física nuclear e partículas subnucleares - capítulo 4 – s. s. mizrahi & d. galetti

Capítulo 4

Fórmula semiempírica de massa

4 Fórmula semiempírica de massa 1354.1 Considerações gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2 Fórmula de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.3 Energia de assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4 Linha de estabilidade, isóbaros e decaimento � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.4.1 Núcleos de número de massa A ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.4.2 Núcleos de número de massa A par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.4.3 Núcleos exóticos e linhas limítrofes (drip lines) . . . . . . . . . . . . . 1464.4.4 Extensão do uso da fórmula de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.5 Linha dos isótopos: ajuste por parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.7 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.1 Considerações geraisEm 1935, Carl F. von Weiszäcker, e posteriormente Bethe, em 1936, propuseramuma fórmula geral para expressar, com boa aproximação, a massa de qualquer nu-clídeo AZX , com número de massa A > 15. A principal vantagem da fórmula propostaé que ela depende de alguns poucos parâmetros, além de A e do número atômico Z. Odesvio das massas assim calculadas, com relação ao valores experimentais, decrescecom o aumento de A; mostrando desta forma melhor ajuste nos núcleos mais pesa-dos. A expressão de Weiszäcker e Bethe é também chamada fórmula semi-empíricade massa. De fato ela é semi-empírica uma vez que, embora contenha parâmetros paraserem ajustados aos dados experimentais, a fórmula tem justi�cativa física. Os pontosde partida que norteiam a construção da expressão são as propriedades nucleares ap-resentadas no capítulo 2: (1) a saturação da densidade nuclear, i.e., as densidades demassa e carga elétrica no centro dos núcleos são aproximadamente as mesmas e, (2) asenergias de ligação totais dos núcleos crescem aproximadamente de forma linear comA, i.e., com a massa. Por sua vez, essas duas propriedades também são características

135

S. S. Mizrahi & D. Galetti

136 Capítulo 4. Fórmula semiempírica de massa

de gotas líquidas clássicas de vários tamanhos. Nelas, também as densidades são con-stantes e as energias de vaporização são proporcionais às suas massas. Com base nessaanalogia, muitas vezes se chama a fórmula semi-empírica de massa de modelo da gotalíquida. Essa analogia, porém, deve ser tomada com o devido cuidado uma vez que,nas gotas clássicas, o movimento das moléculas constituintes é governado por leis damecânica clássica, enquanto que nos núcleos a dinâmica dos prótons e nêutrons segueas leis da mecânica quântica.A �m demelhorar a concordância da fórmula semi-empírica de massa deWeiszäcker

e Bethe com os valores medidos, foram acrescentados mais tarde à expressão originaltermos adicionais, como o termo de emparelhamento (pairing), o de energia de assime-tria e de efeitos de camada (correções quânticas), estes foram introduzidos por W. D.Myers eW. J. Swiatecki e, independentemente, por V M.. Strutinsky [1].

4.2 Fórmula de massaNo que se segue, vamos apresentar a expressão da fórmula de massa e discutir os termosque a constituem. Assim, incluindo o termo de emparelhamento, a fórmula é escrita,numa forma bastante geral, como

M(A;Z) = ZM1H +(A� Z)Mn�avA+asupA2=3+acZ2

A1=3+aassim

(A� 2Z)2

A

+�

8>>>><>>>>:a(1)p A�1=2

ou

a(2)p A�3=4:

(4.1)

Um conjunto de valores dos parâmetros que ajustam bem a fórmula aos valores experi-mentais é dado por

av = 15; 835MeV , asup = 18; 33MeV , ac�= 3e2=5r0

�= 0; 72MeV

aassim = 23; 20MeV , a(1)p = 11; 20MeV , a(2)p = 34; 00MeV ,e o parâmetro adimensional

� =

8<: �1 para núcleos par-par,0 para núcleos par-ímpar,1 para núcleos ímpar-ímpar.

A fórmula (4.1) apresenta precisão com erro menor que 1%, em média, quando os cál-culos são comparados com os valores empíricos que constam da tabela de nuclídeos[2]. De fato, o resultado do ajuste dos parâmetros aos dados experimentais dependede seu número (quanto maior for o número de parâmetros, melhor será a precisão dafórmula de massa), da região de massa e da expressão usada para o ajuste. Desta


4.2 Fórmula de massa 137

Figura 4.1: A fração de ligação em função do número de massa, as linhas cheias apenas ligam ospontos, que provêm de dados empíricos. Alguns elementos estão indicados, note que o Ferro é onuclideo mais estável.

