5 Fuerzas

En Cinemtica hemos estudiado diferentes formas de movimiento; pero, cul es la causa del movimiento? La causa del movimiento es la fuerza, que con su presencia o ausencia y con su forma de actuar sobre el cuerpo, da lugar a las diferentes formas de movimiento. Las fuerzas se originan siempre como consecuencia de la interaccin entre dos masas materiales. Segn que estas masas materiales que interactan se encuentren distantes una de otra o estn en contacto mutuo, las fuerzas se clasifican en fuerzas a distancia o fuerzas por contacto. El propsito de esta clase es el de introducir el concepto de fuerza y presentar a las fuerzas ms comunes. Como ejemplo de fuerza a distancia, nos referiremos principalmente a las fuerzas de gravedad, y como ejemplo de fuerzas por contacto, nos detendremos particularmente en las fuerzas de rozamiento. De las de gravedad slo haremos una presentacin somera, ya que diferentes aspectos del tema de Gravitacin sern motivo de una clase futura. La gravitacin universal. Desde tiempos muy remotos el hombre trat de conocer y explicar el movimiento que siguen los astros del cielo, principalmente porque siempre pens que los mismos ejercan alguna influencia sobre su propia vida, la de los cultivos, de los animales, el clima, las cosechas, etc. Entonces, poder predecir las posiciones futuras de los astros en el cielo, fue muy importante.

El astro ms cercano y que ms se impone por su tamao en el cielo es la Luna; por eso el movimiento de la Luna fue uno de los ms estudiados. Ella gira alrededor de la Tierra; si realiza un movimiento circular uniforme (MCU), nosotros, que ya hemos estudiado este movimiento, sabemos que en l, la rapidez es constante, pero que no obstante ello, hay aceleracin, porque el vector cambia permanentemente de direccin. Hemos visto que la aceleracin es centrpeta, o sea de la direccin radial (Tierra-Luna). Ya saba el hombre que donde hay aceleracin hay fuerza, y que por lo tanto entre la Tierra y la Luna acta una fuerza tambin centrpeta. Pero, lo que fue un misterio para el hombre durante muchos siglos era quin pona dicha fuerza? El movimiento de los planetas haba sido estudiado por Kepler alrededor del 1600 y resumido en 3 leyes que hacen una correcta descripcin cinemtica del problema. Pero faltaba el por qu?; el cules son las fuerzas responsables de dicha cinemtica planetaria? Con lo cual el misterio continuaba en pie. Isaac Newton (1642-1727) viene a coronar esta situacin cuando sentenci que tales fuerzas son el resultado de una accin totalmente general que tiene lugar entre 2 masas prximas. Newton afirmaba esto, inspirado por una observacin casual: es conocida la historia, no probada, segn la cual Newton se encontraba a la sombra de un manzano, cuando observ cmo una manzana se desprenda del rbol y caa al suelo. As es como, en 1686 enuncia la ley conocida con el nombre de ley de la gravitacin universal, que dice:

Toda partcula de materia del universo atrae a cualquier otra partcula, con una fuerza cuyo mdulo es directamente proporcional al producto de las masas de ambas

partculas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Matemticamente: = G 12

122

donde G es una constante de proporcionalidad llamada constante de gravitacin universal. Ella no debe confundirse con (aceleracin de la gravedad). La primera es un escalar, mientras la segunda es una cantidad vectorial; adems no es constante ni universal. La figura interpreta en forma grfica la ley de la gravitacin universal. Ntese que las fuerzas F (de gravitacin) son dos y no una, consecuencia de que el fenmeno que involucra a las masas es mutuo. Las dos F son iguales en mdulo (calculable con la frmula de arriba), tienen la misma direccin (la de la recta que pasa por los centros de ambas masas) y sentidos de atraccin (opuestos, si se los compara). De modo que estas fuerzas obedecen en un todo a un principio que estudiaremos la prxima clase: el principio de accin y reaccin. El misterio que desvelaba al hombre haba sido resuelto: esa fuerza centrpeta que acta sobre la Luna era provocada por la Tierra, y era explicada por la ley de la gravitacin universal. Dado lo enorme de las masas de la Tierra y de la Luna, dicha fuerza es gigantesca y es capaz de obligar a la Luna a que realice un MCU en torno de la Tierra.

