física.1º bachillerato.electrostática.problemas resueltos

Solucionario de las actividades propuestas en el l ibro del alumno

9.1. NATURALEZA ELÉCTRICA DE LA MATERIA

Página 163

1. ¿Cómo explicas la atracción y la posterior repulsión que se produce en laprimera experiencia que se describe en la página anterior?

Al frotar el ámbar, queda cargado positiva o negativamente (no importa el tipo decarga). Según sea esa carga, atrae o repele a los electrones que forman parte delos átomos que constituyen la materia del péndulo, haciendo que este sea atraídopor el ámbar.

Sin embargo, cuando entran en contacto, pasa parte de la carga del ámbar al pén-dulo, que en conjunto era eléctricamente neutro antes del contacto, quedando,de ese modo, cargados la barra y el péndulo con cargas del mismo signo, lo quehace que se repelan.

2. Cita algunas sustancias de uso corriente que sean conductoras y otras quesean aislantes eléctricos.

Sustancias conductoras: cobre, aluminio, hierro y, en general, los metales.

Sustancias aislantes: plástico, madera, cartón, materiales cerámicos, etc.

9.3. POTENCIAL ELÉCTRICO

Página 167

1. Dos cargas eléctricas se encuentran separadas cierta distancia. ¿A qué dis-tancia habrá que separarlas para que la fuerza que se ejercen mutuamentese reduzca a la novena parte?

La expresión que permite calcular la fuerza que ejercen entre sí dos cargas es laque conocemos como ley de Coulomb:

En esta expresión r es la distancia que separa las dos cargas Q y q.

Como no se modifica el valor de las cargas, solo puede variar la distancia que lassepara, es decir:

Teniendo ahora en cuenta que:

′ = ⋅F F

1

9

′ = ⋅ ⋅

′F K

Q q

r 2

F K

Q q

r= ⋅ ⋅

2

Unidad 9. Electrostática.1

Al dividir entre sí las dos expresiones anteriores, resulta:

Por tanto, si alejamos las cargas una de otra el triple de la distancia que las sepa-ra inicialmente, reducimos la fuerza a un noveno del valor inicial.

2. ¿Hacia dónde se mueve espontáneamente una carga negativa dejada libre-mente en el interior de un campo creado por una carga positiva? ¿Y si lacarga que dejamos libre es positiva?

Como se ve atraída por la carga, seguirá una dirección radial según la recta deunión de ambas cargas, avanzando hacia la carga positiva, es decir, hacia poten-ciales crecientes.

En cambio, si la carga que dejamos libre es positiva, ocurrirá lo contrario. Se ale-jará de la carga que crea el campo, por ser esta de signo positivo también y semoverá espontáneamente hacia potenciales decrecientes.

3. ¿Qué ocurre con la energía potencial de la carga que dejamos en libertaden el ejercicio anterior en cada supuesto?

La carga negativa (−q) se ve atraída por la carga positiva (Q) que crea el campo.Luego en la expresión del potencial:

En ese caso, la energía potencial, resulta:

EP

= −q · V (r ) < 0 → Ep↓

Como vemos, la atracción de una carga negativa por parte de una carga positivahace que disminuya la energía potencial de la carga.

Si se trata de la carga positiva, en ese caso existe una repulsión entre q y Q quelas aleja una de la otra.

Como aumenta la distancia entre ellas al repelerse:

r↑ → V (r )↓

Por tanto, en este caso, la energía potencial:

Ep

= q · V (r )

disminuye, porque la carga, q, se dirige hacia potenciales decrecientes.

Como conclusión, podemos afirmar que, espontáneamente, las cargas eléctricasse desplazan siempre de modo que su energía potencial disminuya.

r V r

Q

rV r↓ → =

⋅ ⋅ ⋅→ ↑( ) ( )

4 π ε

′ = =⋅ ⋅

′

⋅ ⋅=

′→ = ′ → ′ = → ′ = ⋅F

F

KQ q

r

KQ q

r

r

r

r

r

r

rr r

1

99 3 3

2

2

2

2

2

2


4. ¿De qué es unidad el electrón-volt (eV)? Calcula su equivalencia con la uni-dad S.I.

Un electrón-volt es la energía que adquiere una carga equivalente a la de un elec-trón al ser colocado en un punto de un campo eléctrico en el que el potencialsea un volt. Por tanto:

Ep

= 1,602 · 10−19 (C) · 1 (V) = 1,602 · 10−19 J

Página 168

5. Una partícula de carga 6 · 10−6 C se encuentra en reposo en el punto (0,0).Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 N · C−1 dirigido en sentidopositivo del eje OY.

a) Describe la trayectoria seguida por la partícula hasta el instante en quese encuentra en el punto A, situado a 2 m del origen. ¿Aumenta o dismi-nuye la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento? ¿Enqué se convierte dicha variación de energía?

b) Calcula el trabajo realizado por el campo en el desplazamiento de lapartícula y la diferencia de potencial entre el origen y el punto A.

P.A.U. Andalucía, junio, 1998.

a) Si la carga es positiva, está sometida a una fuerza Fr

= q · Er, de igual dirección

y sentido que el campo; luego la trayectoria seguida es rectilínea a lo largo deleje Y. Además, es un movimiento uniformemente acelerado, ya que si el cam-po es uniforme, la fuerza y, por tanto, la aceleración son constantes.

Las cargas positivas siguen la dirección del campo, moviéndose de los puntosde mayor potencial a los de menor potencial o, dicho de otra forma, de lospuntos en que tienen mayor energía potencial, hacia donde tienen menosenergía potencial al desplazarse. Y esa energía potencial perdida se transfor-ma en energía cinética, de forma que cuando la carga llega al punto (0, 2), lohace con una cierta velocidad.

b) La fuerza constante que actúa sobre la carga vale:

Fr

= q · Er

F = 6 · 10−6 · 500 = 3 · 10−3 N


Y

E

X(0, 0)

(0, 2)

Al ser esa fuerza constante, se puede calcular el trabajo:

W = Fr

· ∆rr → W = F · ∆r · cos 0°

W = 3 · 10−3 · 2 = 6 · 10−3 J

Ese trabajo es igual a la diferencia de energía potencial entre el origen y elpunto A.

