ITM, Institución universitaria Guía de Laboratorio de Física Mecánica

Práctica 14: Aceleración en un sistema de poleas móviles

Integrantes: Daniel Fernando Gómez Guzmán, Yeison Villada, Julián Arenas, Orlando Acuña.

Implementos Nueces, soporte vertical, juego de masas, 3 poleas fijas, 2 poleas móviles, dispositivo óptico digital, fotosensores, regla, marcador borrable, computador, 3 cuerdas, 2 portamasas.

Objetivos

El objetivo principal de esta práctica es encontrar la aceleración experimental y teórica que se presenta en tres masas que pertenecen a un sistema de poleas móviles, cada masa con una aceleración diferente. También se busca verificar la relación de aceleraciones en dicho sistema por medio de la dinámica, las poleas y cuerdas son ideales.

Teoría

Los sistemas de poleas móviles son multiplicadores de fuerza que permiten magnificar la fuerza aplicada, un ejemplo cotidiano es observar obreros subiendo cemento por medio de poleas en las construcciones. Estos sistemas tienen múltiples aplicaciones industriales y su configuración depende de la relación en las aceleraciones de los componentes del sistema que se quiere conseguir. A continuación se muestran ejemplos de sistemas de poleas móviles.

Figura 1. Sistemas de poleas móviles.

Estos dos sistemas que se presentan son relativamente sencillos tanto en su respectivo montaje como en su análisis, sin embargo hay sistemas más complejos que buscan aumentar en mayor medida la fuerza aplicada como se muestra en la figura 2. El sistema de poleas más sencillo es la máquina de Atwood.

Figura 2. Sistema de poleas complejo.

La manera de analizar estos sistemas es por medio de la dinámica. Para empezar se debe dividir el sistema en subsistemas a los cuales se les debe aplicar diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre se aplica a cada componente, exceptuando a las cuerdas y a las poleas fijas en caso de que hallan poleas móviles. Es importante tener en cuenta que si en un sistema solo se presenta una polea fija, a dicha polea se le debe aplicar diagrama de cuerpo libre como es el caso del sistema que se muestra en la figura 3.

Figura 3. Máquina de AtwoodAl aplicar el diagrama de cuerpo libre a cada componente es fundamental tener en cuenta que se interpreta como positivo la dirección hacia la cual se dirige el movimiento del componente en el sistema. Para interpretar correctamente la dirección hacia la cual se dirigen los componentes en el sistema se observa de manera lógica cómo funciona el sistema observando que masa es mayor. Para entender claramente se muestra un ejemplo: Considere la figura 3, suponiendo que la masa m 1 es 36 g. y la masa m2 es 18 g. La dirección del movimiento en cada componente es:

Figura 4. Dirección de los componentes en una máquina de Atwood

En la figura 4 se puede observar que se interpreta como positivo la dirección hacia abajo de la masa m1, aplicando diagrama de cuerpo libre a dicho componente se tiene:

ΣFy= m1 ay

Se puede observar que las únicas fuerzas externas que actúan sobre dicho componente son la tensión y el peso, entonces:

m1g – T = m1 ay (1)

Ahora aplicando diagrama de cuerpo libre a m2:

ΣFy= m2 ay

T – m2g = m2 ay (2)

Despejando las tensiones en (1) y (2):

m1g – m1 ay =T (3)

m2 ay + m2g =T (4)

Igualando (3) y (4) ya que las tensiones se presentan en la misma cuerda y por tanto son iguales (considerando cuerdas ideales de masa igual a cero).

m1g – m1 ay1 = m2 ay2 + m2g (5)

Las aceleraciones son iguales en m1 y m2 por lo que se puede despejar la aceleración.

ay = (m1g - m2g) / (m1 + m2)

Se deduce que las aceleraciones son iguales por que solo hay una cuerda, además de que las tensiones son iguales, generalmente se cumple que si las tensiones cambian entonces las aceleraciones también cambian. Es indispensable comprender como calcular la relación de aceleraciones en poleas móviles y como obtener las relaciones de tensiones. En el siguiente ejemplo se ilustra cómo se hallan dichas relaciones mencionadas.

Para encontrar las aceleraciones en un sistema de poleas complejo como el que se muestra en la figura 5 se debe empezar tratando de interpretar el movimiento de cada componente.

Figura 5. Sistema de poleas con aceleraciones diferentes.

Suponiendo que m3>>m1 y m3>>m2 entonces el movimiento es el que se muestra en la figura 6.

Figura 6. Movimiento de cada componente en el sistema de poleas.

Luego se debe realizar un diagrama de cuerpo libre para cada componente.

En m1:

ΣFx= m1 ax1

T1 – Ff = m1 ax1 (1)

ΣFy= m1 ay1

Como no hay movimiento en la dirección vertical.

N1 - m1g=0 N1 = m1g (2)

(2) en (1)

c= coeficiente de fricción cinética.