m1 m2 F F

r1-2

Ntese entonces que la Luna est permanentemente acelerada hacia la Tierra aunque nunca vaya a caer sobre ella. Razonamientos similares explican el movimiento de los planetas alrededor del Sol; las fuerzas gravitacionales rigen tambin el comportamiento de las estrellas y galaxias. En un entorno humildemente ms cercano, dos objetos cualesquiera de nuestra mesa de trabajo interactan tambin, bajo la accin de las fuerzas de gravitacin; sin embargo estas fuerzas mutuas de atraccin resultan tan pequeas en este caso, que no hay ningn efecto apreciable; aqu las fuerzas de gravitacin son contrarrestadas por las fuerzas de rozamiento que actan por contacto y que estudiaremos en el prximo tem. Para terminar, diremos que el valor de la constante G de gravitacin universal, slo pudo medirse experimentalmente en el ao 1798. Fue Cavendish quien organiz la experiencia, de la cual result que G = 6,67x10-11 2

2

Esto quiere decir que Newton muri sin haber podido llegar a saber cul era el

valor de la constante de gravitacin que l mismo haba introducido en su frmula. Las fuerzas de rozamiento. Las fuerzas de rozamiento se generan entre las superficies de dos cuerpos en contacto, y segn sean stos slidos ambos, uno slido y otro lquido, lquidos los dos, etc, las clases de rozamiento que se producen son distintas. En esta ocasin estudiaremos el caso del rozamiento que tiene lugar entre dos slidos. En nuestro mundo cotidiano, los rozamientos son inevitables o muy difciles de eliminar, a pesar de todos los intentos que se han hecho en ese sentido, ya que la ausencia de rozamientos significara la eliminacin de desgastes, economa de combustibles, etc. Ya alrededor del ao 1600 Galileo describe en documentos encontrados, cmo haba logrado reducir considerablemente el rozamiento en los planos inclinados con los cuales experimentaba, puliendo cuidadosamente las maderas y tapizndolas con pergamino. Actualmente se logra en el laboratorio la eliminacin casi completa del rozamiento, manteniendo separadas las superficies con un colchn de aire.

La figura muestra un cuerpo que llamamos M que se encuentra apoyado en reposo sobre una mesa horizontal y que est atado a una cuerda que pasa por la polea y que tiene en su otro extremo un platillo de peso despreciable, sobre el cual podemos depositar pesas.

Consideremos y representemos las fuerzas que actan sobre el cuerpo M. No olvidar que las fuerzas son siempre el resultado de interacciones entre dos cuerpos, por lo que cada fuerza aplicada a M tiene otra igual y contraria en otro cuerpo.

M interacta con la Tierra, y como resultado de ello aparece la fuerza peso () ; si M es un cuerpo homogneo, est aplicada en su centro geomtrico, su direccin es vertical y su sentido es hacia abajo; su igual y contraria se encuentra en la Tierra.

N

FR

P

F M

M tambin interacta con la mesa sobre la cual se apoya y recibe de sta a la fuerza que se llama reaccin normal; se llama as porque su direccin siempre es perpendicular a la superficie de la mesa; su igual y contraria se encuentra en la mesa. es una fuerza de contacto, por lo que se la debe representar con su punto de aplicacin ubicado en el punto medio del rea compartida entre las dos superficies.

M recibe tambin a travs de la cuerda la fuerza producida por las pesas que se

coloquen en el platillo; esta fuerza tiene la direccin de la cuerda que la trasmite. Finalmente, otra interaccin entre M y la mesa da lugar a que aparezca la fuerza

de rozamiento (observar dnde y cmo se la representa). Su igual y contraria se encuentra en la mesa.

El dibujo muestra las 4 fuerzas que recibe M; no se representan sus respectivas

iguales y contrarias porque lo que le suceda al cuerpo M, depender nicamente de estas 4 fuerzas. Si M est inicialmente en reposo y estas fuerzas estuvieran equilibradas, continuara en reposo. De estas 4 fuerzas, dos son verticales y dos son horizontales; nos convendr analizarlas por separado.

Son verticales y . La experiencia nos dice que el cuerpo M no tiene

movimiento vertical: no se eleva de la mesa ni cae de ella. Ello nos lleva a afirmar que las fuerzas verticales estn equilibradas; o sea que, en mdulos P = N. Como iremos viendo poco a poco cumple en estos casos un papel de comodn tomando el valor que haga falta para asegurar el equilibrio en su direccin.

Son horizontales y ; por la misma razn, si M no se mueve, debern ser F =

FR. Es fcil comprender que si la fuerza trasmitida por la cuerda fuera nula, tambin sera nula FR.

