modelado de las vibraciones de un arreglo de tubos ...ricabib.cab.cnea.gov.ar/286/1/1piraces.pdf ·...

PROYECTO INTEGRADORCARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA

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.MODELADO DE LAS VIBRACIONES DE UN ARREGLO DETUBOS ELÁSTICAMENTE MONTADOS INMERSOS EN UNFLUIDO COMPRESIBLE UTILIZANDO ADAPTIVIDAD hp

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.José Manuel Piracés

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Dr. Claudio Padra Dr. Mario SchebleDirector Co-Director

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.Miembros del Jurado :

Dr. Enzo Dari (Mecánica Computacional, C.A.B.)

Dr. Fernando Quintana (Mecánica Computacional, C.A.B.)

Dr. Mariano Cantero (Mecánica Computacional, C.A.B.)

Dr. Mario Scheble (Mecánica Computacional, C.A.B.)

Dr. Claudio Padra (Mecánica Computacional, C.A.B.)

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..Junio de 2011

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.División Mecánica Computacional

Centro Atómico Bariloche..

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía AtómicaArgentina

A mis padres, por formarme en libertad.

A Daniela, por su amor incondicional.

Indice

Resumen 7

Abstract 9

1. Introducción 111.1. Problemas de vibraciones en la industria nuclear . . . . . . . . . . . . . 111.2. Caracterización de las vibraciones inducidas por el flujo . . . . . . . . . 121.3. Ideas básicas sobre el método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . 131.4. Concepto de adaptividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Clases de refinamiento adaptivo de elementos finitos . . . . . . . . . . . 151.6. Problema objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Desarrollos y aspectos de implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9. Organización del manuscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Vibraciones de sólidos inmersos en un fluido. Aspectos teóricos 212.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Modelos matemáticos de vibraciones de fluido-estructuras sólidas . . . . 23

2.2.1. Interacción sólido-fluido perfecto levemente compresible . . . . . 232.2.1.1. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1.2. Ecuación del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1.3. Ecuación de los sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1.4. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1.5. Formulación en el campo de las frecuencias . . . . . . 262.2.1.6. Formulación variacional del problema . . . . . . . . . . 272.2.1.7. Discretización del problema . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2. Caso de un fluido perfecto incompresible . . . . . . . . . . . . . 34

3. Método hp de elementos finitos 393.1. Espacio de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2. Estimador de error a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Estimador de error a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5

6 Indice

3.3.1. Confiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4. Estrategia de refinamiento adaptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4. Aprovechamiento de la simetría 454.1. Necesidad de explotar la simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Extensión del tratamiento de simetrías del modelo de Laplace al de

Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.1. Ejemplo modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2. Formulación variacional del problema simétrico . . . . . . . . . 484.2.3. Discretización del problema simétrico . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Ejemplos numéricos 575.1. Análisis Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2. Ejemplo con solución analítica: Dos tubos cilíndricos concéntricos . . . 60

5.2.1. Solución analítica general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2. Caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.2.1. Solución analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.2.2. Solución de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2.3. Caso con fluido incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3. Tubo romboidal dentro de una cavidad rectangular . . . . . . . . . . . 73

5.3.1. Efecto de la velocidad del sonido en los modos de vibración . . . 785.3.2. Orden de convergencia del estimador . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.3. Comparación entre estrategias de refinamiento h y hp . . . . . . 84

5.4. Cavidad en forma de L con tubos de diferentes formas y propiedadesfísicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5. Cavidad cilíndrica con 28 tubos cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5.1. Comparación con el modelo resuelto con fluido incompresible . . 110

Conclusiones 111

Desarrollos futuros 113

Referencias bibliográficas 115

A. Problemas abstractos de autovalores 117

Agradecimientos 127

Resumen

En el presente Proyecto Integrador fue desarrollado un método para obtener los mo-dos de vibración de un haz de tubos sumergido en un fluido levemente compresible.Se propone una formulación variacional del problema de Helmholtz, la cual fue imple-mentada numéricamente con un algoritmo adaptivo hp de elementos finitos. Tambiénse desarrolló un estimador de error confiable y eficiente que permitió obtener un ordende convergencia exponencial. Para validar el código se utilizaron los resultados de unproblema con solución analítica. La robustez fue evaluada al hacer tender la velocidad cde propagación del sonido en el fluido a infinito, lo que, además, permitió verificar queel modelo contempla al caso con fluido incompresible. Luego se analizó el refinamientoque se produce alrededor de vértices reentrantes que generan soluciones con singulari-dades. La dependencia de las primeras autofrecuencias con c fue evaluada para variosvalores de este parámetro. Por otra parte, se obtuvieron las soluciones de un problemacon parámetros físicos diferentes para cada tubo.Por último se estudió un problema con una geometría realista que se presenta en

ciertos componentes de centrales nucleares. Se hizo un análisis de los modos de vi-bración y de sus frecuencias naturales, así como también de la aproximación a unfluido incompresible.

7

Abstract

Title : MODELLING THE VIBRATIONS OF A BUNDLE OF TUBES IM-MERSED IN A COMPRESSIBLE FLUID USING hp-ADAPTIVITY.In this project, a method to obtain the vibration modes of a bundle of tubes im-

mersed in a slightly compressible fluid has been developed. A variational formulationof the Helmholtz problem, suitable for hp-adaptive finite element computation, is pro-posed. A reliable and efficient a posteriori error estimator, which allows to achieve anexponential order of convergence, was developed. To validate the code, a problem withan analytical solution was used. The robustness was evaluated by making the speedof sound c in the fluid tend to infinity. This, in addition, allowed us to verify that themodel predicts correctly the behavior in case of an uncompressible fluid. Further, therefinement occuring around the reentrant corners, which generates a solution with sin-gularities, was analyzed. The dependence of the first eigenfrequencies on c was studiedby calculating them for several values of this parameter. Also, solutions for a problemwith unequal physical parameters for each tube were obtained.Finally, a problem with a realistic geometry that arises from some components of

nuclear power plants was simulated. Here, the vibration modes and natural frequencies,as well as the approach to uncompressibility, were analyzed.

9

Capítulo 1.

Introducción

1.1. Problemas de vibraciones en la industria nuclear

El flujo a alta velocidad de refrigerante a través de un componente de un reactornuclear es una fuente de energía que puede inducir vibraciones e inestabilidades. Elpotencial de vibraciones inducidas por flujo hace necesario que los ingenieros de diseñorealicen consideraciones detalladas respecto de los problemas de vibraciones.

Existen numerosos problemas potenciales de vibración e inestabilidad en plantasnucleares y componentes internos. Las fallas que han ocurrido en el pasado producidaspor vibraciones inducidas por flujo han sido documentadas con cierto grado de detalle.Como ejemplo podemos citar una pérdida en un generador de vapor del reactor Ringhals3 en Suecia que ocurrió después de sólo 3000 horas efectivas de operación a plenapotencia (ver más en [1, 2]). La pérdida fue causada por el fenómeno comúnmentellamado “shake and break”. Se encontró que decenas de tubos de los generadores devapor habían sido gastados hasta el 10% de su espesor original. Esta fuga marcó elcomienzo de un período problemático para una serie de plantas nucleares.

La fuente clara del problema son las vibraciones inducidas por el flujo. Cuando unaplanta está en operación, el flujo induce vibraciones en tuberías, generadores de vapor,elementos combustibles, condensadores, etc. A medida que éstos rozan los componentesde soporte y separadores, sufren desgaste. Debido a este problema, las empresas demanufactura, las empresas de servicios públicos y las agencias regulatorias han traba-jado juntos con la intención de encontrar una solución. Mientras tanto, algunas plantasnucleares han tenido que operar a niveles de potencia reducidos. El ejemplo anteriormuestra cómo las vibraciones inducidas por flujo pueden guiar a problemas económi-cos, operacionales, de mantenimiento y de seguridad. En consecuencia, los diseñadoresde reactores no pueden considerar este problema como un parámetro secundario dediseño.

11

12 1.2. Caracterización de las vibraciones inducidas por el flujo

1.2. Caracterización de las vibraciones inducidas porel flujo

La vibración de una estructura inmersa en un flujo de fluido involucra un fenómenobastante complejo. La caracterización y modelado de este fenómeno puede llegar a seruna tarea difícil. Todavía no es posible resolver todos estos problemas utilizando losprincipios fundamentales de la mecánica estructural y de fluidos. Por lo tanto, han sidodesarrollados diferentes modelos simplificados para describir los fenómenos observados.La interacción dinámica fluido-estructura puede estar sujeta a distintos tipos de

vibración e inestabilidad, de las cuales listamos algunos a continuación :• Divergencia : La inestabilidad estática puede ser causada por la fuerza del fluido

dependiente del desplazamiento, como el problema del pandeo de un tubo quetransporta fluido.• Inestabilidad dinámica : La inestabilidad oscilatoria puede ser causada tanto por

fuerzas del fluido dependientes del desplazamiento como fuerzas dependientes develocidades, como en el caso de la inestabilidad de un arreglo de tubos en flujocruzado.• Respuesta a las fuerzas de excitación del fluido : Tanto el desplazamiento estruc-

tural estático como el desplazamiento oscilatorio pueden ser causados por variasfuerzas del flujo de excitación, tales como la deformación causada por la fuerzacentrífuga del fluido sobre un tubo que lo transporta y las oscilaciones de loselementos combustibles causadas por el flujo turbulento.• Respuesta acústica-elástica : El campo de flujo, la estructura y el medio acústico

pueden interactuar unos con otros, tal como sucede en la sincronización de vór-tices, la vibración de tubos y la resonancia acústica en un banco de tubos de unintercambiador de calor.

La respuesta del sistema estará afectada por las características geométricas y mecánicasde la estructura y por las propiedades físicas tanto del flujo, como del fluido propia-mente dicho. Es de interés, entonces, estudiar en detalle el comportamiento modal deestas estructuras inmersas en un fluido para así poder, por un lado, entender la físicabásica del fenómeno de vibración al estar involucrado un fluido como medio, y por otro,obtener conclusiones que pueden ser de relevancia una vez que se extienda el análisisestudiando la respuesta con distintos régimenes de flujo.Las formas de abordar el estudio de este problema son diversas. Por un lado, existen

numerosos trabajos experimentales, los cuales se pueden clasificar a grandes rasgos den-tro de las siguientes áreas : determinación de las constantes de estabilidad, verificaciónde modelos matemáticos, investigación detallada del campo de flujo alrededor de losarreglos, y pruebas de los componentes estructurales reales. Por otro lado, los flujos y

Capítulo 1. Introducción 13

los fenómenos relacionados pueden ser descritos por modelos matemáticos, los cualesno pueden ser resueltos en forma analítica excepto casos especiales. Por ello se puederecurrir a obtener soluciones aproximadas numéricamente, en donde se debe utilizarun método de discretización que aproxime las ecuaciones diferenciales por un sistemade ecuaciones algebraicas, los cuales pueden luego ser resueltos en una computadora.Así como gran parte de la exactitud de los datos experimentales depende de la calidadde los instrumentos utilizados, la exactitud de las soluciones numéricas depende de lacalidad de las discretizaciones utilizadas.Uno de estos modelos numéricos, cuya utilización se ha popularizado durante los

últimos 40 años (ver [3]), es el método de elementos finitos. Originalmente, su principalaplicación fue en el área de mecánica estructural, pero hoy su uso se ha expandido avarias otras áreas tales como mecánica de fluidos, transferencia de energía, etc, conaplicaciones a problemas tanto lineales como no lineales, y con análisis estacionario otransitorio.En este método, el dominio de la solución es dividido en una serie de elementos o

volúmenes que son generalmente no estructurados ; en 2D, son generalmente triánguloso cuadriláteros, mientras que en 3D se utilizan tetraedros o hexaedros. La característicaque distingue a los elementos finitos de otro método es que las ecuaciones son multi-plicadas por una función de peso antes de ser integradas sobre todo el dominio. En loscasos más simples, la solución es aproximada por una función de forma lineal dentrode cada elemento de manera que se mantenga la continuidad de la solución a lo largode los lados de los elementos. Dicha función puede construirse a partir de los valoresen los nodos de los elementos. La función de peso es generalmente de la misma forma.Una ventaja importante de los métodos de elementos finitos es la posibilidad de tratar

con geometrías arbitrarias ; existe una extensa literatura dedicada a la construcción demallas para métodos de elementos finitos. Las mallas pueden ser fácilmente refinadas.Los métodos de elementos finitos son relativamente sencillos de analizar matemática-mente y puede mostrarse que pueden tener propiedades óptimas para ciertos tipos deecuaciones. La principal desventaja, que es compartida por cualquier método que usamallas no estructuradas, es que las matrices de las ecuaciones linealizadas no estántan bien estructuradas como aquellas que provienen de mallas regulares, haciendo másdifícil la resolución del problema algebraico.

1.3. Ideas básicas sobre el método de elementosfinitos

El método de elementos finitos puede describirse de forma sencilla. Supongamos que

14 1.3. Ideas básicas sobre el método de elementos finitos

el problema a ser resuelto se presenta en forma variacional, lo que puede requerir en-contrar la función u que minimiza una expresión dada de la energía potencial. Estapropiedad de minimización lleva a una ecuación diferencial para u, pero normalmenteuna solución exacta es imposible, por lo que será necesario algún tipo de aproximación.La idea de Rayleigh-Ritz-Galerkin es elegir un número finito de funciones de pruebaϕ1, . . . , ϕN , y entre todas sus combinaciones lineales ∑ qjϕj encontrar la que realice elmínimo ; esto es la aproximación de Ritz. Los pesos desconocidos qj deben ser determi-nados mediante un sistema de N ecuaciones algebraicas discretas, resoluble mediantealgún algoritmo computacional. La meta es entonces escoger funciones de prueba ϕjlo suficientemente simples para que la energía potencial pueda ser computada y min-imizada, y simultáneamente lo suficientemente generales como para lograr una buenaaproxiación de la solución desconocida u.

La dificultad radica principalmente en obtener conveniencia y computabilidad. Enteoría, siempre existe un conjunto completo de funciones de prueba, esto es, que suscombinaciones lineales cubran el espacio de todas las soluciones posibles a medida queN →∞, y por tanto las aproximaciones de Ritz converjan. Sin embargo no siempre esposible trabajar con ellas.

La idea subyacente es simple. Comienza por una subdivisión de la estructura, o dela región de interés físico, en partes pequeñas. Ellas deben ser de fácil almacenamientoe identificación para la computadora, por ejemplo, de forma triangular o rectangular.Luego, dentro de cada parte las funciones de prueba se dan en una forma simple : sonnormalmente polinomios de órdenes pequeños. Respecto a las condiciones de borde,el método de imponerlas localmente es más sencillo a lo largo de una arista de untriángulo o un rectángulo que globalmente a lo largo de una frontera más complicada.La exactitud de la aproximación puede incrementarse si es necesario, no solamente através del método clásico de Ritz de incluir funciones de prueba más complejas, sinotambién a partir del refinamiento de las subdivsiones. Luego la computadora seguirá unconjunto de instrucciones similar, y sólo tomará un poco más de tiempo para finalizar.

El problema fundamental consiste en descubrir con qué grado de exactitud pueden lospolinomios aproximar una solución desconocida u. Es decir, debemos determinar cuánbien los elementos finitos satisfacen el segundo requerimiento, de ser funciones de prue-ba suficientemente buenas para ser efectivas en la aproximación. La tarea matemáticaserá, entonces, de estimar el error tan cercanamente como sea posible y de determinarcuán rápido el mismo decrece a medida que el número de subdivisiones, o el orden delpolinomio dentro de cada una de ellas, aumenta.


1.4. Concepto de adaptividad

Haremos una breve introducción de la filosofía que subyace al enfoque de la adaptivi-dad. El problema radica en encontrar una aproximación uh, con una cierta precisiónE , de la autofunción u utilizando un modelo discreto aproximado de dimensión N .En consecuencia el objetivo de la adaptividad es el “óptimo” uso de los recursos decómputo de acuerdo a alguno de los siguientes principios :• Mínimo trabajo N para una precisión preestablecida E ,

N → min, E dada.

• Máxima precisión para un trabajo preestablecido,

E → min, N dada.

Estos objetivos son tradicionalmente abordados sobre la base de indicadores de errorlocales tomados a partir de la solución computada, asumiendo que esto puede indicardesigualdades locales para la solución “continua”. Los componentes principales de esteproceso son [4] :• estimadores de error a posteriori rigurosos, en términos de los datos y de la solución

computada empleando información sobre el problema continuo ;• indicadores locales de error extraídos de los estimadores de error a posteriori ;• adaptividad de malla automática de acuerdo a ciertas estrategias de refinamiento

basados en los indicadores locales de error.

1.5. Clases de refinamiento adaptivo de elementosfinitos

Existen varios procedimientos para el refinamiento de las soluciones de elementosfinitos, como se describen en [5]. En general estos caen dentro de dos categorías :

1. El refinamiento h en el cual se continúa utilizando la misma clase de elementospero cambian en tamaño, en algunos lugares se hacen más grandes y en otros máspequeños, para proveer la máxima economía en alcanzar la solución deseada. Alaumentar el número de nodos por la división, se incrementa la dimensión de lamatriz de elementos finitos, sin modificar su carácter de ralo.

2. El refinamiento p en el que se continúa utilizando el mismo tamaño de elemento ysimplemente se incrementa, generalmente jerárquicamente, el orden del polinomioutilizado en su definición. Esto aumenta el orden de las relaciones entre los nodos,

16 1.5. Clases de refinamiento adaptivo de elementos finitos

por ello este procedimiento aumenta el llenado de la matriz de elementos finitos.

También es útil dividir las categorías anteriores en subclases, ya que el refinamiento hpuede ser pensado y aplicado de diferentes formas.

1. El primero de los métodos de refinamiento h es la subdivisión de elementos (en-riquecimiento). Aquí el refinamiento puede ser convenientemente implementadoen los elementos existentes que muestren un error grande, en donde son simple-mente divididos en trozos más pequeños manteniendo los bordes originales intac-tos. Tal proceso es complicado ya que se crean varios nodos irregulares cuando unelemento con nodos a la mitad de un lado está unido a un elemento lineal sin esosnodos. Esto lleva a que el elemento vecino deba también dividirse para mantenerla conformidad de la malla, dando lugar a refinamiento en h en lugares en dondeel estimador no indicó que era necesario, o alternativamente es necesario proveerde condiciones de bordes locales en los nodos irregulares y los cálculos se com-plican más. Además, la implementación de de-refinamiento requiere manejo dedatos más complejos que pueden reducir la eficiencia del método. Sin embargo,el método de subdivisión de elementos es ampliamente utilizado.

2. El segundo método es el de regeneración completa de malla o remallado. Aquí,sobre la base de una dada solución, se predice un nuevo tamaño de elementoen todo el dominio y se genera una malla totalmente nueva. En consecuencia seadmite un refinamiento y de-refinamiento simultáneo. Esto por supuesto puedeser caro, especialmete en 3D cuando la generación de malla es difícil para ciertostipos de elementos, y además presenta un problema en la transferencia de datosde una malla a otra. Sin embargo, los resultados son generalmente superiores.

3. El método final, conocido a veces como refinamiento r, mantiene constante alnúmero total de nodos y ajusta sus posiciones para obtener una aproximaciónóptima. Si bien este procedimiento es interesante, es difícil de usar en la práctica.Más aún no es un procedimiento de refinamiento verdadero dado que no se puedealcanzar generalmente una precisión especificada previamente.

Con el refinamiento p la situación es diferente. Aquí existen dos subclases :

1. Una en la que el orden polinomial se incrementa uniformemente a lo largo detodo el dominio ;

2. Una en la que el orden polinomial se incrementa localmente usando un refinamien-to jerárquico.

En ninguno de estos se ha desarrollado un procedimiento directo que permita la predic-ción del mejor refinamiento a utilizar para obtener un error dado. Sin embargo la con-vergencia para un dado número de variables es más rápida con refinamiento p y tienemuchos aspectos para ser recomendado.


En algunas ocasiones es posible combinar eficientemente los refinamientos h y p y selo llama refinamiento hp. Es en este procedimiento, en el cual tanto el tamaño h de loselementos como su grado polinomial p son alterados, en donde concentraremos nuestraatención durante el desarrollo del presente trabajo.

1.6. Problema objetivoLa aplicación central de este Proyecto Integrador es en un tipo de problemas de

autovalores con características matemáticas particulares que surge en el estudio de lasvibraciones de un conjunto de K tubos montados elásticamente, sumergidos en un fluidolevemente compresible contenido en una cavidad rígida. Este problema tiene, como sedescribió anteriormente, aplicaciones relevantes en Ingeniería Nuclear, ya que apareceen el diseño y simulación de intercambiadores de calor, condensadores y elementoscombustibles de reactores nucleares.El estudio de este sistema con interacción fluido-estructura da origen a un problema

de autovalores degenerado tipo Steklov, en donde el autovalor aparece en la condiciónde borde, y con condiciones de borde no-locales. El modelo analizado a lo largo de estetrabajo recibe el nombre de modelo de Helmholtz.

1.7. Estado del arteEntre las técnicas existentes para atacar este tipo de problemas, la más común es

la de la matriz de masa añadida [6], que consiste en resolver 2K problemas fuentesderivados del original. Sus soluciones, conocidas como “funciones de influencia”, sonlinealmente independientes y pueden utilizarse para desarrollar la solución del proble-ma de autovalores, que en esta base se reduce a un sistema generalizado de tamaño2K × 2K. No obstante, estas técnicas presentan una dificultad seria cuando pretende-mos emplearlas para hacer adaptividad ; en tal caso son los problemas fuente los quese resuelven mediante el método de elementos finitos, y resulta evidente que sus sin-gularidades no tienen por qué coincidir con las del problema original de autovalores.Aún así, si persistiéramos en resolver adaptivamente los problemas fuente, cada unade las soluciones aproximadas a ser combinadas linealmente pertenecería a un espa-cio de elementos finitos diferente, definidos sobre triangulaciones distintas. Además,debemos notar que el procedimiento conduce al mismo conjunto de mallas y espaciosaproximantes, independientemente del modo normal que se pretenda calcular, cuandoes sabido que distintas autofunciones tienen diferentes singularidades.Para resolver este tipo de sistemas con acoplamiento fluido-estructura aplicando

adaptividad hp es necesario, por lo tanto, discretizar directamente el problema de

18 1.8. Desarrollos y aspectos de implementación

autovalores. Al comenzar este Proyecto Integrador, se contaba con el desarrollo de unmodelo matemático y de la implementación numérica de un problema similar, cuyadiferencia conceptual con el modelo actual radica en que se trabajó con un fluidoincompresible. Este modelo, denominado modelo de Laplace, condujo a un problemaalgebraico de autovalores mal planteado, ya que ni la matriz de rigidez ni la de masaresultaron definidas positivas. En consecuencia, fue necesario diseñar un procedimientoalgebraico específico que permitió reducir este sistema a uno pequeño y bien planteado.Por otro lado existía el problema de que si los parámetros físicos de los diferentes tubosno eran iguales, no se obtenía un problema estándar de autovalores, ya que en laformulación variacional no aparecía en el segundo miembro una forma bilineal única(asociada a la matriz de masa) multiplicada por el autovalor, sino un conjunto de formasbilineales, una por cada tubo, multiplicadas cada una por una expresión racional de lafrecuencia normal.Para el presente trabajo, una formulación distinta permitió obtener matrices de

rigidez y de masa simétricas, y la última también definida positiva, de modo que parasu implementación no fue necesario trabajar algebraicamente para reducir el sistema auno bien planteado. Además, como el autovalor del modelo resultante es precisamenteel cuadrado de la frecuencia normal, y no una expresión racional de ella afectada porlos parámetros de los tubos, como ocurría en el modelo anterior, la nueva formulaciónvariacional contempla la posibilidad de analizar problemas con tubos distintos. En sín-tesis, por un lado la formulación permitió en forma natural tratar con el problema detubos distintos, y por otra parte el modelo constituye una generalización del problemaanterior, ya que el modelo de Laplace es un caso particular del modelo de Helmholtz.