T1 – c*m1g= m1 ax1 (3)

Ahora aplicando el diagrama de cuerpo libre a m2, es importante considerar que la tensión que tira de m2 tiene la misma magnitud que la tensión que tira a m1 en vista de que es la misma cuerda.

ΣFx= m2 ax2

T1 - Ff = m2 ax2 (4)

ΣFy= m2 ay2

Como no hay movimiento en la dirección vertical

N2 – m2g=0 N2 = m2g (5)

(5) en (4)

T1 - c m2g = m2 ax2 (6)

Ahora aplicando diagrama de cuerpo libre a m3. Es importante considerar que la aceleración que presenta la polea móvil es igual a la aceleración de m3 en vista de que está atada a dicha polea. También hay que considerar que la cuerda que jala a m3 no es la misma cuerda que jala a m1 y m2 y por ende no tienen la misma tensión.

ΣFy= m3 ay3

m3g- T3 = m3 ay3 (7)

Ahora hay que aplicarle diagrama de cuerpo libre a la polea por la cual se observan ambas tensiones, la cual generalmente es una polea móvil, por lo que:

Figura 7. Diagrama de cuerpo libre de la polea móvil.

También se debe tener en cuenta que las poleas siempre se consideran ideales por lo que no tienen masa, entonces:

T3-2T1=0

Por consiguiente la relación de tensiones en el sistema es:

T3= 2T1 (8)

Para tener toda la información necesaria para hallar todas las variables del ejercicio solo falta encontrar la relación de las aceleraciones de los componentes. Para encontrar dicha relación primero se debe observar que cuerda enrolla la polea móvil, a esta cuerda hay que subdividirla con el objetivo de derivar dichas longitudes y de esta manera las partes subdivididas que son constantes se hacen igual a cero (no varían). Para tener buena habilidad para subdividir se requiere buena lógica, no obstante la clave está en hacer uso de longitudes constantes para hallar longitudes variables por medio de operaciones con otras longitudes variables, las cuales en lo posible deben ser mínimas. Entonces:

Figura 8. Subdivisión de la cuerda que enrolla la polea móvil.

Considerando L la longitud total de la cuerda, L es la equivalencia de la suma de todas las subdivisiones que se muestran en la figura 7.

L= y1+s1+(x-x3)+s3+(x-x3)+s2+y2

Al derivar:

0=v1-2v3+v2

Al derivar de nuevo y despejar se obtiene la relación de aceleraciones del sistema.

a1+a2=2 *a3

Esta es la manera correcta de analizar en general los sistemas de poleas móviles complejos.

Por tanto se resumen los pasos para resolver un sistema de poleas móviles en:

* Aplicar diagrama de cuerpo libre a cada componente del sistema.

* Obtener las relaciones de tensiones aplicando diagrama de cuerpo libre a cada polea móvil.

* Obtener las relaciones de aceleraciones subdividiendo la cuerda que enrolla las poleas móviles.

* Despejar variables.

Se aconseja hacer una marca a las masas m1, m2 y m3 para evitar confusiones en el transcurso de la práctica. Las aceleraciones teóricas se hallan por medio de los análisis explicados anteriormente, a partir de dicha información se puede encontrar cualquier aceleración y tensión en el sistema, solo basta con despejar e igualar variables según lo que se quiera encontrar. Es indispensable en el ejercicio propuesto observar que las alturas de las poleas móviles sean iguales para no cometer errores en el análisis de la subdivisión de la cuerda, a su vez recordar que las poleas móviles se mueven con la misma aceleración que las masas que tienen atadas, mientras que las fijas se mantienen estáticas. Es muy difícil dar ecuaciones para encontrar las relaciones de aceleraciones y tensiones por lo que se debe siempre hacer uso de la segunda ley de Newton para deducirlas. La habilidad en la interpretación del sistema garantiza la veracidad de los cálculos.

Para hallar la aceleración teórica en el sistema propuesto, que se muestra en la figura 9, se procede de la siguiente manera:

Figura 9. Montaje experimental

* Diagrama de cuerpo libre para cada componente:

En m3:

Figura 10. Diagrama de cuerpo libre para m3.

ΣFx=m3*a3

T3-Ff = m3*a3 (1)

ΣFy=0 (no hay movimiento)

N3=m3g (2)

(2) en (1)

c: coeficiente de fricción.

T3- c*m3*g= m3*a3

Despejando la tensión:

T3 = m3*a3 + c*m3*g (3)

En la polea móvil que tiene atada m2:

Figura 11. Diagrama de cuerpo libre para polea que tiene atada a m2.

ΣFy=0 (poleas ideales con masa igual a cero)

2T3=T2 (4)

En la polea móvil que tiene atada m1:

Figura 12. Diagrama de cuerpo libre para polea que tiene atada a m1.

ΣFy=0

2T3=T1 (5)

En m2:

Figura 13. Diagrama de cuerpo libre para m2.

ΣFy=m2*a2

T2 – m2g=m2*a2

Despejando la tensión:

T2 =m2*a2 + m2g (6)

En m1:

Figura 14. Diagrama de cuerpo libre para m1.

