física.1º bachillerato.dinámica, fuerzas.problemas resueltos

8/22/2019 Fsica.1 Bachillerato.Dinmica, fuerzas.Problemas resueltos

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Solucionario de las actividades propuestas en el l ibro del alumno

5.2. EQUILIBRIO, REPOSO Y MOVIMIENTO

Pgina 81

1. Demuestra que una balanza en la que ambos platillos se encuentran a lamisma distancia del eje de giro permite medir directamente la masa de uncuerpo.

Para que los brazos de la balanza no giren, es decir, para que la balanza est enequilibrio, los momentos de las fuerzas peso del cuerpo y de las pesas han de seriguales, ya que uno de los dos momentos es horario y el otro antihorario. Portanto:

Teniendo en cuenta que el peso de un cuerpo es igual al producto de su masapor la aceleracin de la gravedad, resulta:

m g=mP

g m=mP

Como vemos, la masa del cuerpo es igual a la masa de las pesas que equilibran labalanza.

2. Es fiable una balanza en la que los dos platillos no se encuentran a la mis-ma distancia del eje de giro? Por qu?

Si ocurre lo que indica el enunciado, no se cumple la igualdad de la cuestin an-terior. Si las distancias de los platillos al eje de giro son r

Py r, respectivamente,

resulta:

5.3. MOMENTO LINEAL E IMPULSO MECNICO

Pgina 83

1. Calcula la cantidad de movimiento que posee un coche que se desplaza a90 km h1, si su masa es de 1.200 kg.

En unidades SI, la velocidad del coche es:

La cantidad de movimiento ser, por tanto:

p=m v= 1.200 25= 3 1 04 kg m s1

v= = 90

10 125

31

km

h

m

1 km

h

3.600 sm s

r P r F r m g r m g m

r

rm

P P P PP

P = = =

r P sen r F sen P F

P P = =

2 2

Unidad 5. Fuerza y movimiento. 1


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2. Calcula el momento lineal que posee la Tierra, debido al movimiento detraslacin alrededor del Sol, medido desde el propio Sol.

Esta cuestin se propone para que los alumnos consulten los datos que necesi-tan. Al resolverlo supondremos que la trayectoria es circular. Con ello la veloci-dad lineal, medida desde el Sol, es el producto de la velocidad angular por el ra-dio de la trayectoria circular. Por tanto:

p=MTv=M

Tr

La velocidad angular es:

Teniendo en cuenta ahora que la distancia Tierra-Sol es 1,5 108 kilmetros y quela masa de la Tierra es, aproximadamente, 6,0 1024 kg, resulta:

p=MTr= 6 1 024 1,99 107 1,5 1011 = 1,79 1029 kg m s1

5.4. SEGUNDA LEY DE NEWTON

Pgina 84

1. Calcula la aceleracin que adquiere un objeto de 5 kg si actan sobre luna fuerza de 4 N en sentido norte y otra de 3 N en sentido oeste. Expresael resultado vectorialmente y calcula el mdulo de dicho vector.

Para resolver el problema tomaremos como sistema de referencia el que se indi-ca en la figura, en el que el eje de abscisas est dirigido en direccin este y el deordenadas en direccin norte.

Las componentes del vector fuerza que acta sobre el objeto, referidas al sistema

de referencia considerado, son:Fr

= 3 ir

+ 4 jr

Para calcular el valor de la aceleracin aplicamos la segunda ley de Newton. Deese modo:

cuyo mdulo es:

r

a =

+

= 3

5

4

51

2 2

2m s

rr r

r

r r

F m a a F

mi j= = = +

3

5

4

52m s

= =

=

1 vuelta

1 aodas

86.400 s

1 da

s2

365

1 99 10 7 1,


Y

X

FN=4 N

F0=

3 N m

=

5

kg

F


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2. Qu cantidad de movimiento adquiere el objeto si las dos fuerzas actandurante 30 s?

La cantidad de movimiento se calcula a partir de la expresin:pr

=m vr

. Por tan-to, suponiendo que el cuerpo parte del reposo y, conocida la aceleracin del mo-

vimiento que se ha calculado en la cuestin anterior, podemos calcular la veloci-dad con que se mueve el objeto, transcurridos 30 s desde que se inici elmovimiento y, a partir de ese dato, calcularemos la cantidad de movimiento.

3. Cunto vale el impulso mecnico que acta sobre el cuerpo?

La expresin que permite calcular el impulso mecnico es: Ir

=Fr

t. Por tanto,sustituyendo los valores que conocemos, resulta:

Ir

= 30 (3 ir

+ 4 jr

)= (90 ir

+ 120 jr

) kg m s1

4. Qu ocurre con el movimiento de un sistema fsico si la resultante de lasfuerzas que actan sobre l es nula?

En ese caso, el cuerpo permanece en el estado de equilibrio en que se encuentra.Ese estado puede ser de reposo o puede moverse con movimiento rectilneo uni-forme.

