física nuclear e partículas subnucleares - capítulo 8 – s. s. mizrahi & d. galetti

Capítulo 8

Decaimento por emissão departícula alfa

8 Decaimento por emissão de partícula alfa 2688.1 Introdução histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2688.2 Considerações energéticas sobre a emissão � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2738.3 Tunelamento pela barreira coulombiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.3.1 Cálculo da constante de decaimento � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2808.4 Previsões teóricas e valores empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.4.1 Espectros de decaimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2888.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898.6 Apêndice A: Energias de duas partículas no RCM . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908.7 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

8.1 Introdução históricaApresentamos na seção um breve relato histórico sobre a descoberta da partícula alfae de seu papel nas séries radioativas. A denominação partícula alfa (que poderemos,doravante, denotar simplesmente como �) vem da descoberta feita por Rutherford, em1899, de uma radiação, que ele chamou "raios �", que emanava de certos materiais.De fato, ele havia notado que as rochas e os minérios radioativos1 emitem dois tiposde radiação: uma era mais facilmente absorvida, (os "raios �"), do que a outra � queele denominou raios � �, mas ambos os tipos de radiação são emitidos pela mesmaamostra. Em 1900, Rutherford e Soddy descobriram que do tório emana um elemento

1O fenômeno da radioatividade foi descoberto por Becquerel em 1896. Pouco tempo depois, em 1900,um terceiro tipo de radiação foi descoberto por Paul Villard � contemporâneo de Becquerel, do casal Curiee de Rutherford � que ele chamou "raios ". Ele percebeu que eles eram diferentes dos raios X devido àsua maior penetrabilidade. Só mais tarde, em 1914, Rutherford mostrou que os raios eram um tipo de luzmas de comprimento de onda muito menor que o dos raiosX .

268

S.S. Mizrahi & D. Galetti

8.1 Introdução histórica 269

gasoso radioativo que eles chamaram tóron2 que, assim como o gás argônio, é quimi-camente inerte. Pela medição de sua radioatividade, eles veri�caram que o tóron decaiem outros elementos radioativos; isto levou à descoberta da transmutação dos elemen-tos. Um ano mais tarde, Marie Curie descobriu um elemento gasoso similar, o isótopo226Rn, que é emanado pelo elemento rádio. Essas descobertas levaram Rutherford eSoddy a reportar, em uma seqüência de artigos, sua teoria sobre as complexas relaçõesentre os produtos de decaimento do urânio e do tório, e estabeleceram a lei exponen-cial do decaimento radioativo. Constataram que essa lei continua válida mesmo coma variação da temperatura (absorção ou liberação de calor), ou devido a combinaçõesquímicas dos elementos (ações que afetam a estrutura eletrônica dos átomos)3. Em1908 Rutherford e Hans Geiger [1] mostraram, conclusivamente, que os raios � eramíons do elemento hélio4: o núcleo de 4He. Como discutido no capítulo 3, veri�cou-se,então, a existência de três séries radioativas: do urânio (que se inicia no 238U ), do ac-tínio (com início no 235U , e não no actínio, pois era originalmente chamado actinium-uranium, AcU ) e do tório (com início no 232Th), como mostrado na Figura 8.1. Asséries radioativas naturais sâo rotuladas por números de massa 4n; 4n + 2; 4n + 3,relativas ao número de massa A e que dizem respeito aos números de núcleons emmúltiplos de quatro mais o resto da divisão. A quarta série, 4n + 1, não existe, poisnão há na natureza um núcleo-pai com tempo de meia-vida su�cientemente longo eem quantidade signi�cativa, que poderia ter sobrevivido na Terra desde a síntese pri-mordial dos elementos até nossos dias,De forma característica, as séries radioativas terminam no chumbo, 206Pb, 207Pb e

208Pb, respectivamente, que têm camada fechada nos prótons, Z = 82 (o 208Pb temtambém camada fechada nos nêutrons, N = 126). O decaimento � ocorre sempreque as condições energéticas permitem, de acordo com o princípio de conservação daenergia, a menos que seja precedido por um decaimento � que seja energeticamentemais favorável. Isto será discutido nas seções 8.2 e 8.4. Decaimentos � podem ocorrerem transições do tipo estado fundamental ! estado fundamental e, também, do tipoem estado fundamental ! estados excitados. Por exemplo, no decaimento 226Ra !222Rn� + � + E� detecta-se um espectro constituído de quatro diferentes energiascinéticas das �´s: 4; 782 MeV (94; 6 %), 4; 599 MeV (5; 4 %), 4; 340 MeV (5; 1 �10�3 %) e 4; 194MeV (7�10�4 %); as percentagens entre parênteses correspondem àsfrações das ocorrências e cada energia corresponde a um nível de energia do nuclídeo-�lho. Este, encontrando-se em um estado excitado, geralmente decai para o estadofundamental por emissão de raios .

2Que vem de thoron, em inglês, depois ele foi identi�cado como um isótopo do radônio, o 228Rn.3Estes fatos estão na essência do maior problema presente nos projetos de construção de reatores nu-

cleares de potência para a produção de energia: O que fazer com as substâncias radioativas do combustívelqueimado, cujos tempos de meia-vida podem durar decênios ou mais. A solução encontrada, até o presentemomento, é o armazenamento em recipientes blindados, guardados em locais seguros e regularmente mon-itorados para detectar possíveis vazamentos. Uma solução (ideal) seria transportá-los até o Sol sobre o qualseriam lançados. Porém este é um procedimento altamente custoso e portanto impraticável.

4Elemento cujo espectro de emissão foi revelado, poucos anos antes de 1899, nos raios solares e depoisdescoberto nos gases contidos em minérios de urânio.


270 Capítulo 8. Decaimento por emissão de partícula alfa

radioativas

1:jpg

Figura 8.1: Série radioativas de: (a) tório, (b) urânio e (c) actínio. As linhas diagonais, fazendoum ângulo agudo com a abcissa, correspondem a decaimentos-�, as linhas diagonais, de ânguloobtuso, correspondem a decaimentos-�.


