Capítulo 4.

Ondas de propagación.

Introducción: Muchos son los fenómenos naturales a los cuales asociamos el concepto abstracto de onda, quizás, los más conocidos son las ondas en la superficie del agua, el sonido, la luz y las ondas de radio. Menos conocido, tal vez, es el hecho de que los átomos, los electrones y las partículas subnucleares presentan propiedades tanto de ondas como de partículas (dualidad onda-partícula, teoría cuántica). Todos estos fenómenos, a pesar de ser físicamente distintos, comparten una descripción matemática similar (dentro de alguna aproximación adecuada) y un mismo concepto físico subyacente, ambos aspectos comunes constituyen el modelo abstracto de onda, cuyo estudio seguiremos a través de éste y los Capítulos siguientes. Para comenzar a entender el concepto físico de onda plateemos un ejemplo simple. Supongamos que tenemos muchas esferas idénticas, de masa , alineadas y apoyadas sobre una superficie sin fricción, como muestra la figura 1.

m

p

9 8 765432 1

La masa 1 posee inicialmente un impulso y una energía cinética p E m vpmc = =1

22

2

2 . En

un determinado momento choca contra la masa 2, al ser las masas idénticas, podemos concluir que, por conservación de la cantidad de movimiento y de la energía mecánica, todo el impulso y toda la energía mecánica se transfiere de la masa 1 a la masa 2, y por consiguiente la primera queda en reposo. Este proceso continua, transfiriéndose impulso y energía de masa en masa. A la propagación de la perturbación, que se manifiesta como una transferencia de energía e impulso, es a la que llamamos onda, en este caso, pulso de onda.

Figura 1: La energía e impulso se transfieren de masa en masa, a grandes distancias, sin producir grandes desplazamientos de las masas individuales.

Algo importante de notar es que, cuando le toca el turno de moverse a la masa 9, la onda se ha desplazado quizás varios metros, pero sin embargo las esferas se han movido muy poco de su posición inicial, la propagación de la onda no implica propagación de materia sino propagación de impulso y energía en el espacio y el tiempo. La onda que se propaga por medio de las esferas (medio de propagación) constituye un ejemplo de un tipo especial de onda conocida con el nombre de onda longitudinal. Estas ondas se distinguen por que se propagan en el mismo sentido en que se mueven las partículas (o el medio). Un ejemplo clásico de ondas longitudinales son las ondas sonoras. El otro tipo de ondas lo constituyen las llamadas ondas transversales, en donde la onda se propaga en una dirección que resulta perpendicular al movimiento de las partículas (o el medio). Ejemplos clásicos de este tipo de ondas lo constituyen las ondas en el agua y la luz. Al tirar una piedra en el agua (pequeña perturbación), se forman ondas circulares que se expanden en dirección radial hasta desaparecer. Pero las

79

partículas de agua “casi” no se desplazan en esa dirección, sino que realizan un movimiento de subida y bajada alrededor de su posición de equilibrio, o sea que mientras la onda se propaga en dirección radial las partículas oscilan transversalmente al sentido de propagación, lo cual puede verificarse fácilmente colocando un pedacito de corcho en la superficie del agua. Si la perturbación es intensa, la descripción de ondas en el agua se complica ya que también se observa un desplazamiento longitudinal del fluido. Luego veremos que, las ondas tienen asociada una velocidad de propagación cuyo valor depende del medio en que se propagan. En éste Capítulo estudiaremos la descripción matemática de la onda así como el concepto físico subyacente. Nos centraremos en ondas de propagación, y estudiaremos una idealización de onda llamada onda armónica, que aunque no existe como tal en el mundo real, resulta una representación matemática muy útil para describir ondas más complejas. Estudiaremos la reflexión y transmisión de una onda a través de un medio, y dejaremos para el Capítulo siguiente el estudio de las ondas estacionarias. Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 4, 7, 11, 12, 13 y 18 1. Ejercicio Teórico: Ondas de Propagación unidimensionales. Con éste ejercicio pretendemos comenzar a estudiar la forma en que puede representarse matemáticamente la propagación de una onda, en una dimensión. Comenzaremos estudiando sistemas ideales, en donde, introducida una perturbación sobre un medio, ésta se propaga en una única dirección sin deformación ni cambio de amplitud, o sea, se propaga sin cambiar su forma. A este tipo particular de ondas se las denomina ondas planas, luego cuando analicemos ondas propagándose en el espacio quedará justificado el nombre. Veremos que no es la única forma en que se manifiestan los fenómenos ondulatorios, como ejemplo, estudiaremos ondas esféricas que se expanden radialmente en todas las direcciones a partir de una fuente y no en una sola dirección como en el caso de una onda plana y su amplitud disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente. Para fijar ideas, comencemos con un ejemplo de propagación de una onda transversal propagándose sobre una cuerda ideal sin deformarse (onda plana). En la figura 2 se muestra un pulso de onda transversal propagándose sobre la cuerda, en el instante t = 0 (foto de la cuerda en el instante t = 0), Este pulso no tiene mucho sentido físico, ya que la cuerda se halla muy deformada en los puntos 1 y 3 (no existe la derivada) por lo cual las tensiones allí resultan infinitas.

1

5 6 7

Ψ

v=2cm/seg

4 2 3 1 x

Figura 2: “Foto” de la cuerda en el instante inicial (pulso de onda).

Suponemos que el pulso se mueve hacia la derecha sin deformación (no se deforma al avanzar) a . segcmv /2=a) Dibujar la forma del pulso en los instantes t seg= 1 2 3, y .

80

b) Discuta sobre como se mueven las partículas que forman la cuerda. Suponemos que la cuerda es ideal y por ello postulamos que las partículas que la forman no se desplazan para nada sobre la dirección de propagación de la onda (eje x), es decir, la onda es perfectamente transversal.

c) Importante. En el instante t , ¿Qué segmentos de la cuerda se están moviendo hacia arriba? ¿Cuáles se están moviendo hacia abajo? ¿Existe algún elemento de la cuerda que esté instantáneamente en reposo?.

= 0

Ayuda: Haga un esquema del pulso en un instante ligeramente posterior y anterior para ver como se ha movido cada partícula de la cuerda, ¿hacia arriba o hacia abajo?.

d) En base a lo discutido en el ítem anterior, haga un esquema cualitativo de la velocidad de cada segmento de cuerda en el instante t = 0 .

e) Verifique que el desplazamiento transversal (eje y) de cada segmento de la cuerda puede representarse en t , por la función, = 0

(1) o x

xxxfy

3 x131

sisi

0

1)2()(

2

><≤≤

⎩⎨⎧ +−−

==

La función corresponde a una representación matemática de la foto de la cuerda a t .

)(xfy == 0

f) A partir de la descripción matemática de la perturbación en el instante t (función ), queremos hallar una función que describa la perturbación (desplazamiento a

partir del equilibrio) para un instante cualquier, dicho en lenguaje físico, pretendemos encontrar la función de onda correspondiente a dicha perturbación.

= 0)(xf

t

Dicha función de onda, que denominamos ),( txΨ , determina el desplazamiento transversal de la cuerda (eje y), depende de dos variables la posición x del segmento de la cuerda considerado y el instante t en que se observa la perturbación.

Dado un instante t fijo, ′ ),( tx ′Ψ nos da la foto de la cuerda en ese instante particular. Y dado un punto de la cuerda fijo, ubicado en una posición , x′ ),( tx′Ψ nos da la evolución del segmento en el tiempo, es decir, el movimiento transversal del segmento de cuerda.

Sabemos que la perturbación (onda) se desplaza con una velocidad seg

cmv 2= hacia la derecha. Cada segundo que pasa, la perturbación se desplaza, sin deformarse (idealización), hacia la derecha, y en forma general, luego de transcurrido un tiempo la perturbación se desplaza una distancia igual a , hacia la derecha. En base a este razonamiento intuimos que la función de onda puede representarse por la función pero desplazada adecuadamente para cada instante considerado.

cm2t vt

),( txΨ)(xf

Nosotros conocemos como desplazar una función una cantidad , simplemente reemplazando el argumento por

vtx vtx − , es decir, ( ) )( vtxfxf −→ . Por ello,

definimos como función de onda de ésta perturbación a:

(2) ( )[ ] x-vt o vtx

vtxvtxvtxftx3

sisi

><−≤−≤

⎩⎨⎧ +−−−

=−=Ψ1

310

12)(),(2

Note que también los intervalos cambian. g) Verifique que la función de onda propuesta funciona bien para los instantes

t seg= 1 2 3, y estudiados gráficamente en el ítem a). Vuelva a graficar usando la función de onda.

81

h) Importante. A partir de la función de onda hallada, grafique el desplazamiento transversal del segmento de cuerda ubicado en la posición cmx 4= , en función del tiempo.

i) Halle la velocidad y aceleración de una partícula que forma parte de la cuerda (recordar que la partícula se mueve transversalmente), en la posición x m= 0 1, y en

, en función del tiempo. Grafique. mx 2=j) Ahora suponga que, en lugar de moverse hacia la derecha, la onda se mueve hacia la

izquierda (sentido negativo de las ), con el mismo valor de velocidad, halle la nueva función de onda.

x

Comentario: Cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición sea del tipo ) (),( tvxftx ±=Ψ puede representar la evolución de una onda que se propaga en una única dirección y sin deformación. A este tipo particular de ondas las denominamos ondas planas. Cuando la onda se propaga en un sistema con más de una dimensión, su descripción matemática resulta distinta de la que mostramos en el caso de una onda plana unidimensional. Luego describiremos brevemente el caso de ondas esféricas, en donde la onda se expande radialmente a partir de un punto o fuente de ondas. Las ondas que se propagan sin deformación son sólo una idealización matemática, ya que en la Naturaleza la generalidad de los fenómenos ondulatorios se manifiestan en medios dispersivos, por lo cual, se produce una deformación continua de la onda. Por suerte para nosotros, las ecuaciones de Maxwell que rigen la evolución dinámica de los campos electromagnéticos (ondas electromagnéticas), aceptan como solución ondas no dispersivas (en el vacío), entre las cuales se hallan las ondas luminosas. 2. Recomendado. Suponga que las siguientes funciones representan la propagación de ondas planas: I. ( ))34(2cos 3),(1 txtx +=Ψ II. )t20x 5(

2 2),( −−=Ψ etx

III. Ψ3 2( , ) senx t t

x= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

IV. ( )Ψ4 ( , )x t e= i x- tπ

En donde se expresa en metros, t en segundos. xa) En las funciones de onda anteriores, agregue las unidades que faltan en los números

que allí aparecen. b) ¿Qué argumento utiliza para justificar que estas funciones de onda pueden

representar a una onda en movimiento?. c) ¿Las ondas son dispersivas o no-dispersivas (conservan su forma)?. Discuta. d) Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso.