maneira, vários conjuntos diferentes de parâmetros podem ser encontrados na liter-atura. Na Figura ?? está desenhada a fração de ligação (energia de ligação por núcleon,B (A;Z) = ZM1H + (A� Z)Mn �M(A;Z)) em função de A, o número de massa.Agora vamos entender o signi�cado de cada termo e justi�car suas expressões.1) O dois primeiros termos em (4.1) correspondem às massas de Z átomos de 1H

de A � Z = N nêutrons. Massas atômicas são usadas uma vez que elas são as massasefetivamente medidas em experimentos.2) Consideremos, inicialmente, um núcleo hipotético, estável, com in�nitos nú-

cleons, chamadomatéria nuclear; o termo�avA, chamado termo de energia volumétrica,corresponde à energia de A núcleons presentes no meio dessa matéria nuclear. Oparâmetro av estaria assim associado à energia de ligação de um núcleon no centrode um núcleo atômico, distante de sua superfície.3) O termo +asupA2=3 é chamado termo de energia de superfície. Note-se que ele

entra na fórmula com um sinal positivo, cuja justi�cativa é a seguinte: como nem todosos núcleons poderão estar situados no centro do núcleo, alguns formarão sua superfície(interagindo com menor número de núcleons vizinhos), �cando portanto sob a ação deuma força atrativa média menor, por isso esse termo comparece com um sinal positivo.O termo +asupA2=3 é, portanto, uma energia a ser subtraída da energia volumétrica



�avA. O número médio de núcleons da superfíce do núcleo é proporcional à própriasuperfície, ou seja a A2=3, já que o raio nuclear é proporcional a A1=3.4) O termo acZ2=A1=3 representa a energia coulombiana e corresponde à energia

de repulsão entre os prótons, que se distribuem em um volume de raio proporcional aA1=3. A dependência com Z2 é, de fato, uma aproximação para o número de pares deprótons que interagem entre si, ou seja, Z(Z � 1). Esta contribuição também deve sersubtraída da energia volumétrica �avA.5) O termo aassim (A� 2Z)2 =A corresponde à energia associada ao excesso de

nêutrons (ou prótons) que um núcleo AZX , com Z 6= N , possui com relação a um

núcleo AA=2Y , real ou hipotético, que tenha igual número de prótons e nêutrons. Eleé chamado termo de energia de assimetria (entre o número de prótons e de nêutrons).Uma discussão qualitativa da expressão correspondente será apresentada mais adiante.Em alguns textos ele é também chamado termo de simetria.6) O último termo, a(1)p A�1=2 ou a(2)p A�3=4, é o chamado termo de emparelhamento.

Ele leva em conta o fato, observado experimentalmente, de que em núcleos com N -pare Z-par a energia de ligação por núcleon é maior do que no caso N -par e Z-ímpar (ouvice-versa), que, por sua vez, é maior do que no caso de núcleos N -ímpar e Z-ímpar.Cada par de prótons, ou de nêutrons, se liga contribuindo assim para uma diminução daenergia do núcleo, comparativamente a um par próton-nêutron (cuja contribuição para aenergia é considerada nula), enquanto que um núcleon sem parceiro contribui com umaenergia de sinal positivo. Veja a Figura 4.2, onde estão dadas as energias de separaçãode isótopos estáveis do xenônio (Z = 54); note os valores maiores para os isótopospar-par.Observa-se que, neste modelo para a massa, o núcleo é visto então como uma gota

líquida constituida de dois tipos de �uidos: os prótons (Z) e os nêutrons (N ). No quediz respeito aos termos de re�namento do modelo, do ponto de vista fenomenológico,o termo de energia de assimetria pode ser deduzido a partir do modelo de gás de Fermi.Embora o coe�ciente aassim possa ser calculado daquele modelo, o valor usado nafórmula semi-empírica é �xado a partir de um procedimento de ajuste dos parâmetros.Quanto ao coe�ciente de energia coulombiana, ac, o valor usado é calculado para r0 =1; 2 fm, parâmetro que entra na expressão do raio nuclear.

4.3 Energia de assimetriaPor inspeção dos valores das massas dos nuclídeos mais leves, da forma como elesaparecem na tabela de nuclídeos, veri�ca-se que a existência de uma tendência notável:aqueles que são estáveis, ou que têmmeia-vida mais longa, têm, aproximadamente, Z �N (veja a tabela de nuclídeos Figuras 1.4 e 1.5). Embora para nuclídeos mais pesados,os estáveis ou de meia-vida mais longa, tenham N > Z, quebrando aquele padrão,este comportamento pode ser prontamente reconhecido como originário da importânciacrescente da força de repulsão coulombiana entre os prótons, em contrapartida à força deatração nuclear que independe da carga. De fato, há uma tendência geral de os núcleos


4.3 Energia de assimetria 139

Figura 4.2: Energias de separação dos isótopos estáveis do xenônio, Z = 54.

