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Física General 1 Práctico 8: Cinemática y Dinámica de Rígidos.

Recomendamos: Sabemos que la primer parte del curso no fue sencilla, aún cuando muchos de los temas ya los habías estudiado en el liceo. También sabemos que estás estudiando por primera vez casi todos los temas que componen la segunda parte del curso. En particular, los siguientes cuatro prácticos son de mecánica del rígido. Y para resolver los ejercicios que te planteamos deberás aplicar (además de aplicar las relaciones propias del temas) lo que aprendiste en la primera parte del curso. Ejercicio 1 (RHK Cap. 11 Ej. 4) R Una rueda gira con una aceleración angular α dada por: α = 4at3 – 3bt2 , donde t es el tiempo y a y b son constantes. Si la rueda tiene una velocidad angular inicial ω0 escriba las ecuaciones para a) la velocidad angular y b) el ángulo barrido, en función del tiempo. Ejercicio 2 (RHK Cap. 11 Ej. 9) R

Una rueda tiene 8 rayos y un radio de 30 centímetros. Está montada sobre un eje fijo y gira a razón de 2.5 rev/s. Usted quiere disparar una flecha de 24 cm de largo, paralela a este eje y a través de la rueda sin tocar ninguno de los rayos. Suponga que la flecha y los rayos son muy delgados (ver figura).

a) ¿Qué velocidad mínima deberá tener la flecha? b) ¿Importa a dónde apunta usted entre el eje y la llanta? De

ser así, ¿cuál es la mejor ubicación?

Ejercicio 3 (RHK Cap. 11 Ej. 18) R Una cuerda de 5.63 m de longitud se encuentra totalmente enrollada sobre una polea de 8.14 cm de diámetro. Comenzando del reposo se le da a la polea una aceleración angular de 1.47 rad/s2.

a) ¿Qué ángulo debe girar la polea para que la cuerda se desenrolle en su totalidad? b) ¿Cuánto tiempo le toma?

Ejercicio 4 (RHK Cap. 11 Ej. 35) E

Una rueda A de radio rA=10.0 cm está acoplada por medio de una banda a otra rueda B de radio rB=25.0 cm, como se muestra en la figura. La rueda A aumenta su velocidad angular desde el reposo con una aceleración angular uniforme de 1.60 rad/s2. Determine en cuánto tiempo llegará la rueda B a una velocidad de rotación de 100 rev/min suponiendo que la banda no desliza. (Sugerencia: Analice qué relación existe entre las velocidades tangenciales en los bordes de ambas

ruedas).

Ejercicio 5 (LB Cap. 12 Ej. 23) PP Cada objeto en la Fig. 1 tiene la misma masa M y es homogéneo. ¿Qué objeto tiene el mayor momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro de masa y que es perpendicular al plano de la figura? ¿Cuál tiene el menor? Sugerencia: La respuesta puede darse formalmente a través de integrar la densidad lineal (caso d), densidad superficial (b, cuadrado, de espesor w<<R) y la densidad volumétrica (casos a y c). Pero el objetivo de este ejercicio es que puedas hacer un análisis cualitativo de cómo se distribuye la masa respecto del eje de simetría. En otras

palabras, cuando la masa esté más alejada de ese eje, mayor será el momento de inercia del objeto. Utiliza las fórmulas del libro sólo en el caso en que estés realmente desesperado.

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Ejercicio 6 (RHK Cap. 12 Ej. 17) E El objeto que se muestra en la figura, puede girar alrededor de O, siendo O fijo. Sobre él actúan 3 fuerzas en las direcciones que se muestran en la figura: FA=10 N en el punto A, a 8 m de O; FB=16 N en el punto B, a 4 m de O; y FC=19 N en el punto C a 3 m de O. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del torque resultante con respecto a O? Ejercicio 7 (RHK Cap. 12 Ej. 27) R Sobre una polea que tiene una inercia de rotación de 1.14 × 10 -3 kg . m2 y un radio de 9.88 cm actúa una fuerza, aplicada tangencialmente a su borde la cual varía en el tiempo según F=0.496 t + 0.305 t2, donde F está en newtons y t en segundos. Si la polea estaba inicialmente en reposo, halle su velocidad angular 3.60 segundos después. Ejercicio 8 (RHK Cap. 12 Ej. 28) PP

La figura muestra dos bloques, cada uno de masa m, suspendidos de los extremos de una barra rígida carente de peso y de longitud L = L1+L2, siendo L2 = 4L1 . La barra es sostenida en posición horizontal (ver figura) y luego se suelta. Calcule las aceleraciones lineales de los bloques en el instante en que comienzan a moverse. Sugerencia: observe que el momento de inercia del sistema, respecto del punto de contacto de la barra con el soporte, no es constante. A partir de esa observación, indique desde qué punto se ven rotar (sin trasladarse) los bloques.