8.1 Introdução histórica 271

A constatação de que o isótopo 238U (o mais abundante do urânio) tem tempo demeia-vida de cerca de 4; 5 bilhões de anos e emite �´s com energia de 4; 2 MeV , en-quanto que o 212Po, com meia-vida muito mais curta, 0; 314 �s, emite �´s com energiamuito mais alta, 8; 785MeV , levou Geiger e J. M. Nuttall [2], em 1911, a propor umarelação entre tempo de vida-média ��1 e a energia da �: os nuclídeos emissores � comvida mais curta são aqueles que ejetam �´s com maior energia cinéticaE�. Essa relação�cou conhecida como lei de Geiger-Nuttall

ln� = �2 + �1 lnE�; (8.1)

onde �1 e �2 são duas constantes a serem ajustadas para reproduzir os valores medidos5,veja a Figura 8.2.Novamente, em 1927, Rutherford, [3] constatou que �´s emitidaspelo 212Po e espalhadas por uma �na lâmina de urânio apresentavam uma seção dechoque de espalhamento elástico cuja forma é reconhecida como devida a um potencialcom dependência 1=r, exatamente um potencial coulombiano, e veri�cou que a menordistância do centro espalhador era da ordem de 30 fm. Assim, a barreira coulombianado núcleo de urânio, como enxergado por uma �, deve ter uma altura da ordem de68; 83MeV , e qualquer � que se candidate a sair do núcleo deve enxergar essa mesmabarreira. Pensando a � como partícula � ou seja, classicamente � essa deve ser a energiacinética minimamente necessária que ela deve possuir para poder emergir do núcleopassando por cima da barreira. Entretanto, medem-se energias de �´s expelidas do 238Ua energias de 4; 2MeV ! Isto cria um impasse: como seria possível uma � incidente euma � emergente enxergarem barreiras de diferentes alturas? O grande feito explicativosurgiu em 1928, devido a estudos feitos porGeorge Gamow7 [4] e, independentemente,por Ronald W. Gurney e Edward W. Condon8 [6].O surgimento da então recente mecânica quântica e os novos conceitos sobre a na-

tureza microscópica das partículas foram utilizados para explicar o paradoxo clássico,em seu primeiro grande teste na física nuclear, antes mesmo da descoberta do nêutron.A explicação, cujos cálculos detalhados serão apresentados na seção 8.3, é a seguinte:considera-se a � no núcleo não como uma partícula clássica, mas como um objeto quetambém possui propriedades ondulatórias, sendo descrita por uma função de onda, que é

5De fato, Geiger e Nuttall propuseram a relação

ln� = �2 + �1 lnR

e veri�caram que a variável R é proporcional a v3, v sendo a velocidade da �.6Lembre-se de que a energia coulombiana é Ec = Z1Z2e2=r, logo para Z1 = 2, Z2 = 92 e r =

3� 10�12 cm, obtém-se 8; 83MeV .7Na época, Gamow era um jovem pós-doutorando ucraniano que trabalhava sob a supervisão de N. Bohr,

no Instituto de Física Teórica de Copenhague. A Gamow se devem notáveis descobertas, como a idéia doconceito do Big-Bang para o "início do Universo", pesquisas em astrofísica � o chamado efeito Urca, emparceria com o físico brasileiroMário Schemberg �, as regras de transição Gamow-Teller no decaimento-�e a teoria da nucleosíntese dos elementos, juntamente com Ralph A. Alpher.

8Condon era norte-americano e Gurney um inglês que, na ocasião, tinha uma bolsa para estudar na Uni-versidade de Princeton. Ele viera do laboratório Cavendish, onde trabalhara com Rutherford. Uma leiturainteressante do ponto de vista histórico encontra-se em [5].



Figura 8.2: Grá�co de Geiger-Nuttall; tempos de vida-média (em anos) em função da energia da� para alguns núcleos emissores (núcleos-pai) par-par. Os pontos externos às curvas empíricassão transições para estados excitados, ou pertencem a isótopos do Em e Po, cujo decaimentoenvolve um número mágico.


8.2 Considerações energéticas sobre a emissão � 273

solução da equação de Schrödinger. A propriedade de onda da �, e não sua propriedadede partícula, é que lhe permite atravessar a barreira coulombiana, mesmo se a sua en-ergia cinética estiver abaixo da altura máxima da barreira! Este fenômeno é conhecidocomo tunelamento através de uma barreira, a sua aplicabilidade não se restringe ape-nas a �´s, mas a qualquer tipo de partícula descrita por uma função de onda. De fato,o efeito túnel já fora usado, anteriormente, por R. H. Fowler e L. Nordheim [?] paraexplicar como seria possível extrair, a frio, elétrons da superfície de metais.

8.2 Considerações energéticas sobre a emissão �Visto que a � tem duas unidades de carga elétrica positiva, surge, no processo de emis-são, uma competição entre a força nuclear que atua de forma a mantê-la no núcleo e aforça de repulsão coulombiana que tende a ejetá-la. Do ponto de vista da física clás-sica, a emissão da � é inibida quando a altura da barreira de potencial que ela sentesupera a sua energia total, o que a impede de sair livremente. Porém, visto que tanto onúcleo `pai', (AZX), quanto a � são objetos microscópicos, eles podem ser descritos deacordo com as regras da mecânica quântica, e efeitos próprios do caráter ondulatório semanifestam [7].Por se encontrarem em estado instável, muitos núcleos podem decair perdendo ener-

gia por emissão �, uma vez que, como vimos na discussão sobre a energia de separação,no �nal da seção 3.1, dependendo da massa do nuclídeo A, menos energia é necessáriapara emitir uma � do que um nêutron. Na notação própria, representa-se este decai-mento como AZX �! A�4

Z�2Y + �.A análise que faremos a seguir faz uso de argumentos devidos a Bethe [9], que utiliza

o conceito de excesso de massa. Na expressão

�M = Z (M1H � 1u) + (A� Z) (Mn � 1u) (8.2)= 7; 29Z + 8; 07 (A� Z) MeV=c2;

o excesso de massa é a diferença de massa de um sistema constituído de Z átomosde hidrogênio mais N nêutrons, livres, em relação a A unidades de massa atômica, u,ou seja, um átomo9 de carbono-12. A segunda linha da equação (8.2) representa aconversão de unidades u emMeV=c2, lembrando queM1H = 938; 78MeV=c2,Mn =939; 56 MeV=c2 e 1u = 931; 49 MeV=c2. Também pode-se calcular o excesso demassa de um átomo neutro AZX quando então sua energia de ligação deve ser inseridana expressão (8.2),

�MAZX

=MAZX

�A u = 7; 29Z + 8; 07 (A� Z)�BAZX

;

sendo que esta quantidade pode ser positiva ou negativa (obviamente ela é nula para oátomo de 126 C). No caso de um átomo de 4He, substituindo os valores A = 4, Z = 2,assim como a energia de ligação intrínseca da �, B� = 28; 30 MeV (vamos falar em

9Para o nuclídeo 126 C, pela própria de�nição de excesso de massa, tem-se�M = 0, poisM126 C = 12 u.