procurarem a situação na qual o número de prótons seja o mais próximo possível donúmero de nêutrons, o que leva à inclusão do termo de energia de assimetria na fórmulade massa. Este termo tem origem puramente quântica e está relacionado com a estruturade níveis de energia dos núcleos e com o princípio de Pauli.Embora se possa estimar a contribuição do termo de assimetria a partir de modelos

microscópicos (o gás de Fermi, por exemplo, que será discutido no capítulo 7), vamosapresentar aqui uma construção usando argumentos mais qualitativos.Vamos considerar que, de forma geral, os núcleons de um certo núcleo estejam

acomodados em níveis de energia associados a estados quânticos que, devido ao princí-pio de Pauli, podem comportar em cada um deles dois prótons (spin para cima e spinpara baixo) ou dois nêutrons (spin para cima e spin para baixo). Os núcleons vãopreenchendo primeiro os níveis de energia mais baixos, se quisermos agregar outrosao núcleo, eles deverão ocupar os níveis de energia disponíveis mais altos, obedecendoao princípio de exclusão de Pauli. Assim, podemos imaginar que, para três núcleosisóbaros genéricos, cuja distribuição de núcleons em níveis de energia estão represen-tados na Figura 4.3. Os níveis de energia mais baixos estão preenchidos e somenteaqueles mais altos são mostrados. Por simplicidade, consideraremos iguais os espaça-mentos entre os níveis de energia e não levaremos em conta a interação coulombiana.Pode-se observar diretamente da Figura 4.3, no caso (b), N � Z = 2, que há um

incremento de energia " com relação ao caso (a) (um próton a menos e um nêutron a



Figura 4.3: Esquema pictórico da distribuiçào de prótons e nêutrons em níveis de energia discre-tos.

mais), onde N � Z = 0. Da mesma forma, no caso (c), N � Z = 4 e o incrementode energia é 2", o que corrresponde a uma diminuição na energia de ligação de �2"com relação ao caso (a). De forma geral, haverá uma diminuição de �" (N � Z)2 naenergia de ligação para uma diferença (N � Z) =2 entre o número de nêutrons e o deprótons. As mesmas considerações podem ser feitas caso considerássemos um excessode prótons com relação aos nêutrons; a dependência quadrática (N � Z)2 permanece-ria, o que re�ete, de forma indireta, a independência da carga da força nuclear. Umacálculo simples segue abaixo:Para um núcleo par-par vamos admitir que os níveis de energia estão igualmente es-

paçados (espaçamento1 4"), conforme apresentado na Figura 4.3, e que a energia donível mais baixo é "0 (sem perda de propósito poderia-se considerar "0 = 0). Aco-modando 2 prótons em cada nível, a energia dos Z prótons é

EZ = Z"0 + 8"

�1 + 2 + 3 + � � �+

�Z

2� 1��

= Z"0 + 8"Z

2

�Z

2� 1�: (4.2)

1Em vez de simplesmente usar ", adotamos o valor 4" porque esta escolha leva a um resultado facilmenteidenti�cável com o termo de assimetria da fórmula de massa.


4.4 Linha de estabilidade, isóbaros e decaimento � 141

Analogamente para os nêutrons temos

EN = N"0 + 8"N

2

�N

2� 1�: (4.3)

Somando EZ e EN temos a energia total,

E = EZ + EN = A"0 + 2" [Z (Z � 2) +N (N � 2)] ;e substituindo N = A� Z obtemos a expressão

E (A;Z) = A"0 + "A (A� 4) + " (A� 2Z)2 : (4.4)

Nesta, os dois primeiros termos só dependem do número de massa A enquanto que oterceiro depende da diferença jA� 2Zj, que se anula (tornando E (A;Z) mínima) paraZ = N , o que caracteriza a energia de assimetria.A consideração de que o espaçamento entre os níveis de energia é sempre igual é

muito simpli�cadora e deve ser revista � o que será feito no estudo do modelo de gásde Fermi nuclear (Capítulo 7) pois para partículas livres con�nadas em um volume V esujeitas às correlações introduzidas pelo princípio de Pauli, a energia cinética introduzum fator A�1 na energia de assimetria, isto é, " ! "=A; adicionalmente, esta correçãoevita o aparecimento de um termo de energia global que cresça com A2, como pode serpercebido no segundo termo no lado direito da Eq. (4.4), garantindo assim a saturaçãoda energia por núcleon, de acordo com a observação empírica.

