forma fuerte forma d ébil ón - universidad nacional de ... · 1 identificar el funcional de la...

Minimizar el funcionalMinimizar el funcional

Funciones de aproximación. Método Variacional

Método Variacional (Método de Rayleigh-Ritz)

EcuaciEcuacióón Diferencialn Diferencial

02

2

=+ Qdx

dD

φdxQ

dx

dD∫Ω

−

=∏ φ

φ2

2

FuncionalFuncional

ónaproximacidefunción:φ

La La funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn que generque generéé un valor un valor mmíínimonimo del del funcional funcional es la solucies la solucióón mn máás aproximada de la s aproximada de la ecuaciecuacióón diferencialn diferencial

0=∂

Π∂

ia

Forma fuerteForma fuerte Forma dForma déébilbil

Definición

Identificar el Identificar el funcional funcional de la de la ecuaciecuacióón diferencial.n diferencial.11


Procedimiento

EcuaciEcuacióón Diferencialn Diferencial

Ω∈∀=+ xQdx

dD 0

2

2φdxQ

dx

dD∫Ω

−

=∏ φ

φ2

2

FuncionalFuncional

Ω∈∀+++= xxaxaxaa 3

3

2

210φ

Suponer una Suponer una funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn y aplicarle las y aplicarle las condiciones de bordecondiciones de borde22

FunciFuncióón de aproximacin de aproximacióónn

Coordenadas generalizadas

Γ∈∀= xx 0)(ˆ φφCondiciones de bordeCondiciones de borde

DespuDespuéés de aplicadas las condiciones de borde a la funcis de aplicadas las condiciones de borde a la funcióón de aproximacin de aproximacióón se reduce el nn se reduce el núúmero mero de coordenadas generalizadasde coordenadas generalizadas

Ω

Ω

Γ


Derivar el Derivar el funcionalfuncional respecto a las coordenadas respecto a las coordenadas generalizgeneraliz..33

Igualar a cero la derivada del Igualar a cero la derivada del funcional.funcional.Calcular las coordenadas generalizadas.Calcular las coordenadas generalizadas.

44


Procedimiento

Minimizar el funcionalMinimizar el funcional 0=∂

Π∂

ia

Ω∈∀+++= xxaxaxaa 3

3

2

210φ

⋅+

+

=

L

xsena

L

xa

L

xsena

πππφ

32cosˆ

210

Parte de una serie de TaylorParte de una serie de Taylor

Parte de una serie de FourierParte de una serie de Fourier

02

2

>∂

Π∂

ia

Sistema de ecuacionesSistema de ecuaciones

Funciones de aproximación. Método de los residuos ponderados

ResiduoResiduo

0)(2

2

≠=+⋅ xRQdx

dD

φ

La La funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn no satisface a la no satisface a la ecuaciecuacióón n diferencial, diferencial, mostrando un mostrando un residuoresiduo o error a la derecha de la o error a la derecha de la ecuaciecuacióón. El mn. El méétodo requiere que la integral del todo requiere que la integral del residuo residuo multiplicada multiplicada por una por una funcifuncióón de ponderacin de ponderacióónn sea igual a cero.sea igual a cero.

W(x)·R(x)

x

0)()(1

1 =⋅∫ dxxRxW 0)()(2

2 =⋅∫ dxxRxW 0)()(3

3 =⋅∫ dxxRxW

W(x)·R(x)

x

1 2 3

0)()( =⋅∫Ω

dxxRxWi

i

Método de los Residuos Ponderados

Definición

Este error es minimizado con respecto a las coordenadas generaliEste error es minimizado con respecto a las coordenadas generalizadaszadas

La funciLa funcióón de impulso vale cero cuando n de impulso vale cero cuando x=Xix=Xi


MMéétodo de la Colocacitodo de la Colocacióónn )()( ii XxxW −= δ

Cada modalidad del mCada modalidad del méétodo esttodo estáá definida por la definida por la funcifuncióón de n de ponderaciponderacióónn utilizada.utilizada.

MMéétodo de todo de GalerkGalerkíínn

MMéétodo de los Mtodo de los Míínimos Cuadradosnimos Cuadrados

MMéétodo del Subdominiotodo del Subdominio

[ ]∫== dxxRErrorxRxWi

2)()()(

1)( =xWi

φformaxWi =)(


Modalidades


Suponer la Suponer la funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn..11

Calcular el Calcular el Residuo Residuo sustituyendo la sustituyendo la funcifuncióón de n de aproximaciaproximacióónn en la ecuacien la ecuacióón diferencial.n diferencial.

