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LAS FRACCIONES DE CARLOS

(Un cuento de partes de una parte)

MAURICIO CONTRERAS

Las fracciones de Carlos Mauricio Contreras


(Un cuento de partes de una parte)

Carlos estaba triste. Su hermana Eva se le acerc. Qu te pasa Carlos? El profe me ha puesto un montn de operaciones con fracciones. Creo que no voy a poder hacerlas... No entiendo nada! Eva qued horrorizada al comprobar que su hermano Carlos tena razn. Un montn de operaciones estaban escritas sobre la hoja de papel, mientras el muchacho mantena su mirada fija con ojos desorbitados. All haba de todo... sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, parntesis... Un verdadero horror. Bueno, Carlos, no perdamos la calma. Este asunto de las fracciones tiene que ver siempre con una unidad de referencia. Te lo han enseado as? Por ejemplo, dos quintos (2/5) quiere decir que si tomamos como unidad 5 bolas, nos quedamos solamente con 2 de las cinco. S, eso est claro. Pero todo este lo de operaciones que hay aqu... Ya, ya, no te preocupes. Solamente tienes que tener en cuenta lo que te acabo de decir: hay que elegir una unidad adecuada y luego ver cuntas bolitas nos quedamos de la unidad.

Pero, a ver... cmo haces esto: 53

32 + ?

Pues mira... Primero hay que elegir la unidad... una unidad que venga bien para las dos fracciones. Por ejemplo 20 bolitas vendra bien para la segunda fraccin, 3/5, porque 20 se puede dividir entre 5. Pero el problema es que no viene bien para la primera fraccin 2/3, porque 20 no se puede dividir entre 3. Entonces? Un nmero que viene bien es 35=15. Ves? Este se puede dividir entre 3 y entre 5. Ah! Y ahora? Y ahora, si suponemos que la unidad tiene 15 bolitas, averiguamos cuntas bolitas corresponden a cada fraccin. Ah, si, esto lo s hacer! A ver la primera... Hay que hacer las dos terceras partes de 15... Un tercio de quince es cinco, luego las dos terceras partes son el doble, osea, 10.

1


Muy bien! A ver la otra... Las tres quintas partes de quince. Una quinta parte de quince son tres, luego las tres quintas partes son...el triple, osea 9 bolitas. Eso es! Entonces... cuntas bolitas tienes en total? Pues 10 ms 9... Diecinueve bolitas! Luego... Luego... la suma de las dos fracciones es 19 / 15... Pero esto es muy raro... qu quiere decir? cmo voy a coger 19 bolitas si solamente tengo 15? No te preocupes... Vamos a suponer que tenemos bolitas por un tubo. El resultado dice que tienes que coger 19 bolitas y que, por tanto, has de coger un grupo entero de 15 bolitas y adems 4 bolitas ms. Esto los matemticos lo

escriben as: 1541+ y lo llaman nmero mixto. Quiere decir que cogemos una

unidad entera de 15 bolas y 4 bolitas ms de un total de quince.

Ya... Luego puedo escribir esto: 1541

1519

53

32 +==+

2


Eso es! Entonces... puedo aplicar el mismo procedimiento para restar fracciones, por ejemplo sta...

43

54 ?

Claro!. Mira... Primero hay que elegir una unidad que venga bien... Ya s... 45=20. Tomo 20 bolitas como unidad... Y ahora averiguo cuntas bolitas son cada fraccin... Bien! A ver... las cuatro quintas partes de 20... La quinta parte de 20 son 4 bolitas, as que cuatro quintas partes son...4 veces 4... o sea, 16 bolitas. Muy bien! Y ahora... las tres cuartas partes de 20 son... la cuarta parte de 20 son 5... mmm... luego las tres cuartas partes son 3 veces 5, o sea, 15 bolitas. Perfecto! Entonces... a 16 bolitas hay que quitar 15 bolitas, luego queda 1 bolita. S! Y esa bolita... qu fraccin es de las 20 bolitas que hemos tomado como unidad?

Eh? ... Ah, si!, pues...1/20. Es decir, que... 201

43

54 = , no?

Eso es! Ah, ya veo! Primero hay que elegir una unidad, que, por lo que veo es el producto de los denominadores... Y luego hay que ver cuntas bolitas son cada fraccin... Despus hay que sumar o restar las bolitas resultantes y expresar el resultado como fraccin de la unidad que habamos elegido. Veo que lo has entendido perfectamente! Si ya, pero... sirve esto cuando hay que dividir fracciones, por ejemplo,

32

54 ? Eh, eh? Pues tambin vale, claro. Intntalo y vers como s que sale... Mmm... A ver... Tomamos como unidad 53=15 bolitas.

3


Aj! Y ahora... las cuatro quintas partes de 15 son...4 veces 3, o sea, 12 bolitas... Aj! Las dos terceras partes de 15 son... 2 veces 5, o sea, 10 bolitas... Y ahora qu? Pues ahora tienes que dividir 12 entre 10, o bien indicar que el resultado es la fraccion 12/10, o simplificando, 6/5. Una cosa as:

56

1012

32

54 == .

