Captulo 7. Teoras de falla y ruptura

1

CAPTULO 7

TEORAS DE FALLA Y RUPTURA

Introduccin

En el captulo dos se estableci que las fuerzas aplicadas a un medio continuo generan estadosde esfuerzos en los diferentes puntos del medio y stos a su vez producen estados dedeformacin (captulo 3). Para ligar los esfuerzos con las deformaciones fue necesarioinvolucrar las propiedades del material, lo cual como una primera aproximacin alcomportamiento real de los materiales, dicha liga se hizo mediante la teora de los materialeselsticos lineales homogneos e istropos (captulo 4).

Es claro que la falla o ruptura de un material deber estar ligada a los esfuerzos o a lasdeformaciones que experimente ste cuando se le somete a ciertas solicitaciones, o bien, a unconcepto que involucre tanto los esfuerzos como las deformaciones, tal es el caso de la energade deformacin. Normalmente la falla de un material se asocia a una condicin lmite que nonecesariamente involucre la prdida de continuidad del material, condicin bajo la cualestaramos hablando de una franca ruptura del medio, en cuyo caso deja de ser aplicable lamecnica del medio continuo.

En este captulo se establecen criterios de falla y ruptura, algunos aplicables a materialesdctiles y otros a frgiles. Si bien la temperatura es una variable que influye de manera notableen el comportamiento de los materiales, sta no se toma en cuenta en ninguno de los criteriosde falla y ruptura que se expondrn ms adelante.

Cabe sealar que histricamente las primeras teoras de falla desarrolladas fueron para el casodel comportamiento de metales y es hasta una poca ms reciente que se han establecidoteoras de falla para otros materiales involucrados en el diseo de las obras civiles, como hasido el caso del concreto, los suelos y las rocas.

Normalmente la condicin de falla en un material se establece al comparar el estado deesfuerzos o deformaciones que generan las cargas aplicadas en el medio con su resistencia,determinada sta en una prueba de laboratorio representativa del fenmeno estudiado.

En el caso de los metales cuyo comportamiento a tensin o compresin es muy similar, laprueba representativa que se emplea en laboratorio para determinar su resistencia es la pruebade tensin que se ejecuta en una probeta del material en estudio y la cual se denominar enadelante Sf. Cuando se aplican esfuerzos superiores a Sf , el material puede fluir o se rompe,

por lo que asumiremos en lo que sigue que Sf representa el lmite de aplicabilidad de la teoraelstica (comportamiento inelstico) para el estado de esfuerzos aplicado a la probeta. Estevalor lmite se le conoce tambin como lmite elstico y no necesariamente representa elesfuerzo de fluencia del material bajo el cual ste puede alcanzar la ruptura. Materiales comoel concreto, el suelo y la roca, cuya resistencia a la tensin es muy limitada en comparacincon su resistencia a la compresin, es usual que el valor lmite Sf se establezca en una pruebade compresin que tome en cuenta las diferentes variables que influyen en el comportamientodel material.

Para un medio continuo sometido a un estado de esfuerzos principales, la funcin que define laregin donde el material tiene un comportamiento elstico, se puede expresar como

f (1, 2, 3) = 0 (7.1)En los prrafos siguientes se describirn algunas teoras de falla y ruptura comnmenteempleados para establecer bajo qu condiciones se alcanza la falla o ruptura de un materialsometido a ciertas solicitaciones (superficies de fluencia). Como ya se hizo ver conanterioridad la mayora de estas teoras tienen su aplicacin principal en el comportamiento demetales y permiten establecer la condicin lmite de falla del material (comportamientoinelstico) y no tanto la condicin de ruptura o prdida de continuidad. Para estudiar estaltima condicin se presentarn las teoras de Mohr-Coulomb, ampliamente utilizada en lamecnica suelos y rocas as como la de Griffith, sta ltima con mayores aplicaciones a lamecnica de rocas.

7.1 Teora de Rankine

Esta teora establece que en un material sometido a un estado de esfuerzos principales segenera fluencia cuando cualquiera de los esfuerzos principales alcanza el valor lmite Sf , enuna probeta representativa del mismo material sometida a una prueba de tensin en ellaboratorio. Matemticamente estas condiciones quedan expresadas por

1 fS = (7.2)2 fS = (7.3)3 fS = (7.4)

Las condiciones anteriores se pueden representar grficamente en un sistema de referenciadonde los ejes corresponden a los esfuerzos 1, 2 y 3.