ACTIVIDADES DE LA UNIDAD

Cuestiones

1. Si la aceleracin con que se mueve un cuerpo es nula, podemos asegurarque no actan fuerzas sobre l? Cmo es el movimiento que describe es-te cuerpo?

Si la aceleracin de un cuerpo es nula, lo nico que podemos asegurar es que laresultante de las fuerzas que actan sobre l es nula. Ahora bien, ello no quie-re decir que no actan fuerzas sobre l; podran estar actuando una serie defuerzas que, sumadas vectorialmente, se anulasen, dando una resultante nula.

Si suponemos el cuerpo puntual, en ese caso el movimiento serrectilneo uni-forme.

2. Va en contra de la primera ley de Newton el hecho de que un objeto quese mueve sobre una superficie horizontal acaba siempre por detener sumovimiento?

Si se mueve, este cuerpo lo harcon aceleracin nula, y en consecuencia convelocidad constante. Por tanto, a primera vista parece que esta experiencia vacontra la primera ley de Newton, ya que es un objeto que estmovindose con

velocidad constante y que debe seguir movindose as, porque no acta ningu-na fuerza sobre l.

r

r

r r

r

r r rr r r r

rr

r r r r

a v

tv v a t v a t i j i j

p m v i j i j

= = = = = +

= +

= = + = +

03

5

4

530 18 24

5 18 24 90 120 1( ) ( ) kg m s



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Ninguna? Aparentemente ninguna, pero shay una fuerza que lo frena: el roza-miento, que dificulta su avance y produce una aceleracin negativa, que acabapor detener al cuerpo.

Aunque todava no lo hemos tenido en cuenta este curso, el rozamiento es unafuerza que estudiaremos con detalle en el tema siguiente.

3. Se deja caer un cuerpo desde cierta altura y tarda cinco segundos en lle-gar al suelo. Si consideramos despreciable el rozamiento con el aire,cunto tardar en llegar al suelo otro cuerpo, de doble masa que el pri-mero, dejado caer desde la misma altura?

Tardarel mismo tiempo. Ya comentamos este aspecto del movimiento al estu-

diar los temas de cinemtica. El tiempo de vuelo de dos objetos que caen desdeuna misma altura en ausencia de rozamientos es el mismo, independientementede su masa.

4. Si aplicamos la misma fuerza a dos cuerpos y uno acelera el doble que elotro, por qu puede ser?

Seala dos situaciones, al menos, en que esto puede ocurrir.

Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, si:

uno puede acelerar el doble que el otro porque tiene una masa que es la mitadque la de aquel.

5. La primera ley de Newton permite afirmar que:

a) Un cuerpo no puede desplazarse sin que acte una fuerza sobre l.

b) Toda variacin en la velocidad de un cuerpo exige el concurso de unafuerza.

c) El movimiento de un cuerpo exige el concurso de una fuerza.

d) Un cuerpo se para si dejamos de aplicar una fuerza sobre l.

La primera ley afirma que todo cuerpo tiende a seguir en el estado en que seencuentra (reposo o movimiento) si la resultante de fuerzas es nula. Una con-clusin importante de esta ley es que un cuerpo puede estar movindose sinque acte una fuerza sobre l. Las fuerzas no son causa del movimiento, sinoque producen variaciones en el movimiento. Por tanto, la nica respuestacorrecta es lab).

a a

F m a m a m m aa

m aa

m

1 2

1 1 2 2 1 22

12

2

2

2

2

2 2

=

= = = = =

=cte



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6. Tres estudiantes van corriendo en lnea. En determinado instante, el queva primero lanza un baln hacia arriba.

En ausencia de rozamiento, lo recoge:

a) El que lo lanza.

b) Uno de los de detrs.

c) Depende de la velocidad con que corran.

d) Faltan datos que son necesarios para resolver el problema.

Aunque el baln se lanza verticalmente hacia arriba y los estudiantes se estndesplazando, no por ello el baln cae detrs del que lo lanza.

Debemos tener en cuenta que, cuando el estudiante lanza el baln le comunicauna velocidad vertical, a la que hay que sumar la velocidad horizontal que yaposee, idntica a la del chico.

Por tanto, cuando el baln sale de sus manos, este se desplaza vertical y hori-zontalmente, siendo el desplazamiento horizontal del baln y el del chico exac-tamente iguales. El recorrido horizontal del baln ser igual que el del chicoque lo lanza.

En consecuencia, quien recoge el baln al caer es la misma persona que lo halanzado.

El estudiante que lanza el baln observarque el movimiento del baln es un ti-

ro vertical.Sin embargo, visto desde fuera, el baln efecta un movimiento parablico.

La respuesta correcta es la a).