� em vez de átomo de 4He), obtém-se o excesso de massa �M� = 2; 42 MeV . Seconsideramos o núcleo de 126 C como sendo constituído de três �partículas� � três �´s �,cada uma delas tem 2; 42MeV de fração de ligação10, que iremos admitir como sendoa energia de ligação típica que a mantém ligada, mesmo nos nuclídeos pesados.Vamos agora considerar um nuclídeo AZX e um sistema constituído de um nuclídeo

A�4Z�2Y mais uma � ligada a ele, e calculemos a diferença de energias de ligação

E =�BA�4

Z�2Y+B� +�M�

��BA

ZX

=�BA�4

Z�2Y+ 30; 72MeV

��BA

ZX: (8.3)

Quando E > 0 isso poderia signi�car que a formação de uma estrutura de uma � em umnúcleo AZX , isto é, formando um sistema

A�4Z�2Y + � é energeticamente mais favorável

(isto é, torna esta estrutura mais estável) do que um núcleo sem esta conformação. Aquantidade E é negativa para valores pequenos de A, entretanto para alguns núcleoscom massas intermediárias veri�ca-se que E > 0 e que eles são estáveis por emissão-�, como por exemplo, o 12454 Xe, para o qual E = 1; 75 MeV . Assim pode-se suporque haja a formação de uma � que, entretanto, nunca será emitida pelo núcleo, por sereste um processo desfavorável, veja a Tabela 8.1. Conjectura-se então que a formaçãoA�4Z�2Y + � é favorecida, mas não a emissão da �. Por outro lado, alguns nuclídeos demassas intermediárias (14662 Sm, 14864 Gd, 15064 Gd, 15264 Gd, 15466 Dy)11 são instáveis e decaempor emissão de �, para esses veri�ca-se E � 5 MeV , o que signi�ca que não apenasa formação de uma � é favorecida mas que, também, ela será emitida pelo núcleo.Para os nuclídeos de massas maiores A � 208, aqueles que decaem por emissão �apresentam um valor E & 5 MeV . Portanto, pode-se supor uma energia próxima oumaior que 5 MeV para a Eq. (8.3) deve ser a quantidade de energia necessária parapermitir a emissão �, veja a Tabela 8.1. Convém lembrar que Z = 82 e A = 208 sãonúmeros duplamente mágicos, o que caracteriza o nuclídeo 20882 Pb como estável. Apesarde apresentar um valor E = 2; 94MeV positivo, ele é bem menor que dos isótopos dopolônio (84Po), seus vizinhos e fortes emissores-�, que de outros núcleos nessa região

10A energia de ligação empírica do 12C, fornecida na Ref. [?], é 95; 16MeV , que é igual a (3� 28; 30 + 3� 2; 42) MeV ,que é a energia de ligação de três � ´s mais a energia de ligação de três pares.

11Veri�ca-se a existência de apenas esses cinco nuclídeos de massas intermediárias que decaem por emissão�. Os demais nuclídeos instáveis decaem por decaimento � ou captura eletrônica. Somente com números demassa A > 208, os radionuclídeos voltam a decair por emissão �.


8.3 Tunelamento pela barreira coulombiana 275

de valores de A altos.

AZX BA

ZXA�4Z�2Y BA�4

Z�2YE

2010Ne 160; 64 16

8 O 127; 62 �2; 304020Ca 342; 05 36

18Ar 306; 72 �4; 515626Fe 492; 25 52

24Cr 456; 35 �5; 1812454 Xe 1 046; 25 120

52 Te 1 017; 28 1; 7514662 Sm 1 210; 91 142

60 Nd 1 185; 15 4; 9614864 Gd 1220; 77 144

62 Sm 1195; 74 5; 6915064 Gd 1236; 40 146

62 Sm 1210; 91 5; 2315264 Gd 1251; 49 148

62 Sm 1225; 40 4; 6315466 Dy 1261; 75 150

64 Gd 1236; 40 5; 3520884 Po 1 630; 61 204

82 Pb 1 607; 53 7; 8821084 Po 1645; 23 206

82 Pb 1622; 34 7; 8321484 Po 1666; 03 210

82 Pb 1647; 57 12; 2621884 Po 1685; 48 214

82 Pb 1663; 30 8; 5422286 Rn 1708; 19 218

84 Po 1685; 48 8; 0122688 Ra 1731; 61 222

86 Rn 1708; 19 7; 3023090 Th 1755; 14 226

88 Ra 1731; 61 7; 1923492 U 1778; 57 230

90 Th 1755; 14 7; 2923892 U 1801; 69 234

90 Th 1777; 67 6; 70

Tabela 8.1. Os quatro primeiros nuclídeos são estáveis, os demais decaem por emissão �. Todosos números estão em unidades de MeV. Os valores das energias de ligação foram tomados da

Ref. [10].

8.3 Tunelamento pela barreira coulombianaVamos aqui revisar o fenômeno de tunelamento de uma partícula de massa m, cujadescrição é dada pela função de onda que é solução da equação de Schrödinger. Ini-cialmente, vamos considerar o caso mais simples de uma barreira quadrada, unidimen-sional, conforme mostrado na Figura 8.3,

V (x) =

8<: 0 para x < �aV0 para �a � x � a0 para a < x

(8.4)

sendo E = K (E < V0) a energia cinética antes da partícula atravessar a barreira. Paraassegurar que a energia seja conservada na região da barreira, a energia cinética deveassumir valores negativos,K < 0, poisE = V0+K. Uma vez que o potencial apresentaduas singularidades, as descontinuidades nos pontos�a e a, haverá uma função de onda



Figura 8.3: Partícula com energia 0 < E < V 0 que incide sobre uma barreira de potencialquadrada, de largura 2a. K é a energia cinética da partícula, que na região da barreira se tornanegativa.