Que puedo escribir como 511+ , porque con 6 bolitas puedo hacer un grupo

de 5 bolas y me sobra una bola...no? Aj!

O sea que el resultado es... 511

56

1012

32

54 +=== . Pero tambin podra haber

dado otro resultado... Porque... si el resultado es la fraccin 12/10... con 12 bolitas puedo hacer un grupo de 10 bolas y me sobran 2, luego tambin dara

1021+ , no?

Bueno, pero 2/10 es lo mismo que 1/5... no?...Si lo simplificas, claro. Aaahhhh... Creo que con esto ya puedo hacer las tareas que me ha mandado el profe... Gracias, Eva. Me has sido de gran ayuda. Al da siguiente Carlos volvio a encontrarse con Eva y le coment cmo le haba ido en la clase de Matemticas. El profesor se ha sorprendido al ver que tena escritos los resultados, pero no aparecan los clculos... Me pregunt si haba usado la calculadora... Ya sabes que con mi calculadora las operaciones con fracciones salen enseguida, unicamente pulsando unas teclas... Le dije que no, que lo hice de cabeza, mentalmente. Me imagino la cara de tu profe. Supongo que esperaba que hubieses hallado el mnimo comn mltiplo de los denominadores y todo eso... Pero es que... realmente no hace falta... Si esto se puede hacer mentalmente... As se lo dije al profe... Y mira, le puse un ejemplo y todo... Ah, si? Qu ejemplo?

4


Pues este: 43

56 . Lo hice sin escribir nada, solamente le dije: 54=20 bolitas;

seis quintas partes de 20, seis veces cuatro, venticuatro; tres cuartas partes de 20, tres veces cinco, quince. Ya est profe: la divisin vale 24/15... Lo ve? Y qu pas? Pues que el profesor me dijo no se qu de los productos cruzados y que bastaba hacer no se qu de producto de extremos partido por producto de medios y que tambin se poda hacer multiplicando la primera fraccin por la inversa de la segunda y no se qu... Pero yo no entend nada de lo que dijo, aunque me sorprendi que al aplicar estas misteriosas reglas saliera siempre el mismo resultado que con mi mtodo. Sin embargo... mi mtodo lo entiendo, pero estos otros que me contaba el profe no les encontraba ninguna justificacin. Tienes razn, Carlos. A mi me pasaba lo mismo. Nunca entend porque haba que hacerlo multiplicando por la segunda fraccion invertida, pero es que nunca me lo explicaron. Tambin le expliqu otro ejemplo. Al profe? Si, claro Qu ejemplo?

Pues este otro: 41

54

32 +

Caramba! Y cmo lo hiciste? Pues... Mira, le dije, tomo 354=60 bolitas. Entonces: dos tercios de 60 son dos veces 20, osea 40; cuatro quintos de 60 son cuatro veces 12, osea 48; un cuarto de 60 son 15. Por tanto, del total de 60 bolitas hay que coger 40+4815=40+33=73. Luego el resultado es la fraccin 73/60, o tambin, el nmero mixto 1+13/60, porque con 73 bolitas se puede hacer un grupo de 60 y sobran 13 de 60. Y qu pas? Pues que el profesor me mir con una cara un poco rara y me dijo que aunque estas operaciones se podan hacer de cabeza, estas reglas que estaba explicando de mnimo comn mltiplo y dems eran necesarias para ms adelante, cuando en cursos posteriores nos explicasen no se qu de fracciones algebraicas.

5


Las fracciones algebraicas? S. Ah, bueno... Pero si es que... para las fracciones algebraicas tambin vale el mismo procedimiento... Ah, si? Si, es un poco ms engorroso, pero tambin funciona. A ver, venga, explcame con un ejemplo...

Pues mira, por ejemplo: 1x

23x

2x5x3x

++++

Hala! Qu es esoooo? Nada, una suma y una resta combinada de fracciones (algebraicas, pero fracciones)... Ya... Ufff... Mira, poco a poco... tomo (x+5)(x-3)(x+1) bolitas. Hasta ah lo entiendo... Eh, no seas impaciente! Ahora averiguo el nmero de bolitas que corresponde a cada fraccin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x921x3-x3x1x3-x5x de 5x3x +

=++=+++

+ x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1xx102x21x5xx21x3-x5x de 3x

2x +

+=++=++

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3x10x23x5x21x3-x5x de 1x

2 +=+=+++ Por lo tanto, el resultado es:

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( )

)1x3x5x

3x102x1xx1022x1x92x

1x2

3x2x

5x3x

++++

+++

=++++

Ahora habra que hacer operaciones arriba y ver si se puede simplificar...

