I. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN.

POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIOEn algunas situaciones es necesario elevar polinomios a una potencia determinada, procedimiento que resulta simple sabiendo que la potenciación es una simple multiplicación.OBSERVA: OBSERVA:

2 2 es equivalente a 2 x 2 2 2 = 2 x 2

es equivalente a (a + b).(a + b) (= (a + b).(a + b)

Como puedes ver la potenciación de un polinomio se convierte en multiplicación de polinomios

PRODUCTOS NOTABLES

Se denominan productos notables a algunas potencias de polinomios o productos entre ellos que pueden resolverse rápidamente ya que cumplen algunas características o reglas fijas.

Existen varios productos notables que son:

CUADRADO DE LA SUMA

El cuadrado de una suma se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se suma el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se suma el cuadrado de la primera cantidad.

Observa: a2 el cuadrado de la primera cantidad2ab dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad b2 el cuadrado de la segunda cantidad

Ejemplos:

( x + 2y)2 = x2 + 2.(x).(2y) + (2y)2 = (2a2 + 3b3 )2 = ( 2a2 )2 + 2.(2.a2).(3b3) + ( 3b )2 =

(a + b )2

= (a + b).(a + b) = a2

+ ab + ba + b2

(a + b)2

= a2

+ 2 + b2

DIFERENCIA DE CUADRADOS

El cuadrado de una diferencia se resuelve: se eleva la primera cantidad al cuadrado, luego se resta el producto de la primera cantidad por la segunda cantidad y por dos, y además se resta el cuadrado de la primera cantidad. Observa:

a2 el cuadrado de la primera cantidad 2ab dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad

b2 el cuadrado de la segunda cantidad

Ejemplos:

* (2x – 4)2 = * (mn3 – 3 m4 x2 )2 =

=

EJERCICIOS:

Resolver los siguientes productos notables:

1. (3y+5z)2

2.

3.4. (3 – 4 a)2

5. (7 – 2x)2

6.

7.

8.

9.10.

SUMA POR DIFERENCIA

Es un producto de la siguiente forma (a + b)(a – b) los mismos términos en un paréntesis separados con más y en el otro con menos.Se resuelve de la siguiente manera:

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2 =

Ejemplos:

(a + b) (a – b) = a2

– b2

(2a – 3b)(2a + 3b) = 4 a2 – 9 b2

=

EJERCICIOS

1.2.3.

4.5. (2m3 – n4)(2m3 + n4)6. (a 2x – 3)(a 2x + 3)

7. (a + 2b + 2)(x +2b–2)8. (ab + c)(ab – c)9. (3x2 – b) ( b + 3x 2)

10.11. (5x+2y)(2y–5x )

12.

CUBO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS TERMINOS

Cuando se presentan los siguientes binomios al cubo, se resuelven de la forma que se indica:

= (a+b)2(a+b) = (a2+2ab+b2) (a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3

que se demuestra de la misma manera que el anterior.

EJEMPLOS

(m–2)3 = m3–3(2m2)+3m(2)2–23 = m3–6m2+12m–8

(3 a2 + 2 b3)3 = (3 a2)3 + 3(3 a2)2 (2 b3) + 3(3 a2) (2 b3)2 + (2 b3)3

= 27 a6 + 54 a4 b3 + 36 a2 b6 +8 b9

EJERCICIOS:

1. (a – b)3

2. (3y+5z)3

3.

4.5. (3a – 4 b)3

11.

12.

13.14.

15.

6. (7 – 2x)3

7. (2x2 – 5y 3 )3

8.

9.

10.

16.

17.

18.19. (a – b – c)3

20. (–x – y)3

POTENCIA DE BINOMIOS

El binomio (a+b)n con n perteneciente al conjunto de los números naturales (1,2,3....), llamado BINOMIO DE NEWTON se resuelve utilizando el TRIANGULO DE PASCAL, de la siguiente manera:

1. los números que se encuentran en el triángulo de Pascal son los coeficientes numéricos de los términos del producto.

