fuerzas se presentan emparejadas acción- reacción.
Así, para cada fuerza interna que actúa sobre una partícula existe una fuerza igual pero opuesta
que actúa sobre otra partícula. Cuando se suman todas las fuerzas internas, cada pareja acción-
reacción suma cero, de forma que �̅�𝑖𝑖𝑛𝑡= 0, con lo cual la ecuación anterior se convierte en,
�̅�𝑛𝑒𝑡𝑎𝑒𝑥𝑡= ∑�̅�𝑖𝑒𝑥𝑡
= 𝑀 �̅�𝐶𝑀 (3.28)
Esta ecuación nos dice que la masa total (𝑀) multiplicada por la aceleración del centro de masa
(�̅�𝐶𝑀) es igual a la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema. Podemos concluir que
el centro de masa de un sistema se mueve como una partícula de masa (𝑴 = ∑𝒎𝒊)
sometida a la influencia de la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema.
Esta conclusión es importante porque nos demuestra cómo describir el movimiento del centro
de masa de cualquier sistema de partículas. El centro de masa se comporta exactamente igual
que una sola partícula puntual sometida únicamente a las fuerzas externas.
Los movimientos individuales de los elementos del sistema generalmente son mucho más
complejos y no vienen descritos por estas ecuaciones. El pino lanzado al aire es un ejemplo,
la única fuerza que actúa es la gravedad, el centro de masa del pino se mueve en una trayectoria
parabólica, como si se tratara de una partícula puntual. Un caso especial del movimiento del
centro de masa es cuando sobre el sistema no actúa ninguna fuerza externa neta.
Por lo tanto �̅�𝐶𝑀 = 0, es decir, que el centro de masa está en reposo o se mueve con velocidad
constante. Las fuerzas internas y el movimiento pueden ser complejos, pero el comportamiento
del centro de masa es simple. Además, si la fuerza externa neta no es cero, pero una componente
de ella en una dirección dada, por ejemplo, la dirección 𝑥, es cero, entonces �̅�𝐶𝑀𝑥= 0 y �̅�𝐶𝑀𝑥
permanece constante.
Un ejemplo de esto es un proyectil sin de resistencia del aire. La fuerza externa neta sobre el
proyectil es la fuerza gravitatoria, esta fuerza actúa hacia abajo, por lo que la componente de la
fuerza en la dirección horizontal es cero. Por lo cual, la componente horizontal de la velocidad
del centro de masa es constante.
El centro de masa para el cuerpo humano se puede calcular si se tiene un grupo de objetos
extendidos y se conoce el centro de masa de cada uno.
En la tabla 5 se indica el centro de masa y los puntos de bisagra (articulaciones) para los
diferentes componentes de una persona representativa. Desde luego existen amplias variaciones
entre las personas, así que estos datos solo representan un promedio muy aproximado.
63
Los números representan un porcentaje de la altura total, que se considera como 100 unidades;
de igual modo, la masa total es de 100 unidades. Por ejemplo, si una persona mide 1.70 m de
alto, la articulación de su hombro estaría a (1.70 𝑚)(81.2/100) = 1.38 𝑚 sobre el suelo.
Tabla 5. Centro de masa de las partes de un cuerpo humano típico.
Distancia sobre
el suelo de los
puntos bisagra
(%)
Puntos bisagra (•)
(Articulaciones)
Centro de masa (×)
(% de altura sobre el
suelo)
Masa
porcentual
91.2 Base del cráneo Cabeza 93.5 6.9
81.2 Articulación del hombro Tronco y cuello 71.1 46.1
Brazos 71.1 6.6
Antebrazos 55.3 4.2
52.1 Articulación de la cadera Manos 43.1 1.7
Muslos 42.5 21.5
28.5 Articulación de la rodilla Pantorrillas 18.2 9.6
4 Articulación del tobillo Pies 1.8 3.4
CM del cuerpo 58 100
Conocer el centro de masa del cuerpo cuando está en varias posiciones es de gran utilidad al
estudiar la mecánica del cuerpo. Por ejemplo, si suponemos a un atleta en un salto de altura su
centro de masa puede pasar por debajo de la barra que su cuerpo pasa por arriba, lo que significa
que, para una velocidad de despegue particular, podría librar una barra más alta (ver figura 3.6).
De hecho, esto es lo que los atletas de esta especialidad intentan hacer.
Fig. 3.6 El centro de masa de un atleta pasa realmente por debajo de la barra mientras su cuerpo pasa
por arriba de dicha barra.
Conocer la posición del centro de masa respecto a la talla puede resultar útil a la hora de orientar
sobre la predisposición de un deportista para realizar un tipo de deporte u otro, aunque éste no
es un dato excluyente.
Por otro lado, algunos deportes pueden modelar el cuerpo produciendo adaptaciones que
desplacen el centro de masa hacia la parte superior o inferior del cuerpo. En deportes en los que
interesa aumentar la estabilidad, como el judo o la gimnasia, será favorable tener el centro de
masa por debajo de los valores medios, mientras que, en deportes como el salto alto o salto
largo, interesa ponerlo por encima.
Codo 6.62
Muñeca 46.2
64
El centro de gravedad es el punto a través del cual la fuerza de gravedad actúa sobre un
objeto o un sistema. En la mayoría de los problemas de mecánica, se supone que el campo
gravitacional es uniforme. Entonces, el centro de gravedad está exactamente en la misma
posición que el centro de masa. Los términos del centro de gravedad y del centro de masa a
menudo tienden a usarse de manera intercambiable, ya que suelen estar en la misma ubicación.
Una aplicación útil del centro de masa es la determinación del ángulo máximo al que se puede
inclinar un objeto antes de voltearse. La figura 3.7 muestra una sección transversal de un camión.
El camión fue cargado de manera incorrecta con muchos artículos pesados colocados en el lado
izquierdo. El centro de masa se muestra como un punto rojo. Una línea roja, que representa la
fuerza de la gravedad, se extiende hacia abajo desde el centro de masa. La gravedad actúa sobre
todo el peso del camión a través de esta línea.
Si el camión se inclina un ángulo 휃𝑡 , entonces todo el peso del camión estará soportado por la
orilla más a la izquierda de la llanta izquierda. Si el ángulo se incrementa un poco más,
entonces el punto de soporte se moverá fuera de cualquier punto de contacto con el camino y
está garantizado que el camión se volteará. El ángulo 휃𝑡 es el límite de volteo.
Fig. 3.7 Límite de volteo de un camión mal cargado.
65
PROBLEMAS
Problema 3.1
Tres masas, 2, 3 y 6 kg, están en las posiciones (3, 0), (6, 0) y (-4, 0) respectivamente, en metros
respecto al origen. ¿Dónde está localizado el centro de masa del sistema?
Problema 3.2
Tres partículas de igual masa (𝑚) descansan a lo largo del eje 𝑥 en los puntos 𝑥1 = 1.0 𝑚,
𝑥2 = 5.0 𝑚, 𝑥3 = 6.0 𝑚. Determine la posición del centro de masa del sistema.
Problema 3.3
Se tienen 3 partículas con las siguientes características, 𝑚𝐴 = 4 kg en (1, 2,), 𝑚𝐵 = 2 kg en (3,
5), y 𝑚𝐶 = 5 kg en (6, 4), las coordenadas están dadas en metros. Calcule la posición del centro
de masa del sistema.
Problema 3.4
Determina el centro de masa de la lámina de madera.
Problema 3.5
Una molécula de agua está formada por un átomo de oxígeno y dos
átomos de hidrógeno. El átomo de oxígeno tiene una masa de 16
unidades de masa atómica (u) y cada átomo de hidrógeno tiene una
masa 1u. Cada uno de los átomos de hidrógeno están separados una
distancia media de 96 pm (96×10-12 m) del átomo de oxígeno y
separados entre sí por un ángulo de 104.5º. Determinar el centro de
masa de la molécula.
66
Problema 3.6
La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 30 g. La partícula B tiene una masa
de 10 g. ¿Dónde debe ubicarse la partícula B si las coordenadas del centro de masa son (𝑥, 𝑦) =
(2, 5 𝑐𝑚)?
Problema 3.7
La partícula A tiene una masa de 5 g y la partícula B tiene una masa de 1 g. La partícula A se
ubica en el origen y la partícula B está en el punto (𝑥, 𝑦) = (25 𝑐𝑚, 0). ¿Cuál es la ubicación
del centro de masa?
Problema 3.8
Tres cuerpos tienen la misma masa. Si uno de los cuerpos se mueve 12 cm en la misma dirección
positiva de 𝑥, ¿Cuánto se mueve el centro de masa del sistema?
Problema 3.9
Se necesita hallar el centro de masa de una escultura, para que la cuelguen correctamente en una
galería. Toda la escultura está en un plano y consta de varios objetos de formas uniformes, con
las masas y tamaños que se observan en la figura del problema. ¿Dónde se encuentra el centro
de masa del sistema?
Problema 3.10
Una mancuerna tiene una barra conectada de masa insignificante. Determina la ubicación del
centro de masa a) si 𝑚1 y 𝑚2 tienen una masa de 5 kg cada una y b) si 𝑚1 es de 5 kg y 𝑚2 es
de 10 kg.
67
Problema 3.11
Determine la posición del centro de masa de una pierna humana, a) cuando está estirada y
b) cuando está flexionada a 90°. Observe la figura del problema y considere que la persona mide
1.70 de alto.
Problema 3.12
Un cohete se dispara en el aire. En el momento en que el cohete alcanza su punto más alto,
a una distancia horizontal 𝑑 desde su punto de partida. Una explosión preestablecida lo separa
en dos partes de igual masa. La parte I se detiene a mitad del aire por la explosión y cae
verticalmente en la Tierra. ¿Dónde aterriza la parte II? Suponemos 𝑔 = 𝑐𝑛𝑡𝑒.
Problema 3.13
Un hombre de 75 kg está parado en el extremo lejano de una lancha de 50 kg, a 100 m de la
orilla como se observa en la figura. Si camina al otro extremo de la lancha, cuya longitud es de
6 m. a) ¿El centro de masa: 1) se mueve a la derecha, 2) se mueve a la izquierda o 3) permanece
estacionario? b) Después de caminar al otro extremo de la lancha, ¿A qué distancia estará de la
orilla? Despreciamos la fricción y suponemos que el centro de masa de la lancha está en su
punto medio.
68
Problema 3.14
Tres partículas de masas 𝑚1 = 1.2 𝑘𝑔, 𝑚2 = 2.5 𝑘𝑔 y 𝑚3 = 3.4 𝑘𝑔 forman un triángulo
equilátero de longitud 𝑎 = 140 𝑐𝑚 por lado. ¿Dónde está el centro de masa de este sistema de
tres partículas?
Problema 3.15
Tres partículas están inicialmente en reposo. Cada una experimenta una fuerza externa debida
a cuerpos fuera del sistema de las tres partículas. Las direcciones están indicadas y las
magnitudes son 𝐹1 = 6 𝑁, 𝐹2 = 12 𝑁, 𝐹3 = 14 𝑁. ¿Cuál es la aceleración del centro de masa
del sistema y en qué dirección se mueve?
Problema 3.16
La figura del problema muestra una placa metálica uniforme P de radio 2R de la cual se ha
cortado (removido) un disco de radio R en una línea de producción en serie. Utilizando el
sistema de coordenadas 𝑥𝑦, localice el centro de masa 𝑐𝑑𝑚𝑝 de la placa.
Partícula Masa (kg) x (cm) y (cm)
1 1.2 0 0
2 2.5 140 0
3 3.4 70 121
Placa Centro de masa Ubicación del 𝒄𝒅𝒎 Masa
P 𝑐𝑑𝑚𝑃 𝑥𝑝 = ? 𝑚𝑝
S 𝑐𝑑𝑚𝑠 𝑥𝑠 = −𝑅 𝑚𝑠
C 𝑐𝑑𝑚𝑐 𝑥𝑐 = 0 𝑚𝑐 = 𝑚𝑠 + 𝑚𝑝
69
Problema 3.17
A causa de la interacción gravitacional entre dos estrellas de un sistema binario, cada una se
mueve en una órbita circular alrededor del centro de masa del sistema. Una estrella tiene una
masa de 15 × 1030 𝑘𝑔 y su centro se ubica en 𝑥 = 1 𝑢𝑎, 𝑦 = 5 𝑢𝑎. La otra tiene una masa de
3 × 1030 𝑘𝑔 y su centro está en 𝑥 = 4 𝑢𝑎, 𝑦 = 2 𝑢𝑎. Encuentre el centro de masa del sistema
compuesto por las dos estrellas.
Problema 3.18
Seis partículas de igual masa 𝑚 descansan a lo largo del eje 𝑥 en los puntos 𝑥1 = 3.8 𝑚,
𝑥2 = 5.6 𝑚, 𝑥3 = 6.1 𝑚, 𝑥4 = 7.3 𝑚, 𝑥5 = 8.5 𝑚, 𝑥6 = 9.7 𝑚. Determine la posición del
centro de masa del sistema.
Problema 3.19
Encuentra el centro de masa de un arreglo de tres masas iguales y homogéneas, separadas 1 m
unidas por varillas de masa despreciable.
Problema 3.20
Encuentra el centro de masa de un arreglo de tres masas iguales y homogéneas separadas 1 m
unidas por varillas de masa despreciable.
70
CUESTIONARIO I
1. Define con tus propias palabras el concepto de Centro de masa.
2. ¿Cuál es la diferencia entre centro de masa y centro de gravedad?
3. ¿Para qué nos sirve calcular el centro de masa de un objeto?
4. Cómo se calcula el centro de masa de a) figuras regulares, y b) figuras irregulares.
5. Explica el siguiente párrafo: “El movimiento general de un cuerpo finito o sistema de
cuerpos, se puede definir como la suma del movimiento de traslación del centro de masa
y los movimientos rotatorios, vibratorios y de otros tipos con respecto al centro de
masa.”
6. ¿Cómo se calcula el centro de masa de un objeto en movimiento?
7. Al calcular el centro de masa de un sistema, ¿por qué se da en coordenadas el resultado
del centro de masa?
8. ¿Se puede calcular el centro de masa en coordenadas polares?
9. Si tomamos el ejemplo de un clavadista que se avienta de un trampolín y va girando,
¿Explica la trayectoria de su centro de masa? ¿Es de traslación o de rotación?
Realiza un dibujo de la trayectoria del centro de masa del sistema.
10. Menciona y explica dos ejemplos donde tenga significado calcular el centro de masa.
71
CUESTIONARIO II
1. Se colocan 3 masas de 1 kg en un arreglo triangular cuyos vértices son (1, 2 𝑚), (4, 7 𝑚)
y (8, 3 𝑚). Calcule la posición del centro de masa.
2. Cuatro partículas tienen las siguientes características, 𝑚1 = 3 𝑘𝑔 en (2, 6 𝑐𝑚),
𝑚2 = 2 𝑘𝑔 en (4, 8 𝑐𝑚), 𝑚3 = 5 𝑘𝑔 en (10, 12 𝑐𝑚) y 𝑚4 = 4 𝑘𝑔 en (6, 4 𝑐𝑚).
Calcula la posición del centro de masa del sistema.
3. La partícula A se encuentra en el origen y tiene una masa de 30 𝑔. La partícula B tiene
una masa de 10 𝑔. ¿Dónde debe ubicarse la partícula B si las coordenadas del centro de
masa son (𝑥, 𝑦) = (2, 5 𝑐𝑚)?
4. La partícula A tiene una masa de 10 𝑔 y la partícula B de 2 𝑔. La partícula A se ubica
en el origen y la B está en el punto (𝑥, 𝑦) = (45, 0 𝑐𝑚). ¿Cuál es la ubicación del centro
de masa?
5. La masa y posición de tres partículas son, partícula 1: 4 𝑘𝑔 en (4, 0 𝑚), partícula 2: 6 𝑘𝑔
en (2, 4 𝑚) y partícula 3: 3 𝑘𝑔 en (−1,−2 𝑚). ¿Cuál es la ubicación del centro de masa
del sistema?
6. a) ¿A qué distancia se encuentra el centro de masa del sistema formado por la Tierra
y la Luna desde el centro de la Tierra?, b) Expresa la respuesta como una fracción
del radio 𝑅𝑇 de la Tierra. Considera la distancia Tierra-Luna medida desde sus centros.
7. Tres varillas delgadas, cada una de longitud L, están dispuestas en forma de U invertida.
Las dos varillas de los brazos de la U tienen una masa M cada una; la tercera varilla tiene
masa 3M. ¿Dónde está el centro de masa del conjunto?
8. Localiza el centro de masa de un sistema formado por tres objetos esféricos con masas
de 3, 2 y 4 𝑘𝑔 cuyos centros están situados en (−6 𝑚, 0), (1 𝑚, 0) y (3 𝑚, 0)
respectivamente.
9. Cuatro masas de 2, 3, 6 y 8 𝑘𝑔, están en las posiciones (3, 0), (6, 0), (−4, 0) y (1, 0),
respectivamente, en metros respecto al origen. ¿Dónde está localizado el centro de masa
del sistema?
10. Dos esferas de 4 y 7.5 𝑘𝑔 están separadas una distancia de 1.5 𝑚. ¿Dónde está el centro
de masa del sistema de las dos esferas?
72
CUESTIONARIO III
1. Un trozo de lámina uniforme mide 25 × 25 𝑐𝑚. Si se recorta un círculo de 5 𝑐𝑚 de radio
del centro de esta lámina, ¿Dónde estará el centro de masa de la lámina?
2. Tres partículas de masas 𝑚1 = 4.7 𝑘𝑔, 𝑚2 = 9.6 𝑘𝑔 y 𝑚3 = 12.1 𝑘𝑔, forman un
triángulo equilátero de longitud 𝑎 = 182.5 𝑐𝑚 por lado. a) Grafica el sistema de tres
partículas y b) calcula el centro de masa del sistema.
3. Determina el centro de masa del sistema de partículas que se representa en el siguiente
diagrama
4. Tres personas de masa m aproximadamente equivalente sobre una balsa de banana ligera
están sentadas a lo largo del eje 𝑥 en las posiciones 𝑋𝐴 = 1 𝑚, 𝑋𝐵 = 5 𝑚 y 𝑋𝐶 = 6 𝑚,
medidas desde el extremo izquierdo, como se muestra en la figura. Encuentre la posición
del centro de masa. Nota: Ignora la masa de la balsa.
5. Tres partículas cada una con masa de 2.50 𝑘𝑔 están localizadas en las esquinas de un
triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 2 y 1.5 𝑚. Localiza el centro de masa.
73
6. Determina el centro de masa de la escuadra delgada y uniforme de la figura.
7. Un hacha de piedra está formada por una piedra simétrica de 8 𝑘𝑔 atada al extremo de
un palo homogéneo de 2.5 𝑘𝑔. ¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su
centro de masa?
8. Determina el centro de masa 𝑀 y altura 𝐻 tiene forma cilíndrica y está llena de agua.
La masa inicial de agua es 𝑀, la misma lata. Se perfora un agujero en la base de la lata
por el que se va el agua. a) Si la altura del agua en la lata es 𝑥, ¿Cuál es el centro de masa
del sistema lata + agua? b) ¿Cuál es la mínima altura del centro de masa mientras
se escapa el agua?
9. Determina el centro de masa de una pieza de madera
contrachapada. Podemos considerar que la pieza está
formada por dos piezas, un cuadro de 3 𝑚 de lado y de
masa 𝑚1 y un rectángulo de 1 × 2 𝑚 con una masa −𝑚2.
Considere que el eje de coordenadas está situado en el
extremo inferior izquierdo de la pieza.
10. Un automóvil de 1500 𝑘𝑔 se mueve hacia el oeste con una velocidad de 20 𝑚/𝑠 y un
camión de 3000 𝑘𝑔 se mueve hacia el este con una velocidad de 16 𝑚/𝑠. Calcular la
velocidad del centro de masa del sistema.
74
CAPÍTULO IV ECUACIÓN VECTORIAL DE MOVIMIENTO
4.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o momentum es una magnitud física
fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría
mecánica. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se define como el producto de la
masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente, el concepto se
remonta a Galileo Galilei.
En su obra Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias, usa el
término italiano impeto, mientras que Isaac Newton en Principia Mathematica usa el término
latino motus (movimiento) y vis motrix (fuerza motriz). Momento y momentum son palabras
directamente tomadas del latín mōmentum, término derivado del verbo mŏvēre 'mover'.
Fig. 4.1 Portada de las obras de Galileo y Newton.
La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra;
en mecánica newtoniana se define para una partícula como el producto de su masa por la
velocidad, en mecánica lagrangiana o hamiltoniana admite formas más complicadas en sistemas
de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más compleja aun
cuando se usen sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de
operadores auto adjuntos definidos sobre un espacio vectorial de dimensión infinita.
La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad
de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas
exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada
y permanece constante en el tiempo. La energía y el trabajo son cantidades escalares que no
implican dirección. La ley de la conservación de la energía sólo describe la relación entre los
estados final e inicial; no dice nada acerca de cómo se distribuyen las energías.
75
Por ejemplo, cuando dos objetos chocan, podemos decir que la energía total antes del impacto
debe ser igual a la energía total después del impacto. Pero necesitamos un nuevo concepto
si queremos determinar cómo se divide la energía total entre los objetos o incluso su dirección
después del impacto, los conceptos de impulso o momento añadirán una descripción vectorial
a dicho estudio. Cuando una pelota de golf se golpea en el suelo, una gran fuerza promedio 𝐹
actúa sobre la pelota durante un tiempo muy corto ∆𝑡 (el símbolo ∆ denota una diferencia en la
variable), causando que se acelere desde el reposo hasta la velocidad final 𝑣𝑓. Es un extremo
difícil medir ya sea la fuerza o su duración, pero su producto 𝐹 ∆𝑡 puede determinarse a partir
del cambio en la velocidad de la pelota de golf.
Fig. 4.2 Cuando el palo de golf golpea la pelota, una fuerza 𝐹 que actúa durante un cierto tiempo,
provoca un cambio en la cantidad de movimiento de la pelota.
De la segunda ley de Newton tenemos,
𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣𝑓 − 𝑣𝑜
∆𝑡 (4.1)
Multiplicando por ∆𝑡 se obtiene,
𝐹 ∆𝑡 = 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜) = ∆𝑃 (4.2)
De este modo, el impulso (𝐹 ∆𝑡) es igual al cambio en el momento 𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜). El impulso
𝐹 ∆𝑡 es una cantidad vectorial de la misma magnitud al producto de la fuerza y al intervalo de
tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza constante sobre el objeto,
𝐹 ∆𝑡 = ∆𝑃 = 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜 (4.3)
El impulso de la fuerza que actúa sobre un objeto es igual al cambio en la cantidad de
movimiento del objeto. Esto es cierto incluso si la fuerza no es constante.
Fig. 4.3 En mecánica newtoniana la cantidad de movimiento lineal se define como el producto de la
masa por la velocidad.
La palabra impulso implica que la fuerza de impulso actúa brevemente, la definición misma no
limita el intervalo de tiempo durante la cual la fuerza actúa. Fundamentalmente, un choque es
una interacción entre objetos donde hay un intercambio de cantidad de movimiento y de energía.
76
Un determinado impulso producirá un cambio específico en la cantidad de movimiento,
independientemente de la masa o la rapidez del cuerpo que recibe el impulso. Un objeto
originalmente en reposo se moverá en la dirección de la fuerza neta aplicada, adquiriendo una
cantidad de movimiento ∆𝑃 = 𝐹 ∆𝑡, y esto es lo que sucede cuando se arroja un dardo,
se descarga una jeringa o se golpea una pelota de golf. Siempre que el palo esté en contacto con
la pelota aplicándole fuerza, habrá una ganancia simultánea de cantidad de movimiento en la
dirección de la fuerza (Tabla 6).
Una vez que la pelota se despega del palo, vuela siguiendo la primera ley de Newton; no hay
fuerza, no hay cambio. Cuanto más largo sea el cañón de un arma, o cuanto más largo sea el
movimiento de lanzamiento de un pitcher, el tiempo (∆𝑡) durante el cual actúa la fuerza
propulsora será mayor, y el cambio de cantidad de movimiento (∆𝑃) del proyectil será mayor.
Tabla 6. Parámetros normales de pelotas golpeadas que parten del reposo.
Pelota Masa
(kg)
Rapidez
(m/s)
Tiempo de impacto
(*ms)
Béisbol 0.149 39 1.25
Fútbol Americano (patada) 0.415 28 8
Golf (drive) 0.047 69 1
Frontón a mano (servicio) 0.061 23 12.5
Fútbol Soccer (patada) 0.425 26 8
Tenis (servicio) 0.058 51 4 *
1 𝑚𝑠 = 1 × 10−3 𝑠
Para que una pelota de béisbol a 90 𝑚𝑖/ℎ (40 𝑚/𝑠) se convierta en un batazo de vuelta entera
y salga a 110 𝑚𝑖/ℎ (49 𝑚/𝑠), un bat deberá aplicar una fuerza aproximada de
3630 𝑘𝑔 (36 𝒌𝑁) en el impacto, que sólo dura ≈1.25 ms, la pelota es aplastada hasta la mitad
de su diámetro. La fuerza aplicada a un cuerpo en movimiento puede aumentar o disminuir su
cantidad de movimiento, dependiendo de si 𝐹 actúa en sentido paralelo o anti paralelo a la
velocidad inicial.
Por el teorema de trabajo-energía y el de impulso-cantidad de movimiento, la cantidad de
movimiento y la energía cinética están relacionadas directamente. Expresando la energía
cinética en términos de la cantidad de movimiento podemos observar que están íntimamente
relacionadas, pero son cantidades diferentes,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
(𝑚𝑣)2
2𝑚=
𝑃2
2𝑚 (4.4)
De una manera formal, la cantidad de movimiento 𝑃 de una partícula es una cantidad vectorial
igual en magnitud al producto de su masa 𝑚 y de su velocidad 𝑣, su dirección coincide con la
de su velocidad. Es decir, la cantidad de movimiento lineal de una partícula de masa 𝒎 que
se mueve con una velocidad 𝒗 se define como el producto de la masa y la velocidad.
�⃗⃗� = 𝒎𝐯 (4.5)
77
Fig. 4.4 Cambio de la cantidad de movimiento al atrapar o lanzar una pelota de béisbol.
En la figura 4.4 observamos cómo cambia la cantidad de movimiento en tres situaciones
diferentes: a) El cambio de cantidad de movimiento al atrapar la pelota es constante mvo.
Si la pelota se detiene rápidamente (∆t pequeño), la fuerza de impulso es grande. Si se aumenta
el tiempo de contacto (∆t grande) moviendo las manos junto con la pelota, la fuerza de impulso
se reducirá. b) Haciendo retroceder el guante cuando la pelota llega, el cátcher aumenta ∆t
y reduce F para determinada ∆P. c) El lanzador ejerce una fuerza sobre la pelota durante una
distancia y tiempo tan largos como le es posible. Cuanto mayor es F ∆t, mayor es ∆P, y mayor
será la rapidez de salida, en este caso se observa la pelota cada centésima de segundo.
Cuanto mayor es la distancia entre las imágenes de la pelota, es mayor su rapidez.
En muchas situaciones sólo interesa conocer la cantidad de movimiento, la dirección no importa.
En otros casos, la dirección de la cantidad de movimiento tiene una función importante.
El vector cantidad de movimiento apunta en la misma dirección que el de velocidad.
Si la velocidad cambia de dirección, la dirección de la cantidad de movimiento también cambia.
La unidad del SI del impulso es [𝑁 ∙ 𝑠], la de la cantidad de movimiento [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠] por lo cual,
[𝑁 ∙ 𝑠] =𝑘𝑔 ∙ 𝑚
𝑠2𝑠 = [𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠]
Para un movimiento en dos dimensiones las componentes de la cantidad de movimiento son,
𝑃𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 (4.6)
𝑃𝑦 = 𝑚𝑣𝑦 (4.7)
Donde 𝑃𝑥 representa la cantidad de movimiento de un objeto en la dirección 𝑥 y 𝑃𝑦 su cantidad
de en la dirección 𝑦. Para cambiar la cantidad de movimiento de un objeto se le debe aplicar una
fuerza. En términos de la segunda ley de Newton la rapidez de cambio de la cantidad de
movimiento de un objeto es igual a la fuerza neta que actúa sobre él.
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆𝑃
∆𝑡 (4.8)
Donde ∆𝑡 es el intervalo de tiempo durante el cual la cantidad de movimiento cambia en ∆𝑃
y 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 es la fuerza neta que actúa sobre el objeto.
78
Entonces 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚𝑎 para un objeto de masa constante, se considera una sola fuerza 𝐹
constante que actúa sobre una partícula y produce una aceleración constante,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆�⃗�
∆𝑡=
𝑚𝑣𝑓 − 𝑚𝑣𝑜
∆𝑡=
𝑚(𝑣𝑓 − 𝑣𝑜)
∆𝑡 (4.9)
Si la aceleración media de un objeto es,
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡 (4.10)
Con lo cual la 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 se reduce a,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚∆𝑣
∆𝑡 (4.11)
Si la fuerza neta es cero, la cantidad de movimiento no cambia. En otras palabras,
el ímpetu y la velocidad de una partícula se conservan cuando 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0. La importancia de esta
ley, es que se aplica a cualquier sistema aislado y si la suma de las fuerzas aplicadas es cero, se
conserva la cantidad de movimiento por lo que;
�⃗� 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 = �⃗� 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
Para el caso de dos masas,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 (4.12)
Siendo 𝑣 la velocidad inicial y 𝑢 la velocidad final. Para un caso de 𝑛 masas,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑣𝑛 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 + ⋯+ 𝑚𝑛𝑢𝑛 (4.13)
Por ejemplo, consideremos dos pelotas de billar que chocan de frente; la fuerza externa neta es
cero; es decir, que las únicas fuerzas significativas son aquellas que cada pelota ejerce sobre la
otra en el momento del choque. Aunque la cantidad de movimiento de cada una de las pelotas
cambia, como resultado del choque, se observa que la suma de las cantidades de movimiento
son iguales antes y después del choque.
Si 𝑚1𝑣1 es la cantidad de movimiento de la bola 1 y 𝑚2𝑣2 es la de la bola 2, medidas ambas
antes del choque, entonces la cantidad total de movimiento de las dos bolas antes del choque
será 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2.
Después del choque, cada una de las bolas tendrá velocidad y cantidad de movimiento distintas,
es decir 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2. Independientemente de las velocidades y las masas que intervienen,
se encuentra que la cantidad de movimiento total antes del choque es igual que aquella después
de él, sea el choque de frente o no, y siempre y cuando no actúe una fuerza externa.
Debido a que el movimiento se da en una dimensión, no necesitamos utilizar la notación
vectorial; sin embargo, en cualquier cálculo tendríamos que escoger una dirección como
positiva. Aplicando 𝐹 ∆𝑡 = ∆�⃗� a la bola 1, haciendo que 𝑣1 sea la velocidad antes del choque,
y 𝑢1 después del choque,
𝐹 ∆𝑡 = 𝑚1𝑢1 − 𝑚1𝑣1 (4.14)
79
𝐹 es la fuerza que la bola 2 ejerce sobre la bola 1, y ∆𝑡 es el tiempo que las bolas permanecen
en contacto durante el choque. Cuando se aplica la ecuación a la bola 2, de acuerdo a la tercera
ley de Newton, la fuerza que ejerce la bola 1 sobre la bola 2 es −𝐹. Entonces, tenemos que,
−𝐹 ∆𝑡 = 𝑚2𝑢2 − 𝑚2𝑣2 (4.15)
Combinando las dos ecuaciones, obtenemos,
𝑚1𝑢1 − 𝑚1𝑣1 = −(𝑚2𝑢2 − 𝑚2𝑣2) (4.16)
La ecuación anterior nos indica que toda la cantidad de movimiento que pierde una pelota,
la gana la otra. Así, la cantidad total de movimiento permanece constante. Si reordenamos esta
ecuación, obtenemos,
𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 = 𝑚1𝑢1 + 𝑚2𝑢2 (4.17)
La deducción anterior se puede ampliar para 𝑛 números de cuerpos que interaccionen.