Ayuda: piense en lo que hizo en el ejercicio anterior. Resp. I. v m

seg= −34 , II. v mseg= 4 , III v m

seg= 2 , IV v mseg= π

e) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes aprendidos en los ejercicios 1 y 2.

82

3. Repaso. En el instante t , la forma de un pulso de onda sobre una cuerda viene

dada por la función:

= 0

Ψ( , ) ,x mm x

0 0 124

3

2=+ 2 , en donde está en metros. x

a) Dibujar Ψ( , )x 0 en función de . x Suponiendo que la onda se propaga sin deformarse, b) Hallar la función de onda Ψ( , )x t para un tiempo t cualquiera si el pulso se está

moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las ) con una velocidad de x10m seg/ .

c) Grafique la perturbación en el instante segt 1= . d) Grafique el desplazamiento transversal del segmento de cuerda ubicado en la

posición , en función del tiempo. mx 1=e) Hallar la función de onda Ψ( , )x t para un tiempo t cualquiera si el pulso se mueve

hacia la izquierda (sentido negativo de las ) con una velocidad de 10x m seg/ . f) Halle la velocidad y aceleración de una partícula, que forma parte de la cuerda, en la

posición x m= 0 1, . Grafique. 4. Guía Teórica: Ondas armónicas. Un ejemplo de onda plana, importante por sus aplicaciones en muchos fenómenos físicos, lo constituyen las ondas armónicas. Aunque este tipo de onda es una idealización y, por consiguiente, no existe en la naturaleza, veremos que cualquier onda (real) puede expresarse como superposición de ondas armónicas (ideales). Podemos construir una onda armónica partiendo de una función armónica, como el seno o el coseno o cualquier traslación o dilatación de estas, y propagarla en el espacio a medida que transcurre el tiempo (con velocidad v ) como lo venimos haciendo hasta ahora, es decir, trasladando el argumento de la función de a x vtx − . Supongamos que estudiamos una onda armónica que se propaga sobre una cuerda infinita. En el instante inicial ( 0=t ) la cuerda posee una deformación armónica, como la que se muestra en la figura 3 (piénselo como si fuera una foto de la cuerda sacada en el instante ). 0=t

Observe que cada ciclo armónico posee una longitud, que llamamos “longitud de onda” y la notamos con la letra griega λ (con unidades de longitud). Note la equivalencia, y diferencia, existente entre la longitud de onda y el período de una función armónica. Mientras que el período indica la duración temporal del ciclo, la longitud de onda indica la extensión espacial del ciclo. Usando esta equivalencia, podemos proponer una función armónica que describa la deformación inicial de la cuerda como,

λ

Figura 3: Longitud de onda de una onda armónica (“foto” de la cuerda en el instante inicial).

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

==Ψ xAtx 2sen )0,( (1)

83

donde la función )0,(xΨ indica cuán desplazada está la cuerda en cada punto (en la dirección y), respecto de su forma relajada. Note que debe pasar desde hasta

para que el argumento complete un ciclo, o sea: x 0=x

λ=x

0022=

λπ

=λπ x a π=λ

λπ

=λπ 222 x .

Ya tenemos la función de onda en el instante inicial, sólo nos hace falta darle movimiento. Para ello trasladamos el argumento de la función de a x vtx − , y por ende la función de onda armónica, tiene la pinta (podríamos agregarle una fase inicial),

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λπ

=Ψ )(2sen ),( vtxAtx (2)

Para fijar ideas, grafiquemos la función de onda para varios tiempos (ver figura 4). Para ello, usamos el programa Mathematica con los valores mA 001.0= , m1=λ y seg

mv 1= , y el tiempo variando entre 0 y 1seg con un incremento de 0,2seg, lambda=1; a=0,001; v=1; psi[x_,t_ ]=a*Sin[(2 Pi/lambda)*(x-v*t)]; Do[ Plot[psi[x,t],{x,0,2*lambda},Axes->None, PlotPoints->500,AspectRatio->0.15, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}], {t,0,1,.2}] Si además une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará el desplazamiento de la onda (consulte).

84

λ

t=0,2

vt vt

t=0,4

t=0,6

t=0,8

t=1

Figura 4: Gráfica de la evolución de la cresta de una onda armónica y movimiento oscilatorio de un punto particular de la cuerda.

t=0

vt vt vt

Note, en la figura 4, como avanza hacia la derecha la cresta de la onda, de acuerdo a los datos que hemos impuesto, la onda tarda 1 segundo en avanzar 1 metro, que en este ejemplo concuerda con la longitud de onda m1=λ . Hemos también destacado el movimiento del segmento de la cuerda que inicialmente se halla sobre la primera cresta (punto redondo), a medida que la onda avanza, el punto efectúa un movimiento periódico transversal, es decir, hacia abajo y hacia arriba. Note que transcurrido un tiempo igual a 1 segundo, el punto ha vuelto al lugar donde comenzó su movimiento, de esta forma, la foto de la cuerda en el instante t seg= 1 es idéntica a la foto en el instante inicial t seg= 0 (el período de oscilación es T seg= 1 ). La expresión 2, es una de las formas en que es posible expresar a una onda armónica de longitud de onda , que se desplaza hacia la derecha con velocidad v (velocidad de propagación o de fase). Pero hay otras formas de escribirla que nos ayudarán a “cazar mejor la onda”.

λ

Supongamos que queremos analizar, ¿cómo es el movimiento de cada punto (o partícula) que forma parte de la cuerda?. Para ello sólo hace falta darle el valor a la

85

variable , correspondiente a la posición del punto que deseamos estudiar. Para facilitar el razonamiento vamos a estudiar el movimiento del punto

x0=x (que es cualquiera), y

su movimiento viene descripto por la función armónica,

( tAvtAvtAtx ω−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λπ

==Ψ sen 2sen )0(2sen ),0( ) (3)

Físicamente significa que la partícula localizada en 0=x oscila, hacia arriba y hacia abajo permanentemente (transversalmente, en este ejemplo), y con frecuencia angular,

vλπ

=ω2 (4)

A partir de esta expresión podemos hallar el período de oscilación, recordando que

Tπ

=ω2 , o sea,

vT λ= o

Tv λ= (5)

en el ejemplo, de la figura 4,

Tv

seg= =λ

1

A partir de 5, la frecuencia de oscilación resulta,

λ=

vf o λ= fv (6)

Como vemos, de las expresiones 5 o 6 (llamadas relaciones de dispersión), la longitud de onda y el período se hallan relacionados a través de la velocidad de propagación de la onda, que como veremos, depende fuertemente del medio en donde se propaga. Como ejemplo, podemos pensar en una señal sonora que se propaga en aire y luego en otro material, por ejemplo acero. La velocidad de propagación es distinta en ambos medios. Como luego veremos, la frecuencia no cambia al pasar de un medio al otro (esto tiene que ver con la conservación de la energía y momento), por consiguiente la onda cambia su longitud de onda. De las ecuaciones 5 y 6, vemos que la relación entre la frecuencia y la longitud de onda es inversamente proporcional. Como ejemplo, podemos pensar en las ondas electromagnéticas. En la luz visible, la luz violeta es la de mayor frecuencia y por ende la de menor longitud de onda, mientras que la luz roja corresponde a la menor frecuencia y mayor longitud de onda. Bajando la frecuencia, aparece el infrarrojo, las microondas, las ondas de radio, etc., y mientras menor es la frecuencia mayor es la longitud de onda. Llegado a este punto, podemos escribir a la onda armónica de varias maneras distintas,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λπ

=Ψ )(2sen ),( vtxAtx (7)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−λπ

=Ψ tT

xAtx 22sen ),( (8)

86

Podemos definir una nueva variable,

λπ

=2k (9)

a la que llamamos número de onda que tiene unidades de (note la similitud

con la frecuencia angular

metro/1

Tπ

=ω2 ). Luego veremos que este número de onda en

realidad es un vector que indica la dirección de propagación de la onda plana en el espacio tridimensional (no confundir k con la constante elástica del resorte) . A partir de definir el numero de onda, la función de onda puede expresarse,

( )tkxAtx ω−=Ψ sen ),( (10) o también,

( ))(sen ),( vtxkAtx −=Ψ (11) Las expresiones 7, 8, 10 y 11 son formas equivalentes de expresar una función de onda armónica, quizás la más usada es la 10. En función del número de onda k y la frecuencia angular ω, podemos reescribir la relación de dispersión 6 como,

ω= v k. (12) Por supuesto, lo que hemos dicho para la función seno también vale para la función coseno y para cualquier translación de estas funciones, por lo cual la función más general debe incluir una fase δ arbitraria, es decir,

( )δ+ω−=Ψ tkxAtx sen ),( (13) Si queremos representar una onda que se desplaza hacia la izquierda, sólo debemos modificar el signo relativo entre las variables x y t,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= + +ω δ (14) Ejercicio: Verifique que la onda armónica,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= − − +ω δ también se desplaza hacia la izquierda. Como ya hemos aclarado, la onda armónica es sólo una idealización ya que representa una onda plana que se extiende infinitamente en el espacio y que no tiene inicio ni fin en el tiempo. Pero como ya veremos, resulta útil para representar ondas reales como superposición de ondas armónicas. Comentario: Luego comprobaremos que si el medio es lineal, es decir, si las ecuaciones dinámicas, que rigen la evolución del sistema, son lineales, la velocidad de propagación (o fase) no depende de la longitud de onda, todas las ondas armónicas se propagan con la misma velocidad. Si una onda se halla compuesta por la superposición de muchas ondas armónicas, de diferente longitud de onda, propagándose en un medio lineal (no dispersivo), su forma no cambia en el tiempo, debido a que todas las ondas avanzan con la misma velocidad. Pero si se propaga en un medio no lineal (dispersivo), la velocidad de propagación resulta distinta para cada onda, por lo cual, las componentes de distinta longitud de onda se dispersan, cambiando la forma de la onda total. Ejercicio. Dada la ley de movimiento armónico expresada por la función,

