Capítulo 3. Principios Generales de la Mecánica

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CAPÍTULO 3

PRINCIPIOS GENERALES DE LA MECÁNICA

Introducción

La mecánica de los medios continuos tiene como base una serie de principios o postulados decarácter general que se suponen válidos para cualquier tipo de material, independientementedel rango de desplazamientos o deformaciones que éste experimente cuando se somete aciertas solicitaciones.

Estos principios constituyen las leyes fundamentales que rigen el comportamiento mecánico

de los medios continuos, y muchas de las veces son expresados como leyes de conservación deciertas cantidades físicas. Tal es el caso de los principios de la conservación de la masa oecuación de continuidad, el de la conservación de la cantidad de movimiento, el de laconservación de la energía (primera ley de la termodinámica) y el de aumento de entropía(segunda ley de la termodinámica).

En ciertos fenómenos mecánicos es frecuente ignorar algunos de estos principios porconsiderar que sus efectos son despreciables, lo que permite una formulación matemática delfenómeno más simple.

En este capítulo se enuncian los principios mencionados y se establecen las ecuacionesmatemáticas correspondientes.

3.1 Teorema de Green

Las leyes de conservación, nombradas anteriormente, pueden ser aplicadas a un ciertovolumen de materia, que tenga como frontera una superficie cerrada de forma cualquiera. Enel desarrollo del modelo de comportamiento es usual encontrar que ciertas cantidades físicasaparecen como integrales de superficie y otras como integrales de volumen. La transformaciónde una integral de volumen a una de superficie y viceversa es una operación matemáticarequerida en esta formulación. Esta transformación matemática es conocida como el teorema

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de Green o de la divergencia, el cual establece que para una función espacial f (x, y, z),continua y derivable, con primeras derivadas parciales también continuas, se cumple que

iA Vi

ff n dA dV div f dV

x

∂= =∂∫ ∫ ∫ (3.1)

siendo ni los cosenos directores de la normal a una superficie cerrada A, frontera de unvolumen V, en el entorno a un punto definido por dA.

3.2 Principio de la conservación de la masa o ecuación de continuidad

Este principio establece que en el interior de un "volumen de control", entendido éste como unelemento diferencial asociado a un sistema de referencia fijo en el espacio, la masa no se creani se destruye. De esta manera, la existencia de cambios de masa en tal volumen de controltendrán que estar asociados a un flujo de masa a través de la superficie de control.

Con referencia a la figura 3.1, y suponiendo que la densidad del medio llena todo elvolumen V, la masa total M, ocupada por dicho volumen en un tiempo t , resulta:

VM dV= ∫ (3.2)

FIGURA 3.1 Volumen de referencia

nv_

v_

n

AdA

V

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Dado que la densidad del medio es una función de posición y del tiempo, ésta se puedeexpresar como

= (x, y, z, t) (3.3)

Por lo tanto, la rapidez de variación de la masa total respecto al tiempo, en el volumen V, estádada por

V

MdV

t t

∂ ∂=∂ ∂∫ (3.4)

Considerando que dentro del volumen V, la masa no se crea ni se destruye, entonces laecuación 3.4 es equivalente a la rapidez de variación del flujo de masa hacia el interior delárea A.

Por otra parte, el flujo de masa hacia el exterior del área dA en el entorno del punto P, es

n dA, siendo n la componente normal del vector velocidad . Así, la rapidez de

variación del flujo de masa total es:

( ) ( )nA AdA n dA − = − ⋅∫ ∫ (3.5)

En esta ecuación, el signo menos obedece a que al entrar flujo el vector velocidad va en

sentido contrario de la dirección de la normal n a la superficie, y puede ser expresada, deacuerdo con el teorema de Green, como

( ) ( )nA VdA div dV − = −∫ ∫ (3.6)

Dado que las ecuaciones 3.4 y 3.6 representan el mismo fenómeno, se tiene:

( )V

Mdiv dV

t∂ = −

∂ ∫

VdV

t

∂=∂∫

(3.7)

Reordenando esta última ecuación, se tiene:

( ) 0V

div dVt

∂ + = ∂ ∫ (3.8)

La ecuación 3.8 se debe satisfacer para cualquier volumen V, por lo que el integrandonecesariamente tendrá que ser nulo, esto es:

( ) 0divt

∂ + =∂

(3.9)

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La ecuación 3.9 se puede representar en notación indicial como

( )0i

it x

∂∂ + =∂ ∂

(3.10)