1.8. Desarrollos y aspectos de implementación

A continuación puntualizamos algunos de los desarrollos efectuados en este ProyectoIntegrador y aspectos relacionados con la implementación del método hp-adaptivo,orientado a la resolución del problema descrito de interacción fluido-estructura.• Solver : Se utilizó el Solver desarrollado para el problema de Laplace en [7], agre-

gando el ensamblaje de las matrices específicas para el problema de Helmholtz.• Estimaciones de error : Se implementaron los estimadores de error presentados en

este trabajo.• Algoritmo de refinamiento : Adoptamos el mismo esquema de refinamiento utiliza-

do previamente en el trabajo [7], en el cual se extendió de un criterio propuestopara problemas fuente por Melenk y Wohlmuth, basado en la comparación entreel error estimado actual y uno predicho, calculado en la iteración previa bajo lasuposición de convergencia óptima [8]. Esta estrategia, si bien fue desarrollada


originalmente para problemas fuente, demostró ser igualmente eficiente cuandoextendimos su uso a problemas de autovalores.• Generador de mallas : Para la generación de la malla inicial, utilizamos en algunos

casos el generador de mallas del programa ENREDO [9], y para geometrías máscomplejas se utilizó el programa D2D, ambos desarrollados en el grupo de Mecáni-ca Computacional del C.A.B. Para el refinamiento h y posterior conformación delas mallas, utilizamos el primero con algunas modificaciones para adecuarlo a nues-tras necesidades específicas. Este código resultó ser de gran utilidad debido a laposibilidad de generar mallas encajadas manteniendo la numeración de elementosy nodos preexistentes, y por la información completa que entrega sobre las dife-rentes fronteras en dominios múltiplemente conexos, como es el caso del problemacentral de aplicación en este trabajo. Por su parte, para efectuar la “conformaciónp”, se utilizó un algoritmo desarrollado previamente en [7].• Optimalidad : En los ejemplos numéricos que presentamos en esta monografía

mostraremos que, con una adecuada elección de los parámetros involucrados en laestrategia de refinamiento adoptada, se alcanza el orden exponencial de conver-gencia predicho por la teoría.

1.9. Organización del manuscrito

Esta monografía consta de 6 capítulos, siendo éste el primero de ellos.El capítulo 2 comienza desarrollando el modelo matemático continuo del problema

objetivo. Más adelante se lleva el problema a una formulación débil, contemplandola ecuación diferencial y las condiciones de borde, lo que permitirá luego discretizarel problema y plantearlo en forma matricial. Se presentará a continuación un lemaque muestra el carácter de definida positiva de la matriz de masa de este problema.Por último, se analizará el modelo de Laplace como caso particular del modelo deHelmholtz.En el capítulo 3 se describe el método adaptivo hp de elementos finitos implementado.

Se definen los estimadores de error, y se presenta el algoritmo de refinamiento empleado.En el capítulo 4 se hace un estudio referente al aprovechamiento de las simetrías del

dominio, para así salvar los problemas relacionados con las mismas, así como tambiénreducir el costo computacional que implica hacer una simulación sobre el dominiocompleto.El capítulo 5 trata de los ejemplos numéricos, a través de los cuales se obtienen los

resultados, entre los que se destacan : la validación del código a través de la resoluciónde un ejemplo con solución analítica ; la validación de conceptos de la teoría, como laconvergencia exponencial del método, la convergencia de los autovalores del modelo de

20 1.9. Organización del manuscrito

Helmholtz a los del modelo de Laplace cuando la velocidad del sonido se incrementa,el acotamiento de estos autovalores, y la tendencia de los demás autovalores ; la pruebade la versatilidad del código al analizar un sistema con tubos con parámetros distintos,y el comportamiento de las vibraciones en los distintos modos ; y por último, el análisisde un problema de interés práctico con parámetros físicos realistas.Por último, en el capítulo 6, se reúnen las conclusiones más relevantes del trabajo.

Capítulo 2.

Vibraciones de sólidos inmersos en unfluido. Aspectos teóricos

2.1. IntroducciónEl problema de vibraciones de sólidos inmersos en un fluido ha sido de interés para

muchos investigadores durante los últimos años. Este problema tiene considerable im-portancia en ingeniería ya que ocurre naturalmente en el diseño y simulación de in-tercambiadores de calor, condensadores, elementos combustibles y núcleos de reactoresnucleares [6].A través de este trabajo concentraremos nuestra atención en las vibraciones de un

haz de tubos sumergidos en un fluido contenido dentro de una cavidad. Cuando un hazde tubos elásticamente montados se ecuentran inmersos en un flujo, ambos, fluido ytubos, vibran. Esto puede modelarse a través de una ecuación diferencial en derivadasparciales no-estacionaria (E.D.P.) en la región del fluido acoplada con un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.) que representa a las oscilaciones de lostubos. La solución en la región del fluido mide la amplitud de las vibraciones delfluido. Las interacciones fluido-sólido son tenidas en cuenta a través del acoplamientoentre la E.D.P. y el sistema de E.D.O.Dependiendo del tipo de fluido en el cual el objeto sólido esté inmerso, estos modelos

involucrarán diferentes tipos de E.D.P. Por ejemplo, trataríamos con la ecuación deLaplace en el caso de un fluido perfecto incompresible, con la ecuación de onda si elfluido se asume perfecto y compresible, y con un sistema de ecuaciones de Stokes en elcaso de un fluido viscoso. Por otro lado, las ecuaciones que modelan las vibraciones delos tubos dependen del tipo de suposiciones que se hacen sobre ellos. Aquí serán consi-derados como masas sólidas rígidas que vibran con amplitudes pequeñas. Sin embargo,también sería posible considerarlos como cuerpos elásticos sometidos a deformaciones.

21

22 2.1. Introducción

En cuanto a la geometría del dominio, imaginemos un fluido homogéneo contenidodentro de una cavidad tridimensional cilíndrica de sección transversal constante Ω0 ⊂R2. Dentro de la cavidad se encuentra una estructura sólida inmersa en el fluido cuyaproyección en Ω0 es también una región constante, la cual asumimos que es múltiple-mente conexa con componentes OjKj=1. Es posible considerarlo como un conjunto deK tubos cilíndricos de la misma longitud, no necesariamente de sección circular, cuyaslíneas generatrices son paralelas entre sí y a la vez perpendiculares a Ω0.La intereacción ente el fluido y dicha estructura sólida será estudiada en base a las

siguientes consideraciones : (i) Los extremos de cada tubo se vinculan a dos superfi-cies opuestas de la cavidad de manera tal de que cada uno puede asemejarse a unabarra sólida a la cual se le permite mover transversalmente pero que no se le permitemovimiento perpendicular a su sección, y (ii) Los tubos son suficientemente largos. Loanterior nos permite ignorar efectos tridimensionales y entonces el problema puede serestudiado sobre cualquier sección transversal perpendicular a los tubos.Denotaremos a la parte de Ω0 ocupada por el fluido como Ω, i.e.,

Ω = Ω0 \K⋃

j=1

Oj.

Suponemos que Ω0, Ω y Oj son todos subconjuntos acotados, conexos y abiertos deR2 con fronteras localmente Lipschitz 1. Denotamos las fronteras de Ω0 y de Oj comoΓ0 y Γj respectivamente.

O1

O2

O3

O4n

n

OK

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4 ΓK. . . .

Γ0

ΩΩ0

Figura 2.1.1.: Regiones de Ω0 y Ω.

1. Un dominio de Lipschitz, o dominio con frontera de Lipschitz, es un dominio en el EspacioEuclidiano cuya frontera es suficientemente regular en el sentido que esta puede ser considerada comosi fuera la gráfica de una función continua de Lipschitz. Una función f : M → N entre espaciosmétricos M y N es llamada Lipschitz continua, o se dice que satisface una condición de Lipschitz, siexiste una constante K > 0 tal que d(f(x), f(y)) ≤ Kd(x, y) para todo x e y en M . En tal caso, K esllamada la constante Lipschitz de la función.

Capítulo 2. Vibraciones de sólidos inmersos en un fluido. Aspectos teóricos 23

2.2. Modelos matemáticos de vibraciones defluido-estructuras sólidas

2.2.1. Interacción sólido-fluido perfecto levemente compresible2.2.1.1. Hipótesis

1. Se considerará un fluido levemente compresible, es decir que su densidad puedetener sólo pequeñas variaciones alrededor de un valor medio, de tal modo que :

ρ∗ = 1 + ρ′∗ con |ρ′∗| 1 (2.1)

en donde se adimesionalizaron las densidades de acuerdo a ρ∗ = ρρ0

y ρ′∗ = ρ′

ρ0.

2. Se consideran pequeñas oscilaciones alrededor de los puntos de equilibrio. Supon-dremos además que tanto v como ∇v son pequeños.

3. La presión es una función creciente con la densidad : p := p (ρ)Adimensionalizando esta expresión con p0 = p (ρ0), y cambiando la dependenciapor ρ∗, tenemos que p∗ (ρ∗) := p(ρ∗ρ0)

p0es una función creciente. Desarrollando en

serie de Taylor alrededor de ρ∗ = 1

p∗ = 1 + dp∗

dρ∗

∣∣∣∣∣p∗=1· ρ′∗ +O2 (ρ′∗)

Volviendo a las variables dimensionales, la expresión anterior queda

p

p0= 1 + ρ0

p0

dp

dρ

∣∣∣∣∣ pp0

=1· ρ′

ρ0+O2

(ρ′

ρ0

)

y luego de simplificar, tenemos que

p = p0 + dp

dρ

∣∣∣∣∣p=p0

· ρ′ +O2 (ρ′) (2.2)

≈ p0 + c2 · ρ′

en donde c =√

dpdρ

∣∣∣p=p0

es la velocidad de propagación del sonido en el fluido.

4. El campo de velocidades v proviene de una función potencial φ, tal que

v = ∇φ . (2.3)

5. La viscosidad es nula : µ = 0.

24 2.2. Modelos matemáticos de vibraciones de fluido-estructuras sólidas

2.2.1.2. Ecuación del fluido

La ecuación de conservación de la masa para el fluido compresible es

∂ρ

∂t+ div (ρv) = 0

que, utilizando la hipótesis 1, puede reescribirse como

∂ (ρ0 + ρ′)∂t

+ div [(ρ0 + ρ′) v] =∂ρ0

∂t+ ∂ρ′

∂t+ div (ρ0v) + div (ρ′v) =

∂ρ′

∂t+ ρ0div (v) + ρ′div (v) + v · ∇ρ′ =

1c2∂p

∂t+ ρ04φ = 0, (2.4)

donde, en el tercer paso hemos despreciado los dos últimos términos en virtud de lahipótesis 2, y en el último paso hemos usado la hipótesis 1 y la ecuación (2.3).

Ahora debemos vincular la derivada de la presión que aparece en el primer términocon el potencial φ. Para ello utilizamos la conservación de momento que, empleando lahipótesis 2, se reduce a

ρ∂v∂t

+∇p = 0.

Valiéndonos de las hipótesis 1 y 4, la ecuación anterior queda

ρ0∂

∂t(∇φ) +∇p = 0

Ahora bien, si α (t) es una función arbitraria independiente de la posición, ∇α = 0 ypor lo tanto también es válido que

ρ0∂

∂t[∇ (φ+ α (t))] +∇p = 0 .

Intercambiando las derivadas temporales por las espaciales y agrupando

∇[ρ0

(∂φ

∂t+ dα

dt

)+ p

]= 0

y, en consecuencia,


∂φ

∂t+ dα

dt+ p

ρ0= β (t)

Finalmente, podemos elegir el valor de α tal que dαdt

= β (t), reduciendo la expresiónanterior a

∂φ

∂t= − p

ρ0. (2.5)

La introducción de α (t) da cuenta del hecho de que el potencial escalar φ está definidoa menos de un término aditivo constante en las coordenadas espaciales.Por último, derivando (2.5) respecto de t, llevando a (2.4), y simplificando los ρ0,llegamos finalmente a

∂2φ

∂t2− c24φ = 0 (2.6)

la cual es la ecuación de onda en φ.

2.2.1.3. Ecuación de los sólidos

Se asume que el movimiento del tubo i es el de un oscilador armónico simple conun término de fuerza modelado por su interacción con el fluido. Más aún, se suponeque los desplazamientos de los tubos son lo suficientemente pequeños para que lasvariaciones de Ω inducidas por el movimiento de los tubos sean despreciadas. Como seasume que el fluido es no viscoso, este término depende sólo de la presión p del fluido.Más precisamente, si ri (t) es el vector de desplazamiento transversal al instante t deli-ésimo tubo, medido desde la posición de reposo, entonces se satisface la siguienteecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) :

mid2ridt2

+ kiri =ˆ

Γi

p (x, t) ndγ i = 1, . . . , K (2.7)

en donde n es el versor normal saliente de la frontera Ω, mi es la masa por unidadde longitud del i-ésimo tubo, ki es su constante de rigidez por unidad de longitud, yp (x, t) es la presión del fluido en el punto x ∈ Ω al instante t. Derivando esta expresiónrespecto al tiempo

mid2sidt2

+ kisi =ˆ

Γi

∂p

∂tndγ

= −ρ0

ˆ

Γi

∂2φ

∂t2ndγ i = 1, . . . , K (2.8)


en donde se hizo uso de la ecuación (2.5), y si = dri

dtes la velocidad transversal del tubo

i-ésimo.

2.2.1.4. Condiciones de borde

El fluido no puede escaparse de la cavidad, por lo que v · n = ∇φ · n = 0 en lafrontera exterior de Ω, y entonces φ satisface una condición de borde homogénea tipoNeumann en Γ0 :

∂φ

∂n

∣∣∣∣∣Γ0

= 0 (2.9)

Por su parte, en Γi, i = 1, · · · , K, la componente normal de la velocidad del fluido debecoincidir con la componente normal de la velocidad del tubo :

v · n ≡ si · n

=⇒ ∂φ

∂n

∣∣∣∣∣Γi

= si · n i = 1, . . . , K (2.10)

2.2.1.5. Formulación en el campo de las frecuencias

Como es usual en modelos de vibraciones, buscamos soluciones armónicas de la forma :

φ (x, t) = Φ (x) eiωt (2.11)si (t) = Sieiωt

en donde la frecuencia angular de vibración ω del sistema acoplado es una de lasincógnitas del problema.Reemplazando (2.11) en la ecuación del fluido (2.6) se obtiene :

4Φ (x) + ω2

c2 Φ (x) = 0 . (2.12)

Procediendo de manera similar con la ecuación del sólido, (2.8) adopta la forma

−miSiω2 + kiSi = ρ0ω2

ˆΓi

Φ (x) ndΓ

i = 1, . . . , K , (2.13)

a partir de la cual podemos obtener la expresión :


Si = ω2

ρ0

ki

ˆΓi

Φ (x) ndΓ

+ mi

kiSi

. (2.14)

Finalmente, llevando (2.14) a (2.10), obtenemos la siguiente expresión no local para lacondición de borde en las fronteras de los tubos :

∂

∂nΦ (x)

∣∣∣∣∣Γi

= Si · n = ω2

ρ0

ki

ˆΓi

Φ (x) ndΓ

+ mi

kiSi

· n en Γi . (2.15)

Reuniendo los resultados obtenidos, arribamos al siguiente conjunto de ecuacionesque describen el problema físico estudiado :

4Φ (x) + ω2

c2Φ (x) = 0 en Ω

∂∂n

Φ (x) = 0 en Γ0

∂∂n

Φ (x) = ω2[ρ0ki

(´Γi

Φ (x) ndγ)

+ mi

kiSi]· n en Γi, i = 1, . . . , K

Si = ω2[ρ0ki

(´Γi

Φ (x) ndγ)

+ mi

kiSi]

en Γi, i = 1, . . . , K

(2.16)

A este problema se lo denomina modelo de Helmholtz. Observemos que el parámetrode frecuencia aparece tanto en la ecuación en Ω como en la condición de borde no localen Γi.

2.2.1.6. Formulación variacional del problema

Introduciendo la función de prueba arbitraria Ψ(x) e integrando sobre el dominio Ω,la ecuación de onda (2.12) queda

ω2

c2

ˆ

Ω

ΨΦdx = −ˆ

Ω

Ψ∆Φdx . (2.17)

Si ahora utilizamos el teorema de la divergencia de Gauss aplicado a un campo vectorialF = Ψ∇Φ obtenemos

ˆ

Ω

∇ · (Ψ∇Φ) dx =

ˆ

Ω

[∇Ψ · ∇Φ + Ψ4Φ] dx =ˆ

∂Ω

(Ψ∇Φ) ndγ ,


lo que nos permite reescribir el segundo miembro de (2.17) como

ˆ

Ω

Ψ4Φdx =ˆ

∂Ω

Ψ∂Φ∂n

dγ −ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx ,

y entonces la ecuación de onda en forma débil queda como

ω2

c2

ˆ

Ω

ΨΦdx =ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx−ˆ

∂Ω

Ψ∂Φ∂n

dγ

en donde ∂Ω := ⋃Ki=0 Γi.

Despejando el primer término del lado derecho, e introduciendo las condiciones deborde en ∂Ω :

ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx = ω2

c2

ˆ

Ω

ΨΦdx +ˆ

∂Ω

Ψ∂Φ∂n

dγ

= ω2

c2

ˆ

Ω

ΨΦdx + ω2K∑i=1

ˆ

Γi

Ψ

ρ0

ki

ˆΓi

Φndγi

+ mi

kiSi

· ndγi= ω2

c2

ˆ

Ω

ΨΦdx + ω2K∑i=1

ˆΓi

Ψndγi

·ρ0

ki

ˆ

Γi

Φndγi + mi

kiSi

= ω2

1c2

ˆ

Ω

ΨΦdx +K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Ψndγi

·ˆ

Γi

Φndγi

+

+K∑i=1

ˆΓi

Ψndγi

· (mi

kiSi) (2.18)

Similarmente, para tratar la parte discreta del problema, introducimos K vectores deprueba Ti := (Ti,x, Ti,y). Multiplicando escalarmente miembro a miembro la ecuación(2.14) por Ti, y sumando sobre i con factor de peso mi/ρ0, obtenemos

K∑i=1

mi

ρ0Si ·Ti = ω2

K∑i=1

mi

ki

ˆΓi

Φndγi

·Ti +K∑i=1

m2i

kiρ0Si ·Ti

(2.19)

Finalmente, si sumamos (2.18) y (2.19), llegamos a


ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx +K∑i=1

mi

ρ0Si ·Ti = ω2

1c2

ˆ

Ω

ΨΦdx+

+K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Ψndγi

·ˆ

Γi

Φndγi

+

K∑i=1

mi

ki

ˆΓi

Ψndγi · Si +ˆ

Γi

Φndγi ·Ti

+

+K∑i=1

m2i

kiρ0Si ·Ti

]

= ω2

1c2

ˆ

Ω

ΨΦdx +K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Ψndγi + mi

ρ0Ti

·ˆ

Γi

Φndγi + mi

ρ0Si

(2.20)

Sean (Φ,S) ∧ (Ψ,T) dos vectores arbitrarios en el espacio H1 (Ω) × R2K , con S :=(S1,x, S1,y, · · · , SK,x, SK,y)t y T := (T1,x, T1,y, · · · , TK,x, TK,y)t. Entonces definimos lasformas bilineales a ((Φ,S) , (Ψ,T)) y b ((Φ,S) , (Ψ,T)) como

a ((Φ,S) , (Ψ,T)) =ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx +K∑i=1

mi

ρ0Si ·Ti , (2.21)

b ((Φ,S) , (Ψ,T)) = 1c2

ˆ

Ω

ΨΦdx +K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Ψndγi + mi

ρ0Ti

·ˆ

Γi

Φndγi + mi

ρ0Si

(2.22)

Observación 1. Las formas bilineales a y b son simétricas.

Demostración. De las definiciones de a y b, surge inmediatamente que

a ((Φ,S) , (Ψ,T)) = a ((Ψ,T) , (Φ,S))

y queb ((Φ,S) , (Ψ,T)) = b ((Ψ,T) , (Φ,S)) .


Observación 2. La forma bilineal b es definida positiva.

Demostración. En efecto, para todo (Φ,S) ∈ H1 (Ω)× R2K − (0,0) se cumple que

b ((Φ,S) , (Φ,S)) = 1c2

ˆ

Ω

Φ2dx +K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Φndγi + mi

ρ0Si

2

> 0 .

Luego, el problema variacional asociado a (2.16) puede formularse de la siguiente ma-nera :

• Encontrar ω2 y (Φ,S) ∈ H1 (Ω)× R2K que satisfagan

a ((Φ,S) , (Ψ,T)) = ω2b ((Φ,S) , (Ψ,T)) ∀ (Ψ,T) ∈ H1 (Ω)× R2K ,

b ((Φ,S) , (Φ,S)) = 1(2.23)

De este modo, el problema queda planteado en forma simétrica, ya que las formasbilineales a y b son simétricas. La solución de (2.23) es una sucesión infinita de pares(ω2j , (Φj,Sj)

), con autovalores ω2

j positivos, que suponemos ordenados en forma cre-ciente : 0 ≤ ω2

1 ≤ ω22 . . . . Asociado a cada ω2

j existe un autovector (Φj,Sj) ∈ V , quetiene dos componentes : una función Φj asociada al movimiento del fluido, y un vectorSj que describe el movimiento de los tubos.

2.2.1.7. Discretización del problema

El problema discreto de autovalores asociado con (2.23) es el siguiente :• Hallar ω2

h y (Φh,Sh) ∈ V ph × R2K que satisfagan

a ((Φh,Sh) , (Ψh,Th)) = ω2hb ((Φh,Sh) , (Ψh,Th)) ∀ (Ψh,Th) ∈ V p

h × R2K ,

b ((Φh,Sh) , (Φh,Sh)) = 1 .(2.24)

donde V ph es el espacio de elementos finitos de dimensión N .

Este problema se reduce a un problema matricial generalizado de autovalores, conN + 2K autovalores positivos, que suponemos ordenados en forma creciente : 0 ≤ω2h,1 ≤ . . . ≤ ω2

h,N+2K . Asociado a cada uno de ellos, hay un autovector (Φh,j,Sh,j) ∈V ph × R2K , tal que (Φh,1,Sh,1) , . . . , (Φh,N+2K ,Sh,N+2K) es un conjunto linealmente


independiente 2.Si ϕh,1, · · · , ϕh,N es una base nodal de Vh, la ecuación (2.24) puede representarse

en forma matricial como

K11 0N×2K

02K×N K22

uS

= ω2

M11 M12

M21 M22

uS

(2.25)

en donde• K11 ∈ RN×N tal que

[K11]ij =ˆ

Ω

∇ϕh,i · ∇ϕh,jdx

es la matriz de rigidez usual del Laplaciano• K22 ∈ R2K×2K es una matriz diagonal dada por

K22 = 1ρ0

m1

m1. . .

mK

mK

.

• M11 = 1c2

ML + MΓ es una matriz en RN×N , siendo ML la matriz de masa usualdel Laplaciano, y MΓ una matriz similar a la que surge en el modelo de Laplacepara fluido incompresible [7], cuyos elementos son :

[ML]i,j =ˆ

Ω

ϕh,iϕh,jdx

[MΓ]i,j =K∑`=1

ρ0

k`

ˆΓ`

ϕh,indγ`

·ˆ

Γ`

ϕh,jndγ`

. (2.26)

2. En caso de que las fronteras de interfaces no sean poligonales debería cambiarse Γi por unaaproximación de frontera Γh

i , y del mismo modo Ω por su aproximación Ωh. Consecuentemente, en elcaso discreto deberíamos reemplazar las formas bilineales a y b por ah y bh respectivamente, definidascomo

ah ((Φ,S) , (Ψ,T)) =ˆ

Ωh

∇Ψ · ∇Φdx +K∑

i=1

mi

ρ0Si ·Ti ,

bh ((Φ,S) , (Ψ,T)) = 1c2

ˆ

Ωh

ΨΦdx +K∑

i=1

ρ0

ki

ˆΓh

i

Ψndγi + mi

ρ0Ti

·ˆ

Γhi

Φndγi + mi

ρ0Si

,

produciendo esto un error adicional de aproximación de dominio.


• M12 = Mt21 ∈ RN×2K es una matriz de la forma

M12 =

m1k1

´Γ1ϕ1nxdγ1

m1k1

´Γ1ϕ1nydγ1 · · · mK

kK

´ΓK

ϕ1nxdγKmKkK

´ΓK

ϕ1nydγK

m1k1

´Γ1ϕ2nxdγ1

m1k1

´Γ1ϕ2nydγ1 · · · mK

kK

´ΓK

ϕ2nxdγKmKkK

´ΓK

ϕ2nydγK

......

. . ....