87

( )Ψ( , ) senx t A x t= − −2 3 a) ¿En qué sentido se propaga la onda, hacia la izquierda o hacia la derecha? b) Verifique que es posible reescribir a la función de onda armónica como,

( )Ψ( , ) senx t A x t= + +2 3 π c) Halle el número de onda y la frecuencia angular k ω . d) Halle la longitud de onda λ , el período T y la frecuencia . fe) Halle la velocidad de propagación de la onda (velocidad de fase). f) Exprese Ψ( , )x t en función de λ y T . g) Exprese Ψ( , )x t en función de y k . vh) Grafique con el Mathematica dándole animación. Onda armónica compleja. En el capítulo 1 hemos estudiado las funciones armónicas complejas, a partir de ellas, resulta inmediato proponer una onda armónica compleja (onda plana compleja), de la forma,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]Ψ x t A e A kx t kx t, cos sen= = − + + −− i i kx t+ω δ ω δ ω δ+ (14)

La onda se desplaza hacia la derecha con velocidad vk

=ω

, pero además el número

complejo gira, en el plano complejo, en sentido antihorario describiendo una hélice, ver figura 5.

Eje Real

λ

t=0 t=T

x

Eje Imaginario Figura 5: Gráfica de la evolución de la onda armónica compleja ( )A e i kx t−ω ,en el tiempo. Note que transcurrido un período T completo, el número complejo ha girado una vuelta (en el plano complejo), mientras que ha avanzado una longitud de onda λ (verifique). En Física Clásica, la utilización de ondas complejas sólo se justifica en que resulta más simple trabajar con ellas, pero finalmente, sólo la parte real de la onda posee sentido físico. En cambio, en Física Cuántica, la función de onda que describe el estado de un sistema resulta intrínsecamente compleja (aunque resulte difícil imaginarlo), o sea, ambas componentes, real e imaginaria, son necesarias para la descripción del sistema. 5. Repaso. Una onda armónica se propaga por una cuerda infinita. Su función de onda es: ( )Ψ( , ) , senx t x t metros= −0 1 10 π π

a) Si x se mide en metros y el tiempo en segundos, agregue las unidades que faltan en la función anterior.

b) Halle el número de onda k y la longitud de onda λ .

88

c) Halle la frecuencia angular ω , la frecuencia f y el período T . d) Halle la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Resp. v m

seg= 10 e) Grafique con el Mathematica dándole animación. f) Escriba la función de onda como la parte real de una onda armónica compleja. 6. Repaso. Las ondas electromagnéticas como la luz, infrarrojo, ultravioleta, microondas etc., pueden descomponerse en ondas armónicas. Sabemos que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío es c m

seg= 3 108 . a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para el cual el ojo es sensible abarca

desde a 7 1 , aproximadamente. ¿Cuáles son las frecuencias correspondientes a esas longitudes de onda?.

4 10 7. − m 0 7. − m

Comentario: en la siguiente tabla se detallan los rangos de longitud de onda y

frecuencia para distintos colores (Arco Iris),

769659390455Violeta659610455492Azul610520492577Verde520503577597Amarillo503482597622Naranja482384622780Rojo

−−−−−−−−−−−−

λ Hz1210 = THz en m-910=nm enColor f

b) Cerca de la luz en el espectro está la región del ultravioleta 8 1 a ,

¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda? 014 Hz 3 1017 Hz

c) La región de infrarrojo se extiende aproximadamente de 3 1 hasta 4 1 , ¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?

011 Hz 014 Hz

d) La región de microondas se extiende de alrededor de 30 a 1 . ¿Cuál es el intervalo de frecuencias?.

cm mm

7. Guía teórica. Ecuación lineal de ondas. Aún no hemos demostrado que una onda plana sirva para describir la evolución dinámica de algún sistema físico. Para demostrarlo, deberíamos plantear las leyes de Newton, que rigen la evolución del sistema en cuestión, y ver si la onda plana resulta ser solución de las ecuaciones diferenciales dinámicas. Este proceso debe repetirse para cada sistema físico particular (cuerdas, aire, sólidos, etc.). En esta guía no resolveremos ningún sistema físico, simplemente haremos un tanteo matemático para conocer que pinta pueden llegar a tener las ecuaciones diferenciales para que las ondas planas sean solución de ellas. Luego deberemos comprobar si las leyes de Newton nos llevan a ese tipo de ecuaciones o no, para algún sistema físico. El tanteo, es una herramienta muy utilizada en física, pero no existen reglas fijas para tantear, es un procedimiento puramente intuitivo y casi mágico. Tanteemos: Sabemos que cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición es del tipo,

) (),( tvxftx ±=Ψ (Onda plana) (1) donde es una función continua y dos veces derivable, puede representar la evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección sin deformación.

)(xf

89

Pensando en la segunda ley de Newton F mx= &&, queremos construir (inventar) una ecuación diferencial de segundo orden, de tal forma que la onda plana sea solución de ella. Notamos que la función de onda no depende arbitrariamente de la posición y del tiempo, sino que su dependencia funcional es muy particular, la posición y el tiempo aparecen siempre acoplados en la forma x vt± . Esto nos lleva a intuir que las derivadas parciales de la función de onda respecto de la posición están relacionadas con las derivadas parciales respecto del tiempo. En este sentido, demostraremos que la función de onda satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:

∂∂

∂∂

Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= ±1

(2)

Esto último puede demostrarse fácilmente apelando a la regla de la cadena. Si definimos una nueva variable,

z x vt= ± (3) entonces, aplicando la regla de la cadena,

( ) ( ) ( )∂Ψ

∂

∂Ψ

∂

∂

∂

∂Ψ

∂

x tx

x tz

zx

x tz

, ,

= =

, (4)

ya que ∂

∂

zx= 1. E igualmente,

( ) ( ) ( )(∂Ψ

∂

∂Ψ

∂

∂ )∂

∂Ψ

∂

x tt

x tz

zt

x tz

v t, , ,

= = ± (5)

ya que ∂

∂

zt

v t= ± . Luego, a partir de despejar ( )∂Ψ

∂

x tz

,

de las ecuaciones 4 y 5 e

igualarlas, se demuestra que se satisface la ecuación 2. Hemos demostrado que las ondas planas son una de las posibles soluciones de la ecuación diferencial en derivadas parciales 2, pero no sabemos si existen más soluciones. La ecuación diferencial en derivadas parciales 2 es muy linda pero no nos sirve, ya que no es de segundo orden como la segunda ley de Newton. Por ello seguimos tanteando, pero intuimos que no nos va a costar mucho obtenerla si repetimos el procedimiento anterior. Queda como ejercicio para el lector demostrar que cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición sea del tipo,

) (),( tvxftx ±=Ψ (onda plana) donde es una función continua y dos veces derivable (representa la evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección y sin deformación), satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y de segundo orden:

)(xf

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

1Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= (Ecuación lineal de ondas) (6)

Notar que, a diferencia de la ecuación 2, la ecuación 6 es la misma para ondas planas que se propagan hacia la derecha o hacia la izquierda. La demostración de que una onda plana satisface la ecuación 6 no difiere de lo que hemos usado para demostrar la ecuación 2 (queda como ejercicio para el lector). La ecuación 6 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, por lo cual, podría llegar a ser la ecuación dinámica de algún sistema físico (unidimensional), pero aún no tenemos ningún argumento para asegurarlo.

90

Ejercicio Importante: Demuestre que las ondas planas ( ) ( )Ψ1 x t A kx t, sen= − ω δ+)

y satisfacen la ecuación de ondas 6. ( ) (Ψ2 x t A e, = − i kx t+ω δ

Comentario: Si la ecuación diferencial lineal de ondas 6, describiera los fenómenos ondulatorios de un sistema físico real, todas las ondas se propagarían con la misma velocidad , independiente de su forma, su longitud de onda o frecuencia (medio no-vdispersivo). Por ejemplo, si una onda se halla compuesta por la superposición de muchas ondas armónicas, de diferente longitud de onda, su forma no cambia en el tiempo debido a que todas las ondas avanzan con la misma velocidad. Si se propaga en un medio no lineal (medio dispersivo), la velocidad de propagación resulta distinta para cada onda, por lo cual, las componentes de distinta longitud de onda se dispersan, cambiando la forma de la onda total. Hasta ahora sólo hemos estudiado la representación matemática de ondas ideales que se propagan sin deformación en el espacio-tiempo, y no hemos estudiado aún si estas funciones matemáticas pueden servir para representar la evolución de un sistema físico real. Es más, enfatizamos que hasta el momento, sólo hemos demostrado que toda onda plana, la cual puede ser descripta matemáticamente en la forma mostrada en la ecuación 1, satisface una ecuación lineal de ondas como la ecuación 6. Además, aún no sabemos si la ecuación lineal de ondas 6 tiene otro tipo de soluciones (tales como ondas esféricas y cilíndricas, que estudiaremos en el capítulo 8). Luego, en éste capítulo, estudiaremos sistemas físicos reales, como por ejemplo una cuerda oscilante, para los cuales la ecuación 6 resulta naturalmente como ecuación dinámica del sistema (luego de plantear las leyes de Newton y realizar algunas aproximaciones), es decir, en esos sistemas la ecuación 6 representa una forma complicada de escribir la segunda ley de Newton (F ma= ). Y por consiguiente, en esos sistemas (bajo ciertas aproximaciones), las ondas planas que hemos estudiado, sirven como representación matemática de la evolución dinámica del sistema físico real. En la generalidad de los sistemas físicos reales, luego de plantear las leyes de Newton, se obtienen ecuaciones de ondas como la 6, sólo luego de haber considerado alguna aproximación o modelo ideal, ya que, en general en los sistemas físicos reales las ondas se deforman mientras evolucionan (sistemas dispersivos). Las aproximaciones generalmente consisten en considerar ondas de pequeña amplitud de tal forma que puedan despreciarse los términos no-lineales de las ecuaciones dinámicas. En el caso de las ondas electromagnéticas (por ejemplo, las ondas de luz), la ecuación lineal de ondas 6 se deduce directamente, y sin ninguna aproximación, de las leyes del electromagnetismo (leyes de Maxwell). Por sólo este hecho, la ecuación lineal de ondas 6 resulta de fundamental importancia en la física. Linealidad de la ecuación de ondas: La ecuación de ondas 6 es lineal, y la propiedad más importante de las ecuaciones lineales es que vale el principio de superposición, es decir, si Ψ y Ψ son soluciones de la ecuación, la combinación lineal

es también solución, donde a y b son constantes. 1 ( , )x t 2 ( , )x t

Ψ Ψ3 1= +a b Ψ2

Ejercicio: Queda como ejercicio para el lector demostrar que Ψ3 ( , )x t satisface la ecuación lineal de ondas. ¿Cuál es el significado físico de que Ψ3 ( , )x t sea solución de la ecuación?.