7. Las observaciones cotidianas parecen indicar que, para que un cuerpopermanezca en movimiento, es necesario que una fuerza est actuandosobre l, de forma que, si cesa la fuerza, el cuerpo se para. Estas observa-ciones se deben interpretar diciendo que las fuerzas son la causa:

a) Del movimiento.

b) De que se produzcan interacciones entre los cuerpos.

c) Del rozamiento.

d) De las variaciones que se producen en el movimiento.

Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo en movimiento, producimos una varia-cin en dicho movimiento.

En general, una fuerza produce una variacin en el estado de equilibrio de uncuerpo. Si un cuerpo esten equilibrio y, a su vez, en movimiento, en ausenciade fuerzas mantendrese movimiento.

Consulta de nuevo la cuestin 5 para afianzar este concepto.

La respuesta correcta es la d).



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8. Dadas las siguientes proposiciones:

1. El movimiento de un cuerpo siempre se produce en la direccin de lafuerza resultante.

2. Si sobre un cuerpo no acta ninguna fuerza o si la fuerza resultante esnula, el cuerpo deber estar en reposo.

3. Si en un instante dado la velocidad con que se mueve un cuerpo es nu-la, la fuerza resultante en ese mismo instante tambin lo ser.

Indica cules son verdaderas y cules no.

a) 1, 2 y 3 b) 1 y 3 c) 3 d) Ninguna

La primera proposicin no es cierta. Si, por ejemplo, aplicamos una fuerza sobreun cuerpo que esten movimiento, podremos modificar la direccin en que ori-

ginalmente se mueve, pero el nuevo rumbo no tiene por quser en la direccinen que se aplica la fuerza resultante. Por ejemplo, en lo que ocurre si empuja-mos oblicuamente una vagoneta.

La segunda tampoco lo es, ya que no contempla el supuesto de un cuerpo mo-vindose con velocidad constante, que es una situacin de equilibrio en la quela fuerza resultante es nula.

Por lo que respecta a la tercera, debemos recordar que un cuerpo en reposo(velocidad nula) debe ser sometido a la accin de una fuerza para ponerlo enmovimiento. Por tanto, la afirmacin es falsa.

Ninguna de las afirmaciones es correcta. La respuesta que debemos elegir es,por tanto, la d).

9. Se lanza un cuerpo hacia arriba por un plano inclinado. Seala cul delos cuatro esquemas representa correctamente la fuerza resultante queacta sobre el cuerpo mientras asciende:

Mientras el cuerpo asciende, las fuerzas que actan sobre l son su peso (verti-cal hacia abajo) y la reaccin normal del plano inclinado (perpendicular al pla-no, en sentido hacia arriba) y sabemos que la suma de ambas es una fuerza pa-ralela al plano dirigida en sentido contrario al movimiento.

Aunque todava no se ha estudiado, si adems de estas dos fuerzas existe roza-miento, este tambin estdirigido paralelamente al plano en sentido contrario almovimiento. Por tanto, la resultante de todas estas fuerzas tendrcomo direc-cin y sentido los que se indican en la figura c).


F

F

F

F

a) b)

c) d)

v

v

v


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10. Al entrar en un ascensor con una cartera en la mano y ponerse este enmovimiento, la cartera parece ms pesada cuando el ascensor:

a) Arranca.

b) Sube con velocidad constante.

c) Frena.

d) Baja con velocidad constante.

Al ponerse el ascensor en movimiento, el ocupante se ve sometido a una acele-racin y el sistema de referencia formado por el propio ascensor deja de serinercial.

En los sistemas de referencia no inerciales no se cumplen las leyes de Newton.

En el caso que nos ocupa, si el ascensor arranca, a la fuerza peso que ejerce lacartera debemos sumar la fuerza, m a, producida por la aceleracin del ascen-sor, ya que la cartera tiende a permanecer en la posicin en que se encontraba

y somos nosotros los que la arrastramos, al igual que el ascensor nos arrastra anosotros.

Por tanto, la cartera parecerms pesada cuando el ascensor arranca y asciendeo frena descendiendo y ms ligera si arranca, pero descendiendo o frena ascen-diendo.

11. Coloca dos libros sobre una mesa horizontal, uno encima del otro. Si susmasas son My m, respectivamente, seala en un esquema todas las fuer-zas que actan sobre cada uno de ellos y sobre la mesa.

Ten en cuenta que nos encontramos en la superficie de la Tierra.

La fuerza que acta sobre cada uno de los objetos del sistema es la que se indi-ca en el esquema adjunto:


MM

m

m

N

Pm PM

NT/4

NT=N+N'

NT/4

Pmesa/4 Pmesa/4

Pmesa

N'


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12. Cuando un objeto cae hacia la Tierra, atrado por esta, la Tierra tambinse ve atrada por el objeto con una fuerza igual a la primera, pero de sen-tido opuesto. Por qu parece que es el objeto el que cae hacia la Tierra, yno al revs, si las dos fuerzas son iguales?