(como solução da equação de Schrödinger) para cada uma das regiões I, II e III

(x) =

8<: eikx + ~Re�ikx para x < �aAe��x +Be�x para �a < x < a~Teikx para a < x ,

(8.5)

onde os números de onda

k =

r2mE

~2e � =

r2m (V0 � E)

~2

dependem da energia. Os coe�cientes ~R e ~T são as amplitudes de re�exão e de trans-missão da onda. Sem perda de generalidade, impusemos que o coe�ciente da ondaincidente eikx é igual a 1 pois a introdução de um fator multiplicativo (digamos ~M ) nãoirá alterar o conteúdo físico dos resultados, levando apenas à necessidade de normalizaros coe�cientes como ~R= ~M e ~T= ~M . Agora, impondo as condições de continuidadeda função de onda e de sua derivada nos pontos a e �a do potencial, obtém-se quatroequações algébricas que podem ser escritas como8>>><>>>:

Ae�a +Be��a = e�ika + eReikaAe��a +Be�a = eTeika�Ae�a +Be��a = ik

�

�e�ika � eReika�

�Ae��a +Be�a = ik�eTeika:

(8.6)

Eliminando A e B podemos escrever as amplitudes ~R e ~T como

~R = e�2ika�k2 + �2

�sinh (2�a)

��k2 � �2

�sinh (2�a)� 2ik� cosh (2�a)

�(k2 � �2)2 sinh2 (2�a) + 4k2�2 cosh2 (2�a)

(8.7)



e~T = e�2ika

2ik��k2 � �2

�sinh (2�a)� 2ik� cosh (2�a)

�(k2 � �2)2 sinh2 (2�a) + 4k2�2 cosh2 (2�a)

: (8.8)

Calculando o módulo ao quadrado de ~R e ~T obtemos os coe�cientes de re�exão e detransmissão. Após alguma manipulação algébrica, obtemos

R =�� ~R��2 = �

k2 + �2�2sinh2 (2�a)

(2k�)2+ (k2 + �2)

2sinh2 (2�a)

(8.9)

e

T =�� ~T ��2 = (2k�)

2

(2k�)2+ (k2 + �2)

2sinh2 (2�a)

: (8.10)

Veri�ca-se que a probabilidade total � de re�exão R mais de transmissão T � é con-servada, R+ T = 1, independentemente da forma da barreira e da energia da partícula.A corrente é conservada, isto é, não há perda de �uxo de probabilidade, ou ainda, apartícula (ou onda) não pode �sumir� ou ser absorvida ao atravessar a barreira: a ondapode ser re�etida ou transmitida, mesmo que parcialmente. Se quisermos ainda pensara partícula estritamente como um objeto clássico, ela não poderia atravessar a barreirapor ter energia cinética menor do que a altura da mesma, como mostrado na Figura 8.3.Porém, para uma partícula descrita por uma onda, desde que a altura máxima e a largurada barreira sejam �nitas, a probabilidade de a partícula atravessá-la é sempre não-nula,fenômeno conhecido como efeito túnel.

Figura 8.4: Potencial repulsivo de formato arbitrário, cuja forma pode ser aproximada por umaseqüência de barreiras de larguras in�nitesimais e de alturas variáveis.

Agora, vamos considerar uma barreira unidimensional de formato arbitrário, con-forme mostrado na Figura 8.4, que pode ser aproximada por uma sucessão de um grande



número de barreiras adjacentes, retangulares e estreitas. Nas situações em que a al-tura da barreira é muito maior que energia de incidência da partícula, isto é, 1 �8ma2 (V0 � E) =~2 ou (2�a)2 � 1, o coe�ciente de transmissão da barreira, Eq.(8.10), � que dá a probabilidade da partícula atravessar a barreira por tunelamento �pode ser reescrito como

T =1

1 +�k2+�2

2k�

�2sinh2 (2�a)

��

4k�

k2 + �2

�2e�4�a:

Considerando o logaritmo desta expressão temos

lnT � 2 ln (2ka) (2�a)

(ka)2+ (�a)

2

!� 2� (2a)

e, notando que o segundo termo é dominante, obtém-se lnT � �2� (2a), que dependelinearmente de � e da largura da barreira. Para muitas barreiras seqüenciais, como naFigura 8.4, a probabilidade de tunelamente é de�nida como o produto das probabili-dades de tunelamento por cada uma das barreiras parciais e, calculando o logaritmo,obtemos

lnYi

Ti =Xi

lnTi = �2Xi

�i�xi; (8.11)

onde �xi é a espessura da i-ésima barreira e, obviamente, o número de onda �i devedepender da posição xi. Transformando a soma (8.11) sobre todas as barreiras retangu-lares em uma integral, o coe�ciente de transmissão � também chamado coe�ciente detransparência ou parâmetro de penetração � é escrito como

T = exp

��2Z x2

x1

�(x)dx

�= exp

�2Z x2

x1

r2m

~2[V (x)� E]dx

!; (8.12)

onde x1 e x2 são os pontos de retorno clássicos (são as raízes da equação V (x)�E = 0).Note-se que a integral em (8.12) desconsidera as barreiras situadas fora do intervalo[x1; x2], uma vez que a probabilidade de atravessar cada uma delas é aproximadamente1. No caso de uma barreira tridimensional com simetria radial a integral irá dependerapenas da coordenada radial e não dos ângulos,

T = exp

�2Z r2

r1

s2m�

~2

�V (r) +

~2l(l + 1)2mr2

� E�dr

!; (8.13)

e r1 e r2 são as raízes da equação V (r)+~2l(l+1)=�2mr2

��E = 0 com 0 < r1 � r

� r2 <1.No decaimento AZX �! A�4

Z�2Y + �, a equação do balanço energético é dada por

Q = (MX �MY �m�) =c2;



ondeQ é a energia liberada no processo,MX ,MY em� são as massas dos nuclídeosX ,Y e da � (os nuclídeos AZX e A�4Z�2Y são também chamados núcleo-pai e núcleo-�lho