De esta manera, el lmite de aplicabilidad de la teora elstica queda definido por seissuperficies planas que conforman a un cubo de lado 2Sf (figura 7.1).

3FIGURA 7.1 Volumen de fluencia. Teora de Rankine

Cuando un punto P (1, 2, 3), que representa a un estado tridimensional de esfuerzos, seubica en el sistema de referencia establecido, se tendr una condicin de fluencia si P seencuentra fuera del cubo o en las caras. Si P se localiza dentro del cubo, el material tiene uncomportamiento elstico.

Para un estado de esfuerzo plano, con 3 = 0, se obtendr la superficie lmite o de fluencia quese muestra en la figura (7.2), delimitada por las siguientes ecuaciones:

1 fS = ; 2 fS = (7.5)Un punto en este plano representara a un estado de esfuerzo plano. Cuando el punto est dentrodel cuadrado, el material tiene un comportamiento elstico, mientras que si est fuera o en losbordes del cuadrado, el material habr dejado de ser elstico.

La teora de Rankine es aplicable sobre todo a materiales frgiles, esto es, aquellos materialesque presentan bajos niveles de deformacin antes de alcanzar la condicin de fluencia.

FIGURA 7.2 Superficie de fluencia para el estado de esfuerzo plano. Teora de Rankine

3

2

12Sf

2Sf

2Sf

1Sf

Sf

Sf Sf

2

7.2 Teora de Coulomb-Tresca

El material deja de ser elstico cuando el esfuerzo cortante mximo generado por un estado deesfuerzos principales, en un punto cualquiera del cuerpo, iguala al esfuerzo cortante mximoque se engendra en una probeta sometida a tensin.

Para un estado tridimensional de esfuerzos, el esfuerzo cortante mximo queda definido por:1 2

2 2fS

= (7.6)

1 3

2 2fS

= (7.7)

2 3

2 2fS

= (7.8)

Si cualquiera de las condiciones anteriores es satisfecha, se tendra la condicin lmite paraque el medio deje de ser elstico.

Para un estado de esfuerzo plano con 3=0, las condiciones matemticas que indicaniniciacin de fluencia seran:

De la ecuacin (7.6),1 2 fS = 1 2 fS = + ; 1 2 fS = (7.9)

De la ecuacin (7.7),1 fS = 1 fS = + ; 1 fS = (7.10)

De la ecuacin (7.8),2 fS = 2 fS = + ; 2 fS = (7.11)

Representando grficamente estas condiciones en el plano 1, 2, se obtendran seis lneasrectas lmites que definen la superficie de fluencia (figura 7.3).

5FIGURA 7.3 Superficie de fluencia para el estado de esfuerzo plano. Teora de Coulomb-Tresca

De acuerdo con la teora del esfuerzo cortante mximo, si se agregan esfuerzos hidrstaticosde tensin o de compresin, no es posible predecir ningn cambio en la respuesta del material.La suma de estos esfuerzos simplemente desplaza el crculo de Mohr a lo largo del eje peromx permanece constante.Cuando los esfuerzos principales 1 y 2, son del mismo signo, se tienen dos condiciones paraalcanzar la fluencia del material:

FIGURA 7.4 Estado de esfuerzo plano; tensin

FIGURA 7.5 Estado de esfuerzo plano; compresin

2

1

Sf

Sf

Sf

Sf

1

2 Tensin

3= 0 2 1

= 03

1

2 Compresin

12

Para el estado de esfuerzos de tensin que se muestra en la figura (5.4), se debe cumplir:1 2 1 fS (7.12)

Para el estado de esfuerzos de compresin, figura 5.5, se tiene:2 1 2 fS (7.13)

Por lo tanto, podemos concluir que, cuando los esfuerzos principales 1 y 2 son del mismosigno, las teoras de Rankine y Coulomb-Tresca coinciden.

Si 1 y 2 son de signo contrario, se tiene que( )1 2 1 22 2

ff

SS (7.14)

Por lo tanto, cuando 1 y 2 son de signo contrario, las teoras de Rankine y Coulomb-Trescadifieren.