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Eh, eh, para el carro! Hace tiempo que no te entiendo nada de nada... Bueno, no te preocupes, ya lo vers cuando ests en Bachillerato. Lo que s creo que puedes entender es que el fundamento es el mismo. A ver, si quieres

hacer esta operacin: FE

DC

BA + tienes que seguir estos pasos: primero tomo

BDF bolitas. Luego averiguo las bolitas que corresponden a cada fraccion, as:

FDB de BA bolitas es igual a ADF;

FDB de DC bolitas es igual a CBF;

FDB de FE bolitas es igual a EBD. Por tanto, el nmero de bolitas que hay que elegir de las BDF iniciales es ADF+ CBF EBD. Es decir, el resultado es la fraccion:

FDBDBEFBCFDA

+

Pues qu bien, pero es que a mi nunca se me han dado bien las letras... Ya, ya... Despus de un largo silencio, Carlos volvi a la carga... Y la multiplicacin? Por qu no me has dicho nada todava de la multiplicacion? ... Bueno, si, ya s... Se hace igual... no? Pueees...

A ver. Con este ejemplo: 52

43 . Primero cogemos 45=20 bolitas y despus

averiguamos cuntas corresponden a cada fraccin... Tres cuartos de 20 son tres veces cinco, o sea 15; dos quintos de 20 son dos veces cuatro, o sea 8. Por tanto, hay que multiplicar 158=120. Por tanto, son 120 bolitas de 20 bolitas, es decir, la fraccin 120/20, Ya... Sin embargo, si haces la operacin con la calculadora... Uy! Sale 3/10. No tiene nada que ver con lo que me sale a m. Entonces?

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No lo entiendo... No hemos quedado que el proceso era: 1) tomar un nmero de bolitas como unidad, 2) averiguar cuntas bolitas corresponden a cada fraccin, 3) operar (sumar, restar, dividir), y 4) dividir el resultado entre el nmero de bolitas que tomamos como unidad? Por qu no funciona esto cuando se trata de la multiplicacion de fracciones? Bueno... En realidad, la divisin no funciona igual que la suma o la resta... En la divisin no divides entre el nmero de bolitas que has tomado como unidad, solamente divides los nmeros de bolitas que corresponden a cada fraccin. Mmm... Tienes razn... Pero si hacemos lo mismo con la multiplicacin, o sea, si multiplicamos los nmeros de bolitas que corresponden a cada fraccin, el resultado sera siempre un nmero entero. Por ejemplo, en el caso que estamos viendo, el resultado sera 120 bolitas, no habra una fraccion como resultado! Se quedaron pensativos un rato largo. De repente, Eva reacciona. Ya lo tengo! Cmo no se me haba ocurrido antes? Eh? Si, mira. En realidad no es propiamente una multiplicacion, es una parte de una fraccin. Cooomooo?

Si. Quiero decir que cuando escribes 52

43 no hay que hacer una

multiplicacin con el mismo sentido que antes hacamos sumas, restas y divisiones. En realidad lo que ests haciendo es hallar las tres cuartas partes de las dos quintas partes de la unidad. Ests haciendo partes de partes... Buf, no entiendo nada.

Si, mira. Tomamos como unidad 45=20 bolitas. Entonces, lo que hay que hacer es hallar las tres cuartas partes de las dos quintas partes de 20 bolitas. Vaya trabalenguas! Y cmo se come eso? Poco a poco. A ver. Primero hallo las dos quintas partes de 20 bolitas, que son dos veces cuatro bolitas, o sea 8 bolitas. Si.

8


Y ahora, hallo las tres cuartas partes de 8 bolitas... O sea, tres veces 2 bolitas, 6 bolitas. Con lo que el resultado final es 6/20, o tambin 3/10, que es lo que dice tu calculadora. Carlos se qued realmente muy asombrado Pero entonces... Multiplicar fracciones es hacer partes de partes... En cambio, las otras operaciones eran operaciones de verdad, sumas, restas, divisiones. Ahora es partir lo que ya estaba partido...Cmo puede ser que multiplicar sea partir? No era la divisin la operacin que serva para partir? Cmo es que ahora es la multiplicacion la que parte las partes? Si, esto es un poco extrao. Lo que s he visto es que bastaba multiplicar los numeradores y los denominadores para obtener el resultado. Ves? 32=6, 45=20. Por tanto,

206

5423

52

43 =

= . Tal vez por esta coincidencia se le llame multiplicacin de fracciones, porque hay que multiplicar los nmeros de arriba y los de abajo. Pero... en realidad es partir partes de la unidad. Carlos se qued pensativo mucho tiempo. Cmo es que un procedimiento que pareca universal deja de tener validez en un caso concreto? Porqu los significados de las operaciones no son siempre los esperados, los razonables? Qu misterio hay en todo esto? Porqu son tan difciles las matemticas? Y as fueron pasando las horas. Hasta que se durmi.

Para los que todava se sorprenden con las fracciones

Valencia, Noviembre de 2008

Mauricio Contreras

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