Para nuestro sistema de dos cuerpos,
𝑃 = 𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2 (4.18)
Si la fuerza neta es cero como en el otro sistema, tenemos,
𝐹 + (−𝐹) = 0 (4.19)
∆�⃗� = 0 (4.20)
De este modo la cantidad de movimiento total no cambia. Por tanto, el enunciado general de la
ley de conservación de la cantidad de movimiento es: La cantidad total de movimiento de un
sistema de cuerpos aislados permanece constante. Si la fuerza neta que actúa sobre una
partícula es cero,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 =∆�⃗�
∆𝑡= 0 (4.21)
Entonces,
∆�⃗� = 0 = �⃗� − �⃗� 𝑜 (4.22)
Donde �⃗� 𝑜 es la cantidad de movimiento inicial y �⃗� es la cantidad de movimiento en algún
instante posterior. Dado que estos valores son iguales, se conserva la cantidad de movimiento,
�⃗� = �⃗� 𝑜 o 𝑚𝑣 = 𝑚𝑣𝑜 (4.23)
Esta observación es congruente con la primera ley de Newton. Un objeto permanece en reposo
(�⃗� = 0), o en movimiento con velocidad uniforme (�⃗� ≠ 0), a menos que actúe sobre él una
fuerza externa neta.
La conservación de la cantidad de movimiento se puede extender a un sistema de partículas,
podemos escribir la segunda ley de Newton en términos de la fuerza neta que actúa sobre el
sistema y de las cantidades de movimiento de las partículas,
𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑𝐹𝑖 (4.24)
80
�⃗� = ∑�⃗� 𝑖 = ∑𝑚𝑣𝑖 (4.25)
Puesto que 𝐹 = ∆𝑃/∆𝑡, y ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema (∆𝐹 = 0) entonces
�⃗� = �⃗� 𝑜 , es decir, se conserva la cantidad de movimiento total. Esta condición generalizada
es la ley de conservación de la cantidad de movimiento (�⃗� = �⃗� 𝑜). Así, la cantidad de
movimiento de un sistema (�⃗� = ∑ �⃗� 𝑖) se conserva si la fuerza externa neta que actúa sobre el
sistema es cero.
Dentro de un sistema actúan fuerzas internas (como cuando sus partículas chocan). Éstas son
pares de fuerzas según la tercera ley de Newton, estas fuerzas internas son iguales y opuestas,
y se anulan entre sí vectorialmente. Por ello, la fuerza interna neta de un sistema cerrado siempre
es cero.
No obstante, algo que es importante entender es que las cantidades de movimiento de partículas
u objetos individuales dentro de un sistema podrían cambiar. Sin embargo, en ausencia de una
fuerza externa, la suma de todas las cantidades de movimiento no cambia. Si los objetos están
inicialmente en reposo y luego se ponen en movimiento como resultado de las fuerzas internas,
la cantidad de movimiento total del sistema seguirá siendo cero.
La conservación de la cantidad de movimiento es de gran utilidad para analizar
situaciones en movimiento y choques. En muchos casos la conservación de la cantidad de
movimiento no necesita conocer las fuerzas que intervienen.
81
PROBLEMAS
Problema 4.1
Un atleta junto con su bicicleta tiene una masa de 70 kg, mientras que otra persona junto con su
motocicleta posee 250 kg de masa; de acuerdo a que ambos presentan la misma cantidad de
movimiento o ímpetu o momento lineal, y conociendo que el atleta con bicicleta viaja a 12 m/s.
¿Qué valor de velocidad lleva la persona con moto?
Problema 4.2
Un niño de 40 kg parado sobre un lago helado arroja una piedra de 0.500 kg hacia el este con
rapidez de 5 m/s. Despreciando la fricción entre el niño y el hielo, encuentre la velocidad de
retroceso del niño.
Problema 4.3
¿Qué fuerza se necesita para detener en 20 segundos a un automóvil de 1000 kg que viaja a una
velocidad de 30 m/s?
Problema 4.4
Calcule la velocidad de retroceso de un rifle de 5 kg cuando dispara una bala de 0.050 kg a una
velocidad de 120 m/s.
Problema 4.5
Una manguera deja salir un chorro de agua de 1.5 𝑘𝑔, con una velocidad de 20 𝑚/𝑠, el agua
choca contra una pared que la detiene, es decir, no tomamos en cuenta el agua que regresa
después de chocar ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?
Problema 4.6
Un carro de ferrocarril de 10000 kg que viaja a una velocidad de 24 m/s choca contra otro
idéntico que se encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros se enganchan.
¿Cuál será la velocidad común después?
Problema 4.7
Un mazo de 3 kg se mueve a una velocidad de 14 m/s en el momento de golpear un perno de
acero. Se detiene a los 0.02 s. Determine la fuerza media sobre el perno.
82
Problema 4.8
Un cañón de 1400 kg montado sobre ruedas dispara una bala de 60 kg en dirección horizontal
con una velocidad de 50 m/s. Suponiendo que el cañón se pueda mover libremente, ¿Cuál será
su velocidad de retroceso?
Problema 4.9
Un cohete enciende su motor, que ejerce una fuerza media de 1000 N durante 40 s en una
dirección fija. ¿Cuál es la magnitud del cambio de cantidad de movimiento del cohete?
Problema 4.10
Fernando Valenzuela impuso una marca al lanzar una pelota de béisbol de 0.14 kg a 166.68
km/h de velocidad. ¿Cuál es la magnitud de la cantidad de movimiento de la pelota al dejar su
mano?
Problema 4.11
Una pelota de béisbol de 0.149 kg, que se mueve hacia el sur a 28 m/s, se acerca al bateador.
La pelota es golpeada y aplastada momentáneamente; rebota y sale despedida a 46 m/s hacia el
norte. a) Determine las magnitudes de sus cantidades de movimiento inicial y final, así como,
b) el cambio de la cantidad de movimiento.
Problema 4.12
El 12 de septiembre de 1966 una nave Gemini atracó en un vehículo Agena de lanzamiento,
en órbita. Con mucho combustible en el cohete, la NASA decidió determinar la masa del Agena.
Una vez acoplados, el motor de la Gemini fue encendido, ejerciendo un empuje constante de
890 N en una dirección fija, durante 7 s. Como resultado del empuje, el conjunto Gemini-Agena
aumentó su rapidez en 0.93 m/s. En el supuesto de que la masa de la Gemini es constante
34 × 102 𝑘𝑔, calcule la masa del Agena.
Problema 4.13
Un futbolista de 100 kg corre con una velocidad de 4 m/s directamente hacia el fondo del campo.
Un proyectil de artillería de 1 kg sale del cañón con una velocidad inicial de 500 m/s.
¿Quién tiene mayor cantidad de movimiento, el futbolista o el proyectil?
83
Problema 4.14
Un golfista golpea una pelota de 0.046 kg desde un tee elevado, impartiéndole una rapidez
horizontal inicial de 40 m/s en un tiempo de contacto de 1 ms. ¿Qué fuerza promedio ejerce el
palo sobre la pelota durante ese tiempo?
Problema 4.15
Una persona es bajada desde un helicóptero al centro de un lago congelado liso y horizontal,
cuya superficie tiene fricción despreciable, con la misión de llegar a la orilla del lago.
Es imposible caminar (¿Por qué?). Al meditar acerca del aprieto en que se encuentra, decide
usar la conservación de la cantidad de movimiento y aventar sus guantes, que son pesados e
idénticos, y así conseguir la cantidad de movimiento necesaria para llegar a la orilla. Para
lograrlo más rápidamente, ¿Qué deberá hacer esta persona: aventar ambos guantes a la vez, o
aventarlos con la misma rapidez primero uno y luego el otro?
Problema 4.16
Calcule la velocidad de retroceso de una ametralladora de 7.3 kg cuando dispara una bala de
0.020 kg a una velocidad de 620 m/s.
Problema 4.17
En un parque, una persona lanza pan en el estanque de los patos. Dos patos de 4 kg y un ganso
de 7.6 kg nadan rápidamente hacia el pan desde direcciones opuestas. Si los patos nadan a
1.1 𝑚/𝑠 y el ganso nada con una rapidez de 1.3 𝑚/𝑠, encuentra la magnitud y la dirección de
la cantidad de movimiento total de las tres aves.
Problema 4.18
Una fuerza actúa sobre una bicicleta durante 12 segundos y cambia su cantidad de movimiento
de 15 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 en la dirección 𝑥 positiva a 38 𝑘𝑔 𝑚/𝑠 en la dirección 𝑥 positiva. ¿Cuáles son la
magnitud y la dirección de la fuerza?
Problema 4.19
Tres amigos empujan un automóvil hasta una estación de servicio. Supón que el automóvil rueda
sin fricción sobre un camino liso y a nivel. Si el automóvil en un inicio está en reposo y el
empuje combinado es de 305 N, a) ¿Cuál es la cantidad de movimiento del automóvil después
de 12 s? b) Si la masa del automóvil y conductor es 1360 kg, ¿Cuál es la velocidad del automóvil
después de 12 s de empuje?
84
Problema 4.20
Dos canoas flotan inmóviles en un lago. Después de una breve visita, alguien de la canoa 1a
empuja a la canoa 2 con una fuerza de 46 N en 1.20 s y mueve las canoas en direcciones
opuestas. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de cada canoa después del empuje?
CUESTIONARIO I
1. Una persona de 110 𝑘𝑔 parado sobre un lago helado arroja una piedra de 2.3 𝑘𝑔 hacia
el este con una rapidez de 12 𝑚/𝑠. Despreciando la fricción entre la persona y el hielo,
encuentre la velocidad de retroceso de la persona.
2. Calcula la velocidad de retroceso de un rifle de 6.3 𝑘𝑔 cuando dispara una bala
de 0.063 𝑘𝑔 a una velocidad de 220 𝑚/𝑠.
3. Una manguera deja salir un chorro de agua de 1.5 𝑘𝑔/𝑠, con una rapidez de 20 𝑚/𝑠,
el agua choca contra una pared que la detiene (es decir, no se toma en cuenta el agua que
regresa después de chocar), ¿Cuál es la fuerza que ejerce el agua sobre la pared?
4. Un carro de ferrocarril de 10000 𝑘𝑔 viaja a una rapidez de 24 𝑚/𝑠 choca contra otro
idéntico que se encuentra en reposo. Como resultado del choque, los carros se
enganchan, ¿Cuál será la rapidez común después del choque?
5. ¿Qué fuerza se necesita para detener en 12 𝑠 a un automóvil de 1350 𝑘𝑔 que viaja a una
velocidad de 98 𝑚/𝑠?
6. ¿Qué velocidad tiene un vehículo de 3400 𝑘𝑔 si su momento es de 98000 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠?
7. ¿Cuál es su momento de una pelota de 3.7 𝑘𝑔 que se desplaza a una velocidad de
70 𝑚/𝑠?
8. Una persona de 80 𝑘𝑔 y un joven de 40 𝑘𝑔 están de pie y juntos en una pista de hielo,
sin fricción. Si después de que se empujen uno al otro, el hombre se aleja con una
velocidad de 0.25 𝑚/𝑠. ¿Con que velocidad se aleja el joven?
9. Una bala de 0.02 𝑘𝑔 viaja de manera horizontal y uniforme a 250 𝑚/𝑠 se impacta
y empotra en un bloque de madera de 0.40 𝑘𝑔 que se encontraba en reposo,
en una superficie sin fricción. ¿Cuál es la velocidad final del sistema?
10. Un automóvil en reposo de 1500 𝑘𝑔, recibe una aceleración de 4 𝑚/𝑠2 en un lapso
de tiempo de 5 𝑠. ¿Cuál es el valor de su momento lineal después de ese tiempo?
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11. Durante la reparación del telescopio espacial un astronauta reemplaza dos paneles,
al empujar un panel deteriorado hacia atrás en el espacio experimenta un impulso en
sentido opuesto, la masa del astronauta es de 60 𝑘𝑔 y la del panel de 80 𝑘𝑔, inicialmente
el panel y el astronauta están en reposo respecto al telescopio. ¿Cuál es su velocidad
posterior respecto al telescopio?
CUESTIONARIO II
1. Una bala de 6 gramos que viaja a una velocidad de 300 𝑚/𝑠, atraviesa un bloque
de madera y sale de él a 100 𝑚/𝑠. ¿Cuál es su cambio de momento?
2. Si la bala del problema 1 atraviesa el bloque de madera en 1.2 × 10−3 𝑠. ¿Cuál fue la
fuerza que ejerció la madera sobre la bala?
3. ¿Por qué los autobuses y camiones pesados tienen volantes de dirección grandes?
Argumenta tu respuesta.
4. Un protón cuya masa es de 1.01 𝑢𝑚𝑎, que se desplaza con una rapidez de
3.60 × 104 𝑚/𝑠, sufre una colisión de frente con un núcleo de helio (He) que
inicialmente se hallaba en reposo (𝑚𝐻𝑒 = 4 𝑢𝑚𝑎). ¿Cuáles son las velocidades del
protón y del núcleo de helio después del choque? Nota: 1 𝑢𝑚𝑎 = 1.6606 × 10−27 𝑘𝑔.
5. Una partícula de masa m, que se mueve con rapidez v, choca de frente con otra partícula
de igual masa que está en reposo (𝑣2 = 0). ¿Cuáles son las velocidades de las dos
partículas después del choque, suponiendo que éste es elástico?
6. Un jugador de béisbol coloca una máquina de lanzar de 50 𝑘𝑔, y la coloca en el
montículo del lanzar. El suelo está cubierto por una delgada capa de hielo, de modo que
hay una fricción insignificante entre el suelo y la máquina. La máquina dispara
horizontalmente una pelota de 0.15 𝑘𝑔 con una rapidez de 36 𝑚/𝑠. ¿Cuál es la velocidad
de retroceso de la máquina?
7. Un niño arroja un paquete de 5.40 𝑘𝑔 en dirección horizontal desde un bote, con una
rapidez de 10.40 𝑚/𝑠. Calcule la velocidad resultante del bote, suponiendo que se
encontraba inicialmente en reposo, la masa del niño es de 45 𝑘𝑔 y la del bote
es de 85 𝑘𝑔.
8. Un cohete de 3700 𝑘𝑔 de masa total viaja por el espacio exterior con una velocidad
de 110 𝑚/𝑠 hacia el sol. Desea desviar su curso 35° y lo puede hacer encendiendo sus
cohetes durante un tiempo breve, en dirección perpendicular a su curso original.
Los gases de los cohetes salen expulsados a una velocidad de 1900 𝑚/𝑠. ¿Cuánta masa
de gases deberá expulsar?
9. Que fuerza se necesita para detener en 40 segundos una locomotora de 50000 𝑘𝑔
que viaja a una velocidad de 300 𝑚/𝑠.
86
10. Un sistema de partículas tiene una energía cinética de 10000 𝐽, pero una cantidad
de movimiento total de cero, ¿Esto es posible?
CUESTIONARIO III
1. ¿De qué manera cambia la cantidad de movimiento si la masa de un objeto se duplica?
2. ¿Qué relación guarda la dirección de la cantidad de movimiento con la dirección de la
velocidad?
3. La rapidez de un objeto se duplica. ¿Cuál es la diferencia entre el cambio en la magnitud
de la cantidad de movimiento del objeto y el cambio en su energía cinética?
4. Se sabe que un sistema que consiste en dos partículas tiene una cantidad de movimiento
total cero. ¿Entonces, la energía cinética del sistema también es cero? Explica.
5. De las siguientes cantidades cual (una o más) tiene la misma dirección que el impulso:
a) cantidad de movimiento, b) cambio en la cantidad de movimiento, c) velocidad,
d) fuerza o e) energía cinética.
6. ¿El impulso determina la cantidad de movimiento de un objeto o el cambio en la cantidad
de movimiento de un objeto?
7. Se suministran impulsos a los sistemas A, B, C y D, como se describe a continuación.
Clasifica los sistemas en orden de impulso creciente. Indica empates donde sea
adecuado.
Sistema A Sistema B Sistema C Sistema D
Magnitud de la fuerza 𝐹 2𝐹 5𝐹 10𝐹
Duración ∆𝑡 ∆𝑡/3 ∆𝑡/10 ∆𝑡/100
8. Un automóvil abandonado rueda lentamente por un estacionamiento vacío. Considera
los dos casos siguientes: 1) el automóvil golpea un poste de luz y llega al reposo,
2) El automóvil golpea una pila de bolsas plásticas para basura y llega al reposo.
a) ¿El impulso en el caso 1 es mayor que, menor que, o igual al impulso en el caso 2?
b) ¿La fuerza promedio en el caso 1 es mayor que, menor que, o igual a la fuerza
promedio en el caso 2?
9. ¿Cómo se relaciona la cantidad de movimiento con la fuerza externa total?
10. ¿De qué manera las fuerzas internas y externas afectan la cantidad de movimiento de un
sistema?
87
CUESTIONARIO IV
1. Si la fuerza externa total que actúa sobre un sistema es cero, ¿qué puedes decir acerca
de su cantidad de movimiento total?
2. Fuerzas internas pueden cambiar la cantidad de movimiento de cada uno de los objetos
dentro de un sistema. ¿De qué manera afectan la cantidad de movimiento total del
sistema?
3. Dos patinadores de hielo en reposo en el centro de una pista de hielo se empujan
mutuamente en direcciones opuestas. Identifica el sistema en el que se conserva
la cantidad de movimiento y menciona las fuerzas internas y externas que actúan sobre
el sistema.
4. Si sueltas tus llaves, su cantidad de movimiento aumenta mientras caen. ¿La cantidad de
movimiento de las llaves se conserva o la cantidad de movimiento del universo aumenta
a medida que las llaves caen? Explica.
5. Una persona está de pie bajo un paraguas mientras llueve. Pocos minutos después
las gotas de lluvia se convierten en granizo, aunque el número de gotas que golpean
el paraguas por unidad de tiempo y su rapidez permanecen constantes. ¿La fuerza
necesaria para sostener el paraguas en línea recta en el granizo es mayor que, menor que,
o igual a la fuerza necesaria para mantenerlo bajo la lluvia?
6. ¿Es posible que una pelota de béisbol tenga más cantidad de movimiento que un camión?
7. ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y cantidad de movimiento?
8. ¿Es posible que una fuerza pequeña suministre un impulso más grande que una fuerza
grande? Si es así, explica cómo.
9. Las bolsas de aire automotrices que se despliegan durante una colisión se diseñaron para
proteger a los ocupantes del vehículo. Con el concepto de impulso, explica de qué
manera las bolsas de aire protegen a los pasajeros de un automóvil.
10. Se suministra un impulso de 12.2 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠 a un objeto cuya cantidad de movimiento
inicial es de 4.5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠. El impulso tiene la misma dirección que la cantidad de
movimiento inicial. ¿Cuál es la cantidad de movimiento final del objeto?
88
CAPÍTULO V TORCA
5.1 TORCA
Otro concepto muy importante en el movimiento, es el momento de una fuerza o torca. La torca
es una medida de la fuerza que puede hacer que un objeto gire alrededor de un eje.
Así como en la cinemática lineal la fuerza es lo que hace que un objeto acelere, la torca es lo
que provoca que un objeto adquiera aceleración angular. Dicho concepto se entiende como la
tendencia a girar que recibe un cuerpo por la aplicación de una fuerza que provoca
aceleración angular (ver figura 5.1).
Fig. 5.1 Momento de una fuerza o Torca.
La torca puede ser estática o dinámica. Una torca estática es la que no produce una
aceleración angular. Alguien que empuja una puerta cerrada está aplicando una torca estática
a la puerta, ya que esta no gira sobre las bisagras a pesar de la fuerza aplicada. Alguien que
pedalea una bicicleta a velocidad constante también está aplicando una torca estática ya que no
está acelerando. El eje de transmisión de un coche de carreras que acelera de la línea de salida
lleva una torca dinámica porque debe producir una aceleración angular en las llantas, ya que el
automóvil acelera a lo largo de la pista.
Al igual que en el movimiento traslacional (variación de la posición del cuerpo en el espacio
con el tiempo. Indica si el cuerpo se mueve, es decir, si varía su posición a medida que varía
el tiempo, está en movimiento), se requiere una fuerza para producir un cambio en el momento
rotacional.
La razón de cambio del movimiento depende no sólo de la magnitud de la fuerza, sino también
de la distancia perpendicular entre su línea de acción y el eje de rotación. Dicha línea de acción
de una fuerza es una línea imaginaria que pasa por la flecha del vector de fuerza, es decir,
la línea a lo largo de la cual actúa la fuerza.
Se ha definido la fuerza como un tirón o empujón que tiende a causar un movimiento.
El momento de fuerza se define como la tendencia a producir un cambio en el movimiento
rotacional. El movimiento rotacional se ve afectado tanto por la magnitud de la fuerza como
por el radio en el cual actúa la fuerza, llamado brazo de palanca o de momento (𝑟).
89
La tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor del mismo eje se mide por
una cantidad denominada torca (𝝉). La magnitud de la torca debida a la fuerza es,
𝜏 = 𝐹 𝑟⊥ (5.1)
En esta ecuación (𝑟⊥) es la longitud el brazo de palanca o brazo de momento de la fuerza (𝐹).
El brazo de palanca es la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta una línea
trazada a lo largo de la dirección de la fuerza. El valor de (𝝉) depende del eje de rotación.
La torca es un vector perpendicular al plano determinado por el brazo de palanca y la fuerza.
Para los problemas bidimensionales que se emplean en la mayoría de los casos, la torca entra
o sale del plano del papel.
Las unidades de la torca son [𝑵 ∙ 𝒎]. Cabe aclarar que el momento de fuerza o torca es un
concepto independiente del trabajo y su unidad no es el Joule. Medir una torca estática en un
sistema que no rota es generalmente bastante fácil, y se hace al medir una fuerza.
Dada la longitud del brazo de palanca, la torca se puede encontrar directamente.
La dirección del momento de torsión depende de si éste tiende a producir la rotación en el
sentido de avance de las manecillas del reloj, o sentido horario, o en dirección contraria a ellas,
o sentido anti horario. Si la fuerza o momento de torsión tiende a producir una rotación con
respecto a un eje coordenado contraria a la de las manecillas, el momento de torsión se
considerará positivo; y para una rotación en el sentido de las manecillas del reloj será
negativo. En la figura 5.2 observamos,
𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹 = 𝑟𝐹 𝑠𝑒𝑛 휃 (5.2)
Donde 𝑟 es la longitud del brazo de palanca y 휃 es el ángulo entre el vector fuerza y el brazo de
palanca. Para el caso a) La distancia perpendicular 𝑟⊥ entre el eje de rotación y la línea de acción
de la fuerza que sería el brazo de palanca se denomina 𝑟 𝑠𝑒𝑛 휃. El momento de fuerza (o par de
torsión) que produce movimiento rotacional es 𝜏 = 𝑟⊥ 𝐹. b) La misma fuerza en la dirección
opuesta con un menor brazo de palanca produce un momento de fuerza menor en la dirección
opuesta.
En este caso observamos que 𝑟⊥ 𝐹 = 𝐹 𝑟⊥ ó (𝑟 𝑠𝑒𝑛 휃) 𝐹 = 𝑟 (𝐹 𝑠𝑒𝑛 휃). c) Cuando actúa una
fuerza a través del eje de rotación, 𝑟⊥ = 0 y 𝜏 = 0.
Fig. 5.2 Momento de fuerza y brazo de palanca. a) Momento de fuerza anti horario, b) Momento de
fuerza horario y c) Momento de fuerza cero.
90
No siempre se produce una aceleración rotacional cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo
rígido estacionario. Por las definiciones anteriores, vemos que, cuando la fuerza actúa a través
del eje de rotación tal que 휃 = 0, entonces 𝜏 = 0. También, cuando 휃 = 90°, el momento de
fuerza es máximo y la fuerza actúa perpendicularmente a 𝑟. Por lo tanto, la aceleración angular
depende de dónde se aplique una fuerza perpendicular y de la longitud del brazo de palanca.
Podemos ver el momento de fuerza en movimiento rotacional como similar a la fuerza en
movimiento rotacional. Una fuerza neta, no equilibrada, modifica un movimiento traslacional,
y un momento de fuerza neto, no equilibrado, modifica un movimiento rotacional.
El momento de fuerza es un vector. Su dirección siempre es perpendicular al plano que
forman los vectores de fuerza y de brazo de palanca, y está dada por una regla de la mano
derecha como la que se emplea con la velocidad angular. Si los dedos de la mano derecha se
enroscan alrededor del eje de rotación en la dirección de la aceleración rotacional (angular) que
producirá el momento de fuerza, el pulgar extendido apuntará en la dirección del momento de
fuerza.
Fig. 5.3 Regla de la mano derecha aplicada a la torca.
La dirección del vector de la torca incorpora dos piezas de información que describen la torca.
1) El plano en el que el objeto rota (o podría rotar). Esto no es arbitrario. 2) La dirección de
rotación (en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario). En principio, esto puede
definirse de manera distinta dependiendo de la ubicación del observador. Una manera de
describir un plano en tres dimensiones es con un vector perpendicular al plano como se muestra
en la figura 5.4. El vector de la torca es el vector normal al plano de rotación.
Fig. 5.4 Vector perpendicular al plano de rotación.
En la cinemática rotacional, la torca toma el lugar de la fuerza en la cinemática lineal.
Hay un equivalente directo a la segunda ley de Newton 𝐹 = 𝑚𝑎, 𝜶 es la aceleración angular
e 𝑰 es la inercia rotacional, una propiedad de un sistema que rota y que depende de la
distribución de masa del sistema.
91
𝜏 = 𝐼 𝛼 (5.3)
Mientras más grande sea 𝐼, más difícil será que un objeto adquiera aceleración angular.
Podemos definir la inercia rotacional de un cuerpo como,
𝐼 = 𝑚 𝑟2 (5.4)
Donde 𝑚 es la masa y 𝑟 el radio del objeto. El concepto de equilibrio rotacional es el equivalente
de la primera ley de Newton para un sistema en rotación. Un objeto que no está girando continúa
sin rotar a menos que una torca externa actúe sobre él. Del mismo modo, un objeto que gira a
velocidad angular constante continúa rotando a menos que una torca actúe sobre él.
Este concepto es generalmente útil en problemas que involucran múltiples torcas que actúan en
un objeto giratorio. En este caso, lo que es importante es la torca neta. Si esta es cero entonces
el sistema estará en equilibrio rotacional y no podrá tener aceleración angular.
Otra relación importante es entre torca y energía. Como lo mencionamos anteriormente
tienen las mismas dimensiones, es decir, que se pueden escribir en las mismas unidades
fundamentales, pero no son una medida de la misma cosa. Se diferencian en que la torca es una
cantidad vectorial definida únicamente para un sistema en rotación.
Sin embargo, se puede calcular la potencia a partir de la torca si se conoce la velocidad de gira.
Los caballos de fuerza de un motor no suelen medirse directamente, sino que se calculan
a partir de medidas de la torca y la velocidad de rotación,
𝑃 =𝐹 𝑑
𝑡=
𝐹 2휋𝑟
𝑡= 2휋𝑡𝜔 = 𝑡𝜔 (5.5)
Junto con los caballos de fuerza, la torca máxima producida por el motor de un vehículo es una
especificación importante y comúnmente citada. Hablando de forma práctica, la torca máxima
es relevante para describir qué tan rápido acelera un vehículo y su capacidad para tirar de una
carga.
Los caballos de fuerza y la torca son especificaciones generalmente útiles y son de uso limitado
al hacer cálculos que implican el movimiento general de un vehículo. Esto se debe a que en la
práctica ambos varían en función de la velocidad de rotación. La relación general puede no ser
lineal y cambia para diferentes tipos de motor.
A menudo es necesario aumentar y disminuir la torca producida por un motor para que se adapte
a diferentes aplicaciones. La longitud de una palanca puede aumentar o disminuir la fuerza
sobre un objeto dependiendo de la distancia a la cual se empuje la palanca.
Del mismo modo, se puede aumentar o disminuir la torca producida por un motor mediante el
uso de engranajes. El aumento de la torca viene con una disminución proporcional en la
velocidad de rotación. El embone de dos dientes de engranaje puede considerarse equivalente
a la interacción de un par de palancas (ver figuras 5.5).
92
Fig. 5.5 Comparación entre engranes y palancas.
Como ejemplo podríamos suponer que aplicamos una fuerza a una puerta de vidrio pesada que
se abre en ambas direcciones. El punto donde apliquemos la fuerza influirá mucho en la facilidad
con que la puerta se abre o gira (sobre las bisagras de su eje). La fuerza produce un momento
de fuerza pequeño y poca o ninguna aceleración rotacional.
Considerando el ejemplo podemos deducir una expresión donde relacionemos el momento de
fuerza o torca (momento dinámico) y el momento cinético. El momento cinético (𝑙) de una
partícula respecto al origen se define como,
𝑙 ̅ = 𝑟 �⃗� (5.6)
Como se mencionó anteriormente, para una partícula 𝐹 =∆(𝑚𝑣)
∆𝑡=
∆�⃗�
∆𝑡. Tomamos el producto
vectorial de 𝑟 con ambos miembros de esta ecuación, obteniendo,
𝑟 𝐹 = 𝑟 ∆�⃗�
∆𝑡 (5.7)
Pero (𝑟 𝐹 ) es el momento de fuerza o torca, respecto al origen. Por lo tanto, podemos escribir,
𝜏 = 𝑟 ∆�⃗�
∆𝑡 (5.8)
Usando la ecuación del momento cinético, tenemos,
𝜏 =∆𝑙
∆𝑡 (5.9)
La ecuación del momento cinético nos indica que la velocidad de cambio del momento
cinético de una partícula es igual a la torca que actúa sobre ella.
93
PROBLEMAS
Problema 5.1
Un mecánico ejerce una fuerza de 20 lb en el extremo de una llave inglesa de 10 in, como se
observa en la figura del problema. Si este tirón forma un ángulo de 60° con el mango de la llave.
¿Cuál es el momento de torsión producido en la tuerca?
Problema 5.2
La figura del problema es una vista desde arriba de una caja de empaque empujada por dos
fuerzas de igual magnitud que actúan en direcciones opuestas. Determine la torca neta ejercida
sobre la caja si su ancho es de 1 m. Suponga que existe un eje de rotación que pasa por el centro
de la caja.
Problema 5.3
Encuentre la torca producida por la fuerza de 300 N aplicada a un ángulo de 60° a la puerta de
la figura del problema.
94
Problema 5.4
Cuando el conductor de un automóvil pisa el acelerador, la nariz del auto se mueve hacia
adelante. Cuando frena, la nariz se mueve hacia abajo. ¿Por qué ocurren estos efectos?
Problema 5.5
Dos ruedas delgadas en forma de disco, de radios 𝑟𝐴 = 30 𝑐𝑚 y 𝑟𝐵 = 50 𝑐𝑚, están unidas una
a la otra sobre un eje que pasa a través del centro de cada una, como se observa en la figura del
problema. Calcula la torca neta sobre esta rueda compuesta que se debe a las dos fuerzas
mostradas, cada una con magnitud de 50 N.
Problema 5.6
El bíceps ejerce una fuerza vertical sobre el antebrazo, cuando está flexionado como se observa
en la figura (a) y (b) del problema. Para cada caso, calcule la torca en torno al eje de rotación a
través de la articulación del codo, suponiendo que el músculo está unido a 5 𝑐𝑚 del codo, como
se observa.