ΣFy=m1*a1

m1g – T1=m1*a1

Despejando la tensión:

m1g – m1*a1 =T1 (7)

(3) en (4)

2m3*a3+2c*m3g=T2 (8)

(3) en (5)

T1= 2*m3*a3 + 2c*m3g (9)

(6) en (8)

2m3*a3+2c*m3g = m2*a2+ m2g (10)

(7) en (9)

m1g – m1*a1 = 2m3*a3+2c*m3g (11)

La relación de las aceleraciones en base a la longitud total de la cuerda es:

y3+s1+y+(y-y2)+s2+(y-y2)+s3+(y-y1)+s4+(y-y1)+s5=L

Al derivar 2 veces:

a3 – 2*a2 – 2*a1=0 (12)

Al despejar a2 y dejarla en función de a1:

a2 = 4m3*a1 + 2*c*m3g – m2g (13) m2-4m3

Al despejar a3 y dejarla en función de a1:

a3 = m1g -m1*a1 - 2*c*m3g (14) 2m3

Procedimiento e informe:

1. Realice el montaje experimental ilustrado en la figura 9. Ponga el registrador digital de tiempo en modo S2 y en la escala de ms. Emplee un marcador borrable para señalar el punto de referencia cero de la masa m3,m2 y m1, en dicho punto las cuerdas deben estar tensionadas. Mida la longitud de cada tramo de la cuerda que enrolla las poleas móviles. Anote estos datos en la tabla 1, junto con las magnitudes de las masas. Debe considerar la siguiente relación m1>>m2, m1>>m3, m2 y m3 son arbitrarias. la magnitud de y1 debe ser igual a y2. La magnitud de y3,y2 debe ser como mínimo de 25 cm y 30cm, respectivamente.

y1(m) y2(m) y(m) y3(m) x(m) m1(kg) m2(kg) m3(kg)

Tabla 1.

2. Ponga el primer fotosensor en la posición cero de referencia de m 3, y el segundo fotosensor a 5 cm de distancia, suelte a m1 y observe cuanto tiempo marca el registrador digital de tiempos, repita el proceso 5 veces y digite el promedio de los tiempos en la tabla 3. Repita el proceso desplazando 5 cm más el segundo fotosensor, hacer esto hasta completar 20 cm.

x(m) 0t(s) 0

Tabla 3.

3. Ubique el primer fotosensor en la posición cero de m1. El segundo fotosensor ubíquelo a 5 cm de distancia. Suelte a m1 y tome la medida del tiempo por medio del registrador digital de tiempos, repita el proceso 5 veces y registre el promedio en la tabla 4.

4. Repita el proceso desplazando 5cm más el segundo fotosensor, hacer esto hasta completar 20 cm.

x(m) 0t(s) 0

Tabla 4.

5. Ubique el primer fotosensor en la posición cero de m2. El segundo fotosensor ubíquelo a 5 cm de distancia. Suelte a m1 y tome la medida del tiempo por medio del registrador digital de tiempos, repita el proceso 5 veces y registre el promedio en la tabla 5.

6. Repita el proceso desplazando 5cm más el segundo fotosensor, hacer esto hasta completar 20 cm.

x(m)

0

t(s) 0Tabla 5.

7. Por medio de los datos que se encuentran en la tabla 3 grafique posición vs tiempo en Excel y obtenga de la ecuación de la grafica la aceleración experimental de la masa m3.

8. Por medio de los datos que se encuentran en la tabla 4 grafique posición vs tiempo en Excel y obtenga de la ecuación de la grafica la aceleración experimental de la masa m1.

9. Por medio de los datos que se encuentran en la tabla 5 grafique posición vs tiempo en Excel y obtenga de la ecuación de la grafica la aceleración experimental de la masa m2.

10. Utilice la aceleración experimental de m1 para encontrar las aceleraciones teóricas de m2 y m3

por medio de las ecuaciones (13) y (14).

11. Calcule el porcentaje de error de las aceleraciones teórica y experimental de m2.

Acelerac. experimental(m/s2) Acelerac. teórica(m/s2) % Error

Tabla 6.

12. Calcule el porcentaje de error de las aceleraciones teórica y experimental de m3.

Acelerac. experimental(m/s2) Acelerac. teórica(m/s2) % Error

Tabla 7.

13. Verifique que se cumple la relación de aceleraciones, ecuación (12), para las aceleraciones experimentales de m1, m2 y m3.

14. Verifique que se cumple la relación de aceleraciones, ecuación (12), para las aceleraciones teóricas de m1, m2 y m3.

Recuerde que el informe escrito de esta práctica debe hacerse en el formato de revista entregado por el docente: debe desarrollarse con todos los datos y operaciones correspondientes a cada numeral, relatoría detallada de todos los procesos, cálculos detallados de los valores pedidos en el desarrollo de la práctica, incluir causas de error y conclusiones.