Página 169

6. En el ejemplo de esta página, calcula el trabajo necesario para llevar unacarga de 1,5 µC desde el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice.

Para calcular el trabajo a realizar para desplazar una carga de un punto a otro,necesitamos conocer el potencial en ambos puntos. El potencial en el centro delcuadrado es:

El trabajo que debemos realizar será, por tanto:

W = −q · (V − V ′) = −1,5 · 10−6 · (1.757,3 − 0) = −2,64 · 10−3 J

El signo negativo indica que la carga no puede desplazarse por sí misma desdeel centro del cuadrado hasta el cuarto vértice, ya que ese desplazamiento aumen-ta su energía potencial. Se requiere el aporte de un trabajo realizado por fuerzasexteriores, contrarias a las del campo eléctrico.

9.5. ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES

Página 172

1. ¿Cómo asociarías tres condensadores de 2, 3 y 5 µF, respectivamente, paraque al conectarlos al circuito la capacidad total del conjunto sea 10 µF?

Asociando los condensadores en paralelo la capacidad equivalente es la suma desus capacidades. Por tanto:

C = C1

+ C2

+ C3

= 2 + 3 + 5 = 10 µF

Conectando los tres condensadores en paralelo, obtenemos uno cuya capacidades la que buscamos.

2. Si la d.d.p. a la que hay que conectar el conjunto formado por los tres con-densadores es 100 V, calcula la carga de cada uno de ellos y la carga totaldel conjunto formado por todos ellos.

Como están conectados en paralelo, la d.d.p. entre los bornes de cada uno de loscondensadores es la misma para todos ellos y es la que corresponde al conjunto.

La carga que adquiere cada uno de ellos se calcula a partir de la expresión:

qi= C

i· (V

1− V

2)

′ = ′+ ′ + ′ = ⋅⋅

+ ⋅⋅ °

+ ⋅⋅ °

=

= ⋅⋅

⋅ − ⋅ + =− − −

V V V V Kq

lK

q

lK

q

l1 2 31 2 3

96 6 6

45 45 459 10

3 2 210 2 10 10 0

cos cos cos

/( ) V


donde:V

1− V

2= ∆V = d.d.p. = 100 V

Sustituyendo en esta expresión los valores que corresponden a cada condensa-dor, resulta:

q1

= 2 · 10−6 · 100 = 2 · 10−4 C

q2

= 3 · 10−6 · 100 = 3 · 10−4 C

q3

= 5 · 10−6 · 100 = 5 · 10−4 C

siendo la carga del conjunto:

3. La capacidad de un condensador, ¿depende del material con el que estáconstruido? Para contestar a la cuestión, diferencia los elementos conduc-tores y los elementos aislantes del conjunto.

Los condensadores están formados por dos partes básicas:

• Las paredes, placas o armaduras: Actúan como bornes o contactos del conden-sador y son de material conductor. Entre ellas se establece una d.d.p.

• El dieléctrico: Es la sustancia que ocupa el espacio entre las paredes del con-densador. Por su carácter aislante, no conduce la electricidad, pero tiene la ca-pacidad de almacenar energía en su interior, debido a que el campo eléctricoen su interior no es nulo.

La capacidad de un condensador dado depende de su dieléctrico. Cuanto másaislante es el material que forma el dieléctrico, mayor es la capacidad que obte-nemos con un condensador sin modificar su geometría.

Página 173

4. ¿Cómo asociarías tres condensadores de 3 µF para que al conectarlos alcircuito la capacidad total del conjunto sea 1 µF?

Si los asociamos en serie, la capacidad del conjunto será:

5. Si la d.d.p. a la que hay que conectar el conjunto formado por los tres con-densadores es de 120 V, calcula la carga de cada uno de ellos, la carga totaldel conjunto formado por todos ellos y la d.d.p. que soporta cada uno.

Cuando un conjunto de condensadores se conectan en serie, la carga que ad-quiere cada uno de ellos es igual a la del conjunto. Por tanto, en este caso, la car-ga debe ser:

V V qC

qV V

C

nii

in

ii

i1 11

31 1

1

3

6 6 6

61

1

1201

3 10

1

3 10

1

3 10

120 10− = ⋅ → =−

=

⋅+

⋅+

⋅

= ⋅+=

=+

=

=

− − −

−∑∑

C

1 1 1 1

3

1

3

1

31 1

1

3

C C CC

ii

i

=

→ = + + = → =

=

=

∑ Fµ

q V V Ci= − ⋅ = ⋅ + + ⋅ =∑ − −( ) ( )1 26 3100 2 3 5 10 10 C


La d.d.p que soporta cada uno de ellos la obtenemos de la expresión:

siendo esta d.d.p. igual para los tres condensadores, ya que los tres tienen la mis-ma carga y la misma capacidad.

6. ¿Cómo asociarías tres condensadores de 2 µF cada uno para obtener unaasociación equivalente cuya capacidad sea de 3 µF?

Si asociamos dos de ellos en serie a un tercero en paralelo, el resultado que ob-tenemos es el siguiente:

7. Si la asociación de la cuestión anterior se conecta a una d.d.p. de 30 V,¿qué carga adquiere cada condensador? ¿Qué diferencia de potencial se es-tablece entre las armaduras metálicas de cada uno de ellos?