95
Problema 5.7
Determina el momento de fuerza total causado por tres fuerzas en una barra que tiene su eje de
giro en la parte central.
Problema 5.8
Una persona se agacha como se observa en la figura del problema. Para la mayoría de nosotros
el centro de gravedad del cuerpo está en la región del pecho o cerca de éste. Al inclinarnos,
esto origina un momento de fuerza que tiende a producir rotación entorno a un eje en la base de
la espina dorsal, y podría ocasionar una caída. ¿Por qué no nos caemos cuando nos inclinamos
de esta forma? Consideramos solo el torso superior.
Problema 5.9
Para detener la rueda de una bicicleta que gira, suponga que usted
oprime radialmente hacia adentro desde dos lados opuestos de la
misma con dos fuerzas iguales de 10 N, como se observa en la figura
del problema. El radio de la rueda es de 32 cm y el coeficiente de
fricción cinética entre la llanta y sus manos es de 0.75. La rueda gira
en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es el momento de
torsión neto sobre la rueda?
96
Problema 5.10
El mecanismo automático de cierre de un mosquitero está unido a una puerta, a 47 cm de las
bisagras, y tira de la puerta con una fuerza de 25 N, forma con ella un ángulo de 15°. Calcule la
magnitud del momento de torsión que se ejerce sobre la puerta por esta fuerza en torno del eje
de rotación a través de las bisagras, use a) la componente perpendicular de la fuerza y b) el brazo
de palanca, y c) ¿Cuál es el signo de este momento de torsión visto desde arriba?
Problema 5.11
Un mecánico hace girar una llave de tuercas aplicando una fuerza de 25 N a una distancia de 16
cm del eje de rotación. La fuerza es perpendicular al mango de la llave. ¿Cuál es la magnitud
del momento de torsión que aplica a la llave?
Problema 5.12
El cordón para poner en marcha el motor de una cortadora de césped está enrollado en un tambor
de 6 cm de radio. Cuando se tira del cordón con una fuerza de 75 N para poner en marcha el
motor. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión que el cordón aplica sobre el tambor?
Problema 5.13
Una fuerza de 46.4 N se aplica al borde exterior de una puerta de 1.26 m de ancho de manera
que ejerce su acción a) en dirección perpendicular a la puerta, b) formando un ángulo de
43° respecto a la superficie de la puerta, c) de manera que la línea de acción de la fuerza pasa
por el eje de la bisagra de la puerta. Calcule el momento de torsión para estos tres casos.
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Problema 5.14
Una puerta tipo trampa, de 1.65 𝑚 de largo y de ancho, se mantiene abierta formando un ángulo
de 65° con el piso. Una cuerda está atada al borde de la puerta levantándola y también a una
pared que está detrás, en una posición en la cual tira perpendicularmente de la puerta. Si la masa
de la puerta es de 16.8 𝑘𝑔, ¿Cuál es el momento de torsión que la cuerda ejerce sobre la puerta?
Problema 5.15
Cualquier pareja de fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre el mismo objeto recibe el
nombre de par. Considere el par descrito en la parte a) de la figura del problema. El eje de
rotación es perpendicular a la página y pasa por el punto 𝑃. A) Demuestra que el momento de
torsión neto debido a este par es igual a 𝐹𝑑, donde 𝑑 es la distancia entre las líneas de acción de
las dos fuerzas. En virtud de que la distancia 𝑑 es independiente de la ubicación del eje de
rotación, esto demuestra que el momento de torsión es el mismo para cualquier eje de rotación.
B) Repita la operación con el par de la parte b) de la figura. Demuestre que el momento de
torsión continúa siendo 𝐹𝑑 si 𝑑 es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las
fuerzas.
Problema 5.16
Una puerta uniforme pesa 50 N y mide 1 m de ancho y 2.6 m de alto. ¿Cuál es la magnitud del
momento de torsión debido al propio peso de la puerta sobre un eje horizontal que es
perpendicular a la puerta y que pasa por una esquina?
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Problema 5.17
Un niño de 40 kg de masa está sentado sobre un sube y baja a una distancia de 2 m del eje de
apoyo. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión sobre el eje debido al peso del niño?
Problema 5.18
Una masa de 124 g está colocada sobre un platillo de una balanza, en un punto que se encuentra
a 25 cm del soporte de la balanza. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión que la masa
ejerce sobre el soporte?
Problema 5.19
Una torre que se erige fuera de los edificios del Parlamento de Londres, ostenta un famoso reloj
al que comúnmente se designa con el Big Ben, en referencia al nombre de su gran campana de
13 toneladas. La manecilla horaria de cada una de las caras del famoso reloj Big Ben mide 2.7
m de longitud y tiene una masa de 60 kg. Suponga que la manecilla horaria es una varilla
uniforme sujeta por uno de los extremos. a) ¿Cuál es el momento de torsión sobre el mecanismo
del reloj debido al peso de una de las cuatro manecillas horarias cuando el reloj marca el
mediodía? El eje de rotación es perpendicular a una cara del reloj y pasa por el centro del mismo.
b) ¿Cuál es el momento de torsión debido al peso de una manecilla horaria sobre el mismo eje
cuando el reloj marca las 9:00 a.m.?
Problema 5.20
Una pieza angular de hierro gira sobre un gozne o bisagra, como se observa en la figura (a) del
problema. Determina el momento de torsión resultante en A debido a las fuerzas de 60 𝑁
y 80 𝑁.
99
CUESTIONARIO I
1. Define el concepto de momento de una fuerza y menciona 3 ejemplos.
2. ¿Es lo mismo momento de fuerza que momento de torsión? Explica.
3. ¿Cómo se calcula la torca neta aplicada?
4. Dibuja un diagrama de cuerpo libre donde se aplica un momento de torsión.
5. ¿Cuáles son las unidades de torca en el SI y en el sistema inglés?
6. ¿Por qué es útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de
torsión resultante? Explica.
7. ¿A qué se le llama brazo de palanca?
8. ¿El movimiento rotacional es afectado cuando se aplica una fuerza por un brazo de
palanca? Explica y menciona dos ejemplos.
9. ¿De qué depende que sea positivo o negativo el momento de torsión?
10. ¿Cómo se le llama a la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de
la fuerza? Dibuja un diagrama
100
CUESTIONARIO II
1. Explica que es una torca estática y una dinámica. Menciona dos ejemplos de cada una.
2. Explica la dirección de la torca usando la regla de la mano derecha.
3. Explica con tus palabras el papel que desempeña el concepto torca en la cinemática
rotacional.
4. ¿Cuál es la relación entre aceleración angular, inercia rotacional y torca?
5. Explica el concepto de equilibrio rotacional.
6. ¿Cómo se relaciona la torca con la potencia y la energía?
7. ¿Cómo se relacionan los caballos de fuerza y la torca máxima producida en un motor?
8. ¿Cómo se puede aumentar o disminuir la torca producida en una maquina o motor?
9. Explica que es la energía cinética rotacional, y su relación con la torca.
10. ¿Cuál es la relación entre la torca y la aceleración angular en un cuerpo rígido?
CUESTIONARIO III
1. Se coloca una tuerca con una llave española. Si el brazo de palanca 𝑟 es de 30 𝑐𝑚,
y la torca de apriete es de 30 𝑁 ∙ 𝑚, ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza 𝐹 aplicada?
2. Una caña de pescar mide 2 𝑚 de largo, está inclinada respecto a la horizontal formando
un ángulo de 20°. ¿Cuál es el momento de torsión ejercido por un pez alrededor de un
eje perpendicular a la página y que pasa por la mano del pescador?
3. Se ejerce una fuerza de 10 𝑁 en el extremo de una llave inglesa de 25 𝑐𝑚.
Si este movimiento forma un ángulo de 55° con el mango de la llave. ¿Cuál es el
momento de torsión producido en la tuerca?
4. Encuentre la torca producida por una fuerza de 723 𝑁 debido a un brazo de palanca de
3.28 𝑚, aplicada a un ángulo de 36°.
101
5. Una puerta de un almacén tiene un peso de 895 𝑁 y mide 2.3 𝑚 de ancho y 3.9 𝑚 de
alto. ¿Cuál es el momento de torsión debido al peso de la puerta sobre un eje horizontal
que es perpendicular a la puerta y que pasa por una esquina?
6. Una persona de 62 𝑘𝑔 de masa está sentado sobre un columpio sube y baja a una
distancia de 4.2 𝑚 del eje. ¿Cuál es el momento de torsión sobre el eje?
7. ¿Cuál es el momento de torsión que se ejerce sobre el soporte de una balanza de un
objeto de 5 𝑘𝑔 colocado sobre un platillo de dicha balanza, en un punto que se encuentra
a 13 𝑐𝑚 del soporte?
8. Un péndulo simple está formado por un pequeño objeto de 3 𝑘𝑔 de masa que pende del
extremo de una cuerda delgada de 2 𝑚 de largo conectada a un punto pivote. Calcula la
torca (debido a la fuerza de la gravedad) alrededor de este punto pivote cuando la cuerda
forme un ángulo de 5° con respecto a la vertical.
9. Calcula la torca alrededor del eje 𝐴 en la figura del problema debida a cada una de las
fuerzas que se muestran.
10. Determine el torque aplicado a dicha palanca.
102
CAPÍTULO VI MOMENTO DE INERCIA
6.1 MOMENTO DE INERCIA
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea
en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del
Movimiento de Newton lo cual nos dice: todo cuerpo permanece en estado de reposo o de
movimiento constante hasta que una fuerza externa no equilibrada lo haga cambiar de posición.
La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose
en línea recta a la misma velocidad.
Un momento es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar
elementos en torno a un eje o punto. El momento es constante, se puede tomar en cualquier
punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el
punto y la dirección de la fuerza. El momento de inercia es similar a la inercia, con la diferencia
que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia puede interpretarse como
una nueva definición de masa. El momento de inercia es masa rotacional y depende de la
distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor es la distancia entre la masa y el centro de
rotación mayor es el momento de inercia. Se relaciona con las tensiones y deformaciones
máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este
valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las
propiedades de dicho material.
Así como un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo y un objeto en movimiento tiende
a permanecer en movimiento en línea recta, un objeto que gira en torno a un eje tiende a
permanecer girando en torno al mismo eje a menos que alguna influencia externa interfiera en
él. La propiedad de un objeto a resistir los cambios en su estado de movimiento rotacional
se llama momento de inercia o inercia rotacional (𝐈). La inercia rotacional de un cuerpo
depende del eje en torno al cual esté girando, así como de la manera en que esté distribuida su
masa.
En otras palabras, el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de
un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro; desempeña un papel análogo
al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo uniforme, y es el valor escalar del
momento angular longitudinal de un sólido rígido. El momento de inercia de un cuerpo depende
de su forma (distribución de masa) y de la posición del eje de rotación. Aún para un mismo
cuerpo, el momento de inercia puede ser distinto, si se considera ejes de rotación ubicados en
distintas partes del cuerpo.
Un mismo objeto puede tener distintos momentos de inercia, dependiendo de dónde se considere
el eje de rotación. Mientras la masa este más alejada del eje de rotación, mayor es el momento
de inercia. Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje desarrolla inercia a la
rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de
giro.
103
El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuanto mayor
sea la distancia entre la concentración de masa de un objeto y el eje, mayor será la inercia
rotacional. Mientras mayor sea la inercia rotacional de un objeto, mayor es la dificultad
para cambiar su estado de rotación. Para una partícula que se mueve en un círculo de radio
𝑅 tiene una velocidad lineal dada por,
𝑣 = 𝜔 𝑅 (6.1)
Si la partícula tiene una masa 𝑚, tendrá una energía cinética que se obtiene por,
𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 =
1
2𝑚𝜔2𝑅2 (6.2)
Un cuerpo rígido se puede considerar que está formado por muchas partículas de diferentes
masas localizadas a diversas distancias del eje de rotación. La energía cinética total de un cuerpo
será entonces la suma de las energías cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo,
𝐸𝑐 = ∑1
2𝑚𝜔2𝑟2 (6.3)
Como la constante 1
2 y la velocidad angular 𝜔 son las mismas para todas las partículas se puede
reescribir la ecuación 6.3 como,
𝐸𝑐 =1
2(∑𝑚𝑟2)𝜔2 (6.4)
La cantidad entre paréntesis tiene el mismo valor para un cuerpo dado independientemente de
su estado de movimiento. Se define esta cantidad como el momento de inercia (𝐼),
𝐼 = 𝑚1𝑟12 + 𝑚2𝑟2
2 + 𝑚3𝑟32+⋯ (6.5)
o bien,
𝐼 = ∑𝑚 𝑟2 (6.6)
La unidad del Sistema Internacional para el momento de inercia (𝑰) es [𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐].
Podemos expresar la energía cinética rotacional de un cuerpo rígido en términos de su momento
de inercia y de su velocidad angular,
𝐸𝑐 =1
2 𝐼 𝜔2 =
𝐼 𝜔2
2 (6.7)
La energía cinética de la ecuación 6.7 no es una nueva forma de energía; es simplemente la
suma de las energías cinéticas de las partículas que constituyen el cuerpo rígido en rotación. La
rapidez angular 𝜔 debe medirse en radianes por segundo, no revoluciones ni grados por
segundo, con la finalidad de obtener 𝐸𝑐 en Joules. La ecuación ofrece una interpretación física
sencilla del momento de inercia: Cuanto mayor sea el momento de inercia, mayor será la
energía cinética de un cuerpo rígido que gira con una rapidez angular 𝜔.
104
Como se mencionó anteriormente, la energía cinética de un cuerpo es igual al trabajo efectuado
para acelerar ese cuerpo desde el reposo. De esta manera, cuanto mayor sea el momento de
inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar si está en reposo, y más difícil será
detener su rotación si ya está girando. Por esta razón, 𝑰 también se denomina inercia
rotacional.
6.2 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (Huygens-Steiner)
Un cuerpo no tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el
número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No obstante, hay una relación simple entre
el momento de inercia 𝐼𝑐𝑚 de un cuerpo de masa 𝑀 alrededor de un eje que pasa por el centro
de masa y el momento de inercia 𝐼𝑝 alrededor de cualquier otro eje paralelo al original, pero
desplazado una distancia 𝑑. Esta relación, llamada Teorema de los Ejes Paralelos nos dice que,
𝐼𝑝 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀𝑑2 (6.8)
El Teorema de Ejes Paralelos relaciona los momentos de inercia de un cuerpo rígido de
masa 𝑴 alrededor de dos ejes paralelos: un eje que pasa por el centro de masa (momento
de inercia 𝑰𝒄𝒎) y un eje paralelo que está a una distancia 𝒅 del primero (momento de
inercia 𝑰𝒑).
Para demostrarlo, consideramos dos ejes paralelos al eje 𝑧; uno pasa por el centro de masa: y el
otro por un punto 𝑃 como se observa en la figura 6.1
Fig. 6.1 El elemento de masa 𝑚𝑖 tiene coordenadas (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) con respecto a un eje de rotación que pasa
por el centro de masa (𝑐𝑚), y coordenadas (𝑥𝑖 − 𝑎, 𝑦𝑖 − 𝑏) con respecto al eje paralelo que pasa por el punto 𝑃.
Primero tomamos una rebanada muy delgada del cuerpo, paralela al plano 𝑥𝑦 y perpendicular
al eje 𝑧. Tomamos el origen del sistema de coordenadas en el centro de masa del cuerpo; así, las
coordenadas del centro de masa son 𝑥𝑐𝑚 = 𝑦𝑐𝑚 = 𝑧𝑐𝑚 = 0. El eje que pasa por el centro de
masa atraviesa esta rebanada delgada en el punto 𝑂, y el eje paralelo la atraviesa en el punto 𝑃,
cuyas coordenadas 𝑥 y 𝑦 son (𝑎, 𝑏). La distancia entre este eje y el que pasa por el centro de
masa es 𝑑, donde 𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2.
105
Podemos escribir una expresión para el momento de inercia 𝐼𝑝 alrededor del eje que pasa por 𝑃.
Sea 𝑚𝑖 un elemento de masa de nuestra rebanada, con coordenadas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖). EL momento de
inercia 𝐼𝑐𝑚 de la rebanada alrededor del eje que pasa por el centro de masa (en 𝑂) es,
𝐼𝑐𝑚 = ∑𝑚𝑖(𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖
2)
𝑖
(6.9)
En estas expresiones no intervienen las coordenadas 𝑧𝑖, medidas perpendicularmente a las
rebanadas, así que podemos extender las sumatorias para incluir todas las partículas de todas las
rebanadas. Así, 𝐼𝑝 será el momento de inercia de todo el cuerpo para un eje que pasa por 𝑃.
Expandiendo los cuadrados y reagrupando tenemos,
𝐼𝑝 = ∑𝑚𝑖(𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖
2) − 2𝑎 ∑𝑚𝑖𝑥𝑖 − 2𝑏 ∑𝑚𝑖𝑦𝑖 + (𝑎2 + 𝑏2)∑𝑚𝑖
𝑖𝑖
(6.10)
𝑖𝑖
La primer sumatoria es 𝐼𝑐𝑚. Por la definición de centro de masa, la segunda y tercera sumatorias
son proporcionales a 𝑥𝑐𝑚 y 𝑦𝑐𝑚, que son cero porque tomamos el origen en el centro de masa.
El último término es 𝑑2 multiplicada por la masa total, es decir 𝑀𝑑2. Queda demostrado la
ecuación 6.8.
Esta ecuación nos muestra que un cuerpo rígido tiene menor momento de inercia alrededor de
un eje que pasa por el centro de masa, que alrededor de cualquier otro eje paralelo. Por ello, es
más fácil poner a girar un cuerpo si el eje de rotación pasa por el centro de masa. Esto sugiere
que, de algún modo, es más natural que un cuerpo en rotación gire sobre un eje que pasa por su
centro de masa.
6.3 MOMENTO DE INERCIA DE CUERPOS SÓLIDOS
Si consideramos a un cuerpo hecho por un número de partículas discretas, podemos calcular su
inercia de rotación en torno a cualquier eje a partir de la ecuación del momento de inercia, en la
cual la suma se toma sobre todas las partículas. Sin embargo, si lo vemos como una distribución
continua de materia, podemos imaginarlo dividido en un gran número de pequeños elementos
de masa. Cada elemento de masa está ubicado a una determinada distancia perpendicular al eje
de rotación.
Para calcular el momento de inercia de cuerpos sólidos y simétricos, consideraremos que sus
ejes de rotación pasan a través de un plano de simetría del cuerpo que contiene al centro de
masa, que no están compuestos por masas separadas, sino que son en realidad distribuciones
continuas de materia. Los cálculos del momento de inercia para este tipo de cuerpos son
complejos y más difíciles debido a que requieren conocimientos de cálculo diferencial e integral
para realizarlos. En este libro no realizaremos esos cálculos, únicamente utilizaremos las tablas
para momentos de inercia de diferentes figuras geométricas. En la tabla 1 se muestran algunos
casos sencillos, junto con las ecuaciones para realizar el cálculo de sus momentos de inercia.
106
Tabla 1 Momentos de inercia de objetos con densidad uniforme.
107
PROBLEMAS
Problema 6.1
Una rueda de 6.0 𝑘𝑔 de masa y con un radio de giro de 40 𝑐𝑚. Está rodando 300 𝑟𝑝𝑚.
Encuentra el momento de inercia y su energía cinética rotacional.
Problema 6.2
Una pequeña esfera de 2.0 𝑘𝑔 de masa gira en el extremo de una cuerda de 1.2 𝑚 de largo en
un plano horizontal alrededor de un eje vertical. Determine su momento de inercia con respecto
a ese eje.
Problema 6.3
¿Cuál es el momento de inercia de una esfera sólida homogénea de 10 𝑘𝑔 de masa y radio de
20 𝑐𝑚, alrededor de un eje que pasa por su centro?
Problema 6.4
Un aro cilíndrico delgado con un diámetro de 1.0 𝑚 y una masa de 400 𝑔 rueda hacia debajo
de la calle. ¿Cuál es el momento de inercia del aro en torno a su eje central de rotación?
Problema 6.5
Una hélice de avión tiene una masa de 70 𝑘𝑔, y un radio de giro de 75 𝑐𝑚. a) Encuentra el
momento de inercia de la hélice, b) Calcula la torca no equilibrada que se necesita para darle
una aceleración angular de 4.0 𝑟𝑒𝑣/𝑠2.
Problema 6.6
Determina el momento de inercia para el sistema que se observa en la figura. El peso de las
barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de
6 𝑟𝑎𝑑/𝑠. ¿Cuál es la energía cinética rotacional? Considera que las masas son puntuales.
108
Problema 6.7
Dos pequeños pesos de 5.0 𝑘𝑔 y 7.00 𝑘𝑔 de masa, se colocan separados 4.0 𝑚 sobre una barra
ligera (cuya masa es despreciable). Calcula el momento de inercia del sistema a) cuando gira en
torno a un eje a la mitad entre los pesos, y b) cuando gira en torno a un eje a 0.50 𝑚 a la izquierda
de la masa de 5. 0 𝑘𝑔.
Problema 6.8
Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de
1 𝑘𝑔 cada una, situadas a (0.0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1.0 ) m. de uno de los extremos como muestra
la figura. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de: a) un extremo, b) de la segunda masa y c) del centro de masa.
Problema 6.9
Una pieza de un acoplamiento mecánico (ver figura) tiene una masa de 3.6 𝑘𝑔. Medimos su
momento de inercia alrededor de un eje que pasa a 0.15 𝑚 de su centro de masa y obtenemos
𝐼𝑝 = 0.132 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. Calcule el momento de inercia 𝐼𝑐𝑚 alrededor de un eje paralelo que pasa
por el centro de masa.
109
Problema 6.10
Calcula el momento de inercia en torno al eje indicado para cada una de las configuraciones
unidimensionales de la mancuerna de la figura. Considera insignificante la masa de la barra
conectora.
Problema 6.11
Una esfera uniforme de 500 𝑔 y 7.0 𝑐𝑚 de radio gira a 30 𝑟𝑒𝑣/𝑠 sobre un eje que pasa por su
centro. Encuentra a) energía cinética rotacional, b) cantidad de movimiento angular y c) radio
de giro.
Problema 6.12
Calcula la inercia rotacional o momento de inercia de una varilla de masa 𝑀 y longitud 𝐿 que
gira sobre su eje perpendicular a través de su punto medio como se observa en la figura. En el
inciso a) la varilla gira sobre un eje vertical que pasa por su centro. b) la misma varilla, vista
como dos varillas, cada una de la mitad de longitud de aquélla, giran sobre un eje que pasa por
uno de los extremos.
Problema 6.13
A una cuerda enredada alrededor de una polea de masa 𝑀 = 4.0 𝑘𝑔
y radio 𝑅 = 33.0 𝑐𝑚, se le aplica una fuerza de 15.0 𝑁 (representada por
𝐹 𝑇). La polea acelera uniformemente desde el reposo hasta una rapidez
angular de 30 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en 3.0 𝑠. Si existe una torca de fricción
𝜏𝑓𝑟 = 1.10 𝑚 ∙ 𝑁 en el eje, determine el momento de inercia la polea.
La polea gira en torno a su centro.
110
Problema 6.14
Calcula el momento de inercia de una varilla con masa 𝑚 y
longitud 𝐿, respecto a un eje perpendicular a una distancia 𝐿/4
de un extremo.
Problema 6.15
Calcula el momento de inercia de un disco homogéneo de masa 𝑚 y longitud 𝐿, respecto aun
eje perpendicular a distancia 𝐿/4 de un extremo.
Problema 6.16
El momento de inercia de un cuerpo de masa 2 𝑘𝑔 respecto a un eje que pasa a 0.5 𝑚 del centro
de masa, vale 0.4 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo situado a
0.3 𝑚 más lejos del centro de masa.
Problema 6.17
Estima el momento de inercia de una varilla uniforme delgada de longitud 𝐿 y masa 𝑀 respecto
de un eje perpendicular a la varilla que pasa por uno de sus extremos. Realiza la estimación
suponiendo que la varilla está constituida por tres masas puntuales, cada una de ellas con un
tercio del total de su masa.
111
Problema 6.18
Un objeto consiste en cuatro partículas de masa 𝑚 unidas mediante varillas ligeras sin masa que
forman un rectángulo de lados 2𝑎 y 2𝑏. El sistema gira alrededor de un eje situado en el plano
de la figura, pasando por el centro. a) Determina la energía cinética de este objeto. b) Comprobar
el resultado calculando la energía cinética de cada partícula y sumándola hasta obtener la energía
cinética total.
Problema 6.19
Calcula el momento de inercia de la Tierra, si la masa de ella es 6 × 1024 𝑘𝑔 y tiene un radio
ecuatorial de 6370 𝑘𝑚.
Problema 6.20
En la parte superior de un plano inclinado hay dos esferas idénticas de 2 𝑘𝑔 de masa y un radio
de 10 𝑐𝑚, pero la primera es maciza y la segunda tiene la corteza delgada. a) Determine la
inercia rotacional de cada esfera. b) ¿Cuál de las dos va acelerar más rápido?
112
CUESTIONARIO I
1. Define el concepto de Inercia.
2. ¿Por qué y cómo se relaciona el momento de inercia con la torca?
3. Explica el Teorema de Steiner.
4. ¿Cómo es el momento de inercia de una distribución continua de masa?
5. Calcula el momento de inercia de un disco de masa 𝑀 y radio 𝑅.
6. Calcula el momento de inercia de un cilindro sólido de masa 𝑀, radio 𝑅 y longitud 𝐿.
7. Calcula el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa 𝑀 y de lados
𝑎 y 𝑏.
8. Calcula el momento de inercia de una esfera sólida de masa 𝑀 y radio 𝑅.
9. Explica ¿Por qué para un animal de patas cortas, su inercia rotacional es menor que
para otro de patas largas?
10. Un objeto rígido, ¿puede tener más de un momento de inercia? Explica.
113
CUESTIONARIO II
1. ¿Qué sucede con el momento de inercia de una bailarina cuando está girando y
extiende los brazos?
2. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario ¿Cómo se define el momento de
inercia?
3. ¿Que indica el momento de inercia de un cuerpo?
4. ¿Como se expresa la energía cinética de un cuerpo en rotación?
5. ¿A qué se le llama momento?
6. Explica por qué el momento de inercia es similar a la inercia
7. Busca una tabla de los momentos de inercia para objetos con densidad uniforme
8. Define que es el momento polar de inercia.
9. Define que es el radio de giro.
10. Explica la diferencia entre masa inercial y masa rotacional.
114
CUESTIONARIO III
1. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas
de 1 𝑘𝑔 cada una, situadas a (0.0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1 𝑚) de uno de los extremos.
Calcula el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de a) un extremo, b) de la segunda masa y c) del centro de masa.
2. Determina el momento de inercia para el sistema que se ilustra. El peso de las barras que
unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular de 9.4 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
Considera las masas puntuales.
3. Una varilla delgada de 0.5 𝑚 de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan
4 masas de 0.5 𝑘𝑔 cada una, situadas (0.0, 0.15, 0.20 y 0.4 𝑚) de uno de los extremos.
Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de a) un extremo, b) de la segunda masa y c) del centro de masa.
4. ¿La aplicación de una torca sobre todo cuerpo rígido, incrementara siempre su velocidad
angular? ¿Por qué?
5. Explica si un objeto rígido puede tener más de un momento de inercia.
6. ¿Por qué para un animal de patas cortas su inercia rotacional es menor que para otro de
patas largas?
7. Se sabe que el momento de inercia respecto al extremo de una varilla es de
0.25 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. Calcular el momento de inercia respecto a un eje paralelo al mismo que
pasa por el centro de masa, la longitud de la varilla es de 𝐿 = 1.2 𝑚.
8. Un disco de esmeril de 0.6 𝑚 de radio y 90 𝑘𝑔 de masa, gira a 460 𝑟𝑝𝑚. ¿Qué fuerza
de rozamiento aplicada tangencialmente a su borde logrará detenerlo en 20 𝑠?
9. Hallar el momento de inercia de una muela de esmeril en forma de disco uniforme,
si tiene una masa de 2.4 𝑘𝑔 y un diámetro de 28 𝑐𝑚.
10. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8 𝑘𝑔 y 0.648 𝑚 de radio cuando
el eje de rotación pasa por su centro.
115
CUESTIONARIO IV
1. Se enrolla una cuerda alrededor del borde de un disco uniforme de 1.5 𝑘𝑔, inicialmente
en reposo. Puede girar alrededor de un eje fijo que pasa por su centro, y en ausencia de
fricción se aplica en el extremo de la cuerda una fuerza de 12 𝑁. Conociendo que el
radio del disco es de 20 𝑐𝑚. a) ¿Qué momento de inercia tiene?, b) ¿Cuál es el valor de
la torca ejercida?, c) ¿Cuál es el valor de su aceleración angular? y d) ¿Qué velocidad
angular tendrá después de 4 𝑠?
2. Dos pequeños pesos de 5.0 𝑘𝑔 y 7.0 𝑘𝑔 de masa, se colocan separados 4.0 𝑚 sobre una
barra ligera (cuya masa es despreciable). ¿Cuál es el valor del momento de inercia del
sistema cuando gira en torno a un eje a la mitad entre los pesos?
3. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8 𝑘𝑔 y 0.648 𝑚 de radio cuando
el eje de rotación pasa por su centro.
4. Calcule el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 𝑐𝑚 de diámetro.
La rueda y la llanta tienen una masa combinada de 1.25 𝑘𝑔. La masa del cubo se puede
ignorar. ¿Por qué?
5. Una pequeña bola de 650 𝑔 en el extremo de una delgada barra ligera, gira en un círculo
horizontal de 1.2 𝑚 de radio. Calcule el momento de inercia de la bola en torno al centro
del círculo.
6. Determina el momento de inercia para el sistema que se muestra en la figura. El peso de
las barras que unen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad angular
de 13.8 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
116
7. Una varilla delgada de 1 𝑚 de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas
de 5 𝑘𝑔 cada una, situadas a (0.0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1.0) 𝑚 de uno de los extremos.
Calcula el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla
que pasa a través de la segunda masa.
8. Determine el momento de inercia de una esfera de 10.8 𝑘𝑔 y 0.648 𝑚 de radio cuando
el eje de rotación pasa por su centro.
9. Calcula el momento de inercia de una rueda de bicicleta de 66.7 𝑐𝑚 de diámetro.
La rueda y la llanta tienen una masa combinada de 1.25 𝑘𝑔. La masa del cubo se puede
ignorar. ¿Por qué?
10. Calcule el momento de inercia del conjunto de puntos objetos mostrados en la figura en
torno a) al eje vertical y b) al eje horizontal. Suponga que 𝑚 = 1.8 𝑘𝑔, 𝑀 = 3.1 𝑘𝑔
y que los objetos están unidos por rígidas piezas de alambres muy ligeros. El conjunto
de los objetos es rectangular y se divide en dos a la mitad por el eje horizontal.
c) ¿En torno a cuál eje sería más difícil acelerar este sistema?
117
CAPÍTULO VII MOMENTO ANGULAR
7.1 MOMENTO ANGULAR
Todos tenemos nociones intuitivas de Física. Por ejemplo, estamos familiarizados con el
concepto de masa inerte (el cociente entre la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que
experimenta). No se acelera igual una bola de billar de plástico ligero, que una de resina densa
o marfil con mucha más masa, aunque el golpe del taco de billar aplique la misma fuerza.