Ejercicio 9 (RHK Cap. 12 Ej. 23) R Una rueda de 31.4 kg y un radio de 1.21 m está girando a razón de 283 rev/min. Debe ser detenida en 14.8 s. Halle la potencia promedio requerida, suponiendo que la rueda es un aro delgado. Ejercicio 10 (RHK Cap. 12 Ej. 35) E Una barra uniforme de acero de longitud L y de masa M tiene unida a cada extremo una pequeña bola de masa m. La barra está obligada a girar en un plano horizontal con respecto a un eje vertical que pasa por su punto medio. En cierto momento se observa que está girando a una velocidad angular ω. Debido a la fricción en el eje1, llega al reposo ∆∆∆∆t segundos más tarde. Calcule, suponiendo un torque constante debido a la fricción: a) la aceleración angular, b) el torque retardante ejercido por la fricción en el eje, c) la energía disipada por la fricción en el eje, y d) el número de revoluciones durante los ∆t segundos. e) Suponga ahora que se sabe que el torque por fricción no es constante. ¿Cuál, (si la hay) de las cantidades anteriores puede calcularse sin requerir ninguna información adicional? En tal caso, halle su valor. f) Halle los resultados anteriores con los valores L = 1.20 m, M = 6.40 kg, m = 1.06 kg, f = 39.0 rev/s, ∆t = 32.0 segundos. Ejercicio 11 (LB Cap. 12 Ej. 28) PP Un automóvil de 1.0 × 103 kg de masa total tiene 4 ruedas y cada una de ellas se modela como un disco uniforme de 22 kg de masa, 31 cm de radio y 15 cm de espesor. Cuando el vehículo va a 85 km/h, ¿cuál es su energía cinética total?, y ¿qué fracción de ésta es energía rotacional de las ruedas? El motor de un automóvil es el que entrega la potencia necesaria para que el auto se mueva, consumiendo combustible. ¿En qué se emplea esa potencia?

1 Se llama “fricción en el eje” a cualquier fuerza que logre frenar a un objeto que está rotando. En

particular, un objeto real que rota deberá hacerlo alrededor de una barra de diámetro despreciable, respecto del tamaño del objeto, llamada eje. Como el contacto del objeto con el eje no es liso, el objeto terminará frenándose si un motor no aportara la potencia necesaria para vencer la fuerza de rozamiento.

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Ejercicio 12 (Examen agosto 97) E Un bloque de masa M pende de un hilo sin masa, arrollado a un cilindro de momento de inercia I y radio R, pasando por una roldana de masa despreciable. El sistema parte del reposo, cuando el bloque está a una altura h del suelo y el hilo se desenrolla, sin deslizar sobre el cilindro. (a) ¿Cuál es la velocidad con la que la masa M toca el piso? (b) Si la roldana tuviera masa m = M/3 y radio r = R/3, ¿se obtendría el mismo resultado? Recomendación: en los ejercicios 13 al final, los objetos se trasladan y rotan sin deslizar. Por eso su aceleración lineal y angular están relacionadas como a = αR o a = -αR, de acuerdo a cómo se hayan definido el eje de traslación y el ángulo de la rotación. Para trabajar con cantidades positivas es imprescindible, en cada ejercicio, observar (previamente a su resolución analítica) hacia dónde se traslada y cómo rota el objeto. Si la intuición no te acompaña, puedes utilizar la relación positiva como hipótesis y corroborarla o rechazarla, de acuerdo a tus resultados.