El condensador C3

está conectado en paralelo con los otros dos; por tanto, lad.d.p. entre sus bornes será la de la asociación y, para calcular la carga que ad-quiere:

q3

= (V1

− V2) · C

3= 30 · 2 · 10−6 = 6 · 10−5 C

V3

= V1

− V2

= 30 V

En cambio, la carga que adquieren C1y C

2es la misma, pues están conectados en

serie. De este modo:

La d.d.p. entre los bornes de cada condensador se determinará aplicando las ex-presiones que corresponden a una asociación en serie:

Vq

C

Vq

C

C

C

11

6

6

22

6

6

30 10

2 1015

30 10

2 1015

= = ⋅⋅

=

= = ⋅⋅

=

−

−

−

−

V

V

q q qV V

Ci

1 21 2 6

130 10= = =

−

= ⋅ − C

Serie: F

Paralelo: F

1 1 1 1

2

1

21 1

1 2 31 2

3

C C CC

C C CA

A

total A

= + = + = → =

= + = + =

µ

µ

V Vq

CV Vi i

i

− = → − = ⋅⋅

=+

−

−1 1 2

6

6

120 10

3 1040 V


9.6. ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR

Página 174

1. Al introducir un dieléctrico entre las placas de un condensador cargado,¿varía la carga? ¿Y la capacidad?

Cuando introducimos un dieléctrico varía la capacidad, ya que esta es propia decada material. Como la d.d.p. es constante, resulta:

2. En la cuestión anterior, ¿qué ocurre con la d.d.p. que existe entre las dosplacas del condensador?

La d.d.p se mantiene constante, ya que la tensión que aplicamos a un condensa-dor es fija y viene impuesta por la fuente exterior de alimentación.

3. Calcula la energía almacenada en un condensador cargado cuando las pla-cas están separadas por aire seco y cuando introducimos entre ellas undieléctrico cuya permitividad es 80.

Supondremos que la d.d.p. entre los bornes del condensador es la misma en am-bos casos. Sabiendo que para el aire seco ε'

0= 1, la energía almacenada en el

nuevo dieléctrico, comparada con la que almacena el dieléctrico anterior, es:

Ello nos indica que, a potencial constante, la permitividad de un dieléctrico sirvecomo medida del almacenamiento de energía que tiene un dieléctrico, compara-do con otro. Observa que, en este caso, no podemos calcular la energía con losdatos que nos da el enunciado; tan solo podemos compararlas.

4. En la cuestión anterior, ¿cambia algo si introducimos el dieléctrico entrelas placas cuando el condensador está cargado o cuando está descargado?¿Qué ocurrirá en cada caso? Analiza, sobre todo, qué ocurre con la carga yla d.d.p. entre las armaduras del condensador.

Si el condensador está cargado y aislado (carga constante), al introducir el dieléc-trico aumentamos la capacidad y:

En cambio, si el condensador está conectado a una fuente de alimentación queproporciona una d.d.p. constante, al introducir el dieléctrico el condensador ad-quiere mayor capacidad y, siendo la diferencia de potencial constante:

V V

Q

CV V C Q1 2 1 2− = → − = ↑ → ↑Si cte, entonces si

V V

q

Cq C V1 2− = → = ↑ → ↓Si cte y ∆

′ = = =W

W

εε

'

'0

80

180

∆V

q

CC q C q= → ↑→ ↑ ↓→ ↓Si y si


ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

Cuestiones

1. Una pequeña esfera conductora descargada se cuelga de un hilo aislante.Cuando se aproxima una varilla aislante, cargada negativamente, la esfera:

a) Es atraída por la varilla, entran en contacto y es repelida por ella.

b) Es repelida siempre por la varilla.

c) No se mueve.

d) Es atraída por la varilla y queda pegada.

La respuesta correcta es la a). Esta es la experiencia que se describe al principiode la unidad.

2. A lo largo de una línea de fuerza de un campo eléctrico:

a) La intensidad del campo siempre aumenta.

b) La intensidad del campo siempre disminuye.

c) El potencial no varía.

d) El potencial aumenta o disminuye.

Las líneas de fuerza de un campo están dirigidas de las fuentes del campo (car-gas positivas), en las que el potencial es creciente a los sumideros (cargas nega-tivas), en los que el potencial es decreciente. Por tanto, a lo largo de ellas, elpotencial aumenta o disminuye, dependiendo del sentido en que nos movamossobre dicha línea de fuerza.

La respuesta correcta es la d).

3. Cuatro cargas eléctricas, todas de valor Q y con los signos que se indicaen la figura, se colocan en las cuatro esquinas de un cuadrado. ¿Cuál delas flechas, A, B, C o D, del diagrama señala adecuadamente la direcciónde la fuerza resultante cuando una quinta carga, +Q, se coloca en el cen-tro del cuadrado?

Observa los signos de las cargas que crean el campo.


+Q

+Q

+Q

+Q

D

A

C

–Q

B

Como cargas del mismo signo se repelen, es fácil ver que las dos cargas positi-vas que están situadas en vértices opuestos anulan sus efectos entre sí.

Por el contrario, las otras dos cargas (una positiva y la otra negativa) tienden adesplazar a la carga problema en la misma dirección y sentido, hacia la carganegativa. Por tanto, la flecha que señala la fuerza resultante es la C.

Ejercicios

4. El trabajo que debemos realizar para transportar una carga de 2 C de unpunto a otro es de 10 J. De acuerdo con ello, la d.d.p. entre esos dos pun-tos, medida en volt, resulta:

a) 5 b) 10 c) 12 d) 20

La respuesta correcta es la a).

5. La fuerza que actúa sobre dos cargas, separadas cierta distancia, es de1.000 N. Para que esa fuerza se reduzca a la novena parte, tenemos que si-tuar esas cargas a una distancia:

a) Nueve veces mayor.

b) Tres veces mayor.

c) Tres veces menor.

d) Nueve veces menor.

La resolución de este ejercicio es igual a la de la primera cuestión propuesta enla página 167. Es importante hacer ver al alumnado que el enunciado aportamás información de la necesaria para resolverlo; el dato del valor de la fuerzade atracción es irrelevante.

La respuesta correcta es, por tanto, la b).

6. Una carga de 0,2 C está situada en un punto de un campo eléctrico creadopor otra carga, y su energía potencial es de 10 J. Calcula el potencial eléc-trico en dicho punto.

La energía potencial de una carga en un punto, coincide con el trabajo necesa-rio para trasladar dicha carga hasta ese punto, desde el origen de potenciales.De forma que:

7. En el ejercicio anterior, ¿cómo es el signo de la carga que crea el campo?

La carga es de signo positivo. Observa que la carga aumenta su energía poten-cial (de 0 a 50 J) cuando se traslada desde el origen de potenciales hasta esepunto, lo que indica que este desplazamiento no es espontáneo. Si la carga quecrea el campo hubiera sido de signo negativo, el trabajo hubiera sido realizadoespontáneamente, pues las cargas de distinto signo se atraen. Por tanto, la cargaha de ser forzosamente positiva.