7.3 Teora de Saint Venant

El material deja de ser elstico cuando una de las deformaciones principales, 1 2 3, , o ,alcanza el valor de la deformacin principal, f , que se genera en una probeta sometida atensin.

Para un estado uniaxial de esfuerzos, dicha deformacin se puede expresar comof

fSE

= (7.15)Para un estado de esfuerzos tridimensional, las deformaciones principales quedan definidas por

( )1 1 2 31 ( ) fvE = + = (7.16)

( )2 2 1 31 ( ) fvE = + = (7.17)

( )3 3 1 21 ( ) fvE = + = (7.18)Para un estado de esfuerzo plano, con 3 = 0, las condiciones de fluencia resultaran ser:

De la ecuacin (7.16),1 2 1 2f fv S v S = =1 2 fv S = (7.19)

De la ecuacin (7.17),

72 1 2 1f fv S v S = =2 1 fv S = (7.20)

De la ecuacin (5.18),( ) ( )1 2 1 2f fv S v S + = + =

( )1 2 fv S + = (7.21)Reordenando trminos, las ecuaciones de las seis rectas lmites resultan ser:

12

fSv v

= ; 12 fSv v

= + (7.22)

2 1 fv S = + ; 2 1 fv S = (7.23)

2 1fS

v = + ; 2 1 fS

v = (7.24)

La regin que estas ecuaciones definen se muestra en la figura (7.6), en la que se puedeobservar que la teora de Saint Venant permite lograr niveles de esfuerzos mayores antes dealcanzar la falla, que los que definen las teoras de Rankine y Tresca.

FIGURA 7.6 Superficie de fluencia, criterio de Saint Venant

1

fS / fS /

fS /

fS /fS

fS

2

7.4 Teora de Nadai

Esta teora es aplicable principalmente a materiales dctiles, y establece que la fluencia en unapartcula de un medio continuo se inicia cuando se aplica a sta una energa de deformacinigual a la energa de deformacin que se genera en una partcula de una probeta sometida atensin.

La energa de deformacin elstica por unidad de volumen, o densidad de energa, para unestado uniaxial de esfuerzos, tal como se defini en el captulo 4, resulta igual a

1 1

2U =

Esta ecuacin representa el rea bajo la curva esfuerzo-deformacin.De acuerdo con esta teora, la probeta dejar de ser elstica cuando

2

2 2 2f f f f f

prob

S S S SU

E E

= = = (7.25)Para un estado tridimensional de esfuerzos, la densidad de energa puede expresarse como

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

1 [ 2 ( )]2

U vE

= + + + + (7.26)Entonces, la fluencia se presentar cuando

22 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

1 [ 2 ( )]2 2

fSv

E E = + + + + (7.27)

Por lo tanto, la condicin de fluencia queda representada como

2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 ( )fS v = + + + + (7.28)

Para un estado de esfuerzo plano, con 3 = 0, la condicin de fluencia queda definida por2 2 2

1 2 1 22fS v = + (7.29)La representacin geomtrica de la regin que define la ecuacin (7.29) se muestra en lafigura (7.7).

9FIGURA 7.7 Superficie de fluencia; teora de Nadai

7.5 Teora de Von Mises Hencky (VMH)Se alcanza la fluencia en una partcula de un medio continuo cuando la energa de deformacindistorsional en un estado de esfuerzos cualquiera, igual a la energa de deformacin distorsionalen una probeta sometida a tensin.

[ ]o o probU U=Para evaluar Uo empleamos la siguiente relacin:

total vol oU U U= +De donde:

o total volU U U=

La energa de deformacin total (ecuacin 4.60) se puede expresar como2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3

1 [ 2 ( )]2total

U vE

= + + + +

El esfuerzo y la deformacin volumtricos son iguales a

1 2 3

3V + += ; 1 2 3v = + +

De esta manera, la energa de deformacin volumtrica resulta igual a

2v v

volU

= Dado que

Para = 0.5

1

2

Sf

Sf

Sf

3(1 2 )V v vEK

v =

Despejando ,3 (1 2 )v V vE =

De esta manera, la energa de deformacin volumtrica resulta igual a

2v v

volU

= Dado que

3(1 2 )V v vEK

v =

Despejando ,3 (1 2 )v V vE =

Sustituyendo esta ltima expresin en Uvol , se tiene:

23(1 2 )2vol v

vUE

=Desarrollando:

( )21 2 33(1 2 )2 9vol

vUE

+ +

=

( )21 2 31 26volvU

E = + +

Dado que:( )2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32( ) + + = + + + + +

La energa de deformacin volumtrica queda como

{ }2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 31 2 2( )6volvU

E = = + + + + + (7.30)

La energa de deformacin distorsional resulta:

{ }2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 31 2 ( )2oU vE = = + + + +{ }2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 31 2 2( )6

v

E + + + + +

Desarrollando se tiene:

11

{ }2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 31 ( )3ovU

E += + + + + (7.31)

En una probeta sometida a tensin: 2 = 3 = 021

13prob

vUE

+= (7.32)

Se alcanza la falla del material cuando: Uprob = Uo , por lo tanto:

{ }2 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 31 1 ( )3 3fv vS

E E + += + + + +

De donde resulta2 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3( )fS = + + + + (7.33)

Esta ltima ecuacin representa la condicin de fluencia de VMH. De la ecuacin (7.28) sepuede ver que cuando 0.5 = el criterio de fluencia de VMH se vuelve un caso particular delde Nadai.

Para el estado de esfuerzo plano.2 2 2

1 2 1 2fS = + (7.34)

De manera experimental se ha demostrado que la teora de VMH es la que ms se apega a losvalores experimentales si 1 y 2 son positivos o si alguno de los dos es positivo.Si ambos esfuerzos principales son negativos, VMH da resultados conservadores.

Esta teora es aplicable sobre todo a metales.

La teora de VMH puede ser expresada en trminos de los invariantes del tensor esfuerzo,como sigue.

Para un estado de esfuerzo principal se tiene que:( )1 1 2 3I = + + (7.35)

2 1 2 1 3 2 3( )I = + + (7.36)Elevando la ecuacin (5.35) al cuadrado:

( )2 2 2 21 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2I = + + + + + (7.37)Multiplicando la ecuacin (5.36) por 3:

2 1 2 1 3 2 33 3 3 3I = (7.38)Sumando las ecuaciones (5.37) y (5.38), se tiene:

2 2 2 21 2 1 2 3 1 2 1 3 2 33I I = + +

lo cual indica que existe fluencia en un material si

2 21 23 fI I = (7.39)

Esta ltima expresin puede ser aplicada para cualquier sistema de referencia.

7.6 Teora de Mohr-Coulomb

La teora de Mohr-Coulomb establece que se alcanza la ruptura del material cuando elcociente del esfuerzo cortante al esfuerzo normal, asociados a un plano que pasa por un puntodel medio continuo, donde se conoce el tensor esfuerzo provocado por las cargas aplicadas,alcanza un valor mximo. Para un estado general de esfuerzos principales, esta condicin sealcanza en el punto de tangencia de los crculos de Mohr correspondientes. La resistencia delmaterial queda expresada como:= + (7.40)siendo c y los parmetros de resistencia del material, conocidos como cohesin y ngulo defriccin interna, respectivamente. En el plano de Mohr (s-) el parmetro c representa laordenada al origen de la recta tangente al crculo de esfuerzos principales asociado con laruptura del material y el parmetro representa la pendiente de dicha recta.

La superficie de fluencia para un estado de esfuerzo plano (con s3=0), puede ser definida apartir de la ecuacin (5.40), sustituyendo los valores de y s, asociados a cada circulo defalla. Por lo tanto la falla del material se alcanza bajo la condicin siguiente: | |2 +2 ; | |2 2 ; | |2 2 (7.41)Siendo k=tan.

Obsrvese que la ecuacin (7.8) representa seis rectas cuya interseccin define la superficie defluencia correspondiente (Figura 7.8). En este caso los valores lmite de los esfuerzos RT y RCque se indican en la figura (7.8) dependen de los parmetros de resistencia c y .

13

FIGURA 7.8. Criterio de falla de Mohr-Coulomb

7.7 Teora de Griffith

Esta teora de ruptura se estableci en un principio para estudiar el comportamiento del vidrio,pero posteriormente se aplic a las rocas con resultados razonables. Se asume la existencia dediscontinuidades dentro de la masa del material, como es el caso de las rocas fisuradas.

Se analizar el caso ideal de una masa de roca sometida a un estado de esfuerzosbidimensional dado por 1 y 3 , en la que se encuentra una grieta o discontinuidad.