12,respectivamente; o último é também conhecido como núcleo residual) e na expressão(8.13) devemos trocar a massam pela massa reduzida

� =m�MY

m� +MY:

Podemos fazer agora algumas aproximações para simpli�car a análise física sem com-prometer, entretanto, as conclusões: desconsideramos as energias de ligação dos nú-cleons diante do valor das massas, isto é,m� � 4M1H eMY � (A� 4)M1H (M1H éa massa do átomo de hidrogênio)13; logo

� =4(A� 4)4 + (A� 4)M

1H =

�1 +

4

A� 4

��14M1H ;

e, visto que as emissões � se dão em nuclídeos com A > 140 � portanto (A � 4) � 4�, e então a massa reduzida simpli�ca-se para � � 4M1H .Para a partícula � externa ao núcleo residual o potencial coulombiano é dado por

Vc(r) = 2 (Z � 2) e2=r e, supondo a emissão com momentum angular l = 0, tem-se

T = exp

�2~

Z r2

r1

s2�

�2 (Z � 2) e2

r� E

�dr

!:

Admitindo que, antes da emissão, o núcleo-pai estava em estado de repouso noRCM, e visto que a energia E (= Q) do sistema, núcleo residual + �, é conservada(em qualquer estágio do movimento), então ela é a soma das energias cinéticas da � edo núcleo residual (A�4Z�2Y ), assintoticamente. Uma vez que se mede apenas a energiacinética da �, E�, perguntamos: qual é a relação que existe entre E e E�?No RCM o núcleo de AZX está em estado repouso, seu momentum linear total é nulo,

~PX = 0, de tal forma que, pelo princípio da conservação do momentum linear, após odecaimento tem-se

~p� + ~PY = 0 =) ~PY = �~p�;e a energia cinética total é escrita como

E =~P 2Y

2MY+

~p 2�2m�

=~p 2�2m�

�m�

MY+ 1

�= E�

�1 +

4

A� 4

�= E�

1

1� 4=A;

que é proporcional à energia cinética da �. Aqui também, dado queA� 4, isto permitefazer a aproximaçãoE � E�. O cálculo é não-relativístico pois a energia cinética típica

12No inglês, o gênero é invertido, usa-se mother ou parent nucleus e daughter nucleus:

13Estas aproximações são válidas neste contexto.



de uma � emitida por um núcleo está entre 4 e 10MeV , um valor muito menor que oequivalente em energia da massa da �, que é aproximadamente 3 728MeV .

8.3.1 Cálculo da constante de decaimento �

Vamos agora estabelecer a relação entre a constante para o decaimento radioativo �e o coe�ciente de transmissão T . Recordemos que a expressão fenomenológica paraa probabilidade de decaimento radioativo (probabilidade de um núcleo não decair) ép(t) = e��t, que no presente caso é a probabilidade de o núcleo-pai não emitir uma �no intervalo de tempo [0; t], ou seja, ele continuar mantendo a sua identidade.Dentro do núcleo a partícula � é descrita por uma onda de intensidade I0 que incide

sobre a barreira de potencial, conforme mostrado na Figura 8.5. Quando a � se formadentro do núcleo14 a repulsão coulombiana tende a expelí-la, assim como poderia ocor-rer com os prótons. Entretanto, devido à sua grande energia de ligação, para núcleos demassas média e pesada é energeticamente mais favorável formar uma � e expelí-la doque ejetar dois prótons e dois nêutrons independentes.Visto que a � se comporta como uma onda, em uma primeira incidência contra a

barreira (poderíamos imaginar o potencial como uma esfera oca cuja casca seria feitade material translúcido) a intensidade da onda emergente é TI0 e a da onda re�etida éRI0. Na segunda tentativa a intensidade da onda emergente é T (RI0) e a da re�etida éR (RI0). Este processo se repete, seguidamente, conforme mostrado na Tabela 8.2

N0 da incidência Intens. da onda transm. Intens. da onda re�.1 TI0 RI02 T (RI0) R (RI0) = R2I03 T

�R2I0

�R�R2I0

�= R3I0

� � �� n T

�Rn�1I0

�R�Rn�1I0

�= RnI0:

Tabela 8.2 Seqüência de incidências e probabilidades de transmissão e re�exão.

Após n incidências a intensidade da onda que permanece no núcleo é In = RnI0 =(1� T )n I0. Para T � 1, são feitas as aproximações In = I0 (1� T )n � I0 (1� nT ) �I0e

�nT , obtendo-seIn = I0e

�Tn:Portanto, a probabilidade de a � permanecer no núcleo após n tentativas para emergiradquire a forma exponencial

pn = In=I0 = e�Tn: (8.14)

14Um tratamento mais rigoroso exigiria levar em conta a probabilidade de pré-formação da � dentro donúcleo como feito por H. J. Mang [11] e J. O. Rasmussen [12]. Mang calcula a probabilidade de formaçãocomo o produto das funções de onda dos núcleos pai e �lho, no contexto do modelo de camadas. Rasmussendedica-se a um cálculo mais preciso do que a da probabilidade reduzida, v0= (2R0), usada na Eq. (8.17).



Agora, vamos considerar que: (1) t0 seja o tempo médio entre duas re�exões su-cessivas pela barreira, (2) o caminho médio percorrido neste tempo seja da ordem dodiâmetro nuclear, 2R0, e (3) a velocidade média da partícula � seja v0; então temos aseguinte relação entre essas quantidades

t0 =2R0v0

: (8.15)