22

Definir la Definir la funcifuncióón de ponderacin de ponderacióón n (modalidad del m(modalidad del méétodo)todo)33

Calcular la(s) integral(es) del Calcular la(s) integral(es) del residuo ponderadoresiduo ponderado e e igualarla(s) a cero.igualarla(s) a cero.

44

Calcular las Calcular las coordenadas generalizadas coordenadas generalizadas a partir de la a partir de la solucisolucióón del sistema de ecuaciones simultaneas.n del sistema de ecuaciones simultaneas.55

0)(2

2

≠=+⋅ xRQdx

dD

φ

0)()( =⋅∫Ω

dxxRxWi

i

2

210 xaxaa ⋅+⋅+=φ


Procedimiento

EnergEnergíía ela eláástica de deformacistica de deformacióónn

Cuando el valor estacionario es un Cuando el valor estacionario es un mmíínimonimo el el equilibrioequilibrio es es estableestable. .


MMéétodo de la Colocacitodo de la Colocacióónn

De todos los estados de desplazamiento de un De todos los estados de desplazamiento de un sistema sistema conservativoconservativo que satisface compatibilidad y condiciones de borde, que satisface compatibilidad y condiciones de borde, aquel que ademaquel que ademáás ests estáá en en equilibrioequilibrio es un sistema que tiene es un sistema que tiene energenergíía potencial estacionariaa potencial estacionaria..

EnergEnergíía potencial totala potencial totalWU −=Π

Trabajo hecho por las cargasTrabajo hecho por las cargas

Π

∫ ⋅=V

TdVU εσ

2

1 iT

i

i

A

s

T

V

c

TPudAfudVfuW ⋅+⋅+⋅= ∑∫∫

Principio de la Energía Potencial Estacionaria

Definición

Π

uu

minΠ

uu

U, WU, WEnergEnergíía potencial total a potencial total

Principio de la energía potencial estacionaria

2

2

1ukU ⋅⋅=

Trabajo hecho por las cargasTrabajo hecho por las cargas

EnergEnergíía ela eláástica de deformacistica de deformacióónn

kk

PP

uu

uPW ⋅=

0

0

2

1

2

2

2

>=∂

Π∂

=−⋅=∂

Π∂

⋅−⋅⋅=−=Π

ku

Puku

uPukWU

Potencial estacionarioPotencial estacionario

Potencial mPotencial míínimonimo

Principio de la Energía Potencial Estacionaria

Sistema de un grado de libertad

El método de los elementos finitos

Procedimiento numProcedimiento numéérico para resolver problemas frico para resolver problemas fíísicos controlados por sicos controlados por una una ecuaciecuacióón diferencialn diferencial o por un o por un teorema de energteorema de energííaa..

El El MEFMEF Convierte un medio continuo en un grupo finito de Convierte un medio continuo en un grupo finito de elementoselementos, , en los cuales existe una funcien los cuales existe una funcióón de aproximacin de aproximacióón definida.n definida.

LLáámina simmina siméétrica sometida a tensitrica sometida a tensióónnRed de elementos finitos Red de elementos finitos de 1/4 de lde 1/4 de lááminamina

elementoelemento

cargascargas

CondicCondic. de borde. de borde

Condic

Condic. de borde

. de borde


Definición


Plantear y resolver de forma débil las ecuaciones de gobierno del problema y sus condiciones de borde

1

Métodos de aproximación de funciones: método variacional, método de los residuos ponderados.

Principios energéticos: principio de la energía potencial total estacionaria, principio de los trabajos virtuales.

Generalidades del método de los elementos finitos

Planteamiento general

Definir la función de aproximación del elemento finito y sus funciones de forma

2

Plantear de forma matricial como la solución de un sistema de ecuaciones simultaneas

3

Establecer la matriz de rigidez y el vector de términos independientes del elemento finito

Definir el proceso de ensamblaje para obtener matrices del problema a partir de matrices elementales.



Planteamiento general

Plantear de forma matricial las condiciones de borde del problema4

Obtener los valores nodales de la función de aproximación en la malla de elementos finitos

6

Calcular la función de aproximación en cada elemento finito7

Las condiciones de borde naturales determinan valores conocidos de las derivadas (en el espacio) de la función de aproximación

Las condiciones de borde esencialesestablecen valores conocidos de la función de aproximación

Calcular las derivadas de la función de aproximación en cada elemento finito8

Obtener los valores promedio de las derivadas de la función de aproximación en los nudos de la red de elementos finitos

9

Aplicar las condiciones de borde en los nudos de la malla de elementos finitos

5


Colocar muchos elementos en las regiones Colocar muchos elementos en las regiones donde los pardonde los paráámetros cambian rmetros cambian ráápidamente.pidamente.