91

Comentario: Para entender lo que significa que la ecuación de ondas sea lineal, podemos pensar en el ejemplo de dos ondas que se propagan en un medio (por ejemplo el agua), una hacia la derecha y otra hacia la izquierda. En un momento las ondas se superponen. Si el medio es lineal las ondas cuando se separan continúan moviéndose imperturbadas, la superposición no produjo ningún cambio en ellas, es como si no hubieran interactuado para nada entre sí. En cambio si el medio es no-lineal (como en realidad sucede con el agua), entonces la superposición de las ondas afecta a ambas, existe una interacción entre ellas que las modifica. Otro ejemplo que luego analizaremos en detalle, es el de dos parlantes emitiendo simultáneamente la misma onda. Si sólo el parlante número 1 se halla encendido, la onda sonora se describe por una función de onda Ψ1 ( , )x t (que representa la variación de presión o densidad del aire). Si se apaga el parlante 1 y se enciende el 2 obtenemos otra onda que denominamos Ψ . 2 ( , )x t Finalmente prendemos los dos parlantes a la vez, la pregunta del millón es ¿La onda resultante, de la superposición de las perturbaciones producidas por ambos parlantes, puede modelarse por la suma de las ondas 1Ψ y 2Ψ ?, es decir, ¿la función de onda Ψ Ψ Ψ3 1 2( , ) ( , ) ( , )x t x t x t= + describe correctamente el problema físico?. La respuesta es: no necesariamente. Resulta difícil creerlo, sobre todo teniendo en cuenta nuestra educación tradicional que nos estructura a actuar sistemáticamente, estamos acostumbrados a pensar que “si se suman dos causas, entonces, se suman sus consecuencias”, lo cual en la mayoría de los casos es incorrecto. Ésta frase es sólo cierta si el problema que analizamos puede modelarse por una ley dinámica lineal, que en la mayoría de los casos no sirve para representar la realidad. Ondas en el espacio: La ecuación 6 describe la evolución en el tiempo de una onda, no dispersiva, que se propaga en una dimensión (eje x). En el caso de ondas que se propagan en el espacio (ondas tridimensionales), la ecuación de ondas debe modificarse. Las ondas planas son la única solución de la ecuación de ondas unidimensional 6, pero cuando aumentamos la dimensión del espacio aparecen nuevas soluciones que representan otro tipo de ondas no-dispersivas. Por ejemplo, si tenemos un recipiente con agua y, en algún punto de la superficie, agitamos suavemente, hacia arriba y hacia abajo, vemos como se producen ondas bidimensionales, que se propagan por la superficie del fluido, formando círculos concéntricos. Al golpear con un palillo el parche de un tambor, o una superficie delgada metálica, generamos ondas bidimensionales, la propagación de estas ondas superficiales, a su vez, genera vibraciones en el aire circundante, que luego se traducen en ondas acústicas tridimensionales, las cuales seguramente no se propagan como ondas planas en las inmediaciones de la superficie. Si consideremos una fuente puntual de luz, como una lámpara muy pequeña, la radiación que emana de ella lo hace en forma de ondas tridimensionales que se propagan isotrópicamente por todo el espacio denominadas ondas esféricas. Por el momento, sólo estudiaremos fenómenos ondulatorios unidimensionales, y postergamos el estudio de ondas en el espacio al Capítulo 8.

92

8. Guía Teórica. Pequeñas oscilaciones transversales en una cuerda. En está guía estudiaremos la propagación de ondas transversales en una cuerda. Plantearemos las leyes de Newton que rigen la evolución dinámica del sistema, y luego de hacer una aproximación, comprobaremos que la ecuación dinámica resulta equivalente a la ecuación de ondas lineal (ec. 6, guía teórica 7 ), y por consiguiente podremos describir a la onda mediante una función de ondas no-dispersiva (bajo ciertas aproximaciones), como las estudiadas anteriormente. Analizaremos la aproximación de pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio, con lo cual resulta posible despreciar los términos no-lineales de las ecuaciones dinámicas, y de esta forma, obtener una ecuación de ondas lineal. Fuera de esta aproximación, la ecuación dinámica resulta no-lineal y por consiguiente las ondas se deforman en su propagación. Denominamos a la función que describe el desplazamiento del segmento de la cuerda ubicado en la posición x, en el instante t, ver figura 8,

),( txΨ

x

y=Ψ(x,t)

x Figura 8: “Foto” de la cuerda a tiempo fijo Suponemos que la cuerda posee una masa por unidad de longitud µ y consideramos que en el equilibrio, la cuerda posee una tensión F (cuando no se halla perturbada).

0

Con el fin de estudiar la evolución dinámica de la cuerda, debemos analizar las fuerzas actuantes en cada segmento de ella (tensiones elásticas). En la figura 9 se ha aislado un segmento de cuerda, de longitud ∆x .

Figura 9: Fuerzas actuantes sobre un segmento de cuerda.

F1

F2

∆x∆y

θ2

θ1 Don de F y F son las tensiones a la que se halla sometida la cuerda en los puntos 1 y 2, cuando se la aparta de su equilibrio.

1 2

Como dijimos, estudiaremos sólo pequeñas oscilaciones, es decir, consideramos que la cuerda se aparta muy levemente de su posición de equilibrio, por consiguiente, suponemos que los ángulos θ y θ son muy pequeños. A partir del gráfico, planteamos la fuerza neta sobre el segmento de cuerda,

1 2

F F Fy =∑ −2 2 1sen senθ 1θ y F F Fx =∑ −2 2 1cos cos 1θ θ (1) Para pequeñas oscilaciones (θ muy pequeño), podemos aproximar que,

cos sen tgθ θ θ≅ ≅1 y (aproximación lineal) (2)

93

y tomar la aproximación de que la tensión de la cuerda no se ha modificado por la aparición de la perturbación, es decir,

F F F1 2 0= = (aproximación lineal) (3) Bajo ésta aproximación, podemos reescribir la fuerza neta, sobre el segmento de cuerda, en la siguiente forma

( )F Fy = −∑ 0 2tg tgθ θ1 y Fx∑ = 0 (4) Observe que la función tangente puede relacionarse con la función ),( txΨ , a través de,

tg,

θ∂

∂

∂

∂= =

( )

(

y )xx

x txΨ

(5)

con lo cual, podemos reescribir a la resultante de las fuerzas en la dirección transversal (ec. 4) como,

F Fx xy∑ =⎞⎠⎟ −

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2 1

∂

∂

∂

∂

Ψ Ψ (6)

Si estudiamos el límite cuando ∆x tiende a cero, entonces,

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

x

x 2

Ψ Ψ∆

Ψ Ψ

∆∆

Ψ∆x x

xx x

xx

⎞⎠⎟ −

⎞⎠⎟ =

⎞⎠⎟ −

⎞⎠⎟

⎯ →⎯⎯⎯→2 1

2 10

2

(7)

Con lo cual la fuerza total en la dirección transversal resulta,

F x Fxy∑ = ∆Ψ

2

0 2

∂

∂ (8)

Ahora podemos plantear la ecuación de Newton para ese tramo de cuerda. La masa del elemento de cuerda es,

m x= µ ∆ (9) ya que µ es la masa por unidad de longitud. Por consiguiente la ecuación de Newton ( ) resulta,

maF =

F x Fx

mt

xty∑ = = =∆

Ψ Ψ

2 2

0 2 2

∂

∂

∂ Ψ2

2∂µ∆

∂

∂ (10)

o equivalentemente: ( ) ( )∂

∂

µ ∂

∂

2 2

Ψ Ψx t

x Fx t

t, ,

20

2= (11)

La ecuación 11 rige la evolución dinámica de la cuerda, para oscilaciones transversales de pequeña amplitud (no longitudinales), ha sido obtenida a partir de plantear las leyes de Newton, y vemos que resulta completamente equivalente a la ecuación lineal de ondas, que hemos estudiado anteriormente basándonos solamente en ideas matemáticas. Ésta equivalencia entre las ecuaciones diferenciales, sólo se cumple en la aproximación de pequeñas oscilaciones transversales de la cuerda (aproximación lineal), y significa que las ondas se propagan sin deformarse (medio no dispersivo). Comparando la ecuación de ondas 11 con la ecuación lineal de ondas, obtenida en la guía teórica 7 (ec. 6),

( ) ( )∂

∂

∂

∂

2 2

Ψ Ψx t

x vx t

t, ,

2 2 2

1= (12)

podemos obtener la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda, es decir,

94

vF

= 0

µ (14)

De la ecuación 14, concluimos que la velocidad de propagación aumenta cuando aumenta la tensión de la cuerda, o cuando más liviana es ésta. Comentario: Note que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones (ondas no dispersivas), la velocidad no depende de la forma de la onda ni de la frecuencia de oscilación ni de la longitud de onda, característica de los medios lineales (no-dispersivos). En el caso general, la velocidad de propagación depende de la frecuencia de la onda, por lo cual, las ondas se dispersan (medios dispersivos). Una vez estudiada la dinámica del sistema, conociendo las condiciones iniciales de la perturbación ondulatoria, resulta posible obtener la función de onda , lo cual haremos luego en el caso simple en que la oscilación es armónica.