Hay otras nociones de inercia que también resultan familiares. Sabemos que una vez puesta en
marcha la bola de billar, continuará en movimiento en línea recta sin aumentar ni disminuir su
velocidad, a no ser, que de nuevo actúen fuerzas sobre ella (un golpe con las bandas de la mesa,
el rozamiento con la superficie, o la colisión con otra bola de billar).
Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas externas, continuará en su estado de movimiento rectilíneo
uniforme, sin que cambie la magnitud y la dirección de la velocidad. En este tipo de casos,
se puede decir que se conserva el momento lineal. Hay otro tipo de inercia con el que estamos
familiarizados, y que está asociada a los objetos que rotan o giran. Cuando una pirinola
o trompo, gira sobre sí misma sin desplazarse globalmente, seguirá girando indefinidamente,
sin cambiar su eje de rotación, salvo que actúen sobre ella fuerzas externas, como el rozamiento.
Esta inercia que tienen los objetos que giran está asociada a la conservación del momento
angular. El momento angular es proporcional a la masa que gira, al radio de giro al
cuadrado (distancia al eje de giro de la masa que está girando), y a la velocidad angular
(número de vueltas por segundo).
La evidencia experimental nos demuestra que el momento angular ni se crea ni se destruye.
Así, un patinador obtiene un incremento de momento angular cuando consigue ponerse a girar
al clavar las cuchillas contra el hielo de la pista (esto proporciona la fuerza externa) en forma
vertical y darse impulso manteniendo un punto clavado en la pista, que proporciona el eje del
giro (ver figura 7.1).
Si estira los brazos, al poner más masa lejos del eje de giro, la conservación del momento angular
hace que gire más despacio y, por el contrario, si pega los brazos y las piernas contra el eje de
giro (contra su cuerpo), consigue que su velocidad de giro aumente, como consecuencia de que
el momento angular se ha de conservar.
Fig. 7.1 El patinador aumenta su velocidad angular al encoger sus brazos disminuyendo su momento de inercia.
118
El momento angular es una magnitud de gran importancia en todas las teorías físicas de la
mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista.
Su importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de
los sistemas físicos. Bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una
magnitud vectorial que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona,
lo cual da lugar a la ley de Conservación del Momento Angular; lo cual nos ayuda a caracterizar
el estado de rotación de los cuerpos.
Para un cuerpo rígido que rota respecto a un eje, es la resistencia que ofrece el cuerpo a la
variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento
angular se mide en [𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐/𝒔]. También es llamado momento cinético, pero por influencia
del inglés angular momentum es más frecuentes llamarlo momento angular, cantidad de
movimiento angular o ímpetu angular. Para el caso específico de una partícula puntual, es la
caracterización del estado de rotación de un punto o de un cuerpo que se pueda tratar como tal.
Esto sucede cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a las de la trayectoria
de su movimiento. Para un punto material se define a partir de un vector de posición y una
partícula puntual en movimiento, esto es, con una cierta velocidad instantánea.
Su significado físico tiene que ver con la rotación: El momento angular caracteriza el estado
de rotación de un punto material, del mismo modo que el momento lineal caracteriza el estado
de traslación lineal. No es una magnitud propia del cuerpo, sino que depende del punto de
referencia que se escoja. El concepto de momento lineal �̅� y el principio de conservación de
momento lineal son herramientas muy poderosas, ya que nos permite predecir el resultado;
por citar un ejemplo, de una colisión de dos autos sin conocer los detalles de la colisión.
Un concepto similar al de �̅� sería el concepto angular �̅� . En la figura 7.2 se observa una partícula
de masa 𝑚 que se mueve con una velocidad �̅� en una posición �̅�, relativa al origen O.
El momento lineal es �̅� = 𝑚�̅�. El momento angular �̅� de la partícula respecto al origen O se
define como el producto vectorial de �̅� y �̅�,
�̅� = �̅� × �̅� (7.1)
�̅� es el vector de posición de la partícula con respecto a O. Cuando la partícula se mueve con
respecto a O en la dirección de su momento lineal, el vector de posición �̅� gira alrededor de O.
Fig. 7.2 Se observa una partícula que se mueve en una posición relativa al origen.
119
Para tener momento angular alrededor de O, la partícula no tiene en sí misma que girar alrededor
de O. Si �̅� y �̅� son perpendiculares al eje 𝑧 como se observa en la figura 7.2, entonces �̅�
es paralelo al eje 𝑧 y viene dado por,
�̅� = �̅� × �̅� = 𝑚𝑣𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜙 (7.2)
Donde 𝜙 es el ángulo entre �̅� y �̅�, cuando estos dos vectores coinciden en sus extremos.
Lo mismo que el momento de una fuerza, el momento angular se define respecto a un punto del
espacio; en este caso el momento angular se define respecto al origen. La figura 7.3, muestra
una partícula de masa 𝑚 ligada a un disco circular de masa despreciable que está en el plano 𝑥𝑦
con su centro en el origen.
El disco gira alrededor del eje 𝑧 con velocidad angular 𝜔. La velocidad 𝑣 de la partícula y el
módulo de su velocidad angular 𝜔 vienen relacionados por la expresión 𝑣 = 𝑟𝜔. El momento
angular de la partícula respecto al centro del disco es,
�̅� = �̅� × �̅� = �̅� × 𝑚�̅� = 𝑟𝑚𝑣 𝑠𝑒𝑛 90° = 𝑟𝑚𝑣 (7.3)
�̅� = 𝑚𝑟2𝜔 = 𝑚𝑟2�̅� (7.4)
Fig. 7.3 Se observa una partícula ligada a un disco circular de masa despreciable con centro en el origen.
En este ejemplo, el vector de momento angular tiene la misma dirección y sentido que la
velocidad angular. Como 𝑚𝑟2 es el momento de inercia de una sola partícula respecto al eje 𝑧,
tenemos,
�̅� = 𝑚𝑟2�̅� = 𝐼 �̅� (7.5)
Este resultado no es válido para el momento angular alrededor de un punto cualquiera del eje 𝑧.
La figura 7.4 muestra el vector de momento angular �̅�′ para la misma partícula ligada en el
mismo disco, pero referido a un punto del eje 𝑧 que no coincide con el centro del círculo En este
caso, el momento angular no es paralelo a la velocidad angular �̅�, la cual está dirigida a lo largo
del eje 𝑧,
120
Fig. 7.4 Se observa el vector momento angular ligada en el mismo disco, referido a un punto del eje que no
coincide con el centro del círculo.
En la figura 7.5 se ha añadido una segunda partícula de igual masa que se mueve en el mismo
disco. Los vectores momento angular �̅�1′ y �̅�2
′ están representados respecto al mismo punto O’.
El momento angular total se expresa como,
�̅�′ = �̅�1′ + �̅�2
′ (7.6)
El momento angular total del sistema formado por las dos partículas es de nuevo paralelo a la
velocidad angular �̅�. En este caso, el eje de rotación (eje 𝑧) pasa a través del centro de masa del
sistema de las dos partículas y la distribución de masa es simétrica respecto a este eje, que se
denomina eje de simetría.
Fig. 7.5 Dos partículas de igual masa que se mueven en un disco.
Para cualquier sistema de partículas que gira alrededor de un eje de simetría, el momento angular
total (que es la suma de los momentos angulares de las partículas individuales) es paralelo a la
velocidad angular y viene expresado como,
�̅� = 𝐼 �̅� (7.7)
Donde 𝐼 es una escalar.
121
7.2 NATURALEZA VECTORIAL DE LA ROTACIÓN
El sentido de rotación de un cuerpo respecto a un eje fijo nos indica el sentido de la velocidad
angular, de un modo que indica el sentido de la velocidad en el movimiento lineal en una
dimensión. Pero cuando la dirección del eje de rotación no está fija en el espacio, los signos más
o menos no son suficientes para describir el sentido de la velocidad angular. Esta insuficiencia
se supera tratando la velocidad angular como un vector �̅� dirigido a lo largo del eje de rotación.
El movimiento angular tiene una dirección asociada y es un proceso vectorial. Sin embargo,
un punto en un disco gira continuamente cambiando de dirección, y presenta un inconveniente
para tomarlo como referencia. El único punto fijo en un disco es el eje de rotación, por lo que
resulta lógico que se elija este, como eje de la dirección de la velocidad angular.
Como quedan dos alternativas sobre la dirección, se acostumbra a utilizar la regla de la mano
derecha para especificar la dirección de las cantidades angulares. Formalizando lo anterior,
en un disco rotatorio podemos determinar el sentido de �̅� por una convención conocida como
la regla de la mano derecha. Se puede obtener la dirección de �̅� enrollando los dedos de la mano
derecha en la dirección de rotación (ver figura 7.6); el dedo pulgar apunta entonces
en la dirección del eje de rotación en la dirección de �̅�.
La regla de la mano derecha dice que cuando se curvan los dedos de la mano derecha
alrededor del eje de rotación de modo que los dedos apunten en la dirección de rotación.
El pulgar extendido señalará la dirección del vector de la velocidad angular.
Fig. 7.6 Regla de la mano derecha.
Podemos definir el momento de una fuerza 𝜏̅ respecto a un punto como una magnitud vectorial,
como sucede con �̅�, la dirección de 𝜏̅ se especifica mediante la regla de la mano derecha.
La figura 7.7 muestra una fuerza �̅� que actúa sobre una partícula en cierta posición �̅� relativa al
origen O.
122
Fig. 7.7 Si �̅� y �̅� son perpendiculares al eje 𝑧, entonces 𝜏̅ es paralelo al eje 𝑧.
El momento 𝜏̅ ejercido por esta fuerza respecto al origen O se define como un vector
perpendicular al plano formado por �̅� y �̅�, de modulo 𝐹𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜙, donde 𝜙 es el ángulo formado
por las direcciones de �̅� y �̅�. Si �̅� y �̅� están en el plano xy, como se observa en la figura 7.7,
el vector momento tiene la dirección del eje z.
Fig. 7.8 Si la fuerza esta aplicada en el borde de un disco, el momento está dirigido a lo largo del eje.
Si �̅� está aplicada en el borde de un disco de radio �̅�, como se observa en la figura 7.8,
el momento tiene la magnitud 𝐹𝑟, y está dirigido a lo largo del eje de rotación como se indica.
El momento de una fuerza se expresa matemáticamente como el producto vectorial de �̅� y �̅�,
𝜏̅ = �̅� × �̅� (7.8)
7.3 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL
En esta sección se presentan los análogos rotacionales de diversas ecuaciones del movimiento
rectilíneo asociadas con el trabajo y la energía cinética, para momentos de fuerza constantes.
Para el trabajo rotacional podemos pasar directamente del trabajo efectuado por una fuerza,
al trabajo efectuado por un momento de fuerza, ya que los dos están relacionados como se
observa en la ecuación (7.8).
En el movimiento rotacional, el trabajo rotacional 𝑊 = 𝐹𝑠 efectuado por una sola fuerza 𝐹 que
actúa tangencialmente a lo largo de una longitud de arco (𝑠) es,
123
𝑊 = 𝐹𝑠 = 𝐹(𝑟⊥휃) = 𝜏휃 (7.9)
donde 휃 está en radianes.
Así, para un solo momento de fuerza que actúa durante un ángulo de rotación 휃 tenemos,
𝑊 = 𝜏휃 (7.10)
La potencia rotacional instantánea se deduce de la ecuación (7.2),
𝑃 =𝑊
𝑡= 𝜏 (
휃
𝑡) = 𝜏𝜔 (7.11)
Podemos deducir la relación entre el trabajo rotacional neto efectuado sobre un cuerpo rígido
(actúa más de una fuerza) y el cambio de energía cinética rotacional del cuerpo, partiendo de la
ecuación para trabajo rotacional,
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝜏휃 = 𝐼𝛼휃 (7.12)
Como suponemos que los momentos de fuerza se deben exclusivamente a fuerzas constantes,
𝛼 es constante. Sin embargo, sabemos por la cinemática rotacional que, para una aceleración
angular constante,
𝜔2 = 𝜔02 + 2𝛼휃 (7.13)
por lo cual,
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼 (𝜔2 − 𝜔0
2
2) =
1
2𝐼𝜔2 −
1
2𝐼𝜔0
2 (7.14)
Como 𝑊 = ∆𝐾 (trabajo-energía), sabemos que 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐾, por lo tanto,
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 =1
2𝐼𝜔2 −
1
2𝐼𝜔0
2 = 𝐾 − 𝐾0 = ∆𝐾 (7.15)
Entonces la expresión para la energía cinética rotacional 𝐾 es,
𝐾 =1
2𝐼𝜔2 (7.16)
Así, el trabajo rotacional neto efectuado sobre un objeto es igual al cambio de energía cinética
rotacional del objeto (con cero energía cinética rectilínea). Por lo tanto, si queremos alterar la
energía cinética rotacional de un objeto, tendremos que aplicar un momento de fuerza neto.
Es posible deducir directamente la expresión para la energía cinética de un cuerpo rígido en
rotación (en torno a un eje fijo). La sumatoria de las energías cinéticas instantáneas de las
partículas individuales del cuerpo relativas al eje fijo nos da,
𝐾 =1
2∑𝑚𝑖𝑣𝑖
2 =1
2(∑𝑚𝑖𝑟𝑖
2)𝜔2 =1
2𝐼𝜔2 (7.17)
124
Donde para cada partícula del cuerpo,
𝑣𝑖 = 𝑟𝑖𝜔 (7.18)
Así, la ecuación (7.18) no representa una nueva forma de energía; más bien es sólo otra
expresión para la energía cinética rotacional de cuerpos rígidos. Cuando un objeto tiene
movimiento tanto traslacional como rotacional, su energía cinética total podría dividirse en
partes que reflejen los dos tipos de movimiento.
Por ejemplo, para un cilindro que rueda sin resbalar en una superficie horizontal, el movimiento
es puramente rotacional relativo al eje instantáneo de rotación (el punto o línea de contacto),
que está instantáneamente en reposo. La energía cinética total del cilindro rodante es,
𝐾 =1
2𝐼𝑖𝜔
2 (7.19)
Donde 𝐼𝑖 es el momento de inercia en torno al eje instantáneo. Este momento de inercia alrededor
del punto de contacto (nuestro eje) está dado por el teorema de ejes paralelos,
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑2 (7.20)
Donde 𝐼 es el momento de inercia en torno a un eje paralelo a uno que pasa por el centro de
masa y está a una distancia (𝑑) de él, 𝐼𝐶𝑀 es el momento de inercia en torno a un eje que pasa
por el centro de masa y (𝑀) es la masa total de un cuerpo. Para el caso del cilindro reescribimos
la ecuación (7.20), donde (𝑅) es el radio del cilindro,
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑅2 (7.21)
Entonces,
𝐾 =1
2𝐼𝑖𝜔
2 =1
2(𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑅2)𝜔2 =
1
2𝐼𝐶𝑀𝜔2 +
1
2𝑀𝑅2𝜔2 (7.22)
Sin embargo, como no hay deslizamiento,
𝑣𝐶𝑀 = 𝑅𝜔 (7.23)
y
𝐾 =1
2𝐼𝐶𝑀𝜔2 +
1
2𝑀𝑣𝐶𝑀
2 (7.24)
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Aunque aquí se utilizó un cilindro como ejemplo, es un resultado general válido para cualquier
objeto que rueda sin resbalar. La energía cinética total de un objeto es la suma de la energía
cinética traslacional del centro de masa del objeto y la energía cinética rotacional del objeto
relativa a un eje horizontal que pasa por su centro de masa.
125
7.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON (FORMA ANGULAR)
La segunda ley de Newton escrita de la forma,
�̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 =𝑑�̅�
𝑑𝑡 (7.25)
Esta ecuación expresa la relación cercana entre fuerza y momento lineal para una sola partícula;
se ha mencionado anteriormente el paralelismo entre cantidades lineales y angulares para
establecer que hay una relación entre torca y momento angular. Esta relación se puede expresar
como,
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑎 =𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡 (7.26)
La ecuación (7.26) es, de hecho, una forma angular de la segunda ley de Newton para una sola
partícula. La suma (vectorial) de todas las torcas que actúan sobre una partícula es igual a la
rapidez de cambio del momento angular de esa partícula. La ecuación no tiene significado a
menos que las torcas 𝜏̅ y el momento angular �̅� estén definidos con respecto al mismo origen.
Para demostrar la ecuación (7.26), retomamos la definición del momento angular de una
partícula,
�̅� = 𝑚(�̅� × �̅�) (7.27)
Derivando (al derivar un producto vectorial, se debe tener la certeza de no cambiar el orden de
las dos cantidades que forman ese producto) cada lado con respecto al tiempo tenemos,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= 𝑚 (�̅� ×
𝑑�̅�
𝑑𝑡+
𝑑�̅�
𝑑𝑡× �̅�) (7.28)
Pero, 𝑑�̅�/𝑑𝑡 es la aceleración �̅� de la partícula, y 𝑑�̅�/𝑑𝑡 es su velocidad �̅�. Por lo cual podemos
reescribir la ecuación anterior,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= 𝑚(�̅� × �̅� + �̅� × �̅�) (7.29)
El producto vectorial de cualquier vector consigo mismo es cero porque el ángulo entre los dos
vectores es necesariamente cero, por lo cual �̅� × �̅� = 0. Esto resulta en,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= 𝑚(�̅� × �̅�) = �̅� × 𝑚�̅� (7.30)
Ahora utilizamos la segunda ley de Newton �̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝑚�̅�, para sustituir en 𝑚�̅� el vector suma
de las fuerzas que actúan sobre la partícula,
𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡= �̅� × �̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∑( �̅� × �̅�) (7.31)
126
Aquí el símbolo Σ indica que debemos de sumar los productos vectoriales �̅� × �̅� para todas las
fuerzas. Sin embargo, de la ecuación (7.8), sabemos que cada uno de esos productos vectoriales
es la torca asociada con una de las fuerzas. Por lo tanto, la ecuación (7.31) nos indica que,
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑎 =𝑑𝑙 ̅
𝑑𝑡 (7.32)
Siendo esta la relación que se quería demostrar.
7.5 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Otra cantidad importante en el movimiento rotacional es la cantidad de movimiento angular.
Como se sabe, una fuerza altera la cantidad de movimiento lineal de un objeto. De forma
análoga, los cambios en la cantidad de movimiento angular están asociados al momento de
fuerza. Este momento es el producto de un brazo de palanca y una fuerza. Asimismo, la cantidad
de movimiento angular �̅� es el producto de un brazo de palanca y una cantidad de movimiento
lineal. Para una partícula de masa 𝑚, la magnitud de la cantidad de movimiento lineal como
mencionamos anteriormente es �̅� = 𝑚�̅�, donde 𝑣 = 𝑟�̅�. La magnitud de la cantidad de
movimiento angular de una partícula es,
�̅� = �̅�⊥�̅� = 𝑚 �̅�⊥2�̅� = 𝑚 �̅�⊥
2�̅� (7.33)
En un movimiento circular �̅�⊥ = 𝑟, porque �̅� es perpendicular a �̅�. En un sistema de partículas
que constituyen un cuerpo rígido, todas las partículas describen círculos, y la magnitud total de
la cantidad total de la cantidad de movimiento angular es,
�̅� = (∑𝑚𝑖𝑟𝑖2) �̅� = 𝐼�̅� (7.34)
�̅� tiene la dirección del vector de velocidad angular �̅�. Esa dirección está dada por la regla de la
mano derecha. En el movimiento rectilíneo, el cambio de la cantidad de movimiento lineal total
de un sistema está relacionado con la fuerza externa por �̅�𝑛𝑒𝑡𝑎 = ∆�̅�/∆𝑡. La cantidad de
movimiento angular está relacionado de manera análoga con el momento de fuerza neto (en
magnitud),
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝛼 =𝐼∆�̅�
∆𝑡=
∆(𝐼�̅�)
∆𝑡=
∆�̅�
∆𝑡 (7.35)
es decir,
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑜 =∆�̅�
∆𝑡 (7.36)
Así, el momento de fuerza neto es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento angular
con el tiempo. En otras palabras, un momento de fuerza neto produce un cambio en la
cantidad de movimiento angular.
127
7.6 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
La ecuación (7.36) se dedujo utilizando 𝜏𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐼𝛼, que es válido para un sistema rígido de
partículas o un cuerpo rígido con momento de inercia constante. No obstante, es una ecuación
general que también es válida para un sistema no rígido de partículas. En un sistema así, podría
haber incluso un cambio en la distribución de masa y un cambio en el momento de inercia.
Por lo cual, podría haber aceleración angular incluso en ausencia de un momento de fuerza neto.
Si el momento de fuerza neto sobre un sistema es cero, entonces por la ecuación (7.36),
𝜏�̅�𝑒𝑡𝑜 =∆�̅�
∆𝑡= 0 (7.37)
y
∆�̅� = �̅� − �̅�0 = 𝐼�̅� − 𝐼0 − �̅�0 = 0 (7.38)
o bien,
𝐼𝜔 = 𝐼0�̅�0 (7.39)
Por lo cual, la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular es que,
en ausencia de un momento de fuerza externo, no equilibrado, se conserva (se mantiene
constante) la cantidad de movimiento angular total de un sistema. Al igual que con la
cantidad de movimiento lineal total, se cancelan los momentos de fuerza internos que surgen de
fuerzas internas. En un cuerpo rígido con momento de inercia constante (es decir, 𝐼 = 𝐼0),
la rapidez angular se mantiene constante (𝜔 − 𝜔0) en ausencia de un momento de fuerza neto.
En algunos sistemas podría cambiar el momento de inercia, lo cual ocasiona un cambio de la
rapidez angular.
7.7 PROBLEMATICAS ESPECÍFICAS DEL MOMENTO ANGULAR
Las cosas que giran, ya sea una colonia espacial, un cilindro que rueda por un plano inclinado o
un acróbata que hace un salto mortal, siguen girando hasta que algo las detiene. Un objeto en
rotación tiene una inercia de rotación. Todos los objetos en movimiento tienen inercia de
movimiento o cantidad de movimiento (𝑚𝑣). Este tipo de cantidad de movimiento es cantidad
de movimiento lineal.
De igual modo, la inercia de rotación de los objetos que giran se llama cantidad de
movimiento angular. Un planeta que orbita el Sol, una roca que gira sujeta al extremo de una
cuerda y los pequeños electrones que giran en torno a los núcleos atómicos tienen todos cantidad
de movimiento angular. La cantidad de movimiento angular se define como el producto de la
inercia rotacional y la velocidad rotacional,
Cantidad de movimiento angular = (inercia rotacional)(velocidad rotacional)
Es la contraparte de la cantidad de movimiento lineal,
Cantidad de movimiento lineal = (masa)(velocidad)
128
Al igual que la cantidad de movimiento lineal, la cantidad de movimiento angular es una
cantidad vectorial y tiene dirección, así como magnitud. En esta sección no se abordará la
naturaleza vectorial de la cantidad de movimiento angular (ni del momento de torsión,
que también es un vector), excepto para reconocer la extraordinaria acción del giroscopio.
La rueda de bicicleta giratoria de la figura 7.9 muestra lo que ocurre cuando un momento de
torsión causado por la gravedad de la Tierra actúa para cambiar la dirección de su cantidad de
movimiento angular (que es a lo largo del eje de la rueda). El tirón de la gravedad que
normalmente actúa para tumbar la rueda y cambiar su eje de rotación, hace que preceda en torno
a un eje vertical. La cantidad de movimiento angular mantiene el eje de la rueda casi horizontal
cuando un momento de torsión proporcionado por la gravedad de la Tierra actúa sobre ella.
En lugar de hacer que la rueda caiga, el momento de torsión hace que el eje de la rueda gire
lentamente alrededor del círculo de estudiantes. A esto se le llama precesión.
Fig. 7.9 Rueda de bicicleta giratoria.
Para el caso de un objeto que sea pequeño comparado con la distancia radial respecto de su eje
de rotación, como una lata que gira sujeta de una larga cuerda o un planeta que orbita en un
círculo alrededor del Sol, la cantidad de movimiento angular puede expresarse como la
magnitud de su cantidad de movimiento lineal, (𝑚𝑣). Multiplicada por la distancia radial (𝑟),
Cantidad de movimiento angular = 𝑚𝑣𝑟
Así como una fuerza externa neta es indispensable para cambiar la cantidad de movimiento
lineal de un objeto, se necesita un momento de torsión externo neto para cambiar la cantidad de
movimiento angular de un objeto. Es posible plantear una versión rotacional de la primera
ley de Newton (Ley de Inercia): un objeto o sistema de objetos conservará su cantidad de
movimiento angular a menos que actúe sobre él un momento de torsión externo neto.
El sistema solar tiene una cantidad de movimiento angular que incluye al Sol, los planetas que
giran y orbitan, y otros cuerpos celestes más pequeños. Los sistemas planetarios son sistemas
de fuerzas centrales. La Tierra experimenta fuerzas atractivas definidas por la Ley de
Gravitación Universal y dirigidas hacia el centro del Sol (ver figura 7.10). La fuerza de atracción
Sol-Tierra es una fuerza central y por tanto paralela al vector de posición.
129
El momento de esta fuerza es nulo y el momento angular de la Tierra respecto al Sol permanece
constante. La cantidad de movimiento angular del sistema solar en la actualidad será su cantidad
de movimiento angular durante muchos periodos más. Solo un momento de torsión externo
proveniente del sistema solar puede cambiarlo; en ausencia de este momento de torsión la
cantidad de movimiento angular del sistema solar se conserva.
Fig. 7.10 Fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre la Tierra.
7.7.1 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
EN EL AULA
La ley de conservación de la cantidad de movimiento angular afirma: Si sobre un sistema en
rotación no actúa ningún momento de torsión externo neto, la cantidad de movimiento
angular de dicho sistema permanece constante. Esto significa que, sin un momento de torsión
externo, el producto de la inercia rotacional y la velocidad rotacional en un momento será el
mismo que en cualquier otro momento.
Un ejemplo interesante que ilustra la conservación de la cantidad de movimiento angular
se muestra en la figura 7.11. En la figura a), el hombre está de pie sobre una tornamesa de baja
fricción con pesas extendidas. Su inercia rotacional 𝐼 con la ayuda de las pesas extendidas,
es relativamente grande en esta posición. A medida que gira lentamente su cantidad de
movimiento angular es el producto de su inercia y velocidad rotacional 𝜔. En la figura b) cuando
lleva las pesas hacia adentro la inercia rotacional de su cuerpo y las pesas se reduce en forma
considerable; como resultado aumenta su rapidez rotacional. Este ejemplo lo aprecia mejor la
persona que gira ya que siente cambios en la rapidez al llevar las pesas hacia adentro.
Fig. 7.11 Conservación de la cantidad de movimiento angular.
130
Este procedimiento lo usan mucho los patinadores artísticos que comienzan a girar con los
brazos y acaso una pierna extendida, para luego retraer los brazos y la pierna para obtener una
mayor rapidez rotacional (ver figura 7.12). Siempre que un cuerpo en rotación se contrae,
su rapidez rotacional aumenta.
La rapidez angular de la patinadora aumenta cuando acerca sus manos y piernas al tronco de su
cuerpo. Esto es 𝜔𝑓 > 𝜔𝑖. El aumento resultante de la rapidez angular se explica como sigue:
Debido a que la cantidad de movimiento angular debe conservarse, el producto 𝐼𝜔 es constante,
y un decremento del momento de inercia de la patinadora debe ser compensado por un
correspondiente aumento de su rapidez angular.
Fig. 7.12 Conservación de la cantidad de movimiento angular de una patinadora.
7.7.2 EL GATO Y LA CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR
Diferentes estudios fisiológicos realizados sobre la locomoción de los animales han encontrado
ciertos fenómenos que el ojo no puede seguir y son por lo tanto difíciles de explicar. De este
tipo es el acto por el cual un gato, que se deja caer de un lugar elevado, se voltea de manera de
caer sobre sus patas, con el fin de amortizar el golpe en el momento de aterrizar. Se ha verificado
que el mismo fenómeno se observa para otras especies de animales como en el conejo y perro,
por ejemplo.
Este efecto tiene algo de paradójico desde el punto de vista de la mecánica, ya que estos
animales, libres al caer en el espacio, no tienen punto de apoyo exterior para efectuar la vuelta.
Algunas personas han creído que el animal, al momento en que se suelta, se apoya sobre las
manos de la persona que lo sostenía; otras han supuesto que, por medio de movimientos bruscos,
el animal encuentra su apoyo en la resistencia del aire.
En 1894 el académico Marey explicó ante la Academia de Ciencias de París de que trata la caída
del gato. En aquella época, éste se consideraba un problema abierto, Marey lo resolvió
experimentalmente tomando una serie de fotografías en cámara lenta para observar al gato en
su caída. En la figura 7.13 se observa una serie de fotografías de un gato que cae.
131
El problema ha sido resucitado por su conexión con el movimiento de un astronauta al ejecutar
sus piruetas en el espacio exterior. Las fotografías estroboscópicas modernas han demostrado
que el gato no adquiere una rotación por medio de patadas. El momento angular inicial del gato
es cero.
Debido a que la fuerza de gravedad actúa como el centro de masa del gato, no produce torsión,
y el momento angular sigue siendo cero. Por lo cual, si un gato se mantiene boca arriba y se
suelta a una corta distancia del suelo, es capaz de ejecutar un giro y aterrizar erguido, incluso si
no tiene cantidad de movimiento angular inicial. Para realizar giros y vueltas con cantidad de
movimiento angular cero se gira una parte del cuerpo contra otra.
Fig. 7.13 Fotográfica estroboscópica de la caída de un gato.
Mientras cae, el gato dobla su columna vertebral y la balancea para girar en la dirección opuesta
(ver figura 7.14). Durante esta maniobra la cantidad de movimiento angular total permanece en
cero. El gato al caer primero recoge sus patas delanteras y estira las patas traseras.
Tuerce entonces su espalda y las patas traseras giran a menor velocidad que las delanteras,
debido a su mayor momento de inercia.
Fig. 7.13 Secuencia de los ángulos de giro al caer.
132
Después encoge las patas traseras, estira las delanteras, y gira éstas en el mismo sentido en que
movió las patas traseras en su primer movimiento. Ahora es la región trasera la que adquiere
mayor velocidad angular, por razón de su menor momento de inercia. Cuando termina, el gato
no está girando. Esta maniobra gira el cuerpo a través de un ángulo, pero no crea rotación
continua. El efecto neto es que el gato se ha volteado.
Si este conjunto de movimientos los repite varias veces, puede lograr caer siempre sobre sus
patas. El principio mecánico en que el gato basa su pirueta es la conservación del momento
angular. Su flexibilidad le permite aprovecharlo al máximo, de tal forma que, siempre cae sobre
sus patas.
7.8 MOMENTO ANGULAR CUANTIZADO
El spin es una propiedad física de las partículas elementales por el cual tienen un momento
angular de valor fijo. El concepto de spin se amplió a todas las partículas subatómicas,
incluidos los protones, neutrones y antipartículas. El spin proporciona una medida del
momento angular de toda partícula. En contraste con la mecánica clásica, donde el momento
angular se asocia a la rotación de un objeto, el spin es un fenómeno exclusivamente cuántico,
que no se puede relacionar de forma directa con una rotación en el espacio.
La intuición de que el spin corresponde al momento angular debido a la rotación de la partícula
en torno a su propio eje, solo debe tenerse como una imagen mental útil como se deduce de la
teoría cuántica relativista. El spin no tiene una representación en términos de coordenadas
espaciales de modo que no se puede referir ningún tipo de movimiento.
Cualquier observador al hacer una medida del momento angular, detectará inevitablemente que
la partícula posee un momento angular total, difiriendo observadores diferentes solo sobre la
dirección de dicho momento y no sobre su valor; este último hecho no tiene análogo en mecánica
clásica. Existe una relación directa entre el spin de una partícula y la estadística que obedece en
un sistema colectivo de muchas de ellas.