2. El primer número diferente de 1 es el exponente del binomio3. El primer término inicia con el mismo exponente que el binomio y el segundo con

exponente cero.4. El primer término comienza a disminuir su exponente hasta que sea cero y el

segundo a aumentarlo.5. Los signos son positivos si el binomio es suma y se intercalan si el binomio es

resta– se utiliza así:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

(a+b)1 = ab0 +a0 b = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 a b2 – b3

(a + b )4 =a4+4 a3b + 6a2b2 +4 ab3+b4

EJEMPLOS

(a+2)6 = a6+6 a5(2)+15 a4 (2)2+20 a3(2)3+15 a2(2)4+6 a(2)5+26 a6+12 a5+60 a4 + 160 a3 + 240 a2 +192 a + 64

(3x– ) 4 =(3x)4–4 (3x)3 ( )+6 (3x)2 ( )2 – 4(3x)( )3 +( )4

= 81 x4– x3 + x2– x +

EJERCICIOS

1. (a – 2b)6

2. (2 x2 – 3y 2) 4

3. (3 – a3) 5

4.

5.

6.

7.

8.

9.10.

11.

FACTORIZACIÓN

Factorizar un número natural es descomponerlo en sus factores primos así: 12 = 2 x 2 x 3= 2 2 x 3 donde 2 y 3 son números primos.Factorizar un polinomio significa descomponerlo hasta donde sea posible, en el producto de todos sus factores primos.La propiedad distributiva de la multiplicación de números reales respecto de la adición permite transformar las sumas indicadas en productos. Esta transformación es una FACTORIZACIÓN.–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

FACTOR COMÚN Es el Máximo Común Divisor de los términos del polinomio, tanto de la parte literal como de la numérica.El M.C.D de los coeficientes del polinomio, y el factor común literal está conformado por las variables que se repiten en todos los términos elevadas al menor exponente. El factor restante con el que se multiplica el factor común, está compuesto por los coeficientes de cada término sobre el mismo factor común. Ejemplo:Factoriza los siguientes polinomios:

* 6 x3 – 12 x2 + 3 xEl factor común de los términos es 3 x. Por la propiedad distributiva se puede escribir 6 x3 – 12 x2 + 3 x = 3x ( 2 x2 – 4 x + 1)

* 8 x w3 + 32 x 3 w 2 = 8 x w 2 (w + 4 x2 )

* 5 y z4 – 12 y 6 = y ( 5 z4 – 12 y5 )

* 4 x ( x + 2) – ( x + 2)= ( x + 2) ( 4 x –1)

*

Ejercicios:

FACTOR COMÚN POR AGRUPÁCIÓN:

Cuando el polinomio tiene más de tres términos, es necesario agrupar adecuadamenteSe emplea inicialmente una asociación de términos por medio de los signos de agrupación, para hallar así los factores comunes de cada uno. Ejemplo:

* 1. Agrupemos: (3x2 – 6 ax) + (4x – 8 a) 2. Factoricemos el factor común: 3x ( x – 2 a) + 4( x – 2 a) 3. Se factoriza de nuevo: (3x +4) (x – 2a)

*

1. Agrupemos:

2. factoricemos:

3. Se factoriza de nuevo:

* 1. 2. 3.

Ejercicios:

DIFERENCIA DE CUADRADOSEs la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas:

Ejercicios:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.C.P )Es el resultado de un Binomio al cuadrado. El primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y su signo es positivo, y el segundo término es el doble de producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término:

Ejemplos:* x 2 – 2x + 1= ( x – 1)2

Raíz cuadrada de x2 = x Raíz cuadrada de 1 = 1 Doble producto de estas raíces: 2 ( x ) ( 1) = 2 x

* 36 + 12 m2 + m4 = ( 6 + m2 )2

Raíz cuadrada de 36 = 6 Raíz cuadrada de m4 = m2

2 ( 6) ( m2) = 12 m2

* 2

Raíz cuadrada de = Raíz cuadrada de b2 = b Doble producto de esta raíces:

2 ( ) (b) =

Ejercicios:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR COMPLETACIÓN Este caso se da cuando los trinomios no son exactos para ser T.C.P.