Na realidade, falar de velocidade de uma � no núcleo torna-se um conceito bastantenebuloso, e é contraditório também, pois já falamos de sua propriedade ondulatória paratunelar e agora temos que considerar uma partícula no sentido clássico para estimar a suavelocidade. Por conseguinte, para tratar com mais rigor a emissão � é necessário fazercálculos usando o formalismo da aproximação WKB, ou então tratar quanticamente umsistema de muitos corpos, incluíndo as forças que atuam entre os núcleons, o que éuma tarefa exeqüivel, mas bastante trabalhosa. Em contrapartida, podemos fazer umainterpretação elástica do princípio de complementaridade proposto por N. Bohr e usá-locomo argumento heurístico, como feito na abordagem seguida até aqui, justi�cando-sea alternância de aspectos clássicos e quânticos desde que os resultados obtidos sejamcondizentes com o que é medido experimentalmente.Para uma energia cinética de 1MeV , a velocidade média de uma � é

v0 = c

r2E�m�c2

� 3� 1010s

2

(4� 939� 28; 3) � 7; 0� 108 cm=s;

supondo um raio nuclear R0 = 1; 4� 10�13A1=3 e, admitindo um núcleo com númerode massa A = 216, o tempo característico estimado para atravessá-lo é t0 � 2; 6 �10�21 s.Após n incidências o tempo decorrido terá sido t = nt0, o que permite escrever a

probabilidade (8.14) em função do tempo,

p(t) = exp [� (T=t0) t] = exp [��t] ; (8.16)

onde� � �0T = �0e

�G: (8.17)é a constante de decaimento e �0 = (t0)

�1 é chamada probabilidade reduzida. Oexpoente

G =2

~

Z b

R0

s2�

�2 (Z � 2) e2

r� E�

�dr

=

�16� (Z � 2) e2

~2

�1=2 Z b

R0

�1

r� E�2 (Z � 2) e2

�1=2dr; (8.18)

é chamado fator de Gamow; veja a Figura 8.5 e onde E� = 2 (Z � 2) e2=b é a energiada �, sendo que

Ec = 2 (Z � 2) e2=R0 (8.19)



de potencial

5:jpg

Figura 8.5: Tunelamento da � por uma barreira de potencial, consistindo de uma força atrativa(poço quadrado de profundidade V0) e uma repulsiva (a barreira coulombiana). Por termos con-siderado um poço quadrado, o raio do núcleo R0 coincide o primeiro ponto de retorno clássico.Ec é a altura da barreira e E é a energia da �.

é a altura máxima da barreira de potencial. Mais rigorosamente, levando-se em conta opotencial centrífugo e um potencial nuclear empírico proposto por G. Igo15, o fator deGamow se escreve como

Gl =0; 874

(1 + 4=Ares)1=2

Z b

R0

�2; 88 Zres

r+5; 23 (1 + 4=Ares) l (l + 1)

r2

�1 100 exp��r � 1; 17A

1=3

0; 574

�� E

�1=2dr;

cuja integral pode ser calculada numericamente.Voltando à Eq. (8.18) � onde l = 0 � e efetuando a integração obtemos a solução

15Em 1958, G. Igo [13] mostrou que os dados experimentais obtidos a partir dos decaimentos nuclearespor emissão-� poderiam ser mais �elmente reproduzidos usando-se o seguinte potencial

Vn+c (r) =2; 88Zres

r� 1 100 exp

"� r � 1; 17 A

1=3res

0; 574

#; (emMeV );

onde (Zres = Z � 2 e Ares = A� 4:)



analítica,

G =

�16� (Z � 2) e2b

~2

�1=2 "arccos

�R0b

�1=2��R0b� R20b2

�1=2#; (8.20)

com o ponto de retorno b dado por

b =2 (Z � 2) e2

E�: (8.21)

Das Eqs. (8.19) e (8.21) obtém-se uma relação entre os pontos de retorno, a energia da� e a altura da barreira,

R0b=E�Ec

; (8.22)

e G pode ser reescrito em termos da razão E�=Ec,

G =

�8�R20Ec~2

�1=2�E�Ec

��1=2 "arccos

�E�Ec

�1=2��E�Ec

�1=2�1� E�

Ec

�1=2#:

(8.23)Admitindo-se que a energia cinética da � está bem abaixo da altura da barreira E� �Ec, ou b � R0, e fazendo as aproximações pertinentes em (8.23) (arccosx = �=2�x� x3=6� :::), obtém-se uma expressão mais simples

G ��8�R20Ec~2

�1=2 "�

2

�EcE�

�1=2� 1#: (8.24)

Inserindo este fator de Gamow na Eq. (8.17) a constante de decaimento é escrita como

� = �0 exp

(��8�R20Ec~2

�1=2 "�

2

�EcE�

�1=2� 1#)

(8.25)

com a estimativa para a probabilidade reduzida �0 � 1021 s�1 tomada como sendoo inverso do tempo de passagem pela barreira16. Essa dedução para a constante de

16Uma aproximação adicional, usualmente encontrada, consiste em desprezar o termo �1 na expressãoentre colchetes, o que leva a

e�G � exp��2�2 (Z � 2) e

2

~v

�ou de forma mais geral, para duas partículas de cargas (z1e) e (z2e)

e�G � exp��2�z1z2e

2

~v

�;

onde v é a sua velocidade relativa. Em um contexto mais geral, e�G é um fator atenuante para a proba-bilidade de uma reação, ou captura de um núcleo por um outro, mais especi�camente uma fusão. Assim apossibilidade de fusão entre núcleos com grande valor do produto z1z2 é muito pouco provável. Por isso asreações termonucleares arti�cialmente produzidas envolvem apenas deutério e trítio, isótopos mais pesadosdo elemento hidrogênio.



decaimento é correta para transições entre estados de mesmo momentum angular, poisconsideramos l = 0. A constante de decaimento (8.25) descreve transições do tipoestado fundamental �! estado fundamental (0+ �! 0+) dos núcleos par-par; veja aFigura 8.6.

Figura 8.6: Transmutação nuclear com emissão de uma partícula � com transição estado funda-mental! estado fundamental, com l�= 0:

Se as transições ocorrerem entre níveis de energia de diferentes momenta angulares ediferentes paridades, a � carregará essa informação e poderá ser ejetada commomentumangular l� 6= 0. A título comparativo, apresentamos na Tabela 8.3, a razão de fatores depenetração Tl=T0 para diversos valores do momentum angular, de onde se veri�ca quea probabilidade de emissão diminui com o crescimento do valor do momentum angularl com que a � é ejetada do núcleo.

l� 0 1 2 3 4 5 6Tl=T0 1 0,84 0,60 0,36 0,18 0,078 0,028

Tabela 8.3: Fatores de penetração em função dos momenta angulares.

8.4 Previsões teóricas e valores empíricosAgora vamos usar a presente abordagem do decaimento � para veri�car a concordânciaentre valores medidos e as previsões teóricas. Pode-se reescrever, com vantagem, a Eq.