...m1k1

´Γ1ϕNnxdγ1

m1k1

´Γ1ϕNnydγ1 · · · mK

kK

´ΓK

ϕNnxdγKmKkK

´ΓK

ϕNnydγK

• M22 ∈ R2K×2K es una matriz diagonal dada por

M22 = 1ρ0

m21

k1m2

1k1 . . .

m2K

kKm2

K

kK

. (2.27)

• u = (u1, · · · , uN)t ∈ RN es el vector de coordenadas de la solución Φh en la basenodal de V p

h , es decir

Φh =N∑j=1

ujϕh,j .

• S ∈ R2K es el vector formado por las componentes de los vectores de velocidad delos tubos, según se explicó anteriormente.

Por provenir de una forma bilineal definida positiva, también debe serlo la matriz demasa del problema de Helmholtz, que según vimos en (2.25) toma la forma

M = M11 M12

M21 M22

.

En el siguiente lema demostraremos directamente esta propiedad en base a la estructurade M.

Lema 3. La matriz de masa M del problema de Helmholtz es definida positiva.

Demostración. Observando cómo está compuesto el bloque M11, podemos reescribir lamatriz M como la siguiente suma :

M = 1

c2ML 00 0

+ MΓ M12

M21 M22

.


Definimos las matrices b(i)` ∈ RN×1

b(i)` :=

b

(i)1`...b

(i)N`

i = 1, · · · , K, ` = 1, 2 ,

en donde

b(i)j` :=

ˆ

Γi

ϕjn` i = 1, · · · , K, j = 1, · · · , N, ` = 1, 2 ,

siendo n` las componentes de la normal saliente a la frontera de los tubos n = (n1, n2).De esta manera, observando la estructura de MΓ en (2.26), podemos escribirlo enfunción de b(i)

` de la siguiente forma

MΓ =K∑i=1

2∑`=1

ρ0

kib(i)`

(b(i)`

)t,

mientras que, del mismo modo, M12 = Mt21 adopta la forma

M12 =(

m1k1

b(1)1

m1k1

b(1)2 · · · mK

kKb(K)

1mK

kKb(K)

2

).

A continuación, introducimos w ∈ RN+2K un vector no nulo de la forma

w = x

y

con x ∈ RN e y ∈ R2K arbitrarios, y en donde podemos escribir a y de la siguienteforma

y =

y(1)1

y(1)2...

y(K)1

y(K)2

.

Entonces, multiplicando M por derecha y por izquierda por este vector w, tenemos


que

wtMw = 1c2 xtMLx + xtMΓx + 2xtM12y + ytM22y =

= 1c2 xtMLx +

K∑i=1

2∑`=1

(ρ0

kixtb(i)

`

(b(i)`

)tx)

+

+2K∑i=1

2∑`=1

mi

kixtb(i)

` y(i)` +

K∑i=1

2∑`=1

m2i

ρ0ki

(y

(i)`

)2=

= 1c2 xtMLx +

K∑i=1

2∑`=1

ρ0

ki

[(xtb(i)

`

)2+ 2mi

ρ0xtb(i)

` y(i)` + m2

i

ρ20

(y

(i)`

)2]

=

= 1c2 xtMLx +

K∑i=1

2∑`=1

ρ0

ki

(xtb(i)` + mi

ρ0y

(i)`

)2

en donde, por una parte tenemos que

1c2 xtMLx > 0

por ser ML definida positiva ya que es la matriz de masa estándar del operador Lapla-ciano, y por otra parte

K∑i=1

2∑`=1

ρ0

ki

(xtb(i)` + mi

ρ0y

(i)`

)2 ≥ 0

que resulta evidente por ser la suma de términos cuadráticos. En consecuencia deduci-mos que

wtMw > 0 ∀w 6= 0 ∈ RN+2K

2.2.2. Caso de un fluido perfecto incompresible

Lo que haremos a continuación es obtener el modelo del problema con fluido incom-presible a partir del modelo con fluido levemente compresible descrito por el sistema(2.16), y luego justificaremos las ecuaciones resultantes. Como c aparece sólo en laecuación diferencial en derivadas parciales, si tomamos el límite para c −→ ∞, seobtiene la ecuación de Laplace para el campo Φ en el dominio Ω :

4Φ (x) = 0 (2.28)

Este resultado puede justificarse como se explica a continuación. Como consideramosun flujo incompresible, la ecuación de continuidad es


∇ · v = 0, (2.29)

y si además suponemos que es irrotacional, lo que es equivalente a decir que su vorti-cidad sea nula, entonces tenemos

∇× v = 0. (2.30)

La ecuación (2.30) nos dice que el campo de velocidades v (x, t) puede ser escrito comoel gradiente de una función potencial φ = φ (x, t), tal que v (x, t) = ∇φ. Entonces,combinando con la ecuación (2.29) se obtiene

∇ · ∇φ ≡ 4φ = 0 en Ω× R (2.31)

lo que gobierna el movimiento del fluido. Recordando que φ = Φeiωt, entonces laecuación (2.28) resulta válida.Por otra parte, un resultado que nos va a servir más adelante se desprende de la

ecuación de momento

ρ∂v∂t

+∇p = 0 ,

de donde, operando en forma similar a lo hecho anteriormente para el modelo deHelmholtz, de acuerdo a

ρ∂ (∇φ)∂t

+∇p =

∇(ρ∂φ

∂t+ p

)= 0 ,

se obtiene la relación

p = −1ρ

∂φ

∂t. (2.32)

Tal como en el modelo anterior, se consideran tubos rígidos y sólo se permiten pe-queñas oscilaciones del fluido alrededor del estado de reposo. La ecuación en los tuboses, al igual que en el caso levemente compresible,

mid2ridt2

+ kiri =ˆ

Γi

p (x, t) ndγ i = 1, . . . , K (2.33)


en donde n es el versor normal saliente de la frontera Ω y ri (t) es el vector de desplaza-miento transversal al instante t del i-ésimo tubo, medido desde la posición de reposo.Además, p (x, t) es la presión del fluido en el punto x ∈ Ω y al instante t.Al igual que antes, proponiendo las soluciones armónicas (2.11) en (2.33), y valién-

donos de la relación entre p y φ dada por (2.32), podemos obtener la siguiente ecuaciónque debe satisfacer Si

Si = ω2[ρ0

ki

(ˆΓi

Φ (x) ndγ)

+ mi

kiSi]

(2.34)

Como el fluido no tiene permitido escapar de la cavidad, entonces el potencial Φsatisface la condición de borde

∂

∂nΦ (x) = 0 en Γ0 × R. (2.35)

En Γi, la velocidad normal del fluido deberá coincidir con la componente normal de lavelocidad del tubo, por lo que tendremos

∂

∂nΦ (x) = Si · n en Γi × R, i = 1, ..., K, (2.36)

Reuniendo los resultados anteriores, llegamos a la siguiente ecuación diferencial consus condiciones de borde :

4Φ (x) = 0 en Ω∂∂n

Φ (x) = 0 en Γ0

∂∂n

Φ (x) = ω2[ρ0ki

(´Γi

Φ (x) ndγ)

+ mi

kiSi]· n en Γi, i = 1, . . . , K

Si = ω2[ρ0ki

(´Γi

Φ (x) ndγ)

+ mi

kiSi]

en Γi, i = 1, . . . , K

(2.37)

Esta es una formulación alternativa al modelo de Laplace para fluido incompresible([6]) en la cual las velocidades de los tubos aparecen como variables independientes.Mientras que la discretización del modelo de Laplace ([7]) conduce a un problemamatricial de dimensión N , en el presente caso arribamos a un problema ampliado dedimensión N + 2K.Es importante notar que la forma bilineal b, definida ahora como :

b ((Φ,S) , (Ψ,T)) =K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Ψndγi + mi

ρ0Ti

·ˆ

Γi

Φndγi + mi

ρ0Si

(2.38)


solamente es semi-definida positiva. En efecto, si Φ es una función no nula tal queΦ|Γi

= 0, i = 1, · · · , K, y Si = 0, i = 1, · · · , K, entonces (Φ,S) es un vector no nulode H1 (Ω)× R2K para el cual se verifica que

b ((Φ,S) , (Φ,S)) =K∑i=1

ρ0

ki

ˆΓi

Φndγi + mi

ρ0Si

2

= 0 .

En concordancia con este hecho, en la versión discreta la matriz de masa de la ecuación(2.25) se reduce a

M = MΓ M12

M21 M22

, (2.39)

que según veremos en el teorema (5) tiene rango 4K y por lo tanto no es estrictamentedefinida positiva.Para la demostración de este teorema, establecemos previamente el siguiente lema.

Lema 4. Sea A ∈ Rn×n una matriz cualquiera simétrica semidefinida positiva, y x ∈Rn un vector no nulo. Entonces, xtAx = 0 sí y sólo si x ∈ Nu (A).

Demostración. .1. ⇐) Sea x ∈ Nu (A). Entonces Ax = 0 y por lo tanto también xtAx = 0.2. ⇒) Supongamos que xtAx = 0. Por ser A simétrica, existe una base ortonor-mal x1, · · · ,xn de Rn, formada con autovectores de A. Supongamos que m :=dim (Nu (A)), y que la base está ordenada de manera que Ax1 = · · · = Axm = 0,y Axi = λixi, con λi > 0, para i = m + 1, · · · , n. Si x = ∑n

i=1 αixi es el desarrollo dex en tal base, entonces

xtAx =(

n∑i=1

αixti

) n∑i=m+1

αiλixi

=n∑

i=m+1α2iλi = 0 .

Por ser todos los λi positivos, resulta αi = 0, i = m+ 1, · · · , n. Es decir x = ∑mi=1 αixi,

y por lo tanto Ax = 0.

Teorema 5. La matriz M ∈ R(N+2K)×(N+2K) definida en (2.39) tiene rango igual a4K.

Demostración. Sabemos que rank (MΓ) = 2K ([6]), y en consecuencia dim (Nu (MΓ)) =N − 2K. Sea B =

xi ∈ RN , i = 1, · · · , N − 2K

una base del núcleo de MΓ. En-

tonces existe un conjunto de N − 2K vectores linealmente independientes wi ∈ RN+2K

definidos como

wi := xi

0

, i = 1, · · · , N − 2K


que satisfacen wtiMwi = 0. En efecto,

wtiMwi =

(xti 0

) MΓ M12

M21 M22

xi0

= xtiMΓxi = 0

por ser xi ∈ Nu (MΓ). Entonces, por el lema 4, wi ∈ Nu (M), i = 1, · · · , N − 2K, y enconsecuencia, dim (Nu (M)) ≥ N − 2K. Por lo tanto,

rank (M) = N + 2K − dim (Nu (M)) ≤ 4K . (2.40)

Para completar la demostración, veremos ahora que rank (M) ≥ 4K. Seanxj ∈ RN , j = N − 2K + 1, · · · , N

2K vectores linealmente independientes que ex-

tienden B a una base de RN . Definimos entonces 4K vectores wj ∈ RN+2K como

wj :=

xj0

j = N − 2K + 1, · · · , N ,

wj :=

0

ej−N

j = N + 1, · · · , N + 2K .

con e` el `-ésimo vector de la base canónica de R2K . De la definición resulta evidenteque los wj, j = N − 2K + 1, · · · , N + 2K son linealmente independientes. Además

wtjMwj = xtjMΓxj 6= 0 , j = N − 2K + 1, · · · , N , (2.41)

en virtud del lema 4, por ser xj /∈ Nu (MΓ), y

wtjMwj = etj−NM22ej−N = [M22]j−N,j−N 6= 0 , j = N + 1, · · · , N + 2K , (2.42)

debido a que los elementos diagonales de M22 son todos no nulos (ver (2.27)). Apli-cando nuevamente el lema 4, (2.41) y (2.42) implican que wj /∈ Nu (M) , j = N −2K + 1, · · · , N + 2K, y en consecuencia existen (al menos) 4K vectores linealmenteindependientes que no pertenecen a Nu (M). Por lo tanto

rank (M) ≥ 4K . (2.43)

Finalmente, de (2.40) y (2.43) se deduce que

rank (M) = 4K .

Capítulo 3.

Método hp de elementos finitos

3.1. Espacio de elementos finitosEn esta sección introducimos el método hp de elementos finitos para calcular las

soluciones del problema (2.23). Sea Th una familia regular de mallas triangulares enΩ. El parámetro h indica el tamaño de la malla, a saber h := maxT∈Th

hT , siendo hTla longitud del lado más largo del triángulo T .Asociamos con cada elemento T ∈ Th un (máximo) grado polinomial pT ∈ N.

Suponemos que los grados polinomiales de los elementos vecinos son comparables, esdecir, existe una constante γ > 0, tal que

γ−1pT ≤ pT ′ ≤ γpT ∀T, T ′ ∈ Th con T ∩ T ′ 6= ∅ . (3.1)

Denotamos con p := pTT∈Tha la familia de grados polinomiales de cada triángulo.

A lo largo de este capítulo, denotaremos con C una constante positiva genérica, nonecesariamente la misma cada vez que aparezca, que puede depender de la malla y delgrado de los polinomios solamente a través del factor de forma de los triángulos y delparámetro γ, respectivamente.Definimos el espacio de elementos finitos de la siguiente forma :

V ph := Wp

h ∩ V, con Wph :=

Ψ ∈ H1 (Ω) : Ψ|T ∈ PpT

∀T ∈ Th,

donde PpTdenota el conjunto de los polinomios de grado a lo sumo pT . Notemos que la

definición de V ph admite diferentes grados de polinomios sobre cada lado de cualquier

triángulo. En consecuencia, el espacio Ψ|T : Ψ ∈ V ph no necesariamente contiene

todos los polinomios de grado pT . Sin embargo, existe p′T ≤ pT tal que

Pp′T ⊂ Ψ|T : Ψ ∈ V ph ⊂ PpT

y pT/pT ′ ≤ γ ,

la última relación debido a la suposición (3.1).

39

40 3.2. Estimador de error a priori

Utilizando estos elementos, obtenemos la discretización del problema (2.23) que pre-sentamos en (2.24) :• Hallar ω2

h > 0 y (Φh,Sh) ∈ V ph × R2K que satisfagana ((Φh,Sh) , (Ψh,Th)) = ω2

hb ((Φh,Sh) , (Ψh,Th)) ∀ (Ψh,Th) ∈ V ph × R2K ,

b ((Φh,Sh) , (Φh,Sh)) = 1 .(3.2)

donde V ph es el espacio de elementos finitos de dimensión N .

3.2. Estimador de error a priori

Como una consecuencia de la teoría clásica de aproximación espectral (ver [11]),sabemos que las autofunciones y autosubespacios del problema (2.24) convergen a lasdel problema (2.23), cuando maxT∈Th

hT

pT−→ 0. En lo que sigue, por simplicidad, res-

tringiremos nuestra atención a un autovalor simple ω2 del problema (2.23) con sucorrespondiente autofunción (Φ,S) normalizada en la norma ‖·‖b. En tal caso, si ω2

es el j-ésimo autovalor del problema (2.23), entonces el j-ésimo autovalor del proble-ma (2.24), que denotaremos ω2

h, es el que converge a ω2. Más aún, la correspondienteautofunción (Φh,Sh) puede también elegirse normalizada en ‖·‖b y de tal manera que(Φh,Sh) converja a (Φ,S). Presentamos a continuación, a través del siguiente teorema,las estimaciones a priori para la aproximación tanto del autovalor como de la autofun-ción.El siguiente resultado provee de una estimación a priori para los errores

Teorema 6. Sea θ el mayor ángulo reentrante de Ω. Para todo r < πθ, existen cons-

tantes positivas C y κ tales que, si maxT∈Th

hT

pT< κ, entonces

‖(Φ,S)− (Φh,Sh)‖a ≤ C

(maxT∈Th

hTpT

)r,

‖(Φ,S)− (Φh,Sh)‖b ≤ C

(maxT∈Th

hTpT

)r‖(Φ,S)− (Φh,Sh)‖a ,∣∣∣ω2 − ω2

h

∣∣∣ ≤ C ‖(Φ,S)− (Φh,Sh)‖2a ,

|Si − Sh,i| ≤ C

(maxT∈Th

hTpT

)r‖(Φ,S)− (Φh,Sh)‖a , i = 1, · · · , K .

La relevancia de este teorema consiste en mostrar que el método hp de elementosfinitos propuesto puede ser utilizado en forma segura para fluidos levemente compre-sibles (i.e. c muy grande), ya que las estimaciones del error no se deterioran a medidaque la velocidad del sonido c se incrementa.

Capítulo 3. Método hp de elementos finitos 41

3.3. Estimador de error a posteriori

Para un uso eficiente del método hp de elementos finitos, típicamente es necesarioadoptar un esquema adaptivo. Un esquema tal se basa en un estimador de error aposteriori y una estrategia para decidir en cada paso si realizar un refinamiento h o unenriquecimiento de p. En esta sección presentamos el estimador de error a posterioridel tipo residual que se usó en la implemetación del modelo de Helmholtz, y citamoslos resultados teóricos que muestran su equivalencia con el error a menos de términosde orden superior.

Sean (ω,Φ,S) y (ωh,Φh,Sh) las soluciones de los problemas (2.23) y (2.24), respec-tivamente. Al igual que en el teorema (6), suponemos que ω2 es un autovalor simpledel problema (2.23), que ω2

h es el autovalor (también simple) del problema (2.24), queconverge a ω2 cuando maxT∈Th

hT

pT−→ 0, y que (Φ,S) y (Φh,Sh) han sido elegidos

normalizados en ‖·‖b y de manera que sean válidas las estimaciones del teorema (6).

Denotamos por eΦ := Φ−Φh y eS := S−Sh a los respectivos errores. Presentaremosun estimador a posteriori de estos errores medidos en la norma ‖·‖a :

‖(eΦ, eS)‖a =[‖∇Φ−∇Φh‖2

L2(Ω) +K∑i=1

mi

ρ0|Si − Sh,i|2

]1/2

.

La razón principal para esta elección es que es la norma de la energía, la norma na-tural de este problema. Debemos remarcar que, de acuerdo a la última acotación en elenunciado del teorema (6), los últimos términos son de orden superior al primero, demodo tal que la medida más relevante del error es ‖∇eΦ‖L2(Ω).

Introducimos cierta notación que utilizaremos en la definición del estimador de error.Para cada T ∈ Th, sea ET el conjunto de lados de T y E := ⋃

T∈ThET . Descompenemos

E en conjuntos disjuntos EΓi:= ` ∈ E : ` ⊂ Γi, con 0 ≤ i ≤ K, y EΩ := E \ ⋃Ki=0 EΓi

.

Para cada ` ∈ EΩ elegimos un vector normal unitario n` y denotamos los dos trián-gulos que comparten este lado como Tin y Tout, con n` apuntando en dirección salientede Tin. Para Ψ ∈ Vh establecemos :[[

∂Ψh

∂n

]]`

:= ∇(

Ψh|Tout

)· n` −∇

(Ψh|Tin

)· n` ,

que corresponde al salto en la derivada normal de Ψh a lo largo del lado `. Nótese queeste valor es independiente de la dirección elegida para el vector normal n`.

42 3.3. Estimador de error a posteriori

Para cada ` ∈ E , definimos el residuo del lado

J` :=

12

[[∂Φh

∂n

]]`, ` ∈ EΩ ,

−∂Φh

∂n, ` ∈ EΓ0 ,

−(∂Φh

∂n− Shi · n

), ` ∈ EΓi

, i = 1, · · · , K ,

y, para cada T ∈ Th, el residuo volumétrico

RT := 4 (Φh|T ) + ω2

c2 Φh|T .

Definimos también, para cada elemento T ∈ Th, el indicador local del error ηT como

η2T := h2

T

p2T

‖RT‖2L2(T ) +

∑`∈ET

|`|p`‖J`‖2

L2(`)

siendo p` := max pT : ET 3 `, y el estimador global del error correspondiente ηΩ como

η2Ω :=

∑T∈Th

η2T .

3.3.1. Confiabilidad

El siguiente teorema provee una cota superior para el error, al cual prueba la con-fiabilidad del estimador de error a menos de términos de orden superior.

Teorema 7. Existe una constante positiva C tal que

‖(eΦ, eS)‖a ≤ C

ηΩ +(

maxT∈Th

hTpT

)2r

|eΦ|H1(Ω)

.Debido a que el término

(maxT∈Th

hT

pT

)2r|eΦ|H1(Ω) es claramente despreciable en for-

ma asintótica con respecto al término izquierdo de esta estimación, concluimos que elerror del método ‖(eΦ, eS)‖a es acotado por arriba por el estimador global ηΩ a menosde términos de orden superior y una constante multiplicativa. En otras palabras, ηΩ esuna estimador de error a posteriori asintóticamente confiable.

3.3.2. Eficiencia

De manera de garantizar que el indicador de error es eficiente para dar lugar a unesquema de refinamiento adaptivo, a continuación mostraremos que ηT está acotadapor la norma H1 del error en la vecindad de T , a menos de términos de orden superior.

Capítulo 3. Método hp de elementos finitos 43

Teorema 8. Para todo δ > 0, existe una constante positiva Cδ tal que para todoT ∈ Th, si T tiene sólo lados internos (i.e., lados ` ∈ EΩ), entonces

ηT ≤ Cδp1+δT

|e|H1(ωT ) + hTpT

∥∥∥∥∥ω2

c2 Φ− ω2h

c2 Φh

∥∥∥∥∥L2(H1(ωT ))

y, si T tiene un lado sobre Γi, i = 1, · · · , K, entonces

ηT ≤ Cδp1+δT

|e|H1(ωT ) + hTpT

∥∥∥∥∥ω2

c2 Φ− ω2h

c2 Φh

∥∥∥∥∥L2(H1(ωT ))

+ hTpT|Si − Sh,i|

,en donde ωT := ⋃ T ′ : T y T ′ comparten un lado.

3.4. Estrategia de refinamiento adaptivo

En un esquema adaptivo h de elementos finitos, existen varias estrategias para de-terminar qué elementos deben ser refinados. Uno de los más usuales es el siguiente : semarcan para refinar todos los triángulos T para los cuales resulte ηT ≥ θηM , donde

η2M := 1

#Th∑T∈Th

η2T

y θ > 0 es un parámetro que puede elegirse arbitrariamente.Nuestro algoritmo adaptivo hp usa esta estrategia para marcar los triángulos a ser

refinados, con la consideración adicional de que, en cada paso, para cada triángulomarcado, tiene que decidirse si realizar un refinamiento p o un refinamiento h. En elcaso del refinamiento p, el grado pT del elemento marcado se incrementa en uno yel triángulo no se modifica. Por su parte, en el caso del refinamiento h, el elementomarcado T se subdivide en cuatro triángulos, T = ⋃4

j=1 T′j , y el grado es heredado por

los nuevos elementos, es decir, pT ′j = pT . Además, la conformidad de la malla se preservamediante la estrategia de bisección por el lado más largo de los triángulos vecinos norefinados (ver [12]). Debido a esto, sucede que algunos elementos no marcados para elrefinamiento h de todos modos se subdividen en dos o tres triángulos. Así, en general,tendremos que T = ⋃k

j=1 T′j , con k = 2, 3, o 4. Similarmente, cuando se realiza un

refinamiento p de un elemento, debe modificarse el grado de algunos triángulos vecinospara mantener la conformidad del método hp de elementos finitos.Con el objeto de decidir si un triángulo particular debe refinarse p o h, adoptamos un

criterio propuesto en [8], que se basa en la comparación del error local estimado actualcon una predicción de dicho error obtenida en el paso anterior. Si en el paso previo seprodujo un refinamiento h que dio origen a una partición T = ⋃k

j=1 T′j , k = 2, 3, o 4,

44 3.4. Estrategia de refinamiento adaptivo

entonces el indicador del error predicho se define como sigue :

(ηpredT ′j

)2:= γh

∣∣∣T ′j ∣∣∣|T |

pT +1

η2T ,

donde γh es un parámetro de control a ser determinado. Por otro lado, si en el pasoprecedente se realizó un refinamiento p en el elemento T , entonces el indicador de errorpredicho se define como (

ηpredT

)2:= γpη

2T ,

donde γp ∈ (0, 1) es un factor de reducción que puede elegirse arbitrariamente. Final-mente, para los elementos que no sufrieron ninguno de los dos tipos de refinamiento enel paso anterior, (

ηpredT

)2:= γn

(ηpredT

)2,

donde γn es un factor de reducción o amplificación, también arbitrario. En todos loscasos, efectuamos un refinamiento h de T cuando el indicador de error ηT es mayor queel indicador de error predicho ηpredT , y un refinamiento p en caso contrario.El algoritmo al que arribamos mediante el procedimiento anteriormente descrito, se

indica esquemáticamente en el cuadro 3.1.