11

Colocar nudos en los lugares donde los Colocar nudos en los lugares donde los coeficientes de la ecuacicoeficientes de la ecuacióón diferencial cambie.n diferencial cambie.

22

Colocar nudos en los lugares donde se desea Colocar nudos en los lugares donde se desea calcular la funcicalcular la funcióón de aproximacin de aproximacióón. n.

33

Convertir el sistema continuo en una malla de Convertir el sistema continuo en una malla de elementos elementos conectados entre sconectados entre síí por por nudosnudos. .

Cada Cada nudo nudo tiene un ntiene un núúmero especmero especíífico de fico de grados de libertadgrados de libertad. .

Los Los grados de libertad grados de libertad son los parson los paráámetros desconocidos que se metros desconocidos que se desean calcular. Tambidesean calcular. Tambiéén se denominan n se denominan valores nodales.valores nodales.

Recomendaciones

Recomendaciones


Discretización

Problemas de campo unidimensional

iφ

jφ

Xi Xj

l

I J

φ

X

xaa 21 +=φ

)(e

ji

i

jx

l

xx

l

xxΩ∈∀

−+

−= φφφ

Elemento unidimensional lineal

Descripción general

condiciones de borde del elemento

iix φφ =)(jjx φφ =)(

jj

ii

xaa

xaa

21

21

+=

+=

φ

φ

Función de aproximación


)()( ej

i xl

xxxN Ω∈∀

−=

Xi XjL

IJ

jN

X

l

xxN i

j

−=

1

Xi XjL

IJ

iN

X

l

xxN

j

i

−=

1


Funciones de forma

)()( eij x

l

xxxN Ω∈∀

−=

jjii xNxN φφφ )()( +=Función de aproximación

Funciones de forma


[ ]T

ji

e φφ=Φ )(


Formulación matricial

[ ]

TTe

j

i

ji

eNN

N

N

)(

)(

Φ=

=Φ=

φ

φ

φφ

[ ]ji NN=NMatriz de funciones de forma

Vector de valores nodales


(expresión matricial)

jjii xNxN φφφ )()( +=Función de aproximación




Matriz de operadores diferenciales

aplicados sobre las funciones de forma

[ ] TTe

j

i

ji

e

dx

dBB

dx

dBB

)()( Φ=

=Φ=

φ

φ

φφ

Operadores diferenciales actuando

sobre funciones de forma

jijjiij

j

ii

LLBB

dx

dN

dx

dN

dx

dφφφφφφ

φ 11+−=+=+=

Derivada de la función

de aproximación

ldx

dNB

ldx

dNB

j

ji

i

1,

1==−==

Derivada de la función de

aproximación (expresión

matricial)

[ ]ji BB=∂= NB

Matriz operador diferencial para

problemas de campo unidimensional

=∂

dx

d

Problema de campo unidimensional


Planteamiento

φ

Solución de la E.D.

x

Ecuación Diferencial Ω∈∀=+ xQdx

dD 0

2

2φ

qxqxdx

d

xx

Γ∈∀=

Γ∈∀=

0

0

)(

)(

φ

φφ φCondiciones de borde Esenciales o de Dirichlet

Condiciones de borde Naturales o de Neumann

0)( φφ =x

0)( φφ =x

)(xφ

φΓ

φΓ

Ω



Planteamiento

φ

04 φφ =1φ

2φ 3φ 05 φφ =

Aproximación por tramos. Solución de la E.D.

53214 1 2 3 4

x

CB

CB

=

==Φ

=Φ

Φ

Φ=

=Φ05

04

3

2

1

5

4

3

2

1

φφ

φφ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

βαβ

α[ ]

[ ]

[ ]