8.4 Previsões teóricas e valores empíricos 285

(8.25) como

log10 ��1 =

�log10 �

�10 +

4

~�2 (Z � 2)�e2

�1=2R1=20

��4� (Z � 2) e2

~

��2

�1=2�E�1=2� ; (8.26)

para estabeler uma relação entre a vida-média � ( � = ��1) de um nuclídeo AZX e aenergia da �. Nota-se que a Eq. (8.26) é da forma

log10 ��1 ' C2 � C1ZE�1=2� (8.27)

(compare com a expressão (8.1) de Geiger-Nuttall e note a diferença na dependencia emE�) e que os coe�cientes podem assim ser determinados. A expressão teórica prevê que,para Z �xo, o log do inverso da vida-média dos nuclídeos emissores � deve variar lin-earmente comE�1=2� , o que é con�rmado pelos resultados experimentais para a maioriadaqueles nuclídeos; veja a Figura 8.2. A seguir apresentamos alguns resultados rela-cionados com a emissão-�.

� A determinação das linhas de Geiger-Nuttall torna possível estimar o valor doraio R0 = r0A

1=3 do núcleo-pai a partir da Eq. (8.26). Este foi o primeirométodo usado para calcular os raios nucleares dos nuclídeos �-radioativos. Ovalor assim obtido para r0 é, sistematicamente, cerca de 20% maior do queaquele calculado usando outros métodos, veja Tabela 8.4.

Núcleo-pai E� (MeV ) log10 ��1 r0(fm)

208Po 5; 24 �9; 87 1; 43214Po 7; 84 3; 67 1; 56222Ra 6; 62 �1; 75 1; 59226Th 6; 41 �3; 43 1; 58236Pu 5; 85 �8; 09 1; 56

Tabela 8.4. Alguns nuclídeos pesados e as energias da partícula �. Na quarta coluna ovalor do parâmetro r0 calculado por este método.

� A desintegração espontânea de um núcleo é inibida por um alto fator G; nosnúcleos pesados, grandes valores de Z e b tendem a tornar G su�cientementegrande, proibindo praticamente o decaimento por emissão �. A título ilustrativovamos examinar o seguinte decaimento hipotético

20082 Pb �! 196

80 Hg + �+ E�

Para E� = 3; 3MeV , obtemos

b =2 (Z � 2) e2

E�� 70 fm;



que corresponde à largura da barreira na altura da energia E�, enquanto que oraio nuclear é R0 = r0A

1=3 = 1; 4 (196)1=3 � 8; 1 fm. O fator G � 111

implica uma vida-média

� = ��1 � 1027 s = 3� 1019 anos,o que mostra que o isótopo 20082 Pb é, de fato, estável quanto ao decaimento poremissão �. Entretanto, ele pode decair para o 20081 Ti pela captura de um elétronorbital (captura-K).

� A chamada série do urânio, que é uma seqüência de decaimentos � a partir donuclídeo 23892 U , é apresentada na Tabela 8.5; veja também a Figura 8.1

Eexp� R0 b G � exp(s) � teor(s)23892 U ! 234

90 Th 4; 27 8; 52 60; 7 0; 53 2; 0 (17) 3; 3 (17)23492 U ! 230

90 Th 4; 86 8; 49 53; 3 0; 51 1; 1 (13) 1; 1 (13)23090 Th! 226

88 Ra 4; 77 8; 45 53; 1 0; 51 3; 5 (12) 3; 9 (12)22688 Ra! 222

86 Rn 4; 87 8; 41 50; 9 0; 50 7; 3 (10) 7; 4 (10)22286 Rn! 218

84 Po 5; 59 8; 37 43; 3 0; 46 4; 8 (5) 4; 2 (5)21884 Po! 214

82 Pb 6; 11 8; 33 38; 7 0; 43 2; 6 (2) 1; 6 (2)21484 Po! 210

82 Pb 7; 84 8; 28 30; 1 0; 36 2; 3 (�4) 1; 1 (�4)21084 Po! 206

82 Pb 5; 41 8; 24 43; 7 0; 47 1; 7 (7) 5; 8 (5)

Tabela 8.5. Seqüência de decaimentos do nuclídeo 23892 U até o20682 Pb por emissão �.

Qexp é expressa emMeV e, R0 e b em fm. Nas duas últimas colunas comparam-seos tempos de vida-média experimentais e teóricos. Cada número entre parenteses é oexpoente de 10 que multiplica o número à esquerda.

onde também podemos identi�car decaimentos ��: Na primeira linha da Tabela 8.5,o 23490 Th decai para o 23492 U através da seqüência 23490 Th ! 234

91 Pa ! 23492 U ; na sexta

linha, o 21482 Pb decai como 21482 Pb! 21483 Bi! 214

84 Po; na sétima linha os decaimentossão 210

82 Pb ! 21083 Bi ! 210

84 Po. Nas duas últimas colunas podemos comparar ostempos de vida-média experimentais e teóricos é notável veri�car que as estimativassão compatíveis com os valores observados, exceto para o 21084 Po.

� Na Figura 8.7 encontramos o grá�co de log10 ��1 contra a função [14]

F (Z;E�) =�28; 9 + 1; 6 Z

2=3d

�� 1; 61 ZdE�1=2� (8.28)

que é semelhante, mas não igual à Eq. (8.26) de Gamow-Gurney-Condon. Aexpressão (8.28) foi obtida a partir de um ajuste empírico dos parâmetros pararesultar na melhor concordância com os valores experimentais, obtidos para umgrande número de nuclídeos. Essa concordância entre as duas expressões é, aindaassim, notável por se tratar de ummodelo bastante simples que não leva em contadetalhes da distribuição dos núcleons e nem envolve as forças nucleares.


8.4 Previsões teóricas e valores empíricos 287

Figura 8.7: Grá�co de log10 ��1 contra a expressão empírica C2 � C1ZdE�1=2� ; com os val-

ores da constantes C1 e C2 �xados para o melhor ajuste com os valores medidos para uma largagama de nuclídeos.