Algoritmo 3.1 Algoritmo de refinamiento1: if η2

T ≥ θη2M then

2: if η2T ≥

(ηpredT

)2then

3: subdividir T en 4 triángulos T ′j , 1 ≤ j ≤ 44: partición por el lado más largo para mantener la conformidad de la malla5: pT ′j := pT

6:(ηpredT ′j

)2:= γh

( |T ′j||T |

)pT +1η2T

7: else8: pT := pT + 19: conformación p

10:(ηpredT

)2:= γpη

2T

11: end if12: else13:

(ηpredT

)2:= γn

(ηpredT

)2

14: end if

Hemos fijado npredT := 0 para todos los elementos T de la triangulación inicial, de talmodo que el primer paso sea exclusivamente un refinamiento h de todos los elementos.

Capítulo 4.

Aprovechamiento de la simetría

Como es usual en análisis modal, la presencia de simetrías en el problema da lugara autovalores múltiples. Cuando usamos métodos adaptivos para calcularlos, esta cir-cunstancia puede perjudicar la optimalidad del método. Sin embargo, la simetría queorigina la dificultad puede ser aprovechada para superarla.

4.1. Necesidad de explotar la simetría

La aplicación de los métodos adaptivos al análisis modal presenta una limitación im-portante cuando se trata de calcular autovalores múltiples. En este caso el subespaciode autofunciones asociado al autovalor no es unidimensional, y no tenemos forma, enprincipio, de garantizar que el solver detecte el mismo modo normal en cada paso delproceso adaptivo. En efecto, los algoritmos de diagonalización, sean estos directos oiterativos, dan una base ortonormal arbitraria del subespacio en cuestión. Y como ladirección de movimiento de los tubos varía de una solución a otra linealmente inde-pendiente (aún cuando tengan el mismo autovalor), las singularidades de ambas serándiferentes, especialmente cuando existen vértices reentrantes.Para ilustrar el tipo de comportamientos que puede adoptar el algoritmo adaptivo,

consideremos las vibraciones de un tubo romboidal dentro de una cavidad cuadrada.El primer autovalor no nulo es doble. Analicemos qué sucede si queremos calcular elsegundo modo. Como la malla y el espacio aproximante iniciales son simétricos, en laprimera iteración obtendremos ω2(1)

h2∼= ω

2(1)h1 > ω2

exacto, donde usamos el signo ∼= paraindicar que ambos autovalores aproximados son numéricamente iguales, siendo ω2(2)

h2 elmayor por una pequeña diferencia en las últimas cifras significativas. Sean Φ1 y Φ2 dosautofunciones exactas que corresponden a un movimiento del tubo en la dirección deleje x y del eje y, respectivamente. Supongamos Φ(1)

h2 ≈ Φ2 y Φ(1)h1 ≈ Φ1 , es decir que la

autofunción Φ(1)h2 encontrada por el diagonalizador es una aproximación de Φ2 (notemos

45

46 4.2. Extensión del tratamiento de simetrías del modelo de Laplace al de Helmholtz

que podría ser una combinación lineal de Φ1 y Φ2), mientras que Φ(1)h1 lo es de Φ1. En

tal caso, las singularidades dominantes de Φ(1)h2 estarán en los dos vértices del rombo

ubicados sobre el eje x, y el estimador a posteriori indicará una mayor densificaciónde la malla en las proximidades de esos puntos. Ahora bien, como la nueva malla esasimétrica, en la segunda iteración tenemos que ω2(2)

h2 > ω2(2)h1 > ω2

exacto. Es decir, laruptura de la simetría produce un desdoblamiento del autovalor múltiple asociado conella. Pero la malla fue adaptada para mejorar la aproximación de Φ2. Por lo tanto, enesta oportunidad a Φ2 le corresponderá el menor de los autovalores calculados, que esω

2(2)h1 . En consecuencia, ω2(2)

h2 está asociado a la aproximación de Φ1, y en la segundaiteración resulta entonces que Φ(2)

h2 ≈ Φ1 y Φ(2)h1 ≈ Φ2. El “intercambio” de los dos

modos normales provocará que el segundo refinamiento se realice ahora en los otrosdos vértices del rombo, ubicados sobre el eje y. Este refinamiento alternado deteriorasensiblemente el desempeño del algoritmo adaptivo.En esta sección presentaremos una forma de superar este inconveniente, aplicable en

aquellos casos en los que la multiplicidad de los autovalores proviene de alguna simetríadel dominio, que es la situación más frecuente. Consiste en elegir un subdominio Ω∗ apartir del cual el dominio original Ω pueda reconstruirse, aplicándole las transforma-ciones de simetría propias del problema particular considerado. Usando las propiedadesde simetría de las soluciones buscadas, se obtiene la formulación variacional de un pro-blema reducido en Ω∗, que tendrá autovalores en común con el problema completo.Sin embargo, al haber eliminado en Ω∗ las simetrías que daban origen a los modosdegenerados, estos autovalores ahora serán simples. Las soluciones con distintos tiposde simetrías surgirán de imponer combinaciones adecuadas de condiciones de borde enla intersección del dominio reducido con el fluido. Una ventaja adicional no menor delaprovechamiento de la simetría es la reducción del costo computacional en un factorigual al número de partes en que se subdividió el dominio Ω.

4.2. Extensión del tratamiento de simetrías delmodelo de Laplace al de Helmholtz

En esta sección nos proponemos generalizar el tratamiento sistemático de las simetríaspresentes en el dominio, introducido en [7] para el modelo de Laplace al caso de fluidolevemente compresible.

4.2.1. Ejemplo modelo

Analicemos el caso de 9 tubos circulares iguales, dispuestos simétricamente en unacavidad circular que contiene un fluido, como se muestra en la figura 4.2.1a. El subdo-

Capítulo 4. Aprovechamiento de la simetría 47

x

y

O4 O3

O2

O6

O8

O1O5

O7 O9

Γ0

Ω

(a)

Γ∗4 Γ∗3

Γ∗2Γ∗1

Γ∗S2

Γ∗S2

Γ∗S1 Γ∗S1

Γ∗0Ω∗

(b)

Figura 4.2.1.: Arreglo de tubos dispuestos en forma simétrica dentro de una cavidad.Dominio original y partición simétrica de la geometría.

minio Ω∗ que seleccionamos en este ejemplo es la porción de Ω contenida en el primercuadrante : Ω∗ = Ω ∩ (x, y) /x ≥ 0, y ≥ 0.Observemos que el tubo 1 continúa siendointerior al fluido, pero ahora los tubos 2, 3 y 4 comparten una porción de su fronteracon el borde del subdominio. Llamamos Γ∗0 = ∂Ω∗∩Γ0, Γ∗1 = Γ1 = ∂O1, Γ∗i = ∂Ω∗∩∂Oicon i = 2, 3, 4, y Γ∗S = ∂Ω∗ \ ⋃4

i=0 Γ∗i . En Γ∗0 debemos imponer condiciones de bordetipo Neumann homogéneas, por ser la porción de la frontera exterior del problemareducido correspondiente a la cavidad rígida. En cambio, en el resto de la frontera deΩ∗, el problema reducido exige imponer condiciones de borde de distinto tipo. Por unlado, en Γ∗2, Γ∗3 y Γ∗4, que son parte de la frontera de los tubos, la condición de bordees no local. Por el otro, en Γ∗S, que está incluída en el dominio ocupado por el fluido,las condiciones de borde surgen de la simetría de la solución buscada del problemacompleto. En el presente ejemplo, para considerar todos los casos que puedan darse,separamos Γ∗S en dos subconjuntos : Γ∗S1 = Γ∗S ∩ ejex y Γ∗S2 = Γ∗S ∩ eje y.

Existen cuatro posibilidades que mostramos en la tabla 4.1, donde hemos indicadoen la segunda y tercera columnas la simetría (S) o antisimetría (A) de Φ respecto de losejes coordenados, y en la cuarta y quinta el tipo de condición de borde, que suponemossiempre homogénea : Dirichlet (D) o Neumann (N).


Simetría de la solución Condición de bordeCaso Eje x Eje y Γ∗S1 Γ∗S2

1 A S D N2 S A N D3 S S N N4 A A D D

Tabla 4.1.: Relación entre las C.B. en Γ∗S y la simetría de la solución.

4.2.2. Formulación variacional del problema simétrico

Para obtener una formulación variacional en el dominio reducido Ω∗, que incluya laspropiedades de simetría de la solución buscada, necesitamos previamente reescribir enforma levemente distinta el conjunto de ecuaciones (2.16) que describen el problema deHelmholtz. Para ello, de la ecuación (2.13) despejamos Si obteniendo ahora, en lugarde la relación (2.14), la siguiente expresión explícita :

Si = ρ0ω2

ki −miω2

ˆΓi

Φndγi

i = 1, · · · , K (4.1)

Reemplazando esta expresión en la condición de borde sobre los tubos (2.15) obtenemos

∂

∂nΦ (x)

∣∣∣∣∣Γi

= Si · n =

ρ0ω2

ki −miω2

ˆΓi

Φndγi

· n i = 1, · · · , K . (4.2)

El sistema de ecuaciones del modelo de Helmholtz puede entonces plantearse alterna-tivamente como

4Φ (x) + ω2

c2Φ (x) = 0 en Ω

∂∂n

Φ (x) = 0 en Γ0

∂∂n

Φ (x) = ρ0ω2

ki−miω2

(´Γi

Φ (x) ndγi)· n en Γi, i = 1, . . . , K

Introduciendo la función de prueba arbitraria Ψ ∈ H1 (Ω∗) que tiene las mismassimetrías que la solución, y procediendo de manera similar a lo realizado en la sec-ción 2.2.1.6, obtenemos la siguiente forma débil del problema en Ω :


ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx = ω2

c2

ˆ

Ω

ΨΦdx +K∑i=1

ρ0ω2

ki −miω2

ˆΓi

Ψndγi

·ˆ

Γi

Φndγi

. (4.3)

que usaremos como punto de partida para plantear el problema en el dominio Ω∗.

A continuación definimos la nomenclatura que vamos a emplear para el estudiode la simetría. Llamaremos Kc al número de tubos completamente contenidos dentrodel dominio reducido Ω∗ y Kd al número de tubos que resultan divididos por ∂Ω∗.Para simplificar la notación subsiguiente, supondremos que los K tubos del problemacompleto están identificados de manera que las Γi con i = 1, · · · , Kd corresponden alos tubos contenidos completamente en Ω∗, Γi con i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd a los tubosintersectados por ∂Ω∗, y Γi con i = Kc + Kd + 1, · · · , K a los restantes. Llamaremosp := area (Ω) /area (Ω∗) al número de subdominios iguales en los que se partió Ω,qi := long (∂Oi) /long (Γ∗i ) con i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd al número de partes simétricasiguales en las que se dividió el i-ésimo tubo, y ri con i = Kc + 1, · · · , Kc + Kd alnúmero de réplicas simétricas que tiene cada tubo divido en Ω \ Ω∗. Notemos queK = pKc +∑Kc+Kd

i=Kc+1 (ri + 1).

En el ejemplo modelo que estamos considerando K = 9, Kc = 1, Kd = 3, p = 4,q2 = q3 = 2, q4 = 4, r2 = r3 = 1 y r4 = 0 por estar este tubo en el centro de Ω.

De la ecuación (4.2) se deduce que la dirección de movimiento del tubo i está dadapor´

ΓiΦndγi, donde Γi es la frontera completa del tubo i. Por lo tanto, debemos

notar que cada tipo de simetría de la solución buscada implica una dirección definidapara el desplazamiento de los tubos que no están contenidos completamente en Ω∗.Denotaremos con e(i), i = KC + 1, · · · , Kc +Kd, uno cualquiera de los dos versores enla dirección de

´Γi

Φndγi. En el ejemplo modelo, estos versores toman las direccionesque se muestran en la tabla 4.2, en donde e(4) = (0, 0) para los casos 3 y 4, ya quecon estas condiciones de borde la integral se anula, y por lo tanto el tubo permanecequieto.


Simetría de Φ Dirección de movimientoCaso Eje x Eje y e(2) e(3) e(4)

1 A S (0, 1) (0, 1) (0, 1)2 S A (1, 0) (1, 0) (1, 0)3 S S (0, 1) (1, 0) (0, 0)4 A A (1, 0) (0, 1) (0, 0)

Tabla 4.2.: Dirección de movimiento de los tubos según la simetría de Φ.

Debemos ahora utilizar estas simetrías de las soluciones buscadas para llevar lasintegrales que aparecen en (4.3) a integrales sobre Ω∗ y su frontera, obteniendo así laformulación del problema reducido. No es difícil demostrar que en los diferentes casosque pueden presentarse en el problema de referencia, se verifica que

ˆ

Ω

∇Ψ · ∇Φdx = p

ˆ

Ω∗

∇Ψ · ∇Φdx

para el primer miembro, ˆ

Ω

ΨΦdx = p

ˆ

Ω∗

ΨΦdx

para el primer término del segundo miembro, e

ˆ∂Oi

Ψndγi

·ˆ∂Oi

Φndγi

= q2i

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

·ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

.

Llevando estas tres expresiones a (4.3), esta queda como

ˆ

Ω∗

∇Ψ · ∇Φdx = ω2

c2

ˆ

Ω∗

ΨΦdx +Kc∑i=1

ρ0ω2

ki −miω2

ˆΓi

Ψndγi

·ˆ

Γi

Φndγi

+

+Kc+Kd∑i=Kc+1

αiρ0ω2

ki −miω2

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

·ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

(4.4)

donde αi es un factor de simetría dado por

αi = (ri + 1) q2i

p, i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd .

Escribimos ahora en componentes la expresión (4.1) únicamente para los tubos ín-


tegramente contenidos en Ω

Si` = ρ0ω2

ki −miω2

ˆΓi

Φn`dγi

i = 1, · · · , Kc, ` = 1, 2 (4.5)

siendo n` las componentes de la normal saliente a la frontera de los tubos n = (n1, n2).En cambio, para los tubos divididos introducimos

S∗i = αiρ0ω2

ki −miω2

ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd , (4.6)

que incluye el factor de simetría αi en la definición.

Llevando (4.5) y (4.6) a (4.4) tenemos

ˆ

Ω∗

∇Ψ · ∇Φdx = ω2

c2

ˆ

Ω∗

ΨΦdx +Kc∑i=1

2∑`=1

Si` ·

ˆΓi

Ψn`dγi

+

+Kc+Kd∑i=Kc+1

S∗i ·

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

. (4.7)

En el apartado 2.2.1.6 habíamos obtenido la formulación variacional del problema sinaprovechamiento de simetrías en H1 (Ω) × R2K . En el caso actual, en cambio, vemosen (4.7) que la solución pertenece a H1 (Ω∗) × R2Kc+Kd , y tiene la forma (Φ,S), conΦ ∈ H1 (Ω∗) y S =

(S11, S12, · · · , SKc1, SKc2;S∗Kc+1, · · · , S∗Kc+Kd

)t∈ R2Kc+Kd .

De (4.5) y (4.6) podemos obtener las siguientes ecuaciones que deben satisfacer Si`y S∗i :

Si` = ω2

ρ0

ki

ˆΓi

Φn`dγi

+ mi

kiSi`

i = 1, · · · , Kc, ` = 1, 2 (4.8)

y

S∗i = ω2

αiρ0

ki

ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

+ mi

kiS∗i

i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd . (4.9)


Reemplazando (4.8) y (4.9) en (4.7), y reordenando, obtenemos

ˆ

Ω∗

∇Ψ · ∇Φdx = ω2

1c2

ˆ

Ω∗

ΨΦdx +Kc∑i=1

2∑`=1

ρ0

ki

ˆΓi

Φn`dγi

ˆ

Γi

Ψn`dγi

+

+Kc+Kd∑i=Kc+1

αiρ0

ki

ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

+

+Kc∑i=1

2∑`=1

mi

kiSi`

ˆΓi

Ψn`dγi

+Kc+Kd∑i=Kc+1

mi

kiS∗i

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

.

(4.10)

Para tratar la parte correspondiente a R2Kc+Kd vamos a introducir el vector de pruebaT =

(T11, T12, · · · , TKc1, TKc2;T ∗Kc+1, · · · , T ∗Kc+Kd

)t∈ R2Kc+Kd . Multiplicando miembro

a miembro las ecuaciones (4.8) y (4.9) por Ti` y T ∗i , sumando sobre i y ` con factoresde peso mi

ρ0y mi

αiρ0respectivamente, y finalmente sumando ambos resultados, obtenemos

Kc∑i=1

2∑`=1

mi

ρ0Si`Ti` +

Kc+Kd∑i=Kc+1

mi

αiρ0S∗i T

∗i = ω2

Kc∑i=1

2∑`=1

mi

kiTi`

ˆΓi

Φn`dγi

+

+Kc+Kd∑i=Kc+1

mi

kiT ∗i

ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

+

+Kc∑i=1

2∑`=1

m2i

ρ0kiSi`Ti` +

Kc+Kd∑i=Kc+1

m2i

αiρ0kiS∗i T

∗i

(4.11)

Por último, sumando miembro a miembro las ecuaciones (4.10) y (4.11), obtenemos

a∗ ((Φ,S) , (Ψ,T)) = ω2b∗ ((Φ,S) , (Ψ,T))

en donde

a∗ ((Φ,S) , (Ψ,T)) =ˆ

Ω∗

∇Ψ · ∇Φdx +Kc∑i=1

2∑`=1

mi

ρ0Si`Ti` +

Kc+Kd∑i=Kc+1

mi

αiρ0S∗i T

∗i

y


b∗ ((Φ,S) , (Ψ,T)) = 1c2

ˆ

Ω∗

ΨΦdx +Kc∑i=1

2∑`=1

ρ0

ki

ˆΓi

Φn`dγi

ˆ

Γi

Ψn`dγi

+

+Kc+Kd∑i=Kc+1

αiρ0

ki

ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

+

+Kc∑i=1

2∑`=1

mi

kiSi`

ˆΓi

Ψn`dγi

+Kc+Kd∑i=Kc+1

mi

kiS∗i

ˆ

Γ∗i

Ψn · e(i)dγi

+

+Kc∑i=1

2∑`=1

mi

kiTi`

ˆΓi

Φn`dγi

+Kc+Kd∑i=Kc+1

mi

kiT ∗i

ˆ

Γ∗i

Φn · e(i)dγi

+

+Kc∑i=1

2∑`=1

m2i

ρ0kiSi`Ti` +

Kc+Kd∑i=Kc+1

m2i

αiρ0kiS∗i T

∗i .

De este modo, el problema variacional asociado a (2.16) para el caso con aprovechamien-to de simetrías puede formularse de la siguiente manera :

• Encontrar ω2 y (Φ,S) ∈ H1 (Ω∗)× R2Kc+Kd que satisfagan

a∗ ((Φ,S) , (Ψ,T)) = ω2b∗ ((Φ,S) , (Ψ,T)) ∀ (Ψ,T) ∈ H1 (Ω∗)× R2Kc+Kd ,

b∗ ((Φ,S) , (Φ,S)) = 1(4.12)

4.2.3. Discretización del problema simétrico

Para discretizar el problema, podemos proceder de manera análoga al apartado2.2.1.7. Para ello introducimos ϕh,1, · · · , ϕh,N como una base nodal de V ∗h , siendoéste el espacio de elementos finitos de dimensión N , y además definimos las matricesb(i)` ∈ RN×1 y b∗(i) ∈ RN×1

b(i)` :=

b

(i)1`...b

(i)N`

i = 1, · · · , Kc, ` = 1, 2 ,


en donde

b(i)j` :=

ˆ

Γi

ϕjn` i = 1, · · · , Kc, j = 1, · · · , N, ` = 1, 2 ,

y

b∗(i) :=

b∗(i)1...

b∗(i)N

i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd ,

en donde

b∗(i)j :=

ˆ

Γ∗i

ϕjn · e(i) i = Kc + 1, · · · , Kc +Kd, j = 1, · · · , N .

Entonces la ecuación (4.12) puede representarse en forma discretizada y matricial como

K∗11 0N×2K

02K×N K∗22

uS

= ω2

M∗11 M∗

12

M∗21 M∗

22

uS

(4.13)

en donde sus componentes son

• K∗11 ∈ RN×N tal que

[K∗11]ij =ˆ

Ω∗

∇ϕh,i · ∇ϕh,jdx

que, a diferencia del caso anterior, se calcula sobre el dominio Ω∗.• K∗22 ∈ R(2KC+Kd)×(2KC+Kd) es una matriz diagonal dada por

K∗22 = 1ρ0

diag(m1,m1, · · · ,mKc ,mKc ;

mKc+1

αKc+1, · · · , mKc+Kd

αKc+Kd

).

• M∗11 = 1

c2M∗

L + M∗Γ es una matriz en RN×N , siendo M∗

L la matriz de masa usualdel Laplaciano calcula sobre el dominio Ω∗, y M∗

Γ una matriz similar a la que surgeen el modelo de Laplace para fluido incompresible ([7]), cuyos elementos son :

[M∗L]i,j =

ˆ

Ω∗

ϕh,iϕh,jdx

M∗Γ =

Kc∑i=1

2∑`=1

ρ0

kib(i)`

(b(i)`

)t+

Kc+Kd∑i=Kc+1

αiρ0

kib∗(i)

(b∗(i)

)t. (4.14)


• M∗12 = M∗t

21 ∈ RN×(2KC+Kd) es una matriz de la forma

M∗12 =

(m1

k1b(1)

1 ,m1

k1b(1)

2 , · · · , mKc

kKc

b(Kc)1 ,

mKc

kKc

b(Kc)2 ; mKc+1

kKc+1b∗(Kc+1), · · · , mKc+Kd

kKc+Kd

b∗(Kc+Kd))

• M∗22 ∈ R(2KC+Kd)×(2KC+Kd) es una matriz diagonal dada por

1ρ0

diag(m2

1k1,m2

1k1, · · · ,

m2Kc

kKc

,m2Kc

kKc

; m2Kc+1

αKc+1kKc+1, · · · ,

m2Kc+Kd

αKc+KdkKc+Kd

). (4.15)

• u = (u1, · · · , uN)t ∈ RN y S ∈ R2Kc+Kd son los vectores incógnitas.

Capítulo 5.

Ejemplos numéricos

En este capítulo presentaremos algunos ejemplos numéricos que nos permitan eva-luar el desempeño de la estrategia de refinamiento hp desarrollada. En primer lugaranalizaremos un ejemplo que tiene solución analítica para así comparar con los resul-tados de las autofrecuencias obtenidas con el método de elementos finitos. El siguienteejemplo de un tubo romboidal en una cavidad rectangular muestra cómo se comportael refinamiento alrededor de los vértices del tubo, y cómo se comporta el campo de ve-locidades del fluido alrededor del mismo en distintos modos de vibración. En el tercerejemplo se muestra una cavidad en forma de L que contiene tres tubos ; uno de elloscon características físicas y geométricas distintas a los otros dos. Por último se haceun análisis de las vibraciones de un conjunto de 28 tubos cilíndricos dentro de unacavidad cilíndrica, en donde se aprovechó su simetría para subdividir el dominio y asíhacer más eficientes las simulaciones.

5.1. Análisis DimensionalDos flujos que tienen diferentes valores de escalas de longitud, velocidades opropiedades del fluido pueden ser aparentemente diferentes pero sin embargo“dinámicamente similares” . [13]

Nos basamos en esta idea para presentar los resultados en términos de variables adi-mensionales, para así poder concentrarnos en la dinámica del problema.Las variables que afectan al modelo se vinculan entre sí por medio de alguna relación

de la forma

f (ω, k,m, c, ρ, L) = 0 (5.1)

donde para simplificar la explicación se tratará el caso k1 = · · · = kK = k y m1 =· · · = mK = m. Las dimensiones de las variables pueden ser ordenadas en forma de la

57

58 5.1. Análisis Dimensional

siguiente matriz

ω k m c ρ L

M 0 1 1 0 1 0L 0 −1 −1 1 −3 1T −1 −2 0 −1 0 0

El teorema Pi de Buckingham establece que n variables pueden siempre ser combinadaspara formar exactamente (n− r) variables adimensionales independientes, en donde res el rango de la matriz dimensional. Como puede deducirse fácilmente, en nuestro casoes r = 3. Cada parámetro adimensional es llamado un “número Π”. En el problemaque pretendemos analizar existen n = 6 variables, por lo que el número de parámetrosadimensionales debe ser 3. Por lo tanto la ecuación (5.1) puede se reescrita en términosde estas variables como una nueva relación funcional dada por

ϕ (Π1,Π2,Π3) = 0

Estos parámetros no son únicos, pero sin embargo (n− r) de ellos son independientesy forman un conjunto completo.

