fracci ones
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MATEMTICAS 2 ESO 21
Antes de empezar
1. Fracciones..............pg. 24 Fracciones Equivalentes Simplificacin de Fracciones 2.Fracciones con igual denominadorpg. 25 Reduccin a comn denominador Comparacin de fracciones 3.Operaciones con fracciones..........pg. 27 Suma y resta Producto Cociente Potencia Raz cuadrada Operaciones combinadas 4. Problemas de aplicacin..............pg. 29 Ejercicios para practicar Para saber ms Resumen Autoevaluacin
Soluciones
Objetivos En esta quincena aprenders a:
Ver si dos fracciones son equivalentes.
Simplificar fracciones. Reducir fracciones a igual deno-
minador. Sumar y restar fracciones. Multiplicar y dividir fracciones. Obtener la inversa de una
fraccin. Calcular potencias de una
fraccin. Hallar la raz cuadrada de una
fraccin.
Fracciones 2
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22 MATEMTICAS 2 ESO
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Fracciones
Antes de empezar El trabajo con fracciones ya no es nuevo para ti. Ya sabes que una fraccin puede verse desde una triple perspectiva. Puedes ver una fraccin simplemente como un nmero. Tambin como una parte de un total. O tambin puedes interpretar una fraccin como un porcentaje.
Recuerda
Para trabajar con fracciones necesitars en ocasiones obtener la descomposicin factorial de un nmero, as como calcular el mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros.
Para descomponer en factores un
nmero lo dividimos por el primer nmero primo que podamos.
El mnimo comn mltiplo de varios nmeros naturales es el nmero natural ms pequeo que es mltiplo de todos esos nmeros a la vez, exceptuando el nmero 0. Si podemos seguimos dividiendo
sucesivamente el cociente por el mismo nmero primo.
Cuando no podamos hacer la divisin por
ese nmero primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
As sucesivamente hasta que el cociente
final sea 1. Finalmente ponemos ese nmero como
un producto de potencias de factores primos.
MATEMTICAS 2 ESO 23
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24 MATEMTICAS 2 ESO
1. Fracciones
Fracciones Equivalentes
Halla el valor de 46 y
69 .Dan el mismo resultado. Son
dos fracciones equivalentes.
Si dc
ba = , a y d reciben el nombre de extremos, b y
c se llaman medios. En el ejemplo los extremos son 6 y 6, los medios 4 y 9.
Observa que si los multiplicamos se obtiene igual resultado: 66=36 y 49=36.
Ejercicios: Comprueba si las siguientes fracciones son o no son equivalentes
a) 540162y
24075
b) 43272y
14427
Simplificacin de fracciones
Si divides por 2 el numerador y el denominador de
1218 obtienes
69 , que es equivalente. Ahora puedes
dividir 9 y 6 entre 3. Obtienes 23 que no se puede
simplificar. Es irreducible.
Resumiendo:23
69
1218 == que es irreducible.
Vamos a comprobar si las fracciones siguientes son o no equivalentes.
66y144
144
Los extremos de las fracc ones: 144 y 6
44 y 6
i
Su producto vale 1446 = 864
Los medios de las fracciones: 1
Su producto es 1446 = 864
Por lo tanto son equivalentes:
66144 =
144
PISTA
a) 75 540 = ?
240162 =?
b) 27 432 =?
144 72 =?
Vamos a simplificar la fraccin siguiente:
1425 765
Numerador y denominador se pueden dividir por 3:
475255
3:14253:765 =
N nador se umerador y denomipueden dividir por 5:
9551
5:4755:255 =
9551 c n irreduci es una fra ci ble
Fracciones
Al dividir numerador y denominador de una fraccin por un mismo nmero, se obtiene una fraccin equivalente.
-
MATEMTICAS 2 ESO 25
Vamos a reducir a igual denominador
las fracciones: 3087
y 28838
Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (30,288) = 1440 que ser el nuevo denominador de las fracciones.
Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 1440: 30 = 48 ymultiplicamos el resultado por el primer numerador: 48 87 = 4176, que ser el nuevo primer numerador.
Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 1440: 288 = 5 ymultiplicamos el resultado por el segundo numerador: 5 38 = 190, que ser el nuevo segundo numerador.