E q V VE

qp

p= ⋅ → = = =∆ ∆ 10

0 250

, V

W q V V q V V V VW

q1 2 1 2 2 1 2 1

10

25→ = ⋅ →( ) = − ⋅ −( ) → − =

−= −

−= V


8. ¿Qué energía potencial posee un electrón situado en un punto de poten-cial +200 V? ¿Y si el potencial en ese punto es de −200 V?

La expresión de la energía potencial en función del potencial es:

Ep

= q · V

Teniendo en cuenta que: qelectrón

= −1,6 · 10−19 C, obtenemos:

V = 200 V → Ep

= −3,2 · 10−17 J ; V = −200 V → Ep

= 3,2 · 10−17 J

9. Un electrón, inicialmente enreposo en un punto A, es ace-lerado por medio de una dife-rencia de potencial Vab, hastaalcanzar un punto B.

a) La d.d.p. Vab, ¿es positiva onegativa? Justifica la res-puesta.

b) Calcula la energía cinéticaque adquiere el electrón yexpresa el resultado enfunción del potencial, V.

c) Calcula el valor de la velocidad que adquiere el electrón en B y dibujala gráfica que representa las variaciones de velocidad en función de √V

−.

a) El electrón (−q) acelera espontáneamente al encontrarse con esa diferenciade potencial. Por tanto, el signo del trabajo es positivo, ya que lo realizan lasfuerzas del campo:

WA → B

= −q · (VA

− VB) > 0 → V

A− V

B< 0 → V

B> V

A→ V

AB< 0

b) El trabajo que realiza la carga lo es en forma de energía cinética. Sabiendoesto, resulta:

c) El valor de la velocidad y las gráficas v-V y v-√V−

son: v

q V

mB = ⋅ ⋅2

W E E m v q Vc c B= → = ⋅ ⋅ = ⋅1

22


VA

v0 = 0

A

VB

B

F v

2.q

m3.

2.q

m2.

2.q

m

1 2 3 V 1/2(volt)

v (m.s–1) v (m.s–1)

2.q

m3.

2.q

m2.

2.q

m

3 6 9 V (volt)

Problemas

10. Calcula la d.d.p. que existe entre dos puntos, A y B, debida a la presenciade una carga de 18 nC, situada en el vacío, que dista 0,4 m de A y 0,5 m de B.

El potencial creado por una carga q, se calcula a partir de la expresión:

Para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos, realizaremos el si-guiente cálculo:

11. Una pila de 1,5 V está unida a dos placas metálicas, separadas 10 cm.

a) Calcula el valor del campo eléctrico que existe entre las dos placas.

b) Calcula la distancia máxima que debe existir entre esas dos placas pa-ra que el peso de un protón sea despreciable frente a la fuerza elec-trostática que existe entre las placas.

Datos: La fuerza peso se considera despreciable si es 100 veces menorque la fuerza electrostática.

Carga del protón: q = 1,6 · 10−19 C

Masa del protón: m = 1,67 · 10−27 kg

g = 9,8 N · kg−1

a) Las placas metálicas, sometidas a una d.d.p., forman un condensador plano.En este caso, el campo eléctrico es:

b) La condición que exigen se traduce en que la fuerza electrostática que actúasobre el protón sea, por ejemplo, 100 veces superior a la fuerza peso, esto es:

100 · Pprotón

= Felec

100 · mprotón

· g = qprotón

· E ′De la expresión anterior se obtiene el campo eléctrico:

Como la diferencia de potencial aplicada a las placas es constante, el cálculode la distancia máxima que satisface la condición anterior es inmediata:

dV

E=

′=

⋅=

−

∆ 1 5

1 023 10146 645

5

,

,. m

′ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ ⋅−

−− −E

100 1 67 10 9 8

1 6 101 023 10

27

195 1, ,

,, N C

EV

dV= = = ⋅ = ⋅− −∆ 1 5

0 115 151 1,

, N C m

∆V V r V rQ

r rA BA B

= − =⋅ ⋅

⋅ −

= ⋅

⋅ ⋅⋅ −

=−

( ) ( ), ,4

1 1 18 10

4

1

0 4

1

0 581

0

9

0π ε π ε V

V r

Q

r( ) =

⋅ ⋅ ⋅4 0π ε


12. Dos placas metálicas cargadas están separadas una distancia d = 20 cm.En el espacio comprendido entre ellas existe un campo eléctrico unifor-me de módulo E = 100 N · C−1. Se abandona desde la placa positiva unapartícula, de masa m = 0,03 kg y carga q = 10−5 C, que, inicialmente, se en-contraba en reposo. Determina:

a) La aceleración que experimenta la partícula.

b) La diferencia de potencial eléctrico entre las placas.

c) La energía cinética de la partícula cuando llega a la placa negativa.

P.A.U. Burgos, junio, 1995.

Para resolver este problema supondremos que las placas están en posición hori-zontal, y la placa positiva sobre la negativa.

a) La fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula es:

Fe

= q · E = m · ae

Por tanto, la aceleración que comunica esta fuerza a la partícula:

Para calcular la aceleración real que experimenta la partícula, hemos de con-siderar además el peso. Por tanto:

b) En el interior de las placas el campo eléctrico es constante, siendo su valor:

c) La energía cinética de la partícula es:

13. Halla el valor de Q, en función de q, para que el potencial eléctrico gene-rado por estas cuatro cargas sea nulo en el origen de coordenadas.

P.A.U. Castilla-La Mancha, junio, 1995.