(Ψ x t, )

Energía e impulso de la onda: Conocida la función de onda, resulta posible obtener otras magnitudes físicas que permiten mejorar nuestra comprensión del fenómeno físico, tales como la cantidad de movimiento y la energía transportada por la onda. Para estudiar la energía transportada por la onda, primero debemos estudiar la energía potencial elástica correspondiente al segmento de cuerda, de longitud x∆ , afirmamos que puede expresarse como,

( ) 2

0 x,

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∆=∆txxFE p , (15)

Note que la hemos notado como pE∆ y no , lo hemos hecho así para enfatizar el hecho de que se trata de la energía potencial elástica de sólo un segmento de cuerda

.

pE

x∆ A pesar de ser una energía potencial de origen elástico, semejante a la de un resorte, la expresión 15 es complicada debido a que la cuerda se halla en una dirección oblicua respecto de los ejes x e y, y además porque no podemos hacer una semejanza directa con un resorte sin masa, como los que hemos estudiado en capítulos anteriores, ya que la cuerda tiene masa.

Saltear en una primera lectura Si reordenamos un poco la expresión 15, vemos que posee la forma de una energía potencial elástica,

220

2

0 ),(

21

),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∆∆

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∆=∆x

txxx

Fx

txxFE p (16)

donde observamos que,

( )∆ ∆x

x tx

x22

2 2 ∂Ψ

∂θ

,tg

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ≈ ∆y 2 (relación entre catetos opuestos) (17)

por lo cual resorbiendo 16,

220 21

21 yky

xF

E p ∆=∆∆

=∆ (18)

95

donde x

Fk

∆= 0 cumple el papel de constante elástica (para oscilaciones transversales), vemos que la

expresión 18 nos resulta mucho más familiar. La expresión 15 puede hallarse analíticamente sabiendo que el potencial debe satisfacer,

fijo=t

yE

F py ∂

∂−= (19)

donde es la fuerza resultante que el segmento de cuerda le hace al exterior. Note que en la ecuación

8 hemos calculado la fuerza que el exterior le hace al segmento, ambas fuerzas son iguales en modulo y dirección pero de sentido opuesto.

yF

Si usamos la regla de la cadena, verificamos a partir de 19 la expresión de la energía potencial 15,

( )( ) ( )

2fijo=t x

x

∂Ψ∂

∂Ψ∂

∆

∂Ψ∂

−=∂

∆∂

∂∂

−=∂

∆∂−=

txtxxF

xtxx

Eyx

yE

F ppy

,,,

1 2

0 (20)

entonces, ( )

2

2

0 x,

∂Ψ∂

∆−=txxFFy (21)

Note la diferencia de signo entre la ecuación 21 y la 8, como dijimos, mientras que la 8 se refiere a las fuerzas externas al segmento, la 21 se refiere a la fuerza que el segmento le hace al exterior.

Retomar La energía cinética, de un segmento x∆ de cuerda, la calculamos a partir de la función de onda como,

2

t),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∆µ=∆txxEc (23)

donde

),( y t

txv∂Ψ∂

= es la velocidad transversal del segmento de cuerda.

Conociendo la energía potencial elástica y la energía cinética, podemos calcular la energía mecánica de un segmento de cuerda x∆ , sumando la energía potencial con la energía cinética ,

pE∆

cE∆

2

0

2

x),(

21

t),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∆+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∆µ=∆+∆=∆txxFtxxEEE pc , (24)

En la guía teórica 7 (ec. 2), hemos demostrado que las ondas planas de propagación ( ), satisfacen la relación, ) (),( tvxftx ±=Ψ

∂∂

∂∂

Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= ±1 (25)

A partir de la expresión de la energía 24 y la igualdad 25, puede hallarse una expresión más compacta para la energía mecánica total de un segmento x∆ , la cual es sólo válida para ondas de propagación no dispersivas (verifique),

2

t),( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∆µ=∆txxE (sólo válida para ondas de propagación no-dispersivas) (26)

96

En la ecuación 26, hemos hallado la energía de un segmento de cuerda, a partir de ella, podemos definir una densidad lineal de energía

x∆ε (energía por unidad de

longitud), en la forma, 2

t ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

µ=∆∆

=εxE (27)

Para el caso de una onda de propagación armónica, es decir, ( )Ψ( , ) senx t A kx t= −ω ,

la densidad de energía resulta (verificar): )(cos )( 222 tkxAt ω−ωµ=ε (para ondas de propagación armónicas) (28)

Comentario: Note que la densidad de energía de la onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud. Éste resultado resulta razonable, ya que a mayor frecuencia, mayor resulta la velocidad con que se mueven los segmentos de la cuerda, y además, la longitud de onda resulta menor lo que indica que la cuerda está muy flexionada y, por consiguiente, resulta alta la energía elástica almacenada. Como ya hemos anticipado, se obtienen resultados semejantes en muchos sistemas físicos, distintos de la cuerda. Note que la densidad de energía no se mantiene constante en el tiempo (varía como el ). En muchos casos de interés, resulta más importante conocer el valor medio de la densidad de energía, sobre un período T, más que su valor instante a instante (ver definición de Intensidad de una onda en el Capítulo 8). En el caso de una onda armónica, el valor medio de

)(cos2 tω

ε resulta (verifique),

22

0

21 )( 1)( Adtt

Tt

T

ωµ=ε=ε ∫ (29)

El impulso lineal correspondiente al segmento de cuerda, de longitud ∆x , podemos calcularlo como el producto de la masa del segmento de cuerda por la velocidad transversal de la cuerda, es decir:

t),(

∂Ψ∂

∆µ=∆txxp (impulso lineal transversal) (30)

Comentario: Para estudiar la propagación de ondas en diferentes sistemas físicos, primeramente debe realizarse un estudio dinámico, como el que hemos realizado para el caso particular de la cuerda, con el fin de encontrar la ecuación dinámica que rige la evolución del sistema. En muchos sistemas físicos, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, la ecuación dinámica resulta ser equivalente a la ecuación lineal de ondas 12. Seguidamente mostramos algunos resultados obtenidos para la velocidad de propagación de ondas, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, para diferentes sistemas físicos:

• Ondas transversales en una cuerda vF

T = 0

µ, donde F0 es la tensión de la cuerda y

µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda.

97

• Ondas longitudinales en una barra maciza ρ

=YvL , donde ρ es la densidad de

masa del sólido e Y es una constante denominada módulo de Young. El módulo de Young es una constante que depende de cada material y es el

resultado del cociente entre la tensión de tracción que sufre el material (o esfuerzo normal) y la deformación longitudinal. Para pequeñas deformaciones la deformación resulta proporcional a la tensión y la constante de proporcionalidad es Y (ley de Hook).

• Ondas transversales en una barra maciza ρ

=GvT , donde ρ es la densidad de

masa del sólido y G es una constante denominada módulo de torsión. El módulo de torsión es una constante que depende de cada material y es el

resultado del cociente entre la tensión de torsión o cizalladura que sufre el material y la deformación transversal. Para pequeñas deformaciones la deformación resulta proporcional a la tensión y la constante de proporcionalidad es G (ley de Hook).

• Ondas transversales en un resorte masivo µ−

=)0llk

vT( , donde k es la constante

elástica del resorte, y son las longitudes deformada y no deformada del resorte l 0ly µ es la masa por unidad de longitud.

• Ondas longitudinales en un resorte µ

= 0lkvL

, donde es la constante elástica del k

resorte y µ es la masa por unidad de longitud del resorte. • Ondas sonoras (longitudinales) en un gas (aire). Para estudiar este sistema debemos

basarnos en estudios termodinámicos. Se obtiene que la velocidad del sonido, en un

gas, es MRTvsγ

= , donde T es la temperatura absoluta, en grados Kelvin, M es

la masa molar del gas, es decir la masa de un mol de gas (para el aire molkgM /10 29 3−= ), es la constante universal de los KmolJouleR o ./314,8=

gases, y es una constante que depende de cada gas, para el aire vale γ 4,1=γ . De la expresión anterior vemos que la velocidad del sonido depende fuertemente

de la temperatura del medio, para el aire, a , la velocidad del CKT oo 20 293 ≡=sonido es seg

msv 343≅ .

• Ondas electromagnéticas, la velocidad de la luz en el vacío es

segkmc 3000001

00

≅εµ

= , donde 0ε y 0µ son los coeficientes de permeabilidad

eléctrica y magnética respectivamente. • Etc. 9. Una cuerda de piano de acero tiene 0 7 de longitud y una masa m, m g= 5 . Se tensa mediante una fuerza de 500N . ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales en el hilo?. 10. Guía Teórica. Potencia, Energía e impulso transmitido por las ondas, en una cuerda. En esta guía vamos a estudiar la energía e impulso transportados por una onda, para el ejemplo particular de ondas transversales propagándose en una cuerda, pero

98

algunas de las conclusiones que obtendremos resultan válidas en otros sistemas físicos, como por ejemplo, la dependencia de la energía con el cuadrado de la frecuencia de oscilación, en el caso de las ondas armónicas. Supongamos que tenemos una cuerda estirada desde x = 0 hasta infinito (infinito significa suficientemente larga), de masa por unidad de longitud µ y tensión en equilibrio igual a F . 0

En x = 0 la cuerda se encuentra unida a un dispositivo que le entrega energía e impulso obligando a que el desplazamiento transversal de la cuerda, en x = 0 en un primer momento, sea el que se muestra en la figura 10.

∆x

F

θ

Figura 10: Segmento de cuerda impulsado desde la izquierda.