3

1

x

y

x

x

zy

y

y

xy

xy

zy

idaddiscontinu

FIGURA 5.9 Estado de esfuerzos en una grieta presente en un macizo rocoso

Se considerar en un primer anlisis que =cte, siendo b el ngulo que forma la direccin delesfuerzo principal mayor s1 y el eje longitudinal de la grieta. Este caso correspondera porejemplo al de una probeta de roca sedimentaria con planos de sedimentacin paralelos entre s.

Para realizar el anlisis, supondremos que slo existe una discontinuidad y sta tiene formaelptica muy achatada, segn se muestra en la figura (7.9).

1

3

3

1

b b

a

by 1P

2P

3P

4Px x

x

y Plano oconsiderad

idaddiscontinu

xy

xyy

cosax = senby =

tan

cosm

sen

a

bx

y==

tantan;tan mx

y==

FIGURA 5.10 Esquema para determinar el esfuerzo normal sb en una grieta de un macizo rocoso

En una prueba triaxial dada, se conocen 1 y 3 , y, mediante el uso del crculo de Mohr deesfuerzos, se pueden determinar xx , yy , y xy .

Se desea determinar la magnitud del esfuerzo normal b en trminos de los esfuerzos xx ,yy , y xy y de la geometra de la discontinuidad. Este problema ha sido resuelto en el marco

de la teora de la elasticidad y el esfuerzo b se expresa mediante la siguiente frmula:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2

2 cos 1 2 cos 2 1 coscos

yy xx xyb

m m sen m sen m m sen

m sen

+ + + +

=

+

(7.42)

Siendoa

bm = la excentricidad de la elipse.

La falla del material est asociada con el valor mximo de b , siendo ste un esfuerzo detensin que ocurre en los labios de la discontinuidad.

Analicemos los estados de esfuerzos en la vecindad de la cspide de la elipse, (punto P4), esdecir, para el caso en que 0 = , suponiendo adems una grieta o discontinuidad infinita deespesor pequeo, o sea m=0. En estas condiciones:

cos1 y sen

y la expresin anterior queda:

( ) ( )2 2 2 2 22 2

2 1 2 2 1yy xx xyb

m m m m m

m

+ + + +

=

+

(7.43)

15

Despreciando los trminos de segundo orden, por ser muy pequeos comparados con los deprimer orden, obtendremos:

( ) ( )2 2

2 2yy xyb

m

m

=

+Es decir,

2 2

2 yy xyb

m

m

=

+

(7.44)

A partir de esta expresin podremos encontrar el valor mximo de b en la vecindad delpunto P4.

S:

maxb Resistencia a la tensin de la matriz rocosa, la falla no se presenta.=

maxb Resistencia a la tensin de la matriz rocosa, hay equilibrio lmite.

maxb Resistencia a la tensin de la matriz rocosa, se presenta la falla.Para conocer en qu punto de la elipse se presenta esta condicin, obtendremos el mximoesfuerzo de tensin, para ello hagamos:

0=

dd b

, suponiendo m constante

( ) ( )( )

2 2

22 2 2 2

2 42 0xy yy xyyy xy

m mmdd m m

+

= = + + (7.45)

es decir:( )2 22 4xy yy xym m + =

2 2

2 2yy xyxy b

m

m

= = + xy

b

=(7.46)

Sustituyendo (5.46) en (5.45) queda:2

2 21

2 2 2 22

2

22 2

xyyy

b b xy bb

xy b xy

b

mm

mm

+

+ = =

++

2 2 2 22 2b xy yy b xym m + = +2 2 22 0b yy b xym m =

resolviendo la ecuacin de segundo grado obtenemos:

( )2 2 2b yy yy xym = + (7.47)

( )12 2 2b yy y xym = + (7.48)

Para el caso particular en que los ejes x y y coincidan con las direcciones de losesfuerzos principales, se tiene: 0xy yy ty = = , siendo t la resistencia a la tensin delmaterial. Sustituyendo esta condicin en la ecuacin (5.48), se tiene que tbm 2= . Por lotanto el esfuerzo de falla se puede expresar como:

m

tb

2= .