E m v m a d= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −1

2

1

22

1

20 03 2 9 8 0 2 5 9 102 4, , , , J

E

V

dV E d= → = ⋅ = ⋅ =∆ ∆ 100 0 2 20, V

F P m a aF P

m

q E m g

mee+ = ⋅ → =

+= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = ⋅−

−10 100 0 03 9 81

0 039 84

52, ,

,, m s

a

q E

me = ⋅ = ⋅ = ⋅−

−10 100

0 03

1

30

52

, m s


(0,b)

(–a,0)

Q

(a,0)

(0,–b)

–q

–2.q

+q

Y

X

Para calcular el potencial eléctrico que genera una carga Q a una distancia raplicamos la expresión:

en la que la constante K depende del medio. Como se trata de una magnitud es-calar, para calcular el potencial creado por varias cargas en un punto, aplicamosel principio de superposición. De ese modo:

Imponiendo ahora la condición de potencial nulo, resulta:

14. Entre dos placas cargadas paralelas hay una diferencia de potencial de200 V. En la región comprendida entre ambas placas existe un campoeléctrico de 400 N · C−1 en módulo. Calcula:

a) La separación entre placas.

b) El módulo de la aceleración que experimentaría una partícula de0,01 kg de masa con una carga de 10−4 C al situarla entre las placas.

c) La variación de energía potencial de esa partícula si va de la placa ne-gativa a la positiva.

P.A.U. Murcia, junio, 1995.

a) Dos placas cargadas paralelas, pueden ser consideradas como un condensa-dor plano. Por tanto:

b) Al poner una partícula cargada en el seno de una campo eléctrico se ve so-metida a la acción de la fuerza electrostática, F = q · E y, de acuerdo con lasegunda ley de Newton:

F = m · a → F = q · E = m · a

De la igualdad anterior despejamos la aceleración:

aq E

m= ⋅ = ⋅ = ⋅

−−10 400

0 014

42

, m s

E

V

dd= → = =∆ 200

4000 5, m

Vq

a

Q

aQ q= → − ⋅ +

= → = ⋅02

0 2

V V V V V

V Kq

b

q

b

q

a

Q

a

= + + +

= ⋅ − + − ⋅ +

1 2 3 4

2

V K

Q

r= ⋅


Esta es la aceleración que produce la fuerza electrostática. Sobre la partículatambién actúa otra fuerza, el peso. Por tanto, la aceleración a que se ve so-metida debido al campo eléctrico y al peso, si las dos placas están en posi-ción horizontal y la positiva sobre la negativa, será:

c) La variación de energía potencial coincide con el trabajo que realizamos pa-ra trasladar la carga de una placa a la otra. Por tanto:

We

= q · ∆V = 10−4 · 200 = 0,02 J

En el caso que nos ocupa tenemos que realizar trabajo para trasladar unacarga positiva de la placa negativa, que se encuentra a menor potencial, a laplaca positiva, que se encuentra a mayor potencial. Por tanto, la energía po-tencial de la partícula aumenta. Además, hay que vencer la fuerza gravitato-ria, luego:

∆E'p

= m · g · h = 0,01 · 9,8 · 0,5 = 0,049 J → WT

= 0,02 + 0,049 = 0,069 J

15. Dos cargas puntuales, de 10 nC y −20 nC, respectivamente, están situa-das, la primera, en el origen de coordenadas y, la segunda, en el punto(2,0) m. Si se encuentran en el aire, calcula:

a) El campo eléctrico que crean estas dos cargas en los puntos (1,0), (0,1)y (2,1) m.

b) El punto o los puntos del eje de abscisas en los que el campo eléctricoes nulo.

El campo total creado por varias cargas en un punto es la suma del campo eléc-trico que produce en dicho punto cada una de ellas. La dirección de cada campoviene determinada por la recta que une la carga que crea el campo con el puntoen que se sitúa la carga que interactúa con ella. Para determinar el sentido delcampo que crea una carga Q en un punto cualquiera, tenemos en cuenta que:

1. Si la carga es positiva, las líneas de fuerza del campo salen de ella y se diri-gen al punto que estamos considerando.

2. Si la carga es negativa, las líneas de fuerza del campo se dirigen desde elpunto en que nos encontramos hacia la carga.

a) Por tanto, en este ejercicio:

Punto (1,0)

Sumando ambas contribuciones:

Er

= (90 + 180) · ir

= 270 · ir

N · C−1

r r r r r rE E E E E i E i

E KQ

rE

E

ii

i

= = + = ⋅ + ⋅

= ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

=

=

−−

−−

∑ 1 2 1 21

2

2 19

91

29

91

9 1010 10

190

9 1020 10

1180

N C

N C

q E m g m a aq E m g

m⋅ + ⋅ = ⋅ → = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

−−10 400 0 01 9 81

0 0113 81

42, ,

,, m s


Punto (0,1)

El ángulo que forma la dirección que une la carga situada en (2,0) y el pun-to (0,1) con el eje de abscisas es:

Por tanto:

Punto (2,1)

El ángulo que forma la carga situada en el origen con el punto (2,1) es:

b) En primer lugar, expresamos el campo en función de un punto del eje deabscisas:

Er

= Er

1+ E

r2

→ Er

= Er

1· ir

− Er

2· ir

El módulo de cada campo se determina a partir de la expresión

De ese modo, el campo resultante es:

Como buscamos puntos en los que el campo se anule, impondremos la con-dición E(x) = 0 para obtener los puntos x deseados:

Er(x) = 0 → 90 · (2 − x)2 − 180 · x2 = 0

−90 · x2 − 360 · x + 360 → x = 0,828 m ; x = −4,82 m

r rE x

x xi( )

( )= −

−

⋅90 180

22 2

E

xE

x19

9

2 29

9

29 10

10 109 10

20 10

2= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

−

− − ;

( )

E k

q

r= ⋅

2

r r r r r

r r r

r r

E E E Kq

ru

q

ru

cos i sen j i

i j

= + = ⋅ ⋅ + ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ° ⋅ + ° ⋅( )+ − ⋅ ⋅

=

= ⋅ − ⋅( ) ⋅

− −

1 21

12 1

2

22 2

99 9

9 1010 10

526 57 26 57

20 10

5

16 10 171 95

, ,

, , N C-1

arctgu cos i sen

u j

1

226 57 2

2

= ° →= ⋅ +=

,

r r

r rθ

r r r r r

r r r

r r

E E E Kq

ru

q

ru

j cos i sen j

i j

= + = ⋅ ⋅ + ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ° ⋅ + ° ⋅( )

=

= ⋅ + ⋅( ) ⋅

− −

1 21

12 1

2

22 2

99 9

9 1010 10

1

20 10

526 57 26 57

32 2 73 9

, ,

, , N C–1

θθ θ

=

= ° →== − ⋅ + ⋅

arctg

u j

u cos i sen j

1

226 57 1

2

,

r r

r r r


De los dos puntos que obtenemos, tan solo uno tiene sentido físico. En x = −4,82 m, los campos creados por ambas cargas son de sentido opuesto, ysus módulos son iguales, por lo que en él se anula el campo.