Ejercicio 13 (LB Cap. 12 Ej. 35) E Un cilindro de masa M y radio R se encuentra sujeto con los dos cordones ideales (Fig. 3). Cada cordón tiene longitud L, y está arrollado en el cilindro. Si éste se suelta, ¿cuánto tiempo tarda en llegar al extremo de las cuerdas? ¿Cuáles son su velocidad del centro de masa y su velocidad angular en ese momento? ¿Cuáles son sus energías cinéticas rectilínea, rotacional y total?

Ejercicio 14 (LB Cap. 12 Ej. 33) E El objeto de la Fig. 2 está constituido por dos discos uniformes, cada uno de masa M, unidos por un eje de masa despreciable. ¿Cuál es la aceleración lineal del objeto cuando se mantiene una tensión T en el cordón? Si el coeficiente de fricción estática entre el objeto y la superficie es µs, ¿Cuál es el valor máximo de T que permite rodar sin resbalar? Ejercicio 15 (2do parcial 2003) E Notación: los vectores se anotan con negritas y cursivas Un carrete de hilo de masa M y radio R se desenrolla bajo la acción de una fuerza constante F, como se muestra en la figura. Suponga que el carrete es un cilindro sólido uniforme que rueda sin deslizar, y que el hilo es inextensible y de masa despreciable. La fuerza de rozamiento fr vale: A) fr = F/2 B) fr = 2F C) fr = F/3 D) fr = - F E) fr = - F/5

R

Fig. 3

Rr T

Fig. 2

Fr

R

M

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Problema 16 (Examen Diciembre. 2005). Un rollo de papel que inicialmente tiene masa M0 y radio R0 descansa contra la pared sostenido por un soporte que está unido a una varilla que pasa por su centro (ver figura). Inicialmente el extremo del soporte está unido a la pared mediante una bisagra sin fricción de modo tal que forma un ángulo de 300 con la pared. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el papel y la pared es µk = 0,25. El soporte y la varilla son de masa despreciable. Se ejerce una fuerza F = ½ M0g, tangencial hacia abajo, para desenrollar el papel. El momento de inercia de un cilindro homogéneo de masa M y radio R respecto del eje que pasa por su centro es: I = ½ MR2. Parte (a). Sugerencia: Dibuja el diagrama del cuerpo libre del objeto. En el instante inicial, la aceleración angular α0 del rollo es: a) αo =0,567 g/R b) αo =0,067 g/R c) αo =0,010 g/R d) αo =0,494 g/R e) αo =0,717 g/R Parte (b)

Ahora el cilindro contiene la mitad del papel que contenía en la parte anterior; la misma fuerza F = ½ M0g impone al nuevo rollo una aceleración angular α1 que verifica: a) α1 = α0 b) α1 = 2 α0 c) α1 > 4 α0 d) α1 < 0,5 α0 e) α1 = 8 α0

Problema 17 PP Sea un carretel formado por 2 discos de masa M y radio R (cada uno) y un eje de radio r de masa despreciable, una polea de radio r y masa m, y una caja de masa m, vinculados por un hilo inextensible de masa despreciable. El carretel se encuentra sobre una superficie con fricción como se muestra en la figura. Plantea las ecuaciones que permitirían calcular la aceleración del centro de masa del carretel.

Si deseas, puedes resolver analíticamente el problema considerando: R = 3r y M = 3m Sugerencia: El momento de inercia de la polea puede aproximarse al momento de inercia de un disco. Para que el hilo no deslice respecto de la polea, ésta gira sometida a un torque neto dado por tensiones diferentes en el tramo horizontal y vertical del hilo. Problema 18 PP (2do parcial 2006) Considere el sistema de la figura. La rueda tiene una masa m, radio R y momento de inercia I respecto a un eje que pasa por A. La rueda puede girar libremente alrededor de A, y está sujeta a un brazo que puede pivotear en los puntos A y B. Inicialmente la rueda no tiene movimiento, y luego se apoya sobre una cinta transportadora que se mueve con velocidad V constante (en el sentido de la flecha). Entre la rueda y la cinta hay coeficientes de rozamiento estático y cinético, µS y µK, respectivamente. El trabajo que realiza el motor que propulsa la cinta a velocidad constante, desde el momento en que la rueda se apoya hasta que ésta adquiere su velocidad angular final, es:

a) kW mgVµ=

b)

2

2

I VW

R=

c)

2

2

3

2

I VW

R=

d)

2

2

mVW =

e) 0W =