FIGURA 7.10. Esfuerzos en la discontinuidad elptica

Cuando tbm 2= , la expresin (7.48) queda como.2 22 t yy yy xy = +

Despejando 2xy de esta ecuacin, se obtiene2 4 ( )xy t t yy = (7.49)

Matemticamente la ecuacin (5.49) representa una parbola en el plano xy yy y constituyela envolvente de resitencia de Mohr para una falla de tipo frgil, es decir:

2 2yy yy xy cte + =

Donde la constante es igual a dos veces la resistencia a la tensin del material determinadaexperimentalmente en el laboratorio.

17

FIGURA 7.11. Envolvente de falla.

Este criterio de falla explica el porqu se relaciona la curvatura de la envolvente de falla con lapresencia de fisuras en la roca.

Obtengamos ahora una expresin que relacione directamente al esfuerzo mximo de tensincon 1 y 3 . De la Teora de la Elasticidad se tiene que:

( ) ( )1 3 1 32 cos 2yy = + (7.50)( )1 32 2xy sen = (7.51)

Sustituyendo las ecuaciones (7.50) y (7.51) en la ecuacin (7.48), se tiene.

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 21

2231

22313

21

2231

3131

2412cos

412cos

21

41

2cos21

+++

+=

sen

m b

As obtenemos finalmente:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 1 3 1 3 1 31 1cos2 cos22 2bm = + (7.52)

Ahora analicemos el caso general cuando el ngulo b es variable (figura 7.12).

FIGURA 7.12. Discontinuidades con diferente inclinacin

Encontremos el b mximo maximorum haciendo variar la expresin (7.48) con respecto aa (lo que ya se hizo con anterioridad), y con respecto a b.

Para obtener el b mximo maximorum, derivemos la ecuacin (7.52) con respecto a eigualemos a cero, as:

( ) ( )( ) ( )[ ]

02cos

21

2221

2122

21

23

21

23

21

23

21

31 =

+

=

sensen

dd b

( )( ) ( )[ ]

02cos

212

11223

21

23

21

3131 =

+

+

sen

( ) ( )[ ]0

2cos212

1123

21

23

21

31=

+

+=

dd b

( ) ( ) ( )2 2 2 21 3 1 3 1 31 1cos22 2 + = + (7.53)

Desarrollando esta ltima ecuacin, se tiene

( ) ( )[ ] ( )23123212321 412cos21 +=+

( ) ( ) ( )23123212321 41212cos21 ++=

23

21

3123

21 2

121

2cos

+=

( )( )( )3131

231

22cos

+

=

( )1 3

1 3

cos22

=

+

(7.54)

19

La ecuacin (7.54) permite calcular el valor del ngulo que conduce al mximo valor delbm .

Si hacemos que:1

3

=k

( )kk

+

=

1212cos

Conocidos 1 y 3 se puede evaluar el plano donde se va a presentar la falla del material.Sustituyendo las ecuaciones (7.53) y (7.54) en la (7.52), se obtiene.

( ) ( ) ( ) ( )313131

3131 21

221

+

+

+=bm

( )( )

21 3

1 3

24b t

m

= =

+

(7.55)

Esta es la expresin de la envolvente general de Griffith para un material de con fisuramientoisotrpico.

En una prueba de compresin simple s3=0, 01 , y la ecuacin (7.55) se reduce a:2

1 18 0t + =1 8 t = (7.56)

De la ecuacin anterior puede observarse que la resistencia a la compresin simple ( )Rc es 8veces la resistencia de la roca a la tensin ( )t . En la prctica se ha encontrado que la cR esdel orden de 10 veces la resistencia a la tensin.

t2

tt8

( )2 4xy t t y =

FIGURA 7.13. Representacin grfica de la ecuacin (5.56).

La ecuacin de la parbola que se muestra en la figura (7.13), tiene como ecuacin.

( )2 4xy t t yy = (7.57)Si 0=y , se obtiene la cohesin de la roca:

txyc 2==

De lo anterior puede concluirse que la cohesin de la roca es la cuarta parte de su resistencia ala compresin simple.

