Forma Normal Conjuntiva

Forma Normal Conjuntiva (FNC): cuando un enunciado está expresado como una conjunción de disyunciones de átomos (ya sean negados o no).

(... Ú ... Ú ... Ú ...) Ù ... Ù (... Ú ... Ú ... Ú ...) Ù ... Ù (... Ú ... Ú ... Ú ...)

Formas normales conjuntivasx Idea de forma normal conjuntivau (L1;1 _ : : : _ L1;n1) ^ : : : ^ (Lm;1 _ : : : _ Lm;nm)x Idea de f´ormula clausularu L1 _ : : : _ Lnx Definici´on de f´ormula clausular:u Si F es literal, entonces F es f´ormula clausularu Si F y G son f´ormulas clausulares, entonces (F _ G)es f´ormula clausularx Ejemplos de f´ormulas clausulares:u p es una f´ormula clausularu :p es una f´ormula clausularu :p _ (q _ :r) es una f´ormula clausularu :p _ (q ^ :r) no es una f´ormula clausularx Definici´on de forma normal conjuntiva:u Si F es una f´ormula clausular, entonces F es una formanormal conjuntivau Si F y G son formas normales conjuntivas, entonces(F ^ G) tambi´en lo esRA 2000–01 CcIa Resoluci´on proposicional 4.8Formas normales conjuntivasx Ejemplos de formas normales conjuntivas:u (:p _ q) ^ (:q _ p) es forma normal conjuntivau (:p _ q) ^ (q ! p) no es forma normal conjuntivax Relaci´on entre formas normales:u F es forma normal conjuntiva =)=) F es forma normal negativax Transformaci´on a forma normal conjuntiva:u Procedimiento FNC(F)1. Transformaci´on a forma normal negativa2. Interiorizaci´on de las disyuncionesp _ (q ^ r) ´ (p _ q) ^ (p _ r)(p ^ q) _ r ´ (p _ r) ^ (q _ r)u Ejemplos:FNC(p ^ (q ! r)) = p ^ (:q _ r)FNC(:(p ^ (q ! r))) = (:p _ q) ^ (:p _ :r)x Propiedades:u FNC(F) termina siempreu FNC(F) es una forma normal conjuntiva

u FNC(F) ´ F

4.3.3 Forma normal conjuntiva. En esta forma cada función se

representa como un producto de sumas, en lugar de una suma de

productos.

4.3.3.1 Definición. Una función booleana está en F.N.C en n

variables x1, x2,... xn, para n 0, si la función en un producto de

factores del tipo E1 (x1) E2( x2) ... En(xn), donde Ei(xi) = xi o xi’

para i = 1, 2, ..., n, y ningún par de factores son idénticos. Se dice

también que 0 y 1 están en F.N.C en n variables para n 0.

4.3.3.2 Teorema. Toda función en un álgebra booleana que no

contiene constantes es igual a una función en forma normal

conjuntiva.

Ejemplo 7.

Escribir la función (x y' x z)' x' en F.N.C.

 

Solución:

(x y' xz)' x'

= (x' y) (x' z') x'

= (x' x' y) (x' x' z' )

= (x' y) (x' z' )

= (x' y z z' ) (x' z' yy' )

= (x' y z ) (x' y z' ) (x' y' z ) (x' y' z' )

 

4.3.3.3 Definición. La forma normal conjuntiva en n variables que

contienen 2n factores se llama forma normal conjuntiva completa en n

variables.

4.3.3.4 Teorema. Si a cada una de las n variables de una F.N.C se le

asigna el 0 o 1 de una manera arbitraria, pero fija, entonces

exactamente un factor de la F.N.C en las n variables tendrá el valor 0

y todos los demás factores tendrán el valor 1.

Acá se asignará a las variables sin prima el valor de 0 y las variables

con prima el valor de 1. El factor adecuado es entonces la suma de

estas letras, cada una de las cuales tiene el valor 0. Todos los demás

factores tienen el valor 1.

4.3.3.5 Teorema. Dos funciones, cada una expresada en la forma

normal conjuntiva en n variables, son iguales si y sólo si contienen

idénticos factores.

Ejemplo 8.

Encuentre y simplifique la función f(x,y,z) dada por la siguiente tabla.

x y z f(x,y,z)

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

La F.N.C tendrá 2 términos o factores y serán los correspondientes a

las filas segunda y sexta las cuales la función es 0.

Esto es:  

f(x,y,z) = ( x y z’) ( x’ y z’)

f(x,y,z) = y z’

 

Generalmente la F.N.C es usada cuando el número de ceros es menor

que el número de unos en la columna F; y la F.N.D es usada cuando el

número de unos es menor que el número de ceros en la columna f.

 

El complemento de una función booleana escrito en F.N.C está

constituido por los factores de la F.N.C completa que faltan en la

función dada.

 

Ejemplo 9.

El complemento de ( x y')( x’ y) es ( x y)( x’ y’).