Desarrollando cada uno de los términos de la ecuación 3.10, se tiene:

( )ii

i i ix x x

∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂

(3.11)

Por otra parte,

ii

d

dt t x

∂ ∂= +∂ ∂

(3.12)

Sustituyendo las ecuaciones 3.11 y 3.12 en la ecuación 3.10, se obtiene:

0i

i

d

dt x

∂

+ =∂

(3.13)

La ecuación 3.13 se puede escribir en un sistema de referencia cartesiano como

0yx zd

dt x y z

∂ ∂ ∂

+ + + = ∂ ∂ ∂

0d

divdt

+ = (3.14)

Despejando la div de esta última ecuación, se tiene:

1 ddiv

dt

= − (3.15)

De la ecuación 3.15 se puede observar que si el medio es incompresible, la div = 0. Así, enun sistema de referencia cartesiano se tiene que

0yx z

x y z

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂(3.16)

Esta ecuación diferencial representa el principio de conservación de la masa y se conocetambién como ecuación de continuidad.

3.3 Principio de conservación de la cantidad de movimiento

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La rapidez de variación con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un sistema departículas es igual al vector fuerza resultante de todas las fuerzas externas, que actúan sobre elconjunto de partículas, siempre y cuando sea la tercera ley de Newton (acción y reacción) laque gobierne las fuerzas internas en el sistema.

En relación con la figura 3.2, dicho principio queda expresado como

nAt dA∫ +

Vf dV∫ =

V

ddV

dt∫ (3.17)

La ecuación 3.17 se puede expresar en notación indicial como

iAt dA∫ + i

Vf dV∫ = i

V

ddV

dt∫ (3.18)

FIGURA 3.2 Conservación de la cantidad de movimiento

Obsérvese que el término del lado derecho de la ecuación 3.18 se puede expresar como

iV

ddV

dt∫ = i

V

ddV

dt

∫ (3.19)

Por otra parte, en el estudio del estado de esfuerzo se estableció que

i ij jt T n= (3.20)

Sustituyendo la ecuación 3.20 en la 3.18 y aplicando el teorema de Green, se obtiene:

ij

Vj

TdV

x

∂+

∂∫ iV

f dV∫ = i

V

ddV

dt

∫

Reordenando términos, se llega a

ρ dVf_

dAnt

AV

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iji

Vj

Tf dV

x

∂+ ∂

∫ = i

V

ddV

dt

∫ (3.21)

Finalmente, el principio de conservación de la cantidad de movimiento conduce a

0ij ii

Vj

T df dV

x dt

∂

+ − = ∂ ∫ (3.22)

Dado que la ecuación 3.22 se debe cumplir para todo volumen V, entonces el integrando debeser igual a cero, esto es:

0ij ii

j

T df

x dt

∂

+ − =∂

(3.23)

Esta ecuación se conoce como la ecuación del balance de la cantidad de movimiento oecuación de Cauchy.

En el caso de equilibrio estático la aceleración 0d

dt

= , por lo que la ecuación 3.23 se reduce a

0iji

j

Tf

x

∂+ =

∂(3.24)

La ecuación 3.24 representa un sistema de tres ecuaciones diferenciales parciales donde lasincógnitas son los nueve elementos del tensor esfuerzo, que por simetría del mismo, bastarácon conocer seis elementos de dicho tensor. Es obvio que el problema es estáticamenteindeterminado, por lo que será necesario incluir ecuaciones adicionales, por ejemplo, aquellasque relacionen los esfuerzos con las deformaciones de un material en particular. Dichasrelaciones reciben el nombre de ecuaciones constitutivas, las cuales se estudiarán en elcapítulo 4 para el caso de los materiales elásticos lineales, homogéneos e isótropos.

3.4 Primera ley de la termodinámica: principio de conservación de energía

El principio de conservación de energía es una consecuencia de la primera ley de la termo-dinámica, el cual establece que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma. Estaecuación de energía involucra una incógnita adicional, la energía interna, por lo que suutilidad radica en poder relacionar dicha energía interna con alguna variable de estado.

En la mecánica de los medios continuos un sistema termodinámico se define como unaporción de materia continua, donde no existe intercambio de materia con cuerpos vecinos, lo

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que se ha dado en llamar un sistema cerrado. Las superficies frontera del sistema se mueven,en general, con el flujo de materia.