De acuerdo con la ley de accin-reaccin, la Tierra sse ve atrada por este ob-jeto, pero el movimiento que realiza es despreciable comparado con el del otroobjeto, debido a la diferencia de masa que existe entre la Tierra y un objeto:

13. Colocamos una jaula con un pjaro sobre una balanza. El peso del con-junto, cambia dependiendo de si el pjaro est apoyado en la jaula o vo-lando?

Contesta a la pregunta suponiendo que la jaula es hermtica y consideradespus que se trata de una jaula normal.

Antes de contestar a la cuestin debemos plantearnos cmo detectamos el pesode un objeto en una balanza. El funcionamiento de la balanza hace uso de laley de accin y reaccin, de forma que la balanza ejerce sobre el objeto unafuerza opuesta a la que este ejerce sobre su plataforma y que resulta ser el

peso.

Volviendo al problema, debemos concluir que si el pjaro no se apoya sobre lasuperficie de la jaula, que es la que esten contacto con la balanza, esta no po-drmedir su peso, ya que no podrejercer una reaccin al peso del pjaro.En consecuencia, si el pjaro estvolando el peso que medirla balanza sermenor.

Si la jaula es hermtica (lo cual no debemos consentir, para que el animal no su-fra), el pjaro ejerceruna fuerza sobre el aire (para sustentarse en vuelo) y elaire la ejercer, a su vez, sobre la jaula. Por tanto, en ese caso smediremos elpeso del pjaro.

14. Cmo puede salir de un estanque helado una persona situada sobre lasuperficie del mismo?

Considera nulo el rozamiento con el hielo.

Suponiendo que no puede ejercer fuerza contra el suelo (no existe rozamiento),deberlanzar algn objeto para, de ese modo, desplazarse por reaccin en sen-tido opuesto. Como no existe rozamiento, tarde o temprano llegaral borde delestanque.

r

F m a m g

am

mg g m m

atraccin Tierra objeto

objeto

Tierra

objeto Tierra

= =

=


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15. La fuerza que ejerce un caballo sobre el carro del que tira es igual y desentido opuesto a la que este hace sobre l.

Por tanto, el sistema est en equilibrio y nunca se mover.

Puedes demostrar que esto no es as?

La primera parte de la frase es cierta, el caballo tira de la carreta con la mismafuerza con que la carreta tira de l. Esto se cumple, ya que entre la carreta y elcaballo no existe un movimiento relativo, seal inequvoca de que la resultantede las fuerzas entre el caballo y la carreta es nula. Ello significa que el sistemacaballo-carreta esten equilibrio.

La pregunta que surge entonces es inmediata. Por quse mueve el caballo? Y,ms an, por qupodemos movernos? El fallo ms importante del razonamien-to expuesto en la pregunta es que no se ha considerado el sistema fsico ade-cuado. Debemos considerar que el sistema mvil, caballo ms carreta, se des-plaza respecto al suelo. El caballo puede desplazarse no por la fuerza con quetira de la carreta, sino por la fuerza con que empuja al suelo.

Como consecuencia de la accin que realiza el sistema caballo-carreta, inicial-mente en reposo, sobre el suelo, este produce una reaccin sobre ellos que es,precisamente, la fuerza que les permite moverse.

Ejercicios

16. La resultante mxima, en N, que podemos obtener con una fuerza de

12 N y una de 5 N es:a) 2,4 b) 7 c) 13 d) 17

La resultante mxima que podemos obtener de dos fuerzas cualquiera la obten-dremos si las sumamos en la misma direccin y sentido. Esto equivale a poneruna fuerza detrs de otra en la misma lnea y con el mismo sentido. La suma eneste caso serla suma de los mdulos de cada uno de los vectores.

Por tanto, en este ejercicio:

Fmxima

= 5 + 12 = 17 N

17. Lanzamos una pelota de tenis contra una pared, en la que golpea y rebo-

ta, saliendo despedida en la misma direccin con que llega a la pared, pe-ro en sentido opuesto.

La velocidad de llegada es v, en mdulo, y la de salida, v, tambin en m-dulo, siendo la masa de la pelota m.

a) Qu ngulo forma la direccin de la pelota con la pared en el instan-te en que golpea?

b) Qu ngulo forma la direccin de la pelota con la pared cuando saletras el impacto?

c) Cunto vale la variacin que se produce en la cantidad de movimien-to de la pelota?