Tomemos primero 3 (= r) de las variables como “variables repetidas”, las cualesaparecerán en las expresiones de los parámetros adimensionales. La elección de estosparámetros definirá la forma que tomen los números Π. Optamos entonces por tomarlas siguientes como variables repetidas

k,m, c

Cada producto adimensional se forma combinando estas tres variables con una de lasvariables restantes. Con la condición de que los Πi deben ser adimensionales, tenemoslas siguientes expresiones

Π1 = ωakbmccd =⇒ M0L0T 0 =(T−1

)a (ML−1T−2

)b (ML−1

)c (LT−1

)d=

= M b+cL−b−c+dT−a−2b−d

Π2 = ρakbmccd =⇒ M0L0T 0 =(ML−3

)a (ML−1T−2

)b (ML−1

)c (LT−1

)d=

= Ma+b+cL−3a−b−c+dT−2b−d

Π3 = Lakbmccd =⇒ M0L0T 0 = (L)a(ML−1T−2

)b (ML−1

)c (LT−1

)d=

= M b+cLa−b−c+dT−2b−d

Eligiendo convenientemente el valor de a para cada número adimensional, de resolver

Capítulo 5. Ejemplos numéricos 59

los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos que resultan de igualar los índices obte-nemos finalmente

Π1 = ω2m

k

Π2 = ρc2

k(5.2)

Π3 = L2/c2

m/k

En consecuencia, la representación adimensionalizada del problema tiene la forma

Π1 = ϕ (Π2,Π3)

De estos parámetros, podemos remarcar que la variable Π1 es el autovalor normalizadocon la frecuencia angular al cuadrado del sistema masa-resorte del tubo en vacío, yque la variable Π3 representa el cociente entre el tiempo característico que demora unfrente de onda en recorrer la longitud característica L, sobre el período del sistemamasa-resorte en vacío.

Recordemos la ecuación que modela el comportamiento del fluido :

4Φ + ω2

c2 Φ = 0

Ahora procederemos a adimensionalizarla para identificar los parámetros dados por(5.2) en ella. La autofunción Φ tiene dimensiones de L2T−1, por lo que la función Φ∗

adimensional relacionada puede ser

Φ∗ = Φ 1L2

√m

k

Por otro lado, para quitar dimensiones al operador Laplaciano tenemos

4∗ = L24 .

Introduciendo estos resultados en la ecuación de onda, tenemos que

4∗

L2 Φ∗L2

√k

m+ ω2

c2 Φ∗L2

√k

m= 0

y operando algebraicamente,

4∗Φ∗ + ω2m/k

m/k

L2

c2 Φ∗ = 0

60 5.2. Ejemplo con solución analítica: Dos tubos cilíndricos concéntricos

Finalmente, arribamos a4∗Φ∗ + Π1Π3Φ∗ = 0 (5.3)

Esta ecuación muestra que si buscamos las soluciones para autofrecuencias tales queω2 ≤ k/m, de modo que Π1 ≤ 1, entonces podría predecirse el comportamiento dinámi-co del sistema, viendo que para valores de Π3 cercanos a 1 el fluido se comportacomo levemente compresible, y para valores muy pequeños tendrá un com-portamiento similar al del problema incompresible, ya que la ecuación de ondase aproximaría a la de Laplace.

5.2. Ejemplo con solución analítica : Dos tuboscilíndricos concéntricos

En primer lugar consideramos un ejemplo con solución analítica, utilizado paravalidar el código de cálculo. Más adelante aprovechamos también este ejemplo paraverificar la robustez del método en el caso con fluido incompresible, al hacer tenderc −→ ∞. Se trata de dos tubos circulares concéntricos de radios ri y re, tal como semuestra en la figura 5.2.1.

x

y

θ

r

re

ri

Figura 5.2.1.: Tubos circulares concéntricos.


5.2.1. Solución analítica general

Planteando el problema en coordenadas polares, y definiendo la normal saliente aldominio en el borde del tubo central como n (ri, θ) = − cos θi − sin θj, el sistema aresolver es :

∆Φ + ω2

c2Φ = ∂2Φ

∂r2 + 1r∂Φ∂r

+ 1r2∂2Φ∂θ2 + ω2

c2Φ = 0, ri < r < re, 0 ≤ θ ≤ 2π,

∂Φ∂n

(re, θ) = ∂Φ∂r

(re, θ) = 0, 0 ≤ θ ≤ 2π,

∂Φ∂n

(ri, θ) = Si · n = −∂Φ∂r

(ri, θ) =

= ρ0ω2

k−mω2

(´ 2π0 Φ (ri, ϑ) · nridϑ

)· n, 0 ≤ θ ≤ 2π.

(5.4)

en donde se hizo uso de la forma explícita de la velocidad Si de los tubos en la condiciónde borde sobre los mismos. Proponiendo un desarrollo de la solución en serie de Fourierde senos y cosenos,

Φ (r, θ) = α0 (r) +∞∑n=1

[αn (r) cosnθ + βn (r) sinnθ] , (5.5)

la primera ecuación de (5.4) se convierte en

(α′′0 (r) + 1

rα′0 (r) + ω2

c2 α0 (r))

+∞∑n=1

[α′′n (r) + 1

rα′n (r) +

(ω2

c2 −n2

r2

)αn (r)

]cosnθ +

+[β′′n (r) + 1

rβ′n (r) +

(ω2

c2 −n2

r2

)βn (r)

]sinnθ

= 0 (5.6)

La ecuación (5.6) es el desarrollo en serie de Fourier de la función nula, y por lo tantotodos los coeficientes deben anularse :

α′′0 (r) + 1

rα′0 (r) + ω2

c2α0 (r) = 0,

α′′n (r) + 1rα′n (r) +

(ω2

c2− n2

r2

)αn (r) = 0, n ≥ 1,

β′′n (r) + 1rβ′n (r) +

(ω2

c2− n2

r2

)βn (r) = 0, n ≥ 1.

(5.7)

Haciendo un cambio de variables ξ = r√

ω2

c2, se obtiene el sistema

α′′0 (ξ) + 1

rα′0 (ξ) + α0 (ξ) = 0,

α′′n (ξ) + 1rα′n (ξ) +

(1− n2

r2

)αn (ξ) = 0, n ≥ 1,

β′′n (ξ) + 1rβ′n (ξ) +

(1− n2

r2

)βn (ξ) = 0, n ≥ 1.

(5.8)


El anterior es un conjunto de ecuaciones diferenciales de Bessel desacopladas, cuyasolución general para cada ecuación es :

α0 (ξ) = a0J0 (ξ) + b0Y0 (ξ) ,

αn (ξ) = anJn (ξ) + bnYn (ξ) , n ≥ 1,

βn (ξ) = cnJn (ξ) + dnYn (ξ) , n ≥ 1,

en donde J0 (ξ) y Y0 (ξ) son las funciones de Bessel de primera y segunda especie,respectivamente. Entonces la solución del sistema (5.7) viene dada por la combinaciónlineal de las autofunciones de Bessel de la siguiente manera :

α0 (r) = a0J0

(rωc

)+ b0Y0

(rωc

),

αn (r) = anJn(rωc

)+ bnYn

(rωc

), n ≥ 1,

βn (r) = cnJn(rωc

)+ dnYn

(rωc

), n ≥ 1,

(5.9)

en donde a0, b0, an, bn, cn, dn son coeficientes a determinar mediante las condicionesde contorno.

En primer lugar, evaluamos la derivada normal de Φ en el borde del tubo exteriorobteniendo

α′0 (re) = 0,

α′n (re) = 0, n ≥ 1,

β′n (re) = 0, n ≥ 1,

(5.10)

En segunda instancia, calculamos la integral que aparece en la condición de borde nolocal en la tercera ecuación de (5.4) :

−ˆ 2π

0Φ (ri, ϑ) · n (ri, ϑ) ridϑ = α0 (ri) ri

2πˆ

0

(cos ϑi + sin ϑj

)dϑ+

+∞∑n=1

αn (ri) ri2πˆ

0

cosnϑ ·(cos ϑi + sin ϑj

)dϑ +

+βn (ri) ri2πˆ

0

sinnϑ ·(cos ϑi + sin ϑj

)dϑ

= α1 (ri) riπi + β1 (ri) riπj


ya que sólo sobreviven los términos con n = 1. En consecuencia la condición de bordesobre el tubo interno lleva a que

−∂Φ∂r

(ri, θ) = ρ0ω2

k −mω2

(ˆ 2π

0Φ (ri, ϑ) · nridϑ

)· n

−α′0 (ri) +∞∑n=1

[−α′n (ri) cosnθ − β′n (ri) sinnθ] = ρ0ω2

k −mω2 riπ (α1 (ri) cos θ + β1 (ri) sin θ)

en donde comparando los términos de las series, observamos que sobreviven de nuevosólo lo que tienen n = 1. Entonces obtenemos lo siguiente para el tubo interior

−α′0 (ri) = 0,

−α′1 (ri) = ρ0ω2

k−mω2 riπα1 (ri) ,

−β′1 (ri) = ρ0ω2

k−mω2 riπβ1 (ri) ,

−α′n (ri) = 0, n ≥ 2,

−β′n (ri) = 0, n ≥ 2.

(5.11)

Repasando los resultados obtenidos hasta acá, vemos que se deben resolver las ecua-ciones diferenciales de (5.7) con las condiciones de borde (5.10) y (5.11). En efecto :

• Para n = 0 : α′′0 (r) + 1

rα′0 (r) + ω2

c2α0 (r) = 0,

α′0 (re) = 0,

α′0 (ri) = 0,

• Para n = 1 : α′′1 (r) + 1

rα′1 (r) +

(ω2

c2− 1

r2

)α1 (r) = 0,

α′1 (re) = 0,

α′1 (ri) + ρ0ω2

k−mω2 riπα1 (ri) = 0y

β′′1 (r) + 1

rβ′1 (r) +

(ω2

c2− 1

r2

)β1 (r) = 0,

β′1 (re) = 0,

β′1 (ri) + ρ0ω2

k−mω2 riπβ1 (ri) = 0


• Para n ≥ 2 : α′′n (r) + 1

rα′n (r) +

(ω2

c2− n2

r2

)αn (r) = 0,

α′n (re) = 0,

α′n (ri) = 0.y

β′′n (r) + 1

rβ′n (r) +

(ω2

c2− n2

r2

)βn (r) = 0,

β′n (re) = 0,

β′n (ri) = 0

cuyas soluciones están dadas por (5.9). Reemplazando las condiciones de borde, obten-dremos un conjunto de sistemas de ecuaciones lineales en los coeficientes :

J′0(reωc

)Y′0

(reωc

)J′0(riωc

)Y′0

(riωc

) a0

b0

= 0

0

, (5.12)

J′1(reωc

)Y′1

(reωc

)J′1(riωc

)+ ρ0ω2

k−mω2 riπJ1(riωc

)Y′1

(riωc

)+ ρ0ω2

k−mω2 riπY1(riωc

) a1

b1

= 0

0

,(5.13)

J′1(reωc

)Y′1

(reωc

)J′1(riωc

)+ ρ0ω2


)Y′1

(riωc

)+ ρ0ω2


) c1

d1

= 0

0

,(5.14)

J′n(reωc

)Y′n

(reωc

)J′n(riωc

)Y′n

(riωc

) an

bn

= 0

0

, n ≥ 2. (5.15)

J′n(reωc

)Y′n

(reωc

)J′n(riωc

)Y′n

(riωc

) cn

dn

= 0

0

, n ≥ 2. (5.16)

en donde se emplean las funciones de Bessel derivadas

J′n(rω

c

)= 1

2

[Jn−1

(rω

c

)− Jn+1

(rω

c

)]ω

c

Y′n(rω

c

)= 1

2

[Yn−1

(rω

c

)− Yn+1

(rω

c

)]ω

c

Para que los sistemas anteriores tengan soluciones no triviales en los coeficientes, los


determinantes de las matrices deben ser nulos. De este modo, la condición sobre lavariable ω es que sólo puede tomar valores tales que se anulen las siguientes funciones,que se desprenden de evaluar los determinantes :

D0 (ω) := J′0(reωc

)Y′0

(riωc

)− Y′0

(reωc

)J′0(riωc

)= 0, n = 0,

D1 (ω) := J′1(reωc

) [Y′1

(riωc

)+ ρ0ω2


)]−

−Y′1(reωc

) [J′1(riωc

)+ ρ0ω2


)]= 0, n = 1,

Dn (ω) := J′n(reωc

)Y′n

(riωc

)− Y′n

(reωc

)J′n(riωc

)= 0, n ≥ 2.

(5.17)

en donde la segunda corresponde a los sistemas (5.13) y (5.14), y la tercera a (5.15)y (5.16), por lo tanto aportan dos veces su resultado. Entonces, para encontrar losvalores de las autofrecuencias del problema se deben hallar los ceros de estas funcionestrascendentes sobre la variable ω, ya que todos los demás parámetros son datos delproblema.

5.2.2. Caso particular

En el ejemplo elegido para resolver numéricamente tomamos los siguientes paráme-tros :

re = 3 m k = 1 kgms2

ri = 1 m m = 1 kgm

ρ0 = 1 kgm3 c = 1 m

s

Tomando como longitud característica al espacio que tiene el fluido para moverse ra-dialmente, tenemos L = re − ri = 2 m, por lo que Π3 = 4.

5.2.2.1. Solución analítica

En las figuras 5.2.2 (a), (b) y (c) se encuentran representadas las funciones trascen-dentes que resultan de tomar estos parámetros. A pesar de que no existe una expresiónexplícita para los ceros de estas funciones, utilizamos un método numérico de búsquedade raíces, el cual puede entregar el resultado con una precisión arbitraria deseada. Másadelante se mostrarán las autofrecuencias obtenidas en una tabla comparativa con losresultados de la resolución numérica por elementos finitos.


2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

(a) n = 0. D0 (ω) vs ω

2 4 6 8 10

-5

5

(b) n = 1. D1 (ω) vs ω

2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

(c) n = 2. D2 (ω) vs ω

Figura 5.2.2.: Gráficas de las funciones trascendentes obtenidas en (5.17), para losparámetros específicos del problema.

5.2.2.2. Solución de elementos finitos

Se hizo adaptividad sobre el modo 1 de vibración, al cual le corresponde la menor de lasfrecuencias no nulas 1. En la figura 5.2.3 se muestra la malla utilizada para comenzarel proceso adaptivo con elementos cuadráticos en todos los triángulos. Aprovechandolas simetrías del dominio, y lo explicado en el capítulo 4, se analizó la solución en uncuarto de anillo circular y se la extendió a todo el dominio, considerando las distin-tas combinaciones posibles de las condiciones de borde en los bordes Γs, que fueronpresentandos en la subsección 4.2.1, en la página 46.En las figuras 5.2.4 (a) y (b) se observan las curvas de nivel y el campo de velocidades

del fluido y del tubo para el modo 1 de vibración. En la figura 5.2.5 presentamos lasmallas extendidas obtenidas con el algoritmo adaptivo hp correspondiente a los pasos3, 6, 9 y 12 del proceso de refinamiento para este modo. El color de cada triángulorepresenta el valor de pT que le corresponde, según el código indicado por la paletaadjunta.Se puede observar un marcado refinamiento h alrededor de los bordes circulares. El

1. Identificamos con 0 al modo de la forma Φ = cte, que satisface en forma trivial la ecuación4Φ + ω2

c2 Φ = 0 y las condiciones de borde, con ω2 = 0.


estimador es grande en esa zona por existir singularidades en los vértices del polígonoque aproxima al tubo circular. Esto constituye un error de aproximación del dominio,por lo que al refinar h aumenta el número de lados del polígono. Por su parte seobserva refinamiento p en las zonas alejadas de los bordes circulares, que no han sidomuy refinadas en h.Las autofrecuencias obtenidas con el programa numérico se comparan con los resul-

tados obtenidos analíticamente en la tabla 5.1. En la última columna de la derecha semuestra la condición de borde sobre ΓS con la que fue obtenido el autovalor del mo-do correspondiente. Marcamos en color azul las dos primeras autofrecuencias simples,que corresponden a las dos primeras soluciones del sistema (5.12). Se puede notar queprovienen tomar condiciones de Neumann-Neumann sobre ΓS2 y ΓS1 respectivamente.Además se puede ver que algunos los valores obtenidos por el método de elementosfinitos son inferiores al exacto, lo cual hace que ciertos valores sean negativos en lacolumna de error absoluto. Según lo explicado en el primer capítulo respecto a la eva-luación de los cocientes de Rayleigh, deberían ser siempre superiores cuando el dominiodiscretizado coincida con el dominio del problema original. Como este no es nuestrocaso, existirán errores en la aproximación de dominio que afectarán esta regla.

Figura 5.2.3.: Tubos cilíndricos concéntricos. Dominio y malla inicial.


−0.32

−0.3

−0.28

−0.26

−0.24

−0.22

−0.2

−0.18

−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.32

(a) Curvas de nivel

(b) Campo de velocidades

Figura 5.2.4.: Modo 1 : Curvas de nivel de la función φ y campo de velocidades.


7

6

5

4

3

2

(a) Paso 3

7

6

5

4

3

2

(b) Paso 6

7

6

5

4

3

2

(c) Paso 9

7

6

5

4

3

2

(d) Paso 12

Figura 5.2.5.: Tubos cilíndricos concéntricos. Mallas refinadas.


Modo n° ω2analıtico ω2

numerico Error Absoluto CB

0 0.0000000 0.1E-11 1.0E-12 NN

1 0.1357458 0.1357460 2.0E-07 ND2 0.1357458 0.1357461 3.0E-07 DN3 0.6731973 0.6732010 3.7E-06 ND4 0.6731973 0.6732025 5.2E-06 DN5 0.9554926 0.9554930 4.0E-07 DD6 0.9554926 0.9554959 3.3E-06 NN7 1.9266273 1.9266489 2.2E-05 ND8 1.9266273 1.9266507 2.3E-05 DN9 2.6752528 2.6752429 -1.0E-05 NN10 3.1301394 3.1301424 3.0E-06 DD11 3.1301394 3.1301617 2.2E-05 NN12 4.3685180 4.3685292 1.1E-05 DD13 4.3685180 4.3685415 2.4E-05 NN14 4.5698040 4.5698777 7.4E-05 ND15 4.5698040 4.5698679 6.4E-05 DN16 4.6671121 4.6671555 4.3E-05 ND17 4.6671121 4.6671666 5.5E-05 DN18 6.2511001 6.2511307 3.1E-05 DD19 6.2511001 6.2511509 5.1E-05 NN20 6.4627300 6.4627642 3.4E-05 ND21 6.4627300 6.4627772 4.7E-05 DN22 8.1751962 8.1753106 1.1E-04 ND23 8.1751962 8.1753233 1.3E-04 DN24 9.1187089 9.1186952 -1.0E-05 DD25 9.1187089 9.1187116 2.7E-06 NN26 10.105024 10.105051 2.7E-05 NN27 10.341370 10.341344 -3.0E-05 DD28 10.341370 10.341420 5.0E-05 NN29 11.605401 11.605564 1.6E-04 DD30 11.605401 11.605628 2.3E-04 NN

Tabla 5.1.: Comparación de los valores de autofrecuencia obtenidos analíticamente vsnuméricamente.


5.2.3. Caso con fluido incompresible

A continuación utilizaremos el programa para encontrar la solución de un problemaincompresible, modificando sólo el parámetro de la velocidad del sonido c, llevándolo aeste a un valor suficientemente alto. Los demás datos del problema se mantienen comoen el caso anterior.

Primero veamos qué resultado deberíamos encontrar. Regresando a los sistemas deecuaciones deducidos anteriormente para el caso general con compresibilidad, es decirlos sistemas (5.12), (5.13), (5.14), (5.15) y (5.16), llevamos estas expresiones al límitede c→∞. Esto lleva a las siguientes implicancias :

lımc→∞

rω

c= 0 ⇒

Jn(rωc

)→ 0 ∀n 6= 0

Jn(rωc

)→ 1 n = 0

Yn(rωc

)→ +∞ para n > 0 impar

Yn(rωc

)→ −∞ para los n restantes

Ahora se analizará cada sistema por separado, para así determinar los valores de loscoeficientes :

• Para el sistema (5.12), tomando el límite de c → ∞ para su determinante obte-nemos

lımc→∞

[J′0(reω

c

)Y′0

(riω

c

)− Y′0

(reω

c

)J′0(riω

c

)]= − 32

3πque no depende de ω, por lo tanto la única solución para este sistema es a0 = b0 =0.• Para los sistemas (5.13) y (5.14) se tendrá el siguiente determinante para el límite

de c→∞

lımc→∞

J′1(reω

c

) [Y′1

(riω

c

)+ ρ0ω

2

k −mω2 riπY1

(riω

c

)]−

−Y′1(reω

c

) [J′1(riω

c

)+ ρ0ω

2

k −mω2 riπJ1

(riω

c

)]= 2 (4 + 5π)ω2 − 8

9π (ω2 − 1)

por lo que al igualar esta expresión a cero, resulta

2 (4 + 5π)ω2 − 89π (ω2 − 1) = 0

=⇒ ω2 = 44 + 5π = 0.20296364193580543

el cual es un autovalor doble por ser la misma solución para ambos sistemas.


• Haciendo lo mismo para los sistemas (5.15) y (5.16) se obtiene

lımc→∞

[J′n(reω

c

)Y′n

(riω

c

)− Y′n

(reω

c

)J′n(riω

c

)]=∞ ∀n ≥ 2

por lo que an = bn = cn = dn = 0 para n ≥ 2.En conclusión, se recupera sólo el par de autofrecuencias provenientes de la condiciónde borde en el tubo, y los restantes no nulos tienden a infinito. Este último hecho estávalidado por el Teorema 3.13 inciso (iii) de la referencia ([6]), en donde se demuestraeste hecho por las propiedades continuas en la homotopía entre los modelos de Laplacey de Helmholtz. Luego, el Teorema 3.14 muestra 2K autovalores que convergen a losautovalores del modelo de Laplace a medida que c −→∞.Para la simulación numérica se tomó el parámetro 1/c2 = 10−10, y se hicieron 12 pasos

de adaptividad sobre el modo 1. En la tabla 5.2 se pueden observar las dos frecuenciascorrespondientes al primer y segundo modo, las cuales presentan su error absoluto en lacolumna de la derecha. Las siguientes frecuencias resultaron muy elevadas, las primerasdel orden de c2. El autovalor 0 no se obtuvo ya que se utilizaron las condiciones deborde DN y ND.

N° ω2analıtico ω2

numericoError Absoluto

0 0 – –

1 0.2029636419 0.2029636425 6.0E-102 0.2029636419 0.2029636505 8.6E-093 ∞ 0.3E104 ∞ 0.6E105 ∞ 0.6E106 ∞ 0.8E10

Tabla 5.2.: Autofrecuencias para el caso con fluido incompresible.


5.3. Tubo romboidal dentro de una cavidadrectangular

En esta sección presentamos un ejemplo con una geometría simple, que utilizaremospara investigar el orden de convergencia del método hp-adaptivo, y estudiaremos elcomportamiento de las primeras autofrecuencias en función de c, observando que encierto intervalo existe un intercambio en el orden de algunos de los modos de vibración.En este ejemplo consideraremos un tubo romboidal de lado

√2/2 centrado en una

cavidad rectangular de 3 × 2, como se muestra en la figura 5.3.1 que representa a lamalla inicial. Elegimos los siguientes parámetros para el problema :

La = 3 m k = 1 kgms2

Lb = 2 m m = 1 kgm

da = 1 m c = 1 ms

db = 1 m ρ0 = 1 kgm3

en donde La y Lb son las longitudes horizontal y vertical de la cavidad rectangular, yda y db son las distancias entre vértices opuestos del tubo romboidal. Tomando comolongitud característica L = da = db = 1 m, tenemos

Π3 = L2/c2

k/m= 1

Se hizo adaptividad sobre los modos 1 y 3 de vibración.