8.4.1 Espectros de decaimentos

Até aqui discutimos o decaimento � com momentum angular relativo l = 0, correspon-dendo a transições J�i = 0+ �! J�f = 0

+ do núcleo-pai para o núcleo-�lho. Porém,deve-se salientar que podem ocorrer transições (sempre entre estados de paridades pos-itiva) com J�i 6= J�f , correspondendo a diferentes valores de E� em um mesmo decai-mento, com diferentes probabilidades. Como exemplo ilustrativo vemos na Figura 8.8 O x pode ser minúsculo?

A soma dá resultado maior que1.

o decaimento do nuclídeo 24294 Pu por emissão �.

rotacional

8:jpg

Figura 8.8: Decaimento do 23894 Pu por emissão-�. Os números entre parênteses representam asprobabilidades para cada canal. Na realidade a probabilidade de transição 0+! 2+ é poucomenor que 0,28, de forma que a soma das probabilidades seja igual a 1.

O 23894 Pu, no estado fundamental J�i = 0+, decai para o 23892U que apresenta espectro

de uma banda rotacional, J�f = 0+; 2+; 4+; 6+; 8+::: , onde qualquer estado �nal podeser atingido, sendo que cada uma das transições envolvidas apresenta uma probabilidadeespecí�ca (que são os números entre parênteses). Entretanto, para isso, duas condiçõesdevem ser satisfeitas:a) A conservação da paridade

�i = ��f

onde �i e �f são as paridades antes e depois do núcleo decair e �� é a paridade da �.b) A regra triangular para os momenta angulares envolvidos

jJi � Jf j � l� � Ji + Jf :


8.5 Problemas 289

Do exemplo constatamos que o momentum angular da � pode tomar vários valores,l� = 0; 2; 4; 6 e 8; este comportamento permite determinar os níveis de energia de umnúcleo-�lho a partir da determinação do espectro das �´s.

8.5 Problemas1. Resolva a equação de Schrödinger para a energia potencial (8.4) e obtenha a funçãode onda (8.5).

2. Calcule os coe�cientes A e B em (8.6).

3. Obtenha as amplitudes dadas em (8.7) e (8.8). Quais são as diferenças de fase en-tre (1) a onda incidente e a transmitida, e (2) a onda incidente e a re�etida? Discuta oresultado.

4. Estabeleça uma relação entre (8.7) e (8.8) e discuta a física envolvida em funçãoda variação dos parâmetros.

5. Obtenha os coe�cientes (8.9) e (8.10).

6. Obtenha as expressões (8.18), (8.20) e (8.23).

7. No formalismo que descreve a emissão de partículas � por núcleos radioativos

AZX �! A�4

Z�2Y� + �+Q

(Q = Ei + E, onde Ei é a energia de excitação do núcleo-�lho A�4Z�2Y� e E é a soma

das energias cinéticas da partícula � e do núcleo-�lho no RCM), o fator de penetração,ou fator-G de Gamow, é de�nido como

G =2

~

Z b

R0

[2� (V (r)� E)]1=2 dr;

onde � e E são a massa e a energia cinética da partícula reduzida proveniente dos pro-dutos da reação (partícula � e núcleo-�lho A�4Z�2Y ), respectivamente. Dado que no RCMo núcleo AZX tem energia cinética nula, mostre que as energias cinéticas da partícula �e do núcleo-�lho (T�, TY ) são

T� � E

�1� 4

A

�; TY �

4

AE:

8. A partir da equação de Schrödinger deduza as expressões para os coe�cientes detransmissão e de re�exão para um feixe de partículas (não interagentes) que incidemcom energia cinética E sobre uma barreira de potencial retangular de altura V0 e largura



2a

V (x) =

8<: 0 para x < 0V0 para 0 � x � 2a0 para 2a < x

9. Considere o potencial unidimensional dado pela expressão

V (x) =

(V0

�1� x2

a2

�para jxj � a e V0 > 0

0 para jxj > a::

Use a aproximação semi-clássica (para o caso de barreira alta e larga, com E << V0)para calcular a probabilidade de tunelamento pela barreira por uma partícula de massam e energia E. De quanto muda a probabilidade se a massa for 4m?

8.6 Apêndice A: Energias de duas partículas no RCMPara um sistema de duas partículas de massas m1 e m e coordenadas ~r1 e ~r2 noRL, fazendo uma transformação de coordenadas, conforme visto no capítulo 6, ~r =~r1� ~r2, ~R = (m1~r1 +m2~r2) = (m1 +m2), coordenada relativa e de CM, respecti-vamente, as velocidades mantém as mesmas relações de transformação, ~v = ~v1� ~v2,~V = (m1~v1 +m2~v1) = (m1 +m2). Invertendo as relações das velocidades, resulta

~v1 = ~V +m2

M~v; ~v2 = ~V � m1

M~v;

onde M = m1 + m2. Com isso é imediato veri�car que a energia cinética das duaspartículas mantém a forma em qualquer um dos dois conjuntos de coordenadas

K = K1 +K2 =1

2m1~v

21 +

1

2m2~v

22 =

1

2�~v 2 +

1

2M~V 2

2

onde � = m1m2= (m1 +m2) é a massa reduzida do sistema.Para um observador situado no RCM, ~V = 0, ele verá as duas partículas movendo-

se, em sentidos opostos, ao longo uma reta, com velocidades

~v1;CM =m2

M~v e ~v2;CM = �m1

M~v: (8.29)

No RCM a energia das partículas é

KCM =1

2�~v 2

ou ~v 2 = 2KCM=�, que substituída no quadrado de cada uma das expressões em (8.29)dá

~v 21;CM =2m2

m1MKCM e ~v 212;CM =

2m1

m2MKCM :


8.7 Bibliogra�a 291

Estas últimas relações permitem expressar as energias de cada partícula como umafração da energia total no RCM,

K1;CM =1

2m1~v

21;CM =

m2

m1 +m2KCM ;

K2;CM =1

2m2~v

22;CM =

m1

m1 +m2KCM

e a razão das energias é inversamente proporcional à razão das massas,

K1;CM

K2;CM=m2

m1:

8.7 Bibliogra�a

[1] Rutherford E. e Geiger H., 1908, Proc. Roy. Soc, A81, 141; ibid. 162.

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física nuclear e partículas subnucleares - capítulo 8 – s. s. mizrahi & d. galetti

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