Energía entregada a la cuerda: Como vemos en la figura 10, en un primer instante ∆t sólo un segmento ∆x de la cuerda participa del movimiento. En la guía teórica 8 (ec. 26) hemos encontrado que la energía del segmento de cuerda es:

2

t ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∆µ=∆ xE (para ondas de propagación no dispersiva) (1)

La relación entre ∆x y ∆ resulta fácil de obtener si conocemos la velocidad con que se propaga la onda, en un tiempo la onda se ha propagado una distancia

t∆t ∆ ∆x v t= , por

consiguiente, podemos aproximar la energía entregada en un tiempo a la cuerda como:

∆t

2

t ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

∆µ=∆ tvE (2)

Cada el transmisor entrega a la cuerda esta cantidad de energía. ∆t Potencia entregada a la cuerda: Con esta última expresión podemos calcular la potencia entregada por el transmisor, como,

2

0 t

)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂

µ=∆∆

=∂∂

=→∆

vtE

tEtP lim

t (3)

Potencia entregada en el caso de una onda armónica: Para el caso de una onda de propagación armónica, es decir,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= −ω , la potencia entregada por el transmisor (en x = 0 ) resulta (verificar):

P t A v t( ) cos ( )= µ ω ω 2 2 2 (para ondas de propagación armónicas) (4) Valor medio de la potencia entregada: Para el caso armónico, podemos hallar la potencia media entregada por el transmisor promediando sobre un período T, es decir

P tT

P t dtT

( ) ( )= ∫1

0

, obteniendo (verifique)

99

P t A v( ) =12

2 2µ ω (5)

Comentario: La potencia P t( ) emitida en x = 0 por el transmisor, en forma de ondas de propagación, es igual a la cantidad de energía por unidad de tiempo que viaja en la dirección x+ en cualquier punto que se considere. Uno puede convencerse que xesto es así, pensando que cada punto considerado tiene un dispositivo transmisor xque corresponde a la sección de la cuerda que está a su izquierda y por ende los cálculos que hemos hecho se repiten idénticamente. Energía total de la onda: La energía total de la onda de propagación después de un tiempo de iniciada la propagación, que por supuesto concuerda con la energía entregada por el transmisor durante ese tiempo, podemos calcularla integrando la potencia entregada durante el tiempo t de emisión del transmisor, es decir

, obteniéndose:

t

E P t dtt

= ′∫ ( ) 0

′

E A v t= t⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

2 2µωω

ω ω t +1

sen( ) cos( ) (6)

(para verificarlo use la igualdad cos sen cos2 12

12∫ = +x dx x x x ).

Impulso lineal (transversal): Ahora queremos hallar el impulso lineal transversal entregado a la cuerda por el transmisor. En el guía teórica 8 (ec. 30) ya hemos probado que el impulso lineal de un segmento de cuerda es:

t ∂Ψ∂

∆µ=∆ xp (7)

usando que ∆ ∆x v t= , entonces el impulso entregado a la cuerda durante un intervalo lo podremos aproximar por: ∆t

t ∂Ψ∂

∆µ=∆ tvp (8)

Fuerza que realiza el transmisor sobre la cuerda (en la dirección transversal): De la expresión anterior podemos hallar la fuerza transversal ejercida por el transmisor, como:

t

)(

0t ∂Ψ∂

µ=∆∆

==→∆

vtp

limtdpdtFy (9)

Suponiendo que la velocidad de propagación es constante, y la onda plana se propaga hacia la derecha, entonces Ψ Ψ( , ) ( )x t x v t= − , y ya demostramos en la guía teórica 7 que cumple,

∂∂

∂∂

Ψ Ψt

vx

= − y vF

= 0

µ,

verifique entonces que:

x

x )( 0

2

∂Ψ∂

−=∂Ψ∂

µ−= FvtFy (10)

donde es la fuerza que el transmisor le hace a la cuerda en )(tFy x = 0. Sin embargo, esta expresión resulta válida para cualquier punto de la cuerda, y corresponde a la fuerza que le hace el resto de la cuerda al extremo izquierdo del segmento considerado.

x

100

Podemos pensar que dado un segmento de cuerda ubicado en la posición general , sobre él se ejerce una fuerza debida a un dispositivo transmisor que corresponde a la sección de la cuerda que está a su izquierda.

x)(tFy

Notar que en esta última expresión vemos que la pendiente de cada segmento de cuerda está relacionada con la fuerza transversal que ejerce el transmisor sobre el extremo izquierdo del segmento de cuerda considerado. La expresión 10 puede obtenerse también analizando la figura 10. Si consideramos pequeñas oscilaciones (θ pequeño) la fuerza, en la dirección y , que el dispositivo le hace a la cuerda en el punto de contacto, resulta ser:

F F F Fy = ≈ = −sen tgθ θ∂∂0 0

xΨ

. (11)

que concuerda con la expresión hallada en el ítem anterior. Verifique que es posible reobtener la potencia entregada por el transmisor usando que P t F vy y( ) .= . Comentario: Note que la expresión 9, nos dice que la fuerza transversal es

proporcional a la velocidad transversal del segmento de cuerda ∂∂ tΨ

, este hecho en un

principio parece resultar contradictorio con la segunda ley de Newton, pero esto no es así. Lo que sucede es que en una cuerda la masa que participa en el movimiento va aumentando con el tiempo (masa variable), esto puede verse en la expresión 8, donde vemos que el impulso de la onda aumenta linealmente con el aumento del tiempo, ya que aumenta linealmente la masa participante en el movimiento. 11. Recomendado. Con la ayuda de un diapasón, uno de los extremos de una cuerda de

metros de largo se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 . Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0 segundos. 6

Hz 5,a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v m seg= 12 / . b) Hallar la longitud de onda de las ondas que se propagan en la cuerda. Resp. λ = . 0 2, mc) Si la amplitud de oscilación es de 0 0 , halle la función de onda Ψ2, m ( , )x t

correspondiente (tome δ = ). Resp. 0 ( )Ψ( , ) , senx t x t metros= −0 02 10 120 π π . d) Importante. Analice a la expresión anterior y verifique que aunque todas las

partículas de la cuerda oscilan con la misma frecuencia, no lo hacen con la misma fase (no es un modo normal). Justifique.

e) Importante. ¿Cuál es la diferencia de fase entre la oscilación de la cuerda en x = 0 y x m= 0 2, ?.

f) Hallar la velocidad y la aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentra en la posición x m= 0 1, en el instante t seg= 1 .

g) Si la cuerda tiene una masa m g=1 halle la tensión . Resp. F N . F0 0 0 024= ,h) Halle la energía mecánica que posee la cuerda en un segmento muy pequeño x∆

cualquiera de la cuerda (depende de la posición y del tiempo). i) Halle la cantidad de movimiento transversal que posee la cuerda en un segmento

muy pequeño cualquiera de la cuerda (depende de la posición y del tiempo). x∆j) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda. k) Halle la fuerza transversal que hace el diapasón al principio de la cuerda (depende

del tiempo). l) Halle la potencia entregada por el diapasón. m) Escriba la función de onda como la parte real de una onda armónica compleja.

101

12. Recomendado. La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda tensa es v m seg= 10 / .. Suponiendo que el desplazamiento transversal en x = 0 (principio de la cuerda) puede describirse por:

( )Ψ( , )

,x t

t t metros para t segpara los restantes t

= =− ≤ <⎧

⎨⎩

00 1 0 10

2 3

a) Halle la función de onda para todo x y todo . Ayuda: tenga cuidado con los intervalos.

t

b) Representar gráficamente el desplazamiento transversal en función del tiempo en x = 0.

c) Representar gráficamente el desplazamiento transversal en función de x en t seg= 1 . d) ¿Cuál es la expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo en

x m= 10 ?. e) ¿Cuál es la velocidad transversal de la cuerda en x m= 10 y t seg= 1 5, ?. f) ¿Cuál es la pendiente de la cuerda en x m= 10 y t seg= 1 5, ?. g) Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es µ = 2g cm/ , ¿cuál es la fuerza

transversal al principio de la cuerda? h) ¿Cuál es la cantidad de movimiento transversal total del pulso ondulatorio cuando

recorre la cuerda? i) ¿Cuál es la energía total transportada por el pulso ondulatorio?. 13. Recomendado. Supongamos que una fuente de potencia (diapasón) emite una onda armónica transversal de frecuencia f Hz= 200 y amplitud 1 , por uno de los extremos de una cuerda de 10 metros de largo, 0 0 de masa y 60

mm6, kg N de tensión de equilibrio.

Suponiendo que la onda se extrae del otro extremo sin ninguna reflexión, a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v m seg= 100 / b) Halle el tiempo durante el cual la fuente de potencia estuvo emitiendo, hasta que la

onda llegó al otro extremo. Resp. t seg= 0 1, .

c) Halle la potencia media entregada por la fuente. Ayuda: P t A v( ) =12

2 2µ ω

d) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda. e) Halle la energía total entregada por la fuente hasta el momento en que la onda llega

al otro extremo. f) Halle el impulso lineal transversal total entregado a la cuerda hasta el momento en

que la onda llega al otro extremo. 14. Recomendado. En el año 1997, debido a problemas técnicos detectados en el puente de Zalto Grande, los ingenieros midieron la tensión a que estaban sometidos los tensores que sostienen al puente. Proponga un método simple para medir la tensión. 15. Guía Teórica: Reflexión y Transmisión. La reflexión de las ondas nos resulta conocida, desde un punto de vista cualitativo, por hechos tales como el eco de una onda sonora, o la reflexión en un muelle de una onda que se propaga por la superficie del agua, o por el reflejo de una onda luminosa. La reflexión de una onda en una cuerda nos resulta menos familiar, pero es un ejemplo particularmente simple de estudiar, y además sabemos que se trata de un medio que, para pequeñas oscilaciones, resulta no dispersivo, es decir, las ondas conservan su

102

forma. Por esta razón, comenzaremos estudiando el tema aplicado a la propagación de ondas transversales en una cuerda, como prototipo del fenómeno, y en otro capítulo lo haremos en el caso de las ondas luminosas. Si se fija a una pared un extremo de una cuerda tensa (larga), y se le da al otro extremo un impulso transversal, el pulso ondulatorio se propaga hasta llegar a la pared y, puede verse que (haga la experiencia), se refleja sin variación apreciable de su forma y amplitud. No obstante, los sentidos del desplazamiento y de la velocidad de las partículas se han invertido, ver figura 11. Note que, mientras en la onda incidente, al pasar el pulso las partículas de la cuerda se levantan para luego volver a su posición de equilibrio, en la onda reflejada, las partículas bajan y luego vuelven a su posición de equilibrio.

v

Incidente Reflejado

Figura 11: Onda incidente y reflejada sobre una pared. Al reflejarse la onda, las partículas bajan en lugar de subir (para luego subir en lugar de bajar).