4.4 Linha de estabilidade, isóbaros e decaimento �Como uma conseqüência importante do caráter geral da fórmula de massa (4.1), pode-mos veri�car que alguns resultados sobre a estabilidade dos núcleos podem ser discuti-dos. De fato, sendo ela uma expressão que envolve o número atômico Z, bem como onúmero de massa A, o comportamento aproximado de núcleos, com relação a transfor-mações nucleares, pode ser discutido sendo possível recuperar, agora de forma quanti-tativa, as informações essenciais extraídas da tabela de nuclídeos, apresentadas então deforma empírica.Com o intuito de facilitar nossa discussão qualitativa, vamos inicialmente reescrever

a expressão da fórmula de massa de maneira a explicitar as dependências com Z e A,ou seja2,

M (A;Z) = C1 (A) + C2Z + C3 (A)Z2; (4.5)

onde os novos coe�cientes são

C1 (A) = (Mn � av + aassim)A + asupA2=3 + �apA

�1=2;

C2 = M1H �Mn � 4aassim;C3 (A) = acA

�1=3 + 4aassimA�1;

2Aqui foi feita a escolha de um dos dois termos alternativos para expressar a energia de emparelhamento.



Daí vê-se que, para A �xo, a expressão para a massa (4.5) é quadrática em Z e exibeum mínimo para Z0 = �C2= (2C3 (A)) (que é uma função de A), e a curva, em funçãode Z, é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Deste resultado conclui-seque, para A �xo, o valor inteiro mais próximo àquele valor mínimo de Z0 correspondeao número atômico de um núcleo estável. A seqüência destes valores de Z0 assimobtidos, para os diferentes valores do número de massa A, está associada à linha deestabilidade dos núcleos da tabela de nuclídeos, cujas massas são dadas por

Mest (A;Z0) = C1 (A)�(C2)

2

4C3 (A): (4.6)

Pode-se observar a distribuição dos nuclídeos no plano N � Z na Figura 4.4, onde alinha reta tracejada representa a equação N = Z, e a linha encurvada para cima é alinha de estabilidade, que corresponde aos valores de Z0. Nessa mesma �gura podem-se traçar linhas perpendiculares à linha tracejada, os nuclídeos encontrados sobre umamesma linha são isóbaros, A constante.De forma mais quantitativa, dados A e Z, e usando a fórmula de massa (4.1), é

possível obter o número atômico Zest do isóbaro mais estável calculando-se

@M(A;Z)

@Z

��A

= 0,

o que dá para o ponto de mínimo

Z 00 =A

2

24�1 +

Mn�M1H

4aassim

�1 + ac

4aassimA2=3

35 < A

2;

e percebe-se, obviamente, que o valor de Z 00 não é necessariamente um número inteiro.Não obstante, esta expressão permite localizar o valor do número atômico do isóbaromais estável, como sendo aquele inteiro mais próximo deZ 00. Como (Mn �M1H) = (4aassim)� 0; 0084 e ac= (4aassim) � 7; 8� 10�3, podemos escrever com boa aproximação

Z0 = int

�A

2

�1

1 + (7; 8� 10�3)A2=3

��: (4.7)

O núcleo com este valor de Z0, para um dado valor de A, é estável por emissão �.Das expressões (4.5) e (4.6) e dependendo de o núcleo ter um número par ou ímpar

de núcleons, pode-se veri�car como o termo associado à energia de emparelhamentocontribui: a parábola de estabilidade é única se os isóbaros têm número ímpar de nú-cleons, ou será dupla � duas parábolas distintas separadas � se os isóbaros forem par-parou ímpar-ímpar. Desta forma, devemos discutir as parábolas de estabilidade separada-mente, em função do caráter par ou ímpar de A.

4.4.1 Núcleos de número de massa A ímpar

Núcleos com número de massa A ímpar, ou simplesmente núcleos A-ímpar, podemprovir de combinações com N -par e Z-ímpar, ou N -ímpar e Z-par. Os nuclídeos es-



de estab

4:jpg

Figura 4.4: A distribuição dos nuclídeos conhecidos no plano de nêutrons vs prótons. Os quadra-dos mais escuros denotam os nuclídeos estáveis e os demais pontos representam os radionu-clídeos. A linha traçejada encurvada para cima é a linha de estabilidade, ela é a representaçãográ�ca da Eq. (4.7).



táveis por emissão � estão grosseiramente distribuídos entre esses dois tipos de núcleose a parábola de estabilidade é única, já que � = 0 nesse caso, e tem, de maneira geral, aforma como mostrada na Figura 4.5. Os núcleos à direita de Z0 têm um excesso de pró-

Figura 4.5: Curva de estabilidade para núcleos A-ímpar.