Sin embargo, en el punto x = 0,828, que se encuentra situado entre las doscargas, los campos creados tienen el mismo sentido, y ahí nunca se anula elcampo.

Además, observa que en la región situada a la derecha de ambas cargas elcampo eléctrico nunca se anula pues, aunque ahí los campos son de sentidocontrario, sus módulos nunca serán iguales.

16. En las transformaciones que se indican, calcula el trabajo que realizanlas fuerzas del sistema, indicando, a la luz del resultado, qué transforma-ciones son espontáneas y cuáles exigen un trabajo exterior:

a) Una carga de 3 C pasa de un punto en que el potencial es 2 V a otroque se encuentra a 10 V.

b) La misma carga pasa de 10 V a 2 V.

c) Una carga de −3 C pasa de 2 V a 10 V.

d) La misma carga pasa de 10 V a 2 V.

El trabajo que realizan sobre la carga las fuerzas del campo viene dado por:

W = −q · ∆V = q · (V1

− V2)

El signo negativo en el trabajo significa que el trabajo es aportado al sistema,mientras que un signo positivo nos indica que el trabajo lo realizan espontánea-mente las fuerzas del campo.

Por tanto, en el caso que nos ocupa, resulta:

a) WA

= 3 · (2 − 10) = −24 J

b) WB

= 3 · (10 − 2) = 24 J

c) WC

= −3 · (2 − 10) = 24 J

d) WD

= −3 · (10 − 2) = −24 J

17. Disponemos de dos cargas, de 4 y −2 µC, situadas, respectivamente, enlos puntos (2,0) y (4,0). El medio es el vacío. Calcula la intensidad delcampo resultante en el punto (6,0) en módulo, dirección y sentido. Si endicho punto situamos una carga de 3 µC, ¿cuál será la fuerza que actuarásobre ella, en módulo, dirección y sentido?

Como las dos cargas que crean el campo y el punto donde queremos estudiarloestán sobre el eje de abscisas, el campo tendrá también esa dirección.

El campo total es la suma de los campos producidos por la contribución de am-bas cargas:

Er

= Er

1+ E

r2

= Er

1⋅ ir

+ Er

2⋅ ir

E Kq

rE

E

= ⋅ → = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅

−−

−−

2 19

6

23 1

29

6

23 1

9 104 10

42 25 10

9 102 10

24 5 10

,

,

N C

N C


Sumando las dos contribuciones, resulta:

Er

= 2,25 · 103 · ir

− 4,5 · 103 · ir

= −2,25 · 103 · ir

N · C−1

La fuerza que actuará sobre una carga de 3 µC, situada en ese punto, será:

Fr

= q · Er

= 3 · 10−6 · (−2,25 · 103 · ir) = −6,75 · 10−3 · i

rN

18. Una carga q1

= 10−9 C está situada en el origen de las coordenadas, y en elpunto x = 1 m se encuentra otra carga, q

2= −3 · q

1.

a) Da una expresión para el potencial eléctrico, V, en un punto x, com-prendido entre las dos cargas, y dibuja una gráfica de V como funciónde x para los siguientes valores de x: 20, 30 y 40 cm.

b) Dentro de este mismo intervalo de valores, 1 > x > 0, halla el punto enel que el potencial eléctrico es nulo. Compara el resultado con el queobtienes en la gráfica anterior.

P.A.U. Cantabria, junio, 1995.

La distribución de las cargas es la siguiente:

a) Utilizando la fórmula que permite calcular el potencial eléctrico y el princi-pio de superposición, resulta:

expresión que, para las distancias que nos indican, toma los siguientes valo-res:

V

V

V

0 2

0 3

0 4

91 4 0 2

0 2 1 0 211 25

91 4 0 3

0 3 1 0 38 57

91 4 0 4

0 4 1 0 422 5

,

,

,

,

, ( , ),

,

, ( , ),

,

, ( , ),

= ⋅ − ⋅⋅ −

=

= ⋅ − ⋅⋅ −

= −

= ⋅ − ⋅⋅ −

= −

V

V

V

V Kq

xK

q

xK

q

x

q

xK q

x x

x x

K qx

x x

x

x x

x

x x

x = ⋅ + ⋅−

= ⋅ +− ⋅

−

= ⋅ ⋅ − − ⋅⋅ −

=

= ⋅ ⋅ − ⋅⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅ −

= ⋅ − ⋅⋅ −

−

1 2 1 11

19 9

1

3

1

1 3

1

1 4

19 10 10

1 4

19

1 4

1

( )

( ) ( ) ( )


Y

q1 X

–3.q1

0,5 1

La representación de V en función de x:

b) Como se aprecia en la gráfica anterior, el potencial se anula en un punto si-tuado entre x = 0,2 y x = 0,3 metros. Calculemos ahora cuál es ese punto.Sustituyendo en la expresión del potencial, resultará:

19. Dos cargas, de −7 y +7 µC, respectivamente, se encuentran separadas unadistancia de 80 cm.

a) ¿Existe algún punto de la recta definida por las dos cargas para el cualel potencial sea cero? Si es así, determina su posición y calcula el valorde la intensidad de campo en ese punto.

b) ¿Existe algún punto de dicha recta en el que la intensidad de camposea nula? Explícalo.

P.A.U. Granada, junio, 1995.

a) Si tenemos una carga Q, el potencial que crea a una distancia r de ella pode-mos calcularla a partir de la expresión:

Supongamos que el punto en el que el potencial es nulo está situado entreambas cargas, a una distancia r de Q

1:

V K

Q

r= ⋅

0 9

1 4

10 1 4

1

40 25= ⋅ − ⋅

⋅ −→ = − ⋅ → = =x

x xx x

( ), m


50

25

0,2 0,3 0,4 0,5

V (volt)

x (m)0,6 0,7 0,8

–25

–50

–75

–100

–125

Y

Xr 0,8–r

Q1Q2

0

Los potenciales que crean cada carga en dicho punto deberán ser iguales,aunque de sentido opuesto, lo que es posible, ya que las cargas son de sig-nos opuestos. Por tanto:

El potencial es nulo en un punto situado a igual distancia de las dos cargas,lo cual era predecible, ya que las cargas son iguales y de signo opuesto.

