Ejercicios de Inercia 

Teoría  Problemas

Ejercicio I-1    Calcular el momento de inercia de una partícula que tiene una masa de 0,5 kg y gira alrededor de un eje que se encuentra a 20 cm. de la misma

 

Resolución: La inercia de una partícula alrededor de un eje se calcula como

 

Ejercicio I-2    Calcular el momento de inercia del sistema de

partículas respecto al eje X e Y considerando que las varillas que mantienen la estructura tienen masa despreciable. Todas las masas son iguales y de 0,80kg.

 

 

Resolución:                                         Como todas las masas son iguales tienen una distribución simétrica respecto a los ejes

podemos realizar ciertas simplificaciones para realizar el cálculo del momento de inercia. Respecto al eje X todas las masas se encuentran a la distancia de 0,10 m por lo que el

momento total será el de una de ellas multiplicada por la cantidad es decir seis.

Respecto al eje Y como las masas numeradas con 3 y 4 están sobre el eje no aportan momento de inercia, tan sólo lo aportan las otras cuatro masas que se encuentran todas a la misma distancia 0,20 m por lo que el momento será el de una de ellas multiplicada por

cuatro.

Ejercicio I-3    Calcule el momento de inercia de un

cilindro macizo de masa 0,25kg respecto a los ejes X e Y sabiendo que tiene un radio de R=30 cm y una longitud L=100cm.

 

 

Resolución:    Veamos la tabla de momento de inercia para este caso y tendremos

 

Eje X           

Eje Y    

 

Ejercicio I-4    Aplicando el teorema de las figuras planas

determinar el momento de inercia respecto al eje Z de la siguiente figura. cuya masa es de M=0,010kg.

   

 

Resolución: El momento de   inercia de una placa plana es para cada una de los ejes

 

  y aplicando el teorema tenemos que

 

Ejercicio I-5    Calcule el momento de inercia de un cilindro macizo respecto al eje Z' sabiendo que su masa es de 2kg,  el radio R=20cm y el largo L=50cm.

 

Resolución: En primera instancia calcularemos el momento de inercia del cilindro macizo respecto al

eje Z por medio de la expresión correspondiente

  aplicando el teorema de Steiner  

 

Ejercicio I-6    Calcule el radio de giro de una esfera maciza de M=1kg y radio R=30cm respecto a un diámetro.

 

Resolución: Debemos en primera instancia calcular el momento de inercia de una esfera maciza

respecto al eje diámetro

por definición de radio de giro tenemos que

 

Ejercicio I-7    Se sabe que el momento de inercia respecto al extremo de una varilla es de 0,25kgm2. Calcular el momento de inercia respecto a un eje paralelo al mismo que pasa por el Centro de Masa sabiendo que la longitud de la varilla es de L=1,2m.

 

Resolución: El momento de inercia de una varilla respecto al

Centro de Masa es por lo que de allí podemos despegar el valor de la masa M

  y aplicando el teorema de Steiner podemos correr el momento de inercia a un eje

paralelo.

es decir la inercia respecto al CM es 0,062kgm2    

Verifico con la expresión del momento de inercia respecto a un eje YCM y resulta

 

Ejercicio I-8    Calcule el momento de inercia de la figura plana en forma de anillo respecto a un eje perpendicular al mismo por su centro sabiendo que la densidad superficial de masa es de 0,1kg/m2 .

 

Resolución: 

Llamaremos I2 al momento de inercia a una placa circular maciza de radio R2  e  I1 al momento de inercia de una placa circular maciza de radio R1 y le asignaremos I al momento de inercia del anillo.

Admitiendo el criterio de aditividad del momento de inercia tendremos

y aplicando la expresión del momento de inercia de una placa circular tenemos que

y para aplicar esta expresión debemos conocer la masa de cada elemento de placa, como tenemos la cantidad de masa por unidad de superficie debemos multiplicar dicho valor por

la superficie de cada una de las placas 1 y 2

y los momentos de inercia serán

y la diferencia dará el momento de inercia del anillo

Ejercicio I-9    Hallar el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a su plano y que pasa por el punto O de la figura (formada por dos circunferencias) sabiendo que la masa por unidad de superficie es de 30 kg/m2

 

Resolución: De acuerdo con la aditividad del momento de inercia, podemos calcular el momento de

inercia de la figura con hueco, por medio de la resta de la inercia respecto al eje Z suponiendo la figura maciza y luego descontarle la inercia del hueco supuesto macizo respecto al dicho eje, para lo cual debemos calcular previamente el momento de inercia del hueco supuesto macizo respecto al eje Z' que pasa por su centro de masa y luego correrlo por Teorema de Steiner al eje Z que es paralelo.

calcularemos primero la inercia del hueco respecto al eje Z'

para lo cual debemos calcular la masa que tendría el hueco en función del dato de la masa por unidad de superficie

y la inercia será entonces

y aplicando Steiner realizamos el corrimiento al eje Z

ahora debemos calcular el momento de inercia de toda la superficie supuesta maciza para lo cual debemos calcular la masa total

y con ella el momento de inercia de la superficie total

y el valor de la inercia total será la diferencia entre IZ-IZ(hueco)

   

Ejercicio I-10    Si un deportista que realiza saltos ornamentales al modificar la posición de su cuerpo logra disminuir su momento de inercia respecto al eje de rotación a la cuarta parte cuando está en el aire, ¿Cómo se modifiicará su velocidad angular?

 

Resolución: Como sobre el deportista en el aire no existe acción de momento de fuerza alguno, la

momento cinético deberá permanecer constante. (Principio de Conservación del Momento Cinético)

siendo entonces L el momento cinético cuando tiene una velocidad angular y un momento de inercia I

y cuando cambia su momento de inercia a I', su velocidad angular será ' por lo que tendremos

entonces se da la relación

y como I' es cuatro veces menor que I tendremos que

lo que significa que cuando el momento de inercia bajó a la cuarta parte la velocidad angular aumentó al cuádruple