-v

Este fenómeno, se explica simplemente a partir de considerar la conservación de la energía y la cantidad de movimiento y, como veremos, no resulta distinto de lo que sucede cuando una pelota choca contra una pared. Aunque no parezca tan intuitivo, también se produce reflexión en la unión de dos cuerdas que poseen masas por unidad de longitud diferentes µ1 y µ (medios distintos), ver figura 12.

2

x=0µ1 µ2

Figura 12: Cuerda con densidad de masas distintas a izquierda y a derecha de x=0

El caso de la pared corresponde a un caso límite, en donde la masa por unidad de longitud del segundo medio resulta infinita µ2 =∞. Si µ deja de ser infinita, pero se mantiene grande respecto de µ (µ ), veremos que, la intensidad del pulso reflejado disminuye, y también observaremos la aparición de una onda de pequeña amplitud que se transmite por el medio 2. Comprobaremos que la onda transmitida no se invierte respecto de la onda incidente, como sucede con la onda reflejada, es decir, los sentidos de desplazamiento de las partículas resultan los mismos que en la onda inicial.

2 1 µ1 2<

Comprobaremos también que, a medida que disminuimos µ2 , el pulso reflejado disminuye su amplitud, mientras que aumenta la amplitud del pulso transmitido. Cuando las masas por unidad de longitud se igualan µ µ1 2= (no existe interfase, los dos medios son idénticos), entonces desaparece la onda reflejada (se anula su amplitud) y toda la onda se transmite. Mostraremos después que, si disminuye aún más la masa de la segunda cuerda (µ ), se obtiene de nuevo una onda reflejada, pero a diferencia de los casos anteriores, el pulso reflejado no se invierte, es decir, los sentidos de desplazamiento de

µ1 > 2

103

las partículas resultan los mismos que en la onda inicial. La onda transmitida permanece, en todos los casos, sin inversión respecto de la onda incidente. Para entender mejor el problema vamos a estudiar la reflexión y transmisión de un pulso ondulatorio cuando alcanza la unión de dos cuerdas de masas por unidad de longitud diferentes µ1 y µ respectivamente, ver figura 12. 2

La tensión es F , igual para ambas partes de la cuerda, por ende las velocidades de propagación de las ondas son distinta en cada tramo de cuerda,

0

v F1 0= / µ1 y v F (1) 2 0 2= / µDe estas expresiones vemos que las ondas se propagan más rápido en el medio menos denso. Para simplificar el problema, consideremos que el pulso inicial tiene la forma indicada en la figura 13.

104

En el pulso inicial (figura 13), hemos supuesto que todas las partículas poseen una misma velocidad transversal (por esta razón la forma del pulso es lineal),

uIv1

uI . ∆t

x=0

Figura 13: Pulso de onda propagándose hacia la derecha. En este pulso, las partículas que forman la cuerda, se desplazan hacia arriba.

∆x1=v1 . ∆t

utI =

∂Ψ∂

. (2)

El pulso se propaga con una velocidad v1 por la cuerda, de masa por unidad de longitud . Al llegar a la unión de las cuerdas (interfase), el pulso incidente se divide en un

pulso reflejado y otro transmitido con velocidades transversales de las partículas u y respectivamente, ver figura 14.

µ1

R

uT

uT

-v1v2

∆x2 =∆t v2

Figura 14: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de la derecha es más denso que el izquierdo, la onda reflejada obliga a las partículas a moverse en el sentido contrario (hacia abajo) del que tenían con la onda incidente, mientras que la onda transmitida las obliga a moverse en el mismo sentido (hacia arriba).

∆x1 =∆t v1

x=0 uR

Note que el largo del pulso se modifica en el medio 2, debido a que la velocidad es distinta (ver figura 14). Si suponemos que el pulso incidente posee una duración temporal , al atravesar la interfase, el pulso transmitido recorre una distancia

, mientras tanto el reflejado retrocede una distancia ∆t

∆ ∆x t2 = .v2 ∆ ∆x t1 v1= . . En la figura 14 hemos supuesto que el medio 2 es más denso, por lo cual la velocidad de propagación es menor y, por consiguiente, el pulso resulta más corto. El objetivo es determinar los valores de u y u en función de la velocidad uI de las partículas del pulso incidente, de tal forma de comprobar la validez del razonamiento cualitativo realizado anteriormente. Para ello plantearemos la conservación de la energía y del impulso en la unión de las cuerdas (interfase).

R T

Suponemos que el pulso es de pequeña amplitud, por lo cual podemos considerar que el medio es lineal (no dispersivo), y vale el principio de superposición. La masa involucrada en el pulso incidente y el reflejado es,

m x1 1 1 1 t v= 1=µ µ∆ ∆

v2

(2) mientras la masa involucrada en el pulso transmitido es,

m x t2 2 2 2= =µ µ∆ ∆ (3) Usando las expresiones 2 y 8 de la guía teórica 10, podemos calcular el impulso y la energía mecánica total de cada pulso como (verifique),

Impulso del pulso Incidente p v u t I I= = µ1 1∆ (4) Impulso del pulso Reflejado p v u t R R= = µ1 1∆ (5) Impulso del pulso Transmitido p v u t T T= = µ 2 2∆ (6) Energía del pulso Incidente E v u t I

2= = µ1 1∆ I

R

T

(7) Energía del pulso Reflejado E v u t R

2= = µ1 1∆ (8) Energía del pulso Transmitido E v u t T

2= = µ 2 2∆ (9) Entonces planteando conservación del impulso, y simplificando ∆t , obtenemos,

µ µ µ1 1 1 1 2 2v u v u v uI R= T+ (10) y conservación de la Energía Mecánica:

µ µ µ1 1 1 1 2 2v u v u v uI2

R2

T2= + (11)

Las ecuaciones 10 y 11 expresan que, parte de la energía e impulso del pulso inicial se refleja, mientras que otra parte se transmite. Estas dos ecuaciones son suficientes para la determinación de las velocidades incógnitas u y u , hacer la cuenta y verificar que: R T

u

vvvv

uR I =−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

1

2 2

1 1

2 2

1 1

µµ

µµ

(12)

105

y,

uvv

uT I =+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

1 2 2

1 1

µµ

(13)

A partir de las expresiones halladas comprobaremos que el problema de la reflexión de ondas es semejante al choque elástico entre bolas (en una dimensión). Analicemos distintos casos, supongamos, para simplificar el análisis, que u . Observando las ecuaciones 12 y 13 podemos concluir:

I > 0

• Si las cuerdas 1 y 2 fueran idénticas (µ µ1 2= ) entonces se cumple que, uR = 0 y u uT I=

(verificar), es decir, todo el pulso se transmite y nada se refleja, como sucede en el choque elástico de una bola con velocidad uI y otra bola idéntica pero en reposo.

• Si la cuerda 1 fuera menos densa que la 2 (µ µ1 2 ), entonces se cumple que, < − < <u uI R 0 y 0 < <u uT I

(verificar), es decir, que la onda reflejada cambia, no sólo el sentido de propagación, sino que además cambia abruptamente el sentido de la velocidad transversal de las partículas, ya que u cambia de signo respecto de la velocidad transversal del pulso incidente u

R

I > 0., ver figura 15. Parecido a lo que sucede si una bolita con velocidad uI choca contra un bolón en

reposo, la chiquita cambia su sentido y le entrega algo de su impulso y energía al bolón.

-v1

uT

v2

x=0 uR

Figura 15: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de la derecha es más denso que el izquierdo, la onda reflejada obliga a las partículas a moverse en sentido contrario al que tenían con la onda incidente (hacia abajo), mientras que la onda transmitida las obliga a mover en el mismo sentido (hacia arriba).

• En el caso límite en que la cuerda 2 tuviera masa infinita entonces, uR uI= − y uT = 0

(verifique), la onda rebota completamente nada se transmite. • Si la cuerda 1 fuera más densa que la 2 (µ µ1 > 2 ) entonces,

0 < <uR uI y u u T I>(verificar). En este caso la onda reflejada no cambia el sentido del movimiento transversal de las partículas ya que u tiene el mismo signo que la velocidad transversal del pulso incidente u

R

I > 0, ver figura 16.