[ ]T

T

T

T

53

)4(

32

)3(

21

)2(

24

)1(

φφ

φφ

φφ

φφ

=Φ

=Φ

=Φ

=Φ


en cada elementoVector de valores nodales del sistema

subvector de valores

nodales conocidos

subvector de valores

nodales desconocidos


Ecuación Diferencial Ω∈∀=+ xQdx

dD 0

2

2φ

∑ ∫∫= ΩΩ

−

=

−

=∏

ne

e e

ee

dxQdx

dDdxQ

dx

dD

1 )(

)(

2)(2

22φ

φφ

φFuncional

dxQdxDe

j

ei

ej

ei

x

x

TeTeex

x

eTTee

∫∫ Φ−Φ

Φ=∏

)(

)(

)(

)(

)()()()()()(

2

1NBB


Método variacional

[ ]dxQDdxQdx

dD

e

TTeeeTTe

e

ee

e

∫∫ΩΩ

Φ−ΦΦ=

−

=∏

)(

)()()()(

21

)(

)(

2)()(

2NBBφ

φ

Aporte del elemento (e) al Funcional


Funcional del elemento (e))()()()()(

21)( eTeeeTee

fK Φ−ΦΦ=∏

)()()(

)(

)(eee

e

e

fK −Φ=Φ∂

∏∂


Método variacional

dxQdxDe

j

ei

ej

ei

x

x

Teex

x

eTe

∫∫ ==)(

)(

)(

)(

)()()()( , NfBBKMatriz de rigidez y vector de términos

independientes del elemento (e)

Derivada del Funcional del elemento (e)

0=Φ∂

∏∂=

Φ∂

∏∂∑

=

ne

e

e

1

)(

Minimización del Funcional

=

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

=

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

=Φ∂

∏∂∑

=

0

0

0

0

0

1

)(

)(

)(

)(

)(

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

ne

e

e

e

e

e

e

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

−

=

∏∂

∏∂=

Φ∂

∏∂)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

e

j

e

i

e

j

e

i

e

jj

e

ji

e

ij

e

ii

e

e

e

e

f

f

kk

kk

ej

ei

φ

φ

φ

φ



Método variacional

Derivada del funcional del elemento (e) extendida a todos los GL del sistema

)()()(

e

ext

e

ext

e

fK −Φ=Φ∂

∏∂

−

=

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

=Φ∂

∏∂

0

0

0

00000

000

00000

00000

000

)(

)(

5

4

3

2

1

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

5

4

3

2

1

e

i

e

j

e

ii

e

ij

e

ji

e

jj

e

e

e

e

e

e

f

f

kk

kk

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

( ) 0fKfKfK =−Φ=

−Φ

=−Φ=

Φ∂

∏∂=

Φ∂

∏∂∑∑∑∑

====

ne

e

e

ext

ne

e

e

ext

ne

e

e

ext

e

ext

ne

e

e

1

)(

1

)(

1

)()(

1

)(


)(

11

)()(

11

)( , e

ne

e

ne

e

e

ext

e

ne

e

ne

e

e

ext fffKKK=

==

=

==== ∑∑ AA

Matriz de rigidez y vector de términos independientes del sistema (ensamblaje)

φ)(e

iφ

)(e

jφ

ji e

x

j

ij

i



ensamblaje

Ecuaciones del sistema

Derivada del funcional respecto a los valores nodales el cada elemento (1)

Ecuaciones del elemento

Numeración de los grados de libertad del elemento14 1

CB

Ensamblaje del elemento (1)41

1

1

1

4

4

4

−

=

∏∂

∏∂)1(

)1(

1

5

)1()1(

)1()1(

)1(

)1(

1

5

j

i

jjji

ijii

f

f

kk

kk

φ

φ

φ

φ

−

=

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

0

0

0

00000

000

00000

00000

000

)1(

)1(

5

4

3

2

1

)1()1(

)1()1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

5

4

3

2

1

i

j

iiij

jijj

f

f

kk

kk

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ



ensamblaje

Ecuaciones del sistema

Derivada del funcional respecto a los valores nodales el cada elemento (2)

Ecuaciones del elemento

Numeración de los grados de libertad del elemento21 2

Ensamblaje del elemento (2)

2

2

2

2

1

1

1

1

−

=

∏∂

∏∂)2(

)2(

2

1

)2()2(

)2()2(

)2(

)2(

2

1

j

i

jjji

ijii

f

f

kk

kk

φ

φ

φ

φ

+

−

+

=

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

+

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

0

0

00000

000

00000

000

00)(

)1(

)2(

)2()1(

5

4

3

2

1

)1()1(

)2()2(

)1()2()2()1(

)2(

)2(

)2(

)2(

)2(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

i

j

ij

iiji

jjij

jiijiijj

f

f

ff

kk

kk

kkkk

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ



Aplicación de las condiciones de borde


Calculo de los valores nodales desconocidos del sistema

( )βαβαααα

ββββαβα

αβαβααα

β

α

β

α

βββα

αβαα

Φ−=Φ

=−Φ+Φ

=−Φ+Φ

=

−

Φ

Φ

−KfK

0fKK

0fKK

0

0

f

f

KK

KK

1

=

−

=

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

∏∂

0

0

0

0

0

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

55

4544

353433

25242322

1514131211

5

4

3

2

1

f

f

f

f

f

ksim

kk

kkk

kkkk

kkkkk

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

04 φφ =

1φ2φ 3φ

05 φφ =

53214 1 2 3 4

x



Resultados en cada elemento finito

[ ]