Por la definición de momento angular de una partícula puntual (�̅� = �̅� × �̅�), podría parecer que
no existe tal cantidad más pequeña de momento angular, porque la distancia al eje de rotación
o el momento angular se pueden reducir por un factor entre 0 y 1, y el correspondiente momento
angular se reducirá por el mismo factor. Sin embargo, para átomos y partículas subatómicas la
noción de un momento angular continuamente variable no se aplica. Se observa un cuanto de
momento angular y este cuanto de momento angular se llama constante de Planck (ℎ),
𝒉 = 𝟔. 𝟔𝟐𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱 𝒔
La constante de Planck (ℎ) es una constante física que desempeña un papel central en la teoría
de la mecánica cuántica y recibe su nombre de su descubridor, el físico y matemático alemán
Max Planck, uno de los padres de dicha teoría. Es la constante que frecuentemente se define
como el cuanto elemental de acción.
133
Planck la denominaría precisamente cuanto de acción (en alemán, Wirkungsquantum),
debido a que la cantidad denominada acción de un proceso físico (el producto de la energía
implicada y el tiempo empleado) solo podía tomar valores discretos, es decir, múltiplos enteros
de ℎ. Fue inicialmente propuesta como la constante de proporcionalidad entre la energía de un
fotón y la frecuencia (𝑓) de su onda electromagnética asociada. Si bien la constante de Planck
está asociada a sistemas microscópicos, la manera más precisa de obtenerla deriva de fenómenos
macroscópicos como el efecto Hall cuántico y el efecto Josephson.
Frecuentemente, la constante de Planck aparece en ecuaciones dividida entre el factor 2휋, y los
físicos le han dado a este cociente el símbolo ℏ (h barra). Su valor es,
ℏ = 𝒉/𝟐𝝅 = 𝟏. 𝟎𝟓𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝟒 𝑱 𝒔
Observamos que todas las partículas elementales tienen un momento angular intrínseco, llamado
spin, es un múltiplo entero (0, 1ℏ, 2ℏ, … ), o un medio múltiplo entero (1
2ℏ,
3
2ℏ, … ) del cuanto
de Planck del momento angular.
De manera asombrosa, los valores de spin enteros o medio enteros de las partículas cambian
radicalmente las maneras en que interactúan entre sí. Las partículas con spines de valor entero
incluyen los fotones (que son partículas elementales de luz). Las partículas con valores medio
enteros de spin incluyen los electrones, protones y neutrones. En el proceso de resolución de la
ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, se encuentra que el momento angular
orbital está cuantizado de acuerdo con la relación,
𝐿2 = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ2 (7.40)
Donde 𝑙 es el número cuántico del momento angular. Es una característica del momento angular
en la mecánica cuántica, que la magnitud del momento angular en términos del número cuántico
orbital sea de la forma,
𝐿 = √𝑙(𝑙 + 1) ℏ (7.41)
y que el componente 𝑧 del momento angular en términos del número cuántico magnético,
tome la forma,
𝐿𝒵 = 𝑚𝑙ℏ (7.42)
Esta ecuación general se aplica al momento angular orbital, al momento angular del spin,
y al momento angular total de un sistema atómico. La relación entre la magnitud del momento
angular y su proyección a lo largo de cualquier dirección en el espacio, es visualizada a menudo
en términos de un modelo vectorial.
134
7.9 MOMENTO ANGULAR ORBITAL
El momento angular orbital de los electrones en los átomos, asociados con un determinado
estado cuántico, están cuantizados en la forma,
𝐿 = √𝑙(𝑙 + 1) ℏ 𝑙 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1 (7.43)
Este es el resultado de aplicar la teoría cuántica a la órbita del electrón. La solución de la
ecuación de Schrödinger produce el número cuántico del momento angular. Incluso en el caso
del momento angular clásico de una partícula en órbita,
−𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 𝑠𝑒𝑛 휃 (7.44)
El momento angular se conserva. La teoría de Bohr propuso la cuantización del momento
angular en la forma,
𝐿 = 𝑚𝑣𝑟 =𝑛ℎ
2휋 (7.45)
la posterior aplicación de la ecuación de Schrödinger confirmó esa fórmula para el momento
angular orbital. La notación espectroscópica utilizada para la caracterización de los niveles de
energía de los electrones atómicos se basa en el número cuántico orbital.
7.10 MOMENTO ANGULAR TOTAL
Cuando el momento angular orbital y el momento angular del spin están acoplados, el momento
angular total esta expresado, de la forma general del momento angular cuantizado,
𝐽 = √𝑗(𝑗 + 1) ℏ (7.46)
Donde el número cuántico del momento angular total (𝑗) es,
𝑗 = 𝑙 ± 𝑠 = 𝑙 ±1
2 (7.47)
Esto da una componente 𝑧 del momento angular 𝑣
𝐽𝒵 = 𝑚𝑗ℏ, 𝑚𝑗 = −𝑗,−𝑗 + 1,−𝑗 + 2, … . 𝑗 − 1, 𝑗 ( 7.48)
Este tipo de acoplamiento da un número par de niveles de momento angular, que es coherente
con los conjuntos de los niveles energéticos de un átomo o una molécula, que se manifiestan en
líneas espectrales muy próximas (multipletes) observados en los efectos Zeeman anómalos,
como el del sodio.
Siempre que las interacciones externas no sean extremadamente fuertes, el momento angular
total de un electrón puede considerarse que se conserva, y se dice que 𝑗 es un buen número
cuántico. Este número cuántico se utiliza para caracterizar el desdoblamiento de los niveles de
energía atómica, como el desdoblamiento spin-órbita que conduce al doblete del sodio.
135
PROBLEMAS
Problema 7.1
Determine la cantidad de movimiento angular de una partícula de masa 𝑚 que se mueve con
rapidez 𝑣 en un círculo de radio 𝑟 en sentido antihorario.
Problema 7.2
Determina el momento angular respecto al origen de un coche con una masa de 1200 𝑘𝑔 que se
mueve en un círculo de 20 𝑚 de radio con una velocidad de 15 𝑚/𝑠. El círculo se encuentra en
el plano 𝑥𝑦 centrado en el origen.
Problema 7.3
Una pequeña masa 𝑚 amarrada al extremo de una cuerda gira en círculo sobre una mesa
horizontal que no ejerce fricción. El otro extremo de la cuerda pasa a través de un agujero en el
centro de la mesa. Inicialmente, la masa gira con una rapidez 𝑣1 = 2.4 𝑚/𝑠 en un círculo de
radio 𝑟1 = 0.80 𝑚. Entonces la cuerda se jala lentamente a través del agujero, de manera que el
radio se reduce a 𝑟2 = 0.48 𝑚. ¿Cuál es ahora la rapidez 𝑣2 de la masa?
Problema 7.4
Suponga que una persona de 60 𝑘𝑔 está de pie en el borde de una plataforma circular de 6.0 𝑚
de diámetro, que está montada sobre chumaceras sin fricción y tiene un momento de inercia de
1800 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2. La plataforma se encuentra inicialmente en reposo; sin embargo, cuando la
persona comienza a correr con una rapidez de 4.2 𝑚/𝑠 (con respecto a la Tierra) por el borde,
la plataforma comienza a girar en sentido contrario. Calcule la velocidad angular de la
plataforma.
136
Problema 7.5
Su profesor de física está de pie en una plataforma estacionaria y sin fricción mientras sostiene
en sus manos una rueda de bicicleta que gira. ¿Qué sucedería si el profesor de repente voltea la
rueda de bicicleta de forma que ésta gire en sentido contrario?
Problema 7.6
Una hélice de turbina del motor a reacción de un avión tiene un momento de inercia de 2.5 𝑘𝑔 ∙
𝑚2 alrededor de su eje de rotación. Al arrancar la turbina, su velocidad angular en función del
tiempo es 𝜔𝑧 = (40 𝑟𝑎𝑑/𝑠3)𝑡2. a) Calcule el momento angular de la hélice en función del
tiempo y su valor en 𝑡 = 3 𝑠. b) Determine la torca neta que actúa sobre la hélice en función del
tiempo, y su valor en 𝑡 = 3 𝑠.
Problema 7.7
Determina el momento angular respecto al origen de un coche de masa 1200 𝑘𝑔 que se mueve
en un círculo de 20 𝑚 de radio con velocidad de 15 𝑚/𝑠. El circulo se halla en el plano 𝑥𝑦,
centrado en el origen. Mirando desde un punto situado en la parte positiva del eje 𝑧, el coche se
mueve en sentido antihorario.
Problema 7.8
Un niño de 25 𝑘𝑔 de masa, corre por un jardín a una velocidad de 2.5 𝑚/𝑠, de forma que su
trayectoria es tangente al borde de un tiovivo de 500 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 de momento de inercia, que está
parado. El niño salta sobre el tiovivo y lo pone en movimiento. Determina la velocidad angular
final del niño y del tiovivo cuando se mueven juntos.
Problema 7.9
Una partícula de masa 𝑚 se mueve con velocidad 𝑣0 en una circunferencia de radio 𝑟0 sobre la
superficie de una mesa sin rozamiento. La partícula está atada a una cuerda que pasa a través de
un agujero de la mesa. Tirando de la cuerda lentamente hacia abajo, la partícula se mueve en
una circunferencia de menor radio 𝑟𝑓. a) Determina la velocidad final en función de 𝑟0, 𝑣0 𝑦 𝑟𝑓.
b) Determina la tensión de la cuerda cuando la partícula se mueve en una circunferencia de radio
𝑟 en función de 𝑚, 𝑟 y el momento angular 𝐿.
137
Problema 7.10
¿Cuál es la magnitud del momento angular de una pelota de golf que tiene una masa de
𝑚 = 4.59 × 10−2 𝑘𝑔 y un radio 𝑅 = 2.13 × 10−2 𝑚, que gira a 4250 𝑟𝑝𝑚 después de un buen
golpe con un driver?
Problema 7.11
Sabemos que el momento de inercia de una esfera sólida respecto a su eje de rotación viene
determinado por 𝐼𝑒𝑠𝑓 = 2/5 𝑚 𝑟2, suponemos que la Tierra es una esfera homogénea de masa
5.972 × 1024 𝑘𝑔 y su radio de 6371 𝑘𝑚. Determina a) su momento angular de rotación,
b) su momento angular orbital alrededor del Sol sabiendo que la distancia media entre el Sol
y la Tierra es de 1.496 × 1011 𝑚.
Problema 7.12
Un disco LP de vinilo con 30 𝑐𝑚 de diámetro, gira en sentido horario a
33 𝑟𝑝𝑚. Una mosca se posa en el extremo del disco, y da vueltas al
mismo ritmo. Calcula el momento angular de la mosca respecto al centro
del disco suponiendo que su masa es de 0.05 𝑔.
Problema 7.13
Un camión de bomberos de 5000 𝑘𝑔 toma una curva de 100 𝑚 de radio con una velocidad
lineal constante de 72 𝑘𝑚/ℎ. Calcula el momento angular de la camioneta respecto al centro de
la curva.
Problema 7.14
La Tierra viaja en torno al Sol siguiendo una órbita que se completa en un año. Suponiendo que
se trata de una órbita circular de radio 1.5 × 1011 𝑚. Calcula el momento angular orbital de la
Tierra respecto al Sol.
Problema 7.15
Una esfera de 500 𝑔 de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 𝑚 de longitud
y gira con una velocidad de 4 𝑚/𝑠 en un plano horizontal en torno a un punto 𝑂. En un
determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo
con ello su longitud y por tanto el radio de giro. a) Calcula el momento angular inicial respecto
al punto 𝑂. b) Determina el valor de la velocidad lineal cuando se haya enrollado el 80 % de la
cuerda.
138
Problema 7.16
El cometa Halley completa su órbita en torno al Sol cada 76 𝑎ñ𝑜𝑠. En su regreso de 1843 pasó
a tan solo 800000 𝑘𝑚 del centro del Sol. La velocidad a la que debió pasar por esa zona estaba
en torno a los 550 𝑘𝑚/𝑠. Determine la velocidad con la que se desplaza el cometa en su
perihelio cuando se encuentra a 85.5 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 de km del Sol.
Problema 7.17
Una bailarina hace girar dos esferas simultáneamente. Ambas esferas giran a una misma
velocidad angular constante de 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Determina el momento angular del sistema.
Problema 7.18
Una patinadora artística gira a razón de 1.80 𝑟𝑒𝑣/𝑠 con los brazos extendidos. Entonces coloca
los brazos sobre su pecho, reduciendo su inercia rotacional 67 % de su valor original.
¿Cuál es su nueva razón de rotación?
Problema 7.19
Un ratón de 0.10 𝑘𝑔 se encuentra en el punto 𝐵 sobre el borde de una rueda de 2.0 𝑘𝑔 de una
carreta que rueda a 1.0 𝑟𝑒𝑣/𝑠. Entonces, el ratón se arrastra hacia el punto 𝐴 en el centro.
Suponga que la masa de la rueda está concentrada en el borde. ¿Cuál es la frecuencia de rotación
cuando el ratón llega al punto 𝐴?
Problema 7.20
La masa de un volante es de 5.6 × 104 𝑘𝑔. Este volante en particular tiene su masa concentrada
en el borde de la rueda. Si el radio de la rueda es de 2.6 𝑚 y gira a 350 𝑟𝑝𝑚, ¿Cuál es la
magnitud de su cantidad de movimiento angular?
139
CUESTIONARIO I
1. ¿Qué es la dinámica rotacional?
2. Define el concepto de momento angular.
3. ¿Cuáles son las unidades en el Sistema Internacional del momento angular?
4. Escribe el concepto de momento de una fuerza.
5. ¿Cuándo varía el momento angular?
6. Define el concepto de inercia.
7. Define el concepto de inercia rotacional e inercia traslacional, y compáralas.
8. Menciona dos ejemplos de momento angular y explícalos.
9. Escribe la regla de la mano derecha para un disco en rotación. Explica.
10. ¿Como se define el momento angular total?
11. Define el trabajo y la energía cinética rotacional. Explica cómo se relacionan.
12. Explica el Teorema de los ejes paralelos.
13. Explica la ley de la conservación de la cantidad de momento angular.
14. Explica a qué se refiere el concepto de inercia rotacional.
15. Explica la segunda ley de Newton en forma angular.
140
CUESTIONARIO II
1. ¿Como se relacionan el momento de inercia, el momento angular y la torca?
2. ¿Cuál es la condición para la conservación de la cantidad de movimiento angular?
3. Menciona dos ejemplos que ilustren el principio de conservación del momento angular.
4. ¿Qué sucede con un gato que se deja caer de una cierta altura y se gira de una cierta
manera en la que cae sobre sus patas siempre?
5. Explica la relación entre el momento lineal y el angular.
6. Define el concepto de potencia rotacional instantánea.
7. Explica la diferencia entre un movimiento traslacional y uno rotacional.
8. ¿A qué se refiere la simetría rotacional de un sistema?
9. ¿Como se relaciona el momento lineal con el momento angular?
10. Considerando la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular, ¿Por qué un
helicóptero debe tener más de un rotor (o hélice)?
11. Imagina que estas de pie en el extremo de una gran plataforma giratoria que gira
libremente. Explica que ocurre si caminas hacia el centro.
12. ¿En qué dirección está el vector velocidad angular de la Tierra mientras ésta gira
diariamente en torno a su eje?
13. Una persona está sentada en una silla giratoria y sostiene una masa de 2 𝑘𝑔 en cada
mano estirada, si súbitamente suelta las masas. ¿su velocidad angular aumenta,
disminuye o permanece igual?
14. Dos esferas parecen idénticas y tienen la misma masa. Sin embargo, una esta hueca y la
otra es sólida. Describa un experimento para determinar cuál es cuál.
15. Un alumno de física sostiene una rueda de bicicleta giratoria mientras está de pie sobre
una plataforma giratoria estacionaria sin fricción. ¿Qué ocurrirá si el alumno
súbitamente da vuelta a la rueda de bicicleta de modo que ahora gire en la dirección
opuesta?
141
CUESTIONARIO III
1. Una patinadora gira con sus brazos estirados hacia fuera. ¿Qué tiene una rapidez de
rotación mayor, sus hombros o la punta de sus dedos? ¿Por qué?
2. ¿Quién tiene una rapidez de rotación mayor, una persona que vive en el Ecuador o una
que vive en la New York?
3. Juan y Pedro viajan en un carrusel. Juan viaja cerca del centro, mientras que Pedro está
cerca de la parte exterior. Compara sus aceleraciones de rotación.
4. Usted mira hacia abajo en un carrusel y observa que gira en sentido de las manecillas
del reloj. ¿Cuál es la dirección de la velocidad de rotación del carrusel? Si el carrusel
frena, ¿Cuál es la dirección de su aceleración de rotación?
5. ¿Cuál es la dirección de la velocidad de rotación de la Tierra?
6. La rapidez de rotación de la Tierra se frena porque el Sol y la Luna producen mareas.
¿Cuál es la dirección de la aceleración de rotación de la Tierra?
7. ¿Cómo llamamos a la resistencia de un objeto a un cambio en su velocidad de rotación?
8. ¿Explica que se necesita para modificar la velocidad de rotación de un objeto?
9. Un volante de inercia con una inercia de rotación grande se suele instalar en el eje de
dirección de los motores de los automóviles. ¿Para qué sirve el volante de inercia?
10. ¿La inercia de rotación de un objeto aumenta o disminuye con un incremento de su
masa? ¿Aumenta o disminuye conforme la masa se acerca al eje de rotación?
11. La Tierra gira sobre su propio eje una vez cada 23 horas y 56 minutos. ¿Por qué esta
frecuencia ha cambiado muy poco desde la época de Isaac Newton?
12. Escribe un ejemplo cotidiano que ejemplifique con claridad el significado de la segunda
ley de Newton para la rotación.
13. ¿Por qué un helicóptero pequeño tiene un rotor en su cola? ¿Por qué un helicóptero con
dos grupos de rotores no necesita un rotor en su cola?
14. ¿Por qué las patinadoras giran más rápido cuando encogen sus brazos?
15. Un astronauta que flota en el transbordador espacial tiene un movimiento de rotación
inicial, pero no tiene un movimiento de traslación inicial en relación con el
transbordador. ¿Por qué el astronauta sigue girando?
142
16. Al mirar por el cañón de un rifle, se observan surcos largos en espiral. Cuando la bala
viaja por el cañón, estos surcos hacen que la bala gire. ¿Para qué sirve que la bala gire?
17. Un gato que cae sin un momento angular inicial consigue aterrizar sobre sus patas.
¿El gato necesita adquirir un momento angular para conseguir esto? Explica en detalle.
18. El eje de rotación de la Tierra está inclinado 23.5° en relación con el eje de revolución
de la Tierra respecto al Sol. El Polo Norte está inclinado hacia el Sol el 22 de junio.
¿Cuál polo está inclinado hacia el Sol el 22 de diciembre? Explica en detalle.
19. Si observas las estrellas toda la noche, todas parecen moverse excepto una. ¿Cuál estrella
parece inmóvil y por qué?
20. Escribe 5 ejemplos donde el momento angular los explique.
CUESTIONARIO IV
1. Escribe el concepto de Spin.
2. Define el momento angular cuantizado.
3. Define el momento angular orbital.
4. Explica de qué manera la teoría de Bohr propuso la cuantización del momento angular.
5. ¿Qué es un numero cuántico del momento angular?
6. ¿Para que se utilizan los números cuánticos?
7. Explica como la ecuación de Schrödinger produce el número cuántico del momento
angular.
8. Escribe las letras con las cuales se designa el momento angular orbital de los electrones
individuales.
9. ¿Cuál es la relación entre la ecuación de Dirac y el spin del electrón?
10. Explica la ecuación de Dirac y su relación con la antimateria.
143
SUGERENCIAS DE PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN PARA LA UNIDAD 1
• Biomecánica, aparatos para rehabilitación.
• Diseño de rines y llantas para el mejoramiento de la estabilidad de los automóviles.
• La física en los juguetes mexicanos.
• La torca y sus aplicaciones en maquinaria, herramientas, automotores o en estaciones
espaciales.
• Como se coloca un satélite en órbita.
• Teorías de gravitación y agujeros negros.
• Aplicación del momento angular en la astronomía.
• Colisiones en el billar.
• La física en el ballet.
• La física en el patinaje artístico.
• La física en los clavadistas.
• La física en los gimnastas.
• Simetrías y leyes de conservación en física.
SITIOS DE INTERÉS
<http://www.aapt.org/>
<http://portalacademico.cch.unam.mx/>
<https://www.edumedia-sciences.com/es/>
<http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/>
<https://phet.colorado.edu/>
<http://www.falstad.com/>
<https://sites.google.com/site/fisicacontics/home/introduccion>
<http://fisica.uson.mx/manuales/magyopt.html>
<http://www.dgbiblio.unam.mx>
<http://alumnoscch.wordpress.com/>
144
REFERENCIAS
BÁSICA
• Gutiérrez, C. (2009). Física general, capítulos 7 y 10. México: Mc Graw Hill.
• Halliday, D., Resnick, R. y Walker, J. (2011). Fundamentos de física, Volumen 1,
capítulo 15 páginas 365–391, octava edición. México: Grupo Editorial Patria.
• Jones, E y Childers, R. (2001). Física contemporánea, capítulo 9, tercera Edición.
México: Mc Graw Hill.
• Serway, R. y Faughn, J. (2001). Física, capítulos 7 y 8, quinta edición. México:
Pearson Educación.
• Serway, R. Vuille, C. y Faughn, J. (2010). Fundamentos de física, capítulos 7 y 8,
octava edición. Cengage Learning.
• Tippens, Paul E. (2011). Física, conceptos y aplicaciones, capítulos 10 y 11, séptima
edición. México: Mc Graw Hill.
• Wilson, J., Buffa, A. y Lou, B. (2007). Física, capítulo 7 y 8, sexta edición. México:
Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
• Alonso, M. y Rojo, O. (1981). Física mecánica y termodinámica. México: Fondo
Educativo Interamericano.
• Cromer, Alan. (1981). Física para las ciencias de la vida, segunda edición, México:
Editorial Reverte.
• Giancoli, Douglas. (2009). Física 1: Principio con aplicaciones, sexta edición,
México: Pearson Educación.
• Hecht, E. (2000). Física 1: álgebra y trigonometría, segunda edición, México:
International Thomson Editores.
• Resnick, R. Halliday, D. y Krane, K. (2012). Física, vol. 1, cuarta Edición, México:
Editorial John Wiley & Son.
• Riveros, R. Héctor, et al. (2000). Experimentos impactantes 1, mecánica y fluidos.
México: Editorial Trillas.
145
UNIDAD II
SISTEMAS DE FLUIDOS
146
PROGRAMA DE FÍSICA III
Unidad 2. Sistemas de fluidos
PRESENTACIÓN
En esta Unidad 2 se estudia el comportamiento de los fluidos en reposo y movimiento,
considerados como sistemas que interactúan con sus alrededores, para lo que se requiere de los
conceptos: presión, densidad, peso específico, presión atmosférica y de los principios básicos
de Pascal y Arquímedes, así como la ecuación de continuidad y de Bernoulli.
En la primera parte de esta unidad se estudian las propiedades de los fluidos en reposo y las
leyes que los rigen; en la segunda se abordarán las propiedades dinámicas de los fluidos
enfatizando la conservación de la energía.
Las actividades a realizar serán tanto teóricas como experimentales; con relación a los ejercicios
que se presenten a los alumnos se hará énfasis en la aplicación de los principios y las leyes de
los fluidos en situaciones reales. Se sugiere que el alumno plantee el desarrollo de proyectos
de investigación escolar enfocados a aplicaciones tecnológicas.
Los líquidos y los gases se conocen como fluidos porque fluyen libremente y tienden a llenar
los recipientes que los contienen. En esta unidad se aprenderá que los fluidos ejercen fuerzas
sobre las paredes de los recipientes donde están contenidos. Estas fuerzas actúan sobre áreas
definidas y originan una condición de presión.
En la prensa hidráulica se utiliza la presión del fluido para elevar cargas pesadas. La estructura
de los depósitos de agua, las presas y los grandes tanques de aceite se diseñan, en gran parte,
tomando en cuenta la presión. En el diseño de barcos, submarinos y globos meteorológicos
se debe tomar en cuenta la presión y la densidad del fluido circundante.
Se estudiarán también los aspectos fundamentales del flujo de fluidos y el principio de Bernoulli
que gobiernan dicho movimiento. En la primera parte se estudian algunas propiedades de los
fluidos en reposo y las leyes que los rigen; en la segunda, se abordan algunas propiedades
dinámicas de los fluidos considerando la conservación de la masa y de la energía. En la tercera
parte se indican los límites de validez del modelo de fluidos ideales.
Las actividades a realizar serán tanto teóricas como experimentales. El estudio y análisis de los
conceptos relativos a esta unidad permiten explicar el funcionamiento de dispositivos
hidráulicos y neumáticos tales como: prensa hidráulica, baumanómetro y tubo de Venturi;
así como el comportamiento de diferentes tipos de fluidos y de sustentación aerodinámica.
147
PROPÓSITOS
Al finalizar la Unidad 2 el alumno:
• Describirá algunos aspectos del comportamiento de un fluido en condiciones estáticas
o dinámicas.
• Comprenderá los límites de validez de los modelos matemáticos considerados.
• Analizará situaciones donde se manifiesten: procesos de transferencia de masa,
de energía y principios de conservación, preferentemente en situaciones experimentales.
• Resolverá problemas prototipo donde se presenten procesos de transferencia de masa
y energía con base en los principios de conservación.
• Planteará y resolverá situaciones donde se manifiesten: procesos de transmisión de masa,
de energía y principios de conservación, con el empleo de modelos matemáticos que
expresen relaciones entre las variables que intervienen en sus actividades experimentales
e identificará los límites de validez de los mismos para describir el comportamiento de
un fluido en reposo o en movimiento.
148
INTRODUCCIÓN
Sistemas de fluidos
En la naturaleza la sustancia se presenta en general en tres estados de agregación, sólidos,
líquidos y gases, en particular una sustancia sólida puede que tenga a su vez diferentes
estructuras o fases, hay también sustancias con propiedades intermedias entre sólidos y líquidos
como pueden ser los geles, o entre gases y líquidos, como las espumas.
Una de las características principales de líquidos y gases, es la de poder fluir y la de deformarse
continuamente para adquirir la forma del recipiente que la contenga. A la materia que se
comporta así la llamamos fluido. En esta sección estudiaremos las características y propiedades
de los fluidos, así como los principios que los rigen.
La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos
cortantes, lo que provoca que carezcan de forma definida. También estudia las interacciones
entre el fluido y el contorno que lo limita.
Podemos notar que los gases pueden comprimirse, mientras que los líquidos carecen de esta
característica, la compresibilidad de los líquidos a altas presiones no es exactamente cero pero
es cercana a cero, aunque toman la forma del recipiente que los contiene. La compresibilidad de
un fluido depende del tipo de problema, en algunas aplicaciones aerodinámicas, aun cuando el
fluido es aire, puede asumirse que el cambio de volumen del aire es cero.
Para clasificar a los materiales que se encuentran en la naturaleza se pueden utilizar diversos
criterios. Desde el punto de vista de la ciencia, uno de los más interesantes lo constituye aquel
que considera el comportamiento de los elementos frente a situaciones especiales. De acuerdo
a ello se definen los estados básicos de sólido, plástico, fluidos y plasma. De aquí la de definición
que nos interesa es la de fluidos, la cual se clasifica en líquidos y gases.
La clasificación de fluidos depende fundamentalmente del estado y no del material en sí.
De esta forma lo que define al fluido es su comportamiento y no su composición. Entre las
propiedades que diferencian el estado de la materia es la que establece la relación con la forma
en que reacciona el material cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos reaccionan de una
manera característica a las fuerzas. Si se compara lo que ocurre a un sólido y a un fluido cuando
son sometidos a un esfuerzo de corte o tangencial, se tienen reacciones características que se
pueden verificar experimentalmente y que permiten diferenciarlos.
Con base al comportamiento que desarrollan los fluidos se define a un fluido como una sustancia
que se deforma continuamente, o sea se escurre, cuando está sometido a un esfuerzo de corte
o tangencial. De esta definición se desprende que un fluido en reposo no soporta ningún esfuerzo
de corte.
149
CAPÍTULO VIII SISTEMAS DE FLUIDOS
8.1 FLUIDOS
Los líquidos y gases se conocen como fluidos por que fluyen libremente y tienden a llenar
los recipientes que los contienen. En este capítulo aprenderemos que los fluidos ejercen fuerzas
sobre las paredes de los recipientes donde están contenidos. Esas fuerzas actúan sobre áreas
definidas y originan una condición de presión. En la prensa hidráulica se utiliza la presión del
fluido para elevar cargas pesadas. La estructura de los depósitos de agua, las presas y los grandes
tanques de aceite se diseñan, en gran parte, tomando en cuenta la presión. En el diseño de barcos,
submarinos y globos meteorológicos se debe tomar en cuenta la presión y la densidad del fluido
circundante
Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado por alguna sustancia entre cuyas
moléculas solo hay una fuerza de atracción débil. La propiedad que los define es que los
fluidos pueden cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restitutivas tendentes a
recuperar la forma original; lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable,
donde sí hay fuerzas restitutivas. Un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen
unidas entre sí por fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término
engloba a los líquidos y gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus
moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos
toman la forma del recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que
los gases carecen tanto de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas
se deslizan en los líquidos y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados
por los líquidos y los gases, siendo los segundos mucho menos viscosos (casi fluidos ideales).
Un fluido es todo cuerpo que tiene la propiedad de fluir, y carece de rigidez y elasticidad,
en consecuencia, cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma
y adoptando así la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos pueden ser líquidos
o gases según la diferente intensidad de las fuerzas de cohesión existentes entre sus moléculas.
Fig. 8.1 Todos los fluidos son compresibles en cierto grado. Los líquidos son fluidos.
En los líquidos, las fuerzas intermoleculares permiten que las partículas se muevan libremente,
aunque mantienen enlaces latentes que hacen que las sustancias en este estado presenten
volumen constante o fijo. Cuando se vierte un líquido a un recipiente, el líquido ocupará el
volumen parcial o igual al volumen del recipiente sin importar la forma de este último.
Los líquidos son incompresibles debido a que su volumen no disminuye al ejercerle fuerzas
muy grandes. Otra de sus propiedades es que ejercen presión sobre los cuerpos sumergidos en
ellos o sobre las paredes del recipiente que los contiene.
150
Al analizar los fluidos haremos referencia a sistemas de fluidos en particular. Un sistema se
define como la parte del universo objeto de estudio. Es cualquier objeto (o conjunto de
objetos) que se somete a consideración. Todo lo demás en el universo constituye su ambiente o
entorno. Existen varias categorías de sistemas.
• Sistema Cerrado: Es aquel que intercambia energía, pero no materia con los alrededores
(su masa permanece constante)
• Sistema Abierto: Es aquel que intercambia energía y materia con los alrededores.
• Sistema Aislado: Es aquel que no intercambia ni materia no energía con los alrededores.
Fig. 8.2 Tipos de sistemas.
8.2 DENSIDAD
Antes de estudiar la estática y la dinámica de fluidos, es importante entender la relación entre el
peso de un cuerpo y su volumen. Por ejemplo, nos referimos al plomo o al hierro como
materiales pesados, mientras que a la madera y al corcho los consideramos ligeros. Lo que en
realidad queremos expresar es que un bloque de madera es más ligero que un bloque de plomo
si ambos son de tamaño similar. Los términos ligero y pesado son de carácter comparativo; un
bloque de plomo y un bloque de madera pueden pesar lo mismo si su tamaño relativo difiere en
forma considerable.