Ejemplos:* 1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de 4 a4 = 2 a2 La raíz cuadrada de 9 b4 = 3 b2

2 ( 2 a2 ) ( 3 b2 )= 12 a 2 b 2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que

2. Luego hay que sumarle 9a2 b2 al segundo término para que sea igual a 12 a2 b2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así:

– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Factorizo el T.C.P = Factorizo la Diferencia de Cuadrados =

y por último lo ordeno =

*

1. Se observa si es un T.C.P La raíz cuadrada de c4 = c2 La raíz cuadrada de 100 = 100 2 ( c2 ) ( 10 ) = 20 c2 Este Trinomio no es cuadrado perfecto ya que

2. Luego hay que sumarle 25 c2 al segundo término para que sea igual a 45 c2, pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma y quedaría así: – –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Factorizo el T.C.P = Factorizo la Diferencia de Cuadrados = ordeno =

Ejercicios:

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c1. Se organiza el trinomio 2. El coeficiente del primer término es 13. Se descompone en dos factores binomios y al comienzo de cada uno de ellos se escribe la raíz cuadrada del primer término.4. Se buscan dos cantidades que al multiplicarse den el tercer término y al sumarse den el segundo término

Ejemplos:* Factorar: Se halla la raíz cuadrada del primer término m2 = m El trinomio se decompone en dos binomios: ) )

Se busca dos números cuya diferencia es 17 y cuyo producto es 60. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –17x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo positivo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da positivo. Se descompone en sus factores primos al tercer término:

2 x 2 x 5 = 20 y 3 Rta : – 20 ) + 3 )

* Factorar: Se organiza el trinomio: Se halla la raíz cuadrada del primer término a2 = a El trinomio se descompone en dos binomios: (a ) (a ) Se busca dos números cuya diferencia es 11 y cuyo producto es 28. En el primer paréntesis se coloca el signo negativo ya que –11x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo.

Se descompone en sus factores primos al tercer término:

2 x 2 = 4 y 7 Rta : ( a – 4 ) (a – 7 )

* Factorar: Se halla la raíz cuadrada del primer término x2 = x El trinomio se descompone en dos binomios: (x a ) (x a ) Se busca dos números cuya diferencia es 2 y cuyo producto es 15. En el primer paréntesis se coloca el signo positivo ya que 2x lo tiene, luego en el segundo paréntesis se coloca el signo negativo porque al multiplicar el

signo del segundo término con el signo del tercer término nos da negativo.

Se descompone en sus factores primos al tercer término:

Rta : ( x + 5a ) (x – 3a )

Ejercicios:

TRINOMIO DE LA FORMA

Se multiplica y se divide al mismo tiempo por el valor de * a *En el numerador el valor de * a* sólo afecta al primer y tercer términoLuego se factoriza de la forma Por último se divide por * a * para no alterar el trinomio

* Factorar:

* Factorar:

Ejercicios:

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS:

Se debe tener en cuenta lo siguiente:1. Tener cuatro términos2. Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos3. Qué el segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicando por la raíz cúbica del última. 4. Qué el tercer término sea más triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

* La raíz cúbica de 8 = 2 La raíz cúbica de a6 = a2

3 ( 2)2 ( a2 ) = 12 a2 segundo término 3 ( 2 ) ( a2 )2 = 6 a4 tercer término

Rta ( 2 – a2 )3

* La raíz cúbica de 125 a3 = 5 a La raíz cúbica de 8b3 = 2 b 3 ( 5 a )2 ( 2 b ) = 150 a2 b segundo término 3 ( 2 b )2 ( 5a ) = 60 a b2 tercer término

Rta ( 5a + 2 b )3

Ejemplo:

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS:

1. La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

*

*

Ejercicios:

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:

Se debe tener en cuenta:1. Ambos términos deben tener el mismo exponente2. Se saca la raíz de cada término3. Se empieza a disminuir el primer término y el segundo empieza a aumentar.

Ejercicios

Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.La factorización queda: 2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)

EN RESUMEN: FORMA DE DISTINGUIR LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN

     ¿La expresión tiene factor

común?      

               

      ¿Qué tipo de expresión es?

     

           

               

¿Es un Binomio?   ¿Es un trinomio?   ¿Es un polinomio de 4 o mas términos?   

               ¿Es una diferencia de

cuadrados?  ¿Es un trinomio cuadrado

perfecto?   ¿Es factorizable por

agrupación de términos?   

               

¿Es una suma ó resta de cubos?

  ¿Es un trinomio de la forma x²±bx±c?

  ¿Es un caso combinado?   

               

¿Es una suma de cuadrados?

  ¿Es un trinomio de la forma ax²±bx±c?

  ¿Es una suma ó resta de binomios al cubo?   

                     ¿Es un trinomio cuadrado

perfecto por completación?  ¿Es factorizable por

división sintética?       