106

-v1

uT

v2

x=0

Figura 16: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de la derecha es menos denso que el izquierdo, tanto la onda reflejada como la transmitida obligan a las partículas a moverse en el mismo sentido que tenían con la onda incidente (hacia arriba).

uR

Comentario: Note que en los tres casos considerados siempre la onda transmitida mantiene el mismo sentido para el movimiento transversal de las partículas que la onda incidente, es decir, el signo de u y uI concuerdan. T

16. Impedancia. Usualmente se definen coeficientes de reflexión y transmisión de las

velocidades como uu

R

I y

uu

T

I, de 12 y 13 se desprende que estas cantidades dependen

únicamente de los productos z v1 1 1= µ y z v22 2= µ . A estos productos se les llama comúnmente impedancias del medio 1 (z1) y del medio 2 (z2). Los coeficientes de reflexión y transmisión, de las velocidades se expresan en función del cociente de las impedancias, como,

uu

zzzz

R

I

=

−

+

1

1

2

1

2

1

y uu z

z

T

I

=+

2

1 2

1

Grafique los coeficientes de reflexión y transmisión en función del cociente de las

impedancias zzz

= 2

1

. A partir del gráfico discuta sobre el significado físico de la

impedancia. 17. Coeficientes de reflexión y transmisión de la energía. También se pueden definir

coeficientes de reflexión y transmisión para la energía como EE

R

I y

EE

T

I

respectivamente. Calcúlelos y grafique en función del cociente de las impedancias, discuta. 18. Optativo. Guía Teórica. Solución general usando condiciones de continuidad en la interfase (condiciones de contorno): Vamos a volver a resolver un problema similar al 15, pero para el caso particular de ondas armónicas, usando fuertemente las condiciones de continuidad en la unión de las dos cuerdas (interfase). Este procedimiento es muy general y completamente equivalente al utilizado en el problema 15, se aplica a la propagación de cualquier tipo de ondas y en cualquier medio e interfase, nosotros lo emplearemos para resolver el caso particular de ondas armónicas transversales en una cuerda sólo a modo de ejemplo. Dos hilos de densidades másicas lineales diferentes µ1 y µ 2 están unidos en x = 0 y sometidos a una tensión F , ver figura 17. 0

107

Incide sobre la unión una onda armónica transversal ΨI desde la izquierda, en x = 0 (onda de pequeña amplitud), siendo su función de onda:

x=0 µ1

Figura 17: Cuerda con densidad de masas distintas a izquierda y a derecha de x=0

µ2

( )ΨI I( , ) cosx t A k x t= 1 ω− . (1) Esta onda se refleja parcialmente y se transmite parcialmente en x = 0 . La onda transmitida:

( )ΨT T( , ) cosx t A k x t= 2 ω− (2) se mueve hacia la derecha en x > 0 , posee una amplitud . AT

Hemos postulado que la frecuencia ω de la onda transmitida no cambia respecto a la incidente, esto resulta fácil de demostrar planteando conservación de la energía en la interfase, no lo haremos aquí para no complicar el cálculo, lo dejamos como ejercicio optativo para el lector. Sin embargo, estamos considerando que cambia el número de onda , y por ende la longitud de onda , ya que en la segunda cuerda la velocidad de propagación

es distinta que en la primera,

k2

λ 2

vk

vk2

21

1= ≠ =ω ω .

La onda reflejada: ( )ΨR R( , ) cosx t A k x t= − −1 ω (3)

se mueve hacia la izquierda en x < 0, note que hemos cambiado el signo que acompaña al numero de onda, con lo cual, la onda se propaga hacia la izquierda (discutirlo). La onda reflejada posee una amplitud . Por conservación de la energía, afirmamos que la frecuencia ω es igual a de la onda incidente y además tiene el mismo numero de onda ya que se propaga hacia la izquierda por la cuerda 1.

AR

k1

No hemos considerado la posibilidad de que se produzca algún desfasaje en la onda reflejada ni en la transmitida para no complicar el cálculo. Veremos al finalizar las cuentas, que en el caso en que el medio 1 fuera más denso que el medio 2 no se produce ningún desfasaje entre la onda incidente y la reflejada, mientras que en el caso en que el medio 2 fuera más denso que el medio 1, la amplitud de la onda reflejada resulta negativa, por lo cual, podemos reescribir a la onda agregándole un desfasaje en π y considerando su amplitud positiva. En el caso de la onda transmitida no se produce ningún desfasaje respecto a la onda incidente. El objetivo del cálculo es el de hallar las amplitudes incógnitas y en función de la amplitud de la onda incidente . No lo resolveremos como en el ejercicio anterior por conservación del impulso y energía (queda como ejercicio optativo hacerlo así), sino por un método equivalente consistente en plantear las condiciones de contorno en el punto de unión de ambas cuerdas.

AR AT

AI

Las condiciones de contorno son: • Como las cuerdas están unidas, el desplazamiento total de la cuerda del lado

izquierdo debe ser igual al producido en el lado derecho (∀t ), es decir, la condición de continuidad del desplazamiento en x = 0 dice que:

Ψ Ψ ΨI R T( , ) ( , ) ( , )0 0t t+ 0 t= (4)

108

Note que estamos diciendo que el desplazamiento total a la izquierda corresponde a la superposición del desplazamiento de la onda incidente más la reflejada. A la derecha sólo sobrevive la onda transmitida. Hemos usado fuertemente el principio de superposición (discutirlo). Tenga en cuenta que la onda incidente continúa incidiendo todo el tiempo sobre la interfase.

• En una cuerda real, la pendiente de la cuerda no debe poseer discontinuidades (la forma que toma debe ser redondeada y alisada), ya que si así no fuera significaría aceleraciones infinitas (tensiones infinitas). Por consiguiente también debe cumplirse una condición de continuidad para las pendientes de la cuerda en x = 0 (∀ ), es decir, la pendiente de la cuerda a la derecha debe ser igual a la izquierda:

t

∂∂

∂∂

∂∂

I

x

R

x

T

x

Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , )x tx

x tx

x tx= =

+ =0 0 =0

(5)

Se puede demostrar que las condiciones de contorno 4 y 5 son consecuencias directas de la conservación del impulso lineal y la energía en la interfase, queda como ejercicio optativo para el lector comprobarlo. Usando las ecuaciones 4 y 5, es posible hallar la amplitud de las ondas transmitidas y reflejadas. Reemplazando las funciones de onda 1, 2 y 3 en las ecuaciones 4 y 5:

( ) ( ) ( )( ) ( ) (

A t A t A tk A t k A t k A t

I R T

I R T

cos cos cossen sen sen− + − = −

− − + − = − − )⎧⎨⎩

ω ω ω

ω ω1 1 2 ω

T

(6)

Como estas dos ecuaciones son validas para todo tiempo entonces se cumple: A A Ak A k A k A

I R T

I R

+ =− + = −⎧⎨⎩ 1 1 2

(7)

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Ya podemos hallar las amplitudes incógnitas y en función de la amplitud de la onda incidente y de los número de onda y , resultando (verificar):

AR AT AI

k1 k2

Ak

k kAT =

+2 1

1 2I y A

k kk k

AR = I−+

1 2

1 2 (8)

Sabemos que k11

2=

πλ

y k22

2=

πλ

son números positivos, por ende la amplitud de la

onda transmitida en cualquier caso tiene el mismo signo que la amplitud de la onda incidente . Como vimos en el ejercicio anterior, la onda transmitida mantiene el mismo sentido para el movimiento transversal de las partículas que la onda incidente, es decir, el signo de u y uI concuerdan.

AT

AI

T

Más complicado es lo que sucede con la amplitud de la onda reflejada ya que en el numerador aparece una resta entre y , dependiendo del signo del resultado de esa resta puede pasar que cambie el signo de respecto de .

AR

k1 k2

AR AI

Sabemos que kv1

1=ω y k

v22

=ω y que las velocidades de propagación en las

dos cuerdas y v dependen de las masas por unidad de longitud y µ , de tal forma que la onda se propaga más rápido en el medio menos denso. Por consiguiente, para estudiar lo que pasa con debemos separar el estudio en dos casos:

v1 2 µ1 2

AR

109

• La cuerda 1 es menos densa que la 2, es decir µ µ1 2< . Por consiguiente v y entonces , con lo cual la resta

v1 > 2

2k k1 < k k1 2 0− < , por lo tanto, obtenemos de 8 que tiene un signo diferente que , es decir, AR AI

si ⇒ µ µ1 < 2 ( ) ( )Signo A Signo AR I≠ Esto es lo mismo que vimos en el ejercicio anterior cuando el pulso ondulatorio

pasaba de un medio menos denso a otro más denso, ya que al cambiar el signo de cambia también el sentido de la velocidad transversal de las partículas (al derivar con respecto al tiempo), es decir, la onda reflejada cambia no sólo el sentido de propagación sino que además cambia abruptamente el sentido de la velocidad transversal de las partículas, ya que u cambia de signo respecto de la velocidad transversal del pulso incidente u .

AR

R

I

Note que un cambio de signo en la amplitud puede ser pensado como un desfasaje en π entre de la onda reflejada y la incidente, reescribiendo la ecuación 3 como:

( )ΨR R ( , ) cosx t A k x t= − −1 ω π+ donde hemos puesto el modulo de la amplitud e incorporado el signo menos como un

desfasaje en π dentro de la función coseno. • La cuerda 1 es más densa que la 2, es decir µ µ1 > 2 2

2

. Por consiguiente y entonces , con lo cual el signo de la resta será

v v1 <k k1 > k k1 2 0− > , por lo tanto,

obtenemos de 8 que tendrá el mismo signo que , no hay desfasaje, AR AI

si µ ⇒ µ1 > 2 ( ) ( )Signo A Signo AR I= Esto es lo mismo que vimos en el ejercicio anterior cuando el pulso ondulatorio

pasaba de un medio más denso a otro menos denso, en ese caso la onda reflejada no cambia el sentido del movimiento transversal de las partículas ya que u tiene el mismo signo que la velocidad transversal del pulso incidente uI.

R

19. Recomendado. Una onda armónica transversal, de frecuencia , se propaga sobre una cuerda (ideal) con velocidad

Hz100seg

mv 1001 = . a) Escriba la función de onda si la amplitud de la onda es mA 01,0=I . b) Haga un esquema de la onda en los instantes 0=t y 4/Tt = (T es el período). c) Suponga que, luego de atravesar la primera cuerda, la onda se transmite sobre otra

cuerda del doble de masa por unidad de longitud. Escriba la función de onda transmitida.

d) Escriba la función de onda reflejada. Ayuda: la amplitud de las ondas transmitida y reflejada son:

IT Akk

kA21

12+

= , y Ak kk k

AR = I−+

1 2

1 2 donde k1

1

2=

πλ

y k22

2=

πλ

20. A partir de lo hallado en el ejercicio 18 se pueden definir coeficientes de Transmisión y Reflexión de la Amplitud de la onda como:

TAA

kk k

= =+

T

I

2 1

1 2 y R

AA

k kk k

= =−+

R

I

1 2

1 2

a) Muestre que se cumple T R= +1 .

110

b) Grafique el coeficiente de reflexión R en función del cociente de los número de onda kk

1

2

.

c) A partir del gráfico, discuta, y compruebe que − < <1 1R mientras que 0 2< <T . Discuta.

Bibliografía : • Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté. • Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté. • Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté. • Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana. • Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison

111