La cantidad que relaciona el peso de un cuerpo con su volumen se conoce como peso específico.
El peso específico (𝑫) de un cuerpo se define como la relación de su peso (𝑾) entre su
volumen (𝑽). Las unidades son el Newton por metro cúbico [𝑵/𝒎𝟑]
𝐷 =𝑊
𝑉 (8.1)
Por lo tanto, si un objeto de 9 𝑘𝑔 de peso ocupa un volumen de 0.113 𝑚3, tiene un peso
específico de 79.6 𝑁/𝑚3. El peso de un cuerpo no es constante, sino que varía de acuerdo al
lugar. Una relación más útil para la densidad aprovecha el hecho de que la masa es constante
independientemente de la gravedad. La densidad o masa específica (𝝆) de un cuerpo se
define como la relación de su masa (𝒎) con respecto a su volumen (𝑽).
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 =𝑀𝑎𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 (8.2)
휌 =𝑚
𝑉 (8.3)
151
Las unidades de la densidad en el SI son [𝑘𝑔/𝑚3]; Cuanto más densa sea una sustancia, más
masa tendrá en cierto volumen. Para darte una idea de las densidades de las sustancias
comunes, comienza con el agua. Visualiza un recipiente de 1 metro por lado. En consecuencia,
el volumen del recipiente es 1 metro cúbico (1 𝑚3). Se necesitan 1000 kilogramos de agua para
llenar el recipiente y, por tanto, la densidad del agua es,
휌𝐴𝑔𝑢𝑎 =1000 𝑘𝑔
1 𝑚3= 1000 𝑘𝑔/𝑚3
Haciendo una comparación entre densidades, la densidad del aire del salón de clases es de
aproximadamente 1.29 𝑘𝑔/𝑚3. La densidad del helio en un globo lleno de dicho gas es menor,
cercana a 0.179 𝑘𝑔/𝑚3. En la tabla 7 se presentan más ejemplos de densidades de varios
sólidos, líquidos y gases. Como lo mencionamos anteriormente sólidos y líquidos son
virtualmente incomprensibles, de modo que sus densidades son prácticamente constantes.
Los gases, por otra parte, se expanden (se vuelven menos densos) con el calentamiento o con la
reducción de la presión, y se comprimen (se vuelven más densos) con el enfriamiento o un
aumento de presión. Por lo tanto, los valores de las densidades de los gases de la tabla 7 se dan
a temperatura y presión estándar (0 ℃, 1 𝑎𝑡𝑚).
Tabla 7. Densidades de sustancias comunes
Sustancia Densidad [𝒌𝒈/𝒎𝟑]
SÓLIDOS
Oro 19300
Mercurio 13600
Plomo 11300
Plata 10500
Hierro 7860
Aluminio 2700
Ébano (madera) 1220
Hielo 917
Cerezo (madera) 800
Balsa (madera) 120
FLUIDOS
Etilenglicol
(anticongelante)
1114
Sangre (37 ℃) 1060
Agua de mar 1025
Agua dulce 1000
Aceite de oliva 920
Alcohol etílico 806
Oxígeno 1.43
Aire 1.29
Helio 0.179
152
La ecuación de densidad también sirve para resolver la masa de un volumen dado, o el volumen
de una masa dada, si se conoce la densidad de la sustancia. Por ejemplo, la masa de 3.79 litros
(3.79 × 10−3 𝑚3) o 1 galón de agua es,
𝑚 = (휌𝐴𝑔𝑢𝑎)(𝑉) (8.4)
𝑚 = (1000 𝑘𝑔/𝑚3)(3.79 × 10−3 𝑚3) = 3.79 𝑘𝑔
Como norma general, un galón de agua pesa alrededor de 36 𝑁. De igual forma, el volumen de
10 𝑘𝑔 de agua es,
𝑉 =𝑚
휌𝐴𝑔𝑢𝑎=
10 𝑘𝑔
1000 𝑘𝑔/𝑚3= 0.010 𝑚3
La relación entre peso específico y densidad se determina a partir de que 𝑊 = 𝑚𝑔,
𝐷 =𝑚𝑔
𝑉= 휌𝑔 (8.5)
Otro método para indicar las densidades de las sustancias es por medio de su gravedad
específica, la cual compara su densidad con la del agua. Por ejemplo, una sustancia que es la
mitad de densa que el agua tendrá una gravedad específica de 0.5.
La gravedad específica de una sustancia se define como la relación de su densidad con
respecto a la densidad del agua a 𝟒 ℃ (𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈/𝒎𝟑).
Un mejor nombre para esta cantidad es densidad relativa, pero el término gravedad específica
se usa más ampliamente.
8.3 PRESIÓN
La eficiencia de una cierta fuerza a menudo depende del área sobre la que actúa. Por ejemplo,
una mujer que usa tacones puntiagudos daña más los pisos que si usara tacones anchos.
Aun cuando la dama ejerce la misma fuerza hacia abajo en ambos casos, con los tacones agudos
su peso se reparte sobre un área mucho menor. Podemos aplicar una fuerza a un sólido en un
punto de contacto, pero esto no funciona con los fluidos, pues éstos no resisten un corte.
Con los fluidos, es preciso aplicar una fuerza sobre un área, tal aplicación de fuerza se expresa
en términos de presión. A la fuerza normal por unidad de área se le llama presión, es decir,
es la fuerza que ejerce un sólido, líquido o gas sobre una superficie. Simbólicamente,
la presión (𝑃) está dada por,
𝑃 =𝐹
𝐴 (8.6)
Donde (𝐴) es el área donde se aplica la fuerza (𝐹). En esta ecuación se entiende que la fuerza
actúa de forma normal (perpendicular) a la superficie. Reescribiendo la ecuación anterior
tenemos,
153
𝑃 =𝐹⊥
𝐴=
𝐹 cos 휃
𝐴 (8.7)
La presión es una cantidad escalar (sólo tiene magnitud) aunque la fuerza que la produce sea un
vector. La unidad de presión en el SI es el [𝑁/𝑚2] a la cual se le llama 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 [𝑃𝑎].
El 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 [𝑘𝑃𝑎] es la unidad de medida más apropiada para la presión de fluidos.
Esta unidad se llama así en honor al científico y filósofo francés Blaise Pascal (1623-1662)
1 𝑃𝑎 = 1 𝑁/𝑚2
1 𝑘𝑃𝑎 = 1000 𝑁/𝑚2
La expresión matemática de la presión indica que cuanto mayor sea la fuerza aplicada, mayor
será la presión para una misma área; así pues, cuando la fuerza aumenta al doble, también la
presión se incrementa en la misma proporción, es decir, al doble; si la fuerza aumenta al triple,
la presión se incrementa al triple, siempre y cuando el área sobre la que actúa la fuerza no varíe.
Cuando se aplica una misma fuerza, pero el área aumenta, la presión disminuye de manera
inversamente proporcional al incremento de dicha área. Por tanto, si el área aumenta al
doble, la presión decrece a la mitad; si el área aumenta al doble, la presión decrece a la mitad;
si el área sube al triple, la presión baja a la tercera parte de su valor. Pero si el área en que actúa
una fuerza disminuye a la mitad, la presión aumenta al doble, y si el área se reduce a la tercera
parte de su valor, la presión se incrementa al triple. En conclusión, la fuerza es directamente
proporcional a la presión, y está es inversamente proporcional al área.
8.4 PRESIÓN DEL FLUIDO
Es importante la diferencia entre cómo actúa la fuerza sobre un fluido y cómo lo hace sobre un
sólido. Ya que un sólido es un cuerpo rígido, puede soportar que se le aplique una fuerza sin
que cambie apreciablemente su forma. Por otra parte, un líquido puede soportar una fuerza
únicamente en una superficie o frontera cerrada. Si el fluido no está restringido en su
movimiento, empezará a fluir bajo el efecto del esfuerzo constante, en lugar de deformarse
elásticamente.
La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene siempre
actúa en forma perpendicular a esas paredes.
Ésta es una característica propia de los fluidos que hace que el concepto de presión sea muy útil.
Si se perforan agujeros a los lados y al fondo de un barril con agua, se demuestra que la fuerza
ejercida por el agua es en cualquier parte perpendicular a la superficie del barril. La presión es
una cantidad escalar; no tiene una dirección.
Al reflexionar un momento se deduce que el líquido también ejerce una presión hacia arriba.
Cualquier persona que haya tratado de mantener una balsa por debajo de la superficie del agua
se convence de inmediato de la existencia de una presión hacia arriba. En realidad, nos damos
cuenta de que los fluidos ejercen presión en todas direcciones.
154
Fig. 8.3 Las fuerzas ejercidas por un fluido sobre las paredes de los recipientes que lo contiene son
perpendiculares en todos los puntos.
Un fluido en reposo dentro de un recipiente se encuentra, en forma característica, en equilibrio
estático bajo las fuerzas perpendiculares de compresión que ejercen las paredes. Sin embargo,
es importante darse cuenta de que un líquido, en virtud de su fuerza interna de cohesión también
puede sostener una fuerza de tensión. Aunque por lo general los líquidos empujan hacia afuera,
también pueden tirar hacia dentro. La presión ejercida por un fluido se tomará como positiva
cuando el fluido se encuentra en compresión, que es el caso más frecuente.
Fig. 8.4 Los fluidos ejercen presión en todas direcciones.
Puesto que el peso del fluido que está por arriba de un punto en cuestión es proporcional a su
densidad, la presión a cualquier profundidad es también proporcional a la densidad del fluido.
Esto puede visualizarse considerando una columna rectangular de agua cuyas dimensiones van
desde la superficie hasta la profundidad (ℎ). El peso de la columna completa actúa sobre el área
(𝐴) en el fondo de la columna. Partiendo de la ecuación del peso especifico (𝐷 = 𝑊/𝑉),
podemos escribir el peso de la columna como,
𝑊 = 𝐷 𝑉 = 𝐷 𝐴 ℎ (8.8)
Donde (𝐷) es la densidad de peso del fluido. La presión (peso por unidad de área) a la
profundidad (ℎ) está dada por,
𝑃 =𝑊
𝐴= 𝐷 ℎ (8.9)
155
Fig. 8.5 Relación entre presión, densidad y profundidad.
O bien, en términos de densidad,
𝑃 = 𝐷 ℎ = 휌 𝑔 ℎ (8.10)
La presión del fluido en cualquier punto es directamente proporcional a la densidad del
fluido y a la profundidad bajo la superficie del fluido.
8.5 MEDICIÓN DE LA PRESIÓN DE UN FLUIDO
La presión que se estudió anteriormente se debe únicamente al propio fluido y puede calcularse
a partir de la presión en términos de la densidad. Desafortunadamente, este caso no es el más
frecuente. Cualquier líquido en un recipiente abierto, por ejemplo, está sujeto a la presión
atmosférica además de la presión debida a su propio peso. Ya que el líquido es relativamente
incompresible, la presión externa de la atmósfera se trasmite por igual a través del volumen del
líquido. El primero en enunciar este hecho fue el matemático francés Blas Pascal (1623-1662),
y se conoce como Ley de Pascal.
Ley de Pascal:
Una presión externa aplicada a un fluido confinado se transmite uniformemente a través
del volumen del líquido.
La mayoría de los dispositivos que permiten medir la presión directamente miden en realidad la
diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. El resultado obtenido se conoce
como la presión manométrica.
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 + 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐴𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
Se llama Presión Manométrica a la diferencia entre la presión absoluta o real y la presión
atmosférica. Se aplica tan solo en aquellos casos en los que la presión es superior a la presión
atmosférica, pues cuando esta cantidad es negativa se llama presión de vacío.
La Presión Atmosférica es la fuerza por unidad de superficie que ejerce el aire que forma
la atmósfera sobre la superficie terrestre. La presión atmosférica al nivel del mar es de
101.3 𝑘𝑃𝑎 (ver figura 8.6).
156
Fig. 8.6 Variación de la presión atmosférica por diferencia de altura en unidades de mercurio.
Debido a que la presión atmosférica participa en gran número de cálculos, con frecuencia se usa
la unidad de presión 𝟏 𝒂𝒕𝒎𝒐𝒔𝒇é𝒓𝒂 (𝒂𝒕𝒎), definida como la presión media que la atmósfera
ejerce al nivel del mar, es decir 𝟏𝟎𝟏. 𝟑 𝒌𝑷𝒂.
Fig. 8.7 Manómetro de tubo abierto. La presión se mide por la altura h de la columna de mercurio.
Un aparato muy común para medir la presión manométrica es el manómetro de tubo
abierto, mostrado en la figura 8.7. El manómetro consiste en un tubo en forma de U que
contiene un líquido, que generalmente es mercurio. Cuando ambos extremos del tubo están
abiertos, el mercurio busca su propio nivel ya que se ejerce 1 𝑎𝑡𝑚 de presión en cada uno de los
extremos abiertos. Cuando uno de los extremos se conecta a una cámara presurizada, el mercurio
se eleva en el tubo abierto hasta que las presiones se igualan.
La diferencia entre los dos niveles de mercurio es una medida de la presión manométrica:
la diferencia entre la presión absoluta en la cámara y la presión atmosférica en el extremo
abierto. El manómetro se usa con tanta frecuencia en situaciones de laboratorio que la
presión atmosférica y otras presiones se expresan a menudo en centímetros de mercurio.
157
Fig. 8.8 Barómetro de Mercurio.
Por lo general, la presión atmosférica se mide en el laboratorio con un barómetro de mercurio
(ver figura 8.8). El barómetro de mercurio es un tubo de vidrio cerrado en un extremo que
se llena de mercurio y mide la presión atmosférica. El extremo abierto se tapa y el tubo se
invierte en una cubeta de mercurio. Si no se tapa el extremo abierto, el mercurio fluye hacia
afuera del tubo hasta que la presión ejercida por la columna de mercurio equilibra exactamente
la presión atmosférica que actúa sobre el mercurio de la cubeta.
El tipo más sencillo de barómetro lo propuso por primera vez el físico italiano Evangelista
Torricelli (1608-1647) en 1643. Para ello, llenó de mercurio un tubo de vidrio de casi un metro
de longitud cerrado por un extremo, tapó con su dedo el extremo abierto, invirtió el tubo y lo
introdujo en la superficie de mercurio contenido en una cuba. Al retirar su dedo observó que el
líquido descendía del tubo hasta alcanzar un equilibrio a una altura de 76 𝑐𝑚 sobre la superficie
libre de mercurio. La fuerza que equilibra e impide, el descenso de la columna de mercurio en
el tubo, es la que ejerce la presión atmosférica sobre la superficie libre del mercurio, y es la
misma que recibe el tubo vidrio por su extremo abierto.
Al conocer el experimento de Torricelli al nivel del mar, Pascal supuso que si la presión
atmosférica tenía su origen en el peso del aire que envolvía a la Tierra, la presión barométrica
sería menor a mayor altura. Al experimentar a una altura mayor se comprobó que la columna de
mercurio descendía a menos de 76 𝑐𝑚 en el tubo de vidrio; este experimento comprobó la
hipótesis de Pascal
Puesto que la presión en el tubo sobre la columna de mercurio es cero, la altura de la columna
por arriba del nivel del mercurio en la cubeta indica la presión atmosférica. Al nivel del mar,
una presión atmosférica de 101.3 𝑘𝑃𝑎 hará que el nivel del mercurio en el tubo se estabilice a
una altura de 76 𝑐𝑚. En resumen, podemos escribir las siguientes medidas equivalentes de la
presión atmosférica,
1 𝑎𝑡𝑚 = 101.3 𝑘𝑃𝑎 = 76 𝑚𝑚 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜
El funcionamiento de un barómetro se basa en la relación directa entre la diferencia de
altura y la presión atmosférica que empuja hacia abajo sobre el fluido en el tazón. Para ver
la relación, observamos que la presión en el vacío en la parte superior del tubo es cero.
158
En consecuencia, la presión en el tubo a una profundidad (ℎ) por abajo del vacío es,
0 + 휌 𝑔 ℎ = 휌 𝑔 ℎ (8.11)
Ahora, el nivel del fluido en el tazón se sabe que la presión es 1 atmósfera, o presión atmosférica.
En consecuencia, se infiere que,
𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 휌 𝑔 ℎ (8.12)
Por tanto, una medición de la diferencia de altura (ℎ) proporciona de inmediato la presión
atmosférica. El mercurio es un fluido que se utiliza con frecuencia en un barómetro; la densidad
del mercurio es 휌 = 1.3595 × 104 𝑘𝑔/𝑚3. La altura de una columna de mercurio a presión
atmosférica normal es,
ℎ =𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
휌 𝑔=
(1.013 × 105 𝑃𝑎)
(1.3595 × 104 𝑘𝑔/𝑚3)(9.81 𝑚/𝑠2)= 760 𝑚𝑚 (8.13)
Las unidades en el resultado anterior, milímetros de mercurio (𝑚𝑚𝐻𝑔), se utiliza para definir
la presión atmosférica normal,
1 𝑎𝑡𝑚ó𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 (8.14)
En la tabla 8 observamos diversas unidades en las que puede expresarse la presión atmosférica.
Tabla 8. Presión Atmosférica
1 𝑎𝑡𝑚ó𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
760 𝑚𝑚𝐻𝑔
14.7 𝑙𝑏/𝑖𝑛2
101 𝑘𝑃𝑎
101 𝑘𝑁/𝑚2
~ 1 𝑏𝑎𝑟 100 𝑘𝑃𝑎
En consecuencia, la presión atmosférica se debe al peso del aire sobre la cabeza que empuja
hacia abajo. A mayor elevación hay menos aire por arriba de uno, y la presión del aire es menor.
Si se cambia la elevación en forma rápida, como en un automóvil o un avión, el resultado es un
cambio rápido en la presión del aire. Con frecuencia esto ocasiona que se tapen los oídos
conforme se ajustan al cambio.
La Presión Absoluta es la presión de un fluido medido con referencia al vacío perfecto
o cero absoluto (presión nula que se obtendría en el caso ideal de la ausencia total de
moléculas). La presión absoluta es cero únicamente cuando no existe choque entre las
moléculas lo que indica que la proporción de moléculas en estado gaseoso o la velocidad
molecular es muy pequeña.
Este término se creó debido a que la presión atmosférica varia con la altitud y muchas veces los
diseños se hacen en otros países a diferentes altitudes sobre el nivel del mar por lo que un
término absoluto unifica criterios.
159
Toma como medida el cero absoluto y como su nombre lo indica por debajo de ella no existe
ninguna presión negativa, o sea que todas las presiones son positivas o arriba de cero.
Estas mediciones se realizan habitualmente solo para cálculos teóricos.
Fig. 8.9 El concepto de presión absoluta se aplica al valor de presión referido al cero absoluto o vacío.
8.6 PRENSA HIDRÁULICA (PRINCIPIO DE PASCAL)
La aplicación más frecuente del Principio de Pascal es la prensa hidráulica (ver figura 8.10).
De acuerdo con Pascal, una presión aplicada al líquido en la columna izquierda se transmitirá
íntegramente al líquido de la columna de la derecha.
Fig. 8.10 Distribución hidráulica que se puede utilizar para aumentar una fuerza (𝐹𝑖). Sin embargo,
el trabajo realizado no se aumenta y es el mismo para las fuerzas de entrada y de salida.
Por lo tanto, si una fuerza de entrada 𝐹𝑖 actúa sobre un émbolo de área 𝐴𝑖, causará una fuerza
de salida 𝐹𝑜 que actúa sobre un émbolo de área 𝐴𝑜de modo que,
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
∆𝑝 =𝐹𝑖
𝐴𝑖=
𝐹𝑜𝐴𝑜
(8.15)
La ventaja mecánica ideal de tal dispositivo es igual a la relación de la fuerza de salida con
respecto a la fuerza de entrada. Simbólicamente escribimos,
𝑀𝐼 =𝐹𝑜𝐹𝑖
=𝐴𝑜
𝐴𝑖 (8.16)
160
Una pequeña fuerza de entrada puede ser multiplicada para producir una fuerza de salida mucho
mayor utilizando simplemente un émbolo de salida con un área mucho mayor que la del émbolo
de entrada. La fuerza de salida está dada por,
𝐹𝑜 = 𝐹𝑖
𝐴𝑜
𝐴𝑖 (8.17)
Esta ecuación muestra la fuerza de salida (𝐹𝑜) sobre la carga debe ser mayor que la fuerza de
entrada (𝐹𝑖), si 𝐴𝑜 > 𝐴𝑖 como se observa en la figura 6.9.
Si movemos el émbolo de entrada hacia abajo una distancia (𝑆𝑜), tal que el mismo volumen (𝑉)
del líquido incompresible se desplaza en ambos émbolos. Por tanto,
𝑉 = 𝐴𝑖 𝑆𝑖 = 𝐴𝑜 𝑆𝑜 (8.18)
Se puede reescribir,
𝑆𝑜 = 𝑆𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑜 (8.19)
Esto demuestra que, si 𝐴𝑜 > 𝐴𝑖, el émbolo de salida se mueve una distancia más corta de lo que
se mueve el émbolo de entrada. De las ecuaciones anteriores podemos escribir el trabajo de
salida como,
𝑊 = 𝐹𝑜 𝑆𝑜 = (𝐹𝑖
𝐴𝑜
𝐴𝑖) (𝑆𝑖
𝐴𝑖
𝐴𝑜) = 𝐹𝑖 𝑆𝑖 (8.20)
Lo cual demuestra que el trabajo (𝑊) realizado sobre el émbolo de entrada por la fuerza
aplicada es igual al trabajo (𝑊) realizado por el émbolo de salida al levantar la carga puesta
sobre él. Con una palanca hidráulica, una fuerza dada que se aplique sobre una distancia
dada puede transformarse en una fuerza más grande aplicada sobre una distancia más
corta.
Como el producto de fuerza y distancia continúa sin cambio, se realiza el mismo trabajo.
Sin embargo, a menudo hay ventajas muy grandes por tener capacidad para ejercer la fuerza
más grande. La mayoría de nosotros, por ejemplo, no podemos levantar un automóvil
directamente pero sí con un gato hidráulico, aunque tengamos que bombear la palanca más de
lo que se levanta el automóvil (ver figura 8.11). En este aparato, el desplazamiento (𝑆𝑖)
se obtiene no en un solo movimiento sino en una serie de pequeños movimientos.
Fig. 8.11 Diagrama de fuerzas de una prensa hidráulica.
161
El principio de la prensa hidráulica se aprovecha en múltiples dispositivos mecánicos y de
ingeniería. Entre los ejemplos más comunes son la dirección hidráulica de vehículos, el gato
hidráulico, los amortiguadores y el sistema de frenos de los automóviles.
En la figura 8.11 se observa el funcionamiento físico de un gato hidráulico. Aquí se observan
dos cilindros, uno con área transversal 𝐴𝑖 y el otro con áreas transversales 𝐴𝑜 > 𝐴𝑖.
Los cilindros, cada uno de los cuales está ajustado con un pistón, están conectados con un tubo
y llenos de un fluido. Al inicio, los pistones están al mismo nivel y expuestos a la atmósfera.
Suponemos que se empuja hacia abajo sobre el pistón 1 con la fuerza (𝐹𝑖). Esto aumenta la
presión en dicho cilindro por la cantidad,
∆𝑃 =𝐹𝑖
𝐴𝑖 (8.21)
De acuerdo con el Principio de Pascal, la presión en el cilindro 2 aumenta por la misma cantidad.
Por tanto, la creciente fuerza ascendente sobre el pistón 2 debida al aumento de presión del
fluido es,
𝐹𝑜 = (∆𝑝)𝐴𝑜 (8.22)
Al sustituir el aumento de presión a partir de ∆𝑃 = 𝐹𝑖/𝐴𝑖, se obtiene,
𝐹𝑜 = (∆𝑃)𝐴𝑜 =𝐹𝑖
𝐴𝑖𝐴𝑜 = 𝐹𝑖 (
𝐴𝑜
𝐴𝑖) (8.23)
Siendo más específicos, suponemos que 𝐴𝑜 es 100 veces mayor que 𝐴𝑖. Si se empuja hacia
abajo el pistón 1 con una fuerza 𝐹𝑖, el empuje hacia arriba sobre el pistón 2 será con una fuerza
𝐹𝑜 = 100𝐹𝑖. Podemos concluir que la fuerza (𝐹𝑖) se amplifico 100 veces.
8.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Se ha observado que los objetos o cuerpos cuando se encuentran sumergidos en agua parecen
perder peso. En realidad, el objeto puede incluso flotar en la superficie debido a la presión hacia
arriba ejercida por el agua. Un antiguo matemático griego, Arquímedes (287 − 212 𝐴. 𝐶. ),
fue el primero que estudió el empuje vertical hacia arriba ejercido por los fluidos. El principio
de Arquímedes se enuncia como sigue,
Un objeto que se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una
fuerza ascendente (empuje) igual en magnitud al peso del volumen del fluido desalojado.
El principio de Arquímedes se puede demostrar estudiando las fuerzas que ejerce el fluido sobre
un cuerpo que se encuentra suspendido en él. Consideramos un disco de área (𝐴) y de altura
(𝐻) que está totalmente sumergido en un fluido, como se observa en la figura 6.11. Recordemos
que la presión a cualquier profundidad (ℎ) en un fluido está dada por,
162
𝑃 = 휌𝑔ℎ (8.24)
Donde 휌 es la densidad de masa del fluido y 𝑔 es la aceleración de la gravedad. Por supuesto,
si se desea representar la presión absoluta dentro del fluido, se tiene que sumar también la
presión externa ejercida por la atmósfera. La presión total hacia abajo 𝑃1 ejercida sobre la parte
superior del disco (ver figura 6.11) es,
(Hacia abajo) 𝑃1 = 𝑃𝑎 + 휌𝑔ℎ1 (8.25)
Donde 𝑃𝑎 es la presión atmosférica y ℎ1 es la profundidad en la parte superior del disco.
En forma similar, la presión hacia arriba 𝑃2 en la parte inferior del disco es,
(Hacia arriba) 𝑃2 = 𝑃𝑎 + 휌𝑔ℎ2 (8.26)
Donde ℎ2 es la profundidad medida en la parte inferior del disco. Puesto que ℎ2 es mayor que
ℎ1, la presión registrada en la parte inferior del disco es mayor que la presión en su parte
superior, lo cual da por resultado una fuerza neta hacia arriba. Si representamos la fuerza hacia
abajo como 𝐹1 y la fuerza hacia arriba como 𝐹2, podemos escribir,
𝐹1 = 𝑃1 𝐴 (8.27)
𝐹2 = 𝑃2 𝐴 (8.28)
La fuerza neta hacia arriba ejercida por el fluido sobre el disco se llama empuje y está dada por,
𝐹𝐵 = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝐴(𝑃2 − 𝑃1) (8.29)
𝐹𝐵 = 𝐴(𝑃𝑎 + 휌𝑔ℎ2 − 𝑃𝑎 − 휌𝑔ℎ1) = 𝐴휌𝑔(ℎ2 − ℎ1) (8.30)
𝐹𝐵 = 𝐴휌𝑔𝐻 (8.31)
Donde 𝐻 = ℎ2 − ℎ1 es la altura del disco. Finalmente, si recordamos que el volumen del disco
es 𝑉 = 𝐴 𝐻, obtenemos,
𝐹𝐵 = 𝑉휌𝑔 = 𝑚𝑔 (8.32)
𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜
Lo cual define el principio de Arquímedes.
Al aplicar este resultado debemos recordar que la ecuación anterior nos permite calcular
únicamente el empuje ocasionado por la diferencia de presiones. No representa en realidad la
fuerza resultante. Un cuerpo se sumergirá si el peso del fluido desalojado (el empuje) es menor
que el peso de dicho cuerpo. Si el peso del fluido desalojado es exactamente igual al peso del
cuerpo sumergido, éste ni se hunde ni se va para arriba.
163
Fig. 8.12 El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que se desaloja.
En este caso, el cuerpo estará equilibrado. Si el peso del fluido desalojado excede al peso del
cuerpo sumergido, el cuerpo se elevará hasta la superficie y flotará. Cuando el cuerpo flota
y alcanza el equilibrio en la superficie, desplazará su propio peso del líquido.
Sorprendentemente, la fuerza de flotación no depende de la profundidad general del objeto
sumergido. En otras palabras, mientras que el cuerpo se encuentre totalmente sumergido,
llevarlo cada vez a mayor profundidad, no cambiará la fuerza de flotación.
Esto puede parecer extraño, ya que la presión aumenta conforme desciendes a mayor
profundidad. Pero la idea principal es que tanto la presión sobre la parte superior del
cuerpo como la presión sobre la parte inferior se incrementarán en la misma cantidad,
cancelándose y dejando igual la fuerza de flotación.
Algo puede sonar que está mal en todo esto. Algunos objetos definitivamente se hunden,
pero se acaba de probar que hay una fuerza dirigida hacia arriba sobre cada objeto sumergido.
¿Cómo puede hundirse un objeto si hay una fuerza dirigida hacia arriba sobre él?
Definitivamente hay una fuerza de flotación dirigida hacia arriba en cada objeto sumergido,
aún en aquellos que se hunden.
En los objetos que se hunden, el peso es mayor que la fuerza de flotación. Si su peso fuera menor
que la fuerza de flotación que actúa sobre ellos, flotarían. Si la densidad de un objeto
completamente sumergido (sin importar su forma) es mayor que la densidad del fluido en el que
se encuentra, el objeto se hundirá.
Podemos concluir con tres condiciones:
• Un objeto flota en un fluido, si su densidad promedio es menor que la densidad del
fluido (휌0 < 휌𝑓).
• Un objeto se hunde en un fluido, si su densidad promedio es mayor que la densidad del
fluido (휌0 > 휌𝑓).
• Un objeto está en equilibrio a cualquier profundidad sumergida en un fluido, si su
densidad promedio es igual a la densidad del fluido (휌0 = 휌𝑓).
164
Estas tres condiciones también son válidas para un fluido en un fluido, si los dos son inmiscibles
(no se mezclan). Por ejemplo, pensaríamos que la crema es más pesada que la leche descremada,
pero no es así, la crema flota en la leche, así que es menos densa.
En general, supondremos que los objetos y fluidos tienen densidad uniforme y constante.
En todo caso, en aplicaciones prácticas lo que suele importar en cuanto a flotar o hundirse es la
densidad promedio del objeto o cuerpo. Por ejemplo, un trasatlántico es en promedio menos
denso que el agua, aunque esté hecho de acero. Casi todo su volumen está lleno de aire, así que
la densidad promedio del trasatlántico es menor que la del agua (ver figura 8.13).
Fig. 8.13 Fuerza de flotabilidad en un trasatlántico.
Asimismo, el cuerpo humano tiene espacios llenos de aire, por lo que casi todos flotamos en el
agua. La profundidad superficial a la que una persona flota depende de su densidad (ver figura
8.14).
Fig. 8.14 Flotabilidad del cuerpo humano.
En algunos casos, se varía adrede la densidad total de un objeto. Por ejemplo, un submarino se
sumerge inundando los tanques con agua de mar para aumentar su densidad promedio.
Cuando el submarino debe emerger, con bombas expulsa el agua de los tanques, para que su
densidad media sea menor que la del agua de mar circundante (ver figura 8.15).
165
Fig. 8.15 Funcionamiento de la flotabilidad de un submarino.
CAPÍTULO IX SISTEMAS DE FLUIDOS
9.1 DINÁMICA DE FLUIDOS
Se denomina fluido a un tipo de medio continúo formado por alguna sustancia entre cuyas
moléculas solo hay una fuerza de atracción débil. Los fluidos tienen una propiedad que les
permite cambiar de forma sin que aparezcan en su seno fuerzas restitutivas con una tendencia a
recuperar la forma original, lo cual constituye la principal diferencia con un sólido deformable,
donde sí hay fuerzas restitutivas.