La rapidez de variación del trabajo realizado por las fuerzas de superficie y de cuerpo sobre unsistema termodinámico, se puede expresar como

nA

W t dA= ⋅∫ +V

f dV ⋅∫ = i iAt dA∫

i iV

f dV +∫ (3.25)

Sustituyendo en la integral de superficie el valor de ti = Tij nj, y aplicando el teorema deGreen, se tiene:

ij iij j i

A Vj

TT n dA dV

x

∂=

∂∫ ∫

iji i

Vj

Tf dV

x

∂= + ∂

∫ (3.26)

Sustituyendo la ecuación 3.26 en la 3.25, se llega a

ij ii i ij

Vj j

TW f T dV

x x

∂ ∂= + + ∂ ∂

∫ (3.27)

Obsérvese que el término entre paréntesis, por la ecuación de movimiento, resulta igual a

ij ii

j

T df

x dt

∂

+ = ∂ (3.28)

De esta manera, la rapidez de variación del trabajo W es igual a

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2i i

V

dW dV

dt = ∫

,ij i jV

T dV+∫ (3.29)

Por otra parte,

i , j = Dij + Wji (3.30)

siendo Dij el tensor rapidez de deformación y Wij el tensor vorticidad. Este último es untensor antisimétrico, esto es, Wij = –Wij .

El producto tensorial que aparece en la segunda integral de la ecuación 3.29 es:

Tij (Dij + Wij) = Tij Dij + Tij Wij (3.31)

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En la ecuación 3.31 el término Tij Wij es igual a cero, por lo que

Tij i,j = Tij Dij (3.32)

De esta manera, la ecuación 3.29 queda como

1

2i i

V

dW dV

dt= ∫

ij ijV

T D dV+∫ (3.33)

La primera integral de esta última ecuación representa la energía cinética del sistema, en tantoque la segunda representa la rapidez de variación de la energía interna total, por lo tanto:

W K U= + (3.34)

El principio de la conservación de la energía establece que la variación de la energía cinéticamás la energía interna por unidad de tiempo es igual a la suma de la variación del trabajo máscualquier otra energía suministrada o extraída por unidad de tiempo en el sistema termo-mecánico.

Definiendo al vector q como flujo de calor por unidad de área y tiempo en el fenómeno de

conducción calorífica y a r como la constante de radiación de calor por unidad de masa ytiempo, entonces la rapidez de aumento de la cantidad de calor en el medio se puede expresarcomo

AQ q ndA= − ⋅∫

VrdV+∫ (3.35)

Para un medio continuo termomecánico es costumbre expresar la variación de la energíainterna total por unidad de tiempo como una función de la energía específica interna u por

unidad de tiempo, por lo que U queda como

V

dU udV

dt= ∫

VudV= ∫ (3.36)

Aplicando el principio de la conservación de la energía, se tiene:

K U W Q+ = + (3.37)

Sustituyendo las ecuaciones 3.33, 3.35 y 3.36 en 3.37, se obtiene:

1

2i i i

V

ddV u dV

dt + ∫

1

2i i

V

ddV

dt = ∫ ij ij

VT D dV+∫ (3.38)

Aq ndA− ⋅∫ V

rdV+∫Tomando en cuenta el teorema de Green, el integrando q ndA⋅ se puede expresar como

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j jAq n dA∫ j

Vj

qdV

x

∂=

∂∫ (3.39)

De esta manera, la ecuación 3.38 queda como

0jij ij

Vj

q duT D r dV

x dt

∂+ − − = ∂

∫ (3.40)

Para un volumen arbitrario V dentro del medio continuo, el integrando de la ecuación 3.40debe ser nulo, por lo que

jij ij

j

qduT D r

dt x

∂= + −

∂(3.41)

Esta última ecuación se conoce como la ecuación de la conservación de la energía o primera

ley de la termodinámica.

3.5 Segunda ley de la termodinámica: desigualdad de Clausius-Duhem

Esta ley establece que la variación con respecto al tiempo de la entropía total s, en un mediocontinuo de volumen V, siempre es mayor que la suma del flujo de entropía que entra a travésde la superficie del medio A, más la entropía creada interiormente a causa del propio cuerpo.Esta ley se puede expresar desde un punto de vista matemático en forma integral como

V

dsdV

dt∫ ≥

V A

r qdV dA

−∫ ∫ (3.42)

siendo θ una función de estado denominada temperatura absoluta.

En la ecuación 3.42 el signo " = " corresponde a procesos reversibles; " > ", a procesosirreversibles, y el signo " < " indica que el proceso es no factible.