)(

)(

)(

)()()()( )()()(

e

e

j

e

ie

j

e

i

ee

x

xNxNx

Ω∈∀

=Φ=

φ

φφ N


[ ]

)(

)(

)(

)()()()( )()(

e

e

j

e

ie

j

e

i

ee

x

xBxBdx

d

Ω∈∀

=Φ=

φ

φφB

Derivada de la función de

aproximación

φ

04 φφ =

1φ2φ 3φ

05 φφ =

53214 1 2 3 4

x

dx

dφ

53214 1 2 3 4

x

Continuidad de la función

de aproximación

Discontinuidad en la primera derivada

de la función de aproximación



Matriz de rigidez y vector de fuerzas del elemento unidimensional lineal

φ)(e

iφ

)(e

jφ

ji e

x

dxQ

dxD

ej

ei

ej

ei

x

x

Teee

x

x

eeTee

∫

∫

=

=

)(

)(

)(

)(

)()()(

)()()()(

Nf

BBK

[ ]

=

−

−=

−

−=−

−=

∫

∫

1

1

2)(

)(

11

1111

1

1

)()()()(

)(

)()()(

)(

)(

)(

)(

eex

xi

jee

e

ex

x

ee

lQdx

lxx

lxxQ

l

DdxllD

l

l

ej

ei

ej

ei

f

K


)(2

321

essasaa Ω∈∀++=φ

( )

( )

( )2

2

)(

2

2

)(

22

2

)(

21

)(

4)(

231

)(

slsl

sN

slsl

sN

slsll

sN

e

k

e

j

e

i

+−=

−=

+−=

Elemento unidimensional cuadrático

Descripción general

condiciones de borde del elemento

kjill φφφφφφ === )(,)2(,)0(

2

221

)(

2

241

221

1

)(

21

1

)(

)(

)(

)0(

lalaal

lalaal

a

e

k

e

j

e

i

++==

++==

==

φφ

φφ

φφ

)(e

iφ)(e

jφ

ji

e

s

)(e

kφ

k

)(sφ

2l 2l

función de aproximación en términos de

coordenadas generalizadas

)()()()()()()(

e

k

e

k

e

j

e

j

e

i

e

i NNNs φφφφ ++=

función de aproximación en términos de

las funciones de forma

funciones de forma


( )

( )sll

sB

ds

dN

dx

dNB

slsll

sN

e

i

e

i

e

ie

i

e

i

431

)(

231

)(

2

)(

)()()(

22

2

)(

+−=

==

+−=


Funciones de forma y sus derivadas

ji

e

s

k

)(e

iN

2l 2l

1.0

ji

e

s

k

)(e

jN

2l 2l

1.0

ji

e

s

k

)(sφ

2l 2l

1.0

( )

( )sll

sB

ds

dN

dx

dNB

slsl

sN

e

j

e

j

e

je

j

e

j

841

)(

441

)(

2

)(

)()(

)(

2

2

)(

−=

==

−= ( )

( )sll

sB

ds

dN

dx

dNB

slsl

sN

e

k

e

k

e

ke

k

e

k

41

)(

21

)(

2

)(

)()()(

2

2

)(

+−=

==

+−=siendo s

paralelo a x




)(e

iφ)(e

jφ

ji

e

s

)(e

kφ

k

)(sφ

2l 2l

[ ]Te

k

e

j

e

i

e )()()()( φφφ=Φ

[ ]

TeTe

e

k

e

j

e

i

e

k

e

j

e

i

ee NNN

)()(

)(

)(

)(

)()()()()(

N

N

Φ=

=Φ=

φ

φ

φ

φ

φ

[ ])()()()( e

k

e

j

e

i

e NNN=N

Matriz de funciones de forma


Función de aproximación (expresión matricial)