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d) Si el impacto se produce en un tiempo t, cunto vale la fuerza con quegolpea la pelota en la pared?

e) Podemos suponer que esa fuerza es constante? Por qu?

a) y b) El ngulo que forma la pelota con la pared solo puede ser de 90. Elvector velocidad estdirigido perpendicularmente a la pared. De lo contra-rio, los ngulos de salida y entrada no podran ser iguales y, por tanto, la di-reccin de entrada y de salida no sera la misma.

c) Calculemos ahora la diferencia que existe entre la cantidad de movimientoantes y despus del choque:

pr

=pr

finalp

r

inicial=m v

r

m vr

=m (vr

vr

)

d) Para calcular lo que nos piden en este apartado, lo primero que haremos escalcular la aceleracin de frenado que se produce durante el impacto:

y, sustituyendo:

e) Lo que estamos calculando es el valor medio de la fuerza durante el tiempodel impacto, pero no podemos asegurar nada acerca del valor concreto de

dicha fuerza en cada instante.18. Dos fuerzas de 5 y 12 N, respectivamente, actan sobre un cuerpo, for-

mando sus direcciones un ngulo de 120.

El valor de la resultante, expresado en N, es:

a) 7

b) Mayor que 7 y menor que 17

c) 17

d) Mayor que 17

Razonemos, sin utilizar calculadora, cul es el valor mximo y el valor mnimo

que podemos obtener de la suma de estas dos fuerzas.

El valor mximo corresponde al caso en que las direcciones de las dos fuerzasformen un ngulo de 0, es decir, cuando ambas tengan la misma direccin ysentido (fuerzas alineadas). En ese caso, el mdulo de la resultante es la sumade los mdulos:

Fmx

= 5 + 12 = 17 N

El valor mnimo corresponde al caso en que las dos fuerzas estn alineadas,pero son de sentido opuesto. En ese caso, el mdulo de la resultante es la di-ferencia de mdulos:

Fmn

= 12 5 = 7 N

F m a m

v v

t= =

a

v v

t=

< 0



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Para cualquier otro ngulo, la suma de los dos vectores tendrpor mdulo unvalor intermedio entre el valor mximo y el valor mnimo. Por tanto, para unngulo de 120 la respuesta debe ser la b).

19. Aplicamos una fuerza de 10 N sobre A. Si no existe rozamiento, la fuerzaque A ejerce sobre Bes:

a) Menor que 10 N

b) 10 N

c) Mayor que 10 N

d) No podemos saberlo. Necesitamos conocer la masa de Ay de B.

Al estar el sistema en movimiento, si aplicamos una fuerza sobre el mismo seproduciruna aceleracin. Observa que la aceleracin con que se mueven AyBes la misma (estn en contacto). Por tanto, la fuerza que mueve aBes el pro-ducto de su masa por la aceleracin del sistema, mientras que la que mueve aA(10 N) es el producto de la masa deAyB(la fuerza de 10 N es la que empujaal sistema) por la aceleracin de dicho sistema. Por tanto, la fuerza sobre Besmenor que sobreA. La respuesta correcta es la a).

20. Se aplica una fuerza constante a un mvil de masa m, inicialmente en re-poso. De entre las proposiciones siguientes, seala la correcta:

a) El movimiento es rectilneo uniforme.

b) La cantidad de movimiento es proporcional al tiempo.

c) El espacio recorrido es proporcional al cuadrado de la velocidad.

d) Al menos dos de las afirmaciones anteriores son correctas.

Analicemos cada una de las respuestas:

a) Es falsa, porque la accin de una fuerza produce una aceleracin y el m.r.u.se caracteriza por carecer de aceleracin.


120

5

12

v

10 NA

B


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b) Hemos de tener en cuenta que la aceleracin se define como: a= v/t.

Como la cantidad de movimiento es:p=m v=m a t, llegamos a la con-clusin de que, efectivamente, la cantidad de movimiento es proporcional altiempo.

c) De acuerdo con la segunda ley de Newton,F=m a, una fuerza constanteproduce sobre el cuerpo en el que estaplicada una aceleracin constante(si el cuerpo puede moverse).

El movimiento cuya aceleracin es constante es un m.r.u.a. Por tanto:

lo que demuestra que la proposicin es correcta, teniendo en cuenta quev=v, pues la velocidad inicial es nula. La respuesta a la pregunta es la d),pues hay dos respuestas, a) y b), que son correctas.

21. La ecuacin de movimiento de un cuerpo de 5 kg de masa es:

rr

= 2 t2 ir

+t jr

kr

a) Qu expresin proporciona la cantidad de movimiento del cuerpo encada instante?

b) Calcula la expresin que indica cmo vara la fuerza que acta sobreel cuerpo a lo largo del tiempo.

c) Representa cmo varan la cantidad de movimiento y la fuerza entrelos instantes t= 0 y t= 10 s para el objeto que estamos estudiando.

Suponemos que rse expresa en metros si tse expresa en segundos.

a) La ecuacin que permite calcular la cantidad de movimiento es: pr

=m vr

.