As, las fracciones quedan:
1440190y
14404176
PISTA: a) m.c.m.(144, 180) = 720
b) m.c.m.(36, 180) = 180
Vamos a comparar las fracciones:
178
y 43
Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (17, 4) = 68
Reducimos las dos fracciones a denominador comn:
178
=6832
y 43
=6851
Ahora ya podemos comparar las fracciones:
6832 <
6851
luego 178 <
43
PISTA: a) m.c.m. (9, 5) = 45
b) m.c.m. (17, 3) = 51
c) m.c.m. (14, 7) =? d) m.c.m. (9, 4) =?
2. Fracciones con igual denominador
Reduccin a comn denominador
Considera las fracciones 511 y
713 .
Para compararlas y realizar clculos podemos usar otras fracciones equivalentes con igual denominador.
511 =
3577 y
713 =
3565
Ejercicios: Reduce a comn denominador:
a) 18045y
14438
b) 124y
249
c) 18022y
3623 d)
1024y
18021
Comparacin de fracciones
Qu fraccin es mayor,75o
118 ?
Vamos a reducirlas a comn denominador:
7756
118 = y
7755
75 =
La primera fraccin es mayor: 75
118 >
Ejercicios: Compara las siguientes fracciones:
a) 51y
97
b) 73y
144
c) 32y
178 d)
43y
95
Fracciones
Al dividir numerador y denominador de una fraccin por un mismo nmero, se obtiene una fraccin equivalente.
Es conveniente que uses los smbolos mayor que, >, y menor que,
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Fracciones
3. Operaciones con fracciones
Suma y resta Ejercicio resuelto: Simplifica cada fraccin y calcula: Para sumar fracciones de denominador igual deja el
denominador y suma los numeradores. 638
217
18631053 +
117
1134
113
114 =+=+
En primer lugar simplifico las fracciones:
2313
18631053 = ;
217
; 3
19638 = Si son fracciones de distinto denominador las
reduciremos primero a comn denominador. Queda:
319
217
2313 + Ahora opero: Es lo mismo
73
54 + que
3543
3515
3528 =+
Calculo m.c.m. (23, 2,3) = 138 y:
26 MATEMTICAS 2 ESO
319
217
2313 + =
138874
1381173
13878 +
La solucin es: 138221
PISTA: Intenta simplificar primero cada fraccin Ejercicios: Calcula el valor de:
a) 32272
28751625 b)
693911 + Despus calcula el m.c.m. de los denominadores. (Ser el nuevo deno-
minador) 19
Divide el m.c.m. por cada denominador y multiplcalo por su correspondiente numerador. (Obtendrs los nuevos numeradores)
c) 368208
23751375 d)
217
18631053 +
Ya puedes sumar o restar las fracciones.
Producto de fracciones
La figura representa a 54
Ejercicio resuelto: Vamos a calcular el valor del siguiente producto:
4241
905
Vamos a hallar 32 de
54 .Dividimos
54 en tres partes y
tomamos dos: 32
54
Si es posible simplificamos las fracciones:
181
905 =
4241
es irreducible
Multiplicamos los numeradores y denominadores:
Del total, tenemos 158 756
414218411
4241
181 ==
Si es posible, simplificamos el resultado.
En este caso 75641
es irreducible.
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MATEMTICAS 2 ESO 27
Ejercicio resuelto: Vamos a calcular el valor del siguiente cociente:
8410
: 124
Si es posible simplificamos las fracciones:
425
8410 =
31
124 =
Multiplicamos numeradores y denomi-nadores en cruz:
4215
14235
31
:425 ==
Si es posible, simplificamos el resultado.
145
4215 = .
PISTA: Intenta simplificar primero cada fraccin
Multiplica numeradores y denominadores en cruz
Si es posible, simplifica el resultado
Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el
valor de: 8
53
Elevamos numerador y denominador al exponente
8
53
=
8
8
5
3
Calculamos la potencia:
8
53
=
8
8
53 =
3906256561
3. Operaciones con fracciones
Cociente de fracciones
Dos fracciones son inversas si su producto es 1. Por
ejemplo 53 y
35 lo son pues
53
35 = 1
Y escribiremos:
351 =
53 . En general:
dc1 =
cd
Para dividir fracciones multiplica en cruz:
Ejercicios: Calcula el valor de los cocientes:
a) 2419:
3644 b)
1829:
2469
c) 344:
1273 d)
1056:
4052
Potencia de una fraccin
Cunto vale 3
25
? Desarrollemos la potencia:
Para obtener la potencia de una fraccin debes efectuar el cociente entre las potencias del numerador y el denominador.