Imagine que Ud se encuentra en el laboratorio, tiene el dispositivo de la figura,

dispone de una caja de pesas y se propone efectuar algunas comprobaciones. M est en reposo sobre la mesa, seal que las fuerzas estn equilibradas. Para alterar ese equilibrio toma la pesa de 1 gramo y la deposita suavemente en el platillo. Ahora se va a tener que mover, piensa. Sin embargo M sigue en reposo; teniendo que justificar esto, Ud dir que al valer F 1 gramo, FR tambin pas a valer 1 gramo, por lo que el equilibrio contina. Entonces hace un segundo ensayo utilizando una pesa mayor, por ejemplo de 5 gramos. Probablemente tampoco ahora M se mueva, y deber sacar la conclusin de que FR pas a valer 5 gramos y por eso no se mueve. Posiblemente esta situacin se repita varias veces ms, con pesas cada vez mayores. Esta fuerza de rozamiento que se desarrolla mientras el cuerpo M permanece inmvil, se llama fuerza de rozamiento esttico, y lo indicaremos como FRS.. Sin embargo, encontrar finalmente una combinacin de pesas que har que M se ponga en movimiento. Esto nos ensea que:

La fuerza de rozamiento esttico no posee un valor nico sino que puede asumir infinitos valores, aunque existe un valor ltimo o mximo por encima del cual el

cuerpo comenzar a moverse. A este valor ltimo se lo llama fuerza de rozamiento esttico mximo y puede ser calculado con: FRs mx = sN

s es el coeficiente de rozamiento esttico; es adimensional y est comprendido entre 0 y 1. Depende de la naturaleza de las superficies en contacto y de su grado de pulimentado, de la temperatura y otros factores de difcil ponderacin. Si ahora Ud repite la experiencia anterior, pero introduciendo como variante la de empujar con un pequeo golpecito al cuerpo M, despus del agregado de cada pesa, encontrar que M comenzar a moverse cuando las pesas agregadas alcancen un valor menor al que se requiri en la experiencia anterior. Este valor lo identificaremos como el de la fuerza de rozamiento cinemtico (FRc) y puede ser calculado con: FRc = cN c es el coeficiente de rozamiento cinemtico; es adimensional y su valor est comprendido entre 0 y 1. Comparando las dos ltimas expresiones, y sabiendo por la experiencia que: FRc < FRs mx se deduce que c < . El efecto de esta desigualdad se puede apreciar con una experiencia muy sencilla, se sujeta una banda elstica a un objeto y se lo remolca por la mesa, tirando en forma pareja. Avanzar a tirones, an cuando la mano se desplace uniformemente. Cada vez que el cuerpo se detiene, para reiniciar el movimiento es necesaria ms fuerza que la aplicada hasta entonces. La causa primordial del rozamiento entre dos superficies en contacto, est en las inevitables irregularidades de las superficies, que provocan encajes locales entre ambas superficies. Es necesaria una fuerza mayor al iniciar el movimiento porque hay que vencer los encajes; una vez logrado eso, el movimiento se puede conservar con una fuerza menor. Para velocidades bajas, c es constante. Por otra parte la fuerza de rozamiento, slo depende de N y del valor de .. es decir que es independiente del tamao de la superficie de contacto. Por ltimo diremos que la frmula FR = N constituye solo una aproximacin y no muy buena. Las aplicaciones profesionales ms sencillas requieren tratamientos ms complejos y rigurosos. Determinacin experimental de los coeficientes s y c. Se utiliza un plano inclinado de ngulo variable y sobre l se apoya el bloque cuyo se desea determinar. Es comn que en los laboratorios, este plano inclinado lleve adosado un transportador de ngulos, para facilitar la lectura del valor del ngulo que va teniendo el plano inclinado. En la prctica lo que se hace es comenzar a levantar lentamente el plano inclinado hasta el momento en que el bloque comienza a deslizar por el plano inclinado; justo en ese momento, se lee el valor del ngulo y con l, se hace un clculo sencillo: = tg Una pequea diferencia en la ejecucin de la experiencia, permitir conocer el esttico o el cinemtico. Si se busca el primero, tan solo hay que e sperar que el deslizamiento del bloque ocurra espontneamente; si se busca el segundo, en cambio,

FRs mx

45

Fuerza de rozamiento

F

Esttico

Cinemtico

habr que dar un pequeo empujoncito al bloque cada vez que se le da un pequeo incremento a la pendiente del plano, para ver si, una vez iniciado el movimiento, ste

luego se mantiene como un MRU; cuando ello ocurra, se toma el valor del ngulo . Este ser ligeramente menor al que se obtuvo en la experiencia anterior. Demostraremos a continuacin por qu es igual al valor de la tangente de .