Figura 5.3.1.: Dominio y malla inicial.

En este ejemplo el dominio ocupado por el fluido tiene ángulos reentrantes en losvértices del tubo. Debido a esto, los modos de vibración involucran autofunciones queson singulares en estos 4 puntos.

74 5.3. Tubo romboidal dentro de una cavidad rectangular

Figura 5.3.2.: Campo de velocidades para el modo 1.

Figura 5.3.3.: Campo de velocidades para el modo 3.

El comportamiento del sistema fluido-estructura para el modo 1 puede observarse enla figura 5.3.2, y en la figura 5.3.3 presentamos el campo de velocidades para el modo 3.Haciendo una comparación de ambas figuras, destacamos que, si bien en ambos casos eltubo se comporta en forma similar vibrando horizontalmente alrededor de la posición deequilibrio, el fluido se comporta de manera muy distinta. En el modo 1, la frecuencia esbaja, y las líneas de flujo circulan desde el borde de ataque hacia el borde de fuga. Estecomportamiento es cualitativamente parecido al del caso con un fluido incompresible([7]). En cambio, en el modo 3 el fluido acompaña al tubo, comprimiéndose sobre lapared que tiene enfrente.La figura 5.3.4 muestra las mallas obtenidas con el algoritmo adaptivo en el paso 24

para los modos 1 y 3. Se aprecia cómo aumentó el orden p de los elementos alejados delas singularidades, y cómo aumenta el orden h en los elementos cercanos a los mismos.En la figura 5.3.5 se ve una sucesión de ampliaciones de la malla del paso 24 alrededor

del vértice superior del rombo, y en la figura 5.3.6 una secuencia de ampliaciones


8

7

6

5

4

3

2

(a) Modo 1

9

8

7

6

5

4

3

2

(b) Modo 3

Figura 5.3.4.: Dominio rectangular con tubo romboidal. Mallas refinadas en el paso 24.

alrededor del vértice derecho, para el modo 1. Podemos ver que en el primer caso loselementos más próximos al vértice son cuatro órdenes de magnitud más pequeños queen el segundo. Esta diferencia de refinamiento h es un indicio experimental de queambas singularidades son de distinto orden.Ahora haremos el análisis anterior para el modo 3. Observando las figuras 5.3.7 y

5.3.8 podemos ver también que hay cuatro órdenes de magnitud entre el tamaño de loselementos más próximos a los vértices, y que la singularidad dominante se presenta denuevo en el vértice superior.Haciendo una comparación del comportamiento de la singularidad para ambos mo-

dos, podemos notar que si bien el movimiento del fluido alrededor del vértice superiores distinto en el modo 3 que en el modo 1, el órden de las singularidades resultaequivalente. Esto es evidencia de que el movimiento del tubo determina el tipo desingularidad en cada uno de sus vértices.


10^−110^−2 10^−3

10^−4 10^−510^−6

10^−7

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.3.5.: Ampliaciones sucesivas sobre la singularidad principal. Malla refinada enel paso 24. Modo 1.

10^−1 10^−2 10^−3

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.3.6.: Ampliaciones sucesivas sobre la singularidad secundaria. Malla refinadaen el paso 24. Modo 1.


10^−1 10^−2 10^−3

10^−4 10^−5 10^−6

10^−7

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.3.7.: Ampliaciones sucesivas sobre la singularidad principal. Malla refinada enel paso 24. Modo 3.

10^−1 10^−210^−3

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.3.8.: Ampliaciones sucesivas sobre la singularidad secundaria. Malla refinadaen el paso 24. Modo 3.


5.3.1. Efecto de la velocidad del sonido en los modos de vibración

En esta subsección estudiamos el comportamiento de los modos de vibración y de susautovalores en distintos valores de velocidad del sonido. Como se explica en la referencia[6], el modelo de Helmholtz contiene un grupo de autovalores que, al hacer tender elparámetro Π3 −→ 0, por ejemplo haciendo c −→∞, convergen a los 2K autovalores delmodelo de Laplace. Por otro lado si se hace tender Π2 −→ 0, por ejemplo con ki −→∞,otro grupo de autovalores convergen a los autovalores del modelo de Neumann, el cualcontiene la misma ecuación diferencial que el modelo de Helmholtz (la ecuación deonda), pero la condición de borde sobre el desplazamiento de los tubos es homogénea,

0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 1 2 30 , 0 1

0 , 1

1

1 0

1 0 0

M o d o 1 M o d o 2 M o d o 3 M o d o 4 M o d o 5 M o d o 6 M o d o 7 M o d o 8 M o d o 9 M o d o 1 0 M o d o 1 1 M o d o 1 2

Autov

alor (ω

2 )

V e l o c i d a d d e l s o n i d o ( c )

(a) Rango de c : 0,1 a 3

0 , 50 , 1

1

M o d o 1 M o d o 2 M o d o 3 M o d o 4 M o d o 5 M o d o 6 M o d o 7 M o d o 8 M o d o 9 M o d o 1 0 M o d o 1 1 M o d o 1 2

Autov

alor (ω

2 )

V e l o c i d a d d e l s o n i d o ( c )

(b) Rango de c : 0,3 a 0,8

Figura 5.3.9.: Autovalores de distintos modos de vibración, para distintos valores de c.


es decir, los tubos están montados en forma rígida. En adelante, cuando se nombre a los“autovalores de Laplace” se hará referencia a los autovalores del modelo de Helmholtzque tienden a los del modelo de Laplace cuando c −→ ∞. De manera similar, los“autovalores de Neumann” son los autovalores del modelo de Helmholtz que tienden alos del modelo de Neumann en la medida que k −→∞.En la figura 5.3.9 se muestran los autovalores de los 12 primeros modos no nulos,

calculados haciendo un barrido en c ∈ [0.1, 3], y haciendo 4 pasos de adaptividad sobreel modo 1. La dimensión del subespacio para el método de iteración de subespacios setomó igual a 20, por lo que los últimos autovalores pueden presentar un error signi-ficativo. Se observa que los dos primeros autovalores tienen tendencia creciente con cpara valores menores a 1, y para valores mayores tiende a un valor constante menor a1. Los modos de orden mayor a 2K, tienen tendencia creciente en todo el rango ana-lizado. Sin embargo, se observa que hay un solapamiento entre algunas de las curvas deω2 = ω2 (c), los cuales se observan con detalle en la figura 5.3.9 (b). Este efecto produceun intercambio en el orden de los modos. Este hecho puede notarse en la figura 5.3.10,en donde el modo 5 para 1

c2= 3 pasa a ser el modo 4 para 1

c2= 4, y luego pasa a ser

el modo 3 para 1c2

= 5.En la tabla 5.7 se marcan en azul los autovalores menores a k

m= 1. Se observa que

el número de autovalores menores a 1 disminuye con el aumento de c, como puedetambién verse fácilmente en la figura 5.3.9. Sin embargo el número de éstos nunca llegaa ser inferior a 2. Este hecho está validado por el Teorema 3.16 de [6], el cual estableceque existen al menos 2K autovalores del modelo de Helmholtz en el intervalo

(0, k

m

).

Además, este mismo teorema indica que ω2` <

km

para ` = 1, · · · , 2K.

c 0.05 0.1 0.2 0.5 1 100 0.71E-13 0.12E-12 0.27E-12 0.74E-12 0.18E-11 0.22E-10

1 0.038512968 0.075704666 0.145501369 0.308907289 0.438100529 0.551037224

2 0.088338135 0.169133007 0.301148757 0.478091754 0.540310199 0.585290194

3 0.167561573 0.335123147 0.670246294 0.875380177 1.252795659 10.08007008

4 0.241995886 0.483991772 0.702999122 1.359598321 2.444711505 22.84382587

5 0.302232826 0.550678596 0.802296632 1.675615734 3.351231465 33.51231465

6 0.381755459 0.583792296 0.967983544 2.419958859 4.839917719 48.39917719

7 0.523597426 0.910209774 1.451879885 3.428073079 6.780651759 67.26840453

8 0.539401935 1.047194852 2.023815969 4.895334106 9.702601990 96.31935888

9 0.548048085 1.062040586 2.094389705 5.235974262 10.47194852 104.7194852

10 0.713893882 1.096096169 2.192192335 5.480480837 10.95712787 109.4527896

11 0.774706475 1.184495570 2.214310161 5.486977247 10.96096165 109.6096165

12 0.787689977 1.549412949 3.098825897 7.747064740 15.49412947 154.9412946

Tabla 5.7.: Valor de los autovalores para distintos valores de 1/c2


1/c2 = 3 1/c2 = 4 1/c2 = 5c = 0.57735027 c = 0.5 c = 0.4472136

Mod

o1

ω2 = 0.227306E0 ω2 = 0.177798E0 ω2 = 0.145501E0

Mod

o2

ω2 = 0.411187E0 ω2 = 0.350656E0 ω2 = 0.301149E0

Mod

o3

ω2 = 0.780112E0 ω2 = 0.734268E0 ω2 = 0.670246E0

Mod

o4

ω2 = 0.103367E1 ω2 = 0.837808E0 ω2 = 0.702999E0

Mod

o5

ω2 = 0.111708E1 ω2 = 0.887552E0 ω2 = 0.802297E0

Figura 5.3.10.: Comparación entre modos para distintos valores de c.


5.3.2. Orden de convergencia del estimador

A continuación se hará un análisis de la velocidad de convergencia de la aproximaciónhp obtenido en este ejemplo. La combinación de refinamiento h con refinamiento p queimplementamos, permite obtener una velocidad exponencial de convergencia

|e|H1(Ω) ≤ Ce−α3√N (5.18)

donde N es el número de grados de libertad.

En este caso no contamos con una solución analítica para verificar si el error abso-luto también tiene el mismo tipo de convergencia exponencial. Para proveer evidencianumérica de tal comportamiento, se estimó el error de las autofrecuencias obtenidasusando como valor de referencia una aproximación obtenida mediante un proceso deextrapolación de los resultados numéricos. Dado que el orden de convergencia de losautovalores debería ser el doble del de las autofunciones, para obtener un valor másexacto podemos aplicar un procedimiento de extrapolación basado en el modelo

ω2h = ω2 + κe−2α 3√

N ,

en donde deben determinarse los parámetros ω2, κ y α mediante un ajuste de cuadradosmínimos pesados. Los pesos se eligieron de tal modo que los autovalores obtenidosω2h más precisos, que corresponden a las mallas más refinadas, tengan un valor más

significativo en el ajuste. Como los residuos en estas mallas son aproximadamenteproporcionales a e−2α 3√

N , las soluciones mejor calculadas serían justamente las quemenos influirían en un ajuste estándar. Para revertir esta situación elegimos

(e−2α 3√

N)2

como peso.

El procedimiento es el siguiente : para un α dado, obtenemos ω2 y κ de minimizar

g (λ, κ) :=J2∑j=J1

(ω2h,j − ω2 − κe−2α 3

√Nj

)2 (e2α 3√Nj

)=

J2∑j=J1

[(ω2h,j − ω2

)e2α 3√Nj − κ

]2,

(5.19)donde ω2

h,j y Nj son las coordenadas de los puntos obtenidos en el paso j, y J1 y J2

indican respectivamente el primero y el último punto del sector asintótico de la curva enel cual realizamos el ajuste. Derivando (5.19) respecto de ambas variables e igualandoa cero, obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas,que permite obtener ω2 y κ como funciones de α

∑J2j=J1 e

4α 3√Nj

∑J2j=J1 e

2α 3√Nj∑J2

j=J1 e2α 3√Nj (J2 − J1 + 1)

ω2

κ

= ∑J2

j=J1 ω2h,je

4α 3√Nj∑J2

j=J1 ω2h,je

2α 3√Nj

. (5.20)


El valor óptimo de α, a su vez, surgirá de minimizar

f(α, ω2 (α) , κ (α)

)=

J2∑j=J1

(ω2h,j − ω2 − κe−2α 3

√Nj

)2

en donde ω2 (α) y κ (α) son la solución de (5.20). La minimización de f se efectúanuméricamente, a través de un barrido en α.

La tabla 5.8 muestra los autovalores ω2h,j obtenidos en este ejemplo en cada paso de

adaptividad j, en función del correspondiente número de grados de libertad Nj.

Paso N ω2 Paso N ω2

0 102 0.4460868523998858 13 3237 0.43810057861055341 169 0.4412557869019062 14 3575 0.43810054887737662 205 0.4393954200042060 15 4162 0.43810053717784513 277 0.4386255543296321 16 4661 0.43810053235371464 384 0.4383150825659825 17 5308 0.43810053052506455 512 0.4381851705149326 18 5917 0.43810052978334626 665 0.4381338382829273 19 6653 0.43810052949399167 937 0.4381140055468192 20 7243 0.43810052937949638 1302 0.4381057699686927 21 8100 0.43810052933361539 1495 0.4381026268757748 22 9002 0.438100529315910010 1899 0.4381013508861868 23 10262 0.438100529306091111 2152 0.4381008507088723 24 11035 0.438100529304202912 2667 0.4381006540537727

Tabla 5.8.: Autovalor y número de grados de libertad en cada paso de adaptividad.

Ajustando los últimos 16 puntos de los 25 que tenemos, que incluyen a la mallainicial, obtenemos el valor de extrapolación

ω2 = 0.438100529301668

con un parámetro de convergencia α = 0.645795. En la figura 5.3.11 se muestra ellogaritmo del error ln

(ω2h,j − ω2

)calculado tomando el valor extrapolado como exac-

to, versus 3√Nj. La superposición entre la curva obtenida numéricamente y la recta

de ajuste muestra que se alcanza un orden exponencial de convergencia en la zonaasintótica de la curva.


4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4e - 2 7e - 2 6e - 2 5e - 2 4e - 2 3e - 2 2e - 2 1e - 2 0e - 1 9e - 1 8e - 1 7e - 1 6e - 1 5e - 1 4e - 1 3e - 1 2e - 1 1e - 1 0e - 9e - 8e - 7e - 6e - 5

ω2 h - ω

2

N 1 / 3

ω 2h - ω 2 =

1 e - 2 α N 1 / 3

1 = 6 , 9 3 2 7 7

2 = 0 . 6 4 5 7 9 5

Figura 5.3.11.: |ω2h − ω2| en escala logarítmica vs. 3

√N

En la figura 5.3.12 se muestra un gráfico de ln ηΩ versus 3√N , en la cual se ha

superpuesto el ajuste lineal de los últimos 8 puntos, en concordancia con la cantidadusada en el procedimiento de extrapolación. Se ve que el error estimado ηΩ alcanzaen este problema el orden exponencial de convergencia previsto en (5.18) para el errorexacto. El valor α = 0.65247 obtenido es parecido al que surge de la extrapolación delautovalor, lo que muestra la consistencia de los ajustes.

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4e - 1 3e - 1 2e - 1 1e - 1 0e - 9e - 8e - 7e - 6e - 5e - 4e - 3e - 2e - 1e 0

Ω =

2 e - N 1 / 3

2 = 1 0 , 2 6 6

2 = 0 , 6 5 2 4 7

Ω

N 1 / 3

Figura 5.3.12.: η en escala logarítmica vs. 3√N


5.3.3. Comparación entre estrategias de refinamiento h y hp

Aprovechamos este ejemplo para realizar una comparación cualitativa entre las ve-locidades de convergencia del método de refinamiento h a p fijo, con el método hp.En las figuras 5.3.13 (a) y (b) se observa en escala logarítmica el decrecimiento delerror estimado con cada uno de los pasos de adaptividad, y se distinguen las curvascorrespondientes a la estrategia de refinamiento h, variando el valor de p, y la quecorresponde a la estrategia de refinamiento hp, en negro.En la figura (a) se puede ver que la curva correspondiente a la estrategia hp tiene

una pendiente que decrece más rápidamente que las que se obtuvieron al utilizar laestrategia h, para p = 1, 2 y 3, las cuales son rectas cuya pendiente se relaciona condicho valor. Observando el comportamiento global al variar el orden de los polinomiosinterpolantes, se deduce inmediatamente que a medida que éste aumenta decrece másrápidamente el error estimado, y se acerca más hacia la curva obtenida con el métodohp. Esto lleva entonces a formular la siguiente pregunta : ¿es posible lograr una apro-ximación más eficiente que la obtenida con la estrategia de refinamiento hp, utilizandosólo la estrategia h con un valor suficientemente alto de p ? O dado que la pendiente enmétodo hp aumenta con el número de grados de libertad, ¿es posible obtener un valorde η menor con una estrategia h, para algún paso de adaptividad, al obtenido con elmétodo de adaptovidad hp ?Observando la figura (b), notamos que si seguimos aumentando el orden de los poli-

nomios interpolantes aumenta también el número de grados de libertad del primerpaso de adaptividad. Esto demora más la convergencia hacia a una recta de pendienteproporcional a p. En consecuencia no se observa que para algún valor de p fijo, laestrategia de refinamiento h sea más eficiente que la estrategia hp, para algún númerodeterminado de pasos de adaptividad.

10000 100000 10000001E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

hp p=1 p=2 p=3

η

DOF

(a) hp vs. h, variando p entre 1, 2 y 3.

1000 10000 100000

1E-3

0,01

0,1

1

hp p=4 p=6 p=8 p=10

η

DOF

(b) hp vs. h, variando p entre 4, 6, 8 y 10.

Figura 5.3.13.: Curvas de decrecimiento del error estimado y aumento del número degrados de libertad (DOF) con cada paso de adaptividad.


5.4. Cavidad en forma de L con tubos de diferentesformas y propiedades físicas

En el tratamiento del problema de Laplace desarrollado en [7], la formulación varia-cional (4.1)

ˆ

Ω

∇Φ · ∇Ψ =K∑j=1

ρω2

kj −mjω2

ˆ

Γj

Φn

ˆ

Γj

Ψn

no conduce en principio a un problema de autovalores, ya que la frecuencia de reso-nancia aparece en K expresiones racionales diferentes. En dicho trabajo se demostróque mediante una compleja manipulación matricial puede reducirse a un sistema ge-neralizado estándar de autovalores. En cambio, en este nuevo trabajo la formulaciónvariacional en el espacio H1 (Ω)× R2K (2.20) 29, ampliado con la inclusión de las ve-locidades de los tubos Si como variables independientes, conduce naturalmente a unproblema simétrico generalizado de autovalores con matriz de masa simétrica y definidapositiva, independientemente de que los parámetros físicos y geométricos de los tubossean distintos. En esta sección presentamos un ejemplo extraído de ([7]), en el cualaparecen tubos de diferente geometría y con distintos parámetros físicos.Dentro de una cavidad en forma de L, se encuentran dos tubos octogonales y uno

cuadrado. La malla inicial se muestra en la figura 5.4.1.

2 3

1

Figura 5.4.1.: Dominio y malla inicial.

Los parámetros físicos que se tomaron para el fluido, para la cavidad y para los tubosson los siguientes :

86 5.4. Cavidad en forma de L con tubos de diferentes formas y propiedades físicas

ρ0 = 5.0 kgm3 L = 1.0 m

c = 1.0 ms d = 0.25 m

k1 = 0.995 kgms2 m1 = 1.0 kg

mk2 = 1.13 kg

ms2 m2 = 1.0 kgm

k3 = 1 .0 kgms2 m3 = 0.995 kg

m

Los parámetros de control que aparecen en el algoritmo se han elegido como sigue :θ = 0.5, γh = 20.0, γp = 0.4 y γn = 2.5.

En este caso, el dominio del fluido tiene ángulos reentrantes en los vértices de lostubos y en el vértice reentrante de la frontera externa, produciendo singularidades quecompiten entre sí en el proceso de refinamiento.

La figura 5.4.2 muestra las mallas obtenidas con el algoritmo adaptivo correspon-dientes a los pasos 4, 8, 12, 16, 20 y 24. Se puede apreciar como aumenta el orden pde los elementos alejados de las singularidades, que a la vez son los que sufren menosrefinamiento h, proceso que se encuentra concentrado en las proximidades de los vérticesreentrantes.

En la figura 5.4.3 presentamos una sucesión de ampliaciones de la malla del paso24 alrededor del vértice superior derecho del cuadrado, y en la figura 5.4.4 alrededordel vértice reentrante de la cavidad rígida. La figura 5.4.5 muestra una sucesión deampliaciones en uno de los ángulos reentrantes de la parte inferior del tubos octogonalinferior. En cada figura de la sucesión se amplifica 10 veces la imagen previa.

En todos los casos se observa el comportamiento hp-adaptivo típico : a medida quenos aproximamos a la singularidad, el orden p de los elementos disminuye gradualmente,hasta alcanzar el orden más bajo (2 en este ejemplo) en los elementos más cercanos alvértice. El número de ampliaciones requeridas para que sean visibles los elementos máspequeños, indica aproximadamente que el refinamiento h es similar en los tres casos,tanto en el vértice del octógono, en el vértice reentrante de la frontera externacomo enel vértice del cuadrado.

El ejemplo permite también observar cómo el proceso adaptivo refina adecuadamentetanto en las singularidades producidas por los vértices reentrantes de los tubos inmersosen el fluido, como en las singularidades provocadas por la geometría de la cavidad rígida.


9

8

7

6

5

4

3

2

(a) Paso 4

9

8

7

6

5

4

3

2

(b) Paso 8

9

8

7

6

5

4

3

2

(c) Paso 12

9

8

7

6

5

4

3

2

(d) Paso 16

9

8

7

6

5

4

3

2

(e) Paso 20

9

8

7

6

5

4

3

2

(f) Paso 24

Figura 5.4.2.: Cavidad en forma de L con 1 tubo cuadrado y 2 octogonales. Mallasrefinadas. Adaptividad sobre el modo 1.


10^−110^−2 10^−3

10^−4 10^−5 10^−6

10^−7

10

9

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.4.3.: Vértice del tubo cuadrado. Malla refinada : paso 24. Ampliaciones suce-sivas.


10^−110^−2 10^−3

10^−4 10^−5 10^−6

10^−7

10

9

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.4.4.: Ángulo reentrante de la cavidad en forma de L : paso 24. Ampliacionessucesivas.


10^−1 10^−210^−3

10^−4 10^−510^−6

10^−7

10

9

8

7

6

5

4

3

2

Figura 5.4.5.: Vértice del tubo octogonal inferior : paso 24. Ampliaciones sucesivas.


Finalmente, para visualizar la solución, en la figura 5.4.6 se muestra el campo develocidades para el fluido y los tubos en el modo 1, el cual es el primer modo deLaplace. En la figura 5.4.7 se muestran los resultados para el modo 7, el cual es elprimer modo de Neumann. Cabe destacar de la comparación entre estos dos modosque si bien la dirección de movimiento de los tubos resulta parecida, las amplitudesde los mismas y el movimiento del fluido son completamente distintos. En el primercaso, se observa que el tubo con menor rigidez es el que mayor amplitud tiene. Además,el fluido muestra un comportamiento similar al incompresible, en donde las líneas decorriente se dirigen desde el borde de ataque hacia el borde de fuga. En el modo 7,el fluido acompaña a los tubos comprimiéndose contra la pared. Además la amplitudde los tres tubos resulta similar, lo que puede ser evidencia de que para este modo lasdiferencias en las amplitudes no son afectadas sensiblemente por los parámetros físicos,como sí ocurre con el primer modo de Laplace. De hecho, como se muestra la tabla 5.12,que indica las velocidades de los tubos (normalizadas) para el modo 1, observamos quela mayor velocidad está en el tubo con soporte menos rígido y la menor está en el tubocon soporte más rígido. En cambio, en la tabla 5.13 con datos del modo 3, se observaun comportamiento simétrico de los tubos 1 y 3, y la mayor amplitud está en el tubo2, situación que esperaría encontrarse en un caso de tubos con todos los parámetrosiguales.


Figura 5.4.6.: Campo de velocidades de los tubos y del fluido. Modo 1.

Tubo n° Sx Sy |S|1 -3.822 7.134 8.093

2 -3.074 1.944 3.637

3 -3.341 2.269 4.039

Tabla 5.12.: Componentes y módulo de la velocidad de los tubos, para el modo 1.


Figura 5.4.7.: Campo de velocidades de los tubos y del fluido. Modo 7.

Tubo n° Sx Sy |S|1 0.726 -3.143 3.226

2 2.798 -2.798 3.957

3 3.155 -0.729 3.238

Tabla 5.13.: Componentes y módulo de la velocidad de los tubos, para el modo 7.