Ejercicios: Calcula el valor de las potencias:
a)6
72
b)4
53
c)6
27
d)7
132
Fracciones
Recuerda: nnn
ba
ba y =
1ba 0 =
-
28 MATEMTICAS 2 ESO
3. Operaciones con fracciones
Raz cuadrada de una fraccin
Para obtener la raz cuadrada de una fraccin, haz la raz del numerador y el denominador.
94
94 = y tambin:
32
94 =
La razn es que: 94
32 2 =
y 94
32 2 =
luego, habr una raz positiva y una negativa.
Ejercicios: Calcula el valor de:
a) 2549 b)
169121
c) 3616 d)
2581
Operaciones combinadas con fracciones Para realizar operaciones combinadas con fracciones hay una serie de cuestiones que conviene tengas en cuenta:
El orden de las operaciones es de izquierda a derecha.
Las multiplicaciones y divisiones se realizan antes que las sumas y restas.
Si aparecen parntesis, sus operaciones tienen prioridad.
Los parntesis anidados se realizan de dentro a fuera.
No suele ser conveniente que esperes al final del ejercicio para simplificar.
Ejercicios: Calcula el valor de:
a)
74:
211
38
49
67
b)
7+
+69
24
1183 +
Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el valor de:
1699
Hallamos la raz del numerador y denominador:
133
169
91699 ==
Por ser raz cuadrada hay otra solucin:
133
1699 =
Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el valor de:
25
83
49
76
52
+
+
Operamos por separado en el numerador y denominador:
25
83
49
76
52
+
+=
823
140326
823
2854
52
=+
Dividimos, multiplicando en cruz:
32202608
823
140326
=
Si es posible, simplificamos el resultado.
805652
32202608 =
Recuerda: ba
ba y =
ba
Fracciones
-
Fracciones
4. Problemas de aplicacin
PROBLEMA 1. La semana pasada he ledo 71 de un
libro. A lo largo de esta semana he podido leer 54 del
resto. En total he ledo 87 pginas del libro. Cuntas pginas en total tiene el libro?
Solucin: 105 pginas
PROBLEMA 2. Hemos vaciado agua contenida en un
barril, en 41 recipientes de 43 litros cada uno. Todos
han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 14 litros. Cuntos litros de agua contena el barril?
Solucin: 44,37 litros
PROBLEMA 3. Esta previsto destinar 143 de una finca
a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado 43
de lo previsto a zonas ajardinadas. Qu fraccin de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento?
Solucin:
563
para aparcamientos
PROBLEMA 4. De un depsito de cereales se han
extrado los 108 . Al da siguiente se extrae
41 del
resto. Qu fraccin del total se ha extrado del depsito?
Solucin: 2017
del total
MATEMTICAS 2 ESO 29
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30 MATEMTICAS 2 ESO
EJERCICIOS resueltos
Fracciones equivalentes. Simplificacin
1. Son equivalentes 1440720y
14427
?
El producto de extremos vale 27144= 38880 y el producto de medios 144720=103680
Los dos productos no coinciden y, por lo tanto, no son equivalentes:
2. Simplifica la fraccin 2850510
Numerador y denominador se pueden dividir por 2: 1425255
2:28502:510 =
Numerador y denominador se pueden dividir entre 3: 47585
3:14253:255 =
Numerador y denominador se pueden dividir entre 5: 9517
3:4755:85 =
9517 es irreducible.
Fracciones con igual denominador
3. Reduce a igual denominador las fracciones: 10517 y
14414
Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (105,144) = 5040 que ser el nuevo denominador.
Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 5040: 105 = 48. Multiplicamos el resultado por el primer numerador: 48 17 = 816, que ser el
nuevo primer numerador.
Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 5040:144 = 35. Y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: 35 14 = 490, que ser el
nuevo segundo numerador.
As, las fracciones quedan: 5040816 y
5040490 , fracciones con igual denominador.
4. Reduce a igual denominador las fracciones:5766 ,
19248 y
7225
Hallamos el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (576, 192,72) = 576 que ser el nuevo denominador de las fracciones.
Dividimos el m.c.m entre cada denominador, multiplicando el resultado por el correspondiente numerador.
As, las fracciones quedan: 5766 ,
576144 y
576200 .