Los pasos que seguiremos son los pasos que se recomienda seguir siempre, en

problemas de este tipo, porque constituyen un modo ordenado de razonamiento. 1 PASO. Se hace un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.). Consiste en hacer un esquema del cuerpo que vamos a estudiar, aislndolo de los restantes cuerpos con los cuales interacta (figura de la derecha) y representar todas las fuerzas que actan sobre l. En nuestro caso son la fuerza peso P, la reaccin normal N y la fuerza de rozamiento FR. Con respecto a esta ltima, su sentido ser el de oponerse al sentido de movimiento del cuerpo, an cuando ste todava no haya comenzado a moverse. En nuestro caso, FR se dirige hacia arriba. 2 PASO. Se adopta un sistema de ejes cartesianos que utilizaremos como referencia. Al eje x se le da la direccin y el sentido del movimiento del cuerpo; el eje y ser perpendicular a l. 3 PASO. Se comparan las direcciones de cada una de las fuerzas representadas, con la de los ejes de referencia. Si hubiera alguna fuerza cuya direccin no fuera la de ninguno de los ejes cartesianos, entonces se la descompone en x e y. En nuestro caso, corresponder descomponer a la fuerza peso, que es vertical. Se dibujarn entonces Px y Py. Juntas, Px y Py reemplazarn en lo sucesivo a P. En este pasa se habr logrado que todas las fuerzas del D.C.L. tengan las direcciones de uno de los ejes cartesianos. 4 PASO. En el tringulo rectngulo formado al descomponer a P, se identifica dnde qued ubicado el ngulo (ver dibujo). Se escriben las expresiones de las componentes Px y Py aplicando trigonometra:

Px = Psen Py = Pcos 5 PASO. Para cada una de las direcciones cartesianas, se escribe una sumatoria de fuerzas; si, como es nuestro caso, el cuerpo no tiene movimiento, dicha sumatoria se iguala a cero. En la sumatoria se escribirn como positivas las fuerzas cuyo sentido coincida con el del eje de referencia, y como negativas en caso contrario. Ponemos: Fy = 0. N Py = 0 Luego, N = Py (1) Fx = 0. Px FR = 0 Px = FR (2)

N FR

Px

Py

P

x

Sistema de referencia.

D.C.L.

y

6 PASO. Clculos finales. Deseamos obtener la expresin del coeficiente de rozamiento . De la frmula FR = N, despejando: =

Reemplazando por las (1) y (2): =

= cos

Finalmente: = tg Equilibrio en el plano inclinado con rozamiento. Como un modo de afianzar el procedimiento a seguir dado en el tem anterior, se propone a continuacin el siguiente ejercicio.

Supongamos tener un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado con rozamiento, al que le aplicamos en forma gradual una fuerza F de la manera que se muestra en la figura. Al principio, si F es pequea, no alcanza para impedir que el cuerpo baje por el plano inclinado, pero llegar un valor de F (lo llamaremos Fmnimo) que detendr al cuerpo y lo dejar en reposo. Si F continuara aumentando, el cuerpo permanecer de todos

modos en reposo. Pero llegar un valor de F (lo llamaremos Fmximo) a partir del cual, el cuerpo abandonar el estado de reposo y comenzar a subir. El cuadro de abajo ilustra lo expresado:

Pues bien. Se trata de obtener las expresiones que permitan calcular Fmn y Fmx en funcin de los siguientes datos: 1, 2, y P.

Deduciremos a continuacin la expresin de Fmn y dejaremos la de Fmx para que

practique el alumno. Cul es el sentido de FR en el momento en que se aplica el Fmn? Observando el cuadro de arriba, para Fmn el cuerpo est en el lmite entre el reposo y bajar; el movimiento del cuerpo, ocurra o no todava, ser hacia abajo; entonces la FR deber tener sentido hacia arriba. Hacemos el DCL, adoptamos un sistema de referencia y descomponemos las fuerzas que hagan falta para que finalmente todas las fuerzas del

esquema estn en la direccin de x o de y. Fy = 0] N + Fy Py = 0 (1)

1

2 F

BAJA REPOSO SUBE

0 Fmn Fmx

F

N

P

Px

Py

FR

F Fy

Fx x

y

1

2

Sistema de referencia

Fx = 0] Px Fx FR = 0 (2) La (1) me permite obtener la expresin de N. N = Py Fy (3) La (2) me permite obtener la expresin de FR FR = Px Fx (4) Dado que FR = sN reemp. por las (3) y (4): Px Fx = s(Py Fy)

Ordenando: sFy Fx = sPy Px (5) Aplicando trigonometra: Px = Psen 1 Fx = Fcos 2 Py = Pcos 1 Fy = Fsen 2 Reemp. En la (5): sFsen 2 - Fcos 2 = s Pcos 1 - Psen 1 Finalmente: Fmn = ( 1 1)

2cos2