tons e massa maior do que o núcleo com Z0, portanto eles decaem para o isóbaro estávelatravés de transições �+, enquanto que os núcleos à esquerda também têm massa maiore decaem para o isóbaro estável através de transições ��. Desta forma, os isóbaros comZ0 � 2 decaem primeiro para aqueles com Z0 � 1 que decaem então para o isóbaroestável Z0, na forma de uma sequência de emissões �, com meias vidas próprias.Deve ser notado também que, para os isóbaros com excesso de prótons, a busca pela

estabilidade pode se dar pelo processo de captura de elétrons como descoberto em 1938por Luiz Alvarez (PNF-1968). Esta captura ocorre dominantemente em núcleos pesa-dos, uma vez que os orbitais mais internos dos elétrons nestes casos são mais próximosdos núcleos, e são os elétrons da camadaK que têm maior probabilidade de captura.Como já mencionado anteriormente, a captura nuclear de um tal elétron produz uma



vacância que induz, por sua vez, uma cascata de elétrons de níveis mais altos de energiapara os níveis inferiores com a conseqüente emissão de raios X característicos. Doponto de vista energético, aquele processo é permitido se

M (Z;A) > M (Z � 1; A) + ",onde " é a energia de excitação da camada atômica do núcleo-�lho.

4.4.2 Núcleos de número de massa A par

Núcleos A-par, por sua vez, podem provir de combinações N -par e Z-par, ou N -ímpare Z-ímpar. Neste caso, como � 6= 0, pode-se desenhar duas parábolas deslocadas comomostrado na Figura 4.6; a parábola inferior corresponde aos isóbaros mais estáveis, comZ-par, enquanto que a parábola superior corresponde aos isóbaros menos estáveis, comZ-ímpar. Desta forma, quase todos os núcleosA-par que são estáveis por emissão � sãodo tipo N -par e Z-par; somente uns poucos do tipo N -ímpar e Z-ímpar são estáveis.Consideremos a Figura 4.6.

Figura 4.6: Curvas de estabilidade para os núcleos isóbarosA-par. Na ordenada temos as massasdos nuclídeos e na abcissa o número atômico. As setas indicam as direções dos decaimentos.

Como em uma mesma parábola os valores de Z diferem por duas unidades, pode



ocorrer de se encontrar alguns isóbaros estáveis � até três deles � para núcleos N -pare Z-par (parábola inferior). Isto pode ser entendido, do ponto de vista energético, seconsiderarmos que as transições de núcleos com Z0 � 2 para os núcleos com Z0 � 1são proibidas. Por outro lado, um processo de decaimento beta duplo, associado a umatransição direta do isóbaro com Z0 � 2 para aquele com Z0 tem baixa probabilidade deocorrência. Já os isóbaros Z-ímpar, na parábola superior, têm um isóbaro contíguo naparábola inferior com diferença de cargas�1 e podem decair. Isto nos leva a conjecturarque todos os núcleos com N -ímpar e Z-ímpar serão instáveis. Porém, há umas poucasexceções que são os nuclídeos naturais 21H , 63Li, 105 B e 147 N . Para estes, as parábolas deestabilidade são tais que aquela com Z-ímpar tem o seu ponto de mínimo associado aoZ0 estável. Estes casos estão representados na Figura 4.7.

Figura 4.7: Curva de estabilidade para A-par e Z-ímpar, algumas excessões.

4.4.3 Núcleos exóticos e linhas limítrofes (drip lines)

A dependência da expressão (4.5) com Z, com A �xo, nos diz que a curva parabólica ébastante razoável para descrever a instabilidade � dos isóbaros, conforme pode ser vistodas Figuras 4.5 a 4.7. Porém, alguns pontos importantes devem ser ressalvados nestaabordagem semiempírica.1. O primeiro diz respeito ao caráter bastante simples das considerações que em-

basam a construção da fórmula de massa; estas considerações de fato se referem a umas



poucas propriedades dominantes da força nuclear. É então importante lembrar que as-pectos mais sutis da força devem também ser relevantes em situações em que a difer-ença entre o número de prótons e de nêutrons seja bem acentuada. Núcleos com essascaracterísticas têm meias vidas curtas e não existem em quantidades signi�cativas nanatureza. Eles são chamados núcleos exóticos, sendo sintetizados em alguns processosestelares, e também podem ser produzidos arti�cialmente a partir de colisões de núcleospesados com o uso de aceleradores de íons. Eles se caracterizam pelo excesso de pró-tons ou de nêutrons e o seu estudo é muito importante para se compreender melhor anatureza da força nuclear.2. O segundo ponto, que tem ligação direta com o primeiro, diz respeito à restrição

do uso da fórmula semi-empírica de massa (4.1) para os núcleos exóticos. De fato, há anecessidade da inclusão de mais detalhes da força nuclear e as teorias sobre a estruturanuclear devem também ser re�nadas de forma a permitir um tratamento mais realísticodaqueles núcleos exóticos.3. Do ponto de vista energético há uma relação entre excesso de prótons ou nêutrons