Debemos calcular en primer lugar la velocidad del objeto:

Y, como ttiende a cero:vr

= 4 tir

+jr

De ese modo, resulta para la cantidad de movimiento:

pr

=m vr

= (20 tir

+ 5 jr

) kg m s1

b) De acuerdo con la segunda ley de Newton:

Fr

=m ar

Podemos calcular ahora la aceleracin a partir de la expresin de la velocidad:

r

r r rr r r r

r

a v

t

v t t v t

t

t t i j t i j

ti= =

+ =

+ + +=

( ) ( ) ( ) ( )4 44

r

r r rr r r

r r r

v r

t

r t t r t

t

t t i t i t j

t

t i t i j

= = +

= +

=

= +

( ) ( ) ( )4 2

4 2

2

s a t a

v

a

v

a= =

= 1

2

1

2

1

22

22



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siendo, por tanto, la expresin que proporciona la fuerza:

Fr

=m ar

= 5 (4 ir

)= 20 ir

N

c) Las grficas que nos piden en el ejercicio son las siguientes:

22. Un objeto se mueve de modo que su velocidad, en funcin del tiempo, esla que se indica en el grfico adjunto. Si el objeto tiene una masa de 5 kg

y se mueve en lnea recta:a) Calcula la fuerza que acta sobre l a lo largo del recorrido.

b) Dibuja el diagrama s-ty el diagrama F-tque corresponde al movimien-to.

c) Calcula la distancia que recorre y la velocidad media con que lo hace.


F(N)

p(t)

10

20

5 10 t(s)

0

5

200

0

Y

X

10 20 30 40 50 60

5

5

10

15

t(s)

v(m.s1)


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a) ComoFr

=m ar

, calcularemos en primer lugar las aceleraciones en cada tra-mo y despus expresaremos la fuerza por tramo.

b) y c) De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior, el diagramaF-tesel siguiente:

Para calcular ahora la distancia recorrida y la velocidad media con que lo ha-ce, consideraremos cada uno de los tramos que recorre por separado.

En primer lugar debemos tener en cuenta que, en los primeros 10 segundos,el objeto cambia el sentido del movimiento. Inicialmente, el objeto se muevecon una velocidad de 5 m s1y, debido a la fuerza de 5 N que se aplica,desacelera en los primeros 5 s hasta detenerse, y despus, acelera hasta al-canzar los 5 m s1 en el dcimo segundo del movimiento, y vuelve al puntodel que parti.

Por tanto, en este primer tramo, la variacin del vector posicin es nula y, enconsecuencia, la velocidad media, que es la relacin entre el cambio de po-sicin de un cuerpo, caracterizado por el vector desplazamiento, y el tiempoque transcurre hasta que se produce dicho cambio, es nula.


F(N)

5

010 20 30 t(s)

40 50 60

5

Tramo Acel. (m s2) Fuerza (N)

1 F1= 5 1 = 5

F2= 0

F3= 5 1 = 5

F4= 0

F5= 5 (0,75) = 3,75

2

3

4

5

a

v

t1

5 510

1= =

=

( )

a

v

t2 0= =

av

t3

15 530 20

1= =

=

a

v

t4 0= =

a

v

t5

1520

0 75= =

=

,


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El clculo de la distancia que recorre en los restantes tramos es el que se in-dica en la tabla:

Por tanto, el valor de la velocidad media resulta:

Observa que, al haber cambio de sentido en el movimiento, la rapidez mediano coincide con el mdelo de la velocidad media. Para calcular la rapidezmedia debemos tener en cuenta que en los primeros diez segundos el objetose mueve, pero no se desplaza, siendo la distancia que recorre 25 m, comose puede apreciar en el diagramas-t(recorre 12,5 m en un sentido y 12,5 men el contrario). Por tanto, el valor de la rapidez media es:

El diagramas-tque corresponde al movimiento es el siguiente:

C

s

tm= =

+ + + += =

25 50 100 150 150

60

475

607 92 1, m s

v

s

tmediaTOTAL= = =

450

607 5 1, m s


Tramo

2 s= 5 1 0= 50 m

s= 1 5 1 0= 150 m

sTOTAL

= 450 m

3

4

5

s= + =5 10

12

1 10 1002 m

s= =15 20

1

20 75 20 1502, m

s v t a t = + 0

212

500

50

-12,5

0

100

150

200

250

300

350

400

450

10 20 30 40 50 60 t(s)

s(m)


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23. Aplicamos una fuerza de 10 N sobre A. Si no existe rozamiento, la fuerzaque A ejerce sobre Bes:

a) Menor que 10 N

b) 10 N

c) Mayor que 10 N

d) No podemos saberlo. Necesitamos conocer la masa de Ay de B.

El sistema estahora en equilibrio, ya que la pared impide que acelere. Por tan-to, para contestar a la pregunta debemos tener en cuenta ahora la tercera ley deNewton. De acuerdo con lo que dicha ley establece, las fuerzas que ejercen mu-tuamente entre sdos cuerpos que interaccionan son de igual mdulo y direc-cin, aunque de distinto sentido. Por tanto, la fuerza que ejerce A sobreBes lamisma que ejerce B sobre A en mdulo y direccin. La respuesta correcta eslab).