En otras palabras, un fluido es un conjunto de partículas que se mantienen unidas entre sí por
fuerzas cohesivas débiles y las paredes de un recipiente; el término engloba a los líquidos
y gases. En el cambio de forma de un fluido la posición que toman sus moléculas varía, ante
una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del
recipiente que los aloja, manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto
de volumen como de forma propias. Las moléculas no cohesionadas se deslizan en los líquidos
y se mueven con libertad en los gases. Los fluidos están conformados por los líquidos y los
gases (ver figura 9.1), siendo los segundos mucho menos viscosos, casi fluidos ideales.
Fig. 9.1 Estados de agregación de la materia.
166
El movimiento de fluidos reales es muy complicado y no se comprende del todo. En cambio,
estudiaremos el movimiento de un fluido ideal, que es más fácil de manejar en términos
matemáticos y además produce resultados útiles. En este enfoque de dinámica de fluidos
simplificado se acostumbra considerar cuatro características de un fluido ideal. En un fluido así,
el flujo es constante, irrotacional, no viscoso e incompresible. Considerando estas características
haremos cuatro suposiciones acerca de un fluido ideal, todas las cuales se refieren a flujo:
1. Flujo Uniforme. En un flujo uniforme (o laminar), la velocidad del fluido en movimiento
en cualquier punto no cambia con el tiempo, ni en magnitud ni en dirección (ver figura
9.2). Por ejemplo, el flujo moderado de agua cerca del centro de un río tranquilo es
uniforme, pero no el que hay en una cadena de ríos rápidos.
2. Flujo Incompresible. Suponemos, como ya lo hemos hecho para fluidos en reposo,
que nuestro fluido ideal es incompresible, es decir, su densidad tiene un valor constante,
uniforme.
3. Flujo No Viscoso. En términos generales, la viscosidad de un fluido es una medida
de la resistencia con la cual circulará. Por ejemplo, la miel gruesa es más resistiva
al movimiento que el agua, por eso se indica que es más viscosa que el agua.
La viscosidad en un fluido es análoga a la fricción entre sólidos; ambos son mecanismos
por los cuales la energía cinética de objetos en movimiento se puede transformar
en energía térmica. En ausencia de fricción, un bloque podría deslizarse con velocidad
constante sobre una superficie horizontal. En la misma forma, un objeto que se mueva
por un fluido no viscoso no experimentaría fuerza de resistencia viscosa, es decir,
no habría fuerza resistiva debida a la viscosidad y el objeto podría moverse a velocidad
constante por el fluido. Por ejemplo, el científico inglés Lord Rayleigh observó que,
en un fluido ideal, la hélice de un barco no funcionaría y éste (una vez puesto en
movimiento) no necesitaría dicha hélice.
4. Flujo Irrotacional. Aunque no es necesario ocuparnos más de él, también suponemos
que el flujo es irrotacional. Para probar esta propiedad, supongamos que un diminuto
grano de polvo se mueve como un fluido. Si bien este cuerpo de prueba puede moverse
en una trayectoria circular, en flujo irrotacional el cuerpo de prueba no girará
alrededor de un eje que pase por su propio centro de masa. En una analogía parecida,
el movimiento de una rueda de la fortuna es rotacional; el de sus pasajeros es
irrotacional.
Fig. 9.2 En cierto punto, la columna de humo ascendente y el gas calentado cambian de un
estado uniforme a uno turbulento.
167
Podemos hacer que el flujo de un fluido sea visible si agregamos un indicador, que podría ser
un tinte inyectado en varios puntos en una corriente de líquidos (ver figura 9. 3) o partículas de
humo agregadas a un flujo de gas (ver figura 9.2). Cada pequeña parte de un indicador sigue
una línea de flujo, que es una trayectoria que un diminuto elemento del fluido seguiría cuando
el fluido circula. La velocidad de una partícula siempre es tangente a la trayectoria seguida
por la partícula.
Fig. 9.3 Flujo uniforme de fluido alrededor de un cilindro.
En este caso, la partícula es el elemento fluido, y su velocidad �⃗⃗� siempre es tangente a la
línea de flujo. Por esta razón, dos líneas de flujo nunca pueden cruzarse; si lo hicieran,
un elemento que llegue a su punto de intersección tendría dos velocidades diferentes al mismo
tiempo, lo cual es imposible (ver figura 9.4).
Fig. 9.4 El humo deja ver líneas de flujo en circulación junto a un auto en un túnel de viento.
9.2 TIPOS DE FLUJO
El tema de la dinámica de fluidos es complejo, especialmente si el fluido es agua.
Muchos aspectos del movimiento de fluidos continúan bajo estudio, no obstante, con ciertas
suposiciones simplificadoras, es posible comprender mucho acerca de este tema.
168
Fig. 9.5 Un elemento de fluido 𝑷 indica una línea de flujo cuando ésta se mueve. El vector de velocidad
del elemento es tangente a la línea de flujo en todos los puntos.
Se distinguen dos tipos principales de flujo de fluidos. Si el flujo es suave, como el de las capas
vecinas del fluido que se deslizan suavemente una sobre otra, se dice que el flujo es
aerodinámico o laminar (la palabra laminar significa capas). En el flujo laminar, cada
partícula del fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente, y dichas trayectorias
no se cruzan entre sí (ver figura 9.6-a). Más allá de cierta rapidez, el flujo se vuelve turbulento.
El flujo turbulento está caracterizado por círculos erráticos, pequeños, en forma de
torbellinos llamados remolinos. Los remolinos absorben una gran cantidad de energía,
y aunque cierta cantidad de fricción interna llamada viscosidad está presente incluso durante el
flujo aerodinámico, es mucho mayor cuando el flujo es turbulento (ver figura 9.6-b).
Fig. 9.6 a) Flujo laminar, b) Flujo turbulento.
9.3 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Consideremos un flujo laminar estable de un fluido a través de un tubo o tubería (ver figura 60).
Primero se determina cómo cambia la rapidez del fluido cuando cambia el tamaño del tubo.
La tasa de flujo de masa se define como la masa ∆𝑚 de fluido que pasa un punto dado por
unidad de tiempo ∆𝑡,
𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 =∆𝑚
∆𝑡 (9.1)
169
En la figura 9.7, el volumen de fluido que pasa el punto 1 (esto es, a través del área 𝐴1) en un
tiempo ∆𝑡 es 𝐴1∆𝑙1, donde ∆𝑙1 es la distancia que recorre el fluido en el tiempo ∆𝑡.
Fig. 9.7 Flujo de fluido a través de una tubería con diámetro variable.
Si no hubiese viscosidad, la velocidad seria la misma a través de un área transversal del tubo.
Los fluidos reales tienen viscosidad, y esta fricción interna provoca que diferentes capas del
fluido fluyan a diferente rapidez. En este caso 𝑣1 y 𝑣2 representan los valores de la rapidez
promedio en cada sección transversal. Dado que la velocidad del fluido que pasa por el punto 1
es 𝑣1 = ∆𝑙1/∆𝑡, la tasa de flujo de masa ∆𝑚1/∆𝑡 a través del área 𝐴1es,
∆𝑚1
∆𝑡=
휌1∆𝑉1
∆𝑡=
휌1𝐴1∆𝑙1∆𝑡
= 휌1𝐴1𝑣1 (9.2)
Donde ∆𝑉1 = 𝐴1∆𝑙1 es el volumen de la masa ∆𝑚1, y 휌1es la densidad del fluido. De manera
similar, en el punto 2 (a través del área 𝐴2), la tasa de flujo es 휌2𝐴2𝑣2. Como no hay fluido que
fluya en los lados o por fuera de ellos, las tasas de flujo a través de 𝐴1 y 𝐴2 deben ser iguales.
Por tanto, ya que,
∆𝑚1
∆𝑡=
∆𝑚2
∆𝑡 (9.3)
Entonces,
휌1𝐴1𝑣1 = 휌2𝐴2𝑣2 (9.4)
A esto se le conoce como la Ecuación de Continuidad (en su forma general). Si el fluido es
incompresible (휌 no cambia con la presión), que es una excelente aproximación para los líquidos
en la mayoría de las circunstancias (y a veces también para los gases), entonces 휌1 = 휌2,
y la ecuación de continuidad (𝑐𝑜𝑛 휌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) se convierte en,
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 (9.5)
El producto 𝐴𝑣 representa el caudal volumétrico del flujo (volumen del fluido que pasa un punto
dado por segundo), dado que ∆𝑉/∆𝑡 = 𝐴 ∆𝑙/∆𝑡 = 𝐴𝑣, que en unidades del SI es [𝑚3/𝑠].
La ecuación de continuidad a densidad constante dice que, donde el área transversal es grande,
la velocidad es mínima, y donde el área es pequeña, la velocidad es mayor.
170
Si observamos un río podremos darnos cuenta de que esto es razonable. Un río fluye lentamente
a través de una pradera donde es ancho, pero acelera a rapidez torrencial cuando pasa a través
de una garganta estrecha. En conclusión, la ecuación de continuidad nos muestra que si se
reduce el área transversal por la cual fluye un fluido, la rapidez del fluido aumenta.
9.4 GASTO
La figura 9.6 muestra líneas de corriente de flujo de aire que pasan por un obstáculo
estacionario. En el inciso (b) Observamos que las líneas de corriente se rompen cuando pasan
por el obstáculo, generando corriente turbulenta y remolinos. Estos pequeños remolinos
representan el flujo turbulento y absorben gran parte de la energía del fluido, incrementando el
arrastre por fricción a través del fluido. Vamos a considerar, además, que los fluidos son
incompresibles y que no presentan una fricción interna apreciable. En estas condiciones, se
pueden hacer algunas predicciones acerca de la razón de flujo del fluido (gasto) a lo largo de
una tubería o de otro recipiente.
El flujo del fluido (gasto) se define como el volumen de fluido que pasa a través de cierta
sección transversal en una unidad de tiempo.
Fig. 9.8 Calculo de la velocidad de un fluido que circula por un tubo.
Para expresar esta razón en forma cuantitativa, consideramos el caso de un líquido que fluye a
lo largo de una tubería (ver figura 9.8), con una velocidad media 𝑣. En un espacio de tiempo 𝑡,
cada partícula en la corriente se mueve a través de una distancia 𝑣𝑡. El volumen 𝑉 que fluye a
través de la sección transversal 𝐴 está dado por,
𝑉 = 𝐴𝑣𝑡 (9.6)
Por lo tanto, el gasto (volumen por unidad de tiempo) se puede calcular a partir de,
𝑅 =𝐴𝑣𝑡
𝑡= 𝑣𝐴 (9.7)
𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜 = (𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙) (9.8)
Las unidades de 𝑅 expresan la relación de una unidad de volumen entre una unidad de tiempo.
Ejemplos frecuentes de esto son: pies cúbicos por segundo, metros cúbicos por segundo, litros
por segundo y galones por minuto.
171
Si el fluido es incompresible y no tomamos en cuenta los efectos de la fricción interna, el gasto
𝑅 permanecerá constante. Esto significa que una variación en la sección transversal en la tubería
(ver figura 9.9), da por resultado un cambio en la rapidez del líquido, de tal modo que el
producto 𝑣𝐴 permanece constante. Simbólicamente escribimos,
𝑅 = 𝑣1𝐴2 = 𝑣1𝐴2 (9.9)
Un líquido fluye con más rapidez a través de una sección estrecha de tubería y más lentamente
a través de secciones más amplias. Este principio es la causa de que el agua fluya más rápido en
las partes de un arroyo donde las orillas del mismo están más cercanas entre sí.
Fig. 9.9 En el flujo laminar, el producto de la velocidad del fluido por el área de la sección transversal
del tubo es constante en cualquier punto.
9.5 ECUACIÓN DE BERNOULLI
¿Alguna vez te has preguntado por qué puede volar un avión, o cómo un bote de vela puede
moverse contra el viento? Éstos son ejemplos de un principio descubierto por Daniel Bernoulli
(1700 − 1782) que tiene que ver con los fluidos en movimiento. En esencia, el Principio de
Bernoulli afirma que donde la velocidad de un fluido es alta, la presión es baja, y donde la
velocidad es baja, la presión es alta.
Por ejemplo, si se miden las presiones en los puntos 1 y 2 en la figura 9.7, se encontrará que la
presión es más baja en el punto 2, donde la velocidad es mayor, de lo que es en el punto 1, donde
la velocidad es menor. A primera vista, esto parece extraño, se esperaría que la mayor rapidez
en el punto 2 implicara una presión más alta. Pero esto no es así. Si la presión en el punto
2 fuese mayor que en 1, esta presión más alta frenaría el fluido, mientras que de hecho éste
aumenta su rapidez al ir desde el punto 1 hacia el punto 2.
En consecuencia, la presión en el punto 2 debe ser menor que en el punto 1, para ser consistente
con el hecho de que el fluido acelera (para ayudar a clarificar cualquier concepto equivocado,
un fluido más rápido ejercería una fuerza mayor sobre un obstáculo colocado en su ruta. Pero
esto no es lo que se da a entender con presión de un fluido; además, no se consideran obstáculos
que interrumpan el flujo. Se está examinando un flujo aerodinámico suave. La presión del fluido
se ejerce sobre las paredes de una tubería o superficie de cualquier material por el que pase el
fluido).
172
Bernoulli desarrolló una ecuación que expresa este principio cuantitativamente.
Para deducir la ecuación de Bernoulli, supongamos que el flujo es estacionario y laminar,
que el fluido es incompresible y que la viscosidad es lo suficientemente pequeña como para ser
ignorada. Para generalizar, se supone que el fluido fluye en un tubo de sección transversal no
uniforme que varía en altura sobre cierto nivel de referencia (ver figura 9.9).
Se considerará el volumen de fluido que se observa y se calculará el trabajo realizado para
moverlo desde la posición que se indica en la figura 9.10-a en la que se representa en la figura
9. 10-b. En este proceso, el fluido en el punto 1 fluye una distancia ∆𝑙1 y fuerza al fluido en el
punto 2 a moverse una distancia ∆𝑙2.
Fig. 9.10 Flujo de un fluido para deducir la ecuación de Bernoulli.
El fluido a la izquierda del punto 1 ejerce una presión 𝑃1 sobre la sección del fluido y efectúa
una cantidad de trabajo,
𝑊1 = 𝐹1∆𝑙1 = 𝑃1𝐴1∆𝑙1 (9.10)
En el punto 2, el trabajo realizado sobre la sección transversal del fluido es,
𝑊2 = −𝑃2𝐴2∆𝑙2 (9.11)
El signo negativo está presente por que la fuerza ejercida sobre el fluido es opuesta al
movimiento (por ende, el fluido que se muestra en color realiza trabajo sobre el fluido a la
derecha del punto 2). También la fuerza de gravedad realiza trabajo sobre el fluido.
El efecto neto del proceso que se muestra en la figura 9.10 consiste en mover una masa 𝑚 de
volumen 𝐴1∆𝑙1 desde el punto 1 hasta el punto 2, de modo que el trabajo realizado por la
gravedad es,
𝑊3 = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1) (9.12)
Donde 𝑦1 y 𝑦2 son las alturas del centro del tubo sobre cierto nivel de referencia (arbitrario).
En el caso que se muestra en la figura 9.10, este término es negativo ya que el movimiento es
hacia arriba contra la fuerza de gravedad. Por lo tanto, el trabajo neto 𝑊 efectuado sobre el
fluido es,
𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3 (9.13)
b)
a)
173
𝑊 = 𝑃1𝐴1∆𝑙1 − 𝑃2𝐴2∆𝑙2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1 (9.14)
De acuerdo con el principio trabajo-energía, el trabajo neto realizado sobre un sistema es igual
al cambio de su energía cinética. Entonces tenemos,
1
2𝑚𝑣2
2 −1
2𝑚𝑣1
2 = 𝑃1𝐴1∆𝑙1 − 𝑃2𝐴2∆𝑙2 − 𝑚𝑔𝑦2 + 𝑚𝑔𝑦1 (9.15)
La masa 𝑚 tiene volumen 𝐴1∆𝑙1 = 𝐴2∆𝑙2. En consecuencia, se puede sustituir
𝑚 = 휌𝐴1∆𝑙1 = 휌𝐴2∆𝑙2, y luego dividir entre 𝐴1∆𝑙1 = 𝐴2∆𝑙2, para obtener,
1
2휌𝑣2
2 −1
2휌𝑣1
2 = 𝑃1 − 𝑃2 − 휌𝑔𝑦2 + 휌𝑔𝑦1 (9.16)
Que se reordena para obtener,
𝑃1 +1
2휌𝑣1
2 + 휌𝑔𝑦1 = 𝑃2 +1
2휌𝑣2
2 + 휌𝑔𝑦2 (9.17)
Esta es la ecuación de Bernoulli. Ya que los puntos 1 y 2 pueden ser dos puntos cualesquiera
a lo largo de un tubo de flujo, la ecuación de Bernoulli se puede escribir como,
𝑃 +1
2휌𝑣2 + 휌𝑔𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (9.18)
En todo punto en el fluido, donde 𝑦 es la altura del centro del tubo sobre un nivel de referencia
fijo. La ecuación de Bernoulli es una expresión de la ley de conservación de la energía,
ya que se deduce a partir del principio trabajo-energía. Dicha ecuación encuentra aplicación
en casi todos los aspectos del flujo de fluidos.
La presión 𝑷 debe reconocerse como la presión absoluta y no la presión manométrica.
휌 es la densidad y no el peso específico del fluido. Observamos que las unidades de cada
término de la ecuación de Bernoulli son unidades de presión.
174
PROBLEMAS
Problema 8.1
El manómetro de mercurio se usa para medir la presión de un gas dentro de un tanque. Si la
diferencia entre los dos niveles de mercurio es de 36 𝑐𝑚, ¿Cuál es la presión absoluta dentro
del tanque?
Problema 8.2
Una prensa hidráulica tiene un émbolo de entrada de 5 𝑐𝑚 de diámetro y un émbolo de salida
de 60 𝑐𝑚 de diámetro. ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una fuerza total
de salida capaz de levantar un automóvil de 950 𝑘𝑔?
Problema 8.3
Un corcho tiene un volumen de 4 𝑐𝑚3 y una densidad de 207 𝑘𝑔/𝑚3. a) ¿Qué volumen del
corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? b) ¿Qué fuerza hacia
abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?
Problema 8.4
Un globo meteorológico requiere operar a una altitud donde la densidad del aire es 0.9 𝑘𝑔/𝑚3.
A esta altitud, el globo tiene un volumen de 20 𝑚3y está lleno de helio (𝑝𝐻𝑒 = 0.178 𝑘𝑔/𝑚3).
Si la bolsa del globo pesa 118 N, ¿Qué carga es capaz de soportar a este nivel?
Problema 8.5
El agua fluye a través de una manguera de hule de 2 𝑐𝑚 de diámetro a una velocidad de 4 𝑚/𝑠.
a) ¿Qué diámetro debe tener el corcho si el agua sale a 20 𝑚/𝑠? b) ¿Cuál es el gasto en metros
cúbicos por minuto?
Problema 8.6
La presión del agua en una casa es de 160 𝑙𝑏/𝑖𝑛2 ¿A qué altura debe estar el nivel del agua del
recipiente de almacenamiento por encima de la toma de agua de la casa?
Problema 8.7
Suponga que dos recipientes se llenan con gasolina hasta que el nivel del fluido es de 20 𝑐𝑚 por
arriba de la base de cada recipiente. Las áreas de las bases de los recipientes A y B son de
20 𝑐𝑚2 y de 10 𝑐𝑚2, respectivamente. Compare la presión y la fuerza total sobre la base de
cada recipiente.
175
Problema 8.8
Un tanque cilíndrico de gasolina tiene 3 𝑚 de longitud y 1.2 𝑚 de diámetro.
¿Cuántos kilogramos de gasolina es capaz de almacenar el tanque?
Problema 8.9
Un zapato de golf tiene 10 tacos, cada uno con un área de 6.5 × 10−6 𝑚2 en contacto con el
piso. Suponga que, al caminar, hay un instante en que los 10 tacos soportan el peso completo
de una persona de 80 𝑘𝑔. ¿Cuál es la presión ejercida por los tacos sobre el suelo?
Problema 8.10
Una prensa hidráulica tiene un émbolo de entrada de 5 𝑐𝑚 de diámetro y un émbolo de salida
de 60 𝑐𝑚 de diámetro ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una fuerza total de
salida capaz de levantar un automóvil de 950 𝑘𝑔?
Problema 8.11
Por un tubo Venturi fluye agua a una velocidad de 𝑣1 = 4 𝑚/𝑠 . Si h = 8 cm ¿Cuál será la
velocidad de salida 𝑣2cuando fluye hacia el tubo más grande?
Problema 8.12
Una hendidura en un tanque de agua tiene un área de sección transversal de 1 𝑐𝑚2. ¿Con qué
rapidez sale el agua del tanque si el nivel del agua en éste, es de 4 𝑚 sobre la abertura?
Problema 8.13
Una joven que pesa 534 𝑁 (120 𝑙𝑏) camina hacia su habitación calzada con zapatos tenis.
Después se calza unas zapatillas con tacón de aguja. El área de la sección del tacón de su zapato
tenis es de 60 𝑐𝑚2, y el área del tacón de sus zapatillas es 1 𝑐𝑚2. Para cada par de zapatos,
encuentre la presión promedio originada por el área de contacto entre el tacón y el piso cuando
todo el peso de la joven se apoya en un tacón.
Problema 8.14
En un elevador hidráulico el radio del pistón más pequeño es de 2 𝑐𝑚 y el radio del pistón más
grande de 20 𝑐𝑚 ¿Cuánto peso puede soportar el pistón más grande cuando se aplica una fuerza
de 250 𝑁 al pistón más pequeño?
176
Problema 8.15
Una pequeña estatua con la forma de halcón tiene un peso de 24.1 𝑁. Su propietario afirma que
está hecha de oro macizo. Cuando la estatua se sumerge por completo en un recipiente
totalmente lleno de agua, el peso del agua que se derrama y se recoge en un balde, es de 1.25 𝑁.
Halle la densidad y la gravedad específica del metal. ¿Es consistente la densidad con la
afirmación de que el halcón es de oro macizo?
Problema 8.16
¿Qué porcentaje del volumen de un iceberg flotante se encuentra arriba de la superficie del agua?
La gravedad específica del hielo es 0.917 y la gravedad específica del agua de mar que lo rodea
es 1.025.
Problema 8.17
Una buceadora nada hasta una profundidad de 3.2 𝑚 en un lago de agua dulce. ¿Cuál es el
aumento en la fuerza de empuje sobre su tímpano, comparada con la que tenía en la superficie
del lago? El área del tímpano es 0.60 𝑐𝑚2.
Problema 8.18
Un cardiólogo informa a una paciente que el radio de la arteria descendiente anterior izquierda
de su corazón se ha estrechado un 10 %. ¿Qué aumento en el porcentaje de la caída de presión
sanguínea, a través de la arteria, se requiere para conservar el flujo sanguíneo normal a través
de esta arteria?
Problema 8.19
Un barril lleno de agua de lluvia tiene una válvula cerca del fondo, a una profundidad de 0.80 𝑚
por debajo de la superficie del agua. a) Cuando la válvula está dirigida horizontalmente y se
abre, ¿qué tan rápido sale el agua? b) Si la abertura apunta hacia arriba. ¿Qué tan alto llega el
chorro de la fuente resultante?
177
Problema 8.20
Un medidor de Venturi mide la rapidez de un fluido dentro de un tubo. Se hace un
estrechamiento (con un área transversal 𝐴2) en un tubo de área transversal normal 𝐴1. De ese
tubo salen dos tubos verticales, abiertos hacia la atmósfera, que se elevan desde dos puntos, uno
de los cuales está en el estrechamiento. Los tubos verticales funcionan como manómetros, hacen
posible que se determine la presión. A partir de esta información se puede determinar la rapidez
del flujo del tubo. Suponga que el tubo en cuestión transporta agua, 𝐴1 = 2 𝐴2 , y que las alturas
del fluido en los tubos verticales son ℎ1 = 1.20 𝑚 y ℎ2 = 0.80 𝑚. a) Halle la razón de la rapidez
de flujo en ambos, 𝑣2 𝑣1.⁄ b) Calcule las presiones manométricas 𝑃1 𝑦 𝑃2. c) Halle la rapidez del
flujo 𝑣1 en el tubo.
PROBLEMAS
Problema 9.1
El corazón bombea sangre hacia la aorta, la cual tiene un radio interior de 1 𝑐𝑚. La aorta
alimenta 32 de las principales arterias. Si la sangre fluye en la aorta con una rapidez de 28 𝑐𝑚/𝑠,
¿Con qué rapidez promedio fluye en las arterias? Suponemos la sangre como un fluido ideal,
cada arteria tiene un radio interior de 0.21 𝑐𝑚.
Problema 9.2
La superficie del agua en un tanque de almacenamiento está 30 𝑚 arriba de un grifo de agua en
la cocina de una casa. Calcule la diferencia en presión de agua entre el grifo y la superficie del
agua en el tanque.
Problema 9.3
Los dos pies de una persona de 60 𝑘𝑔 cubren un área de 500 𝑐𝑚2. a) Determine la presión que
los dos pies ejercen sobre el suelo. b) Si la persona esta sobre un pie, ¿Cuál será la presión bajo
ese pie?
178
Problema 9.4
¿Cuál será la masa de una bola de demolición de hierro sólido de 18 𝑐𝑚 de radio?
Problema 9.5
Durante la inhalación, la presión manométrica en los alvéolos es aproximadamente de − 400 𝑃𝑎
para permitir que el aire fluya a través de los tubos bronquiales. Suponga que el recubrimiento
mucoso de un alvéolo, cuyo radio inicial es 0.050 𝑚𝑚 , tuviera la misma tensión superficial
que el agua (0.070 𝑁/𝑚) ¿Qué presión pulmonar fuera de los alvéolos se requeriría para
empezar a inflar el alvéolo?
Problema 9.6
El agua circula por toda una casa en un sistema de calefacción de agua de agua caliente. Si el
agua se bombea con una rapidez de 0.50 𝑚/𝑠 a través de una tubería de 4 𝑐𝑚 de diámetro en el
sótano, bajo una presión de 3 𝑎𝑡𝑚, ¿Cuál será la rapidez de flujo y la presión de una tubería de
2.6 𝑐𝑚 de diámetro en el segundo piso, 5 𝑚 arriba? Se supone que la tubería no se divide en
ramificaciones.
Problema 9.7
¿Qué área debe tener un conducto de calefacción, si el aire que se mueve a través de él a 3 𝑚/𝑠
puede reponer el aire cada 15 minutos, en una habitación de 300 𝑚3 de volumen? Suponga que
la densidad del aire permanece constante.
Problema 9.8
La sangre regresa al corazón a través de las venas. El radio de la aorta es de aproximadamente
1.2 𝑐𝑚, y la sangre que pasa a través de ella tiene una rapidez cercana a 40 𝑐𝑚/𝑠. Un capilar
típico tiene un radio aproximadamente de 4 × 10−4 𝑐𝑚, y la sangre fluye a través de él con una
rapidez aproximada de 5 × 10−4 𝑚/𝑠. Estime el número de capilares que hay en el cuerpo.
Problema 9.9
¿Qué volumen V de helio se necesita si un globo debe elevar una carga de 180 𝑘𝑔 (incluido el
peso del globo vacío)?
179
Problema 9.10
Un hidrómetro es un instrumento simple utilizado para medir la gravedad específica de un
líquido al observar cuán profundamente se hunde en el líquido. Un hidrómetro particular
consiste en un tubo de vidrio, pesado en el fondo, que mide 25 𝑐𝑚 de largo, 2 𝑐𝑚2 de área
transversal y tiene una masa de 45 𝑔 ¿A qué distancia de la parte inferior se debe colocar la
marca de 1.000?
Problema 9.11
Cuando una corona de 14.7 𝑘𝑔 de masa se sumerge en agua, una balanza precisa sólo indica
13.4 𝑘𝑔. ¿La corona es de oro?
Problema 9.12
Una antigua estatua de 70 𝑘𝑔 yace en el fondo del mar. Su volumen es de 3 × 104𝑐𝑚³.
¿Cuál es la fuerza necesaria para elevarla?
Problema 9.13
Un popote de longitud 𝐿 se introduce en un vaso largo con agua. Alguien coloca su dedo sobre
el extremo superior del popote, con lo que atrapa algo de aire sobre el agua, pero evita que
cualquier aire adicional salga o entre, luego eleva el popote del agua. El popote retiene la mayor
cantidad del agua. ¿El aire en el espacio entre el dedo de la persona y el límite superior del agua
tiene una presión 𝑃 mayor, igual o menor que la presión atmosférica 𝑃𝐴 afuera del popote?
Problema 9.14
Un flujo de agua va de la sección 1 a la sección 2. La sección 1 tiene 25 mm de diámetro,
la presión manométrica es de 345 𝑘𝑃𝑎, y la velocidad de flujo es de 3 𝑚/𝑠. La sección 2, mide
50 𝑚𝑚 de diámetro, y se encuentra 2 𝑚 por arriba de la sección 1. Si suponemos que no hay
pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión 𝑃2.
180
Problema 9.15
¿Cuál es la velocidad con la que sale un líquido por un orificio que se encuentra a una
profundidad de 1.4 𝑚?
Problema 9.16
¿Cuál es la presión del aire en la cumbre del Monte Everest? Considerar 𝑝0 = 1.01 × 105 𝑃𝑎
que es la presión del aire a nivel del mar y 휌0 = 1.229 𝑘𝑔/𝑚3la densidad del aire a nivel del
mar. Altura del Monte Everest 8850 𝑚.
Problema 9.17
Al apretar la manija de un atomizador el aire fluye de manera horizontal a través de la abertura
que se extiende hacia abajo dentro del líquido hasta casi llegar al fondo de la botella. Si el aire
se está moviendo a 50 𝑚/𝑠, ¿Cuál es la diferencia de presión entre la parte superior del tubo
y la atmósfera? Densidad del aire 휌 = 1.20 𝑘𝑔/𝑚3.
Problema 9.18
Una botella cilíndrica con un área de sección transversal 𝐴1 = 0.100𝑚2. Contiene un líquido
que se drenó a través de un agujero de 7.40 𝑚𝑚 de radio, o de área 𝐴2 = 1.72 × 10−4 𝑚2. Los
cuadros en la figura representan tiempos a intervalos de 15 𝑠. La altura inicial de la columna de
fluido sobre el agujero era de ℎ0 = 0.300 𝑚. ¿Cuánto tiempo se tardó en vaciar la botella?
Problema 9.19
Si se debe empujar 2.0 𝑐𝑚3 de agua fuera de una jeringa de 1.0 𝑐𝑚 de diámetro a través de una
aguja de calibre 15 y 3.5 𝑐𝑚 de longitud (diámetro interior de la aguja =1.37 𝑚𝑚) en 0.4 𝑠.
a) ¿Qué fuerza debe aplicarse al émbolo de la jeringa? b) ¿Cuál es la velocidad de salida del
agua por la aguja de la jeringa?
Problema 9.20
Una campana de buceo con una presión de aire interior igual a la presión atmosférica se sumerge
en un lago a una profundidad de 185 𝑚. La campana de buceo tiene una ventana de observación
plana, transparente y circular con un diámetro de 20.0 𝑐𝑚. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
sobre la ventana de observación debido a la diferencia de presiones?
181
CUESTIONARIO I
1. Se desea elevar un cuerpo de 1500 𝑘𝑔 utilizando una elevadora hidráulica de plato
grande circular de 90 𝑐𝑚 de radio y plato pequeño circular de 10 𝑐𝑚 de radio.