Fracciones
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MATEMTICAS 2 ESO 31
EJERCICIOS resueltos (continuacin)
Operaciones con fracciones 5. Simplifica cada fraccin y calcula:
177
20880
1375375 +
En primer lugar simplifico las fracciones:
113
1375375 = ;
135
20880 = ;
177 es irreducible
Queda: 177
20880
1375375 + =
2431729
24311001
2431935
2431663 =+
6. Calcula el valor del siguiente producto:
1536
18011
9024
Si es posible simplificamos las fracciones:
1536
18011
9024 =
512
18011
154
Multiplicamos los numeradores y denominadores:
13500528
51801512114 =
Si es posible, simplificamos el resultado. 13500528 =
112544
7. Calcula el valor del siguiente cociente 1643
: 3011
Si es posible simplificamos las fracciones. En este caso ambas son irreducibles.
Multiplicamos numeradores y denominadores en cruz:
176291 0=
30163043
3011:
1643 =
Y, si es posible, simplificamos el resultado 88
= . 6451761290
8. Calcula la siguiente potencia: 6
75
Elevamos numerador y denominador al exponente 6
75
= 6
5 6
7
Calculamos las potencias: 6
75
= 67
5 =6
11764915625
Fracciones
-
32 MATEMTICAS 2 ESO
EJERCICIOS resueltos (continuacin)
Operaciones con fracciones
9. Indica las dos soluciones de la raz 1214
Hallamos la raz del numerador y denominador:
112
1214
1214 ==
Por ser raz cuadrada hay otra solucin:
112
1214 =
10. Calcula:
112
34
97
65
211
+
+
Operamos por separado en el numerador y denominador:
112
34
97
65
211
+
+=
3350
5435
211 +
=
335054332
Dividimos, multiplicando en cruz:
335054332
=2700
10956
Si es posible, simplificamos el resultado. 2700
10956 =225913
11. Calcula: 52
118
34 2 +
Operamos primero el parntesis: 52
3324
3344 2 +
= 52
3320 2 +
.
Hacemos la potencia 1089400 +
52 Sumamos:
1089400 +
52 =
54454178
54452178
54452000 =+
En este caso no podemos simplificar el resultado.54454178 es una fraccin irreducible.
12. Calcula:
74:
211
38
49
67
=
877
1259
67
=
87772413
. Dividimos multiplicando en cruz 55443304 .
Simplificamos el resultado 55443304 =
9959
Fracciones
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MATEMTICAS 2 ESO 33
Equivalencia de fracciones
1. Comprueba si son o no equivalentes las siguientes fracciones:
a) 72108 y
192292 b)
9054 y
15093
c) 9636 y
320123 d)
4314 y
21570
Simplificar fracciones
2. Simplifica las siguientes fracciones:
a) 6440 b)
16272
c) 12880 d)
17236
Reducir a comn denominador
3. Reduce a comn denominador las siguientes fracciones:
a) 2012 ,
3224 y
246
b) 2816 ,
166 y
2415
c) 2410 ,
4520 y
186
d) 228 ,
4836 y
3315
Suma y resta de fracciones
4. Realiza las operaciones siguientes y simplifica el resultado cuando sea posible:
a) 208
4515
368
b) 184
5228
2210
c) 2010
4525
159 +
d) 249
2010
1610
Producto de fracciones
5. Calcula el valor del producto de las siguientes fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:
a) 65
106 b)
128
115
c) 107
119 d)
117
56
Cociente de fracciones
6. Calcula el valor del producto de las siguientes fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible:
a) 612:
105 b)
59:
77
c) 54:
48 d)
57:
96
Potenciacin
7. Calcula el valor de las siguientes potencias y simplifica el resultado cuando sea posible:
a)4
97
b) 4
94
c) 2
96
d) 3
67
Raz cuadrada
8. Halla el resultado de las siguientes races. Da las dos soluciones posibles:
a)3616 b)
6425
c) 259 d)
3625
Fracciones
-
Fracciones
Operaciones combinadas
9. Realiza las operaciones siguientes y simplifica el resultado cuando sea posible:
13. En una ciudad de 470 habitantes, 85 practican deporte regularmente. Qu fraccin del total no practican deporte con regularidad? Qu tanto por ciento es? a)
211
83
49 +
b) 49
76
52 +
c)
+ + 7
62:1184
d) 76
52:
118
Problemas con fracciones
14. La semana pasada he ledo
31 de un
libro. A lo largo de esta semana he podido
leer 76 del resto. En total he ledo 38
pginas del libro. Cuntas pginas en total tiene el libro?
10. Cuntos botellines de refresco de
51 de litro podemos llenar con 417 litros de
refresco?
11. Expresa en forma de fraccin el rea
de un rectngulo cuya base mide 65 m y
cuya altura mide 97 m.