94 5.5. Cavidad cilíndrica con 28 tubos cilíndricos

5.5. Cavidad cilíndrica con 28 tubos cilíndricosEn esta sección presentameos un ejemplo de mayor interés práctico, ya que cier-

tos problemas de vibraciones que aparecen frecuentemente en la industria pueden serestudiados utilizando la implementación del modelo de Helmholtz desarrollada. En par-ticular, en la industria de la energía nuclear existen numerosos dispositivos sometidos avibraciones que presentan geometrías que son factibles de analizar. Un ejemplo son lasbarras combustibles de los reactores nucleares de potencia, en donde algunos diseñosconsisten en un arreglo de barras cilíndricas, los elementos combustibles, dispuestos enforma de coronas concéntricas, y que van alojados dentro de un tubo cilíndrico, llamadocanal combustible. Diseños con estas características geométricas pueden encontrarse enlas barras combustibles de los reactores de las centrales nucleares Embalse, Atucha I yAtucha II, para citar algunos casos.En la figura 5.5.1 mostramos la imagen que corresponde a la descripción anterior.

Se trata de una barra combustible para reactores de tipo CANDU, de 28 elementos,de 52 cm de longitud y sin separadores interiores. Uno de los materiales que se ve enla foto, tanto en las barras como en el canal combustible, es Zircalloy. En este caso, ladisposición de los tubos es horizontal, por lo que los elementos quedarían apoyados sobreel canal combustible, si no fuera por unos pequeños separadores de aproximadamente0.5 mm de espesor, que alcanzan a verse en la imagen en la entrada del tubo. Sinembargo esta situación no se tuvo en cuenta en el ejemplo propuesto. Como se ve en lafigura 5.5.2, se simplificó esta geometría considerando un corte transversal de algunasección intermedia del arreglo, cuyos tubos están dispuestos de forma simétrica respectoal centro del tubo exterior.

Figura 5.5.1.: Arreglo de elementos combustibles tipo CANDU modelos Pickering yBruce.


Figura 5.5.2.: Geometría de un corte transversal del problema.

Al analizar el problema, primero se identificaron las simetrías que contiene el domi-nio. En la figura 5.5.2 se ven en líneas de trazos cuatro subdivisiones con simetríasrespecto de los ejes a 0 y 90°, y en líneas de puntos otras cuatro subdivisiones consimetrías respecto a los ejes a 45 y 135°. La primera posibilidad, con líneas de trazos,permite dividir el dominio sin pasar a través de ningún tubo. En cambio la segundaposibilidad, con líneas de puntos, divide a los tubos de la corona interior por la mitad.Como se explicó en el capítulo 4, en las fronteras ΓS que dividen al fluido debe imponersealgún tipo de condiciones de borde, que en la presente implementación se puede optarentre condiciones homogéneas de Dirichlet o de Neumann. Si hay tubos divididos,se puede optar por utilizar una condición de borde no local ingresando además unadirección de movimiento, o dejarlo con condición de Neumann homogénea si el tubo estáquieto. Una ventaja inmediata de la primera es su sencillez por no dividir tubos. Perola mayor ventaja la otorga el hecho de que, como verificaremos más adelante, se puedenreproducir todos los modos de la malla completa empleando las cuatro combinacionesde condiciones de borde homogéneas, a saber : D-D, D-N, N-D, N-N. En cambio conla segunda posibilidad, se debe ingresar la dirección de movimiento del tubo, que no esbien conocida en todos los casos. Además no se pueden reproducir todos los modos de lamalla completa utilizando condiciones de borde homogéneas. Por ejemplo, si aplicamoscondiciones de borde D-N en un subdominio limitado por las líneas de trazos, podemos


encontrar modos que no presenten condiciones de borde homogéneas a 45°. Estos modosno pueden reproducirse con el código presente dividiendo el dominio a través de laslíneas de puntos. Por estas razones, se decidió tomar una partición del dominio deacuerdo a la primera posibilidad presentada, como se puede ver en la figura 5.5.3 quemuestra la malla inicial.

Figura 5.5.3.: Malla inicial.

Para generar la malla se utilizó el programa D2D, empleando previamente el pro-grama de dibujo XFIG para dibujar la geometría. En principio, no podemos asegurarque la malla generada con este procedimiento preserve las simetrías presentes en eldominio. Sin embargo, esta situación nos impide estudiar adecuadamente la multipli-cidad de los modos, ya que una ruptura de la simetría del problema introducida por lamalla provocaría un desdoblamiento de los autovalores múltiples provenientes de dichasimetría. Para subsanar este inconveniente, teniendo en cuenta de que este subdominioera aún simétrico respecto a una reflexión a 45°, se dibujó primero la malla de unaporción de 1/8 del dominio inicial, abarcando desde 0° hasta los 45° y considerandoel corte del tubo de la corona interior. Luego se extendió esta malla por reflexión y seunieron ambas con el comando merge de ENREDO, quedando una malla que abarcadesde 0° a 90°. Este cuidado permite que las soluciones numéricas de los autovaloresmúltiples se conserven iguales dentro de la precisión utilizada para generar la malla.Si bien en todos los demás programas que utilizamos se trabaja con doble precisión, elprograma Enredo empleado para unir las mallas entrega las posiciones de los nodos ensimple precisión.


Los parámetros físicos tomados para el presente ejemplo son los siguientes :

Øcavidad = 0.1034 m k = 27800 kgms2

Øtubo = 0.01524 m m = 0.22 kgm

Espacio mínimo entre elementos = 0.00127 m c = 1200 ms

Espacio mínimo entre cavidad y elementos = 0.0005 m ρ0 = 1000 kgm3

que corresponden a tubos soportados con la elasticidad del acero, sumergidos en agua.Los parámetros geométricos se obtuvieron de [14], y los parámetros físicos fueron ex-traídos de la referencia [15]. El parámetro adimensional Π3 que arroja estos datos,tomando como longitud característica el diámetro de un tubo es :

Π3 = 2.04× 10−5 (5.21)

y el valor k/m resulta

k

m= 1.2

_63× 105 rad

s2 =⇒ 12π

√k

m= 56.5758632407 Hz (5.22)

En la tabla 5.14 se muestran los autovalores obtenidos en el paso 0 de adaptividad.Si bien los valores numéricos aquí presentados contienen un error importante, es esteel único paso en donde se mantienen las simetrías de la malla, ya que al comenzar elproceso de refinamiento adaptivo se pierden estas simetrías, y por lo tanto los modosmúltiples resultan más dificiles de identificar. En la primera columna, se encuentranlos autovalores para cada uno de los modos, ya que fueron obtenidos con una malla deldominio completo. Las siguientes columnas presentan los autovalores obtenidos con las4 combinaciones posibles de condiciones de borde homogéneas, ubicados en la fila que,según la identificación, se corresponde al número de modo de la malla completa. Sepresentan los primeros 71 autovalores incluyendo el nulo, de los cuales 56 correspondena los introducidos por los 2K tubos. Se destaca un “salto” en el orden de magnitudde los autovalores desde el modo 56 al 57. Por último, notamos que exiten 14 modosasociados a cada combinación de condiciones de borde con autovalores no nulos menoresa k/m, cuyo valor se muestra en (5.22).


N° Mallacompleta DD DN ND NN

0 0.34167717938E−02 0.65050500860E−03

1 0.21608392560E+05 0.21608106632E+05

2 0.21658743488E+05 0.21658375348E+05

3 0.21832662151E+05 0.21832432561E+05

4 0.21874561285E+05 0.21874065172E+05

5 0.21874562386E+05 0.21874065179E+05

6 0.22319021369E+05 0.22318429168E+05

7 0.22354662499E+05 0.22354417280E+05

8 0.22354662500E+05 0.22354417286E+05

9 0.22370783512E+05 0.22370493089E+05

10 0.22428343808E+05 0.22427879499E+05

11 0.22742358996E+05 0.22741764844E+05

12 0.22742358998E+05 0.22741764848E+05

13 0.22908847244E+05 0.22908189023E+05

14 0.23203914607E+05 0.23203446009E+05

15 0.23203914607E+05 0.23203446011E+05

16 0.23316559334E+05 0.23316108632E+05

17 0.23654754963E+05 0.23654677925E+05

18 0.23654754963E+05 0.23654677940E+05

19 0.25034460341E+05 0.25034303763E+05

20 0.26063732725E+05 0.26063480256E+05

21 0.27151500240E+05 0.27151520714E+05

22 0.29555004733E+05 0.29554963782E+05

23 0.29555004734E+05 0.29554963794E+05

24 0.33838023804E+05 0.33838021486E+05

25 0.36324887450E+05 0.36324821799E+05

26 0.39486771017E+05 0.39486717410E+05

27 0.39486771017E+05 0.39486717422E+05

28 0.41792554350E+05 0.41792360136E+05

29 0.41797108809E+05 0.41797093672E+05

30 0.43563703950E+05 0.43563516382E+05

31 0.43563703951E+05 0.43563516407E+05

32 0.46011038321E+05 0.46010881926E+05

33 0.54521475336E+05 0.54520970026E+05

34 0.56224932141E+05 0.56224722271E+05

35 0.56224932143E+05 0.56224722303E+05

36 0.60720764241E+05 0.60720000608E+05

37 0.60720764241E+05 0.60720000637E+05

38 0.61180515766E+05 0.61179945228E+05

39 0.61310648181E+05 0.61309796602E+05

Tabla 5.14.: Identificación de los modos. Paso 0.


40 0.69680978132E+05 0.69680574409E+05

41 0.74733406698E+05 0.74733113041E+05

42 0.74733406698E+05 0.74733113053E+05

43 0.77744068119E+05 0.77743803830E+05

44 0.80098102726E+05 0.80097913569E+05

45 0.86941429366E+05 0.86941125316E+05

46 0.87835376069E+05 0.87835129419E+05

47 0.87835376072E+05 0.87835129437E+05

48 0.90298066739E+05 0.90297755008E+05

49 0.90813392762E+05 0.90813179139E+05

50 0.90813392762E+05 0.90813179144E+05

51 0.91657675943E+05 0.91657523544E+05

52 0.99083634651E+05 0.99083317500E+05

53 0.99083634654E+05 0.99083317526E+05

54 0.10090887969E+06 0.10090870060E+06

55 0.10125087836E+06 0.10125071880E+06

56 0.10136311256E+06 0.10136266090E+06

57 0.41439194004E+10 0.41439296802E+10

58 0.41439194005E+10 0.41439296823E+10

59 0.11143763603E+11 0.11143800279E+11

60 0.11362050706E+11 0.11362100320E+11

61 0.16628942626E+11 0.16628931827E+11

62 0.20388923765E+11 0.20389027288E+11

63 0.20388923768E+11 0.20389027319E+11

64 0.25755498920E+11 0.25755474549E+11

65 0.25755498921E+11 0.25755474559E+11

66 0.28539901044E+11 0.28540016582E+11

67 0.31779999470E+11 0.31780257470E+11

68 0.32882154837E+11 0.32882075626E+11

69 0.35204314553E+11 0.35204189189E+11

70 0.35216696198E+11 0.35216647209E+11

Tabla 5.14 (continuación).

Es de esperar que los modos que provienen de tomar las condiciones de borde D-Ny N-D sean dobles, debido a la simetría del subdominio alrededor de 45°. Todos losdemás modos generados por las condiciones N-N y D-D parecen ser simples, excepto losmodos 28 y 29, que presentan autovalores muy parecidos, por lo que es difícil concluirrespecto a su multiplicidad. Puede ocurrir, por un lado, que la multiplicidad provengade otra simetría del dominio completo para cuya consideración fuera necesario tomarun subdominio diferente al analizado, o por otro lado, que éste sea directamente unmodo degenerado no proveniente de una simetría del dominio.En las figuras 5.5.4 (a), (b), (c) y (d) se muestran las mallas refinadas en el quinto


paso de adaptividad para las distintas condiciones de borde adoptadas.

5

4

3

2

(a) Dirichlet (horizontal)-Dirichlet (vertical)

5

4

3

2

(b) Dirichlet (horizontal)-Neumann (vertical)

5

4

3

2

(c) Neumann (horizontal)-Dirichlet (vertical)

5

4

3

2

(d) Neumann (horizontal)-Neumann (vertical)

Figura 5.5.4.: Agua. Paso 5

En la tabla 5.15 se presentan los valores de las frecuencias de los modos de vibraciónen unidades de Hz. Se puede ver que las primeras 2K = 56 frecuencias son menores ala frecuencia del sistema masa-resorte en vacío, dada por (5.22). Por otro lado, debe-mos notar que el autovalor correspondiente al modo “0” no es un cero numérico tanpequeño como en los ejemplos anteriores. Respecto a esta situación podemos inferirque el método de iteración de subespacios parece no ser tan robusto para el tipo dedistribución espectral de las frecuencias que se presenta en este ejemplo particular,debido a los “saltos” en los órdenes de magnitud de los autovalores.


N° Mallacompleta CB

0 0.00115664248642 NN

1 23.2772284333117 NN

2 23.3117449336263 NN

3 23.4087397932061 NN

4 23.4187625781977 ND

5 23.4187147065516 DN

6 23.6535524231339 DD

7 23.6863984814510 DN

8 23.6872122176115 ND

9 23.7046349619668 NN

10 23.7295489351945 NN

11 23.8800964655263 ND

12 23.8800416130776 DN

13 23.9630732696963 DD

14 24.1325052869842 ND

15 24.1321110066283 DN

16 24.1905615880596 DD

17 24.3742397386900 DN

18 24.3752855424854 ND

19 25.0708595595177 NN

20 25.5775456043654 NN

21 26.1346315972584 DD

22 27.2641431543816 ND

23 27.2638956244050 DN

24 29.1745937593547 NN

25 30.2540310458802 NN

26 31.5513767034914 ND

27 31.5512043232265 DN

28 32.4494335368751 DD

29 32.4728003611653 NN

30 33.1415430645326 DN

31 33.141647598182 ND

32 34.0691386777596 DD

33 37.0980894037395 NN

34 37.6803708286935 ND

35 37.6811986862591 DN

N° Mallacompleta CB

36 39.1612256597557 DN

37 39.1615484902515 ND

38 39.3118834654109 DD

39 39.3475486063086 DD

40 41.9643254115279 NN

41 43.4725396295991 ND

42 43.4721997554128 DN

43 44.3418453451141 NN

44 45.0114711642965 DD

45 46.9032476452778 DD

46 47.1464913753674 DN

47 47.1463074714338 ND

48 47.8044008748154 NN

49 47.9454533608342 DN

50 47.9456317787733 ND

51 48.1760483850297 DD

52 50.0854049953029 ND

53 50.0850849510955 DN

54 50.5490016907449 DD

55 50.6375623811894 DD

56 50.6651088392104 DD

57 10270.2318954485 DN

58 10270.1579502695 ND

59 16839.9823316714 NN

60 17007.7172368531 DD

61 20558.0865768105 NN

62 22777.1794626387 ND

63 22777.3681197521 DN

64 25567.6633218670 DN

65 25567.3535394100 ND

66 27044.2497809933 NN

67 28427.0566395906 DD

68 28886.5030002716 NN

69 29926.5105935119 NN

70 29877.7158251542 DD

Tabla 5.15.: Frecuencias en Hz de los modos normales de vibración. 5 pasos de adap-tividad.


D

D

(a) Modo 1

D

D

(b) Modo 8

D

D

(c) Modo 10

D

D

(d) Modo 11

D

D

(e) Modo 14

D

D

(f) Modo 15

Figura 5.5.5.: Campos de velocidades en la malla extendida. CB : D-D.


En la figura 5.5.5 se presentan los campos de velocidades de algunos modos obtenidoscon las condiciones de borde homogéneas Dirichlet-Dirichlet, que resultaron intere-santes de analizar.En la figura (a) vemos el modo 1 de D-D, que corresponde al modo 6 de la malla com-

pleta. Se puede observar que, si bien los tubos presentan poca amplitud de movimiento,en algunas zonas el fluido debe circular a través de estrechamientos, lo cual produceque adquiera grandes velocidades. Este comportamiento es local, ya que el movimientodel fluido en las zonas restantes es mucho menor.En la figura (b) se muestra el modo 8, que corresponde al 39 de la malla completa,

y que presenta la particularidad de que los tubos de la corona exterior se mueven endirección radial y con sentidos alternados entre tubos contiguos. Esto provoca que lasmayores velocidades del fluido se provoquen en las zonas aledañas a la pared de lacavidad.En la figura (c) se representa el modo 10, correspondiente al modo 45 del dominio

completo. Se observa que los movimientos de los tubos de las dos coronas exteriores sepueden dividir en 4 grupos con trayectorias de desplazamiento tangentes a elipses. Elfluido presenta el mismo grado de movimiento en todo el dominio.En la figura (d), que muestra el modo 11 de D-D equivalente al modo 51 del problema

completo, muestra que los tubos pertenecientes a la corona intermedia se desplazansobre de la tangente de un círculo, y el fluido circundáneo es desplazado por ellos haciafuera de la corona.Un comportamiento similar al anterior, pero principalmente con los tubos de la

corona exterior y en menor medida con los de la corona interior, se muestra en lafigura (e), que corresponde al modo 14 de este problema y que equivale al modo 56 delproblema completo.Por último, se muestra en la figura (f) el modo 15, el primer modo de Neumann de

este problema y que corresponde al modo 60 del problema extendido. Se visualiza uncomportamiento marcadamente compresible. Aquí el fluido acompaña a cada tubo ensu movimiento. La dirección de movimiento de los tubos pertenecientes a las coronasinterior y exterior resulta muy parecido al que se ve en el modo 10. Sin embargo, ladirección de movimiento de la corona intermedia está invertida.


D

N

(a) Modo 2

D

N

(b) Modo 7

D

N

(c) Modo 10

D

N

(d) Modo 14

D

N

(e) Modo 15

D

N

(f) Modo 16

Figura 5.5.6.: Campos de velocidades en la malla extendida. CB : D-N.


En la figura 5.5.6 se muestran los campos de velocidades de 6 de los modos obtenidoscon las condiciones de borde homogéneas Dirichlet-Neumann.En la figura (a) vemos el modo 2, que corresponde al modo 7 del problema completo.

Se observa que los 12 tubos que están por debajo y por encima del eje horizontalmuestran un movimiento en la dirección vertical de la hoja. Esto produce que el fluidoadquiera grandes velocidades al pretender circular a través de los estrechamientos.También se notan otras zonas cercanas a los tubos de la corona exterior en donde elfluido muestra dicha aceleración local.En la figura (b) se tiene el modo 7, que corresponde al 27 de la malla completa, y

que muestra el comportamiento típico de un flujo incompresible al circular alrededorde un tubo en movimiento dirigiéndose desde el borde de ataque del tubo hacia el ladoopuesto.En la figura (c) se representa el modo 10, correspondiente al modo 36 del dominio

completo, en donde los tubos que presentan mayor amplitud de movimiento son los dela corona exterior que están inmediatamente por arriba y por debajo del eje horizontal.En la figura (d), que muestra el modo 14 de D-N equivalente al modo 53 del problema

completo, muestra dos grupos de 10 tubos cada uno que de desplazan ordenadamentealrededor de lo que parecen dos “lóbulos”. El fluido se mueve significativamente enmenor medida cerca del centro de los mismos.En la figura (e), que corresponde al modo 15 de este problema y que equivale al modo

57 del problema completo, se muestra el primer modo de Neumann de este problema.El movimiento de los tubos aledaños al eje horizontal es parecido al movimiento enel segundo modo. Sin embargo el fluido se dirige en la misma dirección que los tubos,contrario al comportamiento del modo 2.Para finalizar, el modo 16 correspondiente al modo 63 del problema completo se

puede visualizar en la figura (f). En comparación con el modo 15 de caso con condi-ciones de borde de DD, en donde se observan dos fuentes y dos sumideros ubicadossimétricamente a 90° uno respecto al otro, aquí observamos 3 fuentes ubicadas en formaalternada con 3 sumideros.


N

D

(a) Modo 1

N

D

(b) Modo 9

N

D

(c) Modo 11

N

D

(d) Modo 14

N

D

(e) Modo 15

N

D

(f) Modo 17

Figura 5.5.7.: Campos de velocidades en la malla extendida. CB : N-D.


En la figura 5.5.7 se muestran los campos de velocidades de 6 de los modos obtenidoscon las condiciones de borde homogéneas Neumann-Dirichlet. Como este caso es equi-valente al anterior, con soluciones rotadas en 90°, se muestran algunos modos que nose mostraron con D-N.En la figura (a) tenemos el modo 1, que corresponde al modo 4 del problema comple-

to. Se observan aceleraciones locales en el fluido, en dirección opuesta a la de movimien-to de los tubos.En la figura (b) observamos al modo 9, que corresponde al 34 de la malla completa,

muestra a los tubos con mayor amplitud ubicados dentro de la corona interior, con lamisma dirección de movimiento y sentido opuesto.En el caso de la figura (c), en donde se grafica el modo 10, correspondiente al modo 37

del dominio completo, en donde los tubos que presentan mayor amplitud de movimientoson que están inmediatamente por arriba y por debajo del eje horizontal. A diferenciadel modo 2, estos tubos presentan mayor amplitud y sentido de movimiento alternado.En la figura (d), que muestra el modo 14 de N-D equivalente al modo 52 del problema

completo, se observa rotado a 90° un comportamiento similar al modo equivalente enel caso con condiciones de D-N.En la figura (e), que corresponde al modo 15 de este problema y que equivale al

modo 58 del problema completo, se muestra el mismo comportamiento que en el modo15 con D-N.Y por último se ve en el modo 17, el correspondiente al modo 65 del problema

completo, cómo el fluido tiene un comportamiento de fuente y sumidero, en dos puntosubicados sobre el eje horizontal.


N

N

(a) Modo 1

N

N

(b) Modo 8

N

N

(c) Modo 10

N

N

(d) Modo 14

N

N

(e) Modo 15

N

N

(f) Modo 16

Figura 5.5.8.: Campos de velocidades en la malla extendida. CB : N-N.


En la figura 5.5.8 se presentan algunos resultados para la última combinación posiblede condiciones de borde, es decir Neumann-Neumann.En la figura (a) vemos el modo 1, que corresponde al modo 1 de la malla completa.

De nuevo para estos modos bajos se observan grandes velocidades locales dentro de losestrechamientos.En la figura (b) se muestra el modo 8, que corresponde al 24 de la malla completa.

Este modo presenta un movimiento radial de los tubos de la corona interior y dela exterior, y un movimiento tangencial de los tubos de la corona intermedia. Estosmovimientos son alternados.En la figura (c) se representa el modo 10, correspondiente al modo 29 del dominio

completo, en donde el movimiento significativo está en los tubos de la corona central,que se mueven en dirección radial.En la figura (d), que muestra el modo 14 de N-N equivalente al modo 48 del problema

completo, se ve que el movimiento de los tubos puede dividirse en 4 “lóbulos”.En la figura (e), que ilustra el modo 15 de este problema y que equivale al modo 59

del problema completo se observa el comportamiento compresible en dos fuentes y dossumideros que se ubican simétricamente sobre el borde exterior.Para finalizar con los ejemplos de los modos, se muestra en la figura (f) el modo 16,

que corresponde al modo 61 del problema extendido. Se observa claramente la direcciónradial de todos los tubos, teniendo como fuente/sumidero de fluido al centro del tubo.


5.5.1. Comparación con el modelo resuelto con fluidoincompresible

A continuación mostraremos un resultado que describe cuantitativamente el errorque se estaría cometiendo al despreciar los efectos de compresibilidad que podría tenerel problema analizado con agua como fluido incompresible. En la tabla 5.16 se muestranlos autovalores obtenidos para el caso anterior con c = 1200 m

s , para los primeros modosque involucran a cada una de las combinaciones posibles de condiciones de borde,y para el modo número 15 de ellos, que equivalen al primer modo de Neumann decada uno. Se hizo adaptividad sobre cada uno de ellos específicamente. En la columnavecina, se muestran los resultados para los autovalores de los mismos modos, calculadosconsiderando un flujo incompresible, que para el modelo númerico significó tomar c =100000 m

s .