24. Si dispones de un pndulo, cmo puedes medir con l la aceleracincon que se mueve un vehculo?

Describe el proceso detalladamente y seala las leyes fsicas en que teapoyas al resolver el problema.

Al resolver este problema debemos tener en cuenta que nos encontramos conun sistema de referencia no inercial, ya que medimos desde dentro del ve-hculo y este acelera. En estos sistemas no se cumplen las leyes de Newton y,para que se cumplan, debemos introducir una fuerza ficticia.

Suponiendo, en este caso, que existe una fuerzaficticia (visto el problema desde dentro del ve-hculo), que tira del pndulo hacia atrs, pode-

mos tratar el problema como sabemos, supo-niendo que se cumplen las leyes de Newton.

Para ello, colgamos el pndulo del techo. Cuan-do el vehculo arranca y mientras acelera, elpndulo se desplazar hacia atrs, formandocierto ngulo con la vertical, como indica la fi-gura.

Por otra parte, debido a su masa, sobre el pn-dulo acta la fuerza peso, dirigida verticalmentehacia abajo y, como se mantiene unido al techopor una cuerda, estarsometido a una tensin.


aFficticia= m.a

P= m.g

T

10 NA

pared

B

v= 0


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Considerando la bola del pndulo como sistema fsico, si aislamos dicho sistemay aplicamos las leyes de Newton, resulta:

Tsen =m a (ejex)

Tcos =m g (ejey)

El sistema que obtenemos es un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:T, a. Observa que el ngulo no es una incgnita, pues podemos medirlo direc-tamente en la experiencia.

Por tanto, al resolver el sistema, resulta:

Problemas

25. Un coche y sus pasajeros tienen una masa total de 1.400 kg. El vehculose mueve con una velocidad de 15 m s1 cuando, debido a un accidente,choca con una pared de piedra y detiene su movimiento en 0,5 s.

Calcula la cantidad de movimiento del coche antes de la colisin y lafuerza que acta sobre el vehculo para detenerlo, as como la acelera-

cin de frenado.Si la masa del conductor es de 70 kg, qu fuerza acta sobre l mientrasel coche se detiene?

La cantidad de movimiento del coche antes de chocar es:

p=m v= 1.400 15= 21.000 kg m s1

La fuerza que acta sobre el vehculo para detenerlo la obtenemos directamenteal aplicar la ecuacin de la segunda ley:

El sentido negativo indica que se trata de una fuerza de frenado.

La fuerza que acta sobre el conductor, teniendo en cuenta su masa, ser:

F=m a F= 70 (30)= 2.100 N

Nota: Piensa qusupone esta colisin (que por otra parte no es a gran veloci-dad, 54 km h1). La fuerza que recibe el conductor (2.100 N) equivale a la quehara una masa de ms de 200 kg que le aplastase durante el tiempo del choque(0,5 s).

F m a a v

tF m a

= = =

=

= = =

0 15

0 5

30

1 400 30 42 000

2

,. ( ) .

m s

N

T

m g

cos

m g

cos sen m a a g

sen

cos=

= =



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26. Un objeto de masa mse acelera al aplicarle una fuerza constante de 12 Nde 10 m s1 a 18 m s1. Si en el proceso se invierte un tiempo de 2 s,calcula la masa my el impulso que se le comunica.

De la expresin de la segunda ley, podemos obtener la masa fcilmente:

El impulso mecnico lo conoceremos sin ms, al sustituir:

I=Ft= 12 2= 24 N s

27. Un tronco de un rbol, de 50 kg, se desplaza flotando en un ro a 10 m s1.Un cisne de 10 kg intenta aterrizar en el tronco mientras vuela a 10 m s1

en sentido contrario al de la corriente. Sin embargo, resbala a lo largodel tronco, saliendo por el otro extremo con una velocidad de 4 m s1.Calcula la velocidad con que se mover el tronco en el instante en que elcisne lo abandona.

Considera despreciable el rozamiento del tronco con el agua.

Para calcular la velocidad del tronco deberemos tener en cuenta el principio deconservacin de la cantidad de movimiento. En general, siempre que apliqueseste principio, la estrategia de resolucin consiste en plantear dos situaciones,

inicial y final, y evaluar la cantidad de movimiento en cada una de esas situacio-nes, sabiendo que ha de ser igual en ambas si el sistema fsico que considerasestaislado.

En el problema que nos proponen consideraremos como situacin inicial el mo-mento en que el cisne toma contacto con el tronco y como situacin final el ins-tante en que lo abandona.

pr

inicial=m

troncovr

tronco+m

cisnevr

cisne

pinicial

= 50 10 10 10= 400 kg m s1

pr

final=m

troncovr

tronco+m

cisnevr

cisne

pfinal

= 50 vtronco

10 4= 40+ 50 vtronco

Aplicando ahora la conservacin de la cantidad de movimiento, resulta:

pinicial

=pfinal

400= 50 vtronco

40

Por tanto:

v

tronco= =

440

508 8 1, m s

F m a a m

F

a= =

= = = =

18 10

24

12

432m s kg



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28. Una regla de madera de 100 cm de largo est equilibrada sobre un punto,como se aprecia en la figura. A 10 cm de uno de sus extremos cuelga unpeso de 24 N, mientras que a 20 cm del otro extremo cuelga un peso X.