La falla de la muestra se va a presentar por insuficiencia de resistencia a la tensin en la matrizrocosa, en un punto cercano a la cspide de la elipse representativa de la discontinuidad msdesfavorable para su estabilidad. Las fisuras se propagan en un principio con un ngulo 2bcon respecto al eje de la discontinuidad, y posteriormente tienden a tomar la direccin paralelaal esfuerzo 1 , no siendo ya peligrosas cuando llegan a este punto, debido a que el esfuerzo deconfinamiento 3 no deja progresar la grieta.Problemas resueltos

PROBLEMA 7.1

El tensor esfuerzo en la viga, que se muestra en la figura (5.8), est dado por2 2

2 23

2 03 0 04 0 0 0

ij

xy c yPT c yc

=

Siendo c el semiperalte de la seccin transversal de la viga y P una carga puntual aplicada en suextremo.

FIGURA 5.8 Barra prismtica sometida a una carga puntual P en su extremo libre

Determine, aplicando el criterio de VMH, el valor lmite de la fuerza P, de tal forma que la viga semantenga dentro del rango elstico.

1

c

c

P

L

yx

z

21

SOLUCIN:

La teora del medio continuo ser aplicable si 2 21 23 fI I S , en todos los puntos del medio.

Si en algn punto 2 21 23 fI I S = , se establecera el lmite del tensor Tij hasta donde sera aplicable lamecnica del medio continuo.

Si en algunas regiones 2221 3 fSII , la teora de la mecnica del medio continuo no ser aplicable.

Si P se aplica al medio, se busca de definir la regin del medio continuo en el cual sea aplicable lateora elstica.

Llamando: 334

Pkc

=

Entonces los invariantes valen:1 2I xyk=

2 2 2 22 ( )I c y k=

Sustituyendo los valores de I1 e I2 en la ecuacin (5.39) existir fluencia cuando2 2 2 2 4 2 2 4 24 3 ( 2 ) fx y k k c c y y S+ + =

Desarrollando:2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 24 3 6 3 fx y k k c k c y k y S+ + =

22 2 4 2 2 4

24 3( 2 )fS

x y c c y yk

+ + =

Esta ltima ecuacin representa la condicin de fluencia de VMH.

La elasticidad sera aplicable mientras no se plastifique algn punto. Los puntos ms esforzados sona (L, c) y b (L, +c).

Se iniciar la fluencia en el medio en el instante en que las coordenadas de los puntos a y bsatisfagan la condicin de VMH.

Sustituyendo las coordenadas de los puntos en la condicin de fluencia, se tiene:2

2 2 4 4 424 3( 2 )fL c c c c

k

+ + =

22 2

24fL c

k

=

22

2 24fk

L c

=

22

6 2 2916 4

fPc L c

=

4 2 4 22

2 2

16 436 9

f fc cPL L

= =

223

fcPL

=

Si la fuerza P del extremo est comprendida entre los lmites2 22 2

3 3f fc cP

L L

, el medio eselstico.

Si22

3fcP

L

, el material deja de ser elstico.

PROBLEMA 7.2

El tensor esfuerzo en la viga que se muestra en la figura (5.9) est dado por:0 0 0

0 0

0 0 0

zij

z

MT x

I

=

Siendo Mz el momento flexionante aplicado en los extremos de la viga e Iz el momento de la inerciacentroidal de la misma. Determine, aplicando el criterio de VMH, el momento de fluencia Mf de laviga.

FIGURA 7.9 Viga sometida a flexin pura

SOLUCIN:

Existir plastificacin si 2 21 23 fI I S 2

2zf

z

Mx S

I

= ;2

zf

z

M x SI

=

zf

z

Ix S

M=

Las rectas lmites pasan por el borde del medio si z ff

I Sc

M= , por lo tanto Mz = Mf .

As zf fI

M Sc

=

Mz Mz yc

c

x

23

Si zf fI

M Sc

, todo el medio es elstico.

Si zf fI

M Sc

, el medio deja de ser elstico y slo una porcin prxima al eje ypermanecer elstica.

Esta distribucin de esfuerzos aparecer cuando la seccin se ha plastificado completamente, y serengendrada por un momento plstico total Mp , tal que

p fM MPor esttica se puede afirmar que el Mp es la resultante de la distribucin de esfuerzos en la seccintransversal completamente plastificada.

p cM F=

2p fM S bc=

Por otra parte,3(2 )1

12f fb cM S

c=

223f f

M bc S= 23f p

M M=

Si el material que forma la pieza tiene el diagrama supuesto, se puede incrementar el momento queprovoca la primera fluencia en 50% para alcanzar el momento que provoca fluencia en toda la seccintransversal.