Calcula cuánta fuerza hay que hacer en el émbolo pequeño para elevar el cuerpo.
2. Sobre el plato menor de una prensa se coloca una masa de 16 𝑘𝑔. Calcula qué masa se
podría levantar colocada en el plato mayor, cuyo radio es el doble del radio del plato
menor.
3. ¿Qué proporción deberían guardar los platos de una prensa hidráulica para que,
aplicando 40 𝑁 de fuerza en el plato menor, podamos levantar un objeto de 80 𝑘𝑔 en el
plato mayor?
4. ¿Qué partes del interior de una prensa hidráulica se ven sometidas a una mayor presión
mientras aplicamos la fuerza en los émbolos?
5. Una mujer de 70 𝑘𝑔 que tiene un área total de impresión de sus pies de 400 𝑐𝑚2.
Quiere caminar sobre la nieve, pero ésta no soporta presiones mayores de 0.5 𝑘𝑃𝑎.
Determine el tamaño mínimo de los zapatos para nieve que ella necesita (área de
impresión por zapato) para que pueda caminar sobre la nieve.
6. Un manómetro de vacío conectado a una cámara da una lectura de 24 𝑘𝑃𝑎, en un lugar
donde la presión atmosférica es de 92 𝑘𝑃𝑎. Determine la presión absoluta en la cámara.
7. Se usa un manómetro para medir la presión del aire en un tanque. El fluido tiene una
gravedad específica de 1.25 y la diferencia de alturas entre los dos ramos del manómetro
es de 28 𝑖𝑛. La presión atmosférica local es de 12.7 𝑝𝑠𝑖. Determine la presión absoluta
en el tanque si el ramo del manómetro sujeto al tanque tiene el nivel del fluido a) más
alto y b) más bajo que otro ramo.
8. Determine la presión atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de
750 𝑚𝑚𝐻𝑔. La densidad del mercurio es 13600 𝑘𝑔/𝑚3. La presión manométrica en
un líquido a una profundidad de 3 𝑚 es de 28 𝑘𝑃𝑎. Calcula la presión manométrica en
el mismo líquido a una profundidad de 12 𝑚.
9. La presión absoluta en agua a una profundidad de 5 𝑚 es de 145 𝑘𝑃𝑎. Determine
a) la presión atmosférica local y b) la presión absoluta, en la misma localidad,
a una profundidad de 5 𝑚 en un líquido cuya gravedad específica es de 0.85.
10. Calcula la fuerza obtenida en el émbolo mayor de una prensa hidráulica si en el menor
se hacen 15 𝑁 y los émbolos circulares tienen cuádruple radio uno del otro.
182
CUESTIONARIO II
1. Una alberca de 10 × 5 𝑚 y 2 𝑚 de profundidad, está llena de agua hasta 10 𝑐𝑚
del borde. Durante una fuerte tormenta, el agua alcanzó el borde en una hora. a) ¿Cuántos
L/m2 cayeron en esa hora? En el fondo de la piscina se encuentra la llave de paso del
desagüe, de radio 10 𝑐𝑚 y conectada a la cañería general donde la presión es de
0.11 𝑀𝑃𝑎. b) Calcula la velocidad a la que sale el agua de la alberca cuando se abre
totalmente la llave de paso. c) ¿Cuánto tiempo hay que dejar la llave abierta si se quiere
vaciar la alberca para dejarla como estaba inicialmente?
2. Por una tubería de 3.9 𝑐𝑚 de diámetro circula agua a una velocidad cuya magnitud
es de 4.5 𝑚/𝑠. En la parte final de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de
2.25 𝑐𝑚. ¿Qué velocidad llevará el agua en este punto?
3. Por una manguera de bomberos de 0.25 𝑚 de diámetro, sale a presión agua que fluye
a 10.5 𝑚/𝑠, si la manguera se achica en su boquilla de salida a 0.1 𝑚 de diámetro
¿con qué velocidad saldrá el chorro?
4. Se observa una tubería descargando agua con un
gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque 𝐴, con
un diámetro de 120 𝑐𝑚, el cual a su vez descarga a
través de una llave de paso con un diámetro de ½
pulgada a otro tanque 𝐵, de 60 𝑐𝑚 de diámetro y
90 𝑐𝑚 de altura (ℎ3). El tanque 𝐴 se encuentra sobre
un pedestal a una altura ℎ2 = 1.5 𝑚 sobre el nivel del
suelo. El tanque 𝐵 se encuentra sobre el suelo.
Calcular: a) La altura a la cual el nivel del agua en el
tanque 𝐴 se estabiliza, b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque 𝐵 y c) El tiempo
en que tarda en llenarse el tanque 𝐵.
5. Se construye una lancha rectangular formada por seis placas de Aluminio de ¼ pulgada
de espesor, 4 𝑚 de largo × 1.80 𝑚 de ancho y 0.70 𝑐𝑚 de altura; tiene como armadura
unas costillas de refuerzo, compuesta por barras de aluminio, con dimensiones de ½
pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte, y en total suman 40 𝑚 de longitud. Si se
deposita una masa de 3 toneladas dentro de la lancha, calcular la profundidad ∆ℎ que se
mete la lancha en el agua.
183
6. Por un tubo de Venturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada
por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula
agua. El Venturi tiene conectados dos tubos manométricos
que marcan una diferencia de alturas del agua ∆𝐻 = 30 𝑐𝑚.
Calcula cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan
por el tubo.
7. El embolo más pequeño y el más grande de una prensa hidráulica tienen diámetros de
6 y 32 𝑖𝑛, respectivamente. a) ¿qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una
fuerza total de salida de 10000 𝑙𝑏 al embolo grande? b) ¿Qué desplazamiento debe tener
el embolo pequeño para elevar al grande 5 𝑖𝑛? Dar resultados en MKS.
8. El agua fluye a través de una manguera de 7 𝑐𝑚 de diámetro a una velocidad de 9 𝑚/𝑠.
a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale a 20 𝑚/𝑠? b) ¿Cuál es el gasto en
𝑚3/𝑚𝑖𝑛?
9. Encuentre la altura a la que subiría el agua de un tubo capilar con un radio de
10 × 10−3 𝑚. Suponga que el ángulo de contacto entre el agua y el material del tubo es
suficientemente pequeño para considerarse como cero.
10. Se compra una corona de oro, la cual se cuelga de una báscula y se encuentra que su
peso es de 30 𝑁, luego, la corona cuando está sumergida en agua la báscula marca
8.90 𝑁 ¿Está hecha de oro puro?
184
CUESTIONARIO III
1. Un bote hecho de madera tiene una densidad de 920 𝑘𝑔/𝑚3, su área es de 10 𝑚2 y su
volumen de 1 𝑚3 cuando la balsa se lleva a agua dulce, ¿cuánto se hunde la balsa en el
agua?
2. En las presas hidráulicas, el aire de un compresor ejerce fuerza sobre un pequeño embolo
de sección transversal circular que tiene un radio de 5 𝑐𝑚. Esta presión es transmitida
por un líquido incompresible a un segundo embolo de radio 15 𝑐𝑚. a) ¿Qué fuerza debe
ejercer al aire comprimido para levantar un auto que pesa 13300 𝑁? b) ¿Que presión de
aire produce esta fuerza? c) Demuestra que la transferencia de energía de entrada es de
igual magnitud a la transferencia de energía de salida.
3. Un jardinero usa una manguera de 2.5 𝑐𝑚 de diámetro para llenar una cubeta de 30 litros
(1 𝑙𝑡 = 1000 𝑐𝑚3). Se tarda 1 minuto en llenar la cubeta. A la manguera se conecta una
boquilla con una abertura de 0.5 𝑐𝑚2 de área de sección transversal: la boquilla
se sostiene de modo que el agua se proyecte horizontalmente desde un punto situado
a 1 𝑚 arriba del suelo ¿Hasta qué distancia horizontal se puede proyectar el agua?
4. Un paciente recibe una transfusión de sangre por medio de una aguja de 0.2 𝑚𝑚 de radio
y 2 𝑐𝑚 de longitud. La densidad de la sangre es de 1050 𝑘𝑔/𝑚3. La botella que
suministra la sangre está a 0.5 𝑚 sobre el brazo del paciente. ¿Cuál es el gasto que pasa
por la aguja?
5. El manómetro de mercurio se usa para medir la presión de un gas dentro de un tanque.
Si la diferencia entre los dos niveles de mercurio es de 36 𝑐𝑚, ¿Cuál es la presión
absoluta dentro del tanque?
6. El émbolo más pequeño y el más grande de una prensa hidráulica tienen diámetros
de 2 y 24 𝑖𝑛, respectivamente. a) ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar
una fuerza total de salida de 2000 𝑙𝑏 al émbolo grande? b) ¿Qué desplazamiento debe
tener el émbolo pequeño para elevar el grande 1 𝑖𝑛? Dar resultados en unidades 𝑀𝐾𝑆.
7. Un corcho tiene un volumen de 4 𝑐𝑚3 y una densidad de 207 𝑘𝑔/𝑚3 a) ¿Qué volumen
del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? b) ¿Qué fuerza
hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?
8. Un globo meteorológico tiene que operar a una altitud donde la densidad del aire es de
0.9 𝑘𝑔/𝑚3. A esa altitud, el globo tiene un volumen de 20 𝑚3 y está lleno de hidrógeno
(휌𝐻 = 0.09 𝑘𝑔/𝑚3). Si la bolsa del globo pesa 118 𝑁 ¿Qué carga es capaz de soportar
a este nivel?
185
9. El agua fluye a través de una manguera de hule de 2 𝑐𝑚 de diámetro a una velocidad de
4 𝑚/𝑠. a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale a 20 𝑚/𝑠? b) ¿Cuál es el
gasto en 𝑚3/𝑚𝑖𝑛?
10. Un frasco de 257 𝑚𝑙 está lleno de agua a 9° C. Cuando el frasco se calienta a 80° C,
se derraman 6 𝑔 de agua. ¿Cuál es la densidad del agua a 80° C? (suponemos que la
dilatación del frasco es despreciable).
CUESTIONARIO IV
1. Una presa rectangular de 30 𝑚 de anchura soporta una masa de agua que alcanza una
altura de 50 𝑚. Determina la fuerza sobre la presa debida tanto al agua como a la presión
atmosférica.
2. La base de la pata de un insecto tiene una forma aproximadamente esférica, con radio
de 2 × 10−3 𝑚. La masa de 2 𝑔 del insecto se sostiene por igual en las seis patas.
Calcule el ángulo 휃 para un insecto sobre la superficie del agua, suponga que la
temperatura del agua es de 15° C.
3. a) ¿Cuál es la presión total sobre la espalda de un buzo profesional en un lago a una
profundidad de 8 𝑚? b) ¿Cuál es la fuerza sobre la espalda del buzo, debida únicamente
al agua, tomando la superficie de la espalda como un rectángulo de 60 × 50 𝑐𝑚?
4. ¿Cuál es el volumen de una barra de oro si tiene una masa de 400 𝑘𝑔 y su densidad es
de 19.3 × 103 𝑘𝑔/𝑚3?
5. Raquel trabaja en un laboratorio calculando la densidad de ciertos objetos. José le llevó
a Raquel un objeto cuyo peso es 330 𝑔 y su capacidad es de 900 𝑐𝑚3. ¿Cuál es la
densidad del objeto que José le dio a Raquel?
186
SUGERENCIAS DE PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN PARA LA UNIDAD 2
• Presión arterial y flujo sanguíneo.
• Plasmas cotidianos.
• Huracanes y tornados.
• Gasto cardiaco.
• Prensa hidráulica.
• Globos aerostáticos.
• Submarinos.
• Súper fluidos y helio líquido.
• Perfiles de alas y sustentación.
• Maquinaria hidroneumática.
• Fluidos no newtonianos.
• Tensión superficial.
SITIOS DE INTERÉS
<http://www.aapt.org/>
<http://portalacademico.cch.unam.mx/>
<https://www.edumedia-sciences.com/es/>
<http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/>
<https://phet.colorado.edu/>
<http://www.falstad.com/>
<https://sites.google.com/site/fisicacontics/home/introduccion>
<http://fisica.uson.mx/manuales/magyopt.html>
<http://www.dgbiblio.unam.mx>
<http://alumnoscch.wordpress.com/>
187
REFERENCIAS
BÁSICA
• Gutiérrez, C. (2009). Física general, capítulos 7 y 10. México: Mc Graw Hill.
• Halliday, D., Resnick, R. y Walker, J. (2011). Fundamentos de física, Volumen 1,
capítulo 15 páginas 365-391, octava edición. México: Grupo Editorial Patria.
• Jones, E y Childers, R. (2001). Física contemporánea, capítulo 9, tercera Edición.
México: Mc Graw Hill.
• Serway, R. y Faughn, J. (2001). Física, capítulos 7 y 8, quinta edición. México:
Pearson Educación.
• Serway, R. Vuille, C. y Faughn, J. (2010). Fundamentos de física, capítulos 7 y 8,
octava edición. Cengage Learning.
• Tippens, Paul E. (2011). Física, conceptos y aplicaciones, capítulos 10 y 11, séptima
edición. México: Mc Graw Hill.
• Wilson, J., Buffa, A. y Lou, B. (2007). Física, capítulo 7 y 8, sexta edición. México:
Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
• Alonso, M. y Rojo, O. (1981). Física mecánica y termodinámica. México: Fondo
Educativo Interamericano.
• Cromer, Alan. (1981). Física para las ciencias de la vida, segunda edición, México:
Editorial Reverte.
• Giancoli, Douglas. (2009). Física 1: Principio con aplicaciones, sexta edición,
México: Pearson Educación.
• Hecht, E. (2000). Física 1: álgebra y trigonometría, segunda edición, México:
International Thomson Editores.
• Resnick, R. Halliday, D. y Krane, K. (2012). Física, vol. 1, cuarta Edición, México:
Editorial John Wiley & Son.
• Riveros, R. Héctor, et al. (2000). Experimentos impactantes 1, mecánica y fluidos.
México: Editorial Trillas.
188
APÉNDICE A
Unidades SI Básicas y Suplementarias
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Unidades Básicas
Longitud metro m
Masa kilogramo Kg
Tiempo segundo S
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mol Mol
Intensidad luminosa candela Cd
Unidades Suplementarias
Ángulo plano radian rad
Ángulo sólido estereorradián sr
APÉNDICE B
Datos Físicos
Magnitud Símbolo Valor
Aceleración gravitatoria normal 𝑔 9.8 𝑚/𝑠2
Velocidad del sonido en el aire 𝑐 340 𝑚/𝑠
Peso molecular en el aire 𝑀 28.99
Densidad del aire (𝟐𝟎 ℃) 휌𝑎𝑖𝑟𝑒 1.29 𝑘𝑔/𝑚3
Densidad del agua (𝟒 ℃) 휌𝑎𝑔𝑢𝑎 1000 𝑘𝑔/𝑚3
Presión y temperatura 𝑃, 𝑇 1.013 × 10−5𝑃𝑎,
273.15 𝐾
Calor fusión del agua 𝐿𝑓 79.7 𝑐𝑎𝑙/𝑔
Calor vaporización del agua 𝐿𝑣 540 𝑐𝑎𝑙/𝑔
Equivalente mecánico de la caloría 𝐽 1 𝑐𝑎𝑙 = 4.184 𝐽
Equivalente energético de la masa
(𝑬 = 𝒎𝒄𝟐)
1 𝑢 = 931.494 𝑀𝑒𝑉
1 𝑘𝑔 = 8.98 × 1016 𝐽 1 𝑘𝑔 = 5.609 × 1035 𝑒𝑉
Masa del Sol 𝑀𝑠 1.991 × 1030 𝑘𝑔
Masa de la Tierra 𝑀𝑇 5.979 × 1024 𝑘𝑔
Radio de la Tierra 𝑅𝑇 6.371 × 106 𝑚
Radio de la órbita de la Tierra 1.50 × 1011 𝑚
Periodo de revolución de la Tierra 3.155 × 107 𝑠
Periodo de rotación de la Tierra 8.616 × 104 𝑠 (día sideral)
Masa de la Luna 𝑀𝐿 7.354 × 1022 𝑘𝑔
Radio de la Luna 𝑅𝐿 1.738 × 106 𝑚
Radio de la órbita de la Luna 3.84 × 108 𝑚
Periodo de revolución y de rotación
de la Luna
2.30 × 106 𝑠
189
APÉNDICE C
Unidades SI Derivadas
Magnitud
Nombre
Símbolo
Definición
Frecuencia ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧 𝐻𝑧 𝑠−1
Fuerza 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑁 𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑠2
Presión, tensión 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 𝑃𝑎 𝑁 ∙ 𝑚2
Energía, trabajo,
cantidad de calor 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝐽 𝑁 ∙ 𝑚
Potencia, flujo
radiante 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑊 𝐽 ∙ 𝑠−1
Cantidad de
electricidad, carga
eléctrica
𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝐶 𝐴 ∙ 𝑠
Tensión eléctrica,
potencial eléctrico,
fuerza electromotriz
𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑉 𝐽 ∙ 𝐶−1
𝑊 ∙ 𝐴−1
Resistencia eléctrica 𝑜ℎ𝑚 Ω 𝑉 ∙ 𝐴−1
Conductancia
eléctrica 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑆 𝐴 ∙ 𝑉−1
Capacidad eléctrica 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝐹 𝐶 ∙ 𝑉−1
Flujo magnético, flujo
de inducción
magnética
𝑤𝑒𝑏𝑒𝑟 𝑊𝑏 𝑉 ∙ 𝑠
Inducción magnética,
densidad de flujo
magnético
𝑡𝑒𝑠𝑙𝑎 𝑇 𝑊𝑏 ∙ 𝑚−2
Inductancia ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝐻 𝑊𝑏 ∙ 𝐴−1
Flujo luminoso 𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑚 𝑐𝑑 ∙ 𝑠𝑟
Iluminancia 𝑙𝑢𝑥 𝑙𝑥 𝑙𝑚 ∙ 𝑚−2
Actividad radiactiva 𝑏𝑒𝑐𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑙 𝐵𝑞 𝑠−1
Dosis absorbida 𝑔𝑟𝑎𝑦 𝐺𝑦 𝐽 ∙ 𝑘𝑔−1
Dosis equivalente 𝑠𝑖𝑒𝑣𝑒𝑟𝑡 𝑆𝑣 𝐽 ∙ 𝑘𝑔−1
Actividad catalítica 𝑘𝑎𝑡𝑎𝑙 𝑘𝑎𝑡 𝑠−1 ∙ 𝑚𝑜𝑙
190
APÉNDICE D
Unidades SI Compuestas
Magnitud
Nombre
Símbolo
Momento de una fuerza 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚 ∙ 𝑁
Tensión superficial 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑁/𝑚
Viscosidad dinámica 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑃𝑎 ∙ 𝑠
Energía volúmica, densidad de
energía 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜 𝐽/𝑚3
Energía másica, energía específica 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑔 𝐽/𝑘𝑔
Energía molar 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑙 𝐽/𝑚𝑜𝑙 Entropía, capacidad térmica 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐽/𝐾
Entropía específica, capacidad
térmica específica 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑘𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐽/(𝑘𝑔 ∙ 𝐾)
Entropía molar, calor molar 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑜𝑙 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝐽/(𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾)
Conductividad térmica 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑘𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛 𝑊/(𝑚 ∙ 𝐾)
Intensidad del campo eléctrico 𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑉/𝑚
Desplazamiento eléctrico,
densidad superficial de carga 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶/𝑚2
Densidad de carga 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜 𝐶/𝑚3
Permitividad 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐹/𝑚
Permeabilidad ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐻/𝑚
Intensidad radiante 𝑤𝑎𝑡𝑡 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 𝑊/𝑠𝑟
191
APÉNDICE E
Unidades SI Autorizadas
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo Relación
Volumen litro 𝑙, 𝐿 1 𝐿 = 1 𝑑𝑚3
Masa tonelada 𝑡 1 𝑡 = 103 𝑘𝑔
Presión, Tensión bar 𝑏𝑎𝑟 1 𝑏𝑎𝑟 = 105 𝑃𝑎
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo Relación
Ángulo plano
Vuelta 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 1 vuelta = 2휋 𝑟𝑎𝑑
Grado centesimal 𝑔𝑜𝑛 1 𝑔𝑜𝑛 = 휋/200 𝑟𝑎𝑑
Grado o 1° = 휋/180 𝑟𝑎𝑑
Minuto de ángulo ´ 1´ = 휋/10800 𝑟𝑎𝑑
Segundo de ángulo " 1" = 휋/648000 𝑟𝑎𝑑
Tiempo
Minuto 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠
Hora ℎ 1 ℎ = 3600 𝑠
Día 𝑑 1 𝑑 = 86400 𝑠
APÉNDICE F
Múltiplos y Submúltiplos Decimales
Factor
Prefijo
Símbolo
Factor
Prefijo
Símbolo
𝟏𝟎𝟐𝟒 𝑦𝑜𝑡𝑡𝑎 Y 10−1 𝑑𝑒𝑐𝑖 d
𝟏𝟎𝟐𝟏 𝑧𝑒𝑡𝑡𝑎 Z 10−2 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖 c
𝟏𝟎𝟏𝟖 𝑒𝑥𝑎 E 10−3 𝑚𝑖𝑙𝑖 m
𝟏𝟎𝟏𝟓 𝑝𝑒𝑡𝑎 P 10−6 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 μ
𝟏𝟎𝟏𝟐 𝑡𝑒𝑟𝑎 T 10−9 𝑛𝑎𝑛𝑜 n
𝟏𝟎𝟗 𝑔𝑖𝑔𝑎 G 10−12 𝑝𝑖𝑐𝑜 p
𝟏𝟎𝟔 𝑚𝑒𝑔𝑎 M 10−15 𝑓𝑒𝑚𝑡𝑜 f
𝟏𝟎𝟑 𝑘𝑖𝑙𝑜 k 10−18 𝑎𝑡𝑡𝑜 a
𝟏𝟎𝟐 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑜 ℎ 10−21 𝑧𝑒𝑝𝑡𝑜 z
𝟏𝟎𝟏 𝑑𝑒𝑐𝑎 𝑑 10−24 𝑦𝑜𝑐𝑡𝑜 y
192
APÉNDICE G
Alfabeto Griego
Símbolo griego
Nombre griego
Nombre español
Equivalencia
𝚨 𝛼 𝑎𝑙𝑓𝑎 𝑎
𝚩 𝛽 𝑏𝑒𝑡𝑎 𝑏
𝚪 𝛾 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑔
𝚫 𝛿 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑑
𝚬 휀, 𝜖 é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 𝑒 breve
𝚭 휁 𝑧𝑒𝑡𝑎 𝑧
𝚮 휂 𝑒𝑡𝑎 𝑒 larga
𝚯 휃 𝑡ℎ𝑒𝑡𝑎 𝑡ℎ (𝑡)
𝚰 휄 𝑖𝑜𝑡𝑎 𝑖
𝚱 휅 𝑘𝑎𝑝𝑝𝑎 𝑘 (𝑐)
𝚲 휆 𝑙𝑎𝑚𝑏𝑑𝑎 𝑙
𝚳 휇 𝑚𝑦 𝑚
𝚴 휈 𝑛𝑦 𝑛
𝚵 휉 𝑥𝑖 𝑥
𝚶 휊 ó𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑛 𝑜 breve
𝚷 휋 𝑝𝑖 𝑝
𝚸 휌, 𝜚 𝑟ℎ𝑜 𝑟
𝚺 𝜎, 𝜍 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎 𝑠
𝚻 𝜏 𝑡𝑎𝑢 𝑡
𝚼 𝜐 í𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 𝑦
𝚽 𝜑,𝜙 𝑝ℎ𝑖 (𝑓𝑖) 𝑝ℎ (𝑓)
𝚾 𝜒 𝑗𝑖 𝑐ℎ (𝑐, 𝑞𝑢)
𝚿 𝜓 𝑝𝑠𝑖 𝑝𝑠
𝛀 𝜔 𝑜𝑚𝑒𝑔𝑎 𝑜 larga
193
APÉNDICE H
Constantes Físicas Fundamentales
Magnitud
Símbolo
Valor
Carga eléctrica fundamental 𝑒 1.602 × 10−19 𝐶
Constante de Boltzmann 𝑘𝐵 1.380 × 10−23 𝐽/𝐾
Constante dieléctrica 𝑘 8.98 × 109 𝑁 ∙ 𝑚2/𝐶2
Constante de estructura fina 𝛼 7.29 × 10−3 Constante de Faraday 𝐹 9.648 × 104 𝐶/𝑚𝑜𝑙 Constante de gravitación 𝐺 6.672 × 10−11 𝑁 ∙ 𝑚2/𝑘𝑔2
Constante de los gases 𝑅 8.314472 𝐽/𝑚𝑜𝑙 ∙ 𝐾
Constante de Planck ℎ 6.626 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠
Constante de Rydberg 𝑅𝑀 1.097 × 107 𝑚−1
Constante de Stefan-Boltzmann 𝜎 5.670 × 10−8 𝑊/𝑚2 ∙ 𝐾4
Constante de Wien 휆𝑚𝑎𝑥 𝑇 2.88 × 10−3 𝑚 ∙ 𝐾
Longitud de onda Compton
…del electrón
…del protón
휆𝑐𝑒
휆𝑐𝑝
2.426 × 10−12 𝑚
1.321 × 10−15 𝑚
Magnetón de Bohr 휇𝐵 9.274 × 10−24 𝐽/𝑇
Magnetón nuclear 휇𝑛 5.050 × 10−27 𝐽/𝑇
Masa del electrón 𝑚𝑒 9.109 × 10−31 𝑘𝑔
Masa del neutrón 𝑚𝑛 1.674 × 10−27 𝑘𝑔
Masa del protón 𝑚𝑝 1.672 × 10−27 𝑘𝑔
Número de Avogadro 𝑁𝐴 6.022 × 10−23 𝑚𝑜𝑙−1
Numero de Loschmidt 𝐿 2.686 × 1025 𝑚−3
Permeabilidad del vacío 휇0 4휋 × 10−3 𝐻/𝑚
Punto triple del agua 𝜖0 8.854 × 10−12 𝐹/𝑚
Radio del electrón 𝑟0 2.818 × 10−15 𝑚
Radio de Bohr 𝑎0 5.292 × 10−11 𝑚
Razón elm para el electrón 𝑒𝑙𝑚𝑒 1.758 × 1011 𝐶/𝑘𝑔
Razón cuántica para la carga ℎ/𝑒 4.135 × 10−15 𝐽 ∙ 𝑠/𝐶
Velocidad de la luz en el vacío 𝑐 2.997 × 108 𝑚/𝑠
Volumen molar del gas ideal 𝑣0 22.413 𝑙/𝑚𝑜𝑙
194
APÉNDICE I
Datos Planetarios
Nombre Radio
ecuatorial[𝒌𝒎]
Masa (relativa
a la
Tierra*)
Densidad
Media [𝒌𝒈/𝒎𝟑]
Gravedad
superficial (relativa a la de la Tierra)
Eje orbital
semimayor
Rapidez
de
escape [𝒌𝒎/𝒔]
Periodo
orbital [𝒂ñ𝒐𝒔]
Excentricidad
orbital × 106 𝑘𝑚 (UA)
Mercurio 2440 0.0553 5430 0.38 57.9 0.387 4.2 0.240 0.206
Venus 6052 0.816 5240 0.91 108.2 0.723 10.4 0.615 0.007
Tierra 6370 1 5510 1 149.6 1 11.2 1.000 0.017
Marte 3394 0.108 3930 0.38 227.9 1.523 5.0 1.881 0.093
Júpiter 71492 318 1360 2.53 778.4 5.203 60 11.86 0.048
Saturno 60268 95.1 690 1.07 1427.0 9.539 36 29.42 0.054
Urano 25559 14.5 1270 0.91 2871.0 19.19 21 83.75 0.047
Neptuno 24776 17.1 1640 1.14 4497.1 30.06 24 163.7 0.009
Plutón** 1137 0.0021 2060 0.07 5906 39.84 1.2 248.0 0.249 *Masa de la Tierra= 𝟓. 𝟗𝟕 × 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒌𝒈 ** Plutón es un planeta enano.
Datos del Sistema Solar
Radio ecuatorial de la Tierra 6.37 × 103 𝑘𝑚
Masa de la Tierra 5.97 × 1024 𝑘𝑔
Radio de la Luna 1740 𝑘𝑚
Masa de la Luna 7.35 × 1022 𝑘𝑔 ≈ 1/81 𝑚𝑇
Distancia promedio Luna-Tierra 3.84 × 105 𝑘𝑔
Radio del Sol 6.95 × 105 𝑘𝑚
Masa del Sol 2.00 × 1030 𝑘𝑔
Distancia promedio Sol-Tierra 1.50 × 108 𝑘𝑚
Planeta
Densidad [𝒈/𝒄𝒎𝟑]
Inclinación
del eje
Periodo de
rotación
Inclinación
de la órbita
Número de
satélites
Mercurio 5.44 < 30° 58.6 d 7° 0
Venus 5.24 177° 243 d 3.3° 0
Tierra 5.52 23.5° 23.9 d 0° 1
Marte 3.95 25.2° 24.6 d 1.8° 2
Júpiter 1.33 3.1° 9.9 d 1.3° 12
Saturno 0.69 26.4° 10.2 d 2.5° 10
Urano 1.26 98° 10.8 d 0.8° 5
Neptuno 1.67 29° 15.8 d 1.8° 2
Plutón** 1-1.5 120° 6.4 d 17.2° 5 ** Plutón es un planeta enano.
195
APÉNDICE J
Unidades Sistema Ingles
Magnitud
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Longitud
pulgada (𝑖𝑛𝑐ℎ) 𝑖𝑛 0.0254 𝑚
pie (𝑓𝑜𝑜𝑡) 𝑓𝑡 0.3048 𝑚
yarda 𝑦𝑑 0.914 𝑚
milla 𝑚𝑖 1609.34 𝑚
milla náutica 𝑛𝑚 1852 𝑚
Velocidad nudo (𝑘𝑛𝑜𝑡) 𝑛𝑢𝑑𝑜
1 𝑛𝑚/ℎ
1.852 𝑘𝑚/ℎ
Volumen galón (𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠) 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 4.536 𝑙 galón (𝑈𝑆𝐴) 𝑔𝑎𝑙ó𝑛 3.785 𝑙
Masa
libra 𝑙𝑏 0.453 𝑘𝑔
slug 𝑠𝑙𝑢𝑔 14.593 𝑘𝑔
ton (𝑏𝑟𝑖𝑡á𝑛𝑖𝑐𝑎) 𝑡𝑜𝑛 1016 𝑘𝑔
ton (𝑈𝑆𝐴) 𝑡𝑜𝑛 907.2 𝑘𝑔
Fuerza
pound (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) 𝑙𝑏 𝑤𝑡 4.448 𝑁
poundal 0.138 𝑁
0.014 𝑁
Energía, Trabajo
foot pound 𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏 1.355 𝐽 foot poundal 0.042 𝐽
british termal unit 𝐵𝑡𝑢 1 𝐵𝑡𝑢 = 252 𝑐𝑎𝑙 1 𝐵𝑡𝑢 = 1055 𝐽
Potencia foot pound per second (𝑝𝑖𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜)
𝑓𝑡 ∙ 𝑙𝑏/𝑠 1.355 W
horse power (𝑐𝑎𝑏𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎) 𝐻𝑃 745.700 𝑊
Presión
pound wt per sq. inch (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎)
𝑙𝑏/𝑖𝑛2, 𝑝𝑠𝑖 6894.756 𝑃𝑎
pound wt per sq. foot (𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑖𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜)
𝑙𝑏/𝑓𝑡2 47.880 𝑃𝑎
196
Universidad Nacional Autónoma de México
México, 2019