Si la regla est en equilibrio, elpeso X, expresado en newton,debe ser:

a) 12 b) 18

c) 24 d) 32

La regla esten equilibrio porque la fuerza y el momento resultantes sobre el

sistema son nulos. Si nos centramos en el momento resultante, para que estesea nulo debe ser igual el momento horario y el momento antihorario, es decir:

29. Tres bloques X, Yy Z, de masas 2 kg, 4 kg y 6 kg, respectivamente, sonacelerados sobre una superficie horizontal por una fuerza de 60 N, como

se aprecia en la figura.Suponiendo que no existe rozamiento, calcula la fuerza que Y ejerce so-bre Xy sobre Z:

a) Mientras aplicamos la fuerza.

b) Si nos desplazamos a veloci-dad constante.

a) La aceleracin con la que se mueve el conjunto mientras aplicamos la fuerzaes:

Por tanto, la fuerza que ejerce YsobreXmientras ejercemos la fuerza es, ais-lando la masaXcomo sistema:

FFYX

=mX

a FYX

= 60 2 5= 50 N

Del mismo modo, aislando ahora la masa Ycomo sistema, resulta:

FXY

FYZ

=mYa F

YZ= 50 4 5= 30 N

b) Si consideramos ahora que el conjunto se mueve a velocidad constante, co-mo no existe rozamiento, la fuerza que ejercercada masa sobre las otras se-rnula, de acuerdo con lo que establece el primer principio de la dinmica.

F m a a= = + + = 60

2 4 6 52

m s

M F r

X

X

ii

n

i i ii

n

= = = =

+ =

=

=

1 1

0

24 0 4 90 0 3 90 0

24 0 4

0 332

sen

sen sen

N

, , ( )

,

,


24 N X

1008050100

60 N2 kg

X Y Z

4 kg 6 kg


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30. En la superficie de un vaso con agua (densidad= 1.000 kg m3) flota uncorcho de forma cbica del que emerge un 30% de su volumen. Calcula lamasa de plomo que debemos colgar del corcho en su parte inferior siqueremos que el corcho se hunda con una aceleracin de 2 cm s2, sa-biendo que su masa es de 20 g.

Dato: Densidad del plomo = 16.000 kg m3.

En este problema aparece un tipo de fuerza que viste el curso pasado; se tratadel empuje. El empuje es la fuerza que realiza un fluido sobre un cuerpo su-mergido en l. Es una fuerza vertical ascendente que se opone al peso del cuer-po sobre el que se aplica. Su valor es:

E=Vdlq

g

siendo Vel volumen del cuerpo sumergido en el fluido, dlq

la densidad del l-quido ygla aceleracin de la gravedad.

Para resolver el problema necesitamos conocer el volumen del cuerpo. Pode-mos averiguarlo, sabiendo que antes de aadir el plomo el cuerpo flota. Elloquiere decir que en ese instante el empuje es igual al peso y, por tanto, la resul-tante sobre el objeto es nula. Como inicialmente se encuentra sumergido el 70%del objeto:

Al aadir el plomo, el conjunto se hunde con cierta aceleracin. Aplicando lasegunda ley de Newton a este caso, se tiene:

PE= (mplomo

+mcorcho

) a

Ahora el peso no slo es del corcho, ya que lleva el plomo adherido. Por suparte, el empuje tambin cambia, pues ahora esttodo el volumen del corchosumergido.

Desarrollando la ecuacin anterior, queda:

(mplomo

+mcorcho

) gVdagua

g= (mplomo

+mcorcho

) a

donde V incluye tanto el volumen de agua desplazado por el corcho como eldel plomo, ya que ambos se encuentran totalmente sumergidos.

De la ecuacin anterior despejamos la masa de plomo y sustituimos. De ese mo-do, resulta:

m m g V m

dd g m m a

md V d g m g a

d g a d g

plomo corcho corcho

plomo

plomo

agua plomo corcho

plomo

plomo corcho agua corcho

plomo agua

+( ) +

= +( )

= ( )( ) ( )

=

= ( )( )16 000 2 857 10 1000 9 81 0 02 9 81 0 02

16 000

5. , , , , ,

. ( ) = =

9 81 0 02 1 000 9 810 0092 9 2

, , . ,, , g de plomo

E P V d g m g Vm

dagua corchocorcho

agua

= = =

=

= 0 70 7

0 02

0 7 1 0002 857 10 5 3,

,

,

, ., m


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