15. Hemos vaciado agua contenida en un
barril, en 22 recipientes de 32 litros cada
uno. Todos han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por la mitad. En el barril han sobrado 10 litros. Cuntos litros de agua contena el barril?
16. Esta previsto destinar
96 de una finca
a plazas de aparcamiento. Pero se han
destinado 76 de lo previsto a zonas
ajardinadas. Qu fraccin de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento?
12. Un camin contiene 900 Kg. de
patatas. Descarga 31 de su carga. Del
resto descarga los 52 . Cuntos Kg. de
patatas quedan?
17. De un depsito de cereales se han
extrado los 119 . Al da siguiente se extrae
91 del resto. Qu fraccin del total se ha
extrado del depsito?
34 MATEMTICAS 2 ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 35
El Ojo de Horus
La imagen de arriba, de origen egipcio, es el ojo de Horus, el Udyat. Horus haba perdido el ojo en combate, pero fue sustituido por el Udyat por intervencin del dios Thot.
Para los antiguos egipcios, el Udyat simbolizaba el estado de perfeccin y le atribuan cualidades sanadoras. Tambin les serva para escribir nmeros.
Es posible escribir cualquier fraccin positiva como suma de fracciones de numerador la unidad. Una suma de este tipo se llama una fraccin egipcia. Son fracciones egipcias:
81
41
21
87 ++= y
51
41
21
2019 ++=
Los jeroglficos usados por los egipcios para escribir las fracciones ms frecuentes en medidas agrarias de capacidad y volumen, eran partes del Ojo de Horus.
Una fraccin interminable
Mira como est escrita esta fraccin,
Y si seguimos el proceso indefinida-mente?
Se obtiene una fraccin continua, cuyo resultado, no es una fraccin!
Con fracciones continuas pueden escribirse nmeros tan importantes en matemticas como , el nmero de oro.
Puedes encontrar ms informacin en la wikipedia:
Nmero de oro: http://es.wikipedia.org/wiki/Nmero_ureo
Fraccin continua: http://es.wikipedia.org/wiki/Fraccin_continua
Fracciones
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36 MATEMTICAS 2 ESO
Cundo son equivalentes dos fracciones? Cuando su producto de extremos y medios coincide.
dc
ba = si cumple ad=cd
Cmo se simplifican fracciones? Debes dividir numerador y denominador entre un mismo factor. Si el m.c.d. del numerador y el denominador es la unidad, la fraccin ya no se puede simplificar ms, es irreducible.
Si sabes el mcd del numerador y el denominador, lo mejor es dividir directamente por esa cantidad. La fraccin resultante ser irreducible.
Cmo se reducen fracciones a igual denominador? Divide el m.c.m. de los denominadores entre el denominador y multiplica por el numerador.
Cmo se suman y restan fracciones? Deben tener el mismo denominador.
Cmo se multiplican fracciones? Multiplica numeradores y denominadores.
Cmo se dividen fracciones? Multiplica en cruz los numeradores y denominadores.
Cmo se obtiene la potencia de una fraccin? Eleva el numerador y el denominador.
Cmo se extrae la raz de una fraccin? Extrae la raz del numerador y el denominador
m.c.d.(20,12)=4
Fracciones
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MATEMTICAS 2 ESO 37
1. Halla una fraccin irreducible equivalente a 21696
.
2. Sin simplificarlas, reduce a comn denominador 246 y
3616
.
3. Calcula 3612
188 + . El resultado debe ser irreducible.
4. Calcula 148
3620 (en forma irreducible).
5. Obtn la fraccin irreducible equivalente a
4230
3520
2012 ++ .
6. Halla 2010
248
2715 , expresado de forma irreducible. +
7. Calcula 118
85 . Simplifica el resultado.
8. Halla el valor de 105:
97 . El resultado debe estar
simplificado.
9. Una rueda avanza 64 metros para dar una vuelta.
Cuntas vueltas debe dar para avanzar 8 metros?
10. Halla 6416 .
Fracciones
-
38 MATEMTICAS 2 ESO
Soluciones de los ejercicios propuestos en los Contenidos
Fracciones equivalentes
a) No son equivalentes, puesto que el producto de medios y extremos no coinciden.
b) No son equivalentes, puesto que el producto de medios y extremos no coinciden.
Reduccin a comn denominador
a) 720190 y
720180
b) 249 y
248
c) 180115 y
18022
d) 18021 y
180432
Comparacin de fracciones
a) 97 >
51
b) 144