Si consideramos que dicho punto no se encuentra entre las dos cargas y su-ponemos, por ejemplo, que se encuentra a la izquierda de Q

1, las distancias

serán ahora r y (0,8 + r). Por tanto:

Por tanto, no existen otros puntos sobre la recta definida por las dos cargasen los que el potencial sea nulo.

En cuanto a la intensidad de campo eléctrico en el punto en que el potenciales nulo, no será nula, ya que el campo que crea cada una de las dos cargastiene la misma dirección y sentido que el otro, por lo que su suma jamás se-rá nula.

Teniendo en cuenta que el campo “sale” de las cargas positivas y “entra” enlas cargas negativas, al ser las cargas de signo opuesto, en el segmento de ejeque une ambas cargas, el campo creado por Q

1apuntará hacia la carga nega-

tiva, al igual que el campo que crea Q2. Teniendo en cuenta que:

en el punto P (0,4, 0) tendremos:

Por tanto, el campo eléctrico resultante en dicho punto será:

Er

= Er

1+ E

r2

= 2 · (−393.750 · ir) = −787.500 · i

rN · C−1

r r r r

r r r r

E KQ

ri i i

E KQ

ri i i

11

29

6

21

22

29

6

21

9 107 10

0 4393 750

9 107 10

0 4393 750

= ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

−−

−−

( ),

.

( ),

.

N C

N C

r rE K

Q

ru= ⋅ ⋅

2

V V V KQ

rK

Q

r

r Q r Q

r r

r

= + = → ⋅ + ⋅+

= →

→ + ⋅ + ⋅ = →→ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = →→ ⋅ = →

− −

1 21 2

1 2

6 6

00 8

0

0 8 0

0 8 7 10 7 10 0

0 0 8

,

( , )

( , ) ( ) ( )

, No existe solución

V V V KQ

rK

Q

r

r Q r Q

r r

r r

= + = → ⋅ + ⋅−

= →

→ − ⋅ + ⋅ = →→ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = →→ ⋅ = → =

− −

1 21 2

1 2

6 6

00 8

0

0 8 0

0 8 7 10 7 10 0

2 0 8 0 4

,

( , )

( , ) ( ) ( )

, , m


Q1(–)

E1

E2

Q2(+)

b) Si existen dichos puntos, en ellos el campo que crea cada carga debe serigual (en módulo) al que crea la otra carga, pero de sentido opuesto. Sin em-bargo, al ser las dos cargas iguales, la que esté más alejada del punto queconsideremos creará un campo de menor intensidad que la otra. Por tanto,no podremos encontrar en este caso ningún punto a derecha o izquierda delas cargas en el que se anule el campo eléctrico. Ese punto tan solo podríaser el punto medio del segmento que une las dos cargas, pero allí, como he-mos visto en el apartado anterior el campo que crea una de las cargas re-fuerza al que crea la otra, no lo anula. Por tanto, no existen esos puntos quenos piden.

20. Dos esferas muy pequeñas, de 50 g de masa cada una, cargadas con idén-tica carga, se encuentran en los extremos de dos hilos inextensibles y sinmasa de 1 m de longitud, suspendidos del mismo punto. Si el ángulo queforma cada hilo con la vertical en la posición de equilibrio es de 30°, calcula:

a) La carga de cada esfera.

b) La tensión de los hilos en la posición de equilibrio.

c) Si en un instante desaparece una de las cargas, calcula la energía ciné-tica y la tensión de la cuerda cuando la otra pasa por la vertical.

P.A.U. Córdoba, junio, 1995.

Datos: K = 9 · 109 N · m2 · C−2;

g = 10 m · s−2.

Para que el sistema esté en equilibrio, la resultantede las fuerzas que actúan sobre cada esfera debe sernula. Como dichas fuerzas son el peso de la esfera(Pr), la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre

ella (Fr

e) y la tensión que soporta el hilo (T

r), debe

cumplirse la siguiente relación:

a) La fuerza que actúa sobre cada esfera, debido ala acción de la carga que existe sobre la otra, es:

Las dos cargas son iguales y están separadas una distancia

r = 2 · x = 2 · l · sen α

Por tanto:

tgF

P

Kq q

l sen

m geα α= =

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅( )2 2

F K

q q

re = ⋅ ⋅2

tg

F

Peα =


α

αx

l

P

Fe

T

Despejando ahora q, resulta:

b) Los valores que corresponden a P y Feson:

La tensión que soporta el hilo será:

Tr

= Fe· ir

+ P · jr

= 0,289 · ir

+ 0,5 · jr

N

cuyo módulo es:

c) Como se aprecia en la figura, cuando la esfera llegue a la vertical habrá des-cendido una altura:

h = l − l · cos α = l · (1 − cos α) = 1 · (1 − cos 30) = 0,134 m

Situemos el origen de potenciales comose aprecia en la figura. Al eliminar una delas dos esferas, la otra esfera iniciará unmovimiento de caída. Inicialmente, laenergía mecánica de dicha esfera será ex-clusivamente energía potencial.

Al llegar a la vertical, como no existen ro-zamientos, toda esa energía potencial sehabrá convertido en energía cinética. Portanto:

(Ec)

f= (E

p)

i

(Ec)

f= m · g · h = 0,05 · 10 · 0,134 = 0,067 J

Para calcular la tensión, debemos tenerahora en cuenta qué fuerzas actúan sobrela esfera cuando pasa por el punto másbajo de la trayectoria. En la figura se hanrepresentado dichas fuerzas.