EJERCICIOS: factoriza completamente las siguientes expresiones:

1. x2 + 4x + 3 = 2. 3. a2 + 7a + 10 =4. b2 + 8b + 15 = 5. 6. x2 - x - 2 =7. r2 - 12r + 27 = 8. 9. s2 - 14s + 33 =10. h2 - 27h + 50 = 11. 12. y2 - 3y - 4 =

13. x2 + 14xy + 24y 14. 15. m2 + 19m + 48 =

16. x2 + 5x + 4 =17.

18. x2 - 12x + 35 =

19. 5x2 + 11x + 2 = 20. 21. 3a2 + 10ab + 7b2 =

22. 4x2 + 7x + 3 = 23. 24. 4h2 + 5h + 1 =25. 5 + 7b + 2b2 = 26. 27. 7x2 - 15x + 2 =

28. 5c2 + 11cd + 2d2 = 29. 30. 2x2 + 5x - 12 =31. 6x2 + 7x - 5 = 32. 33. 6a2 + 23ab -

4b2 =34. 3m2 - 7m - 20 = 35. 36. 8x2 - 14x + 3 =

37. 5x2 + 3xy - 2y2 = 38. 39. 7p2 + 13p - 2 =40. 6a2 - 5a - 21 =

41.42. 2x2 - 17xy +

15y2 =43. 2a2 - 13a + 15 = 44. 45. x 3 - 3x 2 + 4x +

1246. 2ab + 4a2b - 6ab2 = 47. 48.2xy2 - 5xy +

10x2y - 5x2y2 =49. b2 - 3b - 28 = 50. 51.a2 + 6a + 8 =

52.5a + 25ab = 53. 54.bx - ab + x2 - ax =

55. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab 56. 57.ax + ay + x + y =58. 8x2 - 128 = 59. 60.4 - 12y + 9y2 =

61.x4 - y2 = 62. 63.x2 + 2x + 1 - y2 =

64. (a + b )2 - ( c + d)2 =65.

66.a2 + 12ab + 36b2 =

67. 36m2 - 12mn + n2 = 68. 69.x16 - y16 =

70. x2 + 10x + 25 = 71.2ab + 4a2b - 6ab2 = 72. (a + b )2 - ( c +

d)2 73. 74.b2 - 3b - 28 = 75.36m2 - 12mn + n2

76. 77.5a + 25ab = 78.79. 80.6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 81.8x2 - 128 =

II. EXPRESIONES RACIONALES

MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS

Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplos:* Hallar el MCD de Las letras comunes son a b c. Se toma las letras a, b y c con su menor Exponente, por lo tanto su mcd es = a b c

Hallar el MCD entre

Por lo tanto el mcd es = 3 b2 * Hallar el MCD entre

Por lo tanto el mcd es= 2ª

Hallar el MCD entre

Se factorizan ambos términos Por lo tanto el mcd es= 3x – 1

Ejercicios: HALLE EL MCD DE LAS SIGUITES EXPRESIONES

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS

Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El MCM es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Ejemplos:

* Hallar el MCM de El mcm es= a2 b2 c

Hallar el MCM entre

Por lo tanto el mcm es = 23 32 5 a2 b4 c x2

= 360 a2 b4 c x2

* Hallar el MCM entre

Por lo tanto el mcm es= 4 a (a + b) ( a–b) = 4 a ( a2 – b2 )

Hallar el MCM entre

Se factorizan ambos términos Por lo tanto el mcm es =

Ejercicios: HALLE EL MCM DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

OPERACIONES CON FRACCIONES:

Se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si es posible, se factorizan los denominadores 2. Se llevan al mcd y se efectúan las operaciones indicadas3. Se unen los términos semejantes4. Si es posible se simplifica la respuesta.

Suma de fracciones

Simplificar:

Resta de fracciones:

Simplificar

Multiplicación de fracciones:

Se debe tener en cuenta lo siguiente:a. Se descomponen en factores los términos de las fracciones que se van a

multiplicar.

Se simplifica, quitando los factores comunes tanto en los numeradores como en los denominadores.b. Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los numeradores después

de simplificar, y este resultado se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores

Ejemplos: Multiplicar:

Ejercicios:

División de fracciones:

Se debe tener en cuenta:a. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido.

Ejemplos:Simplificar:

Ejercicios:Simplificar:

Ejercicios:

1. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.