)()()()()()()( e

k

e

k

e

j

e

j

e

i

e

i NNNs φφφφ ++=




)(e

iφ)(e

jφ

ji

e

s

)(e

kφ

k

)(sφ

2l 2l

[ ] TeTe

e

k

e

j

e

i

e

k

e

j

e

i

ee

dx

dBBB

dx

d )()(

)(

)(

)(

)()()()()( , BB Φ=

=Φ=φ

φ

φ

φφ

[ ])()()()()( e

k

e

j

e

i

ee BBB=∂= NB

Matriz de operadores diferenciales

actuando sobre funciones de forma

Derivada de la función de aproximación (expresión matricial)

Derivada de la función de aproximación

)()()()()()(

)()(

)(

)(

)()(

e

k

e

k

e

j

e

j

e

i

e

i

e

k

e

ke

j

e

je

i

e

i

BBBdx

d

ds

dN

ds

dN

ds

dN

ds

d

dx

d

φφφφ

φφφφφ

++=

++==

siendo s

paralelo a x



Matriz de rigidez y vector de fuerzas del elemento

( )[ ]

=

+−

−

+−

=

−

−−

−

=+−−+−

+−

−

+−

=

∫

∫

1

4

1

62

44

23

781

8168

187

3)4()84(43

1

)4(

)84(

)43(1

)()(

02

2

22

2

)()(

)(

)(

0 2

)(

2

)(

eel

ee

e

el

ee

lQds

sls

sls

slsl

l

Q

l

Ddsslslsl

lD

sl

sl

sl

l

f

K

)(e

ix

s

)(e

kx

)(sφ

)(e

iφ)(e

jφ

ji

x

)(e

kφ

k2l 2l

dssQdxxQ

dssDsdxxDx

lTee

x

x

Teee

leeTe

x

x

eeTee

ek

ei

ek

ei

∫∫

∫∫

==

==

0

)()()()()(

0

)()()()()()()(

)()(

)()()()(

)(

)(

)(

)(

NNf

BBBBK

siendo s paralelo a x


Algoritmo de cálculo

lectura de datos de

entrada

EDLECE

lectura de parámetros

generales de la malla

EDLECR

lectura de tabla de

coordenadas de nudos crear matriz de rigidez del

elemento

KUNID2

ensamblar la matriz de

rigidez del elemento

ENSAMK

crear la matriz de rigidez

del sistema K

crear matriz de rigidez del

sistema llena de ceros

MTCONS

ciclo por elemento finito

for

nextlectura tabla conectividad

o tabla incidencias*

EDLECI

en cada elemento, lectura

de

EDLECR

crear vector de fuerzas

del elemento

FUNID2

ensamblar vector de

fuerzas del elemento

ENSAMV


del sistema f


lleno de ceros

MTCONS


for

next

cálculo del vector de

valores nodales

MTSUBM

extraer submatr. rigidez y

fuerza

constr. vector valores

nodales

MTADJU

lectura vector de valores

nodales conocidos

EDLECR

dim

Inicialización de

variables

extraer vector de valores

nodales del elem.

EXTRAV

crear vector de operador

difer. f. forma

BUNID2


for

next

derivada función aprox.

MTMULT

cálculo de la función de

aprox. y su derivada

)()(x

eB

)(eΦ

)()( )()( ee

x xx Φ=∂ Bφ

)(ef

],[ βα ΦΦ=Φ

ααβαα fKK ,,

MTMULT

multiplicar

βαβΦK

MTREST

restar

βαβα Φ− Kf

SOCHLK

solucionar el sist. ecuac.

βαβαααα Φ−=Φ KfK

)(eK

)()()( ,, eee LQD

Crear vector de funciones

de forma

NUNID2

función de aproximación

MTMULT

)()( xeN

)()( )()( ee xx Φ= Nφ

βΦ


Ejemplo de aplicación

y y

xy

A

A’

A-A’

z

4L 4L 4L 4L

B

B’

0M

B-B’

z

L

xMxM 0)( =

x

M

W14x82 W14x82+2P0.5”

273420 mkNEIAA ⋅=

296480 mkNEIBB ⋅=

GPaE 200=

L=8.00m


Ejemplo de aplicación

xy

A

A’

4L 4L 4L 4L

B

B’

0M 273420 mkNEIAA ⋅=

296480 mkNEIBB ⋅=

GPaE 200=

L=8.00m

08

1M−

08

3M−

08

5M−

08

7M−

1 2 3 4

4 1 2 3 5

04 =φ 05 =φ

4L 4L 4L 4L

malla de EF

Q(x)

forma fuerte forma d ébil ón - universidad nacional de ... · 1 identificar el funcional de la...

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