32p f

M M=

La relacin que existe entre el momento de la fluencia y el momento de plastificacin total, pf

MM

,

depende de la forma de la seccin transversal y puede oscilar entre 1 y 2.5.

FIGURA 7.10 Relacin Mp /Mf para diferentes secciones

MpMf

1.07 < < 1.17MpMf

= 1.5MpMf

> 1.5

PROBLEMA 7.3

Para el estado de esfuerzo:

0 0 0

0 0

0 0 0

zij

z

MT x

I

=

siendo y constantes

Determine el esfuerzo de fluencia empleando los criterios de Coulomb-Tresca y VMH.

Los esfuerzos principales se obtienen resolviendo la ecuacin caracterstica, y resulta:

1 = +2 =3 =

As, el tensor esfuerzo queda como

( )

( )

0 00 00 0

ijT

+ =

Condicin de fluencia de VMH:

2 21 23 fI I S =

Los invariantes del tensor esfuerzo son:

I1 = 3( )

( )( )

( )20 00

0 00I

+= + +

+

( ) ( ) ( ) ( )2I = + + + +2 2 2 2

2I = + + + + 2 2

2 3I = Por lo que, aplicando la condicin de fluencia de VMH, se tiene:

( ) ( )2 2 2 23 3 3 fS =2 2 2 29 9 3 fS + =

2 23fS = 2 3fS = 1.73fS =

25

Utilizando el criterio de Coulomb-Tresca:

1 3m 2 2

fx

S = =

( ) ( )2 2

f + =

2f =Obsrvese que este ltimo criterio permite un mayor esfuerzo de fluencia comparado con la teora deVMH.

PROBLEMA 5.4

Una muestra cilndrica de un material deformable est confinado por un molde rgido que no le permitedeformarse lateralmente, bajo una presin constante p . Aplicando el criterio de VMH, diga si elmaterial alcanza la condicin de fluencia.

Para establecer el estado de esfuerzos y deformaciones suponga que el cuerpo deformable es elsticolineal, homogneo e istropo. Suponga adems que no se producen esfuerzos cortantes en el contactomolde-muestra.

FIGURA 7.11 Muestra cilndrica en un molde rgido,a) alzado, b) planta

Datos:

E = 2.1 108 kPa = 0.2Sf = 4000 102 kPap = 1000 102 kPa

b)

a) rgido

muestra

molde x

y

molde

z

P

5.5 TEORA DE VON MISES HENCKY

26

SOLUCIN:

Las ecuaciones constitutivas de los materiales elsticos lineales, homogneos e istropos son:

xx = 2Gxx + J1yy = 2Gyy + J1zz = 2Gzz + J1

Clculo de las constantes elsticas.8

82.1 10 0.875 10 kPa(1 2 ) 2(1 0.2)EG

= = =

+

880.2 2.1 10 0.583 10 kPa(1 )(1 2 ) (1 0.2)(1 2 0.2)

E

= = = + +

De los datos del problema, se pueden establecer las siguientes condiciones:

xx = p ; xx 0yy 0 ; yy 0zz 0 ; zz = 0

Para yy se tiene:yy = J1

Para zz se tiene:zz = J1 yy = zz

Para xx se tiene:xx = 1000 = 2Gxx + J1(xx + yy + zz)

1000102 = 2Gxx + xx = xx (2G + )2 2

8 81000 10 1000 10(2 ) (2 0.875 10 0.583 10 )xx G

= =

+ +

310.428 10xx J = =

3 3 20.583 10 0.428 10 249.5 10 kPayy = = 2249.5 10yy zz kPa = =

Por lo tanto, el tensor esfuerzo resulta igual a

2

1000 0 00 249.5 0 10 kPa0 0 249.5

ijT

=

Aplicando el criterio de VMH, se tiene:2 2

1 23fS I I=

27

Clculo del primer invariante I1.

2 2 21 1000 10 249.5 10 249.5 10xx yy zzI = + + =

= 1499.0 102 kPa

( ) ( ) ( ){ } 42 1000 249.5 249.5 249.5 249.5 1000 10I = + + 4

2 561250 10I = 2 2 4 41499.0 3 561250 10 563251 10fS = =

4750.5 10 kPafS = (esfuerzo de fluencia calculado)

Dado que 4 4750.5 10 kPa 4000 10 kPa , no se presenta fluencia en el material.