� que se manifesta nos excessos de massa3 � e instabilidade. Alguns núcleos, assim queformados, decairão imediatamente em uma sequência de emissões � até se transfor-marem em núcleos estáveis. Desta forma, olhando para em uma tabela de nuclídeos,pode-se caracterizar as linhas que determinam os limites para um dado valor de A: onúmero máximo de prótons quanto os de nêutrons que podem existir em um núcleo,delimitando assim o número de nuclídeos que podem existir na natureza. Essas linhaslimítrofes são também conhecidas como drip lines.De uma forma direta, pode-se ver que as linhas limítrofes podem ser obtidas impondo-

se que as energias de separação Sp ou Sn se anulem ou se tornem negativas. No casodos prótons

Sp (A) =M1H +M (A� 1; Z � 1)�M (A;Z) � 0;assim o valor Zdl pode ser deduzido da equação Sp (A) = 0, que representa a situaçãolimite quando a energia necessária para arrancar um próton de um nuclídeo AZX é nula.Analogamente, para os nêutrons calcula-se Ndl da equação

Sn (A) =Mn +M (A� 1; Z)�M (A;Z) = 0:

Ainda em uma outra perspectiva, pode-se também obter uma estimativada linhalimítrofe para os prótons usando a expressão (4.5) para uma linha de isóbaros, escreve-mos a diferença de energia entre dois isóbaros vizinhos

�M (A;Z) =M (A;Z)�M (A;Z � 1) = C2 � C3 (A) + 2C3 (A)Z; (4.8)

3O excesso de massa de um nuclídeo AZX é a diferença entre sua massa e o seu número de massa emunidades de massa atômica u,MA

ZX �Au. É um conceito útil para determinar se um decaimento radioativo

pode ou não ocorrer e quanta energia será liberada. Um decaimento radioativo ocorre só se a soma dosexcessos de massa dos produtos do decaimento é menor do que o excesso de massa do núcleo pai.



Figura 4.8: O excesso de massa em função dos isóbaros,A = 117, note-se que os pontos exper-imentais não coincidem exatamente com a linha sólida, que representa exatamente a parábola dafórmula de massa. O 117

58 Xe encontra-se sobre alinha limítrofe para os prótons, enquanto que o11746 Pd está na linha limítrofe dos nêutrons.

como sendo da ordem da energia associada ao tempo de passagem�t � 10�22 s de umpróton pelo núcleo, ou seja o intervalo de tempo para o processo4 em que um núcleocom Z prótons se transforma em outro com Z � 1, decaimento �+. Podemos usar arelação de incerteza energia-tempo para escrever

�M (A;Zdl) c2 = �E � ~

�t� 6; 6MeV;

de onde segue a expressão

Zdl =

�6; 6� C2 + C3 (A)

2C3 (A)

�toma-se para o inteiro mais próximo

;

'�100 + C3 (A)

2C3 (A)

�=

�0; 5 +

50 A

92; 8 + 0; 72 A2=3

�(4.9)

que dá uma estimativa simples para a linha limítrofe dos prótons. Se tomarmos, comoexemplo ilustrativo,A = 117, obteremosZdl = 54 (o 11756 Ba decai por captura eletrônica

4Este tempo é da ordem do tempo de trânsito de uma partícula pelo diâmetro de um núcleo com v = c(R = 10 fm).



em 100 % dos casos, com meia-vida medida de 1; 75 s), veja a Figura 4.8. Uma con-strução análoga para a linha limítrofe dos nêutrons pode também ser levada a efeito.A extensão imediata para o limite de estabilidade por emissão de partículas � tam-

bém pode ser obtida pela expressão análoga da energia de separação

M (A;Z) =M (A� 4; Z � 2) +M�:

Neste caso, usando a fórmula de massa, os cálculos apontam para A ' 210 como osúltimos elementos estáveis por emissão alfa, embora existam alguns poucos nuclídeos(17 no total) comA < 210 que decaem por emissão �: 144Nd (100%), 146Sm (100%),147Sm (100%), 148Sm (100%), 148Gd (100%), 149Tb (16; 7%), 150Gd (100%), 152Gd(100%), 154Dy (100%), 174Hf (100%), 204Po (0; 66%), 206Po (5; 45%), 208Po (100%),207At (8; 6%), 208At (0; 55%), 209At (4; 1%) e 209Po (100%). Eles se concentram,essencialmente, em alguns poucos elementos: samário, gadolínio, polônio e astatínio.A partir de A = 210 o número de nuclídeos que podem decair por emissão � au-

menta consideravelmente; atéA = 258 contam-se cerca de 80 nuclídeos. Assim, vemosque uma abordagem ingênua, baseada em considerações empíricas, consegue forneceruma boa descrição quantitativa dos dados observados e medidos.