N° CB ω2 con c=1200 ω2 con c=10E+5 Error Relativo

1 NN 23.2772284333117 23.2772659942472 0.0002%

4 ND 23.4187625781977 23.4187912095711 0.0001%

5 DN 23.4187147065516 23.4187433225613 0.0001%

6 DD 23.6535524231339 23.6535831350159 0.0001%

57 ND 10271.5676033677 169784.997224921 1553%

58 DN 10271.5111903818 175189.886118634 1606%

59 NN 16840.727087414 162928.017175029 867%

60 DD 17007.9674299369 175995.140055535 935%

Tabla 5.16.: Comparación entre autofrecuencias obtenidas con fluido levemente com-presible y con fluido incompresible, considerando agua como fluido.

Como cabía esperar, los modos de Laplace mostraron muy poca diferencia para lasdistintas velocidades, y la diferencia aumentó considerablemente para los modos deNeumann.

Conclusiones

Sobre el modelo matemático

• Hasta donde conocemos, la formulación teórica del problema de Helmholtz de-sarrollada en este Proyecto Integrador es original. Este modelo representa un méto-do alternativo al presentado en [6], que resulta particularmente adecuado para serutilizado en el cálculo de aproximaciones por elementos finitos. La inclusión de lasvelocidades de los tubos como incógnitas adicionales, permitió reducir el proble-ma cuadrático original de autovalores a un problema generalizado estándar, bienplanteado, con matriz de masa simétrica y definida positiva, y con matriz de rigidezsimétrica y semi-definida positiva.• La implementación del modelo de Helmholtz presentado en este trabajo contem-

pla al problema de Laplace fijando 1c2

= 0, y además permite la utilización deparámetros físicos distintos desde la formulación variacional, constituyendo unaherramienta más versátil que la desarrollada en [7] para tratar el caso particularde fluido incompresible. Una ventaja adicional de esta formulación es que el álge-bra matricial es muy simple : no necesita proyecciones ni rotaciones para obtenerun problema resoluble.• El estimador de error implementado tiene las propiedades matemáticas deseables :

es confiable y eficiente. Su implementación es imprescindible para obtener un al-goritmo hp-adaptivo. El esquema de adaptividad es una extensión del presentadoen [8]. Con estas herramientas se mantiene el orden exponencial de convergenciaque teníamos para el modelo de Laplace.

Sobre la implementación

• Se validó la implementación estudiando un problema cuya solución analítica no seencontró en la principal bibliografía referida al tema, pero que logramos resolvermediante la utilización de funciones de Bessel y un programa de manipulaciónsimbólica. En este caso hay un error adicional proveniente de la aproximacióndel dominio, y sin embargo los autovalores obtenidos con el método hp-adaptivocoinciden con gran precisión con los analíticos.• Verificamos experimentalmente que la implementación computacional del modelo

111

112

de Helmholtz aquí presentada tiene un comportamiento robusto cuando c −→∞,ya que los primeros 2K autovalores no nulos obtenidos tienden a los del modelode Laplace, mientras que los restantes tienden a ∞.• La implementación permite además fijar 1

c2estrictamente igual a 0. En esta situación,

obtenemos un problema de autovalores con matriz de masa de rango 4K, comose muestra en el teorema 5. Verificamos experimentalmente que este método dacomo resultado los mismos autovalores que se obtienen en la implementación delproblema con fluido incompresible de [7], a partir de una matriz de masa de rango2K.

Sobre los ejemplos numéricos• Para los modos analizados en el problema de la cavidad rectangular con un tubo

romboidal, se observó que las singularidades mantuvieron su órden alrededor delos vértices reentrantes tanto uno de los primeros 2K modos (modos de Laplace)como en uno de los restantes (modos de Neumann).• Dado que las autofrecuencias correspondientes a los modos de Neumann dismi-

nuyen cuando c −→ 0, podría esperarse que para un c suficientemente pequeño elmayor autovalor de Laplace coincida con el menor de Neumann, llevando un mododegenerado con multiplicidad 2 no proveniente de la simetría del dominio. Sinembargo, efectuando experimentalmente un barrido decreciente en c, observamosque el comportamiento de los autovalores es diferente al esperado, ya que los deNeumann se mantienen siempre estrictamente por encima de los de Laplace.• En el ejemplo más cercano a las aplicaciones realistas que resolvimos, notamos un

salto importante entre las frecuencias de los modos 2K y 2K + 1, producto de lapequeña compresibilidad del agua. Las primeras 2K se mantuvieron por debajode k/m, lo cual era esperado en concordancia con el teorema 3.14 de la referencia[6], y resultaron coincidentes en varias cifras respecto a las que fueron calculadasconsiderando un fluido incompresible.

Desarrollos futuros

Nuevos problemas a estudiarEl problema de las vibraciones inducidas por el flujo en los distintos componentes

de un reactor nuclear involucra una serie de fenómenos físicos, los cuales definirán lasiguiente etapa de esta línea de trabajo. Identificamos los siguientes problemas, cuyoestudio enriquecería el modelo actual :• Extensión del modelo a fluidos más generales : Problema de flujo con viscosidad,

que puede estudiarse a través del modelo de Stokes ; problema con flujo comple-tamente compresible ; problema con flujo de dos fases, de interés para analizargeneradores de vapor.• Extensiones del modelo a 3D y consideración de sólidos elásticos : Aquí se po-

drían predecir las características de los diferentes modos deformación de los tubos.Con este modelo se podría también estudiar el problema de vibraciones de loselementos combustibles de tipo placa del reactor de investigación RA-6, ubicadoen el Centro Atómico Bariloche. Podría además analizarse la influencia de otroselementos estructurales, tales como separadores.

Mejoras en la implementación• Los errores de aproximación de dominio que aparecen en los problemas con tubos

circulares producen un refinamiento espurio en sus fronteras, disminuyendo la ve-locidad de convergencia del método. Una de las posibles maneras de evitar esteinconveniente es la utilización de elementos curvilíneos.• Emplear algoritmos de diagonalización más robustos que permitan abarcar el ma-

yor rango de frecuencias en el caso de espectros con distribuciones donde falla elmétodo de iteración de subespacios.

113

Referencias bibliográficas

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[17] Demkowicz L., Computing with hp-Adaptive Finite Elements, Vol 1, Chapman &Hall/CRC Press, London, 2007.

Apéndice A.

Problemas abstractos de autovalores

Introducción

En este capítulo daremos una breve descripción de ciertos resultados que son válidospara problemas de autovalores en general, que resultan de discretizar el problema yde encontrar las aproximaciones optimas de las autofunciones del problema continuo,que viven en un espacio de dimensión infinita, con autofunciones que viven dentro dedeterminado espacio de dimensión finita. Esto nos dará ciertas propiedades sobre lasaproximaciones a los autovalores, que serán útiles para fundamentar el desarrollo delos capítulos siguientes.

Formulación variacional y el Principio Minimax

Los problemas de autovalores se presentan de la siguiente forma :

Lu = λu (A.1)

en donde L es un operador lineal que actúa sobre aquellas funciones que cumplen conlas condiciones de borde y son diferenciables de acuerdo al orden del operador.Lo que se desea determinar son las autofrecuencias λ asociadas a las autofunciones

u. La idea de Rayleigh-Ritz relaciona a la frecuencia fundamental con el valor mínimodel cociente de Rayleigh. Desde un punto de vista práctico, esto significa que puedensustituirse funciones polinómicas directamente como funciones de prueba en el cocientede Rayleigh. Así, la evaluación de este cociente constituye el problema del ensamblajede las matrices de rigidez K y de masa M . Esto llevará entonces a resolver el problemadiscreto de autovalores KQ = λMQ. Las propiedades de ambas matrices, como la

117

118

simetría, carácter de ralo y para M su carácter de definida positiva, pueden usarsepara acelerar el algoritmo numérico.

El primer paso en el método de Rayleigh-Ritz es de reescribir Lu = λu como unproblema variacional. Introducimos el cociente de Rayleigh, definido como [10] :

R (v) = a (v, v)b (v, v)

Esta funcional tiene la propiedad de que sus puntos estacionarios, es decir los puntosen donde el gradiente de R es nulo, son las autofunciones del problema (A.1).

Además, si v es una de las autofunciones uj del problema, el valor de R (v) en unpunto estacionario coincide con el del autovalor asociado λj :

R (uj) = a (uj, uj)b (uj, uj)

= λj.

Consideremos entonces el siguiente problema de autovalores : Encontrar un escalarλ ∈ R, y una función u ∈ V , tal que

a (u, v) = λb (u, v) ∀v ∈ V. (A.2)

Luego calculamos la primera variación de R en el punto u :

R (u+ εv) = a (u+ εv, u+ εv)b (u+ εv, u+ εv) = a (u, u) + 2εa (u, v) +O (ε2)

b (u, u) + 2εb (u, v) +O (ε2)

= a (u, u) + 2εa (u, v) +O (ε2)b (u, u)

[1 + 2ε b(u,v)

b(u,u) +O (ε2)]

= a (u, u) + 2εa (u, v)b (u, u)

[1− 2ε b (u, v)

b (u, u)

]+O

(ε2)

= a (u, u) + 2εa (u, v)b (u, u) − 2ε b (u, v)

b (u, u)a (u, u) + 2εa (u, v)

b (u, u) +O(ε2)

= a (u, u)b (u, u) + 2εa (u, v) b (u, u)

b (u, u)2 − 2εa (u, u) b (u, v)b (u, u)2 +O

(ε2)

= R (u) + 2εa (u, v)− λb (u, v)b (u, u) +O

(ε2)

El segundo término del segundo miembro se anula por A.2, por lo que u es puntoestacionario de R.

De manera inversa, si u es punto estacionario de R, entonces

∂R

∂ε= 0 = 2a (u, v)− λb (u, v)

b (u, u) =⇒ a (u, v) = λb (u, v)

Capítulo A. Problemas abstractos de autovalores 119

Entonces la formulación débil y la formulación de punto estacionario son equivalentes,es decir :

a (u, v) = λb (u, v) ∀v ∈ V ⇐⇒ δR (u) (v) = 0 ∀v ∈ V

Teorema 9. Principio Minimax (Poincaré, Courant, Fischer) : Si R (v) es maximiza-do sobre un subespacio `-dimensional S`, entonces el mínimo valor posible para estemáximo es λ` :

λ` = mınS`

maxv∈S`

R (v) . (A.3)

Con esto podemos llegar a nuestro objetivo, que es establecer el criterio de Rayleigh-Ritz para aproximar autovalores. Puede comenzar tanto con la forma débil a (u, v) =λb (u, v) como con la descripción de los autovalores como puntos estacionarios deR (v) = a (v, v) /b (v, v). En cualquier caso, la idea es de trabajar sólo con un espa-cio de dimensión finita Vh ⊂ V . En este espacio, buscamos un par λh y uh tal que

a (uh, vh) = λhb (uh, vh) ∀vh ∈ Vh. (A.4)

Alternativamente, los puntos críticos de R (vh) sobre el espacio Vh representan a losautovectores aproximados.Para ver que estos métodos llevan a las mismas aproximaciones, elegimos una base

ϕ1, . . . , ϕN de Vh. Luego cualquier vh ∈ Vh puede expandirse como

vh =∑

qjϕj,

en donde qj son las coordenadas generalizadas (los parámetros nodales de vh, si Vh esun espacio de elementos finitos). Sustituyendo en el cociente de Rayleigh,

R (vh) = a (vh, vh)b (vh, vh)

=∑∑

qjqka (ϕj, ϕk)∑∑qjqkb (ϕj, ϕk)

.

Las formas bilineales a (ϕj, ϕk) y b (ϕj, ϕk) representan respectivamente a los valores deentrada en las matrices de rigidez Kh y de masaMh. Por tanto el cociente de Rayleigh,en términos de vector q = (q1, · · · , qN), es exactamente

R (vh) = qtKhq

qtMhq.

Los puntos críticos de este cociente discreto son las soluciones al problema matricial

120

de autovaloresKhQh = λhMhQh.

En consecuencia, este es el problema de autovalores y autovectores que ha de ser en-samblado y resuelto. Se espera que los autovalores λh,` aproximen a los autovalorescontinuos λ`, al menos para pequeños valores de `, y los autovectores Qh,` lleven a lacorrespondiente aproximación a las autofunciones por medio de

uh,` =N∑i=1

(Qh,`)j ϕj.

Entonces, las componentes de los autovectores discretos, en el problema matricialKQ = λMQ, entregan los valores nodales de las autofunciones de elementos finitos.

La forma débil del problema lleva a exactamente el mismo resultado. Supongamosque en la ecuación A.4 tomamos vh = ϕk :

a(∑

Qh,jϕj, ϕk)

= λhb(∑

Qh,jϕj, ϕk).

Esto es simplemente la k-ésima fila de la ecuación matricial KhQh = λhMhQh.

Si las funciones de base ϕj son ortonormales, entonces la matriz de masa Mh esla identidad y el problema discreto es hallar los autovalores de Kh. Sin embargo, estacondición de ortogonalidad en ϕj es incompatible con una propiedad más importante deelementos finitos, que ϕj debería anularse sobre todos los elementos que no contenganal nodo correspondiente zj. En consecuencia, estamos obligados a aceptar que Mh 6= I.

La frecuencia fundamental λ1 es usualmente la cantidad de mayor importancia, yesperamos especialmente que λh,1 provea una buena aproximación. Nótese que λh,1 seencuentra siempre por encima de λ1, λh,1 ≥ λ1, debido a que λh,1 es el valor mínimode R (v) sobre el espacio Vh, y λ1 es el mínimo sobre todo el espacio admisible V . Esnormal esperar que si la verdadera autofunción u1 puede ser bien aproximada por elespacio Vh, entonces λh estará automáticamente cerca de λ1.

El principio Minimax se aplica similarmente bien al problema discreto, de modo quelos autovalores aporximados pueden ser caracterizados por

λh,` = mınS`

maxvh∈S`

R (vh) . (A.5)

Aquí, S` se extiende sobre todos los subespacios `-dimensionales del espacio Vh. Porsupuesto, la definición tiene sentido sólo para ` ≤ N , dado que si dim (Vh) = N , sóloexisten N autovalores aproximados. Comparando los principios Minimax (A.3) y (A.5),


sigue inmediatamente que cada autovalor es aproximado desde arriba :

λ` ≤ λh,` ∀` .

Cada subespacio S` que es permitido en la minimización de (A.5) también lo es en(A.3), y por lo tanto el mínimo λh,` en (A.5) es al lo sumo tan pequeño como λ`.

Convergencia en el caso de autofunciones regulares

En esta sección seguiremos el desarrollo del capítulo 6 de [10].Definimos la proyección de Rayleigh-Ritz :

Ph : V −→ Vh

dada por

a (Phu, vh) = a (u, vh) ∀vh ∈ Vh=⇒ a (u− Phu, vh) = 0 ∀vh ∈ Vh .

Observemos que

‖u− Phu‖2a = a (u− Phu, u− Phu) =

= a (u− Phu, u− vh) ≤≤ ‖u− Phu‖a ‖u− vh‖a

por lo tanto‖u− Phu‖a ≤ ‖u− vh‖a ∀vh ∈ Vh .

Luego‖u− Phu‖a = mın

vh∈Vh

‖u− vh‖a .

En particular‖u− Phu‖a ≤ ‖u− uh‖a .

Establecemos como hipótesis que

1.mınvh∈Vh

‖u− vh‖a ≤ Chr ‖u‖b (A.6)

2.‖u− Phu‖b ≤ Chr ‖u− Phu‖a (A.7)

122

por lo que resultan válidas las siguientes acotaciones :‖u− Phu‖a ≤ Chr ,

‖u− Phu‖b ≤ Ch2r .(A.8)

Consideremos las autofunciones exactas u1, · · · , ui, y sea Ei = 〈u1, · · · , ui〉, demodo que Si = PhEi ⊂ Vh. Sea ei = v ∈ Ei, b (v, v) = 1 y

σh,` = maxu∈ei|2b (u, u− Phu)− b (u− Phu, u− Phu)| (A.9)

Entonces, para u ∈ ei tenemos

b (Phu, Phu) = b (Phu− u+ u, Phu− u+ u) == b (Phu− u, Phu− u) + 2b (Phu− u, u) + b (u, u)

en donde b (u, u) = 1. De aquí

2b (u, u− Phu)− b (Phu− u, u) = 1− b (Phu, Phu)=⇒ 1− b (Phu, Phu) ≤ σh,`

=⇒ 1− σh,` ≤ b (Phu, Phu)

Además a (Phu, Phu) ≤ a (u, u), por lo que

λh,` ≤ maxvh∈Si

R (vh) = maxu∈ei

a (Phu, Phu)b (Phu, Phu) ≤

≤ maxu∈ei

a (Phu, Phu)1− σh,`

= 11− σh,`

maxv∈Ei

a (Phu, Phu)b (Phu, Phu) =

=(

11− σh,`

)λ`

en donde λ` ≡ maxv∈Ei

a(Phu,Phu)b(Phu,Phu) . En consecuencia

λ` ≤ λh,` ≤(

11− σh,`

)λ`

siempre que σh,` < 1.

Sea u ∈ E`, tal que u = ∑`i=1 ciui. Entonces

b (ui, u− Phu) = 1λia (ui, u− Phu)


pero además tenemos

a (Phui, u− Phu) = 0=⇒ b (ui, u− Phu) = λ−1

i a (ui − Phui, u− Phu)

Multiplicando por ci y sumando tenemos

b (u, u− Phu) =∑i

ciλ−1i a (ui − Phui, u− Phu)

=⇒ 2 |b (u, u− Phu)| = 2∣∣∣∣∣∑i

ciλ−1i a (ui − Phui, u− Phu)

∣∣∣∣∣ ≤≤ 2K

∥∥∥∥∥(I − Ph)(∑

i

ciλ−1i ui

)∥∥∥∥∥a

‖(I − Ph)u‖a ≤

≤ c′h2∥∥∥∥∥∑

i

ciλ−1i ui

∥∥∥∥∥b

∥∥∥∥∥∑i

ciui

∥∥∥∥∥b

donde hemos utilizado (A.6). El extremo ocurre cuando c` = 1 (recordamos que∑i c2i =

1), por lo tanto, para el primer término de (A.9) resulta

2 |b (u, u− Phu)| ≤ c′h2rλ` .

El otro término en σh,` es de mayor orden por (A.8). Luego

(1− σh,`)−1 = 1− σh,` + σh,`1− σh,`

=

= 1 + σh,`1− σh,`

≤

≤ 1 + 2σh,`

pues para h suficientemente pequeño es

σh,` ≤12 = 1− 1

2 ⇐⇒ 12 ≤ 1− σh,` ⇐⇒ 1

1− σh,`≤ 2

Luego λ` ≤ λh,` ≤ (1− σh,`)−1 ≤ λ`+λ`c′h2r, por lo que se prueba el siguiente resultadopara las cotas del error del autovalor :

0 ≤ λh,` − λ` ≤ cλ`h2r .

Teorema 10.‖u` − uh,`‖b ≤ Ch2r .

124

Demostración.

b (Phu`, uh,j) = b (uh,j, Phu`) = λ−1h,ja (uh,j, Phu`)

=⇒ λh,jb (Phu`, uh,j) = a (Phu`, uh,j) = a (u`, uh,j) = λ`b (u`, uh,j)

=⇒ (λh,` − λ`) b (Phu`, uh,j) = λ` [b (u`, uh,j)− b (Phu`, uh,j)]

=⇒ (λh,` − λ`) b (Phu`, uh,j) = λ`b (u` − Phu`, uh,j)

El conjunto uh,1, · · · , uh,N forma una base ortonormal para Vh y en particular

Phu` =N∑j=1

b (Phu`, uh,j)uh,j

Si λ` es simple y h suficientemente pequeño para que

λ`|λh,j − λ`|

≤ ρ ∀j

Poniendo β = b (Pu`, uh,`) tenemos

Phu` − βuh,` =∑j 6=`

b (Phu`, uh,j)uh,j

=⇒ ‖Ph (u`)− βuh,l‖2b =

∑j 6=`|b (Ph (u`) , uh,j)|2 =

=∑j 6=`

∣∣∣∣∣ λ`λh,j − λ`

∣∣∣∣∣2

|b (Ph (u`) , uh,j)|2 ≤

≤ ρ2 ‖u` − Phu`‖2b

=⇒ ‖u` − βuh,`‖b ≤ ‖u` − Ph (u`)‖b + ‖Ph (u`)− βuh,`‖b ≤≤ (1 + ρ) ‖u` − Ph (u`)‖b ≤≤ C (1 + ρ)h2r

Por la desigualdad triangular tenemos

‖u`‖ − ‖u` − βuh,`‖b ≤ ‖βuh,`‖ ≤ ‖u`‖+ ‖u` − βuh,`‖b

=⇒ 1− ‖u` − βuh,`‖b ≤ |β| ≤ 1 + ‖u` − βuh,`‖b


Elegimos u` y uh,` tales que β ≥ 0

=⇒ |β − 1| ≤ ‖u` − βuh,`‖b

=⇒ ‖u` − uh,`‖b ≤ ‖u` − βuh,`‖b + ‖(β − 1)uh,`‖b ≤ 2 ‖u` − βuh,`‖b

Luego se prueba que‖u` − uh,`‖b ≤ Ch2r

Lema 11.

a (u` − uh,`, u` − uh,`) = λ`b (u` − uh,`, u` − uh,`) + λh,` − λ` (A.10)

Demostración. Poniendo b (u`, u`) = 1 y b (uh,`, uh,`) = 1 tenemos

a (u` − uh,`, u` − uh,`) = a (u`, u`)− 2a (u`, uh,`) + a (uh,`, uh,`) == λ` − 2a (u`, uh,`) + λh,` == λ` [2− 2b (u`, uh,`)] + λh,` − λ`

Por otro lado

b (u` − uh,`, u` − uh,`) = 1− 2b (u`, uh,`) + 1 == 2− 2b (u`, uh,`)

En consecuencia

a (u` − uh,`, u` − uh,`) = λ`b (u` − uh,`, u` − uh,`) + λh,` − λ`

Corolario 12. 0 ≤ λh,` − λ` ≤ ‖u` − uh,`‖2b .

De (A.10) se sigue que

a (u` − uh,`, u` − uh,`) ≤ Ch2r

=⇒ ‖u` − uh,`‖a ≤ Chr .

126

En resumen, se obtuvieron los siguientes resultados :‖u` − uh,`‖a ≤ Chr ,

‖u` − uh,`‖b ≤ Ch2r ,

|λh,` − λ`| ≤ Ch2r .

Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer a mi familia, por el apoyo que recibí de todosellos cuando tomé la decisión de alejarme de mi hogar para comenzar mi carrera. Mispadres me han enseñado con su ejemplo que los proyectos se logran con el esfuerzo, yeso determinó mi voluntad para superar las fallas y seguir adelante.No menos importante es la deuda que tengo con Daniela, quien supo comprender mis

ambiciones y aceptó desde un comienzo la distancia que soportaríamos por más de 3años. Aún así recibí su gran apoyo, lo que me hizo sentir que cada vez que volvíamosa vernos era como si nunca hubiésemos estado lejos.Quisiera nombrar en esta parte a los amigos que formé en este lugar, con quienes

compartí mi vida en estos años. Ellos son Nicolás Japaz, Javier Nadal, Pablo Scurac-chio, Leandro Salomone, Martín Garrett, Mariano Olivero, Ezequiel Justiniano, PabloRojas, Oscar Nalín, Nicolás Hernández y Fernando Burgos. Con ellos siempre pudecontar cuando lo necesitaba, y dejarán un recuerdo muy importante cuando, por cues-tiones de la vida, cada uno tome su rumbo.Quisiera dar un especial agradecimiento a los que me guiaron en este Proyecto In-

tegrador, Mario Scheble y Claudio Padra, quienes mostraron un enorme compromisopor enseñarme, y de quienes no podría haber recibido más apoyo para hacer que estetrabajo saliera lo mejor posible. Ellos fueron mis principales maestros durante el últimoaño. También quiero mencionar que conté con la ayuda de todo el grupo de Mecom, enespecial de Enzo Dari, quien hizo varios aportes importantes al trabajo.Por último, quiero dar las gracias al Estado Argentino por su apoyo y reconocimiento

a la Educación y a la Ciencia Argentina, creando instituciones de excelencia como loes el Balseiro, con el aval de la Comisión Nacional de Energía Atómica y de la Uni-versidad Nacional de Cuyo, y por concederme el privilegio de ser parte de él.

José M. Piracés

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modelado de las vibraciones de un arreglo de tubos ...ricabib.cab.cnea.gov.ar/286/1/1piraces.pdf ·...

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