T T F Pe= = + = + =

r2 2 2 20 289 0 5 0 577, , , N

F Kq q

r

P m g

e = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=

= ⋅ = ⋅ =

−

29

6 2

29 10

5 66 10

2 1 300 289

0 05 10 0 5

( , )

( ),

, ,

sen N

N

Kq q

l senm g tg

qm g tg l sen

Kl sen

m g tg

K

l sentg

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

= ⋅ −

( )

( )( )

,,

2

22

2 300 05 10 30

9 105 66 10

2

2

96

αα

α α α α

C


α

l

l –h

h

Ep= 0

T

P

v

Como el movimiento es circular, la resultante de esas dos fuerzas debe ser lafuerza centrípeta que hace que la fuerza describa un movimiento circular.Por tanto:

Para calcular la velocidad de la bola tendremos en cuenta el valor que he-mos calculado para la energía cinética:

Por tanto, la tensión en la cuerda será:

21. Una carga q0

se mueve sin aceleración desde A hasta B, a lo largo de latrayectoria que se indica en la figura:

Calcula la diferencia de potencial que existe entre A y B.

La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es la relaciónque existe entre el trabajo transferido al trasladar una carga de un punto a otro yel valor de dicha carga. Dicho valor coincide con el trabajo realizado al trasladarla unidad positiva de carga, ya que entonces ∆V ⋅ 1 = −W. Por tanto:

WA→B

= q · (VA

− VB)

En el caso que nos ocupa, la diferencia de potencial entre A y C será:

V VW

q

V VF r

q

q E r

qE r

V V Ed

coscos E d

A CA C

A C

A C

− =

− = ⋅ =⋅ ⋅

= ⋅

− = ⋅ ⋅ = − ⋅

→

0

0

0

0

45135

r r r rr r

T m gv

R= ⋅ +

= ⋅ +

=2 2

0 05 101 637

10 634,

,, N

E m v vE

mcc= ⋅ ⋅ → =

⋅= ⋅ = ⋅ −1

2

2 2 0 067

0 051 6372 1,

,, m s

T P Fm v

RT P

m v

Rm g

v

Rc− = = ⋅ → = + ⋅ = ⋅ +

2 2 2


B

AE

dl

dl

q0

q0

C

d

45°

r

r

siendo nula la diferencia de potencial entre los puntos C y B, ya que el campo alo largo de la línea que los une es siempre perpendicular al desplazamiento y,por tanto, el producto escalar de ambas magnitudes será nulo.

La diferencia de potencial entre los puntos A y B será, por tanto, E · d.

22. Dos cargas, q1

= 2 · 10−9 C y q2

= −4 · 10−9 C, están situadas en dos de losvértices de un triángulo equilátero de 2 · 10−2 m de lado.

a) Calcula el valor del campo eléctrico en el otro vértice.

b) ¿Qué trabajo habría que realizar para traer una carga de 5 · 10−9 C des-de el infinito al tercer vértice del triángulo?

P.A.U. Andalucía, junio, 1997.

Los datos que proporciona el enunciado del problema son los siguientes:

q1

= 2 · 10−9 C

q2

= −4 · 10−9 C

Lado del triángulo: l = 2 · 10−2 m

q = 5 · 10−9 C

a) En la figura se muestra el sistema de referencia que hemos elegido para re-solver el problema.

La expresión que permite calcular la intensidad del campo eléctrico que creauna carga puntual en un punto se calcula a partir de la expresión:

En el caso que nos ocupa, podemos calcular el campo eléctrico total quecrean las dos cargas en el tercer vértice del triángulo, aplicando para ello elprincipio de superposición:

r r r r rE E E K

q

ru

q

ru= + = ⋅ ⋅ + ⋅

1 21

12 1

2

22 2

r rE K

q

rur= ⋅ ⋅

2


ll

lq1(+) q2(–)

60°60°

r1 r2

u1 u2

De acuerdo con la figura, resulta:

Sustituyendo los datos correspondientes en la expresión de la intensidad delcampo total, queda:

b) Al tratarse de un campo conservativo, el trabajo lo calcularemos multiplican-do la carga por la diferencia de potencial que existe entre la posición inicialy la final:

W = q · (V∞ − V )

Si consideramos el origen de potenciales situado a una distancia infinita de lacarga que crea el campo (V∞ = 0), resulta para la expresión del trabajo:

W = −q · V

La expresión que permite calcular el potencial en un punto de una regióndel espacio en la que existe un campo eléctrico creado por una carga pun-tual es:

Por tanto, si aplicamos ahora el principio de superposición, resulta:

Sustituyendo esta última expresión en la expresión del trabajo, y sustituyen-do valores, obtenemos el resultado que nos piden:

El resultado (W > 0) nos indica que se trata de un trabajo que realizan es-pontáneamente las fuerzas del campo.

W q Kq

r

q

r

W

= − ⋅ ⋅ +

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

+ − ⋅⋅

= ⋅−−

−

−

−−

1

1

2

2

9 99

2

9

265 10 9 10

2 10

2 10

4 10

2 104 5 10, J

V V V Kq

r

q

r= + = ⋅ +

1 21

1

2

2

V K

q

r= ⋅

r r r

r r r r r

E i j

i j E i j

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ° ⋅ + ° ⋅ +

+ − ⋅⋅

⋅ − ° ⋅ + ° ⋅ → = ⋅ − ⋅ ⋅

−

−

−

−−

9 102 10

4 1060 60

4 10

4 1060 60 67 500 38 971

99

4

9

41

( )

( ) ( . . )

cos sen

cos sen N C

r r l r r

r r i r j i j

r r i r j i

1 22

12

22 4 2

1 1 12

2 2 22

2 10 4 10

60 60 2 10 60 60

60 60 2 10 60

= = = ⋅ → = = ⋅= ⋅ ° ⋅ + ⋅ ° ⋅ = ⋅ ⋅ ° ⋅ + ° ⋅= − ⋅ ° ⋅ + ⋅ ° ⋅ = ⋅ ⋅ ° ⋅ +

− −

−

−

m m

cos sen cos sen

cos sen cos

r r r r r

r r r r( )

( sen sen

cos sen

cos sen

60

60 60

60 60

11

1

22

2

° ⋅

= = ° ⋅ + ° ⋅

= = − ° ⋅ + ° ⋅

r

rr

r r

rr

r r

j

ur

ri j

ur

ri j

)


física.1º bachillerato.electrostática.problemas resueltos

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