4.4.4 Extensão do uso da fórmula de massa

A fórmula de massa é de grande importância � além do uso imediato na previsão daenergia de ligação nuclear � no estudo, de forma abrangente, da �ssão nuclear em umgrande número de núcleos diferentes, em um amplo domínio de valores de A; N e Z.Para este propósito, é essencial acrescentar à expressão (4.1) correções provenientes daestrutura de camadas de energia dos núcleos, que não são consideradas no modelo dagota líquida.De fato, observa-se que a curva teórica para a energia de ligação por núcleon obtida

através da Eq. (4.1) está, em média, em bom acordo com os dados experimentais. Nãoobstante, ela apresenta desvios que são indicativos de que esse modelo, por tratar osnúcleos como gotas líquidas clássicas � que portanto considera os efeitos das fortescorrelações dos A núcleons constituintes como dominantes �, não leva em conta outrosaspectos importantes da estrutura nuclear oriundos do caráter fermiônico dos núcleons� os aspectos de partículas independentes num campo médio nuclear. Porém, estasdiscrepâncias entre as previsões da fórmula de massa e os dados experimentais podemser corrigidas através de tratamentos que levem em conta aqueles efeitos de camadas,que são o ponto central do modelo de camadas nuclear a ser apresentado no Capítulo 7.Tais correções foram estudadas e novas expressões propostas nas formulações de Myerse Swiatecki [3] e, independentemente, por Strutinsky [4] e têm papel preponderante noscálculos de alturas de barreiras de �ssão. Ademais, a fórmula de massa estendida émuito importante nos cálculos visando a determinação das condições de formação denúcleos super-pesados, Z > 100 e A > 240.



4.5 Linha dos isótopos: ajuste por parábolasComo discutido na seção anterior, as curvas isobáricas obtidas da fórmula de massa (4.5)são parábolas exatas em Z, como pode ser visto nas Figuras 4.5 a 4.7. Entretanto, paraa linha dos isótopos � Z constante, linhas paralelas ao eixo das ordenadas na Figura4.7 � a forma da curva da energia de ligação em função de A não é evidente. Aquivamos constatar que, excetuando a contribuição da energia de emparelhamento, a curvaé aproximadamente uma parábola. Para mostrar isso, inicialmente vamos lembrar quepara uma função f(x) arbitrária, as expressões para as primeiras derivadas escritas emtermos de diferenças �nitas são

f (1)(x) =f(x+ h)� f(x)

h,

f (2)(x) =f(x+ 2h)� 2f(x+ h) + f(x)

h2,

f (3)(x) =f(x+ 3h)� 3f(x+ 2h) + 3f(x+ h)� f(x)

h3, (4.10)

onde h é o incremento (não se faz o limite h! 0). Adicionalmente, podemos tambémescrever a expressão (4.10) como

f (3)(x) =f(x+ 2h)� 3f(x+ h) + 3f(x)� f(x� h)

h3. (4.11)

Para um polinômio de terceira ordem, f(x) = ax3+ bx2+ cx+d, usando-se a equação(4.11) veri�ca-se que f (3)(x) = 6a, que é a derivada terceira de f(x). Portanto, paraqualquer função f (x), a função f (3)(x) fornece seu desvio da forma quadrática e aquantidade 6a é uma medida quantitativa do desvio. Desta forma, se a � 1 para umcerto intervalo I de valores de x, então a curva será praticamente quadrática.Considerando a energia de ligação,

B(A;Z) = avA� asupA2=3 � acZ2

A1=3� aassim

(A� 2Z)2

A� �a(1)p A�1=2; (4.12)

implementando a expressão (4.11), cuja variável é x = A, para quatro isótopos (com Z�xo) e adotando o incremento h = �1, de�nimos a função desvio

G (A;Z) � 1

3![B(A� 2; Z)� 3B(A� 1; Z) + 3B(A;Z)�B(A+ 1; Z)] . (4.13)

Expandindo os termos B(A� 2; Z), 3B(A� 1; Z) e B(A+ 1; Z) para A=2� 1 até a


4.6 Problemas 151

terceira ordem em série de Taylor, obtém-se

G (A;Z) =1

3!

��asupA2=3

�� 8

27

1

A3

�� ac

Z2

A1=3

�28

27

1

A3

��aassim

(A� 2Z)2

A

�61

A3

�� a(1)p A�1=2

�15

8

1

A3

�)

=1

A3

(4

81

�asupA

2=3�� aassim

(A� 2Z)2

A� 1481

�acZ2

A1=3

�� 5

16�a(1)p A�1=2

�, (4.14)

função esta que é uma medida do desvio da curva empírica B(A;Z) com relação a umpolinômio de segunda ordem. Comparando a expressão entre chaves que se encontrado lado direito da segunda igualdade em (4.14) com a energia de ligação (4.12), nota-sea ausência do termo de energia volumétrica, por ser linear em A, enquanto os demaistermos estão presentes, cada um multiplicado por um fator menor ou igual a um, assimessa expressão é, em módulo, menor ou da ordem da energia de ligação. Porém, essen-cialmente percebe-se a presença do fator A�3, portanto G (A;Z) decresce rapidamentecom o quanto maior for A, o que valida a aproximação parabólica para as linhas dosisótopos.

4.6 Problemas1. Fazendo uso da fórmula de massa, Eq. (4.1), calcule a energia de separação dapartícula � no 23592 U , onde o 23190 Th é o núcleo residual. Discuta o resultado.

2. Fazendo uso da fórmula de massa averigüe se o núcleo radioativo 13854 Xe é emis-sor �� ou �+.

3. Usando o modelo da gota líquida para a �ssão nuclear deduz-se que a condiçãopara �ssão espontânea (altura da barreira de �ssão é nula) é Z2=A > 50 (a ser visto pos-teriormente no capítulo 12). Calcule (numericamente) o número atômico Z e o númerode massa A do último nuclídeo estável (que não sofre uma �ssão instantânea) usando aexpressão (4.7).

4. Use a fórmula de massa para calcular a fração de ligação para todos os nuclídeosde número atômico Z = 4 a 10. Use a tabela de nuclídeos da Ref. [5]

5. A partir da fórmula de massa veri�que se a reação

22790 Th �! 223

88 Ra+ �+Q



é possível. Em caso a�rmativo, e supondo que o núcleo-�lho é produzido no estadofundamental, qual será o valor das energias cinéticas dos dois fragmentos?Observe que não se pode usar a fórmula de massa para partícula �, neste caso deve-

se usar o valor empírico da energia de ligação, 28; 3MeV .

6. Deduza a expressão que estima a linha limítrofe � drip line � dos nêutrons,analogamente ao que foi feito, Eq. (4.9), para prótons.

7. Em uma aproximação bastante crua, considere que uma estrela de nêutrons tenhasua energia de ligação descrita a partir da fórmula de massa da qual se desprezam os ter-mos de superfície, de Coulomb e de emparelhamento. É necessário, porém, acrescentaro termo de atração gravitacional. Assim,

B(N) = avN � aassimN +3

5

GM2

r0N1=3;

onde N é o número de nêutrons, M é a massa da estrela, G é a constante de atraçãogravitacional e r0 é a constante relacionada com o raio nuclear.Através da imposição da condição de limite para a existência de um estado ligado,

B(N) = 0; determine os valores típicos do número de nêutrons, do raio e da massadessa "estrela de nêutrons"; os valores numéricos das constantes sãoG = 6; 7� 10�11J m kg�2

1MeV = 1; 602� 10�13 JMn = 1; 67� 10�27 kgr0 = 1; 2� 10�15 m:Compare seus resultados com os dados existentes na literatura em astrofísica

8. Dado um conjunto de pontos (:::f�3; f�2; f�1; f0; f1; f2; f3;:::) queremosque eles coincidam com os valores de uma função contínua f(x) a ser determinada.Para isso iremos considerar a fórmula de interpolação de quatro pontos, e escolhemosestes pontos como sendo (f�2; f�1; f0; f1). Sabe-se que8><>:

f0 = f(x = x0)

f�1 = f(x = x0 � h) = f(x0)� hf 0(x0) + h2

2! f00(x0)� h3

3! f000(x0) + :::

f�2 = f(x = x0 � 2h) = f(x0)� 2hf 0(x0) + (2h)2

2! f00(x0)� (2h)3

3! f000(x0) + ::::

Determine f 000(x0) em termos dos quatro pontos (f�2; f�1; f0; f1) a partir da equação

Cf 000(x0) = �f�2 + �f�1 + f0 + �f1

igualando os coe�cientes de derivadas de mesma ordem para determinar os parâmetrosC;�; �; e �.

9. A partir da expressão

Gn(A;Z) =1

6[B(A� 2; Z)� 3B(A� 1; Z) + 3B(A;Z)�B(A+ 1; Z)] ,


4.7 Bibliogra�a 153

ondeB(A;Z) = avA� asupA2=3 � ac

Z2

A1=3� aassim

(A� 2Z)2A

,calcule o termo mais signi�cativo de Gn(A;Z) para o núcleo de 4020Ca. O que vocêconclui?

4.7 Bibliogra�a

[1] Ring P. e Schuck P., 1980, The nuclear many-body probelm, Springler-Verlag Inc.,New York.

[2] Wapstra, Handbuch der Physik, vol. XXXVIII/1

[3] Myers e Swiatecki, 1982, Ann. Rev. of Nucl. Part. Sci. 32, 309.

[4] Strutinsky V, 1966, Sov. J. Nucl. Phys. 3, 449.

[5] Tabela dos nuclídeos no site: http://atom.kaeri.re.kr/ton/nuc7.html


física nuclear e partículas subnucleares - capítulo 4 – s. s. mizrahi & d. galetti

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